Matematika II Funkce více promìnných RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky
Euklidovský n-rozmìrný prostor Def. Euklidovským n-rozmìrným prostorem E n rozumíme mno¾inu v¹ech uspoøádaných n-tic reálných èísel, tj. E n = R R... R. Body tohoto prostoru mají podobu A = [a 1, a 2,..., a n ]. Vzdálenost dvou bodù X = [x 1, x 2,..., x n ], Y = [y 1, y 2,..., y n ] urèuje tzv. euklidovská metrika dist(x, Y ) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 +... + (x n y n ) 2. Je-li A bod v E n a dále ε R kladné èíslo, pak ε-okolím bodu A rozumíme þkrychliÿ o délce strany 2ε a støedu A, tj. U = (a 1 ε, a 1 + ε) (a 2 ε, a 2 + ε)... (a n ε, a n + ε) a prstencovým ε-okolím bodu A míníme mno¾inu P = U {A}.
Ukázka V E 2 znázornìte okolí bodu A = [1, 0, 5] pro ε = 0, 3.
Topologie v E n Def. Nech» je v E n dána mno¾ina bodù M. Bod A E n nazveme (i) vnitøním bodem mno¾iny M, jestli¾e existuje okolí U bodu A takové, ¾e U M, (ii) vnìj¹ím bodem mno¾iny M jestli¾e existuje okolí U bodu A takové, ¾e U (E n M), tj. U M =, (iii) hranièním bodem mno¾iny M, jestli¾e pro ka¾dé okolí U bodu A platí: U M U (E n M) hranièní bod mù¾e, ale nemusí být prvkem mno¾iny M.
Ukázky V¹echny vnitøní body mno¾iny M tvoøí její vnitøek a patøí do ní, její hranièní body tvoøí její hranici. Èást hranice mù¾e do M patøit a èást ne.
Topologie v E n Def. Nech» je v E n dána mno¾ina M a H je její hranice. Potom M nazveme (i) otevøenou, jestli¾e M H = (v¹echny body mno¾iny M jsou vnitøní, hranièní body do ní nepatøí), (ii) uzavøenou, jestli¾e H M (v¹echny hranièní body do M patøí), (iii) omezenou, jestli¾e r R tak, ¾e X M je dist(x, O) < r, kde O = [0, 0,..., 0] (celou mno¾inu M lze do kruhu o dostateènì velkém polomìru), (iv) kompaktní, je-li zároveò omezená a uzavøená.
Ukázka uzavøená, neomezená mno¾ina
Pøíklad V E 2 znázornìte dané mno¾iny a rozhodnìte, zda jsou kompatkní (a) (x 2 + y 2 1) (x + y 1) (b) (x 2 + y 2 1) (x + y > 1) (c) (y x 1) (y 2x + 2) (y 0, 5x + 2) (d) (y x 1) (y 2x + 2) (y > 0, 5x + 2)
Reálná funkce n-reálných promìnných Def. Reálnou funkcí n reálných promìnných míníme libovolné zobrazení f : D H, kde D E n, H R. Je-li X = [x 1, x 2,..., x n ] D bod denièního oboru funkce f, je f(x) = f(x 1, x 2,..., x n ) oznaèení pro jeho obraz. Grafem funkce f je mno¾ina v¹ech bodù v E n+1 tvaru [x 1, x 2,..., x n, f(x)], kde X D.
Pøíklad Urèete funkèní hodnoty f(a) a f(b) pro: (a) f(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 4x 2 + 2 x 3, A = [0, 2, 1], B = [5, 0, 4, 1] (b) z = f(x, y) = y + x sign (y) + 1, A = [1, 2], B = [ 1, 0, 7]
Pøíklad V obchodì s fotopotøebami prodávají 2 druhy barevného lmu, které dostává majitel od dodavatele za poøizovací ceny 2$ a 3$ za kus. Odpovídající prodejní ceny tìchto dvou druhù lmu oznaèíme p 1, p 2. Dále je podle studie marketingové rmy známo, ¾e denní poptávka po uvedených dvou druzích zbo¾í n 1, n 2 (v kusech) se øídí poptávkovými funkcemi: n 1 = f 1 (p 1, p 2 ) = 75 40p 1 + 25p 2 n 2 = f 2 (p 1, p 2 ) = 80 + 20p 1 30p 2 (a) Jaká denní poptávka odpovídá nasazeným prodejním cenám p 1 = 3, p 2 = 4? (b) Odvoïte vztah pro denní pøíjem (Revenue) obchodu z prodeje uvedených dvou druhù lmu jako funkci R(p 1, p 2 ) a zjistìte hodnotu R(3, 4). (c) Denní zisk (Prot) z prodeje uvedených dvou druhù zbo¾í je opìt funkcí promìnných p 1, p 2 a platí P (p 1, p 2 ) = R(p 1, p 2 ) C(p 1, p 2 ), kde denní náklady (Cost) na poøízení zbo¾í jsou zøejmì C = n 1 2 + n 2 3. Sestavte funkci P (p 1, p 2 ) a urèete P (3, 4).
