. Úvod do základích pojmů teore pravděpodobost. Úvodí pojmy Větša exaktích věd zobrazuje své výsledky rgorózě tj. výsledky jsou získáváy a základě přesých formulí a jsou jejch terpretací. Příkladem je větša výsledků klascké fyzky ( výpočet hmotost, rychlost, teploty ), cheme( stavové rovce). Přesto se v procesu vývoje ldské společost postupě objevovaly jevy, jejchž přesý výsledek ebylo možo určt jako prví jsou uváděy klascké hazardí hry jž v raém středověku ( vrhcáby ebol hod kostkou ebo kostkam, karetí hry ). Takovýchto případů stále přbývalo dokoce v exaktích vědách. Začalo mít proto smysl se jm důkladěj zabývat. Matematckou terpretací takovýchto jevů se zabývá obor teore pravděpodobost. Jedím ze základích pojmů teore pravděpodobost je áhodý pokus. Je to děj, který je možo lbovolěkrát opakovat ( alespoň hypotetcky ), přčemž výsledky takovýchto dějů ejsou jedozačě určey vstupím podmíkam, zároveň je však stablí do té míry, že relatví četost výsledků pokusu se postupě přblžuje lbovolě blízko určtému číslu. Podle takovéhoto popsu jsou dříve uvedeé příklady hodu kostkou, hraí karet jedoduchým případy áhodých pokusů. Nás ebude zajímat vlastí prováděí áhodých pokusů, ale především výsledky takovýchto dějů. Takovýto pohled vede k pojmu áhodého jevu. Náhodým jevem budeme rozumět lbovolý výrok (tvrzeí )o výsledku áhodého pokusu, o kterém lze po provedeí áhodého pokusu prohlást zda je č eí pravdvé. V tomto textu budeme áhodé jevy ozačovat zásadě velkým písmey abecedy. Příklady takovýchto áhodých jevů může být padutí čísla 3 př hodu kostkou, vylosováí čísel př tahu sportky, pohlaví arozeého dítěte, přítomost elemetárí částce a daém místě, odpověď a otázku v dotazíku atd. Všechy možé výsledky áhodého pokusu ( apř. hodu kostkou ) budeme dále ozačovat symbolem Ω a azývat základí možou. Jestlže provádíme hod kostkou je základí možou Ω ={,2,3,4,5,6}. V případě, že moža Ω je koečá ebo spočetá mluvíme o tzv. klascké teor pravděpodobost ( podrobost jsou uvedey v pozámce I. a II. a koc této kaptoly ).. Představme s, že budeme postupě zkoumat produkc určtého výrobku přímo a koc výrobí lky. Symbolem A ozačíme áhodý jev výrobek je kvaltí, symbolem A výrobek je ekvaltí. Budeme s delší časovou perspektvou zazameávat postupě áhodé jevy A a A tak jak budou výrobky vyráběy. O povaze áhodého jevu A ebude vypovídat počet realzací A, ale bude mít smysl zjšťovat jaký je podíl kvaltích výrobků a celé výrobě.. Celkový objem kvaltích výrobků ozačujeme v teor pravděpodobost a statstce jako absolutí četost kvaltích výrobků a podíl kvaltích výrobků a celkovém možství výrobků jako relatví četost kvaltích výrobků V dále uvedeém grafu můžeme pozorovat přblžováí hodoty relatví četost áhodého jevu A př zvětšováí počtu áhodých pokusů k určtému číslu. Toto číslo můžeme za daých podmíek skutečě tomuto jevu jedozačě přřadt a azýváme ho pravděpodobostí áhodého jevu A. Způsob zavedeí pojmu pravděpodobost je v tomto případě etradčí jde o tzv. statstcký přístup. Na základě obrázku. provedeme tedy kostrukc pravděpodobost áhodého jevu A ( dále A) ), zároveň uveďme jaké jsou základí vlastost takovéhoto pojmu pravděpodobost :. Pravděpodobost A) abývá hodot mez 0 a. Náhodý jev, pro který je A) = 0 azýváme jev emožý ; jestlže A) = azýváme áhodý jev jako jev jstý.
2. Př prováděí áhodého pokusu mohokrát ( 000x, 0000x atd. ) je určté, že relatví četost výskytu áhodého jevu se emusí rovat ( a většou také erová ) hodotě A), bude se od í však je epatrě lšt. 3. Jestlže tedy budeme chtít ověřt, zda áhodý jev je č eí jstý je možé opakovat mohokrát áhodý pokus, pokud je výsledek je epatrě odlšý od jedé ( meší ež jeda ) je praktcky zřejmé, že př jedém áhodém pokusu áhodý jev astae. Podobé tvrzeí lze uvést o jevu emožém. 4. Takovýto přístup k tvorbě pravděpodobost je možý je tam, kde můžeme skutečě reálě opakovat áhodé pokusy a výsledky terpretovat jako pravděpodobost, selže tam, kde by opakováí bylo možé, ale z určtých důvodů emožé. Proto se teore pravděpodobost většou jako matematcká teore buduje axomatcky vz [] ebo pozámka I. a koc této kaptoly. Relatví četost kvaltích výrobků 0,98 0,96 0,94 0,92 0,9 0,88 0,86 0 00 000 0000 počet výrobků Pokud bychom se zabýval aším kokrétím případem dále a prováděl šetřeí ěkolk dí mohl bychom získat apříklad výsledek uvedeý v tabulce.. Údaje, které jsou v tabulce uvedey podporují grafcké výsledky, lze z ch tedy usuzovat, že pravděpodobost vyrobeého výrobku se eměí a je rova přblžě 0,957.
