ST2B Podkldy pro cvčení Úloh 1 Větrná dutn 1 Přenos tepl hybnost Kml Stněk, 02/2012 kml.stnek@fsv.cvut.cz Budeme studovt přenos tepl hybnost (tj. proudění) ve větrné dutně dvouplášťové ploché střechy. Cílem je vyšetřt průběh teploty vzduchu v dutně po její délce, tedy T = T (x), kde ndex odkzuje n nlcký termín p (dutn). Vymezíme eometr dutny. Délku dutny (rozměr ve směru osy x) oznčíme L [m]. Šířku dutny (rozměr ve směru osy y) budeme předpokládt jednotkovou, B = 1 m. Hloubku dutny (rozměr ve směru osy z) oznčíme H [m]. Průtočný průřez dutny předpokládáme neměnný (H = konst.) má plochu A = H B = H 1 m 2. Teplosměnná ploch vntřního vnějšího pláště ohrnčujícího dutnu je A = L B = L 1 m 2. Přípdnému sklonu dutny od vodorovné rovny budeme věnovt pozornost pozděj. Veškeré přenosové jevy budeme studovt v ustáleném stvu, tj. čsově neměnném. Znmená to, že teplo se nkde neukládá veškeré teplo, které přchází do lbovolného teplotního uzlu, z něj musí tké bezprostředně odcházet. Dále budeme předpokládt, že veškerý přenos probíhá výhrdně v rovně xz, nebol přes boky dutny neprobíhá žádný přenos tepl n proudění. Úloh je tk dvourozměrná. 1.1 Tepelná blnce dutny Předstvme s zmní podmínky, kdy je v nteréru budovy vyšší teplot než v exteréru. Dál uvžujme noční čs, kdy vnější povrch konstrukce není ohřívný slunečním zářením. Je to jen pro názornost, veškerá odvození pochoptelně pltí obecně pro jkékol okrjové podmínky. Je zřejmé, že teplo se bude šířt vntřním pláštěm do dutny, kde bude jeho část odnášen proudícím vzduchem zbytek se bude šířt přes vnější plášť. Stuc ukzuje Obrázek 1-1. Tepelnou blnc celé dutny můžeme zpst ve tvru m c T T AU TT AU T T p out n e e teplo odváděné teplo přváděné do dutny teplo odváděné z dutny z dutny prouděním vedením přes vntřní plášť vedením přes vnější plášť z jednotku čsu z jednotku čsu z jednotku čsu [W] (1.1) kde m je hmotnostní průtok vzduchu dutnou v k/s, který je ze zákon zchování hmoty (rovnce kontnuty) nutně konstntní po délce dutny c p měrná tepelná kpct vzduchu, můžeme brát c p = 1 000 J/(k K) T out teplot vzduchu n výtoku z dutny v K T n teplot vzduchu n vtoku do dutny v K, která je rovná teplotě venkovního vzduchu, tedy T n = T e A přestupová ploch, stejná pro vntřní vnější plášť v m 2 U součntel prostupu tepl mez teplotním uzlem dutny teplotním uzlem vntřního prostředí ve W/(m 2 K) 1
U e T T e součntel prostupu tepl mez teplotním uzlem dutny teplotním uzlem venkovního prostředí ve W/(m 2 K) teplot vntřního prostředí v K teplot venkovního prostředí v K střední teplot vzduchu v dutně v K Protože veškeré teploty zde vystupují ve formě teplotních rozdílů, můžeme smozřejmě prcovt ve C, tedy nkol v Kelvnech. Výsledek bude stejný. T e U e m c p T m c p T n T e Tout U T Obrázek 1-1: Tepelná blnce dutny nterální. Rovnce (1.1) popsuje přenos tepl v dutně jko celku, teplot je zde střední teplotou dutny (tj. zprůměrovná přes délku dutny L). Zpsl jsme totž tzv. mkroskopckou č tké nterální tepelnou blnc dutny. Odtud rozložení teploty dutny po její délce nezískáme. Rozsekáme-l všk dutnu po délce n jstý počet dílku o rozměru x [m], musí blnční lok (1.1) pltt pro kždý tento dílek. Přestupová ploch jednoho úseku bude A = x B, tkže můžeme zpst m cp Tout( x) Tn( x) xbu T T( x) xbue T( x) Te T [W] (1.2) přčemž je zdůrzněné, že teplot dutny T se mění podle x. Tké teploty T n T out jž nepředstvují teploty n vtoku výtoku dutny, le teploty n zčátku n konc kždého úseku dutny x. Pouze pro první úsek pltí T n = T e. Stuc ukzuje Obrázek 1-2 (vlevo). Délku dílku můžeme zvolt velm mlou, dokonce nekonečně mlou (le nenulovou). Potom můžeme konečný rozměr dílku x nhrdt dferencálem dx. Tké rozdíl T out T n n levé strně rovnce bude nekonečně mlý nhrdíme jej dferencálem dt (změnou teploty v dutně n dferencálním dílku dx). Stuc ukzuje Obrázek 1-2 (vprvo). Rovnc (1.2) tk přepíšeme jko m cp dt( x) dx B U T T( x) dx B Ue T( x) Te [W] (1.3) Rovnc (1.3) vydělíme dx nebudeme jž dále zdůrzňovt, že T = T (x), je to jsné. Obdržíme dferencální rovnc ve tvru dt m cp BU T TBU et Te [W/m] (1.4) dx 2
T e T e Tn T U e m c m c p p Tout T n T U e m c m c p p T T dt out n U U T T Obrázek 1-2: Tepelná blnce dutny pro dílek konečné délky (vlevo) pro dferencální dílek (vprvo). Odvodl jsme dferencální tepelnou blnc dutny. Člen dt /dx předstvuje teplotní spád v dutně. Řešení rovnce (1.4) pro neznámou T se budeme věnovt pozděj. Nyní se musíme zbývt osttním členy rovnce, tedy zejmén hmotnostním průtokem součntel prostupu U, U e, le tké klmtckým okrjován podmínkm výpočtu. 1.2 Pohybová blnce dutny Cílem blncování pohybu v dutně přesněj hovoříme o blnc hybnost je vyjádřt rychlost proudění, resp. hmotnostní průtok vzduchu dutnou. Jk jsme jž uvedl, hmotností průtok vzduchu dutnou v k/s bude po celé její délce v ustáleném stvu konstntní. Plyne to z poždvku rovnce kontnuty (vzduch v dutně nkdy nevznká n neznká). Př konstntním průtočném průřezu pk bude rychlost proudění v dutně U v m/s konstntní. Nejprve popíšeme obecnější stuc pro skloněnou dutnu. Můžeme s předstvt, že budovu obtéká vítr, který n jednom konc dutny vytváří tlk n druhém sání. První konec oznčíme jko vtok, druhý jko výtok. Celkový tlkový rozdíl v dutně vyvolný větrem pk bude rozdíl tlků mez vtokem výtokem. Tento rozdíl vyvolává v dutně tzv. nucené proudění. Povrchy dutny mjí tké jnou teplotu než vzduch v dutně, npř. jsou ob teplejší vlvem prostupu tepl z nteréru /nebo vlvem slunečního záření. Vlvem ohřevu od povrchů klesá hustot vzduchu v dutně tento lehčí vzduch stoupá k výše položenému konc (Archmédův zákon), ztímco je ve stejném množství nhrzován chldnějším vzduchem nsávným n níže položeném konc. Tento termcký (teplotně podmíněný) vztlk vyvolává v dutně tzv. přrozené proudění. Nezpomeňme n stuc, kdy mohou být povrchy dutny chldnější než venkovní vzduch vlvem podchlzení sáláním vůč jsné noční obloze. Potom je vzduch nsávný n výše položeném konc, ochlzuje se, těžkne klesá dutnou. Nucené přrozené proudění mohou probíht ve stejném směru, pk se sčítjí, nebo v opčném směru, pk je výsledný tlkový rozdíl mez vtokem výtokem dný jejch rozdílem. Vlv nuceného přrozeného proudění můžeme souhrnně oznčt jko hncí síly. Prot proudění působí nopk odporové síly nebol tlkové ztráty. Ty mohou být vyvolné třením n površích dutny nebo místním odpory, což jsou různé překážky, npř. mřížky n koncových otvorech, různé konstrukční prvky zshující do průtočného průřezu pod. Výsledná rychlost proudění v dutně je potom výsledkem blncování hncích odporových sl. Zhrnutí přrozeného proudění všk mírně komplkuje výpočet, protože rychlost proudění závsí n teplotních rozdílech teploty zse n rychlost proudění. V tom přípdě musíme tepelnou pohybovou blnc řešt zároveň. Proto budeme v nšem přípdě uvžovt pouze vodorovnou dutnu, což odpovídá vyšetřovné 2-plášťové ploché střeše. Neexstuje-l výškový rozdíl mez koncovým otvory, k přrozenému proudění nedojde jedná hncí síl je vyvolná větrem. Ještě doplňme, jk se ve vo- 3
