FUNKCE VE FYZICE Sudijní ex pro řešiele FO a oaní zájemce o fyziku Mirolava Jarešová Ivo Volf Obah Elemenární funkce na CD ROMu 2 1 Základní pojmy 4 1.1 Pojemfunkce............................ 4 1.2 Graffunkce............................. 6 2 Úlohy z kinemaiky 7 Příklad1 ceujícíavlak..................... 7 Cvičení1.............................. 9 Cvičení2.............................. 9 Příklad2 nerovnoměrnýpohyb................. 1 Příklad3 pohybvíhovémpolizemě............. 11 Cvičení3.............................. 14 3 Úlohy na kmiavé pohyby 15 Příklad4 základnígrafykmiavýchpohybů.......... 15 Příklad5 určováníúdajůzgrafu................ 16 Příklad6 okamžiárychloazrychlení............ 17 Příklad7 mechanickýociláor................. 18 Cvičení4.............................. 19 Cvičení5.............................. 19 Příklad8 mikaplaelínou.................. 2 Cvičení6.............................. 22 4 Limiy 23 4.1 Limiapoloupnoi........................ 23 Příklad9 momenervačnoikruhovédeky......... 23 4.2 Limiafunkce............................ 25 Příklad1 pohybkuličkyvevodě................ 25 Řešení cvičení 27 Lieraura 32 1
Elemenární funkce na CD ROMu Mezi základní elemenární funkce řadíme funkce mocninné, exponenciální, logarimické, goniomerické a cyklomerické. Elemenární funkce je pak každá funkce, kerá buď paří mezi základní elemenární funkce, anebo je z nich vyvořena pomocí konečného poču základních algebraických operací nebo vořením ložených funkcí. Elemenární funkce je možné rozčleni podle náledujícího chémau: Algebraické Racionální Polynomické Lineární lomené Iracionální Trancendenní Exponenciální Logarimické Goniomerické Cyklomerické Takové chéma naleznee aké na úvodní ránce přiloženého CD ROMu a jedálerozvedeno.cdromjeoučáíohooudijníhoexuabudevám napomáha ke zopakování vašich poznaků z maemaiky, rozšíření vašich doavadních znaloí z maemaiky, ukáže vám aké užií funkcí ve fyzice a umožní vám modelova někeré vybrané funkce v maemaice a aké modelova řadu fyzikální problémů. Zkráka naší nahou je, aby e CD ROM al vaším neporadaelnýmpomocníkemnejeneď ve2.ročníku,aleipozdějiažidále rozšíříe vé obzory o další poznaky. CD ROM je oučáí ohoo udijního exu enužobahujeoněconáročnějšíúlohynežnajdeenacdromu, abye mohli vé znaloi a dovednoi zíkané udiem pomocí CD ROMu dále rozšíři při vé náledné další práci e udijním exem. CDROMepoušípomocízv.AuoRUNu-j.dojdekjehopušěnípo vložení do CD mechaniky. Pokud bychom chěli CD po předchozím uzavření znovu pui, činíme ak pomocí dvojkliku na ikonu znázorňující CD v okně Teno počíač. CD ROM aké obahuje inalační oubory k inalaci prohlížečů PS a PDF ouborů-yojevhodnéinainalovanapočíač.nacdromujouoiž 2
umíěny někeré udijní exy v ěcho dvou formáech louží k doplnění daného émaického celku. KvlanípráciCDROMemjenunémínapočíačinainalovanýprohlížeč Inerne Explorer. Při udiu funkcí pomocí již popiovaného udijního exu CD ROMem je vhodné i před vlaním udiem exu zopakova přílušné čái pomocí CD ROMu jou zde hrnuy základní maemaické poznaky k danému émaickému celku. Sudijní ex je zaměřen především na procvičování vorby grafů funkcí k émaickým celkům pohyby ěle v homogenním íhovém poli Země a kmiavé pohyby