Matematická analýza III. Jan Malý

Matematická analýza III Jan Malý

Obsah Kapitola 1. Eukleidovský prostor 5 1. Eukleidovský prostor 5 2. Obecn j²í pohled na prostor 7 3. Spojitost a limita 8 Kapitola 2. Diferenciální po et funkcí více prom nných 11 1. Derivace 11 2. Derivace vy²²ích ád 12 3. Inverzní zobrazení a implicitní funkce 13 4. Implicitní plochy 14 Kapitola 3. Extrémy funkcí více prom nných 15 1. Lokální extrémy 15 2. Globální extrémy 16 3. Vázané extrémy 17 Kapitola 4. Pokro ilý integrální po et 19 1. Riemann v integrál 19 2. Lebesgue v integrál 2 3. Po ítání jednorozm rných integrál 22 4. Funkce Gamma a Beta 26 Kapitola 5. Vícerozm rné integrály 27 1. Vícerozm rné integrály 27 Kapitola 6. Konvergence posloupností a ad funkcí 31 1. Stejnom rná konvergence 31 2. Derivace a integrace ad funkcí 32 3. Mocninné ady 34 3

KAPITOLA 1 Eukleidovský prostor 1. Eukleidovský prostor K vy²et ování funkcí více prom nných nás motivuje p edev²ím pot eba zkoumat funkce závislé na více veli inách (nap. na ase a teplot ). pot eba zkoumat funkce závislé na více m eních jedné veli iny (takové úlohy mohou vést k práci na prostorech velké dimenze). pot eba zkoumat funkce závislé na prostorové prom nné. Prostorová prom nná je formáln po ád jedna prom nná, ale pokud chceme popsat závislost na poloze bodu v prostoru vzorcem, nejefektivn j²í moºnost je vyuºít vyjád ení bodu v n jaké sou adnicové soustav. Popis závislosti je pak funkce závislá na sou adnicích bodu, kterých je jiº více. Sou adnice m ºeme voli nekone n mnoha zp soby. Ov²em, pokud zadání úlohy, kterou e²íme, nezávisí na volb sou adnic, výsledek by na ní také nem l záviset. Pokud má tedy obecný bod x sou adnice [x 1, x 2, x 3 ], m ºeme uvaºovat nap. funkci f(x) = x 1 sin(x 2 x 3 ). Na takovou funkci pohlíºíme jako na funkci jedné vektorové prom nné f(x) i t í reálných prom nných f(x 1, x 2, x 3 ), podle toho, který p ístup nám momentáln lépe vyhovuje. Prostor R n, denovaný jako lineární prostor, který vznikne kartézským sou inem reálných os, se nazývá eukleidovský prostor. Prvky eukleidovského prostoru se nazývají body nebo vektory. Skalár bude pro nás reálné íslo. Pokud pot ebujeme zd raznit vektorový charakter objektu, zna íme jej jiným fontem, nap. u v ti²t ném textu nebo nebo u v ru n psaném textu. Hranice mezi pouºitím pojm bod a vektor není p esná a ur uje se spí²e citem. Termín vektor up ednost ujeme, pokud zacházíme s prvky R n jako s prvky vektorového lineárního prostoru. Intuitivn, bod je veli ina, která má polohu, zatímco vektor má sm r a velikost (nebo délku? Stejn této veli in budeme íkat norma). Typická vektorová veli ina je rychlost, uv domte si, ºe nulová rychlost i s ítání (skládání) rychlostí má dobrý názorný smysl, ale nulový bod a s ítání bod p sobí um le. Je²t se k tématu vrátíme v druhé kapitole. Na vektory lze pohlíºet i jako na matice o jednom ádku nebo jednom sloupci. Za primární budeme povaºovat sloupcový zápis, který vede k svislým vektor m. Abychom odli²ili na²e vektory od vodorovných vektor a neztratili typograckou výhodu psaní do ádku, domluvíme se, ºe vektor, jehoº so adnice jsou napsány vodorovn v hranatých závorkách, je ve skute nosti svislý, tedy maticí bychom ho násobili zleva. P ipome me, ºe v R n, jokoº v kaºdém lineárním prostoru, m ºeme vektory s ítat a násobit skalárem. Od nepam ti matematiky vzru²ovala otázka násobení vektor mezi sebou. V dvourozm rném prostoru na²li operaci sou inu, p i níº sou inem dvou dvourozm rných vektor je op t dvourozm rný vektor a R 2 s touto operací spl uje axiomy komutativního t lesa. Tyto vlastnosti totiº spl uje algebraická struktura komplexních ísle. Ve vy²²í dimenzi nic tak dokonalého neexistuje. Vektory m ºeme násobit po sloºkách, to ale není p íli² zajímavé a pro vektory jako prvky prostoru to nemá fyzikální význam. Uºite n j²í jsou vektorový sou in v dimenzi 3 kvaterniony v dimenzi 4, maticové sou iny v dimenzi n 2, kuriozitou je Caleyova algebra v dimenzi 8. Kaºdý z t chto sou in postrádá aspo n kterou z vlastností komutativního t lesa. Pak se jest pouºívají sou iny, jejichº výstup má vy²²í dimenzi neº vstupy (tenzorové, vn j²í). Sou in, který brzy zavedeme, má naprosto fundamentální význam. Jeho výstup má dimenzi niº²í neº vstupy, totiº je to skalární sou in, neboli výstup má dimenzi jedna. 1.1. Definice (Skalární sou in). Standardní skalární sou in n-rozm rných vektor x = [x 1,..., x n ] a y = [y 1,..., y n ] R n denujeme jako íslo x y = n x i y i. i=1 5

ekn me, ºe vektory x a y jsou navzájem kolmé, jestliºe x y =. 1.2. Definice (Vzdálenost, norma). Standardní eukleidovská vzdálenost bod x = [x 1,..., x n ] a y = [y 1,..., y n ] R n je dána vzorcem ρ(x, y) = (y 1 x 1 ) 2 + + (y n x n ) 2. Normu bodu x = [x,..., x n ] R n denujeme p edpisem x = x 2 1 + + x2 n. (Norma bodu je vlastn jeho vzdálenost od po átku.) Pak zápis vzdálenosti bod x a y m ºeme zjednodu²it na ρ(x, y) = y x. V dimenzi jedna se norma redukuje na oby ejnou absolutní hodnotu. 1.3. Poznámka. Vzorec pro vzdálenost bod se nedá odvodit, není z eho! D leºité je, ºe kdyº m íme vzdálenost podle tohoto vzorce, dostáváme výsledky v souladu s na²imi zku²enostmi z reálného sv ta. 1.4. V ta (Vlastnosti skalárního sou inu). Pro v²echna x, y, z R n, λ R platí (1) x y = y x, (2) (λx) y = λ(x y), (3) (x + y) z = x z + y z, (4) x = x x >. 1.5. V ta (Vztah normy a skalárního sou inu). (1) x = x x, (2) x y = 1 2( x + y 2 x 2 y 2) = 1 4( x + y 2 x y 2), (3) 2 x y x 2 + y 2, (4) x y x y (Cauchy-Bu akovského nerovnost). D kaz. Z (3) dostaneme (4) trikem: 2 x x y y x x 2 + y 2 = 2. y 1.6. V ta (Vlastnosti normy). Pro v²echna x, y R n, λ R platí (1) x = x =, (2) λx = λ x, (3) x + y x + y. 1.7. V ta (Vlastnosti vzdálenosti). Pro v²echna x, y, z R n platí (1) ρ(x, y) = x = y, (2) ρ(x, y) = ρ(y, x), (3) ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z, y) (trojúhelníková nerovnost). 1.8. Definice (Úhel). Úhel mezi vektory x = [x 1,..., x n ] a y = [y 1,..., y n ] R n denujeme jako íslo α [, π] které vyhovuje rovnici x y = x y cos α. 1.9. Poznámka. Op t, jako v p ípad vzdálenosti, vzorec pro úhel mezi vektory je denice a nemá smysl se ho pokou²et odvodit. V²imn te si, ºe vektory svírají pravý úhel α = π/2 podle denice 1.8, práv kdyº jsou navzájem kolmé podle denice 1.1! 6

