Část pracovní verze kapitoly o zavedení určitého integrálu z připravovaných skript o integrálním počtu (autoři P.Ř. a V.Ž.) 1
2
Obsah I Primitivní funkce a neurčitý integrál 5 1 Primitivní funkce........................... 5 1.1 Geometrická motivace.................... 5 1.2 Fyzikální motivace...................... 6 1.3 Co je to primitivní funkce.................. 8 1.4 Existuje k dané funkci vždy funkce primitivní?...... 8 1.5 Kolik existuje k dané funkci primitivních funkcí a jak se navzájem liší......................... 10 1.6 Jak najít primitivní funkci k dané funkci.......... 11 2 Neurčitý integrál........................... 12 2.1 Co je to neurčitý integrál.................. 12 2.2 Linearita neurčitého integrálu................ 13 2.3 Rozdíly ve výsledných tvarech neurčitých integrálů.... 14 2.4 Tabulkové integrály..................... 15 3
4 Kapitola
Kapitola I Primitivní funkce a neurčitý integrál V této kapitole se věnujeme klasickému problému, kdy k zadané funkci f máme určit takovou funkci, jejíž derivace je právě f. Mluvíme pak o primitivní funkci, příp. antiderivaci. Hned na začátku uvádíme několik konkrétních úloh, které přirozeně vedou ke hledání primitivní funkce. Zabýváme se též fundamentálními otázkami jako je (ne)existence primitivní funkce, počet primitivních funkcí k dané funkci apod. Neurčitý integrál funkce f je množina všech primitivních funkcí k f. Základní vlastnosti neurčitého integrálu jsou diskutovány v druhé části kapitoly. Vzhledem k tomu, že nelze uspokojivě porozumět základům integrálního počtu bez spolehlivé znalosti pojmu derivace, doporučujeme jako první cvičení připomenout si základy počtu diferenciálního. 1 Primitivní funkce 1.1 Geometrická motivace V následujícím příkladu připomínáme oblíbenou geometrickou interpretaci pojmu derivace jako směrnice tečny ke grafu funkce. Příklad 1.1.1. Najděte křivku v rovině, jejíž směrnice tečny v bodě [x, y] je 2x, přičemž se požaduje, aby tato křivka procházela bodem [1, 1]. Řešení. Uvažujeme-li neznámou křivku jako graf nějaké funkce, tak potřebujeme najít funkci y = y(x) splňující rovnici y (x) = 2x a podmínku y(1) = 1. 5
6 Kapitola I Nejprve hledáme funkci y(x), jejíž derivace je 2x. Tuto vlastnost má jistě funkce y(x) = x2, ale taky každá funkce y(x) = x2 + c, kde c je libovolné reálné číslo (derivace konstantní funkce je 0). Rovnice y 0 (x) = 2x má nekonečně mnoho řešení, jež jsou parametrizována hodnotami c R. Námi požadované řešení by mělo být vymezeno konkrétní hodnotou parametru c. Z dodatečné podmínky dostáváme 1 = y(1) = 1 + c, a tedy c = 2. Hledaná křivka je tedy grafem funkce y(x) = x2 2. Poznamenejme, že jsme právě vyřešili tzv. počáteční úlohu obsahující jednoduchou diferenciální rovnici 1. řádu. ~ Obrázek 1.1.1: Směrnice tečny v každém bodě [x, y] má být 2x (nezávisle na y). Řešením je systém křivek y(x) = x2 + c, kde c R, jež vyplňuje celou rovinu, přičemž žádné dvě křivky se neprotínají ani nedotýkají. Jen jediná z nich, y = x2 2, prochází bodem [1, 1]. 1.2 Fyzikální motivace Nyní uvedeme jeden z klasických příkladů, který nám mimo jiné připomene fakt, že řada vzorců známých z fyziky nespadla z nebe, ale je výsledkem řešení diferenciálních rovnic. Důležitou roli zde hraje opět umění nalezení funkce, jejíž derivaci známe. Příklad 1.2.1. Nacházíte se na okraji střechy budovy, která má výšku s0. Vyhoďte přímo vzhůru kámen počáteční rychlostí v0 tak, aby posléze mohl dopadnout až na zem. Určete, jakou výšku s(t) má kámen v čase t (kámen byl vyhozen v čase t = 0) a diskutujte související přirozené dotazy. Pro jednoduchost zanedbávejte kromě gravitace všechny ostatní vlivy, jako je např. odpor vzduchu. Řešení. Jestliže s(t) značí výšku kamene v čase t, je jeho okamžitá rychlost v(t) = s0 (t) a okamžité zrychlení/zpomalení je a(t) = s00 (t). Ze zadání plyne, že s00 (t) = g, (1.2.1)
