3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi 3 Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi 3.1 Zákldní pojmy Část geometrie, která se zývá geometrickými útvry v rovině se oznčuje jko plnimetrie. ystemtickému udování rovinné geometrie n logickém podkldě jsme se věnovli již v kpitole věnovné xiomtické metodě v geometrii, kde jsme zvedli pojem eukleidovská geometrie pro geometrii popsnou xiómy incidence, uspořádání, shodnosti, spojitosti rovnoěžnosti; rovinu, ve které se pohyujeme oznčujeme potom eukleidovská rovin znčíme ji E (resp. E 2 ). V úvodní kpitole jsme se již setkli s některými elementárními geometrickými ojekty. Jk víme, zákldními útvry rovinné geometrie jsou od přímk. od, ni přímku nedefinujeme. Primitivním pojmem je rovněž pojem incidence (od inciduje s přímkou, popř. přímk inciduje s odem; ve význmu: od leží n přímce, popř. přímk prochází odem znčíme p, popř. p ). Dlším primitivním pojmem je pojem uspořádání odů n přímce (od leží mezi ody, ; popř. od odděluje ody, znčíme ). Množinu odů n přímce neo v rovině nzýváme geometrický útvr. Uzvřenou olst v rovině nzýváme orzec. od od oznčujeme ovykle písmenem velké ltinské ecedy (, P, X,... ). Dv ody, jsou nvzájem různé ( ), neo totožné ( = ). Tři různé ody uďto neleží v přímce (jsou nekolinární); neo leží v přímce (jsou kolinární). Přímk Přímku oznčujeme ovykle písmenem mlé ltinské ecedy (, p, x,... ) neo dvojicí různých odů n přímce (přímk, přímk P Q, přímk MN,... ; popř. symolicky, P Q, MN,... ). Dvě přímky, v rovině jsou nvzájem ) různoěžné ( ), mjí-li jediný společný od průsečík; ) rovnoěžné různé ( ), nemjí-li žádný společný od; c) splývjící (totožné) ( = ) mjí-li všechny ody společné. 1
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině vzek přímek, znčíme (,, c,...), je množin všech přímek v rovině, které mjí společný od tzv. střed svzku (or. 3.1.1). s Or. 3.1.1 Or. 3.1.2 měr s je množin všech nvzájem rovnoěžných přímek; vzth přímk náleží směru s znčíme s (or. 3.1.2). Polopřímk od O dělí přímku p n dvě nvzájem opčné polopřímky se společným počátkem O. Je-li od vnitřní od polopřímky (tj. O), potom tuto polopřímku znčíme polopřímk O, popř. stručně O. Opčná polopřímk k polopřímce O se znčí O. Jestliže pro dvě polopřímky n téže přímce pltí O O, neo O O, potom říkáme, že mjí stejný smysl. Dvě polopřímky p D q n dvou různých rovnoěžkách p, q mohou ýt ) souhlsně rovnoěžné vedeme-li odem přímku rovnoěžnou s přímkou, potom protne polopřímku D (or. 3.1.3); ) nesouhlsně rovnoěžné vedeme-li odem přímku rovnoěžnou s přímkou, potom protne polopřímku opčnou k polopřímce D (or. 3.1.4). p p q D q D Or. 3.1.3 Or. 3.1.4 2
Úsečk 3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi Úsečkou nzýváme průnik dvou polopřímek, (or. 3.1.5) znčíme úsečk, popř. pouze. ody, nzýváme krjní ody úsečky ; osttní ody se nzývjí vnitřní ody úsečky. Otázk shodnosti úseček (znčíme = D) grfického součtu (popř. rozdílu) úseček yl řešen v kpitole týkjící se xiómů shodnosti. Prolemtikou míry úsečky jsme se zývli v kpitole věnovné xiómům spojitosti (délku, popř. velikost úsečky znčíme ). o Or. 3.1.5 Or. 3.1.6 tředem úsečky nzýváme od úsečky, pro který pltí =. Osou úsečky nzýváme přímku o, která prochází středem úsečky je k ní kolmá (or. 3.1.6). Polorovin Přímk p = dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny se společnou hrniční přímkou. Je-li od X vnitřní od poloroviny (tj. X p), potom tuto polorovinu znčíme polorovin X, popř. stručně X neo px. Opčná polorovin k polorovině X se znčí X. Pás Pásem určeným přímkmi p, q rozumíme průnik dvou polorovin p q, jejichž hrniční přímky p, q jsou rovnoěžné p, q. q o Or. 3.1.7 p 3
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině Konvexní nekonvexní množiny odů Množinu odů nzveme konvexní, jestliže pro kždé dv její ody X, Y pltí, že úsečk XY je její podmnožinou (or. 3.1.8). Prázdnou množinu jednoodové množiny řdíme mezi konvexní množiny. Množin odů, která není konvexní, se nzývá nekonvexní (or. 3.1.9). Or. 3.1.8 Or. 3.1.9 Příkldy konvexních množin, kterými jsme se již zývli, jsou přímk, úsečk, polopřímk, polorovin pás. Průnik konečného počtu konvexních množin odů je konvexní množin odů. Úhel V kpitole věnovné xiómům uspořádání jsme zvedli pojem úhlu následovně: průnik polorovin V V nzýváme úhel. Uvedená definice se všk týká jen jednoho speciálního typu úhlu. N tomto místě je vhodné zvést pojem úhlu oecněji. Konvexním úhlem V rozumíme: 1. průnik polorovin V V v přípdě, že ody, V, jsou tři nekolineární ody; tento úhel se rovněž oznčuje jko tzv. dutý úhel (or. 3.1.10); 2. kždou z polorovin s hrniční přímkou v přípdě, že ody, V, jsou tři různé kolineární ody od V leží mezi ody, (tj. V ); tento úhel se rovněž oznčuje jko tzv. přímý úhel (or. 3.1.11); V V Or. 3.1.10 Or. 3.1.11 4
3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi 3. v přípdě, že ody, V, jsou tři různé kolineární ody od V neleží mezi ody,, () kždou rovinu oshující přímku ; tento úhel se rovněž oznčuje jko tzv. plný úhel (or. 3.1.12); () polopřímku V (resp. V ); tento úhel se rovněž oznčuje jko tzv. nulový úhel (or. 3.1.13). V V Or. 3.1.13 Or. 3.1.12 Jestliže jsou, V, tři nekolineární ody, potom se sjednocení polorovin opčných k polorovinám V V nzývá nekonvexní úhel V (or. 3.1.14). V Or. 3.1.14 Ve všech přípdech se polopřímky V V nzývjí rmen úhlu, od V vrchol úhlu, ody úhlu neležící n rmenech oznčujeme jko ody vnitřku úhlu ody roviny, které neptří do úhlu V, jko ody vnějšku úhlu. Pro konvexní úhel V používáme oznčení V, pro nekonvexní úhel V oznčení V. Je zřejmé, že konvexní (resp. nekonvexní) úhly jsou konvexními (resp. nekonvexními) množinmi odů. Není-li uvedeno jink, pk vždy pod pojmem úhel udeme rozumět úhel konvexní (resp. ještě přesněji úhel dutý). Otázk shodnosti úhlů (znčíme V = UD) grfického součtu (popř. rozdílu) úhlů yl řešen v kpitole týkjící se xiómů shodnosti. 5
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině Prolemtikou míry úhlu jsme se zývli v kpitole věnovné xiómům spojitosti (velikost úhlu znčíme V ). Osou úhlu V nzýváme polopřímku V, která vychází z vrcholu V úhlu V tento úhel půlí tk, že pltí V = V. V o Dvojice úhlů Or. 3.1.15 Dv úhly v rovině se nzývjí styčné, jestliže mjí jedno rmeno společné zývjící dvě rmen leží v opčných polorovinách vymezených hrniční přímkou, v níž leží společné rmeno (or. 3.1.16). Dv úhly v rovině se nzývjí vedlejší, jestliže mjí jedno rmeno společné zývjící dvě rmen jsou polopřímky nvzájem opčné (or. 3.1.17). Dv úhly v rovině se nzývjí vrcholové, jestliže mjí společný vrchol jsou-li rmen jednoho úhlu opčnými polopřímkmi k rmenům druhého úhlu (or. 3.1.18). Vrcholové úhly jsou shodné. V V V Or. 3.1.16 Or. 3.1.17 Or. 3.1.18 P Or. 3.1.19 Or. 3.1.20 6
