Matematika 3. m působíme silou F, uvedeme ho do pohybu a udělíme mu zrychlení a. Úkolem

Matematika 3. Ing. Marek Nikodým, Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice jsou velmi důležité a mají obrovské využití hlavně ve fyzice. Je to proto, že většina fyzikálních zákonů je popsána právě diferenciálními rovnicemi. Např. Newtonův pohybový zákon F=ma je vlastně diferenciální rovnicí. Pokud na těleso o hmotnosti m působíme silou F, uvedeme ho do pohybu a udělíme mu zrychlení a. Úkolem je zjistit dráhu y, popřípadě rychlost v tohoto tělesa a to znamená matematicky řešit příslušnou diferenciální rovnici. Hledáme tedy funkci y(t), kde t je čas, popřípadě v(t).. VOLNÝ PÁD TĚLESA.. Bez odporu prostředí Uvažujme těleso, které padá k zemi, pak na něho působí tíhová síla F G = mg, kde g je tíhové zrychlení přibližně rovno. Pokud zanedbáme odpor prostředí, dosadíme do Newtonova zákona a upravíme. Víme z matematiky, že rychlost je derivací dráhy v(t) = s (t) a zrychlení je derivací rychlosti nebo druhou derivací dráhy a(t) = v (t) = s (t). F = m a F G = m a(t) m g = m y (t) y (t) = y (t) = dt y (t) = t + C y(t) = t + C dt y(t) = 5t + C t + C Je vidět, že pokud zanedbáme odpor prostředí, pak pohyb tělesa nezávisí na jeho hmotnosti a výslednou funkci pro dráhu dosteneme jednoduše dvojnásobnou integrací. neznáme konstatnty C a C určíme z počátečních podmínek. Jestliže počátek souřadného systému dáme do počáteční polohy tělesa, pak y()=, kladný směr osy y dáme dolů ve směru pohybu tělesa. Jestliže těleso padá z klidu, pak v() = y () =. y() = : 5 + C + C = C = y () = : + C = C =

Tedy dráha tělesa je y(t) = 5t, rychlost v(t) = y (t) = t a zrychleni a(t) = v (t) = y (t) =. Grafy POKUD NEBUDE UVEDENO JINAK, PAK DRÁHA JE ZAKRESLENA VŽDY ČERNĚ, RYCHLOST MODŘE A ZRYCHLENÍ ČERVENĚ. 8 6 4 3 4 5 t.. S odporem prostředí Uvažujme nyní i odpor prostředí. Z fyziky je známo, že odporová síla F o je přímo úměrná rychlosti, to znamená, že čím je těleso rychlejší, tím je odporová síla vyšší. Tedy F o (t) = k o v(t) = k o y (t), mínus je tam proto, protože síla působí proti směru pohybu. Odvod me nyní tvar diferenciální rovnice pro tento pohyb. Zvolme pak k o =. Počáteční podmínky zůstavají stejné. F = m a

F G + F o = m a(t) m g k o y (t) = m y (t) y (t) + k o m y (t) = g y (t) + y (t) = Tady už tuto diferenciální rovnici takto lehce nevyřešíme jako minule, zavazí nám tam totiž ta první derivace. Tato diferenciální rovnice je speciálním případem obecné lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty...3 Obecné řešení lineární diferenciální rovnice. řádu s konstantními koeficienty Uvažujme tedy následující rovnici: a y (x) + b y (x) + c y(x) = f(x), a,b,c R Nejdříve si ukážeme jak vyřešit tuto rovnici obecně a pak se vrátíme a už jednoduše vyřešíme náš příklad. Postupujme ve dvou krocích. Nejdříve budeme hledat řešení naší diferenciální rovnice s nulovou pravou stranou, taková diferenciální rovnice se nazývá homogenní. Až to budeme mít, ukážeme si potom, jak řešit naši diferenciální rovnici obecně s nenulovou pravou stranou, taková diferenciální rovnice se nazývá nehomogenní. Mějme tedy homogenní diferenciální rovnici. Řešme tedy nejdříve homogenní rovnici, její řešení označme y (x). a y (x) + b y (x) + c y (x) = Předpokládejme, že řešení je ve tvaru y (x) = e rx, kde r je nějaká neznámá konstatnta. Spočítejme první a druhou derivaci a dosad me do naší diferenciální rovnice. y (x) = r e rx, y (x) = r e rx. a r e rx + b r e rx + c e rx = e rx (a r + b r + c) = a r + b r + c = Toto je kvadratická rovnice, kterou vyřešíme. Tato rovnice se nazývá charakteristická rovnice. Jak známo, můžou nastat tři případy: ) existují dva různé reálné kořeny, označmš je r, r. Pak máme dvě různá řešení naší diferenciální rovnice y = e r x, y = e r x ) existuje jeden dvojnásobný reálný kořen, označme ho r, pak se dá odvodit, že dvě různá řešení vypadají takto y = e rx, y = x e rx 3) existují dva komplexně sdružené kořeny, označme je r = m + ni, r = m ni, pak se dá odvodit, že dvě různá řešení vypadají takto y = e mx sin(nx), y = e mx cos(nx). Celkové obecné řešení homogenní diferenciální rovnice je y (x) = C y (x) + C y (x), C,C R 3

