Národí iformačí středisko pro podpor jakosti
Kozltačí středisko statistických metod při NIS-PJ Výpočet koeficietů reglačích diagramů pro obecé riziko Ig. Václav Chmelík, CSc Ústav strojíreské techologie, ČVUT Praha Ig. Jiří Toar Ústav strojíreské techologie, ČVUT Praha 5. červa 006
Shewhartův reglačí diagram patří mezi hlaví, a také i ejvíce požívaé ástroje statistické reglace. Celá jeho teorie a metodika je rámcově shrta a popsáa v ormě Shewhartovy reglačí diagramy ČSN ISO 858. Základí předpoklad pro požití Shewhartova reglačího diagram: Předpokládá se ormálí rozděleí sledovaého zak jakosti N(, ) se středí hodoto a rozptylem. Za statisticky zvládtý proces se považje te, kde parametry a se v čase eměí. Jestliže tedy, sledovaý zak jakosti má eormálí rozděleí, msí být požity jié diagramy, ebo modifikovaé Shewhartovi diagramy. To je jeda ze zásadích chyb, která bývá opomíáa.
LSL USL LSL USL LSL USL LSL USL 0,7 0, 0, 0, 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0-5 - -3 - - 0 3 0,7 0, 0, 0, 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0-5 - -3 - - 0 3 0,7 0, 0, 0, 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0-5 - -3 - - 0 3 0, 0,7 0, 0, 0,6 0, 0,5 0, 0, 0, 0, 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0, 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0, 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0, 0, 0-5 - -3 - - 0 3 0,7 0, 0, 0, 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0-5 - -3 - - 0 3 T T T T
Reglačí diagramy se skládají z : cetrálí přímk (CL cetral lie): charakterizjící poloh středí hodoty výběrové charakteristiky v daém proces; reglačí meze (UCL, LCL pper, lower cotrol limit): přímky ohraičjící prostor přípstého áhodého kolísáí hodot příslšé výběrové charakteristiky. Reglačí meze jso vypočítáy tak, že se připoští riziko,to jest riziko, že se vyskyte áhodě hodota výběrové charakteristiky ad UCL, resp. pod LCL (mimo reglačí meze), za předpoklad, že proces je statisticky zvládt.
Pricip Shewhartova reglačího diagram: výběrová charakteristika Horí reglačí (zásahová) mez UCL Horí varová (výstražá) mez Cetrálí (středí) přímka CL σ 3σ Dolí varová (výstražá) mez Dolí reglačí (zásahová) mez LCL σ 3σ 3 5 6 7 8 číslo podskpiy
Norma ČSN ISO 858: Shewhartovy reglačí diagramy zahrje dva základí typy Shewhartových reglačích diagramů: reglačí diagramy při kotrole měřeím (RD měřeím) : (, R); (, s); (Me, R); (x i, MR); x x požívají se vždy ve dvojici, prví pro popis polohy a drhý charakterizjící mělivost reglačí diagramy při kotrole srováváím (RD srováváím): ( p ); ( p ); ( c ); ( ). V obo případech se važjí dva přístpy: základí hodoty jso staovey ( techické reglačí meze). (hodoty parametrů μ, σ jso dáy předem) základí hodoty ejso staovey ( přirozeé reglačí meze); (hodoty parametrů μ, σ msíme odhadot z daého proces)
Vzorce pro výpočet reglačích mezí jso vedey v ČSN ISO 858: Shewhartovy reglačí diagramy v tablce a 3, příslšé koeficiety pro jejich výpočet v tablce a. Statistika Základí hodoty ejso staovey Základí hodoty jso staovey Cetrálí přímka UCL a LCL Cetrálí přímka UCL a LCL X X X X A R A s 3 X 0 ebo μ 0 X 0 ± Aσ 0 R R D R, D 3 R R 0 ebo d σ 0 D σ 0 ebo D σ 0 s s B s, B 3 s s 0 ebo C σ 0 B σ 0 ebo B σ 0 X i X i X i E R X 0 ebo μ 0 X 0 ± 3σ 0 MR MR D R, D 3 R R 0 ebo d σ 0 D σ 0 ebo D σ 0
Rozděleí važovaých výběrových charakteristik je vždy aproximováo ormálím rozděleím a reglačí meze jso staovey ve vzdáleosti ± 3 směrodaté odchylky od středí hodoty (a každo stra) požité výběrové charakteristiky. Číslo 3 je kvatil ormovaého ormálího rozděleí odpovídající rizik = 0,0035 plaého poplach, takto zvoleé Walterem Shewhartem. Z tohoto rozděleí (ormovaého ormálího) vyplývá, že pro riziko = 0,0035 leží 99,7% případů vitř mezí a % mimo meze (eboli 3 případy z 000 se vyskytjí mimo meze).