3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi Úhel shodný se svým úhlem vedlejším se nzývá prvý (or. 3.1.19). Znčíme jej oloučkem s tečkou, popř. písmenem R. Dvě různoěžné přímky, tvořící shodné vedlejší (tj. prvé) úhly jsou k soě kolmé, což zpisujeme. Průsečík P kolmých přímek, nzýváme pt kolmice (or. 3.1.20). Jsou dány různé přímky, proťté přímkou p zvnou příčk v odech,. Přímky vytvářejí čtyři úhly s vrcholem (α 1, α 2, α 1, α 2) čtyři úhly s vrcholem (β 1, β 2, β 1, β 2) (or. 3.1.21) ouhlsné úhly (dvojice α 1, β 1, resp. α 1, β 1, resp. α 2, β 2, resp. α 2, β 2) leží n téže strně příčky p i přímek,. třídvé úhly (dvojice α 1, β 2, resp. α 1, β 2, resp. α 2, β 1, resp. α 2, β 1 ) leží n opčných strnách příčky p i přímek,. Přilehlé úhly (dvojice α 1, β 2, resp. α 2, β 1, resp. α 1, β 2, resp. α 2, β 1) leží n téže strně příčky p opčných strnách přímek,. β 2 β 1 β 1 β 2 p α 1 α 2 α 1 α 2 p Or. 3.1.22 Or. 3.1.21 Kždé dv souhlsné úhly i kždé dv střídvé úhly jsou shodné, právě když jsou přímky, rovnoěžné (or. 3.1.22). Klsifikce úhlů Klsifikce úhlů podle jejich velikostí ve stupňové (resp. oloukové míře) míře: nulový úhel (α = 0 ; resp. α = 0) ostrý úhel (0 < α < 90 ; resp. 0 < α < π 2 ) prvý úhel (α = 90 ; resp. α = π 2 ); znčíme jej R tupý úhel (90 < α < 180 ; resp. π 2 < α < π) přímý úhel (α = 180 ; resp. α = π); znčíme jej 2R nekonvexní úhel (180 < α < 360 ; resp. π < α < 2π) plný úhel (α = 360 ; resp. α = 2π); znčíme jej 4R 7
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině Orientovný úhel Orientovný úhel v rovině je uspořádná dvojice polopřímek V, V se společným počátkem V, přičemž polopřímk V, resp. V se nzývá počáteční, resp. koncové rmeno od V se nzývá vrchol orientovného úhlu. Jestliže V V, potom V V. Z definice je ptrné, že n rozdíl od neorientovného úhlu není orientovný úhel částí roviny, le skládá se jen ze dvou polopřímek. V V α+2kπ V α Or. 3.1.23 Velikostí orientovného úhlu rozumíme velikost neorientovného úhlu (v míře stupňové, oloukové,... ), jehož všemi ody proěhne počáteční rmeno V při otočení do polohy koncového rmen V. Děje-li se otáčení v kldném smyslu (proti směru hodinových ručiček), je velikost orientovného úhlu kldná, v opčném přípdě je záporná. Je vidět, že z velikost orientovného úhlu je možné vzít kterékoliv z čísel α + k 360, resp. α + 2kπ, kde k je celé číslo pro úhel α pltí 0 α < 360, resp. 0 α < 2π velikost α se nzývá zákldní velikost orientovného úhlu. Vzdálenost Vzdáleností dvou odů, rozumíme velikost úsečky. Vzdáleností odu od přímky p nzýváme vzdálenost odu od pty kolmice vedené z odu k přímce p (udeme znčit, p ). Vzdáleností dvou rovnoěžných přímek, nzýváme vzdálenost liovolného odu jedné přímky od druhé přímky (udeme znčit, ). Vzdálenost dvou splývjících různoěžných přímek je nulová. Odchylk Odchylkou dvou přímek, nzýváme velikost nulového, ostrého neo prvého úhlu, který má liovolně zvolený vrchol V rmen n přímkách procházejících odem V rovnoěžně s přímkmi, (udeme znčit, ). Z uvedené definice je ptrné, že odchylk dvou rovnoěžek je 0. 8
3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi Dělicí poměr uspořádné trojice odů Dělicím poměrem odu n přímce vzhledem k zákldním odům, ( ) rozumíme číslo λ = () = ε, kde ε = 1, resp. ε = 1, jestliže od leží, resp. neleží mezi ody,. 0< λ<1 λ<0 λ= 0 λ neexistuje Or. 3.1.24 λ>1 Hledejme ody s dělicími poměry 0 ±1 vzhledem k zákldním odům, : Jestliže =, potom = 0, proto i () = 0. třed úsečky leží mezi ody,, tj. ε = 1, součsně =, proto () = 1. Odoně se ptáme, zd lze njít od X tkový, že (X) = 1. Jelikož (X) > 0, od X neleží mezi ody,. Oznčíme-li = d (d 0) v přípdě X (resp. X ) X = x (resp. X = x), potom (X) = d + x x, (resp. (X) = x d + x ). Ovšem vzhledem k tomu, že pro všechn x R + je d+x x 1 (resp. x d+x 1), v eukleidovské rovině neexistuje od, který y měl k zákldním odům dělicí poměr roven 1. Kždému číslu λ 1 odpovídá jediný(!) od n přímce tkový, že () = λ. Oznčme () = λ, potom pltí: () = 1 λ ; () = 1 λ; () = 1 λ 1 1 λ ; () = λ ; () = λ λ 1. Dvojpoměr uspořádné čtveřice odů Dvojpoměrem čtyř odů,,, D (v tomto pořdí) n přímce rozumíme číslo (D) = (), kde (D) 0. (D) Jestliže (D) = 1, potom ody,,, D názýváme hrmonická čtveřice odů přímky ody, oznčujeme jko zákldní ody; od (resp. D) jko vnitřní (resp. vnější) dělicí od. 9
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině Promítání Mějme dány dvě různé přímky p p. N přímce p zvolme různé ody,,,... n přímce p zvolme různé ody,,,... Jestliže je poloh těchto odů tková, že přímky,,,... jsou nvzájem rovnoěžné, potom říkáme, že ody,,,... jsou rovnoěžné průměty odů,,,... n přímku p. měr přímek,,,... nzýváme směr promítání (or. 3.1.25). Je-li poloh těchto odů tková, že přímky,,,... procházejí týmž odem, potom říkáme, že ody,,,... jsou středové průměty odů,,,... n přímku p. od nzýváme střed promítání (or. 3.1.26). p p p p Or. 3.1.25 Dělicí poměr se rovnoěžným promítáním nemění. Or. 3.1.26 ndno ychom se přesvědčili, že dělicí poměr není invrintní (tj. neměnný) vůči středovému promítání. Promítáme-li ody,,, D p n přímku p p, potom se sice dělicí poměr zchovává, le při promítání n různoěžnou přímku p již invrintní není. Invrintem jk středového, tk rovnoěžného promítání je dvojpoměr čtyř odů. Pppov vět: Jsou-li,,, D rovnoěžné neo středové průměty čtyř nvzájem různých odů,,, D přímky p n přímku p p, potom (D) = ( D ). D = D p p D p Or. 3.1.27 10
3.2 Kružnice, kruh 3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi Kždý od kružnice má od pevného odu dnou vzdálenost r > 0. od se nzývá střed kružnice, kldné reálné číslo r (popř. úsečku o délce r, jejímž jedním krjním odem je střed kružnice druhým krjním odem je liovolný od kružnice) nzýváme poloměr kružnice. 1 Zpisujeme k(; r). Číslo 2r (popř. úsečk o délce 2r procházející středem kružnice s oěm krjními ody n kružnici) se nzývá průměr kružnice oznčuje se d. 2 Úsečk, jejíž o krjní ody leží n kružnici se nzývá tětiv kružnice; průměr je nejdelší tětivou kružnice. ody, jejichž vzdálenost od středu je menší než r, náležejí tzv. vnitřku kružnice. ody, jejichž vzdálenost od středu je větší než r, náležejí tzv. vnějšku kružnice. k K d r d r Or. 3.2.1 Or. 3.2.2 Všechny ody, jejichž vzdálenost od středu je menší než poloměr neo rovn poloměru, náležejí kruhu K(; r) s hrniční kružnicí k(, r). O středu, poloměru průměru kruhu hovoříme ve stejném význmu jko u kružnice. ody, jejichž vzdálenost od středu je menší než r, vytvářejí tzv. vnitřek kruhu. ody, jejichž vzdálenost od středu je větší než r, náležejí tzv. vnějšku kruhu. Části kružnice, popř. kruhu r r k k k Or. 3.2.3 Or. 3.2.4 Or. 3.2.5 Oloukem kružnice nzýváme souvislou část kružnice ohrničenou jejími dvěm různými ody. Kždé dv různé ody kružnice dělí kružnici n dv olouky (or. 3.2.3). 1 r z ltinského rdius 2 d z ltinského dimeter 11
