Rozhodovaí problém Rozhodovaí problém je problém s víe možným řešením. Jde tedy o problémy se kterým se setkáváme v běžném žvotě. Základním krokem každého rozhodování je proes volby, tedy poszování jednotlvýh varant a výběr varanty optmální. Matematká formlae tohoto problém je námětem této kaptoly..1 Obená rozhodovaí úloha V této kaptole se bdeme zabývat rozhodovaí úloho vyjádřeno následjíím formalzmem. Nehť rozhodovatel (sbjekt, který se rozhodje má k dspoz množn rozhodntí D, která moho vést k některém prvk z množny výsledků A (někdy se místo množny rozhodntí važje množna otázek a místo množny výsledků množna alternatv. Jednotlvé alternatvy (prvky množny výsledků můžeme často spořádat s vyžtím preferenční relae». Podle typ krtérí požívanýh př rozhodování mlvíme o rozhodování s jedním krtérem nebo o rozhodování př víe krtéríh. V prvním případě je defnována jedná preferenční relae, ve drhém případě je preferenčníh relaí víe a každá z nh může defnovat jné spořádání. V této sta jso tř základní možné přístpy jak hledat optmální rozhodntí: lexkografký krtéra jso spořádána podle důležtost a optmalzjí se postpně, paralelní važjeme všehna krtéra sočasně, agregační z dílčíh krtérí sestrojíme jedno sohrnné. Preferenční rela je možno nahradt žtkovo fnkí : A R tak, že a 1, a A: (a 1 (a a 1» a Vlastní rozhodování pak můžeme formálně defnovat rozhodovaí fnkí d, která každém prvk r z množny rozhodntí D (resp. z množny odpovědí na otázky přřadí nějaký prvek a z množny A: d(r = a Řešením rozhodovaí úlohy tedy bde nalezení rozhodovaí fnke d, která bde v nějakém smysl optmální..1.1.1 Metoda větví a mezí (branh and bond Metoda větví a mezí je obená metoda hledání optmálního řešení nějaké úlohy. Optmální řešení předpokládá exsten výše vedené žtkové fnke. Metoda je založena na myšlene postpného rozkládání množny všeh řešení na podmnožny, ze kterýh poze některé bdo mo obsahovat optmální řešení. Def..1: Rozkladem množny A rozmíme systém {A 1,,A k } jeho dsjnktníh množn, které jí pokrývají: A A, pro všehna = 1,,k A A j =, pro j k =1 A = A
Předpokládejme, že pro každý prvek nějakého rozklad R = {A 1,,A k } míme spočítat dolní a horní odhady žtkové (č jné krterální fnke b(a (a pro všehna řešení a A B(A (a pro všehna řešení a A Potom, pokd krterální fnke vyjadřje zsk (nebol hledáme řešení, které tto hodnot maxmalzje, pak hledáme takový rozklad R*, který 1. obsahje jednoprvkovo množn A j. b(a j B(A pro všehna = 1,,k Pokd krterální fnke vyjadřje ztrát (nebol hledáme řešení, které tto hodnot mnmalzje, pak hledáme takový rozklad R*, který 3. obsahje jednoprvkovo množn A j 4. B(A j b(a pro všehna = 1,,k A j pak obsahje (jedné optmální řešení. Metoda větví a mezí je založena na konstrk poslopnost rozkladů R 1, R, takovýh, že rozklad R je zjemněním rozklad R -1. Toto zjemnění vznkne tak, že jedno množn A R rozdělíme na podmnožny (proes větvení. Meze v názv metody jso horní a dolní odhady krterální fnke počítané pro prvky jednotlvýh rozkladů.. Chyba rozhodování Snad nejdůležtější otázko v proes rozhodování je, jaké hyby se moh dopstt. Abyhom mohl hyb rozhodování defnovat, předpokládejme, že známe pravděpodobnostní rozdělení na kartézském sočn množny rozhodntí a množny výsledků Pro jednodhost dále važjme množn výsledků tvořeno dvěma alternatvam: a 1 a a. (tato podkaptola je zpraována dle Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.. Pro každo rozhodovaí fnk d: D {a 1, a } můžeme defnovat pravděpodobnost hyb dvo drhů. První odpovídá sta, kdy sktečnost odpovídá a 1 ale rozhodovaí fnke d volí a (označme tto pravděpodobnost p d (a 1 a, drhá odpovídá sta, kdy sktečnost odpovídá a ale rozhodovaí fnke d volí a 1 (označme tto pravděpodobnost p d (a a 1. a kde p d (a 1 a = r D,d(r=a r a 1 = r D r a 1 (1 - δ(d(r,a 1 p d (a a 1 = r D,d(r=a1 r a = r D r a (1 - δ(d(r,a 1 pro a = b δ ( a, b = 0 pro a b
