/9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x pro x {,,,,5} D = H = Kždá fukce, jejímž defiičím oborem je moži N všech přirozeých čísel, se zývá posloupost. Kždé číslo poslouposti má své pořdí (idex) N hodotu R:. Vlstosti poslouposti. čle poslouposti. čle poslouposti. čle poslouposti. čle poslouposti Je-li počet prvků eomezeý - ekoečá posloupost. Je-li počet prvků omezeý - koečá posloupost. př: př: Příkldy:. Zpiš prvích 6 čleů poslouposti:... ROČNÍK
Poslouposti /9. Výčtem všech čleů urči posloupost 5 6.. Njdi vzorec pro -tý čle poslouposti urči ásledující dv čley poslouposti: 0,,,6,8, 0,,0,,0,,,,,... 9 7,,,, 8,,,5,7,,,,,,,,,,,,8,7,6,5,. Vypočti,, +, +.. 7... Mootóost poslouposti Posloupost je rostoucí, pokud pro všech i pltí < i+ klesjící, pokud pro všech i pltí > +, př. =.,, 6, 8, 0,. roste důkz: < < < < + rostoucí posloupost. ROČNÍK
Poslouposti /9 př. = -. -, -, -6, -8, -0,. klesá důkz: > > > > + klesjící posloupost Příkldy: Urči mootóost poslouposti:... Určeí poslouposti. výčtem prvků. vzorcem pro -tý čle. grficky. rekuretě., Rekuretí vzorec poslouposti vyjdřuje její (+) čle pomocí jedoho ebo ěkolik čleů předchozích. Aby bylo jedozčé - musíme doplit o počátečí podmíky (tj. zdt hodotu jedoho ebo více čleů). Příkldy:. Určete prvích pět čleů poslouposti, která je dá rekuretím vzorcem počátečími podmíkmi.. ROČNÍK
Poslouposti /9. ROČNÍK. Určete prvích pět čleů poslouposti, která je dá rekuretě:. Určete rekuretí vzorec poslouposti, která je urče vzorcem pro -tý čle způsoby: ) (,. Určete rekuretí vzorec poslouposti, která je urče vzorcem pro -tý čle,,,,,,,,, 0,
Poslouposti 5/9 5. Aritmetická posloupost Posloupost jdoucích čleů je kosttí., A pltí: Obecě pltí:, 6, se zývá ritmetická právě tehdy, když rozdíl kždých po sobě 8, d d 5 N : Rozdíl po sobě jdoucích čleů se zývá diferece d ritmetické poslouposti, d R d d ( d) d d ( ) d d ( d) d d r ( r). d Příkldy:. Npiš prvích 5 čleů ritmetické poslouposti, je-li. =, d = b. = 0,5, d = c. = -, d = 0,. Urči prvích 6 čleů poslouposti dokž, že je to AP:. d. b. c.. d. =, = e. = 8, 5 = f. 8 = -6, 0 =-50 5. Rozhodi, zd čísl 7 00 jsou čley AP, v íž je 0, d, 5. V AP je dáo: f. 5,. 60,,?. 6, d, 7, 6, 00? g. 7, 6 8, 7? 5 b., 8,, d? h. 5 0, 6 7,, d? c. 7 7, 7 7,, d? d. 7, 0,, d? i. 5,. 9 6,, d? e., 9,, d,? 0 5 5 Pro součet prvích čleů AP pltí: s ( ). ROČNÍK