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině Kruhovou výsečí rozumíme část kruhu omezenou dvěm poloměry oloukem kružnice (or. 3.2.4). Kruhovou úsečí rozumíme část kruhu omezenou tětivou oloukem kružnice (or. 3.2.5). Kružnice přímk Oznčme v vzdálenost středu kružnice k(; r) od přímky p. Přímk p má vzhledem ke kružnici k právě jednu z těchto poloh: Je-li v > r, potom přímk p nemá s kružnicí k žádný společný od je vnější přímkou kružnice (or. 3.2.6). p T k r k r Or. 3.2.6 p Or. 3.2.7 Je-li v = r, potom má přímk p s kružnici k jediný společný od T je tečnou kružnice. od T se nzývá od dotyku. Tečn kružnice je kolmá n poloměr T. V kždém odě kružnice existuje jediná tečn; z vnějšího odu lze setrojit ke kružnici dvě tečny (or. 3.2.7). Je-li v < r, potom má přímk p s kružnici k společné právě dv ody (tzv. průsečíky) je sečnou kružnice. Úhel sečny kružnice je ostrý neo prvý úhel, který svírá sečn s tečnou v jednom z průsečíků (pro o průsečíky dostáváme shodné úhly) (or. 3.2.8). Jestliže svírá přímk p s tečnou v jednom z průsečíků ( tím i s kružnicí k) prvý úhel, říkáme, že přímk kružnice jsou kolmé (ortogonální). Je zřejmé, že potom přímk p prochází středem kružnice k (or. 3.2.9). t t p r ϕ r r p k k Or. 3.2.8 Or. 3.2.9 12
3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi Dvě kružnice Dvě kružnice o společném středu se nzývjí soustředné. Část roviny omezená dvěm soustřednými kružnicemi se nzývá mezikruží. Dvě kružnice o různých středech se nzývjí nesoustředné. Úsečk spojující středy nesoustředných kružnic se nzývá středná. Oznčme s velikost středné kružnic k 1 ( 1 ; r 1 ) k 2 ( 2 ; r 2 ) (předpokládejme r 1 r 2 ). Kružnice k 1, k 2 mjí právě jednu z těchto vzájemných poloh: Je-li s > r 1 + r 2, potom kružnice nemjí žádný společný od leží vně see (or. 3.2.10). k 1 k 2 k 1 k2 1 2 1 T 2 Or. 3.2.10 Or. 3.2.11 Je-li s = r 1 + r 2, potom kružnice mjí jediný společný od (od dotyku) dotýkjí se vně (or. 3.2.11). Je-li r 1 r 2 < s < r 1 + r 2, potom kružnice mjí společné právě dv ody (tzv. průsečíky) protínjí se. Úhel dvou protínjících se kružnic je ostrý neo prvý úhel, který svírjí tečny v jednom z průsečíků (pro o průsečíky dostneme shodné úhly) (or. 3.2.12). Jestliže svírjí tečny v jednom z průsečíků ( tím i oě kružnice) prvý úhel, říkáme, že kružnice jsou kolmé (ortogonální). Je zřejmé, že potom střed 1 kružnice k 1 leží n tečně kružnice k 2 sestrojené v jejich průsečíku rovněž střed 2 kružnice k 2 leží n tečně kružnice k 1 sestrojené v jejich průsečíku (or. 3.2.13). 1 t k 1 ϕ k 2 2 t k 1 1 t 2 t k2 1 2 1 2 Or. 3.2.12 Or. 3.2.13 Je-li s = r 1 r 2, potom kružnice mjí jediný společný od (od dotyku) dotýkjí se uvnitř(or. 3.2.14). 13
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině k 1 k2 k 1 k 2 k 1 k2 1 2 T 1 2 = 1 2 Or. 3.2.14 Or. 3.2.15 Or. 3.2.16 Je-li s < r 1 r 2, potom kružnice nemjí žádný společný od jedn leží uvnitř druhé (or. 3.2.15). em y se dly zřdit i soustředné kružnice (or. 3.2.16). Dvě kružnice mohou mít následující počet společných tečen. V přípdě, že kružnice leží vně see, potom mjí čtyři společné tečny. Dvě tečny protínjící střednou se nzývjí vnitřní tečny, dvě tečny neprotínjící střednou se nzývjí vnější tečny. V přípdě, že kružnice mjí vnější dotyk, potom existují tři společné tečny dvě vnější jedn ve společném odě dotyku. V přípdě, že se kružnice protínjí, potom existují dvě společné tečny vnější tečny. V přípdě, že kružnice mjí vnitřní dotyk, potom existuje jedn společná tečn tečn ve společném odě dotyku. V přípdě, že jedn kružnice leží uvnitř druhé, potom neexistuje žádná společná tečn. Or. 3.2.17 O konstrukci společných tečen dvou kružnic se zmíníme v kpitole 4.7. 14
3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi Úhel středový, ovodový úsekový Zvolme n kružnici k(; r) tři různé ody,, M. Úhel M se nzývá ovodový úhel úhel středový úhel o příslušné k témuž olouku kružnice s krjními ody,, jestliže kždý od tohoto olouku náleží jk úhlu M tk i úhlu. Pro pevně zvolený olouk njdeme jediný středový úhel, le nekonečně mnoho úhlů ovodových M. k ϕ M Y ω ϕ ϕ Or. 3.2.18 Úhel X (resp. Y ) tvořený tečnou kružnice v odě (resp. ) sečnou se nzývá úsekový úhel příslušný k olouku kružnice s krjními ody,, jestliže kždý od zvoleného olouku náleží úhlu X (resp. Y ). Pro pevně zvolený olouk njdeme dvojici úsekových úhlů. Vět 3.2.1: (Zákldní vět o ovodových úhlech) Všechny ovodové úhly příslušné k témuž olouku jsou shodné mezi seou i úsekovým úhlem příslušným k témuž olouku. Kždý ovodový úhel je roven polovině příslušného středového úhlu. k ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ω 1 ϕ 2 ω 2 M k ω ϕ M ϕ Or. 3.2.19 k β ω β M ϕ Důkz: Důkz tvrzení ω = 2ϕ (ω středový úhel, ϕ ovodový úhel M) je nutné provést ve třech částech, to pro přípd, že střed kružnice α 15
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině ) náleží vnitřku ovodového úhlu; ) leží n rmeni ovodového úhlu; c) leží vně ovodového úhlu. Poznmenejme jen, že když ovodový úhel M přísluší polokružnici, neo většímu olouku s krjními ody, potom střed kružnice náleží vždy vnitřku ovodového úhlu. Provedeme pouze důkz části ), zytek si můžete vyzkoušet jko cvičení. Přímk M rozdělí ovodový úhel ϕ n dv úhly ϕ 1 +ϕ 2 = ϕ středový úhel ω n dv úhly ω 1 +ω 2 = ω. Trojúhelník M ( tké M) je rovnormenný 3 = M = = r proto M = M ( tké M = M ). Jelikož součet dvou vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven protějšímu vnějšímu úhlu úhel ω 1 (resp. ω 2 ) je vnějším úhlem M (resp. M), pltí ω 1 = 2ϕ 1 (resp. ω 2 = 2ϕ 2 ). ečtením dostneme ω = ω 1 + ω 2 = 2ϕ 1 + 2ϕ 2 = 2(ϕ 1 + ϕ 2 ) = 2ϕ. Část věty týkjící se vzthu ovodového úsekového úhlu ihned plyne ze skutečnosti, že se jedná o úhly s rmeny n see kolmými. Q.E.D. Důsledek 3.2.1. (Thletov vět) Všechny ovodové úhly sestrojené v kružnici nd průměrem jsou prvé (or. 3.2.20). k k Or. 3.2.20 Or. 3.2.21 Thletovu větu používáme při konstrukci tečen kružnice z vnějšího odu (or. 3.2.21). 3.3 Trojúhelník Jsou-li dány v rovině tři nekolineární ody,,, potom společná část polorovin, se nzývá trojúhelník, což symolicky zpisujeme. ody,, se nzývjí vrcholy trojúhelník, úsečky c =, =, = se nzývjí strny trojúhelník. Vnitřní úhly trojúhelník jsou úhly = α, = β, = γ. Vedlejší 3 Zde trochu předíháme, neoť kpitol týkjící se trojúhelník následuje ž z kpitolou o kružnici, nicméně již v kpitole 2.5 jsme se o rovnormenném trojúhelníku zmiňovli. 16
