Matcová exponencála a jné matcové funkce Motvace: Jž víte, že řešením rovnce y = ay, jsou funkce y(t = c e at, tj exponencály Pro tuto funkc platí, že y(0 = c, tj konstanta c je počáteční podmínka v bodě t = 0 Analogcky by mohlo platt, že řešení systému rovnc, který můžeme zapsat matcově ve tvaru Y = AY ( (vz kaptola o soustavách lneárních rovnc, bude Y (t = e ta C, kde A R n n je matce, Y je neznámá funkce s hodnotam v R n a C R n je vektor počátečních podmínek Exponencálu od matce můžeme defnovat jako e B := B m m!, ( opět využíváme analoge s reálnou exponencálou Než s ukážeme, že př takovéto defnc skutečně získáme dferencovatelnou funkc, která je řešením dferencální rovnce (, řekneme s, jak se exponencála od matce (tj součet nekonečné řady ( počítá Vlastnost a výpočet matcové exponencály Nejprve je třeba říc, že řada ( konverguje pro každou matc B Ke zdůvodnění tohoto tvrzení zaveďme tzv operátorovou normu matce: A := sup{ Ax : x R n, x }, kde x := n x Pro tuto normu platí AB A B, tedy A m A m Řada ( tedy konverguje pro každou matc B, protože platí l B m l m! B m l B m B m 0 (3 m! m! m! m=k m=k m=k pro k, tj posloupnost částečných součtů splňuje Bolzano-Cauchyovu podmínku A nyní k výpočtu exponencály Nechť B R n n, pak exstuje Jordanův kanoncký tvar J R n n matce B, tj platí B = V JV, m=k =
kde J se skládá z Jordanových buněk J,, J k a sloupce matce V tvoří vlastní vektory, případně řetězce vlastních vektorů Pak ovšem platí B m = V J m V Nepotřebujeme tedy umět umocnt matc B, stačí nám umocňovat její Jordanův tvar A protože platí J 0 0 J 0 0 J 0 0 J 0 J 0 0 J 0 = = 0 J 0, 0 0 J k 0 0 J k 0 0 Jk stačí umět umocňovat Jordanovu buňku Pro Jordanovu buňku J příslušnou vlastnímu číslu λ platí J = λ 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ = λ I + D, D = 0 0 0, 0 0 0 λ 0 0 0 0 můžeme tedy psát J m = (λ I + D m = m k=0 ( m λ m k D k, k kde bnomckou větu můžeme použít, protože matce I a D komutují (ID = DI Umocňováním matce D se dagonála jednček posouvá vždy o řádek výš, tj (D k j = pro j = + k a (D k j = 0 jnak (důkaz snadno ndukcí Specálně tedy, je-l velkost buňky r, pak D r má jednčku v pravém horním rohu a jnak samé nuly a D k = 0 pro k r Máme tedy pro m r (kde r je velkost buňky ( λ m m ( λ m m ( λ m m r λ m r+ ( 0 λ m m ( λ m m r λ m r+ J m = 0 0 λ m ( m λ m 0 0 0 λ m Pro m < r jsou záporné mocnny λ nulam v předcházejícím výrazu nahrazeny
Dáme-l nyní všechny nformace dohromady, máme J m 0 0 e B = e V JV = V e J V 0 J m 0 = V m! V = 0 0 Jk m J m! m 0 0 0 m! V J m 0 V = 0 0 J m m! k e J 0 0 0 e J 0 V, 0 0 e J k kde e J se rovná 0 λ m m! λ m m= (m!! λ m m! 0 0 m= m= λ m (m!! λ m λ m r+ m=r (m r+!(r! λ m r+ m=r (m r+!(r! (m!! λ m m! m= 0 0 0 = e λ e λ! e λ! e λ (r! 0 e λ e λ! e λ (r! 0 0 e λ e λ! 0 0 0 e λ λ m (m!! λ m m! A tím je výpočet exponencály od matce hotov Předcházející výpočty nyní uplatníme v následujícím příkladu Příklad Vypočtěte e A pro A = 4 3 0 0 0 3
