SÍL OENT SÍLY - 10-3. Silové ůsobení na hmotné objekty 3.1 Síla a její osuvné účinky V této kaitole si oíšeme vlastnosti silových účinků ůsobících na konstrukce a reálné mechanické soustavy. Zavedeme kvantitativní ois síly jako vektorové veličiny charakterizující míru interakce (vzájemného ůsobení) mezi tělesy. Účinek síly na hmotný objekt řitom může být statický nebo dynamický. Při dynamickém ůsobení se mění ohybový stav studovaného objektu tj. dochází ke změně rychlosti jednotlivých bodů tělesa. Jsou li vazby ůsobící na těleso takového charakteru, že těleso může konat jen ohyb osuvný (trajektorie všech bodů tělesa jsou stejné, navzájem osunuté křivky), ak rychlosti všech bodů tělesa jsou stejné. Při silovém ůsobení je ak změna rychlosti všech bodů orientována ve směru ůsobící síly a vztah mezi ůsobící silou a vyvolanou změnou ohybového stavu je vyjádřen omocí 2. Newtonova zákona d ( mv ) F =, (3.1) dt kde F je výslednice všech sil ůsobících na těleso. Při statickém účinku sil na těleso odrobené vazbám umožňujícím jen osuvný ohyb nedochází ke změně rychlosti, rotože všechny síly ůsobící na objekt jsou v rovnováze a jejich účinek se vzájemně vyruší. Platí tedy vztah F = 0 (3.2) 3.2 Rozdělení sil Pojem síly vznikl generalizací a abstrakcí subjektivního lidského ocitu tahu nebo tlaku. Příkladem může být ůsobení lana na konzolu Jeho abstrakce je rerezentovaná vektorem (viz obr.3.1), který leží na římce (nositelce síly) a rochází bodem tělesa (ůsobištěm). Vzájemné ůsobení těles řitom nemusí být uskutečňováno římým kontaktem těles, nýbrž i ůsobením na dálku tj. silovým olem. (nař. olem gravitačním). Jak je z názoru oř. z obr. 3.1 zřejmé, ro určení síly jako fyzikální veličiny je nutné zadat místo jejího ůsobení (ůsobiště), směr, smysl ůsobení (orientaci) na určité římce (nositelce) a konečně velikost síly tj. míru intenzity jejího ůsobení. Síla má tedy charakter vektoru vázaného na bod a její účinky na těleso jsou jednoznačně osány omocí ůsobiště, velikosti, směru ůsobení a orientace. Obr.3.1
SÍL OENT SÍLY - 11 - Graficky sílu znázorňujeme omocí orientované úsečky F, očátek této úsečky (v říadě že se jedná o tahovou sílu) nebo konec této úsečky (v říadě že se jedná o tlakovou sílu) umisťujeme do ůsobiště. ěřící jednotkou ro vyjádření velikosti síly je [F]=[kg.m.s -2 ]= [N] (Newton). Při znázorňování síly v rovině oužíváme měřítka tj. délka úsečky vektoru síly v geometrických jednotkách (nař.v cm) je úměrná velikosti síly ve fyzikálních jednotkách (nař. v Newtonech), šika řitom určuje smysl ůsobení síly. Jestliže ůsobiště sil je omezeno na malou lošku, jejíž velikost můžeme oroti loše ovrchu hmotného objektu zanedbat tj. můžeme ji se zanedbatelnou ztrátou řesnosti soustředit do bodu, ak takové síly budeme nazývat soustředěné (bodové, izolované, osamocené) síly. V říadě, že ůsobení sil není omezeno na bod, ak budeme hovořit o sojitém silovém ůsobení (nař. síly na kontaktu neumatiky s vozovkou, síly v čeech, gravitační síly ůsobící v rostoru tělesa aod.). 3.3 Otáčivé účinky síly V říadě, že vazby ůsobící na těleso jsou takového charakteru, že umožňují ouze ohyb rotační (nař. ložiska), ak ři silovém ůsobení může docházet otáčení tělesem tj. tělesa jsou uváděna do rotačního ohybu (viz obr. 3.7). Při dynamickém silovém ůsobení je ak změna ohybového stavu ři rotačním ohybu určena vztahem d ( ω ) o = Io (3.3) dt kde o je výsledný moment od všech ůsobících sil na těleso vzhledem k ose rotace o, I o je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose rotace o a ω je úhlová rychlost rotace. Při statickém ůsobení je výsledný moment všech ůsobících sil nulový a nedochází tedy ke změně hodnoty úhlové rychlosti. Platí tedy = 0 (3.4) o 0br. 3.2 3.3.1 oment síly k bodu Pro schonost síly otáčet tělesem se oužívá termín moment síly k bodu tělesa.velikost točivého účinku řitom závisí jak na velikosti síly F, tak i na velikosti ramene (viz obr.3.7).