2. Obecn j²í pohled na prostor Prostor z reálného sv ta vnímáme po jisté abstrakci jako mnoºinu, v níº rozeznáváme body p ímky, roviny, dovedeme m it úhly a pom ovat vzdálenosti. Zna ný význam má grupa shodných zobrazení: pevné p edm ty se p emís ují pomocí shodných zobrazení a práv p emíst ní m ítka nám umoº uje pom ovat vzdálenosti. Zvolíme-li jednotku délky, m ºeme vzdálenosti nejen pom ovat (srovnávat), ale i m it. Zavedení sou adnic vná²í do geometrického prostoru dodate nou strukturu. Pokud bychom se tomu cht li vyhnout, m ºeme volit alternativní cestu axiomatického budování prostoru. P i ní vycházíme z abstraktní mnoºiny, na níº uvaºujeme strukturu, která je svázaná axiomy. Eukleides (365-3 p ed n. l.) vycházel ve své axiomatice z pojm jako bod, p ímka, rovnob ºnost apod. (Paradoxn zde uvádíme Eukleid v p ístup jako protiváhu k práci s eukleidovským prostorem bod, které mají sou adnice. Zavedení sou adnic se p ipisuje Descartovi (1596-165); na toho pamatujeme termíny kartézské sou adnice a kartézský sou in.) Efektivn j²í cestou k axiomatickému budování prostoru je vycházet z algebraických operací. Axiomatický p ístup je snaº²í u prostoru vektor, neº u prostoru bod. Lineární prostor uº jsme m li v lineární algeb e. V holém lineárním prostoru neumíme m it úhly (ani pravý). Abychom dali smysl úhl m, m ºeme strukturu obohatit o skalární sou in, tak vznikne unitární prostor. Axiomatická stavba prostoru bod je t º²í a zmíníme se o ní jen informativn. Tzv. anní prostor je zaloºený na operaci anní kombinace. Bod m x 1,..., x m a ísl m λ 1,..., λ m p i adí tato operace bod i=1 λ ix i, jestliºe je spln na podmínka λ i = 1. Nap íklad 1 2 x + 1 2y je bod, který leºí p esn v p lce mezi x a y. Mnoºina v²ech anních kombinací dvou r zných bod je p ímka. Podobn ze t í bod m ºeme dostat rovinu apod. Anní prostor nezveme geometrickým, pokud trojici bod umíme p i adit úhel. Axiomy anního prostoru a geometrického prostoru se zde nebudeme zabývat. Ostatn, z kaºdého anního prostoru lze vyrobit lineární prostor volbou po átku. V matematice se vyplácí studovat struktury na r zných stupních obecnosti. Obecn j²í struktury asto zahrnují víc model, na n º se dá aplikovat teorie. Nap íklad poznatky získané pro obecný pojem t leso se dají aplikovat jak na reálná, tak na komplexní ísla. Mén obecné, konkrétn j²í struktury jsou zase bohat²í. Na holém lineárním prostoru nemáme k dispozici ani skalární sou in, ani relaci kolmosti vektor. M ºeme si doplnit skalární sou in, který nám vytvo í normu. V n kterých úlohách (zvlá²t v nekone n rozm rném p ípad ) je v²ak t eba zavést normu jinak neº skalárním sou inem. Jindy pot ebujeme uvaºovat vzdálenost bod, která není odvozená od normy. K abstraktním prostor m pot ebujeme modely, nap. proto, abychom vid li, ºe námi denované struktury existují (mohlo by se nám teoreticky stát, ºe se pustíme do studia soustavy axiom, která v sob obsahuje spor). Jeden typ abstraktního prostoru m ºe mít víc r zných model. (Nap. R 2 a R 3. jsou r zné modely lineárního prostoru.) Struktury, které zde budeme uvaºovat, se dají v t²inou modelovat na R n. 2.1. Definice (Unitární prostor). Lineární prostor X se nazývá unitární prostor, jestliºe je vybaven operací skalární sou in, která kaºdé uspo ádané dvojici (x, y) X X p i adí íslo x y R a spl uje axiomy (pro v²echna x, y, z X, λ R) (1) x y = y x, (2) (λx) y = λ(x y), (3) (x + y) z = x z + y z, (4) x = x x >. Jestliºe X je unitární prostor, normu na X denujeme p edpisem (1) x := x x Nech X je unitární prostor. Zobrazení A : X X se nazývá unitární, jestliºe A je lineární izomorsmus a zachovává skalární sou in, tedy platí vzorec (Ax) (Ay) = x y, x, y X. Unitární zobrazení v R 2 jsou nap íklad oto ení kolem po átku nebo osová symetrie (kdyº osa soum rnosti prochází po átkem). 2.2. Definice (Normovaný lineární prostor). Lineární prostor X se nazývá normovaný lineární prostor, zkracujeme NLP, jestliºe je vybaven unární operací norma, která kaºdému vektoru x X p i adí nezáporné íslo x R a spl uje axiomy (pro v²echna x, y X, λ R) 7

(1) x = x =, (2) λx = λ x, (3) x + y x + y. Vzálenost bod x a y na NLP denujeme p edpisem (2) ρ(x, y) := y x. Kaºdý unitární prostor je vybaven normou. (Ov te, ºe norma na unitárním prostoru spl uje axiomy normy!) Tudíº na unitárním prostoru je dána vzdálenost. 2.3. Poznámka. Vzniká otázka, zda na kaºdém NLP lze zavést skalární sou in tak, aby se stal unitárním prostorem a platil vzorec (1). Návod, jak po ítat skalární sou in z normy nám dává vzorec 1.5 (2). Pomocí tohoto vzorce m ºeme na kaºdém NLP zavést pokus o skalární sou in. (Vzorec má dv pravé strany, pokud se nerovnají, je to pro nás varování.) Problém je, ºe tato operace nemusí obecn spl ovat axiomy skalárního sou inu. O tom, zda tvorba skalárního sou inu z normy vzorcem 1.5 (2) povede k úsp chu rozhoduje test rovnob ºníkovým pravidlem x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ). Pokud lineární prostor, by normovaný, není vybaven skalárním sou inem, nemá smysl mluvit o kolmosti i úhlech! 2.4. Definice (Metrický prostor). Abstraktní mnoºina X se nazývá metrický prostor, zkracujeme MP, jestliºe je vybavena operací vzdálenost (neboli metrika), která kaºdé uspo ádané dvojici bod (x, y) X X p i adí nezáporné íslo ρ(x, y) R a spl uje axiomy (pro v²echna x, y, z X) (1) ρ(x, y) = x = y, (2) ρ(x, y) = ρ(y, x), (3) ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z, y) (trojúhelníková nerovnost). Otev enou kouli v metrickém prostoru se st edem a X a polom rem r > denujeme jako mnoºinu B(a, r) := {x X : ρ(x, a) < r}. Speciáln v NLP máme B(a, r) = {x X : x a < r}. Nech a X a U X. ekneme, ºe U je okolí bodu a, jestliºe existuje r > tak, ºe B(a, r) U. ekneme, ºe U je redukované okolí bodu a, jestliºe existuje r > tak, ºe B(a, r) \ {a} U. (Význam pojmu okolí v literatu e není jednotný, n kte í auto i nap. pouºívají slovo okolí ve smyslu koule.) 2.5. Poznámka. Holý metrický prostor nemá lineární strukturu, ba ani po átek. I kdybychom po átek nebo dokonce lineární struktoru doplnili, není zaru eno, ºe vzdálenost od po átku bude spl ovat axiomy normy. 2.6. Definice (Podprostory). Nech X je lineární prostor. Mnoºina Y X se nazývá anní podprostor, jestliºe kaºdá anní kombinace prvk Y je prvkem Y (a pohlíºíme pak na Y jako na anní prostor s p edpisem anní kombinace p evzatým z p vodního prostoru). Nech X je metrický prostor. Mnoºina Y X se nazývá metrický podprostor, pokud na ni pohlíºíme jako na metrický prostor s p edpisem metriky p evzatým z p vodního prostoru, tj. vzdálenost prvk x, y Y v Y je stejná jako jejich vzdálenost v X. 2.7. Poznámka. Rozmanitost podprostor je jedním z motiv p echodu k chud²ím strukturám. P ímka procházející po átkem v R 2 je lineární podprostor. P ímka, která neprochází po átkem, jiº není lineární podprostor. Se teme-li dva body na této p ímce, dostaneme bod leºící mimo ni. Tato p ímka je ale stále anní podprostor. Obecn, mnoºina v²ech anních kombinací d + 1 bod je anní podprostor dimenze nejvý²e d. Kruºnice není anní podprostor R 2, je to ale metrický podprostor. 3. Spojitost a limita S eukleidovským prostorem jsme jiº pracovali v lineární algeb e. Jaký je rozdíl mezi algebrou a analýzou? V algeb e se studují operace: unární, binární, ternární atd. Po et operand je kone ný. V analýze navíc uznáváme nekone nární operace, k ur ení výstupu je t eba znát nekone ný po et vstup. P íklad: Algebra: kone ná suma. Analýza: nekone ná suma. Algebraickou analogií základnímu pojmu analýzy limita posloupnosti je triviální algebraická operace poslední prvek seznamu. 8