Pøíklad Øe¹ení:
Pøíklad Urèete denièní obory funkcí: (a) f(x 1, x 2 ) = x1 +x 2 x 1 x 2 (b) z = log(2 y) + y + 1 x 2
Spojitost funkce více promìnných Def. Øekneme, ¾e funkce n promìnných f(x 1, x 2,..., x n ) je spojitá ve vnitøním bodì A = [a 1, a 2,..., a n ] svého denièního oboru, jestli¾e ke ka¾dému okolí V bodu f(a) existuje okolí U bodu A tak, ¾e f(u) V. Funkce y = f(x 1, x 2,..., x n ) je spojitá v bodì A právì tehdy, kdy¾ platí: pro libovolnou posloupnost bodù {X k } denièního oboru D(f) takovou, ¾e lim X k = A, je nutnì lim f(x k ) = f(a). k k
Parciální funkce Def. Nech» f je funkce n promìnných x 1, x 2,..., x n. Zvolme si bod jejího denièního oboru A = [a 1, a 2,..., a n ]. Denujeme funkci jedné promìnné f A (x 1 ) = f(x 1, a 2, a 3,..., a n ) a nazveme ji parciální funkcí promìnné x 1 v bodì A k funkci f. Øekneme, ¾e funkce f A (x 1 ) vznikla z funkce f xací hodnot x 2 = a 2, x 3 = a 3...x n = a n.
Pøíklad viz pøíklad s fotopotøebami: P (p 1, p 2 ) = 40p 2 1 30p2 2 + 45p 1p 2 + 95p 1 + 120p 2 390. Sestavte pøedpis pro denní zisk, ponecháme-li jednu z cen pevnou a druhá se bude mìnit.
Parciální derivace Def. Je dána funkce n promìnných f(x 1, x 2,..., x n ) a vnitøní bod jejího denièního oboru A = [a 1, a 2,..., a n ]. Parciální derivací funkce f podle promìnné x i v bodì A míníme (pokud existuje) derivaci parciální funkce jedné promìnné f A (x i ) v bodì a i, co¾ znamená vlastnì derivaci df A dx i (a i ). Tuto derivaci znaèíme f x i (A) a èteme obvyklým zpùsobem. Funkce tedy má (pokud existují) v bodì A celkem n parciálních derivací. Jsou-li tyto parciální derivace nulové, nazýváme A stacionárním bodem funkce f.
Parciální derivace ukázka:
Hladká funkce Denice a vìta. Nech» f(x 1, x 2,..., x n ) je funkce n promìnných, A vnitøní bod D(f). Øekneme, ¾e funkce f je v bodì A hladká, jestli¾e v tomto bodì existují parciální derivace podle v¹ech promìnných a jestli¾e ka¾dá z nich jako funkce promìnných x 1, x 2,..., x n je spojitá v bodì A. Je-li funkce f v bodì A hladká, je v nìm i spojitá.
Teèná rovina Def. Nech» funkce dvou promìnných f(x, y) je v bodì A = [a 1, a 2 ] hladká. Oznaème k 1 = f x (A),k 2 = f y(a). Teèná rovina grafu funkce f v bodì A má rovnici z f(a) = k 1 (x a 1 ) + k 2 (y a 2 ).
Pøíklad Sestavte rovnici teèné roviny grafu funkce z = x 2 + 2x y 2 + 6y 5 v bodì A = [2; 3, 5].
Totální diferenciál Def. Pro funkci f(x 1, x 2,..., x n ) hladkou v bodì A = [a 1, a 2,..., a n ] oznaème x 1, x 2,..., x n diference promìnných x 1, x 2,..., x n. Totálním diferenciálem funkce f v bodì A míníme pøedpis df A = f x 1 (A) x 1 + f x 2 (A) x 2 +... + f x n (A) x n. Odhad funkèní hodnoty v okolí bodu A pomocí diferenciálu je pak f(a 1 + x 1, a 2 + x 2,..., a n + x n ) =.. = f(a) + f x 1 (A) x 1 + f x 2 (A) x 2 +... + f x n (A) x n.