Monte Carlo, analýza výsledkù simulací

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Monte Carlo, analýza výsledkù simulací"

Květa Dušková
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Monte Carlo, analýza výsledkù simulací 1/26 Evropský sociální fond þpraha & EU: Investujeme do va¹í budoucnostiÿ Inovace pøedmìtu Poèítaèová chemie je podporována projektem CHEMnote (Inovace bakaláøského studijního programu Chemie { moderní vzdìlávání podpoøené pou¾itím notebookù { CZ.2.17/3.1.00/33248) v rámci Operaèního programu PRAHA { ADAPTABILITA.

2 Molekulová dynamika tuhé koule ap. { nárazy þklasickáÿ MD { integrace pohybových rovnic Brownovská (stochastická) dynamika { MD + náhodné síly 2/26 Síly: f i = U( rn ) r i i = 1,..., N Pøíklad: U = i<j u(r ij ) f i = N f ji j=1 j i N j=1 j i du(r ji) dr ji r ji r ji

3 Newtonovy rovnice 3/26 r i = f i m i, i = 1,..., N Verletova metoda Taylor Verletova metoda: Poèáteèní podmínky: r i (t) = r i(t h) 2 r i (t) + r i (t + h) h 2 + O(h 2 ) r i (t + h) = 2 r i (t) r i (t h) + h 2 f i (t) m i r i (t 0 h) = r i (t 0 ) h_ ri (t 0 ) + h2 2 f i (t 0 ) m i + O(h 3 )

4 Metoda leap-frog [start movies/leap-frog.mp4] 4/26 rychlost = dráha (zmìna polohy) za jednotku èasu (h) v(t + h/2) = r(t + h) r(t) h zrychlení = zmìna rychlosti za jednotku èasu a(t) = v(t + h/2) r(t + h) v(t + h/2) v(t h/2) h = v(t h/2) + a(t)h = r(t) + v(t + h/2)h = f m opakujeme s t := t + h credit: Verlet a leap-frog jsou ekvivalentní

5 Pøíklad: dráha planety [uvodsim/verlet.sh] 5/26

6 Teplota 6/26 Ekvipartièní princip: m 2 v2 ix = 1 2 k BT Poèet stupòù volnosti: f = 3N f zachování 3N Ve standardním (mikrokanonickém) MD platí E pot +E kin = const teplotu mìøíme: T kin = E kin 1 2 k Bf = T kin

7 Konstantní teplota v MD Pøibli¾né metody: T kin = E kin 1 2 k Bf = T kin pøe¹kálování rychlostí: _ ri,new = _ ri (T/T kin ) 1/2 Berendsen (friction): _ ri,new = _ ri (T/T kin ) q, q < 1/2 Pøesný kanonický soubor = þsystém ve styku s termostatemÿ Maxwell-Boltzmann/Andersen: systematicky/náhodnì vybereme novou rychlost podle Maxwellova-Boltzmannova rozlo¾ení Langevin (Brownovská dynamika): aplikujeme malé náhodné síly a zároveò chladíme (þtøeníÿ) Nosé-Hoover pøidáme dal¹í stupeò volnosti (þpíst entropieÿ) 7/26 Canonical Sampling through the Velocity Space (pøe¹kálování se stochastickým q) Konstantní tlak... podobnì, ale trochu víc matematiky...

8 Monte Carlo integrace (naivní Monte Carlo) Pøíklad: Výpoèet èísla π metodou MC [xpi] 8/26 INTEGER n celkový poèet bodù INTEGER i INTEGER nu poèet bodù v kruhu REAL x,y souøadnice bodu ve ètverci REAL rnd(-1,1) funkce vracející náhodné èíslo v intervalu ( 1, 1) nu := 0 FOR i := 1 TO n DO x := rnd(-1,1) y := rnd(-1,1) IF x*x+y*y < 1 THEN nu := nu + 1 PRINT "pi=", 4*nu/n plocha ètverce = 4 PRINT "chyba=", 4*sqrt((1-nu/n)*(nu/n)/(n-1))

Monte Carlo { Metropolisova metoda 9/26 naivní MC importance sampling Zvolíme èástici i, kterou se bude hýbat r zkus i = náhodná poloha vybrané èástice U =

9 Monte Carlo { Metropolisova metoda 9/26 naivní MC importance sampling Zvolíme èástici i, kterou se bude hýbat r zkus i = náhodná poloha vybrané èástice U = U( r zkus i ) U( r i ) { je-li U 0, pohyb pøijmeme v¾dy { je-li U > 0, pohyb pøijmeme s pravdìpodobostí e U/kT odmítneme s pravdìpodobostí 1 e U/kT Opakujeme...

