Úvod do nelineárních problémů c B. Patzák (borek.patzak@fsv.cvut.cz), 2012, verze 01
Příklady nelineárního chování Problém vedení tepla, kde vlastnosti materiálu (koeficient vedení tepla) závisí na aktuální teplotě ( ) λ(x, T ) + Q(x) = 0 d dx dt (x) dx Problém vedení tepla, radiace jako okrajová podmínka: ( ) q(x) = ε(x)σ(x) T 4 (x) T 4 Úlohy mechaniky, kde uvažujeme Nelineární chování materiálu Geometricky nelineární chování - velké deformace, podmínky rovnováhy na deformované konstukci, zatížení měnící směr s deformací konstrukce (followers load) Kontaktní problémy
Nelineární mechanika F int (r)r = F ext (r) Nelineární problém neumíme řešit přímo iterační řešení V nelineární oblasti neplatí princip superpozice Každý zatěžovací stav vyžaduje novou analýzu Pro určitou množinu zatížení může existovat více řešení Pokud je zatěžovací stav tvořen více zatíženími, záleží na pořadí jejich aplikace F2 F1=2*F2 σ F1, F2 F2/A σ F2, F1 A F1/A F1/A 0000 1111 0000 1111 ε F2/A ε
Pojem zatěžovací dráhy F Reprezentativni zatizeni referencni konfigurace zatezovaci (rovnovazna) draha Representativni posun w
Zatěžovací dráha, základní typy FP FP LP FP (a) (b) (c) Klasifikace důležitých bodů na zatěžovací dráze LP LP FP TP LP Legenda: LP: Limitní bod (Limit Point), FP: Porušení (Failure Point), BP: Bifurkační bod (Bifurcation Point), TP: bod zvratu (Turning Point). TP LP FP BP FP
Kritické body Spekrální rozklad matice tuhosti K y i = λ i y i, i = 1,, N Pokud budeme předpokládat, že K je reálná, symetrická matice, potom všechna vlastní čísla jsou reálná všechny vlastní tvary y i jsou reálné, dále budeme předpokládat, že jsou ortogonalizované: y T i y j = δ ij.
Regulární bod: K je nesingulární Kritický bod: K je singulární, existuje jedno (izolovaný kritický bod) nebo více (násobný kritický bod) nulových vlastních čísel. Determinant matice tuhosti K je nulový v kritických bodech
Klasifikace izolovaných kritických bodů Limitní bod: zatěžovací dráda bez větvení, tečna dráhy má nulovou derivaci Bifurkační bod: dvě a více zatěžovacích drah, nejednoznačná derivace. Pokud označíme vlastní tvary příslušné nulovým vlastním číslům jako y c (null eigenvectors, K y c = 0 a q c je přírůstkový vektor zatížení, pak: y T c q c 0: limitní bod y T c q c = 0: bifurkační bod
Geometrická nelinearita Kinematika velkých posunutí Uvažujme trojrozměrný Eukleidovský prostor, kde počáteční konfigurace tělesa Ω je popsána množinou bodů, jejichž poloha je charakterizována jejich polohovým vektorem x = x i e i ; x = {x 1, x 2, x 3 } T O oblasti Ω předpokládáme, že je ohraničená (Γ = Ω), s vnější normálou n. Hranici Γ lze rozdělit na část, kde jsou předepsány kinematické okrajové podmínky Γ u a část Γ p, kde je předepsané vnější zatížení; Γ u Γ p = 0, Γ u Γ p = Γ; Γ u 0. Deformovaná konfigurace tělesa v čase t je popsána polohovým vektorem bodů deformované konfigurace x ϕ = ϕ t (x) Polohové vektory v počáteční a deformované konfiguraci můžeme vyjádřit jako x = x e ; x ϕ = x ϕ e ϕ c B. Patzák (borek.patzak@fsv.cvut.cz), 2012, verze 01
d(x+dx) dx d(x) dx ϕ x Ω x ϕ Ω ϕ Γ u e = e i i ϕ
Deformační gradient Pro každý bod tělesa můžeme definovat vektor posunutí d(x) = x ϕ x Pro definici deformace, musíme popsat nejen posun jednoho bodu, ale také posun v jeho okolí. Uvažujme posun bodu vzdáleném od referenčního bodu x o vzdálenost dx, tedy d(x + dx). Můžeme pak psát x ϕ +dx ϕ = x +dx +d(x +dx) dx ϕ = dx +d(x +dx) d(x) Poslední výraz s využitím rozvoje do Taylorovy řady d(x + dx) = d(x) + d(x)dx + o( dx ) d i (x + dx) = d i (x) + d i x j (x)dx j + o( dx ) Kombinací předchozích výrazů obdržíme výraz pro transformaci dx v počáteční konfiguraci do dx ϕ dx ϕ = (I + d) dx dx ϕ = F dx; F ij = x i + d i }{{} x j x j F }{{} δ ij c B. Patzák (borek.patzak@fsv.cvut.cz), 2012, verze 01 = ϕ i x j
Změna objemu dv ϕ = (x ϕ dy ϕ ) dz ϕ ; x ϕ = ϕ(x) dx ϕ = ϕdx = (F dx Fdy) F dz = det(f ) (dx dy) dz }{{}}{{} J dv
