Uiverzia Karlova v Praze Maemaico-fziálí faula DIPLOMOVÁ PRÁCE omáš Hazá Deompozičí meod pro časové řad s epravidelě pozorovaými hodoami Kaedra pravděpodoosi a maemaicé saisi Vedoucí diplomové práce : Prof. RNDr. omáš Cipra, DrSc. Sudií program : Maemaia Sudií oor : Maemaicá saisia, pravděpodoos a eoomerie Sudií plá : Eoomerie
Upřímě děui vedoucímu své diplomové práce Prof. omáši Ciprovi za výěr a uděleí émau práce, posuí pořeé lieraur, eho ceé rad a připomí a především za lasavou ochou při vzáemé spolupráci. Prohlašui, že sem svou diplomovou práci apsal samosaě a výhradě s použiím ciovaých prameů. Souhlasím se zapůčováím práce. V Praze de.4. 7 omáš Hazá
3 Osah Asra / Asrac 4 Úvod 5 Záladí pom a meod 7. Nepravidelé časové řad...7. Deompozičí a reureí meod pro časové řad...9.3 Expoeciálí vrováváí... 3 Jedoduché expoeciálí vrováváí 4 3. Jedoduché expoeciálí vrováváí pro pravidelé časové řad...4 3. Wrighova modifiace pro epravidelé řad...7 3.3 Nepravidelě pozorovaý ARIMA(,, ) proces... 4 Holova meoda 4 4. Holova meoda pro pravidelé časové řad...4 4. Wrighova modifiace pro epravidelé časové řad...3 4.3 Hol-Wiersova meoda pro řad s chěícími pozorováími...34 5 Expoeciálí vrováváí řádu m 38 5. Expoeciálí vrováváí řádu m pro pravidelé časové řad...38 5. Expoeciálí vrováváí řádu m pro epravidelé časové řad...4 5.3 DLS odhad polomicého redu supě m...5 6 Něeré výpočeí aspe meod 57 6. Odhad paramerů meodou maximálí věrohodosi...57 6. Mír přesosi a adeváosi předpovědích meod...59 6.3 rasformace časových řad...6 6.4 Praicé prolém a zušeosi...66 7 Sofwarová realizace 68 7. Program DMIS...68 7. Numericé přílad...7 8 Závěr 78 Lieraura 79
4 Asra Název práce: Deompozičí meod pro časové řad s epravidelě pozorovaými hodoami Auor: omáš Hazá Kaedra: Kaedra pravděpodoosi a maemaicé saisi Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. omáš Cipra, DrSc. e-mail vedoucího: cipra@arli.mff.cui.cz Asra: Práce se věue zoecěím lasicých meod pu expoeciálího vrováváí pro edorozměré časové řad s epravidelě pozorovaými hodoami. Prezeováa sou zoecěí edoduchého expoeciálího vrováváí, Holov a Hol-Wiersov meod a dvoiého expoeciálího vrováváí pro epravidelé časové řad, erá la v miulosi vviua. Je avržea meoda aleraiví Wrighově modifiaci edoduchého expoeciálího vrováváí pro epravidelé řad, založeá a příslušém ARIMA procesu. Odvozeo e expoeciálí vrováváí řádu m pro epravidelé časové řad, eré e zoecěím edoduchého a dvoiého expoeciálího vrováváí. Podoá meoda, založeá a DLS (discoued leas squares) odhadu polomicého redu supě m, e éž odvozea. Ve všech případech e zachová reureí charaer původích meod a a i eich implemeačí a výpočeí eáročos. Součásí diplomové práce e program, v ěmž e dosupá věšia zde prezeovaých meod. Je éž uvedeo ěoli umericých příladů eich použií. Klíčová slova: časové řad, expoeciálí vrováváí řádu m, Holova meoda, edoduché expoeciálí vrováváí, epravidelá pozorováí. Asrac ile: Decomposiio mehods for ime series wih irregular oservaios Auhor: omáš Hazá Deparme: Deparme of Proaili ad Mahemaical Saisics Supervisor: Prof. RNDr. omáš Cipra, DrSc. Supervisor's e-mail address: cipra@arli.mff.cui.cz Asrac: his wor deals wih exesios of classical expoeial smoohig pe mehods for uivariae ime series wih irregular oservaios. Exesios of simple expoeial smoohig, Hol mehod, Hol-Wiers mehod ad doule expoeial smoohig which have ee developed i pas are preseed. A aleraive mehod o Wrigh's modificaio of simple expoeial smoohig for irregular daa, ased o he correspodig ARIMA process, is suggesed. Expoeial smoohig of order m for irregular daa as a geeralizaio of simple ad doule expoeial smoohig is derived. A similar mehod usig a DLS (discoued leas squares) esimaio of polomial red of order m is derived as well. I all cases he recursive characer of hese mehods is preserved maig hem eas o impleme ad high compuaioall effecive. A program i which mos of he mehods preseed here are availale is a par of he wor. Some umerical examples of heir applicaio are also icluded. Kewords: expoeial smoohig of order m, Hol mehod, irregular oservaios, simple expoeial smoohig, ime series.
Úvod 5 Úvod Schopos čii valií předpovědi o udoucím vývoi sledovaých evů a veliči e ezesporu líčovým faorem pro aše současá rozhoduí. Jedím z ásroů pro zísáí aových předpovědí e saisicá disciplía ozačovaá souhrě ao aalýza časových řad. Ze zámých hodo sledovaé veliči z miulosi až do současosi, eré voří zv. časovou řadu, se sažíme odhadou eí udoucí vývo. I přes epopiraelé limi uvedeého přísupu sou ao zísaé předpovědi časo uspooivě přesé. Navíc sou meod předpovídáí v časových řadách podroě zpracovaé a mohé z ich sou dosupé v příslušém sofwaru. Drivá věšia meod aalýz časových řad e avrhovaá pro práci s pravidelými časovými řadami, ed aovými, eichž sousedí pozorováí maí od see osaí časovou vzdáleos. Ješě poměrě dos pozorosi lo věováo zvláduí prolému zv. chěících pozorováí v ia pravidelých časových řadách. Podsaě méě prosoru ale doposud áleželo meodám, eré doázal zacháze s oecě epravidelými časovými řadami. I s imi se přiom v praxi můžeme sea převapivě časo. ao diplomová práce se věue právě meodám pro vrováváí a předpovídáí v časových řadách s epravidelě pozorovaými hodoami. Jeím cílem e poda přehled o exisuících meodách, avrhou eich případá vlepšeí či im aleraiví meod. Začá pozoros e věováa praicým prolémům souviseícím s použiím ěcho meod, apřílad osruci předpovědích iervalů. Práce se sousředí výhradě a meod pu expoeciálího vrováváí a eich zoecěí pro epravidelé časové řad. U všech ěcho zoecěí sou zachová důležié vlasosi původích meod, pro eré sou v praxi ceě. I adále de o meod deompozičí a adapiví, z praicého hledisa e výzamé zachováí eich reureího charaeru, a a i implemeačí a výpočeí eáročosi. ao práce se omezue a edorozměré časové řad, i dž v odoré lierauře se můžeme sea i s edoduchými zoecěími meod expoeciálího vrováváí a vícerozměré časové řad, viz. apř. Cipra (989). Seě a další modifiace a zoecěí ěcho lasicých meod, vviué pro růzé speciálí siuace, zde eudou zmíě a dále zoecňová pro epravidelé časové řad, přesože o lo možé. Až a edu výimu se udeme sousředi a meod pro esezóí časové řad. V práci sou prezeováa zoecěí edoduchého expoeciálího vrováváí (ods. 3.), Holov meod včeě eí verze s lumeým lieárím redem (ods. 4.), Hol-Wiersov meod (ods. 4.3) a dvoiého expoeciálího vrováváí (ods. 5.) pro epravidelé časové řad, eré l v uplulých leech puliová v odoré lierauře, viz. Wrigh (986), Cipra a ol. (995) a Cipra (6). V odsavci 3.3 e avržea meoda aleraiví Wrighovu expoeciálímu vrováváí pro epravidelé řad, odvozeá a záladě předpoladu, že zoumaá
Úvod 6 časová řada e epravidelě pozorovaý ARIMA(,, ) proces. V odsavci 5. e odvozeo expoeciálí vrováváí řádu m pro epravidelé časové řad, eré e zoecěím dvoiého expoeciálího vrováváí (případu m ) pro epravidelé časové řad z čláu Cipra (6). Vedle oho e odvozea i podoá meoda založeá a DLS (discoued leas squares) odhadu polomiálího redu supě m (ods. 5.3), erá s expoeciálím vrováváím řádu m splývá pouze ve verzi pro pravidelé časové řad. Pozoros e věováa výpoču počáečích hodo reureích meod, pro ěeré exisuící meod sou avrže droé modifiace používaých posupů. Pro edoduché expoeciálí vrováváí a Holovu meodu sou avrže vzorce pro rozpl ch předpovědí s delším časovým horizoem, založeé a předpoladu, že edoroové předpovědí ch voří ílý šum. Při výpoču počáečích hodo a rozplů předpovědích ch e vužívá vzah mezi dvoiým expoeciálím vrováváím a Holovou meodou, erý exisue v případě pravidelé časové řad. Je avrže maximálě věrohodý odhad paramerů předpovědí meod (ods. 6.), erý e za předpoladu ormali zoecěím lasicé miimalizace MSE riéria. Pro předpovídáí v epravidelé časové řadě e zavede poem ormalizovaých předpovědích ch, eré sou mimo ié vužívá při esech adeváosi použií daé předpovědí meod (ods. 6.). Pro vhodoceí efeivi předpovědích meod sou avrže uazaele odoé oeficieu deermiace v lieárí regresi (ods. 6.). V odsavci 6.3 sou romě logarimicé rasformace avrže i ěeré další rasformace časových řad. Odsavec 6.4 shrue auorov praicé zušeosi s apliací prezeovaých meod. Součásí diplomové práce e program DMIS (zraa pro Decomposiio Mehods for Irregular ime Series), v ěmž sou dosupé všech meod v éo práci uvedeé či odvozeé, s výimou Hol-Wiersov meod. Implemeace meod zahrue výpoče počáečích hodo, opimálí volu paramerů, výpoče odových a iervalových předpovědí a vhodoceí přesosi a adeváosi použií daé předpovědí meod (viz. ods. 7.). V odsavci 7. sou uvede dva oréí umericé přílad použií prezeovaých meod. Dále e zde pomocí věšího možsví simulovaých časových řad porováváa přesos Wrighova edoduchého expoeciálího vrováváí a aleraiví meod avržeé v éo práci.
