CVIČNÝ TEST 55 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 9 IV. Záznamový list 2
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Jsou dány dva poměry 4 : a : 2 a b : 2 : 4, kde a, b jsou přirozená čísla. Určete v základním tvaru poměr a : b. bod VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Jsou dány dva různé body A, B v rovině a kružnice k se středem S, která jimi neprochází. 2 Najděte na kružnici k všechny body X takové, pro které platí, že mají stejnou vzdálenost od bodů A a B. Řešení narýsujte do záznamového archu a obtáhněte propiskou. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Jsou dány dvě přímky p: 5x 4y 20 = 0 a q: 2x 3y + 6 = 0. Jejich průsečíky s osami souřadnic tvoří s počátkem O xy soustavy souřadnic dva trojúhelníky. Určete, o kolik jednotek čtverečných se liší jejich obsahy. (Výsledek vyjádřete jako zlomek.) 3 Najděte průsečík P x osy úsečky AB s osou x. 2 Maturita z matematiky 0
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Čitatel zlomku je o větší než jmenovatel. Zmenšíme-li čitatele zlomku o 2 a jmenovatel zlomku zvětšíme dvakrát, vznikne zlomek. 3 4 Určete původní zlomek a uveďte jej v základním tvaru. bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Ve zvláštní kocourkovské matematické soutěži ve štípání drátu bojují proti sobě v Kocourkově dva týmy. Postupně zkracují dva stejně tlusté dostatečně dlouhé dráty. Družstva začnou odštípávat ve stejnou chvíli. Štípání jim vždy trvá stejně dlouho, rozhodující je ale délka úseků, které v každém kole hry odštípnou. Vyhrává družstvo, které odštípá za daný počet kol větší celkový kus drátu. První družstvo odštípne napřed 70 mm tlustý úsek a v každém dalším kole odštípnou úsek o 30 mm delší než v předchozím kole. Druhé družstvo odštípne první díl a každý další mají dvakrát delší než předchozí. Soutěž skončila po deseti kolech. Poslední odštípnutý úsek obou družstev byl stejně dlouhý. 5. Jak dlouhý byl první odštípnutý díl druhého družstva? 5.2 Kolikáté v pořadí týmů skončilo ve hře druhé družstvo? VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Mince tlusté 2 mm o průměru 24 mm jsou uloženy ve sloupcích, po stejném počtu mincí, poskládaných až po okraj v boxu tvaru kvádru, který sloupce mincí vyplňují maximálním možným způsobem. Box má výšku 20 mm, šířku 480 mm a délku 200 mm. 6. Kolik mincí je v boxu uloženo? 6.2 Jakou část (vyjádřeno celými procenty) z objemu celého boxu tvoří objem všech mincí? Maturita z matematiky 0 3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dán pro přípustné hodnoty výraz: x 3 5 x. 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7.7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7. Maximální definiční obor výrazu je interval (3; 5). 7.2 Pro x = 0 má výraz hodnotu 5. 3 5 7.3 Existuje takové reálné číslo, pro které má výraz hodnotu. 7.4 Existuje takové reálné číslo, pro které má výraz hodnotu 2. ANO NE VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Pro všechna reálná čísla jsou dány grafy funkce y = sinx a funkce y = cosx. Body P[ π 3 ;?] Q[ π 3 ;?] jsou body vždy jednoho z těchto grafů. 8 Která z možností AE určuje délku úsečky PQ? A) 0,37 3 B) 2 C) 0,36 D) 0,5 π E) 6 2 body 4 Maturita z matematiky 0