SÍL OENT SÍLY - 12 - oment síly k bodu je ak vektor res. kolem osy rocházející kolmo na rovinu vytvořenou silou a olohovým vektorem jejího ůsobiště. Předokládejme že těleso je uloženo v bodě O, jehož oloha se nemění. Otáčivý účinek síly F s ůsobištěm v bodě k bodu O ak vyjadřujeme vektorem O = r x F (viz obr. 3.8). oment síly k bodu je tedy vektor vázaný na bod O (k jinému vztažnému bodu je moment síly F jiný, roto oužíváme ro jeho označení vztažný bod O jako index), je kolmý na rovinu vytvořenou vektory r a F a je orientovaný na tu stranu roviny, odkud se jeví otáčení v kladném smyslu (soustava vektorů r, F, je ravotočivá). Směr vektoru určíme omocí ravidla ravé ruky tak, že rsty ukazují směr otáčení a alec řitom ukazuje smysl orientace vektoru momentu obr. 3.9. Při rovinných úlohách leží rameno síly i vektor síly v jedné rovině, kterou oužijeme jako nákresnu. oment síly ak označujeme kladně (+) okud má tendenci otáčet těleso roti smyslu otáčení hodinových ručiček res. záorným znaménkem (-) okud má tendenci otáčet tělesem ve smyslu otáčení hodinových ručiček (tato dohoda odovídá kladné res. záorné orientaci vzhledem ke kartézské ose z vystuující z nákresny). O O O Obr. 3.3 Obr. 3.4 Poznámka: Pro vektorový součin nelatí komutativní zákon tj. O F x r. Jak vylývá z definice vektorového součinu, velikost O =r Fsinϕ =F =F t r, kde =r sinϕ, F t =Fsinϕ. Jsou-li vektory r, F určeny souřadnicemi x, y, z, F x,, F y, F z ak moment O je vyjádřen ve tvaru známém z vektorového očtu: i j k y z xz x y O = x yz = i j + k = FyFz FxF F z xfy (3.5) FxFy Fz = ( y F z F ) i + ( z F x F ) j + ( x F y F ) k z y x z y x
SÍL OENT SÍLY - 13 - Obr. 3.5 Obr. 3.6 Výrazy v závorkách jsou souřadnicemi vektoru O. Z vlastností vektorového očtu římo lynou dvě následující věty (tzv. Varignonovy). = r xf = r x( F + F + F ) = r xf + r xf + r xf ) O x y z x y z což můžeme slovy formulovat takto: oment síly k bodu O je roven vektorovému součtu momentů od jejích složek., (3.6) Tato věta se s výhodou oužívá ři numerických výočtech hodnot momentů. Nař. jestliže očítáme moment síly F k ose z, neočítáme odle obr. 3.10 neboť neznáme vzdálenost, ale výhodněji odle obr. 3.11. Obdobně, jestliže v bodě ůsobí soustava sil F 1,...,F n, ak moment od této soustavy můžeme nahradit momentem od výslednice tj. latí = = r x F r x F = ( r x F ) =, (3.7) O v i i Oi což můžeme formulovat takto: oment od výslednice soustavy sil se solečným ůsobištěm je roven vektorovému součtu momentů od jednotlivých sil. Poznámka : oment vztažným bodem O. O je nulový, jestliže velikost F je nula nebo nositelka n F rochází 3.3.2 oment síly k ose oment síly k bodu je vždy kolmý na rovinu obsahující rameno síly a vektor síly. V raxi však často otřebujeme znát i otáčivý účinek síly vzhledem k ose rotace, která není kolmá na vektor ůsobící síly. Předokládejme, že těleso je uloženo v ose. Pak se toto těleso (obr.3.12) ůsobením síly F s ůsobištěm v může otáčet kolem osy. oment síly k libovolnému bodu ležícím na je určen vztahem = r x F. Z toho je zřejmé, že moment je závislý na oloze vztažného bodu na ose tj. otáčivý účinek síly F k ose nemůže být tedy charakterizován momentem. usíme tedy nalézt takovou složku,