dorovné dutně demonstrují rozdíly teplot mez povrchy vzduchem dutny př bezvětří. Termk sce nemůže vyvolt celkové proudění v dutně, je-l le spodní povrch dutny teplejší než horní, pk se v dutně vytvoří lokální víry, které urychlí přenos tepl ze spodního k hornímu povrchu. Ekvvlentní součntel tepelné vodvost vzduchu v dutně je pk mnohonásobně vyšší než pro nehybný vzduch. Je-l teplejší horní povrch dutny, pk dojde v dutně k teplotnímu rozvrstvení víry nevznknou. Pohybovou blnc vodorovné dutny ve formě tlků zpíšeme jko 1 2 1 2 Cp w U 2 2 hncí tlková síl vyvolná větrem tlkové ztráty vlvem tření místních odporů [P] (1.5) kde C p je rozdíl erodynmckých součntelů tlku mez vtokem výtokem dutny, C p = C p,n C p,out ρ hustot vzduchu, můžeme brát ρ = 1,22 k/m 3 (pro 10 C) w rychlost větru v m/s sum součntelů tlkových ztrát vlvem třením místních odporů U rychlost proudění v dutně v m/s Rychlost proudění v dutně U přímo vyjádříme z rovnce (1.5) ve tvru U w C p [m/s] (1.6) Aerodynmcké součntele C p n vtoku výtoku závsí n směru větru, eometr budovy, le tké n konfurc okolního terénu pod. Jejch přesnější hodnoty je poměrně obtížné stnovt, le pro zákldní vymezení můžeme použít normu ČSN EN 1991-1-4 Ztížení větrem, kde se s nm běžně prcuje. Ilustrtvní předstvu tké dává Obrázek 1-3. Je ptrné, že n návětrné stěně je C p,n + 0,5, n závětrné stěně potom C p,out 0,2. Rozdíl C p tedy nebude vyšší než cc 0,6. Do pk výpočtu můžeme dosdt lbovolnou hodnotu v rozmezí 0,0 ž 0,6. Př záporné hodnotě by vzduch proudl opčným směrem (prot směru osy x). Obrázek 1-3: Aerodynmcké součntele tlku n plášt nízkopodlžní budovy. 4
Součntel tlkové ztráty vlvem tření obecně závsí n rychlost proudění hloubce dutny. Roste s klesjící rychlostí U, to zejmén v lmnárním režmu. Obvykle je všk vlv tření menší než vlv místních odporů. Zjednodušeně tuto závslost znedbáme. Nebude zásdní chybou, pokud dosdíme hodnotu ξ mez 1,0 3,0. Součntel tlkové ztráty vlvem místních odporů tké obecně závsí n rychlost proudění. I zde s stuc zjednodušíme. Budeme uvžovt zúžení průtočné plochy n vtoku výtoku dutny mnmálně n 70 % původní plochy. Pokud přčteme ještě nějké odpory uvntř dutny, obdržíme souhrnný vlv místních odporů ξ cc 10 více. Pro hmotnostní průtok větrnou dutnou jednotkové šířky potom pltí m V UA UHB [k/s] (1.7) kde ρ je hustot vzduchu, můžeme brát ρ = 1,22 k/m 3 (pro 10 C) V objemový průtok vzduchu dutnou v m 3 /s, V U A je průtočná ploch dutny v m 2, kde pltí A = H B A 1.3 Součntele prostupu přenosu tepl, ekvvlentní teplot prostředí Zákldní konstrukce součntele prostupu tepl je zřejmá 1 1 U R R R R T s se [W/(m 2 K)] (1.8) kde U je součntel prostupu tepl konstrukce ve W/(m 2 K) R T celkový tepelný odpor v m 2 K/W R s, R se odpory př přestupu tepl n vntřním vnějším povrchu k-ce v m 2 K/W R celkový tepelný odpor mterálových vrstev konstrukce v m 2 K/W Odpory př přestupu