4. Kinematika složených pohybů. Mechanismy

48 4. Kinematika složených pohybů. Mechanismy V řadě případů nás zajímá nejen pohyb vyšetřovaných bodů a těles vzhledem k nehybnému pozorovateli (tj. k rámu), ale potřebujeme znát informaci i o relativních pohybech mezi jednotlivými členy mechanických soustav. V řadě případů jsou pak na základě požadavků tyto pohyby konstrukčně realizovány. 4. Současný pohyb bodu a tělesa Na obr. 4. je kinematický řetězec (soustava těles), který je složen z rámu jedna, kulisy dvě, tělesa tři. Těleso tři, nazýváme smykadlo a považujeme ho při kinematickém vyšetřování za bod. Pohyb tělesa 3 vzhledem ke kulise je posuvný a pohyb kulisy vzhledem k rámu je rotační. Řešíme-li absolutní pohyb tělesa 3 vzhledem k rámu, můžeme jej považovat za složený ze dvou současných pohybů. Pohybu relativního, kterým rozumíme pohyb tělesa 3 vzhledem ke kulise a pohybu unášivého, kterým rozumíme rotační pohyb kulisy se zdánlivě spojeným tělesem 3 s kulisou. Celá situace je znázorněna na obr. 4. a 4.. Lze napsat symbolickou rovnici: 3 = 3 + (4.) relativní pohyb unášivý pohyb 4 obr 4. obr 4. absolutní = relativní + unášivý Obecně může být vázáno více členů viz obr. 4.3 Zde již nelze určit, který pohyb je relativní a který je unášivý. Můžeme však napsat a dále 4=43+3 (4.) 3=3+ (4.3) V rovnici (4.) je pohyb 43 relativní a pohyb 3 unášivý, v rovnici (4.3) je relativní pohyb 3 a unášivý pohyb. Je zřejmé, že je možné provést také rozklad 4=4+ (4.4) -48-

49 kde je 4=43+3 (4.5) obr. 4.3 Obecně lze napsat rozklad mn=mp+pn (4.6) kde p je člen vložený mezi členy m a n. Z obr. 4.3 a rovnice (4.5) plyne, že za člen vložený lze považovat i skupinu členů vzájemně vázáných. Obvykle vyšetřujeme pohyb těles vzhledem na rám. V tomto případě má rovnici (4.6) tvar m=mp+p (4.7a) Poznámka: Je-li některý z pohybů přímočarý, pak úhlová rychlost jeho rotace je nulová a můžeme snadno nalézt vztahy pro hodnoty úhlových rychlostí dalších členů. Např. z obr. 4.3 vyplývá 4= 43+3 3= 3+ (4.7b) Pohyby 43 a jsou přímočaré, proto tedy platí ω4 = ω 3 a ω3 = ω 3. Uvažujme soustavu tří těles včetně rámu. Podobně jako jsme rozkládali obecné pohyby na translační a rotační složky, můžeme při řešení úlohy rychlostí vyjádřit absolutní rychlost libovolného bodu tělesa jako součet rychlosti pohybu unášivého a rychlosti pohybu relativního tj. v = v + v 3 3 v = v + v a r u kde v3 = v a je rychlost absolutní tj. rychlost bodu vztažená na rám, v3 = v r je rychlost relativní tj. rychlost bodu tělesa 3 vůči jakoby nehybnému tělesu a v = v u je rychlost unášivá tj. bod chápeme jakoby byl bodem tělesa. Při rozkladu absolutního zrychlení bodu musíme uvážit to, že jestliže je unášivý pohyb bodu je rotační, pak při relativním pohybu dochází ke změně absolutní rychlosti bodu a to i v těch případech, kdy oba pohyby jsou rovnoměrné. Např. jestliže se bod pohybuje rovnoměrně v drážce podél poloměru disku rotujícího s konstantní úhlovou rychlostí, pak jeho absolutní rychlost (vztažená vzhledem k nepohyblivému pozorovateli se během pohybu mění. Ke změně rychlosti je však nutná existence nějakého zrychlení. Toto zrychlení se v nazývá zrychlením Coriolisovým a jeho hodnota je (4.8) -49-

50 c u r Rovnice pro rozklad zrychlení při složeném pohybu pak má tvar a = ( ω x v ) (4.9) aa = au + ar + a C (4.0a) Při aplikaci symbolické rovnice (4.) na konkrétní bod členu 3 tedy píšeme ( ) v3 = v3 + v, a3 = a3 + a + ac, ac = ω x v3 (4.0b) Z rovnice (4.9) je zřejmé, že Coriolisovo zrychlení bude rovno nule v následujících případech. ) Když ωu = 0, tj. když unášivý pohyb je posuvný, nebo když úhlová rychlost unášivého pohybu je v daném okamžiku rovna nule. ) Když v r = 0, tj. když relativní pohyb neexistuje, nebo když v daném okamžiku je relativní rychlost rovna nule. 3) Když jsou nositelky vektorů ω u a v r rovnoběžné. Grafická konstrukce Coriolisova zrychlení. Při grafickém vyšetřování složeného pohybu je potřebné zkonstruovat velikost Coriolisova zrychlení. Vzhledem k tomu, že při rovinném pohybu je vektor relativní rychlosti kolmý na vektor úhlové rychlosti pohybu unášivého, můžeme pro velikost a psát C a = ω v (4.) C u r Z obr. 4.4 je pak zřejmá možnost konstrukce velikosti zrychlení a C z rychlostí v u a v r a C v r v r Obr. 4.4 Vektor Coriolisova zrychlení pak vynášíme z bodu, jeho orientaci určíme podle pravidla pravé ruky z rovnice (4.9). Poznámka: V případě složených mechanismů můžeme provádět rozklady složených pohybů ve více variantách tj. můžeme rozkládat m=mp+p nebo m=mn+n. Coriolisovo zrychlení pak bude pochopitelně pro různé varianty rozkladu různé. Příklad 4.. Klín mechanismu a kladičkou A se horizontálně pohybuje zrychlením a -viz obr. 4.5. Určete zrychlení zvedátka A. Úhel klínu je ß. -50-

