Zákady anaytcké statky Ve všech dřívěších kaptoách sme rovnce statcké rovnováhy heda ze vztahů mez sovým účnky t. heda sme případy pro které by vektorový součet s a ech momentů roven nue t. heda sme řešení na báz vektorového počtu. Proto tyto metody sou řazeny do tzv. vektorové mechanky. V anaytcké mechanky podmínky rovnováhy budeme dskutovat na zákadě varace skaárních večn, akým sou zeména práce a knetcká energe. Uvdíme, že tento postup, vycházeící v podstatě z energetcké bance, umožňue naézat podmínky rovnováhy hned po vyádření en energetckých večn, což se ukazue (zeména u sožtěších soustav) ako snazší a rycheší. Metodcký postup př řešení úoh statky metodam anaytcké mechanky se podstatně odšue od postupů vektorové mechanky. Proto vyžadue zavedení odšného výpočetního aparátu, ehož přednost se však upatní zpravda až př dskus rovnc statcké rovnováhy u sožtěších mechanckých systémů, zatímco pro ednotvá těes popř. ednodušší modey soustav těes u kterých se zaímáme o určení reakcí vazeb bývá vhodněší a také názorněší použtí metod vektorové mechanky.. Zákadní pomy Všechny zákadní vztahy budeme odvozovat pro mechancký systém, tvořený soustavou těes, obecně mez sebou vázaných. U ednotvých těes používáme pro pops přemístění ednotvých bodů těes poohové vektory a a pro natočení ednotvých těes vektory pootočení ϕ. Přtom však patí, že má- soustava n vonost, en n těchto parametrů e nezávsých. Proto provádíme ze všech souřadnc výběr s tím, že soubor těchto n vybraných nezávsých souřadnc q, q, q n budeme nazývat zobecněným souřadncem. Termínem zobecněné souřadnce tedy budeme rozumět nemenší potřebný soubor nezávsých konfguračních parametrů (souřadnc, úhů, déek apod.). Anaytcké vyádření vztahů mez závsým a nezávsým souřadncem mechancké soustavy nazýváme vazebním podmínkam (vazební rovnce, rovnce vazeb). Přes rovnce vazeb pak můžeme vždy z vybraných nezávsých souřadnc určt poohu všech bodů soustavy. Přtom budeme dáe předpokádat, že vazby mez těesy sou hoonomní (t. pro vazby které sou ntegrovatené, v prax to sou vazby nezávseící na rychost). Vazby tohoto typu ze vyádřt rovncem typu r r ( q, q,..., q,..., q, t ) (.) Zákadním pomem anaytcké mechanky e vrtuání přemístění (maé posunutí nebo maé pootočení). V případě hoonomních vazeb e to akýkov eementární pohyb, který se děe ve shodě s vazbam. Budeme e označovat δ r (δ e označení pro varac). Skutečné pohyby d r resp. dϕ v čase n d t (odpovídaící přísušným vazbám, působícím sám a počátečním podmínkám) e edním z vrtuáních pohybů en tehdy, de- o vazby skeronomní (t. nezávseící na čase) popř. závsost na čase ze pro krátký časový okamžk dt zanedbat (což v naprosté většně případů e spněno). Pak vrtuání posunutí odpovídá pohybům skutečným - vz obr.. Můžeme e tedy zstt tak, že s těesy v soustavě myšeně pohneme a vyvoaná posunutí nebo pootočení zakresíme do schématu soustavy.