tepl říkjí, jk sndno nebo těžko probíhá přenos tepl mez povrchem konstrukce obklopujícím prostředím. V běžných (normových) výpočtech jsou odpory př přestupu tepl konstntm, npř. pro vntřní povrch ploché střechy př tepelném toku vzhůru pltí R s = 0,10 m 2 K/W pro vnější povrchy R se = 0,04 m 2 K/W. Teplo je přenášené z povrchu konstrukce konvekcí (prouděním) do okolního vzduchu rdcí (sáláním) ke všem povrchům, n které konstrukce vdí. Pro přesnější pops těchto dějů používáme součntele přenosu tepl, které obecně znčíme h s jednotkou W/(m 2 K). Pro odpor př přestupu potom pltí 1 R [m 2 K/W] (1.9) h Pro součntele přenosu tepl konvekcí budeme ndále používt ndex c pro součntele přenosu tepl sáláním ndex r. Nejprve se změříme n vnější povrch konstrukce. Teplo je zde v obecném přípdě přenášeno konvekcí do venkovního vzduchu s teplotou T e, sáláním vůč okolnímu terénu s ekvvlentní teplotou T, sáláním vůč obloze s ekvvlentní teplotou T sky povrch nvíc přjímá sluneční záření q sol [W/m 2 ]. Povrch má emsvtu ε pohltvost pro sluneční záření α. Stuc ukzuje Obrázek 1-4. Členy F zde předstvují tzv. součntele osálání, které reprezentují vzájemnou polohu povrchů, mez kterým probíhá sálvá výměn. 5
T sky T sky Te qce q r, sky q sol, Fsky Te hr, sky hce q sol, q r, T s q cd F hr, T s q cd Obrázek 1-4: Obecná tepelná blnce vnějšího povrchu konstrukce. Protože se zbýváme plochou střechou, probíhá sálání ne vnějším povrchu pouze směrem k obloze, terén konstrukce nevdí, vz Obrázek 1-5 (vlevo). Pro součntel osálání F sky potom pltí F sky = 1. T sky T e T e h ce h rsky, q sol h se T q se cd, T q se cd, Obrázek 1-5: Tepelná blnce vnějšího povrchu zkoumné ploché střechy dílčí členy (vlevo) vyjádření pomocí ekvvlentní teploty venkovního prostředí (vprvo). Pro tepelnou blnc povrchu střechy musí pltt, že teplo přvedené k povrchu je rovno teplu odvedenému z povrchu, nebol q q q q [W/m 2 ] (1.10) cd sol ce r, sky Př řešení úlohy je výhodné sloučt členy přenosu tepl mez povrchem prostředím do jedného. Z okmžk bude jsné proč. Zpíšeme q q q q [W/m 2 ] (1.11) ce r, sky sol se po rozepsání h T T h T T q h h T T [W/m 2 ] (1.12) ce se e r, sky se sky sol ce r, sky se e Jedná se o stndrdní přístup, ve kterém zvádíme tzv. ekvvlentní teplotu prostředí, zde venkovního T e. Vyjádříme j z (1.12) jko h T h T q Te h h ce e r, sky sky sol ce r, sky [K] (1.13) 6
Součntele přenosu h ce h r,sky nkonec můžeme sloučt do jedného součntele přenosu tepl n vnějším povrchu h h h [W/(m 2 K)] (1.14) se ce r, sky Stuc po úprvě ukzuje Obrázek 1-5 (vprvo). Nyní je třeb popst členy, které jsou nutné k výpočtu ekvvlentní teploty venkovního prostředí T e. Průměrné denní teploty venkovního vzduchu T e oblohy T sky ve C ukzuje Grf 1-1. Zde je možné se nsprovt. teplot [ C] 25 20 15 10 5 0-5 -10-15 -20-25 Roční průměr: venkovní vzduch 10,6 C obloh 1,37 C 0 50 100 150 200 250 300 350 čs [dny] Grf 1-1:Teplot venkovního vzduchu efektvní teplot oblohy denní průměry, Prh, 2009. 900 800 700 G Gh G bh G dh,sky ozáření [W/m 2 ] 600 500 400 300 200 100 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 čs (místní sluneční) [hod] Grf 1-2:Sluneční ozáření n vodorovnou rovnu během jsného dne (celkové ozář., přímá rozptýlená složk). 7