De Počet vyrobeých výrobků Relatví četost kvaltích výrobků.2. 2563 0,96 2.2. 3056 0,955 3.2. 2489 0,958 4.2. 2783 0,957 5.2. 2986 0,959 6.2. 2302 0,96 7.2. 2685 0,95 8.2. 2548 0,957 Celkem 042 0,95735209.2 Základí pojmy kombatorky V této část budeme předpokládat, že veškeré možy, s kterým budeme pracovat jsou koečé. Pojem. Nechť moža A má celkem > 0 prvků. Permutací azveme uspořádáí prvků možy A tak, že v tomto uspořádáí je každý prvek uvede právě jedou. Počet takovýchto uspořádáí azýváme počtem permutací ( ebo počtem permutací bez opakováí ) možy A. Teto počet ) =! ( souč všech přrozeých čísel od do čísla ). Příklad.2 Ve skupě 6 studetů chceme zjstt počet všech možých pořadí přhlášeí a zkoušku. Studet se a zkoušku hlásí x tedy hledáme počet permutací tedy 6) = 6! = 20. Studet se můžou přhlást celkem 20 možým způsoby. Pojem.3 Nechť moža A má celkem > 0 prvků. Permutací s opakováím azveme uspořádáí prvků možy A tak, že v tomto uspořádáí se každý prvek může opakovat 0 až krát. Celkový počet prvků takovéhoto uspořádáí je rove. Počet takovýchto uspořádáí azýváme počtem permutací s opakováím možy A. Teto počet P () =. Příklad.4 Podržme zadáí stejé jako v předchozím případu. Zjstěme jaký počet růzých uspořádáí je možé alézt za těchto podmíek. Řešeí : Podle předchozího je teto počet rove P (6) = 6 6 = 46 656. V tomto případě se studet mohou přhlást celkem 46 656 způsoby. Pojem.5 Nechť moža A má celkem > 0 prvků. Varací k té třídy bez opakováí azveme lbovolou k čleou podmožu V možy A takovou, že v tomto uspořádáí je každý prvek uvede ejvýše jedou a dále v daém uspořádáí záleží a pořadí prvků. Počet takovýchto uspořádáí azýváme počtem Varací k té třídy bez opakováí možy A. Teto počet je rove
! V k = =.( )...( k + ) ( k)! Příklad.6 Určete počet všech přrozeých čísel meších ež 500, v jejchž zápsu jsou pouze číslce 4, 5, 6, 7, a to každá ejvýše jedou. Počet jedomístých přrozeých čísel je rove počtu varací prví třídy ze čtyř prvků; pro dvojmístá přrozeá čísla je počet rove varacím druhé třídy ze čtyř a koečě jedá trojmístá přrozeá čísla, která splňují zadáí jsou čísla začíající 4, jejch počet je tedy rove počtu varací bez opakováí druhé třídy ze čtyř prvků. Celkově tedy bude 4 4 3 4! 4! 3! x = V + V2 + V2 = + + = 4 + 2 + 6 = 22. (4 )! (4 2)! (3 2)! Podmíky splňuje 22 přrozeých čísel. Pojem.7 Nechť moža A má celkem > 0 prvků. Varací k té třídy s opakováí azveme lbovolé k čleé uspořádáí prvků možy A takové, že v tomto uspořádáí záleží a pořadí prvků a každý prvek uvede ejvýše jedou. Počet takovýchto uspořádáí azýváme počtem Varací k té třídy s opakováí možy A. Teto počet je rove ' k k V = Příklad.8 Předpokládejme, že prví dva zaky SPZ automoblu v aší republce se skládají ze dvou zaků abecedy, a zbylých pět čleů kombace jsou čísla. Určete počet Všech SPZ. Prví část se skládá z dvojce písme ( je jch 26 ), která mohou lbovolě opakovat, přčemž záleží a pořadí ( jde o uspořádaou dvojc ). Celkově jch je tedy jako počet varací s opakováím druhé třídy z 26 prvků. Druhá část SPZ je tvořea uspořádaou pětcí čísel, jejch počet je rove počtu varací s opakováím 5 třídy z 0 prvků. Celkový počet začek je proto rove : 26 0 2 5 x = V ' 2. V ' 5 = 26.0 = 67600000 Pojem.9 Nechť moža A má celkem > 0 prvků. Kombací k té třídy bez opakováí azveme lbovolou k čleou podmožu V možy A takovou, že v tomto uspořádáí je každý prvek uvede ejvýše jedou a dále v daém uspořádáí ezáleží a pořadí prvků. Počet takovýchto uspořádáí azýváme počtem kombací k té třídy bez opakováí možy A. Teto počet je rove! Ck = ( k ) = k!.( k)! Příklad.0 Zjstěte počet možostí výběru správé šestce př hře sportka. Celkový počet těchto šestc je rove počtu kombací šesté třídy z 49 prvků. 49! 49! 49.48.47.46.45.44 x = ( 49 6 ) = = = = 49.4.47.46.3. = 398386 6!.(49 6)! 6!.43!.2.3.4.5.6.