3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi úhly k vnitřním úhlům (je jich šest, vždy dv shodné u jednoho vrcholu) se nzývjí vnější úhly trojúhelník znčíme je α 1, α 2; β 1, β 2; γ 1, γ 2. 4 jednocení strn tvoří tzv. ovod trojúhelník. 5 ody trojúhelník nenáležející ovodu jsou ody vnitřku trojúhelník, ody nenáležející trojúhelníku jsou ody vnějšku trojúhelník. trojúhelníky jsme se setkli již v kpitolách týkjících se Hilertovy xiomtické soustvy. Do této kpitoly tk utomticky ptří všechny věty eukleidovské geometrie, které již yly uvedeny npř. α + β + γ = 180 (or. 3.3.1). α β γ,, α α β,c, γ Or. 3.3.2,, β Or. 3.3.1 ychom nemuseli vyslovovt některé definice věty trojmo, udeme v dlším textu využívt tzv. cyklickou záměnu nhrdíme-li v definici (popř. větě) týkjící se trojúhelník trojice písmen (,, α), (,, β), (, c, γ) po řdě trojicemi (,, β), (, c, γ), (,, α) dále (, c, γ), (,, α), (,, β) (or. 3.3.2), dostneme dlší tvry definic (popř. vět). různostrnné ( c ); α c γ Or. 3.3.3 Trojúhelníky dělíme podle velikostí strn n: β rovnormenné ( = c); γ α α c Or. 3.3.4 rovnostrnné ( = = c). α α Or. 3.3.5 4 V přípdě znčení úseček (zde strn) se v geometrii ojevuje nejednoznčnost. Mlé písmeno ltinské ecedy tk někdy oznčuje úsečku někdy délku této úsečky. Totéž pltí i pro oznčování úhlů, popř. jejich velikostí mlými písmeny řecké ecedy. 5 Někdy se pod pojmem ovod rozumí součet velikostí strn (tj. číslo). α 17
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině ostroúhlé (α, β, γ < 90 ); α c γ Or. 3.3.6 β Podle úhlů dělíme trojúhelníky n: prvoúhlé tupoúhlé (α, β < 90, γ = 90 ); (α, β < 90, γ > 90 ). α c Or. 3.3.7 β α c Or. 3.3.8 γ Příčk trojúhelník je úsečk spojující dv ody n ovodu trojúhelník, které neleží n jedné jeho strně. třední příčk trojúhelník je spojnice středů dvou strn (or. 3.3.9). β 1 1 1 Or. 3.3.9 Vět 3.3.1: třední příčk je rovnoěžná se strnou, jejímž středem neprochází má délku rovnou polovině délky této strny. Výšk trojúhelník je kolmice sestrojená vrcholem trojúhelník n přímku, v níž leží protější strn. Výšku z odu n strnu udeme znčit v ; ptu této výšky udeme oznčovt 0 (or. 3.3.10). Vět 3.3.2: Výšky trojúhelník se protínjí v jednom odě, zvném ortocentrum trojúhelník (or. 3.3.10). v 0 t c V v 0 1 T 1 t t 0 v c Or. 3.3.10 1 Or. 3.3.11 18
3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi Težnice trojúhelník je úsečk spojující vrchol trojúhelník se středem protější strny. Těžnici spojující vrchol se středem 1 strny udeme znčit t (or. 3.3.11). Vět 3.3.3: Těžnice trojúhelník se protínjí v jednom odě, zvném těžiště trojúhelník (or. 3.3.11). Vzdálenost těžiště od vrcholu trojúhelník je rovn dvěm třetinám délky příslušné těžnice (tj. ( 1 T ) = 2). Osou strny trojúhelník nzýváme osu úsečky, která je strnou trojúhelník. Osu strny udeme znčit o (or. 3.3.12). Vět 3.3.4: Osy strn trojúhelník se protínjí v jednom odě, který je středem kružnice opsné trojúhelníku (or. 3.3.12), tj. kružnice procházející všemi vrcholy trojúhelník (poloměr kružnice opsné zprvidl oznčujeme r). o c o 1 1 r r r u β ρ ρ ρ u α 1 o u γ Or. 3.3.12 Or. 3.3.13 Osou vnitřního úhlu trojúhelník rozumíme osu úhlu, který je vnitřním úhlem trojúhelník. Osu vnitřního úhlu α udeme znčit u α (or. 3.3.13). Vět 3.3.5: Osy vnitřních úhlů trojúhelník se protínjí v jednom odě, který je středem kružnice vepsné trojúhelníku (or. 3.3.13), tj. kružnice dotýkjící se všech strn trojúhelník (poloměr kružnice vepsné zprvidl oznčujeme ϱ). Můžeme vyslovit několik zjímvých vět: Vět 3.3.6: Těžiště střed kružnice vepsné náleží vždy vnitřku trojúhelník. Ortocentrum střed kružnice opsné náleží jeho vnitřku v trojúhelníku ostroúhlém, jeho ovodu v trojúhelníku prvoúhlém jeho vnějšku v trojúhelníku tupoúhlém. Vět 3.3.7: V trojúhelníku oznčme T těžiště, V průsečík výšek střed kružnice opsné. Potom pltí, že uďto T = = V (je-li rovnostrnný), neo kždé dv z těchto odů jsou různé leží n jedné přímce (tzv. Eulerov přímk), přičemž (V T ) = 1 2 (or. 3.3.14). 19
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině v v o t c V o T t o c v c t Or. 3.3.14 Vět 3.3.8: V trojúhelníku oznčme V průsečík výšek; střed kružnice opsné; 1, 1, 1 středy strn,, c; 0, 0, 0 pty výšek v, v, v c,, středy úseček V, V, V. Potom pltí: N kružnici k 0 procházející ody 1, 1, 1 leží tké ody 0, 0, 0,,. třed 0 kružnice k 0 je středem úsečky V, když V ; je-li = V, potom i 0 =. Poloměr kružnice k 0 se rovná polovině poloměru kružnice k opsné trojúhelníku. Kružnice k 0 se nzývá kružnice devíti odů neo Feuerchov kružnice trojúhelník (or. 3.3.15). v 0 o 1 t t c V 0 1 0 o c k 0 v c 0 1 T t v o k Or. 3.3.15 20
3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi Věty o shodnosti trojúhelníků Připomeňme si definici shodnosti dvou trojúhelníků: Dv trojúhelníky jsou shodné, jestliže existuje vzájemně jednoznčná korespondence mezi jejich vrcholy tková, že odpovídjící si strny odpovídjící si úhly jsou shodné. Vět 3.3.9: Dv trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ) ve všech třech strnách (vět sss); ) ve dvou strnách v úhlu jimi sevřeném (vět sus); c) ve dvou strnách v úhlu proti větší z nich (vět su); d) v jedné strně v oou úhlech k ní přilehlých (vět usu). Věty o podonosti trojúhelníků Pojem shodnosti trojúhelníků v soě zhrnuje stejný tvr stejnou velikost trojúhelníků. Vypustíme-li poždvek stejné velikosti ponecháme jen stejný tvr, hovoříme o podoných trojúhelnících. Dv trojúhelníky jsou podoné, jestliže existuje vzájemně jednoznčná korespondence mezi jejich vrcholy tková, že odpovídjící si úhly jsou shodné. Vět 3.3.10: Dv trojúhelníky jsou podoné, shodují-li se ) v poměrech délek všech tří odpovídjících si strn (vět sss); ) v poměrech délek dvou odpovídjících si strn v úhlu jimi sevřeném (vět sus); c) v poměrech délek dvou odpovídjících si strn v úhlu proti větší z nich (vět su); d) ve dvou úhlech (vět uu). Věty o určenosti trojúhelník větmi o shodnosti trojúhelníků úzce souvisí tzv. věty o určenosti trojúhelník: Vět 3.3.11: Trojúhelník je jednoznčně určen, jsou-li dány jeho určovcí prvky: ) délky tří strn, pro něž pltí < c < + (vět sss); ) délky dvou strn velikost úhlu jimi sevřeného (vět sus); c) délky dvou různých strn velikost úhlu protilehlého k delší strně (vět su); d) délk strny velikosti dvou k ní přilehlých úhlů, jejichž součet velikostí je menší než 180 (vět usu). Oecný trojúhelník Je jednoznčně chrkterizován šesti zákldními proměnnými prvky: tři strny (,, c) tři úhly (α, β, γ). Z nich jsou tři nezávisle proměnné (npř. 21