Primitivní funkce a neurčitý integrál 7 Obrázek 1.2.1: Experiment s kamenem. kde g je tíhové zrychlení odpovídající vaší zeměpisné šířce. Hledanou funkci s obdržíme z této rovnice tak, že se zbavíme derivací. Snažíme se tedy najít takovou funkci, aby po dvojím derivování dala g (přičemž je dobré si uvědomit, že derivace konstantní funkce je rovna nule). Postupně dostáváme s0 (t) = gt + c1, resp. 1 s(t) = gt2 + c1 t + c2, kde c1, c2 R. 2 (Ověřte, že všechny tyto funkce jsou skutečně řešením rovnice (1.2.1).) Kdykoli určujeme funkci ze znalosti její druhé derivace, objevují se v obecném popisu řešení dvě integrační konstanty. Hledáme však takové řešení, které navíc splňuje dvě nezávislé počáteční podmínky ze zadání: s(0) = s0 a s0 (0) = v0. Přímým dosazením do právě odvozených vztahů vidíme, že z druhé podmínky plyne c1 = v0, z první plyne c2 = s0. Odtud dostáváme jednoznačně určené řešení, okamžitou výšku kamene jako funkci t: / 1 s(t) = gt2 + v0 t + s0. 2 Nyní jistě snadno zodpovíte několik přirozených dotazů: Jaká je rychlost kamene v čase t? Kdy dosáhne kámen tzv. mrtvého bodu a jak je tento vysoko? Po jaké době bude kámen opět v původní výšce s0 a kdy dopadne na zem? ~ /
8 Kapitola I 1.3 Co je to primitivní funkce Primitivní funkce je funkce, jejíž derivací je daná funkce; přesněji, musí platit následující. Definice 1.3.1. Uvažujme funkce f a F definované na intervalu I. Funkce F se nazývá primitivní funkcí k funkci f na I, jestliže F (x) = f(x) pro každé x I. Poznámky. (i) Pokud není interval I otevřený, máme v krajních bodech na mysli příslušné jednostranné derivace. (ii) Je zřejmé, že primitivní funkci lze uvažovat i na jiné (obecnější) množině než je interval. Později však uvidíme, že právě na intervalu je struktura všech primitivních funkcí popsána velmi jednoduše, viz Odstavec 1.5. (iii) Místo primitivní funkce se také občas říká antiderivace, tj. jakýsi opak k derivaci. Na rozdíl od derivace však antiderivace není určena jednoznačně. (iv) Primitivní funkce je vždy spojitá. Sami si zdůvodněte, proč tomu tak je. 1.4 Existuje k dané funkci vždy funkce primitivní? Následující příklad ukazuje, že primitivní funkce nemusí existovat vždy. Příklad 1.4.1. Vezměte funkci f(x) = { 0 pro x R \ {0}, 1 pro x = 0, viz Obrázek 1.4.1. Dokažte, že k takto definované funkci neexistuje primitivní funkce na R. Řešení. Kdyby F byla primitivní funkcí k f na R, pak by F byla na R spojitá. Ze zadání má být F (x) = f(x) = 0 na R \ {0}, tj. funkce F by musela být konstantní jak na (, 0), tak na (0, ). Tyto dva postřehy znamenají, že F by byla konstantní na celém R. Potom by však F (0) = 0, což nesouhlasí s f(0) = 1. Proto primitivní funkce k f na celém R existovat nemůže. Stejně tak neexistuje na žádném intervalu obsahujícím 0, na ostatních intervalech však jistě existuje (a může to být jakákoli konstantní funkce). Obrázek 1.4.1: Funkce, která nemá primitivní funkci na žádném okolí 0.