Záladí pom a meod 7 Záladí pom a meod V éo rozsáhleší úvodí apiole sou vlože ěeré záladí pom a p meod, erých se ex diplomové práce ýá. Odsavec. deailěi poedává o pravidelých a epravidelých časových řadách a uvádí přílad, d se v praxi můžeme sea s epravidelými časovými řadami. V odsavci. e velmi sručě popsá oecý pricip deompozice časových řad, do ehož rámce spadaí i všech zde proíraé meod. Ze seého důvodu e zde oecá zmía o reureích meodách. Odsavec.3 se věue záladí mšlece a hisorii meod pu expoeciálího vrováváí, imiž e diplomová práce věováa.. Nepravidelé časové řad Klasicá (pravidelá) časová řada e souor hodo (pozorováí, měřeí) isé veliči v pravidelě rozmísěých časových oamžicích. Může í o hodo ěaé spoié veliči a předem zvoleé pravidelé časové mřížce, o agregaci ěaé aivi v rámci seě dlouhých a pravidelě rozmísěých časových iervalů eo o pozorováí ěaého pravidelě se opauícího evu. Jao ilusračí přílad ěcho ří možosí můžeme uvés apř. eplo měřeé a daém mísě aždý de vžd přesě v polede, poč záoů schváleých PSP ČR v edolivých leech a deí řadu poču diváů hlavích zpráv vraé elevizí saice. Reálé siuace, z ichž vziaí oréí časové řad, sou ed velmi rozmaié ee svou osahovou sráou ale aé smslem příslušé časové os. Důležiý e zde předpolad, že časové oamži, e erým edolivá pozorováí vzahueme, sou (z ěaého rozhoduícího hledisa) pravidelě rozmísěé. Ja ude sad vidě pozděi, eo předpolad eí vžd a edozačý, a se mohlo zdá. Rozhodeme-li se daou časovou řadu považova za řadu pravidelou, začíme eí hodo ovle ao,,, K, (..) de e pozorováí řad v čase,,, K, a přirozeé číslo udává délu dočé časové řad. Drivá věšia prací z olasi aalýz časových řad se zaývá model a meodami použielými právě pro aovéo (pravidelé) časové řad. V praxi se suečě ve velé míře seáváme s pravidelě pozorovaými časovými řadami. Věšia isiucí puliue své saisi pravidelě (měsíčě, čvrleě, ročě apod.), poud máme m sami možos orgaizova aše vlasí měřeí, zvolíme pravidelé časové ierval, leda omu ráil podsaé oeiví důvod.
Záladí pom a meod 8 Přeso exisuí siuace, d máme dispozici časovou řadu složeou z hodo pozorovaých v epravidelě rozmísěých časových oamžicích. Ozačíme-li o oamži ao,,, K, (..) pa hodo daé časové řad udeme zači podoě ao v (..),,, K. (..3) Přirozeě e požadováo, a plailo < < K <. Mluvíme o časové řadě s epravidelě pozorovaými hodoami či sručěi o epravidelé časové řadě. Pravidelou časovou řadu e možé chápa ao speciálí případ epravidelé časové řad, z opačého pohledu lze říci, že epravidelé časové řad sou zoecěím ěch pravidelých. Je samozřemě možé mírou epravidelos v pozorováí zoumaé časové řad zaeda. Jsou-li rozdíl i i éměř osaí, elze očeáva, že použií meod pro pravidelé řad vedlo zásadě chým výsledům. ao siuace může vzia apř. vůli epravidelosem v používaém aledáři (růzá déla měsíců a le). Jaýmsi mezisupěm sou zv. časové řad s chěícími pozorováími, eré vziaí z pravidelé řad (..) pomslým vpušěím ěerých edolivých pozorováí či eich celých úseů. Nuým požadavem, achom mohli mluvi o časové řadě s chěícími pozorováími, e ed o, a všech rozdíl i i l áso ěaého záladího časového rou a poud možo se mu časo roval. Exisuí model a meod, eré sou použielé a řad s chěícími pozorováími, ale ioli a už a řad zcela oecě epravidelé. o plaí ozvlášť pro sezóí časové řad. Jsou-li mezer v daech ráé a řídé, můžeme se pousi dopli chěící hodo, ať už experími odhad eo ěaou formou ierpolace, a a doplěou řadu použí iž ěerou z meod pro pravidelé časové řad. Ja iž lo řečeo v úplém úvodu, v éo práci se sousředíme a meod apliovaelé a zcela oecé epravidelé časové řad. Čeé přílad časových řad s epravidelě pozorovaými hodoami lze aléz v čláu Wrigh (986). Např. poud v průěhu času dode e změě frevece, se erou aše pozorováí provádíme, e celovým výsledem epravidelá časová řada. Běžě se sává, že saisicé úřad a ié isiuce zvšuí puliačí freveci ěerých veliči, apř. z ročí a varálí. V souhrých přehledech e časo pro úsporu mísa volea pro sarší odoí meší frevece ež pro odoí edávé. Jid sou epravidelosi v ašich pozorováích způsoeé oeiví emožosí měři daou veličiu pravidelě, případě vziaí epláovaě v důsledu výpadu měřících přísroů eo dooce pozděší zrá pozorovaých hodo. Něd e časová epravidelos viřě osažea už v samoém sledovaém evu. Je možé apř. uvažova časovou řadu poču zazameaých výsů isé choro a daém území, přičemž oamžiem pozorováí e vžd výs ového případu. Neo
Záladí pom a meod 9 můžeme chí předpovědě, aá ude hodoa mužsého svěového reordu v ěhu a edu míli v roce, a o z časové řad hisoricých hodo ohoo reordu, de oamžiem pozorováí e vžd daum vvořeí reordu (viz. ods. 7.). Na závěr uveďme ede přílad ilusruící, že hraice mezi pravidelými a epravidelými časovými řadami emusí ý vžd a osrá. Uvažume řadu deích uzavíracích ce vraého aciového iulu a urze ceých papírů, de se vša ochodue e ve všedí d. Vzilá časová řada vpadá ao picá řada s chěícími pozorováími (víed a svá), ovšem o chěící hodo el ai id realizová. Oáza zí, co e z hledisa vývoe ce acie důležiěší. Zda fa, že páe a podělí sou od see vzdále 7 hodi, eo že de o dva po soě doucí ochodí d seě ao řea úerý a sředa.. Deompozičí a reureí meod pro časové řad Deompozice e edou ze záladích a široce rozšířeých meod pro modelováí, vrováváí a předpovídáí časových řad. Jde o pricip velice oecý, pod ehož hlaviču lze zařadi velé možsví celých říd meod. Záladí mšleou e daou časovou řadu rozloži a ěoli slože s charaerisicými vlasosmi a dále ohoo rozladu vuží při řešeí edolivých praicých úloh aalýz časových řad. Měme časovou