Z-TRANSFORMACE Příklady k procvičení 1
Obsah 1 Z-transformace 3 11 Příklad 3 12 Příklad 3 13 Příklad 3 2 Vlastnosti Z-transformace 4 21 Linearita 4 211 Příklad 4 22 Podobnostobrau 4 3 Konvoluce předmětů 4 31 Příklad 4 4 Posloupnost {f n } 0 posunutáokvpravo 5 41 Příklad 5 5 Posloupnost {f n } 0 posunutáokvlevo 5 51 Příklad 5 52 Neřešenépříklady 6 6 Dopředné a pětné diference 6 61 Příklad 6 62 Příklad 7 7 Řešení lineárních diferenčních rovnic Z transformací 7 71 Příklad 7
1 Z-transformace Z-transformaceobraujeposloupnostkomplexníchčísel {f n }nakomplexnífunkcikomplexní proměnné F() Definice: Mámeposloupnostkomplexníchčísel {f n } n Dvoustrannou Z-transformací posloupnosti {f n }naývámekomplexnífunkcikomplexníproměnné F()definovanou Laurentovou řadou: F() on Z ( {f n } ) def n n f n n f n n f n n+ f n n n n1 Definice: Mámeposloupnostkomplexníchčísel {f n } Jednostrannou Z-transformacíposloupnosti {f n }naývámekomplexnífunkcikomplexníproměnné F()definovanou: F() on Z({f n } ) def f n n 11 Příklad Určete Z-transformaciposloupnosti {f n } 0 (a,0,0,),tj f 0 a; f n 0pro n N f n Řešení F() f n 0 f 0+ 1 + f 2 a 2+ 1 +0 + 0 2+a 12 Příklad Určete Z-transformaciposloupnosti {f n } 0 (a,a,a,),tj f n apro n N 0 Řešení F() a a a geometrickářada 0+ 1+ 2+ skvocientem q 1 a 1 1 a pro >1 1 13 Příklad Určete Z-transformaciposloupnosti {f n } 0;f n e σn ; n N 0 ; σ C e σn Řešení F() n ( ) e σ n geometrickářada 1 skvocientem q eσ 1 eσ kde e σ <1 > eσ e σ; 3
2 Vlastnosti Z-transformace 21 Linearita Nechť Z({f n } 0)F(); Z({g n } 0)G() Potom Z({αf n +βg n } 0 )αz({f n} 0 )+βz({g n} 0 )αf()+βg() 211 Příklad Určete Z-transformaciposloupnosti {f n } 0;f n coscn, c C Řešení Platí eix +e ix Z ( {e icn } 0 Z ( {e icn } 0 ) ) 2 cosx coscn eicn +e icn e icn n geometrická řada e ic, > e ic, Z({coscn} 0 ) e ic+ e ic 2 > max{ e ic, e ic } 22 Podobnost obrau skvocientem q eic Nechť Z({f n } )F()Pak Z({an f n } )F ( a Tlumení: ae α Z({e αn f n } )F(e α ) 3 Konvoluce předmětů 2 1 1 eic e ic, > eic, ( e ic + e ic ) ( cosc) 2( e ic ) ( e ic ) 2 2cosc+1, ), a C; a 0 Z ( ({ {(f g) n } ) n } ) ({ n } ) Z f i g n i Z f n i g i F() G(), i0 i0 kde F()aG()jsouobrayposloupností {f n }, {g n} 31 Příklad Určete Z-transformaci {f n } ; f n 1+e c ++e nc, n N 0 ; c C Řešení Zvolíme {a n } {enc } ; {b n} 1 {(a b) n } {f n } Z({f n } 1 1 )Z({a n }) Z({b n }) 1 ec 1 1 > max{ e c,1} 2 ( e c )( 1) 4
4 Posloupnost {f n } 0 posunutáokvpravo Je-li posloupnost: {f n k } {0,0,,0,f 0,f 1,} n {0,1,,k 1,k,k+1,} (tj prvních k členů posloupnosti je nulových) Platí: Z({f n k } ) k F(),kde F()jeobra {f n } 41 Příklad Naleněte Z-transformaciposloupnosti {f n },kde f pro,1,,k 1; f n e c(n k) pro n k, n N Řešení Posloupnost {f n }dostanemeposunutímposloupnosti {g n }, g n e cn ; n N o k vpravo Z({g n } ) e c G(); >ec Z({f n } )Z({g n k} ) 1 k e c; >e c Nebo přímým výpočtem: Z({f n } f n prvních kčlenů ) n je rovno nule 1 k 1 1 ec k ( e c ) ; >ec nk e c(n k) ln k n nl+k l0 e cl l k 5 Posloupnost {f n } 0 posunutáokvlevo Jeposloupnost {f n+k } {f k,f k+1,f k+2,} ] k 1 Platí: Z({f n+k } ) [F() k f n n 51 Příklad Naleněteobra {f n } ; f ne c(n+k), n N 0 Řešení Posloupnost {f n } 0 dostanemeposunutímposloupnosti {g n} 0 ; g ne cn ;okvlevo ( ] e c) k k 1 Z({f n } )Z({g n+k } ) [G() k e cn 1 n k e c 1 ec k+1 e c k e kc e c ekc e c 5
Nebo přímý výpočet: Z({f n } ) e c(n+k) n e ck 52 Neřešené příklady e cn n eck e c; > ec Určete Z obray následujících posloupností [ 1) f n ( 2) n F() ] +2 ( 2) f n 1 ) n [ F() 3 ] 3 3+1 ] 3) f n (2e a ) [F() n 2e a [ 4) f o 0, f n ( 2) n,pro n 1 F() 2 ] +2 [ ] 5) f o f 1 0, f n ( 2) n 4,pro n 2 F() (+2) 6 Dopředné a pětné diference Dopřednádiferenceposloupnosti {f n } jeposloupnost { f n } {f n+1 f n } Dopředná diference k-tého řádu je posloupnost { { k f n } ( k 1 f n ) 61 Příklad Určete dopřednou diferenci I a III řádu pro posloupnost {f n } {0,1,1, 1,1,0,0,,0,} Řešení } { f n } {1,0, 2,2, 1,0,0,0,,0,} { 2 f n } { 1, 2,4, 3,1,0,0,,0,} { 3 f n } { 1,6, 7,4, 1,0,0,,0,} Zpětnádiferenceposloupnosti {f n } jeposloupnost { f n } {f n f n 1 } Zpětná diference k-tého řádu je posloupnost { k f n } { ( k 1 f n ) } 6
62 Příklad UrčetepětnoudiferenciIaIIIřáduproposloupnost{f n } {0,1,1, 1,1,0,0,,0,} Řešení { f n } {0,1,0, 2,2, 1,0,0,0,,0,} { 2 f n } {0,1, 1, 2,4, 3,1,0,0,,0,} { 3 f n } {0,1, 2, 1,6, 7,4, 1,0,0,,0,} 7 Řešení lineárních diferenčních rovnic Z transformací Postup:Mámelineárnídiferenčnírovnicipronenámouposloupnost {y n } Ztransformaci {y n }onačíme Y()Provedeme ZtransformacidanérovniceapodobnějakouLaplaceovy transformace ískáme algebraickou rovnici pro funkci Y() Rovnici vyřešíme a pětnou transformacíjistíme(obvyklespoužitímpatřičnétabulky) {y n } 71 Příklad Určete partikulární řešení dané rovnice vyhovující adaným počátečním podmínkám Ukážeme si dva působy řešení 2 y n y n 1, n N o počátečnípodmínky: y o 0, y o 1 1působ:Obraposloupnosti {y n }onačíme Y(),vtabulcenajdemeobra2diferencea obra pravé strany rovnice Dosadíme do adané rovnice y n ( 1) 2 Y(), 1 1 ( 1) 2 Y() Y() a postupně vypočítáme Y() 1 Y()(( 1) 2 1) +2 Y() 1 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2) Abychommohlinajítvtabulcepětnoutransformaci Y() {y n },musímevýslednýlomek roložit na parciální lomky( je dobré vytknout) ( 1 1 ( 1)( 2) 2 1 ) atabulky 1 2 2n, 1 1 y n 2 n 1, y o 0, y 1 1 Řešenípůvodnírovnice,vyhovujícídanýmpočátečnímpodmínkám,je{y n } {2n 1} 7
2 působ: Vyjádříme 2 y n (y n+1 y n )y n+2 2y n+1 +y n adosadímedorovnicedostaneme: y n+2 2y n+1 1, počátečnípodmínky y o 0, y 1 1 Rovnici můžeme chápat jako rekurentní vtah pro hledanou posloupnost Je y 1 1+2y o 1 y 2 1+2y 1 1+2 y 3 1+2y 2 1+2+2 2 y n 1+2y n 1 1+2+2 2 ++2 n 1 součetprvníchnčlenůgeometricképosloupnosti 1 2n 1 2 2n 1 8