Nyní si ukážeme, jak vyřešit obecnou rovnici s nenulovou pravou stranou. Potřebuje získat jedno konkrétní řešení této rovnice, takové konkrétní řešení se nazývá partikulární řešení, označme ho y p (x). Není to tedy obecné řešení, nevyskytují se tam žádné obecné konstaty C,C apod. Důležité je, že obecné řešení nehomogenní diferenciální rovnice se dá zapsat jako součet nějakého partikulárního řešení y p (x) a obecného řešení homogenní diferenciální rovnice y (x). y(x) = y p (x) + y (x) Partikulární řešení budeme hledat v tzv. neurčitém tvaru podle pravé strany f(x). Ukážeme si pouze dvě nedůležitější varianty a to když je f(x) polynom nebo kombinace sinu a kosinu. ) Jestliže např. f(x) = x 3 x+5, pak y p hledáme ve tvaru y p = Ax 3 +Bx +Cx+D, pokud ale není kořenem charakteristické rovnice. Pokud je kořenem charakteristické rovnice, pak y p hledáme ve tvaru y p = x(ax 3 +Bx +Cx+D), pokud je dvojnásobným kořenem, pak je y p = x (Ax 3 +Bx +Cx+D) a metodou neurčitých koeficientů najdeme neznámé konstatny. ) Jestliže f(x) = sin(3x), pak y p hledáme ve tvaru y p = A sin(3x) + B cos(3x), pokud ale 3i není kořenem charakteristické rovnice. Pokud je 3i kořenem charakteristické rovnice, pak yp hledáme ve tvaru y p = x(a sin(3x) + B cos(3x)), a metodou neurčitých koeficientů najdeme neznámé konstatny...4 S odporem prostředí - pokračování Nyní se můžeme vrátit k naší diferenciální rovnici, kterou jsme dostali při řešení volného pádu s odporem prostředí a vyřešit ji. Rovnice vypadala takto: y (t) +.5y (t) = Tedy jedná se o lineární diferenciální rovnici. řádu, kde a=, b=.5, c=, f(x)=. Řešme nejdříve homogenní rovnici y (t) +.5y (t) = Charakteristická rovnice má tvar r +.5r = a má dva reálné kořeny r =, r =.5. Řešení homogenní rovnice má tedy tvar y (t) = C e t + C e.5t = C + C e.5t Najdeme nyní partikulární řešení y p. Pravá strana f(x) je v našem případě polynom nultého stupně, ale je kořen charakteristické rovnice, y p hledáme tedy ve tvaru y p = t A. Dosadíme toto řešení do naší diferenciální rovnice, k tomu si ještě vypočteme y p = A a y p =. y p(t) +.5y p(t) = +.5A = A = Partikulární řešení je ve tvaru y p (t) = t 4

Obecné řešení naší diferenciální rovnice y je součtem řešení y a y p. y(t) = y p (t) + y (t) y(t) = t + C + C e.5t Nyní zbývá určit neznámé konstanty C, C z počátečních podmínek y() = : + C + C e.5 = y () = : y (t) =.5C e.5t.5c e.5 = C + C = C = 4.5C = C = 4 Celkové řešení naší diferenciální rovnice, tj. dráha tělesa vypadá takto: y(t) = t 4 + 4e.5t derivací dráhy dostaneme rychlost tělesa v(t) = y (t) = e.5t a derivací rychlosti dostaneme zrychlení tělesa a(t) = v (t) = y (t) = e.5t Grafy 5

8 6 4 4 6 8 t..5 S odporem prostředí - jiné počáteční podmínky Řešme nyní stejný příklad volného pádu tělesa o hmotnosti m= kg v prostředí s koeficientem odporu ko=, ale nyní uvažujme situaci, že těleso se nachází metrů nad zemí a padá. Časovou osu umístěme do úrovně země a kladný směr osy y nahoru k tělesu. jak bude nyní vypadat pohybová diferenciální rovnice, počáteční podmínky a její řešení? Odporová síla F o nyní působí v kladném směru osy y, tedy bude s kladným znaménkem F o (t) = k o v(t) = k o y (t), naopak tíhova síla F G působí v záporném směru osy y a bude se znaménkem mínus F G = mg. F = m a F G + F o = m a(t) m g + k o y (t) = m y (t) y (t) k o m y (t) = g y (t).5y (t) = Počáteční podmínky se ale změní y() =, y =. Jedná se o lineární diferenciální 6

rovnici. řádu, kde a=, b=-.5, c=, f(x)=-. Řešme nejdříve homogenní rovnici y (t).5y (t) = Charakteristická rovnice má tvar r.5r = a má dva reálné kořeny r =, r =.5. Řešení homogenní rovnice má tedy tvar y (t) = C e t + C e.5t = C + C e.5t Najdeme nyní partikulární řešení y p. Pravá strana f(x) je v našem případě polynom nultého stupně, ale je kořen charakteristické rovnice, y p hledáme tedy ve tvaru y p = t A. Dosadíme toto řešení do naší diferenciální rovnice, k tomu si ještě vypočteme y p = A a y p =. y p(t) +.5y p(t) = +.5A = A = Partikulární řešení je ve tvaru y p (t) = t Obecné řešení naší diferenciální rovnice y je součtem řešení y a y p. y(t) = y p (t) + y (t) y(t) = t + C + C e.5t Nyní zbývá určit neznámé konstanty C, C z počátečních podmínek y() = : + C + C e.5 = y () = : y (t) = +.5C e.5t +.5C e.5 = C + C = C = 4 +.5C = C = 4 Celkové řešení naší diferenciální rovnice, tj. dráha tělesa vypadá takto: y(t) = t + 4 4e.5t derivací dráhy dostaneme rychlost tělesa v(t) = y (t) = e.5t a derivací rychlosti dostaneme zrychlení tělesa a(t) = v (t) = y (t) = e.5t Grafy 7

5 5-5 4 t 6 8 - -5 Zajímavé by bylo zjistit, kdy těleso dopadne na zem a s jakou rychlostí a zrychlením. To znamená najít t, pro které je y(t)=, to znamená řešit rovnici: t + 4 4e.5t = Toto je ale nelineární rovnice, která se nedá řešit nějakým vzorcem nebo logaritmováním, ale pouze přibližně numericky. Udělejme tabulku hodnot dráhy y(t), kde hodnoty přecházejí z + do - a pak to upřesníme. t 5 8 9 8.5 8.5 8. 8.5 8. 8. y(t) 994. 97.3 65.7 6. -38.7-594. -69.7-93.9-38. 5.3-5.5 Je vidět z tabulky, že v čase t=8. bylo těleso 5.3 metru nad zemí a v čase t=8. bylo těleso teoreticky 5.5 metrů pod zemí. Takže řešení naší rovnice je určitš z intervalu 8.,8.. Jako aproximaci vezmeme t=8.5. Takže zhruba za 8 sekund těleso dopadne na zem a dopadne s rychlostí v(8.5) = e.5 8.5 = 8.m s a se zrychlením a(8.5) = e.5 8.5 = 55.m s. Znamánka - tam jsou proto, protože jak rychlost, tak zrychlení směřují ve směru záporné osy y. 8