5 obr. 4.5 Řešení: Zvedátko koná pohyb translační tj. pro určení stačí vyřešit kinematiku středu kladičky, která je zároveň bodem kladičky (jejího středu). I když to není specifikováno, zrychlení zvedátka je pochopitelně myšleno vzhledem k rámu. Protože unášivý pohyb bodu A je určen posuvným přímočarým pohybem klínu tj. a = A a u, nevznikne Coriolisovo zrychlení. Proto zrychlení pro zrychlení středu kladičky A platí a = a + a (a) A A A a u r Relativní pohyb bodu A je podél klínu tj. je také přímočarý. Grafické řešení rovnice (a) tedy můžeme znázornit pomocí vektorového mnohoúhelníku. Viz obr. 4.5. Z obrázku také plyne, že zrychlení zvedátka vůči rámu je A aa = a tgβ (b) 4. Složený pohyb tělesa Pohybuje-li se těleso vzhledem na jiné těleso, které se také pohybuje vzhledem na nehybné těleso (rám), vykonává toto těleso složený pohyb. Je to pohyb relativní a unášivý. Úlohou kinematiky v tomto případě je určit závislosti mezi charakteristikami relativního, unášivého a absolutního pohybu. Základní charakteristiky jsou rychlosti a zrychlení bodů, úhlové rychlosti a úhlová zrychlení těles. 4.. Současné translační pohyby Nejdříve se budeme zabývat případem, kdy relativní pohyb tělesa je translační a unášivý pohyb je také translační. Při translačním pohybu mají všechny body tělesa stejnou rychlost a stejné zrychlení, zrychlení Coriolisovo je nulové. Podle teorie současných pohybů budou mít tedy všechny body tělesa T3 stejnou rychlost tedy pro jeho libovolný bod platí v = v + v 3 3 a = a + a 3 3 (4.) Absolutní pohyb je tedy opět translační. Úloha kinematiky v tomto případě vede na úlohy kinematiky bodu. Poznámka : Při rozkladu složeného pohybu se musí jednat vždy o stejný bod tj. horní index v rovnicích (4.) musí být vždy stejný! 4.. Současné rotace okolo dvou rovnoběžných os Sledujeme případ, kdy relativní pohyb tělesa je rotační s úhlovou rychlostí ω 3 unášivý pohyb je také rotační s úhlovou rychlostí ω. Viz obr. 4.6. -5-

5 Podle obr. 4.6 platí ϕ = ϕ + ϕ (4.3) 3 3 Úhlová rychlost je derivace úhlového pootočení podle času takže platí ω3 = ω3 + ω (4.4) Úhlová rychlost absolutní je vyjádřena součtem rychlosti relativní a úhlové rychlosti unášivé. Podobně vyjádříme úhlové zrychlení. Derivujeme rovnici (4.4) podle času. Obdržíme Obr. 4.6 α3 = α3 + α (4.5) Vzhledem k tomu, že vektory obou složek pohybu jsou rovnoběžné, při dvou rotačních pohybech s rovnoběžnými osy rotací sčítáme úhlové rychlosti a úhlová zrychlení algebraicky s ohledem na znaménka. Jak bylo řečeno dříve, mezi základní charakteristiky složeného pohybu patří rychlost vybraného bodu tělesa. Protože se jedná o současné rotace vyjádříme absolutní rychlost bodu pomocí rychlosti relativní a unášivé. udeme mít v = v + v = ω x r + ω x r (4.6) 3 3 3 Pro zjištění rychlosti v 3 bychom také mohli použít hodnoty ω 3, ale v tomto případě bychom museli najít pól absolutního pohybu P 3.. Pak by platilo v3 = ω3xp3. Pro hledání pólu absolutního pohybu používáme tzv. větu o třech pólech: Okamžitý střed otáčení absolutního pohybu, okamžitý střed otáčení relativního pohybu a okamžitý střed unášivého pohybu leží na jedné přímce. Tuto větu používáme i při řešení rovinných mechanismů. Tak např. máme-li určit absolutní pól pohybu tělesa tři rovinného čtyřkloubového mechanismu postupujeme takto: Rozložíme pohyby na unášivé a relativní a napíšeme symbolické rovnice, které vyjadřují složené pohyby. Např. hledáme pól členu 3 u čtyřkloubového mechanismu. Všechny kinematické dvojice čtyřkloubového mechanismu jsou rotační a tedy se jedná o současné rotace okolo rovnoběžných os. Platí -5-

53 3=3+ (4.7a) 3=34+4 (4.7b) Pól 3 tedy leží v průsečíku spojnic pólů (3, ) a (34, 4)- viz obr. 4.8a. Příklad 4.. Určete převod planetárního reduktoru, který je tvořen ozubenými koly,, 3, 3 o a unašečem 4. Poloměry základních kružnic jsou r, r, r 3, r 3, r 4. Viz obr. 4.. Řešení: Orientaci hnací úhlové rychlosti ω položíme souhlasně kolineární s osou x tj. zleva doprava. Stejnou orientaci budeme předpokládat i pro vypočítávané úhlové rychlosti ω 4 Najdeme body záběru, to je v našem případě body a C. Pak pro každý z těchto bodů dáme do rovnosti obvodové rychlosti z obou stran záběru. Pro obvodovou rychlost kola konajícího složený pohyb provedeme jeho rozklad. Platí: o o 34 Obr. 4.7 v = v + v (4.8a) 3 3 Vzhledem k tomu, že v 3 = 0 (relativní rychlost kol 3 a v bodě je nulová, jinak by docházelo k trhání ozubení), pro bod kola soukolí podle obr. 4.7 pak platí v = v = v + v (4.8b) 3 34 4 Pohyb 34 je rotace kola 3 kolem znehybnělého unašeče 4, pro tuto rotaci musíme zavést další neznámou ω s tím, že orientaci této rotace budeme předpokládat opět zleva doprava. 34 Vektorovou rovnici (4.8b) napíšeme ve složkách do osy z s tím, že znaménka přiřazujeme podle pravidla pravé ruky, velikosti rychlostí zjistíme vynásobení úhlových rychlostí příslušnými poloměry. Např. bod leží pod osou o, rychlost v tedy směřuje do nákresny, proto jí přisoudíme znaménko (-). Rychlost v 4 směřuje také do nákresny, rychlost v 34 směřuje ven z nákresny (bod je nad osou o 34 ). ωr = ω34r3 ω4r (4.8c) Podobně pro bod C platí v = v = v + v (4.9a) C C C C 3 3 4 4-53-

