Teoretická fyzika Základy kvantové mechaniky

Transkript

1 Teoretcká fyzk Zákldy kvtové mechky Mchl Lec podzm Obsh Teoretcká fyzk Zákldy kvtové mechky Velm struý pehled 3 Zákldí pojmy 3 Mtcový záps 5 3 Vlstí vektory vlstí hodoty 6 4 Nepíjemost s rovou vlou Drcovou delt fukcí 8 5 Píkld leárí hrmocký osclátor 9 Prcp superposce Feymov formulce Formulce Ldu Lfce 3 Mtemtcký pops 3 3 Zákldí pops Hlbertv prostor 3 3 Axomy 3 33 Reprezetce rozkld jedotky 4 34 Vlová fukce 5 35 Mtcová reprezetce 5 36 Záps Schrödgerovy rovce v mtcové reprezetc 6 37 Relce eurtost 8 4 Zákldí operátory v soudcové represetc 9 4 Hmltov operátor (hmltoá) 9 4 Operátory hybost mometu hybost 43 Rovce kotuty 44 Ehrefestv teorém 3 5 Schrödgerov rovce pro stcoárí stvy 4 5 ástce v potecálovém pol soudcová represetce 4 5 Vodíkový tom 5 53 Elektro v homogeím mgetckém pol 9 6 Nkteré proxmce pro poruchy se ezávslé 3 6 Ryleghov Schrödgerov metod 3 6 Nedegeerové hldy 3 6 Degeerové hldy 3 63 Pípd velm blízkých hld 33 6 Potecálí eerge jko poruch Vrí prcp Hrtreeho - Fockov metod selfkozstetího pole Rtzov vrí metod 39 7 Borov Oppehmerov proxmce 4 7 Obecá teore 4 7 Molekul vodíku 43

2 7 Iot molekuly vodíku 43 7 Molekul vodíku 44 8 Kvsklscká proxmce 46 8 Zákldí vzthy 46 8 Okrjové podmíky Bohrovo - Sommerfeldovo kvtováí 48 9 Poruchy se závslé 49 9 Iterkí reprezetce 49 9 Fermho zlté prvdlo 5 9 Hrmocký prbh sové závslost poruchy 5 Vlstí hodoty vlstí fukce operátoru mometu hybost 5 Mtcové elemety skláru vektoru prt stvu 55 Sp 56 Rotce komutí relce pro operátor mometu hybost 56 Sp 57 3 Sp rotce 6 3 Prcp erozltelost ástc 6 4 Cest k Bellovým erovostem 63 4 EPR prdox 63 4 Bohmov modfkce EPR pokusu Bellovy erovost Expermety s fotoy 7 5 Jkou dráhu prol ástce? 7 5 Elemetárí pops terferece dvou svzk 7 5 Whch-pth (Welcher-Weg)? Iterferece fullere 76

3 Velm struý pehled Zákldí pojmy V kvtové mechce poítáme s Hmltoovým operátorem kde v klsckém výrzu pro Hmltoovu fukc jsou soudce x s í sdrueá hybost p uvujeme jedorozmrý problém hrzey leárím operátory x p které splují komutí relce [ x p ] x p p x = ħ () ħ je Plckov kostt jedotkový operátor V soudcové represetc je Hlbertv prostor stv soustvy (stvových vektor) tvoe kvdrtcky tegrovtelým komplexím fukcem soudce tervlu ( ) Sklárí sou je defová jko Sdo se pesvdíme e operátory ( ψ χ ) = ( χ ψ ) χ ψ χ ( x) ψ br c ket = x d x () ( x) dψ x ψ ( x) xψ ( x) p ψ ( x) ħ (3) d x splují komutí relce () Pro kvtovou mechku jsou dleté vlstost leárích operátor zejmé vlstost dvojce operátor hermteovsky sdrueý operátor Hermteovsky sdrueá mtce je komplex sdrueá trspoová mtce Pro operátory defujeme hermteovské sdrueí jko v Drcov zeí pk ( + χ O ψ ) ( ψ O χ ) (4) + O χ O ψ ψ χ (5) Je-l operátor rove svému hermteovsky sdrueému mluvíme o hermteovském operátoru Je-l versí operátor (defový tk e po vyásobeí versího pvodího operátoru dostáváme jedotkový operátor) rove svému hermteovsky sdrueému mluvíme o utárím operátoru S poutím soudcové represetce ukáeme e operátory soudce k í sdrueé hybost jsou hermteovské Máme + (6) χ O ψ = ψ O χ = ψ x x χ x d x = χ x xψ x d x = χ O ψ

4 d χ x d χ x + ħ ħ χ O ψ = ψ O χ = ψ ( x) d x = ψ ( x) d x = d x d x ħ d ħ dψ x ħ dψ x d x + = = d x d x ψ x χ x χ x d x χ x d x χ O ψ = (7) Je vhodé s pmtovt e p hermteovském sdrueí dojde k zám c c ψ ψ ψ ψ O O + (8) zám podí vech prvk Ztímco výrz χ ψ zmeá v Drcov otc sklárí sou vektor ψ χ výrz ψ χ je operátor který pevede lbovolý vektor φ vektor ψ le s velkostí fází zmou sklárím souem χ φ ( ψ χ ) φ = ψ ( χ φ ) = χ φ ψ (9) Jko v kdém vektorovém prostoru tk v em Hlbertov prostoru meme zvolt báz soustvu leár ezávslých vektor kdy potom kdý vektor prostoru lze vyjádt jko leárí kombc vektor báze Je výhodé zvolt ortoormálí báz Dmeze Hlbertov prostoru tvoeého kvdrtcky tegrovtelým komplexím fukcem soudce tervlu ( ) je spoet ekoeá ejzámjí ortoormálí báz tvoí fukce kde H x h χ ( x) = H ( x) exp 4 π = () (! ) x jsou Hermteovy polyomy Pltí h h H ( x) H ( x) exp x d x = δ () j j j π! Lbovolý stv ψ meme pk zpst pomocí báze jko ebol ψ = c h c = h ψ () = = = ψ x c χ x c χ x ψ x d x = (3)

5 kde ( x) χ je dáo vzthem () Vektory báze zpsé jko fukce soudce x jsou v tomto pípd reálé fukce obec to vk být emusí proto rdj v tegrálu sklárího souu pro výpoet vytvoeý z vektor báze má záps c píeme zméko komplexího sdrueí Jedotkový operátor Vdíme to sdo zpíeme-l jeho psobeí lbovolý vektor Mtcový záps = (4) (5) ψ = c = c c = ψ δ Zpme psobeí operátoru lbovolý vektor β zpsý v jké bázvýsledkem je ový vektor α α = O β α = j j j j = bj O j = Oj bj j j j j β = bj j j (6) kde Oj = O j (7) Pro ázorou pedstvu (vezmme je koeou dmez Hlbertov prostoru) s te zpíeme v jké báz stvový vektor jko sloupcový vektor (mtce ) operátor jko mtc O O O O O O O O α = O = O( ) O ( ) O ( )( ) O ( ) O O O( ) O Hermteovsky sdrueé objekty budou pk (8)

6 O O O O O O O O ( ) + α = O = (9) O ( ) O( ) O( )( ) O ( ) O O O( ) O Výrz α β vytváí sklárí sou b b α β = ( ) = ( b + b + + b + b ) () b b výrz β α operátor b b b b b b b b b b β α = ( ) = () b b b b b b b b b b Vektory báze jsou = = = = () tke jedotkovému operátoru odpovídá jedotková mtce = = (3) 3 Vlstí vektory vlstí hodoty Psobeí operátoru které vektory vede je k vyásobeí vektoru (komplexím) íslem A α = α (4)

7 Tkovému vektoru α íkáme vlstí vektor operátoru A íslu vlstí hodot písluá vlstímu vektoru α Zvolme jkou báz prostoru v í je vektor α vyjáde jko α = c (5) Zpme vzth (4) ásobeý zlev vektorem j jko soustvu rovc pro koefcety c c j A = j ( Aj δ j ) c = (6) δ j Pro etrválí eeí musí být determt soustvy rove ule to dává rovc pro vlstí hodoty proze je v prcpu pokud je prostor ekoe rozmrý Vtou se postupuje tk e zákldí rovce (4) se píe pro urtou kokrétí relzc vektor Hlbertov prostoru vlstí hodoty vyplyou z omezeí eeí této rovce Npíkld pro vlové fukce jedé promé pedstvuje (4) obyejou dferecálí rovc vlstí hodoty plyou z podvku to by eeím byl kvdrtcky tegrovtelá fukce (dostte rychlý pokles v ekoeu slbé sgulrty) Dleté je e meme povovt z jedu z bází Hlbertov prostoru soustvu vlstích vektor vhodého hermteovského operátoru Nást dkzu je ásledující: Pro hermteovský operátor ( A = A + ) máme A α = α α j A α = α j α ( j ) α j α = (7) α A = α α A α = α α j j j j j j Tke zvolíme-l = j je α α musí být j = tj vlstí hodoty hermteovského operátoru jsou reálé Zvolíme-l j je j musí být α α = tj vlstí vektory píslué rzým vlstím hodotám hermteovského operátoru jsou ortogoálí Zvolíme-l tedy jko báz soustvu ormových vlstích vektor hermteovského operátoru A meme psát jedotkový operátor podle (4) jko j smotý operátor jko α α = (8) A = α α (9) sto lze defovt fukc operátoru zobecím pedchozího vzthu α f A = f α (3)

8 4 Nepíjemost s rovou vlou Drcovou delt fukcí Rovce pro vlstí fukce vlstí hodoty operátoru hybost ħ dψ p d x ( x) = pψ p ( x) (3) má eeí ψ p ( x) = ( π ħ) exp p x ħ (3) Volbu kostty zdvodíme íe Fukce (3) jst eí tervlu ( ) kvdrtcky tegrovtelá Vlstích hodot p je espoet moho operátor má spojté spektrum Korekt vzto fukce (3) do ám uvového Hlbertov prostoru eptí Pesto b v kvtové mechce s rovým vlm poítáme Normováí rových vl jsme zvoll tk e pro sklárí sou pltí / / / = ψ / ψ = δ p = π ħ ħ p p p x x d x exp p p x d x p p (33) Místo dexováí celým ísly dexujeme spojtou promou vlstí fukce operátoru jsou ortogoálí v tom smyslu e jejch sklárí sou je rove Drcov delt fukc rozdílu dex (místo Kroeckerových delt dex) má eeí Rovce pro vlstí fukce vlstí hodoty operátoru soudce ξψ xψ x = x (34) ξ ξ ξ ( x) ( x ) ψ = δ ξ (35) Normováí volíme obdob jko u vlstích fukcí operátoru hybost tj / / / / ( x) ξ ( x) d x ( x ) ( x ) d x ξ (36) ξ ξ = ψ ψ = δ ξ δ ξ = δ ξ ξ Jedotkový operátor zpsujeme v log s (4) jko ebo = x x d x (37) = p p d p (38) V log lezeí sloek vektoru v báz () píeme (soudce jko spojtý dex)

9 = = = ψ x x ψ ψ x x d x ψ ψ x x d x = (39) ebo (hybost jko spojtý dex) = = = ψ p p ψ ψ p p d p ψ ψ p p d p Vzth (3) pk meme zpst jko = (4) x p = ( π ħ) exp p x ħ (4) Zovu zdrzujeme e rová vl Drcov delt fukce eptí p korektím pístupu do uvového Hlbertov prostoru Tké eí moé by ekoe rozmrý Hlbertv prostor ml zárove spoetou (v em pípd { h } espoetou (v em pípd { x } ebo { p } Pesto vk p eeí stdrdích problém kvtové mechky evede ekorektí postup k chybým výsledkm Je to prvdpodob dáo pízvým vlstostm vzájemého vzthu prostoru ket vektor prostoru br fukcoál mtemtcky korektí formulce je vytvoe po zvedeí tzv Gelfdov trpletu (tké zývého rgged Hlbert spce) 5 Píkld leárí hrmocký osclátor Hmltoá leárího hrmockého osclátoru je mω H = p + x (4) m Hmltoovy rovce jsou d x H p d p H = = = = dt p m dt x mω x (43) Zvedeme bezrozmrou promou mω = x + p ħ m ħω (44) Pro tuto promou dostáváme sdo etelou rovc d + ω = = α exp [ ω t] (45) dt

