4 Základní úlohy kvantové mechaniky

Transkript

1 4 Zákldní úlohy kvntové mechniky V této kpitole se podíváme n řešení Schrödingerovy rovnice pro některé jednoduché situce vedoucí k nlyticky řešitelným úlohám. Tkových situcí, které by byly zároveň fyzikálně zjímvé není mnoho. Proto se při popisu složitějších problémů musíme uchýlit k jistým zjednodušením proximcím, kterým se budeme blíže věnovt v kpitole 9. Zčneme s volnou částicí. N tomto triviálním přípdě si vysvětlíme přístup k řešení úloh pomocí čsově nezávislé Schrödingerovy rovnice. N volnou částici plynule nvážeme popisem částice v nekonečně hluboké potenciálové jámě. Zde si vysvětlíme odkud se bere kvntování energie hybnosti. N závěr kpitoly se ve stručnosti podíváme n velmi důležitý problém řešení kvntového hrmonického oscilátoru, který slouží jko modelový fyzikální systém npříkld pro vibrční pohyby molekul. 4.1 Volná částice Abychom názorně demonstrovli řešení čsově nezávislé Schrödingerovy rovnice ( +V)ψ = Ĥψ = Eψ, (4.1) m zčneme s řešením nejjednoduššího možného problému, kterým je volná částice, tj. částice n kterou nepůsobí žádná síl, tj. V = 0. Protože volná částice se pohybuje volně, nejsou n řešení Schrödingerovy rovnice (4.1) kldeny žádné okrjové podmínky. Uvidíme, že neexistence okrjových podmínek vede k tomu, že energie hybnost částice nebudou kvntovány. Pro jednoduchost budeme předpokládt, že částice se může pohybovt pouze v jednom rozměru. Rovnice (4.1) pk přejde do tvru d ψ(x) = Eψ(x), (4.) m dx kde jsme využili předpokld, že částice je volná, tj. V = 0. Rovnici (4.) dále uprvíme do tvru ( d dx + me ) ψ(x) = 0. (4.3) Protože celková energie volné částice je rovná kinetické energii částice T = p /(m) protože kinetická energie může být kldná nebo nulová, můžeme pro celkovou energii volné částice psát E 0. Vzhledem k této nerovnosti můžeme zvést substituci me = k, (4.4) kde k 0 je reálné číslo, obvykle oznčovné jko vlnový vektor. S využitím substituce (4.4) přejde rovnice (4.3) do tvru ( ) d dx +k ψ(x) = 0, (4.5) což je obyčejná diferenciální rovnice s konstntními koeficienty. Rovnice tohoto typu řešíme metodou chrkteristického polynomu. V tomto přípdě je příslušný chrkteristický polynom λ +k = 0. (4.6) Řešením dostneme kořeny λ 1, = ±ik. (4.7) 37

2 Podle předpokldu o řešení můžeme zpst homogenní řešení rovnice (4.5) ve tvru ψ(x) = e ±ikx. (4.8) Působením operátoru hybnosti ˆp n vlnovou funkci (4.8) dostneme ˆpψ(x) = i dψ(x) dx = ± kψ(x). (4.9) Z rovnosti (4.9) vyplývjí vlstní hodnoty hybnosti volné částice ve tvru Vlnovou funkci volné částice proto můžeme zpst jko p = ± k. (4.10) ψ(x) = e px/(i ). (4.11) Vyjádříme-li celkovou energii částice pomocí hybnosti p, dostneme výrz pro energii ve tvru E = p m = k m. (4.1) Vidíme, že ni hybnost ni energie volné částice nejsou kvntovány. N závěr si shrňme výsledky, ke kterým jsme při odvození došli. Vlnová funkce pro volnou částici je vlstní funkcí hmiltoniánu Ĥ = ˆT = ˆp m = m d dx (4.13) s vlstní hodnotou neboli energií E = p /(m). Dále víme, že vlnová funkce volné částice je i vlstní funkcí operátoru momentu hybnosti ˆp = i (d/dx) s vlstní hodnotou p = ± k. Z toho vyplývá, že komutátor operátorů [ˆT, ˆp] (4.14) musí být roven nule. Protože operátory spolu komutují (komutátor je nulový), mjí společný soubor vlstních vlnových funkcí, tk lze jednorozměrný pohyb volné částice chrkterizovt pomocí dvou kvntových čísel kinetické energie E = p /(m) hybnosti p. Dále si všimněme, že de Broglieův vzth mezi vlnovým vektorem hybností částice jsme zde nemuseli předpokládt, le že nám vyšel z řešení Schrödingerovy rovnice (4.) pro volnou částici. 4. Částice v nekonečně hluboké potenciálová jámě Problém částice v nekonečně hluboké jámě nám poslouží jko vzorový příkld kvntověmechnického problému, ve kterém se okrjové podmínky kldené n řešení projeví v kvntování energií hybností. Uvžujme nejdříve pro jednoduchost jednorozměrný přípd, který pk přirozeně rozšíříme n trojrozměrný přípd. Předpokládejme, že v intervlu 0, je potenciální energie V(x) rovn nule, tj. V = 0. Dále předpokládejme, že mimo tento intervl je potenciální energie nekonečná, tj. V. Tímto předpokldem jsme si vytvořili potenciální jámu, která je pro částici uvězněnou uvnitř jámy, tj. v intervlu 0, neproniknutelná, protože částice nemůže mít nekonečnou hodnotu energie. Pro vlnovou funkci částice mimo jámu pltí ψ(x) = 0 (4.15) 38

