ČASOVÉ ŘADY V KINANTROPOLOGICKÉM VÝZKUMU. MASARYKOVA UNIVERZITA Fakulta sportovních studií Katedra kineziologie. Habilitační práce

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA Faula sporovích sudií Kaedra ieziologie ČASOVÉ ŘADY V KINANTROPOLOGICKÉM VÝZKUMU Habiliačí práce Bro, 0 Mgr. Mari Sebera, Ph.D.

2 Prohlašui, že sem uvedeou habiliačí práci vypracoval samosaě, a záladě origiálího výzumu a s využiím uvedeých lierárích a iereových zdroů. Souhlasím, aby práce byla uložea a Masaryově uiverziě v ihově Fauly sporovích sudií a zpřísupěa e sudiím účelům. Mgr. Mari Sebera, Ph.D.

3 Obsah OBSAH...3 SEZNAM OBRÁZKŮ...4 SEZNAM TABULEK...4 ÚVOD...5 ZÁKLADNÍ POJMY...6. Defiice a druhy časových řad...6. Graficá aalýza časových řad Záladí charaerisiy časových řad Průměry Míry dyamiy Meody aalýzy časových řad Deompozičí meoda... 9 Nečasěi používaé fuce lieárí z hledisa paramerů sou: Adapiví meody Boxovy-Jeisovy meody Meoda sperálí aalýzy... 4 ANALÝZA NEPERIODICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD...6. Popis redu aalyicými modely Tredové fuce Meody odhadu paramerů redových fucí Volba vhodého modelu redové fuce ZÁKLADY A APARÁT BOOVY-JENKINSONOVY METODOLOGIE Záladí pomy Sacioaria Auoorelačí fuce (ACF) Parciálí auoorelačí fuce (PACF) Výběrové ACF a PACF Záladí reprezeace sochasicých procesů Proces bílého šumu Woldova a Box-Jeisova reprezeace sochasicého procesu Modely sacioárích časových řad Auoregresí proces řádu p [AR(p)] Proces louzavých průměrů řádu q [MA(q)] Smíšeé procesy ARMA [ARMA(p, q)] Modely esacioárích a sezóích časových řad Nesacioárí procesy ve sředí hodoě Proces áhodé procházy ( radom wal ) Procesy esacioárí v rozpylu Sezóí procesy Ideifiace a ověřováí modelu, odhady paramerů, osruce předpovědí Ideifiace modelu Odhady paramerů modelu Ověřováí modelu Kosruce předpovědí Výpoče předpovědí Lieraura WAVELET TRANSFORMACE VE ZPRACOVÁNÍ SIGNÁLŮ Úvod Maemaicý zálad...67

4 4.. Fourierova a waveleová řada Časově-frevečí sperálí charaerisia Waveleové vyhlazováí (filrace) MR-aalýza Deompozice a reosruce sigálu Apliace Deece elieari a segmeace časových řad Iformace o sofware Závěr Lieraura...85 PŘÍPADOVÉ STUDIE...87 Aalýza eoomicých da - iflace...87 Kiemaicá aalýza...0 Disace-Time Depedecies of Spaial Coordiaes for Gai Recogiio...0 Ecoomical ime series predicio via waveles (wavele games)...8 Modelováí a progózováí časových řad pomocí waveleů...5 Sezam obrázů Obr. Vývo svěového reordu v deseiboi mužů... 0 Obr. Srováí pohybu ěžišě v ose y dvou esovaých osob při chůzi... Obr. 3 Graf vadraicého regresího modelu Obr. 4 Graf ubicého regresího modelu Obr. 5 Výběrová ACF a PACF procesu AR() Obr. 6 Výběrová ACF a PACF procesu MA() Obr. 7 Uázy waveleů Ob. 8 Uáza vyhlazeí měým práhováím Sezam abule Tab. Průměré deí ržby (is. Kč)... 8 Tab. Vývo svěového reordu v deseiboi mužů... 0 Tab..3 Srováí pohybu ěžišě v ose y dvou esovaých osob (TO) při chůzi... Tab. 4 Poče vyšeřeých osob v laboraoři biomooriy a FSpS v roce Tab. 5 Průměrá hrubá mzda zaměsaců v ČR v leech 989 až Tab. 6 Popisé charaerisiy ao riérium volby redu časové řady Tab. 7 Vsupí daa vadraicého regresího modelu Tab. 8 Výsledy vadraicé regrese Tab. 9 Vsupí daa Tab. 0 Výsledy ubicé regrese Tab. Tvary ACF a PACF modelu AR, MA a ARMA... 50

5 ÚVOD Práce předládá možosi využií maemaico-saisicého aparáu pro aalýzu časových řad, eré lze ideifiova v iaropologicém výzumu a Faulě sporovích sudií. Tao daa pochází zeméa z rodimezioálích iemaicých aalýz prováděých za účelem ideifiace a diagosiy echicého provedeí daého pohybu, dále z pedobaromericých ploši v rámci aalýzy plaárího lau ebo z přísroů EEG, EKG ebo EMG. Speciálí využií časových řad lze aléz ve výzumu, erý se zabývá problemaiou ideifiace osob podle dyamicého sereoypu chůze. Aalýza časových řad se a v posledí době sala velmi dyamicy rozvíeící disciplíou. Kromě sadardích posupů aalýzy časových řad vzila řada ových efeivích a eradičích posupů a meod modelováí časových řad. S rosoucí dosuposí výoé měřící a výpočeí echiy se sofisiovaé meody začaly ve sále věším měříu prosazova v iaropologicé praxi. Smyslem aalýzy časových řad e porozumě mechaismu, a ehož záladě sou hodoy časové řady vyvářey. Cílem aalýzy e pa osruce vhodého modelu a osruce předpovědi vývoe časové řady. Jedolivé přísupy maí při apliaci své výhody a evýhody, eré sou a vybraých problémech popsáy. Předládaý ex se sládá z 5 apiol Záladí pomy časových řad, Aalýza eperiodicých řad, Zálady a apará Boxovy-Jeisoovy meodologi a Wavele rasformace ve zpracováí sigálů a Případové sudie. V prvích 5 apiolách převažue zeméa eoreicý apará, erý e doplě emaicými přílady, posledí apiola e zaměřea výhradě a oréí využií a aalýzy časových řad v iaropologicém výzumu. Předložeé výpočy a graficé výsupy pocházeí z výpočeích sysémů STATISTICA verze 0 firmy Sasof a sofware pro omplexí maemaicé výpočy MATLAB firmy MahWors. 5 / 9

6 ZÁKLADNÍ POJMY Aalýza časových řad e edou z důležiých oblasí současé saisiy. S day, erá sou uspořádáa chroologicy v čase, se seáváme sad ve všech oblasech lidsé čiosi, spor evyímae. Jao přílady můžeme uvés: sledováí fyziologicých paramerů (změa epové frevece, eploy ůže, hladiy laáu při záěži a.) zázam EMG při záěži určié svalové supiy, sledováí edolivých bifuračích bodů defiovaých z 3D iemaicé aalýzy Smyslem aalýzy časových řad e porozumě mechaismu, a ehož záladě sou hodoy časové řady vyvářey. Cílem aalýzy e: osruce vhodého modelu osruce předpovědi vývoe časové řady zedodušeí časové řady pro další aalýzu rasformace časové řady do ié daové sruury vhodé pro další aalýzu (apř. porováí). Defiice a druhy časových řad Časovou řadou rozumíme řadu věcě a prosorově srovaelých hodo určiého saisicého zau (uazaele), uspořádaou z hledisa času ve směru od miulosi do příomosi. Časovou řadu lze eedodušším způsobem vyádři ao soubor pozorováí y, y,, y, (.) de y e hodoa posuzovaého zau Y, =,,, začí časovou proměou (časový ierval ebo oamži) a e poče pozorováí (déla řady). Dále se předpoládá, že časová vzdáleos mezi sousedími pozorováími e shodá. Časové řady dělíme podle růzých hledise: 6 / 9

7 Jesliže se hodoa zoumaého zau vzahue určiému časovému iervalu eulové dély, pa se časová řada azývá iervalová (apř. při cylicém pohybu chůze o e změa defiovaá začáem aždého roem). Pro eo yp časové řady e charaerisicá sčiaelos hodo za edolivé iervaly. Jesliže se hodoa zoumaého zau vzahue určiému oamžiu, pa se časová řada azývá oamžiová (apř. auálí epová frevece a začáu réiové edoy). Typicým rysem oamžiových časových řad e esčiaelos hodo pro edolivé časové oamžiy. Podle dély časových úseů s aými sou daa sledováa dělíme časové řady a dlouhodobé (déla iervalu ebo časové rozpěí mezi rozhodými oamžiy e alespoň ede ro, apř. vývo svěového reordu za edolivé roy) a a časové řady ráodobé (déla iervalu ebo časové rozpěí mezi rozhodými oamžiy e meší ež ede ro, apř. výoos v mooricém esu během přípravého období daého rou). Podle druhu sledovaých da dělíme časové řady a časové řady původích hodo (apř. časová řada celové rychlosi ěžišě při běhu) a a časové řady odvozeých charaerisi (apř. relaiví rychlos ěžišě vůči pevému bodu). Při zpracováí saisicých da ypu časových řad se vysyue řada specificých problémů, eré e řeba při eich saisicé aalýze zohledi: V prví řadě de o problém srovaelosi. Chceme-li v iervalových ráodobých časových řadách porováva edolivé hodoy, musí se yo hodoy vzahova e seě dlouhým časovým iervalům, čili přisupuí problémy s aledářem (růzá déla aledářích měsíců, 4 ebo 5 víedů v měsíci, růzý poče pracovích dů v měsíci, pohyblivé sváy). Před aalýzou řad, eré sou srovaelé věcě i prosorově, e ué provés očišěí časové řady o důsledy aledářích variací. a) očišěí a sadardí měsíc provedeme podle vzorce y 0 y, (.) de y e hodoa očišťovaého uazaele, e poče aledářích dů v příslušém období, = 30 ebo 365/ = 30,467 dů e průměrý poče aledářích dí. 7 / 9

8 b) Obdobě ao v případě (.) provádíme očišěí a pracoví dy podle vzorce y 0 y p p, (.3) de y e hodoa očišťovaého uazaele, p e poče aledářích dů v příslušém období, p e průměrý poče pracovích dů ve seém období. Přílad. Laboraoř podpory zdraví a FSpS má oevřeo 7 dí v ýdu s oevírací dobou: Po Pá: 7-8 hod., So: 7 hod., Ne: 4 8 hod. Pravidelě sledue ržby v edolivých dech. Průměré ržby sou uvedey v ab... Zisěe, erý ze dů v ýdu e z hledisa ržeb eefeivěší. Co byse a záladě zišěých suečosí vedeí laboraoře poradili? Tab. Průměré deí ržby (is. Kč) Dy Po Ú S Č Pá So Ne Tržby , ,5 Řešeí: Abychom mohli porova efeivos ržby z hledisa de v ýdu, e řeba očisi velios ržeb od závislosi a délce oevírací doby. V ýdu e oevřeo hod. deě, proo přepočíáme ržby v So a v Ne aé a -i hodiovou oevírací dobu. 8 4,5 y So. 77, y Ne., Porováme-li přepočíaé ržby, zisíme, že obchodě eefeivěším dem v ýdu e soboa, eméě obchodě efeivím dem e eděle. Vedeí laboraoře by se měl zamysle ad ím, zda by sálo za o v sobou prodlouži oevírací dobu a poud chce mí oevřeo i v eděli, oevírací dobu posuou. 8 / 9

9 V moha případech e ué porováva údae časové řady pomocí relaivích hodo. Např. v příladech z fiačí maemaiy vzhledem e změám ce e ué časo údae vyrova pomocí ceových idexů a zv. relaiví údae, srovaelé cey. Ceové změy sou elimiováy prosředicvím zv. sálých ce (apř. cey z rou 995, cey z rou 00, ad.). Dalším problémem při aalýze časových řad e zasaráváí údaů, proevuící se především v časových řadách začé dély. V ěcho případech e řeba hleda opimálí délu časové řady. Při volbě dély časových řad se sřeávaí dvě proichůdé edece: Při ízé husoě risueme, že ám uie charaerisicý rys řady, při velém možsví údaů, eré ěeré meody vyžaduí, e ebezpečí, že se s průběhem času změí obsahová áplň uazaele. Specificým problémem časových řad e auoorelace, dy aždé pozorováí e saisicy závislé a předchozím. Napřílad ladá auoorelace zameá, že po sobě doucí pozorováí maí slo podoba se svým předchůdcům a udíž přiášeí e velmi málo čersvých iformací. Taové řady se aalyzuí mohem obížěi ež běžý regresí model, ve erém sou edolivá pozorováí avzáem ezávislá. Tes pro zišěí, zda daa vyazuí auoorelaci uvedeme pozděi. Dalším rysem, erý se může u časových řad vysyou, e sezóos. Jesliže řada vyazue sezóí chováí, musíme mí eo fa sále a paměi, hlavě při hodoceí edolivých pozorováí a při predici. Těmio problémy se budeme zabýva v ásleduících apiolách.. Graficá aalýza časových řad Prvím roem při aalýze časových řad e graficé zázorěí eich průběhu. Z grafu lze věšiou vyčís spousu důležiých iformací. V prví řadě lze z obrázu odhadou yp redové fuce, zda řada vyazue periodiciu apod. Nědy lze z obrázu vyčís, zda máme použí adiiví ebo mulipliaiví model. Nečasěi se zázorňuí původí hodoy časové řady pomocí spoicových a plošých grafů. Spoicové grafy Pricip spoicových grafů spočívá v zaresleí edolivých hodo časové řady do souřadých os, a erých sou vyzačey příslušé supice. Na osu horizoálí se vyáší 9 / 9

10 časová proměá a a osu veriálí hodoy spoey lomeou čarou viz obr..3. y časové řady. Tao vzilé body sou Tab. Vývo svěového reordu v deseiboi mužů Hodoa Jméo Ro 8466 Niola Avilov Bruce Jeer Daley Thompso Quido Krachmer Daley Thompso Jurge Higse Daley Thompso Jurge Higse Jurge Higse Daley Thompso Da O'Brie Tomáš Dvořá Roma Šebrle 00 Obr. Vývo svěového reordu v deseiboi mužů 0 / 9

11 Plošé grafy Pro zobrazeí a ásledé porováí dvou a více časových řad používáme plošé grafy viz ab..3 a obr..4. Tab..3 Srováí pohybu ěžišě v ose y dvou esovaých osob (TO) při chůzi čas TO TO 9, 305, 88, 306,8 3 86,0 307, 4 84,7 309, 5 83,4 3,8 6 83,3 3,6 7 83,5 33,3 8 83,0 34,9 9 8,7 36,4 0 83,6 38,4 8,9 39,9 85,0 3,7 3 84,3 34, 4 85,9 36,9 5 86,9 39,0 6 88,5 33,7 7 88,9 334,3 8 90,6 337,4 9 9,7 340, 0 95, 344,3 97,5 348,4 99,3 35, 3 30,8 356, ,0 36, ,9 365,4 6 3, 369,5 7 36, 374, 8 38,9 378,8 9 3,9 38, ,5 385,5 3 33, 388, ,6 390, ,6 39, ,0 39, ,5 39, ,7 39, ,0 39, 38 35,3 39, ,3 390, ,4 390,0 4 35,5 389,6 4 35,8 389, 43 35, 388, ,9 388, ,4 387, ,4 386, ,3 384, , 383, ,6 38, , 379, ,9 378, ,4 376, , 374, čas TO TO ,6 37, , 369, ,9 365, ,7 363, ,6 360, ,7 357, ,7 355, 6 3,7 35,5 6 3, 35, ,8 350, 64 37,3 349, ,8 348,6 66 3,6 348, ,6 348, , 348, ,5 349, ,7 349, ,6 350, ,4 35, ,9 353, ,8 354, ,0 356, ,4 357, ,9 359, , 36, , 363, ,7 365,6 8 3, 367,9 8 33,7 370, ,0 373, 84 38, 376, ,9 380, 86 30,3 383, ,6 387, , 39, ,7 396, ,6 40, ,6 406, 9 338,7 40, ,6 45, ,4 49, ,4 43, ,3 46, ,6 48, , 49, , 430, ,5 43, 0 378,0 430,7 0 38,9 430, ,9 48, , 47, ,4 45, ,5 44,8 / 9 čas TO TO ,8 4, ,0 4, ,3 40, ,9 49, 404,5 48,6 404,6 47, ,8 46, , 45, ,7 44, ,3 43, ,4 4, ,0 40, , 409,9 0 40, 408, 40,8 406,6 4, 405, 3 4,9 404,3 4 4, 403, 5 4,0 40,3 6 4,4 40, 7 4,5 400, 8 4,9 399,7 9 4,7 398,7 30 4,0 398, ,6 398, 3 408,5 398, ,9 399, ,0 40, ,7 40, ,6 404, , 406, ,0 409, ,8 4, ,7 45,0 4 39,8 48, ,4 4, ,3 44, , 47, ,9 430, , 433, ,4 437, , 44, ,6 444, ,4 447, ,3 45, 5 378,3 454, ,5 457, ,8 46, ,3 464, ,9 467, ,0 47, ,6 475, 59 38, 478,9

12 čas TO TO 60 38,3 48, , 486, , 490, , 494, čas TO TO čas TO TO ,4 497, ,6 50, ,9 50, ,0 53, , 504, ,3 55, ,4 507,8 Obr. Srováí pohybu ěžišě v ose y dvou esovaých osob při chůzi.3 Záladí charaerisiy časových řad.3. Průměry Prosý arimeicý průměr počíáme pouze u iervalových časových řad, proože v iervalových časových řadách má souče hodo zau věcý smysl. Průměrá hodoa iervalové časové řady y y, de e poče časových iervalů. (.4) / 9

13 Chroologicý průměr počíáme z hodo oamžiové časové řady. Průměrá hodoa oamžiové časové řady y,,...,, y y y de vzdáleos mezi edolivými časovými oamžiy e seá, má var y y3 y... N y y y y. (.5) Při růzé délce mezi edolivými oamžiy se používá vážeý chroologicý průměr y y y d y d y d 3 3 d d y N y d, (.6) de, i,...,, e déla edolivých časových iervalů sledováí daého d i oamžiového uazaele. Klouzavé průměry Klouzavé průměry sou určiou lieárí ombiací vždy m původích hodo v časové řadě. Prosé louzavé průměry Časovou řadu rozdělíme a úsey po lichém poču hodo. Období m = p+ azýváme louzavou čásí, erou posuueme (loužeme) po časové ose a, že z prvích p+ hodo vypusíme prví hodou a přibereme ásleduící hodou. Z lichého poču (m=p+) hodo počíáme prosý arimeicý průměr. y p p i p y, p, p,..., p. (.7) i Proože louzavá čás má lichý poče čleů, e pořadí prosředího z ich celočíselé. Průměr (.7) přiřadíme prosředí empiricé hodoě y. Cerovaé louzavé průměry Má-li louzavá čás sudý poče hodo,. m = p, pa prosředí hodoa emá celočíselé pořadí a musíme prosé louzavé průměry cerova. y ( y p y p... y p y p ), p, p,..., p. (.8) 4 p Počíáme arimeicý průměr dvou sousedích louzavých průměrů a hodou cerovaého louzavého průměru (.8) přiřadíme empiricé hodoě, p, p,..., p. 3 / 9 y

14 Vážeé louzavé průměry Při užií louzavých průměrů počíáme pro aždý louzavý úse časové řady vážeý arimeicý průměr p y w i y i, p, p,..., p, (.9) i p de w sou váhy, pro eré plaí w a mohou bý osruováy růzým i p i p způsobem. Podroběi se budeme zabýva vážeými louzavými průměry v čási věovaé popisu redu časové řady. Řady louzavých průměrů maí vždy o p hodo méě (chybí p hodo a začáu a p hodo a oci řady), ež časové řady absoluích uazaelů. Řady cerovaých louzavých průměrů sou dooce o p+ hodo raší. i Přílad. Určee průměré hodoy pohybu ěžišě TO a TO (ab..3). Řešeí: Proože uvedeá časová řada e iervalová, vypočíáme prosý arimeicý průměr (.4) , y TO 356,9 a y TO 403, Přílad.3 Vypočěe průměrý měsíčí poče vyšeřeých osob v laboraoři biomooriy a FSpS v roce 0 (sav e oci období). Vsupí údae sou v ab. 4. Tab. 4 Poče vyšeřeých osob v laboraoři biomooriy a FSpS v roce 0 Období Poče uchazečů Déla iervalu lede 5 3 úor 8 březe 44 3 dube věe 43 3 červe červee / 9

15 Řešeí: c srpe 64 3 září 7 30 říe 74 3 lisopad 3 30 prosiec 69 3 Pro výpoče použieme vážeý chroologicý průměr (.6), proože poče osob voří oamžiovou časovou řadu s eseě dlouhými úsey mezi oamžiy zišťováí y 0, V roce 0 bylo průměrý poče vyšeřeých osob 0,6. Přílad.4 Z ab..4 vypočíáme čvrleí louzavé průměry ; ;...; Nová časová řada e pa 34,7; 5,0; 95,0; 3,0; 89,0; 96,0;,3; 36,7; 6,0; 9,7.3. Míry dyamiy Dyamiou vývoe časové řady rozumíme změy hodo sledovaého uazaele v čase, a o buď v absoluím ebo v relaivím poeí. Charaerisiy dyamiy vývoe časových řad lze počía a u iervalových, a u oamžiových řad. Nuou podmíou pro věcý smysl a správou ierpreaci charaerisi e shoda dély časových iervalů, resp. shoda vzdáleosí mezi oamžiy zišťováí. Přírůsy (. diferece) Absoluí přírůse () y y,, 3,...,. (.0) 5 / 9

