ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA STROJNÍ Semestrální práce z předmětu MM Stanovení deformace soustav ocelových prutů Václav Plánčka 6..006
OBSAH ZADÁNÍ... 3 TEORETICKÁ ČÁST... 4 PRAKTICKÁ ČÁST... 7 LITERATURA... 9
Zadání Cílem práce je vtvoření matematckého modelu deformace soustav ocelových prutů konstantního průřezu (A), které jsou zatěžován konstantní sílou F. Zadané hodnot: F, h, α, A Obr. V první část se zabývám odvozením vztahu deformační energe a Castglanov vět pro daný druh namáhání. V druhé část jsou vztah aplkován do řešeného modelu. 3
Teoretcká část Defnce materálu: Homogenní materál všechn mšlené objem mkrotělesa jsou vplněn látkou, která má stejné fzkálně mechancké vlastnost. Izotropní materál fzkálně mechancké vlastnost látk jsou stejné v různých směrech, vcházejících z různých bodů. Př deformac tělesa se vtváří tzv. přetvárná práce (je nutná pro vznk samotné deformace). Na dokonale pružném tělese je tato práce realzována prostřednctvím vnějších sl. Protože uvažujeme jen malé deformace, vnkající působením konstantní síl F, lze říc, že se pohbujeme v oblast Hookova zákona (vz. Obr.). Přetvárná práce Deformační energ W U F F konst. k Obr. k..materálová konstanta (tuhost) Přetvárná práce je rovna ploše pod závslostí F F() vz. obr.3, z čehož plne: W W e e 0 F d k d k F 0 4
Deformační energe je vjádřena tímto vztahem, platí-l Hookův zákon a je-l zatěžování statcké. Je lneárně závslá na délce elementu dx a lze ted sčítat deformační energe částí prutu. Je však kvadratckou funkcí vntřních sl.. Nepaltí ted, že celková energe je rovna součtu energí od jednotlvých účnků. Obr. 3 Působí-l na elastcké těleso soustava sl (vz obr.4), akumuluje se v tělese deformační energe U(F,..., F n ). Změní-l se některá ze sl F o přírůstek df na F + df, změní se deformační energe z U na: U + du U + df Podle zákona o zachování energe nemůže změna pořadí zatěžování jednotlvým slam mít vlv na velkost vkonané práce a tím na velkost deformační energe. Zatížíme-l ted těleso napřed přírůstkem síl df, vvolá deformac d ve svém směru působení a podle Hookova zákona vtvoří přírůstek deformační energe: dw df d Následnou aplkací soustav zbývajících sl ve směru směru síl F vtvoří posuv a v tělese se akumuluje deformační energe U. Současně se ale změní působště přírůstku síl df právě o posuv. Vznkne tak další páce velkost df. Celkovou deformační energ pak můžeme porovnat: U + df d + df U + df Za předpokladu zanedbání dferencálů všších řádů po úpravě dostaneme: df df 5
Castglanova věta ted říká, že průhb v -tém místě nosníku je roven parcální dervac deformační energe podle síl působící v -tém místě ocelového prutu ve směru a smslu posuvu Stanovení deformační energe: Víme, že deformační energe je rovna přetvárné prác. Tudíž lze použít vztah. du N d () σ d ε ( ) d d E N d Po dosazení a ntegrac dostáváme deformační energ pro tahové (tlakové) namáhání. U t ( ) N d Obdobně bchom mohl odvodt deformační energ pro krut, ohb a smk (vz. níže) OHYB U o M o E J d SMYK U s β T d G A KRUT U kr M k G J p d 6
Praktcká část Uvažujme konstantní průřez a modul pružnost v tahu ( EA konst.). Pro vhledání svslého a horzontálního posuvu v bodě B je třeba v B přpojt jednotkovou sílu a určt vntřní síl v prutech a jednak od síl vnější, jednak od síl jednotkové. U t F d E A F F d E A Jelkož jsou vntřní síl N, a n, po délce prutu konstantní, je možné nahradt ntegrac součtem. Pak je N ln N ln + N ln Stanovení délk prutů (vz obr.): l l h cot g α h snα Stanovení sl v prutech: N N F cot gα F snα Obr. 4 7
Horzontální posuv (x): n n 0 Obr. 5 x F cot gα h cot gα Znaménko mínus ukazuje, že posuv u bodu B je prot smslu přpojené jednotkové síl. Vertkální posuv (): n n cot gα snα Obr. 6 F cot g α cot g α h cot g α + F h snα snα snα 8
Lteratura Kolektv; Pružnost a pevnost I; České vsoké učení techncké; 98 E. Hájek, P.Ref, F.Valenta; Pružnost a pevnost I; SNTL/ALFA; 988 9