8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy sou praktcky zaměřeé, sažíme se aít odpověď a otázku po četost součtu áhodých velč, v matematcké statstce má četost výsledků velký výzam, proto ás tyto teoretcké četost tolk zaímaí udeme e zkoumat z pohledu slabé a slé kovergece áhodých velč 8 Slabé zákoy velkých čísel Defce 8 X e posloupost áhodých velč, pro která exstuí středí hodoty Nechť { } E Řekeme, že pro posloupost { } X X platí slabý záko velkých čísel, estlže S X E X 0 (8 V další část budeme hledat postačuící podmíky pro platost (8 Mohutým aparátem e ásleduící věta o stém typu erovost Věta 8 Čebyševova erovost Nechť X e áhodá velča, > 0 a 0 Nechť dále exstue E ( X E ( ( X X (8 Specelě pro hodotu a po úpravě e VAR( X ( X E( X (83 otom rovedeme ho pro případ spoté áhodé velčy, dskrétí případ poechávám studetům ředpokládeme tedy, že f e hustota áhodé velčy X otom E E ( X ( X + x f ( x dx x f ( x dx + x { x; x } { x; x < } x f ( x dx { x; x } { x; x } f ( x dx ( X f ( x dx Vztah (83 získáme dosazeím áhodé velčy X E(X za áhodou velču X a volbou do vztahu (8 QED Takto zformulovaou Čebyševovu erovost využeme dále pro formulac základích tvrzeí o postačuících podmíkách platost slabého zákoa velkých čísel
Věta 83 Čebyševova Nechť { X } e posloupost ezávslých áhodých velč, echť exstue kladé reálé číslo k > 0 takové, že pro všecha platí VAR( X k, potom pro posloupost { X } platí slabý záko velkých čísel oužeme ozačeí z defce 8 a verze Čebyševovy erovost (83, potom e VAR X ( S, (84 ale podle předpokladů sou áhodé velčy X ezávslé, tedy podle e VAR X VAR( X, (8 podle předpokladů věty sou všechy rozptyly omezeé číslem k, dosadíme tedy do (84 a máme : VAR X k k ( S (8 použeme l yí a (8 lmtí přechod získáme požadovaé tvrzeí QED ozameeme, že ve zěí věty emusíme požadovat ezávslost áhodých velč, stačí, aby áhodé velčy byly ekorelovaé vz, potom vztah (8 platí také V další větě budeme vyšetřovat skupu specálího druhu dskrétí áhodé velčy Věta 84 eroullova Nechť e áhodá velča, která se rová počtu případů, v chž př ezávslých pokusech astala stá událost A, přčemž (A p ( 0 < p < v každém pokuse otom p 0 (87 Náhodá velča uvedeá v této větě eí c ého ež bomcké rozděleí s parametry, p Náhodou velču mohu apsat ako X, kde X sou ezávslé áhodé velčy typu alteratví rozděleí vz Víme podle, že ( X p E a podle VAR( X p( p rotože hodota p (0;, platí podle Cauchyovy erovost p + ( p VAR( X p( p ( teto odhad lze samozřemě vylepšt, pro
aše účely ale postačue Tedy tím sou splěy předpoklady věty 83 a proto platí p p p 0 QED Věta 8 Markovova X splňue ásleduící tzv Markovovu podmíku lm VAR 0 X, (88 potom pro platí slabý záko velkých čísel Nechť posloupost áhodých velč { } Jestlže platí vztah (88, potom po úpravě (84 a lmtím přechodu získáme kladou odpověď a aše tvrzeí QED řrozeým zobecěím věty 84 e tvrzeí, v ěmž ebudeme požadovat splěí steých podmíek v edotlvých áhodých pokusech Věta 8 Nechť e áhodá velča, která se rová počtu případů, v chž př ezávslých pokusech astala událost A, přčemž v každém k tém pokusu e (A p k, kde 0 < p k < otom p 0 (89 robíhá steě ako ve větě 84, áhodá velča e součtem áhodých velč, které maí omezeé rozptyly apř kostatou Tedy protože platí předpoklady věty 83 platí slabý záko velkých čísel a posloupost áhodých velč, vyádřeím této platost e právě vztah (89 QED říklad 87 V tomto příkladě budeme lustrovat výklad asymptotckého chováí bomckého rozděleí Zvolíme klascký případ hodu kostkou ( očíslovaou postupě čísly,, 3, 4,, Jako ozačíme počet padlých ok rových a Ukážeme, že stě eplatí Nedříve s přpomeeme Strlgovu formul pro aproxmac hodoty!:! e ( + u, kdeu 0 (80