Varací vztahu () tedy za uvedených předpokadů můžeme dostat systém N vztahů mez varacem vrtuáních pohybů a varacem zobecněých souřadnc n r r r r δ r δ q + δ q + + δ qn δ q. (.) q q q q Práce vykonávaná sovým účnky př vrtuáních budeme dáe nazývat vrtuání prací. Pro potřeby anaytcké mechanky e účené rozděení s pode ech pracovního efektu. P Pracovním sam sou přtom ty z vněších vntřních s, které př vrtuáním pohybu konaí prác. Nepracovním sam sou takové síy, které př vrtuáním pohybu prác V nekonaí. Neuvažueme- pasvní odpory, pak k nepracovním sám patří síy vazbové ( komé sožky reakcí). Jným sovy, pracovním sam sou všechny síy akční a z reakcí pouze ech pracovní sožky (např. sía tření, moment čepového tření, moment vavého odporu apod.). Jekož reakce konaí prác en tehdy, uvažueme- pasvní odpory, e zřemé, že u systémů bez pasvních odporů poem vazbové síy spývá s pomem síy reakční.. Statcká rovnováha těes pomocí prncpů anaytcké mechanky n.. Prncp vrtuání práce pro centrání sové soustavy Nechť v bodě B těesa působí P pracovních vněších s P a S vazbových reakcí V. Jestže e těeso ve statcké rovnováze, e spněna podmínka Uděíme- bodu B vrtuání pohyb P S P V +, (.3) δ r pak soustava s vykoná vrtuání prác P S P S P V P V δ A.δr +. δr +.δr (.4) která s ohedem na vztah (.3) a obecně nenuovou hodnotu Odtud pyne prncp vrtuáních prací pro centrání sové soustavy: δ r e rovna nue. Př statcké rovnováze s působících v daném bodě těe, e agebracký součet vrtuáních prací všech s roven nue. Ze vztahu (.4) vypývá dáe věta: Použtí prncpu vrtuání práce vede vždy na podmínky statcké rovnováhy přísušné sové soustavy. Pro vazby těes bez uvažování pasvních odporů patí, že V sou komé na δ r, takže vztah pro vrtuání prác přede na tvar P P P P P P P P δ A.δr δ x + δ y + δ z (.5) x y z
Jestže bod B e voným bodem t. má počet stupňů vonost n3, e počet nezávsých vrtuáních pohybů, které bod může konat e roven také 3. Za nezávsé vrtuání pohyby voíme δ x, δ y, δ z. Pak z prncpu vrtuání práce vypývaí podmínky rovnováhy centrání sové soustavy P P P P P P x, y, z (.6).. Prncp vrtuání práce pro obecné sové soustavy Nechť na soustavu těes (těeso, bod) působí K s a dáe M momentů sových dvoc Pak prncp vrtuání práce ve statce může být formuován takto: Je- soustavu těes (těeso, bod) v rovnováze, e součet vrtuáních prací pracovních sových účnků na soustavu působících roven nue. Tento prncp můžeme opět vyádřt vztahem kde δ r sou vrtuání posuvy působšť s pracovních momentů K M δ A.δr + M. δϕ M. (.7) a δϕ sou vrtuání pootočení v místě působení M. Vztah (.7) se nazývá obecná rovnce statky. Př použtí dříve zavedených zobecněných souřadnc q u (u,.,n) nezávsé vrtuání přemístění označueme δ qu. Po vyádření závsých vrtuáních pohybů pomocí zákadních vrtuáních pohybů (tato vyádření přtom získáme varacem rovnc vazeb vz vztah (.)) ze záps (.7) převést na tvar n u kde výrazy u ( n ) { Pu (,M,q,q,...q n ) δ qu} (.8) P,M,q,q,...q sou koefcenty u δ qu po zavedení vztahů do rovnce Chyba! Nenaezen zdro odkazů.. Vzhedem k tomu, že δ q u, vyadřue každá hranatá závorka rovnovážnou rovnc sových účnků ( ) P,M,q,q,...q (.9) u n Tento systém n rovnc statcké rovnováhy neobsahue neznámé vazbové síy, říkáme mu proto havní rovnce statcké rovnováhy. Vzhedem k tomu, že systém rovnc (.9) neobsahue reakční sové účnky, není tak rozsáhý ako v případě systému rovnc statcké rovnováhy získaného metodou uvoňování ednotvých těes ze soustavy. Pomocí těchto vastních rovnovážných rovnc můžeme zstt: - přídavné vněší účnky pro uvedení mechancké soustavy do rovnováhy pro danou poohu (vyádřenou pomocí zobecněných souřadnc) -pro danou soustavu sových účnků takové hodnoty zobecněných souřadnc q u, př nchž statcká rovnováha všech působících sových účnků nastane.