Pro příspěvek slunečního záření q sol v nšem přípdě pltí q sol G [W/m 2 ] (1.15) Gh kde α je pohltvost povrchu pro sluneční záření (0 ž 1) G Gh celkové sluneční ozáření dopdjící n vodorovnou rovnu střechy ve W/m 2 Hodnoty slunečního ozáření n vodorovnou rovnu během jsného dne uvádí Grf 1-2. Nkonec musíme vyjádřt součntele přenosu h ce h r,sky. Přenos tepl konvekcí n vnějším povrchu je závslý zejmén n rychlost větru. Můžeme zde použít jednoduché vyjádření hce 44 w [W/(m 2 K)] (1.16) kde w je rychlost větru v m/s Součntel přenosu tepl sáláním vůč obloze je závslý n teplotě oblohy, le tké n teplotě povrchu. Tu všk neznáme. Přjmeme zde rdkální zjednodušení budeme počítt Tsky Tse hrsky, 4 4 T 2 3 3 sky [W/(m 2 K)] (1.17) kde ε je emsvt povrchu (0 ž 1, běžné stvební mtrály kolem 0,9, kovy nžší) σ Stefn-Boltzmnnov konstnt 5,67 10 8 W/(m 2 K 4 ) T sky ekvvlentní teplot oblohy v K (zde musíme vždy doszovt bs. teplotu!) Nyní se změříme n povrchy dutny, kde probíhá konvektvní přenos tepl do proudícího vzduchu, le tké sálání mez povrchy nvzájem. My všk pro jednoduchost výpočtu sálvý přenos tepl mez povrchy dutny znedbáme. Jedná se ptrně o nejrdkálnější zjednodušení v rámc úlohy. Lze s tké předstvt, že povrchu dutny mjí velm nízkou emsvtu. Změříme se n součntel přenosu tepl konvekcí, který oznčíme h c. Bude pro ob povrchy stejný. Pltí pro něj h c [W/(m 2 K)] (1.18) Nu D h kde Nu je Nusseltovo číslo λ součntel tepelné vodvost vzduchu ve W/(m K) D h hydrulcký průměr, kde v přípdě rovnoběžných desek pltí D h = 2 H Nusseltovo číslo vypočteme jko pro Re 2 300 (lmnární proudění) Nu 8 pro Re > 2 300 (turbulentní proudění) 0,8 0,4 Nu 0,023Re Pr [-] (1.19) kde Re je Reynoldsovo číslo Pr Prndtlovo číslo pro vzduch, můžeme brát Pr = 0,71 (pro 10 C) 8
Nkonec pro Reynoldsovo číslo pltí U D [-] (1.20) Re h kde ρ je hustot vzduchu, můžeme brát ρ = 1,22 k/m 3 (pro 10 C) U rychlost proudění v dutně v m/s podle (1.6) D h hydrulcký průměr, kde v přípdě rovnoběžných desek pltí D h = 2 H μ dynmcká vskozt vzduchu, můžeme brát μ = 17 10 6 P s (pro 10 C) Zbývá vyřešt přenos tepl n vntřním povrchu. Vntřní prostředí můžeme opět chrkterzovt ekvvlentní vntřní teplotou T přenos tepl součntelem h s. V tomto přípdě použjeme běžné hodnoty T = 20 C h s = 10 W/(m 2 K) (1.21) Vrťme se nyní k součntelům prostupu tepl vnějšího vntřního pláště. N zákldě předchozích úvh odvození je zpíšeme ve tvru U e 1 1 1 Re h h c se [W/(m 2 K)] (1.22) U 1 1 1 R h h s c [W/(m 2 K)] (1.23) kde R e,r jsou tepelné odpory mterálových vrstev vnějšího vntřního pláště v m 2 K/W h se,h s výsledné součntele přenosu tepl n vnějším vntřním povrchu ve W/(m 2 K) podle (1.14) (1.21) h c součntel přenosu tepl prouděním n površích dutny ve W/(m 2 K) podle (1.18) Př zpětném pohledu je zřejmé, že podob blnčních rovnc (1.1) ž (1.4) zůstává nezměněná, součntele prostupu tepl U U e ekvvlentní teploty prostředí T T e všk jž obshují celou škálu komplexních dějů, které probíhjí v systému větrné ploché střechy. 1.4 Anlytcké řešení Dferencální blnční rovnc (1.4) přepíšeme ve tvru dt B U B Ue B U T B Ue Te T dx m cp m cp [K/m] (1.24) subst subst b s uvedeným substtucem obdržíme výchozí tvr pro řešení 9