3 pro x tkové, že x < 0 x <. Výrz (4.15) je vyjádřením skutečnosti, že částice se mimo potenciálovou jámu nemůže vyskytovt. Když máme vyřešen problém mimo smotnou jámu, zbývá nám vyřešit pohyb částice v jámě. Pro tento přípd hledáme řešení Schrödingerovy rovnice d ψ(x) = Eψ(x) (4.16) m dx pro hodnoty x tkové, že x 0,. Diferenciální rovnici (4.16) řešíme pomocí chrkteristického polynomu ve tvru λ + me = 0. (4.17) Vzhledem k tomu, že celková energie částice v jámě odpovídá její kinetické energii (v jámě pltí V = 0), musí pro celkovou energii pltit E 0. Proto můžeme zvést stejné oznčení jko v kpitole 4.1 rovnice (4.4). Řešením dostneme pro λ stejný výsledek jko ve výrzu (4.7). Obecné řešení rovnice (4.16) můžeme tedy zpst ve tvru ψ(x) = Ae ikx +Be ikx, (4.18) kde A B jsou libovolné komplexní konstnty. Jedním z postulátů, které kldou podmínky n kceptovtelnost vlnové funkce, je postulát o spojitosti vlnové funkce. Vzhledem k tomu, že mimo intervl 0, je vlnová funkce nulová (4.15), musí řešení (4.18) splňovt následující okrjové podmínky ψ(0) = 0 (4.19) ψ() = 0. (4.0) První podmínku splníme tk, že položíme A = B, tj. místo obecné vlnové funkce (4.18) vezmeme jen funkci ve tvru ψ(x) = N sin(kx), (4.1) kde N je normovcí konstnt. Využili jsme přitom Eulerovu identitu (3.11). Druhou podmínku (4.0) splníme tk, že položíme k = πn, n = 1,,3,..., (4.) kde n je přirozené číslo kvntové číslo. V přípdě n = 0 bychom obdrželi řešení ψ(x) = 0, které nemá fyzikální význm, neboť částice by se n intervlu 0, vůbec nevyskytovl. Jk jsme předeslli, v přípdě omezeného pohybu, zde neproniknutelnou potenciálovou briérou, dospějeme k závěru, že energie i odpovídjící vlnový vektor jsou kvntovány k n = π n n = 1,,3,..., (4.3) E n = π m n, n = 1,,3,... (4.4) že kvntování vyplývá z okrjových podmínek (4.19) (4.0). Vlnové funkce příslušející energiím dným vzthem (4.4) jsou ψ n (x) = N sin πnx, n = 1,,3,... (4.5) 39

