8..1 Vklady, jedoduché a složeé úrokováí Předoklady: 81 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do baky své eíze (fakticky své eíze bace ůjčí). Baka s takto získaými eězi odiká a za vyůjčeí vkladateli latí tím, že mu vrátí více eěz ež si ůjčil (úrok). Důležité termíy: jistia vložeá částka, eí majetkem baky stále zůstává majetkem vkladatele. úrok částka, kterou baka latí vkladateli za to, že si u í eíze uložil (za to, že je bace ůjčil), většiou se udává v rocetech vložeé částky. ročí úroková míra částka v rocetech udávající velikost úroku za uložeí eěz a jede rok. Při ročí úrokové míře % zalatí baka vkladateli za uložeí 1 Kč o dobu jedoho roku Kč. Pokud si teto vkladatel své eíze o roce vybere z baky dostae místo vložeých 1 Kč 1 Kč. úrokovací období doba, o které baka vyočte a řiíše vkladateli úroky. Často se úrokuje o jedom roce, časté je i měsíčí ebo dokoce deí (a běžých účtech) úrokováí. úrokovací doba doba, o kterou vkladatel bace eíze ůjčuje. výovědí lhůta rotože baka ůjčeé eíze ivestuje, otřebuje doředu vědět, kdy bude muset eíze vrátit. Proto musí vkladatel ve většiě říadů doředu ozámit, kdy bude eíze vybírat. Tato doba se azývá výovědí lhůta. Pokud otřebuje v utém říadě vkladatel eíze vybrat dříve, musí bace zalatit okutu. V říadě vkladů s delší výovědí lhůtou (aříklad dva roky) je běžé, že vkladatel vyoví vklad ihed ři jeho vložeí. daň z říjmu říjmy z úroků atří mezi říjmy, ze kterých se latí daň. V tomto okamžiku v jedoté výši 15%. Pedagogická ozámka: V ásledujících říkladech (ři odvozováí vzorců) oužívám úrok %, který je ři osledí aktualizaci (odzim 16) erealisticky vysoký. Nakoec jsem ho tak echal a reálější hodoty oužíváme u rocvičovacích říkladů. Př. 1: Pavel uložil 5 Kč u baky a termíovaý vklad s ročí úrokovou mírou %. Úrokovací období vkladu je 1 rok. Kolik Kč zalatí baka Pavlovi a úrocích za jede rok? Kolik Kč zbude o zdaěí? Pavel bude mít eíze uložeé v bace o dobu ěti let. Úroky baka eřiisuje ke vkladu, ale osílá je Pavlovi a jeho běžý účet. Urči jeho majetek vždy a koci roku za ředokladu, že úroky zaslaé bakou eutrácí. Úrok, který zalatí baka za 1 rok: 5 = 15 Kč Úrok o zdaěí: 5,,85 = 175 Kč Nyí očítáme Pavlův majetek a koci jedotlivých roků: o 1. roce: 5 + 5,,85 = 5175 Kč 1
o. roce: 5 + 5,,85 = 555 Kč (baka mu oslala úroky dvakrát) o. roce: 5 + 5,,85 = 585 Kč (baka mu oslala úroky třikrát) o 4. roce: 5 + 4 5,,85 = 551 Kč (baka mu oslala úroky čtyřikrát) o 5. roce: 5 + 5 5,,85 = 5675 Kč (baka mu oslala úroky ětkrát) Předchozí říklad je ejedodušším říkladem jedoduchého úrokováí. Při jedoduchém úrokováí se úrok eřidává k vložeé částce a baka ho eúročí. Pokud by Pavel úroky utrácel, jeho chováí by bylo říkladem retiérského chováí = vložíme do baky určitou částku a žijeme v úroků. Př. : Jakou částku by bylo uté uložit v bace a úrok %, aby ročí úrok dosáhl 1 Kč (tedy 1 Kč a měsíc)? Jakou částku bychom museli mít uložeou, ři ročím úroku,5 %? Nutá částka x ročí úrok x,,85 = 1 1 x = = 4 75 88 Kč,85 1 Při úroku,5 %: x = = 8 5 94 Kč,85 Pokud chceme, aby ám baka vylácela každý měsíc 1 Kč a úrocích musíme mít a % úrok uložeo řibližě 4,7 milióu Kč. Při úroku,5 % dokoce více ež 8 milióů Kč. Pedagogická ozámka: Následující říklad většiou eočítáme. Jeom echám studety, aby