SÍL OENT SÍLY - 14 - která bude ro všechny body římky stejná. Jak vylývá z obr. 3.12, násobíme-li skalárně jednotkovým vektorem e, ak dostaneme.e = ( r x F ).e = ( r x F ).e ( ro x F ).e = ( r x F ).e, neboť ( ro x F ).e = O. Veličina.e je tedy stejná ro všechny body ležící na římce a je to souřadnice vektoru vzhledem k ose. Proto moment síly F ůsobící v bodě vzhledem k ose definujeme omocí vztahu: =.e, kde =.e = ( r x F ).e, (3.8) oment síly F je tedy vektor vázaný k římce a je roven růmětu momentu síly F vzhledem k libovolnému bodu do osy. Vyjádříme-li jednotlivé vektory r, F, e souřadnicemi, ak z vektorového očtu je známo, že smíšený součin a ro velikost momentu můžeme oužít vztah x y z = F F F = x y z cosα cos β cosγ = F z cos β + F x cosγ + F y cosα F y cosγ F z cosα F x cos β x y z x y z (3.9) Počátek O kartézské soustavy souřadnic je bodem osy x. Podle ředcházejícího tedy latí, že x-ová složka momentu Ox je rovna momentu x k ose x. Podobně O je bodem osy y a osy z tj. latí Ox = x, Oy = y, Oz = z (3.10) oment síly F k očátku O je tedy roven součtu (vektorovému) momentů téže síly F ke třem osám kartézského souřadného systému tj. můžeme sát = + + (3.11) Uvažujme nyní dva zvláštní říady: O x y z a) Síla F je rovnoběžná s osou, takže otom latí = ( r x F ).e = ( F x e ).r = 0 b) Nositelka síly F rotíná osu. Pak oložíme-li vztažný bod do solečného růsečíku, je r rovnoběžná s F tj. r x F = 0 a tedy oět =0. Platí tedy: oment síly F k ose je nulový když nositelka síly F je rovnoběžná s osou nebo když osu rotíná.
SÍL OENT SÍLY - 15 - r r O x Obr. 3.7 3.3. 3 oment silové dvojice Zvláštním říadem silové soustavy je soustava dvou sil stejně velkých ale oačně orientovaných sil. Takové soustavě říkáme silová dvojice (obr.3.13) Silová dvojice má zvláštní vlastnosti, které využíváme v každodenním životě- nař. otvírání kohoutku, otáčení volantu aod. Uvažujme silovou soustavu tvořenou dvěma silami F1 a F 2, které jsou stejně velké tj. F 1 =F 2 = F a oačně orientované tj. e = e. Pak latí: F1 F2 F 1 2 ( ) 0 V = F + F = F + F = Pro výsledný moment sil F1, F2 k bodu O latí = 1 + 2 = r1 x F + r2 x ( F) = r x F O O O Jeho velikost =F 1 r sinϕ=konst Z těchto rovnic vylývá, že ři ůsobení dvou stejně velkých, oačně orientovaných sil je F V = O a 0 = = = konst Obr. 3.8
SÍL OENT SÍLY - 16 - Silová dvojice má tedy vzhledem k libovolnému bodu stejný rotační účinek a nulový účinek osuvný. Vektor momentu silové dvojice je tedy vektor volný v rostoru, jeho velikost je rovna součinu jedné ze sil a kolmé vzdálenosti obou nositelek, jeho orientace je kolmá na rovinu určenou nositelkami obou sil a jeho smysl je určen ravidlem ravé ruky (viz obr. 3.14). Obr. 3.9 Obr. 3.10 Obr. 3.11 Obr. 3.12 Obr. 3.13