. HARMONICKÉ KMITÁNÍ-KMITÁNÍ TĚLESA NA PRUŽINĚ.. Kmitání bez odporu prostředí - nulová počáteční rychlost Budeme nyní uvažovat jiný fyzikální případ, který taky vede na lineární diferenciální rovnici druhého řádu. Máme těleso o hmotnosti m zavěšené na pružině o tuhosti k p, necháme těleso ustálit do rovnovážné polohy a pak ho vychýlíme z této rovnovážné polohy o hodnotu y a pustíme, aniž bychom udělili tomuto tělesu nějakou počáteční rychlost, to znamená, že do něho nedrcneme, ale pouze pustíme. Jak známo, těleso začne kmitat kolem rovnovážné polohy. My budeme chtít zjistit dráhu tohoto tělesa v čase t tj. funkci y(t), pomocí derivace už z této funkce odvodíme rychlost tělesa v(t) a zrychlení tělesa a(t). Na těleso působí pružina silou F p = kp y. Pokud zanedbáme sílu odporu prostředí je F p jedinou silou, která na těleso působí. Dosadíme do Newtonova zákonu a upravíme. F = m a F p (t) = m a(t) k p y(t) = m y (t) y (t) + k p m y(t) = Uvažujme konkrétní příklad: těleso o hmotnosti kg a tuhost pružiny k p =, těleso z rovnovážné polohy vychýlíme o 3 m dolů. Pokud zvolíme kladný směr osy y nahoru, jak je běžné, pak y = 3, těleso pustíme z klidu, pak počáteční rychlost je nulová, tj. v = y () =. Naše úloha tedy vypadá takto: y (t) +.5y(t) = y() = 3, y () = Je to naše diferenciální rovnice, kde a=, b=, c=.5, f(x)=. tedy je to přímo homogenní rovnice. Charakteristická rovnice vypadá takto: r +.5 = Řešením jsou dvě komplexně sdružená čísla r =.5. =.7i, r. =.7i tedy m=, n=.7. a obecné řešení diferenciální rovnice je y(t) = C sin(.7t) + C cos(.7t) Nyní zbývá určit neznámé konstanty C, C z počátečních podmínek y = 3, y () =. y() = 3 : C sin(.7 ) + C cos(.7 ) = 3 y () = : y (t) =.7C cos(.7t).7c sin(.7t) =.7C cos(.7 ).7C sin(.7 ) = C + C = 3 C = 3.7C.7C = C = 9

Dráha tělesa je dána takto y(t) = 3 cos(.7t) Graf 3 t 5 5 5 - - -3 Rychlost a zrychlení v(t) = y (t) =.3 sin(.7t) a(t) = v (t) = y (t) =.5 cos(.7t) Grafy

3 t 5 5 5 - - -3 Ve fyzice se často používá jiný zápis dráhy-výchylky, který je přehlednější a to ve tvaru y(t) = A sin(ω t + ϕ) C = A cos(ϕ), C = A sin(ϕ) kde A je amplituda výchylky, ω je úhlová frakvence ϕ < π,π > je počáteční fáze. V našem případě platí C = A cos(ϕ), C = A sin(ϕ) = A cos(ϕ), 3 = A sin(ϕ) A = 3 sin(ϕ) = 3 sin(ϕ) cos(ϕ) = 3 cot(ϕ) ϕ = π A = 3 sin( π) = 3 = 3 Tedy řešení se dá zapsat ekvivalentně ve tvaru y(t) = 3 sin(.7t.57)

v(t) = y (t) =.3 cos(.7t.57) a(t) = y (t) =.5 sin(.7t.57) Otázky: ) Kdy prochází těleso rovnovážnou polohou? ) Kdy má těleso největší výchylky? 3) Kdy má těleso největší rychlost a kdy je rychlost nulová? 4) Kdy má těleso největší tyrychlení a kdy je zrychlení nulové?.. Kmitání bez odporu prostředí - nenulová počáteční rychlost Uvažujme stejný příklad, ale nyní předpokládejme, že jsme do tělesa drncli a udělili mu počáteční rychlost v = y () = ms Naše úloha tedy vypadá takto: y (t) +.5y(t) = y() = 3, y () = Obecné řešní je stejné jako minule, ale konstanty C, C budou jiné. Ty určíme z počátečních podmínek y = 3, y () = y(t) = C sin(.7t) + C cos(.7t) y() = 3 : C sin(.7 ) + C cos(.7 ) = 3 y () = : y (t) =.7C cos(.7t).7c sin(.7t) =.7C cos(.7 ).7C sin(.7 ) = C + C = 3 C = 3.7C.7C = C =.5 =.83 Dráha tělesa je dána takto Graf y(t) =.83 sin(.7t) 3 cos(.7t)

4 t 5 5 5 - -4 Rychlost a zrychlení v(t) = y (t) =. cos(.7t) +.3 sin(.7t) a(t) = v (t) = y (t) =.43 sin(.7t) +.5 cos(.7t) Grafy 3

4 t 5 5 5 - -4 Ekvivalentní zápis vypadá takto: y(t) = A sin(ω t + ϕ) C = A cos(ϕ), C = A sin(ϕ) V našem případě platí C = A cos(ϕ), C = A sin(ϕ).83 = A cos(ϕ), 3 = A sin(ϕ) A = 3 sin(ϕ).83 = 3 sin(ϕ) cos(ϕ).94 = cot(ϕ) ϕ = (.94) = arctan(.94 ).8 3 A = sin(.8) = 4. y(t) = 4. sin(.7t.8) 4

v(t) = y (t) =.9 cos(.7t.57) a(t) = y (t) =.6 sin(.7t.57)..3 Kmitání s odporem prostředí - nulová počáteční rychlost Nyní tedy přibude k síle F p (t) = k p y(t) ještě síla odporu prostředí F o, která je přímo úměrná rychlosti tělesa F o (t) = k o y (t). F = m a F p (t) + F o (t) = m a(t) k p y(t) k o y (t) = m y (t) y (t) + k o m y (t) + k p m y(t) = Uvažujme stejný příklad, tedy těleso o hmotnosti m= kg na pružině s tuhostí k p =, nyní navíc s odporem prostředí k o =.4 s počátečními podmínkami y() = 3, y () =. Naše úloha tedy vypadá takto: y (t) +.y +.5y(t) = y() = 3, y () = Je to diferenciální rovnice, kde a=, b=., c=.5, f(x)=. Charakteristická rovnice vypadá takto: r +.r +.5 = r, =. +. 4.5 =. +.96 =. +.4i Řešením jsou dvě komplexně sdružená čísla r =. +.7i, r =..7i tedy m=-., n=.7. a obecné řešení diferenciální rovnice je y(t) = e.t (C sin(.7t) + C cos(.7t)) Nyní zbývá určit neznámé konstanty C, C z počátečních podmínek y = 3, y () =. y() = 3 : e. (C sin(.7 ) + C cos(.7 )) = 3 y () = : y (t) =.e.t (C sin(.7t) + C cos(.7t)) + e.t (.7C cos(.7t).7c sin(.7t)).e. (C sin(.7 ) + C cos(.7 )) + e. (.7C cos(.7 ).7C sin(.7 )) = (C + C ) = 3 C = 3.(C + C ) + (.7C ) =.C +.7C = C = 3..7 =.43 Výchylka tělesa je dána takto y(t) = e.t (.43 sin(.7t) 3 cos(.7t)) Graf 5