řadu,, K, a uvažume rozlad eích hodo I ε. (..) Zde e hodoa redu, I hodoa sezóí slož a (epravidelé) slož časové řad v čase. red, ε hodoa áhodé,, K, měl vazova určiou míru hladosi (v porováí s origiálí řadou) a aseci periodici. Sezóí složa I,,, K, měla vazova periodiciu s pevou periodou p a měla ý cerováa olem. Náhodá složa ε,,, K, ideálě měla voři ílý šum. red a sezóí složu azýváme ssemaicými složami. Exisue velé možsví modifiací, rozšířeí či zedodušeí ohoo záladího schémau. Míso adiiví deompozice (..) lze uvažova mulipliaiví deompozici I ε, (..) de slož I a ε sou cerová olem. Zlogarimováím (..) zísáme adiiví rozlad řad log. Jié deompozice v soě omiuí vlasosi oou uvedeých. Deompozičí schémaa se mohou liši i počem a charaerem slože, a eré e řada rozládáa. a pro esezóí časové řad ude rozlad posráda sezóí složu I. Jié časové řad mohou aopa vazova více růzých periodici, příladem uď deí a ýdeí periodicia spoře elericé eergie, viz. alor (3). Něd se uvažue zv. clicá složa C, erá vadřue clicé olísáí řad olem eího
Záladí pom a meod dlouhodoého redu. Na rozdíl od sezóí slož emá vša oo olísáí periodu pevé dél. Jao přílad vezměme olísáí HDP v rámci eoomicého clu. Koréí deompozičí meod se liší aé ím, aým způsoem e rozlad řad a edolivé slož praic provede. Jed se saží v časové řadě ideifiova red a sezóí složu ve varu eměém v průěhu času. Sem paří především použií regrese alezeí redu v podoě růzých maemaicých řive a sezóí slož vořeé goiomericými fucemi času eo sezóími idex. Paramer regresích modelů sou u odhadová ao osaí v rámci celé časové řad. zv. adapiví meod aopa připoušěí, že var redu a sezóí slož se mohou v průěhu času měi. Odhad příslušých paramerů sou provádě loálě, hovoříme o loálím redu. Mezi adapiví meod paří erůzěší způso zv. vrováváí časových řad, mezi ezáměší paří růzé p louzavých průměrů. Jeich speciálím případem e i edoduché expoeciálí vrováváí, a ehož záladě e vviua celá šála adapivích meod pro růzé p redů a sezóosí. Zoecěí ěcho meod a epravidelé časové řad sou émaem éo práce. Předpovídáí ezámých udoucích hodo časové řad pomocí deompozičí meod proíhá ásleduícím způsoem: eprve e provedea samoá deompozice řad a ásledě sou ao zísaé ssemaicé slož vhodým způsoem exrapolová do udoucosi pro zísáí příslušých odových předpovědí. Z epřeerého možsví vrovávacích a předpovědích meod pro časové řad se v praxi ěší velé oliě především zv. reureí meod. Jeich výhodou e sadá sofwarová implemeace a ásledá výpočeí eáročos. Předpoládeme, že sme iž pozorovali hodo,, K, a v rámci algorimu meod sme z ich apočíali hodo saisi S, K,. Samoé hodo,, K, iž v uo chvíli v paměi S uě euchováváme. Číslo e přiom relaivě malé (může ý i ) a především pevé pro daou meodu (speciálě ezávisí a poču pozorováí ). Vrovaou hodou v čase zísáme ao fuci saisi S : ( S, S ) ˆ Y K,. (..3) Bodovou předpověď z času o h časových edoe vpřed pa odoě ao ( ) F( S, K, S h) ˆ h ;. (..4) Jamile pozorueme ovou hodou, provedeme přepoče hodo ašich saisi pomocí reureího vzorce ( S,, S ) S( S, K, S ; ) K, (..5) de S e ěaá pevá -složová veorová fuce. Samoou hodou můžeme poé zapomeou a celý posup se opaue. V případě, že chom pracovali s epravidelou časovou řadou, a romě ového pozorováí vsoupí do vzahu (..5) ešě hodoa časového rou. Fuce Y, F a S, eré určuí daou reureí meodu, sou časo velice edoduché a ázoré.
Záladí pom a meod Pro praicé použií reureí meod e ué eprve ěaým způsoem zísa počáečí hodo S, S, K. se určí věšiou z ěolia prvích pozorováí řad, erá iž máme dispozici. Pro daou reureí meodu zpravidla exisue více aleraivích způsoů výpoču počáečích hodo S, S, K. Velmi oecou reureí meodou e apř. zv. Kalmaův filr použiý a časovou řadu modelovaou zv. damicým lieárím modelem, viz. Brocwell a Davis (), ap. 8. Parě ve všech ohledech erozšířeěšími reureími meodami pro časové řad sou meod pu expoeciálího vrováváí, eichž zoecěím pro epravidelé časové řad e věováa ao práce..3 Expoeciálí vrováváí Meod des souhrě azývaé ao expoeciálí vrováváí l vviu a oci 5. le předpovídáí udoucích oemů prodeů zoží za účelem opimálího řízeí eich výro a sladováí. Mšleu použí ocepu expoeciálího vážeí odhadu ee úrově časové řad, ale i eího redu a sezóí slož, což pa umoží předpovída eí udoucí hodo, pulioval ao prví Američa Charles C. Hol v roce 957 ve svém memoradu pro Office of Naval Research. Výsledé předpovědí meod včeě doového apliačího oexu lze aléz v čláu Wiers (96). Jeich eedodušší variaou e zv. edoduché expoeciálí vrováváí vhodé pro esezóí řad s loálě osaím redem. Holova meoda e vhodá pro esezóí časové řad s loálě lieárím redem, Hol-Wiersova meoda avíc připouší adiiví eo mulipliaiví sezóos. V průěhu le se oevil další odvozeé varia ao apř. Holova meoda s expoeciálím či zv. lumeým lieárím redem. Podroý přehled lze aléz v čláu Garder (985). Přes velou růzorodos maí všech varia expoeciálího vrováváí důležié společé rs. Předě sou založe a seé záladí mšlece, erou e vážeí s vahami expoeciálě lesaícími směrem do miulosi. Odud pa prameí dvě v praxi ceěé vlasosi expoeciálího vrováváí: eho reureí a adapiví charaer. Záladí mšleu i uvedeé vlasosi expoeciálího vrováváí si udeme ilusrova a edoduchém expoeciálím vrováváí, eré e záladem všech dalších varia. Deme omu, že sme iž pozorovali hodo,, K, časové řad a aším úolem e sesroi předpověď ( ) ˆ ezámé udoucí hodo (z času ). Exisuí dva velmi edoduché způso osruce éo předpovědi. Prví z ich e vzí ao předpověď ezámé udoucí hodo arimeicý průměr všech doposud pozorovaých hodo dočé časové řad, ed ˆ ( ) ( K ). (.3.)