Pojem. Nechť moža A má celkem > 0 prvků. Kombací k té třídy s opakováím azveme lbovolou k čleou podmožu V možy A takovou, že v tomto uspořádáí je každý prvek uvede ejvýše k krát a dále v daém uspořádáí ezáleží a pořadí prvků. Počet takovýchto uspořádáí azýváme počtem kombací k té třídy s opakováí možy A. Teto počet je rove + k + k ( + k )! C' = k = k!.( )! k Příklad.2 Hra domo představuje soubor kostek, z chž je každá kostka rozdělea a dvě polovy a každá polova je samostatě ozačea body 0 až 8. Každá kostka se ve hře vyskytuje pouze jedou. Určete počet kostek jedé hry. Jde o kombace druhé třídy s opakováím z devít prvků ( ezáleží ám a pořadí výběru daé dvojce, prvky se mohou opakovat a celých čísel od 0 do 8 je devět ). Podle výše uvedeého vztahu je počet kostek jedé hry rove 9+ 2 0 9 0! C ' 2 = = = = 45. 2 2!.8! 2.3 Zákoy pro prác s áhodým jevy a pravděpodobostm Př praktcké prác se většou setkáváme s úkoly, které závsí často a více ež a jedom áhodém jevu. Například př určté odpověd v dotazíku sledujete zároveň tuto odpověď, ale zároveň j kofrotujete s faktem pohlaví respodeta. Proto je důležté se zabývat artmetkou zákoů teore pravděpodobost. Budeme tedy dále uvádět jsté defce základích pojmů. Jev opačý k áhodému jevu A je áhodý jev B takový, že astává právě tehdy, když áhodý jev A eastává.příklad : A př hodu kostkou pade 6; jev B př hodu kostkou padou buď ebo 2 ebo 3 ebo 4 ebo 5. Jevy A a B se azývají eslučtelé, jestlže emohou oba astat součastě. Bude l áhodým jevem A apř. padutí 6, B může být apř. áhodý jev padutí lchého čísla. Důležté je, že pro dva áhodé jevy A a B platí, že sjedoceí ( sečteí ) áhodých jevů A a B je také áhodý jev C = A U B. Teto áhodý jev tedy astává právě tehdy, když astává aspoň jede z áhodých jevů A, B. Podle pozámky I. a koc této kaptoly je áhodým jevem dokoce lbovolé koečé ebo spočeté sjedoceí áhodých jevů. Podobě pro dva áhodé jevy A a B platí, že průk áhodých jevů A,B je opět áhodý jev C = A B.Teto áhodý jev astává právě tehdy, když astávají oba áhodé jevy A, B součastě. Podobě jako u předchozího případu platí, že koečé ebo spočeté průky áhodých jevů jsou opět áhodé jevy. Příklad.3 Náhodý jev A astává př hodu kostkou, jestlže pade 3 ebo 6. Náhodý jev B astae, jestlže pade sudé číslo. Potom C = A U B = {2;3;4;6} ; dále C = A B = {6}. Pro vlastí výpočty pravděpodobostí jstých stuací je důležté se aučt pracovat s hodotou pravděpodobostí jako s určtou mírou, která má jsté vlastost :
A. I. Vlastost doplňku. Nechť A je áhodý jev a B je jev opačý k áhodému jevu Potom platí B ) = A ) (.) II. Vlastost sjedocováí. Jestlže áhodé jevy A, B jsou eslučtelé, potom platí A U B ) = A ) + B ) (.2) Exaktí formace aleze čteář buď v část.5 a koc této kaptoly ebo v []. Z těchto vlastostí můžeme odvodt jedu velm důležtou formac o obecé hodotě pravděpodobost sjedoceí č průku dvou áhodých velč. Věta.5 Nechť A, B jsou áhodé jevy potom platí A U B ) = A ) + B ) A B ) (.3) Důkaz: Provedeme obrázkem.2 A U B 2 3 A A» B B Z obrázku je zřejmé, že sjedoceí áhodých jevů A a B je možo upravt a sjedoceí tří eslučtelých áhodých jevů. Pokud tedy sečteme pravděpodobost áhodých jevů A a B je výsledek utě větší o pravděpodobost průku těchto áhodých jevů, eboť te se vyskytuje v obou áhodých jevech součastě, počítal bychom ho tedy dvakrát. Příklad.6 pokračováí Počítáme pravděpodobost yí kol pomocí statstcké defce pravděpodobost, ale pomocí defc uvedeých v pozámce I. a koc této kaptoly. A ) = 2 / 6 = 0,33 ; B ) = 3 / 6 = 0,5. A B ) = / 6 = 0,67 ; A U B ) = 4 / 6 = 2 / 3 = 0,67 ebo podle (.3) A U B ) = 0,33 + 0,5-0,67 = 0,67 Př řešeí určtých kokrétích stuací ás ezajímá přímo otázka pravděpodobost určtého áhodého jevu A, ale řešíme stuac výskytu áhodého jevu A za podmíky, že zároveň astal určtý áhodý jev B ( předpokládáme, jev B eí emožý ). Například ás mohou zajímat odpověd a určtou otázku v dotazíku za předpokladu, že respodet byl muž ; Pro řešeí takovýchto stuací byl vymyšle celý matematcký aparát tzv. podmíěých pravděpodobostí. Prcpálí myšlekou je zahrout do výpočtu pravděpodobost ( podmíěé ) jevu A je tu část, která je společá oběma áhodým jevům. Proto ás epřekvapí ásledující defce podmíěé pravděpodobost jevu A vzhledem k áhodému jevu B( opět e emožému ) jako A B) A/ B) = (.4). B) Z výrazu (.4) můžeme odvodt pravděpodobost průku dvou áhodých jevů A a B pomocí podmíěé pravděpodobost jako