Poslouposti 6/9 Příkldy:. Vypočtěte součet všech čleů koečé AP:.,,,, 5,.., b. 6,,,., -, - 00 c.,0,,., 5 5 5. Vypočtěte hledé hodoty. = 6, = 8, s =? b. = 7, = 5, s = 5, d =?, 5 =? c. = 7, d = 5, s = 5, =?, =?. Mezi čísl / 5 vlož 6 čísel tk, by vzikl AP. d. =, d = -, = -, =?, s =? e. s = 6, =, d =, =?, =?. Mezi čísl -5 vlož čísl tk, by vzikl AP se součtem -6,5. Urči počet ových čleů. 5. Mezi čísl 8 0 vlož tolik čleů AP tk, by byl jejich součet 96. 6. Dělík vyrobí z směu 6 součástek. Kdyby zvyšovl svůj výko deě o součástku, kolik součástek by vyrobil z 8 di? 7. Železé roury jsou srováy v 0-ti řdách d sebou tk, že vrchí řd má 5 trubek kždá dlší řd o více. Kolik je všech trubek dohromdy? 8. Teplot Země přibývá o C m hloubky. Jk veliká je teplot v šchtě hluboké 56 m, je-li v hloubce 5 m stálá teplot +9 C? 9. Studeti si jedodeí brigádě vydělli dohromdy 700 Kč. Prví vyděll 00 Kč kždý dlší o 5 Kč méě ež předchozí. Kolik bylo studetů? 0. V AP 0, 7,, jděte čle, který se rová osmiě všech předcházejících čleů.. Část střechy domu má tvr lichoběžíku je třeb ji pokrýt tškmi. Víme, že do řdy u hřebeu se vejde 85 tšek, do spodí řdy při okpu 0 tšek. Tšky jsou rováy tk, že v kždé řdě je o tšku méě (více), ež v řdě předchozí. Kolik tšek je třeb pokrytí této části střechy? 6. Geometrická posloupost Posloupost jdoucích čleů je kosttí.,, se zývá geometrická právě tehdy, když podíl kždých po sobě 8, q q 6, 5 N : Podíl po sobě jdoucích čleů se zývá kvociet q geometrické poslouposti, q R. ROČNÍK
Poslouposti 7/9 A pltí: Obecě pltí: Příkldy: r. Npiš prvích 5 čleů GP, je-li. =, q = b. =, =/ c. = -, = -/ r d. = 8, 5 = 8 e. - = 5, = 60. Zázori grficky prvích 5 čleů GP, jejíž prví dv čley jsou., b. -6, -8. Urči vzorec pro -tý čle GP., 8, 7, 08, 6, b., -, 6/, -6/9 c. -,, -8. Zjisti zd číslo 58 je čleem GP, 6, 8, 5. Urči pořdí podtržeého čleu GP. 8, 6,,., 5, b. -,, -,, 8 6. Vypište hledé hodoty. = -6, q = -/, 5 =? b. = -, 5 = /6,, q =? c. 6 = 89, q =, =? d. = 5, 7 = 0, q, 0 =? e. = 0, = 0,, =? f. + = 5, + = 0, q, =? 7 g., 8,, q? Pro součet prvích čleů GP pltí: q q s s. q. q Příkldy:. Urči součet prvích -čleů GP, je-li. =, q = -, = 5 b. = -, q =, = 0 c.,, 9, 7, = 6. Vypočti hledé hodoty, je-li. 5, 560, s 55,, q? b., 0, s 80,, q? c. 8, q, s 088,,? d.,,,. d., s 0,? 6 e., 5 6, s6? f. 5 6, 8 8, 7, s7?. Mezi čísl 5 0 vložte 5 0 vložte 5 čísel, by vzikl GP.. Která GP má tu vlstost, že součet prvích 8 čleů je 8 krát větší ež součet prvích čleů.. ROČNÍK
Poslouposti 8/9 7. Užití GP Vzorec pro užití GP v prxi: prvidelý růst prvidelý pokles p p 0. 0. 00 00 0.. počátečí hodot hodot po letech počet roků p počet procet, o které se hodot kždoročě zvyšuje (resp. klesá) Zákldí úlohy:. přírůstek (pokles) počtu obyvtel, árůst výroby Příkld: Ve městě žije 50 000 obyvtel. Kolik zde bude žít obyvtel z 0 let, jestliže se předpokládá, že prvidelý ročí přírůstek je,5 %? Řešeí: Počet obyvtel počátku 0 = 50 000 Počet let = 0 Prvidelý přírůstek p =,5 % = 0,05 Částk po 0 letech: 0 =? Počet obyvtel roste 0 p. 00 Bude zde žít obyvtel.. kot v bce, spořeí Příkld: Jkou částku získáme z 0 let, uložíme-li vkldový list 00 000,- Kč při ročích úrocích 8 %? Řešeí: Vkld počátku 0 = 00 000 Počet let = 0 Úrok p = 8 % = 0,08 Částk po 0 letech: 0 =? Částk roste p 0. 