řada úloh použiých v omo udijním exu jou různě upravené úlohy z různých ročníků FO za účelem co nejefekivnější práce při vyváření grafů popiujících daný problém. Ovšem vlaní CD ROM oho obahuje podaně více kromě výše uvedeného jou zde zpracovány i další pojmy: anamorfóza grafu, poloupnoi, limia funkce. Vše leduje ješě další cíl: připravi vá na o, abye v budoucnu mohli lépe zvládnou další udijní exy zaměřené na užií diferenciálního a inegrálního poču ve fyzice. Při vlaním udiu úloh ze udijního exu doporučujeme i nejprve amoaně eroji grafy funkcí u řešených úloh a pak eprve začí řeši omu odpovídající cvičení. Věšinu erojených grafů je aké možno modelova pomocí programů na CD ROMu. Přejeme hodně úpěchů při vorbě grafů funkcí a příjemnou práci CD ROMem. 3
1 Základní pojmy 1.1 Pojem funkce V echnice, ve fyzice, v přírodních vědách a maemaice ná nezajímají pouze změny jedné veličiny amoné, nýbrž záviloi mezi několika proměnnými veličinami. V nejjednodušším případě, kerým e budeme zabýva v omo exu, pracujeme e závilomi mezi dvěma proměnnými. Např. je-li dráha, kerou urazí ěleo padající volným pádem za ča, můžeme pá = 1 2 g2. (1) Rovnice(1) určuje závilo mezi a. Předavme i, že ná bude zajíma délka dráhy, kerou proběhne ěleo za 1 ekund.poomzaproměnnou doadímehodnou 1 avypočemeomu přílušející dráhu. Charaker změny proměnné veličiny e liší od charakeru změny proměnné. Veličina, jejíž číelnou hodnou je možno libovolně voli, e nazývá nezávile proměnná(argumen). Proměnná, kerá nabývá určiých číelných hodno nezávile na argumenu, e nazývá závile proměnná funkce. Nyní ná bude zajíma obrácená úloha, j. budeme e zabýva úlohou, za jakou dobu urazí ěleo určiou zvolenou dráhu. Vzah odpovídající éo iuaci doaneme, vyjádříme-li neznámou ze vzorce(1), j. 2 = g. (2) Je vidě, že v omo případě i proměnná a navzájem vyměnily role: argumenem je nyní proměnná a funkcí proměnná. Kerou z proměnných v dané funkční záviloi budeme považova za argumen a kerou za funkci, je zcela jednoznačně určeno podmínkami úlohy. Je-li např. v nějaké nádobě uzavřen ideální plyn pod lakem píu, poom mezi lakem p a objemem V plynu exiuje závilo pv = kon. Pokud e bude podle podmínek úlohy jevi p jako nezávile proměnná, můžeme pá V= kon.. p 4
Jeudížobjem V funkcílaku p. Na základě výše uvedených příkladů můžeme nyní napa definici pojmu funkce: Proměnná veličina y e nazývá funkcí nezávile proměnné veličiny x, jeliže každé hodnoě veličiny x odpovídá jedna určiá hodnoy veličiny y. Nechťjedánafunkcef: y = f(x).množinuhodno,kerýchmůženabývaproměnná x,nazývámedefiničníoborfunkce f,značíme D(f).Množinu hodno, kerých nabývá proměnná y, nazýváme obor hodno funkce H(f). Poznámka Definice funkce nic neříká o způobu, jímž je anovena závilo mezi funkcemiaargumeny.tyozpůobymohoubýrozmanié,myevomoexu budeme zabýva především případy, kdy je funkce dána vzorcem. V přírodních vědách a v echnice e čao ekáváme případy, kdy závilo mezi funkcí a argumenem není určena vzorcem, ale pokuem. Pak vyjadřujeme vzah mezi funkcí a argumenem užiím abulky, ale někdy e nažíme eavi vzorec, vyjadřující funkční závilo přibližně pomocí zv. empirického vzorce. Mío empirického vzorce je někdy vhodnější vyjádři funkční závilo v přibližném grafu. Hiorická poznámka Slovo funkce poprvé použili německý maemaik G. V. Leibniz(1646 1716) a švýcarký maemaik Jakob Bernoulli(1654 175). Pojem funkce jako pravidla daného určiým počem počeních výkonů, keré je nuno prové nezávile proměnnou x, abychom doali závile proměnnou y,zavedlivprvnípolovině18.oleíj.bernoulli(1718)al.euler(1748). L.Euler(177 1783)mimojinépodalyemaickývýkladofunkcíchaznačil jejižymbolem f(x). 5