4 V tento okmžik nám zbývá jediné, určit normovcí konstntu N ze vzthu (4.5). Určíme ji tk, že poždujeme, by se částice ncházel někde uvnitř jámy který integrcí vyřešíme obdržíme x=0 N sin πxn dx = 1, (4.6) N = eiα, (4.7) kde α je libovolné reálné číslo. Vidíme, že vlnová funkce ψ(x) je určená ž n fázový fktor exp(iα), který se zprvidl volí roven jedné. Diskutujme nyní dosžené výsledky. Energie E n stcionárních stvů (získli jsme je řešením čsově nezávislé stcionární Schrödingerovy rovnice (4.16)) jsou větší než nul. Stv s energií E n = 0 není pro jámu o konečné šířce možný. Energetické spektrum, neboli soubor všech energií, je diskrétní nedegenerovné, tj. vlstnímu číslu (energii) přísluší jen jedn vlnová funkce. A konečně, energie E n jsou úměrné kvdrátu kvntového čísl n. Vlnové funkce ψ n (x) pro částici v nekonečné potenciální 1D jámě jsou ortonormální 0 ψ m(x)ψ n (x)dx = δ mn, (4.8) kde δ mn je Kroneckerův symbol, který se rovná jedné, pkliže m = n, když m n je roven nule. Výrz (4.8) je jen jiným způsobem zápisu ortonormálnosti dvou funkcí. Vlnové funkce ψ n (x) dále tvoří úplnou bázi n příslušném Hilbertově prostoru. Počet uzlových bodů, tj. těch kde ψ n (x) = 0 je roven n 1. Rozšíření n trojrozměrný problém je poměrně intuitivní. Uvžujme potenciální energii V(x,y,z) = 0 všude v oblsti 0 x, 0 y b 0 z c, kde,b,c jsou rozměry uvžovné jámy. Mimo tuto oblst je potenciální energie nekonečná, V. Schrödingerov rovnice pro tento problém je ( ) m x + y + ψ(x,y,z) = Eψ(x,y,z) (4.9) z její řešení je možné hledt ve tvru (metod seprce proměnných) ψ(x,y,z) = ψ x (x)ψ y (y)ψ z (z). (4.30) Dále předpokládáme, že celkovou energii můžeme vyjádřit jko součet E = E x +E y +E z. (4.31) Obdobným postupem řešení popsným pro 1D přípd dospějeme k výsledku, že vlnová funkce částice v 3D jámě je 8 πxl πym ψ lmn (x,y,z) = sin sin sin πzn, l,m,n = 1,,3,... (4.3) bc b c jí odpovídjící energie E lmn = π m ( ) l + m b + n, l,m,n = 1,,3,... (4.33) c N rozdíl od 1D přpdu jsou zde degenerovné energetické hldiny. To znmená, že dné energii odpovídá několik lineárně nezávislých vlnových funkcí. 40

5 4.3 Hrmonický oscilátor Hrmonický, nebo přesněji lineární hrmonický oscilátor je jednou z fyzikálně důležitých úloh, pro kterou lze njít nlytické řešení Schrödingerovy rovnice. Důležitost lineárního hrmonického oscilátoru (LHO) plyne z toho, že jeho potenciální energie odpovídá prvním členům Tylorov rozvoje obecného potenciálu V(x) v okolí minim x = x 0 ( ) dv V(x) = V(x 0 )+ (x x 0 )+ 1 ( ) d V (x x dx x=x 0 dx 0 ) +... (4.34) x=x 0 První derivce potenciálu je v minimu rovn nule, nvíc omezíme-li se pouze n rozvoj do druhého řádu zvolíme-li vhodnou referenční hldinu, npříkld odečtením hodnoty V(x 0 ), vzth (4.34) se zjednoduší do tvru V(x) = 1 ( ) d V (x x dx 0 ), (4.35) x=x 0 který odpovídá potenciálu LHO. Podobným způsobem můžeme postupovt i v přípdě více dimenzí nebo u vícečásticových systémů. Npříkld vhodnou volbou tzv. normálních souřdnic můžeme popisovt pomocí systému nezávislých LHO vibrce vícetomových molekul. N druhou strnu si musíme být vědomi jistých omezení tohoto modelu. Zásdním omezením je skutečnost, že při zvětšování souřdnice x roste síl F = dv/dx nde všechny meze, což je nefyzikální závěr. U reálných systémů dojde při překročení jisté mezní výchylky z rovnovážné polohy k disocici systému, což vede k poždvku, že při x musí potenciál nbývt konečné hodnoty. Při řešení 1D LHO vyjmeme ze Schrödingerovy rovnice, kde z potenciální energii systému dosdíme potenciál LHO ( d mdx + 1 ) mω x ψ(x) = Eψ(x). (4.36) Schrödingerov rovnice (4.36) je diferenciální rovnicí s nelineárními koeficienty u nulté derivce. Tento typ rovnice se řeší tk, že nejprve rovnici uprvíme do tvru ( ) d me dx ψ(x)+ m ω x ψ(x) = 0. (4.37) Rovnice ve tvru (4.37) se dále řeší zvedením bezrozměrných proměnných mω ξ x (4.38) λ E ω. (4.39) Rovnici (4.37) tk přejde do bezrozměrného tvru d ψ(ξ) dξ +(λ ξ )ψ(ξ) = 0. (4.40) Při řešení se dále postupuje tk, že nejprve hledáme symptotické řešení vlnové funkce ψ pro ξ ±, kdy v rovnici (4.40) můžeme člen s λ znedbt, protože ve srovnání s osttními členy je mlý. Výsledkem je symptotické řešení ve tvru ψ(ξ) = Ae ξ / +Be ξ /, (4.41) 41

