K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5. Tuhá soustava hmotných boů Knematka a ynamka tuhého tělesa Postupme v našem popsu světa zase o kousek blíž k realtě. oustava hmotných boů jstě vysthuje řau stuací lépe než jeen hmotný bo, ovšem přece jen ve světě kolem nás víme přeevším tělesa. Pojďme se tey věnovat tomu, jak mechanka popsuje tělesa. tuac s ovšem nejprve opět trochu zjenoušíme a zealzujeme. ebueme zatím popsovat tělesa typu gumových haů, plastových sáčků nebo gumček o vlasů, tey tělesa, která lze lehce ohýbat, natahovat a eformovat. amozřejmě, kažé těleso se př zatížení nějak eformuje, ale tyto eformace bueme zanebávat. této kaptole tey bueme popsovat tělesa, o nchž bueme přepokláat, že se neeformují vůbec. azýváme je tuhá tělesa. Přrozeně, opět je o moel, ealzac, o abstrakc ale o ealzac velm užtečnou. Žáné absolutně tuhé těleso na světě sce neexstuje, ale chování řay reálných těles v mnoha stuacích lze popsem pomocí tuhého tělesa velm obře vysthnout. 4 5. Tuhá soustava hmotných boů přechozí kaptole jsme zavel spoustu ůležtých velčn a vztahů pro soustavu hmotných boů. Př přechou k tuhému tělesu nám proto může být soustava hmotných boů obrým výchozím boem. Ovšem musí jít o soustavu nějak poobnou tuhému tělesu. 5 jakém smyslu může být soustava tuhému tělesu poobná? kutečnost, že těleso je tuhé, můžeme vysthnout konstatováním, že vzálenost mez boy tuhého tělesa se nemění. A teď už je vhoná soustava hmotných boů nasnaě. Bueme jí říkat tuhá soustava hmotných boů. Tuhá soustava hmotných boů je soustava, v níž se vzálenost mez jenotlvým hmotným boy nemění. 6 Poívejme se teď, jak charakterzovat polohu takové soustavy boů. ystém Země-Měsíc nebo vě závaží spojená lankem prostě jením hmotným boem nepopíšeme. tůl, žl, šroubovák, bochník chleba, notebook, ětskou káču (Movtější běžně ví třeba zlatou chlu ta by byla obrým příklaem tuhého tělesa, ale pro většnu učtelů možná trochu vzáleným kažoennímu žvotu.) I pevný stůl se lehce prohne, kyž s na něj seneme. 4 Masvní stůl nebo slný šroubovák jsou obrým příklaem. U bochníku chleba už pops pomocí tuhého tělesa nemusí vyhovovat, záleží na tom, jak velká síla působí (a jak je bochník čerstvý nebo zatvrlý). a velkost sl ostatně záleží vžy: oolný rahý notebook as nevyrží, kyž ho přejee tank, slný šroubovák se á ohnout. Takovéto extrémnější stuace ze nebueme uvažovat. Záleží samozřejmě na tom, jak velkých eformací s všímáme. Poku bychom byl schopn měřt prohnutí stolu o velkost esítek nanometrů, tak as zjstíme, že se prohnul, kyž na něj položíme jen ten chleba nebo notebook. Kyž bueme popsovat přeměty jako tuhá tělesa, tak to znamená, že jsme se rozhol jejch eformace zanebávat, že buou po naší rozlšovací schopností. 5 Hrst malých oblázků hozených o prostoru nebo sluneční soustava by zjevně nebyly pro tuhé těleso obrým výchozím moelem. 6 Tj. nemění se an nějak samovolně s časem an po působením sl (jak vnějších sl působících na soustavu, tak sl mez boy soustavy). e jasné, že opět je o ealzac, ale znovu o ealzac užtečnou. Tuhou soustavu hmotných boů s můžeme přestavt jako hmotné boy spojené pevným tyčkam, ale tyčkam, které mají zanebatelnou hmotnost.
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5. Tuhá soustava hmotných boů tupně volnost Kolk čísel potřebujeme, abychom popsal polohu soustavy hmotných boů? Tento počet 7 označujeme jako počet stupňů volnost. přípaě obecné soustavy hmotných boů potřebujeme čísel: ( x, y, z ) pro kažý bo. 8 Pro tuhou soustavu hmotných boů je to ale mnohem méně. Pojďme popsovat polohu hmotných boů počínaje o prvního: Pro první hmotný bo potřebujeme tř čísla: x, y, z. Pro ruhý hmotný bo by to byla tř čísla, ale ta nejsou nezávslá, musí splnt pomínku, že vzálenost prvního a ruhého bou je pevně aná 9 nezávsle tey můžeme zaat jen vě čísla. Pro třetí bo by to byla opět tř čísla, ale ta musí splňovat už vě pomínky (třetí bo je pevně vzálen o prvního ruhého bou) nezávslé je tey už jen jeno číslo. Pro čtvrtý a alší boy už nemůžeme nezávsle zaat nc, jejch poloha je pevně určena vzálenostm o prvních třech boů Dohromay stačí určt + + = 6 čísel. ným slovy, tuhá soustava hmotných boů má šest stupňů volnost. K počtu stupňů volnost se můžeme opočítat jnak: Určíme polohu vybraného bou tuhé soustavy hmotných boů ev. tuhého tělesa. (Může jím být např. hmotný stře.) a to potřebujeme tř čísla: x, y a z. Dále určíme směr, jaký má nějaká osa pevně spojená se soustavou boů ev. s tělesem. a to stačí už jen vě čísla. 0 ené, co teď s tělesem resp. tuhou soustavou boů můžeme uělat, je otočt ho o nějaký úhel to je poslení, už jen jeno číslo, kterým fnálně zaáme polohu. Dohromay opět + +, čl šest stupňů volnost. asně víme, že pro tuhé těleso platí totéž, co pro tuhou soustavu hmotných boů: Tuhé těleso má šest stupňů volnost. 7 Tey počet čísel resp. parametrů, které je nutno zaat, abychom jenoznačně určl polohu soustavy hmotných boů. 8 To znamená, že obecná soustava hmotných boů má stupňů volnost. 9 ( x x) + ( y y) + ( z z) = l 0 apříkla polární souřance osy θ a ϕ. (ázorně s to můžeme přestavt na glóbusu: měr osy procházející střeem glóbusu určují zeměpsná šířka a zeměpsná élka.) a obrázku jsme ho označl jako α, otočení jsme tam vyznačl spíše jen symbolcky.
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5. Tuhá soustava hmotných boů Translační a rotační pohyb Obecný pohyb, ať už tuhé soustavy hmotných boů nebo tuhého tělesa, můžeme rozložt na va ruhy pohybu: translační (tey posuvný) a rotační (tj. otáčvý). Translační pohyb je takový, př němž osy spojené s tělesem nemění svůj směr. Prostě a jenouše řečeno, translační pohyb je takový, př kterém se těleso neotáčí. eho pohyb v tomto přípaě můžeme reprezentovat pohybem jeného bou tělesa můžeme s vybrat třeba hmotný stře. lastně tak těleso nahrazujeme jením boem, v němž s přestavujeme soustřeěnou všechny jeho hmotnost. Knematce a ynamce takového pohybu jsme se jž věnoval v prvních třech kaptolách, takže vlastně máme hotovo. Rotační pohyb je pohyb, př němž je jeen bo tělesa pevný. 4 To znamená, že rotace je vžy rotací kolem nějakého bou. 5 Rotační pohyb je právě tím, co je na knematce a ynamce pohybu tuhých těles zajímavé. Obecný pops rotace těles je ovšem trochu náročnější záležtostí. My se v proto této kaptole omezíme na nejjenoušší stuac na rotac tělesa kolem osy, která je pevná jak v prostoru, tak vůč tělesu. ejříve se ale poíváme, jak vůbec popsat rozložení látky v tuhém tělese a na to, jak pro tuhé těleso počítat velčny jako celková hybnost, celkový moment hybnost a alší. afra, takhle vyjářeno to zní hrozně formálně. A to jsme ještě neoal nemění svůj směr vůč soustavě, v níž pohyb popsujeme; soustavu přtom volíme nercální. To znamená, že se tento bo nepohybuje v soustavě, v níž pracujeme třeba vůč stolu, na němž ěláme pokusy nebo vůč Zem apo. 4 eště upřesnění: Ten pevný bo nemusí být nutně boem uvntř tělesa. Třeba pneumatka se může otáčet kolem svého střeu, ke ale žáný materál pneumatky není. (e ale o bo, o něhož mají boy pneumatky neměnné vzálenost, jako by k němu byly přpevněny pevným nehmotným tyčkam.) 5 Matematcky se á okázat, že rotace kolem pevného bou je v kažém okamžku rotací kolem nějaké osy jenže ta osa se může pohybovat (tj. natáčet) jak v prostoru, tak vůč tělesu. e vět, že obecně není pops rotace tělesa úplně jenouchou záležtostí. My se proto ze bueme věnovat jen jeho jenoušším aspektům.