Primitivní funkce a neurčitý integrál 9 Viděli jsme, že nemusí existovat primitivní funkce k funkci na intervalu obsahujícím problematický bod. Pro dostatečně rozumné funkce však máme existenci zaručenu; následující větu dokážeme v Odstavci??, kdy budeme mít k dispozici potřebný aparát. Věta 1.4.2. Je-li funkce spojitá na intervalu I, pak k ní na I existuje funkce primitivní. Mohlo by se zdát, že spojitost je i nutnou podmínkou pro existenci primitivní funkce. Tak tomu však není: Příklad 1.4.3. Ukažte, že funkce definovaná předpisem { 2x sin 1 f(x) = x cos 1 x pro x 0, 0 pro x = 0, je nespojitá v bodě 0 a přitom F (x) = je její primitivní funkcí na celém R. { x 2 sin 1 x pro x 0, 0 pro x = 0 Obrázek 1.4.2: Chaotický průběh funkce f z příkladu 1.4.3 v okolí 0. Všimněte si, že zatímco poměrně příjemná nespojitost v první příkladu znemožnila existenci primitivní funkce, tak o dost nepříjemnější nespojitost ve druhém příkladu existenci připouští. V následujícím příkladu je zastoupen další typ nespojitosti. Příklad 1.4.4. Prozkoumejte, jak je to s (ne)existencí primitivní funkce k funkci sgn x na intervalech obsahujících a neobsahujících 0. Řešení. Podobně jako v Příkladu 1.4.1 snadno zdůvodníme, že k funkci sgn x neexistuje primitivní funkce na žádném intervalu obsahujícím 0. Na jakémkoli intervalu neobsahujícím 0 primitivní funkce podle Věty 1.4.2 existuje (z cvičných důvodů určete nějakou, příp. všechny).
10 Kapitola I Obrázek 1.4.3: Funkce signum. Uvedli jsme příklady se třemi typy nespojitosti, ve dvou z nich neexistovala primitivní funkce. Nabízí se tedy přirozená otázka, jak vlastně musí vypadat funkce, k níž existuje funkce primitivní. Zde nám pomůže pomůže pojem tzv. darbouxovské funkce f na intervalu I, tj. takové funkce f, že pro každé x 1, x 2 I takové, že f(x 1 ) < f(x 2 ), a každé y 0 R takové, že f(x 1 ) < y 0 < f(x 2 ) existuje x 0 x 1, x 2 tak, že f(x 0 ) = y 0. Z diferenciálního počtu je známo, že máli F derivaci na intervalu I, pak F je darbouxovská; důležitou roli v důkazu hraje Weierstrassova věta. Odtud již snadno plyne následující nutná podmínka existence primitivní funkce. Věta 1.4.5. Existuje-li k funkci f na intervalu I funkce primitivní, pak je f darbouxovská na I. Má-li darbouxovská funkce bod nespojitosti, pak nutně alespoň jedna z jednostranných limit v tomto bodě neexistuje. Je evidentní, že jak funkce z Příkladu 1.4.1, tak i funkce signum nejsou darbouxovské na žádném intervalu obsahujícím 0 vadí nám totiž skok ve funkčních hodnotách. Funkce z Příkladu 1.4.3 je nespojitá, avšak darbouxovská na R. Mohlo by se zdát, že každá darbouxovská funkce je derivací nějaké funkce. Tak tomu však není; příklady takových funkcí jdou ovšem za rámec textu, viz např.... Darbouxovské funkce však tvoří velmi velkou třídu funkcí, např. se ví, že libovolnou funkci lze vyjádřit jako součet dvou darbouxovských funkcí. To však mimo jiné implikuje, že třída darbouxovských funkcí není uzavřená vzhledem ke sčítání. Výše jsme tedy uvedli jednoduchou postačující (avšak nikoli nutnou) podmínku a jednoduchou nutnou (avšak nikoliv postačující) podmínku pro existenci primitivní funkce. Jednoduchou nutnou a postačující podmínku byste však v literatuře hledali marně. 1.5 Kolik existuje k dané funkci primitivních funkcí a jak se navzájem liší Již v motivačních úlohách na začátku kapitoly jsme si uvědomili, že pokud existuje primitivní funkce, tak není nikdy jediná. Např. podle Příkladu 1.1.1 můžeme říct, že funkce F (x) = x 2 2 je primitivní funkcí k f(x) = 2x na R a stejně tak každá funkce F (x) + c, kde c je libovolné reálné číslo. Důvodem je jednoduchý
