ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 4/3 GPS - oskulační elementy dráhy družice školní rok semestr skupina zpracoval datum klasifikace 2010/11 1 NG1-88 Jan Dolista 6. 12.
GPS - oskulační elementy dráhy družice Zadání: Na základě skutečných drah družic daných svými přesnými efemeridami v souborech formátu SP3, poskytovaných na serveru služby IGS, sledujte časový průběh oskulačních elementů. Použijte k tomu data pro den = den Vašeho narození + 20 let (resp. totožné datum, pouze rok se zvýsí o 20, je-li tímto dnem neexistující 29.únor, použijte data z 1.dubna). Výpočty provádějte pro družici PRN = 1. Pokud v daném souboru formátu SP3 není družice PRN = 1, použijte nejbližší vyšší PRN (2, 3,... ). Číselné zadání: Průběh oskulačních elementů družice PRN 1 byl sledován pro den 7.4.2007, tedy GPS týden 1421 den 6. Vypracování: Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave. Jako geocentrická gravitační konstanta byla použita hodnota GM = 398, 6004418 10 12 m 3 s 2. 1 Poloha družice v průběhu dne K výpočtu oskulačních elementů bylo nutné znát polohu družice v průběhu daného dne a to v inerciálním referenčním systému ICRS, tedy v systému, který nerotuje společně se Zemí. Ze služby IGS lze však získat pouze pozice družic v systému WGS84, který je pevně spojen se Zemí a tedy rotuje. Z tohoto důvodu je nutné polohy družice nejprve transformovat do ICRS. Ze služby IGS byla stažena zdrojová data a to: igs14216.sp3 - soubor obsahující polohu družic v průběhu dne v systému WGS84 igs14216.erp - soubor obsahující parametry rotace Země Číslo vedené v názvu souboru odpovídá číslu GPS týdne (1421) a číslu dne v rámci tohoto týdne (6). Pro převod datumu byl použit GPS kalendář, ze kterého bylo rovněž určeno modifikované juliánské datum dne 7.4.2007 MDJ 54197. Pro transformaci souřadnic byl použit program sp3crs.exe, který je spuštěn s několika paramtery: sp3crs -xp 39165 -yp 485581 -ut -746283 -gp 14 -o igs14216.txt 1 igs14216.sp3 parametry -xp a -yp určují polohu pólu získanou ze souboru.erp parametr -ut určuje rozdíl časů UT1-UTC získaný ze souboru.erp parametr -gp určuje rozdíl času GPS-UTC, ten je složen z rozdílů časů TAI-GPS = 19sec, který je konstantní, a TAI-UTC, který je proměnný, a pro rok 2007 je jeho hodnota 33sec parametr -o udává název výstupního souboru dále je zadáno PRN družice, číslo 1 bez návěští posledním vstupním parametrem je soubor sp3, rovněž bez návěští Jelikož program sp3crs pracuje se starší verzí formátu sp3, je nutné vstupní soubor editovat. Editace spočívá v odmazání posledních čtyř sloupců, udávajících střední chyby, nahrazení písmene G, označujícího družici GPS NAVSTAR mezerou a u PRN družic 1-9 nahradit uvozující nulu opět mezerou.
Výstupem programu sp3crs je textový soubor který pro dané PRN obsahuje ve 2. sloupci MDJ, ve 3. sloupci sekundu v rámci daného dne a ve 4.-6. sloupci souřadnice XYZ družice v systému ICRS. 2 Výpočet Keplerovských oskulačních elementů Jelikož je dráha družice rušena působením ostatních vesmírných těles, zejména Slunce a Měsíce, nelze její pohyb popsat pomocí jedné keplerovské elipsy. Avšak dráhu družice mezi dvěma po sobě jdoucími známými polohami ze souboru sp3 lze popsat keplerovskou elipsou, která těmito body prochází. 