10 kde je lbovolá komplexí kostt Vyjádíme-l soudc hybost pomocí dostáváme Po doszeí do (4) dostáváme ħ mħω x = ( + ) p = ( ) mω (46) H = ( + ) ħ ω (47) Zámr dbáme podí soutel protoe tk meme hed pst kvtov mechcký vzth komplex sdrueá vel odpovídá hermteovsky sdrueému operátoru Meme tedy vzthy (46) (47) pepst ħ m ħω x = + p = mω + + (48) + + H = ( + ) ħ ω (49) Operátory + jsou hermteovsky sdrueé operátory fyzkálích vel x p H jsou hermteovské Z komutí relce pro operátory x p [ x p ] = ħ (5) dosteme po doszeí z (48) komutí relc pro operátory + Doszeím z + hrmockého osclátoru výrz + = (5) ze (5) do (49) dostáváme pro Hmltov operátor leárího + H = N + ω N = ħ (5) Operátor N má jko vlstí hodoty ezáporá celá ísl Dkz eí obtíý Vezmme jký ormový vlstí vektor s vlstí hodotou Máme tedy Dále z komutích relcí + N = = N = = (53)

11 N ( ) ( )( = N = + ) N N = ( ) = ( )( ) (54) Je tedy + vlstím vektorem operátoru N s vlstí hodotou + vlstím vektorem operátoru N s vlstí hodotou tedy Kostty λ λ µ µ získáme z + = λ + = µ (55) = = = = N + = = = = = N = (56) Kostty zvolíme jko reálá ísl dostáváme tk koeé vyjádeí psobeí kreího ( + ) hlího ( ) operátoru vlstí vektory operátoru N Proze + = + + = (57) N = = = = (58) Pro Hmltov operátor leárího hrmockého osclátoru máme pk Vektor popsující zákldí stv s = spluje H E E = = + ω ħ (59) = (6) Zpíeme-l teto vzth s operátory v soudcové represetc dostáváme rovc d h x mω x h x d x + = ħ (6) její ormové eeí je 4 mω mω = exp h x x π ħ ħ Fukce odpovídjící vyím eergovým hldám dosteme podle (57) jko ( x) mω ħ dh h ( x) = x h ( x) ħ mω d x (6) (63)

12 Prcp superposce Feymov formulce Prvdpodobost P e v deálím expermetu ste jký jev je dá druhou mocou bsolutí hodoty komplexího ísl φ které zýváme mpltudou prvdpodobost P = φ () Me-l k jkému jevu dojít kolk moým zpsoby erozlujeme-l v expermetu jedotlvé zpsoby je celková mpltud prvdpodobost jevu dá soutem mpltud prvdpodobost jedotlvých zpsob P () φ = φ = φ 3 Me-l k jkému jevu dojít kolk moým zpsoby rozlujeme-l v expermetu jedotlvé zpsoby je celková prvdpodobost jevu dá soutem prvdpodobostí jedotlvých zpsob Formulce Ldu Lfce P = φ P = P (3) Stv soustvy je popsá komplexí fukcí soudc kofgurího prostoru (q) kvdrát modulu této fukce uruje hustotu prvdpodobost; ( q) d Ψ q je prvdpodobost toho e p expermetu lezeme soudce v tervlu q q+ dq Souet prvdpodobostí vech moých hodot soudc musí dát jedotku je tedy pro vlovou fukc ( q) d q Ψ = (4) Stv podsoustvy chrrkterzové soudcem q která je souástí soustvy popsé fukcí soudc kofgurího prostoru ( q Q) / ( q q ) ρ ; ( q q) Ψ je popsá mtcí hustoty ρ dq je prvdpodobost toho e p expermetu lezeme soudce v tervlu q q+ dq pltí = Ψ Ψ ρ q q q Q q Q d Q (5) 3 Vede-l ve stvu s ormovou vlovou fukcí ( q) vely f k urtému výsledku f popsuje vlová fukce Ψ jké meí fyzkálí

13 (6) Ψ q = Ψ q = stv ve kterém míme hodotu f s prvdpodobostí 4 Nchází-l se soustv ped meím ve stvu s ormovou vlovou fukcí ( q) Ψ potom p meí fyzkálí vely f lezeme s urtostí hodotu f le po meí bude soustv ve stvu popsém ormovou vlovou fukcí Φ ( q) lezeí hodoty f v okmt ásledujícím meí bude m b kde 3 Mtemtcký pops m prvdpodobost m = Ψm Φ m = (7) m b q q d q b 3 Zákldí pops Hlbertv prostor Stv soustvy je popsá pprskem v Hlbertov prostoru H c ψ kde ψ H c C prostoru Pozámky: Dymcké promé jsou represetováy hermteovským operátory v tomto K prostoru ket vektor c ψ zkostruujeme duálí prostor br vektor ψ pomocí jedozého zobrzeí α α α + β α + β (3) cα cβ cα cβ Sklárí sou v Hlbertov prostoru H defuje vtí sou br ket vektor Ppomeme zámé vlstost sklárího souu α β α β (3) ( f c g ) = c( f g ) ( c f g ) = c ( f g ) ( f g ) = ( g g ) Hermteovsky sdrueý operátor je defová pomocí vzthu 3 Axomy ( ) ( + ) ( ) ( + f O g O f g f O g g O f ) (33) = = (34) Výsledkem meí fyzkálí vely me být pouze jed z vlstích hodot odpovídjícího operátoru

14 Nchází-l se soustv ve stvu který odpovídá vlstí hodot operátoru A rové α je prvdpodobost toho e meí vely B dá hodotu β m rov m β α kde A α = α α B β = β β (35) m m m Obdob pro spojté spektrum operátoru B je prvdpodobost toho e meí dá hodotu z tervlu ( β β dβ ) + rov d β α β 3 Operátory A B odpovídjící klsckým velám A B splují komutí relce A B A B B A C = ħ (36) kde klscká vel C je dá Possoovou závorkou klsckých vel A B 33 Reprezetce rozkld jedotky A B A B C = { AB} q p p q (37) Vlstí hodoty hermteovského operátoru jsou reálá ísl vlstí vektory píslué rzým vlstím hodotám jsou ortogoálí Dkz eí obtíý Pro hermteovský operátor pltí A A Po vyásobeí prví rovce br vektorem odeteí dostáváme ( α α ) / / / / / = α = α (38) / druhé rovce ket vektorem = odkud plye tvrzeí P výpotech je uteé jsoul vlstí vektory ormováy jedotku tj = Obecý stvový vektor pk meme pst jko leárí kombc vlstích vektor jkého hermteovského operátoru (pedpokládejme operátor s dskrétím spektrem) ψ = c c = ψ (39) Z ormovcí podmíky ψ ψ = dosteme ψ ψ = c c c c = m m m = c c = ψ ψ = ψ ψ = (3)

15 Výe uvedeý záps jedotkového operátoru budeme velm sto vyuívt 34 Vlová fukce Velm dletým operátorem se spojtým spektrem je operátor soudce který bude proze mít jko vlstí hodoty píslué soudce Q q = q q (3) Prmtem stvového vektoru do vlstího vektoru operátoru soudc je vlová fukce V soudcové reprezetc tedy píeme ormovcí podmíky máme vyjádey jko ψ q q ψ ψ q q (3) (33) Ψ q = c Ψ q c = Ψ q Ψ q d q δ Ψ m q Ψ q d q = m c c = Ψ q Ψ q d q = (34) Obdob pro operátory se spojtým spektrem f f f f (35) Ψ q = c Ψ q d f c = Ψ q Ψ q d q δ Ψ f q Ψ g q d q = f g c f c f d f = Ψ q Ψ q d q = (36) 35 Mtcová reprezetce Npíeme jet jedou ejdletjí vzthy Vlstí vektory hermteovského operátoru tvoí ortoormálí báz = δ = δ f g m m f g = d f = f f Koefcety rozkldu obecého stvového vektoru ψ v dé báz získáme jko (37) c = ψ c = ψ (38) f f V dé báz lze vyjádt psobeí operátoru stvový vektor jko mtcové ásobeí tedy χ B ψ χ B = = m m ψ = B m m ψ m m (39) 5

16 χ = B ψ (3) m m m Mtce operátoru v báz tvoeé jeho vlstím vektory je dgoálí A = A = δ (3) m m m m Pro komutující operátory A B pltí A B = B A k k j k k j k k B = B B = B δ j j j j j (3) 36 Záps Schrödgerovy rovce v mtcové reprezetc Pro jedoduchost uvujme Hlbertv prostor koeé dmeze s ortoormálí bází { } Uprvme Schrödgerovu rovc d dt ψ ( t) H ψ ( t) = (33) d ħ m ψ ( t) = m H ψ ( t) (34) dt Rovc (33) jsme zlev vyásobl vektorem báze m prvé str jsme vlol mez hmltoá stvový vektor jedotkový operátor S ozeím ψ C t = t H = m H (35) m pepíeme (34) ( t) dcm ħ = H m C ( t) (36) dt Pltí proze Pro koefcety C H m = H (37) m t pltí (opt trk s vloeím jedotkového operátoru) (38) ( t) ( t) ( t) ( t) C ( t) C ( t) = ψ ψ = ψ ψ = Pro soudcovou reprezetc jsou úvhy obdobé je dmeze je ekoeá eí spoetá Mtcové elemety hermteovského operátoru soudce v báz jeho vlstích vektor jsou dgoálí 6

17 x x x = x x x = x x x x x δ x x (39) Normováí vektor báze jedotkový operátor jsou x y = δ x y x x d x = (33) Schrödgerovu rovc (33) píeme v soudcové báz jko kde jsme ozl ( x) ψ ħ = x H y ψ ( y) d y t (33) ψ ( x) x ψ (33) sovou dervc yí píeme jko prcálí by byl odle od dervcí podle prostorových soudc to u dskrétí báze ebylo teb Jk vypdjí komutí relce? Pro soudc sdrueou hybost máme x p p x = ħ (333) Postupým úprvm dosteme tedy koec x x y y p x d y x p y y x x d y = ħ x x x y y y p x d y x p y y x x d y = ħ x x ( ) d ( ) d = ħ ( ) yδ x y y p x y x x p y δ y x y δ x x ( x x ) x p x = ħδ ( x x ) ħ dδ ( x x ) dδ ( x x ) = = ħ dx dx x p x Jk je to s druhou mocou? Zjedodueí zápsu ebo ( x y) dδ ( y x ) dδ x p x = x p y y p x d y = ħ d y = dx d y d δ x y d δ x x d δ x x ħ δ ( y x ) d y = ħ = ħ dx d y dx dx dx ( ) (334) (335) (336) dδ x y ħ dψ x x p ψ = x p y y ψ d y = ħ ψ ( y) d y = (337) d y dx 7

18 ( ) d δ x y d ψ x x p ψ = x p y y ψ d y = ħ ψ ( y) d y = ħ (338) d y dx 37 Relce eurtost operátor Mjme dv hermteovské operátory A B Jejch komutátor je thermteovský C kde C je hermteovský Zvedeme ozeí pro stedí hodotu operátoru O = ψ O ψ pem ψ ψ = defujeme eurtost jko O = O O (339) Zobecým relcem eurtost zýváme erovost A B ψ A B ψ K dkzu ujeme Schwrzovy erovost f f g g f g f = ( A A ) ψ g = ( B B ) ( A ) ( B ) ψ ( A A )( B B ) ψ ψ Pro kdý ezáporý operátor pltí tot f + λ g O f + λ g λ = g O f g O g f O g f O f g O g (34) (34) (34) Úprvou A A B B = D + C (343) kde C D jsou hermteovské operátory D = ( A A )( B B ) ( B B )( A A ) + (344) C = ( A A )( B B ) ( B B )( A A ) dospíváme koe k výsledku A B D + C C (345) 4 4 8

19 Rovost (stvy s mmem eurtost) stává tehdy je-l splo Potom je ( A A ) ψ λ ( B B ) ψ λ λ = + = (346) ψ D ψ = (347) Nejzámjím píkldem jsou Hesebergovy relce eurtost pro operátory soudce q k í píslué hybost p V soudcové represetc q p ħ (348) ħ d A = q = x B = p = C = A B = d x ħ q = x p = p q = δ x (349) Rovce pro stv s mmálí eurtostí je pk Normovým eeím je ψ ( x) ħ dψ x x x d x λ = + p ( x) ψ ( x x ) ( x) = exp 4 p x ( π ) ( δ x) ħ 4 δ (35) (35) 4 Zákldí operátory v soudcové represetc 4 Hmltov operátor (hmltoá) Vlová fukce úpl uruje stv soustvy Zdáí vlové fukce v urtém okmku musí tedy urovt její chováí v budoucost musí proto dervce Ψ ( t ) Obecá závslost je (Schrödgerov rovce) Ψ t t = leár závset t Ψ ħ = H Ψ (4) t kde H je jký leárí operátor fktor ħ je vyle pro korespodec p kvsklscké proxmc Tm pedpokládáme vlovou fukc ve tvru Ψ = Aexp{ S } ħ kde A je pomlu 9