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5. O soustavy hmotných boů k tuhému tělesu 5. O soustavy hmotných boů k tuhému tělesu Zatímco v soustavě hmotných boů je hmotnost soustřeěna o míst, ke se nacházejí jenotlvé boy, v tuhém tělese s j přestavujeme spojtě rozprostřenou v celém objemu tělesa. 6 Látka v tělese ovšem nemusí být rozprostřena všue stejně. Poobně, jako v soustavě hmotných boů může být jeen bo těžší a jný lehčí 7, může být v tělese soustřeěno na jenom místě víc hmoty 8 než na jném. To znamená, že v různých místech může mít těleso různou hustotu. Hustota Zkušení učtelé tvrí, že pojem hustota patří na úrovn záklaní školy k těm obtížným a hůře pochoptelným. e to zřejmě áno tím, že slovo hustý se v běžném žvotě používá k označení kvalt, které nemají s fyzkální velčnou hustota nc společného. 9 Fyzkálně je hustota ána poměrem hmotnost objem. Pro celé těleso takto určíme jeho průměrnou hustotu. ení-l těleso homogenní, můžeme se ptát, jaká je jeho hustota lokálně, v okolí nějakého bou. Poku s v okolí aného bou vyřízneme malý objem, jak to ukazuje obrázek, a hmotnost aného kousku materálu je m, je průměrná hustota tohoto kousku látky m r ( r ) =. (5.) Chceme-l znát hustotu opravu lokálně, v aném boě, musíme zřejmě objem zmenšovat, teoretcky až k nule. Defnc hustoty látky v aném boě r bychom tey formálně matematcky mohl zapsat jako m r ( r ) = lm. (5.) 0 Musíme s ovšem uvěomt, že ze neje o lmtu funkce jené reálné proměnné, spíše ze symbolem lmty označujeme zmenšování objemu tak, abychom se ostal k jenému bou. 6 olně bychom mohl říct, že je tam látka rozmazána. Znamená to, že v rámc této abstrakce gnorujeme skutečnou částcovou strukturu látek. 7 právně bychom měl říkat hmotnější a méně hmotný, ale sna ze méně formální jazyk nevaí a je nám jasné, oč je. Konec konců, kybychom anou problematku vysvětloval lakům, tak také bueme používat spíš termíny běžného jazyka; slovům lehčí a těžší kažý porozumí. (a ruhou stranu je jasné, že ospět k používání přesnější termnologe má smysl. beztížném stavu rozhoně nepoznáme hmotnější přemět tak, že by nám tlačl na ruku větší slou. tomto textu záměrně používáme jak volnější jazyk a styl vyjařování, tak přesnější formulace s naějí, že laskavého čtenáře neurazí an jena varanta.) 8 Opět ze termín (tentokrát termín hmota ) používáme v trochu vágním a nepřesném smyslu, tak jak se to v běžné řeč často ěje. Příslovečný laskavý čtenář s samozřejmě může termíny látka, hmota a hmotnost a jejch souvslost vyhleat v nějakém výklaovém slovníku. Preczovat ze v tomto učebním textu nějaký až flosofcký výkla aných pojmů, kyž nám je o zaveení známého pojmu hustota, by bylo trochu jako jít s kanónem na vrabce. (Poku s to čtenář tohoto textu vyžáají, třeba ze k tomuto tématu časem přáme nějaký oatek.) 9 Kyž př vaření kaše houstne, tak se nezvětšuje její hustota, ale vskozta. Poobně kyž je me hustý, znamená to, že se hůře míchá, má tey opět větší vskoztu. a ruhou stranu, v určtém obobí oblíbený výraz mlaé generace to je hustý neměl souvslost an s hustotou an s vskoztou 4
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5. O soustavy hmotných boů k tuhému tělesu avíc ze opravu pracujeme s (ealzovanou) přestavou, že látka je v tělese spojtě rozmazána. Kybychom anou lmtu prováěl ve skutečné látce, pak na rozměrech řáu 0-5 m bychom se ostal o stuace, ky bychom se buď strefl o vntřku atomového jára a naměřl bychom jaernou hustotu řáu 0 7 kg/m 0, nebo někam o elektronového obalu, ke by byla hustota mnohem menší, než hustota běžných látek. Takto měřená hustota látky by se tey v různých boech lšla až o vacet řáů, což je honě aleko o naší přestavy spojtě rozložené hmoty. Reálně tey, poku nám je o makroskopcká tělesa, místo formální efnce hustoty (5.) pracujeme s průměrnou hustotou a objem volíme tak velký, aby zahrnoval ostatečně velký kousek látky, aby se neprojevovala částcová struktura. A hustotu jako funkc polohy bereme vyhlazenou č vystřeovanou, aby šlo uvntř tělesa o spojtou funkc. Pro alší úvahy a ovození se nám bue hot jasný ůsleek efnce hustoty (5.): ( ) m = r r. (5.) ak pracovat se spojtým rozložením látky, aneb o součtů k ntegrálům U soustavy hmotných boů jsme uměl vypočítat nejrůznější velčny pomocí součtu přes všechny boy soustavy. 4 ak tomu bue pro těleso, ke je látka rozložena spojtě? Prncp s ovoíme na příklau. 5 Přepokláejme, že máme tyč élky l, v níž hustota materálu závsí na tom, jak aleko jsme o jenoho konce. 6 Poél tyče bueme měřt souřanc x, takže hustota bue funkcí této souřance: ρ = ρ( x). Příčný průřez tyče bue. ak spočítat napříkla polohu hmotného střeu tyče? 7 Kyby šlo o soustavu hmotných boů, které by byly rozloženy na ose x v místech x a měly hmotnost m, pak bychom prostě použl známý vzorec pro souřanc hmotného střeu: x mx + mx + + mx = = m m = mx (5.4) ke m je celková hmotnost soustavy hmotných boů. 0 Uváí se, že hustota je přblžně stejná pro všechna atomová jára a ční as, 0 7 kg/m. ětšna hmotnost atomu je totž soustřeěna v jáře. ukleony jsou skoro 000 těžší než elektrony a až na voík je jch v jáře nejméně vakrát víc než elektronů v obalu. Z toho můžeme ohanout, že průměrná hustota v elektronovém obalu je více než o tř řáy nžší než průměrná hustota látky. Čl reálně, aby obsahoval třeba několk esítek molekul. Hustotu látky ze jž v soulau s přechozím úvaham chápeme jako spojtou (a vyhlazenou ) funkc polohy, takže v tomto moelu se v lmtě 0 aná přblžná rovnost stane rovností přesnou. 4 Šlo napříkla o celkovou hmotnost, hybnost, moment hybnost apo. uma přes všechny boy se vyskytovala ve vztahu pro polohu hmotného střeu. 5 A aby to bylo jenouché, zvolíme jenorozměrný příkla. 6 Tyč může být třeba ze sltny, jejíž složení se mění, jak postupujeme poél tyče. ným příklaem by mohla být štangle salámu, který by ve výrobně ělal tak, že na jenom konc by byl uherák a plynule by přecházel třeba v gothajský salám na ruhém konc. (Tohle určtě nke neělají, ale jako praštěný příkla je to sna ostatečně názorné.) 7 Pro homogenní tyč by byl samozřejmě uprostře tyče, jenže naše tyč není homogenní. 5
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5. O soustavy hmotných boů k tuhému tělesu ak vybuovat analogcký vzorec pro tuhé těleso? Zkusme rozsekat tyč na malé kousky élky Objem kousku materálu je = x, jeho hmotnost, vz (5.), ( ) ρ( ) m = ρ x = x x (5.5) x. 8 analog se vztahem (5.4) pro soustavu hmotných boů tey můžeme polohu hmotného střeu určt jako 9 x ( ( ) x kousku ) ". (5.6) = ρ x xkousku = m "přes m "přes ρ( x ) x kousku kousku x všechny všechny kousky" kousky" a kažém kousku konečné élky ale ještě není hustota přesně konstantní, proto píšeme vzorec jako přblžný. e ale jasné, jak ho zpřesníme: Tyč bueme krájet na stále tenčí a tenčí plátky, tey bueme ělat lmtu x 0. ak už jsme to věl výše, př tomto postupu přeje suma v ntegrál, takže výsleek bue l x = ( x) xx m ρ. (5.7) ak tento výsleek zobecnt na jná tělesa než tyče? 0 šmněme s, že v ntegrálu v (5.7) máme výraz x. Ten můžeme chápat jako nekonečně malou analog výrazu pro kousek objemu: x= ntegrál v (5.7) jako ntegrál přes celý objem tyče:. e tey přrozené označt x l ρ( x) xx = ρ( x) x. 0 přes objem tyče = a chápat tak Dospěl jsme tey k novému typu ntegrálu. Mohl bychom mu říkat ntegrál přes objem ; ve skutečnost se používá název objemový ntegrál. tuto chvíl pro nás není přílš postatné, jak se objemový ntegrál spočte techncky, tey jak vyčíslíme jeho honotu. 