Záladí pom a meod ao předpověď e vhodá, poud hodo řad áhodě olísaí olem isé úrově, erá se v čase eměí (model osaí úrově). Druhou možosí e vzí za předpověď ezámé hodo předcházeící pozorovaou hodou, ed ˆ ( ). (.3.) ao předpověď e aopa vhodá, poud hodo řad vziaí áhodým odchýleím se od předcházeící hodo (model áhodé procház). V oou případech předpovídáme hodou pomocí vrovaé hodo ŷ, erá předsavue odhad úrově řad v čase. Přiom ŷ e vážeým průměrem pozorovaých hodo,,, K, de v prvím případě sou váh rovoměré, ve druhém ocerovaé a eauálěší pozorováí. Pro model osaí úrově zísáme sado reureí formuli a pro model áhodé procház podoě ˆ ˆ (.3.3) ˆ ( ) ˆ. (.3.4) Nová vrovaá hodoa ed vziá ao ovexí lieárí omiace předchozí vrovaé hodo váha sousředěa a hodou ˆ ŷ a aposled pozorovaé hodo sousředěa a eověší pozorováí. Ozačíme-li chu předpovědi ˆ ( ) ao e, ed. V prvím případě e ŷ (předpoládáme-li >> ), ve druhém e celá váha e ˆ ( ) ˆ, (.3.5) můžeme rovosi (.3.3) a (.3.4) přepsa a zv. chový var : pro model osaí úrově a ˆ ˆ e (.3.6) ˆ ˆ e (.3.7) pro model áhodé procház. Oě předpovědí meod se ed liší ím, do aé mír asorue ová vrovaá hodoa ˆ posledí zazameaou předpovědí chu e. Zaímco v prvím případě e ao cha považováa pouze za důslede áhodé odchl od současé úrově řad a ao aová eí éměř asorováa, ve druhém
Záladí pom a meod 3 případě e předpovědí cha ráa ao příza změ úrově řad a ao aová e asorováa v plé míře. Ja lo řečeo, oě popsaé předpovědí meod sou vhodé pouze pro velmi úzce defiovaé říd časových řad, eré se v praxi vsuí zřída. Mohem realisičěší předpovědí meodu ale můžeme zísa ao eich ompromis. Vrovaou hodou ŷ udeme opě počía ao vážeý průměr pozorovaých hodo,, K, váh ale eorá zvolíme expoeciálě lesaící směrem, do miulosi s disoím faorem (, ). ed ˆ K K. (.3.8) o váh sou rozumým ompromisem mezi rovoměrým rozložeím vah a vahou sousředěou e a posledí pozorováí. Navíc dí eich speciálímu varu e sále možé počía vrovaé hodo řad reureě. Formule odoá ěm v (.3.3) a (.3.4) má í var ( ) α ˆ ˆ de sme ozačili α. Jeí příslušý chový var e α, (.3.9) ˆ ˆ e α. (.3.) Pro >> plaí α a ozačíme-li α, můžeme vzah (.3.9) a (.3.) psá přiližě ao Volou zv. vrovávací osa ( α ) α, (.3.) α e. (.3.) ˆ ˆ ˆ ˆ α určíme rozložeí vah v příslušé ovexí lieárí omiaci. Předpovědí cha e e chápáa z čási ao důslede áhodé odchl od současé úrově řad a z čási ao příza změ úrově řad. α, určue míru eí asorpce. Paramer ( ) Zísali sme ed celou šálu adapivích reureích předpovědích meod. pro α se lížíme modelu osaí úrově, pro α aopa modelu áhodé procház. Záladími vzorci edoduchého expoeciálího vrováváí sou ed předpovědí formule ˆ ( ) ˆ a reureí formule (.3.), eíž var e charaerisicý pro všech meod expoeciálího vrováváí.
3 Jedoduché expoeciálí vrováváí 4 3 Jedoduché expoeciálí vrováváí ao apiola ude věováa edoduchému expoeciálímu vrováváí a eho zoecěím pro epravidelé časové řad. V odsavci 3. ude eprve prezeováa lasicá verze éo meod pro pravidelé časové řad a eí spoios s modelem ARIMA(,, ). V odsavci 3. ude uvedeo Wrighovo zoecěí edoduchého expoeciálího vrováváí pro případ časových řad s epravidelě pozorovaými hodoami. V odsavci 3.3 odvodíme aleraiví meodu vcházeící z oho, že zoumaá časová řada e epravidelě pozorovaý ARIMA(,, ) proces. 3. Jedoduché expoeciálí vrováváí pro pravidelé časové řad Jedoduché expoeciálí vrováváí e eedodušší a ezáměší meodou expoeciálího vrováváí. Vhodé e pro použií a esezóí časové řad ez zřeelého rosoucího eo lesaícího redu. Něd říáme, že řada měla mí loálě osaí red. Při použií a časovou řadu, erá emá výše popsaé vlasosi, lze očeáva velmi špaé výsled. Pro řad s redem či sezóosí sou urče složiěší meod expoeciálího vrováváí (viz. ap. 4 a 5). Mšlea edoduchého expoeciálího vrováváí la iž asíěa v odsavci.3. Pracueme-li s časovou řadou K, můžeme záladí vzorce meod zapsa ao: Paramer (, ) S K,, ( α ) S α, (3..) ˆ S, (3..) ˆ τ ( ) S, τ >. (3..3) α e zv. vrovávací osaa, hodoě S říáme (edoduchá) vrovávací saisia. Bodová předpověď z času e rova S ezávisle a horizou předpovědi τ >, ed o předpovědi voří horizoálí přímu. Vzorec (3..) lze zapsa v eho chovém varu ao de e S α, (3..4) S e S e cha edoroové předpovědi z času. Pro praicé použií meod a řadu,, K,, K e ué ěa zvoli počáečí hodou S, erá e ezá asarováí reureího výpoču podle vzorce (3..). S se časo volí edoduše rovo eo průměru ěolia prvích
3 Jedoduché expoeciálí vrováváí 5 pozorováí řad. Za elepší volu e ale považováa zv. zpěá předpověď, d se S ere ao vrovaá hodoa v čase zísaá použiím seé předpovědí meod a časově převráceou řadu, viz. Garder (985). omuo posupu víceméě odpovídá vola S ve varu vážeého průměru ěolia prvích čleů řad, de váh lesaí směrem do udoucosi s disoím faorem α. Hodoa vrovávací osa α (, ) se volí uď experě eo miimalizací isého riéria vadřuícího epřesos prováděých předpovědí v ěaém úseu řad. ao miimalizace přes α (, ) se provádí ěaým umericým algorimem, erý vžadue včísli dočé předpovědi v řadě pro věší možsví růzých hodo α. Jiý způso vol parameru α ude popsá a oci ohoo odsavce. Volě paramerů předpovědích meod e věováa odsavec 6. a čásečě i odsavce 6. a 6.4. Jedoduché expoeciálí vrováváí e picá ad hoc meoda, erá eí expliciě založea a ěaém pravděpodoosím modelu pro zoumaou řadu. Zdálivé ospravedlěí může posou ásleduící suečos, viz. Chafield (), sr. 96: Uvažume časovou řadu K,, s eoečou miulosí a eí model µ ε, K,,, (3..5) de µ e ezámý paramer a ε e áhodá složa. Odhadem parameru µ meodou DLS (discoued leas squares) s disoím faorem α, ed řešeím úloh arg mi µ µ ( ), (3..6) e hodoa S ( ), erá vhovue reureí formuli (3..). Jedoduché expoeciálí vrováváí použié a časovou řadu s oečou miulosí e ed aproximací odhadu úrově µ meodou DLS. o ovšem ezameá, že chom sad suečě věřili v plaos modelu (3..5) eo že chom měli ěaý asý důvod, proč odhadu parameru µ použí zrova meodu DLS. Jedoduché expoeciálí vrováváí ed pro uo chvíli sále zůsává ad hoc meodou. Důsledem oho, že edoduché expoeciálí vrováváí emusí ý založeo a žádém pravděpodoosím modelu, e aé fa, že emáme žádé vodío pro určeí rozplů předpovědích ch a ed ai pro určeí mezí předpovědích iervalů. Řešeím může ý vužií vzahu edoduchého expoeciálího vrováváí modelu ARIMA(,, ), erý ude osvěle a ásleduících řádcích. Uvažume prví difereci řad. S vužiím vzahu (3..4) a defiice předpovědí ch e zísáme sado ( S e ) ( S e ) e ( α ) e. (3..7)