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Pro přípustné hodnoty je dána rovnice x2 + = 2x2 + 3x 9. x 2 x 2 9 Která z možností určuje počet kořenů dané rovnice? A) žádný B) právě jeden C) právě dva D) alespoň dva E) alespoň tři 2 body VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 0 Čtyři školy z regionu (Kocourkov, Myšov, Křečkovice a Psov) vysílají mezi lety 2005 až 2008 své závodníky do místní soutěže Čtyř škol. Následující graf zobrazuje celkové počty soutěžících za jednotlivé školy v letech 20052008. 8 6 4 2 0 8 6 4 2 0 Počet soutěžících z jednotlivých škol mezi lety 20052008 2005 2006 2007 2008 Kocourkov Myšov Křečkovice Psov max. 4 body 0 Přiřaďte každému statistickému údaji (0.0.4) standardní polygon, který jej nejlépe interpretuje (AF). 0. průměrný počet účastníků za jednu školu v jednotlivých letech 20052008 0.2 počet účastníků vždy té školy, která byla v daném roce zastoupena největším počtem účastníků v jednotlivých letech 20052008 0.3 počet účastníků vždy té školy, která byla v daném roce zastoupena nejmenším počtem účastníků v jednotlivých letech 20052008 0.4 průměrný počet účastníků jednotlivých škol za celé období 20052008 Maturita z matematiky 0 5
A) B) 2005 2006 2007 2008 2005 2006 2007 2008 C) D) E) Kocourkov Psov 2005 2006 2007 2008 F) 2005 2006 2007 2008 Kocourkov Psov KONEC TESTU 6 Maturita z matematiky 0
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Jsou dány dva poměry 4 : a : 2 a b : 2 : 4, kde a, b jsou přirozená čísla. Určete v základním tvaru poměr a : b. bod První poměr rozšíříme 2. 4 : a : 2 8 : 2a : 4 Nyní můžeme poměry porovnat. 8 : 2a : 4 b : 2 : 4 2a = 2 8 = b a = b = 8 a : b = : 8. Řešení: : 8 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Jsou dány dva různé body A, B v rovině a kružnice k se středem S, která jimi neprochází. 2 Najděte na kružnici k všechny body X takové, pro které platí, že mají stejnou vzdálenost od bodů A a B. Řešení narýsujte do záznamového archu a obtáhněte propiskou. Maturita z matematiky 0 7
Množina všech bodů, které jsou stejně vzdáleny od dvou různých bodů A, B v rovině je osa úsečky AB. Narýsujeme tedy osu úsečky AB. Ta protíná kružnici ve dvou bodech X, X 2. Řešení: VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Jsou dány dvě přímky p: 5x 4y 20 = 0 a q: 2x 3y + 6 = 0. Jejich průsečíky s osami souřadnic tvoří s počátkem O xy soustavy souřadnic dva trojúhelníky. Určete, o kolik jednotek čtverečných se liší jejich obsahy. (Výsledek vyjádřete jako zlomek.) 3 Najděte průsečík P x osy úsečky AB s osou x. Průsečíky s osou x určíme postupným dosazením y = 0 do obou rovnic. Pro případ průsečíku s osou y budeme naopak dosazovat x = 0. P x [x, 0] 5x 4 0 20 = 0 x = 20 = 4 P 5 3 x [ 4, 3 0] Q x [x, 0] 2x 3 0 + 6 = 0 x = 6 = 3 Q 2 x [ 3, 0] P y [0, y] 5 0 4y 20 = 0 y = 5 P y [0; 5] Q y [0, y] 2 0 3y + 6 = 0 y = 6 3 = 2 Q y [0; 2]. Trojúhelníky P x P y O xy a Q x Q y O xy jsou pravoúhlé. Velikosti x-ových a y-ových souřadnic průsečíků tvoří délky jejich odvěsen. Obsah takového trojúhelníka, který vytíná daná přímka různoběžná s oběma osami souřadnic, je polovinou součinu velikostí nenulových souřadnic průsečíků přímky s osami souřadnic. ( 4 S p = 3 j) ( 5 j) = 20 j 2 = 3 j 2 2 6 3 S q = ( 3 j)2 ( 2 j) = 6 j 2 = 3j 2 2 2 Větší z obsahů je o čtverečných jednotek větší. 3 Řešení: 3 8 Maturita z matematiky 0
