Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D.
Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme tzv. áhodý výběr z populace. Náhodý výběr popsujeme rověž jeho parametry, apř. výběrový průměr, výběrový rozptyl s atd. Ig. Mchal Dorda, Ph.D.
Úvodí pozámky Parametry populace jsou kostatí, parametry áhodého výběru jsou ovšem áhodé proměé (provedeím jého áhodého výběru získáme jé hodoty parametrů) řídící se výběrovým rozděleím. Záme-l pro kokrétí výběrovou charakterstku její výběrové rozděleí, jsem potom schop odhadout parametr celé populace. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 3
Úvodí pozámky Rozlšujeme dva typy odhadů: ) Bodový odhad parametr populace apromujeme jedím číslem. ) Itervalový odhad parametr populace apromujeme tervalem, ve kterém jeho hodota leží s určtou pravděpodobostí. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 4
Vlastost bodového odhadu Mějme áhodý výběr,,, pocházejícího z rozděleí pravděpodobost defovaého dstrbučí fukcí F(, θ), kde θ je ezámý parametr. Bodový odhad parametru θ budeme začt θˆ. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 5
Vlastost bodového odhadu Dobrý bodový odhad musí splňovat určté vlastost: ) Nestraost (evychýleost, ezkresleost). ) Vydatost (efcece). 3) Kozstece. 4) Dostatečost. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 6
Vlastost bodového odhadu Odhad je estraý, pokud se jeho středí hodota rová hledaému parametru, tedy: ˆ. E Slabší formou estraost je asymptotcká estraost, odhad je asymptotcky estraý, pokud: lm E ˆ. Např. výběrový průměr je estraým odhadem středí hodoty. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 7
Vlastost bodového odhadu Máme-l dva estraé odhady, potom vybereme te s meším rozptylem, tato vlastost se azývá vydatost. Nestraý odhad, jehož rozptyl je ejmeší ze všech estraých odhadů, se azývá ejlepší estraý odhad. Např. výběrový průměr je ejlepším estraým odhadem středí hodoty. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 8
Vlastost bodového odhadu Odhad je kozstetí, pokud se s rostoucím rozsahem výběru zpřesňuje, musí tedy platt: lm Eˆ a lm D ˆ 0. Např. výběrový průměr je kozstetím odhadem středí hodoty. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 9
Vlastost bodového odhadu Odhad je dostatečý, pokud obsahuje veškerou formac o sledovaém parametru, kterou výběrový soubor poskytuje. Výběrový průměr je dostatečým odhadem středí hodoty. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 0
Kostrukce bodových odhadů Pro kostrukc bodových odhadů estuje více metod, my se budeme zabývat metodou mamálí věrohodost. Ig. Mchal Dorda, Ph.D.
Metoda mamálí věrohodost Nechť áhodý výběr pochází z dskrétího rozděleí pravděpodobost defovaého pravděpodobostí fukcí s ezámým parametrem θ. Věrohodostí fukce je potom defováa jako sdružeá pravděpodobostí fukce ezávslých proměých se stejým dskrétím rozděleím: L,...,, p,... p, p,. Ig. Mchal Dorda, Ph.D.
Metoda mamálí věrohodost Pochází-l výběr ze spojtého rozděleí s ezámým parametrem θ, je věrohodostí fukce defováa jako sdružeá hustota pravděpodobost ezávslých proměých se stejým spojtým rozděleím: L,...,, f,... f, f,. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 3
Metoda mamálí věrohodost Jelkož je věrohodostí fukce ezámého parametru θ, je yí úkolem ajít θˆ tak, aby se mamalzovala hodota věrohodostí fukce, tedy: L, ˆ ma L,...,,,...,. Př praktckých výpočtech se místo věrohodostí fukce pracuje s jejím přrozeým algortmem. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 4
Metoda mamálí věrohodost Podmíku optmalty můžeme tedy vyjádřt ve tvaru: L,...,, l 0. Řešeím této rovce (v případě více ezámých parametrů řešeím soustavy rovc) získáme odhady ezámého parametru, resp. parametrů. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 5
Metoda mamálí věrohodost Př. : Je dá výběr,,, pocházející z Possoova rozděleí. Metodou mamálí věrohodost odhaděte parametr λ. Possoovo rozděleí je defováo pravděpodobostí fukcí ve tvaru: p! X e pro 0,,,... a 0. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 6
Metoda mamálí věrohodost Pro věrohodostí fukc můžeme psát: Věrohodostí fukc zlogartmujeme a dále upravujeme:.!,,..., e L 7 Ig. Mchal Dorda, Ph.D. e e e e L! l l l! l l l! l! l,,..., l
Metoda mamálí věrohodost Upraveý logartmus věrohodostí fukce dervujeme podle ezámého parametru λ a vyhledáme etrém: Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 8!. l l! l l 0,,..., L
Metoda mamálí věrohodost Získaou rovc upravujeme: Na závěr ověříme, zda alezeý etrém je mamem: jedá se tedy o mamum. 9 Ig. Mchal Dorda, Ph.D.. ˆ 0, 0,,,..., L
Metoda mamálí věrohodost Př. : Je dá výběr,,, pocházející z epoecálího rozděleí. Metodou mamálí věrohodost odhaděte parametr μ. Epoecálí rozděleí je defováo hustotou pravděpodobost ve tvaru: f e pro 0 a 0. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 0
Metoda mamálí věrohodost Pro věrohodostí fukc můžeme psát: Věrohodostí fukc zlogartmujeme a dále upravujeme:.,,..., e L Ig. Mchal Dorda, Ph.D.. l l l l l l l l,,..., l e e e e L
Metoda mamálí věrohodost Upraveý logartmus věrohodostí fukce dervujeme podle ezámého parametru μ a vyhledáme etrém: L,...,, 0. Ig. Mchal Dorda, Ph.D.
