DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz
DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo životostmi částí kostrkce? Jaká je pravděpodobost vzik statické porchy při zatížeí sočásti a dao úroveň apětí? Jaká je pravděpodobost vzik porchy v důsledk úavy materiál po absolvováí zvoleého počt kmitů (ebo hodi provoz) a pro daé zatížeí sočásti? Jako mír rizika mají případá tvrzeí, že po absolvováí rčitého počt kmitů je pravděpodobost poršeí kostrkce stále dostatečě malá? Jak lze získat tzv. bezpečé úavové křivky, kterým lze přiřadit kokrétí hodot pravděpodobosti poršeí? Jak sovisí volba velikosti sočiitele bezpečosti s rizikem možého vzik porchy? Jak se statisticky výzamě od sebe odlišjí dva sobory dat (apř. výsledků zkošek), případě lze je považovat za jede stejý sobor? Které parametry jedozačě popisjí stochastický zatěžovací proces? Jakým způsobem lze simlovat stochastické zatížeí při zkoškách?
DŽ 3 Chyby měřeí (úavového eperimet): hrbé (je to chyba měřeí ebo vada materiál??) systematické (je správá kalibrace stroje?) áhodé (zvolit vhodý model statist. rozděleí)
DŽ 4 Základí pojmy a vztahy áhodá veličia: veličia, která může abývat růzé hodoty, jež se ale řídí rčitými zákoitostmi histogram četosti: diagram zobrazjící četost výskyt áhodé veličiy v rčitém malém iterval jejich hodot model statistického rozděleí:
DŽ 5 Základí pojmy a vztahy áhodá veličia: veličia, která může abývat růzé hodoty, jež se ale řídí rčitými zákoitostmi distribčí fkce F(): každém reálém čísl 0 přiřazje pravděpodobost, že áhodá veličia bde mít hodot meší či rov ež toto reálé číslo 0. F( ) 0 0.9 0.8 0.7 F( ) 0 F( ) F( ) F( ) F() 0.6 0.5 0.4 0.3 0. F(0. 0 ) 0 0 0 0 40 60 80 00
DŽ 6 Základí pojmy a vztahy hstota pravděpodobosti: f d F F F f df d f d f() 0.05 0.0 0.05 f( 0 ) 0.0 0.005 0 0 0 0 40 60 80 00
DŽ 7 Cetrálí momety každé rozděleí áhodé veličiy lze charakterizovat ěkolika čísly, tzv. charakteristikami; ejžívaějšími charakteristikami jso cetrálí momety (k-tého řád): k k f d k k f d k k středí hodota: rozptyl: šikmost: špičatost: cetr. momet prvího řád f d cetr. momet drhého řád f cetr. momet třetího řád cetr. momet čtvrtého řád d směrodatá odchylka v 00% variačí sočiitel
DŽ 8 Drhy rozděleí Normálí (Gassovo) Logaritmicko-ormálí (-ormálí) tdetovo Chí -kvadrát Weibllovo Epoeciálí Mawellovo Fisherovo rovoměré
DŽ 9 Gassovo ormálí rozděleí áhodé veličiy je to model rozděleí časté požití v techické prai áhodý proces je tvoře sočtem růzých ezávislých vlivů velký počet vlivů každý vliv má poze malý příspěvek F f e e d
DŽ 0 Gassovo ormálí rozděleí áhodé veličiy ormovaá áhodá veličia: ormovaý tvar distribčí fkce: e d ormálího rozděleí leží v oblasti: 68, %, 95,5 %, 3 99,7 % výsledků 0.4 kvatil: M Ecel: =NORM..DIT(A;A) =NORM..INV(A) f() 0.35 0.3 0.5 0. 0.5 0. 0.05 0-4 -3 - - 0 3 4
DŽ
DŽ ravděpodobostí papír F iverzí fkce F F teto kvatil je lieárí fkcí áhodé proměé, distribčí fkce je tak zobrazea jako přímka a ikoli jako křivka
DŽ 3 ravděpodobostí papír body : i, pořadová pravděpodobost i i i 99.9 [%] 84. 3 [] 50.0 0 5.9 - s s - 0. -3 0 50 0 0
DŽ 4 Logaritmicko-ormálí rozděleí áhodé veličiy je to model rozděleí, saha vyžit výhodé vlastosti ormálího rozdělěí pro veličiy které sice rozděleí ormálí emají, ale vhodo trasformaci je a ormálí lze převést) časté požití v techické prai (rozděleí doby do opotřebeí výrobk, prostojů při opravách apod., plocha říčích rýžovišťových ložisek, propstost sedimetárích hori) áhodý proces je tvoře sočiem růzých ezávislých vlivů velký počet vlivů, každý vliv má malý příspěvek F f M e M 0 0 e M 0 d jiý pravděpodobostí papír F F ebo Gassův (ormálí) pro N
DŽ 5 tdetovo rozděleí 0 d e c c m m c f Chí -kvadrát rozděleí 0... e 0 0... f
DŽ 6 Základí sobor vs. áhodý výběr základí sobor (možia hodot áhodé veličiy s daým rozděleím) áhodý výběr (skpia hodot ze základího sobor) jiý áhodý výběr (skpia hodot ze základího sobor)
DŽ 7 tatistické zkomáí opisá statistika je zám celý statistický sobor a pomocí statistických metod jso charakterizováy sktečosti, které již astaly. tatistický sobor je koečý a jediečý. tatistická idkce pracje se soborem údajů, které tvoří zpravidla je malo část základího sobor, jehož hodoty čekají a svoji realizaci. Úkolem tedy je vyjádřit sktečost, která teprve astae, ebo sktečost, která již astala, ale která může být pozorováa poze částečě. Základím předpokladem idktivích přístpů je, že část základího sobor, se ktero se pracje, je reprezetativím vzorkem áhodým výběrem.