Příklad.1: Uvažjme, že množna rozhodntí je dvoprvková (označme 0 a 1. Potom exstjí čtyř rozhodovaí fnke d : {0,1} { a 1, a } d 1 (0 = a 1, d 1 (1 = a 1 d (0 = a 1, d (1 = a d 3 (0 = a, d 3 (1 = a 1 d 4 (0 = a, d 4 (1 = a Z defne pravděpodobnost hyb dostáváme: p d (a 1 a p d (a a 1 d 1 0 0 a + 1 a d 1 a 1 0 a d 3 0 a 1 1 a d 4 0 a 1 + 1 a 1 0 Je tedy vdět, že hyby rozhodntí sktečně závsí na pravděpodobnostním rozdělení P. Def..1: Rozhodovaí fnke d 1 domnje rozhodovaí fnk d, jestlže bď nebo p d1 (a a 1 p d (a a 1 a zároveň p d1 (a 1 a < p d (a 1 a p d1 (a a 1 < p d (a 1 a a zároveň p d1 (a 1 a p d1 (a 1 a Def..: Rozhodovaí fnke d je přípstná, jestlže neexstje rozhodovaí fnke, která by domnovala fnk d. Obě defne ozřejmí pokračování příklad.1: 1. Bde-l rozdělení a ve tvar P a 1 a 0 0. 0.3 1 0.1 0.4 Bdo pravděpodobnost hyb pro jednotlvé rozhodovaí fnke
p d (a 1 a p d (a a 1 d 1 0 1 d 1/3 3/7 d 3 /3 4/7 d 4 1 0 a (př výpočt msíme vyjít z toho, že r a = a Z tablky vdíme, že rozhodovaí fnke d 1, d a d 4 jso přípstné, ale rozhodovaí fnke d 3 není přípstná, neboť je domnována fnkí d.. Bde-l rozdělení a ve tvar P a 1 a 0 0.1 0.3 1 0. 0.4 Bdo pravděpodobnost hyb pro jednotlvé rozhodovaí fnke p d (a 1 a p d (a a 1 d 1 0 1 d /3 3/7 d 3 1/3 4/7 d 4 1 0 A tedy všehny rozhodovaí fnke bdo přípstné. Věta.1: Jestlže exstjí kladná čísla w(a 1 a w(a taková, že rozhodovaí fnke a1 pro w( a1 r a1 > w( a r a d( r =, a pro w( a1 r a1 < w( a r a potom je rozhodovaí fnke d přípstná. Věta :: Jestlže je rozhodovaí fnke d(r defnována způsobem vedeným ve větě 1, pak tato rozhodovaí fnke mnmalzje hodnot w(a 1 p d (a 1 a + w(a p d (a a 1 a je tedy pro daná w(a 1 a w(a optmální.
Vět. můžeme vyžít př hledání optmální rozhodovaí fnke v různýh staíh: 1. Bayesovsky optmální rozhodovaí fnke mnmalzje elkovo střední hyb rozhodování defnovano jako = 1 r D R P (d = a 1 p d (a 1 a + a p d (a a 1 = a r a (1 δ ( d( r, a = a (1 δ ( d( r, a je tedy w(a 1 =a 1 a w(a = a = 1 r D. Rozhodovaí fnke optmální vzhledem ke krtér maxmální věrohodnost dostáváme, pokd mnmalzjeme hyb defnovano jako R P (d = p d (a 1 a + p d (a a 1 Potom w(a 1 =1 a w(a = 1. V některýh staíh můžeme znát tzv. en jednotlvýh hyb. Chyby a 1 a a a a 1 totž nemsí být symetrké. Je jstě větší hybo půjčt peníze nespolehlvé osobě, která je nevrátí (proděláme, než nepůjčt osobě spolehlvé, která by peníze vrátla s úroky (nevyděláme. Podobně je jstě větší hybo nerozpoznat horob nemoného paenta (ož může vést k značným zdravotním komplkaím, než dagnostkovat horob paenta zdravého (a provádět něj další vyšetření. V takovýh staíh se zavádí tzv. hybová (též ztrátová fnke, pomoí které hodnotíme ztrát v sta, kdy správná alternatva je a 1 a my volíme a resp. naopak: e: {a 1, a } {a 1, a } [0, Pak můžeme defnovat elkové rzko č elkovo střední ztrát jako R P ( d = = 1 r D a e( a, d( r = = 1 r D a r a e( a, d( r Za (běžného předpoklad, že e(a,a = 0 je optmální rozhodovaí fnke opět defnována věto 1, přčemž w(a 1 = e(a 1,a w(a = e(a,a 1. Výše vedené úvahy vyházejí z toho, že známe pravděpodobnostní rozložení staí, které moho nastat. Ne vždy je tento předpoklad reálný. Často se msíme spokojt s neúplno znalostí. V takovém případě můžeme požít prnp maxmální entrope nebo prnp mnmax.