3.1. Definice (Limita posloupnosti). ekneme, ºe posloupnost {x (k) } k=1 prvk Rd má limitu a R d, pí²eme lim k x(k) = a nebo x (k) a, jestliºe [ ] ε > m N k N k m = x (k) a < ε. Posloupnost, která má limitu, se nazývá konvergentní. Limitu m ºeme denovat i pro posloupnosti prvk NLP nebo dokonce MP. V metrických prostorech nemá smysl výraz typu x a a nahrazujeme ho tedy výrazem ρ(x, a). 3.2. Pozorování. (a) Posloupnost nemusí mít nutn limitu. Pokud ji ale má, je ur ena jednozna n. (b) Má-li posloupnost limitu a, má i kaºdá její podposloupnost limitu a. (c) Limita sou tu je sou et limit. Jestliºe x (k) x a λ k jsou reálná ísla, λ k λ, pak λ k x (k) λx. Jestliºe x (k) x a y (k) y, potom x (k) y (k) x y. (d) lim k x (k) = x, práv kdyº pro v²echna i = 1,..., d platí lim k x (k) i = x i, tj. posloupnost má limitu po sou adnicích. V dal²ím se budeme zabývat chováním zobrazení (funkcí) více prom nných. Nech n, d N a R n. Zobrazení f : R d se také nazývá vektorová funkce nebo vektorové pole. Pro d = 1 íkáme ast ji funkce, m ºeme pouºívat i skalární funkce i skalární pole. 3.3. Definice (Limita funkce). Nech R n a a R n. Nech f : R d je zobrazení a M. ekneme, ºe zobrazení f má v bod a limitu L R d vzhledem k mnoºin M, pí²eme jestliºe je spln no: ε > δ > x M lim f(x) = L, x a x M [ ] < x a < δ = f(x) L < ε. Obecn ji, podmínku M lze oslabit na existuje redukované okolí U bodu a tak, ºe M U, pak v denici je t eba psát x M. Vsuvku vzhledem k mnoºin M vynecháváme, jestliºe je aspo redukované okolí bodu a a M =. Pak také zna íme jednodu²e lim x a f(x). Pojem limity lze zobecnit na zobrazení mezi metrickými prostory (X, ρ X ) a (Y, ρ Y ), výrazy x a, f(x) L v tom p ípad nahrazujeme ρ X (x, a), ρ Y (f(x), L). 3.4. Pozorování. (a) Zobrazení nemusí mít nutn limitu. Pokud ji ale má, je ur ena jednozna n... za p edpokladu, ºe M protíná kaºdé redukované okolí a. (b) Má-li zobrazení limitu L vzhledem k M, má ji i vzhledem ke kaºdé M M. (c) Limita sou tu je sou et limit. Limita sou inu je sou in limit (pro d = 1 nebo skalární sou in). (d) lim x a f(x) = L, práv kdyº pro v²echna i = 1,..., d platí lim k f i (x) = L i, tj. zobrazení má limitu po sou adnicích. (e) Jestliºe g : R má limitu v bod a vzhledem k M a f : R d, f g na pr niku M s redukovaným okolím a, pak f má limitu v bod a vzhledem k M. 3.5. Heineho v ta. Zobrazení f : R d má v a R n limitu L vzhledem k M, práv kdyº pro kaºdou posloupnost {x (k) } k=1 bod mnoºiny M \ {a} platí x (k) a = f(x (k) ) L. 3.6. Poznámka. Heineho v ta je p esným vyjád ením intuitivního popisu limity kdyº x jde k a, tak f(x) jde k L. 3.7. Definice (Spojitost). ekneme, ºe zobrazení f : R d je spojité v bod a vzhledem k M, jestliºe lim f(x) = f(a). x a x M Obecn ji, podmínku M lze oslabit na existuje okolí U bodu a tak, ºe M U. 9

Vsuvku vzhledem k M vynecháváme, je-li okolí a a M =. ekneme, ºe zobrazení f je spojité na, jestliºe f je spojité v kaºdém bod vzhledem k ; v tom p ípad nepoºadujeme, aby bylo okolí svých bod. 3.8. Poznámka. Podle na²í denice je nap. funkce spojitá na uzav eném intervalu a, b, pokud je spojitá v kaºdém vnit ním bod oboustrann, v bod a zprava a v bod b zleva. Uvaºujte Dirichletovu funkci D : R R, která p i adí kaºdému racionálnímu íslu x hodnotu 1 a kaºdému iracionálnímu íslu x hodnotu. Potom D je spojitá na mnoºin Q v²ech racionálních ísel, ale není spojitá v ºádném bod mnoºiny Q. To proto, ºe spojitost na mnoºin se rozumí vzhledem k této mnoºin, ale spojitost v bod se rozumí vzhledem k okolí. 3.9. Pozorování. (a) Sou et nebo sou in spojitých funkcí je spojitá funkce. (b) Zobrazení je spojité, práv kdyº je spojité po sou adnicích. (c) Funkce, která bodu x p i adí jeho i-tou sou adnici x i, je spojitá. (d) Funkce x x je spojitá. (e) Jestliºe f : R d má v a limitu L, E R d obsahuje f() {L} a g je funkce spojitá na E, pak sloºená funkce g f má v a limitu g(l). 3.1. Poznámka. Podle pozorování 3.9(c) platí nap íklad toto: Jestliºe f je nezáporná funkce na a lim f(x) = L, pak lim f(x) = L. x a x a 3.11. Metodika po ítání limit funkcí více prom nných. Po ítáme-li limitu lim f(x), x a kde f je funkce dvou prom nných denovaná na redukovaném okolí a, zkusíme nejprve spo ítat limitu funkce jedné prom nné L = lim f(x 1, a 2 ), x 1 a 1 která je totéº jako lim f(x) pro M = {x : x x a 2 = a 2 }. x M Pokud tato limita neexistuje, nem ºe ani existovat zadaná limita. Pokud limita L existuje, máme dv moºnosti. Chceme-li dokázat, ºe f má v a limitu L = L, snaºíme se odhadnout f L funkcí g, o níº víme, ºe má v a limitu. Nap íklad pro limitu lim f(x), f(x) = x 1x 2 2 x x 2 1 + x2 2 najdeme odhad f(x) x 2 x a pouºijeme znalost, ºe lim x =. x Pokud naopak chceme dokázat, ºe funkce nemá limitu, zkusíme najít mnoºinu M tak, ºe lim f(x) L x a x M (nebo neexistuje). Také se m ºe stát, ºe funkce má limitu nekone no (zkuste denovat!) Pak samoz ejm nemá ºádnou limitu L R. 1