DŽ 8 tatistický odhad Bodový odhad odhad charakteristiky rozděleí áhodé veličiy (ezámého čísla) výběrovo charakteristiko (zámým vypočteým číslem). Výběrová charakteristika, která představje bodový odhad je áhodo veličio, a proto se její hodoty při opakovaém odhadováí liší od odhadovaé charakteristiky a výrok o přesosti odhad je ejistý. Bodové odhady msí mít rčité vlastosti, podle ichž lze posodit vhodost požití daé veličiy k odhad charakteristiky. rotože k odhad lze požít zpravidla růzé výběrové charakteristiky, je třeba staovit kriteria pro jejich volb. Itervalový odhad odhad charakteristiky rozděleí áhodé veličiy, při ěmž kromě čísla, kterým se charakteristika odhadje, dává ještě přesost a spolehlivost této přesosti. Jiými slovy, rčje se iterval (kofidečí iterval), který s předem zvoleo pravděpodobostí (kofidečí koeficiet, hladia spolehlivosti) zahrje hodot ezámé charakteristiky rozděleí áhodé veličiy.
DŽ 9 ř.: Úavová zkoška ři statistickém zjišťováí Wöhlerovy křivky se zkoší a každé zvoleé hladiě apětí daý počet vzorků, vyhodoceím podle avržeého model rozděleí Gassovo ormálí rozděleí pro (N) lze získat Wöhlerov křivk pro dao pravděpodobost poršeí. U: Zpracovat statisticky výsledky zkošky a hladiě i =65 Ma. D: zkošeo =4 vzorků do porchy Vzorek 3 4 5 6 7 N0 3 [-] 9, 03,0 4,4 3,4 83,8,0 74,0 Vzorek 8 9 0 3 4 N0 3 [-] 39, 68,7 3,4 54,0 346,6 87, 5,7 Data z příklad jso vlastě áhodým výběrem 4 vzorků z daleko širšího základího sobor všech možostí!
DŽ 0 Relativí četost a rel. kmlativí četost i X i = N i 0 3 [-] i = (N i ) [-] [%] 4,4 5,095 6,67 68,7 5,7 3,33 3 87, 5,7 0,00 4 03,0 5,307 6,67 5 3,4 5,39 33,33 6 3,4 5,39 40,00 relativí četost 0.4 0.35 0.3 0.5 0. 0.5 0. 0.05 0 7 5,7 5,334 46,67 8 9, 5,34 53,33 9,0 5,344 60,00 0 54,0 5,405 66,67 74,0 5,438 73,33 83,8 5,453 80,00 3 346,6 5,540 86,67 relativí kmlativí četost 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0 00 % i i 4 39, 5,59 93,33 N i [kc] = X i áhodá proměá, (N i ) = i trasformovaá áhodá proměá, ( i ) pořadová pravděpodobost (dává poměro část výběr mající hodoty meší ež daá hodota i ).