t 5 5 5 - - -3 Převedeme zase tu goniometrickou část na ekvivalentní tvar, který je výhodnější k výpočtu rychlosti a zrychlení a je vůbec přehlednější y(t) = A sin(ω t + ϕ) C = A cos(ϕ), C = A sin(ϕ) V našem případě platí C = A cos(ϕ), C = A sin(ϕ).43 = A cos(ϕ), 3 = A sin(ϕ) A =.43 cos(ϕ) A =.43 cos(.43) 3 =.43 cos(ϕ) sin(ϕ) A = 3.6 3 =.43 tan(ϕ) ϕ = arctan( 3.43 ) ϕ =.43 Tedy výchylka má tento ekvivalentní tvar y(t) = 3.6e.t sin(.7t +.43) 6

Z tohoto tvaru je důležitá exponenciála + 3.6e.t, která charakterizuje útlum kmitů, jak je vidět z obrázku: 3 5 5 5 - t - -3 Výchylka, rychlost a zrychlení y(t) = e.t (.43 sin(.7t) 3 cos(.7t)) v(t) = y (t) = (.)e.t (.43 sin(.7t) 3 cos(.7t)) + e.t (.3 cos(.7t) +. sin(.7t)) = e.t (.4 sin(.7t) + cos(.7t)) =.4e.t sin(.7t) a(t) = v (t) = y (t) =.e.t sin(.7t) +.5e.t cos(.7t) = e.t (. sin(.7t) +.5 cos(.7t) =.49e.t sin(.7t.43) Poslední úprava u a(t) je třeba vypočítat konstanty A a ϕ. C = A cos(ϕ), C = A sin(ϕ). = A cos(ϕ),.5 = A sin(ϕ) A =..,.5 = cos(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) 7

A =. cos(.43) A =.49,.5 =. tan(ϕ) ϕ = arctan(.5. ) ϕ =.43 Grafy t 5 5 5 - - -3..4 Kmitání s odporem prostředí - nenulová počáteční rychlost Diferenciální rovnice zůstane stejná jako minule, ale změní se pouze druhá počáteční podmínka. Předpokládejme tedy, že jsme udělili tělesu počáteční rychlost ms-. y (t) +.y +.5y(t) = y() = 3, y () = Řešešní zůstane stejné jako minule, jenom se změní konstatnty C a C, ty vypočteme jako obvykle z počátečních podmínek y = 3, y () =. y(t) = e.t (C sin(.7t) + C cos(.7t)) 8

y() = 3 : e. (C sin(.7 ) + C cos(.7 )) = 3 y () = : y (t) =.e.t (C sin(.7t) + C cos(.7t)) + e.t (.7C cos(.7t).7c sin(.7t)).e. (C sin(.7 ) + C cos(.7 )) + e. (.7C cos(.7 ).7C sin(.7 )) = (C + C ) = 3 C = 3.(C + C ) + (.7C ) =.C +.7C = C = +.( 3).7 =.43 Výchylka tělesa je dána takto y(t) = e.t (.43 sin(.7t) 3 cos(.7t)) ekvivalentní tvar y(t) = 3.86e.t sin(.7t.89) C = A cos(ϕ), C = A sin(ϕ).43 = A cos(ϕ), 3 = A sin(ϕ) A = ϕ =.89, A = 3.86 Nejlépe porovnáme kmitání bez počáteční rychlosti - černě a s počáteční rychlostí - zeleně 9

t 5 5 5 - - -3..5 Silně tlumené kmitání - nulová počáteční rychlost Uvažujme pořád stejný případ, ale změńmě jednu věc a to koeficient odporu. Zvyšme koeficient odporu prostředí ko z.4 na 4 tedy desetkrát, ko=. Co se stane? odpor prostředí bude tak velký, že těleso nebude kmitat, pouze se doplazí limitně do rovnovážné polohy. Matematicky tomu bude odpovídat situace, kdy charakteristická rovnice bude mít reálné kořeny, takže se v řešení neobjeví ani funkce sinus ani kosinus. Uvažujme nejdříve nulovou počáteční rychlost. Diferenciální rovnice bude vypadat takto: y (t) + k o m y (t) + k p m y(t) = y (t) + 4 y (t) + y(t) = y (t) + y (t) +.5y(t) = Je to diferenciální rovnice, kde a=, b=, c=.5, f(x)=. Charakteristická rovnice vypadá takto: r + r +.5 =

r, = + 4.5 = + Řešením jsou dvě reálná čísla r =.9, r =.7 a obecné řešení diferenciální rovnice je y(t) = C e.9t + C e.7t Nyní zbývá určit neznámé konstanty C, C z počátečních podmínek y = 3, y () =. y() = 3 : C e.9 + C e.7 = 3 C + C = 3 y () = : y (t) =.9C e.9t.7c e.7t =.9C.7C = C = 3.6, C =.6 Výchylka tělesa je dána takto y(t) = 3.6e.9t +.6e.7t Graf t 5 5 5 -,5 - -,5 - -,5-3