KAPITOLA 2 Diferenciální po et funkcí více prom nných 1. Derivace 1.1. Definice (Lineární zobrazení, lineární forma, duál). Nech X, Y jsou lineární prostory. P ipome me, ºe zobrazení T : X Y se nazývá lineární, jestliºe pro v²echna x, y X, λ R platí (1) T (x + y) = T x + T y, (2) T (λx) = λt x. Pokud cílový prostor je R, lineární zobrazení ϕ : X R se nazývá lineární forma nebo lineární funkcionál (druhému z termín dáváme p ednost v nekone né dimenzi). V kone né dimenzi zna íme L(X, Y ) lineární prostor v²ech lineárních zobrazení X do Y a X je lineární prostor v²ech lineárních forem na X. Prostor X se nazývá duál k X. Pokud prostor X je nekone n rozm rný, vyºadujeme na X a Y strukturu NLP a symbol L(X, Y ) se rezervuje pro prostor v²ech spojitých lineárních zobrazení X do Y. Podobná úmluva platí i pro duál X. Zatím se v²ak budeme v novat jen kone n rozm rným prostor m. 1.2. Zna ení. Vektory kanonické báze prostoru R n budeme zna it e i, i = 1,..., n. Tedy e 1 = [1,,..., ], e 2 = [, 1,,..., ],..., e n = [,...,, 1]. Prostor v²ech matic o d ádcích a n sloupcích budeme zna it R d n. Speciáln pro d = 1 dostáváme (R n ), prostor v²ech vodorovných n-rozm rných vektor. Poznamenejme, ºe prostor (R n ) je skute n duál k R n ve smyslu p edchozí denice. Totiº, jestliºe (a 1,..., a n ) (R n ), potom n x a i x i, x R n i=1 je lineární forma na R n a obrácen, kaºdá lineární forma na R n se dá takovým zp sobem vyjád it. Podobn, je-li A R d n, potom x Ax, x R n je lineární zobrazení R n do R d a obrácen, kaºdé lineární zobrazení R n do R d lze takto reprezentovat n jakou maticí A R d n. Nebude-li hrozit nedorozum ní, nebudeme rozli²ovat mezi lineárním zobrazením a jeho maticí. 1.3. Definice (Derivace). Nech je okolí bodu x a f : R d je zobrazení. (a) Prvek b R d nazveme parciální derivací f v bod x podle i-té prom nné a zna íme D i f(x) nebo f x i (x), jestliºe b je oby ejná derivace v x i zobrazení Tedy s f(x 1,..., x i 1, s, x i+1,..., x n ). f(x + te i ) f(x) D i f(x) = lim. t t (b) Nech v R n je vektor. Prvek b R d nazveme derivací f v bod x ve sm ru v a zna íme D v f(x), jestliºe b je oby ejná derivace v nule zobrazení Tedy t f(x + tv). f(x + tv) f(x) D v f(x) = lim. t t (Parciální derivace podle i-té prom nné je tedy derivace ve sm ru e i.) (c) Prvek A R d n nazveme totálním diferenciálem f v bod x a zna íme f (x), jestliºe f(x + h) f(x) Ah lim =. h h 11

V této denici jde o limitu funkcí více prom nných, protoºe h R n. ekneme, ºe funkce f je diferencovatelná v bod x, jestliºe má v x totální diferenciál. 1.4. Dal²í terminologie a zna ení. Totální diferenciál se také nazývá derivace, silná derivace nebo Fréchetova derivace. P esn ji m ºeme rozli²ovat, ºe derivace je lineární zobrazení a totální diferenciál je matice, která toto zobrazení reprezentuje. Pro d = 1 je totální diferenciál vodorovný vektor, zatímco v t²inou pracujeme s prostorem svislých vektor Vodorovný vektor m ºeme postavit operací transpozice. Transponovaný totální diferenciál funkce f v bod x se nazývá gradient a zna í f(x). 1.5. Pozorování. Nech f je diferencovatelná v bod x. Potom f je diferencovatelná ve v²ech sm rech, totiº pro v R n je f (x)v (maticový sou in) derivace f ve sm ru v. Speciáln, f má v²echny parciální derivace v bod x a D i f(x) je i-tý sloupec matice f (x) (resp. pro d = 1 je to i-tá sou adnice vodorovného vektoru f (x)). Tedy D i f(x) = f (x)e i. 1.6. Pozorování. Pro derivování skalární funkce f : R platí vzorce (1) D i (f + g) = D i f + D i g, (2) D i (λf) = λd i f, (3) D i (fg) = fd i g + gd i f. 1.7. V ta. Nech je okolí bodu a R n. Nech f : R má v bod a totální diferenciál. Pak f je spojitá v a. 1.8. V ta. Nech je okolí bodu a R n. Nech f : R má v bod a spojité parciální derivace. Pak f má v a totální diferenciál. 1.9. P íklady. Funkce f(x) = x1x2 x dodenovaná nulou v po átku má v nule parciální derivace, ale 2 není v nule spojitá a nemá tam totální diferenciál. Funkce { x 2 f(x) = 2, x 1 >,, x 1 má v nule totální diferenciál, ale není spojitá na ºádném okolí nuly a na ºádném okolí nuly nemá parciální derivace. (Tyto výroky je t eba chápat následovn : pro kaºdé okolí nuly U platí, ºe není pravda, ºe by f byla spojitá na U). Funkce f(x) = x je spojitá v nule, ale nemá tam parciální derivace. Funkce f(x) = x1x3 2 dodenovaná nulou v po átku má v nule v²echny derivace ve sm ru nulové, p esto nemá x 2 1 +x6 2 v nule totální diferenciál a není tam spojitá. Funkce f(x) = x1x3 2 dodenovaná nulou v po átku má x 2 1 +x4 2 v nule v²echny derivace ve sm ru nulové a je tam spojitá, p esto nemá v nule totální diferenciál. 1.1. V ta (O derivování sloºené funkce neboli etízkové pravidlo). Nech R n je okolí x R n, f : R d má v x totální diferenciál A, U R d je okolí bodu y = f(x) a g : U R m má v y totální diferenciál B. Potom sloºené zobrazení g f má v x totální diferenciál BA (maticový sou in). Speciáln, pro kaºdé i = 1,..., m, j = 1,..., n platí (g i f) x j (x) = d k=1 g i y k (y) f k x j (x). 2. Derivace vy²²ích ád Derivace vy²²ích ád získáme podobn jako v jednorozm rném p ípad iterováním derivací prvního ádu. Nap. D i D j f(a) denujeme jako D i g, kde funkce g je D j f. Aby D i D j f(a) mohla mít smysl, je nutné, aby D j f(x) m la smysl na okolí bodu a. Zna íme také nap. 2 f x i x j (x) = D i D j f(x). Exponent 2 u horního derivátka zna í, ºe jde o derivaci druhého ádu. Za rozumných p edpoklad m ºeme zam nit po adí derivování. 2.1. V ta (o zám nnosti parciálních derivací). Nech je okolí bodu a R n a f : R má v parciální derivace D i f, D j f, D i D j f. Jestliºe D i D j f je spojitá v a, potom D j D i f(a) existuje a D j D i f(a) = D i D i f(a). 12

2.2. P íklad. Uvaºujme funkci f(x) = x1x3 2 x 2 f (, x 2 ) = x 2, x 1 f (x 1, ) =, x 2 dodenovanou v po átku nulou. Máme 2 f (, ) = 1, x 2 x 1 f 2 (, ) =. x 1 x 2 2.3. Definice. Nech funkce f je denovaná na okolí bodu a a p je polynom. ekneme, ºe p je Taylor v polynom stupn k funkce f v bod a, jestliºe p je polynom stupn k a f(x) p(x) lim x a x a k =. Funkce f m ºe mít v bod a nejvý²e jeden Taylor v polynom stupn k. 2.4. V ta (Taylorova). Nech je okolí bodu a R n a f : R má v a spojité parciální derivace aº do ádu k. Potom n f f(a) + (a)(x i a i ) + + 1 n k f (a)(x i1 a i1 )... (x ik a ik ) x i k! x i1... x ik i=1 je Taylor v polynom f v bod a. i 1,...,i k =1 3. Inverzní zobrazení a implicitní funkce Uvaºujme zobrazení f : R d, kde R n je otev ená mnoºina. Místo f má spojité parciální derivace budeme íkat jak je zvykem f je spojit diferencovatelná. P ipome me, ºe podle v ty 1.8 odtud vyplývá, ºe f má v²ude totální diferenciál a ten také spojit závisí na x, nebo jeho sou adnice jsou ony parciální derivace. 3.1. Definice (Jacobiho matice, jakobián). Uvaºujme zobrazení f : R d, kde R n je otev ená mnoºina. Matice, která reprezentuje derivaci f (x) se nazývá Jacobiho matice. Je to matice f 1 f f x 1 (x),..., 1 x n (x) (x) =... f d f x 1 (x),..., d x n (x) V prvé ásti kapitoly se budeme zabývat p ípadem n = d. Pak je Jacobiho matice tvercová a její determinant se nazývá jakobián. Jakobián funkce f v bod x se zna í Jf(x). Tedy Jf(x) = det f (x). Poznat, zda daná funkce je invertibilní, není lehké. Následující v ta dává v n kterých situacích uspokojivou odpov lokáln. 3.2. V ta (o inverzním zobrazení). Nech R n je otev ená mnoºina a a. Nech f : R n je spojit diferencovatelné zobrazení. Nech Jf(a). Potom existuje otev ené okolí U bodu a a otev ené okolí V bodu f(a) tak, ºe f je bijekce U na V, inverzní zobrazení g = f 1 : V U je spojit diferencovatelné a platí vzorec g (y) = ( f (g(y)) ) 1, y V, neboli g (f(x)) = ( f (x) ) 1, x U; symbol ( f (x) ) 1 znamená inverzní matici k f (x). V dal²í ásti se budeme zabývat funkcemi, které jsou zadané implicitn, tedy není dán funk ní p edpis, ale vztah mezi prom nnými x a y, který by mohl umoº ovat vyjád ení y jako funkce prom nné x. Situaci, kdy je to aspo lokáln moºné, nám m ºe pomoci poznat následující v ta. Je-li Φ zobrazení o dvou (obecn vícerozm rných) prom nných, zna íme Φ(, y) zobrazení o jedné prom nné x, které vznikne zaxováním první prom nné na hodnot y a Φ(x, ) zobrazení o jedné prom nné y, které vznikne zaxováním první prom nné na hodnot x; tedy Φ(, y)(x) = Φ(x, )(y) = Φ(x, y). Derivace Φ(, y), Φ(x, ) jsou pak parciální derivace, ale podle obecn vícerozm rných prom nných, tj. Φ(, y) (x) = Φ (x, y), x Φ(x, 13 ) (y) = Φ (x, y). y