Řešení Vypočteme vlastní čísla: det(λi A = (λ + (λ, tj λ, =, λ 3 = Vlastní číslo má vlastní vektor (, 0, 0, vlastní číslo má vlastní vektor (, 0,, k němuž najdeme pseudovlastní vektor splňující (A Iv = (, 0,, např v = (,, 0 Máme tedy V = 0 0 0 0 a A = V JV Potom e A = V e J V = V, V = e 0 0 0 e e 0 0 e 0 0 0 0 V =, J = 0 0 0 0 0 e e + e e + e 0 e 0 0 e e Úlohy (a Nechť v je vlastní vektor matce A, příslušný vlastnímu číslu λ Potom v je též vlastní vektor matce e A, příslušný vlastnímu číslu e λ (b Dokažte větu o obrazu spektra: σ(e A = {e λ ; λ σ(a} Dokažte, že det e A = e λ + +λ n = e tr A, kde λ jsou vlastní čísla A, a tr A je stopa (součet dagonálních prvků 3 Logartmus matce Buď A R n n (a Pokud A 3 = 0 a L := A A /, pak e L = I + A (b Konverguje-l řada L := A A / + A 3 /3 +, potom je e L = I + A * (c Pro danou matc A najděte matc B tak, že A = e B 4 Pro následující matce A najděte matce B takové, že A = e B (s využtím výsledku předchozí úlohy ( ( e 3 3,, 0 e 3, 3 3 0 3 0 0 e 5 0 5 (a Je dána matce A Exstuje vždy B tak, že B = A? (b Najděte odmocnnu matce 0 0 4
6 Pro lbovolnou čtvercovou matc A defnujme (A 0 = I sn A := n=0 ( n (n +! An+ cos A := n=0 ( n (n! An (a Ukažte, že uvedené řady konvergují (b Ukažte, že (sn A + (cos A = I (c Platí e A+B = e A (cos B + sn B pro všechny dvojce matc A, B nebo jen pro některé? (d Platí cos(a + B = cos A cos B sn A sn B pro všechny dvojce matc A, B nebo jen pro některé? 7 Vypočtěte sn A (bez použtí Jordanova tvaru pro následující matce A ( 0 0, 0 0 0 3 0 0 0 8 Nechť A je antsymetrcká (tj A T = A Potom e A je ortogonální 9 Nechť A R n n má jednonásobná vlastní čísla λ,, λ n Buď P takový polynom, že P (λ = e λ, =,, n Pak e A = P (A Dokažte 0!! Cauchyův vzorec říká f(a = f(z(z π γ a dz, kde γ je kladně orentovaná kružnce se středem a (a Ukažte, že e A = e z (zi A dz, π γ kde γ je taková kružnce se středem v 0 a poloměru větším než A (b Spočtěte touto metodou e A pro následující matce: ( ( 0, 0 0 Řešení (a Av = λv, tedy A k v = λ k v, tedy (e A v = (b Pomocí Jordanova tvaru Jde to bez něj? Pomocí Jordanova tvaru nebo Louvlleovy formule 3 (a Dosazením (b Uvažte, že exp(x x / + x 3 /3 + = + x pro x (0,, a argumentujte možností přerovnat absolutně konvergentní řady 5