2.1 Přibližné parametry keplerovské elipsy v prvním bodě Pro výpočet je nejprve nutné určit přibližné parametry keplerovské elipsy popisující pohyb družice mezi první a druhou pozicí známou ze souboru sp3. Jelikož v souboru sp3 jsou uvedeny souřadnice družice v daném okamžiku, lze jednoduše vyjádřit vektor polohy v daném okamžiku. ρ(t) = X(t) Y (t) Z(t) Polohy družice ve dvou po sobě jdoucích okamžicích lze tedy určit pomocí polohových vektorů ρ(t 1 ), ρ(t 2 ) Z těchto vektorů lze vyjádřít přibližný vektor rychlosti družice v prvním z bodů ρ(t 1 ) = ρ(t 2 ) ρ(t 1 ) t 2 t 1 Stavové vektory popisující dráhu družice v prvním bodě ρ(t 1 ), ρ(t 1 ) lze převést na kelperovské elementy popisující tuto dráhu a, e, i, Ω, ω, t per. Pro tento převod byla v programu Octave vytvořena funke sv2ke. Vstupem této funkce jsou stavové vektory ρ(t 1 ), ρ(t 1 ) a čas t 1, výstupem pak keplerovské elementy dráhy družice. Pomocný vektor h = ρ ρ Dále je použito značení velikostí vektorů h = h a ρ = ρ Rektascenze výstupního uzlu Ω = atan h(1) h(2) Sklon dráhy Pravá anomálie Excentricita Hlavní poloosa Vektor polohy v rovině dráhy i = atan v = atan e = a = h(1) 2 + h(2) 2 h h(3) ρ GM ρ ρ h 2 ρ GM 1 h ρ ρ ρ GM sin v h 2 GM (1 e 2 ) R T z r = R x T ( i) R z T ( Ω) ρ
Argument šířky Argument perigea Excentrická anomálie Střední anomálie Čas průchodu perigeem u = atan r(2) r(1) ω = u v E = 2atan 1 e 1 + e tanv 2 M = E e sin E t per = t M n, kde n = GM a 3 Tento výpočet přibližných parametrů keplerovksé elipsy byl použit pouze pro první dvojici bodů. Pro následující dvojice byly jako přibližné parametry keplerovské elipsy použity konečné parametry vypočtené pro předchozí dvojici bodů. 2.2 Přiblížení keplerovské elipsy oběma bodům Jelikož pro výpočet parametrů keplerovské elipsy byl použit vektor polohy prvního bodu a přibližný vektor rychlosti, neprochází tato elipsa druhým bodem. Z tohoto důvodu je nutné upravit parametry elipsy tak, aby procházela oběma body. Tento výpočet je prováděn iteračně. ( ρ(t1 ) ρ(t 2 ) ) ( ) ρ0 = 0 (t 1 ) ρ 0 (t 2 ) + A dx, kde ρ je vektror polohy určený ze souřadnic v souboru sp3 (po transformaci do ICRS), ρ 0 je vektor polohy určený z přibližných keplerovských elementů, A matice derivací vektoru ρ podle keplerovských elementů a dx jsou opravy přibližných keplerovských elementů. ρ 0 V dalším výpočtu je použito následující značení: ( ) ρ(t1 ) F = ρ(t 2 ) F 0 = ( ρ0 0 ρ 0 ρ 0 (t 1 ) ρ 0 (t 2 ) ) 2.2.1 Přibližný vektor polohy Pro výpočet vektoru polohy z přibližných keplerovských elementů ρ 0 byla opět v programu Octave vytvořena funkce ke2sv, jejímž vstupem jsou přibližné keplerovské elementy a čas pro který má být vektor polohy vypočten, výstupem pak vektor polohy a vektor rychlosti. Střední anomálie M = n (t t per ), kde Excentrická anomálie n = GM a 3 E = M + e sin E Excentrická anomálie byla určena iteračně, kdy v první iteraci je hodnota excentrické anomálie volena E 0 = M + e sin M. V dalších iteracích je hodnota anomálie dána vztahem ρ 0