1.2 Graf funkce Graf funkce obvykle erojujeme v karézké ouavě ouřadnic O(x, y), kerá je vořena dvěma k obě kolmými orienovanými ouřadnicovými oami x, y. Vkarézkéouavěouřadnicodpovídákaždéupořádanédvojici[x,y ]jedinýbod A oouřadnicích A =[x,y ],kerýerojímeak,ženaoe x vyznačímeouřadnici x,naoe yvyznačímeouřadnici y.vyznačenýmibody vedeme rovnoběžky oami ouřadnic a pak průečík ěcho přímek vyznačuje polohu A. Je-lidánapojiáfunkce y= f(x),pakgraféofunkceerojímeak,že vypočeme abulku funkčních hodno y pro vhodně zvolené hodnoy proměnné x, edy abulku x x 1 x 2 x 3 x 4... y y 1 y 2 y 3 y 4... upořádanédvojicehodno[x,y]považujemezaouřadnicebodů A 1 = =[x 1,y 1 ], A 2 =[x 2,y 2 ],...,kerévyznačímevkarézkéouavěouřadnic, vyznačenébody A 1, A 2,...pojímeouvilou(pojiou)čarou,keráje grafickým znázorněním funkce y = f(x). Ne vždy je nuné grafy funkcí erojova akovýmo pracným způobem, ale exiuje řada možnoí, jak eroji graf požadované funkce podaně efekivnějším způobem, což i i dále v omo udijním exu ukážeme. Funkce je možno rozčleni na zv. elemenární funkce a z ěch pak vyváře funkce ložiější. Too členění a další informace o ěcho funkcích a jejich užií je zpracováno na přiloženém CD ROMu. 6
2 Úlohy z kinemaiky Před vlaním erojováním grafů je řeba i eudova a procviči přílušné pariepomocíúlohnacdromu. Příklad1 ceujícíavlak (Náměemjeúlohaze17.ročníkuFO) Neukázněnýceujícíběžírychloí v=6m 1,abynaoupildopoledního vagónu vlaku, kerý je na náupiši připraven k odjezdu. V okamžiku, kdy ceujícíjevevzdálenoi d 1 =2moddveřípoledníhovagónu,začneevlak rozjížděeálýmzrychlením a=1m 2. a)určeedráhu 1 ceujícíhoadráhu 2 vlakujakofunkcečau.seroje oba grafy do jednoho obrázku. Z grafů rozhodněe, zda ceující dohonil polední vagón vlaku. b) Určee vzdáleno d ceujícího od dveří poledního vagónu vlaku jako funkcičau.serojegraffunkce d=f(). Řešení a)označíme 1 dráhu,kerouurazíceující, 2 dráhuvlakuvzáviloi načae.počáekouavyouřadnicumíímedovzdálenoi d 1,vekerée nachází ceující v okamžiku, kdy e vlak začíná rozjíždě. Plaí 1 = v, 2 = d 1 + 1 2 a2 1. Konkréně můžeme pá pro číelné hodnoy 1 =6, 2 =2+,5 2. Kerojenígrafuprodráhu 2 jenunéerojiabulku(proveďeiami) viz grafy kvadraických funkcí na CD ROMu. Grafprodráhu 1 jepřímkaprocházejícípočákemanějakýmdalšímbodem,jehožouřadniceiopědopočěe vizgraflineárnífunkcenacdromu. Znížeuvedenéhografujevidě,žeceujícíbudenejblíževlakuvčaeai 6odokamžiku,kdyevlakzačalrozjíždě. 7
1, 2 m 5 2 =2+,5 2 1 =6 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Obr.1Grafzáviloidrah 1, 2načae Počení řešení: hledáme průečík přímky a paraboly. 1 = 2 6 = 2+,5 2 2 12+4 = Doali jme kvadraickou rovnici, kerá má záporný dikriminan D <. To znamená, že počení řešení povrzuje právno grafického řešení. Ceující polední vagón vlaku nedohonil. b) Budeme hleda, kdy je vzdáleno d mezi ceujícím a dveřmi poledního vagónu nejmenší. Plaí d = 2 1 d = d 1 + 1 2 a2 v 1 d =,5 2 6+2 Před erojením grafu i vyvoře abulku hodno ak, abye pak mohli níže uvedený graf amoaně eroji. 8