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Čitatel zlomku je o větší než jmenovatel. Zmenšíme-li čitatele zlomku o 2 a jmenovatel zlomku zvětšíme dvakrát, vznikne zlomek. 3 4 Určete původní zlomek a uveďte jej v základním tvaru. bod Označíme jmenovatel původního zlomku nenulovou neznámou x. Původní zlomek má tedy tvar x +. x Sestavíme nový zlomek: (x + ) 2 =. 2 x 3 Řešíme rovnici s reálným nenulovým x. (x + ) 2 = 6x 2 x 3 3(x ) = 2x 2x 3x 3 2x = 0 + 3 x = 3 Původní zlomek měl tedy tvar x + = 3 + x Řešení: 4 3 3 = 4 3. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Ve zvláštní kocourkovské matematické soutěži ve štípání drátu bojují proti sobě v Kocourkově dva týmy. Postupně zkracují dva stejně tlusté dostatečně dlouhé dráty. Družstva začnou odštípávat ve stejnou chvíli. Štípání jim vždy trvá stejně dlouho, rozhodující je ale délka úseků, které v každém kole hry odštípnou. Vyhrává družstvo, které odštípá za daný počet kol větší celkový kus drátu. První družstvo odštípne napřed 70 mm tlustý úsek a v každém dalším kole odštípnou úsek o 30 mm delší než v předchozím kole. Druhé družstvo odštípne první díl a každý další mají dvakrát delší než předchozí. Soutěž skončila po deseti kolech. Poslední odštípnutý úsek obou družstev byl stejně dlouhý. 5. Jak dlouhý byl první odštípnutý díl druhého družstva? Jedno družstvo štípe úseky, které splňují aritmetickou posloupnost, jejíž první člen je 70 mm a diference je 30 mm, druhé družstvo naopak odštípává úseky délek splňujících geometrickou posloupnost, jejíž první člen je neznámý a kvocient je 2. Obě posloupnosti mají deset členů. Sestavíme desáté členy, protože ty mají být stejné. a + (n )d = b q n 70 mm + 9 (30 mm) = b 2 9 0240 mm = b 52 b = 20 mm Druhé družstvo odštíplo jako první úsek tlustý 20 mm. Řešení: 20 mm Maturita z matematiky 0 9
5.2 Kolikáté v pořadí týmů skončilo ve hře druhé družstvo? Nyní spočteme délku všech úseků, které obě družstva odřízla během 0 kol, a porovnáme je. Spočteme tedy součty deseti členů obou posloupností. Z předchozího výpočtu vyplývá, že poslední odřez obou družstev měl tloušťku 0240 mm. (a + a n ) n = (70 mm + 0240 mm) 0 = 5550 mm. 2 2 b q n = (20 mm) 20 = (20 mm) 023 = 20460 mm. q 2 Ze závěru vyplývá, že druhé družstvo skončilo druhé. První zvítězilo. Řešení: druhé VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Mince tlusté 2 mm o průměru 24 mm jsou uloženy ve sloupcích, po stejném počtu mincí, poskládaných až po okraj v boxu tvaru kvádru, který sloupce mincí vyplňují maximálním možným způsobem. Box má výšku 20 mm, šířku 480 mm a délku 200 mm. 6. Kolik mincí je v boxu uloženo? Zjistíme, kolikrát se průměr mince (24 mm) vejde do šířky a délky boxu a výška mince (2 mm) do výšky boxu. V šířce boxu je naskládáno (480 mm) : (24 mm) = 20 mincí za sebou. V délce boxu je naskládáno (200 mm) : (24 mm) = 50 mincí za sebou. Ve výšce boxu je naskládáno (20 mm) : (2 mm) = 0 mincí nad sebou. V boxu je tedy 20 50 0 = 0 000 mincí. Řešení: 0 000 mincí 6.2 Jakou část (vyjádřeno celými procenty) z objemu celého boxu tvoří objem všech mincí? 0 Maturita z matematiky 0
Spočteme objem V jedné mince, objem V m všech 0 000 mincí a objem V b boxu. 24 mm V = π(2 mm) ( 2 ) 2 24 mm V m = 0000 π(2 mm) ( 2 ) 2 V b = (20 mm) (480 mm) (200 mm) = 520000 mm 3 A spočteme podíl, který vyjádříme v procentech. 0000 π(2 mm) ( 24 mm Vm = 2 ) 2 00 % = 2880000π mm3 00 % 79 %. Vb 520000 mm 3 520000 mm 3 Objem uložených mincí tvoří 79 % objemu boxu. Řešení: 79 % VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dán pro přípustné hodnoty výraz: x 3 5 x. 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7.7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7. Maximální definiční obor výrazu je interval (3; 5). 7.2 Pro x = 0 má výraz hodnotu 5. 3 5 7.3 Existuje takové reálné číslo, pro které má výraz hodnotu. 7.4 Existuje takové reálné číslo, pro které má výraz hodnotu 2. ANO NE 7. Určíme definiční obor výrazu. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný, výraz ve jmenovateli zlomku různý od nuly. x 3 5 x 0 5 x 0 x ( ; 3) x = 3 x (3; 5) x (5; + ) x 3 0 + + 5 x + + + x 3 0 + 5 x Výraz je definován pro x 3; 5). Tvrzení je nepravdivé. Maturita z matematiky 0