16 Průměrý absoluí přírůse () y y. (.) Relaiví přírůse () y y y,, 3,...,. (.) y y y Relaiví přírůse vyádřeý v % se azývá empo růsu sledovaého uazaele v původí časové řadě. Prví diferece umožňuí charaerizova směr, velios absoluích změ zoumaého zau. Řadu složeou z prvích diferecí lze dále diferecova a zísáme řadu druhých diferecí ad. Druhé diferece (), 3, 4,..., (.3) Koeficiey růsu oeficie růsu y,, 3,...,. (.4) y Koeficiey růsu vyádřeé v % se ozačuí ao empa růsu. průměrý oeficie růsu y.... (.5) y Charaerisiy (.) a (.5) závisí bez ohledu a délu řady e a raích hodoách. Proo e užíváme e a řady s mooóím vývoem. V osaích případech yo charaerisiy vývo zresluí. 6 / 9

17 Přílad.5 Pro časovou řadu hodo průměré měsíčí hrubé mzdy v Česé republice v leech 989 až 000 vypočíáme: a) absoluí přírůsy a průměrý absoluí přírůse, b) oeficiey růsu a průměrý oeficie růsu. Vsupí hodoy i výpočy sou v ab..6. Tab. 5 Průměrá hrubá mzda zaměsaců v ČR v leech 989 až 000 () Ro y Δ , , , , , , , , , , ,065 Řešeí: a) Prví diferece sou ve řeím sloupci ab..6. Průměrý absoluí přírůse (.) říá, že měsíčí hrubá mzda soupala v leech průměrě o 938 Kč ročě. b) Koeficiey růsu (.4)sou v posledím sloupci abuly c) Průměrý oeficie růsu, 4 říá, že hrubá mzda rosla v leech v průměru ročě o 4%. 7 / 9

18 .4 Meody aalýzy časových řad Pro aalýzu časových řad exisue des velmi rozsáhlá eorie, erá popisue velé možsví meod a posupů. Volba vhodé meody závisí a ásleduících faorech, eré aalýzu podmiňuí: účel aalýzy musíme vědě, zda ám de pouze o vorbu modelu, o osruci předpovědi, o vzáemé vzahy s iými řadami ad. yp časové řady e všechy meody sou vhodé pro všechy řady. zalosi saisia ěeré meody sou eoreicy eáročé, ié ladou a vzděláí saisia emalé ároy. sofwarové vybaveí - aalýza časových řad se des eobede bez vybaveí výpočeí echiou a hlavě programy vhodými pro aalýzu. Aalýza časové řady vychází z předsavy, že aždou empiricou hodou y pro,...,, lze vyádři ve varu y f, ),,...,, (.5) ( Y de Y,,...,, předsavue eoreicou (sysemaicou) složu časové řady a,...,, áhodou (epravidelou) složu., Záladí obíží při aalýze časové řady e úsude o fuci f(). Needodušší e předpolad, že obě složy časové řady empiricých hodo sysemaicá a áhodá sou ve vzahu souču., de y,,...,. (.6) Y V aovém případě mluvíme o adiivím modelu časové řady. V případě mulipliaivího modelu předpoládáme, že obě složy (sysemaicá a áhodá) sou ve vzahu součiu, de y.,,...,. (.7) Y Mulipliaiví model (.7) za předpoladu, že empiricé hodoy y 0, můžeme logarimováím převés a adiiví model časové řady logarimů. Proože záme pouze 8 / 9

19 empiricé hodoy y, ahrazueme sysemaicou složu Y v adiivím modelu (.6) odhadem Yˆ a rozdíl e y Yˆ,,..., (.8) azýváme reziduem. Reziduum e ˆ e odhadem áhodé složy..4. Deompozičí meoda Deompozičí meoda e lasicou meodou aalýzy časových řad. Vychází předpoladu, že časovou řadu lze rozloži a čyři složy: redovou složut, erá vyadřue dlouhodobou změu v chováí časové řady, cylicou složou C, erá popisue dlouhodobé pravidelě se opauící výyvy olem redu v rámci ěolia le, sezóí složu S, erá vyadřue pravidelě se opauící výyvy v rámci edoho rou, áhodou složu, erá e vořea áhodými výyvy. Pod uo složu řadíme všechy vlivy, eré a časovou řady působí a eré edoážeme sysemaicy podchyi a popsa. Hodoy sysemaicé složy lze edy zapsa ao fuci redu, cylicé složy a sezóí složy,. Y f ( T, C, S ),,...,. (.9) Měřeí a maemaicý popis sysemaicé složy se azývá vyrováím (vyhlazováím) časových řad. Časovou řadu, erá má pouze redovou složu azýváme eperiodicou časovou řadou. Řadu, erá romě redu obsahue pravidelě se opauící výyvy hodo zoumaého zau od hlavího vývoového směru, azýváme periodicou časovou řadou. Deompozičí meoda edy spočívá v izolováí redu a periodicé (ečasěi sezóí) složy ao eměých prvů vývoe v celém průběhu zoumaé časové řady. Teo apará modelováí vývoe e časo příliš zedodušuící a udíž edosaečý zachyceí složiěšího vývoe. 9 / 9

20 Regresí meoda Regresí přísup obasňue vývo edé veličiy prosředicvím změ ié ebo iých veliči. Uplaěí regresího přísupu předpoládá elimiaci rušivých faorů a, aby mohla bý odhalea suečá závislos mezi vysvělovaou a vysvěluící veličiou. K popisu vývoe se ečasěi používá ěaá spoiá fuce času. Poud de o fuci lieárí v paramerech, používáme výpoču eich paramerů meodu emeších čverců. Vedle edoduchých lieárích fucí (polyomicá, lomeá, logarimicá) se používaí fuce elieárí vzhledem paramerům (expoeciálí, logisicá řiva, Gomperzova řiva, S-řivy), eichž paramery možo počíáme růzými ieračími meodami. Lieárí regresí fuce má var Y = f(x, ) f x) f ( x) f ( x)... f ( ), (.0) 0 0 ( p p x de, = 0,,, p, sou regresí paramery a regresory f (x) sou zámé fuce proměé. Nečasěi používaé fuce lieárí z hledisa paramerů sou: regresí příma x, Y 0 regresí parabola Y 0 x x, regresí log. fuce Y l x, 0 regresí hyperbola Y 0. x V opačém případě, dy regresí fuce má var rozdílý od (.0), mluvíme o elieárí regresí fuci. Napřílad: regresí expoeciálí fuce Y x 0, regresí mociá fuce Y x, x posuuá expoeciálí fuce Y 0 0. Expoeciálí regrese Mezi eužívaěší elieárí regresí modely paří expoeciálí regresí fuce Y = 0, (.) 0 / 9

21 de Y = x = x,..., y,..., e áhodý veor pozorovaých hodo, 0, sou ezámé paramery, y x e veor zámých čísel. Logarimováím (liearizací) expoeciálí fuce 0 x Y zísáme var lieárí vzhledem paramerům,. ly l 0 x l (.) Odhady paramerů l 0 a l zísáme řešeím sousavy rovic i l b0 l b x i l y, (.3) i 0 x i l b x i x i l yi i i i l b. i Přílad.6 Daa v ásleduící abulce předsavuí epovou freveci (Y) po aaerobím réiu v závislosi a čase (). Vyrovee daa expoeciálí regresí fucí a epovou freveci v čase 0 s. x i (čas v s) y i (epová frevece) / 9

22 ˆ 0,0Q 65 Y 577,0 e, Yˆ(0) 79,6 Mociá regrese Vedle expoeciálí regresí fuce se časo používá mociá fuce x Y 0 (.4) Mulipliaiví model Y x 0 e elieárí z hledisa paramerů, vša logarimováím e můžeme liearizova. Rovice ly l 0 l x, e rovicí přímy v logarimicých souřadicích a paramery l 0 a. Odhady paramerů l 0 a zísáme řešeím sousavy rovic i l b0 b l x i l yi (.5) i / 9

23 i i l b0 l x b (l x ) l x l y. i i i i i Přílad.7 Daa z příladu.6 vyrovee mociou regresí fucí. Na záladě ohoo mulipliaivího modelu odhaděe velios epové frevece při 0 s. x i (čas v s) y i (epová frevece) Řešeím sousavy (.5) zísáme odhady l b 0 5,646, b,36, čili ly 5,646,36 l x. Po zpěé rasformaci Yˆ exp(5,646,36l x), Yˆ (0) exp(5,646,36l0) 76,97. Při čase 0 s můžeme očeáva epovou freveci 77. Vzhledem omu, že hodoy regresích oeficieů byly odhaduy pomocí výběrových (aměřeých) hodo, lze výsledy používa odhadům pouze v rozsahu ěcho aměřeých hodo! 3 / 9

24 .4. Adapiví meody Nědy eí možé vyrova časovou řadu ediou fucí v celé délce řady. Nelze-li vyrova delší časovou řadu ediou řivou, lze oprávěě předpoláda úspěšos vyrováí dílčích čásí éo řady sysémem řive, eré se přizpůsobuí (adapuí) loálímu průběhu časové řady. Záladí meodou adapivího přísupu sysemaicé složce e echia louzavých průměrů, dy se vyrováváí časových řad provádí po raších louzavých úsecích. Další adapiví echiou e supia meod zv. expoeciálího vyrováváí, eré sou založey a zohleděí procesu sáruí da. Název maí yo meody podle oho, že váha pozorováí e expoeciálě lesaící fucí věu pozorováí. Tyo meody se rozlišuí podle předpoládaého redu a příomosi či epříomosi sezóí složy Boxovy-Jeisovy meody Tyo meody předsavuí isé poračováí a zdooaleí adapivího přísupu. Boxova-Jeisova meodologie e založea a hypoéze, že všechy složy časové řady maí áhodý (sochasicý) charaer. Věšia z ěcho meod (ARMA, ARIMA, SARIMA) e počeě áročá, vyžadue poměrě vysoý poče pozorováí a předpoládá využií počíače. Podroběi se o éo meodě zmííme v další apiole..4.4 Meoda sperálí aalýzy Tyo meody přisupuí časové řadě ao e směsi určiého oečého ebo eoečého poču siusových a osiosuvých řive s růzými frevecemi, ampliudami a fázovými posuy. Hlavím ásroem sperálí aalýzy e peridiogram umožňuící graficou formou ideifiova evýzaměší frevece, obsažeé v časové řadě. Tao meoda umožňue vysopova výzamé složy periodiciy, eré se podílí a věcých vlasosech zoumaého procesu. Společě s fourierovsou rasformací popíšeme Wavele rasformaci (WT), erá předsavue ový maemaicý prosřede pro aalýzu sigálů 4 / 9

25 pomocí Wavele fucí s apliací a široé sperum reálých sigálů, eré zahrue echologicé časové řady, biomedicísé sigály a obrazy, družicové símy, eoomicá daa i lidsou řeč. V řadě případů e problémem efeiví ódováí, omprese, polačováí rušivých slože, modelováí a deece dílčích slože sigálu. Wavele rasformace předsavue aleraiví přísup disréí Fourierově rasformaci (FFT) pro aalýzu esacioárích sigálů a deeci bodů, pro eré sigál měí vlasosi. Hlaví výhoda WT spočívá v eí schoposi aalýzy sigálů s proměým časově-frevečím rozlišeím. Podroběi se o ěcho meodách zmííme v apiole 4. 5 / 9

26 ANALÝZA NEPERIODICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD Neperiodicou časovou řadou azýváme řadu, erá má pouze redovou a áhodou složu,. řadu y,,...,. (.) T V eperiodicé řadě e sysemaicá složa Y T a eí odhad Yˆ ˆ. T. Popis redu aalyicými modely Aalyicým modelováím rozumíme alezeí fuce, erá elépe popisue red časové řady. Při éo meodě vyrováváme edou redovou fucí všecha empiricá pozorováí... Tredové fuce Při popisu redu využíváme spoié fuce času. Mezi ečasěi používaé paří příma (lieárí red) T,,...,, (.) 0 parabola druhého řádu (vadraicý red) T,,...,, (.3) 0 parabola -ého řádu (polyomicý red) T ,, (.4) dvouparamericá expoeciála (ryzí expoeciálí red) T e, de 0,,...,, (.5) 0 6 / 9

27 říparamericá expoeciála (modifiovaý expoeciálí red) T e, de 0,,...,, (.6) 0 logisicá fuce (logisicý red) T ( ), de, 0,,...,. (.7) 0 / Meody odhadu paramerů redových fucí Pro odhad paramerů redové fuce, erá e lieárí z hledisa paramerů, se používá: Meoda emeších čverců. Tuo meodu sme používali v regresí aalýze, dy sme miimalizovali výraz y Yˆ, (.8) de y e aměřeá hodoa a fuce Yˆ b b f ( ) b f ( )... b f ( ) (.9) 0 p p e odhad redové fuce, erá e lieárí vzhledem paramerům. Z regresí aalýzy plye, že odhad meodou emeších čverců vychází z ásleduících předpoladů o áhodé složce: Náhodá složa má v aždém pozorováí má ulovou sředí hodou, čili E( ) 0,,..., (.0) Rozpyl áhodé složy modelu e osaí,. ( E ),,...,. (.) Hodoy áhodé složy z růzých pozorováí sou eorelovaé,. Cov ( ) 0 pro,..., a 0. (.) Náhodá složa má ormálí rozděleí. 7 / 9

28 V osaích případech (.5) (.7), dy redová fuce eí lieárí v paramerech, používáme zísáí odhadů paramerů ásleduící meody: Meoda vybraých bodů spočívá v om, že a časové ose zvolíme oli bodů, oli má redová fuce paramerů, a v ěcho bodech položíme empiricé hodoy časové řady rovy eoreicým hodoám redové fuce. Zísáme sousavu rovic, erou vyřešíme vzhledem ezámým p aram erům. Řešeím počáečí odhady, eré pa pomocí ieračích meod zpřesňueme. Chceme-li apř. odhadou 3 paramery logisicé fuce, zvolíme a časové ose 3 body, +m, +m a ze sousavy y b0 b0, ym m b b b b b (.3) 0, ym m bb pomocí záladích maemaicých úprav vypočíáme b, b b. 0, b m y y m m y y m, (.4) b b y m ( b ym, (.5) y y ) m b 0 y b b ). (.6) ( Meoda čásečých součů spočívá v om, že časovou osu a oli seě velých disuích čásí, oli má redová fuce paramerů. Nědy e ué ěoli hodo a počáu řady vyecha, aby mohly bý vyvořey seě velé čási. V edolivých čásech sečeme empiricé hodoy a yo součy položíme rovy součům eoreicých hodo redové fuce. Zísáme sousavu rovic, erou vyřešíme vzhledem ezámým paramerům. Rověž ao meoda posyue počáečí odhady, eré pa pomocí ieračích meod zpřesňueme. 8 / 9

29 Chceme-li apř. odhadou paramery modifiovaé expoeciály, zvolíme počáečí bod a ři a sebe avazuící disuí časová období dély m=/3. Uvoříme ři čásečé součy empiricých hodo a položíme yo součy rovy součům eoreicých hodo. m m b b b y S 0 ) (,, m m m m b b b y S 0 ) (, (.7) m m m m b b b y S 0 3 ) (. Řešeím sousavy (.7) zísáme odhady edolivých paramerů. m S S S S b / 3, (.8) ) ( S S b b b b m, (.9) m b b b b S b m 0. (.0) Ieračí meody posupě zlepšuí výchozí odhad paramerů, eré sme zísali apř. meodou čásečých součů ebo meodou vybraých bodů. Přiom si buď předem saovíme poče roů (ierací), eré pro zlepšeí odhadů provedeme, ebo uočíme proces posupého zlepšováí v oamžiu, dy e absoluí hodoa rozdílu veorů paramerů ve dvou po sobě ásleduících ieracích meší, ež předem zvoleé číslo. Užií ieračích meod (sou velmi složié) e podmíěé saisicým sofwarem. Při volbě redové fuce i při ásledém hodoceí výsižosi oréí vypočeé fuce vycházíme z ásleduících iformací: 9 / 9

30 věcý rozbor vývoe sledovaého evu, vizuálí posouzeí grafu, srováí průběhu časové řady a průběhu redové čáry, aalýza popisých charaerisi vývoe časové řady, hodoy ierpolačích a exrapolačích riérií...3 Volba vhodého modelu redové fuce Ja bylo uvedeo v miulém odsavci, při výběru modelu redu bychom měli vycháze především z věcé aalýzy údaů v časové řadě. Výběr vhodého modelu redu usadí aalýza diferecí a popisých charaerisi zoumaé časové řady viz ab. 6. Tab. 6 Popisé charaerisiy ao riérium volby redu časové řady Lieárí Kvadraicý Tred Ryzí expoeciálí, resp. modifiovaá expoeciál í Logisicý Tes Prví diferece sou přibližě osaí. Druhé diferece sou přibližě osaí. Koeficiey růsu sou přibližě osaí. Křiva prvích diferecí se podobá řivce husoy ormálího rozděleí. Tesy uvedeé v ab. 6 sou sice výpočeě edoduché, ale málo použielé při rozhodováí mezi složiěšími ypy redových řive. Poud aalýza popisých charaerisi evede edozačému výsledu, vybereme ěoli redových fucí a eich vhodos ověřueme až po odhaduí paramerů. Používáme dva druhy riérií - ierpolačí riéria a idexy popisuící valiu vyvořeého modelu. Ierpolačí riéria sou založea a zoumáí vzahu suečých hodo y a zv. hodo ierpolovaých Yˆ,. hodo odhaduých a záladě daé redové fuce. 30 / 9

31 sředí chyba odhadu (průměr hodo reziduí M.E.) y Yˆ M. E., (.) sředí vadraicá chyba odhadu (průměr čverců reziduí M.S.E.) y Yˆ M. S. E., (.) Proože riérium (.) zvýhodňue víceparamericé fuce, užívá se upraveá sředí vadraicá chyba (M.S.E. M ) y Yˆ M. S. E. M c, (.3) de c e poče paramerů redové fuce. Podle vzorce (.3) provádí výpoče MSE program STATISTICA 0. sředí absoluí chyba odhadu (M.A.E.) y Yˆ M. A. E., (.4) sředí proceuálí chyba odhadu (M.P.E.) y Yˆ M. P. E..00, (.5) y sředí absoluí proceuálí chyba (M.A.P.E.) y Yˆ M. A. P. E..00. (.6) y Čím meší e hodoa saisi (.) (.6), ím e model lepší. Z uvedeých riérií se ečasěi používá riérium (.3). Obecě dáváme předos modelu, u ěhož e hodoa M.S.E. M eižší. 3 / 9

32 Další ierpolačí riérium, eré používáme u fucí lieárích v paramerech, e idex deermiace ( R ) R y y ( Yˆ y). (.7) Tredová fuce e ím vhoděší, čím e eí idex deermiace bližší edé. Nedosaem idexu deermiace e eho závislos a poču paramerů zvoleé fuce. Proo při rozhodováí mezi růzými (ečasěi polyomicými) fucemi počíáme upraveý idex deermiace ( R ) R ad ad ( R ), (.8) c de e poče pozorováí a c = p+ e poče paramerů regresí fuce. Dalším ierpolačím riériem e celový F-es. Tesové riérium F c y Yˆ c Yˆ y, (.9) má při plaosi ulové hypoézy F- rozděleí s c a c supi volosi. Kriérium (.9) e podíl vysvěleé variabiliy a evysvěleé variabiliy. Při srováváí více modelů vybereme e, pro erý e F- saisia (.) evěší. Při esováí hypoézy, že rezidua (odhady áhodých poruch) esou auoorelovaá používáme Durbiův-Wasoův es. 3 / 9

33 Tesové riérium má var de e DW y Yˆ e e e sou rezidua., (.30) Saisia (.30) abývá hodo od 0 do 4. V případě ezávislosi reziduí se pohybue oolo čísla, v případě přímé závislosi sou eí ladé hodoy blízé 0 a v případě epřímé závislosi se blíží zleva 4. Kriicé hodoy esového riéria (.) sou uvedey ve speciálích abulách. Chceme-li osruova progózy vývoe sledovaého uazaele, používáme při rozhodováí o modelu redové fuce exrapolačí riéria. Nečasěší způsob použií exrapolačích riérií e založe a simulaci. Zoumaá časová řada se eprve zráí a provede se volba redové fuce. Zvoleá redová fuce se použie pro výpoče předpovědí, ež se ásledě porovaí se suečými hodoami časové řady. Nečasěi používaé exrapolačí riérium e Theilův oeficie esouladu T m ( y m m y Pˆ ) m, (.3) de (-m) e déla zráceé časové řady, =,,, m, P e předpověď a -období dopředu modelem vypočeým z (-m) hodo. Je-li 0 T, e daý model z exrapolačího hledisa vhodý. Je-li T model, erý má meší oeficie esouladu., e řeba voli iý model. Při srováí více modelů preferueme 33 / 9

34 Přílad. Bylo změřeo proceuálí zlepšeí saroví reace v závislosi a poču réiových edoe. Sesave regresí model, a vyádřee přesos modelu. Tab. 7 Vsupí daa vadraicého regresího modelu Pořadové čísl o poče réi ů reac e 0,000 0, , , , , , , , , ,958 Tab. 8 Výsledy vadraicé regrese Nevýhoděší e vadraicý regresí model ve varu: r =,0005 (±, ) - 3, (6,3.0-7 ) s oeficieem deermiace R = 0,9883, MEP = 5, , s e =, / 9