Z hedska úohy hedání statcké rovnováhy mechanckých soustav e vztah (.9) e důežtý a užtečný havně proto, že umožňue určt potřebné neznámé vněší sové účnky přímo t. bez uvoňování ednotvých čenů soustavy. Takže výhoda použtí metod anaytcké mechanky se upatní výrazně u soustav těes bez pasvních odporů s větším počtem čenů. Poznámka: Pro vyšetřování všech vrtuáních pohybů (posuvů a pootočení) u těesa nebo soustavy těes e zapotřebí znaostí knematckých řešení těchto mechanckých soustav. Proto prozatím budeme využívat prncpu vrtuáních prací u ednoduchých mechanckých soustav, u kterých můžeme sestavt potřebné vazební podmínky. Poznámka : U soustav s pasvním odpory vystupuí mez pracovním sam pracovní sožky reakcí (např. třecí síy). Abychom dosta vastní rovnce statcké rovnováhy (t. rovnce neobsahuící neznámé sožky reakcí), musíme před sestavením obecné rovnce statky určt neznámé pracovní sožky reakcí něakým ným způsobem, zpravda uvoňováním. Ve většně příkadů soustavy sou rovnné a maí eden stupeň vonost t. systém rovnc (.9) obsahue en ednu rovnc. K sestavení podmínek pro zštění rovnovážného stavu ze doporučt náseduící postup : -určíme počet stupňů vonost -do schématu soustavy zakresíme všechny vněší sové účnky působící na soustavu 3-anayzueme vazby. Není - některá deání, přísušnou pracovní sožku vazební sového účnku zahrneme do působících pracovních s 4-Vybereme zákadní vrtuání zobecněou souřadnc q a provedeme se soustavou myšený pohyb o δq. Nademe odpovídaící vrtuání posunutí δ r pro každé -té působště pracovních s a všechna pootočení δϕ koem každé -té osy působících pracovních momentů. Jednotvá vrtuání posunutí zakresíme k přísušným působícím sovým účnkům a zakresíme do schématu 5- Nademe vztahy mez přísušným ednotvým vrtuáním pohyby a vrtuáním zobecněým přemístěním nademe buď z rovnc vazeb x (q), y (q) a ϕ (q) pomocí dervování x ( q ) y ( q ) ϕ( q ) δ x δ q, δ y δ q, δϕ δ q nebo nademe tyto vztahy pomocí q q q knematckých vztahů (např. z podmínky vaení δ r rδϕ, převodu předohových ko apod.) 6- dosadíme za δx,, δy a δϕ do výrazu pro vrtuání prác δ A. δ r + M. δϕ δ x + δ y + δϕ Qδ q x y M V této rovnc určueme znaménka ednotvých čenů pode pravde pro skaární násobení (např. e- sía opačně orentovaná než přísušné posunutí, přísušná vrtuání práce e záporná) 7- rovnc rovnováhy Q dostaneme zkrácením vztahu pro vrtuání prác o δq Použtí prncpu vrtuáních prací uvedeme na dvou příkadech. Př.. U ručního zvedáku e břemeno tíhové síy zvedáno ozubenou tyčí, poháněnou ozubeným koy. Jak vekým momentem musíme působt na ozubené koo? Q
Dáno: Q, r,, r 3, R 3. Obr.. Řešení: Počet stupňů vonost ( n ) ( ς η ) 3. 3 ( 3. +. ) V. Soustava v e rovnná a má eden stupeň vonost. Za nezávsou souřadnc voíme natočení ϕ koa t. poožíme qϕ. Ostatní souřadnce natočení koa 3 a posun tyče 4 sou ž závsé a můžeme psát přímo knematcké vztahy: ϕ r ϕ 3 r 3 a y 4 ϕ 3 r 3. Pro nezávsý vrtuání pohyb δϕ sou závsé vrtuání pohyby δϕ r δϕ r, δ y r δϕ 3 4 3 R3 R3 Použeme prncp vrtuáních prací pro působící vněší sové účnky δ A. δ y + M. δϕ δ y + M δϕ Q 4 Q 4 Po dosazení závsého vrtuáního posuvu obdržíme po úpravě r δ A ( r M ) δ q ) Q 3 + R3
Vzhedem k tomu, že δ q, dostáváme pro hedaný moment na koe pro zvedání nebo r spouštění břemene výsedek M r3 Q R3 Př.. U šroubového su e tak na předmět vyvozován sovou dvocí M, působící na ramen -obr... Určete síu působící na sovaný předmět. Dáno:,, h (stoupání šroubovce) Obr.. Řešení: Těeso (šroub ) e vázáno v prostoru. Počet stupňů vonost ( n ) ( ς η ). 6 (. 5 +. ) v kde n e počet těes v soustavě včetně rámu. Soustava má př předpokádaném pohybovém stavu tedy vonost t. e nepohybvá. Odstraníme proto sovaný předmět a eho účnek nahradíme sou y. Pak dostáváme novým rozborem ς η 6 5 ( n ) v ( ). (. ) V Soustava e pak pohybvá a má eden stupeň vonost. Pro určení nyní ž vněší síy y můžeme použít prncpu vrtuání práce, který má tvar δ A Μ δψ + δ y δψ δ y, y y Za zobecněou souřadnc q voíme natočení šroubu t. poožíme q ψ t. δ q δψ. Pro edný závsý vrtuání pohyb δ y můžeme použít vazební podmínku
δ y δψ h δ y δψ h π π Po dosazení do vrtuání práce a úpravě obdržíme h δ A y δ q π h Vzhedem k tomu, že δ q, výraz v závorce y π představue podmínku statcké rovnováhy působících sových účnků. Odtud určíme síu akou e předmět sován y 4π h