3.3. V ta (o implicitních funkcích). Nech R n R d je otev ená mnoºina a [a, b]. Nech Φ : R d je spojit diferencovatelné zobrazení. Nech Φ(a, b) = a (3) JΦ(a, )(b) Potom existuje otev ené okolí U bodu a, otev ené okolí V bodu b a funkce f : U V tak, ºe platí x U y V : Φ(x, y) = y = f(x). Funkce f je spojit diferencovatelná a platí vzorec ( 1Φ (4) f (x) = Φ(x, ) (y)) (, y)(x). (jde o invertování matice a sou in matic). 3.4. Poznámka. Pokud d = 1, tedy prom nná y je jednorozm rná, pak se klí ový p edpoklad (3) zjednodu²uje na Φ (a, b) y a vzorec (4) na f x i (x) = Φ x i (x, y). (x, y) Φ y 4. Implicitní plochy P ipome me se nejd íve následující fakt: uvaºujme v R d soustavu d n (homogenních) lineárních rovnic. Nech matice soustavy má hodnost d n. Potom mnoºina v²ech e²ení je lineární prostor dimenze n. Nelineární analogie vede k denici zak ivené plochy dimenze n. 4.1. Definice (Implicitní plocha). Nech U R d je otev ená mnoºina, n d a g : U R d n je spojit diferencovatelné zobrazení. Nech Jacobiho matice g má v²ude v U hodnost d n. Potom mnoºina Γ = {x U : g(x) = } se nazývá n-rozm rná implicitní plocha zadaná rovnicí (soustavou rovnic) g(x) = na U. Nech x Γ. Lineární obal vektor g 1 (x),..., g d n (x) se nazývá normálový prostor k Γ v x a zna í N x (Γ), je to lineární prostor dimenze n d. Jeho ortogonální dopln k se nazývá te ný prostor k Γ v x a zna í T x (Γ), je to lineární prostor dimenze n. Tedy T x (Γ) = { u R d : g 1 (x) u =,..., g d n (x) u = } Te ný ani normálový prostor nezávisejí na konkrétní podob soustavy rovnic která ur uje Γ, ale pouze na této mnoºin samotné. 4.2. Definice (Parametrizace, k ivo aré sou adnice). Nech Γ R d je n-rozm rná implicitní plocha. Zobrazení ϕ : G R d se nazývá parametrizace Γ, jestliºe G R n je otev ená mnoºina, ϕ : G : R d je prosté spojit diferencovatelné zobrazení, Jacobiho matice ϕ má v²ude v G hodnost n a ϕ(g) = Γ. Nahradíme-li podmínku ϕ(g) = Γ slab²ím ϕ(g) Γ, mluvíme o lokální parametrizaci. Nech t = [t 1,..., t n ] G. Veli iny t 1,..., t n m ºeme chápat jako k ivo aré sou adnice bodu ϕ(t) Γ. Mluvit o k ivo arých sou adnicích má smysl i v mezním p ípad n = d. Zobrazení, které bodu p i adí jeho k ivo aré sou adnice, je vlastn inverzní zobrazení k ϕ. 4.3. V ta. Nech Γ R d je n-rozm rná implicitní plocha a x Γ. Potom existuje lokální parametrizace ϕ : G R d plochy Γ a t G tak, ºe ϕ(t) = x. Dále platí, ºe prostor T x (Γ) je generovaný bází ( ϕ (t),... ϕ ) (t) t 1 t n a N x (Γ) = { v R d : ϕ (t) v =,..., ϕ } (t) v = t 1 t n 4.4. V ta. Nech G R n je otev ená mnoºina a ϕ : G R d je spojit diferencovatelné zobrazení. Nech a G a Jacobiho matice ϕ (a) má hodnost n. Potom existuje otev ené okolí G G bodu a tak, ºe ϕ(g ) je n-rozm rná implicitní plocha v R d a ϕ : G R d je její parametrizace. 14

KAPITOLA 3 Extrémy funkcí více prom nných 1. Lokální extrémy 1.1. Definice (Extrémy, stacionární bod). Nech R n je okolí bodu a a f : R je funkce. ekneme, ºe f má v a lokální minimum, jestliºe existuje okolí U bodu a tak, ºe f(x) f(a) pro v²echna x U. ekneme, ºe f má v a ostré lokální minimum, jestliºe existuje okolí U bodu a tak, ºe f(x) > f(a) pro v²echna x U r zná od a. Podobn denujeme lokální minimum a ostré lokální minimum, pouze zm níme orientaci nerovnosti. (Ostrý) lokální extrém je (ostré) lokální minimum nebo (ostré) lokální maximum. ekneme, ºe funkce f má v a stacionární bod (také se íká kritický nebo singulární), jestliºe f (a) =. 1.2. V ta (Eulerova nutná podmínka). Nech funkce f má v bod a lokální extrém. Potom (a) v²echny parciální ( i sm rové) derivace, které existují, jsou nulové, (b) pokud je f v a diferencovatelná, pak a je stacionární bod f. 1.3. Definice (Kvadratické formy a jejich klasikace). Bilineární forma na lineárním prostoru X je zobrazení A : X X R, které je lineární v kaºdé prom nné. Kvadratická forma na lineárním prostoru X je zobrazení Φ : X R, které vznikne z n jaké bilineární formy p edpisem Φ(x) = A(x, x). Je-li A R n n matice, pak zobrazení n (x, y) Ax y = a ij x j y i je bilineární forma na R n a obrácen, kaºdou bilineární formu na R n lze reprezentovat tímto zp sobem. Pokud pouºijeme A pouze jako kvadratickou formu, tedy i,j=1 x Ax x, ztráta informace se projeví tím, ºe reprezentující matici m ºeme volit symetrickou. Pokud nebude hrozit nedorozum ní, nebudeme rozli²ovat mezi kvadratickými formami na R n a symetrickými maticemi n n. Kvadratickou formu (symetrickou matici) A R n n nazveme (a) indenitní, jestliºe jako kvadratická forma nabývá kladných i záporných hodnot, (b) pozitivn denitní, jestliºe Ax x > pro kaºdé x R n, x, (c) pozitivn semidenitní, jestliºe Ax x pro kaºdé x R n. Pojmy negativn denitní, negativn semidenitní denujeme analogicky se znaménky <,. 1.4. Poznámka. Nech E je jednotková matice. Ko eny λ i charakteristické rovnice det(a λe) = se nazývají vlastní ísla matice A. Platí: kvadratická forma A je (a) pozitivn semidenitní, práv kdyº v²echna vlastní ísla jsou nezáporná, (b) pozitivn denitní, prav kdyº v²echna vlastní ísla jsou kladná, (c) indenitiní, práv kdyº existuje kladné vlastní íslo a záporné vlastní íslo. V mnohých p ípadech se v²ak dá uhodnout chování kvadratické formy. Nap íklad kvadratická forma, která má na diagonále záporný prvek, nem ºe být pozitivn semidenitní. Kvadratická forma v dimenzi 2 je pozitivn denitní, práv kdyº a 11 > a det A >. 1.5. Definice (Druhý diferenciál). Nech R n je okolí bodu a a funkce f : R je diferencovatelná v. Potom (p ípadný) diferenciál funkce f (p ipome me: f = (f ) T ) v a se nazývá druhý diferenciál funkce f v a a zna í f (a). Druhý diferenciál funkce je výhodné brát jako kvadratickou formu. Jestliºe f má v a spojité parciální derivace druhého ádu, potom má v a gradient [ f b = (a),..., f ] (a), x 1 x n 15