v iterval -, + leží 68,6 % všech pozorováí, mimo teto iterval leží x 5,87 %, t.j. 3,7 % (37 00 ppm). v iterval -, + leží 95, % všech pozorováí, mimo teto iterval leží x,8 %, t.j.,56 % (5 600 ppm). v iterval - 3, + 3 leží 99,73 % všech pozorováí, mimo teto iterval leží x 5 %, t.j. 0,7 % ( 700 ppm). v iterval -, + leží 99,99 % všech pozorováí, mimo teto iterval leží x 0,003 %, t.j. 0,006 % (60 ppm). v iterval - 5, + 5 leží 99,9999 % všech pozorováí, mimo teto iterval leží x 0,00003 %, t.j. 0,00006 % (0,6 ppm).
Obecé vztahy pro staoveí cetrálí přímky a reglačích mezí Obecě aproximjeme rozděleí pravděpodobosti výběrových charakteristik (statistik) ormálím rozděleím. Cetrálí přímka odpovídá úrovi středí hodoty výběrové charakteristiky a reglačí meze jso staovey symetricky ve vzdáleosti - směrodaté odchylky od cetrálí přímky. ( - je kvatil ormovaého ormálího rozděleí) Ozačíme-li požito statistik, potom: CL = E( ) UCL = E( ) + - LCL = E( ) - D x D x Takto staoveé reglačí meze pracjí s rizikem plaého poplach, riziko že se áhodě vyskyte hodota výběrové charakteristiky mimo staoveé meze (ad UCL ebo pod LCL).
REGULAČNÍ DIAGRAMY MĚŘENÍM DIAGRAMY PRO MĚŘÍTELNÉ ZNAKY
Idividálí hodoty x i Rozděleí idividálích hodot sledovaého zak jakosti je ormálí N (, ) se středí hodoto a rozptylem (směrodato odchylko ). Pro zámé hodoty obo parametrů 0 a 0 je CL = 0 ; UCL = 0 + - 0 = 0 + A*() 0 ; LCL = 0 - - 0 = 0 - A*() 0. Koeficiet A*() = - kde - je (- ) - kvatil ormovaého ormálího rozděleí. Shewhartovy reglačí diagramy pracjí s rizikem = 0,0035 vzhledem ke každé z obo mezí, tedy - = 3.
Pro ezámé hodoty obo parametrů msí být tyto parametry odhadty pomocí výběrového průměr x a průměrého klozavého rozpětí dvo sosedích pozorováí / d (). Potom R CL = = x ; UCL = + - R/ d () x E () R ; x LCL = - - = x R/ d() x E()R. Koeficiet E () = - d (). V ČSN ISO 858 je vede pro = 0,0035 koeficiet E () = 3/d () =,66. Pozámka: V praxi se obvykle soběžě při reglaci pomocí idividálích hodot požívá pro sledováí variability klozavých rozpětí dvo sosedích hodot. Koeficiet d () plye z rozděleí výběrových rozpětí, viz dále.