Polární dekompozice Vyšetřeme, jak se deformační gradient chová při rotaci tělesa jako tuhého celku. V takovém speciálním případě F = R deformační gradient by měl zachovat normu transformovaného vektoru, dx ϕ = dx dx dx = dx ϕ dx ϕ = Rdx Rdx = dx R T Rdx Odtud plyne R T R = I R 1 = R T. Deformaci elementárního objemu lze vyjádřit jako kombinaci ryzí deformace - protažení v hlavních směrech ve výchozí konfiguraci (reprezentované symetrickým, pozitivně=definitním tenzorem U, tzv. Right Strech tensor), následované rotací materiálu do finální polohy (ortogonální tenzor R): F = RU; R T = R 1 ; U T = U Alternativně, finální konfigurace lze dosáhnout inverzním pořadím transformací: rotací ve výchozí konfiguraci, následovanou ryzí deformací V (Left strech tensor): F = V R
R V Initial configuration F Deformed configuration ϕ x,x 3 3 ϕ x,x 1 1 ϕ x,x 2 2 U R
Míry deformace Můžeme definovat jiné míry deformace než U a V, pro výpočet napětí nejsou třeba rotace, jen deformace. Z důvodů výpočetní efektivity je vhodné použít jiné míry deformace, které mohou popsat deformaci bez nutnosti provést polární dekompozici. Jednou z možností je Cauchy-Green right deformation tensor (vztažený k počáteční konfiguraci, podobně jako U): C = F T F = U T R T RU = U 2 Obdobně levý Cauchy-Green deformační tenzor (vztažený k deformované konfiguraci): B = F F T = V RR T V T = V 2
Míry deformace Green-Lagrangeův tenzor deformace: E = 1 2 (F T F I) = 1 (C I) 2 = 1 2 ( d + d T ) + 1 2 d T d = 1 2 ( d i x j + d j x i + d k x i d k x j )e i e j Pro malé přírůstky deformace platí lim u 0 E = 1 2 ( u + ut ) = ε
Green-Lagrangeův tenzor v 1D x = {x, 0, 0} T, d(x) = x ϕ x = {d(x), 0, 0} T dx ϕ = F dx; F = I + d = µ 0 0 0 1 0 0 0 1 kde µ je protažení (stretch), pro homegenní deformaci je µ = l/l; (0 < µ(x) < ). Pro Green-Lagrangeův tenzor pak můžeme psát: E = 1 2 (F T F I) = 1 2 l 2 L 2 L 2 0 0 0 0 0 0 0 0,
Další míry deformace (v 1D) Pootočená inženýrská deformace:ε E = l L L Energeticky přidružené je nominální napětí σ E = N A Pootočená logaritmická deformace ε LN = L dl l L = ln l L = ln(1 + ε G) ε e 1 2 ε2 E a přidružené skutečné (Cauchyho) napětí σ LN = N a Green-Lagrangeova deformace: ε G = l2 L 2 2L 2 = 1 2 ((1 + ε e) 2 1) = ε E + 1 2 ε2 E a přidružené, druhé Piolovo-Kirchhhoffovo napětí σ LN = (σ a A )L L = σ E l l
Příklad: vzpěradlo F 2F l w H H β L 2D D Svislá podmínka rovnováhy (s využitím symetrie): h F = N sin β = N H + w l = N h l N H + w L Z Pythagorovy věty l 2 (H + w) 2 = L 2 H 2 plyne l 2 L 2 = 2Hw + w 2 = (l L)(l + L). Pro deformaci pak platí: ε = l L L = 2Hw + w 2 L(l + L) 2Hw + w 2 2L 2 = Hw L 2 + 1 w 2 2 L 2
Podmínky rovnováhy V deformované konfiguraci necháme působit skutečná napětí (true Cauchy stress). Podmínky rovnováhy pak mají tvar: div ϕ σ ϕ + b ϕ = σϕ ij x ϕ e ϕ i + b ϕ i e ϕ i = 0 j σ ϕ,t = σ ϕ in Ωϕ (1) Nevýhodou je, že deformovaná konfigurace (a souřadnice x ϕ ) jsou známy až když je problém vyřešen, deformovaná konfigurace se navíc stále mění.. Proto se snažíme vyjádřit podmínky rovnováhy ve známé (počáteční) konfiguraci. Nejprve vyjádříme externí zatížení: b ϕ dv ϕ = bdv dv ϕ = JdV } b ϕ J = b (2)
Pro napětí působící na jednotkové plošce deformované konfigurace: σ ϕ n ϕ da ϕ = σ ϕ det[f ]F T nda P = Jσ ϕ F T = PndA, kde P je první Piola-Kirchhoffův tenzor napětí a využili jsme fakt, že da ϕ n ϕ = dx ϕ dy ϕ = (F dx) (F dy ϕ ) = (det[f ]F T )(dx dy) = cof [F ]da n. Tenzor P také nahradí skutečný Cauchyho tenzor napětí v podmínkách rovnováhy: J div ϕ σ ϕ = J σ ϕ ϕ = J σ ϕ (F T ) = (J σ ϕ F T ) = P = divp
Podmínky rovnováhy zapsané v počáteční konfiguraci můžeme tedy zapsat ve tvaru: J div ϕ σ ϕ + J b ϕ = 0 divp + b = 0 Momentové podmínky rovnováhy potom mají tvar: J σ ϕ,t = J σ ϕ F P T = PF T První Piola-Kirchhoffův tenzor je tedy nesymetrický.