7.2 Pro zadané x hodnotu výrazu spočteme. 0 3 3 0 9 3 5 0 = = 3 = 5 0 5 = = 5 5 5 3 3 3 Tvrzení je pravdivé. 5 = 5. 5 5 7.3 Určíme přípustná x, pro která by hodnota výrazu mohla být rovna. x 3 = obě strany rovnice umocníme na druhou 5 x x 3 = (5 x) 5 x x 3 = 5 x + x + 3 2x = 8 : 2 x = 4 3; 5). Provedeme zkoušku, neboť umocňování není ekvivalentní úpravou. L = 4 3 = = P 5 4 Takové reálné číslo existuje. Tvrzení je pravdivé. 7.4 Protože druhá odmocnina je vždy nezáporné číslo, takové hodnoty nikdy nemůže dosáhnout a tvrzení je evidentně nepravdivé. Algebraicky, stejně jako v předchozím cvičení dojdeme k shodnému závěru. x 3 5 x = x 3 5 x = 2 obě strany rovnice umocníme na druhou 4 4(5 x) 4x 2 = 5 x + x + 3 5x = 7 : 5 x = 7 3; 5). 5 Provedeme-li ale zkoušku, uvidíme, že kořen neodpovídá. 7 3 5 7 5 5 2 5 L = 5 7 = = = 25 7 8 2 = 8 = P 4 2 5 5 5 Tvrzení je nepravdivé. Řešení: NE, ANO, ANO, NE 2 Maturita z matematiky 0
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Pro všechna reálná čísla jsou dány grafy funkce y = sinx a funkce y = cosx. Body P[ π 3 ;?] Q[ π 3 ;?] jsou body vždy jednoho z těchto grafů. 8 Která z možností AE určuje délku úsečky PQ? A) 0,37 3 B) 2 C) 0,36 D) 0,5 π E) 6 2 body Velikost úsečky PQ je kladný rozdíl y-ových souřadnic obou bodů. Určíme tedy tyto y-ové souřadnice. Bod P leží na grafu funkce y = sinx, tj. y = sin π = 3, bod Q leží na grafu funkce y = cosx, 3 2 tj. y = cos π =. 3 2 Určíme délku úsečky PQ: PQ = 3 2 2 = 3 2 = 3. 2 Správně je možnost B. Řešení: B Maturita z matematiky 0 3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Pro přípustné hodnoty je dána rovnice x2 + = 2x2 + 3x 9. x 2 x 2 9 Která z možností určuje počet kořenů dané rovnice? A) žádný B) právě jeden C) právě dva D) alespoň dva E) alespoň tři 2 body Určíme, že definičním oborem rovnice jsou reálná čísla různá od 2. Rovnici s neznámou ve jmenovateli vyřešíme. x 2 + = 2x2 + 3x 9 (x 2) x 2 x 2 x 2 + = 2x 2 + 3x 9 x 2 0 = x 2 + 3x 0 0 = (x + 5)(x 2) x = 5 x = 2 Druhý kořen ale nenáleží definičnímu oboru, rovnice má tedy jen jeden reálný kořen. Správná je možnost B. Řešení: B VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 0 Čtyři školy z regionu (Kocourkov, Myšov, Křečkovice a Psov) vysílají mezi lety 2005 až 2008 své závodníky do místní soutěže Čtyř škol. Následující graf zobrazuje celkové počty soutěžících za jednotlivé školy v letech 20052008. 8 6 4 2 0 8 6 4 2 0 Počet soutěžících z jednotlivých škol mezi lety 20052008 2005 2006 2007 2008 Kocourkov Myšov Křečkovice Psov 4 Maturita z matematiky 0
max. 4 body 0 Přiřaďte každému statistickému údaji (0.0.4) standardní polygon, který jej nejlépe interpretuje (AF). 0. průměrný počet účastníků za jednu školu v jednotlivých letech 20052008 0.2 počet účastníků vždy té školy, která byla v daném roce zastoupena největším počtem účastníků v jednotlivých letech 20052008 0.3 počet účastníků vždy té školy, která byla v daném roce zastoupena nejmenším počtem účastníků v jednotlivých letech 20052008 0.4 průměrný počet účastníků jednotlivých škol za celé období 20052008 A) B) C) 2005 2006 2007 2008 2005 2006 2007 2008 D) Kocourkov Psov 2005 2006 2007 2008 E) F) 2005 2006 2007 2008 Kocourkov Psov Maturita z matematiky 0 5