dt dx T b [K/m] (1.25) Jedná se o obyčejnou dferencální rovnc prvního řádu s prvou strnou. Nejprve musíme njít obecné řešení příslušné homoenní rovnce dt dx T 0 [K/m] (1.26) Provedeme seprc proměnných nterujeme dt dx T (1.27) lnt x K (1.28) kde K je nterční konstnt Odlortmujeme (1.28) provedeme úprvu xk x T e Ce (1.29) Dále postupujeme metodou vrce konstnty, kdy z C dosdíme ztím neznámou funkc C = C(x), tkže přepíšeme (1.29) x T C( x) e (1.30) tuto rovnc dervujeme podle x. Jedná o dervc součnu funkcí podle předpsu f f f (1.31) Obdržíme T Cx ( ) x x e C( x) e dx dx (1.32) Do původní nehomoenní rovnce (1.25) dosdíme z (1.30) (1.32) Cx ( ) x x x e Cx ( ) e Cx ( ) e b (1.33) dx Odkud dostneme výrz pro dervc neznámé funkce C(x) ( ) x Cx b e dx (1.34) 10
Rovnc (1.34) řešíme ntercí obdržíme funkc C(x) ve tvru b x Cx ( ) e C1 (1.35) kde C 1 je nterční konstnt Z (1.35) dosdíme do (1.30) získáme obecné řešení rovnce (1.25) b x T C1 e [K] (1.36) Prtkulární řešení obdržíme vyčíslením nterční konstnty pro okrjovou podmínku pro x = 0 pltí T = T e (1.37) Dosdíme okrjovou podmínku (1.37) do obecného řešení (1.36) T b e C1 z čehož C1 Te b (1.38) po doszení (1.38) do (1.36) zpíšeme výsledné prtkulární řešení úlohy ve tvru b b T( x) Te e x [K] (1.39) Nkonec můžeme dosdt z substtuční členy b výsledný tvr uprvt U T UeTe U T UeTe T( x) Te e U Ue U Ue B UUe x m cp [K] (1.40) 1.5 Numercké řešení Numercké řešení vychází z dferenční blnce (1.2). Přepíšeme s j v trochu škovnější podobě m c T T xbu T T xbu T T [W] (1.41) p out n e e kde T out je teplot v dutně n výstupu z -tého úseku v K T n T teplot v dutně n vstupu do -tého úseku v K, přčemž pltí T 1 pro první úsek pltí Tn Te střední teplot -tého úseku dutny v K n 1 T out, jen Rovnce (1.41) obshuje dvě neznámé T T out. Elmnc jedné neznámé můžeme provést trojím způsobem. Smozřejmě tím vnášíme do výpočtu jstou chybu. 11
1) Položíme T n T Řešíme tedy rovnc m c T T xbu T T xbu T T [W] (1.42) p out n n e n e s jednou neznámou T out. Můžeme j vyjádřt jko x B U U xb U T U T T T T e e e out n n m cp m cp [K] (1.43) Poznmenejme, že možných úprv rovnce (1.43) je mnoho. 2) Položíme T T out Řešíme tedy rovnc m c T T xbu T T xbu T T [W] (1.44) p out n out e out e s jednou neznámou T T out out. Můžeme j vyjádřt jko m c T x B U T U T m c xb U U p n e e p e [K] (1.45) 3) Položíme T Tn out T 2 Řešíme tedy rovnc Tn T out Tn T out m cp Tout Tn xbu T xbue Te[W] (1.46) 2 2 s jednou neznámou T out. Můžeme j vyjádřt jko kdo jk umí. 12
2 Přenos vlhkost Budeme studovt přenos vlhkost ve větrné dutně dvouplášťové obvodové konstrukce. Cílem je vyšetřt průběh bsolutní reltvní vlhkost vzduchu v dutně po její délce, tedy v = v (x) φ = φ (x). Budeme k tomu, mmo jné, potřebovt průběh teploty v dutně T = T (x) z kptoly 1. Obzvlášť nás bude zjímt, zd v dutně nedochází ke kondenzc vodní páry, tedy zd v některém místě φ = 1 (100 %). 2.1 Vlhkostní blnce dutny Blncování přenosu vlhkost v dutně je nlocké s blncováním přenosu tepl. Vlhkostní blnc celé dutny můžeme zpst ve tvru V v v A A out n e vlhkost odváděná vlhkost přváděná do dutny vlhkost odváděná z dutny z dutny prouděním dfuzí přes vntřní plášť dfuzí přes vnější plášť z jednotku čsu z jednotku čsu z jednotku čsu [k/s] (2.1) kde V je objemový tok vzduchu dutnou v m 3 /s, pro který dle (1.7) pltí V UH v out koncentrce vodní páry ve vzduchu n výtoku z dutny v k/m 3 v n koncentrce vodní páry ve vzduchu n