2 d m 15 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Obr.2Grafzáviloi dnačae d=d() Zgrafujemožnoodečí,ženejmenšívzdáleno d=2mbudevčae =6odmíarozjezduvlaku. O právnoi grafického řešení je možno e převědči počeně. Hledáme ouřadnice vrcholu paraboly d=,5 2 6+2. Obecněplaí,žeouřadnicevrcholuparaboly [ y= ax 2 +bx+cjoudányvzahem V = b ] b2,c. Po doazení přílušných koeficienů do výše uvedeného 2a 4a vzahu doaneme V=[6;2]. Teno výledek odpovídá výledku zíkanému grafickým řešením. Cvičení 1 Vyřešegrafickyapočeněpředchozíúlohu,bude-li d 1 =1mpřijinaknezměněných podmínkách úlohy. Cvičení 2 Určee nejvěší možnou počáeční vzdáleno d ceujícího od vlaku(v příkladu 1), kdy má ješě ceující šanci dohoni rozjíždějící e vlak. 9
Příklad 2 nerovnoměrný pohyb Na obr. 3 je nakrelen graf záviloi rychloi ělea na čae, j. v = v(). a) Určee veliko zrychlení a uraženou dráhu v jednolivých úecích. b) Nakrelee graf záviloi dráhy načae,j. =(). c) Napiše pro jednolivé úeky rovnice jednolivých křivek znázorňujícíchzávilodráhynačaeodpočáku pohybu. 2 1 v m 1 a b 1 2 3 4 Obr. 3 Graf záviloi rychloi na čae c Řešení a)označíme 1, 2, 3 dráhyuraženévjednolivýchúecích,, 1, 2, 3 čayprojednolivéúeky: =, 1 =1, 2 =2, 3 =4. 1.úek: a 1 =2m 2,napočákupohybudráha 1 =, 1 = 1 2 a 1( 1 ) 2 = 1 2 2 (1 )2 m=1m. 2.úek: a 2 =m 2,nakonci1.úeku 2 =, 2 = v 2 ( 2 1 )=2 (2 1)m=2m. 3.úek: a 3 = 1m 1,nakonci2.úeku 3 =, 3 = v 2 ( 3 2 )+ 1 2 a 3( 3 2 ) 2 =[2 (4 2)+ 1 2 ( 1) (4 2)2 ]m=2m. 1
c) a: a = 2 ;1 b: b =1+2( 1) b = 1+2 1;2 b) 5 m c: c =2( 2)+ 1 2 ( 1) ( 2)2 +3 4 c c = 1 2 2 +4 3 2;4 3 Poznámka Tuočácjemožnoakéřešiužiímpoznakůoparabole =A 2 + B+C. Ze zadání víme: A = 1 2 ; V =[4; 5]. Souřadnice vrcholu paraboly [ jou dány vzahem V= B ] B2 ;C. 2A 4A Porovnáním koeficienů pro ouřadnice vrcholu: 2 1 a 4= B 2A B=4, b 1 2 3 4 Obr.4Grafzáviloidráhynačae Nakonec 5=C B2 C= 3. 4A = 1 2 2 +4 3 2;4. Shrnuí: Pro ;1 = 2, pro 1;2 = 1+2, pro 2;4 = 1 +4 3. 2 Příklad3 pohybvíhovémpolizemě (Náměemjeúlohaz25.ročníkuFO) Těleoohmonoi mepohybujevilevzhůruvíhovémpolizeměpůobenímažnéílymooruf(f > mg).podobě 1 odzačákupohybudojdek vypnuí mooru. 11
a) Popiše pohyb ělea. b) Nakrelee graf výšky h ělea nad jeho počáeční polohou jako funkci čau. Úlohua)řešenejprveobecně,poomprohodnoy: m=1kg, F =15N, 1 =8, g=1m 2.Odporproředízanedbeje. Řešení a)pohyběleajemožnorozložidoříčáí: 1. ; 1 rovnoměrnězrychlenýpohybezrychlením Dále můžeme pá a 1 = F mg m = F m g. ( ) F v 1 = a 1 = m g, h= 1 2 a 1 2 = 1 ( ) F 2 m g 2. V první eapě doáhne ěleo maximální rychloi ( ) ( ) F 15 v 1max = m g 1 = 1 1 8m 1 =4m 1 a maximální výšky h 1 = 1 2 ( ) ( ) F 15 m g 2 1 =1 2 1 1 8 2 m=16m. 2. 1 ; 2,kde 2 jedobavýupuěleadomaximálnívýškyceléhopohybu měřená od okamžiku vypnuí mooru. Plaí Vnejvyššímboděje v=: v=v 1max g. =v 1max g 2 2 = v 1max g =4. Maximální výška měřená od mía vypnuí mooru: h 2 = v 1max 2 1 2 g2 2= v2 1max 2g =8m. 12