Primitivní funkce a neurčitý integrál 11 poznatek, že derivací konstantní funkce je 0. Proto obecně platí následující: Je-li F primitivní funkcí k f na intervalu I, pak každá funkce tvaru F (x) + c, kde c R, je také primitivní k f na I; je jich tedy nekonečně mnoho. Nyní je však přirozené se ptát, zda jsme takto vyčerpali všechny. Ekvivalentně lze tento problém formulovat následovně: Jsou-li F a G primitivní funkce k funkci f na I, jak se navzájem liší? Z předpokladu plyne, že F (x) = G (x) = f(x) pro všechna x I, tedy (F G) (x) = 0. Jediné funkce s nulovou derivací na intervalu I jsou funkce konstantní, platí tedy, že (F G)(x) = c, tj. G(x) = F (x) + c, pro nějaké c R. Odtud dostáváme: Věta 1.5.1. Jestliže F je nějaká primitivní funkce k funkci f na intervalu I, potom {F (x) + c : c R} je množina všech primitivních funkcí k funkci f na I. Jinými slovy: Známe-li jednu primitivní funkci na intervalu, známe všechny. Potřebujeme-li uvažovat obecnější podmnožinu M R než je interval, pak nejobecnější smysluplná množina M je sjednocení navzájem disjunktních intervalů nenulové délky. (Proč nemá smysl uvažovat situaci, kdy M obsahuje izolované body?) V takovém případě se mohou dvě primitivní funkce lišit o libovolnou konstantu na každé souvislé části M. K popisu množiny všech primitivních funkcí je tedy třeba právě tolik reálných parametrů, kolik má M souvislých komponent. Příklad 1.5.2. Funkce F (x) = ln x je primitivní funkcí k f(x) = 1 x na celém jejím definičním oboru M := R \ {0}. Podobně např. funkce { ln( x) + 1 pro x < 0 G(x) = 11 + ln x pro x > 0 je primitivní k f na M, přitom rozdíl F G není konstantní na celém M. Popište množinu všech primitivních funkcí k f na M. 1.6 Jak najít primitivní funkci k dané funkci Primitivní funkci lze najít někdy snadno, někdy velmi obtížně, někdy je to dokonce v jistém smyslu neřešitelný úkol. Některé obzvlášť snadné případy jsme potkali výše. Podobně snadno každý např. usoudí, že primitivní funkcí k cos x je sin x + c nebo že primitivní funkcí k 1 x + 9x 2 je 2 x + 3x 3 + c. V obou případech vztahy platí na celém definičním oboru původní funkce a c je libovolné reálné číslo. Každý totiž zná derivace základních elementárních funkcí (pro připomenutí pojmu elementární funkce viz
12 Kapitola I Dodatek...) a taky ví, že základní obecnou vlastností derivace je linearita. V tomto duchu jsme již nyní schopni určit primitivní funkce k celé řadě funkcí. Komplikovanějším příkladům je věnována celá Kapitola??, kde se naučíme několik technik, pomocí nichž budeme schopni řešit poměrně velkou třídu problémů. Existují však velmi jednoduché funkce, ke kterým je velmi obtížné primitivní funkci nalézt. Tím jednak myslíme, že celý proces vyžaduje mnoho (často nepřirozeně vyhlížejících) kroků, jednak taky, že výsledná funkce je vyjádřena značně komplikovaným způsobem. Dokonce existují velmi jednoduché funkce, k nimž primitivní funkce existuje, avšak není možné ji explicitně vyjádřit obvyklým způsobem (tj. pomocí základních elementárních funkcí). Tomuto fenoménu je věnován Odstavec??. Nyní uvedeme jeden z nemnoha typů problémů, který můžeme již na tomto místě pohodlně řešit; totiž najít primitivní funkci bývá snadné, máme-li k dispozici omezený soubor již předem daných možností. Příklad 1.6.1. Rozhodněte, která z níže uvedených funkcí je primitivní funkcí k f(x) = 1 cos x na ( π 2, π 2 ): F 1 (x) = ln tg x + 1 cos x, F 2(x) = ln tg x, F 3 (x) = 1 2 2 ln 1 + sin x 1 sin x. Řešení. Přímým zderivováním a úpravou zjistíme, že F 1 = F 3 = 1 cos x = f, zatímco F 2 = 1 sin x. Funkce F 1 a F 3 jsou tedy primitivní k f na uvedeném intervalu, F 2 nikoli. Komu se něco nepozdává, nechť navštíví Odstavec 2.3. 