Metoda mamálí věrohodost Získaou rovc upravujeme: Ověříme, zda alezeý etrém je mamem: jedá se tedy o mamum. 3 Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 0,,,..., L. ˆ 0,
Itervalové odhady Hledaý parametr apromujeme tervalem (azývá se terval spolehlvost, resp. kofdečí terval), ve kterém jeho hodota leží s určtou pravděpodobostí spolehlvost odhadu. Spolehlvost odhadu ozačujeme α, kde α se azývá hlada výzamost, zpravdla se volí α = 0,05 ebo 0,0. S rostoucí spolehlvostí odhadu roste šířka tervalu spolehlvost. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 4
Itervalové odhady Ozačme dolí mez kofdečího tervalu T d a horí mez T h. Rozlšujeme 3 druhy tervalů spolehlvost: ) Levostraý terval spolehlvost: P T, d ) Pravostraý terval spolehlvost: P T, h 3) Oboustraý terval spolehlvost: P T P T PT T. d h Ig. Mchal Dorda, Ph.D. d h 5
Itervalový odhad středí hodoty Předpokladem je, že áhodý výběr pochází z ormálího rozděleí. Mohou vzkout dva případy: ) Záme směrodatou odchylku σ ormálího rozděleí, ze kterého pochází áhodý výběr. ) Nezáme směrodatou odchylku σ ormálího rozděleí, ze kterého pochází áhodý výběr. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 6
Itervalový odhad středí hodoty ad ) Mějme áhodý výběr o rozsahu a s průměrem pocházející z ormálího rozděleí se zámým rozptylem σ. Víme, že pro áhodou proměou Z platí: Z N0,, takto defovaá áhodá proměá se tedy řídí ormovaým rozděleím pravděpodobost. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 7
Itervalový odhad středí hodoty Odvoďme s yí oboustraý terval spolehlvost pro středí hodotu. Ozačme 00 %-í kvatl ormovaého rozděleí jako z a 00 %-í kvatl jako z. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 8
Itervalový odhad středí hodoty Oboustraý terval spolehlvost f() z 0 z Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 9
Itervalový odhad středí hodoty Na základě obrázku můžeme psát: Dosadíme a postupě upravujeme: Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 30. z Z z P,, z z P z z P
Itervalový odhad středí hodoty Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 3.,, z z P z z P z z P poz. Jelkož je ormovaé rozděleí souměré, platí mez kvatly vztah:. z z
Itervalový odhad středí hodoty Vdíme tedy, že dolí mez kofdečího tervalu staovíme dle vztahu: T d z a horí mez podle vztahu: T h z. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 3
Itervalový odhad středí hodoty Příslušou hodotu kvatlu ormovaého rozděleí získáme buď z tabulek ebo s využtím fukce Ecelu NORMSINV: z NORMSINV. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 33
Itervalový odhad středí hodoty V případě levostraého tervalu spolehlvost získáme dolí hrac podle vztahu: T d z v případě pravostraého tervalu získáme horí hrac podle vzorce: T h z. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 34
Itervalový odhad středí hodoty ad ) Mějme áhodý výběr o rozsahu a s průměrem pocházející z ormálího rozděleí s ezámým rozptylem. Víme, že platí: T s t, testová statstka se tedy řídí Studetovým rozděleím pravděpodobost s stup volost. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 35
Itervalový odhad středí hodoty Oboustraý terval spolehlvost f() t 0 t ; ; Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 36
Itervalový odhad středí hodoty Na základě obrázku můžeme psát: Dosazeím a aalogckým úpravam (Studetovo rozděleí je rověž souměré) získáme koečý vztah: Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 37. ; ; t T t P. ; ; t s t s P
Itervalový odhad středí hodoty Vdíme tedy, že dolí mez kofdečího tervalu staovíme dle vztahu: a horí mez podle vztahu: Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 38 ; d t s T. ; h t s T
Itervalový odhad středí hodoty Příslušou hodotu kvatlu Studetova rozděleí získáme buď z tabulek ebo s využtím fukce Ecelu TINV: t ; TINV ;. Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 39
Itervalový odhad středí hodoty V případě levostraého tervalu spolehlvost získáme dolí hrac podle vztahu: T d s t ; v případě pravostraého tervalu získáme horí hrac podle vzorce: T h s t. ; Příslušý kvatl pomocí Ecelu získáme: t TINV ;. ; Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 40
Itervalový odhad středí hodoty V případě, když ezáme směrodatou odchylku ormálího rozděleí, ze kterého pochází áhodý výběr, ale máme výběr velkého rozsahu (tj. 30), můžeme Studetovo rozděleí apromovat ormovaým rozděleím, pro výpočet kofdečího tervalu můžeme použít prví vztahy (σ = s). Ig. Mchal Dorda, Ph.D. 4