.3.3 Pohyb po kružnici - shrnuí Předpokldy: 3 Pomocí dou ě U kruhoého pohybu je ýhodnější měři úhel (kerý je pro šechny body sejný) než dráhu (kerá se pro body s různou zdálenosí od osy liší). Ke kždé eličině i zorci pro přímočrý pohyb k získáme nlogickou kruhoou eličinu. Důležié znlosi Komplení přehled nlogie normálních úhloých eličin u kruhoého pohybu normální eličiny pojíko úhloé eličiny m s ϕ r ϕ rd dráh s [ ] rychlos [ m/s ] s = ω r = zrychlení m/s = ε r = = úhel [ ] úhloá rychlos [ rd/s ] ω = ϕ úhloé zrychlení rd/s ω ε = úhloé eličiny souisející s opkoáním (bez nlogií u přímočrého pohybu) π period [ s] ω = frekence f = [ Hz ] ω = π f ronoměrný pohyb po kružnici ω = ϕ = ϕ + ω ronoměrný pohyb = konsn konsn s = s + ronoměrně zrychlený pohyb ronoměrně zrychlený pohyb po kružnici = konsn ε = konsn = + ω = ω + ε s = s + + ϕ = ϕ + ω + ε Při ronoměrném pohybu po kružnici se mění směr rychlosi jde o pohyb s normáloým zrychlením n předmě musí působi ýsledná síl (zná podle směru působení dosřediá) o elikosi Fd = m. r Zádrhele Dosřediá síl není noý yp síly, pouze role, kerou hrjí různé síly (nebo jejich ýslednice).
Dobré rdy Při ronoměrném nebo ronoměrně zrychleném pohybu po kružnici posupujeme sejně jko u odpoídjících přímočrých pohybů (pouze s úhloými eličinmi). V siucích, kdy působí dosřediá síl, ycházíme z její elikosi (jko ýslednice). Př. : Hrddisk počíče se oáčí rychlosí 7 o/min. Rozhodni bez dopočíáání hodnoy, keré z následujících ýrzů spráně yjdřují jeho úhloou rychlos rd/s. U kždého spráného ýrzu njdi způsob ýpoču úhloé rychlosi, kerý k němu edl. ) 7 π 6 e) π b) π f) π c) π 7 d) π 7 ) 7 π - spráné použií zorce ω = ϕ pro oáčení průběhu jedné minuy. 6 b) π - spráné použií zorce ω = ϕ pro oáčení průběhu jedné sekundy. π c) - nespráné použií zorce ω ϕ π = pro jednu oáčku (nebo zorce ω = se 7 špně určenou periodou). d) π 7 - nespráné použií zorce ω = π f (špná hodno frekence). e) π - spráné použií zorce ω ϕ π = pro jednu oáčku (nebo zorce ω = ). f) π - spráné použií zorce ω = π f. Př. : Urči periodu, frekenci, úhloou rychlos pohybu děského kolooče, kerý se z minuu oočil dnáckrá. Jkou rychlosí se pohybuje díě sedící n koníku, kerý je od osy oáčení zdálen,5 m. 6 s... oáček 6 Period = s = 5s. Frekence: f = Hz =, Hz. 6 ω = π, =, 3rd/s = ωr =,3,5 m/s = 3,m/s
Kolooč se pohybuje s periodou 5 s, frekencí, Hz úhloou rychlosí,3 rd/s. Díě n koníku se pohybuje rychlosí 3, m/s. Př. 3: Jroušek se houpá n houpčce. Urči jkou silou působí sedčk n Jroušk nejnižším mísě její dráhy, pokud se Jroušek pohybuje omo bodě rychlosí 5 m/s áží 5 kg. Délk záěsu houpčky je 3 m, nejyšší ýšk, do keré Jroušek během houpání ysoupá je,5 m. m = 5kg, r = 3m, = 5m/s, F =? N Jroušk působí nejnižším mísě dráhy dě síly: griční F kolmo dolů g s síl sedčky F s kolmo zhůru. Jejich ýslednice musí směřo kolmo zhůru hrá roli dosředié síly Fd = Fs Fg 5 Fs = Fg + Fd = mg + m = m g + = 5 + N = 46 N r r 3 Jroušek působí n sedčku silou 46 N. Př. 4: Sousruh zpomlil sé oáčení z 3 o/min n 5 o/min během dou sekund. Urči jeho úhloé zrychlení. Kolikrá se při om oočil? π rd 6s = s, ε =?, n =? ω ω 6 34 ω = ω + ε ε = = rd/s = 6 rd/s Ze zdných eličin můžeme spočí úhel oočení z něj poče oáček. ϕ = ω + ε = 34 + ( 6) rd = 576 rd 576 n = ϕ 9 π = π = Sousruh zpomlol oáčení s úhloým zrychlením 9 krá. π rd 6s ω = 3 o/min = 3 = 34 rd/s, ω = 5 o/min = 5 = 6 rd/s m, 6 rd/s. Během zpomloání se oočil Př. 5: N obrázku je nkreslen záodní dráh se záčkou. Dokresli do obrázku ideální dráhu (sopu), po keré je možné záčku proje nejyšší rychlosí. Při průjezdu záčkou musí n uo působi dosřediá síl (uo se pohybuje se zrychlením), roli dosředié síly hrje ření mezi pneumikmi silnicí. Velikos ření je určen 3
