Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.
1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému prvku nějaké zadané množiny M přiřazuje právě jedno reálné číslo. Množinu M nazýváme definiční obor - značíme D, případně D(f) Reálná čísla, která jsou takto přiřazena, nám tvoří další množinu, kterou nazýváme obor hodnot funkce - značíme H, případně H(f). Funkce může být zadána různými způsoby: tabulkou x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 8 12 14 16 20 4 8 24 spojnicovým diagramem rovnicí y = 2x + 5 grafem 2. Funkce - procvičovací příklady 2
1. Určete, zda jde o graf funkce: 1346 Ano 2. Určete, zda jde o graf funkce: 1347 Ne 3. Určete, zda jde o zápis funkce: y = 2x 2 + 6 Ano 4. Určete, zda jde o tabulku představující funkci: x * o # $ y 1 3 3 2 1345 1340 Ano 5. Určete, zda jde o tabulku představující funkci: x * o # o y 1 3 3 2 1343 Ne 3
6. Určete, zda jde o graf funkce: 1348 Ne 7. Určete, zda jde o graf funkce: 1349 Ne 8. Určete, zda jde o tabulku představující funkci: x 2 6 2 8 y 1 3 4 2 1341 Ne 9. Určete, zda jde o tabulku představující funkci: x 2 6 7 8 y 1 3 4 2 1342 Ano 10. Určete, zda jde o tabulku představující funkci: x 5 4 6 8 y * o # $ 1344 Ne 4
3. Vlastnosti funkce 1. Funkce rostoucí, klesající a konstantní Funkce je rostoucí, jestliže pro vyšší hodnotu nezávisle proměnné z definičního oboru nabývá i vyšší funkční hodnoty. Jinými slovy plati: (x 2 > x 1 ) D f(x 2 ) > f(x 1 ) Příkladem rostoucí funkce je y = 2x Rostou-li hodnoty nezávisle proměnné z definičního oboru, rostou i jejich funkční hodnoty. Taková funkce je rostoucí Funkce je klesající, jestliže pro vyšší hodnotu nezávisle proměnné z definičního oboru nabývá nižší funkční hodnoty. Jinými slovy plati: (x 2 > x 1 ) D f(x 2 ) < f(x 1 ) Příkladem klesající funkce je y = -2x + 3 Funkce je konstantní, jestliže pro libovolné dvě hodnoty nezávisle proměnné z definičního oboru nabývá vždy stejné funkční hodnoty. Jinými slovy plati: (x 2 x 1 ) D f(x 2 ) = f(x 1 ) Příkladem konstantní funkce je y = 6 Pozn.: Graf funkce rostoucí "jde do kopce", graf funkce klesající "jde z kopce", graf funkce konstantní je přímka (nebo její část) rovnoběžná s osou x. Pozn.: Funkce nerostoucí a funkce neklesající. 2. Funkce sudá a funkce lichá Funkce je sudá, jestliže pro x D platí, že f(x) = f(-x) Graf funkce sudé je vždy osově souměrný podle osy y. Příklad sudé funkce: y = x 2 5
Funkce je lichá, jestliže pro x D platí, že f(-x) = -f(x) Graf funkce liché je vždy středově souměrný podle počátku. Příklad liché funkce: 3. Funkce periodická Periodická je taková funkce, která ve svém definičním oboru nabývá pravidelně se opakující hodnoty. 6
4. Funkce prostá Funkce f definovaná na množině A, která je podmnožinou definičního oboru D(f), se nazývá prostá, jestliže pro dva libovolné body x i a x j patřící do množiny A, pro něž platí, že x i x j, zároveň platí f(x i ) f(x j ). Jsou-li různé nezávisle proměnné z definičního oboru a jsou-li jejich funkční hodnoty různé, jde o funkci prostou. 7