0 Postatné je, abychom měl alespoň přblžnou názornou přestavu, že objemový ntegrál je součet přes všechny kousky objemu tělesa. ztah (5.7) pro polohu hmotného střeu tyče zapsaný pomocí objemového ntegrálu má tvar x = ( x) x m ρ. (5.8) Místo toho, abychom u ntegrálu psal přes objem tyče, napíše se prostě symbol objemu a míní se tím celé těleso. Z kontextu ovšem musí být jasné, o jaké těleso se jená. 8 Poobně jsme postupoval v kaptole př ovozování mpulsu síly. Tam jsme ěll na kousky časový nterval, tay ělíme élku l. (Třeba štangl salámu na jenotlvá kolečka.) 9 Šeě vyznačená část vzorce opovíá pořaí, v němž jsou jenotlvé členy ve vztahu (5.4), na konc je pořaí členů přehozeno, aby opovíalo násleující úpravě. 0 tručné nformace o objemovém ntegrálu uváí Doatek 5.A; počítat objemové ntegrály se naučíte v přemětu Matematcké metoy fyzky, po matematcké stránce s pojetí objemového ntegrálu upřesníte v matematcké analýze. O něco přesněj: součet honot nějaké funkce (závsející na místě) násobené kouskem objemu přes všechny kousky objemu tělesa. 6
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5. O soustavy hmotných boů k tuhému tělesu Získaný výsleek je přrozeně zobecnt na lbovolná tělesa. e vektorovém zápsu má pak vzorec pro polohu hmotného střeu tvar: r = ( ) r r m r. (5.9) A jak spočítat hmotnost tělesa? tačí sečíst kousky hmotnost r ( r) objemovým ntegrálem, což proveeme m = r ( r ). (5.0) Obecně je tey přecho o vztahů pro soustavu hmotných boů ke vzorcům platným v přípaě tuhých těles jenouchý: Místo sumy je ntegrál přes objem a místo hmotností jenotlvých boů člen r( r ). Příklay: elčna Hybnost oustava hmotných boů P = mv Moment hybnost L = r ( mv ) Těleso = v P r( r ) ( r ) L = r ( r( r ) v ( r )) P Těleso (zkrácený záps ) = v ρ L = r ( rv ) Knetcká energe T = m v = v ρ r( ) ( ) = v T r r T e zkráceném zápsu samozřejmě můžeme napsat vztahy (5.9) a (5.0) pro polohu hmotného střeu a celkovou hmotnost: r = r m r, m = ρ Poznámka: Občas se lze setkat s alším způsobem zápsu, ky se místo ρ v ntegrálu píše symbol m, ale ten v našem učebním textu nebueme používat. Zkrácený záps není žáný ofcální název, jen naše momentální označení prostě nevypsujeme u všech velčn jejch závslost na místě, ta je jasná z kontextu. Bez těch opakujících se závorek ( r ) jsou vztahy přece jen přehlenější a lépe se pamatují. apříkla vztah pro hybnost tělesa má v tomto zápse tvar P m, vztah pro hmotnost m = m. 7 = v Tento záps může mít velm obrý matematcký smysl (vzpomeňte s na něj, až buete v matematce brát Lebesgueův ntegrál), ale momentálně by pro nás as byl přílš formální a ne úplně srozumtelný. A př výpočtech nám v nčem nepomůže. Poku se s ním setkáte, tak s jej prostě přeložte tak, že místo m buete psát ρ a místo symbolu m po ntegrálem (který značí, že máme projít veškerou hmotu tělesa) napšte prostě (které značí, že máme projít celý jeho objem). m m
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5. Rovnováha tuhého tělesa 5. Rovnováha tuhého tělesa ež přejeme k ynamce, tey k pohybu tuhých těles, poívejme se na jejch statku. Ky je tuhé těleso v rovnováze? e-l v rovnováze, zjevně musí být v klu. To znamená, že jeho hybnost moment hybnost musí být rovny nule. Tím páem jsou rovny nule jejch časové ervace a pole první a ruhé věty mpulsové 4 tey musí být rovny nule celková vnější síla a celkový moment vnějších sl: Tuhé těleso je v rovnováze P E P = 0 = 0 F = 0 t L E L = 0 = 0 M = 0 t (5.) aopak platí, že poku jsou celková vnější síla a celkový moment vnějších sl rovny nule, nemění se 5 s časem hybnost a moment hybnost tělesa. estlže tey těleso bylo na začátku v klu (a tey mělo P = 0 a L = 0 ), v klu naále zůstane. tomto smyslu jsou pomínky pro rovnováhu tuhého tělesa nutné postačující. F E E = 0, M = 0 (5.) Příkla : ak přšroubovat polčku Přestavte s, že máte polčku, která se sponím koncem opírá o zeď a její horní konec je šroubem 6 přchycen ke z. Šroub je ve výšce na místem, ke se polčka opírá o zeď. e vzálenost l o z je na polčce položen nějaký přemět, který j tlačí olů slou mg. (Hmotnost polčky zanebáváme.) ak velkou slou je šroub ržící polčku vytrhován ze z? 7 Z pomínky, že celková síla je nulová, plyne, že mg + F = 0 F = mg a F + F = 0 F = F. y y Moment sl bueme počítat vůč bou, v němž se polčka opírá o zeď (v obrázku je to bo O). Zajímá nás přtom jen složka momentu mířící ven z obrázku. elkost této složky M je mg l F =. (5.) 0 4 První a ruhou větu mpulsovou jsme ovol pro soustavu hmotných boů, ale platí pro tuhé těleso. (a názorné úrovn nám to potvrí úvaha, př níž bychom s tuhé těleso přestavl rozělené na velm mnoho velm malých kousků, které by na sebe působly slam stejně, jako boy v soustavě hmotných boů.) První a ruhou větu mpulsovou bueme př prác s tuhým tělesem běžně využívat. 5 Díky první a ruhé větě mpulsové. 6 Resp. spíše alespoň věma šrouby ve stejné výšce; obrázek přestavuje řez polčkou. 7 To je ocela praktcká úloha, jak potvrí kažý, komu něky hmožnka přílš neržela ve z. Přestavte s, že na polčku áte vzácnou čínskou vázu ynaste Mng. (ak víme z lteratury, to není úplně levná záležtost; a potvrí to nternet. Teď jsem vygoogll, že nejražší porcelánový pohárek ynaste Mng byl v roce 04 vyražen za 6 mlonů olarů.) o obrá, řekněme, že máte na polčce něco o trochu levnějšího, ale kyby to byl plyšák za 6 korun, stejně nechcete, aby se vám polčka s tímto skvostem zřítla. 8
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5. Rovnováha tuhého tělesa ýsleek, který potřebujeme, ostaneme právě z pomínky, že moment vnějších sl na polčku působících je nulový. Z (5.) okamžtě plyne l F = mg 8 (5.4) Poobně můžete počítat louhou řau alších úloh týkajících se třeba žebříků opřených o zeď a alších stuací. Ovšem pozor, nemyslete s, že naznačeným postupem vyřešíte vše! arování: kyž rovnc není ost (aneb pozor na statcky neurčté úlohy) Pomínky rovnováhy (5.) jsou soustavou vou vektorových rovnc, tey šest rovnc pro složky sl. e-l sl, které máme určt, víc, pak to z aných rovnc prostě neje. 9 Poku problém, který řešíme, není třírozměrný, ale je omezen na vě nebo třeba jen na jenu menz, je počet rovnc ještě menší. Příklaem může být tyč, která je poepřená ve vou boech, jak ukazuje obrázek. Pro určení sl F a F máme k spozc vě rovnce: pro celkovou složku síly ve svslém směru ( F+ F mg = 0 ) a pro moment sl ( F + F = 0, kyž moment počítáme vůč střeu tyče). Z těchto rovnc můžeme obě síly jenoznačně určt. 40 Ovšem kyž stejnou tyč poepřeme ve třech boech, stuace se rakálně změní. Máme pouze vě rovnce pro tř síly takováto soustava nemá jenoznačné řešení. 4 Můžeme se o tom přesvěčt pokusem, kyž tyč zavěsíme na tř sloměry. Pole toho, jak o trochu zveneme nebo snížíme závěsy sloměrů, ukážou různé honoty. Inženýř takové problémy nazývají statcky neurčté úlohy a ty výše uveeným způsobem opravu řešt nejou. amozřejmě, ve skutečných konstrukcích napříkla mostů nebo konstrukcích strojů se vžy zatížení nějak konkrétně rozloží. Takže ve skutečném světě kažá taková úloha jenoznačné řešení má. ak je to možné? Prostě proto, že reálné konstrukce nejsou tuhá tělesa! apříkla výše zmíněná tyč položená na tř popěry se reálně o kousek prohne. e tey potřeba počítat s vlastnostm materálu tyče, s její tloušťkou, vzít v úvahu, za jsou všechny popěry ve stejné výšce apo. ž z této úvahy víme, že rovnc bue postatně víc a že řešení takové úlohy bue výrazně složtější. 4 8 íme, že by nebylo moc praktcké mít svslý íl polčky honě krátký a polčku samotnou velm louhou, tey mít l. elká síla F by mohla šroub ze z snano vypáčt. Uvěomte s, že tay je opravu o prncp páky. Poku naopak potřebujete ze řeva vytáhnout zatvrzele ržící hřebík, vezmete s právě louhé kleště štípačky a opřete jejch čelst blízko hřebíku. (ázy ynaste Mng a jné cenné přeměty as přeem raěj oklíte stranou.) 9 Pro určení n neznámých potřebujeme n rovnc. 40 Dotažení této úlohy o výslených vztahů pro síly ze ponecháváme na laskavém čtenář. (chválně, zkuste to z hlavy. en tak pro legrac ) 4 nak řečeno, má nekonečný počet řešení. 4 Ze na statcky neurčté úlohy upozorňujeme proto, abychom nepolehl poctu, že pomocí pomínek pro rovnováhu tuhých těles okážeme řešt všechny statcké problémy. 9