10 Okrajové podmínky vakuové, volné (kapka, protein ve vakuu aj.) pevné stìny velké povrchové jevy periodické (to je ale divná baòka!) [simolant -N5] 10/26 B D C A póry, vrstva (slab),... E

11 Struktura tekutin { korelaèní funkce 11/26 náhodnì rozmístìné molekuly (ideální plyn) kapalina g(r) = párová korelaèní funkce = radiální distribuèní funkce = hustota pravdìpodobnosti nalezení èástice ve vzdálenosti r od jiné èástice normovaná tak, ¾e pro náhodnì rozmístìné molekuly vyjde 1

12 Struktura tekutin { korelaèní funkce 12/26

13 Jak získám strukturu { experiment 13/26 Mìøím (neutrony, elektrony, rtg.) þstrukturní faktorÿ

14 Jak získám strukturu? 14/26

15 Korelaèní funkce ze strukturního faktoru 15/26 inverzní Fourierova transformace

16 Argon a voda 16/26 Struktura jednoduché tekutiny (kapalný argon) je organizovaná po slupkách Struktura vody je dána tetraedrickou geometrií vodíkových vazeb Ve vzdálenosti nìkolika molekulových prùmìrù jsou ji¾ molekuly nekorelované { pohybují se nezávisle

17 Running coordination number Té¾ nazýváno \cumulative radial distribution function" N(r) = 4πρ kde ρ = N/V = èíselná hustota r 0 g(r )r 2 dr 17/26 Hodnota N(r min ) (r min = první minimum na RDF) = \koordinaèní èíslo" = prùmìrný poèet molekul ve slupce 6 5 g(r) nebo N(r) voda g OO (r) N OO (r) g HO (r) N HO (r) (H okolo O) r/a

18 Výpoèet RDF v simulacích Histogram poètu párù èástic, N i, ¾e 18/26 Objem slupky r [r i r/2, r i + r/2) V i = 4π 3 pøípadnì [r i, r i + r) [ ( r i + r ) 3 ( r 2 i r ) ] 3 2 Prùmìrný poèet molekul okolo vybrané èástice pro rovnomìrné rozmístìní (ρ = N/V) 1 2 ρ V i Souèet pøes v¹echny èástice (1/2 abychom poèítali ka¾dý pár jen jednou) Radiální distribuèní funkce N id.plyn i g(r i ) = N i N id.plyn i = N 2 ρ V i = 2 N i = N i Nρ V V i i V N2 2

19 Výpoèet potenciálu { co s nekoneèny? [simul/plotspcelj.sh] 19/26 Lennard-Jones: useknout, vyhladit, spoèítat korekce U LJ (r) / k B K U LJ (r) / k B K Lennard-Jones useknuty a vyhlazeny r/nm r/nm Coulomb: spoèítat interakce pøes v¹echny periodické obrazy! matematický trik { Ewaldova sumace

20 Molekulový poèítaèový experiment 20/26 té¾ þpseudoexperimentÿ REÁLNÝ EXPERIMENT Vedení laboratorního deníku POÈÍTAÈOVÝ EXPERIMENT Vedení laboratorního deníku Stavba aparatury (z èástí) Stáhni/kup/napi¹ poèítaèový program, slo¾ bloky kódu Nakup chemikálie, syntetizuj, co není ke koupi Pøiprav experiment Proveï experiment, pozornì sleduj, co se dìje Analyzuj a poèítej Ukliï laboratoø Stáhni silové pole, natuj parametry, které nejsou dostupné Pøiprav poèáteèní konguraci ap. Spus» program, sleduj èasovou závislost velièin vè. kontrolních Stanov støední hodnoty (s odhady chyb) Zapi¹ zálohy, vyma¾ nepotøebné soubory

21 Je to správnì? 21/26 Systematické chyby: nepøesný molekulární model (silové pole) zanedbání kvantových jevù, nepárových sil (napø. polarizovatelnosti) malý vzorek (nite-size eects) nedostateèná èasová ¹kála (dlouhé korelace, þhrdlo láhveÿ) nevhodná metodologie: chyby integrace (pøíli¹ dlouhý krok), nedostateènì zrovnová¾nìno, nepøesné Coulombovy síly... Náhodné (statistické) chyby jsou principiální pro stochastické metody èasovì korelované lze zmen¹it del¹ím výpoètem Nejistota (v metrologii) zahrnuje kritické posouzení systematických i náhodných chyb Názvosloví kolísá podle oboru (matematická statistika, fyzika, metrologie...)