P ( A B) = A/ B). B) (.5) Příklad.7 Zjstěte hodotu podmíěé pravděpodobost áhodého jevu A vzhledem k áhodému jevu B z příkladu.6 Hodotu podmíěé pravděpodobost zjstíme pomocí výsledků příkladu.6 Tedy A B) 0,67 A/ B) = = = 0,33. B) 0,5 Toto číslo vyjadřuje relatví četost áhodého jevu A mez případy, kdy zároveň astal áhodý jev B. Pro vlastí prác s pojmem pravděpodobost áhodého jevu je velm důležtý pojem ezávslost áhodých jevů ( dvojce áhodých jevů ). Itutvě cítíme, že jevy A a B jsou ezávslé, jestlže výskyt jedoho eovlvňuje výskyt druhého áhodého jevu. Bude tedy podstaté pro zkoumáí této vlastost chováí pravděpodobost průku áhodých jevů A a B. Matematckým vyjádřeím této myšleky je to, že hodota podmíěé pravděpodobost jedoho áhodého jevu vůč druhému musí být rova epodmíěé pravděpodobost. Tedy A / B ) = A ) ebo velm podobě B / A ) = B ). Odsud můžeme odvodt jý způsob defce ezávslost áhodých jevů A a B : Defce.8 Náhodé jevy A, B ( a jede eí emožý ) azveme ezávslé právě tehdy, když P ( A B) = A). B) (.6) Defc. o ezávslost áhodých jevů lze rozšířt a lbovolý počet ezávslých jevů A, A 2,,A k. Ozačíme-l C jev, který spočívá v současém výskytu těchto jevů, tj. C= A A 2, A k, potom pravdlo o ásobeí pravděpodobostí má tvar C ) = A A 2, A k ) = A ) A k ) (.7) V tomto případě ale žádáme, aby takovýto vztah platl pro lbovoloupodmožu takových áhodých jevů. Takže apříklad v případě tří áhodých jevů A, A 2,A 3 budeme požadovat platost pro všechy možé dvojce áhodých jevů a pro trojc. Půjde tedy o celkem 4 rovost! Příklad.9 V daém ročíku a gymázu, který má 240 žáků bylo hodoceo v matematcké kompozc zámkou výborě 30 žáků, v kompozc z českého jazyka celkem 40 žáků. 5 žáků bylo hodoceo zámkou výborě z obou kompozc. Zjstěte, zda áhodý jev být výborý z matematky je ezávslý a výborém hodoceí z českého jazyka. Podle vzorce (.6) ejdříve zjstíme příslušé odhady pravděpodobostí jedotlvých áhodých jevů. Pravděpodobost být výborý v matematce je tedy rova 30 / 240 = 0,25 ; pravděpodobost být výborý v českém jazyce je rova 40 / 240 = 0,67; podle uvedeých údajů je pravděpodobost být zároveň výborý v obou předmětech rovo 5 / 240 = 0,02. Zjstíme, zda platí vztah (.6): 0,25. 0,67 = 0,02. Oba áhodé jsou tedy ezávslé.
Příklad.20 Po provedeí průzkumu ázorů občaů bylo ve vzorku 500 ldí odpovědělo 820 respodetů kladě a otázku zda se jejch celková stuace zlepšla. Celkový počet mužů ve vzorku byl 70. Na otázku záporě odpovědělo 600 ldí, z toho 300 mužů. Nechť A je áhodý jev celková stuace se zlepšla, B je áhodý jev celková stuace se ezlepšla, C je áhodý jev respodet je muž, D je áhodý jev respodet je žea. Určete odhad podmíěé pravděpodobost A / C) a B / D ). Abychom získal odhad podmíěé pravděpodobost A / C) je uté podle vzorce (.4) postupě zjst hodoty A C) a C).Náhodý jev A C obsahuje muže,u chž se stuace zlepšla. Celkový počet takovýchto mužů podle zadáí je rove 40, celkový počet mužů je rove 70, proto A C) = 40 / 500 = 0,273; C).= 70 / 500 = 0,473. Použjeme l vzorec (.4) je A/C) = 0,273 / 0,473 =0,577. Pokud budeme počítat přímo, tak počet mužů splňující aše podmíky je rove 40 a celkový počet mužů je 70, tedy počítejme ještě jedou podmíěá pravděpodobost A C) = 40 / 70 = 0,577. Obdobě budeme postupovat v případě výpočtu B / D ). Nejdříve určíme počet prvků možy D ( že ) te je rove 500 70 = 790 že. Pro výpočet je podstaté zjštěí počtu prvků B D tedy že,které ejsou spokojey. Teto počet je rove 300. Tedy počítejme B D)=300/500 = 0,2; D) = 790 / 500 = 0,523, pro je B/D) = 0,2 / 0,523 = 0,382. Budeme l počítat přímo získáme tuto hodotu jako podíl 300 a 790. Příklad.2 Zjstěte za předchozích podmíek, zda áhodé jevy A a C resp.b a D jsou ezávslé. Použjeme rovost (.6) pro ezávslé áhodé jevy A a C platí A C) = A). C). V ašem případě je A C) = 40 / 70 = 0,577, A) = 820 / 500 = 0,547; C) = 70/500 = 0,473. Pokud by měl být áhodé jevy ezávslé musí platt (.6), ale A).C) = 0,259. Náhodé jevy A a C ejsou tedy ezávslé. Postupujme obdobě u áhodých jevů B a D. B D)=300/500 = 0,2; D) = 790 / 500 = 0,523 ; B) = 680 / 500 = 0,453. Zjstěme tedy hodotu B). D) = 0,523. 0,453 =0,237. Náhodé jevy B a D ejsou ezávslé.