druhý diferenciál a Taylor v polynom druhého ádu A : h n i,j=1 2 f x i x j (a)h i h j p(x) = f(a) + b (x a) + 1 2 A(x a) (x a). Zkoumání extrém funkce f v bod a lze do jisté míry p evést na zkoumání extrém jejího Taylorova polynomu druhého ádu v a. 1.6. V ta (Lagrangeova nutná podmínka). Nech funkce f má v bod a lokální minimum a spojité parciální derivace druhého ádu. Potom f (a) je pozitivn semidenitní. 1.7. V ta (Lagrangeova posta ující podmínka). Nech funkce f má na okolí bodu a spojité parciální derivace druhého ádu a f (a) =. (a) Jestliºe f (a) je pozitivn denitní, pak f má v a ostré lokální minimum. (b) Jestliºe f (x) je pozitivn denitní na redukovaném okolí bodu a, pak f má v a ostré lokální minimum. (c) Jestliºe f (x) je pozitivn semidenitní na redukovaném okolí bodu a, pak má f v a lokální minimum. 2. Globální extrémy 2.1. Definice (Otev ená, uzav ená mnoºina). ekneme, ºe mnoºina G R n je otev ená, jestliºe je okolím kaºdého svého bodu. Dopl ky otev ených mnoºin se nazývají uzav ené mnoºiny. 2.2. V ta. Mnoºina F R n je uzav ená, práv kdyº pro kaºdou konvergentní posloupnost {x (k) } prvk F platí lim k x (k) F. 2.3. P íklady. (a) Mnoºiny, R n jsou otev ené i uzav ené. (b) Mnoºiny (, 1) n, B(, 1) = {x : x < 1} jsou otev ené. (c) Mnoºiny, 1 n, {x : x 1} jsou uzav ené. (d) Mnoºina (, 1 n není ani otev ená, ani uzxav ená. (e) Mnoºina v²ech racionálních ísel v R není ani otev ená, ani uzxav ená. 2.4. V ta. (a) Jestliºe F i R n jsou uzav ené a je jich kone n mnoho, pak i F i je uzav ená. (b) Jestliºe G i R n jsou otev ené a je jich kone n mnoho, pak i G i je otev ená. (c) Jestliºe F i R n jsou uzav ené a je jich by nekone n mnoho, pak i F i je uzav ená. (d) Jestliºe G i R n jsou otev ené a je jich by nekone n mnoho, pak i G i je otev ená. 2.5. V ta. (a) Jestliºe f je spojitá funkce na uzav ené mnoºin F a α R, pak mnoºiny {x F : f(x) α}, {x F : f(x) α} jsou uzav ené. (b) Jestliºe f je spojitá funkce na otev ené mnoºin G a α R, pak mnoºiny jsou otev ené. {x F : f(x) > α}, {x F : f(x) < α} 2.6. Definice (Globální extrémy, omezenost). Nech M je libovolná mnoºina. ekneme, ºe funkce f : M R nabývá minima v bod a M, jestliºe f(x) f(a) na M. Hodnota f(a) (nikoli bod a) se pak nazývá minimum funkce f na M. Bod a se v této situaci nazývá minimizér. Podobn se denují maximum, nabývání maxima a maximizér. Maximum a minimum funkce f na M jsou tzv. globální extrémy, pokud chceme zd raznit, ºe nejsou jen lokální, íkám globální minimum (maximum). ekneme, ºe funkce f : M R je omezená, jestliºe existuje C R tak, ºe f(x) C na M. ekneme, ºe mnoºina A R n je omezená, jestliºe funkce x je omezená na A. 16

2.7. P íklady. (a) Funkce f(x) = x nabývá minima na R n v bod, av²ak nenabývá maxima. Je neomezená. (b) Funkce f(x) = arctg x je omezená na R a nenabývá tam maxima ani minima. (c) R n je neomezená mnoºina, je omezená mnoºina. (d) Mnoºina {x R 2 : x 1 + x 2 < 1} je omezená. (e) Mnoºina {x R 2 : x 1 x 2 < 1} je neomezená. 2.8. V ta. Kaºdá omezená posloupnost v R n má konvergentní podposloupnost. 2.9. V ta. Kaºdá spojitá funkce na uzav ené omezené mnoºin K R n je omezená a nabývá maxima a minima. 2.1. Poznámka. V ta 2.9 bývá asto jedinou rozumnou moºnosti jak ov it, ºe funkce f nabývá globálního minima na M v bod a. Nap. funkce f(x) = x 3 3x má v bod 1 jediné lokální minimum na R, ale to není záruka, ºe jde o globální minimum. Ve skute nosti tato funkce ºádné globální minimum na R nemá. Naopak, uvaºujeme-li stejný funk ní p edpis na mnoºin A = (, ), m ºeme postupovat následujícím zp sobem: 1. f musí nabývat minima na mnoºin M =, 2, protoºe M je uzav ená a omezená. Podez elý bod je a = 1, protoºe je tam f (a) =. V²imn me si, ºe f(a) = 2. 2. Body, 2 nemohou být body minima f na M, protoºe je v nich f. 3. Body x (, 1) (1, 2) nemohou být body minima f na M, protoºe je v nich f. 4. Tedy f nabývá minima na M v bod a = 1. Tedy f(x) f(a) na A M. 5. Je-li x > 1, pak x 2 > 3, tedy f(x) = x(x 2 3) > > f(a). Tedy f(x) f(a) na A \ M. 6. Záv r: f(x) f(a) na A, f nabývá minima na A v a. 3. Vázané extrémy V této kapitole budeme vy²et ovat extrémy funkce více prom nných vzhledem k mnoºin M R n. V situaci, kterou budeme vy²et ovat, bude zadaná soustavou nelineárních algebraických rovnic, p jde tedy o implicitní varietu. 3.1. Definice. Nech, M R n. ekneme, ºe funkce f : R nabývá na M lokálního minima v bod a M, jestliºe existuje okolí U bodu a tak, ºe U M a pro v²echna x U M platí f(x) f(a). Podobn se denuje lokální maximum na mnoºin. Mnoºin M, vzhledem k níº extrémy vy²et ujeme se íká vazba, proto mluvíme o vázaných extrémech. 3.2. V ta (O Lagrangeových multiplikátorech). Nech G R n je otev ená mnoºina a M G je (n k)-rozm rná implicitní varieta. Nech funkce f : G R nabývá lokálního minima na M v bod a a je v bod a diferencovatelná. Potom (5) f(a) N a (M). Jinými slovy lze (5) vyjád it takto: Je-li M zadaná soustavou rovnic g 1 (x) = = g k (x) =, kde g j jsou spojit diferencovatelné a Jacobiho matice g (a) má hodnost k, potom existují λ 1,..., λ k R (tzv. Lagrangeovy multiplikátory) tak, ºe k f(a) = λ j g i (a). j=1 3.3. Poznámka. Prakticky se bod a, v n mº se nabývá lokálního minima nebo maxima na M, hledá jako e²ení soustavy n+k nelineárních algebraických rovnic o n+k neznámých x 1,..., x n, λ 1,..., λ k. První skupinu rovnic tvo í n-tice Druhou skupinu rovnic tvo í k-tice f x i (x) = k j=1 λ j g j x i (x), i = 1,..., n. g 1 (x) =,..., g k (x) =. 3.4. Poznámka. Máme dv metody hledání vázaných extrém : lokální parametrizace a Lagrangeovy multiplikátory. V obou p íkladech nám mohou zbýt body, na které metoda nedosáhne, a tudíº se musí aspo do asn pojmout jako podez elé. Obraz p i lokální parametrizaci nemusí pojmout celou vazební mnoºinu. P i metod multiplikátor zase se mohou objevit nap. body, kde Jacobiho matice g (x) má men²í hodnost neº k. 17

