b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá vzdáleost tam i zpět, aiž bude uto tuto svíčku měit? N(µ,σ ) µ 0 000 σ 3 000 σ 3 000 50 0000 P(X > 50) P(U > ) P(U >,9) 3000 φ(,9) [ φ(,9)] φ(,9) 0,98 Příklad : Při provozu balícího automatu vzikají během směy áhodé poruchy Ze zkušeostí víme, že během směy dochází v průměru ke poruchám Jaká je pravděpodobost, že během 4 hodi (třísměého provozu) edojde ai jedou k poruše? Po(λ) poruchy za směu za 3 směy 3 6 poruch očekávaá hodota λ 6 - e λ k -6 0 λ e 6-6 P(X k) P(X 0) e 0, 0048 k! 0! Příklad 4: Pravděpodobost, že hasící systém továry (jev A) selže, je 0%, pravděpodobost, že selže poplachové zařízeí (jev B), je 0% a pravděpodobost, že selžou oba ajedou (A průik B), je 4% Jaká je pravděpodobost, že: a) Alespoň jede bude fugovat? (Doplěk jevu "selžou oba současě") b) Oba dva budou fugovat? B P(A) a + c 0% 0,0 A P(B) b + c 0% 0,0 b c a P(A B) c 4% 0,04 d a) P( A B ) P(A B) a + b + d c 0,04 0,96 b) P( A B ) - P(A B) d 0, 0, + 0,04 0,4

Příklad 5: Je zámo, že 90% výrobků odpovídá stadardu Byla vypracováa zjedodušeá kotrolí zkouška, která u stadardího výrobku dá kladý výsledek s pravděpodobostí 0,95, kdežto u výrobku estadardího s pravděpodobostí 0,0 Jaká je pravděpodobost, že výrobek, u ěhož zkouška dopadla kladě, je stadardí? Výrobek je Stadardí 0,9 je Nestadard 0, oz za Sta 0,95 oz za Nest 0,05 oz za Sta 0, oz za Nest 0,8 A je ozače za stadardí B je Stadardí B je Nestadardí P(B ) 0,90 P(A B ) 0,95 P(A B ) 0,0 P(B P(A B ) P(B ) 0,95 0,9 0,855 A) 0,9 P(A B ) P(B ) + P(A B ) P(B ) 0,95 0,9 + 0, 0, 0,85 Příklad 3: Určitý typ součástek je dodává v sériích po 00 kusech Při přejímací kotrole je z každé série áhodě vybráo 5 výrobků Série je přijata, jestliže mezi kotrolovaými výrobky eí žádý zmetek Jaká je pravděpodobost, že série bude přijata, jestliže obsahuje 0 zmetků? Hy(;M;N) N 00 M 0 N 5 M N - M k - k P(X k) N 0 00-0 0 5-0 P(X 0) 0, 00 5

Příklad 6: Aby sloužila lépe svým izeretům podikla rozhlasová staice zaměřeá a hudebí pořady u 500 posluchačů průzkum za účelem zjištěí, zda dávají předost klasické ebo populárí hudbě Výsledky pozorováí roztříděé podle věku byly ásledující: věk vážá populárí hudba hudba pod 5 let 45 08 5 50 ad 50 let 08 96 Sestrojte 99% iterval spolehlivosti pro podíl mládeže do 5 let, která dává předost populárí hudbě (v rámci celé populace) N 500 53 x 08 α 0,0 u 0,995,58,58 0,0564 0,0949 53 P(- P) 08 p ± u - α p 0, 06 53 P ( - P) p(- p) 0,06 0,94 0,0564 0,60% z 500 353; 9,49% z 500 4; 353 ± 4 (306; 400) Příklad : Podle aalýzy receptů ze stejého emocičího odděleí provedeého v lékárě vyplyulo, že lékař A apsal 0% receptů, z ichž % bylo předepsáo chybě a lékař B apsal 30% receptů, z ichž chybě předepsáa byla % a) Jaká je pravděpodobost chybě apsaého receptu v daém odděleí? b) Je-li recept předepsá chybě, jaká je pravděpodobost, že ho apsal lékař B? Odděleí A 0, B 0,3 Chybě 0,0 Dobře 0,99 Chybě 0,0 Dobře 0,98 A recept je apsá chybě B recept apsal lékař B B recept apsal lékař A a) P(A) 0, 0,0 + 0,3 0,0 0,03 b) P(B P(A B ) P(B ) 0,3 0,0 0,006 A) 0,465 P(A B ) P(B ) + P(A B ) P(B ) 0,0 0,3 + 0,0 0, 0,006 + 0,00 3