Metodika simulace Start simulace (poèáteèní kongurace): experimentální struktura (biomolekuly) krystal kapalina, plyn kapalina; Packmol [sleep 3;simul/spce.

22 Metodika simulace Start simulace (poèáteèní kongurace): experimentální struktura (biomolekuly) krystal kapalina, plyn kapalina; Packmol [sleep 3;simul/spce.sh] 22/26 náhodná kongurace (pøekryvy molekul = problém v MD) problém u þ¹patnì denovanýchÿ modelù (TIP4P aj.) møí¾kové modely: krystal/chaos MD: rychlosti = Maxwell-Boltzmann (staèí pøibli¾nì) Zrovnová¾òování: sledovat èasový (konvergenèní) prol Mìøení velièin vè. odhadu statistických chyb

1), kde X i = X i X, X = 1 m Problém: korelace (viz ukázka) Øe¹ení: bloková metoda: X j = 1 B B i=1

23 Odhad náhodných chyb [cd simul; corelrnd.sh 2000] 23/26 Nekorelovaná data: standardní chyba ( X (X δx, X + δx) na 68 %) δx = mi=1 X 2 i m(m 1), kde X i = X i X, X = 1 m Problém: korelace (viz ukázka) Øe¹ení: bloková metoda: X j = 1 B B i=1 X i+(j 1)B bloky pova¾ujeme za nezávislé Øe¹ení: þprùbì¾ný prùmìrÿ (running average): δx 0.6 [ X j = 1 j j i=1 X i m max i=m/2 (X i) ] min m (X i) i=m/2 m i=1 X i

24 [simul/errplot-simple.sh ] 24/26 Odhad náhodných chyb { porovnání metod metoda bloky + autokorelace polovina prùb. prùmìru: 0.6 (max min) pøesnì odhad std. chyby

25 Výpoèty pro simulace [../simul/ar/showdrop.sh] 25/26 Pøíklad. Uprostøed periodické kubické simulaèní cely má být kapka z 1000 atomù kapalného argonu za teploty 85 K. Povrch kapky má být vzdálen od povrchu nejbli¾¹ího periodického obrazu o prùmìr kapky. Jak velký bude box? Uveïte v A. Hustota argonu je 1.4 g cm A

26 Úlohy: co musí obsahovat protokol Zadání. 26/26 Úvod do problematiky. Neopakovat známou teorii (jako je Verletova metoda èi Schrödingerova rovnice) { zmínit pouze ménì obvyklé postupy. Postup výpoètù, pøehled výsledkù, diskuse. Závìr. Zdroje. Zdroje je vhodné èíslovat a pak odkazovat buï horním indexem 1 nebo v závorkách [2]. Webové zdroje musí obsahovat datum, kdy byly sta¾eny. ikovné je také, je-li odkaz ¾ivý (klikací). Cizí obrázky mo¾no pou¾ít, je-li to povoleno, a je nutno je citovat. Pou¾itá literatura { pøíklad: [1] Ochterski, J. W. Thermochemistry in Gaussian. whitepap/thermo.htm (accessed Jan 1, 2016). [2] McMurry, J.: Organická chemie, Vutium, Brno, [3] Berendsen, H. J. C.; Grigera J. R., Straatsma, T. P.The missing term in eective pair potentials. J. Phys. Chem. 1987, 91, 6269{6271.

Podobné dokumenty

Molekulový počítačový experiment

Molekulový počítačový experiment 1/16 též pseudoexperiment REÁLNÝ EXPERIMENT Vedení laboratorního deníku POČÍTAČOVÝ EXPERIMENT Vedení laboratorního deníku Zvol metodu (přístroj, protokol) Zvol metody (MD,