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině sss, sus td. viz věty o určenosti trojúhelník), proto je uvedených šest zákldních prvků svázáno třemi nezávislými rovnicemi. Volíme npř. tyto jednoduché vzthy: α + β + γ = 2R, : = sin α : sin β, : c = sin α : sin γ. První rovnice je zřejmá již jsme se o ní zmiňovli (zchycuje jednu z vět ekvivlentních s xiómem rovnoěžnosti). Zývjící dvě rovnice vyjdřují větu sinovou, tj. sin α = sin β = c sin γ = 2r, kde r je poloměr kružnice trojúhelníku opsné. Důkz sinové věty sndno provedeme s využitím Zákldní věty o ovodových úhlech 3.2.1 (str. 15) (proveďte!). Z výše uvedených tří rovnic již můžeme odvodit všechny osttní rovnice pltící pro zákldní prvky trojúhelník jednou z nejdůležitějších je tzv. kosinová vět 2 = 2 + c 2 2c cos α. Prvoúhlý trojúhelník V prvoúhlém trojúhelníku s prvým úhlem γ nzýváme strny, odvěsny strnu c přepon. Pt 0 výšky v c rozděluje strnu c n dvě úsečky 0, resp. 0, které nzýváme úsek přilehlý k odvěsně, resp. znčíme c, resp. c. β α v c α 0 Or. 3.3.16 β Prvoúhlý trojúhelník je jednoznčně chrkterizován pěti zákldními proměnnými prvky: tři strny (,, c) dv ostré úhly (α, β). Z nich jsou dv nezávisle proměnné, proto lze uvedených pět zákldních prvků popst třemi nezávislými rovnicemi. Dvě z nich jsou npř. α + β = R, = c sin α. 22
3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi Třetí rovnici si nyní odvodíme. Pltí 0, proto = 0 = α 0 = = β. Podle věty (uu) o podonosti trojúhelníků pltí 0 0. Z poměru odpovídjících si strn (npř. z podonost trojúhelníků 0 plyne c = c pod.) odvodíme sndno tzv. Eukleidovy věty. Vět 3.3.12: (Eukleidov vět o odvěsně) (or. 3.3.17) Osh čtverce sestrojeného nd odvěsnou prvoúhlého trojúhelník se rovná oshu odélník, jehož jednou strnou je přepon druhá strn je shodná s úsekem přepony přilehlým k této odvěsně ( 2 = c c, resp. 2 = c c ). Vět 3.3.13: (Eukleidov vět o výšce) (or. 3.3.18) Osh čtverce sestrojeného nd výškou prvoúhlého trojúhelník se rovná oshu odélník sestrojeného z úseků přepony tvořených výškou (v 2 = c c ). c c c v c c v c Or. 3.3.18 c Or. 3.3.17 Z Eukleidových vět ihned vyplývá pltnost tzv. Pythgorovy věty: Vět 3.3.14: (Pythgorov vět) (or. 3.3.17) Osh čtverce sestrojeného nd přeponou prvoúhlého trojúhelník je roven součtu oshů čtverců sestrojených nd odvěsnmi. (c 2 = 2 + 2 ). 23
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině Právě rovnici 2 + 2 = c 2 lze zřdit jko třetí do systému nezávislých rovnic popisujících prvoúhlý trojúhelník. N tomto místě je nutné zdůrznit, že při rozhodování o tom, zdli je či není dný trojúhelník prvoúhlý, nepoužíváme Pythgorovu větu, le orácenou Pythgorovu větu: Vět 3.3.15: (Orácená vět k Pythgorově větě) Jestliže je osh čtverce sestrojeného nd jednou strnou trojúhelník roven součtu oshů čtverců sestrojených nd zývjícími dvěm strnmi (tj. pltíli c 2 = 2 + 2 ), potom je dný trojúhelník prvoúhlý (s přeponou c). ***** V mnoh mtemtických příručkách učenicích ychom mohli vyhledt desítky dlších vět týkjících se nejrůznějších zjímvých vzthů pltících v trojúhelnících. Z všechny uveďme závěrem lespoň dvě věty, které jsou do určité míry pokrčováním upřesněním již zmíněné Pschovy věty. Jsou to věty pltící v oecnější geometrii než je geometrie eukleidovská, to v tzv. geometrii finní, o které se ještě zmíníme. Vět 3.3.16: (Menelov vět) Je dán trojúhelník přímk p, která neprochází žádným z odů,, protíná přímky,, po řdě v odech,, (or. 3.3.19). Potom je ( ) ( ) ( ) = 1. p M Or. 3.3.19 Or. 3.3.20 Vět 3.3.17: (evov vět) Je dán trojúhelník od M neležící n ovodě trojúhelník. Průsečíky přímek M, M, M s přímkmi,, oznčme po řdě,, (or. 3.3.20). Potom je ( ) ( ) ( ) = 1. 24
3.4 Čtyřúhelník 3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi Čtyřúhelníkem D nzýváme sjednocení dvou trojúhelníků, D ležících v opčných polorovinách s hrniční přímkou, jestliže žádné tři ody,,, D nejsou kolineární. Uvedená definice čtyřúhelník připouští, že dný útvr může ýt i nekonvexní. Nekonvexními čtyřúhelníky se zývt neudeme, proto pod názvem čtyřúhelník udeme ndále rozumět vždy jen čtyřúhelník konvexní v opčném přípdě ychom nekonvexnost čtyřúhelník zdůrznili! D D Or. 3.4.1 Or. 3.4.2 ody,,, D se nzývjí vrcholy čtyřúhelník, úsečky =, =, c = D, d = D se nzývjí strny čtyřúhelník úsečky e =, f = D nzýváme úhlopříčky. Vnitřní úhly čtyřúhelník D jsou úhly D = α, = β, D = γ, D = δ. jednocení strn tvoří tzv. ovod čtyřúhelník, ody čtyřúhelník nenáležející ovodu jsou ody vnitřku čtyřúhelník, ody nenáležející čtyřúhelníku jsou ody vnějšku čtyřúhelník. e čtyřúhelníky (konvexními!) jsme se setkli již v kpitolách týkjících se Hilertovy xiomtické soustvy, proto do této kpitoly ptří rovněž všechny věty eukleidovské geometrie, které již yly uvedeny (npř. α+β+γ+δ = 360 ). Čtyřúhelníky dělíme n rovnoěžníky ( c d): prvoúhelníky (α, β, γ, δ = R) čtverec ( = = c = d) (or. 3.4.3) odélník ( = c = d)(or. 3.4.4) Or. 3.4.3 Or. 3.4.4 25
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině kosoúhelníky (α, β, γ, δ R) kosočtverec ( = = c = d) (or. 3.4.5) kosodélník ( = c = d) (or. 3.4.6) Or. 3.4.5 Or. 3.4.6 lichoěžníky ( c d) (or. 3.4.7), c jsou tzv. zákldny, d tzv. rmen speciálními přípdy jsou lichoěžník rovnormenný ( = d) (or. 3.4.8) prvoúhlý (α = R) (or. 3.4.9) d c c d c Or. 3.4.7 Or. 3.4.8 Or. 3.4.9 různoěžníky ( c d) mezi ně ptří npř. tzv. deltoid (d = = c) (or. 3.4.10) Or. 3.4.10 Vět 3.4.1: Protější strny rovnoěžník jsou stejně dlouhé, protější úhly shodné, součet sousedních úhlů dává úhel přímý úhlopříčky rovnoěžník se nvzájem půlí. Vět 3.4.2: Úhlopříčky odélník jsou stejně dlouhé. Vět 3.4.3: Úhlopříčky kosočtverce jsou nvzájem kolmé. Vět 3.4.4: Úhlopříčky čtverce jsou stejně dlouhé nvzájem kolmé. 26