(c C 0 0 0 C 0 B = V V, 0 0 C k kde V je matce, jejíž sloupce tvoří vlastní vektory matce A a buňka C se rovná ( m ( m λ m ( m ( m λ m m= 0 m m= ( m ( m λ m r+ m m=r r m 0 ( m ( m λ m m= ( m ( m λ m r+ 0 m m=r r m 0 0 ( m ( m λ m m=, 0 m kde λ jsou vlastní čísla matce A I ( 3 4 (a Matce A = má vlastní čísla a 4, a proto neexstuje 3 reálná matce B, že e B = A (b Kvůl konvergenc taylorovy řady funkce ( ln( + ( x na ntervalu ( (0, 3 0 3 je vhodné napsat matc A takto: A = = 0 3 0 0 3 a spočítat exponencálu zvlášť pro obě matce (přčemž první jde trválně a druhá pomocí výsledku cvčení 3c Výsledek pak je ( ln 3 B = 3 0 ln 3 (c A = e 0 e 3 0 0 e = e 0 0 0 e 0 0 0 e e e 0 3e 0 0 a výsledek je: e e 3 e 0 3e 0 0 (d Vlastní čísla matce 3 jsou 0 a a tedy neexstuje matce 5 0 B, že e B = A (neex c R, že e c = 0 5 Stačí uvažovat Jordanovu buňku V případě nulových vlastních čísel odmocnna matce obecně neexstuje 6
6 (a Stačí postupovat obdobně jako v případě exponencály (b Stačí využít vzorce pro násobení řad, tj ( ( ( n a n b n = a n m b m n=0 n=0 (c Tvrzení platí pro dvojce matc splňující AB = BA V důkazu nejprve rozepsáním z defnce exponencály ukažte, že e B = cos B + sn B a následně zbývá ukázat, že e A+B = e A e B K tomu využjte vzorec (A + B n = n n=0 ( n A n m B m, m který platí, pokud AB = BA Pokud AB BA, vzorec platt nemusí Ověřte, že tomu tak je u matc ( ( 0 0 a 0 0 0 0 (d Platí pro dvojce matc splňující AB = BA V důkazu se použje vzorec pro násobení řad (vz bod (b a bnomcká věta (vz bod (c, kde se využje komutatvty matc A a B 7 a Výpočtem ověřte, že A 3 = A a pak jž snadno spočtěte, že sn A je roven matc ( 0 sn sn 0 (b Výpočtem ověřte, že A 3 = 0 a tedy snadno: sn A = A 8 M je ortogonální právě když MM T = I 9 Plyne z výpočtu pomocí Jordanova kanonckého tvaru 0 (a Využjte vzorce (I A/z = k=0 (A/zk, zaměňte sumu a ntegrál a použjte Cauchyův vzorec pro k-tou dervac funkce (b Využjte vzorce pro nverz matce : ( a b = c d z z z z z ad bc ( d b c a Pomocí něho spočtěte (zi A pro obě zadané matce U první resp druhé vyjde: ( z ( z+, resp z z 7 0 z+ z
Následně dosazením do formule pro výpočet exponencály z předchozího bodu a aplkací zmíněného Cauchyho vzorce zvlášť na každou složku výsledné nverzní matce (za pomoc rozkladu na parcální zlomky dopočítáte, že exponencála od první resp druhé matce je: ( (e + e (e e (e e (e + e, resp ( e (e e 0 e Matcová exponencála a řešení soustav lneárních rovnc V této podkaptole se budeme zabývat vlastnostm funkce Φ : R R n n, Φ : t e ta Mmo jné ukážeme, že ΦC je řešením soustavy Y = AY pro každý vektor C R n Nejprve s uvědomme, že z odhadu (3 (v mnulé podkaptole plyne pro t [ K, K] l A m t m m! (K A m (4 m! m=k Tedy řada konverguje lokálně stejnoměrně a funkce Y je tedy spojtá Zdervujeme-l m-tý člen řady, získáme m=k f n(t = m! Am mt m = A Am t m (m! Odhad (4 nám tedy dává také stejnoměrnou konvergenc dervací Odtud plyne, že lmtní funkce je dferencovatelná a lze j dervovat člen po členu Odtud hned dostáváme Φ (t = m= A Am t m (m! = AΦ(t, tedy funkce Φ splňuje rovnc ( a Y (t = Φ(tC je řešení soustavy rovnc ( Příklad Najděte fundamentální matc následující soustavy pomocí matcové exponencály x = 0x 6y y = 8x y 8