Příklad : Oil Exploratio podikla zoufalý hazardí pokus veškeré zbylé fody vložila a pokusých vrtů Šace, že vrt arazí a ropu, je u všech vrtů 0% a jedotlivé vrty jsou avzájem ezávislé Před bakrotem může firmu zachráit je úspěch tří a více vrtů Jaké je šace? Bi(,π) π 0, k 3 i -i P(X k) π ( π ) i k i P(X 3) (P(X0)+ P(X) + P(X)) 0,5583 0,44 Příklad : Uiverzálí peumatiky mají průměrou životost 56 000 mil se směrodatou odchylkou 8 000 mil a ormálí rozděleí a) Jaká je pravděpodobost, že daá peumatika vydrží 50 000 mil a více? b) Kolik procet peumatik vydrží méě ež 50 000 mil? c) Jaká je pravděpodobost, že peumatika bude mít životost od 50 000 do 60 000 mil? d) Jaká je pravděpodobost, že peumatika vydrží více ež 80 000 mil? N(µ,σ ) µ 56 000 σ 8 000 50000 56000 a) P(X > 50000) P(U > ) P(U > 0,5) φ ( 0,5) φ(0,5) 0,33 8000 b) P(X < 50000) 0,33 0,663,% c) 50000 56000 60000 56000 P(50000 < X < 60000) P < U < φ(0,5) φ( 0,5) 8000 8000 φ(0,5) ( φ(0,5)) 0,33 + 0,6946-0,46483 80000 56000 d) P(X > 80000) P(U > ) P(U > 3) φ (3) 0,99865 0,0035 8000 4

Příklad 8: Pojišťova uzavřela 00 životích pojistek s osobami určitého věku, o ichž je v úmrtostích tabulkách zjištěa pravděpodobost dožití dalších deseti let 0,85 Jedorázové pojisté čií 600 Kč a v případě úmrtí do deseti let vyplatí pojišťova pozůstalým 0 000 Kč Jaký zisk z těchto pojistek může za daých podmíek pojišťova očekávat? zisk E(X) pro P(X) x x P(X) 600,- 0,85 360-8 400,- 0,5-60 suma: 00 Zisk zisk pro * počet pojistek 00 00 0 000,- Kč Příklad 4: Pracovík pro odbyt u velké firmy a výrobu léčiv avštíví ročě 3 velkoprodejy s farmaky s 80% pravděpodobostí, že sjedá kotrakt Nechť X je součet všech prodejů za rok (0,, ebo 3) a) Sestavte tabulku rozděleí pravděpodobostí p(x) b) Jaká je pravděpodobost, že sjedá aspoň dva kotrakty? Bi(,π) P(X k) π k ( π ) -k k a) sjedaých P(x) obchodů 0 0,008 0,096 0,384 3 0,5 suma: b) P(x ) P(x) + P(x3) 0,384 + 0,5 0,896 Příklad 3: Z časového símku určité motáží operace vyplývá, že bylo provedeo pozorováí, zjištěý průměr doby trváí operace je průměr x 44 sec a směrodatá odchylka s 4 sec Sestrojte 95% iterval spolehlivosti pro očekávaou délku motáže x 44 σ 4 α 0,05 x ± u α - σ 4 4 44 ± u 0,95 44 ±,96 44 ±,63 (4,3; 46,63) 3 5

Příklad 9: Při průjezdu přes most byla kotrolováa rychlost jízdy 00 vozidel Bylo zjištěo, že 4 vozidel překročilo povoleou rychlost Sestrojte 95% iterval spolehlivosti pro podíl vozidel překračujících a mostě povoleou rychlost 00 x 4 α 0,05 p ± u - α P(- P) 4 p 00 0,4 ( - P) p(- p) 0,4 0,6 0,84 P u 0,95,96 0,84 4 ±,96 4 ± 8,3% 4 ± 8,3 4 ± 8 00 (6; 3) Příklad 6: Z populace USA v roce 980 bylo: 0% z Kaliforie 6% špaělského původu % špaělského původu a z Kaliforie Jaká je pravděpodobost, že áhodě vybraý Američa bude: a) z Kaliforie ebo špaělského původu b) ai z Kaliforie, ai špaělského původu c) špaělského původu, ale e z Kaliforie? A je z Kaliforie B je špaělského původu A a c b B d a) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) a + c + b 0, + 0,06 0,0 0,4 b) A B P(A) P(B) + P(A B) d (A B) - 0,- 0,06 + 0,0 0,86 c) P(B A) P(B) - P(A B) b 0,06-0,0 0,04 6

Příklad : Autobusy městské dopravy odjíždějí ze staice v sedmimiutových itervalech Cestující může přijít a staici v libovolém okamžiku a) Jaká je pravděpodobost, že bude čekat méě ež miuty? b) Jaká je středí hodota a rozptyl doby jeho čekáí a odjezd ze staice? 0 < x < f(x) a) P(X 5) dx [ x] 5 5 0, 85 5 x b) E(X) x P(x) x f (x)dx x dx 3, 5 x Ω x ( Ω ) 0 D(X) E x 0 {[ X - E(X) ] } E(X ) - [ E(X) ] 6,333,5 4,0833 3 x E(X ) x dx 3 0 [ E(X) ] 3,5, 5 0 49 6,333 3 Příklad : Předpokládáme, že měsíčí výdaje domácosti a určité potraviářské zboží mají ormálí rozděleí se středí hodotou 90 Kč a směrodatou odchylkou 4 Kč Staovte pravděpodobost překročeí hraice 00 Kč a) pro výdaje áhodě vybraé domácosti, b) pro průměré výdaje třiceti áhodě vybraých domácostí (Věta Lideberg - Lévy o výběrovém průměru) N(µ,σ ) E(X) µ 90 D(X) σ 4 a) N(90,4 ) 00 90 P(X > 00) P U > φ (0,485) 0,65 0,35 4 4 b) x ~ N(90, ) 30 00-90 P(X > 00) P U > φ (3,94) 0,99995 0,00005 4 30