3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi Kždému trojúhelníku lze vepst i opst kružnici, u čtyřúhelníků všk tomu oecně tk ýt nemusí. Některým lze opst kružnici (tzv. tětivové čtyřúhelníky odélník, rovnormenný lichoěžník, čtverec), jiným vepst (tzv. tečnové čtyřúhelníky npř. kosočtverec, deltoid, čtverec), většinou všk nelze kružnici ni opst ni vepst. Čtyřúhelník, jemuž můžeme opst i vepst kružnici (středy mohou, le nemusejí splývt) se nzývá dvojstředový čtyřúhelník npř. čtverec. Vět 3.4.5: oučet protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelník je úhel přímý (α + γ = β + δ = 2R). Důkz: (or. 3.4.11) Podle věty o středovém ovodovém úhlu sndno nhlédneme, že pltí 2α + 2γ = 4R (viz or.) odtud α + γ = 2R. Dále α + β + γ + δ = 4R, proto β + δ = 2R. Q.E.D. γ D u T c z z D 2α 2γ α Or. 3.4.11 u T d x x T Or. 3.4.12 T y y Vět 3.4.6: oučty velikostí oou dvojic protějších strn tečnového čtyřúhelník jsou si rovny ( + c = + d). Důkz: (or. 3.4.12) ndno ychom dokázli, že délky tečen z odu (tj. velikosti úseček měřených od odu k dotykovým odům T, T d ) jsou stejné ( T d = T (su) T d = T ) ; odoně i pro délky tečen z odů, D. Jestliže T = x, T = y, T c = z DT d = u, potom = x + y, = y + z, c = z + u, d = u + x odtud + c = x + y + z + u = + d. Q.E.D. 3.5 Mnohoúhelník Trojúhelník čtyřúhelník ptří mezi tzv. mnohoúhelníky neo jiným názvem n-úhelníky. Nechť je v rovině dáno n různých odů 1, 2,..., n (n 3) tkových, že všechny vždy leží pouze v jedné polorovině určené hrniční přímkou spojující dv po soě jdoucí ody i i+1 (i = 1,..., n n+1 = 1 ), přičemž 27
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině žádné tři ody nejsou kolineární. Mnohoúhelníkem (neo n-úhelníkem) 1 2... n nzýváme průnik všech tkto určených polorovin. 6 Pro n = 3, resp. n = 4 održíme trojúhelník, resp. čtyřúhelník. ody 1, 2,..., n se nzývjí vrcholy mnohoúhelník, úsečky 1 2, 2 3,..., i i+1,... n 1 n, n 1 se nzývjí strny mnohoúhelník úsečky spojující nesousední vrcholy nzýváme úhlopříčky mnohoúhelník. Vnitřní úhly mnohoúhelník 1 2... n jsou úhly n 1 2, 1 2 3,..., n 1 n 1. n-1 n 1 2 3 Or. 3.5.1 jednocení strn tvoří tzv. ovod mnohoúhelník, ody mnohoúhelník nenáležející ovodu jsou ody vnitřku mnohoúhelník, ody nenáležející mnohoúhelníku jsou ody vnějšku mnohoúhelník. Vět 3.5.1: Počet úhlopříček n-úhelník je dán vzthem u n = n(n 3) 2. Vět 3.5.2: oučet vnitřních úhlů n-úhelník je (n 2) 2R. Jsou-li všechny strny i vnitřní úhly nvzájem shodné, potom se dný mnohoúhelník nzývá prvidelný. Pro n = 3 dostáváme rovnostrnný trojúhelník, pro n = 4 čtverec. O prvidelných mnohoúhelnících se ještě zmíníme v kpitole 5.2 věnovné eukleidovským konstrukcím. 3.6 ouřdnicová soustv v rovině K určení polohy odu v rovině užíváme tzv. souřdnicových soustv, z nichž nejdůležitější jsou prvoúhlé souřdnicové soustvy. Při zvádění souřdnicových soustv jde o určení vzájemně jednoznčného zorzení množiny všech odů roviny E 2 n množinu R 2 = R R (oě množiny pk čsto ztotožňujeme píšeme E 2 = R 2 ). 6 Uvedená definice nepřipouští, že y dný útvr mohl ýt nekonvexní. Nekonvexní mnohoúhelník y ylo nutné definovt jiným způsoem. 28
3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi V rovině zvolíme dvě různoěžky x, y s průsečíkem O, který nzýváme počátek souřdnicové soustvy. Přímku x (resp. y) nzveme první (resp. druhou) souřdnicovou osou. Dále zvolme dv ody X x Y y (X, Y O). Počátek O dělí kždou z os n dvě polopřímky. Polopřímku OX (resp. OY ) nzveme první (resp. druhou) kldnou souřdnicovou poloosou znčíme x + (resp. y + ). Polopřímku opčnou k polopřímce OX (resp. OY ) nzveme první (resp. druhou) zápornou souřdnicovou poloosou znčíme x (resp. y ). Úsečku OX (resp. OY ) povžujeme z jednotkovou úsečku n ose x (resp. y) vzthujeme k ní všechny délky n dné ose. y P 2 Pxy [,] Y 0 X P 1 x Or. 3.6.1 Polohu liovolného odu P roviny určíme následovně: odem P vedeme rovnoěžky s osmi x y jejich průsečíky s osmi x y oznčíme po řdě P 1 P 2. První (neoli x-ovou) souřdnicí odu P nzýváme číslo x 0 = ξ OP 1, přičemž ξ = 1, resp. ξ = 1, právě když od P 1 náleží první kldné, resp. záporné poloose. Druhou (neoli y-ovou) souřdnicí odu P nzýváme číslo y 0 = ν OP 2, přičemž ν = 1, resp. ν = 1, právě když od P 2 náleží druhé kldné, resp. záporné poloose. Počátek O má souřdnice x 0 = 0, y 0 = 0. od P se souřdnicemi x 0, y 0 znčíme P [x 0, y 0 ], popř. P = [x 0, y 0 ]. y y y Y 0 θ X x Y 0 X x Y 0 X x Or. 3.6.2 Or. 3.6.3 Or. 3.6.4 V závislosti n úhlu θ, který svírjí osy x y, n délkách jednotkových 29
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině úseček OX, OY rozlišujeme následující typy souřdnicových soustv: jestliže θ = x, y π 2, hovoříme o kosoúhlé souřdnicové soustvě {O; x, y} (or. 3.6.2); jestliže θ = x, y = π 2, hovoříme o prvoúhlé (ortogonální) souřdnicové soustvě {O; x, y} (or. 3.6.3); jestliže θ = x, y = π 2 nvíc OX = OY, hovoříme o krtézské (ortonormální) souřdnicové soustvě {O; x, y} (or. 3.6.4). Je-li orientovný úhel vymezený kldnou poloosou x + zápornou poloosou y + (v tomto pořdí!) kldně orientovný, hovoříme o kldně orientovné souřdnicové soustvě {O; x, y} (viz předcházející orázky); v opčném přípdě hovoříme o záporně orientovné souřdnicové soustvě {O; x, y}. Vzorec pro eukleidovskou vzdálenost odů P 1 [x 1, y 1 ] P 2 [x 2, y 2 ] v krtézské soustvě souřdnic(!) má tvr P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Kždou přímku v rovině lze popst pomocí tzv. oecné rovnice přímky x + y + c = 0, kde,, c R [, ] [0, 0]. Rovnice kružnice s středem [m, n] poloměrem r v krtézských souřdnicích(!) je (x m) 2 + (y n) 2 = r 2. Závěrem se zmíníme o souvislosti odů eukleidovské roviny E 2 s komplexními čísly. Kždé komplexní číslo z lze zpst ve tvru z = x + iy, kde i 2 = 1 x, y R; Re(z) = x (resp. Im(z) = y) je tzv. reálná (resp. imginární) složk komplexního čísl. Uvedený zápis nzýváme krtézský tvr komplexního čísl. Číslo z = x iy je tzv. číslo komplexně sdružené s číslem z = x+iy. Dále definujeme solutní hodnotu komplexního čísl předpisem z = x 2 + y 2 = z z. Protože kždému komplexnímu číslu z přísluší právě jedn uspořádná dvojice [x, y] reálných čísel, lze je znázornit jko od [x, y] v krtézské souřdnicové soustvě. Jde tedy o vzájemně jednoznčné zorzení množiny = R 2 = R R n množinu všech odů eukleidovské roviny E 2 s krtézskou soustvou souřdnic {O; x, y}. Při této interpretci pk přímo ztotožňujeme komplexní čísl s 30