Řešení Vypočítáme vlastní čísla matce soustavy det(λi A = (λ 0(λ + + 6 8 = λ + λ = (λ + (λ Vlastní vektor příslušný λ = je v splňující (I Av = 0, tj v = (, 3 Vlastní vektor příslušný λ = splňuje ( I Av = 0, tj v = (, Tedy ( 0 A = V JV = V V, 0 kde Máme tedy V = ( 3 t 0 Φ(t = e ta = V e 0 t a V = V = V ( 4e t 3e t e t + e t 6e t 6e t což je fundamentální matce soustavy ( 3 3e t 4e t ( e t 0 0 e t, V = Poznámka Uvědomte s, že pro každou regulární matc M je matcová funkce Φ(tM také fundamentální matcí soustavy (vynásobením zprava nahradíme sloupce lneárním kombnacem sloupců původní matce Tedy V e tj je fundamentální matce soustavy Ale Φ(t = V e tj V je jedná fundamentální matce, pro kterou platí Φ(0 = I Proto Φ(tC je řešení soustavy splňující počáteční podmínku Y (0 = C Pro chování řešení soustavy pro t + je klíčový následující odhad, který hojně využjete v kaptole o stabltě Jeho důkaz je ponechán jako cvčení Tvrzení Pro každé ɛ > 0 exstuje M takové, že platí kde α := max{re λ : λ σ(a} e ta Me t(α+ɛ pro všechna t 0, Úlohy na řešení soustav lneárních rovnc Najděte obecné řešení následujících soustav pomocí matcové exponencály 9
x = 6x + 8y y = 4x + 6y x = x 3y y = 6x + 7y 3 x = x 8y y = 0x + y 4 x = 5x 0y y = 5x + 5y 5 x = 5x 6y y = 3x y 6 x = 5x + 4y y = x y 7 x = x + 8y + 6z y = 4x + 0y + 6z z = 4x 8y 4z 8 Najděte fundamentální matc soustavy Y = AY, kde A = 5 3 Ověřte, že A 3 = 0 a př výpočtu fundamentální matce využjte tohoto faktu 0
Řešení Fundamentální matce soustavy je ( e t e t e t e t e t + e t e t + e t Fundamentální matce soustavy je ( e t e 4 t e 4 t + e t e 4 t e t e t + e 4 t 3 Fundamentální matce soustavy je ( cos(4 t 3 sn(4 t sn(4 t 5 sn(4 t cos(4 t + 3 sn(4 t 4 Fundamentální matce soustavy je ( cos(5 t sn(5 t sn(5 t sn(5 t cos(5 t + sn(5 t 5 Fundamentální matce soustavy je ( e t cos(3 t + e t sn(3 t e t sn(3 t e t sn(3 t e t cos(3 t e t sn(3 t 6 Fundamentální matce soustavy je ( e 3 t te 3 t 4 te 3 t te 3 t e 3 t + te 3 t 7 Fundamentální matce soustavy je e t 4 e t 4 3 e t 3 e t + 4 + 5 e t 3 e t 3 e t 4 e t + 4 3 e t