SÍL OENT SÍLY - 17 - Vzhledem k tomu, že vektor momentu silové dvojice je vektor volný v rostoru, dvojicí lze 1) libovolně osouvat nebo otáčet v rovině (3.15) 2) libovolně osouvat do rovin navzájem rovnoběžných s rovinou dvojice sil (obr.3.16) 3) vykonat redukci dvojice (tj. nahradit jí jinou dvojicí) tak, aby latilo =F 1 =F 1 (viz obr.3.17). Jestliže na těleso ůsobí několik silových dvojic v navzájem rovnoběžných rovinách, můžeme je myšleně řemístit do bodu jedné roviny a algebraicky sčítat s ohledem na znaménka tj. = i. Jestliže silové dvojice ůsobí v různoběžných rovinách, o řemístění do libovolného bodu rostoru je můžeme sčítat vektorově. Výsledný moment je = 1 + 2, řitom silová dvojice tohoto momentu leží v rovině kolmé na (obr. 3.18). Působí-li na těleso n silových dvojic, ak všechny tyto dvojice můžeme nahradit v libovolném místě tělesa jejich momenty,, 1 2 n. Protože jde o vektory rocházející jedním bodem, určíme výsledný moment jejich vektorovým součtem tj. V = i Poznámka k označování: - moment síly F k bodu - moment síly F k ose -moment silové dvojice ( F,- F ) Při znázorňování silové dvojice v její rovině, tj. v rovině určené rovnoběžnými nositelkami, budeme užívat tuto symboliku (viz obr. 3.14a a 3.14b): (obr. 3.14a) (obr. 3.14b)
SÍL OENT SÍLY - 18 - kde symbol budeme dále oužívat ro ekvivalenci ať již z hlediska označování veličin tak i z hlediska mechanické ekvivalence. Poznámka 1: Pokud se bude dále vyskytovat název moment bez bližšího vymezení (nebude uváděn vztažný bod), bude se vždy jednat o moment silové dvojice. Poznámka2 : Samostatnou sílu nelze nahradit silovou dvojicí a samostatnou silovou dvojici nelze nahradit silou 3.3.4 Souvislost momentů síly Všechny dříve uvedené momenty mají stejnou fyzikální odstatu a stejný rozměr N.m. Rozdílná je však geometrická interretace. V konečném výsledku otáčivý účinek vždy odovídá ůsobení silové dvojice. Souvislost mezi momentem síly k bodu, momentem k ose a momentem silové dvojice si ozřejmíme na říkladu dotahování matice klíčem (obr. 3.15). ɶ F 1 Obr. 3.15 íra mechanického ůsobení síly F k bodu O je dána velikostí síly a délkou ramene síly (kolmou vzdáleností nositelky síly od osy otáčení). Co však zůsobuje otáčení klíče? Vzhledem k nezbytné vůli otřebné k zasunutí klíče na matici dojde ři ůsobení síly F na klíč na okrajích matice k bodovým kontaktům v místech a tj. ke vzniku kontaktních sil F 1 a F 2 jak je naznačeno na obr. 3.15. Na matici tedy v místech a ůsobí silová dvojice o točivosti k = F 1 d. Utažení šroubu tedy zůsobuje tato silová dvojice. Vezmeme-li momentovou odmínku vzhledem k bodu, ak vidíme, že souvislost mezi velikostí sil F 1 a velikostí zátěžné síly F je dána rovnicí k = F 1 d =F. Jestliže se rameno síly F zvýší (nař. rodloužením klíče omocí trubky se rameno zvýší z hodnoty na hodnotu ɶ ), ak je zřejmé, že ři stejné velikosti síly F se zvýší i hodnota točivého účinku. Na matku tedy ůsobí silová dvojice a ta je vektor volný v rostoru. Proto také ři ovolování matic na kole vozidla musíme začít s ovolováním řed vyheverováním vozidla (jinak se nám kolo rotáčí v ose kola tj. v místě možného ůsobení momentu silové dvojice k ). Při řenosu silových ůsobení v technických