Příkladem prosté funkce může být exponenciální funkce f: y = a x, kde a > 1. 5. Funkce shora omezená Funkce f definovaná na množině A, která je podmnožinou definičního oboru D(f), se nazývá shora omezená (ohraničená), právě tehdy, když existuje takové číslo r R, že pro všechna x A je f(x) r. Funkce y = -x 2 nabývá pro všechny hodnoty definičního oboru záporných funkčních hodnot. Proto je velmi snadné určit číslo, které dané podmínce o omezenosti funkce shora vyhovuje. Jsou to všechna kladná čísla (např. číslo 1). 6. Funkce zdola omezená Funkce f definovaná na množině A, která je podmnožinou definičního oboru D(f), se nazývá zdola omezená (ohraničená), právě tehdy, když existuje takové číslo r R, že pro všechna x A je f(x) r. Funkce y = x 2 nabývá pro všechny hodnoty z definičního oboru kladných funkčních hodnot. Proto je velmi snadné 8
určit číslo, které dané podmínce o omezenosti funkce zdola vyhovuje - jsou to všechna záporná čísla (např. číslo -1). 7. Funkce omezená Funkce f definovaná na množině A, která je podmnožinou definičního oboru D(f), se nazývá omezená (ohraničená), právě tehdy, když je omezená shora i zdola. Z oboru hodnot a grafu funkce plyne, že není problém nalézt číslo, které bude splňovat podmínku pro omezenost funkce shora (všechna čísla větší než 1, tedy např. číslo 2) a číslo, které bude splňovat podmínku pro omezenost funkce zdola (všechna čísla menší než 1, tedy např. číslo -2). 8. Inverzní funkce Z definice inverzní funkce plyne, že se inverzní funkce k dané (prosté) funkci dá určit záměnou definičního oboru za obor hodnot, tedy y za x. 9
9. Minimum funkce Nejmenší hodnotou, neboli absolutním minimem, funkce f na množině A se nazývá taková funkční hodnota f(a), pro kterou platí: f(x) f(a). Z velikosti funkčních hodnot a z grafu funkce je vidět, že v bodě 0 je funkční hodnota nejmenší a f(0) = 1 je absolutním minimem této funkce. Funkční hodnoty v jiných bodech (např. 1; -1) jsou již vždy větší než absolutní minimum funkce. 10. Maximum funkce Největší hodnotou, neboli absolutním maximem, funkce f na množině A se nazývá taková funkční hodnota f(a), pro kterou platí: f(x) f(a). 10
Z velikosti funkčních hodnot a z grafu funkce je vidět, že v bodě 0 je funkční hodnota největší a f(0) = 1 je absolutním maximem této funkce. Funkční hodnoty v jiných bodech (např. 1, -0,5) jsou již vždy menší než absolutní maximum funkce. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Průsečíky s osami u funkcí Průsečíky se souřadnicovými osami určíme tak, že vždy řešíme příslušnou rovnici. Příklad 1: Je dána funkce y = 2x - 3 Určete průsečík X s osou x a průsečík Y s osou y. Řešení: 1. Průsečík s osou x. Jedná se vlastně o bod ležící na ose x, tedy o bod, který má souřadnici y rovnu 0. Proto 2x - 3 = 0 a po vyřešení rovnice dostáváme x = 1,5 Bod X[1,5; 0] 2. Průsečík s osou y. Jedná se vlastně o bod ležící na ose y, tedy o bod, který má souřadnici x rovnu 0. Proto y = 2.0-3 = -3 Bod Y[0; -3] 4. Vlastnosti funkce - procvičovací příklady 11
1. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, určete definiční obor a obor hodnot funkce, načrtněte graf: 1472 Funkce je rostoucí; D(f) = H(f) = R \ {0} 2. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, načrtněte graf: f: y = -x 2 Funkce je rostoucí pro x (- ; 0> a klesající pro x <0; + ) 1475 3. Zjistěte, zda je funkce f: y = x 2 + x sudá nebo lichá. Funkce není ani sudá, ani lichá. 4. Zjistěte, zda je funkce f: y = -4x 2 sudá nebo lichá. Funkce je sudá. 1479 1476 12
5. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, načrtněte graf: y = 2x + 1 Funkce je rostoucí. 1469 6. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, určete definiční obor a obor hodnot funkce, načrtněte graf: 1473 Funkce je rostoucí; D(f) = H(f) = <0; + ) 13
7. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, načrtněte graf: y = 3 Funkce je zároveň nerostoucí i neklesající; je totiž konstantní. 1471 1474 8. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, určete její průsečíky s osami a načrtněte graf: f: y = 4. 10 x Funkce je rostoucí; průsečík s osou y je Y[0; 4], s osou x není žádný. 14
9. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, rozhodněte, zda je sudá nebo lichá, načrtněte graf: y = -2x Funkce je klesající, lichá. 1470 10. Zjistěte, zda je funkce f sudá nebo lichá: 1478 Funkce je lichá. 11. Zjistěte, zda je funkce f: y = 2x - 3 sudá nebo lichá. Funkce není ani lichá, ani sudá. 1477 5. Definiční obor funkce Určování definičního oboru funkce je trochu podobná činnost jako určování podmínek řešitelnosti u lomených výrazů. Musíme tedy vždy určit, pro jaká čísla funkce nenabývá žádné funkční hodnoty - jinými slovy, pro jaké hodnoty nezávisle proměnné neexistuje odpovídající závisle proměnná. Z uvedeného tedy vyplývá, že pokud má být definiční obor funkce jiný než celá množina reálných čísel, je to zpravidla tehdy, pokud se v rovnici, představující zápis funkce, vyskytuje proměnná ve jmenovateli, pod sudou odmocninou, za logaritmem, apod. Definiční obor funkce f zapisujeme: D(f) = R D(f) = (- ; 0> D(f) = {2; 6; 8} D(f) = R \ {0} Při zápisu tedy používáme označení číselných oborů, intervaly, případně množiny. 15
6. Definiční obor funkce - ukázkové příklady 1. Určete definiční obor D(f) funkce f: 1361!!!... V zápisu funkce se vyskytuje sudá odmocnina, proto musíme dohlédnout, aby výraz pod touto odmocninou nikdy nedosáhl záporné hodnoty. Proto musí platit, že 6x - (x 2 + 11) 0 Znamená to tedy, že musíme vyřešit kvadratickou nerovnici. Nejprve si výraz na levé straně rozložíme na součin: 6x - (x 2 + 11) = -x 2 + 6x - 11 = -(x 2-6x + 11) Trojčlen v závorce můžeme rozložit na součin tak, že si vyřešíme pomyslnou kvadratickou rovnici x 2-6x + 11 = 0 přes vzorec a diskriminant. D = b 2-4ac = (-6) 2-4.1.11 = -8 Vzhledem k tomu, že diskriminant vyšel záporný, nemá kvadratická rovnice řešení, proto neexistuje ani rozklad trojčlenu na součin na levé straně nerovnice. Proto mohou nyní nastat dvě možnosti: 1. Buď je zadaná nerovnice splněna pro jakékoliv reálné číslo 2. Nebo není zadaná rovnice splněna pro žádné reálné číslo Která z obou možností nastane, zjistíme snadno tak, že si dosadíme libovolné číslo a posoudíme-je-li v tu chvíli splněna rovnost. Např. pro x = 0 dostaneme -11 0 To ale není splněno nikdy, proto definičním oborem není žádné reálné číslo, tedy definičním oborem je prázdná množina. D(f) = { } 2. Určete definiční obor D(f) funkce f: 1360!!!... V zápisu se sice vyskytuje sudá odmocnina, proto se nabízí uvést jako definiční obor všechna nezáporná čísla. Vzhledem k tomu, že ale pod odmocninou je sudá mocnina, ta vlastně nikdy nedosáhne záporné hodnoty. Proto v tomto případě není omezení žádné a definičním oborem jsou všechna reálná čísla. D(f) = R 3. Určete definiční obor D(f) funkce f: 1362!!!... V zápisu rovnice se vyskytují sudé odmocniny. Musíme tedy dohlédnout, aby výrazy pod nimi byly nezáporné. Řešení tedy bude mít dvě části: 1. Čitatel - proto x 0 2. Jmenovatel - proto 6-5x > 0 (rovnost vypadává, protože ve jmenovateli by jinak vyšla nula), odtud x < 6/5 Z obou závěrů uděláme nyní průnik, protože musí být splněny současně: Závěrem tedy bude uzavřený interval <0; 6/5) D(f) = <0; 6/5) 16