.4 Věta o úplé pravděpodobost a Bayesův vzorec Vzorce pro podmíěou pravděpodobost sam o sobě emají velký výzam, jejch využtí př výpočtech je velm důležté právě pro exstec tvrzeí typu Bayesova vzorce resp. Věty o úplé pravděpodobost. Věta.22 Věta o úplé pravděpodobost Nechť áhodé jevy {B }, kde =,, jsou avzájem eslučtelé a dále je B )>0. Nechť dále pro áhodý jev A platí, že A.Potom Důkaz: = B = A) = A/ B ). ) (.8) B = B Protože platí A, platí tato kluze A ( A B ) A. = Pravděpodobost je podle pozámky II. a koc této kaptoly mootóí tedy platí A) = A B ) = A/ B ). B ). = = Q.E.D. Pro platost tohoto tvrzeí je podstaté, že systém áhodých jevů B je vzhledem k áhodému jevu A úplý tj. každý prvek možy A se achází v právě jedé možě B. Příklad.23 Nechť A je áhodý jev utost jsté opravy určtého typu automoblu. Pravděpodobost opravy tohoto typu automoblu za předpokladu stáří automoblu do dvou let ( áhodý jev B ) je rova 0,; pravděpodobost opravy tohoto typu automoblu za předpokladu stáří automoblu od 2 do 7 let ( áhodý jev B 2 ) je rova 0,5; v ostatích případech ( áhodý jev B 3 ) je rova 0,75. Pravděpodobost, že automobl tohoto typu bude patřt do těchto skup jsou B ) = 0,3 ; B 2 ) = 0,5 ; B 3 ) = 0,2. Zjstěte pravděpodobost této opravy tohoto typu automoblu. Náhodé jevy B, B 2, B 3 jsou avzájem eslučtelé a vždy astává je právě jede z ch. Pro využtí předchozího tvrzeí je ještě třeba zát podmíěé pravděpodobost oprav v jedotlvých kategorích stáří automoblu, protože je ale záme můžeme přímo dosazovat do vzorce (.8) A) = A/B ).B ) + A/B 2 ).B 2 )+ A/B 3 ).B 3 ) = = 0,. 0,3 + 0,5. 0,5 + 0,75. 0,2 = 0,43 Pravděpodobost opravy je tedy 43 %. Příklad.24 V průzkumovém dotazíku byla položea jstá otázka a zkoumala se kladá odpověď a ( áhodý jev A ). Pravděpodobost kladé odpověd u respodeta ve věku maxmálě do 8 let ( áhodý jev B ) je rova 0, ; pravděpodobost kladé odpověd u osoby v reprodukčím věku ( áhodý jev B 2 ) je rova 0,3 ; pravděpodobost u osoby v postreprodukčím věku ( áhodý jev B 3 ) je rova 0,4. Pravděpodobost jedotlvých áhodých jevů B jsou rovy B ) = 0,25 ; B 2 ) = 0,60 ;B 3 ) = 0,5. Zjstěte pravděpodobost kladé odpověd v daé společost.