Maximální výška, měřená od počáečního mía pohybu je edy H= h 1 + h 2 =24m. 3. 2 ; 3.Jednáeovolnýpád,kde 3 jedobavolnéhopáduěleazvýšky H. Plaí 3 = 2H g = 2 24 =6,9. 1 ProokamžiouvýškuěleanadpovrchemZeměvčaovéminervalu 2 ; 3 plaí h=h 1 2 g2. Shrnuí informací o pohybu pořebných pro erojení grafu: 1.úek: h=2,5 2 ;8 2.úek: h=h 1 + v 1max 1 2 g2 =16+4 5 2 8;12 3.úek: h=h 1 2 g2 =24 5 2 12;18,9 b) Graf záviloi výšky nad povrchem Země jako funkce čau: h m 25 2 15 1 5 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 Obr.5Grafzáviloi h=h() 13
Cvičení 3 Naobr.6jougrafyznázorňujícíčyřifunkce v=v(),kde vjevelikorychloi pohybu hmoného bodu, je ča. a) Jaké pohyby hmoného bodu znázorňují grafy 1, 2, 3? Odpovědi zdůvodněe(napiše konkréní rovnice záviloí rychloí na čae pro jednolivé případy). b)zapišeobecněrovnicidráhy =()vpřípadech1,2,3,víe-li,žev okamžiku = je dráha nulová. Narýuje přílušné grafy v čaovém inervalu ;4. c)graf4jeparabola.zapišeobecněrovnicirychloipohybu v = v() odpovídající grafu. v m 1 1 4 8 6 4 2 1 2 3 4 5 Obr.6Grafzáviloí v=v() 2 1 3 14
3 Úlohy na kmiavé pohyby Při znázorňování kmiavých pohybů e neobejdeme bez důkladných znaloí grafů goniomerických funkcí. Před řešením níže uvedených úloh doporučujeme zopakova i přílušné učivo pomocí CD ROMu, kde jou uvedeny informace, jak pařičné grafy kreli. Pomocí programů na CD ROMu je rovněž možno grafy funkcí modelova. Příklad 4 základní grafy kmiavých pohybů a) Napiše rovnici okamžié výchylky harmonických kmiů v záviloi na čae,je-liampliudavýchylky y m =1cmadobakmiu T=2.Znázorněe grafickyzávilookamžiévýchylkynačae.včae =jeokamžiávýchylka rovna nule. b) Napiše rovnici harmonických kmiů o poloviční ampliudě výchylky, dvojnáobnéfrekvenciapočáečnífázi 3π 2.Iuofunkciznázorněegraficky. Řešení Zopakujme i, že obecně můžeme pá y=y m in(ω+ϕ )=y m in ( ) 2π T +ϕ, kde y m jeampliudakmiavéhopohybu, T jeperioda, ϕ jepočáečnífáze kmiavého pohybu. a)vomopřípaděje 2π T = π, ϕ =.Poom {y}=1inπ{}. y cm 1 1 2 3 4 1 Obr.7Graffunkce {y}=1in π{} 15
var b)je-li y m = y m 2, f =2fa ϕ = 3π 2,márovniceharmonickýchkmiů ( {y}=5in 2π{} 3π ). 2 Naobr.8jeenografvyznačenilnoučarou. y cm 1 5 5 1 1 2 3 4 ( Obr.8Graffunkce {y}=5in 2π{} 3π ) 2 Příklad5 určováníúdajůzgrafu Na obr. 9 je znázorněn graf záviloi výchylky harmonického kmiavého pohybu na čae. Určee a) periodu, frekvenci a úhlovou frekvenci ohoo kmiavého pohybu, b) počáeční fázi kmiavého pohybu, c) ampliudu výchylky, d) napiše rovnici výše uvedeného kmiavého pohybu. y m,2,1,2,4,6,8 1, 1,2 1,4,2 Obr.9Graffunkce 16
Řešení Doazením do základních vzahů obdržíme a) T=1,2; f= 1 T =,83Hz; ω=2πf=5,24rad 1, b) ϕ = π 6, c) y m =,2m, d) {y}=,2in ( 5,24{}+ π ). 6 Příklad 6 okamžiá rychlo a zrychlení Napiše rovnici rychloi a zrychlení kmiavého pohybu z příkladu 5. Seroje grafyzáviloí v= v(), a=a(). Řešení Plaí v=ωy m co(ω+ϕ ), a= ω 2 y m in(ω+ϕ ), ( {v}=,1co 5,24{}+ π ), 6 ( {a}=,55in 5,24{}+ π ). 6 v m 1,1,2,4,6,8 1, 1,2 1,4,1 Obr. 1 Graf záviloi okamžié rychloi na čae 17