00 Získáme částku Kč. Příkld: Do peěžího ústvu vkládáme počátku kždého roku částku 0. Vkld je kždoročě úroče p procety. Kolik budeme mít spořeo počátku. roku i s dlším vkldem? s q p 0., q q 00 P Novák prvidelě počátku kždého roku ukládá vkldí kížku 5 000, - Kč. Vkldí kížk se kždoročě úročí 6 procety. Kolik bude mít spořeo zčátku 5. roku (i s ovým vkldem)?. ROČNÍK
Poslouposti 9/9 Řešeí: Kždoročí vkld 0 = 5 000 Počet let = 5 Úrok p = 6 % = 0,06 Nspořeá částk po 5 letech: s 5 =? p q q,06, s 0. 00 q N počátku 5. roku bude mít p Novák spořeo Kč.. odpisy mteriálu Příkld: Do podiku byl zkoupe stroj v hodotě 00 000,- Kč. Z cey stroje se kždoročě odepisuje 5 %. Jká bude hodot stroje z let? Řešeí: Ce počátku 0 = 00 000 Počet let = Odpis p = 5 % = 0,5 Ce po letech: =? Ce klesá Ce stroje po letech bude čiit p. 00 Kč. 0 Příkldy:. Město má 0 000 obyvtel. Jejich počet se kždoročě zvyšuje o,75%. Určete počet obyvtel měst z 5 let. [ 8 97 ]. Město má 50 000 obyvtel. Před 0 lety jich bylo 5 000. Kolik obyvtel bude ve městě z dlších 0 let, ezměí-li se průměrý přírůstek počtu obyvtelstv? [ 59 76]. N jkou hodotu se síží výrobí ákldy výrobku z 5 let, jestliže se kždoročě síží o 6 % jestliže původí výrobí ákldy byly 500 Kč? O kolik % se síží vzhledem k původím ákldům? [ 85 Kč, 6,6%]. Jká byl ce ového stroje, jestliže se kždoročě odepisuje 0% cey stroje. Po letech měl hodotu 0 68. [ 0 000 ] 5. P Kovář si uložil vkldový list částku 50 000,- Kč. Určete, kolik tto částk vzroste z 0 let, úročí-li se 5% ročě. [ 8 5 ] 6. Kolik let potřebujeme, bychom šetřili 0 000 Kč, jestliže počátkem kždého roku vložíme částku 0 000 Kč? Předpokládý úrok je 5 %. [ 9,6 roku ] 7. P Kovář si uložil vkldový list částku 50 000,- Kč. Určete, kolik tto částk vzroste z 0 let, úročí-li se 5% ročě koci kždého roku se z úroků strhává 5% dň. [ 75 8 ] 8. Určete, jkou částku musí pí Bílá uložit,by při 5% úroku měl spořeo z 5 let 00 000 Kč.(z úroků epltí dň) [ 8 0 ] 9. P Šetřílek si ukládá počátkem kždého roku 5000,- Kč. Určete, jkou částku bude mít koci 5. roku při úrocích %. [ 99 06 ] 0. Stroj ztrácí opotřebováím kždoročě 0% své původí cey. Určete po kolik letech klese jeho ce poloviu. [6,5 ]. Možství dřev v lese kždoročě roste o %.. Určete, z jk dlouho se zdvojásobí. [ 5 let ]. Pí Nová ukládá počátkem kždého roku 0 000,- Kč. Určete, jkou částku bude mít z deset let při úrokové míře 5%, je-li dň z úroků 5%. [ 6 6 ]. Určitý druh bktérií se rozmožuje tk, že kždá bkterie se z půl hodiy rozdělí dvě. Kolik bkterií vzike z hodi? [ 6 777 5 ]. ROČNÍK