okud má platt musí platt oužeme l Strlgovu formul dostaeme: ( (!!(! 0 ( 3 ( ( ( + + v v e e e b okusíme se yí ověřt výpočtem platost slabého zákoa velkých čísel pro áš případ rotože de o bomcké rozděleí e možo odhadout hodotu pravděpodobost áhodého evu < pomocí Čebyševovy erovost Tedy 30 <, zvolíme l lbovolé kladé, pevé, potom předchozí výraz samozřemě kovergue k Tedy tím e dokázáa platost slabého zákoa velkých čísel pro teto případ
8 Slý záko velkých čísel V slabém zákou velkých čísel ede přímo o lmtí chováí áhodých velč, ale o lmtí chováí pravděpodobostí v okolí určtého bodu ( v ašem případě áhodých velč v okolí bodu Ze zkušeost e ale zámo, že hodota se skoro stě přblžue ezávsle a počátečích hodotách ke kostatí velčě ( v ašem případě víme, že e to hodota Věta 88 Kolmogorovova erovost Nechť X,, X sou ezávslé áhodé velčy, pro které exstue rozptyl otom pro lbovolé kladé > 0 platí : max S > ( VAR X, (8 kde e S ( X E( X Zvolme > 0 Důkaz provedeme pomocí pomocých áhodých velč Zřemě ES ( 0, pro,, Steě tak e VAR( S VAR( X ro,, defume pomocou áhodou velču, ( S < ( S <,( S p (8 0, v ostatích případech Zřemě dále platí : p max S a p 0 max S <, protože hodota p e rova edé e pro ede dex, pro ostatí musí být rova ule udeme yí počítat středí hodotu výše uvedeého součtu áhodých velč p E p max S + 0 max S < max S (83 odle defce áhodé velčy p e zřemé, že tato áhodá velča závsí e a prvích čleech { S } a a ostatích čleech této posloupost ro > sou áhodé velčy X E(X ezávslé a p S Dále pro,,- e E( p S ( S S E p S ( Xk E( Xk E( p S E ( Xk E( Xk 0 k+ k+, ro získáme E( p S ( S S 0 Dále e pro,, p S p Tedy celkem můžeme vypočítat : ( E( S E p S E p S + S ( S S + ( S S
E p ( S + S ( S S E( p S + E( p ( S S S E( p Ale E ( S VAR( X erovost QED + Spoeím posledí rovost a (83 získáme požadovaou Věta 89 Nechť { a } a { b } sou dvě posloupost reálých čísel, přčemž + a < 0 < b b b + otom a b 0 b Důkaz : oechávám čteář, pro ápovědu, de o tzv Kroekerovo lemma Věta 80 Nechť X sou ezávslé áhodé velčy, takové, že ( X E( X kovergue skoro stě Zavedeme opět ozačeí S ( X E( X + VAR( X <+ potom řada odle věty 88 e pro k Sk S lm max S Sk lm VAR( X k, (84 k k lmtím přechodem v (84 dostáváme Sk S 0, tedy posloupost S e cauchyovská skoro stě, odtud ž k vyplývá tvrzeí věty QED Věta 8 Kolmogorovovův slý záko velkých čísel Nechť { X } e posloupost ezávslých áhodých velč, pro které exstue koečý rozptyl Nechť dále 0 < b ç+ taková, že VAR( X <+ b otom
s ( ( X E X 0 (8 b Jestlže sou X ezávslé áhodé velčy, sou také X ( ( E X b ezávslé áhodé velčydále podle vlastost rozptylu X E X VAR( X VAR < b b, podle předchozí věty (80 e tedy řada X E( X b, skoro stě kovergetí K dokočeí důkazu použeme yí 89 X E( X, kde budeme volt za a a hodota posloupost b zůstae ezměěa b QED