zařízeních vzniká často moment silové dvojice mezi akční ůsobící silou a silou reakční od rámu. Nař. ři otáčení volantu jednou rukou vzniká reakční síla v uložení hřídele řízení a zůsobuje namáhání uložení. Zároveň vzniklá reakční síla vytváří s akční sílou ůsobící na volant nežádoucí silovou dvojici která namáhá hřídel volantu. Dalším zdrojem namáhání hřídele volantu je od momentu silové dvojice vzniklých tečných složek reakcí mezi koly a vozovkou, který je na hřídel volantu řenesen řes čey kol a řevodku řízení. F 2
SÍL OENT SÍLY - 19-3.4 Věty o silách a momentech Z axiomů mechaniky a z ravidel vektorového očtu vylývají o silách a momentech důležité věty: V1 (Věta o osunutí síly)- Síla F je staticky ekvivalentní s každou silou stejné velikosti a smyslu ležící na nositelce n F. Jinými slovy- účinek síly na těleso se nezmění jestliže se ůsobiště síly libovolně osune o nositelce. Síla je tedy vektor volný na římce. V2 (věta o 2 silách)- dvě síly jsou v rovnováze tehdy a jen tehdy, jestliže leží na solečné nositelce, jsou stejně velké a jsou oačně orientované. Jinými slovy - síla F je v rovnováze s každou silou stejné velikosti a oačného smyslu, obě síly však musí ležet na solečné nositelce. Tyto 2 síly vytváří soustavu nulového vektoru. V3 (věta o 3 silách)- 3 síly jsou v rovnováze tehdy a jen tehdy jestliže se jejich nositelky rotínají v jednom bodě, síly leží v jedné rovině (jsou komlanární) a součet dvou sil je stejně velký, ale oačně orientovaný než síla třetí V4 - K tělesu je možné řidat nebo ubrat rovnovážnou silovou soustavu aniž by se změnil jeho ohybový stav. V5 - Každou sílu můžeme jednoznačně rozložit v rostoru do 3 nekomlanárních směrů (směry řitom nemusí být na sebe kolmé). V rovině můžeme každou sílu rozložit do 2 různých směrů V6 (Varignonova věta 1) - oment síly F vzhledem k libovolnému bodu je vektorovým součtem momentů od jejích složek k témuž bodu (latí i ro neortogonální složky). Nař. v říadě kartézské soustavy latí = r x F = r x i F + r x j F + r x k F ( ) ( ) ( ) x y z V7 (Varignonova věta 2)- oment výslednice centrální soustavy sil je roven vektorovému součtu momentů od jednotlivých sil = r x F = r x F = V i i V8- Je-li moment síly k libovolnému bodu roven, ak ro všechny body C římky, která je rovnoběžná s nositelkou síly F a rochází bodem latí = C V9 oment síly F k ose x je roven x-ové složce momentu síly F k libovolnému bodu = ro x. Vzhledem k tomu, že očátek O kartézské ležícím na x tj. latí ( ) soustavy je bodem ležícím na osách x, y, a z, latí ro něj =, =, = ( ) ( ) ( ) O x O y O z x y z V10- oment silové dvojice je vektor volný v rostoru x x V11- oment silové dvojice k libovolné ose je roven růmětu vektoru momentu silové dvojice do směru osy
SÍL OENT SÍLY - 20 - =.e V12- oment síly vzhledem k římce je nulový jestliže nositelka F římku rotíná nebo je s ní rovnoběžná V13-2 silové dvojice jsou v rovnováze tehdy a jen tehdy, jestliže jejich vektory jsou stejně velké, oačně orientované, a oačného smyslu (silové dvojice řitom nemusí ležet v rovnoběžných rovinách)