3 Jedoduché expoeciálí vrováváí 6 Rozumou maemaicou formulací oho, že meoda edoduchého expoeciálího vrováváí s vrovávací osaou α e vhodá pro řadu, e poláda áhodé veliči { Z} e, za ílý šum s rozplem σ >. ed předpoláda, že plaí E ( ), var ( ) σ a cov ( e, ) pro všecha m. e e e m Vzah (3..7) pa zameá, že řada {, Z} se řídí modelem MA() geerovaým ílým šumem { e, Z}, ed původí řada {, Z} se řídí modelem ARIMA(,, ). Lze aopa sado uáza, že pro řadu řídící se modelem ARIMA(,, ) e edoduché expoeciálí vrováváí opimálí předpovědí meodou z hledisa miimalizace sředí čvercové ch edoroové předpovědi, viz. apř. Chafield (), sr. 9. Při použií edoduchého expoeciálího vrováváí a časovou řadu se ed eví ao rozumé považova i za realizaci pravděpodoosího modelu ARIMA(,, ). eo předpolad ám pa umoží odvodi přesé předpovědí rozpl pro liovolý ro procesu { Z} τ,, K a při vsloveí předpoladu o pu rozděleí e, i přesé meze předpovědích iervalů s daou spolehlivosí θ. Uvažume předpověď o,, K τ roů vpřed τ ( ) S předpovědi (zaím ezávisle a předpoladu o ARIMA procesu) plaí e τ ˆ. Pro chu éo ( ) τ ˆ τ( ) τ S ( S α e αe K α e τ e τ) S (3..8) α( e e K e ) e. τ Ní iž s vužiím předpoladu o ovariačí sruuře procesu { e, Z} dosaeme var[ e ( ) ] var[ α ( e e K e ) e ] σ α ( ). (3..9) τ [ ] τ τ τ τ Pro τ e eo rozpl přirozeě rove σ, oecě e pa přímo úměrý omuo parameru. Dále dle očeáváí var [ ( ) ] rose (a o lieárě) s rosoucím horizoem e τ předpovědi τ. aé věší hodoa parameru α, erá zameá rchleší změ úrově řad, se proevue věšími předpovědími rozpl. Poud udeme avíc předpoláda, že e ~ N(, σ ), pa ( [ ]) e ( ) ~ N, σ α ( ) (3..) τ τ a příslušý předpovědí ierval se spolehlivosí θ má meze S ± u θ σ α ( τ ), (3..) de u θ e ( θ )-vail sadardího ormálího rozděleí N (, ). Všech zde prováděé úvah vcházeí z oho, že záme suečé hodo paramerů α a σ. V praxi e samozřemě pouze odhadueme z pozorovaých hodo řad. Vrovávací osau α určíme apř. miimalizací sředí čvercové ch
3 Jedoduché expoeciálí vrováváí 7 MSE (3..) e (mea square error) a paramer výěrovým rozplem edoroových předpovědích ch. Aleraivím přísupem e odhadou paramer σ odhademe zde dosažeým miimem, ed α a záladě výěrové auoorelace řad {, Z}, což odpovídá zv. momeovému odhadu parameru v modelu MA() éo řad, viz. Prášová (4), sr. 43-45. Plaí a poud uvažueme α (, ), pa ρ (, ) α ρ cor(, ) (3..3) ( α ). Můžeme aopa vádři 4ρ α. (3..4) ρ Odhad αˆ zísáme dosazeím výěrové orelace r a míso eoreicé hodo ρ : 4r ˆ α. (3..5) r Hodoa αˆ e rosoucí fucí r, pro r e α a aopa pro r e α. Hodoa r mimo ierval (, ) začí evhodos použií edoduchého expoeciálího vrováváí a daou časovou řadu. Odhad αˆ e pochopielě ím přesěší, čím přesěší e odhad r a ed čím více pozorováí řad máme dispozici. Doporučue se přiom alespoň 5 pozorováí, viz. Prášová (4), sr. 9. Odhad αˆ se vša oecě echová doře pro α lízá, eliož fuce ˆ α ( r ) má pro r (a ed ˆ α ) derivaci lížící se a hodoa αˆ v lízosi a velmi silě reague i a eparé změ hodo r. Hodou odhadu αˆ lze použí a přímo, a ao počáečí hodou pro umericý algorimus hledaící opimálí hodou α. 3. Wrighova modifiace pro epravidelé řad V omo odsavci ude prezeováo edoduché expoeciálí vrováváí pro epravidelě pozorovaé časové řad, viz. Wrigh (986). Jde o přímočaré ad hoc zoecěí seé meod pro pravidelé časové řad. V případě pravidelé časové řad s eoečou miulosí e vrovávací saisia S rova expoeciálě vážeému průměru hodo řad pozorovaých do času :
3 Jedoduché expoeciálí vrováváí 8 S ( ), (3..) de (, ) e použiý disoí faor. Úplě seým způsoem můžeme posupova i v případě časové řad K,,, K pozorovaé v epravidelých časových oamžicích K < < < < K. Ve vzorci (3..) edoduše zohledíme epravidelou časovou sruuru řad a položíme S. (3..) Předpoládáme přiom, že posloupos K < < < < K má aovou podou, že všech příslušé eoečé řad overguí. Ozačíme-li α, (3..3) můžeme psá S α. Jedoduchými úpravami dosaeme S α α, (3..4) S α α α α α. (3..5) Odud můžeme (3..4) přepsa ao případě v chovém varu ao S ( α ) S α, (3..6) S S α e. (3..7) oo sou reureí formule odoé ěm ve (3..) a (3..4). Pouze míso pevé vrovávací osa α se zde vsue hodoa α, erá e přepočíáváa reureím vzahem (3..5). Seě ao v pravidelém případě udeme rá ˆ S a ˆ τ ( ) S, de τ > může í aýva i eceločíselých hodo. Narozdíl od edoduchého expoeciálího vrováváí pro pravidelé časové řad ed musíme romě vrovávací saisi S přepočíáva ešě proměý vrovávací oeficie α. Jeho výzam ve vzorcích (3..6) a (3..7) e zřemý a seý ao v pravidelém případě. Podíveme se podroěi a reureí
3 Jedoduché expoeciálí vrováváí 9 vzorec (3..5), podle erého e počíá. Rosoucí závislos α a časovém rou zameá, že e-li auálí vrovaá hodoa S iž začě dále v miulosi od ového pozorováí, e věší váha ladea a ově pozorovaou hodou. Nová hodoa vrovávacího oeficieu α závisí rosoucím způsoem ešě a miulé hodoě α, erá v soě osahue iformaci o časové sruuře řad od času do miulosi. Máme-li dispozici pozorováí řad počíae časem a chceme-li asarova reureí výpoč podle vzorců (3..5) a (3..6) pro,,, K, musíme eprve urči počáečí hodo, S a α. Hodou S se opě doporučue voli ao průměr ěolia prvích pozorováí řad, případě pomocí meod zpěé předpovědi. Dále vezměme q, de q > e sředí časová vzdáleos mezi dvěma sousedími pozorováími řad. Hodou α doporučue Wrigh vzí rovu q ( α) q. o odpovídá předpoladu, že fiiví pozorováí řad od času do miulosi sou pozorováa s pevým časovým rozesupem q. ed q Hodoa α vhovue rovici α q q. (3..8) a a q a s ezámou a, ed de o pevý od reurece (3..5) s q. Je sadé ověři, že Wrighovo edoduché expoeciálí vrováváí e při použií a pravidelou časovou řadu oožé s lasicým edoduchým expoeciálím vrováváí. Poud de o předpovědí rozpl Wrighov meod, emůžeme se iž přímo opří o příslušý ARIMA(,, ) proces ao v případě pravidelé časové řad. Je vša možé přimou ao odvozeé předpovědí rozpl, ed předpoláda opě [ ] var[ e ( )] σ α ( ) (3..9) τ τ pro τ (, ), de σ > e paramer určuící chový rozpl předpovědi o ede ro vpřed. Je důležié si všimou, že var [ e τ ( )] počíaý podle vzorce (3..9) e ladý i pro τ (, ). Nevýhodou vzorce (3..9) e, že ezohledňue časovou sruuru řad do času, vádřeou apřílad hodoou α. Jao rozumé se evilo předpoláda, že předpovědí rozpl var [ τ ( )] rose s rosoucí hodoou α, erá začí věší e časové rozesup mezi pozorováími řad v odoí před časem. Jedou z možých modifiací vzorce (3..9) v omo směru e apřílad
3 Jedoduché expoeciálí vrováváí [ ] var[ e ( )] σ α ( τ ) ( α )( α α ) τ, (3..) de x max( x, ) e ladá čás čísla x. Vzorec (3..) splývá se vzorcem (3..9) pro α α, pro α α e var [ e τ ( )] lieárě rosoucí fucí α. 3.3 Nepravidelě pozorovaý ARIMA(,, ) proces V omo odsavci odvodíme aleraiví meodu Wrighovu edoduchému expoeciálímu vrováváí pro epravidelé časové řad. Ja lo řečeo v odsavci.3, edoduché expoeciálí vrováváí e opimálí předpovědí meodou pro časové řad řídící se modelem ARIMA(,, ). Vdeme ed z oho, že zoumaá epravidelá časová řada e epravidelě pozorovaým ARIMA(,, ) procesem a a záladě ohoo předpoladu pro i odvodíme opimálí předpovědí meodu. Přesože ao meoda ude a odvozea pouze pro časové řad s chěícími pozorováími, půde i v praxi použí a liovolou epravidelou časovou řadu., Z e časová řada řídící se modelem ARIMA(,, ). Řada eích Nechť { } prvích diferecí { Z} apřílad ao, se ed řídí modelem MA(), což můžeme zapsa de { e, Z} e ílý šum s rozplem > Položíme-li pro Z e ( α ) e, (3.3.) σ. Předpoládeme, že (, ) α. S ( α ) e, (3.3.) můžeme model řad { Z}, zapsa ao S S e, (3.3.3) ( α ) S α. (3.3.4) Z ohoo zápisu e pará souvislos modelu řad {, Z} s edoduchým expoeciálím vrováváím s vrovávací osaou α. Uvažume í rosoucí posloupos {, Z} předsavuící časovou mřížu, a íž pozorueme hodo řad {, Z}. Pozorueme ed pouze hodo, Z, zaímco hodo pro {, Z} sou pro ás epozorovaelé. Zaíma se udeme o ao vzilou časovou řadu { Z}, s chěícími pozorováími. Koréě pro i udeme hleda opimálí předpovědí meodu z hledisa miimalizace rozplu předpovědí ch.