20 se mící mpltud S ħ rychle se mící fáze vly S je klscký úek (eeí Hmltoovy - Jcobho rovce) ħ je Plckov kostt Potom Ψ S S S ħ = Ψ Ψ = H r t (4) t t t r kde H je Hmltoov fukce Této fyzkálí vel pdíme operátor H Hmltov operátor H je hermteovský co vdíme z ásledujících úprv ( q t) ( q t) d Ψ Ψ ( q t) d q ( q t) d q ( q t) d q d t Ψ = Ψ + Ψ = t t H Ψ ( q t) Ψ ( q t) d q + Ψ ( q t) H Ψ ( q t) d q = ħ ħ ( q t) H H + ( q t) d q H H + Ψ Ψ = = ħ 4 Operátory hybost mometu hybost Uvujme uzveou soustvu ástc bez vjího pole Hmltoá soustvy se ezmí p prlelím peosu soustvy o lbovolou vzdáleost budeme vk uvovt je ftesmálí posuutí tj trsformc r r +δ r P í se vlová fukce (soudcová reprezetce stvového vektoru) trsformuje jko Ψ r + δ r = Ψ r + δ r Ψ r = O Ψ r (43) (44) O = + δ r Tvrzeí e jká trsformce emí hmltoá zmeá toto: trsformujeme-l fukc H Ψ je výsledek stejý jko kdy psobíme H trsformovou fukc O Ψ Je tedy O H = V dsledku homogety prostoru komutuje s hmltoáem operátor H H = Vzhledem k tomu e vrc v posuutí odpovídá v klscké mechce záko zchováí hybost bude operátor hybost úmrý operátoru Operátor hybost jedé ástce je tedy ħ p = (45) (46) (47)

21 pro kvsklsckou vlovou fukc p Ψ = Ψ ( S ) Uvujme opt uzveou soustvu ástc bez vjího pole Hmltoá soustvy se ezmí p otoeí soustvy o lbovolý úhel kolem lbovolé osy budeme vk uvovt je ftesmálí pootoeí tj trsformc r r + δ φ r P í se vlová fukce (48) trsformuje jko Ψ r + δ r = Ψ r + δφ r Ψ r = O Ψ ( r ) O = (49) + δφ r V dsledku sotrope prostoru komutuje s hmltoáem operátor r : r H H r = Bezrozmrý operátor mometu hybost jedé ástce l je l = r Operátor mometu hybost (rozmr Plckovy kostty) je pk L = r p ħ = r pro kvsklsckou proxmc tedy L Ψ = r S Ψ Ppomeeme podmíku toho by operátor byl hermteovský: Pro operátor hybost je to V ħ ( O ) (4) (4) (4) (43) ϕ O ψ ψ ϕ = (44) ħ ( r ) ( r ) dv ħ ( r ) ( r ) dv V = ħ d d ϕ ψ ψ ϕ V ϕ r ψ r V = ϕ r ψ r S = S r V r ds Φ d = Φ V S

22 Tto podmík je spl je-l hrc vlová fukce ulová (p objemu s jstou symetrí tké perodcká) Pro ekoeý objem musí vlová fukce dostte rychle klest k ule Pro operátor mometu hybost máme ħ ϕ ( r ) r ψ ( r ) dv ħ ψ ( r ) r ϕ ( r ) dv = V V ħ ħ ħ r ϕ ( r ) ψ ( r ) dv = r ϕ ( r ) ψ ( r ) dv = r ϕ ( r ) ψ ( r ) ds = V V S Opt je tedy podmíkou by operátor defový pro fukce v ekoeém objemu byl hermteovský dostte rychlý pokles vlové fukce k ule 43 Rovce kotuty Pro klsckou Hmltoovu fukc p H p r t U r t m Bude mít Schrödgerov rovce (4) tvr ( ) = + ( ) ħ ( r t) U ( r t) ( r t) ( r t) (45) Ψ + Ψ = ħ Ψ (46) m t kde = Lplcev operátor Rovce komplex sdrueá ke (46) je ħ ( r t) U ( r t) ( r t) ( r t) Ψ + Ψ = ħ Ψ (47) m t Vyásobeí rovce (46) fukcí Ψ ( r t ) rovce (47) fukcí ( r t) vzthy které po odeteí dávjí ħ Ψ Ψ ( Ψ Ψ Ψ Ψ ) = ħ Ψ + Ψ m t t Ψ získáme dv Prvá str je dervcí souu fukcí levou stru meme zpst jko dvergec vektoru protoe Ψ Ψ Ψ Ψ = Ψ Ψ Ψ Ψ = ( Ψ Ψ Ψ Ψ ) Dostáváme tk rovc kotuty r Φ r = r Φ r F r dv = F r ds V S

23 V kvsklscké proxmc ρ ( r t) + j ( r t) = ρ ( r t) = Ψ ( r t) Ψ ( r t) t (48) ħ j ( r t) = Ψ ( r t) Ψ ( r t) Ψ ( r t) Ψ ( r t) m ρ S m = Ψ Ψ j = Ψ Ψ 3 (49) Vdíme e terpretce Psí krát psí s hvzdkou je hustot prvdpodobost lezeí ástce je dobe podloeá Vektor toku má v kvsklscké proxmc tké obvyklý tvr rychlost krát hustot (vzpomeme e grdet úku je hybost) 44 Ehrefestv teorém Defujeme-l stedí hodoty operátoru hybost operátoru sílu jko ħ p = ψ ( r t) ψ ( r t) d V F = ψ ( r t) U ( r t) ψ ( r t) dv (4) vyhovují tyto vely druhému Newtoovu zákou d p dt (4) Dkz získáme provedeím výpotu Máme 3 d p ħ ψ ψ ħ ψ ħ ψ ψ = ψ + ψ dv = ψ ds + ψ ψ d V dt t t t t t Prví tegrál prvé str je rove ule vlové fukce v ekoeu jdou dostte rychle k ule Do druhého tegrálu dosdíme z dervce podle su ze Schrödgerovy rovce d p ħ ħ = ψ + Uψ ψ + ψ + Uψ ψ dv = dt m m ħ ψ ψ Uψ ψ U ψ ψ dv m + + = ħ ψ ψ + Uψ ψ ds + ψ U ψ dv = ψ U ψ d V m Opt jsme vyul skuteost e tegrd tegrálu po povrchu v ekoeu je rove ule 3 Krom zámjí Gussovy vty dv f dv = f ds pltí tké grd f dv = f ds V S V S

24 5 Schrödgerov rovce pro stcoárí stvy 5 ástce v potecálovém pol soudcová represetce Budeme se zbývt stcoárím stvy proto musíme pedpokládt e hmltoá dé úlohy ezávsí explct se Hmltoov fukce klscké úlohy bude tedy p H ( p r ) = + U ( r ) (5) m V soudcové represetc tk obecá Schrödgerov rovce (4) získá seprcí sové promé Ψ ( r t) = ψ ( r ) exp E t (5) ħ tvr ħ ( r ) U ( r ) ( r ) E ( r ) m ψ + ψ = ψ Klscky se ástce me cházet pouze v oblst prostoru kde E U ( r ) (53) mechce je eulová prvdpodobost lezeí ástce v oblstech s E < U ( r ) V kvtové Moé stuce je pomr sdé roztídt v jedorozmrém pípd kdy bude mít Schrödgerov rovce tvr d ψ dx m + E U ( x ) ψ = ħ (54) Budeme uvovt obecý prbh potecálí eerge s volbou ulové hldy v kldém ekoeu U ( ) = s hodotou U ( ) = U Fukce U ( x ) má lespo jedo mmum kde bývá záporé hodoty U m < Pro hodoty eerge které odpovídjící pohybu klscky ohreé úsece tj pro U m < E < exstuje ohreé eeí Schrödgerovy rovce pouze pro které (dskrétí) hodoty eerge E Vlová fukce zákldího stvu ψ ( x) (tj stvu s ejmeí vlstí hodotou eerge E ) eí ulová kde e v lmt v ekoeu Fukce ( x) ψ popsující stvy pro které E < E < mjí ulových bod Pro eerge v tervlu E U máme spojté spektrum Ptom symptotcké chováí vlové fukce je 4

25 ψ E ( x) ( α ) ħ ( κ ) κ cos k x + k = m E x = b exp x = m U E ħ x (55) Dv z kostt jsou urey podmíkou spojtost vlové fukce její prví dervce Tto podmík plye z toho e ve Schrödgerov rovc (54) vystupuje druhá dervce vlové fukce 4 Nkoec pro eerge E > U máme opt spojté spektrum s rovým vlm jko symptotckým eeím 5 Vodíkový tom Hmltoá tomu vodíku je ħ ħ e H = (56) m m 4 r r rp re p e π ε e p Zvedeím ových soudc ových ozeí pro redukovou hmotost celkovou hmotost 5 me re + mp rp me mp r = re rp R = m = mh = me + mp (57) m + m m + m pejde (56) e p e p ħ ħ e H = r R m m 4π ε r Ve Schrödgerov rovc píeme eerg jko E K ( m ) H H (58) + ħ seprujeme pohyb hmotého stedu od vzájemého pohybu elektrou protou tke hmotý sted se pohybuje jko volá ástce vzájemý pohyb je popsá rovcí ħ χ = R m m ħ K ( R) χ ( R) H H (59) ħ e r ψ ψ ψ m π ε r ( r ) ( r ) E ( r ) = 4 (5) 4 V kterých modelových úlohách je v potecálí eerg le úmrý Drcov delt fukc U = u l δ x Potom je spojtá pouze vlová fukce dervce má v bod x = espojtost ψ ψ + = mlu ħ / / 5 Pís vzto podle Esteov vzthu ekvvlece eerge hmotost je m stvu o 36eV meí e p + m c e mh c vodíku v zákldím 5

26 Zpsáo ve sférckých soudcích máme 6 ψ ψ ψ m e r θ E sθ θ θ s θ ϕ 4π ε + s ψ = r r r r ħ r (5) meme pstoupt k eeí rovce metodou seprce promých Vlovou fukc hledáme ve tvru kde Y ( ) l m ψ r θ ϕ = R r Y l m θ ϕ (5) θ ϕ jsou tzv sfércké fukce tj je jedozé regulárí (dokoce ormové k jedce) eeí rovc Y l m s Y l m + m Y l m = θ m Y l m + l ( l + ) Yl m = ϕ sθ θ θ s θ (53) V tchto vztzích l = m = l l + l l Pro musí být seprí kostty tvoeé práv kvtovým ísly je dáo z teore dferecálích rovc Fyzkál ázorjí výkld by poskytl relzce operátoru mometu hybost pomocí kreích hlích operátor V tuto chvíl berme exstec kvtových ísel l m jko dsledek podvk chováí vlové fukce tj podvek perodcty v úhlu ϕ koeé hodoty jk severím ( θ = ) tk jím (θ = π ) pólu Zbývá vyet rovc pro rdálí soudc d R dr l l + m e + R + E R + = dr r dr r ħ 4π ε r (54) Zvedeí bezrozmrých vel 7 r = ρ E = bε (55) pevede (54) ( + ) d R dr m b e l l + R + ε R = dρ ρ dρ ħ 4π ε b ρ ρ Nejvtího zjedodueí dosáheme volbou jedotek délky eerge (56) jko 6 Zvedeím operátoru rdálí sloky hybost p = ( r + r) r ħ meme hmltoá zpst L H = p r + kde L je operátor mometu hybost m r 7 Zvádí bezrozmrých promých ve fyzkálích rovcích je obec velm uteý postup V em pípd je = B 59Å Bohrv polomr b = Ry 36eV 6

27 ħ 4π ε ħ m e = b = = m e m ħ 4π ε (57) Máme tedy et rovc obyejou leárí dferecálí rovc druhého ádu s jedím prmetrem ( + ) d R dr l l + + ε R + = dρ ρ dρ ρ ρ (58) ptom podujeme by eeí bylo kldé reálé poloose ohreou fukcí která jde dostte rychle k ule pro ρ V ám studovém pípd popsu tomu vodíku se pro jeho zásdí dletost eobrátíme k hotovému mtemtckému výsledku le podíváme se podrobj jeho odvozeí Substtuce R ( ρ ) vede rovc ( ρ ) d d d d d = u R = u u R = u u + u (59) 3 ρ dρ ρ dρ ρ dρ ρ dρ ρ dρ ρ ( + ) d u l l + ε u + = dρ ρ ρ Asymptotcké tvr rovce jejího eeí pro ρ je pro ρ pk d u d { } { } (5) ε u ρ = u Aexp ε ρ B exp ε ρ (5) ( + ) d u l l l + u = u = C ρ + D (5) l dρ ρ ρ Nám vyhovují pouze koeá eeí tke hledáme u ( ρ ) ve tvru Rovce pro fukc f ( ρ ) je tedy Hledáme eeí (54) ve tvru dy u l + ( ρ ) ρ exp{ ε ρ} f ( ρ ) = (53) d f ( ) d f ρ + l + ε ρ + ε l + f = (54) dρ dρ j f = A ρ (55) j = j 7

