Mecanika ekuin. Určee do jaké loubky se ponoří kužel ýšky L mm z maeriálu o usoě 8 e odě s usoou. Kužel je zanořen do ody sým kg/m rcolem. kg/m Řešení: Podle Arcimédoa zákona při ploání musí bý ía G kužele rona zlakoé síle z j.g kde z a V g πb g z b Vg πa L g. G L Jelikož dále plaí b / a / L poom dosazením získáme pro loubku ponoření L 98 mm.
. Určee působišě směr a elikos ýslednice lakoýc sil působící na segmenoý álcoý uzáěr jezu s orní a dolní zdrží (iz.obr.). Uzáěr má řezu ar črkružnice o poloměru m a šířka uzáěru je b m. Na jedné sraně saá odní ladina do ýšky m a na drué sraně do ýšky m nade dno. Husoa ody kg m. Řešení: Na uzáěr působí ydrosaický lak p kapaliny (ody) e směru normály k dané álcoé ploše j. p gz pro z < > p g( ) pro z < >. z O ϕ O ds z Tomuo laku odpoídá ydrosaická síla d p ds gz ds. Tuo sílu si můžeme rozloži do jednoliýc složek e směru osy a z j. d pds d z pdsz kde S S z jsou průměy álcoé plocy uzáěru do roin yz a y. Pro náš příklad edy ypočeme pds gz bdz + g( ( ) bdz g b ) g b( ) + ( ) πgb pdsz gz bd gb d gb cos ϕdϕ. Výsledná ydrosaická síla působící na uzáěr procází osou álcoé plocy pod úlem ϕ kde Z π o gϕ ϕ 6 9 ( ) gb + z ( ) + π 9 kn. π /
. Injekční sříkačka délky L 5 cm je naplněna odou přičemž ploca písu S 5 cm ploca ooru S 8 mm a usoa ody kg/m. Vypočěe za jakou dobu yprázdníme sříkačku jesliže působíme na pís sálou silou 5 N. Zanedbeje ření písu a niřní ření kapalině. Řešení: Pro ýok kapaliny oorem sříkačky plaí ronice koninuiy a ernoullio ronice j. S S + p p. S 5N S L S Vyjádříme-li z ronice koninuiy ryclos ýoku kapaliny ze sříkačky a dosadíme do ernoullio ronice poom obdržíme pro ryclos ronoměrnéo posunu písu e sříkačce S + S S. S S S Pro čas za kerý se pís posune o zdálenos L plaí L S S S L 5 s.
. Určee jak se bude poyboa malá kulička o poloměru r dosaečně široké sislé rubici naplněné kapalinou o usoě a iskoziě η. Kulička je yrobena z maeriálu o usoě. Dále ypočěe dráu y po keré lze ryclos kuličky poažoa s relainí cybou δ za konsanní. Na počáku kuličku olně pusíme a sledujeme její poyb. Řešení: V kapalině působí na kuličku íoá síla odporoá síla pro kerou plaí podle Sokesoa zorce kuličky e sislém směru edy má edy ar d ma m G z o Vg( ) 6πηr kde m Vk je monos kuličky a V je objem kuličky. Poyboou ronici můžeme pro jednoducos přepsa jako d A A g( ) 6πηr. V z G mg V g zlakoá síla Vg a O G y k o z 6 πηr. Poyboá ronice y m δ Řešením předcozí diferenciální ronice separací proměnnýc získáme d A A ln ( e ) A. Mezní ryclos m keré může kulička dosánou získáme pro čas j. m A/. Inegrací ryclosi podle času obdržíme pro dráu s kuličky a relainí cybu δ zay A y ( + e ) a m δ e m m A z čeož pro čas a dráu y dosaneme δ ln A y y( ) ( δ ln δ ).
5. Do sěny álcoé nádoby o průměru D a ýšce H je zabudoána enká odoroná rubička s niřním průměrem d a délkou l. V nádobě je kapalina o dynamické iskoziě η. Určee záislos ryclosi kerou klesá kapalina nádobě na ýšce ladiny kapaliny nad ýokoým oorem a dále ypočěe zdálenos od rany nádoby kam dopadá odní paprsek na odoronou roinu úroni dna nádoby. Řešení: Pro průok iskózní kapaliny álcoou rubičkou při laminárním proudění plaí podle Hagen- Poiseuilleoa zákona πr p Q p g. 8 ηl D Průok rubičkou je roen πd Q S. Poronáme-li oba ýrazy pro průok můžeme yjádři ýokoou ryclos a následným použiím ronice koninuiy i ryclos poklesu kapaliny nádobě H l d gd ηl S d gd. S D ηld Trajekorii paprsku kapaliny můžeme poé yšeřoa jako odoroný r z ýšky ( H ) ryclosí. Pro odoronou zdálenos edy ypočeme ( H ) l +. g
6. Určee jakou ýšku bude mí rsa rui na odoroné skleněné podložce jesliže krajní úel pro ruť o ϑ 8 usoa rui 6 kg/m a porcoé napěí rui σ 5 N/m. Řešení: Ve ýšce nad skleněnou podložkou bude pro bod porcu rsy rui plai ronos kapilárnío laku p k yolanéo zakřiením porcu kapaliny a ydrosaickéo laku p yolanéo íou kapaliny. Plaí p b + g( ) p k b + σ + kde b je amosférický lak okolnío zducu a jsou laní poloměry křiosi porcu rsy daném mísě. Jelikož rsa rui je dosaečně elká j. << D poom << a pro kapilární lak můžeme přibližně psá p k & b + σ/ Minimální poloměr křiosi se bude nacáze e sislém řezu (roina y) a plaí pro něj podle.reneoa zorce d n ( ) (cosαsin α ) y n ( n ny ) ( sin αcosα) ds kde a n jsou jednokoé ečné a normáloé ekory ke křice sisléo řezu K α je úel kerý sírá ečna ke křice K s osou a ds d / cosα dy / sin α je elemen oblouku křiky K. Abycom určili sačí uažoa pouze směr j. plaí n ds Dosazením do ronice pro ýšku sin αcosαdα sin α d p k p K obdržíme b D n ϑ d. cosαdα α g ( )d σcos α dα a inegrací ypočeme ϑ π / g g ( )d σcosαdα σ( cosϑ) ϑ π / σ ( cosϑ) 6 mm. g
7. Parašuisa o monosi m 85 kg skáče s padákem o monosi m kg. Po oeření má padák ar dué polokoule s průměrem d m a součiniel odporu C. Určee mezní ryclos kerou dosáne parašuisa jesliže usoa zducu je rona 9 kg/m. Dále ypočěe jaké maimální ryclosi dosáne parašuisa jesliže nerozeře padák. V omo případě je carakerisická ploca S m a součiniel odporu C. Řešení: Parašuisa dosáne mezní ryclosi okamžiku kdy bude yronána íoá síla G silou odporoou a silou zlaku z. Vzlakoou sílu můžeme při poybu parašuisy e zducu zanedba a musí edy plai ( m + m ) g m C S d πd S. Dosazením a jednoducou úpraou dosaneme pro maimální ryclos 8( m + m C πd ) g 8 m/s. Jesliže se parašuisoi nerozeře padák poom poleí maimální ryclosí X m G ( m + m ) g & m/s. S C