Přístup k rozhodování se liší můžeme postupovat experimentálně, odhadem, nebo si zapíšeme všechny údaje do tabulky a příslušné údaje vypočteme a průběh charakteristik vyjádříme grafem. V případě testu se vyplatí průběh na základě správných úvah odhadnout. 0. Graf bude mít na svislé ose jednotlivé roky, vybíráme tedy z možností A, B, D a E. Průměr je střední hodnota, lze ji odhadovat (při nepříliš variabilním souboru) jako průměr mezi maximální a minimální hodnotou. Na obrázku je odhad naznačen lomenou čarou. Graf odhadu nejlépe odpovídá případu A. Řešení: A 0.2 Graf bude mít na svislé ose jednotlivé roky, vybíráme tedy z možností B, D a E. Maximum je v grafu přímo viditelná hodnota, odhad vytvoříme spojením středů nejvyšších sloupců. Na obrázku je odhad naznačen lomenou čarou. Graf odhadu nejlépe odpovídá případu E. Řešení: E 6 Maturita z matematiky 0
0.3 Graf bude mít na svislé ose jednotlivé roky, vybíráme tedy z možností B a D. Minimum je v grafu přímo viditelná hodnota, odhad vytvoříme spojením středů nejnižších sloupců. Na obrázku je odhad naznačen lomenou čarou. Graf odhadu nejlépe odpovídá případu D. Řešení: D 0.4 Poslední graf bude mít na vodorovné ose školy, tj. vybírat budeme z možností C a F. V zadaném grafu budeme porovnávat sloupce každé školy zvlášť a budeme porovnávat zase průměrnou výšku sloupce Myšov a Křečovice mají průměrnou výšku sloupce evidentně rozdílnou, Myšov rozhodně vyšší, podobnou spíše hodnotě školy v Kocourkově a Psově. Graf v možnosti F naopak ukazuje, že Křečkovice mají stejnou nebo mírně vyšší hodnotu sledovaného průměru. Tento graf není správný, správnou možností je graf C. Řešení: C Následující tabulka ukazuje hodnoty jednotlivých charakteristik pro důkaz tvrzení. 2005 2006 2007 2008 průměr Kocourkov 2 4 0 9,25 Myšov 5 3 3 2 8,25 Křečkovice 2 5 6 3,5 Psov 5 6 6 7 průměr 8,5 4,5 3,75,25 maximum 5 6 0 6 minimum 2 3 6 KONEC TESTU Maturita z matematiky 0 7
8 Maturita z matematiky 0
III. KLÍČ ) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 70 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 207 výborně 64 chvalitebně 3 dobře 07 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů : 8 bod 2 Množina všech bodů, které jsou stejně vzdáleny od dvou různých bodů A, B v rovině je osa úsečky AB. Narýsujeme tedy osu úsečky AB. Ta protíná kružnici ve dvou bodech X, X 2. Řešení: 3 4 3 4 3 bod 5 5. 20 mm bod 5.2 druhé bod 6 6. 0 000 mincí bod 6.2 79 % bod Maturita z matematiky 0 9
7 4 podúlohy 2 b. 7. NE 3 podúlohy b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 ANO podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 ANO 7.4 NE 8 B 2 body 9 B 2 body 0 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 0. A 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 0.2 E podúloha b. 0 podúloh 0 b. 0.3 D 0.4 C 20 Maturita z matematiky 0
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST ) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 2 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 70 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 207 výborně 64 chvalitebně 3 dobře 07 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů bod 2 3 4 bod 5 5. bod 5.2 bod 6 6. bod 6.2 bod Maturita z matematiky 0 2
7 4 podúlohy 2 b. 7. 3 podúlohy b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 7.4 8 2 body 9 2 body 0 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 0. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 0.2 podúloha b. 0 podúloh 0 b. 0.3 0.4 22 Maturita z matematiky 0