Podobě jako v předchozím případě ověříme, že áhodé jevy B, B 2, B 3 jsou avzájem eslučtelé a vždy astává je právě jede z ch. Použjeme opět vztah (.8). A) = A/B ).B ) + A/B 2 ).B 2 )+ A/B 3 ).B 3 ) = = 0,. 0,25 + 0,3. 0,6 + 0,4. 0,5 = 0,265 Pravděpodobost kladé odpověd v celé společost je 26,5%. Druhým velm výzamým tvrzeím je Bayesova věta, která určuje jakým způsobem lze počítat tzv. podmíěé pravděpodobost B / A) áhodého jevu B za podmíky, že astal áhodý jev A, jestlže záme aprorí pravděpodobost B ) a podmíěé pravděpodobost A / B ). Přesěj Věta.25 Bayesova věta Nechť áhodé jevy {B }, kde =,, jsou avzájem eslučtelé a dále je B )>0. Nechť dále pro áhodý jev A platí, že A, A) > 0. Potom = B = A/ B j ). B j ) B j / A) = (.9). A/ B ). B ) Důkaz: Podle podmíek tvrzeí má B j / A ) smysl. Využjeme vztahy (.4) a (.8.). Čtatel ve zlomku (.4) je rove B j A), což je podle (.5) rovo právě A / B j ). B j ). Jmeovatel ve zlomku (.9) zjstíme přesě podle tvrzeí.3.. Q.E.D. Pravděpodobost hypotéz před provedeím áhodého pokusu B j ) se azývají pravděpodobost a pror a pravděpodobost hypotéz po provedeí áhodého pokusu B j / A) se azývají pravděpodobost a posteror. Příklad.26 Jede ze tří střelců vystřelí a zasáhe cíl. Pravděpodobost zásahu př jedom výstřelu je pro prvého střelce 0,3, pro druhého střelce 0,5 a pro třetího střelce 0,8. Určete pravděpodobost, že střílel druhý střelec. Ozačíme postupě A áhodý jev zasáhl. střelec; A 2 áhodý jev zasáhl 2. střelec; A 3 áhodý jev zasáhl 3. střelec. Ozačme dále jako áhodý jev A cíl byl zasaže. Jstě platí B /A ) = B /A 2 ) = B /A 3 ) =. Chceme vypočítat B 2 / A ), tedy podle (.9) je.0,5 0,5 P ( B 2 / A) = = = 0,325..0,3 +.0,5 +.0,8,6 Příklad.27 Výrobce barometrů zjstl testováím velm jedoduchého modelu, že občas ukazuje epřesě. Za deštvého počasí ukazuje v 0% jaso a za jasého počasí ukazuje déšť ve 30% případů.
V září je u ás zhruba 40% dí deštvých. Předpokládejme, že barometr ukazuje de 28.9. a deštvo. Jaká je pravděpodobost, že bude skutečě pršet? Pokusíme se provést řešeí této úlohy pomocí grafcké metody, zázoríme všechy možost do tzv. Veova dagramu. Obrázek.3 Na barometru jaso Na barometru deštvo 60% 42% 8% Skutečě jaso 40% 4% 36% Skutečě deštvo Budeme l tedy vycházet z obrázku.3 bude pravděpodobost, že skutečě prší za předpokladu, barometr ukazuje déšť rova podílu 0,36 / 0,4 = 0,9. Odpověď: Hledaá pravděpodobost je rova 90%..5 Teoretcké základy teore pravděpodobost V této část vybudujeme teoretcký aparát teore pravděpodobost, postupě zavedeme rgorózě všecha základí tvrzeí a defce..5. Klascká pravděpodobost. Defce.28 Nechť moža Ω «a koečá. Potom tuto možu azveme základí možou. Pozámka.29 Pro případ tzv. geometrcké pravděpodobost budeme předpokládat, že míra ( tj. délka, plocha, objem ) možy Ω je koečá a Ω «. Podobě jako v část. této kaptoly zavedeme pojem áhodého jevu. Pozámka.30 V souladu s předchozím částm je moža Ω rova možě všech možých výsledků áhodého pokusu. Defce.3 Nechť je Ω základí moža. Potom lbovolou podmožu A možy Ω azveme áhodým jevem ( v případě geometrcké pravděpodobost musí být tato podmoža měřtelá ). V případě, že je moža A jedoprvková azýváme j též elemetárím áhodým jevem. Pozámka.32 Pojem elemetárího áhodého jevu budeme posléze defovat obecěj v část abstraktí teore pravděpodobost.
Věta.33 Moža všech áhodých jevů má ásledující vlastost : a) Je eprázdá obsahuje jev emožý -«; obsahuje jev jstý - Ω b) Jestlže A, B jsou áhodé jevy, potom A» B a A B jsou áhodé jevy c) Jestlže A je áhodý jev, potom jeho doplěk Ω \ A je také áhodý jev Důkaz tohoto tvrzeí je zřejmý. Abychom mohl začít reálě pracovat s áhodým jevy je ještě uto zavést pojem pravděpodobost. Defce.34 Nechť Ω a mají výzam předchozích defc. Potom pro lbovolý áhodý jev Aœ defujeme ásledující fukc P card( A) P : A (.0). Card( Ω) ( Card(A) je fukce udávající počet prvků možy A ). Tuto možovou fukc azveme pravděpodobostí áhodého jevu A. Věta.35 Pravděpodobost má ásledující vlastost: a) Pro všechy áhodé jevy A platí 0 A) ( omezeost pravděpodobost ) b) Nechť pro áhodé jevy A, B platí A B = «( takové áhodé jevy azýváme eslučtelé ). Potom A» B ) = A) + B) ( adtvta pravděpodobost ) c) Nechť A je áhodý jev a Ω \ A jeho doplěk potom Ω \ A) = A) ( vlastost doplňku ) d) «) = 0 a Ω) =. Důkaz : Proveďte samostatě dosazeím přímo do vztahu (.0). Věta.36 Vlastost pravděpodobost: a) Pro lbovolé áhodé jevy A a B platí PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) b) Pro lbovolý áhodý jev A platí PA ( ) 0 c) Pro lbovolý áhodý jev A platí PA ( ) d) Pro lbovolý áhodý jev A platí Ω \ A) = A) e) Nechť A,B jsou áhodé jevy takové, že A Õ B. Potom PA ( ) PB ( ) Důkaz: Nechť X ozačuje počet prvků možy X. a) Jstě platí A»B + A B = A + B, jestlže teto vztah dělíme W dostáváme a). b) Protože A 0, je b) zřejmé c) Protože A W platí jstě část c) tvrzeí d) Pro teto vztah použjeme část a). ( Ω \ A) A= a ) = 0. Z část a) tedy přímo vyplývá aše tvrzeí. e) Za uvedeých podmíek je jstě A B. Odtud jž vyplývá dokazovaý vztah. Q.E.D.