3 Jedoduché expoeciálí vrováváí Nechť sme iž pozorovali hodo pro a a eich záladě zísali áhodou veličiu S ~ předsavuící předpověď ezámé hodo S. Je realisicé ~ předpoláda, že áhodá veličia S má oečý rozpl a e eorelovaá s áhodými veličiami e pro >. Seé vlasosi pa podle (3.3.) ude mí ~ i áhodá veličia S S. Ozačme ~ ( S S ) σ < Hledeme í předpověď hodo S ve varu de v var. (3.3.5) ~ ~ S ( a) S a, (3.3.6) e ově pozorovaá hodoa řad. Paramer a R udeme voli s cílem miimalizova rozpl ~ ( S ) v Ze vzorců (3.3.) a (3.3.) sado odvodíme vzah a odud dosazeím do (3.3.6) dosaeme ~ S S var S σ. (3.3.7) α ( e e K e e ) (3.3.8) S ~ ( a) S a [ S α ( e e K e ) e ]. (3.3.9) Odečeím rovosí (3.3.8) a (3.3.9) održíme S ~ ~ ( a)( S S ) ( a)( e e e ) ( α a) e S Z eorelovaosi áhodých veliči α K. (3.3.) ~ S S a e, > dosáváme ~ ( S S ) [( a) v α ( a)( ) ( ) ] var Řešíme ed úlohu σ. (3.3.) α a mi {( a) v ( )( ) ( ) α a α a }. (3.3.) a R Jde o miimalizaci ovexí vadraicé fuce proměé a, od miima â ed alezeme velice sado, oréě v aˆ v Dosažeé miimum má přiom hodou α ( ) α. (3.3.3) α ( )
3 Jedoduché expoeciálí vrováváí v ~ ( S S ) var σ [ ] ( ) ( aˆ) v α ( ) ˆ a α Všiměme si, že plaí ˆ (, ) a a vzorec. (3.3.4) ~ ~ S ( ˆ) ˆ a S a (3.3.5) ~ ed počíá předpověď S ao ovexí lieárí omiaci sávaící předpovědi S ~ a ově pozorovaé hodo. Ze vzorce (3.3.3) ple, že â e rosoucí fucí aší iuiiví předsavě. Velá hodoa suečé hodo pozorováí v zameá, že v, α i S ~, což odpovídá eí valií předpovědí S, a a e ve vzahu (3.3.5) věší váha ladea a ové zameá, že hodoa S, eíž e. Podoě věší časový ro S ~ předpovědí, e iž dále v miulosi od ového pozorováí. Paramer α pa předsavue vrovávací osau při použií edoduchého expoeciálího vrováváí a řadu {, Z}, eho vzah â udíž aé epřevapí. Pro α, či v e a ˆ. Je-li v a, což odpovídá pravidelé časové řadě { Z}, s, pa â α. Odvozeá meoda se sládá ze vzorce (3.3.3) pro výpoče opimálího vrovávacího oeficieu â v daém rou, reureího vzorce (3.3.5) pro aualizaci vrovaé hodo S ~ a reureího vzorce (3.3.4) pro aualizaci rozplového faoru v. Předpovědí z času o τ > časových edoe vpřed udoucí ~ ezámé hodo τ e vrovaá hodoa ˆ S podoě ao u edoduchého ~ expoeciálího vrováváí. Pro rozpl ch e τ ( ) τ S éo předpovědi plaí [ τ τ ] [ v α ( τ ) ]. ~ var[ e ( )] var S S α ( e e K e ) e τ σ vzhledem eorelovaosi veliči ~ S S a e pro > (3.3.6). Je vidě, že eo rozpl e miimálí právě ehd, dž e miimálí hodoa v. ed odvozeá hodoa â e opimálí vrovávací osaou i z hledisa miimalizace předpovědí ch. ~ ~ N, σ S S ~ N, σ v, pa Poud udeme předpoláda, že e ( ) a ( ) ( [ ]) e ( ) ~ N, σ α ( ) (3.3.7) τ v τ a příslušý předpovědí ierval se spolehlivosí ~ θ má meze S ± u θ σ v α ( τ ). (3.3.8)
3 Jedoduché expoeciálí vrováváí 3 ~ Všiměme si, že amile e áhodá veličia S S eorelovaá s veličiami e pro >, pa iž vzhledem e vzorci (3.3.) a eorelovaosi { e, Z} plaí seý fa i pro aždé e ~ N, σ, pa podoě z ormali áhodé ~ ~ veliči S S iž ple ormalia S m Sm pro všecha m. m. Poud e ( ) Máme-li dispozici pozorováí řad počíae časem a chceme-li asarova reureí výpoč podle vzorců (3.3.3) až (3.3.5) pro,,, K, musíme eprve ~ urči počáečí hodo, S a v. Seě ao Wrigh ozačme ao q průměrý časový rozesup mezi sousedími pozorováími řad { Z}, a položme q. ~ Hodou S určíme opě ao vážeý průměr ěolia prvích pozorováí řad, erá máme dispozici, s ím, že váh udou lesa do udoucosi s disoím faorem α. Hodou v zvolíme ao pevý od reurece (3.3.4) pro q, ed ao složu v řešeí sousav rovic v α ( q ) α a, v α ( q ) [ ] ( α a). v ( a) v α ( q ) (3.3.9) s ezámými v a a. Po formálích algeraicých úpravách ao zísáme de hodoa (,) ( a~ ) ( q ) ( a~ v ) a~ α α a~ ( a ~ ) a ~ e určea vzorcem, (3.3.) 4 ~ α q α q 4 ( α) α q a. (3.3.) ( α ) Výše odvozeá meoda pro vrováváí a předpovídáí v časových řadách s chěícími pozorováími má podoý charaer ao Wrighovo edoduché expoeciálí vrováváí. I zde e pomocí reureí formule picého varu, viz. vzorec (3.3.5), přepočíáváa vrovaá hodoa řad. Přiom vrovávací oeficie â se měí ro od rou a za ímo účelem e ué reureě přepočíáva vedle vrovaé hodo S ~ ešě saisiu v. Přeso, že ao meoda la odvozea pouze pro časové řad s chěícími pozorováími, lze í v praxi seě a doře použí a aouoli časovou řadu s epravidelě pozorovaými hodoami. Fa, že v omo případě iž časový ro eude oecě přirozeé číslo, ia ezemožňue použií vzorců (3.3.3) až (3.3.5).