35 Obr. 3 Graf vadraicého regresího modelu Přílad. Úspěšos v podáváí graů a FSpS MU v leech (v % z celového poču všech podaých graů) Tab. 9 Vsupí daa ro úspěšos 004 3, ,9 006, , , , ,37 0 8,78 35 / 9

36 Tab. 0 Výsledy ubicé regrese Obr. 4 Graf ubicého regresího modelu Nevýhoděší e ubicý regresí model ve varu: s oeficieem deermiace R = 0,96 úspěšos = 7,836-4,46 x +,065 x - 0,0778 x 3 36 / 9

37 3 ZÁKLADY A APARÁT BOOVY-JENKINSONOVY METODOLOGIE Tao apiola se zabývá edím z moha způsobů rozboru časových řad. V prví apiole e popsáa Boxova-Jeisoova meodologie. Tao e založea a myšlece, že časová řada může bý chápáa ao řada sochasicého charaeru. Na eím záladě lze modelova sysemaičosi v reziduálí složce. Na druhé sraě e možé aždou časovou řadu chápa ao realizaci sochasicého procesu a Boxova-Jeisoova meodologie se sává relaivě samosaým přísupem aalýze časových řad. 3. Záladí pomy Sochasicý proces {, = 0, ±, ±, }, resp. { } e řída v čase uspořádaých áhodých veliči. Časovou řadou rozumíme v čase uspořádaou řadu hodo sochasicého procesu. Je o edy áhodý výběr zísaý a, že z aždého rozděleí áhodé veličiy e vybráa právě eda hodoa. Nědy se hovoří o výběrové fuci ebo aé realizaci daého sochasicého procesu. 3.. Sacioaria Každá áhodá veličia má isé pravděpodobosí rozděleí, současě vša aé aždá ombiace áhodých veliči má isé pravděpodobosí rozděleí, a a i supia áhodých veliči má pravděpodobosí rozděleí (-rozměré). Pravděpodobosí rozděleí lze charaerizova disribučí fucí, aže apřílad -rozměrá disribučí fuce e dáa vzahem F ( x, x,, ) (,,, ) x P x x x,. pravděpodobosí, že všechy áhodé veličiy abudou současě hodoy meší ež sou hodoy x i, i =,,. Sochasicý proces se azývá sriě sacioárí, esliže pro aouoliv idexí čás (,,, ) z T = {0, ±, ±, } a aéoliv reálé číslo, pro eré i + T, i =,,, plaí 37 / 9

38 ),,, ( ),,, ( F F, de F(.) e -rozměrá disribučí fuce. Srií sacioaria edy říá, že pravděpodobosí chováí daého sochasicého procesu e časově ivariaí. Pro sochasicý proces {, = 0, ±, ±, }defiume fuci sředích hodo ) ( E variačí fuci ) ( ) ( E D ovariačí fuci mezi, i, =,,, ; i i a ) )( ( ), ( i i i E a orelačí fuci mezi, i, =,,, ; i i a i i i ), ( ), ( Plaí-li pro všecha, že, a ovariačí a orelačí fuce závisí pouze a časové vzdáleosi áhodých veliči,. pro i = a =, pa i ), ( ), ( ), ( a i ), ( ), ( ), ( poom se daý proces azývá slabě sacioárí ebo aé ovariačě sacioárí. Sriě sacioárí proces, erý má prví dva obecé momey oečé, e aé slabě sacioárí proces. V praicé aalýze časových řad se operue výhradě se slabou sacioariou, eboť e relaivě sadé odhadova prví dva momey. V případě, že budeme dále hovoři o sacioariě, budeme mí a mysli právě sacioariu slabou. 3.. Auoorelačí fuce (ACF) V případě sacioárího sochasicého procesu { } lze vyádři auoovariačí fuci mezi veličiami a - ao ) )( ( ), ( E C a auoorelačí fuci ao 38 / 9

39 C( D( ), ) D( ) 0 de vzhledem e sacioariě procesu D( ) = D( - ) = 0. Auoorelačí fuce se ozačue ao ACF. V případě sacioárího sochasicého procesu má auoorelačí fuce ásleduící vlasosi: a) 0 =. b) ; 0 c) a pro všecha, auoovariačí a auoorelačí fuce e edy symericá olem = 0. Graf auoorelačí fuce se azývá orelogram Parciálí auoorelačí fuce (PACF) Korelace mezi dvěma áhodými veličiami e časo způsobea ím, že obě yo veličiy sou orelováy s veličiou řeí. Velá čás orelace mezi veličiami a - může bý edy způsobea eich orelací s veličiami -, -,, -+. Parciálí auoorelace podávaí iformaci o orelaci veliči a - očišěé o vliv veliči ležících mezi imi. Parciálí auoorelaci se zpožděím vyadřue parciálí regresí oeficie v auoregresi -ého řádu = e de veličia e e eorelovaá s veličiami -,. Tao maice e vždy regulárí, v důsledu čehož můžu použí Cramerovo pravidlo. Vyásobíme-li obě sray rovice veličiou -, poom sředí hodoa éo rovice má var aže plaí = = Pro =,,, dosaeme ásleduící sysém rovic = = / 9

40 = Použieme-li posupě pro =,, Cramerovo pravidlo, zísáme =,, V lierauře se časo parciálí auoorelace ozačue ao. Jao fuce zpožděí e azýváa parciálí auoorelačí fucí (PACF) Výběrové ACF a PACF Sacioárí sochasicé procesy umožňuí provés odhady ACF a PACF, eboť časová řada se v omo případě sává výběrem z edoho pravděpodobosího rozděleí. Předpoládeme časovou řadu, =,,,. Odhadem sředí hodoy e výběrový průměr Podobě lze odhadou auoovariačí fuci pomocí výběrové auoovariačí fuce ) )( ( ˆ Výběrová auoorelačí fuce (výběrová ACF) e defiováa ao 40 / 9

41 ) ( ) )( ( ˆ, =,, Graf ˆ proi se azývá výběrový orelogram. Pro výpoče výběrové parciálí auoorelačí fuce avrhl Durbi reurziví vzah,, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,,, ˆ ˆ ˆ ˆ =,,, - Jao počáečí odhad se bere. ˆ ˆ 3. Záladí reprezeace sochasicých procesů 3.. Proces bílého šumu Jesliže e sochasicý proces {a } řadou eorelovaých áhodých veliči s osaí sředí hodoou E(a ) = a (obvyle ulovou), osaím rozpylem D(a ) = a a = C(a, a - ) = 0, pro všecha 0, poom se ozačue ao proces bílého šumu. Z éo defiice vyplývá, že proces bílého šumu {a } e sacioárí, s auoorelačí fucí a parciálí auoorelačí fucí Vzhledem omu, že podle defiice plaí 0 = 00 = pro aýoliv proces, budeme uvažova auoorelace a parciálí auoorelace pro 0. Záladím rysem procesu bílého šumu edy e, že ACF a PACF sou ideicy ulové. I dyž se eo proces praicy evysyue, hrae důležiou roli ao záladí savebí prve při výsavbě modelů časových řad. 4 / 9

42 3.. Woldova a Box-Jeisova reprezeace sochasicého procesu Wold (938) doázal, že sacioárí proces, erý eobsahue žádou deermiisicou složu (rozumí se složu, erou by bylo možé přesě prediova a záladě eího miulého vývoe ěaou fucí) lze vyádři ao lieárí ombiaci řady eorelovaých áhodých veliči ve formě a a a a (3.) 0 de 0,,, sou paramery, 0 =, {a } e proces bílého šumu a 0. Jesliže zavedeme zv. operáor zpěého posuuí B, erý e defiová ao B = - a edy B = -, poom lze vzah (3.) zapsa zráceě ao de ( B) a ( B) B B Vzah (3.) se azývá MA ( movig average ) reprezeace sochasicého procesu (reprezeace louzavých průměrů) ebo aé lieárí proces. Lieárí proces může bý aé vyádře ve formě AR ( auoregressive ) reprezeace (auoregresiví reprezeace), eré se ědy aé říá Box-Jeisova reprezeace. Tao reprezeace má var ( ) ( ) B a (3.) resp. ( B)( ) a de,, sou paramery auoregresivího modelu, ( B) B a. Lieárí proces (proces MA) lze zapsa aé ve varu (3.),. eho současou hodou lze vyádři pomocí miulých hodo a současé hodoy bílého šumu, aový proces se azývá iveribilí. Avša e aždý lieárí (sacioárí) proces může bý iveribilí. Aby 4 / 9

43 bylo možé zapsa MA reprezeaci ve formě AR reprezeace, musí ořey polyomu (B), což sou hodoy proměé B, leže vě edoového ruhu,. esliže e ořeem polyomu (B), poom >. A aopa, aby byl AR proces sacioárí, musí e bý možé zapsa ve formě MA reprezeace,. ( B) ( B) přičemž musí bý splěa podmía 0. Aby oo bylo splěo, e ué, aby ořey polyomu (B) ležely vě edoového ruhu. 3.3 Modely sacioárích časových řad 3.3. Auoregresí proces řádu p [AR(p)] Auoregresí model řádu p e možé zapsa ve formě = p -p + a de,, p sou paramery auoregresivího modelu. Pomocí operáoru zpěého posuuí e lze zapsa ao (- B - - p B p ) = a. p (B) = a, de p (B) = (- B - - p B p ). Proces AR(p) e sacioárí, esliže ořey polyomiálí rovice (- B - - p B p ) = 0 leží vě edoového ruhu. Rozpyl procesu AR(p) má formu 0 a p p Hodoy auoorelačí fuce lze zísa a záladě diferečí rovice = p -p, =,, ACF voří ombiace expoeciálě lesaících pohybů (v případě reálých ořeů rovice p (B) = 0) a expoeciálě lesaících siusoidích pohybů (v případě omplexích 43 / 9

44 ořeů rovice p (B) = 0). Hodoy PACF pro zpožděí =,,, p sou růzé od uly, pro další zpožděí se poom rovaí ule (viz obr. 5). Obr. 5 Výběrová ACF a PACF procesu AR() 3.3. Proces louzavých průměrů řádu q [MA(q)] Proces louzavého průměru řádu q e možé zapsa ve formě = a - a q a -q de,, q sou paramery modelu louzavých průměrů, ebo aé = (- B - - q B q ) a = q (B) a Proces MA(q) e vždy sacioárí, proože q i i. Jeho sředí hodoa e ulová a rozpyl e rove p, de e rozpyl bílého šumu. 0 ( ) a a Auoorelačí fuce procesu MA(q) má var q q 0, q,,, q q Hodoy ACF sou edy pro hodoy =,,, q růzé od uly, pro další zpožděí se poom rovaí ule. PACF voří ombiace expoeciálě lesaících pohybů (v případě reálých ořeů rovice q (B) = 0) a expoeciálě lesaících siusoidích pohybů (v případě omplexích ořeů rovice q (B) = 0) (viz obr. 6). 44 / 9

45 Obr. 6 Výběrová ACF a PACF procesu MA() Smíšeé procesy ARMA [ARMA(p, q)] Proces ARMA(p, q) e možé vyádři ve varu p (B) = q (B)a Lieárí proces MA() lze vyádři ao proces AR() lze vyádři ao q ( B) = (B) a, de ( B) ( B) p p ( B) (B) = a, de ( B) ( B) q ( B) Aby byl proces ARMA(p, q) sacioárí, musí ořey rovice p (B) = 0 leže vě edoového ruhu, aby byl iveribilí, musí ořey rovice q (B) = 0 leže vě edoového ruhu. Auoovariace a auoorelace se zísaí z rovic - p -p = 0 pro > q a - p -p = 0 pro > q Z ěcho rovic plye, že var ACF procesu ARMA(p, q) bude obdobý ao v případě procesu AR(p),. bude mí formu ombiace expoeciálě lesaících pohybů a expoeciálě lesaících siusoidích pohybů. Teo var vša bude ásledova až po prvích q p hodoách esliže q > p. Hodoy 0,,, q-p eo var mí ebudou. 45 / 9

46 Pro > p se PACF u procesu ARMA(p, q) bude v případě, že p > q, chova seě ao u procesu MA(q). Pro p q e vša var éo fuce odlišý. 3.4 Modely esacioárích a sezóích časových řad 3.4. Nesacioárí procesy ve sředí hodoě Až dosud sme všechy úvahy vedli o procesech sacioárích v ovariacích,. o procesech s osaí sředí hodoou a rozpylem a s ovariací záviseící pouze a vzdáleos. Sacioárí procesy se vša v realiě vysyuí zřída, zeméa v eoomicé praxi exisuí éměř vždy procesy esacioárí. Nesacioaria procesu může bý způsobea v čase se měící sředí hodoou procesu či v čase se měícím rozpylem procesu. Procesy AR a ARMA sou sacioárí, leží-li všechy ořey polyomu (B) vě edoového ruhu. Neí-li ao podmía splěa,. leží-li alespoň ede oře a edoovém ruhu, proces eí sacioárí, ale obsahue sochasicý red. Plaí ásleduící: leží-li ede oře a edoové ružici a osaí sou vě, proces e sacioárí po prví difereci, leží-li dva ořey a edoové ružici a osaí sou vě, proces e sacioárí po druhé difereci ad. Nesacioárí procesy se sochasicým redem mohou bý a sacioárí převedey diferecováím. Proces, erý eobsahue po d-é difereci žádou deermiisicou složu (red, sezóí složu) a erá lze popsa sacioárí a iveribilí reprezeací ARMA, se azývá iegrovaým procesem d-ého řádu a začí se I(d). Proces, ež e možé po d-é difereci popsa sacioárí a iveribilí reprezeací ARMA(p, q) lze zapsa ao p (B)(-B) d = 0 + q (B)a (3.3) de p (B) = - B - - p B p e auoregresí operáor, p (B) = - B - - p B p e operáor louzavých průměrů, (-B) d e sacioárí sochasicý proces dosažeý d-ou diferecí. Je zřemé, že polyom (-B) d = (-B) (-B) (-B) má d edoových ořeů (ořeů ležících a edoovém ruhu), aže pro d proces obsahue sochasicý polyomicý red řádu d. 0 e volý paramer, erý má růzou úlohu pro d = 0 a d. 46 / 9

47 V případě d = 0 (sacioárí proces) e 0 sředí hodoou daého procesu. V případě esacioariy (d ) se ao sředí hodoa sává mělivou v závislosi a čase a sává se a lieárím, parabolicým ad. deermiisicým redem. Model (3.3) se ozačue ao ARIMA(p, d, q) (Auoregressive Iegraed Movig Average). Jesliže d = 0, ARIMA(p, d, q) se reduue a ARMA(p, q), v případě, že p = 0, reduue se a IMA(d, q) a v případě q = 0 a ARI(p, d) Proces áhodé procházy ( radom wal ) Zvláším případem e proces ARIMA(p, d, q), de p = 0, q = 0. Je charaerisicým ím, že po d-é difereci z ěho vzie proces bílého šumu. Lze e zapsa ao (-B) d = a Praicy e výzamý zeméa proces áhodé procházy, dy d =, aže zísáí procesu bílého šumu sačí prví diferece. Má formu edy (-B) = a = - + a Vzhledem omu, že (-B) - = ( + B + B + ) lze proces (-B) = a přepsa do formy = ( + B + B + ) a = a + a - + a - + Proces áhodé procházy e limiím případem procesu AR() pro. Hodoy ACF procesu áhodé procházy budou lesa velmi pomalu. Proces áhodé procházy e voře umulováím áhodých veliči vořících proces bílého šumu. Náhodá procháza e esacioárí proces. Zdroem eí esacioariy e sochasicý red a. Parciálí auoorelačí fuce procesu AR() blížící se procesu áhodé procházy e logicy velmi podobá parciálí auoorelačí fuci procesu AR(). 47 / 9

48 3.4.3 Procesy esacioárí v rozpylu Neí-li splěa podmía eměosi rozpylu v čase, e proces esacioárí v rozpylu. Může se sá, že i ovariace závisí a čase (ee a ), sacioárí proces ve sředí hodoě a může mí časově závislý rozpyl i ovariaci. V ěerých případech lze sacioariy (časově ezávislá sředí hodoa, rozpyl, ovariace) dosáhou pouze diferecemi. V moha případech omu ale a eí. Poom e řeba provés vhodé rasformace procesu. Časo se sává, že sabilizací rozpylu e sabilizováa i ovariace. Obecě e možé použí Box-Coxovu rasformaci (Box-Cox, 964), erá má ásleduící var T ( ) ( ) l( ) 0 0 de e zv. rasformačí paramer. Teo paramer e odhadová meodou maximálí věrohodosi (Aděl, 976): de o o odhadou aové, eré vede rasformaci časové řady miimalizuící reziduálí souče čverců zvoleého modelu Sezóí procesy Myšlea sezóího procesu e ásleduící: ao v případě lasicého procesu ARIMA předpoládáme vzáemou závislos mezi veličiami, -3, -, -,, +, +, +3,. Proože eo proces obsahue ešě sezóí olísáí, lze očeáva i závislos mezi sobě odpovídaícími veličiami v edolivých sezóách,. mezi veličiami, -s, - s, s, +s, +s,, de s e déla sezóí periody (u měsíčích časových řad, u čvrleích 4 ad.). Předpoládeme, že proces obsahue oba ypy závislosí. Závislos uviř period e poom zachycea lasicým ARIMA modelem p (B)(-B) d = 0 + q (B) b (3.4) de 0 charaerizue deermiisicý red v případě, že d 0. Proces {b } obsahue závislos mezi periodami, eo proces může bý popsá modelem 48 / 9

49 P (B s ) (-B s ) D b = q (B s ) a (3.5) de P (B s ) = - B s - - p B Ps e sezóí auoregresiví operáor a q (B s ) = - B s - - q B Ps e sezóí operáor louzavých průměrů. Prosředicvím čleu (-B s ) se osruuí sezóí diferece, {a } e proces bílého šumu. Jesliže se procesy (3.4) a (3.5) spoí, zísá se proces p (B s ) p (B) (-B) d (-B s ) D = 0 + q (B) q (B s ) a (3.6) erý e ozačová ao SARIMA(p, d, q)(p, D, Q) s, de p e řád procesu AR, q e řád procesu MA, d e řád prosé diferece, P e řád sezóího procesu AR, Q e řád sezóího procesu MA, D e řád sezóí diferece, s e déla periody. Záladí rysy auoorelačí a parciálí auoorelačí fuce procesu (3.6) sou podobé ao v případě procesu ARIMA s ím rozdílem, že var ACF a PACF se periodicy opaue v modifiacích odpovídaících lasicému modelu ARIMA. Jesliže edy v bodech i, eré se pravidelě opauí po s sezóách, dosahue ACF výzamých hodo, ež se od sebe liší e málo (pozvolě lesaí), e řeba uvažova příslušou sezóí difereci. Poud sou i osaí hodoy výzamé, e řeba diferecí esezóích, prosých. Jesliže e proces diferecová sezóě i prosě, voří ACF a PACF v prví periodě seé vary ao v případě procesů esezóích, v osaích periodách se pa rasformuí v závislosi a ypu sezóího procesu (SAR, SMA, SARMA, SARIMA). Tvary ACF a PACF sou poměrě ompliovaé a lze e ěžo obecě edozačě popsa. Složios ACF a PACF e dáa ím, že se zde současě proevue působeí čyř druhů paramerů (AR, MA, SAR, SMA) a avíc se ědy edá o procesy ež sou esacioárí. 3.5 Ideifiace a ověřováí modelu, odhady paramerů, osruce předpovědí 3.5. Ideifiace modelu Jedou z eěžších úloh při výsavbě Boxových-Jeisových modelů e eich ideifiace. Tao úloha spočívá v rozhoduí, aý yp modelu vybra. Ideifiace e pouze 49 / 9

50 prví fází osruce Boxových-Jeisových modelů. Výsledý model e dos časo odlišý od modelu ideifiovaého (eo model e řeba ešě ověři a upravi). Jedolivé roy ideifiace modelu ARIMA(p, d, q) sou: ) Prozoumáí grafu časové řady. V moha případech e možé iž a prví pohled rozpoza příomos redu, časo lze vidě i ouliers (odlehlá pozorováí). V éo fázi de především o subeiví zhodoceí siuace. Nicméě, iž yí e vhodé sacioarizova časovou řadu či provés ié úpravy. Především e řeba odsrai odlehlá pozorováí eich vyecháím a provés rasformaci, ež sabilizue rozpyl. Následě se musí řada diferecova a sabilizova ve sředí hodoě. Vhodé e provés rasformace ešě před saoveím řádu diferecováí a vlasích diferecí. ) Dalším roem e výpoče odhadů ACF a PACF. Na eich záladě e možé revidova, zda e řada diferecováa dosaečě. Ja iž bylo výše pozameáo, pro řadu, erá obsahue red, e charaerisicé, že odhady hodo ACF sou vysoé a lesaí velmi pomalu, zaímco u PACF e vysoých pouze ěoli málo prvích hodo. 3) Po sacioarizaci řady se použií odhady ACF a PACF pro ideifiaci modelů AR a MA (alezeí hodo p a q). Tao ideifiace e založea a pricipu podobosi odhaduých ACF a PACF s eoreicými ACF a PACF. Následuící abula obsahue popis varů ACF a PACF pro modely AR, MA a ARMA Tab. Tvary ACF a PACF modelu AR, MA a ARMA Model ACF PACF AR(p) expoeciálě lesaící ebo siusoida s expoeciálě lesaící ampliudou po p posuuích výrazě lesá MA(q) po q posuuích výrazě lesá expoeciálě lesaící ebo siusoida s expoeciálě lesaící ampliudou ARMA(p, q) po q posuuích ao AR(p) po p posuuích ao MA(q) Aby bylo možé osruova věrohodý model, e řeba mí alespoň T = 50 pozorováí a e vhodé mí odhad ACF a PACF vořeý asi T / 4 hodoami. Obsahue-li časová řada aé sezóí složu, e řeba ideifiova model ypu SARIMA varu (3.6). Pricip e seý ao v předchozím případě. ) Neprve e řeba časovou řadu sacioarizova. Poud e o ué, sabilizue se řada z hledisa rozpylu. Poé se řada diferecue: eprve se provádí sezóí diferece (sezóí výyvy sou časo paré iž a obrázu časové řady) a poom diferece prosé. ) V další fázi se vypočíaí odhady ACF a PACF, pomocí erých se určí yp sezóích modelů SAR, SMA, či SARMA. Ideifiací ěcho modelů se vša ešě eočí. Po 50 / 9