E i = M + e sin E i 1. Výpočet je opakován, dokud rozdíl ve dvou po sobě jdoucích iteracích není menší než 10 10. Pravá anomálie ( 1 + e v = 2atan tg E ) 1 e 2 Průvodič Vektor polohy v rovině dráhy Vektor rychlosti v rovině dráhy r r r = r = a(1 e cos E) r = r GM a(1 e 2 ) cos u sin u 0 sin v e + cos v 0 Rotace vektorů z roviny dráhy do rovníkového systému ρ = R r ρ ρ ρ = R r r r, kde R je matice rotace R = R z ( Ω) R x ( i) R z ( ω) 2.2.2 Matice parciálních derivací Rovněž byla vytvořena funkce maticea pro výpočet matice parciálních derivací A. Vstupem funkce jsou přibližné keplerovské elementy a časový okamžik, ve kterém mají být derivace určeny. Výstupem je matice A. Vektor polohy v rovině dráhy V rámci funkce je neprve vypočten vektor polohy v rovině dráhy, postup výpočtu je shodný jako v předchozí funkci. Derivace podle sklonu dráhy Jelikož sklon dráhy není zahrnut ve vektoru polohy v rovině dráhy, postačí derivovat pouze příslušnou matici rotace. kde ρ i = R z ( Ω) dr x ( i) R z ( ω) r, dr x ( i) = 0 0 0 0 sin ( i) cos ( i) 0 cos ( i) sin ( i) Derivace podle rektascenze výstupního uzlu Obdobně rektascenze výstupního uzlu není zahrnuta ve vektoru polohy v rovině dráhy a postačí tedy derivovat pouze příslušnou matici rotace. kde ρ Ω = dr z ( Ω) R x ( i) R z ( ω) r, dr z ( Ω) = sin ( Ω) cos ( Ω) 0 cos ( Ω) sin ( Ω) 0 0 0 0
Derivace podle argumentu perigea Konečně ani argument perigea není zahrnut ve vektrou polohy v rovině dráhy a postačí tedy derivovat pouze příslušnou matici rotace. kde ρ ω = R z ( Ω) R x ( i) dr z ( ω) r, dr z ( ω) = sin ( ω) cos ( ω) 0 cos ( ω) sin ( ω) 0 0 0 0 Derivace podle hlavní poloosy Oproti tomu hlavní poloosa není zahrnuta v rotacích z roviny dráhy do rovníkového systému. Postačí tedy derivovat vektor polohy v rovině dráhy a následně derivaci rotovat do rovníkového systému. r a = cos E e + 3 a 2 r M sin E ( ) 1 e 2 sin E 3 a 2 r M cos E 0 ρ a = R z ( Ω) R x ( i) R z ( ω) r a Derivace podle excentricity Obdobně lze derivovat i vektor v rovině dráhy podle excentricity a následně provést rotaci r e = a ( 1 + a r sin2 E ) a 2 sin E r (cos E e) 1 e2 0 ρ e = R z ( Ω) R x ( i) R z ( ω) r e Derivace podle času průchodu perigeem Konečně i derivaci podle času průchodu perigeem lze provést v rovině dráhy a následně rotovat. r = t per na2 r na 2 r sin E 1 e 2 cos E 0 Výsledná matice derivací A = ρ = R z ( Ω) R x ( i) R z ( ω) t per ρ(t 1 ) a ρ(t 2 ) a ρ(t 1 ) e ρ(t 2 ) e ρ(t 1 ) i ρ(t 2 ) i ρ(t 1 ) Ω ρ(t 2 ) Ω ρ(t 1 ) ω ρ(t 2 ) ω r t per ρ(t 1 ) t per ρ(t 2 ) t per 2.2.3 Iterační řešení Úprava keplerovských elementů tak, aby elipsa procházela oběma body, byla řešena iteračně. Tedy z přibližných parametrů keplerovké elipsy byla pomocí funkcí určena matice derivací a vektor přibližné polohy. Opravy keplerovských elementů jsou pak vypočteny dx = A 1 (F F 0 ) Přičtením oprav k přibližným keplerovským elementům byly vypočteny zpřesněné keplerovské elementy, které byly v další iteraci opět použity jako přibližné.
Podmínkou pro ukončení iterace byl rozdíl mezi skutečnými vektory polohy (ze souboru sp3) a přibližnými vektory polohy, který musel být menší než 10 6 F F 0 < 10 6 Poté byly keplerovské elementy považovány za konečné, keplerovská elipsa prochází s dostatečnou přesností oběma body. Tyto konečné keplerovské elementy byly v dalším výpočtu považovány za přibližné keplerovské elementy pro další dvojici bodů. Tímto způsobem byly určeny oskulační elementy pro družici v průběhu celého dne. Na závěr byl průběh oskulačních elementů vynesen do grafů.