Příklad.37 V koš je 30 lístků, 20 je bílých a 0 červeých. Jaká je pravděpodobost, že dva vylosovaé lístky ( lístky evracíme ) budou bílý a červeý? Provedeme podle vztahu (.0). Počet všech možých dvojc tažeých lístků je dá 30 výrazem ( 2 ); počet všech přízvých varat je dá součem 20. 0. Tedy skutečá 0.20 200 200 pravděpodobost je rova P = = = = 0,4598. 30 ( ) 30! 2 5.29 2!.28! Příklad.38 Z běžé sady 32 hracích karet vytáheme 4. Jaká je pravděpodobost, že : a) Budou obsahovat aspoň jedo eso b) Budou obsahovat ejvýše dvě červeé? 32 Pro obě varaty je počet všech možých vytažeí 4 karet z 32 rove ( 4 ) = 35 960. a) Příklad vyřešíme ejprve pro doplňkový jev ( tedy táheme 4 karty eobsahující 28 žádé eso ). Počet přízvých varat pro teto případ tedy je ( 4 ) = 20 475. Tedy pro áš případ je počet přízvých vytažeí rove 35 960 20 475 = 5 485. 5485 Hledaá pravděpodobost je tedy P = = 0,4306. 35960 b) Příklad rozdělíme a celkem tř možost obsahují 0,,2 červeé. Pro počet 0 24 červeých je celkových možostí ( 4 ) = 0 626 ; pro počet červeé je celkových 8 24 8 24 možostí ( )(. 3 ) =6 92; pro počet dvou červeých ( 2 )(. 2 ) =7 728. Celkově je tedy přízvých možostí 34 546. Hledaá pravděpodobost je rova 34546 P = = 0,9607. 35960 Stejě jako v předchozí část můžeme zavést pojmy podmíěé pravděpodobost, ezávslost áhodých jevů, tvrzeí o úplé pravděpodobost a Bayesovu větu. Jejch důkazy jsou prováděy stejým aparátem, jako tvrzeí předchozí část. Defce.39 Pod pojmem pravděpodobostí prostor budeme uvažovat trojc {Ω,, P}, která má vlastost z předchozích defc. Defce.40 Nechť {Ω,, P} je pravděpodobostí prostor. Systém { X } I prvků z se azývá systémem ezávslých áhodých jevů, jestlže pro lbovolé, 2,, I platí PA ( A A ) = PA ( ) PA ( ) PA ( ). 2 2 Pozámka.4 V defc ezávslost může být dexová moža I espočetá, podstaté je, že předchozí průky provádíme přes lbovolé koečé podmožy možy I. Tedy jestlže B) > 0 a áhodé jevy A, B jsou ezávslé potom A/B)=A)!.5.2 Abstraktí axomatcká ( Kolmogorovova ) pravděpodobost. V této část vymezíme axomatcky jak obecou pravděpodobost, tak vlastost možy áhodých jevů. Na těchto základech je pak možo budovat další pojmy
teore pravděpodobost, jak bude ukázáo v dalších kaptolách. Hstorcky provedl tuto kostrukc Rus Kolmogorov v 20 tých letech mulého století. Proto se teto přístup ěkdy azývá Kolmogorovova abstraktí pravděpodobost. Takto vytvořeá abstraktí teore jž emusí utě pracovat s koečým možam a také pojem pravděpodobost je možo začě rozšířt. Nejdříve vymezíme podobě jako v část.5. základí možu. Defce.42 Nechť Ω «. Potom tuto možu azveme základí možou. Defce.43 Nechť Ω je základí moža. Potom systém mož A, splňující ásledující vlastost : a) «, Ω œ A ( eprázdost systému A ) b) A œ A fω \ A œ A ( vlastost doplňku ) c) Nechť A jsou prvky systému A po dvou eslučtelé ( A A j = «, kdykol { } = j ) potom také A œ A ( vlastost adtvty ), = se azývá s - algebra založeá a možě Ω. Příklad..44. Nejužší s - algebrou a možě Ω je A = { «, Ω } 2. Nejšrší s - algebrou a možě Ω je A = exp(ω). 3. Dokažte ásledující tvrzeí : Nechť S je lbovolý systém podmož a Ω, potom exstuje právě jeda s - algebra a možě Ω, která obsahuje S a je ejmeší ve smyslu kluze. 4. Na základě platost předchozího tvrzeí je možo provést kostrukc s - algebry a možě Ω = (Ω = N ), kde za možu S z předchozího tvrzeí vezmeme možu všech otevřeých tervalů v ( resp. jejch součů v N ). Tato s - algebra hraje velkou rol v teor tegrálu a míry, ale také v teor pravděpodobost. Nazývá se Borelova s-algebra. Každý její prvek je potom azývá Borelovskou možou. Pozámka.45 Pokud je splěa předcházející podmíka c) je pro koečé možy, azývá se takový systém mož koečá algebra. Defce.46 Nechť Ω je základí moža, A je s - algebra založeá a možě Ω. Potom teto systém A azveme možou áhodých jevů a možě Ω. Věta.47 Nechť A je moža áhodých jevů a Ω. Potom : a) Nechť { } = A jsou prvky A, potom také = b) Nechť A, B œa f A \ B œ A Důkaz: A œ A,