51 ideifiaci a modelováí sezóí složy zůsává dále sacioárí řada, erá může obsahova ešě další sysemaičosi. Je edy řeba ešě edou vypočía odhady ACF a PACF pro ao rasformovaou řadu a posoudi, zda i lze dále modelova esezóími AR, MA, či ARMA modely Odhady paramerů modelu Pro ideifiaci ARIMA modelu,. pro alezeí hodo p, d, q e řeba odhadou eho paramery. Pro eo účel exisue ěoli posupů. Uvede zde lasicou meodu, erá se sala záladem pro meody osaí. Procedura odhadu paramerů modelu ARIMA e založea a meodě maximálí věrohodosi. Podmíěá meoda maximálí věrohodosi Uvažume obecý esezóí model ARIMA(p, q, d) ve formě p (B)(-B) d = q (B) a (3.7) aže proces (-B) d e sacioárí ve sředí hodoě a lze e popsa sacioárí a iveribilí reprezeací ARMA(p, q) p (B) = q(b) a, de = (-B) d, (3.8) {a } e gausovsý bílý šum,. edolivé veličiy sou eorelovaé a maí ormálí rozděleí s ulovou sředí hodoou a osaím rozpylem a, p(b) = (- B - - p B p ) e auoregresiví operáor a q (B) = (- B - - q B q ) e operáor louzavých průměrů. Úlohou e odhadou paramery,, p,,, q, a a. Při odhadu ěcho paramerů se vychází z předpoladu, že a = (a,, a T ) e gausovsý bílý šum,. aždá veličia a = - (B) (B), =,, T (T = d e poče pozorováí po diferecováí) má rozděleí N(0, ) a T-rozměrá veličia a = (a,, a T ) má husou pravděpodobosi a T T / f ( a,,, a ) ( a ) exp a (3.9) a 5 / 9

52 erá e v omo případě rověž fucí věrohodosí,. f(a, ) = L(a, ) Myšlea odhadu paramerů meodou maximálí věrohodosi spočívá v alezeí aových a a odhadů paramerů, a, eré při daém a( ), = (,, T ) maximalizuí věrohodosí fuci (3.9). Věrohodosí fucí se azývá sdružeá husoa pravděpodobosi áhodého výběru Z = (Z,, Z T ), ež e při daém z = (z,, z T ) fucí veoru paramerů G = (G,, G T ), lze i zapsa ve formě T L( G ) f ( z ; G). i de Řešeí bude alezeo, při maximalizaci logarimu věrohodosí fuce l L(,,, ) a T S(,, ) l a, (3.0) a T S(,, ) a (,, ). (3.) Maximálí hodoy věrohodosí fuce se dosáhou při miimálí hodoě reziduálího souču čverců, aže odhadu paramerů sačí miimalizova reziduálí souče čverců (3.). Odhad reziduálího rozpylu ˆ a se pa vypočíá ao podíl S( ˆ, ˆ, ˆ) ˆ a. (3.) T ( p q ) Při éo proceduře vša vziá ásleduící problém. Přepišme yí proces (3.8) do varu a = a q a -q +, (3.3) z ěhož e vidě, že pro reureí odsarováí procesu výpoču veliči a, e řeba mí dispozici dodaečé iformace. To e zřeelěší, zapíše-li se rovice pro prví reziduálí veličiu a = a q a -q +, (3.4) p p 0 p p 5 / 9

53 Podmíou pro výpoče odhadů paramerů modelu sou vhodě zvoleé veličiy a = (a0, a -, a -q ) a (,,, ) ; proo se hovoří o podmíěé meodě 0 maximálí věrohodosi a (3.) e podmíěý reziduálí souče čverců. p Exisue ěoli možosí volby hodo a a. Prví vychází z předpoladu, že proces { } e sacioárí a {a} e gausovsý proces bílého šumu, aže e možé ezámé hodoy ahradi průměrem hodo zámých. Je-li = 0, dosadí se uly. Za ezámé hodoy a se dosadí rověž uly. Leží-li ale ořey polyomu p (B) blízo edoové ružice, může doí omu, že suečě aměřeá hodoa se od odhadů hodo miulých začě liší, což by odhadovací proceduru zreslilo. Další možosí e položi rové ule veličiy a p-q,, a p. Poom se lze omezi pouze a výpoče veliči a p+,, a,. a se počíá podle vzorce (3.3) až pro (p+), aže problém volby počáečích hodo zcela odpadá. Poom ale podmíěý reziduálí souče čverců má podobu S T (,, ) a (,, ) p. (3.5) a reziduálí rozpyl se odhade ao S ˆ, ˆ, ˆ) ˆ ( a, (3.6) ( T p) ( p q ) eboť odhad podmíěého reziduálího souču čverců závisí a p + q + odhadovaých paramerech v (T - p) sčíacích. Nepodmíěá meoda maximálí věrohodosi 0 0 Nepodmíěá meoda maximálí věrohodosi při odhadu ezámých hodo,, ad. spočívá v ásleduícím posupu. Neprve se položí,,, a a0, a-,, a -q rovy ule. Poom se odhade model ARMA pomocí podmíěé meody maximálí věrohodosi. Dále se použie odhaduý model ARMA odhadu hodo,, ásleduícím způsobem. Model ARMA může bý zapsá ve formě 0 p (- B - - p B p ) = (- B - - p B p ) a (3.7) ebo ve formě 53 / 9

54 (- F - - p F p ) = (- F - - p F p ) e (3.8) de F e iverzí operáor operáoru B a azývá se zv. operáor posuuí vpřed, aže plaí F = +. Vzhledem e sacioariě procesu, maí oba yo modely seou auoovariačí sruuru, z čehož plye, že i {e} e proces bílého šumu s ulovou sředí hodoou a osaím rozpylem,. lze psá p p e e q e q (3.9) aže v případě, že sou dispozici počáečí odhady paramerů modelu ARMA, a edy podmíěé sředí hodoy E (e ), =,, q, odhady hodo,, lze,, T 0 vypočía ásleduícím způsobem ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p p e q eq ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p p e q eq ˆ ˆ eˆ ˆ eˆ 0 ˆ 0 p p 3 q q (3.0) de E (e ) se začí ao. Pomocí zv. zpěé exrapolace zísaé odhady,, T ê 0,, sou podmíěé sředí hodoy E (, ), = 0, -, -, Při výpoču, T se poračue a dlouho, až absoluí rozdíl E (, ) - E ( ) e, T,, T meší, ež ěaá malá hodoa pro -M. Výpočem hodo 0,, vzhled em e vzahu (3.3), sou dáy odhady reziduí a E( a,,, ) pro ompleí řadu,,, T. ˆ M M Při odhadu paramerů se vychází opě z logarimů věrohodosí fuce,. provádí se miimalizace souču čverců podmíěých sředích hodo reziduí. T E( a M, M,, T S(,, ). (3.) M T Odhad reziduálího rozpylu se pa vypočíá ao S( ˆ, ˆ, ˆ) ˆ a. T 54 / 9

55 Empiricy e proázáo, že čím e časová řada raší, ím má volba počáečích hodo řady věší výzam, aže má výzam použí zpěé exrapolace. Jsou-li časové řady dlouhé, odhady zísaé a záladě podmíěé a epodmíěé meody maximálí věrohodosi sou éměř seé. Praicy se ale doporučue zpracováva řady miimálě o 50 hodoách. V om případě výsledy odhadů a počáečích podmíách praicy ezávisí. Bylo proázáo, že meodu zpěé exrapolace e výhodé používa především při odhadu paramerů sezóích modelů a modelů esacioárích časových řad. Meoda emeších čverců Výše bylo uvedeo, že pro odhad paramerů posačí miimalizova reziduálí souče čverců S(). V éo souvislosi se abízí použí odhadu paramerů meodu emeších čverců. Uvažume a chvíli ásleduící regresí model Y = Z + e =,, Meoda emeších čverců pro odhad vychází z ásleduících podmíe o reziduálí složce e (podmíy lasicého lieárího regresího modelu):. E(e ) = 0, sředí hodoa e ulová,. E( e, rozpyl e osaí, ) e 3. E(e e ) = 0 pro, rezidua sou ezávislá, 4. E(Z e ) = 0, rezidua a vysvěluící proměé sou ezávislé. {e } e edy proces bílého šumu, ědy se předpoládá, že e ~ N(0, ),. de o gausovsý bílý šum. Odhad paramerů meodou emeších čverců má za uvedeých podmíe formu Z Y ˆ (3.) Z Lze doáza, že de o elepší (emeší rozpyl), esraý, oziseí odhad. Vraťme se yí modelům ašeho ypu. Uvažume sacioárí model AR(), erý má formu = - + e, =,, 55 / 9

56 Za podmíe lasicého lieárího regresího modelu e možé zísa odhad paramerů za pomocí meody emeších čverců, ve varu ˆ (3.3) I eo odhad e lieárí, elepší, esraý a oziseí. Maximum věrohodosí fuce se achází ve seém bodě (= veor paramerů) v aém e miimálí reziduálí souče čverců. Podíveme se a případ obecěší, a iveribilí model AR(p) = p -p + e (3.4) Opě předpoládeme, že budou splěy předchozí podmíy.-3., v případě 4. podmíy předpoládáme ezávislos e a v aždém uvažovaém posuu. Proože se vša edá o případ mohoásobé lieárí regrese, e řeba uvažova ešě další podmíu, že vysvěluící proměé sou vzáemě lieárě ezávislé,. vzáemě eorelovaé. Poud omu a eí, hovoří se o muliolieariě, erá způsobue adhodoceí odhadů směrodaých chyb odhadů paramerů,, p a ím zresleí výsledů esů ýaících se ěcho paramerů. Až dosud sme se v éo čási zabývali modely AR, dy rezidua sou bílým šumem (případě gaussovsým bílým šumem),. e = a. Ale právě v případě regresích modelů uvažovaého ypu, omu a časo eí a asává siuace, že rezidua sou a sobě závislá, auoorelovaá. Neí a splěá řeí podmía lasicého lieárího regresího modelu, což při použií meody emeších čverců vede problémům s odhady paramerů,, p. Příomos auoorelovaých reziduí se sice edoe esraosi a ozisece odhadů paramerů modelu AR, eich vydaos vša lese (vzrose eich směrodaá chyba). Jesliže e v modelu příoma mulioliearia, poles vydaosi odhadu paramerů e ešě výrazěší. Auoorelovaá rezidua e možé modelova ásleduícím způsobem e = q (B) a (3.5) V případě exisece auoorelovaých reziduí se problém odhadu paramerů,, p modelu (3.4) rozšiřue a problém odhadu dalších paramerů,, q. Jde o úlohu odhadu 56 / 9

57 paramerů modelu ARMA(p, q) formy (9) prosředicvím miimalizace reziduálího souču čverců S(). Zde iž s obyčeou meodou emeších čverců evysačíme. Nelieárí odhady paramerů Pro odhad paramerů modelu ARMA(p, q) elze použí meodu emeších čverců, eboť a rozdíl od modelu AR(p) eo model eí lieárí v paramerech, což lze ilusrova a příladu sacioárího modelu ARMA(, ). ( B) = ( B) a (3.6) veličiu a e možé zísa ásleduícím způsobem a a ( ) ( a a Paramery emohou bý odhaduy pomocí meody emeších čverců, eboť esou lieárí. Pro odhad se používá ásleduící ieračí elieárí odhadovací procedura. Pricip spočívá v liearizaci fuce elieárí v paramerech pomocí Taylorova rozvoe fuce oolo počáečích odhadů pro paramery = (,, p ), = (,, q ). Odhady paramerů sou ásledě zísáy použiím obyčeé meody emeších čverců. Dalším roem e opě seá liearizace původí fuce elieárí v paramerech provedeá eorá a záladě ově odhaduých paramerů. Proces se ieraivě opaue do é doby ež se odhady paramerů a a budou liši v edolivých ieracích o ěaé malé číslo. ) Ověřováí modelu Tesováí sacioariy Při výsavbě modelů řídy ARIMA e velmi důležié určeí řádu diferecováí d. Při aalýze časových řad se praicy seáváme s iegrovaými časovými řadami maximálě řádu dva,. řadami ypu I(). Nečasěi se vša můžeme sea s řadami I(). Časové řady se edy sacioarizuí věšiou prosředicvím prví či druhé diferece. 57 / 9

58 Velmi edoduchou subeiví meodou e posouzeí grafu časové řady. Vhodé e porova původí ediferecovaou časovou řadu s časovou řadou prvích či druhých diferecí. I dyž má ao meoda subeiví charaer, e v moha případech velmi efeiví. Další velmi edoduchou meodou e aé posouzeí varu výběrové auoorelačí fuce. Klesá-li ao fuce pomalu, přibližě lieárím empem, edá se o siuaci, dy alespoň ede oře rovice p (B) = 0 e blízý edé a e edy vhodé provés diferecováí. Použií výběrové auoorelačí fuce může ědy vés přediferecováí časové řady. I dyž diferecováí sacioárích časových řad vede opě sacioárím časovým řadám, ao operace může způsobova vážé problémy. Třeí možosí e Dicey-Fullerův es, erý esue, zda e sacioárí řada vzilá po prví difereci. Taové řady se azývaí řady s edoovým ořeem. Teorie ýaící se esováí řad s edoovým ořeem e poměrě rozsáhlá, uvedu pouze záladí verzi Dicey-Fullerova esu. Uvažume, že sme modelovali časovou řadu modelem AR() 0 de {a } e proces gaussovsého bílého šumu. Poud = a 0 = 0, poom se eo model sává modelem áhodé procházy. Dicesy-Fullerův es ověřue hypoézu, že H 0 : =. Aleraiví hypoézou e H : <. Tesue se edy hypoéza, že časová řada vzilá po prví difereci e sacioárí proi hypoéze, že časová řada e sacioárí. Jao esové riérium se abízí -saisia vypočíaá a záladě meody emeších čverců, ež má var ˆ ˆ S ˆ de ˆ e odhad pořízeý meodou emeších čverců a ˆ S e odhad směrodaé chyby odhadu ˆ. Tao saisia má zv. Fullerovo rozděleí. Vraťme se obecému modelu ARIMA(p, d, q). Budeme uvažova, že d =,. že časová řada vzilá po prví difereci e sacioárí. Poom se používá pro esováí edoového ořeu zv. rozšířeý Dicey-Fullerův es, při erém se vychází z modelu ve varu 0 a Z de Z lze modelova sacioárím a iveribilím modelem ARMA(p, q) varu Z p i Z i i a q a 58 / 9

59 de {a } e proces gaussovsého bílého šumu. Teo model lze převés a model varu 0 bi ( i i ) i Odhady paramerů se zísaí meodou emeších čverců. Said a Dicey (984) rověž doazuí, že limií rozděleí saisiy e seé ao v předchozím edoduchém případu a lze edy použí seé abuly vailů ohoo rozděleí. a Tesováí reziduí V modelu ARIMA(p, d, q) ypu (3.3) předpoládáme, že {a } e proces bílého šumu. Odhaduá rezidua a záladě ideifiovaého modelu a ˆ ˆ ( B) ˆ ( B) y q de ˆ p ( B) ˆ B ˆ B e auoregresiví operáor a ˆ q ( B) ˆ B ˆ B e p p operáor louzavých průměrů, by měla bý eorelováa. Jesliže sou rezidua eorelováa, musí bý odhady auoorelačí fuce a parciálí auoorelačí fuce blízé ule pro posuuí, yo odhady by měly leže uviř oleračích mezí (± Sˆ = 0,05) p q či ± Sˆ při Další možosí, a zisi, zda odhaduá rezidua sou eorelováa, e použií pormaeau esu. Tesue se hypoéza H 0 : r = r = = r K = 0 proi hypoéze H : o H 0, de r =,, K sou auoorelačí oeficiey reziduí pro posuuí. Hodoy výběrové auoorelačí fuce reziduí rˆ sou počíáy ao aˆ aˆ rˆ aˆ Plaí-li hypoéza H 0, sou reziduálí výběrové auoorelace pro velá, ormálě rozděleé áhodé veličiy s ulovou sředí hodoou a rozpylem / T, de T = d e poče pozorováí diferecovaé časové řady. Uvažume yí saisiu Q T K r ˆ (3.7) q erá má přibližě rozděleí (rozděleí e přibližé proo, že pro malá e rozpyl ěcho áhodých veliči poěud podhodoce a veličiy mohou bý závislé). Bylo doázáo, že 59 / 9

60 ao saisia (pormaeau saisia) má pro velá K asympoicy rozděleí s (K - p - q) supi volosi. Taže porováím hodoy esového riéria (3.7) s příslušými vaily rozděleí (K - p - q) lze esova hypoézu o ezávislosi reziduí. Bylo doázáo, že pro rozsahy výběrů používaých v praxi má saisia (3.7) ié pravděpodobosí rozděleí, ež e eí rozděleí asympoicé (limií). Proo byla avržea ásleduící saisia Q T ( T ) ( T ) ˆ erá má rozděleí (K - p - q). Nazývá se modifiovaá pormaeau saisia (Lug- Boxova saisia) Tesováí bílého šumu v případech sezóích modelů e obdobé ao u modelů esezóích s ím, že se měí poče supňů volosi, pormaeau es má rozděleí (K - p - q - P - Q). K r Tesováí áhodé složy Náhodá složa časové řady předsavue působeí epodchyceých drobých vzáemě ezávislých vlivů, eré se v rámci časové řady vzáemě vyompezuí,. plaí E( ) = 0, =,,,. Růzé ypy předpoladů a áhodé složce: a) Homosedasicia edolivé áhodé složy sou lieárě ezávislé s osaím rozpylem: D( ) =, =,,, a E( i ) = 0, i. b) Heerosedasicia áhodé složy sou ezávislé s mělivými rozpyly: D( ) = / w, =,,, de váhy w splňuí podmíu w a E( i ) = 0, i. c) Auoorelace áhodá porucha v čase závisí lieárě a poruše v předcházeícím čase -,. = - + u, =,,,, 0 < <, de se azývá oeficie auoorelace, erý e považová za osau a u sou opě ezávislé áhodé poruchy s ulovými sředími hodoami a osaími rozpyly. Ve všech esech se ao ulová hypoéza H 0 esue, zda předložeá pozorováí sou realizace vzáemě ezávislých seě rozděleých áhodých veliči, eré emusí mí ao bílý šum ulovou sředí hodou (může se edy eda o bílý šum olísaící olem eulové 60 / 9

61 úrově). Při zamíuí ulové hypoézy zřemě aalyzovaá řada ím spíše lasicým bílým šumem bý emůže. a) Zaméový es Vypočeme prví diferece časové řady reziduí. Ozačíme S poče ladých diferecí časové řady. K esu ulové hypoézy o áhodosi uspořádáí reziduí,. hypoézy H 0 : E(S) = ( )/ proi aleraivě H : E(S) ) / použieme esové riérium S ( ) U, erá má za plaosi H 0 asympoicy (pro > ) ormálí rozděleí. Kriicý obor odpovídaící hladiě výzamosi e vymeze erovosí U > u -/, de u -/ e vail rozděleí N(0, ). b) Tes bodů obraů Body obraů sou vrcholy a dolíy řady. Vrcholem e pozorováí s hodoou vyšší, ež sou hodoy dvou sousedích pozorováí, dolíem e pozorováí s hodoou ižší, ež hodoy dvou sousedích pozorováí. Celový poče obraů u časové řady reziduí ozačme P. Lze uáza, že P e áhodá veličia se sředí hodoou E(P) = (-) / 3 a rozpylem D(P) = (6-9) / 90. Tesueme edy hypoézu H 0 : P = (-) / 3 proi aleraivě H : P (-) / 3. Užieme esového riéria P ( ) U 3 90, 6 9 eré má za plaosi H 0 asympoicy ormálí rozděleí N(0,). Kriicý obor odpovídaící hladiě výzamosi e vymeze erovosí U > u N(0,). - /, de u -/ e vail rozděleí c) Tes založeý a Kedallově oeficieu Spočeme v daé řadě poče v aových dvoic y s a y, že y s < y pro s <. Tes e založe a Kedallově oeficieu pořadové orelace, defiovaém ao 4v. ( ) 6 / 9