54 Vyjádříme-li obvodové rychlosti pomocí úhlových rychlostí, pak dostáváme 0 r r = ω3 4 3 ω4 (4.9b) Kola 3 a 3 jsou naklínována na jedné hřídeli, proto musí být ω 3 4 = ω 34. Řešením rovnic (4.8c) a (4.9b) obdržíme r ω4 = r r r3 ω r3 (4.0) Poznámka : Pokud hodnota některé z vypočítávaných úhlových rychlostí vyjde záporná, znamená to, že skutečná orientace vektoru této úhlové rychlosti je opačná než jsme předpokládali tj. musíme smysl jejího vektoru přehodit. Poznámka : Pokud osy rotací jsou různoběžné, pak v případě planetového kuželového převodu úlohu řešíme podobně tj. provedeme rozklad pohybu v místech odvalování. Úlohu však můžeme také řešit pomocí vektorové reprezentace pomocí vztahů pro sférický pohyb. V tomto případě zavedeme počátek kartézské souřadné soustavy v průsečíku os rotací kol, nadefinujeme v ní potřebné vektory určující kinematiku sférického pohybu (polohové vektory bodů odvalování, výslednou úhlovou rychlost a výsledné úhlové zrychlení) a dosazujeme do vztahů pro rychlost a zrychlení bodů tělesa konajícího sférický pohyb. 4..3 Současné rotace kolem různoběžných os Podle obr. 4.8 těleso tři rotuje okolo osy o 3, která je uložena rotačně v tělese dvě, které rotuje okolo osy o. Z obr. 4.8 je zřejmé, že bod O zůstává stále v klidu. Jedná se tedy o pohyb sférický tělesa tři, který lze chápat jako pohyb složený ze dvou pohybů podle rovnice o 3 o Obr. 4.8b Obr. 4. 8a 3=3+ (4.a) Hodnotu rychlosti bodu M v tomto případě můžeme najít podle vztahu (3.5) tj. M M v3 = ω3 x r (4.b) -54-

55 kde ω3 je celková úhlová rychlost tělesa tři. Tato rychlost je rovna vektorovému součtu úhlových rychlostí relativního a unášivého pohybu ω 3 = ω + ω. Vektor úhlového 3 zrychlení získáme derivací vektoru úhlové rychlosti. Protože však vektor úhlové rychlosti relativního pohybu mění při pohybu svůj směr, v konečném vztahu pro výsledné úhlové zrychlení α3se kromě úhlových zrychlení α a α 3 je ještě složka α R = ω xω 3, která se nazývá Résalovo úhlové zrychlení. Výsledné úhlové zrychlení tělesa tři je tedy rovno Podmínky vzniku Résalova úhlového zrychlení jsou: a) Existují uvedené rotační pohyby tj. ω 0, ω3 0, b) Vektory ω, ω 3 nejsou rovnoběžné. α3 = α + α3 + α R (4.) Poznámka: Úhlové zrychlení tělesa konajícího složený pohyb kolem dvou různoběžných os je tedy různé od nuly i v případě že úhlové frekvence obou složek pohybů jsou veličiny co do velikosti konstantní! Příkladem technické realizace pohybu složeného ze dvou vzájemně závisejících rotačních pohybů s protínajícími se osami rotace jsou kuželové převody. Přitom buď obě kola rotují (kuželový převod planetový) nebo jedno kolo se ovaluje po druhém kole které je nehybné (sférický kuželový převod předlohový). Oba případy je přitom vhodné řešit použití vztahů pro sférický pohyb. Algoritmus výpočtu rychlosti a zrychlení bodu A tělesa konajícího sférický pohyb se rotačními pohyby: ) Analyzujeme jednotlivé rotace, pokud jsou závislé, najdeme převodní vztah mezi hodnotami úhlových rychlostí ω a ω a hodnotami úhlových zrychlení α a α. ) Zvolíme vhodně globální kartézskou souřadnou soustavu (počátek do nehybného bodu, jedna ze souřadných os shodná s osou základní rotace 3) Ve zvolené souřadné soustavě definujeme vektory ω,ω, α,α a polohový vektor 4) Nalezneme ω v pomocí vektorového sčítání, vektor Résalova zrychlení vektorového násobení a vektor výsledného zrychlení αv = α +α +α R A r α R pomocí 5) Dosadíme do vztahů pro rychlost a zrychlení bodu tělesa konajícího sférický pohyb -55-

56 Příklad 4.3 Na obr. 4.9 je odvaluje kolo 3 po nehybném kole. Úhlová rychlost unašeče je ωje konstantní, úhel β a poloměr r jsou známy. Určete výslednou úhlovou rychlost a výsledné úhlové zrychlení kola 3, rychlost a zrychlení bodu. y x Obr. 4.9 Řešení: Úlohu nalezení rychlosti a zrychlení bodu je vhodné provádět pomocí vektorové reprezentace v kartézském systému se středem v bodě S. Kolo 3 koná složený pohyb který rozložíme pohyb kola 3 podle schématu Pro výslednou úhlovou rychlost ω 3 platí 3=3+ (a) ω 3 = ω + ω 3 (b) Pro bod A kola 3 (který je pólem rychlosti P 3 ) platí v = 0 = v + v (c) A A A 3 3 z: r 0 = ω r + ω r ω = ω = cot gβω (d) 3 3 r Pro vektory úhlových rychlostí tedy můžeme zapsat ω = ω, 0, 0, ω = 0, ω cot g β, 0, ω = ω, ω cot g β, 0 (e) ( ) ( ) ( ) 3 Vlastní výpočet přitom můžeme provést 3 způsoby: a) Použitím vztahů pro sférický pohyb. Sférický pohyb koná kolo 3, neboť bod S jeho hybného prostoru je trvale v klidu. Nositelka výsledné rychlosti musí procházet středem S a pólem rychlosti P 3. -56-

