. ZÁKLADNÍ POJMY je čásí echanky, kerá se zabýá sude pohybů ěles z hledska příčn jejch znku (působení sl, oenů) Základní pojy dynace: Honos [kg] Prosor echancká lasnos honého úaru (ělesa, honého bodu), kerá je írou jeho odporu (seračnos) pro zěně pohyboého sau yolaného působící sla souřadncoý sysé l [] Čas [s] Osaní jednoky použíané dynace lze poocí základních yjádř Síla kalaně kananě popsuje působení ez honý objeky (ělesy, honý body) [N kg..s - ] Pozn. Vzájené sloé působení dou nebo íce ěles (běžně se éž použíá erínu nerakce ěles) se ůže projeoa děa naproso odlšný způsoby: př zájené doyku (bezprosřední konaku) obou ěles, prosředncí sloých polí, anž by se objeky doýkaly (ypcká je akoá nerakce ez honý objeky graačních polích nebo ez nabý ělesy polích elekrckých a agneckých) Důsledky sloého působení ez ělesy pak lze roněž rozděl do dou rozdílných kaegorí:. deforace ělesa akoé případě se jedná o sacký účnek působící síly,. zěna pohyboého sau ělesa zde hooříe o dynackých účncích působící síly. - -
. POHYBOVÉ ZÁKONY (NEWTON) Jedná se o ř základní zákony (lasně axoy) klascké echank zforuloané Isaace Newone jž druhé poloně 7. soleí. Vysělují pohyboé účnky síly na honé body nebo na ělesa, jež lze honý body nahrad. Je ale řeba zdůrazn, že exsují jsé eze planos newonoské klascké echanky. Na jedné sraně jsou dány jey probíhající ysoký rychlos blížící se rychlos sěla e akuu a elký honos pohybujících se objeků podobné děje zkouá a ysěluje eore relay, na druhé sraně pak ( oblas krosěa) usíe použí k ysělení určých skuečnosí záěrů kanoé echanky.. Zákon seračnos Každé ěleso (honý bod) seráá kldu nebo ronoěrné příočaré pohybu, pokud není nuceno nější sla eno sa zěn Pozn. Kld a ronoěrný příočarý pohyb jsou ronocenné pohyboé say ělesa ( a ). Zákon zrychlující síly Síla - příčna zěny pohybu a Z pokusu je zřejé, že zrychlení ozíku je - přío úěrně na síle a - nepřío úěrně na jeho honos a Spojení obou záěrů dosanee druhý pohyboý zákon: Velkos zrychlení honého bodu (ělesa) je přío úěrná elkos ýslednce působících sl a nepřío úěrná honos honého bodu (ělesa) a Časěj se použíá druhý pohyboý zákon e aru a základní ronce dynaky s Zrychlující síla je rona součnu honos ělesa a jeho zrychlení N kg. Newon předsauje sílu, kerá ělesu o honos kg uděluje zrychlení Tíhoé zrychlení uděluje ělesů íhoá síla, kerou jsou ělesa přahoána Ze G g s - -
3. Zákon akce a reakce r reakční síla Každá akce (akční síla) yoláá sejně elkou reakc (reakční sílu), j. sílu sejné elkos, sejného sěru, ale opačné orenace (syslu) r a G a akční síla Pozn. Akce a reakce neoří sloou sousau (nelze rd, že jsou ronoáze), nepůsobí na jedno ěleso APLIKACE NEWTONOVÝCH POHYBOVÝCH ZÁKONŮ Ipuls síly a hybnos hoy. a... ( ). ( ).., kde I.( )... puls síly časoý účnek síly [ I ] N. s ( ). H. zěna hybnos honého bodu (ělesa) H. počáeční hybnos H. konečná hybnos H kg.. s [ ] Ns Pokud... I H H Ipulsu zrychlující síly se roná zěně hybnos Pokud (ěleso se uádí do pohybu z kldu).. - 3 -