8 Jelkož A 3 = 0 (snadno se ověří výpočtem je fundamentální matce soustavy φ(t = e ta = I + ta + t A, tedy: φ(t = + t + t t 4t t + 6t t + t + t t 5t + 3t t t 3t Teoretčtější úlohy 9 Dokažte Tvrzení 0 Načrtněte chování soustavy x = Ax s konstantní matcí A, pokud A je podobná matc ( λ 0 0 λ Rozlšte případy: (a λ > 0 > λ, (b 0 > λ > λ Vypočtěte exponencálu matce ( a b b a (pokud možno bez rutnního přechodu na Jordanův tvar Načrtněte chování řešení soustavy s výše uvedenou matcí; jak se lší případy a > 0, a < 0 a a = 0? (a Spočítejte přímo z defnce e ta, víte-l, že A = I (b Ukažte, že A = I mplkuje σ(a {, } (c Pomocí (a určete fundamentální matc soustavy u = Au, je-l A = 5 8 4 8 0 0 5 0 0 3 (a Spočítejte přímo z defnce e ta, víte-l, že A = c I, c > 0 (b Ukažte, že A = c I mplkuje σ(a {c, c} (c Pomocí bodu (a najděte fundamentální matc pro systém u = Au, kde A = 3 3 3 6 0 6 3 3 3
4 Vypočítejte e ta dt, 0 víte-l, že matce A má pouze záporná vlastní čísla (Proč konverguje tento ntegrál? 5 Ukažte, že [sn(ta] = A cos(ta a [cos(ta] = A sn(ta 6 Najděte všechna řešení soustavy Y = AY pro 0 A = 0 0 0 0 pomocí matcového snu a cosnu Řešení 9 Plyne snadno z tvaru e J pro Jordanovu buňku J 0 Řešení je lneární kombnací e λ t v, kde v je odpovídající vlastní vektor e a+b = e a [cos b + sn b]; matce reprezentuje číslo a + b Výsledek tedy bude ( e at cos bt e at sn bt e at sn bt e at cos bt Pro a < 0 bude matcová exponencála konvergovat k 0, pro a = 0 bude omezená a pro a > 0 neomezená (a e ta = (cos ti + (sn ta (b uvažte, že λ σ(m právě když exstuje nenulový vektor v tak, že Av = λv (c Výpočtem ověřte, že A = I Poté z bodu (a plyne, že fundamentální matce φ(t je e ta = I cos t + A sn t, tedy: φ(t = cos t + sn t 5 sn t 8 sn t sn t sn t cos t sn t 4 sn t 8 sn t 0 0 cos t + sn t 5 sn t 0 0 sn t cos t sn t 3 (a e ta = cosh(tci + c snh(tca (b σ(c I = {c } Využjte větu o obrazu spektra s funkcí f(x = x Pak f(σ(a = σ(f(a = σ(c I = {c }, což mplkuje, že σ(a { c, c} (c Výpočtem ověřte, že A = 36I Fundamentální matce je pak dle bodu (a rovna matc e ta = I cosh(6t + A snh(6t, tedy: 6 cosh 6t + snh 6t snh 6t snh 6t φ(t = snh 6t cosh 6t snh 6t snh 6t snh 6t cosh 6t + snh 6t 3
4 Vypočtěte nejprve pro matc, tj záporné reálné číslo To vám napoví výsledek Defnce: B = A, právě když BA = I 5 Stejně jako v úvodu kaptoly ukažte, že lze dervovat řadu vyjadřující snus resp cosnus člen po členu Po zdervování stačí vhodně vytknout a upravt 6 Na základě cvčení 5 ukažte, že (sn tb = B sn tb a (cos tb = B cos tb pro lbovolnou matc B Nalezne-l se matce B taková, že B = A, bude {sn Bt, cos Bt} tvořt fundamentální systém řešení zadané soustavy Zmíněnou matc B lze nalézt např pomocí Cauchyho vzorce (zmíněného ve cvčení 0, stačí volt f(z = z a spočítat f(a Pak B = f(a = A a vyjde tedy 0 B = 0 0 0 0 A pak fundamentální systém tvoří matce: sn t t cos 0 sn Bt = 0 sn t 0 0 0 sn t cos t t sn t 0 a cos Bt = 0 cos t 0, 0 0 cos t které lze vypočítat například pomocí Cauchyho vzorců: f(a = f(z(z π γ a dz, f (a = f(z(z π γ a dz, stejným postupem jako ve cvčení 0, jenom místo funkce exp uvažujte funkce sn resp cos 4