57 Je-li ω stálá, jsou stálé i hodnoty ostatních úhlových rychlostí. Vektor výsledného úhlového zrychlení sférického pohybu kola 3 je tedy dán vztahem ( 0 0 ω β ) α = α + α + α R = α R = ω x ω =,, cot g, (f) 3 3 3 Kinematiku bodu pak určíme dosazením do vztahů pro sférický pohyb v = ω x r = rω k (g) 3 3 a ω x v α xr r i r (cot g ) j (h) 3 = 3 3 + 3 = ω + ω β + b) Nadefinujeme velikosti vektorů v3 = ω3r,v = ωr,a3 = a3n = r ω cot g β, ac = ωr. Směry těchto vektorů zakreslíme do pracovního schématu vektory. Rychlost a zrychlení bodu získáme pak můžeme dostat pomocí vztahů pro rozklad složeného pohybu v = v + v = rω k (ch) 3 3 a a a ac r i r (cot g ) j (i) 3 = 3 + + = ω + ω β + c) Provedeme rozklad obecného prostorového pohybu s tím, že jako referenční bod S S vezmeme bod S. Zavedeme vektory r = ( r, 0, 0 ), r = ( r,r, 0 ) a po dosazení dostáváme: v = v + v = v + v = ω xr + ω xr = rω k (j) S S S S S S 3 3 3 3 3 a = a + a = a + a = ω x v + ω x v + α x r = r i + r (cot g + ) j (k) S S S S S S S 3 3 3 3 3 3 3 ω ω β Teoreticky je také možné provést rozklad 4.3 Kinematika mechanismů v = v + v, a = a + a + a (ch) S S S S S S S 3 3 3 3 C Mechanismus je zařízení, které slouží k transformaci pohybu nebo přenosu zátěžných silových účinků. Zařízení je tvořeno soustavou vzájemně pohyblivě spojených těles, z nichž jedno je vzhledem k ostatním nepohyblivé. Toto nepohyblivé těleso se nazývá rám. Jednotlivá tělesa nazýváme členy mechanismu. Členy mechanismu jsou spojeny v kinematických dvojicích. Kinematická dvojice je spojení těles. Plochy, křivky nebo body členů, které se spolu stýkají a tvoří tak kinematickou dvojici, jsou prvky této dvojice. Třída kinematické dvojice. Kinematická dvojice je k-třídy, když odebírá relativnímu pohybu obou členů jakožto volným tělesům k stupňů volnosti. Kinematický řetězec vznikne spojením více těles pomocí kinematických dvojic. Může být jednoduchý i složený, uzavřený i otevřený. Jednoduchý kinematický řetězec vznikne tak, že každý člen řetězce nemá více než dva sousední členy, to znamená, že těleso je připojeno k ostatním pouze dvěma kinematickými dvojicemi. -57-

58 Složený kinematický řetězec vznikne tak, že některý člen nebo více členů řetězce je připojen pomocí více než dvou kinematických dvojic. Uzavřený kinematický řetězec, je řetězec, který vznikne tak, že každý člen řetězce je připojen nejméně dvěma kinematickými dvojicemi. Otevřený kinematický řetězec vznikne tak, že obsahuje některé členy které jsou připojeny pouze jednou kinematickou dvojicí. 4.3. Klasifikace mechanismů. Všechny mechanismy je možno rozdělit na rovinné a prostorové. U rovinných mechanismů (i když jsou prostorově konstruovány) všechny body mechanismu se pohybují v rovinách rovnoběžných, osy rotací jsou rovnoběžné, při grafickém znázorňování jsou tyto osy kolmé na roviny pohybů. Členy mechanismů nemusí být rovinné útvary tj. desky- např. klikový mechanismus spalovacího motoru.. U prostorových mechanismů konají jednotlivá tělesa vzhledem k rámu nebo vůči sobě prostorové pohyby.. Nejčastěji se vyskytují mechanismy, které mají jeden stupeň volnosti. Má-li mechanismus dva stupně volnosti, nazývá se diferenciál. 3. Převodové mechanismy transformují pohyb mezi výstupními a vstupními pohyby. 4. Vodící mechanismy splňují požadavky na to, aby některý člen nebo jeho bod konal určitý pohyb, např. po přímce (přímovod), nebo aby zaujímal postupně určité polohy. 5. Podle převodu se mechanismy dělí na mechanismy s konstantním převodem (závislost hnané souřadnice na hnací je lineární) a mechanismy s nekonstantním převodem(závislost hnaných souřadnic na hnací je nelineární). U prvého typu je pro případ s jedním stupněm volnosti závislost hnané souřadnice na hnací lineární, u druhého je tato funkce nelineární. Závislost souřadnice hnaného členu ψ na hnací souřadnici φ nazýváme zdvihovou závislostí Její derivace se nazývá převod a další derivací dostaneme tzv. derivaci převodu ψ = λ( ϕ ) (4.3a) dλ µ = (4.3b) dϕ µ d λ d ν = dλ = dϕ (4.3c) Členy, kterými se mechanismus pohání jsou hnací, ostatní jsou hnané. Pohybem hnacích členů je jednoznačně určen pohyb celého mechanismu. Souřadnice hnacích členů tj. úhly pootočení hnacích klik, odlehlosti posouvajících se členů apod. se nazývají souřadnice mechanismu. Ty z hnacích členů, které konají předepsaný pohyb (pro nějž byl mechanismus konstruován) nazýváme výstupní, ostatní hnané členy se označují jaké přenosové. Při kinematickém řešení nevycházíme z podrobných výrobních výkresů ale vytváříme kinematická schémata (modely-viz obr. 4.0). Tyto modely zachycují geometrické uspořádání (včetně rozměrů) spojených členů pomocí kinematických dvojic. Podle charakteru unášivého pohybu je i ustálené názvosloví pro členy mechanismu (viz obr. 4.). -58-