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5.4 Otáčení tělesa kolem pevné osy 5.4 Otáčení tělesa kolem pevné osy Uvažujme těleso, které se točí kolem nějaké osy. 4 ak můžeme určt rychlost, s níž se pohybuje nějaký bo tělesa? 44 Poku je o velkost rychlost, je opověď jenouchá. Daný bo se pohybuje kruhovým pohybem. Úhlová rychlost pohybu je prostě úhlová rychlost ω otáčení tělesa, poloměr kružnce R je vzálenost bou o osy. elkost rychlost je ána známým vztahem v = ωr. ám ale půje o směr rychlost bou. Proto bueme muset stuac popsat porobněj a také trochu zobecnt pojem úhlové rychlost. Úhlová rychlost Těleso se otáčí kolem osy o. měr osy bueme charakterzovat jenotkovým vektorem ν, jak to ukazuje obrázek. 45 Počátek soustavy souřanc umístíme na osu; polohový vektor r ukazuje polohu kousku tělesa o hmotnost m. (Tento kousek s můžeme přestavt jako hmotný bo v našem ovození bueme občas plynule přecházet mez moelem tuhé soustavy hmotných boů a tuhého tělesa.) ak ukazuje obrázek, aný bo se př otáčení tělesa pohybuje po kružnc. elkost úhlové rychlost otáčení bueme označovat ω. aký je poloměr R kružnce, po níž aný bo obíhá, je vět na porobnějším obrázku vlevo. Z pravoúhlého trojúhelníku vyznačeného na obrázku je zřejmé, že R= r snα. nus úhlu α, který svírají vektory ν a r můžeme vyjářt pomocí jejch vektorového součnu. Platí tey 46 : R= r snα = n r snα = n r elkost rychlost našeho bou je v = ω R = ω ν r = ων r (5.5) aký směr má rychlost v? e kolmá jak na osu o (tey na vektor ν ), tak na polohový vektor r. Ale přesně tímto směrem míří vektorový součn ν r! To znamená, že můžeme psát v = ων r. 47 Teď už se přímo nabízí, efnovat vektor úhlové rychlost jako ω = ων (5.6) 4 Třeba ětskou káču, kolo o bcyklu nebo zeměkoul. 44 Tey třeba bo nakreslený na povrchu ětské káč (ale klně uvntř ní), bo na pneumatce nebo loukot kola apo. 45 en pro přpomenutí: ν je řecké písmeno ný. (Tento symbol se pro vektor ve směru osy používá, tak proč bychom ho nepoužl my.) Protože je o jenotkový vektor, platí ν =. Orentace vektoru ν opovíá pravlu pravé ruky: jestlže osu obejmeme pravou rukou tak, že prsty ukazují směr otáčení, palec ukazuje směr vektoru ν. 46 yužíváme toho, že ν je jenotkový vektor. 47 nano se přesvěčíme, že tento vztah obře popsuje orentac vektoru rychlost. 0
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5.4 Otáčení tělesa kolem pevné osy Úhlová rychlost tey oteď pro nás bue vektorem. měr tohoto vektoru uává směr osy otáčení 48, velkost uává velkost úhlové rychlost: ω = ω. Rychlost bou o polohovém vektoru r je (vz (5.5) a násleující ostavec): v = ω r (5.7) Polohový vektor přtom začíná v nějakém boě na ose rotace. Moment hybnost př rotac kolem pevné osy elčna, která je pro charakterstku rotace tělesa velm užtečná, je moment hybnost. počteme jej pro rotující tuhou soustavu hmotných boů. 49 Polohový vektor -tého hmotného bou bueme značt r, jeho rychlost v, hmotnost m. Rychlost tohoto bou je v = ω r, jeho hybnost p = m v = m ω r a moment hybnost tey L = r p = mr ( 50 ω r) Celkový moment hybnost soustavy hmotných boů je ω L = L = mr ( r), (5.8) což můžeme upravt 5 na L = mr r = m r r r r = m r r r r ( ω ) ω( ) ( ) ω ω ( ν ( ν) ) (5.9) íme, že výsleek je ocela složtý, proto se jím v této obecnost teď nebueme zabývat. 5 Místo toho prozkoumáme jenoušší věc jaký je průmět momentu hybnost o směru rotační osy. Označíme ho třeba symbolem L o. 5 Protože je o průmět o směru ν, ostaneme L o násobením vektoru L jenotkovým vektorem ν : Lo = L ν = ω m( ν r r ( r ν) ) ν = ω m ( ν ν) r ( r ν)( r ν) = (5.0) = ω m r ( r ν) ( ) 48 A také orentac otáčení. 49 ýpočet prováíme pro soustavu hmotných boů čstě proto, že pro nás as bue jenoušší a názornější mít ve výpočtech sumu přes všechny hmotné boy než objemový ntegrál. (ste-l už na objemové ntegrály zvyklí, proveďte s násleující ovození přímo pro tuhé těleso, prncp je samozřejmě naprosto stejný.) 50 ýraz r ( ω r) je tzv. vojný součn; stručnou nformac o něm najete v Doatku 5.B. 5 využtím pravla bac mínus cab, vz Doatek 5.B. 5 echáme s ho o ruhého ročníku o přemětu Teoretcká mechanka. (Povee na krásnou věc zvanou tenzor setrvačnost, to s ale opravu necháme až o ročník pozěj.) 5 Inex o symbolzuje osu o. Také ho lze označt L, protože je o průmět o směru ν ν.
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5.4 Otáčení tělesa kolem pevné osy ýrazu r ( r ν ) obrázek vpravo. r ν je totž průmětem vektoru na pravé straně (5.0) lze át názorný geometrcký smysl, vz r o směru ν, takže úsečky élek r ν tvoří pravoúhlý trojúhelník. Z Pythagorovy věty plyne, že r ( r ν ) = R ke, jak vno z obrázku, o osy tey můžeme zapsat velm jenouše:,, R a r R je vzálenost bou o osy o. ztah (5.0) pro průmět momentu hybnost L o = ω mr (5.) íme, že v součtu na pravé straně jsou jen věc týkající se samotného tělesa, tj. hmotností jeho boů resp. částí, a jeho geometre, tey toho, jak aleko jsou ané boy o osy. e tey rozumné celou tuto věc vážící se k tělesu a jeho polohy vůč ose rotace nějak označt a nazvat 54. Označíme j o = mr (5.) a bueme j nazývat moment setrvačnost vzhleem k ose o. Průmět momentu hybnost o směru osy je pak án jenouchým vztahem L o = ω. (5.) o 54 To je ostatně celkem běžný postup: část složtého vzorečku označt nějakým symbolem a pracovat ál s tímto symbolem, s touto velčnou. zoreček se tím většnou výrazně zjenouší a zpřehlení. Přtom, kyž se to ělá rozumně a s ostatečným vhleem, nelze tento postup označt za nějaký pofuk. Často to pomůže ve věcech se lépe vyznat, souhrnně popsat jejch vlastnost a vysthnout jejch vlastnost a chování na hlubší úrovn. Popravě řečeno, stejný přístup využíváme nes a enně v běžném žvotě. Kyž třeba v autě vybíneme řče začátečníka přeřaď na trojku, tak je to krátké, rychlé a je tomu rozumět. Kybychom měl pokažé vysvětlovat sešlápn spojku, pravou rukou ej řací páku nejprve na neutrál a potom na trojku [a ještě vysvětlovat, kterým směrem má řací páku posunovat] a pak pusť spojku [přípaně vysvětlovat, co znamená pustt spojku], tak pojee s motorem vyjícím na vojku ještě hezký kus cesty. Zkrátka, nové názvy č pojmenování (a ve fyzce také nové symboly a velčny) jsou-l vhoně navržené nám pomáhají o světě a ějích v něm mluvt a přemýšlet jenoušej, přehleněj, s větším nahleem a přspívají k lepšímu pochopení.