4. Určete definiční obor funkce f: 1363!!!... V zápisu rovnice funkce se vyskytuje sudá odmocnina, proto musíme dohlédnout, aby výraz pod touto odmocninou byl nezáporný. Tedy musí platit: (2x - 1). (x + 3) 0 Aby byl součin nezáporný, musí být buď oba činitelé nezáporní nebo naopak oba činitelé nekladní. Řešíme tedy dvě situace: 1. (2x - 1) 0 (x + 3) 0 2. (2x - 1) 0 (x + 3) 0 x 0,5 x -3 x 0,5 x -3 x <0,5; + ) x (- ; -3> Vzhledem k tomu, že stačí, aby nastala alespoň jedna ze situací, je celkovým řešením sjednocení obou intervalů, tedy x (- ; -3> <0,5; + ) x (- ; -3> <0,5; + ) 7. Definiční obor funkce - procvičovací příklady 1. Určete definiční obor funkce: 1357 D(f) =(- ; 1> <3; + ) 2. Určete definiční obor funkce: 1358 D(f) = R 3. Určete definiční obor D(f) funkce f: 1351 x { 3} 4. Určete definiční obor D(f) funkce f: 1353 x (- ; -3> <2; 5) (5; + ) 5. Určete definiční obor funkce: 1359 D(f) = R 6. Určete definiční obor D(f) funkce f: 1350 x (- ; -3) (0,5; + ) 7. Určete definiční obor funkce: 1354 D(f) = (- ; 2,5> 17
8. Určete definiční obor D(f) funkce f: 1352 x ( -2; 0) (0; 1) 9. Určete definiční obor funkce: 1355 10. Určete definiční obor funkce: 1356 D(f) = (- ; 1) (1; 2) (2; + ) 8. Lineární funkce Lineární funkce je funkce, která je dána rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Grafem lineární funkce je přímka (nebo její část). Definičním oborem každé lineární funkce (pokud není omezen intervalem) jsou všechna reálná čísla. Oborem hodnot každé lineární funkce jsou všechna reálná čísla (pokud se nejedná o funkci konstantní nebo o funkci, jejíž definiční obor je omezený intervalem). Průsečíky grafu lineární funkce s osami: 1. s osou x: - v tomto případě je druhá souřadnice bodů rovna nule, proto do rovnice funkce dosadíme za y = 0 a vypočteme první souřadnici průsečíku s osou x. Příklad 1: Určete průsečík funkce y = 2x - 1 s osou x. Řešení: Hledaný bod X[x; y] 18
Dosadíme za y = 0, proto 0 = 2x - 1 Vyřešíme vzniklou rovnici a dostáváme x = 0,5 Závěr: Hledaný průsečík je X[0.5; 0]. 2. s osou y: - v tomto případě je první souřadnice bodů rovna nule, proto do rovnice funkce dosadíme za x = 0 a vypočteme druhou souřadnici průsečíků s osou y. Příklad 2: Určete průsečík funkce y = 2x - 1 s osou y. Řešení: Hledaný bod Y[x; y] Dosadíme za x = 0, proto y = 2.0-1 Vyřešíme vzniklou rovnici a dostáváme y = -1 Závěr: Hledaný průsečík je Y[0; -1]. Zvláštní případy lineární funkce: 1. Je-li v rovnici lineární funkce číslo a = 0, pak y = 0. x + b, neboli y = b - jedná se o tzv. konstantní funkci - grafem je přímka, která je rovnoběžná s osou x 2. Je-li v rovnici lineární funkce číslo b = 0, pak y = ax + 0, neboli y = ax - jedná se o přímou úměrnost - grafem je přímka (nebo její část), která vždy prochází počátkem souřadného systému 19