28 Doszeí do rovce porováí koefcet u stejých moc j ρ dává rekuretí vzth pro koefcety A j ε j + l + j + A j + l + Aj = j + (56) Kdyby d byl ekoeá pro velké hodoty j by bylo j ( ε ) A ( ε ρ ) Aj + ε Aj A ρ A = Aexp A j j! j! j j j j = j = j { ε ρ} + (57) fukce u ( ρ ) by tk v ekoeu dvergovl Musí tedy exstovt jké j mx kdy d koí tedy kdy Fukce f ( ρ ) je tedy polyom stup A = jmx + jmx l ε = + + (58) ( j + l + ) jmx = l Aj + = Aj j + l + j + (59) Objevlo se ám tk dlí kvtové íslo (hlví kvtové íslo) Ze vzthu (59) plye omezeí vedlejí kvtové íslo l Pokud hlví kvtové íslo pev zvolíme musí být l = Rovce (54) v promé z = ε ρ má po doszeí ε = tvr jejím eeím je hypergeometrcká fukce d w dw z + ( l + z) + ( l ) w = (53) dz dz ( + ) ( + ) α z α α z w = F ( + l + l + z) F ( α γ z) = (53) γ! γ γ! Pro tom vodíku jsou ormové vlové fukce ψ l m s ejím kvtovým ísly tedy ψ ψ r r r = exp ψ = exp ( 4π ) ( π ) 3 3 B B B B B r = r exp cos θ B ( π ) 5 4 B r ψ = r exp sθ exp ( ± ϕ ) B ( π ) ± 5 8 B (53) 8

29 Fázové fktory jsou vcí kovece je dleté s vmout e pouze pro s stvy (stvy s l = ) je ψ ( ) Proto píkld (Lmbv posuv) dochází k roztpeí hld s p Atom vodíku je jedým exkt etelým pípdem u pro helum s zpoteí terkce dvou elektro vyduje zvlátí metody poruchového potu Ncmé zvedeí kvtových ísel (tvrté sp jsme ztím epoul) je esmír dletým píspvkem k popsu tom obec 53 Elektro v homogeím mgetckém pol Hmltoá elektrou v mgetckém pol které popsujeme vektorovým potecálem A dukcí B = rot A je ħ H = e A µ B kde µ je operátor mgetckého mometu elektrou e ħ s µ = m s (533) (534) V této defc vystupuje operátor spu Protoe se spu budeme vovt pozdj vezmeme jko skuteost e pro oretc pole podél osy z bude moé pst vlovou fukc jko dvouslokovou velu spor ψ ( r σ = ) Ψ = (535) ψ ( r σ = ) psobeí hmltoáu jedotlvé sloky bude ħ ħ ħ e Bσ Hψ ( r σ ) = + e B y ψ ( r σ ) m x m y m z m (536) Ve vzthu (536) u jsme zvoll kokrétí tvr vektorového potecálu A= B y e Zjímvé moost spojeé s rzou volbou tohoto potecálu ebudeme le rozebírt Dosdíme do stcoárí Schrödgerovy rovce H ψ = Eψ vlovou fukc ve tvru který bere v úvhu e rovce závsí pouze soudc y x ψ = exp ( px x + pz z) χ ( y) ħ (537) 9

30 Pro fukc χ ( y) pk dostáváme obyejou dferecálí rovc kde + E σ ω ωb ( y y ) χ = d χ m pz m B d y ħ m (538) ω = e B px B y m = e B (539) Rovce (538) je rovce hrmockého osclátoru meme proto hed pst vlstí hodoty eerge tké ormové vlstí fukce χ E = + + σ ω B ħ (54) y y y y ħ y = exp H = π! B B B m B B ω (54) Pomr sdo se pesvdíme e krom kostty y meme vytvot tké velu y x = p e B + x její operátor komutuje s hmltoáem ħ x = + x x H = e B y V klsckém popsu je bod ( x y ) je stedem kruce polomru pt e B kde t p je velkost prmtu hybost p do rovy x y A pro velké hodoty kvtového ísl edostáváme ( y) χ jko rozloeí hustoty prvdpodobost soustedé kolem klscké trjektore Je teb s uvdomt zou (ekoeou) degeerc pro dou eerg z leárí kombce stv písluých dé eerg u co podobého vytvot jde Jká je vlst ásobost degeerce pro urté íslo? Uzveme-l elektro do krychle objemu V = Lx Ly Lz je poet stv s rzým hodotm (te u dskrétím) z rove L ( π ) z ħ pz Poet stv pro x p je obdob L ( π ) x p v tervlu pz p ħ px le tervl x esmí vést k tomu by bylo y > Ly musí tedy být px = e B Ly Celkem je tedy poet stv s dou hodotou eerge (jet dvojásobá degeerce dá rovostí eerge pro + ( + ) ) 3

31 e B p V z ( π ħ) 6 Nkteré proxmce pro poruchy se ezávslé 6 Ryleghov Schrödgerov metod 6 Nedegeerové hldy Pedpokládáme e hmltoá je se explct ezávslý Je sloe ze dvou ástí H H V = + σ H je zákldí ást (eporueý hmltoá) σv je terkí ást (poruch) mlý prmetr eeí rovce pro vlstí hodoty vlstí vektory hmltoáu H hledáme pomocí rozkldu podle vlstích vektor hmltoáu H ( ) ( ) ( ) H Ψ = E Ψ H Ψ = E Ψ k σ m k = m k = ( k ) ( ) k ( k ) Ψ = c Ψ E = σ E (6) k Porováím le u stejé mocy σ dosteme k ( k l) ( l ) ( ) ( k ) ( k ) E cm Em cm = Vm p c p l = p ( ) ( ) ( ) Vm p = Ψ m V Ψ p cp = ley pro k = dávjí ( ) ( ) ( E E ) m cm = ( ) ( ) ( ) E c + E E c = V c m m m m p p p E c + E c + E E c = V c m m m m m p p p (6) (63) Poítáme oprvu ke stvu ( ) Ψ Stvový vektor budeme p výpotu ormovt podmíkou (pípdé ormováí Ψ Ψ = meme provést po ukoeí poruchové dy) 8 ( ) ( ) ( l ) Ψ Ψ = c = δ c = (64) m m 8 Zmeá to e pípdé zmy ve smru pvodího stvového vektoru euvujeme poítáme je se vzkem oprvy v ortogoálím podprostoru k jedorozmrému podprostoru teém pvodí vektor ( ) Ψ 3

32 eeím soustvy rovc pro m= máme E ( ) ( ) ( ) E = E c = E = V c = V V = c = p p ( ) ( ) p E Ep (65) eeím soustvy rovc pro m¹ pk c 6 Degeerové hldy m c Vm = cm = ( ) ( ) E E ( ) m V V V V = p E E E E E E p m m m p p m Ptí-l stv s-krát degeerové eergové hld ( E = E = = E vhod vybrt píslué vlové fukce tj zvolt místo pvodích ové j j j = s m ( ) ( ) ( ) s (66) ) je teb ( ) / ( ) ( ) Ψ Ψ = d Ψ (67) tk by byl operátor V pro ové vlové fukce ptící degeerové hld dgoálí Ve druhé z rovc v (63) pro který stv m = z degeerové hldy poloíme ( ) c = pro p p s Koefcety d j získáme eeím soustvy rovc V E V V s s V V E V E d j = V d k k j = k = s V V V E s s s s (68) Pro ejí oprvé ley dostáváme (dexy pedpokládáme e degeerce u byl sejmut tj u ptí ovým fukcím V je v ových fukcích dgoálí V V j Pokud by tomu tk ebylo je teb postup opkovt do úplého j sejmutí degeerce Ψ / Ψ / 3

33 V p Vp E = E E = V E = ( ) ( ) E E ( ) Vm cm = δ m c = c m = j ( ) ( ) E E c j V j p V = V V p E E p k p p ( ) ( ) j j k p m (69) 63 Pípd velm blízkých hld Pro urtost uvujme o dvou blízkých hldách odpovídjících stvm m Z poruchového leu solujeme píslué mtcové elemety tedy V = V + V H = H + V H = H + V V = V m m + V + V m + V m mm m m (6) Pltí tedy Potom bude m V m = V = m V = V m = ( ) = H k m E k m V k m = ( ) = + = + ( ) = + = + k H m E m V m E E V m m m m mm H E V E E V m (6) (6) Rovce pro vlstí hodoty vede k výsledému roztpeí hld H α m + β = ε α m + β Em ε V m α Em ε Vm = = Vm E β ε Vm E ε (63) E m + E Em E ε ± = ± + V m (64) 6 Potecálí eerge jko poruch rovcí Jko eporueou úlohu uvujeme pohyb volé ástce popsý Helmholtzovou 33

34 p ( m E ) Ψ r + k Ψ r = k = = ħ ħ (65) Pohyb v potecálovém pol které povujeme z poruchu je popsá Schrödgerovou rovcí eeí této rovce meme pst ve tvru m Ψ + Ψ = Ψ ħ ( r ) k ( r ) U ( r ) ( r ) ( ) m s Ψ r = Ψ ( r ) G ( r r ) U ( r ) Ψ ( r ) d r ħ kde G je Greeov fukce Helmholtzovy rovce ( s ) G r r + k G r r = δ ( r r ) exp{ k r r } G ( r r ) = s = 3 4π r r Schrödgerovu rovc pk eíme tercem ( ) G r r = H { k r r } s = 4 G ( r r ) = exp { k r r } s = k ( + ) ( ) m ( ) Ψ r = Ψ r G r r U r Ψ ( r ) d s r = ħ (66) (67) (68) (69) Zsteme-l pouze u zákldí terce ( = ) zývá se toto pblé eeí pohybu v potecálovém pol Borov proxmce Pedpokládáme tedy ( ) ( r ) Ψ ve tvru rové vly zjímáme se o vlovou fukc dleko od oblst psobeí potecálu tedy pro Greeovu fukc kldeme V expoetu jsme proxmovl { k r} exp G ( r r ) = exp { k r f } s = 3 4π r ( + ) exp{ k r} G ( r r ) = exp { k r f } s = 4 π k r { k r} exp G ( r r ) = exp { k r f } s = k (6) 34

35 r r r r = r f + r f r (6) r r pem jsme ozl jko = r r jedotkový vektor ve smru pozorováí Dopdjící f rová vl je pk Ψ = exp = exp ( ) ( r ) { k r} { k r f } s ozeím jedotkového vektoru ve smru dopdu = k k kde f ( f ) ( s ) Vlová fukce je pk π k Ψ ( r ) = exp { k r f } + f ( f ) exp { k r } k π r je mpltud rozptylu ( + ) m s π s f ( f ) = exp exp { k r f } U ( r ) Ψ ( r ) d r π 4 ħ Ampltud rozptylu v Borov proxmc je ( + ) { } m s π s fb ( f ) = exp exp k r f U r d r π 4 ħ V trojrozmrém pípd dostáváme pro mpltudu rozptylu dopedu ( = f ) výrz m f 3 B θ = = U r d r π ħ (6) (63) (64) (65) (66) To je reálá vel co je v rozporu s optckým teorémem 9 omezuje to pltost jk velm uteé proxmce pípd velm slbého rozptylu Podíl prvdpodobost toho e rozptýleá ástce projde z jedotku su ploým elemetem ds = r dω hustoty toku ástc v dopdjícím svzku zveme dferecálím úým prezem dσ d σ = f d Ω f f (67) Jko píkld uvedeme výpoet mpltudy rozptylu v Borov proxmc pro Yukvv potecál ve tech rozmrech 9 Optcký teorém je pozoruhodý vzth který spojuje celkový úý prez mgárí ást mpltudy k I { } = σ 4π rozptylu ve smru dopdjící vly f ( ) 35

36 α exp( -λ r) U ( r ) = r Z (65) máme ve sférckých soudcích ( λ r) m exp f ( f ) = U exp k r cos s d d d f ϑ ϑ ϕ ϑ r r π ħ r Z obrázku vdíme e - = s( θ ) Itegrál vzhledem k ϕ dává π po substtuc cosϑ = x máme ò - Zbývá dopoítt f = ( f ) f ( k r ( θ )) - (- k r ( θ )) k r s( θ ) exp s exp s expé k r s( θ ) xù ë û d x = ( θ ) { ( λ ( θ )) ( λ ( θ )) } mα exp k s r exp + k s r d r k s ħ Ampltud rozptylu je tedy mα f = ( f ) ( λ ) + k ( θ ) ħ s (68) Pro rozptyl coulombovském potecálu ( λ = ) dostáváme Rutherfordv úý prez (ozíme ħ k = p= mv ) æ α ö dω d σ Ruth = ç m v çè ø θ f 4 s (69) 36