62 Teo oeficie, erý byl původě zavede pro ohodoceí závislosi mezi růzými uspořádáími daých hodo, může abýva hodo pouze z iervalu <-, > a má za plaosi hypoézy H 0 ulovou sředí hodou a rozpyl ( 5) var( ). 9( ) Hypoézu H 0 zamíáme, dyž ( 5) 9( ) u / d) Tes založeý a Spearmaově oeficieu Nechť q,, q ozačue pořadí hodo daé řady. Spearmaův oeficie pořadové orelace budeme používa ve varu 6 i q i ) ( ( ) i Kriicé hodoy r S (p) pro esováí hypoézy H 0 aové, že P( >r S (p)) p sou abelováy apř. v učebici [Aděl. J. Maemaicá saisia. Praha. SNTL/Alfa 978] pro 30. Pro věší hypoézu H 0 zamíám e, dyž q u / e) Mediáový es Pro eo es e ué zosruova výběrový mediá M daých pozorováí. V graficém zázamu řady hledáme přímu rovoběžou s časovou osou, erá má u vlasos, že ad í i pod í leží seý poče pozorováí. Vyloučíme všecha pozorováí ležící a zosruovaé přímce a osaí pozorováí sdružíme do supi a, že všecha pozorováí v aždé aové supiě leží buď ad daou přímou, ebo pod í. Ozačme u poče ěcho supi a m celový poče pozorováí pod přímou. Odpovídaící riicé hodoy pro es založeý a poču u sou uvedey v [Lieš, J. Jaga, J. Záladí saisicé abuly. Praha. SNTL 978] Hypoézu H 0 zamíáme, dyž u ( m ) u m( m ) /(m ) / 6 / 9

63 Výběr modelu V ěerých případech se může sá, že se ideifiuí dva či více přiaelých modelů. Poom vziá oáza, erý z ich zvoli. Exisuí dva přísupy pro výběr modelu. Prví z ich e založe a dalším zoumáí a porováí odhaduých reziduí. Dává se předos modelu s emeší hodoou odhadu reziduálího rozpylu a s meším počem paramerů. Z ohoo pricipu vychází ěoli ásleduících riérií.. Kriérium AIC (Aaie Iformaio Crierio) zavedl Aaie (973). Je defiováo ao AIC(M) = T l ˆ u M, de T e poče pozorováí po difereciaci, M e poče paramerů. Vybírá se e model, erý miimalizue AIC(M). Kriérium BIC (Bayesia exesio of Iformaio Crierium) zavedl Aaie z důvodu, že AIC adhodocovalo řád auoregrese. Too riérium má formu M ˆ BIC( M ) T l ˆ a ( T M )l M lt M l T ˆ a M ˆ de e odhad rozpylu časové řady. Volí se e model, erý miimalizue BIC(M) 3. Kriérium SBC (Schwarz s Bayesia Crierio) bylo avržeo Schwarzem (978) a má formu SBC(M) = T l ˆ u M lt Opě se vybere e model, erý miimalizue SBC(M) Druhý způsob volby vhodého modelu spočívá v porováí přesosi předpovědí, eré edolivé modely posyuí. Časová řada se rozdělí a dvě čási. Modely sou odhaduy a záladě prví čási, druhá čás e pa použia pro měřeí přesosi předpovědí ex pos 3.6 Kosruce předpovědí 3.6. Výpoče předpovědí 63 / 9

64 Výpoče předpovědí se provádí reurzivě a záladě odhadů paramerů daého modelu. Neprve se vypočíá předpověď a ede ro dopředu. Tao předpověď se využie pro výpoče předpovědí a dva roy dopředu ad. Model (3.3) lze zapsa aé ao a p p a a q q de ( B) d Aby bylo možé vypočía předpověď ( h ), e řeba vypočía předpovědi (), (),, ( h ). h Obecě předpověď ( ) lze zapsa ao ( h) ˆ ˆ ( h ) ˆ ˆ h ˆp ˆ ph ˆ aˆ h ˆ aˆ q qh Jesliž e h > p a h > q, poom bude ao předpověď ( h) ˆ ˆ ( h ) ˆ p ˆ ( h p) Z ohoo zápisu e pará paměť sacioárího procesu AR a iveribilího procesu MA. Zaímco paměť procesu AR se zrácí posupě, a se zvyšue horizo předpovědi h, a předpovědi se blíží e sředí hodoě daého procesu AR,. ule (poud eí zařaze volý paramer 0 ), paměť procesu MA očí po horizou h = q, resp. předpověď osruovaá pro h > q má vždy hodou ula (resp. hodou volého parameru 0, poud e zařaze do modelu). O sacioárích procesech se ědy hovoří aé ao o procesech s ráou paměí. Jesliže se modelue řada pomocí esacioárího procesu, poom e předpověď vořea ao umulaiví souče předpovědi zísaých výše uvedeým způsobem. Taže, dyž d =, poom předpověď s horizoem h se počíá ao ( h) ˆ () ˆ Jesliže d =, poom předpověď ˆ ( h) se počíá ao ˆ ( h) [( B) ˆ [( B) () ˆ Vzhledem omu, že se edolivé předpovědi esacioárích procesů umuluí, iformace v ich obsažeé se s rosoucím horizoem ezráceí. V omo smyslu maí esacioárí procesy dlouhou paměť. Ierval spolehlivosi pro předpověď ˆ ( h) e počíá ao ()] [( B) ˆ () ˆ ˆ ( h)] ( h) () ˆ ()] 64 / 9

65 C ˆ ( h) c h 0 ˆ ˆ a de apř. pro 95% ierval spolehlivosi c =. Je logicé, že pro zvyšuící se horizo předpovědi h se ierval spolehlivosi rozšiřue. 3.7 Lieraura Aaie, H. Iformaio heory ad a exesio of he maximum lielihood priciple. d Ieraio Symposium o Iformaio Theory, Budapes: 973. Aademiai Kiado. s Aděl, J. Saisicá aalýza časových řad. Praha: SNTL. 976 Arl, J. Moderí meody modelováí eoomicých časových řad.. vyd. Praha: Grada Publishig s. ISBN Arl, J. Arlová, M. Přílady z aalýzy eoomicých časových řad. Praha: VŠE 997. Box, G. E. P. Jeis, G. M. Time Series Aalysis: Forecasig ad Corol, rev. ed., Sa Fracisco: Holde Day. 976 Cipra, T. Aalýza časových řad s apliacemi v eoomii. Praha: SNTL Kozá. J. Hidls, R. Arl, J. Úvod do aalýzy eoomicých časových řad. Praha: VŠE 994. ISBN Said, E. S. Dicey, D. A. Tesig for ui roos i auoregressive-movig average models of uow order. Biomeria: 984, 7, s Schwarz, G. Esimaig he dimesio of a model. A. Sais., s Suchlý, J. Saisia II. Praha: VŠE / 9

66 4 Wavele rasformace ve zpracováí sigálů V druhé apiole ásledue popis eorie waveleů, de se sousředím především a deompozici sigálu, zv. MR-aalýzu (z agl. muliresoluio aalysis - MRA), což lze volě přeloži ao aalýza o více úrovích rozlišeí. Tao meoda e výpočeě velmi araiví, eboť umožňue edoduchou apliací vhodé dvoice lieárích filrů posupě sižova ebo zvyšova rozlišovací schopos waveleové aproximace. Wavele rasformaci lze využí pro aalýzu sacioárích i esacioárích sigálů. Wavele rasformace předsavue moderí ásro pro aalýzu, deompozici a reosruci sigálů a obrazů. Jeí předosí v porováí s ráou disréí Fourierovou rasformací e zeméa možos volby fucí pro aalýzu v závislosi a řešeém problému a dále proměá rozlišovací schopos pro dílčí frevečí složy sigálu. Práce preseue záladí vzahy pro implemeaci disréí Wavele rasformace a zabývá se eími ěerými ypicými apliacemi. 4. Úvod Wavele rasformace (WT) předsavue poměrě ový maemaicý prosřede pro aalýzu sigálů pomocí Wavele fucí s apliací a široé sperum reálých sigálů, eré zahrue echologicé časové řady, biomedicísé sigály a obrazy, družicové símy, eoomicá daa i lidsou řeč. V řadě případů e problémem efeiví ódováí, omprese, polačováí rušivých slože, modelováí a deece dílčích slože sigálu. Wavele rasformace předsavue v řadě ěcho oblasí moderí a pružý ásro, erý lze modifiova s ohledem a řešeý problém. Prosředy Wavele rasformace se ve svých pricipech opíraí o práce Josepha Fouriera, erý v 9. soleí položil zálady frevečí aalýzy. Tyo pricipy vša byly zásadě modifiováy zeméa v posledích 0 leech fracouzsými maemaiy Y. Meyerem, S. Malaem a I. Daubechies. Důvodů pro současý velice rychlý rozvo Wavele fucí e celá řada. Záladím z ich e uos aalýzy esacioárích sigálů, pro eré e použielá Fourierova rasformace s posuvým oéem oečé dély. Wavele fuce předsavuí v éo oblasi ový ásro s možosí aalýzy sigálů a růzých rozlišovacích úrovích v závislosi a zpracovávaém frevečím pásmu. Jeich výzam e i v om, že 66 / 9

67 umožňuí velice efeivě využí pro aalýzu sigálů a obrazů i ié ež harmoicé fuce, a o zeméa pro aalýzu fraálů a přechodových slože sigálů. Teoreicý zálad Wavele rasformace byl sudová v moha pracích a ihách. Mezi důležié výsledy ěcho sudií paří aalýza a osruce wavele fucí v aalyicé i reureí formě spolu s popisem eich vlasosí. Wavele rasformace přiom předsavue aleraiví přísup disréí Fourierově rasformaci (STFT) pro aalýzu esacioárích sigálů a deeci bodů, pro eré sigál měí vlasosi. Hlaví výhoda WT spočívá v eí schoposi aalýzy sigálů s proměým časově-frevečím rozlišeím. Mezi apliace Wavele rasformace paří deece slože sigálu a deompozice sigálu, omprese da a polačováí šumu. Problémy, eré sou úzce spay s ímo émaem, zahruí lasifiaci a predici sigálu, saisicé zpracováí časových řad, aalýzu geofyziálích sigálů a aalýzu obrazů. 4. Maemaicý zálad 4.. Fourierova a waveleová řada Ozačeí: R možia všech reálých čísel, Z možia všech celých čísel, C možia všech omplexích čísel i, Kroecerův symbol (= pro i = a 0 ia) vyraz := s ozačeí výrazu symbolem s Budeme pracova obecě s omplexími fucemi (periodicými i eperiodicými) defiovaými a celé reálé ose, apř. x:=x(): R C. Věšiou se bude eda o fuce z ásleduících fucioálích prosorů, de J R e ierval periody v případě periodicých fucí ebo J = R v případě eperiodicých fucí: J L p (J) := {x x měřielá a x ( ) p d }, p<. p Norma v L p (J): x x( ) d p p pro p< J L p (J), p, e Baachův prosor ad C. 67 / 9

68 L p := L p (R) L (J) e dooce Hilberův prosor, de pro x, y L (J): x, y x( ) y( ) d e salárí souči, přičemž J x, x x ( x x L ) a x y x, y 0 určue orogoaliu x a y. Ierpreueme-li fuci x ao sigál (spoié měřeí ebo pozorováí ěaých da), pa hodoa x e eergie sigálu,. L (J) předsavue řídu všech sigálů o oečé eergii a iervalu J. Z maemaicého pohledu předsavue waveleová aalýza přímou aalogii lasicé oeí Fourierovy aalýzy T-periodicých fucí v L ([a, b]), b a = T. Fourierově řadě, erá předsavue vyádřeí T-periodicé fuce ve spočeé oroormálí bázi (idexovaé celými čísly) {()} Z harmoicých miů odvozeých z omplexí siusové vly i / T ( ) e / T (cos / T i si / T ) / T pouhou změou měřía (frevece) v závislosi a, odpovídá waveleová řada aožo rozvo fuce ve vhodé spočeé bázi opě určeé ediou fucí () azývaou maeřsý wavele (moher wavele). Proože () e fuce maící oečou eergii pouze a ohraičeém iervalu ( ( ) d ), e řeba hleda, erá má oečou eergii a celé reálé ose. Taová fuce vša musí vymize ule pro a dooce se uazue, že za dodaečého předpoladu iegrovaelosi (. x L L ) musí měi i zaméo,. musí bý lumeý mi eboli vla (= wavele). V důsledu ohoo lumeí, eré může bý dooalé v om smyslu, že e eulová pouze a ohraičeém iervalu (říáme, že má ompaí osič), esačí geerova bázi pouhou změou měřía maeřsého waveleu, ale avíc e ué e i posouva. Waveleová báze se pa dosae ao spočeý dvoásobě celými čísly b a idexovaý sysém {, ()},Z, de /, ( ) a / e ormalizačí osaa zaišťuící osaí (edoovou) ormu,. Ozačme E = {, ()},Z. Maeřsý wavele se azývá orogoálí, esliže E e oroormálí báze v L : <, l,m > =,l,m, de i, e Kroecerův symbol. 68 / 9

69 Wavele řada, za předpoladu použií orogoálích waveleů, e edy zobecěím Fourierovy řady s ím rozdílem, že má dva paramery, udíž e dvourozměrá. Maeřsý wavele se azývá waveleem s ompaím osičem (compacly suppored wavele), esliže { () 0} e ohraičeá možia. Needodušším a hisoricy esarším příladem orogoálího waveleu e zv. Haarova fuce H defiovaá předpisem H pro 0 ( ) pro 0,5 0 ia 0,5 V edávé době bylo alezeo moho dalších orogoálích waveleů, uázy ěerých z ich i Haarova waveleu sou a obr / 9

70 a) ocovsý wavele b) maeřsý wavele Obr. 7 Uázy waveleů Každá fuce x L ([a, b]), b a = T e součem své Fourierovy řady: T i T i T i e c e T e x e T x x, ) ( (4.) de b a T i b a T i x d e x T d e T x T e x T x c c ) ( ) (, ) ( : (4.) e zv. -ý Fourierův oeficie a {c (x)} Z e zv. fourierovsé sperum fuce x()l ([a, b]). Podobě aždá fuce x() L (R) e součem své waveleové řady c x,,, ) ( ) ( (4.3) de 70 / 9

71 c d (4.4) c x x x d x, :, ( ),, ( ), ( ) ( ) e zv. (, )-ý waveleový oeficie a {c, },Z e zv. waveleové sperum fuce x() L (R). Parsevalova ideia pro Fourierovu řadu: b x( ) d T a sředí výo c ( x) c ( x) c ( x) pro waveleovou řadu: x( ) d eergie, c ( x), Při zpracováí oréích disréích da vede umericý výpoče iegrálu v (4.) a zámý operáor disréí Fourierovy rasformace (DFT), ehož iverze (IDFT) orespodue s (4.), de eoečou řadu ahradíme pouze eím čásečým součem. Podobě disreizací (4.4) a (4.3) dosaeme příslušé operáory disréí waveleové rasformace a eí iverze. Pro eich výpoče exisuí rychlé algorimy (FWT = Fas Wavele Trasform) a rychlá Fourierova rasformace (FFT = Fas Fourier Trasform). 4.. Časově-frevečí sperálí charaerisia V lasicé fourierovsé bázi e aždá bázová fuce siusový mi, erý ovlivňue průběh x() seoměrě a celé reálé ose a má edy globálí účie. Je o edy fuce, erá eí loalizováa v čase, ale aopa e ideálě loalizováa ve freveci (eí sperum e edobodové). Výpoče aždého edolivého sperálího oeficieu podle (4.) edy vyžadue úplou zalos fuce (sigálu) x() v miulosi i budoucosi. Nevýhoda éo reprezeace se evýrazěi proeví u sigálu, ehož dyamia (. frevečí charaerisia) se s časem výrazě měí. Taový sigál si vyucue silé zasoupeí velého možsví vysoofrevečích ompoe (apř. soové změy se vymodeluí až v limiě) eboli 7 / 9

72 zabírá široé frevečí pásmo. Praicy epřízivým důsledem e velý obem da spera {c (x)} Z pořebý vyhovuícímu popisu x(). Vziá a požadave vyšeřova loálí frevečí charaerisiy sigálu posupě v čase. Sadardí posup využívá zv. oeí Fourierovu rasformaci, eré posupě louže po daech (oiuálě ebo v disréích rocích) a vybírá a z da pro frevečí aalýzu pouze loálí úse: de g( ) e váhové oo se sředem v 0. wi i f ( F x)(, f ) x( ) g( ) e d (4.5) Proože frevece e epřímo úměrá délce cylu, a pro zachyceí vysoofrevečí iformace vysačíme s raším iervalem, zaímco pro zachyceí ízofrevečí iformace e aopa pořeba ierval delší. Jiými slovy, pořebueme mí flexibilí časové oo, eré se auomaicy zužue, e-li sředí frevece eho spera vyšší a rozšiřue, e-li ao frevece ižší. Tuo vlasos maí právě,. Pro rosoucí se, zužue (šířa = / ). Se zužováím e řeba rověž zemňova posuv /, aby evzily časové díry eporyé vysoofrevečí iformací. Aby se, mohly používa pro časověfrevečí aalýzu ve výše uvedeém smyslu, musí bý edy dobře loalizováy současě v čase i ve freveci. Což sou ovšem proichůdé požadavy, erým lze rozumě vyhově pouze v případě, že () se rychle lumí (overguí ule) pro, f. Navíc musíme pro a ásledě i pro, bý schopi urči eich sřed a šířu. Taová fuce se pa azývá váhovou fucí časového, resp. frevečího oa. Defiice: Fuce 0 () L se azývá váhová fuce oa (sručě oo), esliže rověž () L. Sřed a poloměr oa sou pa defiováy vzahy ( ) d (4.6) a Číslo se azývá šířou oa. ( ) ( ) d 7 / 9

73 Ve saisicé ermiologii můžeme volě ierpreova ao sředí hodou a ao směrodaou odchylu rozložeí výou () fuce sigálu () Waveleové vyhlazováí (filrace) Uvažume adiiví model y() = x() + e(); R, de y() sou pozorovaé hodoy, x()l, e ezámá odhadovaá fuce a e() e bílý šum. Vzhledem lieariě (4.4) dosáváme c, (y) = c, (x) + c, (e) de c, (y), c, (x) a c, (e) sou waveleové oeficiey pořadě ve waveleových řadách pro y(), x() a e(). Cílem waveleového vyhlazováí e alezeí vhodého modifiačího předpisu (.) aového, že c ( y)) c ( ) e dobrým odhadem c, (x). Teo přísup (,, x předsavue opě aalogii s fourierovsou filrací, de modifiueme Fourierovy oeficiey. Pro pevé e příspěve aždého oeficieu c, (x) pouze loálí, aže waveleová reprezeace dovolue ímo způsobem osruova loálě adapiví filry. Běžě se používaí čyři modifiačí echiy pro waveleové oeficiey. Prví z ich operue a daech (oeficieech) lieárě, zbývaící ři elieárě.. Posiive scalig pos cˆ,,,, c ( y), 0, erá e přímým zobecěím výše zmíěé přeosové charaerisiy.. Tvrdé prahováí (hard hresholdig) Všechy waveleové oeficiey pod isou prahovou hodoou > 0 se vyuluí a osaí se poechaí beze změy: cˆ hard, 0 c, pro pro c c,, 73 / 9

74 3. Měé prahováí (sof hresholdig) Veliosi všech waveleových oeficieů se síží o prahovou hodou > 0 sof c ˆ sig ( c, ) max(0, c,, ) 4. Kvailové prahováí (quaile hresholdig) Podobé ao, míso se vša použie vail z možiy všech waveleových oeficieů,. apř. se vyulue 30 % emeších waveleových oeficieů. Dooho a Johsoe avrhli meodu pro v isém smyslu opimálí volbu prahové hodoy, erá e buď uiverzálí l, de e poče da, ebo specificá pro aždou úroveň měřía ( = ). Tyo a ié podobé meody se saly zámými pod aglicými ázvy wavele shriage ebo wavele de-oisig. Na obr. 8 e uáza waveleového vyhlazeí sigálu s espoiými soy oamiovaého simulovaým šumem. V levém sloupci sou odshora dolů uvedey pořadě daa zašuměá, vyhlazeá a origiálí bez šumu. V pravém sloupci sou grafy odpovídaících wavele oeficieů, de e vyeseo a vodorové ose a a svislé ose (číslo odpovídá maximálí úrovi). Pro vyhlazeí bylo použio Dooho-Johsoova měého práhováí. 74 / 9

75 Ob. 8 Uáza vyhlazeí měým práhováím 75 / 9

76 4.3 MR-aalýza MR-aalýza, eboli aalýza o více úrovích rozlišeí (z agl. muliresoluio aalysis), umožňue edoduchou apliací vhodé dvoice lieárích filrů posupě sižova ebo zvyšova rozlišovací schopos waveleové aproximace. Je-li Baachův prosor ad C s ormou a G, pa (G) začí lieárí obal možiy G a G eí uzávěr v. Jesliže (G), budeme řía, že G geerue. Nechť e maeřsý wavele. Pro aždé Z uvažume (uzavřeé) podprosory v L geerovaé ěmio čásečými součy waveleové řady: a W ({ } Z ) { g ( ) g ( ) c,, ( )} (4.7), V,,, i i Z i i ({ } ) { x ( ) x ( ) c ( )} (4.8) i, i, Proože waveleový rozvo (4.3) libovolé fuce x L (R) lze přepsa ao ( ) ( c, x, ( )) g ( ), de g W (4.9) přičemž g W sou zřemě určey edozačě, můžeme celý prosor L psá ao přímý souče ( ) podprosorů W L. Z W W W W (4.0) 0 Je-li maeřsý wavele orogoálí, pa W i W (podprosory sou sobě olmé) pro i a přímý souče (4.0) přede v orogoálí souče () L W W W0 W Z Pro aždé Z plaí V. W i W i W W (4.) i i a sysém podprosorů { V }:={V } Z má ásleduící vlasosi: V V 0 V eboli V V, Z 76 / 9