I H Pozn. Sejně elký puls síly získáe součne ěší síly a kraší doby, nebo naopak součne enší síly a delší doby.. Pozn... H H. a. jná nerpreace.pohyboého zákona Zákon o zachoání hybnos Izoloaná sousaa dou ěles (žádná jná ělesa na ně nepůsobí) Tělesa ěsně před konake Tělesa př zájené působení H. H. Akce a reakce, kde podle.pohyb.zákona Celkoá hybnos sousay H H H c H + H Př sejné H H H H Zěny hybnosí jsou sejně elké a ají opačný sěr H H H ) ( H H + + H H H Zákon o zachoání hybnos celkoá hybnos zoloané sousay ěles se zájený sloý působení neění (z eore rázu) - 4 -
a sěr pohybu a SPŠ a VOŠ Kladno Působí-l na sebe dě ělesa o různých honosech po sejnou dobu sla opačného syslu př a plaí : H H. (ýsřel sřely z děla). Seračná síla (příočarý pohyb) sěr pohybu Zrychlující síla (ažná síla ooru) s a - uede auoobl do pohybu ronoěrně zrychleného se zrychlení a - yolá reakční sílu S, edy sílu o sejné elkos S. a, sílu seračnou Seračná síla působí ždy pro syslu zrychlení Příklad Pohyb ýahu sěre zhůru Rozjezd pohyb zrychlený L Dojezd pohyb zpoalený L Urč zaížení lana ýahu jedoucího zhůru př rozjezdu a dojezdu, je-l honos kabny s náklade 4kg a zrychlení (zpoalení) pohybu s - S D: U: L 4kg a s S G G Řešení a/ Rozjezd L L S G + a g S G L 474N ( + ) 4 ( + 9,8) b/ Dojezd L + S G - 5 -
L q a G L 34N S ( ) 4( 9,8 ) Odsředá síla (roační pohyb) R d an d c Příčnou roačbího pohybu honého bodu je dosředá síla d. an. R. ω., kde R s dosředé zrychlení [ ] [ s ] [ s ] a n ω úhloá rychlos obodoá rychlos Ze zákona akce a reakce plaí, kde c d c odsředá síla (reakce) c. an. R. ω. R - 6 -
.3. MECHANICKÁ PRÁCE A ENERGIE, VÝKON, PŘÍKON, ÚČINNOST.3. Mechancká práce W Mechanckou prác konáe, lačíe-l po podlaze bednu nebo áhnee ozík, zedáe-l ěleso do ýšky. Mechanckou prác koná oor př jízdě, jeřáb př zedání břeene. Překonááe-l odpory slou po určé dráze, konáe echanckou prác. Práce W síly je skalární fyzkální elčna, yjadřující dráhoý účnek síly př přeísťoání honého bodu (nebo ělesa) ao fyzkální elčna charakerzuje působení éo síly po dráze s..3.. Mechancká práce síly sálé elkos Posouání břeene Zedání břeene s W.s [W] N. kg..s - J (joule) Mechancká práce W je rona součnu dráhy a průěu síly e sěru dráhy (nebo naopak) W.h G.h.g.h h G Grafcké znázornění práce - 7 -
.snα W.cosα.s α.cosα s Ze zahu je parné, že nejěší prác daná síla ykoná ehdy íří-l e sěru posouání ělesa, naopak žádná (nuloá) práce se ykoná ehdy, bude-l síla orenoána zhlede ke sěru přeísťoání honého bodu kolo α W. s G.cosα. s G. h Práce ykonaná př zedání ělesa kroě jeho íhy zásí pouze na ýšce, do keré ěleso zedáe, nkol na dráze s h 'G.cosα G.cosα G G Práce síly na klce (roační pohyb) R φ s W. s R. R. ) ϕ M. ) ϕ W M.ϕ ) W M. ϕ, ϕ [rad] úhel pooočení klky Práce př jedné oáčce klky: W.R.π Práce př oočení klkou : W.R.π. - 8 -