37 63 Vrí prcp Uvujme vrí úlohu J = ψ H ψ E ψ ψ δ J = (63) Vrce vzhledem k eerg která zde vystupuje jko Lgrgev multplkátor dává ormovcí podmíku Vrce vzhledem k ψ dává Schrödgerovu rovc δ J = ψ ψ = δ E ( H E) δ J = ψ = δ ψ (63) Strkt vzto vrce br vektoru jemu písluého ket vektoru ejsou ezávslé le ve vrím potu s m budeme formál poítt jko s ezávslým velm ebo pltí ( δ ψ ) α + β ( δ ψ ) = α = β = (63) 64 Hrtreeho - Fockov metod selfkozstetího pole Pro výpoet mohelektroových systém je vhodá metod selfkozstetího pole Pedpokládáme e spov ezávslý Hmltov operátor soustvy s N elektroy je tvoe ástí vyjdující terkc elektrou s vjím polem leem popsujícím vzájemou terkc elektro soustvy N N H = H + H H = H H = V = k = k ħ e H = + ev r V k = m 4π ε r r k k (633) Pro vlovou fukc volíme pk Ψ ( r s r s rn s N ) = ( r s ) ( r s ) ( r s ) N ( r s ) ( r s ) ( r s ) ψ ψ ψ ψ ψ ψ N! ψ ψ ψ N ( r s ) ( r s ) ( r s ) N N N N N N N N (634) Jedoástcové vlové fukce meme psát jko souy soudcových spových fukcí Budeme podovt by jedoástcové fukce byly ortoormálí Vrí fukcoál má v tkovém pípd tvr 37

38 J = r H r r E r r r + N N 3 3 ψ d d ψ ψ ψ = = N 3 3 ψ r d d ψ r k k V k ψ r ψ r k k r rk k = k N 3 3 δs d d s ψ k r ψ r k k Vk ψ r k ψ r k r rk k = k (635) Po vrc dostáváme soustvu rovc N ħ e r ev r r k r r k r m π ε k = r r k 3 ψ ( ) ψ ( ) d ψ N e 3 δs d s ψ k r ψ k r r ψ r = E k ψ r 4π ε k = r r k (636) Pro celkovou eerg (eí prostým soutem eergí E ebo tk by byl coulombovská terkce zpote dvkrát) obdríme výrz E = = ( r ) N ħ e r ev r r k r r k r m π ε k = r r k 3 ψ ( ) ψ ( ) d ψ N e 3 δ s d s ψ k r ψ k r r ψ r k 8π ε k = r r k Pro tom se Z protoy v jáde dvm elektroy dostáváme N ψ (637) ħ Z e e 3 r + ψ ψ ψ m 4π ε r 4π ε r r s s ( r ) ( r ) d r ( r ) e 3 δ s d s ψ r ψ r r ψ r = E ψ r 4π ε r r ħ Z e e 3 r + ψ ψ ψ m 4π ε r 4π ε r r e δ 4π ε ( r ) ( r ) d r ( r ) ψ 3 ( r ) d r r r E r r r ψ ψ = ψ P kokrétích výpotech je výhodé pouít rozkldu (638) 38

39 4π r = Yl m ( ϑ ϕ) Yl m ( ϑ ϕ ) (639) r r l + r l l < l + l = > m= l 65 Rtzov vrí metod Je zejmé e pro ejmeí hodotu eergového spektr pltí erovost E ψ H ψ J = (64) ψ ψ Dkz je jedoduchý Zpme ψ = ψ H = E (64) Potom ( ) ψ E ψ E E = = J = = + E E ψ ψ = = (64) Budeme tedy mmlzovt hodotu fukcoálu J podprostoru zkuebích vektor Teto podprostor prmetrzujeme M prmetry m tke redukujeme mmlzc fukcoálu J hledáí mm fukce J ( α α ) ( ) M H ( M ) ( ) ( ) ψ α α ψ α α M = ψ α α ψ α α M M (643) Zvlátí pozorost s zslouí pípd kdy prmetry α m jsou koefcety leárí kombce vektor báze M-rozmrého podprostoru písluého Hlbertov prostoru V tomto pípd dostáváme J M ψ ( α α ) = α φ (644) ( α α ) M j j j = M α α φ H φ j k j k j k = M = (645) M α j j Z podmíky dostáváme soustvu rovc J ( α α ) M = = M (646) α 39

40 M φ k H φ αk = J α (647) k = Meme s tké pedstvt e úloh je pevede lezeí vlstích hodot vlstích vektor projekce H P hmltoáu do tohoto podprostoru H s proxmcí Schrödgerovy rovce M = φ φ H φ φ (648) P j j k k j k = H φ = E φ (649) P P Promíteme-l tot (649) postup do vektor (644) dosteme soustvu M homogeích lgebrckých rovc (647) která má eeí pro ( H E ) ( H E ) φ φ φ φ P P M ( H E ) ( H E ) φ φ φ φ M P M P M = (65) Vektory báze mohou být prmetrzováy s prmetry s v tmto prmetrm lze pk mmlzovt písluý fukcoál Výzmou plkcí je metod LCAO pro výpoet elektroových stv v molekulách Molekulárí vlová fukce elektrou se kostruuje jko leárí kombce vlových fukcí elektrou jedotlvých tom Pro molekulu s M tomy hledáme tedy jedoelektroové vlové fukce ve tvru Ψ = M ( r ) αmψ { } ( r Rm ) tchto vlových fukcí ujeme p vytváeí mohelektroové vlové fukce m= 7 Borov Oppehmerov proxmce 7 Obecá teore m (65) Pro výpoet stcoárích stv molekul je vhodá Borov-Oppehmerov proxmce Pedpokládáme e spov ezávslý Hmltov operátor soustvy s N elektroy M jádry je tvoe ástí vyjdující ketckou eerg jder dále pk elektroovou ástí obshující ketckou eerg vzájemou terkc elektro koec terkí ástí popsující terkc elektro s jádry vzájemou terkc jder 4

41 H = H + H + H H = M J e t J ħ r r = M r N N ħ e H e = + m 8 r r = π ε k = k k M N M e Zr Zs e Zr Ht = 8π ε R R 4π ε r R r r = r s = r = r r s Vlovou fukc hledáme ve tvru ψ r R = r R Χ R kde fukce χ { r} { R} ({ } { }) χ { } { } je eeím rovce ({ }) (7) (7) N N M ħ e e Zr Zs + + m = 8π ε k = r rk 8π ε r r = Rr Rs k r s e 4π ε N M Zr r R = r = r Vrí úloh pro fukc { R} δ J = χ ({ r} { R} ) = U ({ R} ) χ ({ r} { R} ) χ r R r R d r = ({ } { }) χ { } { } { } Χ má pk v tomto pípd tvr M Χ ({ }) ħ r ({ }) ({ }) d { } r = M r J = R + U R E Χ R R Z uvedeého fukcoálu meme pk odvodt pro pohyb jder "Schrödgerovu rovc" M r + U R E Χ R = r = M r (73) (74) ħ ({ }) ({ }) (75) Pro dvoutomovou molekulu (pedpokládáme e tt je v kldu) ozíme reltví soudc redukovou hmotost jko M M R = R R µ = M + M rovce (75) se zjedoduí ħ + U ( R) E Χ ( R) = µ (76) (77) 4

42 Stdrdí substtuce vede k rovc ( R) Σ ( R) ( ) K Χ = YK M Θ Φ R (78) kde ħ d + U eff ( R K ) E Σ K ( R) = µ dr (79) ( + ) K K Ueff ( R K ) = U ( R) + ħ (7) µ R Blízko rovováého stvu pk poecháme je ejí ley rozvoje efektvího potecálu µ Ω d Ueff R K Ueff ( R K ) = U eff ( R K ) + ( R R ) Ω = (7) µ dr Doszeím (7) do (79) dostáváme rovc hrmockého osclátoru Struktur eergových hld dvoutomové molekuly je tk tvoe tem ley elektroovým rotím vbrím ( el ) ( r) ( v) E = E + E + E ( el) ( r ) ( v) (7) E = U ( R ) E = B K ( K + ) E = ħω v + Ve vzthu (7) jsme zvedl kosttu B ( µ R ) = ħ která uruje kálu rotích hld eerge Typcké hodoty pro zákldí molekuly jsou uvedey v Tbulce Tbulk ev molekul H N O -U(R ) ħ Ω B

43 7 Molekul vodíku 7 Iot molekuly vodíku Nejprve budeme studovt jedoduí pípd to ot molekuly vodíku V tomto pípd má hmltoá v Borov Oppehmerov proxmc tvr ħ e e e H = + m 4π ε r 4π ε r 4π ε R r = r R r = r R R = R R (73) P mlé vzdáleost proto by se ml vlová fukce chovt podob jko vlová fukce elektro v helovém tomu p velké vzdáleost proto by ml vlová fukce je s mlou prvdpodobostí obshovt stv kdy ob elektroy jsou loklzováy kolem jedoho protou Vlové fukce budeme tedy hledt ve tvru ψ r = αψ r + βψ r ψ r d r = ψ r d r = 3 3 b b b α + β + α β S R + α β S R = (74) 3 S ( R) = ψ r R ψ b r + R d r Hledáme te prmetry které splují ormovcí podmíku relzují mmum fukce bb b b J = α H + β H + α β H + α β H 3 3 d ( ) H = ψ r Hψ r r Hbb = ψ b r Hψ b ( r ) d r H = ψ r Hψ r d r H = ψ r Hψ r d r 3 3 b b b b (75) Stuc podstt zjedoduíme hledáme-l vlovou fukc zákldího stvu Z vlové fukce vezmeme ψ φ ψ φ ( r ) = ( r ) ( r ) = ( r ) b φ ( r) 3 γ r = exp 3 γ π B B vzhledem k symetr budeme uvovt je symetrcké tsymetrcké kombce (76) ψ ± ( r ) = φ ( r ) ± φ ( r ) S = φ ( r ) φ ( r ) r ( ± S ) Pro mtcové elemety hmltoáu dostáváme 3 d (77) 43

44 Zde jsme ozl výmý E ρ ħ H = Hbb = γ γ ( γ ) γ C m + + B ρ Hb H b S E m γ γ γ B γ ħ γ S = = + + ρ ρ = γ R zvedl tegrály pekryvový B (78) S ρ Coulombv C ρ 3 S ( ρ ) = φ ( r ) φ ( r ) d r = + ρ + ρ exp { ρ} 3 B φ ( r ) φ ( r ) 3 C ( ρ ) = d r ( ( ρ ) exp{ ρ} ) γ = + (79) r ρ φ B ( r ) φ ( r ) 3 E ( ρ ) = d r = ( + ρ ) exp { ρ} γ r Mmlzujeme tedy výrzy J J ħ + = γ + + m B ρ ħ = γ + + m B ρ ( ) C + ( ) E + S ( ρ ) γ γ γ γ ρ γ γ ρ ( ) C ( ) E S ( ρ ) γ γ γ γ ρ γ γ ρ (7) Pro J - ejdeme mmum pro J + máme jedo mmum V okolí výzmých bod lze psát R γ 38 6( R 33 ) R Rm R R R R m B J + + ( R ) R R m ħ (7) 7 Molekul vodíku Opt v Borov Oppehmerov proxmc vezmeme z elektroový hmltoá výrz 44

45 H ħ e e = m 4π ε r R 4π ε r R ħ e e m 4π ε r R 4π ε r R e e + + 4π ε r r 4π ε R R b b b (7) vlovou fukc budeme hledt ve tvru ψ s ( r r ) = ψ ( r ) ψ b ( r ) + ψ b ( r ) ψ ( r ) ( S ) + ψ t ( r r ) = ψ ( r ) ψ b ( r ) ψ b ( r ) ψ ( r ) ( S ) ψ φ ψ φ ( r ) = ( r R ) ( r ) = ( r R ) b b (73) Ppomeme e spová ást vlové fukce má tvr χ χ χ s ( s s ) ( s s ) χ ( s s ) t t3 t = = = = + ( s s ) Podob jko u otu dostáváme pro eergový fukcoál molekuly vyjádeí b H b ± b H b J = ± S 3 3 ( ) b H b = b H b = ψ b r ψ r Hψ ( r ) ψ b ( r ) d r d r b H b b H = b = ψ r ψ r H ψ r ψ r d r d r 3 3 b b Ke tem tegrálm zámým z eeí pro ot pbydou dv dlí (φ je reálá fukce!) C r R r R d r d r B ( ρ ) = φ ( ) φ ( b ) 3 3 γ r r E r R r R r R r R d r d r B ( ρ ) = φ ( ) φ ( b ) φ ( b ) φ ( ) 3 3 γ r r Mmlzujeme pk výrz (74) (75) (76) 45