Tedy je vidět, že těleso nekmitá, ale blíží se limitně rovnovážné poloze. Výchylka, rychlost a zrychlení Grafy y(t) = 3.6e.9t +.6e.7t v(t) = = y (t) =.4e.9t.4e.7t a(t) = = y (t) =.3e.9t +.78e.7t t 4 6 8 4 - - -3..6 Silně tlumené kmitání - nenulová počáteční rychlost Uvažujme stejný příklad, ale nyní předpokládejme, že jsme do tělesa drncli a udělili mu velkou počáteční rychlost v = y () = ms, aby se těleso přehouplo přes rovnovážnou polohu. Řešení je tedy stejné, jenom budou jiné konstanty C a C, které vypočteme z počátečních podmínek y = 3, y () =. y() = 3 : C e.9 + C e.7 = 3 C + C = 3 y () = : y (t) =.9C e.9t.7c e.7t =.9C.7C =

C = 3.43, C = 6.43 Výchylka tělesa je dána takto Graf y(t) = 3.43e.9t 6.43e.7t t 5 5 5 - - -3 Tady je vidět, že těleso se přehoupne přes rovnovážnou polohu, ale dále už nepmitá a blíží se limitně rovnovážné poloze. Výchylka, rychlost a zrychlení y(t) = 3.43e.9t 6.43e.7t v(t) = = y (t) =.99e.9t + e.7t a(t) = = y (t) =.9e.9t 8.8e.7t Grafy 3

t 4 6 8 4 - - -3..7 Kriticky tlumený pohyb - hraniční případ Víme z předchozích příkladů, že těleso bud kmitá a to tehdy pokud má charakteristická rovnice komplexní kořeny nebo nekmitá, pokud má charakteristická rovnice reálné kořeny. Nás bude ted zajímat ten přechod mezi těmito dvěma stavy. necháme hmotnost stejnou m=, tuhost pružiny taky stejnou k p = a měnit budeme odpor prostředí k o. Víme, že když je k o malý těleso kmitá, když je velký, pak nekmitá. Ale kde je ten přechod? Ten přechod neboli kritická hodnota k o bude tehdy, když diskriminant v charakteristické rovnici bude nulový, pak bude mít charakteristická rovnice dvojnásobný nulový kořen. Diferenciální rovnice bude vypadat takto: Charakteristická rovnice vypadá takto: Diskriminant y (t) +.5k o y (t) +.5y(t) = r +.5k o r +.5 = D = (.5k ) 4.5 = 4

.5k o = Hraniční diferenciální rovnice vypadá takto: k = 8 =.83 y (t) + y (t) +.5y(t) = Řešením charakteristické rovnice je dvojnásobný reálný kořen r = =.7 a obecné řešení diferenciální rovnice je y(t) = C e.7t + C te.7t Nyní zbývá určit neznámé konstanty C, C z počátečních podmínek y = 3, y () =. y() = 3 : C e.7 + C e.7 = 3 C + = 3 y () = : y (t) =.7C e.7t + C e.7t.7c te.7t =.7C + C = C = 3, C =.3 Výchylka tělesa je dána takto y(t) = 3e.7t.3te.7t Graf t 4 6 8 4 -,5 - -,5 - -,5-3 5

Tedy je vidět, že těleso nekmitá, ale blíží se limitně rovnovážné poloze. Výchylka, rychlost a zrychlení y(t) = 3e.7t.3te.7t v(t) = = y (t) =.3e.7t.3e.7t +.5te.7t =.5te.7t a(t) = = y (t) =.5e.7t.7te.7t Grafy t 4 6 8 - - -3..8 Vynucené kmitání Předpokládejme nyní, že navíc kmitá celá soustava díky vnejší budící síle F B = A B sin(ωt), pak výsledná diferenciální rovnice bude takováto: F = m a F p (t) + F o (t) + F B (t) = m a(t) k p y(t) k o y (t) + A B sin(ωt) = m y (t) 6

y (t) + k o m y (t) + k p m y(t) = A B m sin(ωt) Uvažujme náš klasický příklad, tedy těleso o hmotnosti m= kg na pružině s tuhostí k p =, s odporem prostředí k o =.4 s počátečními podmínkami y() = 3, y () =, nyní navíc celá soustava kmitá díky vnější budící síle s amplitudou A B = 4 a frekvencí Ω = 3. Naše úloha tedy vypadá takto: y (t) +.y +.5y(t) = sin(3t) y() = 3, y () = Je to diferenciální rovnice, kde a =, b =., c =.5, f(t) = sin(3t). Nyní musíme postupovat ve dvou krocích. Nejdříve vyřešíme homogenní rovnici s f(t)= a najdeme řešení y (t) a potom najdeme partikulární řešení y p (t) podle pravé strany f(t). ) Řešíme rovnici y (t) +.y +.5y (t) = Toto už máme vyřešené z minula y (t) = e.t (C sin(.7t) + C cos(.7t)) ) Protože 3i není kořenem charakteristické rovnice, budeme partikulární řešení hledat ve tvaru y p (t) = A sin(3t) + B cos(3t) a neznámé konstanty A a B nalezneme metodou neurčitých koeficientů. Nejdříve si spočítáme první a druhou derivaci y p (t) = A sin(3t) + B cos(3t) y p(t) = 3A cos(3t) 3B sin(3t) y p(t) = 9A sin(3t) 9B cos(3t) a dosadíme do diferenciální rovnice. y p(t) +.y p(t) +.5y p (t) = sin(3t) ( 9A sin(3t) 9B cos(3t)) +.(3A cos(3t) 3B sin(3t))+ +.5(A sin(3t) + B cos(3t)) = sin(3t) ( 9A.6B +.5A) sin(3t) + ( 9B +.6A +.5B) cos(3t) = sin(3t) ( 8.5A.6B) sin(3t) + ( 8.5B +.6A) cos(3t) = sin(3t) + cos(3t) 8.5A.6B =, 8.5B +.6A = A =.34, B =.7 Partikulární řešení tedy vypadá takto: y p (t) =.34 sin(3t).7 cos(3t) Celkové řešení je součtem partikulárního řešení a řešení homogenní rovnice: y(t) = y p (t) + y (t) y(t) =.34 sin(3t).7 cos(3t) + e.t (C sin(.7t) + C cos(.7t)) 7