59 Obr. 4.0 Obr. 4. Úkolem kinematického řešení mechanismů je vyšetřit pohyby výstupních členů, z bodů pak pohyby těžišť, kloubů apod. Při kinematickém řešení rozlišujeme dvě úlohy. Jsou to analýza a syntéza mechanismů. A) Analýza mechanismů spočívá v určení polohy, rychlosti a zrychlení resp. úhlové rychlosti a úhlového zrychlení vybraných bodů resp. těles daného mechanismu v závislosti na hnací souřadnici. ) Syntéza mechanismů je inverzní úloha analýzy. Úkolem syntézy mechanismů je navrhovat typy a geometrii jednotlivých členů mechanismu podle určitých požadavků. Tyto požadavky se mohou týkat jak kinematiky jeho členů a bodů tak i charakteru přenášených sil (např. aby nedocházelo k prudkým změnám v hodnotách zrychlení). Hlavním odvětvím syntézy mechanismů je kinematická syntéza rovinných kloubových a vačkových mechanismů, v níž jde o určení rozměrů mechanismu, jehož kinematické schéma bylo již zvoleno, aby určitý jeho člen nebo bod konal předepsaný pohyb. Vačkové mechanismy přitom mohou realizovat požadovaný pohyb přesně, kloubové mechanismy jen přibližně. Úloha na syntézu mechanismu je mnohem obtížnější než úloha typu A. Vede na řešení transcendentních rovnic, které obvykle řešíme numericky na počítačích. -59-

60 Základní úloha kinematického řešení mechanismů je úloha polohy. Znamená to určit hnané souřadnice. Od této úlohy odvozujeme řešení rychlostí a zrychlení u požadovaných bodů nebo těles mechanismu. Před vlastním řešení úloh bychom měli zkontrolovat, zda se skutečně jedná o mechanismus tj. zda počet stupňů volnosti n je kladný. Hodnota n je přitom dána tzv. Grueblerovým vztahem n=(n-) i v - nkk, (4.4) kde N je počet členů soustavy včetně rámu, i v je počet stupňů volnosti jednoho volného tělesa (i v =3 pro rovinu, i v =6 pro prostor), n k je počet členů k-té třídy, člen k-té třídy odebírá k stupňů volnosti. V kolika nezávislých směrech (posuvů i rotací) je zabráněno vazbou v pohybu, tolik stupňů volnosti tato vazba odebírá. Jinými slovy: Počet stupňů volnosti dvojice je roven počtu nezávislých posuvů a rotací, jež mohou dva členy mezi sebou vzájemně vykonávat. Kolik má mechanismus stupňů volnosti, pak u tolika členů tedy musí být zadána jejich kinematika. Máli mechanismus 0 V, pak se nazývá diferenciál. Ve statice bývá zaváděna vazba vetknutí. Z kinematického hlediska je však jednodušší považovat vedení za součást rámu. Pak např. pro klikový mechanismus na obr. 4.a uvažujeme počet těles včetně rámu N=4. Je zde jedna posuvná kinematická dvojice a tři rotační, všechny jsou. třídy. Dosazením do vztahu (4.4) obdržíme n=3(5-)-(+3)= 0 V. V některých případech se však mohou v soustavě vyskytovat tělesa, bez kterých je zachována funkční závislost vstupu a výstupu (např. těleso 3 v soustavě na obr. 4.b nebo tělesa 3 a 4 na obr. 4.c ). Tato vložená tělesa zde jsou z důvodu zpevnění popř. z důvodu vyvážení při rotaci. Tyto tělesa pak nazýváme kinematicky pasivní a abychom dostali správnou hodnotu počtu stupňů volnosti podle vztahu (4.4) je vhodné je při kinematickém rozboru ze soustavy vyjmout. Podobná situace je v tom případě, jestliže u původně nepohyblivé soustavy je taková výjimková konfigurace vazeb, že nejsou omezeny všechny složky pohybu (viz možnost horizontálního pohybu u soustavy obr. 4.d). Při diskusi počtu stupňů volnosti by také měl být uvážen charakter silového zatížení mechanismu. Jestliže se některé pohyby vzhledem k charakteru silového zatížení nerealizují (např. u kladkostroje na obr. 4.e - volná kladka se nepohybuje do strany, břemeno 4 se nepohybuje do strany a nenatáčí se), pak stupně volnosti příslušející těmto nerealizovaným pohybů bychom měli při kinematickém rozboru studovaného mechanismu odečíst. U kladkostroje na obr. 4.e máme tedy jednu rotační vazbu, tři obecné (spoje lanem), ale 3 pohyby odečteme, protože se nerealizují. Pro tento mechanismus počet stupňů volnosti n=3(4-)-.-3.-3= 0 V. Obr. 4.a Obr. 4.b Obr. 4.d Obr. 4.e Obr. 4.c -60-