2 Neurčitý integrál Pomocí primitivní funkce definujeme tzv. neurčitý integrál, výsledky z Odstavce 1.5 nám umožní jeho jednoduchou charakterizaci. Z linearity derivování je odvozena analogická obecná vlastnost neurčitého integrálu. Na konci této části vybíráme diskutujeme jednoduché tabulkové integrály. 2.1 Co je to neurčitý integrál Množina všech primitivních funkcí k funkci f na intervalu I se nazývá neurčitý integrál z funkce f a značí se f(x) dx. Tedy f(x) dx = {F : F je primitivní k f na I}. Nezalekněte se toho, že integrál (zcela přirozeně) definujeme jako množinu. Níže v poznámce se s tím uspokojivě vypořádáme. Poznámky. (i) Vzhledem k výsledkům Odstavce 1.5, a za předpokladu existence nějaké primitivní funkce F k f na I, platí f(x) dx = {F + c : c R}.
Primitivní funkce a neurčitý integrál 13 Z praktických důvodů však téměř výhradně píšeme jen f(x) dx = F (x) + c, (2.1.1) kde c je (a všude v této knize bude) myšleno jako libovolné reálné číslo. Obvykle ještě uvádíme, na jakém intervalu funkce uvažujeme. Tedy konvenci (2.1.1) interpretujeme tak, že neurčitým integrálem k dané funkci máme na mysli (blíže nespecifikovaného) reprezentanta množiny všech primitivních funkcí. Tento způsob zápisu nám umožňuje velmi přirozeně pracovat s neurčitým integrálem a zkoumat jeho vlastnosti. (ii) Funkci f nazýváme integrand, interval I nazýváme integračním oborem a c je tzv. integrační konstanta. (iii) Díky konvenci (2.1.1) můžeme psát ( f(x) dx) = f(x) a F (x) dx = F (x) + c, což jsou vztahy plynoucí přímo z definic. V této souvislosti se někdy mluví o vzájemné komplementárnosti operace derivování a integrování, příp. o vzájemně inverzních procesech. (iv) Symbol pro integrál vznikl protažením písmene S, kterým začíná slovo suma; souvislosti vysvitnou v Kapitole??. 2.2 Linearita neurčitého integrálu Připomeňme nejdříve, že derivace součtu je součet derivací a multiplikativní konstantu lze při derivování jednoduše opsat. Proto je jednoduché zdůvodnit výpočet následujícího motivačního příkladu. Příklad 2.2.1. Vypočtěte 3 (x + 1) 2 dx na R. Řešení. Platí 3(x + 1) 2 dx = 3 (x 2 + 2x + 1) dx = x 3 + 3x 2 + 3x + c. Zejména si všimněme, že sčítance lze při integraci podobně jako při derivaci zpracovat individuálně a následně je opět sečíst, přičemž vše dobře funguje. Díky linearitě derivace má tedy neurčitý integrál následující vlastnosti aditivity, resp. homogenity (odvození proveďte i s detaily sami): f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx, k f(x) dx = k f(x) dx,
14 Kapitola I kde k R, přičemž existence integrálů na pravých stranách garantuje existenci integrálů na levých stranách. Díky těmto vlastnostem lze výpočet integrálu součtu (libovolného konečného počtu) funkcí případně rozdílu funkcí převést na součet resp. rozdíl integrálů jednodušších funkcí. Důsledkem výše uvedených rovností, který lze snadno obdržet užitím matematické indukce, je rovnost n i=1 c i f i (x) dx = n c i f i (x) dx, i=1 kde c 1,..., c n R a předpokládáme existenci integrálů na pravé straně. Raději upozorňujeme, že analogické obraty jako výše neplatí pro součin či podíl funkcí, i když by si to řada studentů přála a někteří dokonce běžně takové obraty při svých výpočtech používají. Najděte protipříklad ukazující neplatnost takového tvrzení. 