.3.. Mechancká práce síly proěnné elkos Práce písoého ooru W Σ. s s. s s p s. S kde p s sřední lak S plocha písu V S. s zdhoý obje W p s. V.3. MECHANICKÁ ENERGIE E[J] Každé ěleso je schopno kona prác když se pohybuje nebo je schopno se pohyboa. Tuo schopnos honos ykonáa prác nazýáe energí. Energe E honého bodu (ělesa) je skalární fyzkální elčna. Její jednoka je sejná jako fyzkální jednoka práce J joule. To časo ede k nespránéu chápání éo elčny a jejíu zoožnění s echanckou prací. Podsaa obou fyzkálních elčn je šak odlšná, když ez n exsuje poěrně úzká azba. Práce žádné případě není energí a energe není prací Pozn. - 9 -
Pro prác je charakerscké působení určé síly po určé dráze a oo působení rozhodně není záležosí okažou, ale odehráá se po jsý kraší č delší čas. Práce ždy sousí s konkréní slou -. síla koná prác Energe je fyzkální elčnou charakerzující přío příslušný honý objek, a o dané bodě a dané časoé okažk. Je elčnou popsující sa příslušného objeku. Říkáe, že ěleso (resp. honý bod) á určou energ" Energe ůže í nejrůznější fory (echancká, epelná, elekrcká, sěelná, checká, jaderná, energe agneckého pole aj.) echance honého bodu (ělesa) zaádíe jednak energ pohyboou (kneckou) a aké energ polohoou (poencální). Energe polohy poencální Poencální energe E p honého bodu je skalární fyzkální elčna ycházející ze zájeného sloého působení ez ělesy. Charakerzuje polohu určého honého objeku (bodu nebo ělesa) sloé pol objeku jného ( hoogenní íhoé pol Zeě) Její zěna (přírůsek) je rona prác, kerou je řeba ykona, abycho příslušný honý bod přeísl z půodní ýšky h o do jné ěší ýšky h. Snadno lze odod, že elkos ykonané práce udáá ýraz G h W E p E p E po.g.h.g. h o. Je-l základní ýška h o oožná s porche Zeě, kdy olíe h o, je poencální íhoá energe honého bodu o honos e ýšce h dána znáý ýraze E p.g.h W. h G.h.g.h E p E p. g. h [ J ] G Energe pohyboá knecká Knecká energe E k honého bodu je skalární fyzkální elčna charakerzující pohyboý sa honého bodu. S S. + s a - -
. a. Práce síly na dráze s: W. s. a. s. W. s... +.(. EK EK E Zěna knecké energe (přírůsek nebo úbyek) E k je rona prác sl, jež na honý bod působí př zěně jeho rychlos z počáeční hodnoy o na konečnou hodnou. Knecká energe E k honého bodu o honos, pohybujícího se rychlosí o elkos, je edy dána zahe K ) EK Pozn. Celkoá knecká energe E K sousay honých bodů (olekuly plynu nádobě, sřepny granáu, ělesa sluneční sousay) je dána souče kneckých energí jednolých bodů E K + +... + nn Zákon zachoání echancké energe E p.g.h Volný pád. h G G h. g. h. g.. g E k. g h g - -
Př šech echanckých dějích se ění knecká energe ělesa (honého bodu) poencální a naopak, celkoá echancká energe sousay je šak konsanní E E k + E p kons. Obecný zákon zachoání energe: Př šech dějích zoloané sousaě ěles se ění jedna fora energe jnou, nebo přechází energe z jednoho ělesa na druhé, celkoá energe sousay se šak neění.3.3 Výkon, příkon, účnnos V prax posuzujee čnnos srojů a ldí nejen podle práce, kerou ykonají, ale aké podle doby, za kerou prác ykonají. yzkální elčna yjadřující, jak rychle se práce ykoná, je ýkon Výkon P - je skalární fyzkální elčna charakerzující rychlos konání echancké práce. Jeslže je za čas ykonána práce W, pak průěrný ýkon za uo dobu defnujee ýraze W P P Průěrný ýkon oše neyjadřuje, jesl je č není práce danou slou