Slabá formulace podmínek rovnováhy - PVP V deformované konfiguraci: ˆε ϕ σ ϕ dv ϕ Ω ϕ w ϕ b ϕ dv ϕ Ω ϕ Γ ϕ σ w ϕ t ϕ da ϕ = 0, kde w je vektor testovacích funkcí (vektor virtuálních posunutí), ˆε je tenzor virtuálních deformací, který je v souladu s předpokladem, že virtuální posunutí jsou infinetizimálmí, definován jako tenzor pro malé deformace: ˆε ϕ (w ϕ ) = 1 2 ( w ϕ i x ϕ j + w ϕ j x ϕ i ) e ϕ i e ϕ j.
Vyjádřeme nyní princip virtuálních prací vzhledem k počáteční konfiguraci: ˆε ϕ (w ε ) σ(x ϕ ) ϕ dv ϕ = ˆε ϕ (w ε ) J(x)σ ϕ (ϕ(x)) dv Ω ϕ Ω = ˆε ϕ (w ε ) τ (x) dv Vyjádřeme nyní tenzor virtuální deformace jako funkci souřednic počáteční konfigurace: ˆε ϕ (w ε ) = 1 ϕ 2 ( w i x ϕ j Ω + w ϕ j x ϕ )e ϕ i e ϕ j i = 1 2 (w ϕ ϕ + ϕ w ϕ ) = 1 2 (w F T + F T w) = 1 2 ( wf 1 + F T w)
= = = = = ˆε ϕ (w ε ) σ(x ϕ ) ϕ dv ϕ = ˆε ϕ (w ε ) τ (x) dv Ω ϕ Ω 1 Ω 2 ( wf 1 + F T w) τ dv 1 Ω 2 (F T F T w τ F T + w T F F 1 F 1 τ ) dv 1 Ω 2 (F T w F 1 τ F T + w T F F 1 τ F T ) dv 1 Ω 2 (F T w + w T F ) F 1 τ F T dv Γ S dv, Ω
kde Γ je derivace Green-Lagrangeova tenzoru deformace ve směru virtuálních posunů, odpovídající variaci tenzoru deformace E: Γ = d dε [1 2 (F T F I)] ε=0 = 1 2 (F T w + w T F ) a S = F 1 τ F T = JF 1 σf T je tzv. druhý Piola-Kirchhofův tenzor napětí A tedy PVP vyjádřené prostřednictvím Green-Lagrangeova tenzoru deformace a druhého Piola-Kirchhoffova napětí: Γ S dv w b dv w t da = 0 Ω Ω Γ σ
Příklad: tažený-tlačený prvek ve 2D x ϕ (ξ) = ϕ(x) = x(ξ) + u(ξ) Definujme vektor souřadnic uzlů X = {x 1, x 2, z 1, z 2 } T a vektor uzlových posunů r = {u 1, u 2, w 1, w 2 } T. Odtud x ϕ (x) = ϕ 1 (x) = N 1 (x)(x 1 + u 1 ) + N 2 (x)(x 2 + u 2 ) y ϕ (x) = ϕ 2 (x) = N 1 (x)(y 1 + v 1 ) + N 2 (x)(y 2 + v 2 ) a pro jejich derivace: dϕ 1 dx dϕ 2 dx = dn 1(x) dx = dn 1(x) dx } {{ } 1/L (x 1 + u 1 ) + dn 2(x) (x 2 + u 2 ) dx (y 1 + v 1 ) + dn 2(x) (y 2 + v 2 ) } dx {{ } 1/L
Nenulová složka tenzoru deformace E = (1/2)(F T F I) (F = dϕ/dx) je tedy E 11 = = = = 1 [ ( dϕ 1 ] dx )2 1 2 dx )2 + ( dϕ 2 [ 1 ( dn 1 2 dx (x 1 + u 1 ) + dn 2 dx (x 2 + u 2 )) 2 + ( dn 1 dx (y 1 + v 1 ) + dn ] 2 dx (y 2 + v 2 )) 2 1 1 [ 2L 2 L 2 + (2(x 1 x 2 )u 1 + 2(x 2 x 1 )u 2 2(y 1 y 2 )v 1 + 2(y 2 y 1 )v 2 ) + ( u 2 1 + u2 2 2u 1u 2 2v 1 v 2 + v 2 ) 1 + v2 2 L 2] 1 L 2 X T Hr + 1 2L 2 rt Hr kde X = x 1 y 1 x 2 y 2 r = u 1 v 1 u 2 v 2 H = 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