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5.5 Moment setrvačnost 5.5 Moment setrvačnost Moment setrvačnost tuhé soustavy hmotných boů je án vztahem (5.). Pro tuhé těleso platí analogcky 55 o = ρ R (5.4) Př výpočtu momentu setrvačnost konkrétních těles nemusíme vžy počítat objemový ntegrál jako trojný ntegrál, stačí kyž složíme celkový moment hybnost z příspěvků jenotlvých částí tělesa. Pojďme s tento postup ukázat na několka jenouchých tělesech. Momenty setrvačnost vybraných těles e všech ále uveených přípaech půje o tělesa homogenní; moment setrvačnost bueme označovat prostě. 56 Hmotný bo aký je moment setrvačnost hmotného bou o hmotnost m, jehož vzálenost o osy otáčení je R? 57 e vztahu (5.) zbue jen jený člen, což znamená, že bue = mr. (5.5) Tenká obruč Teď nám půje o moment setrvačnost tenké obruče o poloměru R a celkové hmotnost m. Z jakých příspěvků, tey z jakých částí můžeme celkový moment setrvačnost obruče složt? a jaké část můžeme obruč (myšlenkově) rozělt? yní už zbývá jen sečíst všechny příspěvky 59 : Obrázek vlevo ukazuje pohle ze směru osy o. Obruč rozělíme na malé kousky o hmotnostech m. zálenost všech kousků o osy otáčení je stejná; je to poloměr obruče R. 58 Kousky obruče můžeme považovat za hmotné boy. Moment setrvačnost kažého kousku je tey pole vztahu (5.5) = mr. ( ) R (5.6) přes všechny přes všechny přes všechny kousky obruče kousky obruče kousky obruče = = mr = m = mr 55 Porobněj (s vyznačením závslost na poloze) bychom psal = r ( r ) R ( r ). 56 Bueme vypouštět nex o. 57 Reálně může jít o malé těleso přpevněné velm lehkou tyčkou (tj. tyčkou zanebatelné hmotnost) k rotační ose. 58 a obrázku jsou vyznačeny jen některé kousky obruče a jen o některých je napsána jejch hmotnost. 59 A ze součtu vytknout společný čntel R a sečíst hmotnost všech kousků což samozřejmě á celkovou hmotnost obruče. o
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5.5 Moment setrvačnost Tenký sk Přejěme k něčemu nepatrně složtějšímu 60, a sce k homogennímu sku o poloměru R a celkové hmotnost m. Tloušťku sku bueme zanebávat. Dsk rozělíme na část, jejchž momenty setrvačnost už známe na tenké obruče. a obrázku vlevo je vyznačena jena taková obruč o poloměru r a šířce r. Obruč přtom volíme honě tenkou, to znamená, že je r r. Plocha obruče (nahlíženo shora, ze směru osy) je celého sku. 6 e tey a moment setrvačnost obruče: = π r r. 6 Hmotnost ané obruče je zřejmě m= m, ke = π R je plocha π r r m m = m = r r π R R m = mr = r r R Celkový moment setrvačnost sku získáme posčítáním pře všechny obruče, tey ntegrací: R 4 R 4 0 4 0 4 m m r mr = r r = = = mr R R R Moment setrvačnost tenkého homogenního sku je tey = mr (5.7) álec ak tomu bue s homogenním válcem o poloměru R, výšce h a celkové hmotnost m? álec můžeme rozřezat na tenké sky, kažý o hmotnost m. Moment setrvačnost kažého takového sku bue = mr. Celkový moment setrvačnost získáme posčítáním přes všechny sky ale protože R je pro všechny sky stejné, můžeme je vytknout, a sčítáme tak vlastně hmotnost m. ýslekem je celková hmotnost válce m. Moment setrvačnost válce je proto án stejným vztahem (5.7) jako moment setrvačnost sku. 60 ke už př výpočtu bueme muset ntegrovat. 6 e o plochu mezkruží: = π( r+ r) πr = π( r + r r+ ( r)) πr = πr r+ π ( r) = πr r. Člen π ( r) zanebáváme oprot π r r, protože πr r+ π( r) = πr r( + r r) a je rr. Rychlejší, ale méně přesné ovození plochy: Délka pásku (vntřního obvou mezkruží) je π r, šířka tohoto pásku je r. Plochu spočteme stejně jako plochu obélníka ( kyž tay je zakroucený ) jako élka krát šířka, tey π r r. (Tato přestava je názorná a obře se pamatuje; pro tenké proužky ává obré výsleky.) 6 e to proto, že sk je homogenní; zkuste s rozmyslet, jak byste vztah pro m porobně zůvonl někomu, komu by to nebylo zřejmé. (Můžete přtom vyjít z objemu obruče a z hustoty sku; tu spočtete z celkové hmotnost a z celkového objemu sku.) 4
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5.5 Moment setrvačnost Koule Pro moment setrvačnost homogenní koule o poloměru R a celkové hmotnost m ze uveeme jenom výslený vztah 6 : Ovození najete v Doatku 5.C. 5 = mr (5.8) Tyč (kyž osa prochází jejím koncem) Mějme homogenní tenkou tyč élky l a hmotnost m, která se otáčí kolem osy procházející koncem tyče. (Osa je přtom kolmá na tyč.) Moment setrvačnost kousku tyče élky x, který je vzálen x o osy je 64 m m = = = l l mx x x x x Celkový moment setrvačnost ostaneme opět ntegrací, l 0 l m m x m l ml = x x = = = l l l 0 ýslený moment setrvačnost tyče tey je = ml (5.9) Tyč (kyž osa prochází jejím střeem) A co kyž se uveená tyč otáčí kolem osy procházející jejím střeem? ejí moment setrvačnost můžeme spočítat jako součet momentů setrvačností jejích vou polovn: tey tyčí élky l a hmotnost m. 65 ýsleek je = ml (5.0) 6 e zajímavé všmnout s, že ve vztazích pro moment setrvačnost, které jsme osu ovol, je vžy mr krát nějaká konstanta. Ta záleží na tvaru tělesa. ná by byla též pro nehomogenní tělesa. apříkla poku by hustota poblíž střeu koule byla větší, než poblíž jejího povrchu, byl by ve vztahu (5.8) koefcent o něco menší než /5. (Tak je tomu např. v přípaě zeměkoule.) Rozmyslete s, proč tato kvaltatvní úvaha platí tj. proč v tomto přípaě není koefcent naopak větší než /5. 64 Ze už nezůrazňujeme, že m je hmotnost aného kousku tyče a ta že je úměrná élce tohoto kousku. 65 Tey = ( m ) ( l ). 5
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5.6 Energe rotujícího tělesa 5.6 Energe rotujícího tělesa Kyž se tuhá soustava hmotných boů otáčí kolem osy úhlovou rychlostí ω, pak hmotný bo, jehož vzálenost o osy je R, se pohybuje rychlostí v = ωr. eho knetcká energe je tey 66 mv = m( ωr) = mr ω. Celková knetcká energe rotující soustavy hmotných boů je ána součtem T = m = mr = mr = v ω ω ω tejný výsleek platí pro tuhé těleso. 67 íme, že pro tuhou soustavu pro tuhé těleso je jejch energe př otáčení kolem osy T = ω (5.) Roztočený setrvačník může oávat energ třeba ětskému autíčku 68, ale něčemu festovnějšímu. apříkla v tokamaku ET 69, potřebují ve špčkách příkon přes 000 MW, a tolk jm anglcká elektrcká síť neá. Tak tam mají va setrvačníky, kažý o průměru 9 m a hmotnost 775 tun. Ty se malým elektromotory (o příkonu 8 MW) roztočí na 5 otáček za mnutu. Kažý setrvačník pak může oat,75 G energe 70 ; špčkový výkon je 400 MW. To není zrovna málo e užtečné porovnat vztahy pro hybnost, moment hybnost a knetckou energ pro translační a rotační pohyb: hybnost, moment hybnost translační pohyb P = mv rotační pohyb L ω knetcká energe T = mv = T = ω e vět, že rol, kterou hraje u translačního pohybu obyčejná rychlost, hraje u rotačního pohybu úhlová rychlost. Rol, kterou má u translačního pohybu hmotnost, hraje u rotačního pohybu moment setrvačnost. 7 66 m je hmotnost aného hmotného bou. 67 Ovol bychom ho poobně, sčítáním knetckých energí kousků tělesa: T = ρv = ρ Rω = ρr ω = ω. ( ) ( ) 68 ak s sna pamatujete z ětství, autíčko na setrvačník má mnohé výhoy: ojee ál než autíčko bez setrvačníku a nepotřebuje batere (a okonce an nternet ). avíc se á rozebrat, a je tam vět ten setrvačník převo ozubeným kolečky. (Chápu, že srce buoucí kosmetčky na tím as nezaplesá tolk jako srce buoucího mechanka nebo strojaře, ale stejně je to krása pro ět a nejen pro ně.) 69 ont European Torus v anglckém Culhamu. 70 Ověřte s, že to opovíá vztahu (5.). eznáme sce přesné rozložení hmotnost v setrvačníku, ale na webových stránkách tokamaku je napsáno, že většna hmotnost setrvačníku je soustřeěna na jeho obvou. 7 avíc se íky uveené analog vztahy lépe pamatují. 6
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5.7 tenerova a Köngova věta 5.7 tenerova a Köngova věta této část kaptoly zjstíme, jak se ají moment setrvačnost a energe pohybujícího se tělesa počítat v obecnějších přípaech, než jsme to uměl osu. tenerova věta Momenty setrvačnost těles jsme osu až na jenou výjmku počítal vůč osám procházejícím střeem tělesa. Co kybychom ale chtěl spočíst moment setrvačnost napříkla vůč ose, která prochází okrajem sku nebo válce? aštěstí uvíme, že stačí znát moment setrvačnost vůč ose procházející hmotným střeem a bueme umět určt moment setrvačnost vůč lbovolné ose s ní rovnoběžné! zálenost obou os označíme procházející hmotným střeem (osa R, moment setrvačnost vůč ose o na obrázku) bueme značt moment setrvačnost kolem osy o označíme prostě. 7, Moment setrvačnost vzhleem k ose o je án vztahem (5.), tey = mr. 7 Moment setrvačnost vzhleem k ose o bue = mr, (5.) ke R je vzálenost boů o osy o. zájemnou polohu bou a obou os lze obře vět př pohleu shora, ze směru aných os. Př tomto pohleu vlastně víme průmět o rovny kolmé na osy. a obrázku jsou pozce vyznačeny vektory je o vektory kolmé k aným osám. 74 ektorem je vyznačena poloha hmotného střeu vůč ose o. Z obrázku je vět, že pro ané vektory (tak jak jsme je efnoval) platí Protože R = R R = mr = mr R R R R = +. (5.), můžeme vztah pro moment setrvačnost vůč ose o napsat jako. Dosaíme o něj (5.) a bueme ále upravovat: R R R m ( R R R R ) mr mr R mr (( (((( (( () () ( ) = m R R = m ( R + R ) ( R + R ) = m ( R R + R + ) = (5.4) = + + = + + 7 Chcete-l, značte ho jako o, ale ze už bueme šetřt písmenka 7 ýpočty bueme opět prováět pro tuhou soustavu hmotných boů (sumy jsou pro nás as stále ještě názornější než objemové ntegrály), výsleek samozřejmě bue platt pro tuhé těleso. 74 Značíme je velkým písmeny, abychom je olšl o polohových vektorů. Faktcky je o průměty polohových vektorů o rovny kolmé na osy. 7