3 Grafy průběhu oskulačních elementů družice PRN1 v průběhu dne 7.4.2007
4 Číselné výsledky t[sec] a[m] e i[rad] Ω[rad] ω[rad] t per [sec] 14 26559375,386 0,006613188 0,991006601 1,874484309 4,516246442 108702,426 914 26559161,761 0,006621470 0,991004283 1,874471327 4,518088422 108713,874 1814 26559056,309 0,006623960 0,991003373 1,874457871 4,520115634 108727,264 2714 26559065,955 0,006620482 0,991003926 1,874444384 4,522008427 108740,426 3614 26559190,183 0,006611686 0,991005900 1,874431314 4,523460891 108751,239 4514 26559421,194 0,006598947 0,991009158 1,874419082 4,524224776 108757,935 5414 26559744,286 0,006584182 0,991013481 1,874408053 4,524145169 108759,346 6314 26560138,547 0,006569579 0,991018573 1,874398516 4,523187657 108755,102 7214 26560578,463 0,006557271 0,991024087 1,874390662 4,521446127 108745,688 8114 26561035,062 0,006549021 0,991029644 1,874384569 4,519135507 108732,406 9014 26561478,049 0,006545936 0,991034857 1,874380196 4,516561075 108717,178 9914 26561877,591 0,006548294 0,991039360 1,874377387 4,514073321 108702,246 10814 26562206,396 0,006555487 0,991042829 1,874375872 4,512012562 108689,803 11714 26562441,420 0,006566109 0,991045007 1,874375292 4,510656159 108681,640 12614 26562565,617 0,006578192 0,991045724 1,874375216 4,510174750 108678,853 13514 26562569,569 0,006589482 0,991044906 1,874375174 4,510604908 108681,664 14414 26562452,005 0,006597816 0,991042589 1,874374682 4,511846790 108689,405 15314 26562219,851 0,006601453 0,991038910 1,874373286 4,513682034 108700,635 16214 26561888,271 0,006599350 0,991034108 1,874370585 4,515804962 108713,358 17114 26561479,824 0,006591354 0,991028500 1,874366267 4,517870151 108725,338 18014 26561022,934 0,006578222 0,991022464 1,874360132 4,519541742 108734,429 18914 26560549,835 0,006561526 0,991016415 1,874352107 4,520545087 108738,918 19814 26560094,208 0,006543436 0,991010767 1,874342251 4,520711565 108737,819 20714 26559688,718 0,006526391 0,991005910 1,874330756 4,520007812 108731,059 21614 26559362,695 0,006512728 0,991002179 1,874317930 4,518546189 108719,542 22514 26559139,586 0,006504294 0,990999827 1,874304180 4,516570100 108705,033 23414 26559035,467 0,006502157 0,990999009 1,874289975 4,514415359 108689,893 24314 26559057,630 0,006506422 0,990999772 1,874275817 4,512453259 108676,678 25214 26559204,061 0,006516221 0,991002047 1,874262205 4,511027481 108667,711 26114 26559463,681 0,006529872 0,991005661 1,874249595 4,510394875 108664,681 27014 26559817,301 0,006545161 0,991010345 1,874238370 4,510685267 108668,368 27914 26560239,087 0,006559712 0,991015760 1,874228813 4,511883222 108678,536 28814 26560698,528 0,006571353 0,991021516 1,874221088 4,513834755 108693,981 29714 26561162,886 0,006578453 0,991027206 1,874215232 4,516275138 108712,739 30614 26561599,453 0,006580153 0,991032430 1,874211152 4,518870370 108732,377 31514 26561978,035 0,006576472 0,991036827 1,874208632 4,521267663 108750,352 32414 26562272,933 0,006568292 0,991040094 1,874207358 4,523145523 108764,361 33314 26562464,678 0,006557210 0,991042012 1,874206931 4,524260053 108772,667 34214 26562541,129 0,006545287 0,991042454 1,874206903 4,524479722 108774,336 35114 26562498,345 0,006534727 0,991041396 1,874206804 4,523806460 108769,385 36014 26562340,328 0,006527541 0,991038913 1,874206175 4,522374183 108758,772 36914 26562078,808 0,006525227 0,991035174 1,874204599 4,520429706 108744,257 37814 26561732,176 0,006528542 0,991030435 1,874201724 4,518293368 108728,128 38714 26561324,277 0,006537374 0,991025010 1,874197292 4,516308033 108712,844 39614 26560882,513 0,006550777 0,991019259 1,874191145 4,514783997 108700,649 40514 26560436,255 0,006567107 0,991013563 1,874183246 4,513952163 108693,243 41414 26560014,973 0,006584276 0,991008295 1,874173668 4,513930816 108691,547 42314 26559646,097 0,006600071 0,991003799 1,874162598 4,514711112 108695,595 43214 26559353,806 0,006612458 0,991000368 1,874150320 4,516163036 108704,574 44114 26559156,920 0,006619889 0,990998225 1,874137198 4,518056254 108716,958 45014 26559068,359 0,006621492 0,990997507 1,874123650 4,520095275 108730,748 45914 26559094,049 0,006617200 0,990998259 1,874110125 4,521959515 108743,748 46814 26559232,507 0,006607762 0,991000428 1,874097070 4,523349059 108753,875 47714 26559475,044 0,006594635 0,991003865 1,874084904 4,524025589 108759,446 48614 26559806,110 0,006579790 0,991008340 1,874073988 4,523848997 108759,429