. Nyní zbývá určit neznámé konstanty C, C z počátečních podmínek y = 3, y () = y() = 3 :.34 sin(3 ).7 cos(3 ) + e. (C sin(.7 ) + C cos(.7 )) = 3 y () = : y (t) = 7. cos(3t) +.5 sin(3t).e.t (C sin(.7t) + C cos(.7t)) + e.t (.7C (C + C ).7 = 3.( + C ) + (.7C ) 7. + = C = 9.6, C =.83 Výchylka tělesa je dána takto y(t) =.34 sin(3t).7 cos(3t) + e.t (9.6 sin(.7t).83 cos(.7t)) Zase se dá převést na ekvivalentní tvar.34 sin(3t).7 cos(3t).35 sin(3t +.7) 9.6 sin(.7t).83 cos(.7t).4 sin(.7t.9) Graf y(t) =.35 sin(3t +.7) +.4e.t sin(.7t.9) 8

8 4 5 5 5 t -4 Pro čas jdoucí k nekonečnu druhý člen půjde k nule a převládne první člen, jak je vidět u obrázku, takže už od zhruba 5 sekundy celá soustava kmitá pravidelně podle budící vnější síly. 9

8 4 4 6 t 8-4..9 Rezonance Pokud frekvence vnější budící síly Ω bude mít určitou hodnotu, pak se celá soustava rozkmitá v obrovských výchylkách. Tato hodnota frekvence se nazývá rezonanční frekvence Ω R a v našem případě je Ω R = k p m ( ) ko =.5. m =.69 Např. pro F B = 4 sin(.69t) je výchylka dána takto: y(t) = 4.37 sin(.69t) 4.7 cos(.69t) + e.t ( 4.35 sin(.7t) + 37.7 cos(.7t)) Na obrázku je pro zajímavost srovnání původního kmitání s budící silou F B = 4 sin(3t) - černě a rezonančního kmitání s budící silou F B = 4 sin(.69t) - zeleně. Zatímco původní soustava kmitá maximálně s výchylkou kolem, pak rezonanční kmitání má výchylky více než! 3

5 4 6 8-5 t - NEKONEČNÉ ŘADY. POSLOUPNOSTI A ŘADY ČÍSEL.. Posloupnost čísel Příklad posloupnosti čísel je takový,, 4, 8, 6, Důležitým úkolem je umět vyjádřit obecně n-tý člen posloupnosti a n. V našem případě zjistíme, že platí tedy odtud a =, a =, a =, a 3 = 3, a n = n Obecně posloupnost zapisujeme do složených závorek { n } 3 n=

pokud číslujeme od, nebo pokud číslujeme od, vypadá zápis takto { n } n= Je vidět, že čísla se postupně zmenšují a blíží se k, tuto situaci matematicky popíšeme pomocí limity,.5,.5,.5,.65, lim n = n Jiná důležitá posloupnost čísel, která se blíží(konverguje) k důležitému číslu e=.78..., nazývané Eulerovo číslo, vypadá takto ( + ), ( + ), ( + 3 )3, ( + 4 )4,,.5,.373,.444, n-tý člen této posloupnosti je ( a n = + ) n n ( lim + n = e =.78... n n) Jestliže se posloupnost čísel blíží k nekonečnu + nebo -, pak se říká, že daná posloupnost diverguje. Pokud se daná posloupnost neblíží žádnému číslu a ani nekonečnu, pak se říká, že daná posloupnost osciluje, např. tato posloupnost osciluje:.. Řada čísel,,,,, 3, 3, Utvořme z naší první posloupnosti řadu čísel tak, že je jednoduše sečteme: + + 4 + 8 + 6 + a zajímá nás, zda tato řada má konečný součet a když ano, pak jaký. Co ale budeme chápat součtem nekonečně mnoha čísel? Převedeme tento pojem součtu nekonečné řady na pojem limity posloupnosti, což už víme, co je. Vytvořme tedy takovouto posloupnost částečných součtů, kdy vezmeme první člen, pak součet prvních dvou členů, pak součet prvních tří člení atd.- dostaneme posloupnost čísel. Jestliže tato posloupnost bude konečnou limitu, pak prohlásíme tuto limitu za součet naší nekonečné řady. s = s = + =.5 s = + + 4 =.75 s 3 = + + 4 + 8 =.875 s = + + 4 + 8 + + 4 =.9993... 3

,.5,.75,.875,.9993, + + 4 + 8 + 6 + = n= n = Máme tedy posloupnost částečných součtů, která, jak je vidět, se blíží k číslu, proto součet naší řady je roven. Toto ale není matematický důkaz. Důkaz plyne z toho, že tato řada je totiž speciálním případem Geometrické řady, což je asi nejdůležitější typ řady, u které známe vzorec pro její součet. Obecný geometrická řada vypadá takto a + a q + a q + a q 3 + = a, q (, ) q kde a je první člen a q je kvocient. Pokud q neleží v intervalu (-,), pak geometrická řada nekonverguje. Tedy v našem případě je a= a q =, proto řada musí konvergovat, mít konečný součet. + + 4 + 8 + 6 = = Obecně, když máme nekonečnou řadu a n = a + a + a + a 3 + n= pak je jasné, že aby součet této řady byl konečné číslo, musíme přičítat stále menší a menší hodnoty, které se musí blížit. Tedy NUTNÁ podmínka toho, aby součet nekonečné řady byl konečný je lim a n = n což v našem příkladě bylo zaručeno lim n =. Ale tato podmínka není obecně n POSTAČUJÍCÍ. Příkladem řady, která má nekonečný součet a při tom je splněna nutná podmínka konvergence je tzv. Harmonická řada. + + 3 + 4 + 5 + = Tady je n-tý člen a n =, pokud číslujeme od. A lim n n =. Přesto je součet n nekonečný. Důkaz toho, že součet je opravdu nekonečný si uvedeme později pomocí integrálního kritéria. Ale např. tato podobná řada už má konečný součet a to ln(). Důkaz tohoto faktu si uvedeme později pomocí Mocninných řad. + 3 4 + = ln() =.693... 5 Taková to řada je příkladem tzv. Alternující řady ( ) n a n = a a a + a 3 n= U těchto řad platí důležitá věc a to, že ta podmínka lim n a n =, která je pouze NUTNOU podmínou pro konvergenci obecné řady, je nyní v případě Alternující řady i podmínkou POSTAČUJÍCÍ. Odtud tedy plyne konvergence naší řady, určit ale její součet je úloha mnohem obtížnější. Obecně platí, že určit, zda řada konverguje nebo 33