2.3 Rozdíly ve výsledných tvarech neurčitých integrálů Cílem tohoto odstavce je upozornit na skutečnost, že přestože dvě primitivní funkce k dané funkci se podle Odstavce 1.5 vždy liší o konstantu, mohou mít ve skutečnosti podstatně odlišný tvar. Toto většinou bývá důsledkem různě zvolených přístupů při integraci. Dokonce může nastat situace, kdy přímý důkaz toho, že dvě konkrétní funkce obdržené integrací se skutečně liší o konstantu, je mnohem komplikovanějí než samotná integrace; pochopitelně platnost takového tvrzení plyne již z obecné teorie (totiž, že derivace rozdílu dvou funkcí, jsou-li skutečně obě primitivními funkcemi k téže funkci, musí být nulová). Vyjdou-li tedy dvěma studentům při integraci téže funkce dva (podstatně) odlišné výsledky, nemusí to nutně znamenat, že jeden z nich udělal chybu. Výše popsaná situace je ilustrována již Příkladem 1.6.1 na straně 12. Další vhodnou ukázku představuje následující příklad, který je zajímavý tím, že jej lze řešit mnoha různými způsoby. Proto se k němu ještě několikrát vrátíme. Příklad 2.3.1. Najděte v této učebnici všechny přístupy, které jsou použity při výpočtu integrálu sin x cos 3 x dx na R. Ověřte, že všechny výsledky přestože mohou mít zcela odlišné tvary se skutečně liší o konstantu. Řešení. Elementárními úpravami s užitím goniometrických identit obdržíme v (??) výsledek reprezentovaný primitivní funkcí F 1 = 1 8 cos 2x 1 cos 4x. 32
Primitivní funkce a neurčitý integrál 15 Pomocí metody per partes v Příkladu?? určíme primitivní funkci F 2 = 1 4 cos4 x. Pomocí jisté substituce zjistíme v Příkladu??, že F 3 = sin2 x 2 zatímco jiná substituce v Příkladu?? dává F 4 = sin4 x, 4 1 4(tg 2 x + 1) 2. Jak již bylo dříve naznačeno, k ověření konstantnosti rozdílu lze použít dva přístupy. První přístup spočívá v tom, že všechny vyjmenované funkce zderivujeme a případně doupravíme do tvaru sin x cos 3 x; z rovnosti derivací pak dostáváme výsledek. Z uvedených funkcí je pouze u F 2 ihned patrné, že je správně. V ostatních případech jsou nějaké dodatečné úpravy zderivované funkce nezbytné a ne vždy zcela jasné. Druhý přístup je založen na přímém porovnání dvojic funkcí F i, F j, i j, a zjištění (pomocí všemožných úprav), že jejich rozdíl je skutečně konstantní. V našem konkrétním případě se jedná o vhodné procvičení obvyklých goniometrických vztahů; identity jsou připomenuty v Dodatku... Celkem přímočaře lze skutečně ukázat, že F 2 F 1 = 3 32, F 2 F 3 = 1 4, F 2 F 4 = 0. Konstantnost rozdíly zbývajících dvojic funkcí odtud plyne již bezprostředně. 2.4 Tabulkové integrály Jistě není překvapující, že chceme-li úspěšně zvládnout umění integrace, je nutné orientovat se v základních vzorcích pro integrování, které přímo plynou z (obrácení) vzorců pro derivování. Doporučujeme, abyste si vyrobili praktickou tabulku přímo pro vaše účely. Fantazii se meze nekladou: kromě těch nejjednodušších vzorců může být obohacena o obecnější modifikace s parametry, např. (ax + b) n dx, sin(ax + b) dx, atd., nebo o často se vyskytující případy, jako např. dx x2 + a, sin 2 ax dx 2 dx x 2 + a 2 atd. Případně může obsahovat přehledně sepsané integrační metody a různé užitečné triky. Při výrobě tabulky se můžete inspirovat i některými z dodatků uvedených na konci této učebnice.
16 Kapitola I Pochopitelně není žádoucí učit se nazpaměť množství vzorců pro integrály; chceme je umět odvodit. Jak již však bylo řečeno, pro toto odvození je nezbytné mít v hlavě alespoň základní tabulkové integrály a rovněž je potřeba zvládnout důležité integrační techniky popsané v další kapitole.