46 J + = α ( ρ ) γ β ( ρ ) γ m + B ħ ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) + S ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) + S ( ρ ) + C + 4 S E C E α ( ρ ) = ρ β ρ = + S S E (77) 8 Kvsklscká proxmce 8 Zákldí vzthy eeí Schrödgerovy rovce ħ ħ Ψ = + U Ψ (8) t m hledáme ve tvru Ψ ( r t) = A( r t) exp S ( r t) ħ (8) Doszeím (8) do (8) dostáváme S A ħ ħ ħ A ħ + A( S ) A S S A+ U A A = t t m m m m (83) Oddleí le u sudých lchých moc ħ dává S S ħ A + + U = t m m A A S + A + S A = t m m (84) Zedbáme-l le s ħ (kvtový potecál) ozíme ρ = A meme rovce pepst Hmltoovu - Jcobho rovc rovc kotuty S ρ S = H ( S r ) = ρ t t m (85) Ve stcoárím jedorozmrém pípd je eeím 46

47 ψ ψ x x C C exp d exp d p ħ p ħ ( x) = p x + p x p = m( E U ) x x D D exp d exp d p ħ b p ħ b ( x) = p x + p x p = m( U E ) (86) Podmík pltost proxmce je by píspvek kvtového potecálu byl mlý v tomto pípd j lze vyjádt jko 8 Okrjové podmíky A x= x=b jsou body obrtu tedy d λ π ħ π λ x = (87) dx p x U x > E x < U x < E < x < b U x > E x > b Kvsklscká eeí v jedotlvých oblstech jsou (88) x x x A C C ψ ( x) = exp p d x ψ ( x) = exp p dx+ exp p dx p ħ p ħ p ħ x x x D D B = exp p dx + exp p d x ψ ( x) = exp p d x p ħ b p ħ b p ħ b (89) V okolí bod obrtu je E U ( x ħ α ) x E U x ħ β m m x b (8) V tomto okolí (le stále dostte dleko od bod obrtu) meme psát A α 3 ψ ( x) = exp 4 ( x) ψ ( x) = ħα 3 ( ) ( ) ( x) C α 3 C α 3 exp 4 ( x ) + exp 4 ( x ) = ħα x 3 ħα x 3 ( x b) ( ) D β 3 D β 3 exp 4 ( b x) + exp 4 ( b x) ħ β b x 3 ħ β b x 3 ( ) B β 3 ψ ( x) = exp 4 ( x b) ħ β 3 P lytckém prodloueí odmoc do komplexí rovy poujeme zápsu (8) 47

48 { } { } { } x b { } x ϕ π = ρ exp ϕ = ρ exp ϕ π ϕ π π x b = ρ exp ϕ π x = ρ exp ϕ π Obchodem bod obrtu v horí (spodí) polorov dostáváme podmíky spojtost A π B π C = exp D = exp 4 4 A π B π C = exp D = exp 4 4 koec tedy b p d x π = π B = ( ) A ħ (8) (83) (84) 83 Bohrovo - Sommerfeldovo kvtováí Ppomeme e v klscké mechce máme pro perodu výrz π dx dx T = = dt m ω = = v( x) p( x) E p v = T = d x p E Kvsklscká vlová fukce ormová jedku je z (86) (83) b b (85) ψ ( x) x ω π = cos p d x π v ħ 4 (86) podmíku kvtováí (84) píeme jko p d x = + π ħ (87) Dále pk S = p dx je ploch uvt uzveé trjektore ve fázovém prostoru Podlíme-l tuto plochu výrzem π ħ dosteme poet kvtových stv s eergem meím e je eerge uvové trjektor Meme íc e v kvsklscké proxmc odpovídá jedomu kvtovému stvu buk fázového prostoru velkost π ħ Pro poet stv v elemetárím objemu fázového prostoru dostáváme q q p p N = s s s ( π ħ) Odeteím kvtových podmíek pro dv sousedí eergové hldy dostáváme (88) 48

49 p p( E + E) dx p ( E) dx = E d x E π E = π ħ E = ħω ω (89) 9 Poruchy se závslé 9 Iterkí reprezetce Budeme poítt v terkí reprezetc Pedpokládáme e hmltoá je sloe ze dvou ástí H = H + V : H je se ezávslá zákldí ást (eporueý hmltoá) V je terkí ást která me explct závset se (poruch) Pltí Odtud dále Ht = exp H t V exp H t Ψ t = exp H t Ψ ħ ħ ħ ħ Ψ t ( t) = H t Ψt ( t) t t ( t) S ( t ) Ψ = Ψ t ħ S ( t ) = H t ( t) S ( t ) S ( ) = t t t S t = d H t t H t H ( t ) dt d t + ħ t t t ħ t (9) (9) Jko báz zvolíme vlstí vektory hmltoáu H H Φ = E Φ Ψ ( t) = c ( t) Φ (93) t Vlovou fukc ve Schrödgerov represetc zpíeme dvm zpsoby promítutím do Ψ = exp H t Ψ t ( t) = c ( t) exp E t Φ ħ ħ exp Ψ = H t S ( t ) Ψ t ( ) = ħ c ( ) exp m E t Φ Φ S ( t ) Φm m ħ Φ dostáváme pro c ( t ) (vektor ( t) k k t (94) Ψ eí ormová jedotku!) 49

50 S ozeím V ( t) V ( t) k k c k t = c Φk S ( t ) Φ (95) = Φ Φ máme pk t c ( t) = c ( ) δ V ( t ) exp ( E E ) t dt k k k k h ħ ħ t t V ( t ) exp ( E E ) t V ( t ) exp ( E E ) t dt dt + k m k m m m ħ ħ Pímým doszeím z ( t) 9 Fermho zlté prvdlo m Ψ z (93) do (9) promítutím do Φ dostáváme t ħ d c ( t) Φ = c ( t) H ( t) Φ dt m m m t m m d ħ c ( t ) = Vm ( t) exp ( E Em ) tcm ( t) dt m ħ Pedpokládejme e v se t = je soustv v urtém stvu (poáteím) Φ m (96) (97) tke pro koefcety c ( ) k Φ f rzého od = δ Poítejme prvdpodobost pechodu do (koeého) stvu k Φ tedy koefcet c [ ] f t Pdý dex zvýrzuje e poítáme pechod z tohoto poáteího stvu S ozeím ħ ω f = E f E pk máme v prvím pblíeí t c [ ] ( t) = V f ( t ) exp{ ω f t} d t f ħ (98) 9 Hrmocký prbh sové závslost poruchy Pro hrmockou poruchu dostáváme + = exp{ ω } + exp{ ω } V t F t F t t c [ ] ( t) = Vf ( t ) exp{ ω f t} dt f = ħ { ( ω f ω) } ( ω ω f ) { } exp t exp t Ff F f ħ ω ω ħ ω ω f f (99) 5

51 Zvlátí pozorost zsluhuje pípd kdy ω ω f ebo ω ω f Poítejme prvdpodobost pechodu z jedotku su defovou vzthem Ze (99) dostáváme ħ S vyutím vzthu dostáváme To zmeá w [ ] f c f = lm (9) t t ( f ) ( f ) [ ] ( t) { ω } + { ω } ( f ) ( f ) s ω ω t s ω + ω t c f [ ] ( t) = Ff + F f + ω ω ω + ω s ω f t s ω t Ff F f exp t Ff F f exp t δ ( x) ( x t) ( ω f ) ( ω ) (9) s = lm (9) t π x t ( ) ħ w [ ] = Ff δ ( ω f f ω ) + F f δ ω f + ω + π F F + F F δ ω f f f f f π π w F E E w F E E f ħ ħ pro bsorpc ( E f E ω [ ] = f δ ( f + ħω) f [ ] = f δ ( f + ħω) = + ħ exp{ ω t} ) ebo ems ( E f E ω w π F F E E f ħ [ ] = f + f δ ( f ) = ħ exp{ ω t} ) fotou (93) (94) (95) pro stcoárí poruchu ( ω = ) P pechodech do fálího stvu který leí ve spojtém spektru s hustotou stv dν f ebo pro dskrétí spektrum s velm blízkým eergem poítáme (96) w [ ] = w [ ] = d w [ ] f f { E E f } kde hustot prvdpodobost pechodu z jedotku su je dw f 5

52 π π dw = Ff δ ( E f E ħω) dν f = Ff δ ( E f E ħω) ρ ( E f ) d E f f ħ ħ π π dw = F f δ ( E f E + ħω) dν f = F f δ ( E f E + ħω) ρ ( E f ) d E f f ħ ħ Prcp detlí rovováhy íká e vzhledem k pltí f f f f f f f f (97) F = F F = F F = F F = F (98) ρ w [ ] f ( E f ) w [ f ] = (99) ρ ( E ) Vlstí hodoty vlstí fukce operátoru mometu hybost V pedchozích ástech jsme se s operátorem mometu hybost letmo setkl tké jsme v kterých pípdech brl v úvhu sp elektro Te úvhy pokud zpesíme Jedotkový xálí tezorε k l bývá hodotu pro dexy {kl} které vzkly sudým potem trspozcí z {3} hodotu - pro dexy {kl} které vzkly lchým potem trspozcí z {3} hodotu v osttích pípdech Pltí δ r δ s δt δ r δ s ε k l ε r st = δ k r δ k s δ k t ε k l εr sl = δ k r δ k s δ δ δ l r l s l t ε ε = δ ε ε = 6 k l r k l r k l k l () Pozámk: pouíváme zde Esteovu sumí symbolku tj seítáme pes dexy které se v dém leu vyskytují opkov Pomocí tezoruε k l zpíeme operátor mometu hybost jeho komutí relce jko Sdo tké ukáeme e Defujeme ħ l = ε k l qk p l l q k εk l q l l p = k = εk l pl () ħ l l j = ε j k l l qk pl ε j k l qk pl l = ε j k l qk l pl + ε j k l ε k m qm pl ε q p l = ε ε q p + ε ε q p = q p q p = ħε l j k l k l j k l l m k m j k l k m m l j j j k k l = l ( ) ( x + ly + lz l+ = lx + ly l = lx ly ) (3) (4) 5

53 Pro tyto operátory pltí komutí relce l l = l l + = l z lz l + = l + lz l = l Operátor tverce mometu hybost meme psát jko l = l l + l l = l l + l + l + z z + z z V soudcové reprezetc (ve sférckých soudcích) je exp { } cot l + = ϕ + ϑ ϑ ϕ l exp { ϕ} cot ϑ ϑ ϕ + = + ϕ sϑ ϑ ϑ s ϑ ϕ l z = l = s ϑ + (5) (6) (7) Vlstí hodoty vlstí fukce operátoru z-ové sloky mometu hybost l z jdeme sdo vyutím metody seprce promých ( r ϑ ϕ ) ψ = lz ψ ( r ϑ ϕ ) ψ ( r ϑ ϕ ) = f ( r ϑ ) Φl z ( ϕ ) ϕ lz = m = ± ± Φ m ( ϕ ) = exp { mϕ} π (8) Os z eí jk preferová tke prmt mometu hybost do lbovolého smru me bývt pouze celoíselých hodot Teto výsledek eí rozporý ebo vlstí fukce jsou pro rzé smry rzé l Bu Ozme te jko l ejvtí moou hodotu m pro dou vlstí hodotu operátoru l λ m vlstí vektor operátoru l z s vlstí hodotou m sous vlstí vektor s vlstí hodotou Potom ( z ) ( z ) l l λ m = l l + λ m = m + l λ m z l l λ m = l l λ m = m l λ m z λ m + = C l λ m λ m = C l λ m + + (9) Pro m = l musí tedy vzhledem k tomu e l je ejvyí moá hodot m být 53

54 ( z z ) l λ l = l l λ l = l l l λ l = + + l λ l = λ λ l l λ l = l λ l l λ l = l λ l z z Dostáváme tedy pro vlstí hodoty operátoru ezávsí m Vlstí vektory operátoru pímým eeím rovce l l hodoty = l(l+) vlstí hodoty () v soudcové reprezetc dosteme ejsdj π π Yl m ( ϑ ϕ ) = Φm ( ϕ ) Θl m ( ϑ ) Yl m ( ϑ ϕ ) s ϑ dϕ dϑ () d dθl m ( ϑ ) m sϑ + l ( l + ) Θ l m ( ϑ ) = sϑ dϑ dϑ s ϑ m eeím jsou pdrueé Legdreovy polyomy P ( cos ) l l ϑ S uváeím ormovcí podmíky ( l m ) ( l + m ) m+ m! ( ) l l + Y m l m ϑ ϕ = Pl ( cosϑ ) exp { mϕ} 4 π! () Jý zpsob dává mtcová formulce Soudcová reprezetce vzkl projekcí = ϑ ϕ l m Poítejme mtcový elemet l podle (6) Máme Yl m ( ϑ ϕ ) Dále pk + = + = l ( l ) µ = l l m l l l l + µ µ l m m m µ = l + + l m l l m l m l l m + m m l m l l m = l m l l m (3) ( l + m)( l m + ) l m l = + l m l m l l m = ( ϑ ) = ( ) ( ϑ ) dθl l l+ l l = l cotϑ Θ l l ( ϑ ) = dϑ Θ l l l ( l + ) l! s ϑ l l! ( l) ( l m) l m ( l + m) l m!! l l m + = l m l l m + l m l l l = l m! (4) 54