1. Podle prnp maxmální entrope vybereme rozdělení s nejvyšší Shannonovsko entropí H ( P H max P = = 1 r D a log a. Podle prnp mnmax bereme v úvah krtérm, které odpovídá maxmální možné hybě, které se můžeme dopstt max R P p ( d = max P = 1 r D a (1 δ ( d( r, a Tto hyb pak heme hledano rozhodovaí fnkí mnmalzovat d opt = arg mn max d P = 1 r D a (1 δ ( d( r, a Příklad.: Opět važjme dvoprvkovo množn rozhodntí (označme 0 a 1 a tedy čtyř rozhodovaí fnke d : {0,1} { a 1, a } d 1 (0 = a 1, d 1 (1 = a 1 d (0 = a 1, d (1 = a d 3 (0 = a, d 3 (1 = a 1 d 4 (0 = a, d 4 (1 = a Mějme ale tentokráte dvě rozdělení P 1 a P defnované na D { a 1, a }: P 1 a 1 a 0 0. 0.1 1 0.4 0.3 P a 1 a 0 0.1 0.6 1 0.1 0. Bayesovsky optmální fnke bde fnke, která přřadí hodnotě r D t alternatv, pro ktero je a větší. Tedy pro rozdělení P 1 je bayesovsky optmální rozhodovaí fnke d 1 a pro rozdělení P je bayesovsky optmální rozhodovaí fnke d 4. Př hledání optmální rozhodovaí fnke dle krtéra maxmální věrohodnost msíme praovat s podmíněným pravděpodobnostm r a, přčemž a r a = a Prajeme tedy s tablkam P 1 (r a a 1 a 0 /6 1/4 1 4/6 3/4 P (r a a 1 a 0 1/ 6/8 1 1/ /8
ze kterýh plyne, že pro rozdělení P 1 je optmální rozhodovaí fnke d a pro rozdělení P je optmální rozhodovaí fnke d 3. Opět totž hledáme rozhodovaí fnk, která přřadí hodnotě r D alternatv s větší pravděpodobností (tentokrát ale podmíněno. Prnp maxmální entrope vede k tom, že z rozdělení P 1 a P vybereme rozdělení P 1. Vybíráme totž rozdělení s větší hodnot entrope: H(P 1 = -(-0,14-0,10-0,16-0,16 = 0,5558 H(P = -(-0,10-0,13-0,10-0,14 = 0,479 Pro rozdělení P 1 je, jak jž víme, optmální rozhodovaí fnkí d 1 (v případě požadavk na bayesovsko optmalt, případně d (v případě krtéra maxmální věrohodnost. Podle prnp mnmax msíme spočítat hyb R P (d pro všehny čtyř rozhodovaí fnke a obě rozdělení. Př výpočt požjeme vztah R ( d p = = 1 r D a (1 δ ( d( r, a Tedy např. R P1 (d 1 = P 1 (0, a + P 1 (1, a = 0.1 + 0.3 = 0.4 Všehny hodnoty této hyby vdíme v následjíí table. Tčně jso vyznačeny maxmální hodnoty hyby pro obě rozdělení. Jako optmální vybereme t rozhodovaí fnk, která má nejmenší hodnot tohoto maxma; vybereme tedy rozhodovaí fnk d 3. d R P1 (d R P (d d 1 0.4 0.8 d 0.5 0.7 d 3 0.5 0.3 d 4 0.6 0..3 Rozhodovaí stratege Předpokládejme, že množna rozhodntí množna výsledků jso konečné. Pak můžeme Krtérm hodnotíí optmalt rozhodntí vzhledem k výsledk vyjádřt pomoí mate (Obr..1. Je-l tímto krtérem žtek, pak optmální rozhodntí žtek maxmalzje, je-l tímto krtérem ena, pak optmální rozhodntí en mnmalzje
. rozhodntí 11 1 k1 výsledek 1 k 1t t kl rozhodntí 11 1 k1 výsledek 1 k 1t t kl Obr..1 Krtérm optmalty.3.1 Rozhodování za rčtost (jstoty Rozhodovaí fnke d přřadí každém rozhodntí jedný výsledek..3. Rozhodování za rzka Rozhodovaí fnke d přřadí každém rozhodntí nějaké známé rozložení pravděpodobnost na množně V. Sktečný výsledek je vybírán na základě této pravděpodobnost. Optmální rozhodntí * je to, které maxmalzje střední hodnot žtk resp. mnmalzje střední hodnot eny * * = arg max = arg mn l j= 1 l j= 1 j j p p j j.3.3 Rozhodování za nerčtost Rozhodovaí fnke d přřadí každém rozhodntí nějako podmnožn výsledků, neznáme ale jejh pravděpodobnost (nevíme, který výsledek nastane. Jak ž bylo vedeno výše, exstjí dvě základní stratege jak postpovat: Garanční (mnmaxová stratege vyhází z toho, že očekáváme (z hledska našh preferení nejméně příznvý výsledek Tedy v případě, že krtérem je žtek, hledáme rozhodntí * takové, že * = arg max mn a v případě, že krtérem je ena, hledáme rozhodntí * takové, že * = arg mn max j j j j