vtoku do dutny v k/m 3, která je rovná koncentrc ve venkovním vzduchu, tedy v n = v e A přestupová ploch, stejná pro vntřní vnější plášť v m 2 hustot dfuzního toku vodní páry přes vntřní plášť v k/(m 2 s) hustot dfuzního toku vodní páry přes vnější plášť v k/(m 2 s) e Pops šíření vodní páry konstrukcí dfúzí je nlocký k popsu šíření tepl konstrukcí vedením. Hustotu dfúzního toku vodní páry popsuje Fckův zákon (nloe k Fourerovu zákonu pro hustotu tepelného toku vedením) v obecném tvru dv [k/(m 2 s)] (2.2) dx kde δ je součntel dfuzní vodvost v m 2 /s dv/dx spád koncentrce vodní páry v konstrukc v k/m 4 Pro součntel dfuzní vodvost pltí [k/(m 2 s)] (2.3) kde δ je součntel dfuzní vodvost vzduchu, můžeme brát δ = 25 10 6 m 2 /s μ fktor dfuzního odporu mterálu, bezrozměrný Předpokládáme-l ustálený stv, nhrdíme dferencály v (2.2) dferencem (rozdíly) po doszení z (2.3) zpíšeme 13
v x [k/(m 2 s)] (2.4) Dále zvedeme ekvvlentní dfuzní tloušťku, pro kterou pltí sd x [m] (2.5) Pro homoenní mterálovou vrstvu tloušťky d pltí sd d [m] (2.6) pro vícevrstvou konstrukc složenou z n vrstev s n d [m] (2.7) d j j j1 kde μ j je fktor dfuzního odporu mterálu j-té vrstvy d j tloušťk j-té vrstvy Doplňme, že př řešení úloh šíření tepl konstrukcem pltí, že θ θ s, resp. θ e θ se, tedy, že povrchové tepoty konstrukce se lší od teplot obklopujícího vzduchu. To proto, že teplotní uzel zstupující dné prostředí byl od teplotního uzlu povrchu konstrukce oddělen neznedbtelným tepelným odporem př přestupu. V úlohách šíření vodní páry konstrukcí je stuce jednodušší, neboť dfúzní odpory př přestupu vodní páry mez povrchem konstrukce okolním vzduchem jsou velm mlé. Můžeme je tk znedbt vlhkost prostředí přsoudt přímo povrchu konstrukce. Do blnční rovnce (2.1) dosdíme z hustoty dfuzních toků v příslušných tvrech z (2.4) využjeme koncept ekvvlentní dfuzní tloušťky, tkže obdržíme V v v A v v A v v [k/s] (2.8) out n e sd sde kde V je objemový tok vzduchu dutnou v m 3 /s, pro který dle (1.7) pltí V U H v out koncentrce vodní páry ve vzduchu n výtoku z dutny v k/m 3 v n koncentrce vodní páry ve vzduchu n vtoku do dutny v k/m 3, která je rovná koncentrc ve venkovním vzduchu, tedy v n = v e A přestupová ploch, stejná pro vntřní vnější plášť v m 2 ekvvlentní dfuzní tloušťk vntřního pláště v m s d s de ekvvlentní dfuzní tloušťk vnějšího pláště v m v koncentrce vodní páry ve vntřním vzduchu v k/m 3 v e koncentrce vodní páry ve venkovním vzduchu v k/m 3 střední koncentrce vodní páry ve vzduchu dutny v k/m 3 Zpsl jsme nterální vlhkostní blnc dutny (nloe s nterální tepelnou blncí (1.1)). A stejným způsobem jko v kptole 1.1 odvodíme dferencální vlhkostní blnc větrné dutny dv V B v v B v v [k/(m s)] (2.9) e dx sd sde 14
2.2 Vlhkost vzduchu Koncentrce (též hustot) vodní páry ve vzduchu se vypočítá jko v v st [k/m 3 ] (2.10) kde φ je reltvní vlhkost vzduchu (0 ž 1) v st koncentrce nsycené vodní páry ve vzduchu v k/m 3 Pro koncentrc nsycené vodní páry ve vzduchu pltí emprcký vzth v st b 100 R 273,15 v n [k/m 3 ] (2.11) pro 20 0 pltí 4,689 P b 1,486 n 12,3 0 30 pltí 288,68 P b 1,098 n 8,02 kde θ je teplot vzduchu ve C R v plynová konstnt pro vodní páru R v = 461,5 J/(k K) Průběh koncentrce vodní páry ve vzduchu př různých reltvních vlhkostech v závslost n teplotě uvádí Grf 2-1. 90% 26 24 100% (st) 80% hustot vodní páry v [/m 3 ] 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0-20 -18-16 -14-12 -10-8 -6-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 teplot vzduchu [ C] Grf 2-1: Hustot vodní páry ve vzduchu v závslost n teplotě reltvní vlhkost. 15