49514 26560204,344 0,006565420 0,991013547 1,874064602 4,522800936 108753,611 50414 26560643,768 0,006553631 0,991019130 1,874056926 4,520992312 108742,657 51314 26561095,418 0,006546109 0,991024704 1,874051026 4,518651558 108728,034 52214 26561529,126 0,006543863 0,991029879 1,874046846 4,516092885 108711,798 53114 26561915,542 0,006547048 0,991034289 1,874044211 4,513668646 108696,281 54014 26562228,159 0,006554937 0,991037614 1,874042838 4,511713266 108683,703 54914 26562445,015 0,006566032 0,991039605 1,874042351 4,510490945 108675,827 55814 26562550,264 0,006578305 0,991040103 1,874042310 4,510154879 108673,674 56714 26562535,895 0,006589490 0,991039051 1,874042232 4,510721553 108677,356 57614 26562401,993 0,006597462 0,991036500 1,874041635 4,512072474 108686,083 58514 26562156,747 0,006600565 0,991032604 1,874040065 4,513974636 108698,302 59414 26561816,351 0,006597865 0,991027618 1,874037130 4,516113489 108711,920 60314 26561404,160 0,006589336 0,991021874 1,874032532 4,518142081 108724,638 61214 26560948,834 0,006575848 0,991015758 1,874026087 4,519730912 108734,284 62114 26560482,537 0,006559064 0,991009688 1,874017740 4,520618119 108739,154 63014 26560038,409 0,006541202 0,991004081 1,874007570 4,520652717 108738,296 63914 26559648,261 0,006524698 0,990999322 1,873995788 4,519821712 108731,696 64814 26559340,203 0,006511833 0,990995737 1,873982716 4,518256410 108720,312 65714 26559136,429 0,006504359 0,990993568 1,873968773 4,516215377 108705,952 66614 26559051,525 0,006503214 0,990992959 1,873954437 4,514042095 108690,987 67514 26559091,506 0,006508374 0,990993938 1,873940215 4,512107923 108677,951 68414 26559253,086 0,006518851 0,990996426 1,873926603 4,510747694 108669,111 69314 26559524,257 0,006532878 0,991000232 1,873914055 4,510204047 108666,081 70214 26559885,054 0,006548201 0,991005078 1,873902944 4,510588511 108669,564 71114 26560309,191 0,006562453 0,991010612 1,873893543 4,511867094 108679,257 72014 26560766,098 0,006573520 0,991016437 1,873886001 4,513870026 108693,924 72914 26561223,251 0,006579866 0,991022141 1,873880338 4,516321432 108711,605 73814 26561648,426 0,006580743 0,991027323 1,873876445 4,518882136 108729,914 74714 26562012,225 0,006576295 0,991031624 1,873874091 4,521201023 108746,395 75614 26562289,953 0,006567515 0,991034750 1,873872944 4,522964781 108758,867 76514 26562463,262 0,006556082 0,991036489 1,873872595 4,523943058 108765,734 77414 26562521,296 0,006544099 0,991036728 1,873872585 4,524022183 108766,218 78314 26562461,323 0,006533769 0,991035455 1,873872439 4,523222969 108760,478 79214 26562288,578 0,006527047 0,991032761 1,873871698 4,521697159 108749,585 80114 26562015,810 0,006525341 0,991028831 1,873869947 4,519704739 108735,363 81014 26561662,276 0,006529285 0,991023932 1,873866846 4,517572522 108720,100 81914 26561252,210 0,006538650 0,991018391 1,873862146 4,515641246 108706,183 82814 26560813,364 0,006552371 0,991012575 1,873855708 4,514212361 108695,727 83714 26560375,001 0,006568729 0,991006868 1,873847508 4,513501497 108690,255 Závěr: Na základě souřadnic družice, získaných ze souboru sp3 poskytovaného službou IGS byly vypočteny oskulační elementy dráhy v průběhu dne 7.4.2007. K výpočtu byl rovněž použit soubor erp obsahující parametry rotace Země. Oskulační elementy byly počítány iteračně a to tak, že dvěmi po sobě následujícími polohami družice byla proložena keplerovská elipsa a určeny její keplerovské elementy. Při proložení elipsy body bylo postupováno opět iteračně a to tak, že přibližné parametry keplerovské elipsy byly upravovány dokud oběma body neprocházela s dostatečnou přesností. Na závěr byl průběh oskulačních elementů v rámci dne vynesen do grafů. Výpočty byly provedeny v programu Octave. Zdrojový kód k výpočtům není přílohou technické zprávy (v případě potřeby bude zaslán). V Kralupech nad Vltavou 6.12.2010 Jan Dolista (so-cool@ehm.cz)