DŽ Bodový odhad Název Vzorec Hodota Výběrový aritmetický průměr ( N) i i 5,358 Výběrový geometrický průměr Mediá Mods geom i i m k, k pro liché; k k m, k pro sdé Nejčastější hodota 5,356 5,338 5,39 Výběrový rozptyl ˆ i i 0,057 Výběrová směrodatá odchylka ˆ ˆ K K 3, 09 0,8 Výběrový variačí sočiitel vˆ ˆ 0,04
DŽ ˆ K ˆ Correctio factor K(),9,8,7,6,5,4,3,, 0 4 6 8 0 4 6 8 0 Nmber of specimes
DŽ 3 Itervalový odhad středí hodoty Hladia spolehlivosti a: pravděpodobost s jako je očekáváo, že rčovaý parametr rozděleí se bde vyskytovat ve vypočteém iterval (v techice 95 %, 90 % i 97,5 %) Riziko: b=-a pro příklad Itervalový odhad středí hodoty ormálího rozděleí je založe a sktečosti, že áhodá proměá t podléhá tdetov rozděleí s (-) stpi volosti, tj. v =3 ve výraz pro t. rozděleí a itervalový odhad. t ˆ výběrový odhad středí hodoty sktečá středí hodota
DŽ 4 Itervalový odhad středí hodoty a a a t t ˆ 6944 9890 5,48 5,97,77 3 0,8 ˆ 5,358 ˆ ˆ N t t t a a a M EXCEL: =TINV(0.;3) Užijeme tdetovo rozděleí
DŽ 5 Itervalový odhad rozptyl ˆ 0,86 0,095 0,0347 0,009 5,89 0,05 3,36 0,05 3 0,057 ˆ ˆ ˆ, 4, 4,, b b Nelze přepočítat a cykly M EXCEL: =CHIINV(0.05;3) M EXCEL: =CHIINV(0.95;3) Užijeme Chí -kvadrát rozděleí
DŽ 6 Dolí iterval spolehlivosti ˆ z příklad je možé rčit: té rozšířit o iformaci, jak je spolehlivý: k ˆ,,, b b b, k b b b b
DŽ 7,, ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ k N N N N K N N N N i i i i b b b Určeí bezpečého úavového života
DŽ 8 99.9 [%] ravděpodobostí papír příklad 3 [] 84. 50.0 0 i 5.9 - - 0. N i 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5, 5, 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 = N -3
ravděpodobostí papír příklad DŽ 9 99.9 [%] 3 [] 84. 50.0 0 5.9 - s s - -,36 0. 50,50 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5, 5, 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 = N -3
ravděpodobostí papír příklad DŽ 30 99.9 [%] 3 [] 84. 50.0 0 5.9 - s s - -,36 0. 50,50 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5, 5, 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 = N -3
DŽ 3 99.9 [%] ravděpodobostí papír příklad 3 [] 84. 50.0 0 5.9 - s s 0.,50 50,50 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5, 5, 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 = N - -,36-3
DŽ 3 99.9 [%] ravděpodobostí papír příklad 3 [] 84. 50.0 50,0 0 5.9 - s s 0.,50 50,50 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5, 5, 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 = N - -,36-3
DŽ 33 99.9 [%] ravděpodobostí papír příklad 3 [] 84. 50.0 50,0 0 5.9 - s s 0.,0,50 50,50 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5, 5, 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 = N - -,36-3
DŽ 34 99.9 [%] ravděpodobostí papír příklad 3 [] 84. 50.0 50,0 0 5.9 - s s 0.,0,50 50,50 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5, 5, 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 = N - -,36-3
DŽ 35 Určeí bezpečého úavového života N ˆ, b N k, b, b [%] p b=0% K X,b N,b 50 0.000 -.8-0.35 5.3 05 88 0-0.84 -.8 -.3 5.89 54 57 5 -.645 -.8 -.3 5.06 4 973 -.36 -.8-3.0 4.948 88 733 0.0-3.79 -.8-5.03 4.74 5 785 Eistje 0% riziko, že po acyklováí 5 785 cyklů se porší z 0 000 zkšebích vzorků základího sobor.
DŽ 36 Odvozeí přepočt a bezpečý úavový život N B B c a c a c a N N N N 0 X X X Y X Y X X kost X kost kost f d
v C DŽ 37 ravděpodobostí áplň soč. bezpečosti sc C Dáo: a =80 Ma C =40 Ma v a =% s C =38 Ma 38 40 9,0% provoz Bezpečá ú. pevost Hstoty pravděpodobosti os odpovídající bezpečosti k C mezí tředí mez úavy ú. pevost k C Bezpečost C a 40,5 80 Výpočet kvatil a s C C s a v k C k C C v a ravděpodobost porchy p M EXCEL: =NORMDIT() =NORMINV() 0,09,5,5 0,06 3,38 0,00036 0,036%
DŽ 38 redikce safe life Bezpečý úavový život pravděpodobost poršeí << 0 (Např. 0,0%... 0,000 %) Hstoty pravděpodobosti N Bezpečý život L B os a bezpečost k L tředí život L 50 život měrodatá odchylka úavové křivky měrodatá odchylka četosti kmitů provoz Celkový sočiitel bezpečosti pro úavový život N k L oč. bezpečosti pro úavovo křivk k N (3.0... 6.0) očiitel bezpečosti pro četost kmitů provoz k (.0,.0) Bezpečý úavový život L B L50% L50% k k k L N
DŽ 39 redikce safe life ravděpodobost porchy Hstoty pravděpodobosti N Bezpečý život L B os a bezpečost k L tředí život L 50 ředpoklad: -ormálí rozděleí životostí N Výpočet kvatil a pravděpodobosti porchy pro dao bezpečost kl život... L B N L 50 N L L B 50 k N L p [%]