77 V L Z 3 V Z {0} 4 V + = V W, Z 5 x ) V x() V, Z [ x( ) V x( ) V, ] ( 0 Z Defiice. Fuce () L geerue MR-aalýzu {V } v L, esliže geerue posloupos podprosorů {V } s vlasosmi,, 3 a 5 předpisem V ({, } Z ), de / /, ( ), (4.) přičemž E 0 = { 0, } Z e Rieszovou bází podprosoru V 0. Pa aé E ={, } Z sou Rieszovy báze V pro aždé Z. Fuci () azýváme fucí měřía (scalig fucio) pro MR-aalýzu {V }. Podobě ao pro plaí, =, = pro aždé, Z. Tvrzeí. Jesliže L geerue MR-aalýzu {V }, pa 6 x( ) V x( ) V, Z Nemusí vša exisova fuce, erá yo W geerue vzahem (4.7). V důsledu oho se při defiici MR-aalýzy a fuce měřía ědy míso,, 3, 5 předpoládá plaos,, 5, 6, aže poom MR-aalýza {V } v L má všechy vlasosi - 6. Zde budeme vša vždy předpoláda avíc (4.7). V omo případě se ědy fuce měřía azývá ocovsý wavele (faher wavele), eboť s maeřsým waveleem voří přirozeou dvoici. Říáme poom, že dvoice () geerue MR-aalýzu {V }. Uázy dvoic () sou a obr. 3, de maeřsý wavele e ve sloupci b) a odpovídaící ocovsý wavele ve sloupci a). Nechť () geeruí MR-aalýzu {V } v L. Podle (4.8) a (4.9) e x ( ) g ( ) i i x V x L x i i x ( ) g ( ) pro aždou fuci x L. Přiom pro. Tedy x V aproximue x až do ( )-é úrově rozlišeí. 77 / 9

78 Dosáváme ásleduící vzahy: c x V x ) ( ) ( (.) Z c c Z } { : (4.3) d g W g ) ( ) ( (.7) (4.4) Z d d Z } { : Z g x x ) ( ) ( ) ( 4 (4.5) de poslouposi souřadic c a d sou edozačě určey, eboť, / )} ( { Z a Z, / )} ( { voří Rieszovu bázi pořadě ve V a W. Deompozice v MR-aalýze (výpoče a pomocí ) c d c Při deompozici sižueme úroveň rozlišeí o eda. K omu bude pořeba vyádři ( ) V z (4.3) ve varu (4.5). Tvrzeí: Exisuí poslouposi a:={a } Z, b:={b } Z, aové, že plaí R Z l b a l W l V l V, )] ( ) ( [ ) ( 0 0 (4.6) Důslede. Plaí zv. deompozičí vzah (decomposiio relaio): R Z l b a l W l V l V,, )] ( ) ( [ ) ( (4.7) Tvrzeí (algorimus deompozice: výpoče a z ) c d c Pro c a d z (4.3) a (4.4) plaí ásleduící reureí vzah: l l l l c a c a c (4.8) 78 / 9

79 l d b l c l b c l (4.9) de a = {a } Z, b = {b } Z sou poslouposi z deompozičího vzahu (4.7) Ozačíme-li y { y } a z { z } pro aždé Z, pa (4.8) m m Z a (4.9) defiuí dva lieárí ovolučí filry pořadě s impulzivími odezvami a a b pro výpoče y a c a z b c, de e symbol operáoru lieárí ovoluce. Po m m Z vyecháí hodo s lichými idexy (zv. dowsamplig) dosáváme d z. c y a Schémaicy edy můžeme algorimus deompozice zázori ao c filr a y filr b z dowsamplig c dowsamplig d Reosruce v MR-aalýze (výpoče c pomocí c a d ) Při reosruci aopa zvyšueme úroveň rozlišeí o eda. K omu e řeba vyádři ( - -) a ( ) z (4.3) a (4.4) pomocí ( ) Tvrzeí. Exisuí poslouposi p:={p } Z, q:={q } Z aové, že plaí ( ) p ( ) (4.0) ( ) q ( ) (4.) Důslede. Plaí zv. vzahy dvou měříe (wo-scale relaios): ( l) p l ( ) (4.) 79 / 9

80 l q l ) ( ) ( (4.3) Tvrzeí: (Algorimus reosruce: výpoče z a ). c c d Pro a z (4.3) a (4.4) plaí ásleduící reureí vzah: c d l l l l l l l l l l l d q c p d q c p c ] [ (4.4) de p = {p } Z a q = {q } Z sou poslouposi ze vzahů dvou měříe (4.) a (4.3). Ozačíme-li a pro aždé Z, de pro aždé lz lademe Z m m y y } { Z m m z z } { upsamplig zv. 0 0 l l l l l l z y d z c y pa vzah (4.4) určue dva ovolučí filry po řadě s impulzivími odezvami p a q pro výpoče. z q y p c Schemaicy edy můžeme algorimus reosruce zázori ao. d z q c y p c upsamplig filr upsamplig filr 4.3. Deompozice a reosruce sigálu Velice efeivím a časo používaým způsobem výpoču Wavele rasformace e užií Mallaovy pyramidálí sruury pro určeí příslušých oeficieů pro daý sloupcový veor. Z hledisa meod zpracováí sigálů se edá o užií ízofrevečího filru pro mezí freveci v poloviě příslušého frevečího pásma pro fuci měřía (a určeí aproximaivích slože sigálu) a dále o apliaci vysoofrevečího (Wavele) filru pro saoveí deailích slože sigálu. Tyo aalyzuící poslouposi sou užiy v ovoluci s daým sigálem {x()} a příslušý výslede e dále podvzorová faorem. Podobé deompozičí schéma e použielé i v případě aalýzy obrazů s ím, že příslušá deompozice se provádí eprve po řádcích a posléze po sloupcích vždy pro 0 )} ( { N x 0 )} {( L 80 / 9

81 ízofrevečí a vysoofrevečí filr s ásledým podvzorováím. Výsledem edoho rou deompozice sou edy v případě edorozměrých sigálů dvě fuce a v případě obrazů sou o čyři dílčí obrazové složy. 4.4 Apliace 4.4. Deece elieari a segmeace časových řad Pro pořeby zpracováí esacioárích sigálů e ué provés deeci změ a aléz hraice edolivých segmeů. Nalezeé segmey e možo samosaě zpracováva, lasifiova, provádě predici apod. V současé době se uazue Wavele aalýza ao velice výhodá meoda pro segmeaci. Ja e popsáo výše, e založea a apliaci ízo a vysoofrevečích filrů a daý sigál. Výsledem sou dvě ové poslouposi, eré sou ozačováy ao aproximačí a deailí složa. Tyo ázvy vychází z předpoladu, že aždý sigál má důležié iformace uložey v ízých frevecích, eré posačí aproximaci daého sigálu, zaímco vysoé frevece esou iformace pouze zpřesňuící, doresluící, edy deaily daého sigálu. Rozlad pomocí wavele aalýzy do. rozlišovací hladiy e možo použí pouze u esovacích sigálů, eré eobsahuí příliš moho frevečích slože. U echicých, biomedicícých, eleroechicých a dalších sigálů e pořeba celý posup opaova. Celý posup odpovídá deompozici podle Mallaova pyramidálího schémau. Pro deompozici do druhé úrově použieme aproximačí složu z úrově prví. Dosaeme a ovou deailí a aproximačí složu. To zameá, že po dvou rocích máme sigál rozlože do dvou deailích a edé aproximačí složy. 8 / 9

82 4.5 Iformace o sofware Exisue ěoli omerčích i eomerčích podpůrých sofwarových balíů pro práci s waveley, z ichž bych zmíil yo: WAVELET TOOLBO: Firemí omerčí ihova (oolbox) pro umericý výpočeí sysém MATLAB firmy MahWors, Ic. (USA). V Česé republice e spolu se sysémem MATLAB a dalšími firemími oolboxy disribuue firma HUMUSOFT, s. r. o. Praha. WAVBO 4: Komerčí efiremí oolbox pro MATLAB, ehož sarší verze sou eomerčí a volě dosupé přes FTP. Auorem e Carl Taswell, Saford Uiversiy, USA. DPWT Toolbox, ools for worig wih he discree periodic wavele rasform (DPWT). N.H. Gez, "A discree periodic wavele rasform", UCB/ERL M9/38, Elecroics Research Laboraory, Uiversiy of Califoria, Bereley, December 99. hp:// MULTISCALE METHODS STATISTICS IN TIME/FREQUENCY AND TIME/SCALE DOMAINS B. Vidaovic, Saisical Modelig By Waveles, Wiley, 999 [ISBN ] hp:// TIME FREQUENCY TOOLBO, Versio.0 Jauary 996 Copyrigh (c) by CNRS (Frace) - RICE Uiversiy (USA) hp://www-isis.es.fr/applicaios/fb/ius.uiv-aes.fr/auger/fbfp.hml 8 / 9

83 WAVELAB 80 Library of Malab rouies for wavele aalysis, wavele pace aalysis, cosie-pace aalysis ad machig pursui. The library is available free of charge over he Iere. Versios are provied for Maciosh, UNI ad Widows machies. WaveLab has bee used i eachig courses i adaped wavele aalysis a Saford ad a Bereley. TSA (Time Series Aalysis) Toolbox.40 a.schloegl@ieee.org WWW: hp://www-dpmi.u-graz.ac.a/~schloegl/malab/sa WAVEKIT oolbox for Malab by Harri Oae (C) 998 Harri Oae The documeaio is available o-lie a hp:// 4.6 Závěr Wavele rasformace předsavue moderí maemaicý apará s rozsáhlými apliacemi v řadě oborů. Výzam využií Wavele fucí spočívá přiom zeméa v možosi eich výběru podle chováí daé časové řady ebo obrazu a v možosech růzého způsobu deompozice, úpravy a reosruce sigálu. Z ěcho důvodů e ao émaia předměem široého zámu maemaiů i ižeýrů v oblasi eoreicého popisu Wavele fucí, eich vlasosí a dále v oblasi eich využií. S ím souvisí i řada disusích supi a Iereu, z ichž mezi eaivěší paří supia, erou lze aléz a adrese hp:// a erá pravidelě iformue o oferecích a publiacích zaměřeých a Wavele rasformaci. 83 / 9

84 Poud si a závěr položíme oázu, zda se při aalýze da vyplaí používa waveley či ioli, pa odpověď samozřemě závisí a ypu zpracovávaých da. Vzhledem moha dobrým vlasosem předsavuí vša rozhodě apará, erý eí vhodé igorova. Ve prospěch waveleů hovoří především myšleová edoduchos blízá zaběhaým fourierovsým přísupům. Oproi im vša abízí věší pružos daou loálím charaerem příspěvů edolivých waveleových oeficieů ve waveleové řadě. Napřílad při waveleové filraci edy posupueme obdobě ao při fourierovsé filraci, ovšem s ím podsaým rozdílem, že při reduci c, e vliv shlazeí pouze loálí v závislosi a zvoleém a ioliv globálí. Waveleový filr edy posyue výzamou ovou valiu v om, že se může adapova a loálí charaer da. Tam de daa vyazuí vyšší dyamiu,. esou užiečou iformaci ve vyšších frevečích pásmech, můžeme míru reduce vysoofrevečích ompoe síži (eboli síži prahovou hodou sigifiaosi) a aopa posupova v mísech, de e změa e pozvolá. Tím se odsraňue hlaví evýhoda fourierovsé filrace, erá v aovém případě má edeci dyamicý úse přehladi. Typicým příladem může bý rozvlěí v oolí espoiých změ (Gibbsův ev). Too e ovšem spíše problém volby správé sraegie vyhlazeí, ež samoého pricipu waveleové filrace. Dalším ezaedbaelým argumeem ve prospěch waveleů e aé výpočeí efeivia. Jesliže pro výpoče DFT exisuí rychlé algorimy FFT s výpočovou složiosí řádu O( log ()), pa v případě FWT složios mohdy lesá dooce až a O(). Jao žádá iá meoda, esou ovšem ai waveley uiversálí všelé pro všechy ypy úloh, ale v aždém případě výzamě obohacuí reperoár dosud běžě používaých echi. 84 / 9

85 4.7 Lieraura Aasu, A. N. Haddad, R. A. Muliresoluio Sigal Decomposiio. Academic Press, Ic., Boso, USA., 99. Al-Adai, A. M. S. Nadi, A. K. Chapma, R. MacDougall, S. Muliresoluio Mehods for Sigulariy Deecio. I Sigal Aalysis ad Predicio I, pages 09{. ICT Press, 997. Ario, M. A. Time Series Forecass Via Waveles. IESE Uiversidad de Navarra. Barceloa 995. Ario, M. A. Vidaovic, B. O wavele scalograms ad heir applicaios i ecoomic ime series. Discussio Paper 95-, ISDS, Due Uiversiy Crouse, M. S. Nowa, R. D. Baraiu, R. G. Wavele-Based Saisical Sigal Processig Usig Hidde Marov Models. IEEE Tras. Sigal Processig, Special Issue o Theory ad Applicaio of Filer Bas ad Wavele Trasforms, 46(4):886-90, April 998. Chui, K. A Iroducio owaveles. Academia Press. 99. Daubechies, I. The Wavele Trasform, Time-Frequecy Localizaio ad Sigal Aalysis. IEEE Tras. o Iform. Theory, 36:96, Sepember 990. Daubechies, I. Te Lecures o Waveles. SIAM, CBMS-NST Coferece Series 6. Dooho, Bruce, D. Gao, Hog-Ye. Wavele Aalysis. IEEE Specrum, 33(0):6-35, Ocober 996. Eer, W. Resoraio of Discree-Time Sigal Segmes by Ierpolaio Based o he Lef-Sided ad Righ-Sided Auoregressive Parameers. IEEE Tras. o Sigal Processig, 44(5):4-35, May 996. Hayes, M. H.. Saisical Digial Sigal Processig ad Modelig. Joh Wiley ad Sos, Ic., 996. Hayi, S. Neural Newors. IEEE Press, New Yor, 994. Holbe, B. Vermoe, E. Kaufma, Y. J. - Tarie, D. Kalb, V. Aerosol Rerieval over Lad from AVHRR Daa-Applicaio for Amospheric Correcio. IEEE Tras. o Geosciece ad Remoe Sesig, 30():-, March 99. Cha, Y. T. Wavele Basics. Kluwer Academic Publishers, Boso, 995. Kay, S. M. Fudames of Saisical Sigal Processig. Preice Hall, / 9

86 Kigsbury, N. G. Magarey, J. Wavele Trasforms i Image Processig. Birhauser Boso, 998. Lim, J. S. Two-Dimesioal Sigal ad Image Processig. Preice Hall, 990. Louis, A. K. Mass, P. Rieder, A. Waveles: Theory ad Applicaios. Joh Wiley & Sos, Chicheser, U. K., 997. Magarey, J. Kigsbury, N. G. Moio Esimaio Usig a Complex-Valued Wavele Trasform. IEEE Tras. Sigal Processig, Special Issue o Theory ad Applicaio of Filer Bas ad Wavele Trasforms, April 998. Misii, M. Misii, Y. Oppeheim, G. Poggi, J. M. Wavele Toolbox. The MahWors, Ic., Naic, Massachuses 0760, March 996. Newlad, D. E. A Iroducio o Radom Vibraios, Specral ad Wavele Aalysis. Logma Scieific & Techical, Essex, U. K., hird ediio, 994. Poliar, R. The Wavele Tuorial. Iowa Sae Uiversiy hp:// Procháza, A. Sláma, M. Peliá, E. Bayesia Esimaor Use i Sigal Processig. Neural Newor World, 6():09{3, 996. Procháza, A. Šore, M.. Wavele Trasform Use for Sigal Classificaio by Self- Orgaizig Neural Newors. I Fourh Ieraioal Coferece o Aricial Neural Newors ANN-95. IEE, Cambridge, Eglad, 995. Rayer, P. J. W. Fizgerald, W. J. The Bayesia Approach o Sigal Modellig ad Classificaio. I Sigal Aalysis ad Predicio I. ICT Press, 997. Saorie, M. Meody miimalizace dyamicých chyb měřeí eploích profilů zemsé ůry. PhD hesis, ČVUT, Faula eleroechicá, 998. Simhadri, K. K. Iyegar, S. S. Holyer, R. J. Lybao, M. Zachary, J. M.. Wavele- Based Feaure Exracio from Oceaographic Images. IEEE Tras. o Geosciece ad Remoe Sesig, 36(3): , May 998. Srag, G. Nguye, T. Waveles ad Filer Bas. Wellesley-Cambridge Press, 996. Veselý, V. Waveley a eich použií při filraci da. I ROBUST 996. Praha 997, s Veerli, M. Waveles ad Filer Bas: Theory ad Desig. IEEE Tras. Sigal Processig, 40(9):07-3, Sepember / 9

87 Případové sudie Aalýza eoomicých da - iflace V současé době sou časo požadováy údae o míře iflace, a o ee pro pořeby eoomiy, ale aé z řad podiaelů a veřeosi. Nezaedbaelou iformací sou aé progózy ýaící se dalšího vývoe iflace v ásleduícím období. Je zámo, že odhady míry iflace, eré zveřeňuí růzí odboríci, se liší až o 4%. Cílem čláu e uáza, a růzé saisicé modely vývoe iflace vedou růzým progózám míry iflace. Úvod Iflace e poem, se erým se seáváme ařa deě, věšiou bez přesého vymezeí. Přiímáme pouze osaováí, že iflace vzrosla o oli a oli proce, aiž bychom podroběi zoumali meody výpoču a vypovídaící schoposi použiých charaerisi. Iflace e defiováa ao proev eoomicé erovováhy, ehož věším zaem e růs ceové hladiy - viz [6]. Ceová hladia (P) předsavue průměrou úroveň ce určiého souboru saů v běžém období (cey p ) ve srováí s ceami určiého vybraého záladího období (p 0 ). Ceové hladiě v záladím období e přiřaze idex 00,00 (edy P 0 = 00,00). Vývo ceové hladiy může bý vyadřová uvedeím idexů z edolivých období (P 0, P, P, ), časěi se vša používá empo eich růsu. Jde edy o empo růsu ceové hladiy eboli o míru iflace. Výraz P P P 00 () vyadřue, o oli proce vzrosla ceová hladia, vzahuící se období, ve srováí s ceovou hladiou, vzahuící se období -. Idex spořebielsých ce Nečasěi používaými idexy vyádřeí obecé ceové hladiy sou: 87 / 9

88 idex spořebielsých ce ISC, erý měří změu hladiy ce zv. spořebího oše,. vybraého souboru reprezeaivího zboží a služeb. idex ce výrobců ICV, erý měří změu ceové hladiy vybraých výrobů při prvím prodei, edy při prodei výrobcem, a e využívá zeméa v podiové sféře. Všeobecě vývo ICV sigalizue adcházeící změy ISC. ceový defláor hrubého domácího produu, defláor HDP, erý měří změu ceové hladiy hrubého domácího produu ao celu. Ve svěě i u ás e efreveovaěší mírou iflace idex spořebielsých ce, erý zachycue míru změy ceové hladiy a záladě ržích ce vybraých reprezeaů,. zboží a služeb, za eré suečě aupue obyvaelsvo v oečé fázi ve vybraých prodeách a provozovách. Idex spořebielsých ce se počíá podle Laspeyresova vzorce,. s váhami záladího období. Laspeyresův agregáí idex má var P ii p p ii i 0i w w si si p i p0iq0i ii p0i , () p q ii 0i 0i de p i e cea i-ého reprezeaa v období sledovaém, p 0i e cea i-ého reprezeaa v období záladím, q 0 i e možsví i-ého reprezeaa v období záladím, w si = p 0i q 0i e sálá váha (sruurí uazael hodoy) i-ého reprezeaa. Vývo spořebielsých ce se sledue a spořebím oši, erý voří soubor vybraých druhů zboží a služeb placeých obyvaelsvem. Celový poče ceových reprezeaů e v současé době I = 755 oréích výrobů a služeb, eré sou rozděley do 0 relaivě homogeích říd (Poraviy, ápoe, abá: Odíváí: Bydleí: Zařízeí a provoz domácosi: Zdravoicví: Doprava: Volý čas: Vzděláí: Veřeé sravováí a ubyováí: Osaí zboží a služby). Podrobě e spořebí oš popsá v publiaci Česého saisicého úřadu Idexy spořebielsých ce (živoích áladů), revize 994, erá byla vydáa v roce 995 v edici Česá saisia. 88 / 9