55 Vechy úvhy provádé pro momet hybost jedé ástce l pltí smozejm pro celkový momet soustvy L Mtcové elemety skláru vektoru prt stvu L = l (5) Uvujme opt uzveou soustvu ástc bez vjího pole ebo ástc ve vjím cetrálím pol Hmltoá tkové úlohy se ezmí p otoeí soudcové soustvy o lbovolý úhel kolem lbovolé osy (procházející stedem) v dsledku této zotrope prostoru komutuje s hmltoáem H operátor mometu hybost L P otoeí se vk obec ezmí sklárí vel f tké její operátor f bude tedy komutovt s operátorem mometu hybost f L = () Mtce operátoru f je vzhledem k L M dgoálí M ezávslá Dgolt plye z komuttvost f L Nezávslost M sdo ukáeme: ozme N soubor zbývjících mtcových dex (kvtových ísel) chrkterzujících stv soustvy Z komuttvost f L + ezávslost mtcových elemet L + N dostáváme N L M + f N L M + N L M + L N L M = N L M + L N L M N L M f N L M + + () tedy mtcové elemety operátoru f ezávsí M Pro hmltoá to zmeá L + ásobou degeerc eergových hld Uvujme te o vektorové fyzkálí vel které písluí operátor relce s operátorem mometu hybost vektoru soudc tedy V Komutí L budou stejé jko komutí relce operátoru L V k = ε k l V (3) Mtcové elemety vektoru mohou být odlé od uly je pro hodoty L M lící se ejvýe o jedotku (výbrová prvdl) Máme píkld 55

56 L z V z Lz V V Lz V = + = + = V M L M M V M = M V L M z z z z M M M V M = M M V M z z M L M M V M = M V L M + M V M z + + z + M M M V M = M + M V M Operátor prty defujeme jko + + M L M M V M = M V L M M V M z z M M M V M = M M ( ψ ) r P = r ψ V M (4) (5) Jeho vlstí hodoty jsou P = P = jk sdo vdíme z P ψ = ψ Prt stv ástce chrkterzových l m je (-) l protoe p prostorové verz se sfércké soudce vlstí fukce Y ( ϑ ϕ ) m l l m = ϑ ϕ l m trsformují tkto: r r r r + P m m ϑ π ϑ ϕ ϕ π l ( cosϑ ) exp{ ϕ} l m ( cos( π ϑ )) exp{ ( ϕ π )} l ( cosϑ ) exp { ϕ} P m + = P m (6) Z hledsk prty rozlujeme sklárí vely prvé skláry pseudoskláry vektorové vely polárí vektory xálí vektory podle toho jestl s operátorem prty komutují ebo tkomutují Stvy se sudou prtou ozme g stvy s lchou prtou u Výbrová prvdl pro lbovolý operátor O dosteme ze vzth relcí { } { } p P g g + u u O p = p g g O p p u u O p p O P g g + u u p = p O g g p p O u u p (7) PO O P = PO + O P = (8) g g u u Sp Rotce komutí relce pro operátor mometu hybost Budeme s vímt pouze ftezmálích rotcí o úhel krtézské soustvy soudc v trojrozmrém eukledovském prostoru máme φ Pro rotce kolem os 56

57 ( φ ) φ ( φ ) Rx ( φ ) = φ R y ( φ ) = () ( φ φ ) φ φ φ R z ( φ ) ( φ ) φ ( φ ) = φ () Tyto rotce meme zpst pomocí operátoru mometu hybost jko R φ = J φ J φ (3) kde = J x = J y = J z = (4) Koeé rotce pk píeme jko N φ φ = = { φ} R lm exp J J N N (5) Sp Komutí relce pro sloky mometu hybost meme psát ve vektorové form l l = l (6) ástce me mít krom tohoto orbtálího mometu jet vtí momet hybost Pro jeho operátor pltí s s s s r = = s p = s l = (7) Prví vzth íká e sp má chrkter mometu mpulsu dlí vzthy vyjdují to e jde o vtí momet mpulzu který jk esouvsí se soudcí mpulzem ástce Defujeme dále operátor celkového mometu hybost 57

58 j l s = + j j = j Obdob jko pro orbtálí momet dosteme pro sp s s s = s s s s s s = s s + s s z z z z z z s = s s + s s z (8) (9) Rozdíl je ovem v tom e projekce orbtálího mometu m musel bývt celoíselých hodot U spu toto epltí Protoe vk projekce spu tvoí posloupost ísel lících se o jedku musí být rozdíl s mez mxmálí mmálí hodotou rove ule ebo celému kldému íslu Jsou tedy moé hodoty spu ástc s = Npíkld sp mjí leptoy (elektro postro leptoy eutr) kvrky sp fotoy W Z bosoy gluoy Operátor spu me být reprezetová mtcem Pro s = je moý pouze jedý spový stv s z = reprezetce je trválí tvoí j ulový vektor s = s x sy s z = [ ] () Pro s = jsou moé pouze dv spové stvy s = ± reprezetce je relzová Pulho mtcem Pltí s = s x sy s z sx = σ x sy = σ y s z = σ z σ x = σ y = σ z = 3 σ x = σ y = σ z = sx sy sz + + = 4 z () () Tké pro s = kdy jsou moé t spové stvy s = ± máme jedoduchou mtcovou reprezetc s = s x sy s z sx = β x sy = β y sz = β z β x = β y β z = = Pro mtce pltí z (3) 58

59 β x = β y = βz = + + = s x sy sz (4) 59

60 ástce se spem tj ástce s vtím mometem hybost má tké vtí mgetcký momet µ Jeho operátor µ je úmrý operátoru spu s µ µ = s s kde je pro ástc chrkterstcká kostt Pro elektro je µ µ B e ( m) (5) = = ħ Hmltoá elektrou v elektromgetckém pol (v soudcové represetc) tedy bude ( µ B H p e A( r )) s = B ( r ) + eφ ( r ) m s (6) 3 Sp rotce Pro Pulho mtce pltí Dále pro mtc { } σ σ j = ε j k σ k σ σ j = δ j (7) pltí σ 3 = σ = + 3 ( σ )( σ b ) = b + σ ( b ) (8) (9) protoe ({ } ) σ j j σ k bk = σ j σ k + σ j σ k = δ jk + ε jk l σ l j bk () Specál pro jedotkový vektor pltí Máme pk k k + 3 = = + ( σ ) ( σ ) 3 () σ φ φ () 3 expφ = cos + s + 3 Teto výrz umouje vyjádt trsformc sporu p rotc soudé soustvy Jk bylo ukázáo Pulho mtce dleé dvm splují komutí relce stejé jko operátor mometu mpulsu který je geerátorem ftezmálích rotcí Ozíme-l φ θ polárí zmutálí úhly chrkterzující jedotkový vektor máme pro spor s prmtem do jedotkového vektoru 6

61 θ φ cos exp φ φ θ θ cos + σ 3 s cos + σ s = (3) θ φ s exp Vzhledem k eobvyklému výskytu polovích úhl ukáeme psobeí rotcí spory jet jým zpsobem Operátory spu zpíeme yí jko s x = sy = + + (4) s z = + + Trsformce sporu p rotc kolem osy z o úhel φ = { } = = { } R z φ exp sz φ σ Rz φ σ exp sz φ σ R φ φ (5) + = exp{ s } exp exp{ z φ + = sz φ} exp R + = = R Pro operátory spu tk dostáváme φ φ φ φ sx R = exp exp exp exp = cosφ s s φ s x y φ φ φ φ s y R = exp exp exp exp + + = sφ s + cos φ s x y φ φ φ φ sz R = exp + + exp exp exp s z = (6) 3 Prcp erozltelost ástc Pro kvtovou teor soustv tvoeých více stejým ástcem je zákldím tvrzeím prcp erozltelost Uvujme soustvu tvoeou dvm ástcem Podle prcpu erozltelost musí být stvy které se lí pouze podím ástc detcké Jejch stvové vektory se tedy mohou lt pouze fází exp{ α } Pro vlovou fukc dvouástcové soustvy musí tedy pltt { } { } ξ ξ = exp α ξ ξ = exp α ξ ξ ξ ξ = ± ξ ξ (3) 6

62 ástce s exp{ α } = popsové symetrckým vlovým fukcem zýváme bosoy ástce s exp{ α } = popsové tsymetrckým vlovým fukcem zýváme fermoy V reltvstcké kvtové teor lze ukázt e ástce s poloíselým spem jsou fermoy ástce s celoíselým spem bosoy Pro soustvu N boso máme ξ ξ ξ p p p N N! N! N! N N ξ p ξ p ξ p N N N! Sumce se provádí pes permutce { } moy { N} N = (3) N k je poet stejých stv p k Pro dv ástce máme Pro soustvu N fermo pk ξ ξ p p = ξ p ξ p δ + p p ( ξ p ξ p + ξ p ξ p )( δ p p ) ξ ξ ξ p p p N N! ξ p ξ p ξ p ξ p ξ p ξ p N ξ p ξ p ξ p N N N N N = (33) (34) tj Slterv determt Pro dv ástce ξ ξ p p ( ξ p ξ p ξ p ξ p ) = (35) Promé ξ zhrují jk soudce ástce tk její spový stv sto poítáme s vlovou fukcí která je souem soudcové spové fukce je symetrcká p zám soudc tsymetrcká p zám spových promých ebo opk Pro dv elektroy píkld symetrckou soudcovou fukc Ψ = + ( s ) ( r r ) ψ ( r ) ψ ( r ) ψ ( r ) ψ ( r ) b b ásobíme tsymetrckou spovou fukcí ( ) Σ ( sz sz ) = ebo tsymetrckou soudcovou fukc 6

63 Ψ = ( ) ( r r ) ψ ( r ) ψ ( r ) ψ ( r ) ψ ( r ) b b ásobíme kterou ze tí moých symetrckých spových fukcí ( s ) Σ ( sz sz ) = + Fukce vzklé ásobeím soudcové spové ást jsou leárím kombcem Slterových determt Tk píkld ψ ( r ) ( ) ( ) ψ b r ψ b r ψ r s Ψ r r Σ ( sz sz ) = + ψ ( r ) ψ b ( r ) ψ b ( r ) ψ ( r ) Ppomeeme s tké e operátor sloky z spu je = + S z (36) Psobeím jedotlvé spové fukce zjujeme e jsou to vlstí fukce tohoto operátoru vlstím hodotm (pro ( ) Σ ) (pro t rzé ( s) Σ ) 4 Cest k Bellovým erovostem 4 EPR prdox V roce 935 uveejl Este Podolsky Rose odtud zkrtk EPR láek který (spolu s ásledující Bohrovou odpovdí ) ovlvl více jk pl století úvhy o tom jk úplý je kvtov mechcký pops fyzkálí relty (tj vývoje zkoumé soustvy) EPR vrhl myleý expermet (skuteý expermet dovoll pokrok v expermetálích moostech v roce 98) který se týkl meí dvou detckých volých ástcích ve stvu popsém vlovou fukcí A Este B Podolsky d N Rose: C Qutum-Mechcl Descrpto of Physcl Relty Be Cosdered Complete? Physcl Revew 47 (935) N Bohr: C Qutum-Mechcl Descrpto of Physcl Relty Be Cosdered Complete? Physcl Revew 48 (935)

64 m m π Ψ ( x x t) = exp ( x x x ) 4π t + 4 t 4 ħ ħ Lepí pedstvu dává rozkld této fukce do rových vl p Ψ ( x x t) = exp p( x x + x ) td p π ħ ħ m (4) (4) Este Podolsky Rose uvují v láku o stvu v t = kdy Ψ ( x x ) = exp p( x x + x ) d p = δ ( x x + x ) π ħ ħ (43) Budeme mt hybost prví ástce Meí smozejm povede ke zm vlové fukce Vmme s e vlovou fukc (43) meme chápt jko kde χ p jsou vlstí fukce operátoru hybost δ ( x x + x ) = χ p ( x ) χ p ( x x ) d p (44) ħ d P χ p ( x) χ p ( x) = p χ p ( x) χ p ( x) = exp p x d x ħ ( π ħ) (45) Zmíme-l tedy hybost prví ástce získáme hodotu P má s jstotou druhá ástce hodotu P χ P x Ψ x x d x = exp P x δ ( x x + x ) d x = ħ ( π ħ) ( π ħ) exp P ( x x ) ħ (46) Pro ázorost rozepíeme postup podrobj Vlovou fukc zpsujeme v soudcové represetc tke pro stvový vektor máme Ψ = ξ ξ Ψ ξ ξ dξ d ξ Obecý pedps je ásledující: míme-l pro operátor O vlstí hodotu ω zmí se pvodí stv (kolps vlové fukce) ψ ω ψ ω kde ω je písluý vlstí vektor: O ω ω ω 64 = Zmu stvu dou meím tedy popsujeme kolv Schrödgerovou rovcí le jko psobeí projekího operátoru ω ω stvový vektor ψ