6 4.3. Mechanismy s ozubenými koly Typickým příkladem mechanismů s konstantními převody jsou mechanismy s ozubenými koly. Při uvolnění v místech záběru ozubených kol je jen jeden neznámý parametr reakce tj. velikost reakční síly, proto styk ozubením představuje obecnou kinematickou dvojici. Přitom rozeznáváme předlohové ozubené převody, kdy osy všech kol jsou spojeny s pevným rámem, jakož i planetové mechanismy, kdy některé členy vykonávají složené rotační pohyby tj. jejich osy vzhledem k rámu obíhají. Při úloze nalezení úhlových rychlostí hnaných kol, jestliže jsou dány úhlové rychlosti kol hnacích vycházíme z toho, že absolutní obvodové rychlosti dotykových bodů ozubených kol musí být stejné. Vzhledem k tomu, že v případě planetových převodovek se jedná o pohyby složené, provádíme přitom příslušné rozklady na rychlosti unášivé a relativní (viz kap. 4.. a 4..3). V případě, že osy otáčení jsou rovnoběžné, pak úloha se řeší jako rovinná. V případě 0 V je jedno ze záběrových kol hnací, ostatní jsou hnána. Z rovnosti obvodových rychlostí v místě dotyku nám potom vychází u předlohových převodů vztah mezi úhlovými rychlostmi ω r ω = ± r (4.5a) kde při vnějším záběru (obr. 4.3a) jsou vektory úhlových rychlostí orientovány opačně (znaménko je ) a při vnitřním záběru (obr. 4.3b) jsou úhlové rychlosti obou kol orientovány stejně (znaménko je +). Počet zubů kol je úměrný poloměrům takže v případě vnějšího záběru více kol platí obecně vztah ω ( ) kde k je počet obecných kinematických dvojic (bodů záběru kol). Poměr p se nazývá převod. r z k n n ω = n r = z (4.5b) ω n n= (4.5c) ω Obr. 4.3 a Obr. 4.3b Obr. 4.3c -6-

6 4.3.3 Rovinné mechanismy Rovinné mechanismy jsou mechanismy, jejichž jednotlivé členy se pohybují v rovinách navzájem rovnoběžných. Jsou tvořeny kinematickými řetězci, v nichž se vyskytují kinematické dvojice rotační, posuvné, valivé a obecné (viz Statika). I když s rozvojem počítačů se stále více úloh mechaniky řeší na počítačích, grafické řešení mechanismů má své nezastupitelné místo. Rychlosti libovolných bodů jednotlivých členů mechanismu pak zjišťujeme následnými způsoby: - řešíme graficky sčítání rychlostí, řešíme plány rychlostí resp. zrychlení pomocí základního rozkladu pro významné body. Aplikujeme věty, tuhosti úsečky, pootočených rychlostech a podobnosti obrazců, - od jednoho členu k druhému přecházíme přes společné body tj. klouby. V kloubech také provádíme rozklad složeného pohybu, 3- zjišťujeme póly rychlostí a aplikujeme věty o zorných úhlech. Póly rychlostí hledáme buď jako průsečík známých normál dvou bodů nebo pomocí věty o třech úhlech. V případě že unášivý pohyb je translační výsledné zrychlení hledáme pomocí plánů zrychlení podobně jako při úloze na rychlosti (tj. pomocí rovnoběžníka-tzv. základní konstrukce). V případě, že unášivý pohyb je rotační, ke zrychlení pohybu unášivého a relativního přidáváme i vektor zrychlení Coriolisova (tzv. Coriolisova metoda). Metoda pólové konstrukce je grafická konstrukce rychlostí a zrychlení, prováděná pro bod v pólu příslušného relativního pohybu (Coriolisovo zrychlení je v tomto bodě nulové i při rotačním unášivém pohybu). Poznámka : Každý člen má svůj pól absolutního pohybu tj. hledáme póly P, P P n. Nelze použít pól zjištěný pro jeden člen k řešení kinematiky bodů jiného členu. Poznámka Pro jeden člen mechanismu můžeme provádět rozklad pohybů tj. můžeme pro každý člen také hledat póly podle typu pohybu (absolutní, unášivý, relativní). Poznámka 3: Při základním rozkladu obecného rovinného pohybu musí oba body příslušet ke stejnému členu a musí se jednat o stejný pohyb. Např. při použití rovnice v 3 = v A A 3 + v3 musí oba body A a patřit ke členu 3. Řešení grafické zpravidla doprovázíme řešením numerickým Je-li úloha vyřešena polohy pomocí plánů rychlostí a zrychlení, můžeme řešit kinematiku mechanismu tak, že vektorové rovnice řešíme početně. Provádíme to tak, že rovnice vektorové rozepíšeme do souřadnicových os. Přitom je vhodné jako podklad použít hlavně grafické řešení pomocí základního rozkladu obecného rovinného pohybu popř. rozkladu složeného pohybu. Při řešení rychlostí zpravidla řešíme trojúhelníky pomocí kosinové popř. sinové věty. Řešení zrychlení jsou již komplikovanější, zde zpravidla sestavíme dvě rovnice pro dvě neznámé na základě promítání do os do vhodně zvoleného souřadného systému. Neznámými jsou přitom zpravidla hodnoty tečných složek zrychlení. Hledat hodnoty rychlostí popř. zrychlení numericky pomocí poloh pólů je zpravidla obtížné. Při početním řešení také můžeme postupovat tak, že trigonometrickými metodami řešíme obrazec kinematického mechanismu (trigonometrická metoda). Metoda je vhodná pro základní tříčlenné a čtyřčlenné mechanismy. Příklad 4.4. Určete pohyb pístu 4 klikového mechanismu na obr. 4.4. Dále určete polohu, rychlost a zrychlení ojnice 3 téhož mechanismu. Dány jsou délka kliky r, délka ojnice l a r konstantní úhlová rychlost kliky ɺ ϕ = ω.pro poměr λ = předpokládejte λ. l 4-6-

63 Obr. 4.4 Řešení: Poloha hnacího členu je dána úhlem φ, poloha členu 4 je dána souřadnicí x a poloha ojnice je dána úhlem ψ. Z trigonometrie trojúhelníku OA plyne r sinψ = sinϕ. (a) l Pro souřadnici x pak platí x = r cosϕ + l cosψ (b) Po dosazení z (a) do (b) a úpravě obdržíme zdvihovou závislost Použijeme-li pro sin φ binární rozvoj = ϕ + λ ϕ ( c ) λ x r(cos sin ) ( ) sin Odlehlost smykadla 4 je tedy dána vztahem a jeho rychlost λ ϕ λ sin ϕ (d) 4 λ = ϕ + ϕ ( e ) x r( cos sin ) ( ) v = xɺ = r sinϕ + λ sinϕ cosϕ ɺ ϕ (f) Další derivací podle času po úpravách dostáváme pro zrychlení -63-