KAPITOLA 4 Pokro ilý integrální po et 1. Riemann v integrál P i studiu integrálního po tu si musíme dob e rozmyslet, kterou denici integrálu se budeme u it. Riemannova denice je pon kud elementárn j²í a krom didaktického má i historický význam. Pokud se v²ak chceme matematikou zabývat váºn ji, m ºeme narazit na to, ºe nám Riemannova denice nebude sta it. Profesionální denice integrálu je Lebesgueova. Pokud se rozhodneme pro Lebesgue v integrál, Riemannovu denici nepot ebujeme. 1.1. Definice (Interval). Mnoºina I R, která zaujímá jeden z tvar (a, b), a, b), (a, b, a, b, kde a b +, se nazývá (jednorozm rný) interval. V prostoru R n denujeme (n-rozm rný) interval jako kartézský sou in jednorozm rných interval. Systém v²ech omezených n-rozm rných interval v R n zna íme I = I n. 1.2. Definice (Elementární délka a objem). Na I 1 denujeme mnoºinovou funkci délka intervalu p edpisem (6) l 1 (I) = b a, I { a, b, a, b), (a, b, (a, b) } Na I n denujeme mnoºinovou funkce elementární objem p edpisem l n (I 1 I n ) = l 1 (I 1 )... l 1 (I n ). 1.3. Definice (D lení). Mnoºina D jednorozm rných interval se nazývá d lení intervalu [a, b], jestliºe existují t,..., t m R tak, ºe a = t < t 1 < < t m = b a D = {[t, t 1 ], [t 1, t 2 ],... [t m 1, t m ]}. Mnoºina D n-rozm rných interval se nazývá d lením intervalu [a 1, b 1 ] [a n, b n ], jestliºe existují jednorozm rná d lení D i interval [a i, b i ], i = 1,..., n, tak, ºe Tedy nap íklad máme-li jednorozm rná d lení D = {I 1 I n : (I 1,..., I n ) D 1 D n }. D 1 = {[s, s 1 ], [s 1, s 2 ],... [s p 1, s p ]}, D 2 = {[t, t 1 ], [t 1, t 2 ],... [t m 1, t m ]} jejich vynásobením dostaneme dvourozm rné d lení [s, s 1 ] [t, t 1 ], [s 1, s 2 ] [t, t 1 ],... [s p 1, s p ] [t, t 1 ], [s, s 1 ] [t 1, t 2 ], [s 1, s 2 ] [t 1, t 2 ],... [s p 1, s p ] [t 1, t 2 ], D =. [s, s 1 ] [t m 1, t m ], [s 1, s 2 ] [t m 1, t m ],... [s p 1, s p ] [t m 1, t m ]. Mnoºinu v²ech d lení intervalu Q budeme zna it (Q), p i emº dimenze bude jasná z kontextu. 1.4. Definice (Dolní a horní sou et, dolní a horní integrál). Nech Q R n je omezený interval a f je funkce na Q. Je-li D (Q), pak p íslu²ný dolní riemannovský sou et k funkci f bude s(f, D) := l(i) inf f(x), x I horní riemannovský sou et k funkci f bude S(f, D) := I D, I I D, I 19 l(i) sup f(x), x I

Denujeme (7) (R) (R) Q Q f(x) dx := f(x) dx := sup s(f, D) D (Q) inf S(f, D) D (Q) (dolní Riemann v integrál), (horní Riemann v integrál), 1.5. Definice (Riemann v integrál). Nech M R n je omezená mnoºina a f : M R je funkce. Najdeme takový omezený uzav ený interval Q, ºe M Q (lze ukázat, ºe na jeho volb v dal²ím nezáleºí). Poloºme { f(x), x M, f M (x) =, x Q \ M. Jestliºe < (R) f M (x) dx = (R) f M (x) dx <, Q Q pak ekneme, ºe funkce f je riemannovsky integrovatelná a spole nou hodnotu nazýváme Riemannovým integrálem funkce f p es M a zna íme (R) f(x) dx. M Speciáln íslo (R) 1 dx M se nazývá objem mnoºiny M, p esn ji Jordan-Pean v objem. 1.6. V ta. Nech M R n je uzav ená a omezená a funkce f : M R je spojitá. Potom f je riemannovsky integrovatelná p es M. 1.7. Poznámka. Kaºdá riemannovsky integrovatelná funkce je omezená. Pokud (by omezená) funkce je hodn nespojitá, pak riemannovsky integrovatelná není. Také existují omezené mnoºiny, které nemají Jordan-Pean v objem. Integrály 1 dx x = 2, e x dx = 1 jsou mimo sféru p sobnosti neupraveného Riemannova integrálu (první integrand je neomezený, v druhém p ípad integrujeme p es neomezenou mnoºinu). 2. Lebesgue v integrál 2.1. Definice (Míra). Nech E R n je mnoºina. Vn j²í míru mnoºiny E denujeme p edpisem { } λ (E) = inf Q j j=1 l(q j ): Q j I n, E j Inmum tedy je p es v²echna pokrytí mnoºiny E n jakým spo etným systémem interval. Máme-li takové pokrytí, pak p íslu²ný sou et objem nazveme horním sou tem k λ (E). ekneme, ºe mnoºina E je m itelná, jestliºe pro kaºdý interval Q R n platí l(q) = λ (Q E) + λ (Q \ E). Význam tohoto testu je ten, ºe íslo l(q) λ (Q \ E) nám dává dolní odhad míry Q E. Pokud oba odhady jsou náleºit p esné, m ly be se rovnat. Je-li mnoºina E m itelná, smíme její vn j²í míru nazývat prost mírou mnoºiny E. Místo symbol l(e) (kdyº E je interval), λ (E) (kdyº E je libovolná), λ(e) (kdyº E je m itelná) se asto pouºívá E. 2.2. Poznámka. Lze dokázat existenci nem itelné mnoºiny, ale prakticky kaºdá mnoºina je m - itelná. Rozhodn je m itelných mnoºin mnohem víc, neº mnoºin, které mají Jordan-Pean v objem. 2.3. Definice (M itelná funkce).. Nech M R n je m itelná mnoºina. ekneme, ºe funkce f : M R je m itelná, jestliºe v²echny úrov ové mnoºiny jsou m itelné. {x M : f(x) > c}, c R, 2

2.4. V ta. Kaºdá otev ená nebo uzav ená mnoºina je m itelná. Kaºdá spojitá funkce na m itelné mnoºin je m itelná. 2.5. Definice (Lebesgue v integrál).. Nech M R n je m itelná mnoºina. Kone ný systém (E 1,..., E m ) m itelných podmnoºin M se nazývá lebesgueovské d lení mnoºiny M, jestliºe mnoºiny E i jsou po dvou disjunktní a jejich sjednocení dává M. Nech f : M R je nezáporná m itelná funkce a D = (E 1,..., E m ) je lebesgueovské d lení mnoºiny M. Potom íslo s(f, D) = m i=1 λ(e i ) inf E i f nazveme dolní sou et k M f(x) dx. Supremum v²ech dolních sou t k f(x) dx nazveme Lebesgueovým M integrálem funkce f, zna íme f(x) dx. (P ipou²tíme i hodnotu +.) M Jestliºe m itelná funkce f : M R nabývá i záporných hodnot, denujeme (8) f(x) dx = f + (x) dx f (x) dx, M M kde f + = max{f, }, f = max{ f, } jsou kladná, resp. záporná ást funkce f. Je f +, f a f = f + f, tedy je celkem logické o ekávat, ºe bude platit (8). M ºe se stát, ºe oba integrály na pravé stran (8) jsou. Potom ov²em jejich rozdíl je neur itý výraz a v takovém p ípad integrál funkce f p es M nedenujeme. ekneme, ºe funkce f je integrovatelná, má-li kone ný Lebesgue v integrál. 2.6. Poznámky. Mohlo by se zdát, ºe v denici integrálu nezáporné funkce chybí kontrola horními sou ty. Ta v²ak není zapot ebí, protoºe m itelnost funkce f dává záruku, ºe dolní sou ty bubou aproximovat dostate n p esn. Situace není symetrická (funkce m ºe být shora neomezená) a v p ípadných horní sou tech bychom musely p ipustit nekone n mnoho s ítanc, tím by se denice zkomplikovala. Následující v ty (i v dal²í kapitole) jsou formulovány pro Lebesgue v integrál. Pokud bychom je cht li pouºívat pro Riemann v integrál, museli bychom v²ude navíc p edpokládat existenci v²ech integrál, které se v nich vyskytují. 2.7. V ta. Nech R n je m itelná mnoºina. Nech f, g : R jsou integrovatelné funkce a λ R. Potom funkce f + g, λf jsou integrovatelné a platí (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx, λf(x) dx = λ f(x) dx. 2.8. V ta. Nech R n je mná mnoºina. Nech f : R je integrovatelná funkce. Potom funkce f je integrovatelná., 2.9. V ta (Leviho v ta). Nech R n je m itelná mnoºina. Nech f, f k jsou m itelné funkce na a f = lim k f k. Potom f 1 f 2... M f(x) dx = lim f k (x) dx. k 2.1. V ta. Nech R n je m itelná mnoºina. Jestliºe f a g jsou integrovatelné funkce na a f g, pak f g. 2.11. Definice (Integrovatelná majoranta). Nech F je systém m itelných funkcí na m itelné mno- ºin R n. ekneme, ºe funkce g : R je majoranta k F, jestliºe pro v²echna f F platí f g. Majorantou k jednotlivé funkci f se rozumí majoranta k systému {f}. Integrovatelná majoranta neznamená nic jiného, neº majoranta, která je integrovatelná. 2.12. V ta. Nech R n je m itelná mnoºina. Jestliºe funkce f : R je m itelná a má na integrovatelnou majorantu, pak je integrovatelná. 21