Vlastnosti lineární funkce: 1. Lineární funkce je rostoucí, je-li a > 0. 2. Lineární funkce je klesající, je-li a < 0. Číslo a se také někdy nazývá směrnice přímky. Pozn.: Je-li a = 0, je funkce konstantní, tedy nerostoucí i neklesající. Určení rovnice lineární funkce ze zadaných bodů Vzhledem k tomu, že víme, že grafem lineární funkce je přímka, a přímka je vždy jednoznačně určena dvěma body, stačí nám pro zadání lineární funkce její dva body. Jedním z těchto bodů, případně i oběma body, může být klidně některý z průsečíků s osami, případně i počátek souřadného systému. Příklad 3: Určete rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body A[2; 3], B[-1; 2] Řešení: Obecná rovnice je y = ax + b. Dosadíme do ní postupně souřadnice obou bodů: 3 = 2a + b 2 = -a + b ------------------ Dostali jsme soustavu rovnic, kterou vyřešíme sčítací nebo dosazovací metodou. Já použiji např. sčítací: První rovnici opíšu, druhou vynásobím dvěma: 3 = 2a + b 4 = -2a + 2b ------------------ Obě rovnice sečtu: 7 = 3b b = 7/3 Vrátím se k původním rovnicím a tentokráte opět první rovnici opíšu a druhou vynásobím (-1): 3 = 2a + b -2 = a - b 20
------------------ Opět obě rovnice sečtu: 1 = 3a a = 1/3 Dosadíme zpět do původní obecné rovnice lineární funkce a dostaneme: Tím jsme stanovili rovnici lineární funkce, která oběma body prochází. Grafické řešení soustavy lineárních rovnic Obě rovnice převedeme do tvaru y = ax + b a sestrojíme grafy obou nově vzniklých funkcí. Souřadnice průsečíku těchto funkcí představují řešení původní soustavy lineárních rovnic. 9. Lineární funkce - procvičovací příklady 1. Na obrázku je narýsován graf funkce. Určete souřadnice bodů K, L. 1403 K[2; 5], L[-3; -7.5] 2. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, načrtněte graf. y = 3 Funkce je zároveň nerostoucí i neklesající, D(f) = R, H(f) = {3} 1408 3. Určete všechny lineární funkce, do nichž patří tyto uspořádané dvojice: [0; -2], [3; 5] f: y = 7x/3-2; D(f) = H(f) = R 1414 21
4. Načrtněte graf funkce f: 1412 5. Načrtněte graf funkce g: y = 0,2x + 3; x < -5; 3) 1413 6. Řešte graficky soustavu rovnic: x + y = 1 15 + 3y = -3x Přímky jsou rovnoběžné různé, proto soustava rovnic nemá řešení 7. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, načrtněte graf. y = -2x Funkce je klesající, lichá, D(f) = H(f) = R 1417 1407 8. Načrtněte graf funkce g 1 : y = 3 1409 22
9. Načrtněte graf funkce g 3 : y = 2x - 1,5 1411 10. Na obrázku je narýsován graf funkce. Napište rovnici funkce. 3023 11. Řešte graficky soustavu rovnic: 3x + y = 9 6x + 2y = 18 Přímky jsou rovnoběžné splývající, proto soustava má nekonečně mnoho řešení typu [k; -3k + 9], k R libovolné 12. Načrtněte graf funkce g 2 : y = -2 1418 1410 13. Řešte graficky soustavu rovnic: 3x - 2y = 4 x + 3y = 5 x = 2 y = 1 1416 23
14. Určete všechny lineární funkce, do nichž patří tyto uspořádané dvojice: [1; 1], [3,5; -7] f: y = -16x/5 + 21/5; D(f) = H(f) = R 15. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, načrtněte graf. y = 2x + 1 Funkce je rostoucí, neboť směrnice je kladná. 1415 1406 16. Na obrázku je narýsován graf funkce. Napište název funkce. 3022 Jedná se o lineární funkci. 24
Obsah 1. Funkce 2. Funkce - procvičovací příklady 3. Vlastnosti funkce 4. Vlastnosti funkce - procvičovací příklady 5. Definiční obor funkce 6. Definiční obor funkce - ukázkové příklady 7. Definiční obor funkce - procvičovací příklady 8. Lineární funkce 9. Lineární funkce - procvičovací příklady 2 2 5 11 15 16 17 18 21 25