a m 2,55,2,4 1,2 1,4,275,55,6,8 1, Obr. 11 Graf záviloi okamžiého zrychlení na čae Příklad 7 mechanický ociláor Mechanickýociláorkmiáperiodou T =2.Určeeampliuduapočáeční fázi kmiů, je-li počáeční výchylka y = 5 cm a počáeční rychlo v = 1m 1.Napišerovnicizáviloi y= y(), v= v(), a=a().seroje grafy výše uvedených záviloí. O právnoi vého výledku e převědče pomocí Modelování nacdromu. Řešení Obecně plaí ω= 2π T = π, y = y m in(ω+ϕ ) v = y m ωco(ω+ϕ ) a = ω 2 y m in(ω+ϕ ). Včae =je y = y m inϕ v = ωy m coϕ a = ω 2 y m inϕ. Dále můžeme pá y v = 1 ω inϕ coϕ 18
g ϕ = 2π T y v g ϕ = 2π 2,5 1 ϕ =,5π. Zrovnice y = y m inϕ můžemevyjádři y m = y inϕ. Podoazení y m =,32m. Nakonec {y} {v} {a} =,32 in(π{},5π) =,32 in(π{} +,95π), = π co(π{}+,95π)=1,co(π{}+,95π), = π 2,32in(π{}+,95π)= 3,2in(π{}+,95π). Cvičení 4 Určee frekvenci inuového kmiání hmoného bodu pružiny, jeliže za dobu,1poprojiírovnovážnoupolohouurazí 1 8 celkovédráhykmiu. Cvičení 5 Těleo zavěšené na pružině koná harmonické kmiy. Závilo okamžié rychloi načaejeznázorněnanaobr.12. a)určeeampliuduvýchylky y m,ampliuduzrychlení a m apočáečnífázi. b)napišerovnice,vyjadřujícízáviloi y= y(), v= v(), a=a(). c) Nakrelee grafy funkcí z úlohy b). O právnoi vého poupu e převědčepomocí Modelování nacdromu. v m 1 3, 3,,2,4,6,8 1, 1,2 1,4 Obr. 12 Graf záviloi okamžié rychloi na čae 19
Příklad 8 mika plaelínou (Úloha ze 42. ročníku FO) Kouekplaelínyohmonoi15gdopadnezvýšky h=12cmdoředu mikyohmonoi M =12gzavěšenénapružiněuhoi k=12n m 1, kerá má zanedbaelnou hmono. a) Napiše rovnice vyjadřující čaové funkční záviloi y = y(), v = v(), a=a(). b) Seroje grafy funkčních záviloí z úlohy a). Zobraze alepoň dvě periody. Řešení Velikorychloi,ekeroudopadneplaelínanamiku,je v = 2gh.Dojde k nepružnému rázu. Bezproředně po něm e bude mika i plaelínou pohybova počáeční rychloív měrem dolů a začne kmia kolem nové rovnovážnépolohy,kerájenížeo l= mg k.velikopočáečnírychloiurčíme užiím zákona zachování hybnoi: mv =(m+m)v, v = m 2gh M+ m. Kmiy miky plaelínou popíšeme ve vzažné ouavě, jejíž počáek je v nové rovnovážné poloze miky. Počáeční podmínky jou edy: y = l= mg k =,1225m, v = m 2gh M+ m =,852m 1. Úhlová frekvence a perioda kmiů jou: k ω= M+ m =6,67rad 1, T= 2π ω =,942. Ampliudu kmiů určíme užiím zákona zachování energie 1 2 ky2 m =1 2 k y2 +1 2 (M+ m)v2, y m = y 2+(M+ m)v2 2hk = y k 1+ g(m+ m) =,177m. Zbývá vypočía ampliudu rychloi, ampliudu zrychlení a počáeční fázi: v m = ωy m =1,18m 1, a m = ω 2 y m =7,87m 2, g ϕ = y = y m inϕ, v = ωy m coϕ g ϕ = y ω, v mg k k M+ m m M+ m 2gh = (M+ m)g, ϕ =136,2 =2,38rad. 2hk 2
Čaový průběh kmiů je popán rovnicemi: y= y m in(ω+ϕ ), {y}=,177in(6,67{}+2,38), v= v m co(ω+ϕ ), {v}=1,18co(6,67{}+2,38), a= a m in(ω+ϕ ), {a}= 7,87in(6,67{}+2,38).,1 y m,5 1, 1,5,1 Obr. 13 Graf záviloi okamžié výchylky na čae 1, v m 1,5 1, 1,5 1, Obr. 14 Graf záviloi okamžié rychloi na čae a m 2 4,,5 1, 1,5 4, Obr. 15 Graf záviloi okamžiého zrychlení na čae 21
Cvičení 6 Zdanéhografuurčeeampliudu y m,periodu Tapočáečnífázi ϕ kmiavého pohybu.poomnapišerovnicečaovýchzáviloí y= y(), v=v(), a=a(). Určeedáleokamžiouvýchylku,rychloazrychlenípohybuvčaech1,2, 3a4odpočákupohybu. y m 2 1 1 2 3 4 5 2 Obr. 16 Graf záviloi okamžié výchylky na čae 22