64 a ɺ ϕ r(cosϕ λ cos ϕ ) (g) 4 = + Proderivováním vztahu (a) podle času a použitím vztahu (d) dostaneme vztah pro úhlovou rychlost a úhlové zrychlení ojnice ω 3 = λ cosϕ ɺ ϕ λ sin ϕ (h) λ( λ )sinϕ λ cosϕ 3 = + 3 α ɺ ϕ ɺɺ ϕ (ch) ( λ sin ϕ ) ( λ sin ϕ ) Převod mezi pístem a ojnicí je tedy dán vztahem v λ = = + (i) 4 p4 r(sinϕ sin ϕ ) ω U vektorové metody ve vhodně zvolené souřadné soustavě promítneme mnohoúhelník (představující kinematické schéma mechanismu) do vhodně zvoleného souřadného systému. Kinematické schéma je přitom charakterizováno mnohoúhelníkem, jehož vrcholy leží ve středech kloubů, na osách posuvů, ve významných bodech obecných a valivých kinematických dvojic. apod. Pro daný mechanismus přitom můžeme vykreslit různé varianty vektorových mnohoúhelníků (viz obr. 4.4, kde je znázorněnoí schéma pětičleného složeného vačkového mechanismu a varianty vektorových mnohoúhelníků). Strany mnohoúhelníku považujeme za vektory l i, úhly které tyto vektory svírají s osou x se odměřují vždy v kladném smyslu (obr. 4.5). -64-

65 Obr. 4.4 Obr. 4. 5 Z podmínky uzavřenosti vektorového trojúhelníku vyplývá l + l + l +... l = 0 (4.6a) 3 k -65-

66 Rozepsáním do složek dostáváme systém skalárních rovnic k l j cosϕ j = 0 (4.6b) j= k l j sinϕ j = 0 (4.6c) j= To jsou rovnice pro polohu mechanismu. Tyto rovnice kromě souřadnic všech hnacích členů obsahují vždy právě dvě neznámé polohy hnaných členů. Musí být tedy zadány souřadnice všech hnacích členů, jako neznámé jsou souřadnice hnaných členů. Vztahy pro polohu hnaných členů tvoří obecně soustavu transcedentních rovnic, kterou je zpravidla potřeba řešit numericky na počítači. Rychlosti popř. zrychlení hnaných členů dostaneme derivováním vztahů (4.6b) a (4.6c) podle času k ( lɺ j cosϕ j l ɺ jϕ j sinϕ j ) j= k ( l j sinϕ j l ɺ jϕ j cosϕ j ) j= = 0 + = 0 (4.6d) k ( ɺɺ l j cosϕ j lɺɺ jϕ j sinϕ j l ɺ jϕ j cosϕ j lɺɺ jϕ j sinϕ j ) j= k ( ɺɺ l j sinϕ j lɺɺ jϕ j cosϕ j l ɺ jϕ j sinϕ j lɺɺ jϕ j cosϕ j ) j= = 0 + + = 0 (4.6e) Tyto vztahy jsou již lineární. Poznámka: Máme-li vyšetřovat kinematiku mechanismu tvořeného otevřeným řetězcem, musíme vytvořit tolik uzavřených systémů rovnic kolik je větví. 4.3.4 Mechanismy s vačkami Vačka je těleso s obecným obrysem, které se stýká se sousedním tělesem obecnou nebo valivou kinematickou dvojicí. Zpravidla jsou vačky uloženy k rámu rotační kinematickou dvojicí a umožňují rotaci o plný úhel π. Vačkové mechanismy umožňují transformaci pohybů- např. rotační pohyb na kývavý (obr.4.a), rotační na posuvný (obr.4.b), posuvný na posuvný (obr.4.c), a posuvný na kývavý (obr.4.d). Z důvodu snížení amortizace kontaktu mezi vačkou a zvedákem (popř. vahadlem) bývají mezi členy vkládány kladečky (viz obr. 4.e). V tomto případě můžeme z hlediska kinematiky příslušný mechanismus nahradit mechanismem bez kladečky s tím, že místo skutečného obrysu vačky k s používáme tzv. teoretický obrys vačky k e a v místě středu kladečky umístíme obecnou kinematickou dvojici- viz obr. 4.e. Teoretický obrys vačky je tedy určen trajektorií středu kladečky při jejím relativním pohybu vzhledem k vačce jako myšlenému rámu (poloměry křivosti původní vačky přitom navýšíme o poloměr kladečky). Význam mechanismů s vačkami je v tom, že je možné vytvořit profil vačky tak, aby v bylo dosaženo předepsaných pohybů. Přitom předepisujeme buď zdvihovou závislost (tj. závislost mezi polohou hnaného a hnacího členu) nebo průběh zrychlení (tj. závislost mezi zrychlením hnaného členu a polohou hnacího členu). Zrychlením je totiž dán průběh -66-

67 dynamických sil (má-li zrychlení skokové změny, mění se skokem dynamické síly, vznikají rázy, vibrace, zvětšuje se hluk a opotřebení). Příkladem může být vačkový hřídel u spalovacích motorů (sání a výfuk-viz obr. 4.f). Mechanismy s vačkami můžeme řešit početně i graficky. Při grafickém řešení postupujeme dvojím způsobem. a) Řešíme rozkladem složeného pohybu bodu S (viz obr. 4.7a). Přitom využíváme toho, že trajektorií relativního pohybu středu křivosti S je kružnice kolem středu S. V případě, že v dotykovém bodě je křivost jednoho členu nulová (tj. dotykovým útvarem je hrot) řešení provádíme přímo rozkladem složeného pohybu v dotykovém bodě. Z důvodu snížení amortizace vačky v dotykovém bodě bývá styk realizovaný valivou kinematickou dvojicí (tj. (a) (b) (c) (d) (e) (f) Obr. 4.6 kladečkou odvalující se po obrysu vačky). V tomto případě je možné při kinematickém řešení kladečku myšleně odstranit a uvažovat dotyk zvedáku (popř. vahadla) s teoretickým obrysem vačky obecnou kinematickou dvojicí. Teoretický obrys vačky přitom vznikne navýšením původního obrysu o poloměr kladečky-viz obr. 4.6e). V místě dotyku pak provádíme rozklad složeného pohybu s tím, že relativní pohyb má střed křivosti dráhy ve středu křivosti aktuálního teoretického obrysu vačky. Toto řešení je zejména nutné použít pro případy, kdy obrys vačka má rovné úseky takže při náhradě čtyřkloubem by jeden kloub byl totožný s úběžným bodem. Při přítomnosti kladečky uvažujeme dotyk v teoretickém obrysu vačky -67-