Pak můžeme psát E 11 = 1 L 2 X T Hr + 1 }{{} 2L 2 r T Hr = B 1 r + 1 }{{} 2 r T Ar E (L) 11 E (NL) 11 S 11 = E( 1 L 2 X T Hr + 1 2L 2 r T Hr) = E(B 1 r + 1 2 r T Ar) δe 11 = 1 L 2 (X T + r T )Hδr = (B 1 + r T A)δr
δr T f int = L δe 11 S 11 dv = δr T 1 L 2 HT (X + r)s 11 }{{} = δr T (H T 1 L 2 (X + r)s 11) dv }{{} AL Linearizací vektoru vnitřních sil f int const. dv = δr T (H T A L (X + r)s 11) }{{} f int f int r r = A HT L S 11 + H T A L (X + r)e 1 L L (X T + r T )H = K r kde můžeme identifikovat následující členy: K m = H T A L (X + r)e 1 L L (X T + r T )H = (K 1 + K 2 (r)) K σ = H T A L ES 11 = AS 11 L H
Linearizace PVP v přírůstkovém tvaru Předpokládejme, že známe deformovanou konfiguraci (f int (r), f ext ) Uvažujme dále malou (diferenciální) změnu konfigurace ( r, f ext ) ( ) 0 = δr T f int (r + r) (f ext + f ext ) ( ) δr T f int int f (r) + r r f ext f ext Linearizovaný PVP na konci přírůstku tedy můžeme psát (K m + K σ ) r = f ext + (f ext f int (r))
Členy tvořící tečnou matici tuhosti jsou tedy postupně: lineární matice tuhosti K 1 = EA L = EA L 3 1 L 2 HT XX T H x 12 x 12 x 12 y 12 x 12 x 21 x 12 y 21 y 12 x 12 y 12 y 12 y 12 x 21 y 12 y 21 x 21 x 12 x 21 y 12 x 21 x 21 x 21 y 21 y 21 x 12 y 21 y 12 y 21 x 21 y 21 y 21
matice počáteční deformace K 2 (r) = EA L 3 (HT } Xr {{ T H} + } H T rx {{ T H} + H} T rr {{ T H} ) k 21 k T K 21 22 kde K 21 = EA L 3 HT Xr T H = EA L 3 x 12 u 12 x 12 v 12 x 12 u 21 x 12 v 21 y 12 u 12 y 12 v 12 y 12 u 21 y 12 v 21 x 21 u 12 x 21 v 12 x 21 u 21 x 21 v 21 y 21 u 12 y 21 v 12 y 21 u 21 y 21 v 21 K 22 = EA L 3 HT rr T H = EA L 3 c B. Patzák (borek.patzak@fsv.cvut.cz), 2012, verze 01 u 12 u 12 u 12 v 12 u 12 u 21 u 12 v 21 v 12 u 12 v 12 v 12 v 12 u 21 v 12 v 21 u 21 u 12 u 21 v 12 u 21 u 21 u 21 v 21 v 21 u 12 v 21 v 12 v 21 u 21 v 21 v 21
matice počátečních napětí K σ = A L S 11H = S 11A L 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
Příklad: vzpěradlo 2F H 2D Geometrie Zatěžovací dráha (osa x: svislý posun ve vrcholu, osa y: síla)
Příklad: vzpěradlo Příklad konvergence (osa x: počet iterací, osa y: chyba řešení) Konvergence s počáteční maticí tuhosti Konvergence s tečnou maticí tuhosti
Literatura: 1. Nonlinear Finite Element Methods (ASEN 6107) - Spring 2012, Department of Aerospace Engineering Sciences University of Colorado at Boulder, http://www.colorado.edu/engineering/cas/courses.d/nfem.d/ 2. Adnan Ibrahimbegovic, Nonlinear Solid Mechanics (Theoretical Formulations and Finite Element Solution Methods, Springer, 2009. 3. A. Bittnar, J. Šejnoha, Numerické metody mechaniky 2, Vydavatelství ČVUT, 1992.