konána ronoěrně (zn. e sejných časoých neralech ykona ždy prác sejně elkou). Proo kroě průěrného ýkonu zaádíe ýkon okažý W P Jednokou elčny ýkon je wa (W). Plaí... W J.s kg..s 3. Okažý ýkon lze ale yjádř další důležý zahe, kerý získáe úpraou ýrazu W.s P. P.. Z ohoo zahu je zřejé, že př pohybu příočaré ronoěrně zrychlené (yolané slou sálé elkos působící e sěru pohybu) usí okažý ýkon éž ronoěrně zrůsa. Pozn. Výkon čloěka je 7 8W Výkon žehlčky W Výkon lokooy 3,4 MW - -
W Ze zahu P P ůžee yjádř prác W PP. Odud yplýá, že pro prác ůžee použí jednoku wasekunda, přčež plaí, že W.sJ. S ouo jednokou, nebo spíš s její násobke klowahodna, se sekááe energece, např.př ěření spořeboané elekrcké energe ( kwh3,6. 6 J) Výkon př oáčé pohybu Působí-l síla sálé elkos e sěru ečny ke kruhoé dráze s (na klce, řeenc, ozubené kole apod.), lze k yjádření ýkonu yuží následujících zahů ). s. R. ϕ P. M. ω, kde. s obodoá rychlos [ ] M [ N. ] oen (kroucí) [ rad. s ] ω úhloá rychlos V echncké prax se časo yjadřuje z uedeného zahu kroucí oen M k : M P P k ω. π. n, kde n s oáčky [ ] U odních srojů (odní urbíny, čerpadla) se užíá pro ýpoče ýkonu zah W. g. h V. ρ. g. h P V. ρ. g. h, kde V 3. s objeoý průok [ ] 3 [ kg. ] ρ husoa kapalny h [ ] spád Účnnos η sroje Dokonalos srojního zařízení posuzujee podle oho, kolk dodané energe se přeění užečnou prác Účnnos defnujee jako podíl ýkonu P ohoo sroje a jeu dodáaného příkonu P př. Také j lze aké yjádř jako podíl práce W sroje určé časoé úseku ykonané a energe E dodané ( přáděné ) sroj za uéž dobu P P př W E η [ ] Účnnos ak předsauje íru yuží energe. η< - 3 -
Skládá-l se srojní zařízení z několka (n) srojů o účnnosech η, η, η n a yo sroje jsou řazeny za sebou, je celkoá účnnos zařízení dána součne jednolých účnnosí η η η.... c η n Příklad: Elekrcká lokooa působí př rozjezdu na lak ažnou slou 5 kn a po nuách á soupraa rychlos 8 k.h. Jak elkou prác lokooa ykoná a jaký je průěrný ýkon jejích oorů? Lokooa působí na lak sálou ažnou slou (což je pro reálnéu rozjezdu laku jsé zjednodušení a naíc se zde ůbec neberou úahu odporoé síly!!!); edy jeho pohyb bude ronoěrně zrychlený se zrychlení o elkos a 3.s s,5.s. Za danou dobu lak ujede dráhu s a.,5.s. ( s) 8. Tažná síla udíž na éo dráze ykoná prác W.s 5 N. 8,7. 8 J 7 MJ. Průěrný ýkon oorů lokooy za danou dobu pak bude P p W 8,7. J s,5. 6 W 5 kw. Odpoěď: Práce ažné síly lokooy á hodnou 7 MJ a průěrný ýkon jejích oorů př rozjezdu laku je,5 MW. s.4 POSUVNÉHO POHYBU, nější síly (působení jných ěles) a - 4 -
ýslednce nějších sl udílí ělesu zrychlení a S seračná síla (odpor pro pohybu) předsauje reakc hoy na zěnu pohyboého sau a á jný charaker než nější síly D'Aleberů prncp: Př jakékol pohybu ělesa jsou nější síly ronoáze se sílou seračnou Ronoáha (podínka ronoáhy) s POZN. Poocí d'aleberoa prncpu přeádíe (zaedení seračné síly) dynacké úlohy na úlohy sackého charakeru Př. Sslý sar rakey se zrychlení a 4 D: 4kg honos rakey a 4g U: ažná síla ooru g Podínka ronoáhy: Σ y Sěr pohybu a G G s G + s g + a g + 4 g 5g 5.4kg.9,8s 6,96. N s VOLNÝ POHYB ěleso se za pohybu nesýká s jný ělese VÁZANÝ POHYB pohyb ělesa oezený azební podínka; azba pak předsauje azebnou sílu (reakc) UVOLNĚNÍ TĚLESA azební podínky (azby) nahradíe příslušný reakce (azboý sla) a pohyb ako uolněného ělesa uažujee jako olný - 5 -