Výběrové průměry x Rozděleí výběrových průměrů je ormálí se středí hodoto rozptylem / (směrodato odchylko / ), tedy N(, /). a Pro zámé hodoty obo parametrů 0 a 0 je CL = 0 ; UCL = 0 + - 0 / = 0 + A() 0 ; LCL = 0 - - 0 / = 0 + A() 0. Koeficiet: A() = - /
Pro ezámé hodoty obo parametrů msí být tyto parametry odhadty pomocí průměr výběrových průměrů x a průměré směrodaté odchylky podskpi s / C () resp. průměrého výběrového rozpětí / d (). R Koeficiety C () a d () plyo z rozděleí výběrových směrodatých odchylek a výběrových rozpětí. Potom CL μ x ; UCL μ α σ / x α s / C () x A 3 ()s ; LCL μ α σ / x α s / C () x A 3 ()s. Koeficiet A 3 () = / C (). resp. CL x ; UCL / x R / d () x A ()R ; LCL / x R / d () x A ()R. Koeficiet A () = / d ().
Výběrové mediáy Me Rozděleí výběrových mediáů je možo pro praktické aplikace považovat za ormálí se středí hodoto a rozptylem c / (směrodato odchylko c / ), tedy N(, c /). Koeficiet c je v literatře tabelová. Pro zámé hodoty obo parametrů 0 a 0 je CL = 0 ; UCL = 0 + - 0 c / = 0 + A* () 0 = 0 + A () R 0 ; LCL = 0 - - 0 c / = 0 - A* () 0 = 0 - A () R 0 ; Koeficiet A * () = - c / eí v ČSN ISO 858 važová. Uvádí se koeficiet A (), který předpokládá ahrazeí 0 daým výběrovým rozpětím R 0 a vyžití vztah 0 = R 0 / d (). Potom koeficiet A () = - c / d ()
Pro ezámé hodoty obo parametrů msí být tyto parametry odhadty pomocí průměr výběrových mediáů Me a průměrého výběrového rozpětí podskpi / d (). Potom R CL Me ; UCL Me Rc / d () Me A ()R LCL Me Rc / d () Me A ()R c Koeficiet A() / d(). Pro e příliš praktický případ se mže požít odhad bylo třeba ahradit koeficiet A () koeficietem A vzorec pro výpočet mezí UCL, LCL Me A s. s / C() c α, potom by / C a
Výběrové směrodaté odchylky s Rozděleí výběrových směrodatých odchylek je prakticky ormálí se středí hodoto E(s) a rozptylem D(s). E(s) = D(s) = Když ozačíme E(s) = C () je D(s) =. Pro zámo hodot parametr 0 je C CL = 0 C () ; UCL = 0 (C () + - C () ) = 0 B 6 () ; LCL = 0 (C () - - C () ) = 0 B 5 (). Koeficiety B 6 () C () C () ; B 5 () C () C (). V případě že je zámá (průměrá) směrodatá odchylka podskpi s 0 ktero chceme vyžít, platí vztah s 0 = 0 C ().
Pro ezámo hodot parametr odhadt / C (). s msí být teto parametr Potom σc () CL s ; UCL σc () σ α C () s α C () /C () ; LCL σc () σ α C () s α C () /C (). Pro koeficiety B () C C () () ; B 3 () C C () () ; jso LCL = s B 3 () a UCL = s B (). Pokd koeficiet B 3 () < 0, klade se B 3 () = 0.
Výběrové rozpětí R Rozděleí výběrových rozpětí možo pro praktické účely považovat za ormálí se středí hodoto E(R) a rozptylem D(R). E(R) = d () D(R) = (d 3 ()) Koeficiety d () a d 3 () byly odvozey a jso tabelováy v literatře. Pro zámo hodot parametr 0 je CL = 0 d () ; UCL = 0 (d () + - d 3 ()) = 0 D () ; LCL = 0 (d () - - d 3 ()) = 0 D (). Koeficiety D() d() d3() ; D () d() d3(). V případě že je zámé (průměré) výběrové rozpětí podskpi R 0 které chceme vyžít, platí vztah sosedích hodot je d () =,8. 0 = R 0 / d (). Pro klozavá rozpětí dvo
Pro ezámo hodot parametr odhadt / d (). R msí být teto parametr Potom CL d() R ; UCL d () d 3 () R d 3 ()/ d () ; LCL d () d 3 () R d 3 ()/ d (). Pro koeficiety D D 3 () () d3() d () d3() d () ;. jso LCL = R D 3 () a UCL = R D (). Pokd koeficiet D 3 () < 0, klade se D 3 () = 0.