2.3 Vlhkost venkovního vzduchu Reltvní vlhkost venkovního vzduchu φ e [%] lze stnovt emprckým vzthem v závslost n teplotě venkovního vzduchu θ e [ C] jko 93e 3153,5 e 39,17 e pro 21 e 25 C [%] (2.12) Jedná se o přblžné vyjádření, pokud všk nemáme k dspozc měřenou hodnotu, pk jnou volbu nemáme. Typcký průběh vlhkost vzduchu během roku v lokltě Prh ukzuje Grf 2-2. rel. vlhkost venkovního vzduchu [%] 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 den v roce Grf 2-2: Typcký průběh reltvní vlhkost hustoty vodní páry ve venkovním vzduchu během roku, loklt Prh, dlouhodobý průměr, hodnová dt z dtbáze Meteonorm 5.1. 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 hustot vodní páry ve vzduchu [/m 3 ] 2.4 Vlhkost vntřního vzduchu Reltvní vlhkost vntřního vzduchu větrného nteréru se známým zdroj vlhkost lze vypočítt z blnce hmotnostních toků vodní páry v ustáleném stvu ( př znedbání dfúze vodní páry obvodovým konstrukcem) jko V ve G V v [k/s] (2.13) množství vodní páry vstupující do nteréru produkce vodní páry v nteréru množství vodní páry vystupující z nteréru kde je objemový tok větrcího vzduchu v m 3 /s v e hustot vodní páry ve venkovním vzduchu v k/m 3 v hustot vodní páry ve vntřním vzduchu v k/m 3 produkce vodní páry v nteréru v k/s Prncp zchycuje Obrázek 2-1. Z blnční rovnce (2.13) můžeme vyjádřt hustotu vodní páry ve vntřním vzduchu jko v G ve V [k/m 3 ] (2.14) 16
Známe-l pouze násobnost výměny vzduchu v zóně n [1/h], pk vypočteme objemový průtok větrcího vzduchu jko n V V 3600 [m 3 /s] (2.15) kde n je násobnost výměny vzduchu v nteréru v 1/h V objem vzduchu v zóně v m 3 e [ C] e [%] v e 3 [k m ] [ C] [%] 3 [k m ] v e [k s] V v [k s] G [k s] V v 3 [m ] V Obrázek 2-1: Blnce hmotnostních toků vodní páry ve větrném nteréru, v ustáleném stvu, se znedbáním přenosu vlhkost přes konstrukce. Pro výpočet hustoty vodní páry ve vntřním vzduchu dle (2.14) je třeb znát poměr produkce vlhkost k objemovému toku větrcího vzduchu [k/m 3 ]. Pomůckou nám zde bude norm ČSN EN ISO 13788, která tento poměr oznčuje jko v (přrážk k hustotě vodní páry ve vntřním vzduchu vlvem provozu). Pro 4. vlhkostní třídu budovy (tj. běžné obytné budovy, kuchyně jídelny) v zmních podmínkách budeme brát vg V 0,006 k/m 3 (2.16) Pro reltvní vlhkost vntřního vzduchu smozřejmě pltí v [-] nebo 100 v [%] (2.17) vst, 2.5 Anlytcké řešení Dferencální blnční rovnc (2.9) přepíšeme ve tvru 1 1 v ve B B dv sd sde sd sde v dx V V [k/m 4 ] (2.18) subst subst b 17
řešení je nlocké jko pro dferencální tepelnou blnc dutny z kptoly 1.4. Výsledné řešení úlohy zpíšeme ve tvru b b v( x) ve e x [k/m 3 ] (2.19) Pokud zvedeme dfuzní vodvost jko K d s [m/s] (2.20) d dosdíme z substtuční členy b, tk po úprvě obdržíme Kd v Kde ve Kd v Kde ve v( x) ve e Kd Kde Kd Kde B Kd Kde x V [k/m 3 ] (2.21) Anloe s (1.40) je opět zřejmá. Průběh reltvní vlhkost v dutně získáme s využtím (2.10) (2.11) jko v ( ) ( ) ( ) 273,15 x v x Rv x ( x) 100 100 n vst, ( x) ( x) b 100 [%] (2.22) 18