Sěr pohybu Pohyb ělesa po odoroné roně R n a φ s Pohyb ělesa po nakloněné roně Sěr pohybu n a G.snα s α G α G.cosα Pro pohyb ěles e zduchu plaí c. p. S [N], kde o x D x o [N] odpor pro pohybu c x součnel odporu ělesa c x, až,34-6 -
p D ρ. [Pa] dynacký lak zduchu ρ,9 [kg. -3 ] husoa zduchu (ěrná honos) S x [ ] čelní plocha ělesa e sěru pohybu [s - ] rychlos pohybu Pohyb rychlého dopraního prosředku Odpor ozdla pro pohybu N T.gψ., kde o T s ζ + f č.r ψ rakční součnel, kde R ζ [] raeno alého odporu R [] poloěr kola Podínky ronoáhy f č součnel čepoého ření r [] poloěr čepu Odpor prosředí (zduchu) N G o G T s o cx. pd. S x cx. ρ.. S x K c x. ρ aroý součnel Osobní auoobly K, až,37 Náklad.au. K,4 až,5 o K. S x. [N] Auobusy K,37 až 4 Seračná síla s. a, kde [kg] honos ozu a [.s - ] zrychlení ozu.5. OTÁČIVÉHO A SLOŽENÉHO POHYBU TĚLESA - 7 -
.5. ZÁKLADNÍ ROVNICE DYNAMIKY PRO ROTAČNÍ POHYB z.a n a a n r z Z ýslednce zrychlujících sl Zrychlující oen M. r Σ. r z z z.a r6,5c ρ r ω,ε r 3 3 Seračné síly a M. a.. a n M. ρ D Alaberů prncp Podínka ronoáhy: ΣM Σ. r Σ. a. ρ, kde Σ. r Σ. ε. ρ ε a ρ. r z z ε. Σ. ρ. r. J z z ε M z. rz J.ε základní ronce dynaky pro roační pohyb, kde J Σ ρ [ kg ] je oen seračnos ělesa. MOMENTY SETRVAČNOSTI TĚLES Moen seračnos je írou seračných účnků ělesa př roační pohybu. Tao elčna zásí na honosech eleenů ělesa a na jejch rozložení zhlede k roační ose. Seračnos honých eleenů se uplaňuje s druhou ocnnou jejch zdálenosí od osy roace. - 8 -
O r Eleenární oen seračnos honého bodu o eleenární honos (,,..., n ) zdáleného od osy oáčení r je dán ýraze J. r Celkoý oen seračnos ělesa k dané ose J n J n r [ kg. ] Je-l oen seračnos zažen k ose procházející ěžšě ělesa, označuje se J a nazýá se cenrální oene seračnos Nahrazení ělesa honý bode V echncké prax časo pořebujee přeés (redukoa) honos oáčejícího se ělesa s oene seračnos J do jednoho honého bodu. Poo usí pla J ěěles J ho. bodu Redukoaná honos Je-l předepsána zdálenos r honého bodu od osy oáčení, usí pla J r.r. J Odud r je redukoaná honos. r Tako lze redukoa např. honos seračníku do čepu klky, honos naíjecího bubnu na jeho obod apod. Poloěr seračnos Sousředíe-l honos ělesa do jednoho honého bodu, bude jeho zdálenos j od osy roace odozena ze zahu J. j Seračný oen J j, kde [ ] j poloěr seračnos Míso oenu seračnos se př ýpočech seračníků a roačních čás časo použíá ýraz seračný oen - O r.d, kde J D j Přehled oenů seračnos základních geoerckých ěles - 9 -
Tyč k ose procházející koncoý bode l l sn α 3 α Moeny seračnos (u složených ěles) lze slučoa - -