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5.7 tenerova a Köngova věta Poívejme se na jenotlvé členy na pravé straně (5.4). První člen (vyznačený zelenou barvou a symbolem ()) můžeme upravt jako 75 ke m= m je celková hmotnost soustavy hmotných boů. mr = m R = mr, (5.5) Třetí člen (označený () a morou barvou) je momentem setrvačnost procházející hmotným střeem, vz (5.): vzhleem k ose mr = (5.6) Druhý člen () vypaá nejvíce komplkovaně 76, ale s ním s poraíme. Můžeme z něj vytknout společný faktor R, tey přepsat () na tvar mr R = R m R ( ( () * (5.7) ýraz (*) ovšem přpomíná vztah pro polohu hmotného střeu. skutku 77, poloha hmotného střeu je r = m mr, z čehož m r mr (5.8) našem přípaě máme průměty polohových vektorů o rovny kolmé na osy; pro tyto průměty musí platt totéž, co pro polohové vektory, tey mr = mr. 78 A ještě s musíme uvěomt, že ve vztahu (5.7) je o vektory s vlnkou, tj. vektory, které vycházejí z bou (vz obrázek u vztahu (5.)). e tey ektor mr = mr (5.9) R určuje polohu hmotného střeu 79 ovšem vůč kterému výchozímu bou 80? Přece vůč R, tey vůč bou! Můžeme říc, že vektor R určuje bou, v němž začínají všechny vektory polohu hmotného střeu. To znamená, že začíná končí ve stejném boě, jným slovy, že je R = 0. Z (5.9) pak plyne, že mr = 0 a z (5.7) potom, že celý člen () v (5.4) je roven nule! 8 75 Obsahuje totž faktor R společný pro všechny boy. 76 Možná by se nám líblo, kyby ze vůbec nebyl nebo nějak zmzel o, uvíme. 77 Poznámka úplně nefyzkální: Ky jste naposley řekl vskutku? A je to takové pěkné, trochu už starosvětsky znějící slovo. A na začátek této věty se fakt (=vskutku) hoí. (Pozn.: Tuto nefyzkální poznámku můžete úplně gnorovat. Raěj sleujte, jak s poraíme s tím členem ().) 78 Tento vztah ostaneme průmětem (5.8) o rovny kolmé na osy. 79 průmětu o rovny kolmé na osy. 80 Tj. ke začíná vektor R? 8 Tak přece! Hurá! 8
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5.7 tenerova a Köngova věta Ze vztahu (5.4) tey ostáváme výsleek v jenouchém a elegantním tvaru: = mr + (5.40) Tento vztah je znám po názvem tenerova věta. Příkla : Moment setrvačnost homogenního válce vůč ose procházející po jeho povrchu Moment setrvačnost válce vůč ose procházející hmotným střeem je (vz (5.7)) je pole tenerovy věty = mr. Moment setrvačnost vůč ose o (vz obrázek) = mr + = mr + mr = mr (5.4) Tento moment setrvačnost se uplatňuje, napříkla kyž se válec valí po položce; v tomto přípaě se v aném okamžku otáčí kolem přímky, v níž se otýká položky. Köngova věta ýše jsme ovol vztah (5.) pro energ tělesa rotujícího kolem ané osy: T 9 = ω. Co kyž ale těleso rotuje a současně se pohybuje v nějakém směru? 8 aká je jeho celková knetcká energe? Kupovu výslený vztah bue ocela jenouchý. Potřebujeme pro něj znát rychlost pohybu hmotného střeu tělesa (bueme j označovat v ) a jeho moment setrvačnost vůč ose otáčení procházející hmotným střeem (ten v soulau s výše zaveeným značením bue označen ). Úhlová rychlost otáčení bue ω. Hmotnost tělesa značíme m. Knetckou energ bueme opět počítat pro tuhou soustavu hmotných boů. Rychlost -tého bou bue ána součtem jeho rychlost íky rotac, v a rychlost hmotného střeu v : v = v + v = v + ω r rot. Celková knetcká energe soustavy hmotných boů je T = mv = mv v = m ( v + ω r) ( v + ω r) = ( v v v ) rot. = ω r, vz (5.7) 8 = + + = + + (5.4) m ( ω r) ( ω r) ( ω r) mv mv ( ω r) m ( ω r ) (( (((( ((( ( () ( ) () v a ostaneme mv. Třetí člen je knetcká energe prvním členu na pravé straně vytkneme opovíající rotac. enouše je to vět, kyž o (5.4) osaíme v = 0 ; v tom přípaě těleso 8 To znamená, že se pohybuje současně translačním a rotačním pohybem. 8 Pozor! Polohové vektory teď bereme vůč hmotnému střeu. (ztah (5.7) platí, kyž počátek vektorů je na ose rotace.) Proto, v soulau se značením užtým v ovození tenerovy věty, značíme polohové vektory s vlnkou. (5.4)
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5.7 tenerova a Köngova věta rotuje kolem nehybného bou a v (5.4) zbue právě jen třetí člen. zorec pro knetckou energ rotujícího tělesa ale už známe (vz (5.)), takže člen () v (5.4) můžeme psát jako m( ω r) = ω. (5.44) Druhý člen v (5.4) 84 můžeme upravt tím, že vytkneme faktory, které jsou pro všechny boy stejné 85 : mv ( ω r ) = v m( ω r ) = v ω mr (5.45) Ovšem mr = mr = 0, protože r = 0. 86 To znamená, že celý člen () v (5.4) je roven nule. Knetcká energe tuhého tělesa, které koná jak translační, tak rotační pohyb, je tey T = mv + ω (5.46) Tento výsleek se nazývá Köngova věta. Příkla : Knetcká energe valícího se válce aká je knetcká energe homogenního válce, který se valí po položce, jak to ukazuje obrázek? Přepoklááme, že se válec valí bez prokluzování. To znamená, že mez rychlostí pohybu válce v a úhlovou rychlostí ω platí vztah v = Rω. Rychlost pohybu hmotného střeu válce je přímo rychlost v, moment setrvačnost válce vůč ose válce je = mr. Dosazení o Köngovy věty (5.46) ává v ω ( ) T = m v + = m v + mr = R m v. (5.47) 4 ným způsobem můžeme tento výsleek ovot ze tenerovy věty. Př valení se totž válec v kažém okamžku otáčí kolem přímky, v níž se otýká položky. (a obrázku je otek vyznačen boem D.) Moment setrvačnost vzhleem k této přímce je = mr, vz (5.4). Knetcká D 4 4 energe je tey T = ω = mr ω = m( Rω) = mv. D íme, že knetckou energ př valení můžeme vypočítat buď z Köngovy, nebo ze tenerovy věty. 87 ýsleek, který jsme ovol, můžeme využít napříkla př určení, jak rychle se valí válec po nakloněné rovně. Ukáže to násleující příkla. 84 Zase je takový komplkovanější Bylo by pěkné, kyby také vyšel roven nule, že? 85 a přenášce ze stuentských řa zazněl výstžný pops, jak to uělat: všechno, ke není [míněno nex ], vytkneme!. 86 e opět o polohu hmotného střeu vůč hmotnému střeu - vz skuse v ostavc za vztahem (5.9). 87 enom pozor, abyste něky např. ve stresu nepoužl obě věty naráz, tey neosal o Köngovy věty moment setrvačnost vůč jné ose, než té, která prochází hmotným střeem. To by alo nesmysl. 0
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5.7 tenerova a Köngova věta Příkla 4: álec, obruč a jojo, které se valí po nakloněné rovně Přestavte s válec na nakloněné rovně. a začátku bue jeho rychlost nulová. akou rychlost válec osáhne, kyž jeho těžště klesne o výšku h? 88 Řešení je jenouché. Potencální energe poklesne o mgh a tento pokles se přemění na knetckou energ mgh 4 = mv. Otu 4 4 mv, vz přechozí příkla. e tey v = gh (5.48) válce To je sce menší rychlost, než kyby za nám bez tření klouzal kvár (bylo by v kváru = gh ), ale přece jen, nemohlo by se jné těleso valt ještě pomalej? Mohlo, příklaem takového tělesa je obruč. 89 ejí moment setrvačnost je = mr, takže knetcká energe př valení je T = mv. 90 Z přeměny potencální energe na knetckou ( mgh = mv ) pak vyje v = gh. (5.49) obruče Mohlo by se něco valt ještě pomalej? Mohlo, ale část tělesa by musely přesahovat položku. Příklaem je jojo. 9 Přestavte s, že nakloněnou rovnou jsou kolejnčky, po nchž se valí tenká osčka (její poloměr označíme r ); ze strany jsou k osčce přpevněny kotouče o velkém poloměru R, tey o velkém momentu setrvačnost = mr. 9 Knetcká energe je pak R ω ( ) v + T = mv + = mv + mr = m v. r r Ze zákona zachování energe pak rychlost joja vypočteme jako r r v jojo = gh = gh. (5.50) R + r R tejně tak je tomu v přípaě, ky osčka joja vsí na provázku, který je na n namotán. 88 To by mohla být navýsost praktcká otázka, poku na vás nějaký zlotřlec pustí po škmé slnc třeba válec z parního válce. tačíte utéct? (Drsnější varanta otázky je jak louho mu vyržíte utíkat?. eřešme teď, že nejlepší by bylo prostě uhnout stranou, to by nebyl tak napínavý thrller ) 89 Ta má co nejvíc materálu co nejále o osy, takže její moment setrvačnost je větší. 90 Ovoďte s, že je tomu tak. 9 o, je. 9 m je hmotnost obou kotoučů ohromay, proto je = mr celkový moment setrvačnost obou kotoučů. Moment setrvačnost osčky zanebáváme, její hmotnost také.