6 kde A B jsou libovolné konstnty. Pro znménko plus ve výrzu (4.41) vlnová funkce diverguje nelze ji normovt, proto se vlnová funkce ψ(ξ) symptoticky chová jko funkce tk můžeme řešení rovnice (4.40) hledt ve tvru ψ(ξ) = Ae ξ /, (4.4) ψ(ξ) = v(ξ)e ξ /, (4.43) kde v(ξ) je ztím neurčená funkce. Dosdíme-li předpokládné řešení (4.43) do rovnice (4.40) dostneme po mlé úprvě diferenciální rovnici v ξv +(λ 1)v = 0, (4.44) kde čárk nznčuje derivci podle ξ. Diferenciální rovnice (4.44) se řeší pomocí rozvoje hledné funkce v mocninou řdu, kde nkonec dojdeme k rekurentnímu vzthu mezi koeficienty řdy. Aby funkce v(ξ) pro ξ ± nedivergovl, musí dosud neurčité λ splňovt podmínku λ = n+1, n = 0,1,,... (4.45) S přihlédnutím ke vzthu (4.39) dostneme pro energií stcionárních stvů E n = ω(n+1/), n = 0,1,,... (4.46) Vidíme, že kvntování energií je opět dáno okrjovými podmínkmi kldenými n uvžovný systém. Z rovnice (4.46) tké plyne, že když z n dosdíme n = 0, neboli počítáme energii nulové hldiny LHO, dostneme E 0 = ω. (4.47) Energie zákldního stvu je tk nenulová. To je podsttný rozdíl oproti klsické fyzice, kde částice může mít nulovou energii v minimu potenciální energie V(x). Nenulovost energie úzce souvisí s relcemi neurčitosti. Energie (4.47) je někdy oznčován jko energie nulových kmitů lze ji npříkld ověřit v přípdě kmitů krystlové mřížky, kde n rozdíl od klsické fyziky vlivem nenulovosti kmitů, nevymizí rozmzání difrkčního obrzce ni při snižování teploty k bsolutní nule T 0. Provedeme-li zpětné doszení všech použitých substitucí provedeme-li normlizci vlnové funkce, získáme vlnové funkce LHO ve tvru φ n (x) = 1 x0 1 n n!π 1/e (x/x 0) / H n (x/x 0 ), n = 0,1,,..., (4.48) kde funkce H n (ξ) je funkce v(ξ) ze vzthu (4.43) nzýváme je Hermitovy polynomy H n (ξ) = ( 1) n dn ξ e. (4.49) dξ ne ξ Příkld 8 Zdání: Molekul HCl silně bsorbuje v infrčervené oblsti spektr u 991 cm 1. Spočtěte silovou konstntu k pro tuto molekulu. Řešení: Zpíšeme E = hν = hc/λ = k/µ vyjádříme k k = 4π ( c ) µ = 516,3 N m 1. λ 4