Pozn. Př ýpoču oenu seračnos ěles předpokládáe spojě rozloženou honos. Pak suace nekonečné řady negrac proádíe přes honos ělesa. Je-l ěleso hoogenní, pak ρ kons. a dv je eleen objeu. V J n J n r poo J ρ r dv. Inegrac proádíe přes celý obje ělesa přejde na určý negrál, kde Příklad Vypočěe oen seračnos hoogenního kruhoého álce k jeho roační ose. Válec á poloěr R a honos. J ρ r dv, kde dv πlr. dr V R 3 4 Poo J ρ r dv πρl r dr πρlr R πr lρ R d ρ. dv,, kde Příklad Vypočěe oen seračnos hoogenní koule o honos a poloěru R zhlede k ose, kerá prochází její sřede. Koul s předsaíe složenou z eleenárních desek (rse) o poloěru r a loušťce dy. Deska á souladu s eleenární oen seračnos dj r d, kde d πr ρdy, r R y. Po negrac πρ R 8 5 5 dosanee J ( R y ) dy πρr R R 4 π R 3 ρ je honos koule. 3 5, kde - -
Moeny seračnos k osá ronoběžný s osou procházející ěžšě Seneroa ěa - -
.5. IMPULS MOMENTU A MOMENT HYBNOSTI Točý oen nější síly na ěleso: ω M ε.i, kde ε ω M I. /. M. I.ω M. puls oenu I oen hybnos.ω Je-l ω počáeční úhloá rychlos ω - konečná úhloá rychlos, pak ( ω ) M. I. ω ( ω ) I M. ω -.pulsoá ěa: Výsledný oen nějších sl k lboolnéu penéu bodu nebo ose je roen časoé zěně oenu hybnos sousay honých bodů k éuž bodu nebo ose - 3 -
.5.3. Knecká energe ROTUJÍCÍHO ělesa Uažuje lboolné nepradelné ěleso roující konsanní úhloou rychlosí ω kole pené osy. Pokud s yberee nějaký alčký kousek ělesa o honos, ůžee urč jeho kneckou energ jako Ek. () kde je obodoá rychlos ohoo eleenárního honého bodu k ose daná zahe r.ω () kde r je kolá zdálenos bodu od osy oáčení. Takoýo způsobe ůžee yjádř kneckou energ šech ele. honých bodů, ze kerých je ěleso ořeno a celkoou kneckou energ roačního pohybu ělesa pak získáe jako souče šech eleenárních energí energí: E k Σ Ek Σ. (3) Dosadíe-l za obodoou rychlos ze zahu (), dosááe pro kneckou energ roačního pohybu ělesa ýraz: Ek oene seračnos ělesa Σ. r. ω (4) kde ýraz Σ r I. je I. ω Ek (5) Moen seračnos ělesa je olněn rozložení hoy ělese. Pokud je hoa sousředěna blízko u osy oáčení je oen seračnos alý, sejně ěžké ěleso s hoou rozprosřenou dále od osy oáčení á oen seračnos ěší. - 4 -
.5.4 ZMĚNA ROTAČNÍ ENERGIE PRÁCE ZRYCHLUJÍCÍCH SIL Těleso se ronoěrně oáčí úhloou rychlosí ω kole pené osy o Účnke oenu zrychlujících sl (,, ) M.r se oáčý pohyb ělesa začne zrychloa. Pooočení o úhel ϕ ykoná zrychlující oen prác: W.s.r. ϕ M. ϕ W M.ϕ Tao práce zěší počáeční energ ělesa z energ ělesa oáčení. E k I ' ω, kde ' E k I' ω na pohyboou I oen seračnos ělesa k ose Práce zrychlujícího oenu se pak roná přírůsku roační energe ělesa: W M I ( ω ). ϕ I ' ω I ' ω ' ω Pro pohyb z kldu, kdy ω, plaí: W M. ϕ I ' ω - 5 -
Odsředá síla ělesa Odsředá síla ělesa řešena podobně jak odsředá síla honého bodu, kdy honos ělesa je sousředěna do ěžšě. a. r. ω c Oáčející se yč n T c. an. rt. ω. r. ω Působšě odsředé síly je šak ěžšě rojúhelníku dílčích odsředých sl T Těleso s osou ronoběžnou s osou oáčení c. an. rt. ω. r. ω - 6 -
.5.5 POHYBOVÁ ENERGIE PŘI OBECNÉM POHYBU Př obecné pohybu se ěleso oáčí úhloou rychlosí ω kole okažé osy oáčení. Uží Seneroy ěy: r E k I + '. ω ω ( I + r ) I. ω. r. ω ω ' E k I ω +. Obecný pohyb oo případě roace úhloou rychlosí ω + posun rychlosí - 7 -