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5.8 Rovnce pro pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy 5.8 Rovnce pro pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy Tuhé těleso otáčející se kolem pevné osy může být třeba klaka nebo kyvalo hon. 9 Pojďme se poívat, jak se takové těleso pohybuje tey jak se roztáčí, brzí č kýve po vlvem vnějších sl. Ovození rovnce pro pohyb tělesa kolem pevné osy Rovnc popsující pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy 94 ovoíme z ruhé věty mpulsové: Bueme přtom brát jen složku momentu hybnost a momentu síly o směru osy, označíme je Faktcky to znamená, že vztah (5.5) vynásobíme jenotkovým vektorem ν. Dostaneme L t L t o = M o (5.5) L o a M o. 95 = M. (5.5) Moment hybnost o směru osy ovšem umíme vyjářt pomocí momentu setrvačnost: Lo = oω. M t Dosazením o (5.5) ostaneme ( ) oω = o a po vytknutí o 96 pak fnálně o ω = M. (5.5) o t Člen ω na levé straně je úhlové zrychlení, něky bývá označováno symbolem ε. Zapíšeme-l t rovnc (5.5) s využtím tohoto symbolu, má tvar ε = M 97, který přpomíná ruhý ewtonův zákon. Opět víme, že analogí k hmotnost je pro rotační pohyb moment setrvačnost a analogí k síle moment síly M. Z rovnce (5.5) můžeme napříkla určt, jak se roztáčí klaka, poku na n působí zaaný moment síly. 98 My s ze spočteme, jak se pohybuje fyzcké kyvalo. 9 A samozřejmě cokol o mnaturních koleček v mechanckých honkách po rotor turbíny. 94 Také bychom mohl mluvt o rovnc pro otáčení tuhého tělesa kolem pevné osy. Pevná osa přtom znamená, že je zafxovaná v tělese v prostoru (v nějaké konstrukc kolem). Osa má tey stálý směr, těleso se kolem ní může bez tření otáčet. 95 e Lo = L ν a Mo = M ν, ke ν je jenotkový vektor ve směru osy. 96 Těleso je tuhé a osa je vůč němu vůč prostoru pevná, takže moment setrvačnost o je konstantní. 97 Pro jenouchost už nepíšeme nex vyznačující osu otáčení, že je o rotac kolem pevné osy, je jasné z kontextu. 98 Tento příkla necháme na ncatvě laskavého čtenáře. (A na cvčení k přenášce.)
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5.8 Rovnce pro pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy Fyzcké kyvalo Fyzcké kyvalo je lbovolný přemět zavěšený tak, že se může otáčet kolem voorovné osy. 99 Může to být třeba kyvalo starých hon, nebo kyj, který s loupežník pověsí na stěnu jeskyně. 00 ěkteré parametry kyvala a jeho polohy ukazuje obrázek. zálenost hmotného střeu o osy otáčení značíme l, síla, kterou Země přtahuje kyvalo, je mg, výchylka kyvala ze svslého směru je ϕ. 0 Moment setrvačnost vůč ose o značíme prostě. Pro ovození rovnce pro pohyb kyvala vyjeme z rovnce (5.5) 0 : ω = M (5.54) t a pravé straně potřebujeme znát moment síly. ystačíme ze se střeoškolským vzorcem rameno krát síla ; je tey M = F = l snϕ mg. Musíme ovšem át pozor na znaménko. enouchá úvaha 0 nás přesvěčí, že je M = l snϕ mg (5.55) Protože úhlová rychlost je ω = ϕ t ýslená rovnce pro pohyb kyvala tey je, bue levá strana (5.54) rovna ϕ = l snϕ mg, čl t = = t t t t ω ϕ ϕ. ϕ mgl + snϕ = 0. (5.56) t Poznamenejme, že často se tato rovnce zapsuje ve tvaru, ky ervace pole času se značí tečkam na velčnou. e samozřejmě jen o jný způsob zápsu, přesto ho tu pro úplnost uveeme 04 : mgl ϕ + snϕ = 0. 99 Tey, ona by osa mohla být škmá, ale tím ze stuac nebueme komplkovat. 00 přípaě toho kyje bue náš moel as jen honě přblžný. Bueme totž uvažovat, že se kyvalo kolem osy otáčí bez tření. (Zrovna tohle as př zavěšení na stěnu jeskyně nebue moc prava; také by kyj nesměl o nčeho narážet, šoupat se po stěně jeskyně apo.) 0 Úhel měříme samozřejmě v raánech. (evím, jestl to tak ělají loupežníc, ale mlaý Lotrano íky svému vzělání možná raány znal ) 0 Už ze explcte nepíšeme nexy vyznačující osu o; šetříme písmenka. 0 Úhel ϕ bereme klaný, kyž je kyvalo vychýleno oprava, poobně úhlovou rychlost bereme >0, kyž se kyvalo otáčí v klaném smyslu (tj. prot směru honových ručček). ak je vět z obrázku, moment gravtační síly působící na kyvalo brzí pohyb směrem oprava (a snaží se vrátt kyvalo zpět k rovnovážné poloze). Aby v rovnc (5.54) opravu pohyb brzl, tj. aby pro ϕ > 0 bylo ω < 0, musí být v (5.55) opravu mínus. t Poku bychom vše opravu počítal poctvě pomocí vektorů, správné znaménko samozřejmě vyje automatcky. 04 Čstě proto, abyste se nezěsl, kyž na něj něke narazíte, že je o něco jného. eje, je to jen jný záps.
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5.8 Rovnce pro pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy ak rovnc pro pohyb kyvala řešt, to už je jná povíka a je to faktcky stejné jako u rovnce pro matematcké kyvalo. Pro malé rozkyvy ( ϕ )využjeme aproxmac snϕ = ϕ ; rovnce pak získá tvar Rovnce tey má tvar ϕ+ ωϕ= 0, ke že má řešení ϕ ϕ ( ωt a ) max cos mgl ϕ + ϕ = 0 (5.57) mgl ω = = + tey že je o harmoncké kmtání.. O téhle rovnc už z ruhé a třetí kaptoly víme, Z uveeného je jasné, že úhlová frekvence kmtů kyvala (př malých rozkyvech) je mgl ω =. (5.58) Opovíající peroa kmtů je T fyzckého kyvala π = = = π (5.59) f ω mgl pecálním přípaem je matematcké kyvalo. e o hmotný bo ve vzálenost l o osy (resp. bou závěsu); jeho moment setrvačnost je = ml ; po osazení o (5.59) tey ostáváme pro perou malých kmtů matematckého kyvala známý vzorec T matem.kyvala l = π (5.60) g Fyzcké a matematcké kyvalo expermentálně Za uveené vztahy platí pro skutečná kyvala, lze ověřovat jenouchým pokusy. apříkla lze změřt perou kmtů tyče zavěšené na jenom konc 05 a porovnat j s peroou stejně louhého matematckého kyvala 06. Poměr pero obou kyvael teoretcky vychází roven = 0,86 a pokusem lze ověřt, že v rámc přesnost měření je tomu opravu tak. 07. 05 Moment setrvačnost tyče je = ml, takže z (5.59) vychází peroa l π. (Pozor, ve jmenovatel g v (5.59) musíme za élku osazovat l / - potřebujeme tam osat vzálenost hmotného střeu o osy, a ta je l /. ymbolem l teď označujeme élku tyče, ale v (5.59) znamenal něco jného paron, je jasné, že to je trochu zmatečné, ale trénujme se, že značení se občas mění. Zkrátka s s tím poraíme pole hesla ntelgent zvláne chaos. ) 06 To lze realzovat pomocí větší matčky zavěšené na nt. 07 a přenášce nám měření vyšlo s přesností lepší než %. 4
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 5.9 Proč nespane roztočený setrvačník 5.9 Proč nespane roztočený setrvačník Kyž se ětská káča netočí, tak se na špčce samozřejmě neurží a pane na bok. Kyž j ale roztočíme, rží se vzpřímeně, jen se její osa mírně otáčí. 08 Poobně je tomu, kyž poržíme roztočený setrvačník za osu mmo hmotný stře. Také nespane, jeho osa zůstane voorovná, jen se otáčí o strany. ak je to možné? Opověď nám á ruhá věta mpulsová. Pro rychle se točící setrvačník má jeho moment hybnost L praktcky směr osy. 09 ak se s časem mění směr osy tey poznáme z toho, jak se s časem mění směr L. Ale právě to nám říká ruhá věta mpulsová! Časová změna L je ána momentem síly: L = M. (5.6) t A kam míří moment síly? kol olů, ve směru gravtační síly! e M = r F, čl moment síly míří kolmo na směr F, tey voorovně. To znamená, že koncový bo vektoru L se s časem posouvá ve voorovném směru a stejně se tey otáčí osa setrvačníku. 0 08 ako by opsovala plášť kužele. 09 ak je tomu přesněj, to nebueme řešt v této přenášce; zčást to nastíníme v ruhém ročníku v přenášce Teoretcká mechanka. Prozatím nám stačí, kyž s přestavíme roztočený setrvačník ve tvaru obruče, počátek polohových vektorů zvolíme ve střeu obruče a uvěomíme s, kam míří vektory mr v. Zkuste s to namalovat nebo nějak znázornt v prostoru uvíte, že míří ve směru osy. 0 To, že setrvačník nespane, tey není žáná mage je to fyzka! 5