si ho rohlédli. Bavíme se o výočtu úroku za 1 měsíc. Př. : Pavel uložil 5 Kč u kokurečí baky a termíovaý vklad s ročí úrokovou mírou %. Úrokovací období vkladu je 1 měsíc. Kolik Kč zalatí baka Pavlovi a úrocích za jede měsíc? Kolik Kč zbude o zdaěí? Pavel bude mít eíze uložeé v bace o dobu ěti let. Úroky baka eřiisuje ke vkladu, ale osílá je Pavlovi a jeho běžý účet. Urči jeho majetek o ěti letech sořeí. Úrok, který zalatí baka za 1 měsíc: 5 = 15 Kč (% je ročí úroková míra, měsíc 1 je jeda dvaáctia roku) Úrok o zdaěí: 5,85 = 16, 5 Kč 1 Nyí očítáme Pavlův majetek a koci jedotlivých měsíců: o 1. měsíci: 5 + 5,85 = 5 16, 5 Kč 1 o. měsíci: 5 + 5,85 = 5 1,5 Kč (baka mu oslala úroky 1 dvakrát) o. měsíci: 5 + 5,85 = 5 18,75 Kč (baka mu oslala úroky třikrát) 1
o měsíci: 5 + 5,85 Kč (baka mu oslala úroky -krát) 1 Sočteme si ušetřeé částky o zajímavém období: o 1 měsíci: 5 + 5,85 = 51 75 Kč 1 o 6 měsíci: 5 + 5,85 = 56 75 Kč 1 Jak je vidět, ři jedoduchém úrokováí ezáleží a délce úrokovacího období. Jedoduché úrokováí a účtech eí říliš časté. Častěji se oužívá složeé úrokováí, kdy úroky baka řiíše k jistiě a v dalším období latí i úroky i z ich. Př. 4: Pavel uložil 5 Kč u baky a termíovaý vklad s ročí úrokovou mírou %. Úrokovací období vkladu je 1 rok. Kolik Kč zalatí baka Pavlovi a úrocích za jede rok? Kolik Kč zbude o zdaěí? Pavel bude mít eíze uložeé v bace o dobu ěti let. Úroky baka řiisuje ke vkladu. Urči jeho majetek vždy a koci roku. Úrok, který zalatí baka za 1 rok: 5 = 15 Kč Úrok o zdaěí: 5,,85 = 175 Kč Nyí očítáme Pavlův majetek a koci jedotlivých roků: 5 + 5,85 = 5 1+,85 = 51 75 Kč o 1. roce: ( ) o. roce: všechy eíze, které byly a Pavlově účtu a koci roku (včetě řisaých úroků), jsou jistiou do dalšího roku budou se z ich očítat úroky 5 1+,85,85 Kč Úrok o zdaěí, který zalatí baka za rok: ( ) Peíze a účtu o. roce: 5 ( 1+,85) - jistia z ředchozího roku + ( + ) ( + ) 5 ( 1+,85),85 - úrok v druhém roce 5 1,85 + 5 1,85,85 = ( + ) ( 1,85) 5 ( 1,85) = 5 1,85 + = + o. roce: všechy eíze, které byly a Pavlově účtu a koci druhého roku (včetě řisaých úroků), jsou jistiou do dalšího roku budou se z ich očítat úroky Úrok o zdaěí, který zalatí baka za rok: 5 ( 1+,85),85 Kč Peíze a účtu o. roce: 5 ( 1+,85) - jistia z ředchozího roku + 5 ( 1+,85),85 - úrok v druhém roce ( + ) + ( + ),85 = 5 1,85 5 1,85 ( + 5) ( 1,85) 5 ( 1,85) = 5 1,8 + = + o -tém roce: 5 ( 1+,85) Kč
kokrétě o 5-tém roce: 5 ( 1+,85) 5 = 56 78,5 Kč O moc více jsme evydělali. Př. 5: Jakou částku by Pavel ašetřil, kdyby eíze za odmíek z ředchozího říkladu (5 Kč, ročí úroková míra %, úrokovací období 1 rok) uložil a let? Jakou částku by ušetřil, kdyby úroková míra klesla a 1,1 %? Zaiš vzorec ro výočet asořeé částky (začeí: vlažeá částka I, ročí úroková míra, doba sořeí ). Sořeí dvacet let oužijeme stejý vzorec, změíme = : I = I ( ) 1+,85 = 5 1+,,85 = 8 7,8 Kč 1 úrok 1,1% oužijeme stejý vzorec, změíme = 1,1 1,1 I = I 1+,85 = 5 1+,85 = 6 9, 1 Kč 1 1 Pokud by Pavel uložil své eíze a let asořil by 8 7,8 Kč, okud by úrok klesl a 1,1 % ušetřil by za let 6 9,1 Kč. Vzorec (je zaměíme ísmea za čísla): I = I 1+,85 1. Pokud uložíme do baky částku I a let s ročí úrokovou mírou rocet a úrokovacím obdobím 1 rok. Pak o letech ři 15% zdaěí usoříme I = I 1+,85 