4 Limiy Véokapioleezaměřímenaúlohyzfyziky,kdejemožnoeekalimiami. Nejprve i ukážeme na úlohu vedoucí k řešení limiy poloupnoi, poom na úlohu vedoucí na výpoče limiy funkce. Před čebou éo kapioly je vhodné i yo pojmy zopakova podle někeré ze oučaných ředoškolkých učebnic maemaiky nebo užiím přiloženého CD ROMu. Na omo CD ROMu lze rovněž naléz i další fyzikální úlohy vyžadující k právnému řešení znaloi o limiách a poloupnoech. 4.1 Limia poloupnoi Náledující příklad reprezenuje jednu ze kupiny úloh, kde je možno řeši úlohy daného ypu úlohy řešielné užiím vyšší maemaiky pouze pomocí limiy poloupnoi bez užií vyšší maemaiky. K omu, abychom vyřešili náledující úlohu budeme pořebova náledující vzorec pro ouče řeích mocnin přirozených číel. Plaí S= n k 3 =1 3 +2 3 +...+n 3 = 1 4 n2 (n+1) 2. (3) k=1 Teno vzah je možno naléz v maemaických abulkách, odvození e provádí pomocí maemaické indukce a je uvedeno v učebnicích maemaiky. Příklad 9 momen ervačnoi kruhové deky Určee momen ervačnoi homogenní kruhové deky o hmonoi m a poloměru R vzhledem k oe procházející ředem deky kolmo na rovinu deky. Tloušťku deky zanedbeje. Řešení r k 1 O r k R Obr. 22 Výpoče momenu ervačnoi kruhu 23
Poloměr kruhu i rozdělíme na n ejně velkých čáí, poom dělícími body povedeme ouředné kružnice. Tím e kruh rozdělí na n mezikruží(obr. 22). Hmono k-ého mezikruží pak určíme užiím vzahu m k = π(r 2 k r2 k 1 ) σ, kde σjeplošnáhuoaavypočemejiužiímvzahu σ= m πr 2. Každé mezikruží nyní budeme považova za hmonou kružnici o poloměru rovnému arimeickému průměru krajních poloh mezikruží. Označíme-li r k = R n k, r k 1= R (k 1), n pak pro momen ervačnoi k-ého mezikruží můžeme pá J k = π(r 2 k r2 k 1 )σ ( rk r k 1 2 ) 2 = πσr4 4n 2 (2k 1)3. Sečenímdílčíchmomenůervačnoi J k doanemecelkovýmomenervačnoi kruhové deky J(n), kerý e bude kuečné hodnoě blíži ím více, čím bude věší n. Plaí J(n)= n k=1 Použiím vzahu(3) doaneme J k = πσr4 4n 4 n (2k 1) 3. k=1 J(n)= πσr4 4n 4 n2 (2n 2 1)= πσr4 4 (2 1n 2 ). Budeme-liza npoupnědoazovahodnoy1,2,3...,doanemepoloupno J 1 = πσr4, J 2 = πσr4 7 4 4 4, J 3= πσr4 17 4 9,..., J n= J(n). Hledaný momen ervačnoi kruhové deky pak doaneme jako limiu éo poloupnoi, j. πσr4 J= lim J(n)=. n 2 Nakonecješědoadímezpěza σ= m πr 2aobdržímenámdobřeznámývzah pro momen ervačnoi kruhové deky vzhledem k oe kolmé na rovinu kruhu a procházející ředem kruhu J = 1 2 mr2. 24
4.2 Limia funkce V éo čái i ukážeme použií limiy funkce jedné reálné proměnné ve vzahu k fyzice. Podrobněji lze čá o limiách funkcí naléz zpracovanou buď na přiloženém CD ROMu(zde i dalšími fyzikálními aplikacemi) nebo v oučaných ředoškolkých učebnicích maemaiky. Limia funkce má velké uplanění při řešení úloh vedoucích k použií vyšší maemaiky.myinynínaúvoduvedemealepoňjednuúlohu,kdeelimiou funkce můžeme eka(další úlohy jou uvedeny na CD ROMu). Příklad1 pohybkuličkyvevodě Kuličkajeponořenadovody,přičemžhuoakuličkyjejenomálověšínež huoa vody. Kuličku z její výchozí polohy puíme nulovou počáeční rychloí. Budeme uvažova, že obékání kuličky je laminární a veliko odporové íly je přímo úměrná první mocnině rychloi, j. F= kv. Na kuličku kromě éo íly ješě půobí íla vzlaková a íhová. Při řešení záviloi rychloi na čae bychom nyní dále mueli eavi přílušnou diferenciální rovnici.povyřešeníéorovnicebychomdoalivzah 1 Určee mezní rychlo kuličky. Řešení v= a k ( 1 e k ). (4) Na pravé raně rovnice(4) je výraz obahující proměnnou. Roe-li nade všechny meze, pak e hodnoa výrazu blíží nule, což můžeme zapa jako Poom edy můžeme pá y=e k lim e k =. a ( v m = lim 1 e k ) = a k k. 1 Popijakeavovaařešiyorovnicejemožnonaléznapř.vpublikaci[6]. 25