68 b) Vytváříme náhradní mechanismy. V tomto případě obecné popř. valivé kinematické dvojice nahrazujeme v uvažované poloze myšlenými mechanismy s větším počtem členů. Tyto tzv. náhradní mechanismy obsahují pouze rotační a posuvné kinematické dvojice, původní obecné kinematické dvojice jsou nahrazeny binárními členy. Podmínkou kinematické ekvivalence původního a náhradního mechanismu je zachování geometrických charakteristik příslušného relativního pohybu, u něhož došlo k záměně příslušné kinematické dvojice. V praxi to znamená, že při relativním pohybu 3 náhradního mechanismu musí zůstat zachovány dva páry sdružených bodů A, S A a, S. Obr. 4.7 Např. mají-li vačky v dotykovém bodě nenulovou křivost, pak vloženým členem je prut o délce rovné vzdálenosti obou středů křivosti a náhradním mechanismem je čtyřkloub- viz obr (4.7b). V případě, že jedna křivost má nekonečný poloměr (tj. jedná se o přímku) je nulová, vkládáme posuvnou kinematickou dvojici rotující kolem středu křivosti druhého útvaru (obr. 4.8a), v tomto středu S pak provádíme rozklad. V případě, že přímka při relativním pohybu obaluje hrot A, vkládáme smykadlo 4 uchycené kloubem k prutu (viz (obr. 4.8b), pro bod A pak provedeme rozklad pohybu. Možnosti nahrazení pro případ, že zvedák je opatřen kladkou popř. při dotyku přímky s kružnicí jsou na obr. 4.9. Náhradními mechanismy jsou v těchto případech klikový mechanismus (a), čtyřkloubový mechanismus (b), kulisový mechanismus (c), a mechanismus eliptického pohybu (d). Je nutno zdůraznit, že náhradní mechanismy zastupují původní mechanismy zpravidla pouze v uvažované poloze. Náhradní schéma přitom může být ve více variantách (např. místo náhradního schématu 4.9c by mohlo být také použito schéma obdobné schématu 4.9a). Grafická řešení mechanizmů a vytváření náhrad pro vačkové mechanismy jsou podrobně zpracovány ve skriptech [9]. S A S 4 A Obr. 4.8a Obr. 4.8b -68-

69 Obr. 4.9 Příklad 4.5. Určete rychlost a zrychlení plochého zvedáku podle zdvíhaného kruhovou vačkou (obr. 4.0). Je zadána poloha vačky φ, úhlová rychlost vačky ω je konstantní. Obr. 4.0 K řešení použijeme náhradní mechanismus Obecnou kinematickou dvojici nahradíme binárním členem rotace-posuv - na obr. 4.4 vyznačeno čárkovaně. Rychlost bodu S můžeme rozložit na relativní pohyb 4 : 3 a unášivý pohyb 3 :. Platí tedy vektorová rovnice v = v = v + v (a) S S S S 4 43 3 S S U vektoru rychlosti v známe jak směr tak i velikost v = rω a můžeme vyřešit plán rychlostí. Unášivý pohyb 3: je translační, proto rychlost bodu A je rovna rychlosti bodu S. Tím je vyřešena rychlost bodu A. -69-

70 Podobně pro zrychlení bodu S platí vektorová rovnice a = a = a + a. (b) S S S S 4 43 3 Coriolisovo zrychlení nevznikne, protože unášivý pohyb je translační. Protože unášivý pohyb je translační, je zrychlení bodu A rovno zrychlení bodu S. Tedy. Tím je vyřešeno zrychlení. Poznámka: Řešení pomocí původního mechanismu by bylo nepoměrně složitější-viz [3]. Poznámka : Náhrada čtyřkloubem je správná pro případ styku těles pomocí obecné kinematické dvojice tj. jestliže se dotýkající tělesa po sobě smýkají, nikoliv jestliže se po sobě odvalují. Poznámka 3: Získaných znalostí mezi rychlostmi bodů popř. úhlovými rychlostmi může využít k řešení úlohy rovnováhy soustav mechanismů. Jak vyplývá z principu virtuální práce (viz stud. opora TM I), musí platit i princip virtuálních výkonností: Je-li soustava těles v rovnováze, je součet celkové výkonnosti pracovních sil pracovních momentů P M j roven nule. Tj. platí: i F a výkonnosti působících P i P P F v + M ω = 0 (4.7) i i j j j Kontrolní otázky ) Jak je definovaný sférický pohyb ) Napište vztahy pro rychlost a zrychlení bodů tělesa konajícího sférický pohyb 3) Jak vypočítáme velikost celkového zrychlení z točivého a středového zrychlení? 4) Co je to rozklad složeného pohybu? 5) Co je to unášivý pohyb bodu? 6) Čemu je rovna rychlost čepu pístu 3 na obr. 4., jestliže je zadána rychlost ω a vzdálenost čepu pístu 3 od stálého středu otáčení O? 7) Proč vzniká zrychlení Coriolisovo, jak jej graficky konstruujeme při rovinném pohybu? 8) Proč vzniká vír při vtékání kapaliny do výlevky a proč je orientace tohoto víru opačná na severní a jižní polokouli? 9) Kdy je mechanismus rovinný 0) Co je principem vektorové metody řešení mechanismu -70-