1 Kč. Jak se změí Pavlovo sořeí z říkladu 4 říklad okud úrokovacím obdobím ebude rok, ale jede měsíc? Př. 6: Pavel uložil 5 Kč u baky a termíovaý vklad s ročí úrokovou mírou %. Úrokovací období vkladu je 1 měsíc. Kolik Kč zalatí baka Pavlovi a úrocích za jede rok? Kolik Kč zbude o zdaěí? Pavel bude mít eíze uložeé v bace o dobu ěti let. Úroky baka řiisuje ke vkladu. Urči jeho majetek vždy a koci roku. Stejý ostu jako v ředchozím říkladu, ale očítáme o měsících. Úrok, který zalatí baka za 1 měsíc: 5 = 15 Kč. 1 Úrok o zdaěí: 5,85 = 16, 5 Kč. 1 Nyí očítáme Pavlův majetek a koci jedotlivých měsíců. o 1. měsíci: 5 + 5,85 = 5 1+,85 = 5 16, 5 1 1 Kč. o. měsíci: 4
Všechy eíze, které byly a Pavlově účtu a koci 1. měsíce (včetě řisaých úroků), jsou jistiou do dalšího měsíce budou se z ich očítat úroky. Úrok o zdaěí, který zalatí baka za měsíc: 5 1+,85,85 Kč. 1 1 Peíze a účtu o. měsíci: 5 1+,85 - jistia z ředchozího měsíce + 1 5 1+,85,85 - úrok v druhém měsíci. 1 1 5 1+,85 + 5 1+,85,85 = 1 1 1,, = 5 1+,85 1+,85 = 5 1+,85 1 1 1 o. měsíci: Všechy eíze, které byly a Pavlově účtu a koci druhého měsíce (včetě řisaých úroků), jsou jistiou do dalšího měsíce budou se z ich očítat úroky. Úrok o zdaěí, který zalatí baka za měsíce: 5 1+,85,85 Kč 1 1 Peíze a účtu o. měsíci: 5 1+,85 1 - jistia z ředchozího měsíce + 5 1+,85,85 - úrok v druhém měsíci 1 1 5 1+,85 + 5 1+,85,85 = 1 1 1 = 5 1+,85 1+,85 = 5 1+, 85 1 1 1 o -tém měsíci: 5 1+,85 1 Kč kokrétě o 5-tém roce (tedy o 6 měsících): 5 1+,85 = 56791, 6 Kč 1 Zisk ze sořeí je větší ouze o 8,1 Kč (úroky, které baka také úročí, se a Pavlově účtu objevily dříve). Vzorec ro výočet asořeé částky ři složeém úrokováí můžeme oužívat i v říadě, že úrokovací období eí jedoročí. Ročí rocetí úrokovou míru však musíme ahradit rocetí úrokovou mírou za daé úrokovací období a očet let očtem úrokovacích období. 6 5
Př. 7: Pavel uložil 5 Kč u baky a termíovaý vklad s ročí úrokovou mírou %. Úrokovací období vkladu je 1 de (jak je běžé a běžém účtu). Jakou částku ašetří Pavel za ět let? Přestuost ěkterého z roků zaedbej. Použijeme vzorec I = I 1+,85 1. I = 5 = (% za rok, rozdělíme a 65 dí) 65 = 5 65 = 185 Výočet I = I 1+,85 = 5 1+,85 = 56799 1 1 65 Částka se roti měsíčí úrokové době zvýšila, ale ouze o velmi málo. 185 Kč Př. 8: Pavel uložil svému syovi ři jeho arozeí 1 Kč u baky a termíovaý vklad s ročí úrokovou mírou 1, % s ůlročím úrokovacím obdobím. Jakou částku bude mít sy k disozici ve věku 18 let? Použijeme vzorec I = I 1+,85 1. I = 1 1, = (1,% za rok, rozdělím a ůlroky) = 18 = 6 1, Výočet I = I 1+,85 = 1 1+,85 = 1 97, 46 1 1 Pavel ašetří syovi k 18 arozeiám 1 97,46 Kč. 6 Kč Př. 9: Jaký úrok by musela baka oskytovat u vkladu z ředchozího říkladu, aby se výsledá ašetřeá částka rovala? Použijeme ředchozí rovici, výsledá částka je, ezáme rocetí sazbu: I = I 1+,85 = 1 1+,85 = 1 1 6 1+,85 = = 1 1 6 1+,85 = 1 6,85 = 1 1 6 = ( 1) = 7, 9,85 Aby Pavel za 18 let ašetřil musel by uložit 1 a vklad s úrokem 7,9 %. 6 6
Př. 1: Petáková: straa 71/cvičeí 6 Shrutí: Pokud uložíme do baky částku I a let s ročí úrokovou mírou rocet a úrokovacím obdobím 1 rok. Pak o letech ři 15% zdaěí usoříme I = I 1+,85 Kč. Pokud řeočteme úrokovou míru, můžeme vzorec 1 oužívat i a kratší úrokovací období ež 1 rok. 7