Prnp maxmální entrope je založen na předpoklad rovnoměrného rozdělení pravděpodobností jednotlvýh výsledků, tedy že p = p j. V případě, že krtérem žtek, hledáme rozhodntí * takové, že * = arg max a v případě, že krtérem je ena, hledáme rozhodntí * takové, že l j= 1 j * = arg mn l j= 1 j.3.4 Rzko vs. Nerčtost Prnp rozhodování za rzka a nerčtost osvětlí následjíí příklad převzatý ze [Šteha]. Pan Novák stojí před úkolem objednat hlí na zm. Ze zkšenost ví, že pokd bde zma mírná, stačí m 10q hlí, pokd bde normální, bde potřebovat 15q a pokd bde thá, bde potřebovat 0q. V létě je ena 1q hlí 100,- Kč. Pokd bde nakpovat změ, bde ena závset na průběh zmy. Př mírné změ bde ena za 1q hlí rovněž 100,- Kč, př normální změ bde ena za 1q hlí 150,- Kč a př thé změ bde ena za 1q hlí 00,- Kč. Rozhodovaím problémem pana Nováka je tedy kolk hlí má kopt v létě. Daná úloha má tř možná rozhodntí (odpověd na otázk kolk hlí kopt v létě a tř možné výsledky (alternatvní průběhy zmy. Krtérem hodnoení jednotlvýh varant je ena, ktero pan Novák ve výsledk zaplatí (pokd v létě kopí méně hlí, než bde potřebovat, msí něo dokopt v změ. Hodnot krtéra pro jednotlvé varanty kazje následjíí tablka. mírná zma normální zma thá zma v létě 10 1000 1750 3000 v létě 15 1500 1500 500 v létě 0 000 000 000 Př rozhodování př rzk msí pan Novák znát pravděpodobnost jednotlvýh podob zmy. Řekněme, že mírná = 0.4 normální = 0.5 thá = 0.1 Pan Novák vybere rozhodntí (řádek, které bde mnmalzovat hodnot j p j a j pro =1 je j p j a j = 0.4 1000 + 0.5 1750 + 0.1 3000 = 1575 pro = je j p j a j = 0.4 1500 + 0.5 1500 + 0.1 500 = 1600 pro =3 je j p j a j = 0.4 000 + 0.5 000 + 0.1 000 = 000 Pan Novák tedy v létě kopí 10q hlí.
Př rozhodování za nerčtost pan Novák pravděpodobnost jednotlvýh podob zmy nezná: př požtí mnmaxové stratege pan Novák vybere to rozhodntí, pro které max j (a j bde mnmální. Pan Novák tedy v létě kopí 0q hlí, neboť ve třetím řádk je maxmální hodnota mnmální ze všeh řádkovýh maxm. př požtí prnp maxmální entrope pan Novák vybere to rozhodntí, pro které j a j bde mnmální. (Přesně vzato, bdeme opět mnmalzovat výraz j p j a j, ale protože p j je př rovnoměrném rozdělení konstanta, můžeme j zanedbat. pro =1 je j a j = 1000 + 1750 + 3000 = 5750 pro = je j a j = 1500 + 1500 + 500 = 5500 pro =3 je j a j = 000 + 000 + 000 = 6000 Pan Novák tedy v létě kopí 15q hlí. Cvčení: 1 Banka. Bankéř se rozhodje, zda poskytne půjčk klentov. Pokd půjčí klentov, který půjčk splatí, získá 10. Pokd půjčí klentov, který nesplatí, ztratí 5. Pokd nepůjčí klentov, který by půjčk splatl, ztratí 1 a pokd nepůjčí klentov, který by nesplatl, zůstane na 0. Přtom ví, že pravděpodobnost, že klent je bontní, je 0.9. Jak se má bankéř rozhodnot dle pravdla mnmax, dle bayesova krtéra a dle prnp maxmální entrope? Lteratra: 1. Jrošek R.: Metody reprezentae a zpraován.ní znalostí v mělé ntelgen. Skrpta VŠE, 1995. Šteha J.: Optmální rozhodování a řízení. FEL ČVUT, 1999.