4 Holova meoda 4 4 Holova meoda ao apiola ude věováa Holově meodě a eímu zoecěí pro epravidelé časové řad. V odsavci 4. ude eprve prezeováa lasicá verze éo meod pro pravidelé časové řad a eí vzah modelu ARIMA(,, ). Odud udou odvoze předpovědí rozpl a předpovědí ierval pro uo meodu. Zmíěa ude éž Holova meoda s expoeciálím redem a Holova meoda s lumeým lieárím redem. V odsavci 4. ude popsáo Wrighovo zoecěí Holov meod pro epravidelé časové řad, včeě aalogicých zoecěí Holov meod s expoeciálím a lumeým lieárím redem. Odsavec 4.3 ude věováa Hol-Wiersově meodě a eímu zoecěí pro časové řad s chěícími pozorováími. 4. Holova meoda pro pravidelé časové řad Holova meoda e další velice zámou a používaou variaou expoeciálího vrováváí. Vhodá e pro apliaci a esezóí časové řad s loálě lieárím redem. V praxi lze Holovu meodu eo ěerou eí modifiaci úspěšě použí a věšiu esezóích časových řad. Při použií a sezóí časovou řadu elze vša očeáva doré výsled, eliož eude rá zřeel a příomos sezóosi. Pro sezóí časové řad e určea Hol-Wiersova meoda, viz. odsavec 4.3. Holova meoda používá reureí formule vcházeící z mšle edoduchého expoeciálího vrováváí odhadu ee úrově, ale i směrice redu zoumaé časové řad. Jeí vzorce sou sále velice ázoré a výpočeě eáročé. Vcházíme z oho, že zoumaá časová řada K,, K vazue lieárí, red, ehož směrice se ale může v čase pozvola měi. Sav časové řad v daém oamžiu e a charaerizová eda eí úroví S a aé směricí redu. Úroveň S předsavue vrovaou hodou řad v čase, ed ˆ S. (4..) Směrice redu udává auálí směrici lieárího redu řad v čase, ed očeávaou změu eí úrově vzažeou edé časové edoce. Předpověď o τ > časových edoe vpřed udoucí ezámé hodo τ z času má a ásleduící iuiiví var: ( ) S ˆ. (4..) τ τ
4 Holova meoda 5 Bodové předpovědi z času pro růzé předpovědí horizo τ > ed voří přímu procházeící vrovaou hodoou ˆ S a maící za směrici hodou směrice redu řad v čase. Jádrem Holov meod sou reureí formule, pomocí ichž ze sávaících hodo S a a ově pozorovaé hodo zísáme úroveň S a směrici redu řad v ásleduícím čase. Naší předpovědí hodo z času e výraz S, a ple ze vzorce (4..) pro τ. ed e přirozeé očeáva S S. Na druhou srau a úroveň a směrice redu řad se může v čase měi, sigálem éo změ pro ás může ý pozorovaá hodoa. Jeliož éž S, eví se rozumým voli hodou S ao ovexí lieárí omiaci hodo S a. Zvolme ed pevě číslo α (, ) a položme S ( α )( S ) α. (4..3) Hodoa α e vrovávací osaa pro úroveň. Vzorec (4..3) e odoou vzorce (3..) z edoduchého expoeciálího vrováváí. Rozdíl e pouze v iém varu ˆ, erá e zde omiováa s ově pozorovaou hodoou. předpovědi ( ) aé vzorec (4..3) lze přepsa do eho chového varu S α, (4..4) S e de e ( ) e cha edoroové předpovědi. ˆ Podoou úvahou dodeme i e vzorci pro aualizaci směrice redu řad. O é předpoládáme, že má loálě lieárí red, lze ed očeáva. aéž vša má smsl očeáva S S. Zvolme ed pevě číslo γ (, ) a položme ( γ ) γ ( S S ). (4..5) Hodoa γ e vrovávací osaa pro směrici redu, přiom může ý oecě γ α. I vzorec (4..5) lze přepsa do eho chového varu: γα. (4..6) e Vzorce (4..3) a (4..5) sou podsaou Holov meod. Chové var (4..4) a (4..6) reureích vzorců (4..3) a (4..5) sou opě velice ázoré. Paramer α (, ) udává, a moc e předpovědí cha e zahrua do ové hodo úrově S. Hodoa γα pa udává, do aé mír e cha e zahrua do ové hodo směrice redu. Jia řečeo, volou hodo paramerů α a γ se řídí rozložeí vah ve vzorcích (4..3) a (4..5) mezi sávaící hodou (či předpověď ze sávaících hodo) a hodou založeou a ovém pozorováí. Vola vrovávacích osa α, γ (, ) se v praxi provádí seě ao vola α (, ) u edoduchého expoeciálího vrováváí, ed uď experě eo
4 Holova meoda 6 miimalizací apř. MSE přes isý úse zoumaé časové řad. Numericá miimalizaci MSE či iého riéria e zde pochopielě výpočeě áročěší, proože proíhá a celém edoovém čverci (, ) (, ). Pro praicé použií meod a řadu,, K,, K e ué ěa zvoli počáečí hodo S a, eré sou ezé asarováí reureího výpoču podle vzorců (4..3) a (4..5). Needodušší a v praxi časo používaou volou e Jiou možosí e vzí a a v modelu, (4..7) S. (4..8) aˆ a S ˆ, de â a ˆ sou regresí odhad paramerů a pro ěoli prvích pozorováí řad. Ovle se zde používaí lasicé OLS (ordiar leas squares) odhad. Mšlece zpěé předpovědi vša lépe odpovídá použií časově iverovaých DLS odhadů, de váh lesaí směrem do udoucosi s disoím faorem α γ. Odůvoděí vol disoího faoru spočívá ve vzahu Holov meod dvoiému expoeciálímu vrováváí, viz. vzorec (5..4) v odsavci 5.. Holova meoda e picou ad hoc vrovávací a předpovědí meodou. Hlaví ospravedlěí prameí z eího úspěšého fugováí v praxi. Při velice ázoré a výpočeě eáročé podoě maí zísaé předpovědi uspooivou přesos. Podoě ao u edoduchého expoeciálího vrováváí l až dodaečě dohledá pravděpodoosí model časových řad, pro ěž e Holova meoda opimálí předpovědí meodou. V ásleduících odsavcích uážeme souvislos Holov meod s modelem ARIMA(,, ) a a záladě éo souvislosi odvodíme pro Holovu meodu rozpl předpovědích ch a meze předpovědích iervalů. Podoě ao v případě edoduchého expoeciálího vrováváí udeme předpoláda, že edoroové předpovědí ch { e, Z} Holov meod, defiovaé ao e ˆ ( ), voří ílý šum s rozplem σ >. Vdeme ze vzorců S α, (4..9) γα, (4..) (4..) S e e S e a uážeme, že řada {, Z} se řídí modelem ARIMA(,, ), ed řada {, Z} eích druhých diferecí se řídí modelem MA(). Počíeme ( S e ) ( S e ) ( S S ) ( ) e e α e γα e e e ( α γα ) e e. (4..) Dalším diferecováím održíme oečě
4 Holova meoda 7 ed řada {, Z} [ ( α γα ) e e ] [ 3 ( α γα ) e e ] (4..3) e ( α γα ) e ( α ) e. se suečě řídí modelem MA(), de eho paramer sou υ α γα υ α., (4..4) můžeme odhadou apř. momeovým odhadem, založeým a hodoách r a r prví a druhé výěrové auoorelace řad {, Z}. Dosazeím ěcho odhadů ˆυ a ˆυ do vzahů (4..4) a vádřeím α a γ zísáme odhad αˆ a γˆ vrovávacích osa pro Holovu meodu. o odhad esou vša ai při velém poču pozorováí řad příliš přesé. Je zámo, viz. Chafield (), sr. 99 eo Brocwell a Davis (), sr. 35, že Holova meoda e opimálí předpovědí meodou pro výše specifiovaý ARIMA(,, ) proces. Je ed možé při použií Holov meod předpoláda, že zoumaá časová řada se suečě řídí ímo modelem. Za předpoladu, že záme suečé hodo paramerů α a γ, můžeme sado odvodi rozpl předpovědích ch a za předpoladu ormali i meze předpovědích iervalů pro Holovu meodu. e ˆ S Zaímáme se o rozpl ch τ ( ) τ ˆ τ ( ) předpovědi τ ( ) τ z času o τ > roů vpřed. Opaovaým použiím vzorců (4..4) a (4..6) dosaeme Odud pa τ τ i S τ α e i[ γ( τ i) ] e τ. (4..5) e τ ( ) α e i[ γ( τ i) ] e τ (4..6) τ i a z předpoládaé eorelovaosi ch { e, Z} aoec τ [ ( )] var e τ σ α [ γ ( τ i) ]. (4..7) i Jedoduchými algeraicými úpravami ohoo výrazu za použií zámých vzorců N i i N( N ) a N i i N( N )( N ) 6, (4..8) viz. Barsch (), sr. 68 a 69, dospěeme ásleduícímu vzorci pro rozpl předpovědí ch:
4 Holova meoda 8 [ ( )] ( ) ( ) τ τ var e τ σ α τ γτ γ. (4..9) 6 eo rozpl e úměrý parameru σ, pro τ e rove σ. Jde o rosoucí fuci předpovědího horizou τ i oou vrovávacích osa α a γ. Pro τ e α γ 3 var[ e τ ( ) ] σ τ. (4..) 3 Doposud sme se zaývali původí Holovou meodou pro loálě lieárí red, a i Hol avrhl v roce 957. Exisue vša ěoli modifiací Holov meod, eré vužívaí seé sruur záladích vzorců, ale sou uzpůsoe pro ié ež lieárí red. Jedou z aových modifiací e Holova meoda s zv. lumeým lieárím redem, viz. Garder a McKezie (985). a e moivováa empiricým pozaem o om, že současý red v časové řadě věšiou epřervává dlouhodoě, ale má edeci se spíše lumi. Z hledisa přesosi dlouhodoěších předpovědí se pa eví výhodé eo pozae zohledi v použié předpovědí meodě. Bodové předpovědi lasicé Holov meod s lieárím redem voří přímu, ed předpoládá se osaí árůs úrově řad za časovou edou. Oproi omu lumeý lieárí red e aový, de přírůse úrově řad za časovou edou ϕ,. omuo číslu se v průěhu času geomeric lesá s pevým vocieem ( ) říá lumící osaa a určue rchlos, s aou se red lumí: ižší resp. všší hodoa ϕ zameá rchleší resp. pomaleší lumeí redu. Případ ϕ zameal žádé lumeí, ed lasicý lieárí red. Předpovědí formule Holov meod s lumeým lieárím redem má var τ ˆ τ ( ) S ϕ ϕ K ϕ. (4..) Reureí vzorce pro výpoče úrově S a směrice redu řad sou í S ( α )( S ϕ ) α, (4..) ( γ ) ϕ γ ( S S ) (4..3) a eich chové var maí ázorou podou Dodaečý paramer (, ) S S α e αγ e ϕ, (4..4) ϕ. (4..5) ϕ se volí uď experě (věšiou lízo ) eo seě ao vrovávací osa miimalizací isé mír epřesosi předpovědí. Počáečí hodo S a se ovle volí seě ao u lasicé Holov meod, ezávisle a hodoě ϕ. Vzorce (4..7) a (4..8) lo možé upravi do podo
4 Holova meoda 9 S, ϕ (4..6) ϕ. ϕ (4..7) V případě použií regresích odhadů â a ˆ ao u lasicé Holov meod lo možé původě lieárí red a ahradi lumeým lieárím redem a g( ), de g( ) ϕ ϕ K ϕ. Za předpoladu, že předpovědí ch e ˆ ( ) v Holově meodě s lumeým lieárím redem voří ílý šum s rozplem σ >, lze sadými algeraicými úpravami odvodi, že zoumaá časová řada {, Z} se řídí modelem ARIMA(,, ), de lumící osaa ϕ předsavue auoregresí paramer. Přesě ϕ ϕ( α ) e ( α ϕαγ ) e e. (4..8) Poud de o rozpl předpovědích ch, lze posupova odoě ao v případě lasicé Holov meod: ˆ τ S g( τ ), (4..9) τ τ i S g( τ ) α e i[ γ g( τ i) ] e τ, (4..3) de g( ) ϕ ϕ K ϕ. Odečeím ěcho dvou rovosí zísáme e τ ( ) α e i[ γ g( τ i) ] e τ (4..3) τ i a z předpoládaé eorelovaosi ch { e, Z} aoec τ [ ( )] var e τ σ α [ γ g() i ]. (4..3) i Další algeraicé úprav vužívaící vzorce vedou iž a epříliš přehledý vzorec, oréě de ϕ g() ϕ ϕ K ϕ ϕ (4..33) ϕ τ τ var[ e τ ( ) ] σ α τ γ g() i γ g () i, (4..34) i i
4 Holova meoda 3 τ τ ϕ ϕ g () i τ, i ϕ ϕ (4..35) τ τ ϕ ϕ ϕ g () i τ ϕ. ( ϕ) ϕ ϕ (4..36) τ i Jiou modifiací Holov meod e zv. Holova meoda s expoeciálím redem. Mšlea i sruura vzorců meod e zde shodá ao v případě lasicé Holov meod s lieárím redem. Jediý rozdíl e, že se předpoládá expoeciálí amíso lieárího redu. Uvažue se ed siuace, d úroveň zoumaé časové řad vzrose (lese) aždou časovou edou isým ásoem. oo e v praxi velmi časý ev ať už v eoomicých časových řadách, eo v ěch pocházeících z přírodích věd. Expoeciálí red má smsl pouze u časových řad s ladými pozorováími. Předpovědí vzorec, odoa vzorců (4..) a (4..), vpadá í ao τ a příslušé reureí formule maí var S τ ( ) S ˆ (4..37) ( α )( S ) α, (4..38) ( α ) α S S. (4..39) Počáečí hodo S a se volí odoě ao v případě lasicé Holov meod: a S (4..4) eo ao aˆ a S ˆ, de â a ˆ sou odhad paramerů a a v regresím modelu a. se ěžě volí ao expoeciálí fuce OLS odhadů v logarimovaém modelu log log a log. Poud zde amíso OLS odhadů udeme používa časově iverovaé DLS odhad, disoí faor, sižuící váh směrem do udoucosi, udeme opě rá ao α γ. 4. Wrighova modifiace pro epravidelé časové řad V omo odsavci ude prezeováo Wrighovo zoecěí Holov meod pro epravidelé časové řad, viz. Wrigh (986). Seě ao v případě edoduchého expoeciálího vrováváí od seého auora půde o přímočarou adapaci vzorců Holov meod a časovou epravidelos ve zoumaé časové řadě a opě při om ude zachováa ázoros a výpočeí eáročos původí meod. Na závěr ešě zmííme aalogicá zoecěí Holov meod s lumeým lieárím a expoeciálím redem pro epravidelé časové řad, viz. Cipra (6).
4 Holova meoda 3 Měme epravidelou časovou řadu redem. Uvažume opě úroveň S a směrici redu z času o τ > časových edoe vpřed ude ed K,, K s loálě lieárím, řad v čase. Předpověď ˆ τ ( ) S τ. (4..) Reureí vzorce pro výpoče ových hodo S a musí ově zohledňova délu časového rou mezi příslušými dvěma pozorováími časové řad v om smslu, že í S ( ) S a S S. (4..) Opě vša současě S a, což vede e ovexím lieárím omiacím podoým ěm ve vzorcích (4..3) a (4..5). Uvažueme opě dvě růzé vrovávací osa α, γ (, ), edu pro vrováváí úrově S a druhou pro vrováváí směrice redu. Bude zde ovšem apliováa mšlea proměých vrovávacích oeficieů podoě ao u Wrighova edoduchého expoeciálího vrováváí: S ( α ) [ S ( ) ] α, (4..3) S S ( γ ) γ, (4..4) de vrovávací oeficie α a γ sou přepočíává reureími vzorci α α a α ( α) γ γ. (4..5) γ ( γ ) Na rozdíl od Holov meod pro pravidelé časové řad ed musíme romě úrově S a směrice redu přepočíáva ešě dva proměé vrovávací oeficie α a γ. Jeich výzam ve vzorcích (4..3) a (4..4) e zřemý a seý ao v pravidelém případě. var vzorců (4..5), podle ichž se vrovávací oeficie reureě přepočíávaí, e seý ao v případě edoduchého expoeciálího vrováváí, viz. vzorec (3..5), a evžadue udíž žádý omeář. Podíveme se ešě a vzorec (4..4), de se ve meovaeli vsue déla časového rou. Poud sou si dvě sousedí pozorováí časové řad velice lízá v čase, ale ioli z hledisa svých hodo, může zlome ( S S ) ( ) v omo vzorci aýva hodo řádově všších ež předchozí směrice. ao pa může doí ežádoucímu vchýleí ové hodo, což má faálí důsled a ásleduící předpovědi. Míra ohoo efeu závisí a a veliosi směrice