89 Spořebí oš a edy i váhy edolivých reprezeaů sou po určiou dobu (apř. 5 le) fixí - eich saisicé zišťováí e oiž velmi áročé. Tyo sálé váhy sou hlaví slabiou idexů Laspeyresova ypu (adhodocuí suečé empo iflace), proože spořebí zvylosi obyvaelsva se časem měí. Dalšími problémy sou zohleděí posupé změy valiy saů obsažeých v oši a zohleděí ových saů, v období osruce oše do ě ezařazeých. Po roce 000 se uvažue o om, že se budou váhy v idexí formuli () měi aždoročě. Idex spořebielsých ce vyadřue vývo živoích áladů průměré domácosi. Pro vyádřeí vývoe ěcho áladů v růzých supiách (apř. zaměsaci, zemědělci, důchodci) sou sesavováy speciálí idexy živoích áladů. Přes uvedeé edosay emáme v současé době za idex spořebielsých ce () vhodou áhradu, erá by sado a hodověrě odrážela pohyby iflace - viz [9]. Časová řada a eí vyrováváí Příčiami, formami a důsledy iflace se ebudeme zabýva. Na záladě aalýzy údaů z le 985 až viz abulu - se pousíme o progózu míry iflace pro ro 998. Iflačí so v roce 99 byl způsobe liberalizací převážé míry ce zboží a služeb, v roce 993 pa reformou daňové sousavy. Pro ro 998 zavedlo Miisersvo fiací eprve odhad míry iflace a 9,8%. Pod laem epřízivého vývoe iflace v prvích měsících leošího rou bylo Miisersvo fiací uceo revidova svou opimisicou progózu průměré míry iflace pro ro 998 a,0 -,7%. Odhad Česého saisicého úřadu i ezávislých eoomů byl vša vyšší (3,0%). Hodoy meziročí míry iflace, uvedeé v abulce, voří časovou řadu. Časová řada hodo y, =,,...,, může obsahova ásleduící složy: red T, periodicé olísáí P a áhodou složu. Něeré složy (apř. sezóos) mohou v časové řadě chybě. Tab. Dlouhodobý vývo iflace v leech Prame: Saisicá ročea ČR 997 Ro ISC v % Míra iflace, árůs v % ,0, 980,,9 985,9, ,5 0,5 89 / 9

90 987 3,6 0, 988 5,8 0, 989 5,5, ,7 9,7 99 5,6 56, ,5, ,3 0, , 0, , 9, ,6 8, ,7 8,5 Obvyle se předpoládá, že aalyzovaá časová řada má var y = T +. (3) Při hledáí evhoděšího ypu redu ečasěi hledáme spoiou fuci času T = f(), =,,...,., (4) de T e odhad redu. Jde-li o fuce lieárí v paramerech (příma, edoduchá parabola, případě polyom vyššího supě) - viz obr. a obr. 3, využíváme pro výpoče odhadů paramerů zámou meodu regresí aalýzy, meodu emeších čverců, erá požadue, aby reziduálí souče čverců byl miimálí,. 90 / 9

91 SR ( y T ) mi. (5) Záme-li red časové řady, čili záme hlaví edeci ve vývoi aalyzovaého uazaele v čase, můžeme modelova i další vývo redu v budoucosi, ovšem za předpoladu, že se eho charaer v podsaě ezměí. Vzhledem omu, že vyádřeí redu se používaí i ěeré složiěší fuce, eré esou lieárí vzhledem paramerům (expoeciálí řiva, růzé S-řivy ad.)- viz obr. 4 a obr. 5, používáme odhadu paramerů ěcho řive ieračí meody elieárí regrese, apř. Marquardovy meody. Právě uvedeé posupy vycházeí z předpoladu, že v průběhu sledovaé doby se paramery modelu časové řady eměí a že yo paramery lze v rámci celé časové řady odhadou aráz a záladě zv. aalyicého vyrováváí. Meody aalyicého vyrováváí edy dávaí všem pozorováím seé váhy, což e pro předvídáí budoucího vývoe předpolad velmi omezuící. Předpověď do budouca bezpochyby více závisí a daech edávých a romě oho odlišý vývo ve vzdáleé miulosi může velmi zresli předpovědi do budouca. 9 / 9

92 Realisičěší přísup modelováí časových řad posyuí adapiví meody. Adapiví meody vycházeí z předpoladu, že pro osruci exrapolačí progózy budoucího vývoe sou eceěší eověší pozorováí časové řady. Adapiví meody edy berou v úvahu sáruí iformací. Nerozšířeěší adapiví meodou e meoda expoeciálího vyrováváí. Jeí pricip zohledňue sáří da eich vážeím, dy váha aždého pozorováí e epřímo úměrá eho věu. Při expoeciálím vyrováváí předpoládáme, že v časovém oamžiu, erý předsavue pozorováí v příomém čase, máme dispozici řadu hodo y -, de edolivá = 0,,..., - ierpreueme ao sáří pozorováí, čili vzah (3) píšeme ve varu y - = T - +. (6) Tredovou složu T - ve vzahu (6) předpoládáme ve varu T - = a 0 - a + a + + (-) a, = 0,,...,-, (7) de e časová proměá, erou lze chápa ao vě pozorováí z hledisa časového oamžiu. Odhad paramerů redové složy (4) počíáme vážeou meodou emeších čverců. miimalizací výrazu 0 ( y T ) w = ( y T ) mi. (8) 0 Váha w =, 0 < <, = 0,,, -, (9) de se azývá vyrovávací osaa. Váha w e lesaící expoeciálí fucí sáří pozorováí a vyrováváí časových řad a uvedeém pricipu se proo azývá expoeciálí vyrováváí. Tyo meody se rozlišuí podle ypu předpoládaého redu (sou propracováy meody vyrováí pro 9 / 9

93 časové řady s redem osaím, přímovým či vadraicým), dy se posupě hovoří o edoduchém, dvoiém či roiém vyrováváí a dále podle příomosi či epříomosi sezóí složy 93 / 9

94 . Jedolivé meody expoeciálího vyrováváí se liší počem vyrovávacích osa, erý se pohybue od edé do ří. V lierauře a v abídce příslušých programů pro saisicou aalýzu časových řad alezeme yo meody časo pod méy eich auorů ao Browovo, Holovo a Wiersovo vyrováváí. Podroběší iformace o ěcho meodách aleze záemce v [7]. Saisicý program Saisica, pomocí erého bylo provedeo vyrováí časové řady hodo ročí míry iflace, abízí pro vyrováváí a předpovědi edoparamericé ( ) Browovo edoduché vyrováváí ( T a 0 ), dvouparamericé (, ) Holovo lieárí vyrováváí a říparamericé (,, ) Wiersovo (adiiví a mulipliaiví) vyrováváí pro sezóí časové řady. Reureí vzorec Browova edoduchého vyrováváí počíá vyrovaou hodou T v čase pomocí vzahu T y ( ) T, (0) 94 / 9

95 de y e suečá hodoa řady, T začí vyrovaou hodou v čase -, e vyrovávací osaa. Počáečí hodoa T 0 e průměr z prví čvriy da zoumaé časové řady. 95 / 9

96 souču de Holovo lieárí vyrováváí předpoládá vyrovaou hodou v čase ve varu T m b, () m y ( )( m b ) e hodoa v čase, () e vyrovávací osaa, (0,), b ( m m ) ( ) b e red v čase, (3) e redová vyrovávací osaa, (0,). Počáečí hodoy m 0 a b 0 se počíaí přímovou regresí z prví poloviy hodo aalyzovaé řady. Proože aalyzovaá časová řada obsahue hodoy ročí míry iflace, udíž se edá o řadu bez sezóí složy, ebudeme se zabýva Wiersovým expoeciálím vyrováváím. Výpočy souviseící s expoeciálím vyrováváím se des běžě prováděí, a už bylo řečeo, pomocí saisicého sofwaru. Nevěším problémem e volba vyrovávacích osa. Např. v případě Browova edoduchého vyrováváí, dy uvažueme dosi hrubé říděí vyrovávací osay po 0, v rozmezí (0,), předsavue výpoče 0 modelů, v případě Holova vyrováváí iž 00 a v případě Wiersova (ři osay,, ) 96 / 9

97 vyrováváí iž 000 možých ombiací hodo vyrovávacích osa. Exisuí saisicé programy, eré přímo abízeí opimálí hodoy vyrovávacích osa. Kriéria pro volbu modelu časové řady V současé době exisue široá šála meod a posupů použielých při aalýze a progóze časových řad uazaelů a eich poče se eusále zvyšue. Kriéria a přísupy volbě modelu časové řady e možo rozděli do dvou supi: věcě eoomicá riéria, erá vycházeí z požadavu, aby model byl zvole v souladu s věcou aalýzou sledovaého eoomicého evu. Zařazueme sem zalosi, eré má specialisa příslušého oboru dispozici a eré časo esou ai vaifiovaelé. Jedá se o určié předsavy o charaeru vývoe příslušého uazaele, a ehož záladě můžeme zvoli vhodou redovou řivu: apř. přímu v případě předpoladu rovoměrého růsu ebo polesu, parabolu při očeáváí zpomaleí přírůsů. Poud dochází e změám redu, epravidelosem a výyvům v průběhu časové řady, volíme ěerou z adapivích meod. saisicá riéria, erá využívaí prosředů popisé a maemaicé saisiy.tao riéria umožňuí avzáem porova modely růzého ypu - apř. vyrováí řady aalyicou redovou fucí, adapiví meodou apod. Saisicá riéria dělíme a riéria ierpolačí a exrapolačí v závislosi a om, zda vybíráme model především pro aalýzu ebo hlavě pro exrapolaci. Ierpolačí riéria vycházeí z chováí časové řady ve sledovaém období,. ze zišěých da. Pomocí ěcho riérií volíme model, erý elépe vysihe průběh a chováí řady v miulosi. Exrapolačí riéria aproi omu slouží výběru modelu, erý elépe simulue chováí řady do budoucosi. Rozlišueme přiom dvě supiy riérií: souhrá riéria, erá popisuí celý model edím číslem a riéria sruurí, popisuící pouze určiou vlasos modelu. Souhrá ierpolačí riéria využívaí meod regresí aalýzy. Nečasěi se za riérium volí souče čverců odchyle suečých hodo časové řady a eoreicých hodo, zv. reziduálí souče čverců (5). 97 / 9

98 Za elepší model e zpravidla považová e, erý dává emeší S R. Rizio apliace ěcho riérií spočívá v om, že při použií redových řive polyomů vyšších řádů se S R sižue, aiž bychom měli záruu, že daá řiva vysihue celovou edeci řady. Jiým používaým riériem e idex deermiace R, R ( T y) ( y y), (4) de y e celový průměr časové řady. Za vhoděší považueme model, erý má věší R ( 0, ). I oo riérium má rověž své edosay, proože s růsem poču paramerů redové fuce rose R, což e v rozporu s pricipem parsiomie (eoomie paramerů). Teo edosae řeší upraveá hodoa idexu deermiace R ( R ), (5) p or de e poče pozorováí a p e poče paramerů (bez absoluího čleu) redové fuce. Sruurí riéria popisuí dílčí vlasosi modelů a maí ečasěi ierpolačí charaer. Jde o riéria používaá v regresí aalýze. Nedůležiěší sou esy výzamosi paramerů a esy áhodosi reziduí. Durbi-Wasoův es auoorelace e epoužívaěší es, ímž ověřueme ezávislos áhodých poruch (reziduí) v modelu. Používá esovací riérium DW ( e e ) e. (6) de reziduum e y T. Kriérium (6) abývá hodo z iervalu (0,4). V případě, že hodoa DW se pohybue olem, elze zamíou hypoézu o ezávislosi áhodých poruch. Blíží-li se hodoa DW 0 ebo 4, sou rezidua závislá. Poud es (6) uáže závislos reziduí, věšiou o zameá, že model redu eí vhodý. Vhodos modelu pro popis průběhu řady v miulosi ale ešě eí záruou, že eo model bude posyova dobré exrapolačí předpovědi. Na záladě rozsáhlých srovávacích 98 / 9

99 sudií bylo doázáo, že eom % modelů valiích při popisu miulosi dalo aé valií ráodobé progózy. Souhrá exrapolačí riéria umožňuí posoudi valiu exrapolace daým modelem. Nečasěi používaý posup e založe a simulaci. Jao míra valiy modelu sou používáy růzé oeficiey esouladu, z ichž ezáměší e Theilův oeficie esouladu T m ( ym P ), (7) m y m de (-m) e déla zráceé časové řady, =,,...,m, P e předpověď a -období dopředu modelem vypočeým z (-m) hodo. Při srováí více modelů preferueme model, erý má meší oeficie esouladu. Pro ráodobé předpovědi, a až 3 období dopředu, se osvědčil velmi edoduchý posup, dy časová řada e zrácea o posledí (zámé) pozorováí. Z (-) hodo vypočíáme pseudopředpověď ( hodoou ohoo pozorováí ( y 3 pseudopředpověď, použieme pro exrapolaci. y 3 ) a porováme se zámou ) - viz abulu. Model, erý posyl elepší Tab. Hodoceí saisicých modelů Model redu S R R DW y 3 y 3 Ro 998 příma 59 0,0690,8086 6,7758 7,955 7,7879 3,65 +,06 parabola 04 0,454,34 6,034-3,333 0,698-3,4776+7,8483-0,4883 expoeciála 583 0,0453,765 5,334 5,6893 6,937 6,8666,063 S-řiva 349 0,38,9358 6,476 6,586 6,655,074exp(-3,998/) Browovo edoduché ,948,034,398 vyrováváí, 0, Holovo li. vyrováváí 0, 06, ,336,7968 0,5377 Saisicých meod, eré lze s úspěchem apliova v oblasi exrapolace časových řad, exisue velé možsví. Přiom počeí složios přesává hrá roli eboť vybaveos 99 / 9

100 pracovišť počíači a saisicým sofwarem se sává samozřemosí. Volba vhodé meody pro aalýzu a exrapolaci vša zůsává sále subeiví záležiosí pracovía prováděícího exrapolace, eboť sebelepší mauál emůže pracovíovi s meší zalosí meod a s mešími zušeosmi z praicé progosicé čiosi poradi evhoděší meodu pro daou aalýzu. Závěr Rozhoduí, erý z možých modelů vybra pro aalýzu a pro ráodobou exrapolaci časové řady, e i při exiseci velého možsví riérií vždy začě subeiví záležiosí. Volba vhodého modelu e ofroací výsledů saisicých esů a vypočeých charaerisi především s věcou aalýzou časové řady. Volba vhodého modelu se a sává úlohou vícerieriálího rozhodováí, de váhy edolivých riérií záviseí a zalosech a zušeosech oho, do model voří. V období výrazých eoomicých změ e věcá aalýza hlavím riériem při rozhodováí mezi růzými modely. Na záladě srováí růzých saisicých riérií uvedeých v abulce se eví ao elepší model popisu redu míry iflace v leech 985 až 997 zv. S-řiva. Tyo řivy, azvaé podle svého ypicého průběhu, popisuí zv. logisicý red, dy hodoa příslušého uazaele eprve pomalu vzrůsá, poé dode eímu srměšímu růsu a posléze e eo růs zpomale. Vhodos modelu pro popis průběhu řady v miulosi ale ešě eí záruou, že eo model bude posyova dobré exrapolačí předpovědi. Na záladě rozsáhlých srovávacích sudií bylo doázáo, že eom % modelů valiích při popisu miulosi dalo aé valií ráodobé progózy. Realisičěší přísup modelováí časových řad posyuí adapiví meody, eré vycházeí z předpoladu, že pro osruci exrapolačí progózy budoucího vývoe sou eceěší eověší pozorováí časové řady. Růzé meody edy posyuí růzé exrapolačí předpovědi pro uéž časovou řadu. Proo růzí auoři avrhuí růzé meody ombiováí předpovědí. Needodušší způsob ombiováí e výpoče arimeicého průměru předpovědí posyuých růzými meodami. Z empiricé sudie [3] vyplyulo, že u ráých řad se eví vhodé ombiova předpovědi z meod expoeciálího vyrováí s předpověďmi z aalyicých meod. V ašem případě byl vypoče vážeý arimeicý průměr z předpovědi S-řivou (váha = 0,6 vzhledem e zmíěé 60% úspěšosi aalyicých modelů) a předpovědi z Holova lieárího vyrováí (váha = ). 00 / 9

101 Kombiací předpovědí,. výpočem vážeého arimeicého průměru, dosáváme pro ro 998 odhad míry iflace 0,3 %. Odhad vychází z předpoladu, že charaer vývoe eoomiy v roce 998 se oproi miulým roům v podsaě ezměí. Teo předpolad vša podle posledích iformací ebude splě. V eoomice e absece iflačích laů. Kromě resriiví poliiy ČNB hrae velou roli propad domácí popávy, lesaící reálé mzdy, silá orua a celosvěově ízé cey surovi. Meziročí růs spořebích ce, erý v prvím čvrleí vysoupil a 3,3%, se v dalších čvrleích zpomaloval a,7%, resp. a 9,5%. V prosici se očeává zmírěí celoročího růsu ce a 8%. Ja yo progózy ovliví deregulace ce eergií a áemého, sagace ce spořebího zboží, urz oruy, měové resrice cerálí bay ad., uáží až saisicá čísla za ro 998. Lieraura: [] BLATNÁ, D.: Kriéria výběru vhodého modelu eoomicé časové řady. Saisia č.5. Česý saisicý úřad, Praha 994. [] BLATNÁ, D.: Kombiovaé předpovědi. Saisia č.7. Česý saisicý úřad, Praha 994. [3] BLATNÁ, D. : K pousu vyvoři praicou pomůcu volby meody pro exrapolaci časových řad. Saisia č.6. Česý saisicý úřad, Praha 995. [4] CIPRA, T.: Aalýza časových řad s apliacemi v eoomii. SNTL/Alfa, Praha 986. [5] HINDLS, R. - KAŇOKOVÁ, J. - NOVÁK, I.: Meody saisicé aalýzy pro eoomy. Maageme Press, Praha 997. [6] HOLÍSEK, M.: Maroeoomie pro baalářsé sudium. Meladrium, Slaý 998. [7] KOZÁK,J. - HINDLS,R. - ARLT,J.: Úvod do aalýzy eoomicých časových řad. VŠE, Praha 994. [8] SEGER, J.- HINDLS, R.: Saisicé meody v ržím hospodářsví. Vicoria publishig, Praha995. [9] STEINDL, Ch.: Máme dobrou áhradu za idex spořebielsých ce? Saisia č.. Česý saisicý úřad, Praha 997. [0] Saisicá ročea Česé republiy / 9

102 Kiemaicá aalýza Úvod Zpracováí obrazu může bý prováděo za růzým účelem (aalýza povrchu, rozpozáváí obrazců, určováí veliosi ad.). V ašem případě se budeme zabýva iemaicou aalýzou. Výsledá daa (prosorové souřadice) mohou bý použia pro pozděší zpracováí v programech zabývaících se desigem a aimací ebo mohu bý podrobea dalším maemaicým výpočům. Na sporoviších iž eí eobvylá příomos amer růzých vali, růzých zače a růzého poču. Diváci, rodiče, reéři ebo pověřeí čleové realizačího ýmu prováděí videozázam věšiou za účelem archivace a mohdy i pro zísáí zpěé vazby z aočeého maeriálu. S rosoucí oblibou audiovizuálí a výpočeí echiy rosou i požadavy sporovců a eich ýmů po biomechaicé aalýze za účelem vyhodoceí a vylepšeí echicého provedeí pohybu. Vzdělávací isiuce (CASRI Praha, ělovýchové a sporoví fauly), eré sou úzce apoey a spor, eo red zachycuí a abízeí závodíům růzé možosi. Kiemaicá 3D aalýza přispívá přesému a podrobému posouzeí echiy s možosí odhaleí slabých i silých sráe v echicém provedeí, s ásledým rozborem pouáza a líčové faory ovlivňuící oečý výo. Zpracováí obrazu Ve srováí s věšiou osaích meod měřeí má aalýza obrazu u výhodu, že emá přímý egaiví dopad. To zameá, že saoveí vaiaivích rozměrů prosředicvím měřícího sysému emá žádý dopad a chováí měřeého obeu A o proože samoé měřeí eí prováděo a oréím obeu, ale a eho obrazu. Pro eedodušší měřící echiu předsavue eo fa edu evýhodu: rorozměrý obe e zobraze ve dvou dimezích. Tao evýhoda e acepovaelá, esliže máme záem pouze o dvě dimeze (D aalýza), apř. pro určeí evyššího sou, rozběhové rychlosi při sou daleém ebo odrazový úhel. Při ahráváí ěcho pohybů e důležié, aby yo pohyby byly ompleě popsáy v edé roviě. Abychom se vyhuli chybám plyoucím z oho, že se určié čási ěla pohybuí mimo roviu pohybu, amera by měla bý umísěa dosaečě 0 / 9

103 daleo od éo roviy pohybu. Fyziálí rozměry zazameaé ímo měřeím sou v prvé řadě iemaograficými rozměry (vzdáleos, čas, rychlos, zrychleí, úhly). Problémy souviseící s aalýzou obrazu Poé co byl pohyb ahrá, může bý provedea aalýza záběru. Abychom i mohli provés, musí bý určey body a ěle ebo body, eré sou určiým způsobem důležié pro vyoáí pohybu. Použiými body a ěle sou věšiou průsečíy loubích os, ebo eich sředy. Při omo určováí můžeme arazi a ři hlaví zdroe chyb: osy loubů emohou bý asě defiováy průsečíy os elze a záběru asě rozliši průsečíy sou sryy za osaími čásmi ěla a a záběru esou vidielé Řešeí pouze precizí zalos aaomie může miimalizova uo chybu průsečíy lze ozači asě orasí barvou sřed loubů musí bý ierpolová, popřípadě odhadu Chyby a olerace chyb chyby v určováí časového rozpěí mezi edolivými símy zázamu chyby v určovái pozice měřeých bodů umulaiví chyby, eré asaou, dyž výpočům použií esprávé hodoy, apř. rychlos = vzdáleos / čas, přičemž aměřeé hodoy vzdáleosi i času sou obě epřesé. Rozsah ěcho chyb může bý vyádře ao maemaicá fuce cilivosi použiého filmu, přesosi símací meody, přesosi určeí ohisových bodů při měřeí, chyb vzilých při zazameávái času ad. Růzorodos ěcho faorů uazue, a ompliovaé mohou yo výpočy bý. V praxi e dosačuící, že olerace chyb sou zišěy s odvoláím a zámé věší hodoy. Jesliže e apřílad zámá hodoa vzdáleosi mezi vrchím hlezeím loubem a oleím loubem, poom musíme dospě e seé hodoě i po semuí obrazu a provedeí výpočů (Jaura, 004). 03 / 9