3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi ody roviny, které jim odpovídjí. Dostáváme tk tzv. rovinu komplexních čísel (neoli komplexní rovinu, popř. Gussovu rovinu). První souřdnicovou osu pk oznčujeme jko reálná os druhou souřdnicovou osu jko imginární os. y z z= x+yi = z (cos α+ i sin α )= z e iα α x reálná os Or. 3.6.5 Od geometrické interpretce komplexních čísel je již pouhý krok k tzv. goniometrickému tvru. Pltí x = z cos α y = z sin α, kde z je solutní hodnot komplexního čísl (neoli tzv. modul) α je velikost orientovného úhlu s počátečním rmenem Re + (kldná reálná poloos) koncovým rmenem 0z (polopřímk vycházející z počátku jdoucí orzem komplexního čísl z) tzv. rgument komplexního čísl. Proto můžeme psát z = z (cos α + i sin α). Komplexní čísl je někdy vhodné psát v tzv. exponenciálním tvru, který je dán vzthem z = z e iα = z (cos α + i sin α). 3.7 Množiny odů dné vlstnosti DEFINIE 3.7.1: Množin všech odů dné vlstnosti V je množin M všech odů zákldní množiny, které splňují tyto poždvky: (i) kždý od množiny M má dnou vlstnost V, (ii) kždý od zákldní množiny, který má dnou vlstnost V, ptří do množiny M. Uveďme příkldy některých jednoduchých množin odů dné vlstnosti v rovině (tj. rovin E 2 je zákldní množinou), které se čsto ojevují při řešení plnimetrických konstrukčních úloh. 31
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině 1. Množinou všech odů roviny, které mjí od dného odu vzdálenost r R +, je kružnice se středem poloměrem r. M = {X E 2 ; X = r}, tj. M = k(, r) 2. Množinou všech odů roviny, které mjí od dné přímky p vzdálenost R +, je dvojice rovnoěžek s přímkou p, jejichž vzdálenost od přímky p je. 7 q 2 p M = {X E 2 ; X, p = }, tj. M = q 1 q 2, kde q 1 q 2 p q 1, p = q 2, p = q 1 Or. 3.7.1 3. Množinou všech odů roviny, které mjí od dné kružnice k(, r) vzdálenost R + (0 < < r), je dvojice kružnic soustředných s kružnicí k o poloměrech r r +. 8 l 1 l 2 k M = {X E 2 ; X, k = }, tj. M = l 1 l 2, kde l 1 (, r ) l 2 (, r + ) Or. 3.7.2 4. Množinou všech odů roviny, které mjí od dvou různých odů, stejnou vzdálenost, je os úsečky. o M = {X E 2 ; X = X }, tj. M = o, kde o o ( střed úsečky ) Or. 3.7.3 5. Množinou všech odů konvexního úhlu V, které mjí stejnou vzdálenost od oou rmen úhlu V, je os úhlu V. V R Or. 3.7.4 7 tzv. ekvidistnt přímky. 8 tzv. ekvidistnt kružnice. o M = {X V ; X, V = X, V }, tj. M = V R, kde R V V R = V R 32
3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi 6. Množinou všech odů roviny, které mjí od dvou dných rovnoěžek p, q stejnou vzdálenost, je os rovinného pásu určeného těmito rovnoěžkmi. d d Or. 3.7.5 p o q M = {X E 2 ; X, p = X, q }, tj. M = o, kde o p q o, p = o, q 7. Množinou všech odů roviny, které mjí od dvou dných různoěžek p, q stejnou vzdálenost, je sjednocení os všech úhlů určených těmito různoěžkmi. o 2 Or. 3.7.6 p q o 1 M = {X E 2 ; X, p = X, q }, tj. M = o 1 o 2, kde o 1 o 2 je sjednocení os všech čtyř konvexních úhlů určených různoěžkmi p, q 8. Množinou vrcholů všech prvých úhlů v rovině, jejichž rmen procházejí dvěm různými ody,, je tzv. Thletov kružnice s průměrem, tj. kružnice s průměrem s výjimkou odů. popř. Množinou všech odů v rovině, ze kterých je úsečku vidět pod prvým úhlem, je tzv. Thletov kružnice s průměrem, tj. kružnice s průměrem s výjimkou odů. M = {X E 2 ; X = 90 o }, tj. M = )\{, }, kde je střed úsečky k(, 2 Or. 3.7.7 9. Jsou dány dv různé ody, konvexní úhel o velikosti ϕ, který není nulový, přímý, ni plný. Množinou vrcholů X všech úhlů v rovině, jejichž rmen procházejí ody, pro jejichž velikost pltí X = ϕ, je sjednocení dvou shodných olouků k 1, k2 s krjními ody, s výjimkou odů,. popř. Množinou všech odů v rovině, ze kterých je úsečku vidět pod úhlem o velikosti ϕ (0 < ϕ < π), je... 33
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině ϕ k 1 M = {X E 2 ; X = ϕ}, tj. M = k 1 k 2 \ {, } ϕ k 2 Or. 3.7.8 Při důkzu tvrzení Útvr U je množinou M všech odů dné vlstnosti V je tře ověřit rovnost dvou množin U = M. Musíme tedy dokázt: ) U M, tzn. ( X E 2 )(X U X M) kždý od ptřící útvru U má vlstnost V ) M U, tzn. ( X E 2 )(X M X U) kždý od s vlstností V ptří útvru U Implikci ) čsto nhrzujeme oměněnou implikcí ) ( X E 2 )(X U X M) žádný od neptřící útvru U nemá vlstnost V Ukžme si provedení důkzu pro přípd, kdy útvr U je os úsečky M je množin všech odů v rovině, které mjí od odů, stejnou vzdálenost: }{{} vlstnost V ) Dokzujeme: kždý od ptřící útvru U má vlstnost V třed, který náleží ose o, má smozřejmě vlstnost V. (or. 3.7.9) Liovolný od X o, X, spolu s ody,, určuje trojúhelníky X X, které jsou shodné podle věty sus ( =, X = R X = R, X je společná strn), proto X = X, tj. X = X. X X Y o o Or. 3.7.9 Or. 3.7.10 34
3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi ) Dokzujeme: žádný od neptřící útvru U nemá vlstnost V N přímce leží jediný od mjící od odů, stejnou vzdálenost tím je střed, který všk náleží ose. (or. 3.7.10) Zvolme mimo přímku od Y, který nenáleží ose úsečky. ez újmy n oecnosti předpokládejme, že mezi ody, Y leží od X o, tj. Y = X + XY. Pro od X nvíc podle části ) pltí X = X. Závěrem plikujeme trojúhelníkovou nerovnost n trojúhelník Y X, tj. X + XY > Y, }{{} = X } {{ } = Y proto Y Y. Q.E.D. Množinmi odů dné vlstnosti mohou ýt přímky, kružnice, podmnožiny přímek kružnic, může se dokonce jednt i množinu izolovných odů, resp. i o množinu prázdnou. Množin všech odů dné vlstnosti lze užít přímo i k definování npříkld kružnice k(, r) je množinou všech odů v rovině, které mjí od pevného odu dnou vzdálenost r > 0. V geometrických úlohách se množiny všech odů dné vlstnosti ojevují velmi čsto. Jedná se především o úlohy typu: ) Určete množinu všech odů dné vlstnosti. ) estrojte množinu všech odů dné vlstnosti. V kpitole 5 se zmíníme o konstrukčních úlohách řešených metodou množin odů dné vlstnosti. Jk uvidíme, při řešení touto metodou hledáme dvě množiny, z nichž kždá je množinou všech odů jisté vlstnosti poždovné v zdání úlohy. Kždý společný od oou množin pk vede k řešení úlohy. Čsto je npř. poždován konstrukce kružnice splňující dné podmínky. Z tohoto důvodu je vhodné zmínit se o některých množinách středů všech kružnic splňujících určitou vlstnost (s řdou těchto množin jsme se již setkli). Množinou středů všech kružnic, které procházejí dvěm různými ody, je os o úsečky. Množinou středů všech kružnic, které se dotýkjí dvou rovnoěžných přímek,, je os pásu určeného těmito rovnoěžkmi; poloměr ϱ všech tkovýchto kružnic je, /2. Množinou středů všech kružnic, které se dotýkjí dvou různoěžných přímek,, jsou oě osy o 1, o 2 různoěžek, (sjednocení os všech úhlů určených těmito rovnoěžkmi) s výjimkou jejich průsečíku. Množinou středů všech kružnic, které mjí dný poloměr ϱ > 0 dotýkjí se dné přímky p, jsou dvě přímky q 1, q 2 rovnoěžné s p, které mjí od p vzdálenost ϱ. 35