ne je většinou snadný úkol. Ale určit její součet přesně je úkol velice obtížný a většinou neznáme jeho řešení. Pak je třeba spočítat součet alespoň přibližně sečtením dostatečně velkého množství členů. Uved me si ještě dva zajímavé příklady alternujících řad, u nichž známe přesně jejich součet a toto odvození si ukážeme později pomocí Mocninných řad. U první řady je to alternující součet převrácenných hodnot lichých čísel, u druhé sudých čísel. 3 + 5 7 + 9 = π 4 =.785... + 4 6 + 8 = ln() +! +! + 3! + 4! + = e =.78... =.653.....3 Kritéria konvergence číselných řad Jak už bylo řečeno, zjistit přesně součet nekonečné řady většinou nejde,a le co jde, je zjistit, zda vůbec daná řada má konečný součet. K tomu existuje několik kritérií. Mějme tedy nekonečnou řadu n= a n s kladnými členy. Pro alternující řadu n= ( ) n a n platí jednoduché kriterium, které jsme už uvedli tj. lim n = a a n je klesající posloupnost.. Srovnávací kritérium Mějme dvě nekonečné číselné řady n= a n, n= b n a předpokládejme, že platí a n b n, potom platí: a) jestliže n= b n konverguje, pak konverguje i n= a n b) jestliže n= a n diverguje, pak diverguje i n= b n Příklad Dokažme nyní, že řada n= sin(n) n = sin() + sin() 4 + sin(3) 9 + sin(4) 6 + konverguje. Platí: sin(n) sin(n) n n a protože n= konverguje (dokáže se integrálním kritériem), konverguje i sin(n) n n=. n. Podílové kriterium Mějme nekonečnou číselnou řadu a n= a n, jestliže lim n+ n a n = K, potom platí následující: a) jestliže K <, pak řada konverguje b) jestliže K >, pak řada diverguje c) jestliže K =, pak nelze rozhodnout 3. Odmocninové kriterium Mějme nekonečnou číselnou řadu n= a n, jestliže lim n n a n = K, potom platí následující: a) jestliže K <, pak řada konverguje b) jestliže K >, pak řada diverguje c) jestliže K =, pak nelze rozhodnout 34

Užitečné vztahy lim n n n =, lim n n a =, lim n ( + k n ) n = e k 4. Raabeovo kriterium Mějme nekonečnou číselnou řadu n= a n, jestliže lim n n( a n+ a n ) = K, potom platí následující: a) jestliže K >, pak řada konverguje - POZOR ZMĚNA OPROTI PODÍLOVÉMU A ODMOCNINOVÉMU KRITÉRIU b) jestliže K <, pak řada diverguje c) jestliže K =, pak nelze rozhodnout 5. Integrální kritérium: Mějme nekonečnou číselnou řadu n= a n. Definujme funkci f(n) = a n, pak řada je konvergentní právě když integrál f(x)dx je konečný. Příklad Dokažme nyní, že harmonická řada n= n = + + 3 + 4 + má nekonečný součet. Funkce f(x) =. Spočítejme integrál x t dx = lim dx = lim x t x t [ln(x)]t = lim(ln(t) ln()) = t Tedy podle integrálního kritéria musí mít i Harmonická řada nekonečný součet. 35

. POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ.. Posloupnost funkcí Uvažujme posloupnost funkcí, x, x 3, x 4, Jestliže za x dosadíme nějaké číslo, dostaneme posloupnost čísel. Např. pro x=.7:,.7,.7 3,.7 4,.7 =,.7,.49,.343,.8 Zajímá nás, pro která x pak tato posloupnost čísel konečnou limitu, to je, pro která x tato posloupnost konverguje a jak vypadá výslední limitní funkce. Obecně je nalezení výsledné limitní funkce ještě náročnější proces než nalezení součtu číselné řady a většinou je neznámý. V tomto našem příkladu ale limitní funkci nalezneme. např. pro konkrétní x máme tyto číselné posloupnosti: x =.7 :,.7,.49,.343,.8, x =.7 :,.7,.49,.343,.8, pro x (, ) je lim n x n = x = :,,,,, x = :,,,,, osciluje x = :,, 4, 8, 4, x = :,, 4, 8, 4, osciluje pro x > je lim n x n =, pro x je lim n x n = osciluje Označme limitní funkci naší posloupnosti F(x). Pak z toho, co jsme ted zjistili máme F(x) definovanou na intervalu (-, takto: F(x)= pro x (, ) a F(x)= pro x=. Grafy členů posloupnosti funkcí: 36

y - -,5,5 x - -.. Řada funkcí Sečtěme nyní členy v poslopnosti z předchozího odstavce a dostaneme příklad funkční řady + x + x 3 + x 4 + Jestliže za x dosadíme nějaké číslo, dostaneme řadu čísel. Např. pro x=.7: +.7 +.7 3 +.7 4 + = +.7 +.49 +.343 + =.333... Protože se jedná o geometrickou řadu s prvním členem rovným a s kvocientem.7 a její součet je /(-.7)=.333... Obecně můžeme chápat tuto funkční řadu jako řadu geometrickou s kvocientem q=x. Odtud je jasné, že naše funkční řada bude konvergovat pouze na intervalu (-,): + x + x 3 + x 4 + =, x (, ) x Obecně najít součet funkční řady je velice obtížné a většinou neproveditelné. Součet se definuje stejně jako součet řady čísel pomocí limity posloupnosti částečných součtů. V 37

našem případě máme tuto posloupnost funkcí: s (x) = s (x) = + x s (x) = + x + x s 3 (x) = + x + x + x 3 s 4 (x) = + x + x + x 3 + x 4 s(x) = x Grafy členů posloupnosti členů posloupnosti částečných součtů - černě a součet řady - červeně: 8 y 6 4,,4,6,8 x..3 Mocninné řady Měli jsme tady Geometrickou funkční řadu + x + x + x 3 + x 4 + 38