a) Na základě d Morgaových zákoů platí : Ω \ A = ( Ω \ A ) ; a základě pravdla o doplňku a pravdla o adtvtě z defce.5.2.2 je = = = A œ A, b) A \ B = A ( Ω \ B ), podle předchozí část je výsledek průku prvkem A. c) Defce.48 Nechť Ω je základí moža, A je s - algebra založeá a možě Ω. Potom pravděpodobostí a možě Ω azveme zobrazeí P : A Æ R s ásledujícím vlastostm : a) W ) = ; «) = 0 ( eulovost aspoň a jedom prvku A ) b) 0 A ), pro všecha A œ A ( omezeost pravděpodobost ) c) Jestlže { A } je spočetý systém po dvou dsjuktích ( eslučtelé áhodé jevy ) mož, potom A ) = ) ( s - adtvta ). A Trojc ( W, A, P ) budeme azývat pravděpodobostím prostorem. Uveďme dále příklady ěkterých pravděpodobostích prostorů: I. W koečá moža, A = exp (W) ( moža všech podmož možy W ), card( A) P ( A) =. Příklad klascké pravděpodobost. card ( Ω) II. W lbovolá eprázdá moža, A lbovolá s - algebra a možě W, x 0 œw,, x0 A A) =. Takovéto pravděpodobost říkáme pravděpodobost 0, x0 A soustředěá v bodě x 0. Teto pojem můžeme zobect pro případ lbovolé podmožy možy W, která je zároveň áhodým jevem. III. W lbovolá eprázdá moža reálých čísel R, echť je dále W měřtelá ( ve smyslu apř. lebesgueovské míry ) s mírou kladou. Ozačme symbolem A s - algebru všech podmož možy W, které jsou měřtelé. Defujme µ ( A) pravděpodobost a možě W jako P ( A) =, kde m(. ) je daá míra. µ ( Ω) Věta.49 ( o vlastostech pravděpodobost a ( W, A, P ) ) Nechť A, B œ A. Potom platí :. A) + B) = A» B ) + A B ) (.) ( subadtvta pravděpodobost ) 2. W \ A ) = A ) (.2) ( chováí vzhledem k doplňku ) Nechť A, B œ A a B Õ A. Potom 3. A ) = B ) + P ( A \ B ) (.3) 4. B ) A ) (.4) ( mootóe pravděpodobost ) Nechť A, B œ A, dále echť platí A Œ A +, B û B + ( =,2, ). Potom platí
5. A ) = lm A ) ( polospojtost zdola ) (.5) = 6. B ) = lm B ) ( polospojtost shora ) = (.6) Důkaz:. Možu A můžeme apsat jako sjedoceí dsjuktích mož takto A = ( A \ B )» ( A B ), podobě pro možu B = ( B \ A )» ( A B ). Podle vlastost c) z defce.5.2.4 je A) = A \ B ) + A» B ), dále také B) = B \ A ) + A» B ). A «B = (A \ B )» ( A» B )» (B \ A ), všechy možy jsou po dvou dsjuktí, použjeme l ještě jedou výše uvedeou vlastost je A «B )= A \ B ) + A» B ) + B \ A ). Složeím všech uvedeých vztahů získáváme (.). 2. Teto vztah vyplývá z. volbou A, B = W \ A. Po dosazeí přímo do (.) získáme přímo vztah (.2). 3. Provedeme opět rozklad možy A a dsjuktí podmožy, A = ( A \ B )» B. Proto platí A) = A \ B ) + B), tedy platí (.3). 4. Protože utě platí A \ B ) 0, vyplývá z (.3) přímo vztah (.4) 5. Podobě jako v předchozích částech tvrzeí se pokusíme převést obecé sjedoceí mož A a sjedoceí mož po dvou dsjuktích a použjeme vlastost c) a předchozí dokázaé vztahy. Tedy A = A ( A2 \ A ) ( A3 \ A2 )... = P ( A ) = A ) + A2 \ A ) + A3 \ A2 ) +..., vzhledem k vlastost (.3) platí A + \ A ) = A + ) A ). Dosadíme l tedy teto vtah do výše uvedeé ( = 2 + + = rovost je P A ) lm( A ) + A ) A ) +... + A ) A )) = lm A ). = 6. Vztah (.6) dokážeme přímo z předchozí část, protože Ω \ B Œ Ω \ B + a dále je B ) = Ω \ ( ( Ω \ B ))) = ( Ω \ B )) = lm Ω \ B ) = P ( lm( B )) = lm B ) =.