.13 Rovinný obloukový nosník atížený v rovině = staticky určitě podepřený rovinný obloukový prut (střednice-rovinná křivka, atížení v rovině střednice)
Geometrie obloukového prutu Poloha průřeu: s x = (x ) Střednice prutu určená rovnicí: x Např: = 3x x Střednicová souřadnice s je křivočará. Často je jednodušší vyjádřit polohu průřeu v ávislosti na přímočaré souřadnici x nebo, do které prut promítneme.
Pootočení lokálních os x-, ke kterým vtahujeme N, V, M: Střednice prutu určená rovnicí: d dx ds V M x j -a N x d dx x d dx Např: = 3x ds dx d 1 dx cos( j) sin( j) dx cosj ds d sinj ds 1 1 1
Obecné vtahy pro vnitřní síly obloukového prutu s R x dn s ds dv s ds dm s ds V s R s N s Rs V s f x s f s s soustava diferenciálních rovnic pro N, V, M... řešení složité, použijeme rovnováhu oddělené části
Výpočet vnitřních sil - definice vnitřních sil (rovnováha oddělené části prutu) X o S o R x f x Z o R x R x R V f x = (x ) M N j Střednicová s souřadnice je křivočará. Často je jednodušší vyjádřit N, V, M v ávislosti na přímočaré souřadnici x, do které prut promítneme. Náhradní břemena x R f dx R x 0 x f x dx 0 R R R x x x R f d R R x x x x x 0 f d x 0 R R R Rx x
X o S o R x Z o R x R R x = (x ) M x Vnitřní síly (rovnováha) N X cosj Z sinj R cosj R sinj 0 N x... 0 0 cosj 1 x 1 V N V X sinj Z cosj R sinj R cosj 0 V x... 0 0 sinj j x M X 0 x Z0 x Rx x R R x xr S0 0 M x... 1
dn x dv x dm x Extrémy: 0, 0, 0 dx dx dx & krajní body intervalů Vykreslení vnitřních sil: N(x ), V(x ), M(x ) vyjádřeny v ávislosti na přímočaré souřadnici x s x vykreslíme na průmět prutu do osy x, např.: M - x nebo transformujeme do střednicové souřadnice a vykreslíme na skutečný tvar prutu (velikosti vnitř. sil vynášíme ve směru normály y), např.: M s -
PŘ: Vi též Použití proramu wxmaxima pro řešení úloh SM A v x Reakce A h = x m B 1kN/m m A A A h v 1 1 0 B 0 1 B 0 3 B 3 kn, A 3 kn, A kn v h Geometrie : x, x x 1 1 sin j ; cosj 1 1 x 1 1 x
Náhradní břemeno pro oddělenou část prutu: x R R 3 f = x m 1kN/m x m R 3 3 f x = x x 3 3 R
A h A v R R x = x A 3 kn, A kn v 3x, R, R x 3 h = x V j M x N Vnitřní síly: 3 3x 6 1 x x x N 3 0 N 1 x 1 x 1 x A h -R cosj A v sinj 5 3x x 1 3x 8x 3 V 3 0 V 1 x 1 x 1 x -A h R sinj A v cosj 3x 1 6 M x x x 3x 0 M x x 3x 3 -A h R ( - R ) A v x
Extrémy: dn dx N 6 6 x (16 x 3 x ) 0 x 0,63 m, ostatní kořeny 0, (1 x ) 3 0, 63 39,83kN dv dx V dm dx M M 6 8 18x 15x 8x 0 x 1,36 m, ostatní kořeny 0, (1 x ) 1, 36 7 kn 3, ostatní kořeny 5 3 8x 3x 0 x 0,675;1,778 m 0, 0,675 10,71kNm 1, 778 3,178 knm dm Pon.: povšimněme si, že V, ale. dx dm V ds
N(kN) V(kN) M(kNm) -10,71 7 - x x + - + x - - -31,0-3 - -7,76 3,178-39,83 nebo: x x -10,71 x - -39,83 - -31,0-3 - + -7,76 7-3,178 - +
Kružnicový prut (vláštní případ obloukového prutu ) Geometrie: - je výhodné popsat eometrii v polárních souřadnicích (r,j) Poloha průřeu: Pootočení lokálních os: N M a x j r r sinj = - x r r cosj rsinj (*) V j r a j x x r-r cosj = x r cosj
Geometrie: další (obecnější) příklad x S j 0 r j dj r ds j a r cosj r cosj 0 x r r ds rdj a j sinjsinj 0 0 cosj cosj (*) r sinj 0 x r sinj
Vnitřní síly řešíme stejným působem jako na obecném oblouku. N,V,M však vyjádříme v ávislosti na úhlu j s užitím vtahů (*). extrémy: dn j dv j dm j 0, 0, 0 dj dj dj vykreslení: na skutečný tvar prutu (velikosti vnitř. sil vynášíme ve směru normály y) vi příklad
PŘ: Vi též Použití proramu wxmaxima pro řešení úloh SM f =15kN/m A h j r F=10kN (<0) A v B x x 6m Reakce A A h 10 0 A 10 kn h A B 15 6 0 A 5 kn v 6 B 6 15 6 0 B 5 kn v
f =15kN/m A h A v x R R r j x (<0) x Geometrie: r 3 m, j 0, x r r cosj 3(1 cos j) rsinj 3sinj x Náhradní břemena: R x 0 R f x f r(1 cos j) 5(1 cos j) x R x 3 (1 cos j )
R f =15kN/m A h M r j V N (<0) N A sinj A R cosj 0 N h v 10sinj 5 5(1 cos j) cosj 10sinj 5cos j x A v x R x V A cosj A R sinj 0 V h v 10 cosj 5 5(1 cos j) sinj 10 cosj 5cosj sinj M A A x R x x h v R 3 M 103sinj 531 cosj 51 cosj 1 cosj 135 30sinj 135(1 cos j) (1 cos j) 0
N(kN) V(kN) 15.73-5 + - -5.6-10 -5.6-5 -15.73-10 10 - - Extrémy: dn 10 cosj 90sinj cosj 0 dj o o j, 0,111 rad ( 6, ), 0,111 rad ( 173,6 ) N 0,111 N 0,111 5, 6kN N 10kN dv dj 10sinj 5sin j 5cos j 0 o o j 0,87 rad( 9,8 ),, 7 rad( 130,1 ) V V 0,87 15, 73kN,7 15,73kN M(kNm) -3.3 + 37.5-3.3 dm 30 cosj 135cosj sinj 0 dj j 0, rad,, 0, rad M 37,5kNm M 0, M 0, 3,3kNm
.1 Složené soustavy - kombinace předchoích úloh - soustava přímých, šikmých, lomených a obloukových nosníků spojených vabami s s s s x s s s Výpočet vnitřních sil a) vyřešíme všechny potřebné vnitřní i vnější reakce b) v každém prutu/nosníku avedeme lokální souřadný systém c) řešíme průběhy vnitřních sil jednotlivých prutů
m m PŘ: h f=kn/m f=kn/m f=kn/m h c a m d m b e c d 8 8 h e c d d e a b 8 8
N(kN) -8 - -8 - -8 - -8-8 -8 m najít všechny extrémy! V(kN) - - M(kNm) -16 M max -16-16 16 - - -
Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám předmětu Stavební mechanika pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Prae. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualiován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby. Datum poslední revie: 7.3.01