o které víme, že má na intervalu (-,) konečný součet a dokonce víme, jak vypadá limitní funkce, je to. Zobecněním Geometrické řady je Mocninná řada, která má obecně tento x tvar: a + a (x x ) + a (x x ) + a 3 (x x ) 3 + = a n (x x ) n kde a n jsou koeficienty a x je střed Mocninné řady. Geometrická řada je tedy speciálním případem Mocninné řady pro a n = a x =. Otázka zní, pro která x bude součet Mocninné řady konečný? U Geometrické řady víme že to je pro x z (-,). Obecně to ale bude záviset na koeficientech a n a středu x. Obecně platí, že Mocninná řada konverguje na intervalu (x R,x + R), kde R se nazývá poloměr konvergence a platí: R = lim n a n+ a n lim n n jestliže limita vyjde, pak R = - to znamená, že řada konverguje všude, jestliže vyjde, pak R = - to znamená, že řada konverguje pouze ve svém středu x k hodnotě a. Příklad Zjistěte, pro která x daná mocninná řada konverguje a načrtněte její součet. a n n= + (x ) + 3 5 4 5 (x ) + 5 5 (x )3 + Nejdříve je třeba určit n-tý koeficient a n a střed x. Ze zápisu je vidět, že: a n = (n + )5 n, x = Dále spočítáme poloměr konvergence R pomocí podílového vztahu R = lim a n+ n a n koeficienty jsou kladné, takže absolutní hodnotu můžeme vynechat, dále tedy a n+ a n = n++)5 n+ = (n+)5 n R = lim a n+ n a n (n + )5n (n + 3)5 5 = n + n 5 n + 3 = lim odtud R=5. Tedy interval konvergence je n + n 5 + 3 n n n = + 5 + = 5 (x R,x + R) = ( 5, + 5) = ( 3, 7) = 5 + n + 3 n Jestli řada konverguje v krajních bodech intervalu -3, 7 musíme určit zvlášt. V těchto bodech může, ale nemusí konvergovat, záleží vždy na konkrétní řadě. x = 3 : n= (n + )5 n( 3 )n = = ( ) n konverguje n= (n + )5 n( 5)n n= (n + ) ( ) n n= (n + ) = 3 + 4 ( 5 + = + 3 4 + ) 5 = ln() =.37... x = 7 : n= (n + )5 n(7 )n = = diverguje n= (n + )5 n(5)n n= (n + ) 39

Tedy interval konvergence je < 3, 7) Na obrázku jsou nakresleny částečné součty s, s,...s 5 - černě, částečný součet s 6 - červeně: s = s = + (x ) 3 5 s = + (x ) + (x ) 3 5 4 5 s 3 = + (x ) + 3 5 4 5 (x ) + (x )3 5 5 s 4 = + (x ) + 3 5 4 5 (x ) + 5 5 (x )3 + (x )4 6 65 s 5 = + (x ) + 3 5 4 5 (x ) + 5 5 (x )3 + 6 65 (x )4 + s 6 = + (x ) + 3 5 4 5 (x ) + 5 5 (x )3 + 6 65 (x )4 + + (x )6 8 565 (x )5 7 35 7 35 (x )5 + 4

,6,,8,4 -..4 Taylorovy řady Nyní nás bude zajímat tento problém: Máme nějakou funkci s(x), chceme najít mocninnou řadu, která bude k funkci s(x) konvergovat. Pokud taková mocninná řada existuje, pak má nutně tento tvar, který se nazývá Taylorova řada, pokud střed x je, pak se té řadě říká Maclaurinova. s(x) = s(x )+ s (x )! (x x )+ s (x ) s (x x ) (x ) + (x x ) 3 + =! 3! 4 x 6 n= s (n) (x ) (x x ) n n! Jak pro danou funkci sestrojit její Taylorovu řadu je jasné, ale problém je v tom, že daná řada nemusí konvergovat k dané funkci na celém jejím definičním oboru. Tedy obor konvergence Taylorovy řady se musí zjistit dodatečně zjištěním poloměru konvergence. 4

Dále je uveden seznam Taylorových řad pro elementární funkce i s oborem konvergence: x = + ln()! x + ln ()! x + ln3 () 3! e x = +! x +! x + 3! x3 + a x = + ln(a)! x + ln (a)! sin(x) = x x3 3! + x5 5! x7 7! + cos(x) = x! + x5 5 x7 7! + x 3 + =.69! x + ln3 (a) x 3 + 3! ln( + x) = x x + x3 3 x4 4 + x (, > ( ) ( ) + x ln = x + x3 x 3 + x5 5 + x7 7 + ( + x) a = + a! a(a ) + x +! x +.48! a(a )(a ) x 3 + x (, ) 3! arcsin(x) = x + x3 3 + 3 4 x5 5 + 3 5 4 6 x7 + x <, > 7 arctan(x) = x x3 3 + x5 5 x7 + x <, > 7 x +.33 x 3 + 3!..5 Aplikace Taylorových řad Příklad sin(x) x dx = = = ( ( [ ( x x (x x3 3! + x5 5! x7 x 3! + x4 5! x6 7! + 7! + ) dx x3 3 3! + x5 5 5! x7 7 7! + = 3 3 3! + 5 5 5! 7 7 7! +. =.65.946 =.659 ) ] ) dx ( ) 3 3 3! + 5 5 5! 7 7 7! + Obsah DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. VOLNÝ PÁD TĚLESA.............................. Bez odporu prostředí............................ S odporem prostředí............................3 Obecné řešení lineární diferenciální rovnice. řádu s konstantními koeficienty................................ 3 4

..4 S odporem prostředí - pokračování.................. 4..5 S odporem prostředí - jiné počáteční podmínky........... 6. HARMONICKÉ KMITÁNÍ-KMITÁNÍ TĚLESA NA PRUŽINĚ...... 9.. Kmitání bez odporu prostředí - nulová počáteční rychlost...... 9.. Kmitání bez odporu prostředí - nenulová počáteční rychlost......3 Kmitání s odporem prostředí - nulová počáteční rychlost...... 5..4 Kmitání s odporem prostředí - nenulová počáteční rychlost..... 8..5 Silně tlumené kmitání - nulová počáteční rychlost............6 Silně tlumené kmitání - nenulová počáteční rychlost...........7 Kriticky tlumený pohyb - hraniční případ.............. 4..8 Vynucené kmitání............................ 6..9 Rezonance................................ 3 NEKONEČNÉ ŘADY 3. POSLOUPNOSTI A ŘADY ČÍSEL...................... 3.. Posloupnost čísel............................ 3.. Řada čísel................................ 3..3 Kritéria konvergence číselných řad................... 34. POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ.................... 36.. Posloupnost funkcí........................... 36.. Řada funkcí............................... 37..3 Mocninné řady............................. 38..4 Taylorovy řady............................. 4..5 Aplikace Taylorových řad....................... 4 43