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 hrnutí hrnutí Tuhá soustava hmotných boů tuhé těleso mají šest stupňů volnost. Pohyb tuhého tělesa (a tuhé soustavy hmotných boů) lze složt z pohybu translačního a rotačního. Celkové velčny se pro tuhé těleso počítají jako objemové ntegrály, např. m = ρ, = v Otáčení tělesa kolem osy: v = ω r rychlost bou, r začíná na ose otáčení, ω = ων je úhlová rychlost P ρ. L o = ω moment hybnost o směru osy o o o = mr ev. o = ρ R moment setrvačnost vzhleem k ose ( R ev. R je vzálenost o osy) Momenty setrvačnost (homogenních) těles: bo, obruč: = mr, sk, válec: =, koule: mr = 5 mr tyč (osa na konc): = mr, tyč (osa uprostře): = mr Knetcká energe rotujícího tělesa: T = o ω tenerova věta: = mr + (moment setrvačnost vůč ose rovnoběžné s osou procházející hmotným střeem ; Köngova věta: R je vzálenost obou os, moment setrvačnost vůč ose procházející ) v (knetcká energe tělesa, které koná současně translační a rotační pohyb) T = m + ω Rovnce pro otáčení tělesa kolem pevné osy: ω = M t Fyzcké kyvalo: mgl ϕ + snϕ = 0 rovnce pro pohyb kyvala; pro malé výchylky se aproxmuje snϕ = ϕ mgl ω = úhlová frekvence kmtů př malých výchylkách, peroa kmtů je π mgl 6
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 Doatek 5.A: Objemový ntegrál Doatek 5.A: Objemový ntegrál Objemový ntegrál, f ( r ), (5.A.) je, názorně řečeno, součet všech příspěvků f( r) přes všechny část objemu tělesa; vektor r tey př ntegrac probíhá všem boy vntřku tělesa. Př výpočtu konkrétních ntegrálů v kartézských souřancích s můžeme ané kousky přestavt jako krychlčky resp. velm malé kváry o hranách x, y a z, objem takového kváru je = x y z. Elementární objem s analogcky můžeme rozepsat jako = x y z a objemový ntegrál počítat jako tzv. trojný ntegrál. Příkla: Objemový ntegrál z funkce f( r) = f( xyz,, ) = x y hrany : 0 0 0 0 0 0 přes krychl o élce f ( r ) = ( x y x) y z = ( x y ) y z = ( ) ( ) ( y y) z ( y ) z 6 z 6[ z] 0 0 6 0 0 0 0 = = = = = Objemový ntegrál nemusíme počítat jen v kartézských souřancích, ale napříkla ve válcových souřancích R, ϕ, z. Element objemu je pak kvářík o hranách R, R ϕ a z. (Obrázek ukazuje obélníček, tey průřez kváříku v rovně z = konst. ) Element objemu, který zapíšeme o objemového ntegrálu, je tey = R Rϕ z. Příkla: ýpočet objemu homogenního válce o poloměru h Rv π π ρ ( ( ρ ϕ) ) ρ ( [ ϕ] ) 0 0 0 0 0 0 h Rv R v, výšce h a hustotě ρ : = R R z = RR z = h Rv h h Rv ( ) ( ) 0 v v 0 0 0 0 = πρ RR z = πρ R z = πρr z = π R hρ ýsleek samozřejmě vyšel pole očekávání (tj. objem válce krát hustota). Objemový ntegrál můžeme počítat z vektorové funkce; počítáme ho po složkách: a( r ) = ax( r ), ay( r ), az( r ), (5.A.) Můžeme s přestavt, že těleso myšlenkově rozřežeme na malé kousky a posčítáme příspěvky o těchto kousků. Integrál á tento postup v lmtě, ky kousky bueme zmenšovat tak, že objem kažého kousku půje k nule. Tey symbol, který se vyskytuje v objemovém ntegrálu (5.A.). Prava, on to není tak úplně kvár, boční stěny má zakulacené, ale pro ϕ 0 se kváru lmtně blíží. 7
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 Doatek 5.B: Momenty setrvačnost vybraných těles Doatek 5.B: Dvojný součn Dvojný součn a ( b c) je součn tří vektorů, výslekem je opět vektor. ypočítat se á přesně tak, jak naznačuje jeho záps: nejprve vektorově vynásobíme vektory b a c, výsleek b c pak zleva vektorově vynásobíme vektorem a. Pro vojný součn platí jenouché a snano zapamatovatelné pravlo 4. e a ( b c) = b ( a c) c( a b) (5.B.) Poku jej chcete okázat, stačí rozepsat příslušné součny po složkách. 5 4 Generace stuentů s ho pamatují jako pravlo bac mínus cab. 5 e to sce poněku otrocká práce, ale výsleek vyje. (Poholněj se tento výsleek okazuje, poku vektorové součny zapíšeme pomocí Lev-Cvtova symbolu ale pro naše potřeby teď tento formalsmus není nutný. Zmňujeme ho ze jen proto, aby bylo jasné, že to je okázat chytřej.) 8
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 Doatek 5.C: Moment setrvačnost homogenní koule Doatek 5.C: Moment setrvačnost homogenní koule Ovození rozřezáním na sky Mějme homogenní koul o poloměru R a hmotnost m. Koule se otáčí kolem osy o procházející střeem koule. aký je moment setrvačnost koule? Koul s můžeme přestavt rozřezánu na tenké sky, jak to ukazuje obrázek. Řežeme rovnam z = konst. ; osu z přtom volíme ve směru osy o, počátek je ve střeu koule. Poloměr sku, jehož z-ová souřance je rovna z, je 6 Hmotnost tohoto sku je ke ρ je hustota koule: R= R z m = πr zρ, ρ = π 4 mr (5.C.) Moment setrvačnost aného sku je = mr = πr zρr = πρr z = 4 = πρ( R z) z= πρ( R Rz + z) z 4 4 (5.C.) Moment setrvačnost koule získáme sečtením všech těchto příspěvků, tey ntegrací R πρ R R ( 4 4 4 4 ) πρ ( ) = R R z + z z = R R z + z z = ( + ) ( ) R 4 5 4 5 πρ Rz Rz z RR RR R 5 πρ R 5 = + = + = m m = π ρ R = = = R 5 5 5 0+ π R R 8 mr 5 4 5 4 5 5 π R Př úpravách jsme už osal za hustotu ze vztahu (5.C.). Označíme-l poloměr koule už prostě R (bez vlnovky), víme, že výsleek je 5 = mr (5.C.) tejný výsleek můžeme ostat přímým výpočtem pole vztahu ntegrál počítáme jako třírozměrný ntegrál. = ρ R, ky objemový 6 e to zřejmé z obrázku a z Pythagorovy věty. 9
K přenášce UFY080 Fyzka I (mechanka) prozatímní učební text, verze 0 5 Knematka a ynamka tuhého tělesa Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 06 Doatek 5.C: Moment setrvačnost homogenní koule Ovození pomocí třírozměrného ntegrálu ve sférckých souřancích Element objemu ve sférckých souřancích je malý kvářík s élkam stran r 7, r θ 8 a r snθ ϕ 9. áš kvářík má sce některé strany mírně zakřvené, ale jsou-l élky stran mnohem menší než r, můžeme vlv tohoto zakřvení zanebat. 0 Objem kváříku je = r r θ r snθ ϕ = r snθ r θ ϕ. objemovém ntegrálu bueme proto za psát = r snθ r θ ϕ. Integrovat bueme přes všechny tř souřance r, θ a ϕ, půje tey o trojný ntegrál. našem přípaě z něj však nakonec vyje prostě součn tří ntegrálů přes jenotlvé proměnné. eště je třeba s uvěomt, oku kam bueme ntegrovat, tey jaké jsou ntegrační meze pro jenotlvé proměnné. e to jenouché, musíme projít celý objem koule. To znamená, že r se musí měnt o nuly o R (tey o poloměru koule), θ o nuly o π a ϕ o nuly o π. A jaký výraz resp. jakou funkc bueme ntegrovat? ak vno ze vztahu součn ρ R, ke R je vzálenost o osy rotace, což je osa z; je tey R= rsnθ. = ρ, bue to R Integrál vyjařující moment setrvačnost koule tey zapíšeme a násleně bueme upravovat takto: R π π R π π 4 = rr = r( r sn θ) r snθ r θ ϕ = r r sn θ r θ ϕ = 0 0 0 0 0 0 R π π 4 5 R π π r r sn r ( cos )sn 5 0 0 0 0 0 0 = r θ θ ϕ = r θ θ θ ϕ = = r π = πr = πr r R = mr ( ( 5 5 5 5 4 R 5 ( x ) x R 5 x x (( 4 m (5.C.4) Dostal jsme, samozřejmě, stejný výsleek, jako (5.C.) 7 Přestavte s na Zem nebo na glóbusu stranu o élce r v raálním směru, tey ve směru kolmo na povrch Země nebo glóbusu. 8 Tuto stranu s přestavte ve směru poleníku je vlastně o malý kruhový oblouk, jehož poloměr je r (poloměr Země č glóbusu) a úhel θ (tj. rozíl zeměpsných šířek, samozřejmě v raánech). 9 trana ve směru rovnoběžky, opět malý kruhový oblouk. Poloměr rovnoběžky je r snθ, úhel ϕ ( rozíl zeměpsných élek, opět v raánech). 0 avíc př ntegrování se vlastně element objemu bere jako nfntesmální, takže z veškerých přblžných vztahů nakonec buou přesné, jako tomu bylo už v řaě řívějších výpočtů a ovození. Pro někoho bue možná záps trojného ntegrálu přehlenější ve tvaru, ky je explcte o tř ntegrály R π π R π π R π v sobě : 4 4 4 r sn θ ϕ θ r = r ϕ sn θθ r r = r πsn θθ r r = 0 0 0 0 0 0 0 0 (Zbytek výpočtu necháváme laskavému čtenář jako jenouché cvčení, je ostatně o stejné obraty, jako v (5.C.4).) 0