koeficienem působící lkoou silou u n silnici. Při rosoucí rychlosi zmenšujícím se poloměru záčky se pořebná dosřediá síl zyšuje uo musí zpomli k, by ření bylo dosečně elké. Auo musí je k, by co nejíce zěšilo poloměr záčky (ím se zmenší pořebná dosřediá síl uo může záčku proje rychleji). Dodek: o ideální sop je dobře idielná n konci kždých záodů F nebo Moo GP. Př. 6: Per jíždí n kole do záčky o poloměru m rychlosí 5 km/h. O jký úhel se musí nkloni od sislého směru? Jký musí bý koeficien ření mezi kolem silnicí, by nespdl? r = m, = 5km/h = 6,9m/s, α =? Per se musí nkloni k, by ýslednice griční síly síly kol mohl hrá roli dosředié síly. F k F b F F g F F g Z proúhlého rojúhelníku idíme, že plí: m Fd 6,9 gα = = r = = =, 4 F mg gr g F F g = gα. α = 3 3 F s F F c F Silou, kerá zbrňuje uklouznuí kol je ření mezi pneumikou silnicí elikos řecí síly se roná elikosi síly dosředié. F = F d 4
Nf = mgf = m r 6,9 f = = =,4 gr Per se musí nkloni směrem do záčky o úhel 3 33, koeficien ření musí bý ěší než,4. Př. 7: Železniční ůz přejíždí kruhoým obloukem ri ronoměrně zrychleně. V bodě M měl rychlos = m/s, bodě N = m/s. Dráhu s = MN projel z = s. Poloměr křiosi oblouku je r = m. Sno úhloé rychlosi ω, ω okmžiá dosřediá zrychlení n, n bodech M, N, dále ečné zrychlení úhloé zrychlení ε n dráze s, úhel ϕ opsný z dobu lkem i délku oblouku MN. Sno dále žnou sílu F mooru ozu n dráze s i síly F F, kerými působil lk n kolejnice bodech M, N e odoroném směru, jesliže hmonos ozu byl m = kg. = m/s = m/s = s r = m m = kg ) Výpoče úhloých rychlosí rd/s = ω r ω = = = = ωr ω = = = rd/s r r b) ýpoče dosřediých zrychlení n = =,5 m/s n = = m/s r r c) ýpoče ečného zrychlení ečné zrychlení je změn obodoé rychlosi. Řešíme jko ronoměrně zrychlený pohyb. = + = = =,5 m/s d) ýpoče úhloého zrychlení ω ω ω = ω + ε ε = =, 5 rd/s e) úhel opsný z dobu ϕ = ω + ε = +, 5 =,5 rd f) délk oblouku MN s = ϕ r =,5 = 3 m (možné použí i s = + ) g) žná síl Působením lokomoiy se zěšuje elikos rychlosi lku důsledkem hu lokomoiy je nenuloé ečné zrychlení lku použijeme.nz: F = F = m =,5 = 5 N. m h) síly F F působící n kolejnice (jsou rekcí n dosřediou sílu, nunou k udržení lku záčce) F = m n =,5 = 5 N F = m n = = N 5
Př. 8: Během jízdy z kopce se rychlos oáčení kol zýšil z,9 o/s n 3 o/s. S jkým zrychlením jkou dobu Per kopec sjížděl, jesliže je dlouhý 65 m. Průměr kol je 7 cm. Máme urči zrychlení, známe dráhu jde o ronoměrně zrychlený přímočrý pohyb. Z rychlosi oáčení můžeme spočí rychlosi. d = 7 cm r = 35 cm =,35m ω =, 9 o/s =,9 π rd/s = rd/s = ω r =,35m/s = 4, m/s ω = 3 o/s = 3 π rd/s = 9 rd/s = ω r = 9,35m/s = 6,6 m/s Ronice pro ronoměrně zrychlený pohyb: = +, s = + Z ronice pro rychlos yjádříme čs: = + Dosdíme do ronice pro dráhu: s + = + + s = + s = =. s = + = + 6,6 4, m/s, m/s = = = s 65 s ( ) s 65 = = = = = s = s ( )( + ) + 6,6 + 4, s Per sjížděl kopec sekund se zrychlením, m/s. Shrnuí: 6