Vhodý způsob zjedodšeí výpočt koeficiet apř. pomocí tablkového editor MS Excel. Ukázky tablek sočiitelů pro výpočet reglačích mezí a cetrálí přímky při zvoleém libovolém rizik plaého poplach v případech že základí hodoty jso zámy ( A ; A ; B 5 ; B 6 ; D ; D ) a v případech že základí hodoty ejso zámy ( A ; A 3 ; A ; B 3 ; B ; D 3 ; D ) a pomocých koeficietů ( C ; d ; d 3 ). Pozámka: Výpočet provede v sobor Koeficiety.xls,
Sočiitele pro výpočet reglačích mezí a cetrálí přímky = 0,05 (v případě že základí hodoty jso staovey) = 0,0500 A A B5 B6 D D C d () d 3 () c,3859,86-836,979-0,59,7989 0,79788,80 0,855,000 3,36 0,775-0,07,79-0,083 3,3 0,8863,699 0,888,60 0,9800 0,598 0,593,683 35 3,7833 0,93,0589 0,8798,09 5 0,8765 0,5 0,7,6088 0,635,097 0,93999,36 0,86,98 6 0,800 587 88,553 0,87,96 0,9553,53 0,880,36 7 0,708 36 0,06,5,07,337 0,95937,70 0,833, 8 0,6930 0,8 0,53,788,06,5 0,96503,87 0,898,59 9 0,6533 0,690 0,875,5,3867,5533 0,9693,9700 0,8078,3 0 0,698 66 0,575,78,556,60 0,9766 3,0779 0,797,75 0,590 0,89 0,59,078,695,757 0,97535 3,76 0,7873,9 0,5658 0,066 0,567,390,736,78 0,97756 3,58 0,7785,90 3 0,536 0,009 0,5837,375,856,856 0,979 3,3356 0,770,33 0,538 0,837 0,600,365,97,907 0,98097 3,07 0,7630,95 5 0,506 0,803 0,65,393,990,953 0,983 3,7 0,756,37 6 0,900 0,667 0,687,338,065 5,00 0,9838 3,533 0,799,0 7 0,75 0,60 0,608,38,97 5,065 0,985 3,588 0,7,38 8 0,60 0,53 0,658,390,97 5,0879 0,985 3,603 0,7386,07 9 0,96 0,50 0,669,305,5 5,63 0,986 3,6887 0,7335,39 0 83 0, 0,67,307,3073 5,637 0,98693 3,7355 0,787, 0,77 0,6797,955,3585 5,973 0,98758 3,7779 0,7 0,79 0,6876,888,087 5,307 0,9887 3,897 0,799 3 0,087 0,6950,85,59 5,6 0,98870 3,8580 0,759 0,00 0,708,766,999 5,93 0,9899 3,8956 0,7 5 90 0,7083,70,5 5,39 0,9896 3,9308 0,708 30 578 0,735,76,785 5,35 0,99,0860 0,696 35 33 0,7559,95,880 5,556 0,9968,30 0,6799 0 099 0,77,8 3,00 5,6336 0,9936,30 0,669 5 0,9 0,7860,07 3, 5,7088 0,9933,50 0,660 50 0,77 0,797,9 3,99 5,776 0,999,980 0,65