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině Množinou středů všech kružnic, které mjí dný poloměr ϱ > 0 dotýkjí se dné kružnice k(, r), jsou z předpokldu ϱ r dvě kružnice k (, r + ϱ) (vnější dotyk), k (, r ϱ ) (vnitřní dotyk) z předpokldu ϱ = r jediná kružnice k. Množinou středů všech kružnic, které se dotýkjí dné přímky v odě, je přímk p kolmá k přímce, která prochází odem, s výjimkou odu. Množinou středů všech kružnic, které se dotýkjí dné kružnice k(, r) v odě T, je přímk p = T, s výjimkou odů T. Množinou středů všech kružnic, které se dotýkjí dvou soustředných kružnic k 1 (, r 1 ), k 2 (, r 2 ) (předpokládejme r 1 < r 2 ), jsou dvě kružnice l(, r1+r2 2 ) (vnější dotyk s k 1 vnitřní dotyk s k 2 ; poloměr ϱ všech dotýkjících se kružnic je potom r2 r1 2 ) (or. 3.7.11) l (, r2 r1 2 ) (vnitřní dotyk s k 1 i k 2 ; poloměr ϱ všech dotýkjících se kružnic je v tomto přípdě r1+r2 2 ) (or. 3.7.12). k 2 k 2 k 1 r 1 r 2 ρ ρ r 2 ρ l k 1 r 1 ρ l Or. 3.7.11 Or. 3.7.12 Příkld 3.7.1. estrojte kružnici, která se dotýká dných dvou soustředných kružnic k 1 (, r 1 ), k 2 (, r 2 ) (r 1 < r 2 ) třetí kružnice k 3 ( 3, r 3 ). Množin středů všech kružnic, které se dotýkjí soustředných kružnic k 1 (, r 1 ) k 2 (, r 2 ) je dvojice kružnic l(, r1+r2 2 ) l (, r2 r1 2 ). Zároveň víme, že kružnice, jejichž středy leží n l, mjí poloměr ϱ = r2 r1 2 kružnice, jejichž středy leží n l, mjí poloměr ϱ = r1+r2 2. Množinou středů všech kružnic, které se dotýkjí kružnice k 3 ( 3, r 3 ) mjí dný poloměr ϱ (resp. ϱ ) jsou z předpokldu ϱ r 3 (resp. ϱ r 3 ) dvě kružnice m 1 ( 3, r 3 +ϱ), m 2 ( 3, r 3 ϱ ) (resp. dvě kružnice m 1( 3, r 3 + ϱ ), m 2( 3, r 3 ϱ )) z předpokldu ϱ = r 3 (resp. ϱ = r 3 ) jediná kružnice m 1 (resp. m 1). Kždá z kružnic m 1, m 2 (existuje-li) protne kružnici l nejvýše ve dvou odech rovněž kždá z kružnic m 1, m 2 (existuje-li) protne kružnici l ve dvou odech. Úloh může mít tudíž ž osm řešení. 36
3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi 3.8 Mocnost odu ke kružnici. hordál. Potenční střed Mocnost odu ke kružnici Vět 3.8.1: Nechť je dán kružnice k(, r) od M, který n ní neleží. Nechť p p jsou dvě liovolné sečny kružnice k, které procházejí odem M protínjí kružnici v odech,,. Potom pltí kde k je konstntní číslo (k > 0). M M = M M = k, p k M p k M p p Or. 3.8.1 Or. 3.8.2 Důkz: (i) Uvžujme nejprve vnější od M kružnice k(, r) (or. 3.8.1). Trojúhelníky M M jsou podoné podle věty uu ( M = M ; M = M, neoť se jedná o ovodové úhly nd týmž oloukem s krjními ody ), proto můžeme psát Odtud již plyne dokzovný závěr. M M = M M. (ii) Nechť je nyní M vnitřní od kružnice k(, r) (or. 3.8.2). Trojúhelníky M M jsou rovněž podoné podle věty uu ( M = M, neoť se jedná o úhly vrcholové; M = M, neoť se jedná o ovodové úhly nd týmž oloukem s krjními ody ), proto můžeme psát M M = M M. Odtud již opět vyplývá dokzovný závěr. Q.E.D. 37
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině Vět 3.8.2: Nechť je dán kružnice k(, r) její vnější od M. Nechť p je liovolná sečn kružnice k, která prochází odem M protíná kružnici v odech,, t je tečn, která se dotýká kružnice k v odě T. Potom pltí kde k je konstntní číslo (k > 0). M M = MT 2 = k, Důkz: (or. 3.8.3) Trojúhelníky MT MT jsou podoné podle věty uu ( MT = MT ; MT = MT, neoť se jedná o ovodový úsekový úhel příslušné k témuž olouku s krjními ody T ), proto můžeme psát M MT = MT M. Odtud již plyne dokzovný závěr. Q.E.D. t p k T r d M p k M d r+d r-d Or. 3.8.3 Or. 3.8.4 Vět 3.8.3: Jestliže oznčíme M = d, potom pro vnější od M kružnice k(, r) pltí M M = M M =... = MT 2 = d 2 r 2 pro vnitřní od M kružnice k(, r) pltí M M = M M =... = r 2 d 2. Důkz: Je-li od M vnější (or. 3.8.3), potom pltí M M = M M =... = MT 2. Vzhledem k tomu, že MT je prvoúhlý s prvým úhlem při vrcholu T, potom podle Pythgorovy věty můžeme psát MT 2 = M 2 T 2 = d 2 r 2. Je-li od M vnitřní (or. 3.8.4), potom vedeme sečnu p středem. Potom M = r + d, M = r d odtud M M = M M =... = (r + d) (r d) = r 2 d 2. Q.E.D. 38
3. Elementární geometrické ojekty v rovině vzthy mezi nimi DEFINIE 3.8.1: Nechť je dán od M kružnice k(, r). Oznčme vzdálenost M = d. Mocností odu M ke kružnici k(, r) (znčíme µ M k ) rozumíme číslo µ M k = d 2 r 2. Důsledek 3.8.1. M je vnější od kružnice k (tj. d > r), potom µ M k = d 2 r 2 > 0. M je vnitřní od kružnice k (tj. d < r), potom µ M k = d2 r 2 < 0. M je od n kružnici k (tj. d = r), potom µ M k = d2 r 2 = 0. hordál dvou nesoustředných kružnic Příkld 3.8.1. Určete množinu všech odů v rovině, které mjí stejnou mocnost ke dvěm zdným nesoustředným kružnicím k 1, k 2. Jsou dány kružnice k 1 ( 1, r 1 ) k 2 ( 2, r 2 ) ( 1 2 ). hceme určit množinu M = {X E 2 ; µ X k 1 = µ X k 2 }. y Xx [ 0, y 0 ] k 1 k 2 1 2 x Or. 3.8.5 Pro určení uvedené množiny použijeme nlytickou metodu souřdnic. Z kldnou poloosu x + zvolíme polopřímku 1 2. Potom je 1 [0, 0], 2 [s, 0] (s 0) liovolný od X množiny M nechť má souřdnice [x 0, y 0 ]. Pro tento od pltí µ X k 1 = µ X k 2, tj. podle definice mocnosti (d 2 r 2 ) X 1 2 r 2 1 = X 2 2 r 2 2. Použitím vzorce pro eukleidovskou vzdálenost můžeme psát x 2 0 + y 2 0 r 2 1 = (x 0 s) 2 + y 2 0 r 2 2 39
GEOMETRIE I. Zákldy geometrie v rovině po úprvě dostáváme x 0 = s2 + r1 2 r2 2. 2s od X[x 0, y 0 ] tudíž leží n přímce rovnoěžné s osou y o rovnici x = s2 +r 2 1 r2 2 2s. Pouhým orácením postupu ychom sndno ověřili (Proveďte!), že pro kždý od X přímky o rovnici x = s2 +r 2 1 r2 2 2s pltí µ X k 1 = µ X k 2. Závěr: Množinou všech odů v rovině, které mjí stejnou mocnost ke kružnicím k 1 ( 1, r 1 ) k 2 ( 2, r 2 ) ( 1 2 = s 0) je přímk c kolmá n přímku 1 2, jejíž ptou je od P 1 2, pro který pltí 1 P = s2 +r 2 1 r2 2 2s. DEFINIE 3.8.2: Přímk c, která je množinou všech odů v rovině mjících stejnou mocnost k nesoustředným kružnicím k 1 k 2, se nzývá chordál kružnic k 1, k 2. Příkld 3.8.2. estrojte chordálu dvou nesoustředných kružnic k 1, k 2. ) k 1, k 2 se protínjí v odech,. Pltí k 1 µ k 1 = 0 k 2 µ k 2 = 0. od je jedním odem chordály. Ze stejného důvodu i c, tj. c = (or. 3.8.6). ) k 1, k 2 se dotýkjí v odě T. Pltí T k 1 µ T k 1 = 0 T k 2 µ T k 2 = 0. od T je jedním odem chordály. Dále víme: c 1 2 (or. 3.8.7). c) k 1 k 2 = viz dále (potenční střed) c c k 1 k 2 k 1 k 2 1 2 1 T 2 Or. 3.8.6 Or. 3.8.7 Potenční střed tří (po dvou nesoustředných) kružnic Příkld 3.8.3. Jsou dány kružnice k 1 ( 1, r 1 ), k 2 ( 2, r 2 ), k 3 ( 3, r 3 ) ( 1 2 3 1 ). Vyšetřete, zdli existuje od, který y měl stejnou mocnost ke všem kružnicím. 40