65 Nml jsme prví ástc vlstí hodotu operátoru hybost P druhé ástc jsme eml Projekí operátor popsující meí kterým psobíme stvový vektor je tedy ( P P ) Nkoec vytvoíme v soudcové represetc vlovou fukc z výsledého (tj po meí) stvového vektoru promítutím do vlstích vektor operátor soudc / Ψ ( x x ) = x P P ξ x ξ Ψ ( ξ ξ ) dξ d ξ = χp ( x ) χp ( ξ ) Ψ ( ξ x ) d ξ χ ( x ) χ ( ξ ) δ ( x ξ ) P P tedy po doszeí z (43) (45) pro druhou ástc skute výsledek (46) Nyí zmíme úmysl budeme mt polohu prví ástce Postup poítáí bude pl logcký tomu p meí hybost Vlovou fukc (43) meme tké chápt jko δ ( x x + x ) = φx ( x ) φx ( x x ) d x (47) kde fukce φ x jsou vlstí fukce operátoru soudce Q φ x xφ x = ξ φ x φ x = δ x ξ (48) ξ ξ ξ ξ Zmíme-l tedy polohu prví ástce získáme hodotu X chází se s jstotou druhá ástce v X + x φx ( x ) ( x x ) d x δ ( x X ) δ ( x x x ) d x Ψ = + = (49) δ ( X x + x ) Vzdáleost ástc v dob meí me být tková e druhá ástce leí v prostorupodobé oblst v soustv prví ástce lze tedy vylout jkýkolv peos formce o tom kterou ze sdrueých vel (hybost ebo soudc) budeme u prví ástce mt Pesto je potom pro druhou ástc pes dá hodot její hybost ebo soudce EPR docházejí k závru e proto eme být kvtov mechcký pops úplý pops ástce obshuje jké skryté prmetry (hdde vrbles) které v kvtovém popsu chybjí 4 Bohmov modfkce EPR pokusu Pprvt expermetál stvy popsé vlovou fukcí () eí moé Velm dletý krok ul proto Bohm 3 kdy vrhl modfkovou le v prcpu detckou verz pokusu Pedpokládejme e máme molekulu se dvm tomy z ch kdý má sp 6 3 Dvd Bohm: Qutum Theory (prví vydáí Pretce-Hll 95 ovjí vydáí Dover Publctos) 65

66 ħ ptom celkový sp molekuly je ulový Molekulu roztpíme zpsobem který emí celkový momet hybost Atomy se zou vzdlovt jejch vzájemá terkce se stává zedbtelou celkový sp je vk stále ulový A budou tomy vzdáley prostorupodobým tervlem provedeme prvím z ch meí projekce spu do osy z Je-l zjtá oretce kldá víme s jstotou e oretce spu druhé ástce je záporá Meme se vk tké rozhodout e budeme mt projekc spu do osy x opt míme-l urtou oretc víme s jstotou e druhá ástce má oretc záporou To le podle EPR zmeá e ástce ese skrytou formc o spu kterou kvtová mechk eobshuje Nejprve uvedeme kolk ppomeutí popsu spu Spový stv ástce se spem ħ meme popst pomocí vlstích hodot operátoru prmtu spu do osy z ħ ħ ħ ħ σ z + z = + z = ħ ħ ħ ħ σ z z = z = (4) Vlstí vektory prmtu spu do lbovolého smru dosteme otoeím vektoru prmtu spu do osy z v rov x z o polárí úhel pk otoeím o zmutálí úhel v rov x y ħ ħ σ + = + θ ϕ cos exp ϕ ϕ θ θ + = cos s σ cos s z σ y z + = θ ϕ s exp ħ ħ σ = θ ϕ s exp ϕ ϕ θ θ = cos s σ cos s z σ y z = θ ϕ cos exp (4) (4) Spový stv dvou ástc chrkterzujeme stvy dvm kvtovým ísly dé vlstím hodotm dvou komutujících operátor druhé mocy operátoru celkového spu S = S + S + S S jeho prmtu do osy z S z = S z + Sz 66

67 ħ ħ (43) S s m = s s + s m Sz s m = m s m Trpletový stv s s = m = meme zpst jko = z z = { + z z + z + z } = + z + z (44) pro ás dletý sgletový stv s s = m = jko = { + z z z + z } (45) Vzhledem k trsformím vzthm plyoucím z (4) (4) meme sgletový vzth zpst tké jko 43 Bellovy erovost + z ϕ θ θ = exp cos s + z ϕ θ θ = exp s + + cos ψ = + + { } (46) (47) V roce 964 se podlo Bellov 4 ukázt e pokud by exstovly skryté prmetry musely by výsledky vhod zvoleé kombce meí splovt jsté erovost (yí obec zývé Bellovy erovost) P meí oretce spu je dokoce moé vrhout tkové meí kde výpoet erovostí pro prvdpodobost meí rzých oretcí je moé provádt elemetárí úrov Potom lze opt jedodue provést výpoty prvdpodobostí podle kvtové mechky ukáe se e pro jsté stuce kvtov mechcké prvdpodobost Bellovy erovost ruují Pokud by se expermetál zjstlo e jsou v tchto pípdech Bellovy erovost sply byl by to dkz eúplost kvtov mechckého popsu V opém pípd by ovem výsledky vylouly exstec skrytých prmetr Moderí (módí?) pops vyduje místo meí prví druhé ástc mluvt o pozorovtelích Alc Bobov Jejch jedotlvá meí jsou od sebe vzdále prostorupodobým tervlem by se vyloul jkákolv moost terkce meých ástc Meí spové oretce se provádí ve tech rzých (e ut kolmých) smrech 4 J S Bell: O the Este Podolsky Rose prdox Physcs (964) 95-67

68 Poet ástce(alce) ástce (Bob) N b c b c ( ) ( ) ( + + ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( + + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( + + b c ) ( ) ( ) N b c b c N b c b c N b c b c N b c b c N b c b c N b c N b c b c 8 Výsledek meí Bob závsí tom jké meí zvolí Alce Jk le bylo eeo rozhodutí provádí Alce poté co jsou ástce oddley prostorupodobým tervlem Pokud s ástce ese ve skrytých prmetrech formc o spové oretc meme uvovt o osm skupách ástc uvedeých v tbulce Jedoduchým seteím potu ástc P + + b toho e v odpovídjících skupách dojdeme k tomu jká je prvdpodobost Alce mí pro prví ástc oretc Vybereme t vhodé kombce Je zejmé e + Bob mí pro druhou ástc oretc + b N3 + N4 N + N4 N3 + N7 P ( + + b ) = P 8 ( + + c ) = P 8 ( + c + b ) = (48) 8 N N N = = = P b P c P c b ( + + ) ( + + ) + ( + + ) (49) Ptom rovost by stl pouze v pípd N = N7 = P kvtov mechckém výpotu prvdpodobostí zvolíme pro jedoduchost t vektory leící v rov x y (podle obrázku) 68

69 Ukáeme podrobj výpoet prvdpodobost P ( b ) + + stvový vektor sgletu (47) zvolíme vektor tke máme Podle vzth (4) (4) máme ψ = + + { } [ ϕ ] [ ϕ ] [ ϕb ] [ ϕ ] Z vektor ve výrzu pro [ ϕ ] [ ϕ ] [ ϕb ] [ ϕ ] exp exp + = = exp exp exp exp + b = b = exp b exp b Pro mpltudu prvdpodobost dostáváme A( + + b ) = + b + { + + } = dále Nkoec b + + b + = = [ ] [ ϕ ] exp ϕ ϕ ϕb A( + + b ) = ( exp[ ϕb ] exp[ ϕb ] ) = s exp P b A b b + + = + + = = ϕ ϕ ϕc + ϕcb s s (4) Podob postupujeme p výpotu dlích dvou prvdpodobostí (p výpotu P ( c b ) proze výhodé zvolt z vektor c ) Máme tk ϕ c + ϕcb P ( + + b ) = s ϕc ϕ P ( + + c ) = P( + c + b ) = cb s s + + je (4) Zjevé rueí Bellovy erovost (49) dostáváme píkld pro ϕ = ϕ = ϕ < π 4 kdy by mlo pltt ϕ ϕ s ϕ s cos (4) c cb 69

70 44 Expermety s fotoy Je mohem jedoduí pprvt sgletový stv dvou foto e píkld dvou proto Proto vechy pesé expermety byly provády s fotoy V expermetech se ovují slotjí vrty Bellovy erovost které jsou píkld mé ctlvé edokolost detektor Uvedeme dkz 5 jedoho z moh výsledk S ozeím prvdpodobostí kocdecí p detekc obou foto po prchodu polrzátory P b P b pouze Alce oretovým ve smru (Alce) b (Bob) ob ++ ádý P + ( b ) pouze Bob P + ( b ) vytvoíme velu E b P b P b P b P b ( ) = ++ ( ) + ( ) + ( ) + ( ) Pro ty oretce se poítá / / S b b = E b / ± E b / + E b / / E b (43) Bellov erovost je v tomto pípd S b b / / Uveme pedem e kvtov mechcký výpoet dává je expermetál potvrze (44) QM QM Smx = S = (45) Pedpokládejme tedy exstec skrytého prmetru s rozloeím prvdpodobost d f λ λ = E b meme pepst výskytu f ( λ ) Výrz pro E ( b ) = d λ f ( λ) { P+ ( λ ) P ( λ )}{ P+ ( b λ ) P ( b λ )} A( λ) B( b λ) Vely P jko prvdpodobost bývjí hodot mez ulou jedkou tke pro vely A B pltí erovost A ( λ ) B( b λ ) Vytvoíme bsolutí hodotu ze soutu rozdílu fukce E se stejým le rzým b / / E ( b ) ± E ( b ) = d λ f ( λ ) A( λ ) B ( b λ) ± B ( b λ ) F x x F x d x meme psát Protoe pro lbovolou fukc d / b 5 J S Bell: Bertlms socks d the ture of relty Jourl de Physque 4 (98) C 4-6 7

71 Protoe vk E b E b d f A B b B b / / ± λ ( λ ) ( λ ) ( λ ) ± ( λ) A λ meme dále psát E b E b d f B b B b / / ± λ ( λ ) ( λ ) ± ( λ) Podob dosteme erovost / / / / E ( b ) E ( b ) d λ f ( λ ) B( b λ ) B ( b λ ) Ob vzthy seteme E b E b E b E b Opt pltí / / / / ( ) ± ( ) + ( ) ( ) / / λ f ( λ) B( b λ ) ± B ( b λ ) + B( b λ ) B ( b λ ) { } d B b λ B b / λ tke výrz ve sloeých závorkách bude ejvýe rove dvm Dostáváme tk zobecou Bellovu erovost (44) / / / / E b ± E b + E b E b (46) Tím je dkz ukoe Zám spových stv ástc se spem polrzím stvy foto je umo detckým mtcem hustoty Ekvvletí stvy jsou uvedey v tbulce Sp Polrzce + z ε = ex z ε = e + x x ε = e + e ε = e + e π exp + y ε = e + e 4 3π exp y ε = e e 4 y ( x y ) ( x y ) ( x y ) ( x y ) Následující obrázek ukzuje e expermety dokzující rueí Bellových erovostí ejsou omezey fyzkálí lbortoe V uvedeém pípd 6 se fotoy vydly po kbelech 6 W Tttel J Bredel H Zbde d N Gs: Volto of Bell Iequltes by Photos More Th km Aprt Phys Rev Letters 8 (998)

72 výcrské poty ze eevy do dvou blízkých vesc kde byly potovích údech umísty terferometry s potebým detektory 5 Jkou dráhu prol ástce? 5 Elemetárí pops terferece dvou svzk Uvujme dv zcel koheretí zdroje kulových vl (pro jedoduchost budeme poítt je v rovém ezu tj v rov z = ) v rov y = vzdáleé d kde ħk t k r k r b m ψ ( x y t) = e + e e r rb (5) b r = x + d + y r = x d + y (5) P pechodu k elptckým soudcím r + rb r rb r = s = < d r d s d (53) máme ħk k r t m e r s ψ = cos k s s k s r r s r (54) Dlím výpotem dostáváme pro hustotu r s k s r s r ρ = ψ ψ = cos + s k s Pro velké hodoty y mlé hodoty x meme psát pbl (55) x d r y s = d s θ ( y + d ) 7