Sočiitele pro výpočet reglačích mezí a cetrálí přímky = 0,05 (v případě že základí hodoty ejso staovey) = 0,0500 A A3 A B5 B6 D D C d () d 3 () c,86,7370,86,979-0,59,7989 0,79788,80 0,855,000 3 0,668,769 0,775-0,07,79-0,083 3,3 0,8863,699 0,888,60 0,760,0637 0,598 0,593,683 35 3,7833 0,93,0589 0,8798,09 5 768 0,935 0,5 0,7,6088 0,635,097 0,93999,36 0,86,98 6 57 0,809 587 88,553 0,87,96 0,9553,53 0,880,36 7 0,739 0,77 36 0,06,5,07,337 0,95937,70 0,833, 8 0,78 0,8 0,53,788,06,5 0,96503,87 0,898,59 9 0,00 0,670 0,690 0,875,5,3867,5533 0,9693,9700 0,8078,3 0 0,0 0,637 66 0,575,78,556,60 0,9766 3,0779 0,797,75 0,863 0,6059 0,89 0,59,078,695,757 0,97535 3,76 0,7873,9 0,736 0,5788 0,066 0,567,390,736,78 0,97756 3,58 0,7785,90 3 0,630 0,5550 0,009 0,5837,375,856,856 0,979 3,3356 0,770,33 0,537 0,530 0,837 0,600,365,97,907 0,98097 3,07 0,7630,95 5 0,57 0,55 0,803 0,65,393,990,953 0,983 3,7 0,756,37 6 87 0,98 0,667 0,687,338,065 5,00 0,9838 3,533 0,799,0 7 5 0,88 0,60 0,608,38,97 5,065 0,985 3,588 0,7,38 8 0,69 0,688 0,53 0,658,390,97 5,0879 0,985 3,603 0,7386,07 9 0,9 0,559 0,50 0,669,305,5 5,63 0,986 3,6887 0,7335,39 0 0,73 0, 0, 0,67,307,3073 5,637 0,98693 3,7355 0,787, 3 0,6797,955,3585 5,973 0,98758 3,7779 0,7 0,09 0,9 0,6876,888,087 5,307 0,9887 3,897 0,799 3 0,059 3 0,6950,85,59 5,6 0,98870 3,8580 0,759 0,07 0,0 0,708,766,999 5,93 0,9899 3,8956 0,7 5 0,0997 96 0,7083,70,5 5,39 0,9896 3,9308 0,708 30 0,0876 609 0,735,76,785 5,35 0,99,0860 0,696 35 0,0786 337 0,7559,95,880 5,556 0,9968,30 0,6799 0 0,077 9 0,77,8 3,00 5,6336 0,9936,30 0,669 5 0,066 0,938 0,7860,07 3, 5,7088 0,9933,50 0,660 50 0,066 0,786 0,797,9 3,99 5,776 0,999,980 0,65
REGULAČNÍ DIAGRAMY SROVNÁVÁNÍM DIAGRAMY PRO DISKRÉTNÍ ZNAKY
Reglačí diagramy srováváím V ČSN ISO 858 se važjí pro reglaci srováváím ásledjící statistiky: p - podíl eshodých jedotek v podskpiě rozsah ; statistika má biomické rozděleí se středí hodoto rozptylem p( p)/ ; p a p - počet eshodých jedotek v podskpiě rozsah ; statistika má biomické rozděleí se středí hodoto rozptylem p( p) ; p a c - počet eshod v podskpiě rozsah ; statistika má Poissoovo rozděleí se středí hodoto rozptylem c ; c a - počet eshod a jedotk v podskpiě rozsah ; statistika má Poissoovo rozděleí se středí hodoto rozptylem /. a
Přehled vzorců reglačích mezí reglačích diagramů srováváím. Statistika CP UCL a LCL p p p( p)/ p p p p p( p ) c c c c / V případě, že základí hodoty jso staovey, ahradí se ve výrazech průměry p ; p ; c ; staoveými hodotami p 0 ; p 0 ; c 0 ; 0.