Na níže uvedeném obrázku uo závilo ješě znázorníme graficky. r k 1 O r k R Obr.22Graffunkce v= a ( ) 1 e k k Poznámka S podobnými iuacemi je ve fyzice možné e eka např. při řešení přechodových dějů v elekrických obvodech. Další úlohy vzahující e k problemaice limi poloupnoí a funkcí je možno i e ručným eoreickým výkladem a přehledem počeních vzahů naléz na přiloženém CD ROMu. 26
Řešení cvičení Cvičení 1 1.Počeně:eavímekvadraickourovnici 2 12+2=. Řešením éo kvadraické rovnice jou v omo případě dva kořeny 1 =2, 2 =1. Úlozevyhovujepouzekořen =2. Nyní určíme dráhu odpovídající čau 2 : =12m. Ceujícívomopřípadědohonírozjíždějícíevlakza2odokamžiku,kdy e vlak začal rozjíždě. 2. Graficky: 1, 2 m 6 5 1 =6 4 2 =1+,5 2 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Obr.17Grafzáviloidrah 1, 2načae 27
Cvičení 2 1. Počeně: Seavímekvadraickourovnici 2 12+2d 1 =. Požadujeme,aby D.Poommuíplai12 2 8d 1. Řešenímnerovnicedoaneme d 1 18m. Nejvěší možná vzdáleno je 18 m. 2. Graficky: ověříme, že přímka a parabola mají pouze jeden polečný bod. 5 1, 2 m 2 =18+,5 2 1 =6 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Obr.18Grafzáviloidrah 1, 2načae Cvičení 3 a) 1:rovnoměrnýpohyb v= kon.=4m 1 2:rovnoměrnězrychlenýpohyb v=a 2 = 4 3 a 2= 4 3 m 2 3:rovnoměrnězpomalenýpohyb v=6 1 3 a 3= 1 3 m 2. 28
b) 1: 1 = v=4, 2: 2 = 1 2 4 3 2 = 2 3 2, 3: 3 =6 1 2 1 3 2 =6 1 6 2. Pro erojení grafů v případě 2, 3 i ami vyvoře pařičné abulky hodno. m 2 15 1 3 1 2 5 1 2 3 4 Obr.19Grafzáviloidrah 1, 2, 3načae c)obecněpro4:parabolaprocházípočákem[;]abodem[3;4], v= k 2,podoazeníouřadnicbodu[3;4]doaneme 4=k 3 3 k= 4 9. Rovniceparabolyedyje v= 4 9 2. Cvičení 4 Urazí-lihmonýbodpoprůchodurovnovážnoupolohou 1 8 celkovédráhykmiu, jemožnopá ω= π 6.Dálemůžemepá 2πf,1= π 6 f= 5 6 Hz. 29
Cvičení 5 a) v m =3m 1 ; y m = v m ω = v mt 2π m=,57m. T=1,2, ω= 2π T =5,24rad 1, a m = ω 2 y m = ωv m =15,7m 2, ϕ = 7 6 π. b) {y} {v} {a} =,57in (5,24{} 76 ) π, = 3,co (5,24{} 76 ) π, = 15,7in (5,24{} 76 ) π. c) y m,57,2,4,6,8 1, 1,2 1,4,57 15,7 a m 2 Obr. 2 Graf záviloi y = y(),2,4,6,8 1, 1,2 1,4 15,7 Obr.21Grafzáviloi a=a() 3
Cvičení 6 T=4; ω= 2π T = π 2 ; ϕ = π 6 ; y m =2m; v m = ωy m = π; a m = ω 2 y m = π2 2. {y} {v} {a} ( π = 2in 2 {}+ π ), 6 ( ) π = πco, = π2 2 in 2 {}+ π 6 ( π 2 {}+ π 6 ). Včae =1: {y}= 3, {v}= π 3 2, {a}= π2 4. 3 π2 Včae =2: {y}= 1, {v}= π, {a}= 2 4. Včae =3: {y}= 3 3 3, {v}= 2 π, {a}=π2 4. Včae =4: {y}=1, {v}= π 2, {a}= π2 4. 31
Lieraura [1] Košťál, R. a kol: XVII. ročník fyzikální olympiády. SPN, Praha 1978. [2] Žampa, K. a kol: XXV. ročník fyzikální olympiády. SPN, Praha 1988. [3] Žampa, K. a kol: XXVI. ročník fyzikální olympiády. SPN, Praha 199. [4] Volf, I., Šedivý, P.: 42. ročník fyzikální olympiády. MAFY, Hradec Králové 2. [5] Vybíral, B., Zdeborová, L.: Pohyb ěle vlivem odporových il. MAFY, Hradec Králové 22. [6] Ungerman, Z.: Maemaika a řešení fyzikálních úloh. SPN, Praha 199. [7] Taraov, N., P.: Základy vyšší maemaiky pro průmylové školy. SPN, Praha 1954. 32