2.13. V ta (Lebesgueova v ta). Nech f, f j jsou m itelné funkce na m itelné mnoºin R n. Nech posloupnost {f j } má integrovatelnou majorantu a f j f. Potom f je integrovatelná a f(x) dx = lim f j (x) dx. j 2.14. Integrály závislé na parametru. V dal²ím budeme vy²et ovat chování integrálu, v jehoº integrandu je dal²í prom nná (podle které neintegrujeme), zajímá nás závislost integrálu na této prom nné, tedy funkce t ϕ(t, x) dx. Je-li ϕ zobrazení o dvou (obecn vícerozm rných) prom nných, zna íme ϕ(, x) zobrazení o jedné prom nné t, které vznikne zaxováním první prom nné na hodnot x a ϕ(t, ) zobrazení o jedné prom nné x, které vznikne zaxováním první prom nné na hodnot t; tedy ϕ(, x)(t) = ϕ(t, )(x) = ϕ(t, x). 2.15. V ta (Integrál závislý na parametru spojitost). Nech U R d a R n jsou m itelné mnoºiny. Nech ϕ je spojitá funkce prom nných t U a x. P edpokládejme, ºe systém funkcí {ϕ(t, ): t U} má integrovatelnou majorantu. Potom funkce f : U R denovaná p edpisem f(t) = ϕ(t, x) dx je spojitá na U. 2.16. V ta (Integrál závislý na parametru derivace). Nech U R d a R n jsou m itelné mnoºiny. Nech ϕ je spojitá funkce prom nných t U a x. P edpokládejme, ºe ϕ je diferencovatelná podle prom nné t a ϕ t je spojitá na U. P edpokládejme, ºe integrály ϕ(t, x) dx konvergují a ºe systém funkcí { ϕ } t (t, ): t U má integrovatelnou majorantu. Potom funkce f : U R denovaná p edpisem f(t) = ϕ(t, x) dx je diferencovatelná na U a 2.17. Poznámka. Symbolem ϕ t f (t) = ϕ (t, x) dx. t zde zna íme derivaci podle by vícerozm rné prom nné t. 3. Po ítání jednorozm rných integrál 3.1. Definice (Newton v integrál). Nech funkce f má na intervalu (a, b) primitivní funkci F. ekneme, ºe Newton v integrál f konverguje, jestliºe F má v krajních bodech kone né limity F (a+) := lim x a+ F (x), F (b ) := lim F (x). x b V tom p ípad íslo F (b ) F (a+) nazveme Newtonovým integrálem f od a do b a zna íme (N) b a f(x) dx. Integrálu ve smyslu denice 1.4 budeme íkat prost integrál. 3.2. V ta (Srovnání integrálu a Newtonova integrálu). Nech f je spojitá funkce na intervalu (a, b). Potom 22

(a) Jestliºe konverguje Newton v integrál funkce f od a do b, potom konvergují integrál a Newton v integrál funkce f od a do b a b a f(x) dx = (N) b a f(x) dx. (b) Jestliºe diverguje Newton v integrál k f od a do b, potom diverguje i integrál funkce f (by by její Newton v integrál konvergoval) 3.3. V ta (Limitní srovnávací kritérium). Nech f, g jsou spojité funkce na (a, α, g >. (a) Jestliºe α a g konverguje a f(x) lim x a+ g(x) <, pak α a f konverguje. (b) Jestliºe α a g diverguje a pak α a f diverguje. f(x) lim x a+ g(x) >, 3.4. Poznámka (Metodika zji² ování konvergence integrálu). Jestliºe f je spojitá funkce na (a, b), k ov ení i vyvrácení konvergence integrálu b f posta í zjistit, zda konvergují integrály a α a f, pro n jakou volbu a < α β < b, zbylý integrál β f totiº konverguje vºdy. Konvergenci integrálu α u a zjistíme podle limitního srovnávacího kritéria a konvergenci u b podle jeho zrcadlové verze. Pokud je n který z krajních bod (dejme tomu a) kone ný a funkce je v n m spojitá, není t eba d lit na t i intervaly, posta í a, β a β, b). D lení na dva intervaly téº sta í, pokud se spokojíme s α = β. 3.5. P íklad (Metoda primitivní funkce). Pro t > po ítejme integrál b β f e tx dx. Substitucí spo teme (N) e tx e y dx = (N) dy = 1 t t. Jelikoº integrand je nezáporný, takºe podle v ty 3.2 máme i pro integrál ve smyslu denice 1.4 e tx dx = 1 t. 3.6. P íklad (Konvergence). Bu f(x) = e x. Zajímá nás konvergence integrálu e x dx V duchu metodiky rozd líme na dva integrály, p es, 1 a p es 1, ). Na intervalu, 1 je f spojitá a omezená, není problém. Na intervalu 1, + ) srovnáme s funkcí g(x) = 1/x 2 a pomocí limitního kritéria ov íme konvergenci. 3.7. P íklad (Konvergence). Bu f(x) = 1 cos x. Zajímá nás konvergence integrálu x 2 1 cos x x 2 V duchu metodiky rozd líme na dva integrály, p es (, 1 a p es 1, ). Jelikoº dx. lim f(x) = 1 x + 2, integrál p es (, 1 konverguje podle limitního srovnávacího kritéria srovnáním s funkcí g(x) 1. Na intervalu 1, + ) má funkce f integrovatelnou majorantu h(x) = 1/x 2 a tudíº je tam f integrovatelná. 23

3.8. P íklad (Divergence). Bu f(x) = x 1/2 log x. Zajímá nás konvergence integrálu e x 1/2 log x dx. V duchu metodiky rozd líme aspo na dva integrály, p es e, 3 a p es 3, ). Na intervalu 3, + ) srovnáme s funkcí g(x) = x 3/4 a pomocí limitního kritéria ov íme divergenci. zatímco 3.9. P íklad. Bu f(x) = sin x (N) sin x x x ( sin x x 1 cos x x. Máme 2 1 cos x ) x 2 dx = (N) 1 cos x x 2 dx = = kπ k=1 (k 1)π kπ k=1 n=1 (k 1)π sin x ( 1 cos x ) dx =, x x ( sin x x 4 (2n 1)π = +. 1 cos x dx x 2 1 cos x ) x 2 dx V takových situacích íkáme, ºe Newton v integrál f je neabsolutn konvergentní a integrál funkce f (ve smyslu 1.4) pak nemá smysl. V²imn me si, ºe f je rovna rozdílu g h, kde g(x) = sin x x a h(x) = 1 cos x x. 2 Protoºe h je integrovatelná podle p íkladu 3.7, musí divergovat i integrál 3.1. P íklad (Metoda derivování podle parametru). Z p íkladu 3.9 vidíme mezi ádky, ºe (N) sin x x sin x x dx = dx. 1 cos x x 2 Integrál vlevo konverguje jen jako Newton v, zatímco integrál vpravo je absolutn konvergentní. Zkusme si jej spo ítat. Metoda primitivní funkce nevede k cíli. Uvaºujme funkci f(t) = 1 cos x x 2 e tx dx. Potom f je spojitá na, ) (majoranta x 2 (1 cos x)) a pro t (, ) je f (t) = f (t) = 1 cos x x e tx dx, (1 cos x) e tx dx. Zde jiº nem ºeme najít majorantu najednou pro t (, ), poslouºí x 1 cos x e ax, x x (1 cos x) e ax pro t (a, ). Metodou Newtonova integrálu spo teme Jelikoº snadno ov íme f (t) = t t 2 t t 2 + 1 = 1 t(t 2 + 1). lim f(t) = lim f (t) =, t t dx. f (t) = 1 2 ln ( 1 + 1 t 2 ), t (, ), f(t) = π 2 arctg t 1 2 t ln ( 1 + 1 t 2 ), t, ). 24