Výstražé reglačí meze Praxe často požadje vedle reglačích mezí (chápaých jako zásahové ještě žší meze, které by v předstih sigalizovaly možost vzik zvláští příčiy variability. Pravděpodobost áhodého překročeí těchto výstražých mezí se obvykle volí větší, mezi 0,0 až 0,05. V literatře se ěkdy važjí ve vzdáleosti ± (příslšé výběrové charakteristiky) od cetrálí přímky. Pravděpodobost áhodého překročeí, takto staoveých výstražých mezí, je 0,075. Pravděpodobost, že se áhodě vyskyto dva výběrové body za sebo ad horí, ebo pod dolí výstražo mezí je již velmi malá, rová 0,0005, což je pod úroví běžého rizika 0,0035. Navržeý postp možňje také staovit výstražé meze pro libovolo pravděpodobost jejich áhodého překročeí a vypočítat pravděpodobost p(m;k; ) že bdo překročey m-krát během k podskpi. Tato pravděpodobost je rova p(m;k;α) k m α m ( α) k m.
) Ukázka výpočt výstražých mezí v Excel - sobor Koeficiety.xls Příklad: Pro výstražé meze, místěé od CL, je pravděpodobost, že pade jede výběrový bod mimo jed ebo drho mez rova 0,075; pravděpodobost, že tam pado dva za sebo je rova 0,0005756; pravděpodobost, že během 5 podskpi pade pět výběrových bodů mimo jed ebo drho mez je rova 0,00003.
Modifikace: Modifikovaý postp pracje s pravděpodobostí, že během kotroly k podskpi dojde právě k m překročeí výstražých mezí, ale zásahové (reglačí) meze ebdo překročey. Ozačíme-li Z pravděpodobost áhodého překročeí zásahové meze a V pravděpodobost áhodého překročeí příslšé výstražé meze, potom važovaá pravděpodobost je rova p[m; k; (- Z ) - (- W )] = k m m αz αv αz α V k m.
) Ukázka výpočt v Excel - sobor Koeficiety.xls Příklad: Pro výstražé meze, místěé od CL, a pro zásahové meze místěé 3 od CL je pravděpodobost, že pade jede výběrový bod mimo jed ebo drho výstražo mez, ale ikoliv mimo zásahovo mez, rova 0,00; pravděpodobost, že tam pado dva za sebo je rova 0,00058; pravděpodobost, že během 5 podskpi tam pade 5 výběrových bodů je rova 0,00055.
Reglačí diagram výběrových průměrů s reglačími (zásahovými) mezemi a s výstražými mezemi. Po šedesáté podskpiě došlo ke změě středí hodoty proces z 5,0 a 5,35. Při kotrole 68 podskpiy bylo poršeo kriterim ve vztah k výstražým mezím (tři body z šesti mezi výstražo a zásahovo mezí odpovídá rizik 0,00). Při kotrole 7 podskpiy došlo k překročeí reglačí meze. Proces byl poté seříze. 6,5 6,0 5,5 5,0,5,0 3,5 0 5 0 5 0 5 30 35 0 5 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00
Závěr: Uvedeé výsledky možňjí rozšířit platěí Shewhartových reglačích diagramů pro libovolě zvoleá rizika plaých poplachů i výpočet výstražých mezí, které možňjí zvýšit účiost reglačích diagramů při detekci zvláštích příči variability. Umožňjí vyhodotit rizika plyocí z chybějícího sigál, vyhodotit operačí charakteristik reglačího diagram, případě zvážit požití etradičích, adstavbových reglačích diagramů. Obecý výpočet koeficietů Shewhartových reglačích mezí ajde své vyžití i v případech, kdy je vhodé aplikovat modifikovaé, rozšířeé, reglačí meze. Nto podotkot, že statistické reglačí diagramy Shewhartova typ jso vhodé při detekci velkých posů středí hodoty, řádově ěkolika směrodatých odchylek. Pro detekci meších posů středí hodoty je třeba aplikovat reglačí diagramy doplěé výstražými mezemi, případě reglačí diagramy typ kmlovaých sočtů (CUSUM), ebo diagramy expoeciálě vážeých klozavých průměrů (EWMA).