104 Zobrazeí da Sledova lze edolivý bod, spoice bodů a ěžišě. Je možé zvýrazi yo spoice a sledova e během pohybu. Napřílad spoice mezi yčlí a oleem může bý v průběhu určié fáze pohybu vyobrazea v ié barvě. Exisuí růzé ypy ěžišě pro růzé pohybové sevece. Pro aždý model e požadová určiý poče bodů. To zameá, že body specifiace musí bý eprve přiřazey bodům daého modelu. Určováí ěžišě e maemaicým odhadem a e založeo a zušeosech a aměřeých hodoách. Přesé paramery pro výpoče ěžišě sou pro aždého člověa rozdílé, aže s použiím edoho modelu pro růzé ypy lidí (muži/žey, dospělí/děi ebo sprieři/vyrvalci) by se mělo zacháze oparě. Je možé chybu miimalizova pomocí sofware doplňu, ež umožňue zísáí paramerů určié osoby a záladě idividuálích měřeí (váha, výša, měřeí hrudího oše, šíře zad, déla ohy ad.) Následé zobrazeí (obr. ) modelovaých da v libovolé ose x, y, z 3-rozměrého prosoru, spolu se sledováím edolivých charaerisi vzdáleosi, rychlosi, zrychleí, úhly se sledováím vlasí provedeí sporovího výou dává do ruou reéra velmi mocý ásro a posouzeí idividuálí echicé vyspělosi sporovce (Sebera, 006). Obr. Rychlos ěžišě v průběhu sou s vizualizací 04 / 9

105 Výslede iemaicé aalýzy 3D model pohybu s možosí áhledů a podhledů idividuálí biomechaicá charaerisia soaa možos srováí dvou špičových soaů, hledáí eich silých a slabých sráe možos duálího porováí paramerů výou, apř. před zraěím a po zraěí hledáí silých a slabých sráe vlasího výou iogram Vyhodocováí da Nepřeberé možsví da z 3D iemaicých aalýz e a prví pohled pro výzumía velmi poěšuící, eboť uší, že má před sebou velmi podrobou podobu reálého pohybu a předpoládá, že am ade přesé odpovědi a oázy, eré si před vlasím výzumem položil. Zeméa zpočáu, dy chybí výzumíovi zušeosi s vyhodocováím, se prvoí adšeí brzy proměí ve sepsi, eboť pouhá orieace v možsví aměřeých da e elehá. Naož pa provádě edolivé dílčí roy vedoucí aplěí cílů výzumu. Pro předsavu, poud símáme chůzi frevecí 500 símů za seudu a aočíme a vyhodoíme 4 roy, dy aždý rvá průměrě 0,55 s, a máme dispozici 00 údaů a símáme-li 3 bodů (pro vyvořeí 3D modelu) a lidsém ěle, de pa o 4300 údaů. Experime se může ěolirá opaova a poče da se a ásobě zvyšue. Modelováí časových řad pomocí waveleů Wavele rasformace (WT) předsavue ový maemaicý prosřede pro aalýzu sigálů pomocí Wavele fucí s apliací a široé sperum reálých sigálů, eré zahrue echologicé časové řady, biomedicísé sigály a obrazy, družicové símy, eoomicá daa i lidsou řeč. V řadě případů e problémem efeiví ódováí, omprese, polačováí rušivých slože, modelováí a deece dílčích slože sigálu. Mezi důležié výsledy ěcho sudií paří aalýza a osruce wavele fucí v aalyicé i reureí formě spolu s popisem eich vlasosí. Wavele rasformace přiom předsavue aleraiví přísup disréí Fourierově rasformaci (FFT) pro aalýzu esacioárích sigálů a deeci 05 / 9

106 bodů, pro eré sigál měí vlasosi. Hlaví výhoda WT spočívá v eí schoposi aalýzy sigálů s proměým časově-frevečím rozlišeím. Mulirozlad Muliresoluio aalysis (MR) Velice efeivím a časo používaým způsobem výpoču Wavele rasformace e užií Mallaovy pyramidálí sruury pro určeí příslušých oeficieů pro daý veor. Z hledisa meod zpracováí sigálů se edá o užií ízofrevečího filru pro mezí freveci v poloviě příslušého frevečího pásma pro fuci měřía (a určeí aproximaivích slože sigálu) a dále o apliaci vysoofrevečího (Wavele) filru pro saoveí deailích slože sigálu. Tyo aalyzuící poslouposi sou užiy v ovoluci s daým sigálem a příslušý výslede e dále podvzorová faorem. Výsledem edoho rou deompozice sou v případě edorozměrých sigálů dvě fuce (Veselý, 996). Pro pořeby zpracováí esacioárích sigálů e ué provés deeci změ a aléz hraice edolivých segmeů. Nalezeé segmey e možo samosaě zpracováva, lasifiova, provádě predici apod. V současé době se uazue Wavele aalýza ao velice výhodá meoda pro segmeaci. Ja e popsáo výše, e založea a apliaci ízo a vysoofrevečích filrů a daý sigál. Výsledem sou dvě ové poslouposi, eré sou ozačováy ao aproximačí a deailí složa. Tyo ázvy vychází z předpoladu, že aždý sigál má důležié iformace uložey v ízých frevecích, eré posačí aproximaci daého sigálu, zaímco vysoé frevece esou iformace pouze zpřesňuící, doresluící, edy deaily daého sigálu. Rozlad pomocí wavele aalýzy do. rozlišovací hladiy e možo použí pouze u esovacích sigálů, eré eobsahuí příliš moho frevečích slože. U echicých, biomedicícých, eleroechicých a dalších sigálů e pořeba celý posup opaova. Celý posup odpovídá deompozici podle Mallaova pyramidálího schémau. Pro deompozici do druhé úrově použieme aproximačí složu z úrově prví. Dosaeme a ovou deailí a aproximačí složu. To zameá, že po dvou rocích máme sigál rozlože do dvou deailích a edé aproximačí složy. 06 / 9

107 Srováí s fourierovsou rasformace Při rozladu časové řady (obr. 5, řada s ) lze sěží použí sadardích saisicých posupů, aými sou apř. regresí aalýza, eboť vsupí daa emaí fučí předpis. Klasicá saisia ady očí a musí přií eorie zpracováí sigálu. Wavele rasformace se zedodušeě vysvělí a, že procházíme po celém sigálu a hledáme shodu mezi maeřsou fucí (obr. 3) a origiálím sigálem. Maeřsá fuce e deformovaelá ve paramerech, eré saoví shodu (wavele oeficeiy). Obrovsou výhodou oproi FFT e suečos, že poud změíme apř. posledí čás sigálu, pa se eměí předchozí wavele oeficiey. Narozdíl od FFT, de se změa proeví globálě ve všech paramerech. FFT vypovídá pouze o příomosi frevecí v sigále, eříá vša ic o eich umísěí v čase. Pomocí wavele báze Daubechies řádu 8 (eda z zv. maeřsých fucí) sme provedli MR-aalýzu a vsupích daech (s, zázam rychlosi plavce), eímž výsledem e 6 ompoe. Aproximačí složa a a 5 deailích složa d až d5 (obr. 5), de plaí s = a 5 + d + d + d 3 + d 4 + d 5. Z původích da a zísáváme redovou řivu (a 5 ), společě s dalšími aproximacemi, eré už posléze dovoluí rozumou ierpreaci, ať už při srováváí dvou respodeů ebo při hledáí změ u edoho edice (apř. před a po zraěí). Pro výpočy a vizualizace byl použi sysém Malab (hp:// Ve prospěch waveleů hovoří především myšleová edoduchos blízá zaběhaým fourierovsým přísupům. Oproi im vša abízí věší pružos daou loálím charaerem příspěvů edolivých waveleových oeficieů ve waveleové řadě. Napřílad při waveleové filraci edy posupueme obdobě ao při fourierovsé filraci, ovšem s ím podsaým rozdílem, že při reduci wavele oeficieů e vliv shlazeí pouze loálí v závislosi a zvoleém úrovi a ioliv globálí. Waveleový filr edy posyue výzamou ovou valiu v om, že se může adapova a loálí charaer da. Tam de daa vyazuí vyšší dyamiu,. esou užiečou iformaci ve vyšších frevečích pásmech, můžeme míru reduce vysoofrevečích ompoe síži (eboli síži prahovou hodou sigifiaosi) a aopa posupova v mísech, de e změa e pozvolá. Tím se odsraňue hlaví evýhoda fourierovsé filrace, erá v aovém případě má edeci dyamicý úse přehladi. Typicým příladem může bý rozvlěí v oolí espoiých změ 07 / 9

108 (Gibbsův ev). Too e ovšem spíše problém volby správé sraegie vyhlazeí, ež samoého pricipu waveleové filrace. Jao žádá iá meoda, esou ovšem ai waveley uiversálí všelé pro všechy ypy úloh, ale v aždém případě výzamě obohacuí reperoár dosud běžě používaých echi. Obr. 5 Původí daa a mulirozlad původích da Lieraura o Hebá, P. - Husopecý, J. - Pecáová, I. - Plašil, M. - Průša, M. - Řezaová, H. - Svobodová, A. - Vlach, P. Vícerozměré saisicé meody 3. Praha: Iformaorium, 007. ISBN o Jaura, M. Zahála, F. Kiemaicá aalýza pohybu člověa. Olomouc: 004. vyd. ISBN o Sebera, M. Využií mulimediálích prosředů v práci reéra aleiy. Bro: FSpS MU reérsé řídy aleiy. Závěrečá práce. 08 / 9

109 o Sebera, M. - Seberová, H. Časové řady a waveley. Vyšov: VVŠ PV Vyšov, 00. ISBN , s o Veselý, V. Waveley a eich použií při filraci da. I ROBUST 996. Praha 997, s / 9

110 Disace-Time Depedecies of Spaial Coordiaes for Gai Recogiio Mari Sebera, Ja Sedmidubsý, Mari Zvoař Masary Uiversiy - Faculy of Spors Sudies, Faculy of Iformaics Gai recogiio; MUFIN; iemaic aalysis; SIMI Purpose This paper preses a sysem for ideifyig people by heir gai paer. We ae io accou differe recogizable feaures which ca be obaied by walig wih help of he SIMI Moio sysem. I rece years we have wiessed a red where we are icreasigly depede o compuers, especially i he form of iformaio sorage ad processig. The same is rue for he biomeric daa, for auomaic recogiio of people based o heir aaomical characerisics (e.g. face, figerpri, iris, reia) ad behaviour (e.g., sigaure, gai) []. From hese opios we focus o gai, which is some way of expressig he huma uiqueess. Wha is more, here is cosiderable evidece ha gai is uique i is abiliy o deermie oe's ideiy [, 3]. We ca fid several sudies i areas such as biomechaics, mahemaics ad psychology. Walig is ulimaely aracive as a biomeric ideifier, because i does o affec he measureme ad recogiio of he perso uder surveillace ad ca be deeced ad measured i low resoluio. Gafurov [4] described a overview of biomerics sysems of walig ad geeral procedures such as visio-based approach, he floor-based approach ad a porable sesorbased approach. Visio-Based Gai Recogiio focuses o ideifyig idividuals wih differe feaures exraced from video sequeces of walig people [5]. Compared o oher biomeric feaures such as figerpris, he visio-based gai recogiio has he advaage of beig icospicuous. Moveme is probably he oly perceivable biomeric feaure from disace wih a low resoluio i compariso wih sysems such as facial recogiio or iris. Nixo e al. preseed a exesive overview of differe ideificaio mehods based o huma gai [6]. Mos curre approaches wor o he basis of aalysis of silhouee images i 0 / 9

111 a sequece of characers walig ma, e.g. raecories, a esimae of he pace ad sride legh, relaive body parameers or chagig agles of raecory exraced from marers arraged o he huma body. Aoher way is searchig of relaioships ad esimaes posiios, velociy ad acceleraio. I [] a comprehesive survey of video based gai recogiio approaches is preseed. Geerally, gai recogiio approaches ca be roughly divided io wo caegories, i.e., model-based approach ad model-free approach. Model-free approach aims o exrac saisical feaures from he whole silhouee o ideify idividuals while model-based approach aims o model gai explicily. Model-based approach aims o explicily model huma body or moio accordig o prior owledge. Usually, each frame of a walig sequece is fied o he model ad he parameers such as raecories are measured o he model as gai feaures for recogiio. These mehods are easy o be udersood, however, hey ed o be complex ad eed high compuaioal cos. Model-free approach does o eed he prior owledge of he gai model. I compacly represes gai moio of he walig huma based o he gai appearace wihou cosiderig he uderlyig srucure. METHODS I our research we firs describe SIMI sysem for obaiig he 3D coordiaes of he gai. The we use MUFIN sysem o recogize he idividual gai characerisics. SIMI moio Simi Moio is a moio aalysis sofware. Is modular desig meas ha a cusomized sysem ailored o each user s requiremes ca be quicly ad easily produced. Typical modules which are available are D or 3D iemaics (image based moio aalysis), iverse dyamics ad suppor for several DV or high-speed video cameras ad for EMG, force plaes, pressure disribuio measurig equipme ad oher devices. Aalog daa acquired simulaeously ca be auomaically sychroized wih he video recordig. Simi Moio ca be used i a wide variey of areas. I sciece ad research i is especially impora o us o provide exremely flexible ad echically highly sophisicaed sysems. Simi Moio has bee developed for use i biomechaics, spors sciece, eurosciece, veeriary medicie, maerials sciece, space research ad may oher fields: i fac, everywhere where moio is a impora facor. The D or 3D daa of seleced pois (pahs, velociies ad acceleraios) ca be calculaed from he recorded videos ad illusraed i / 9

112 diagrams sychroized wih he video. I aalyzig huma moveme, iverse iemaic calculaios based o cerai aaomical marers ca also be performed o provide he followig daa: segme ceers, oi ceers, segme roaios, oi roaios, cosraiig forces, resisive orques. A large umber of mahemaical fucios such as filerig (movig average, low-pass, high-pass), agle fucios (3-poi agle, agle o horizoal/verical ec.), frequecy aalysis ad saisical calculaios offer a huge poeial for scieific research. All he daa ca be used for furher calculaios or expored o oher programs. MUFIN Archiecure From a geeral poi of view, he search problem has hree dimesios show i Figure : () daa ad query ypes, () idex srucures ad search algorihms, ad (3) ifrasrucure o ru he sysem o. The MUFIN sysem [8][9] offers a complex soluio ha is highly flexible i all hree aspecs. Figure : The hree aspecs of he search problem i he MUFIN sysem. The daa processed i MUFIN are modelled usig he meric space approach. I meas ha he daa ca be pracically ayhig ha has a digial represeaio if a mehod o measure heir similariy exiss. More formally, he mahemaical meric space is a pair(d, d), where D refers o a domai of daa obecs ad d is a fucio able o compue he disace bewee ay pair of obecs from D. I is assumed ha he smaller he disace, he closer or more similar he obecs are ad he zero disace meas ha he obecs are ideical. For ay hree disic obecs x, y, z D, he disace mus saisfy properies of reflexiviy, d(x,x) = 0, sric posiiviy, d(x, y) > 0Chyba! Záloža eí defiováa., symmery, d(x, y) = d(y, x)chyba! Záloža eí defiováa., ad riagle iequaliy, d(x, y) d(x, z) + d(z, y). There / 9

113 are may fucios saisfyig such properies, for example, he commoly used Euclidea disace o D or 3D coordiaes is a meric fucio. I is also possible o use a o-meric fucio search is o so efficie sice all daa mus be compared o a query o guaraee he precise aswer. Daa ca be searched by a umber of similariy queries, icludig rage ad -eares eighbor queries. From ha poi of view, he MUFIN sysem is highly exesible muli-purpose egie ha ca supply efficie similariy search i various areas. The MUFIN sysem achieves he search scalabiliy by adopig paradigms of srucured peer-o-peer ewors: () dyamically disribuig worload o idepede peers for poeial parallel query execuio, () avoidig boleecs formed by a sigle ery poi or ceralized direcories ypical for radiioal clie-server archiecures, ad (3) improvig faul olerace by replicaio of daa ad adopig muliple search sraegies. I is possible by usig he cocep of virual processig uis (peers) o which he MUFIN sysem maps he respecive pars of he search egie. Due o his ope archiecure, he sysem ca adap o virually ay amou of daa ad also he hroughpu of he sysem he umber of simulaeous queries ha ca be solved wihou slowig dow is icreasig, sice queries ca be posed from ay peer. Eve hough he ideas of he sysem desig come from srucured peer-o-peer ewors, MUFIN is perfecly suiable o ru i more corolled eviromes lie compuer clusers, GRIDs, or eve muli-cpu servers. Acually, implemeig a MUFIN searchig service o compuig clouds (e.g., Amazo EC) yields a cos-effecive fully scalable soluio wih guaraeed availabiliy. The sysem hardware absracio layer allows MUFIN o map is peers oo differe hardware archiecures. This allows uig he performace of he sysem dyamically if a higher hroughpu or faser query respose is required, he sysem ca uilize addiioal hardware wihou chages i he uderlyig idices. The implemeaio of MUFIN builds o a framewor, called he Meric Similariy Search Implemeaio Framewor (MESSIF) [], which is desiged o ease he as of buildig meric-based idexig echiques. Basically, he framewor is a collecio of modules. The meric space module ecapsulaes suppor for meric daa obecs, he operaios module offers a framewor for daa queryig ad maipulaio mehods, ad he sorage module provides ierfaces for creaig ad maiaiig various daa sorages. The commuicaio module allows exchagig iformaio via he compuer ewor by meas of sedig ad receivig messages. Modules for ceralized ad disribued idex srucures ecapsulae implemeed idexig echiques providig a uified access o searchig ad 3 / 9

114 daa maipulaio regardless of he paricular implemeaio deails. Fially, he saisical module allows gaherig performace characerisics of all he oher modules. Daa Represeaio We represe huma moio by a srucural model of he huma body. This model is used for he exracio of gai variables i he form of plaar curves derived from graphs idicaig he disace of model s compoes i depedece o ime. A collecio of hese gai variables forms a gai paer which helps us o disiguish walig persos. Every perso is assiged wih heir gai paer ha ca be compared wih paers of oher persos by a specific disace fucio. The gai paer is derived from he curves of disace-ime depedecy graphs for pois o he huma body ha correspod o sigifica aaomical ladmars. For our huma model, we sugges a 3-parameer srucure (P0, P, P), where Pi represes a 3D coordiae of head (P0), lef wris (P), ad righ hip (P) capured a give ime. The gai paer G=(C, C) of each perso is he formed by wo discree curves C ad C. The specific value C[] represes he Euclidea disace bewee pois P0 ad P capured a ime. So he curve C illusraes how he disace bewee head ad lef wris chages i ime as he perso wals. The curve C represes he chage of disace bewee pois P0 ad P. Two gai paers Gi ad G are compared by a specific o-meric fucio d. This disace fucio is defied as he followig. d( G, G i DTW( Gi. C, G. C) DTW( Gi. C, G. C) ) The DTW fucio sads for he Dyamic Time Warpig approach ha measures similariy bewee wo discree curves [0]. This approach does o require he same legh of ipu curves. I oher words, he proposed fucio for comparig wo gai paers is based o similariy of walig syles (curves C) ad similariy of physical characerisics (curves C). Resuls We exraced gai paers from 5 recorded wals ha were acquired from 7 differe persos. All 5 exraced gai paers were idexed by he MUFIN sysem. Idividual 4 / 9

115 paers sared a a differe phase (e.g., he pose where he foo spa is maximized or miimized) ad had a various legh. The legh of each wal was abou 3 secods, which correspoded o ime momes recorded. I his way, he DTW fucio compared curves havig a variable dimesio bewee 00 ad 350. We creaed a specialized web user ierface for queryig gai paers. The screesho of his web ierface is depiced i Figure. We evaluaed effeciveess of he proposed recogiio fucio by evaluaig similariy queries o each gai paer recorded. I his way, he MUFIN sysem evaluaed 5 queries. For each query, all he gai paers were sored accordig o heir similariy o he query paer. If he mos similar paer correspoded o he query perso, search was successful. The recogiio rae over all 5 queries achieved he level of 47% (i.e., 7 queries ou of 5 were successful). Such a quie low recogiio rae was primarily caused by he followig facors: () iaccuracy of ipu 3D coordiaes acquired by Simi Moio sofware, () a various legh of exraced gai paers, ad (3) a differe sarig phase of gai paers. Moreover, effeciveess could be furher improved by represeig a gai paer by more ha wo curves. Figure : Web user ierface demosraig search for he mos similar gai paers. The lef gai paer (forei_3_.x) represes he query ad he remaiig hree oes represe he mos similar paers foud (forei.x is he mos similar paer o he query paer). The query paer is represeed by he red color shade (orage curve C, red curve C ) ad he specific foud paer is deoed by he gree color shade (ligh gree curve C, dar gree curve C ). CONCLUSIONS We iroduced a mehod of ideifyig people by heir ypical aspecs of walig. We creaed a daa represeaio for he sysem MUFIN. We have also developed a feaure merics for assessig he similariy of wo daa represeaios. To improve he gai recogiio algorihm i will be ecessary o ae furher seps. I paricular, hese iclude: To ehace accuracy of exracio of gai paers. To ormalize exraced gai paers i erms of he same legh ad sarig phase. To represe a gai paer by more ha wo curves. 5 / 9