Lieovy grupy ve fyzice. Gerardus 't Hooft 1*

Transkript

1 Leovy grupy ve fyzce Gerardus 't Hooft * Úvod Kvatová mechaka a rotačí varace7 Grupa rotací ve třech dmezích 6 4 Více o represetacích4 5 Žebříkové operátory4 6 Grupa SU()9 7 Sp a ampltuda rozptylu47 8 Isosp54 9 Vodíkový atom57 0 Grupa SU()64 Reprezetace SU(N); Yougovy dagramy 7 A Přehled ěkterých vlastostí matc 7 B Dervováí matc74 C Fukce matc 75 D Campbellova Bakerova Haussdorfova formule76 E Skalárí souč utárí a hermteovské matce8 Teto text je založe a pozámkách M Veltmaa pozděj v ěkterých částech upraveých G 't Hooftem a B de Wtem Po roce byl kurs dále rozšíře * Z textu předášek Le-Groepe de Fysca pro Isttuut voor Theoretsche Fysca Uverstet Utrecht Facultatet Natuur- e Sterrekude přeložl Mchal Lec

2 Úvod Moho systémů které studujeme v přírodích vědách vykazuje určtý druh symetre a řada přírodích zákoů které záme je varatí vůč jstým trasformacím Moža všech možých trasformací určté symetre vytváří to co matematc azývají grupa Tak zrcadleí v rově vytváří grupu která má dva prvky: zrcadleí a dettu Ale také moža trojrozměrých rotací moža Loretzových trasformací ebo moža trojrozměrých traslací jsou grupy které ale yí sestávají z ekoečého možství prvků Ze zřejmých důvodů se grupy s koečým počtem prvků azývají dskrétí; grupy trasformací které spojtě závsí a řadě parametrů se azývají spojté grupy Symetre systému vede k určtým vztahům mez pozorovatelým velčam které jsou splěy s ekoečě vysokou přesostí a které ezávsí a povaze sl působících v tomto systému V atomu vodíku apříklad zjštěí že eerge ěkterých růzých stavů jsou přesě stejé je důsledkem rotačí varace tohoto systému Často se také stává že symetre fyzkálího systému se realzuje pouze přblžě Nekoečě rozlehlý krystal je apříklad varatí vůč traslac o ásobek mřížkové vzdáleost atomů Ve skutečost má krystal koečé rozměry což arušuje zmíěou traslačí symetr Ncméě obsahuje-l krystal dostatečě velký počet atomů má toto arušeí je malý vlv a ty jeho vlastost které esouvsí právě s povrchovou strukturou částc Tzv Jé příklady symetre které platí pouze přblžě se ajdou ve fyzce elemetárích + částce jede z exctovaých stavů ukleou se rozpadá a ukleo a další částí π meso stručě po Exstují dva druhy ukleoů proto a eutro a tř druhy π mesoů elektrcky abté poy π + a π a eutrálí po musí zachovávat jsou možé dva růzé způsoby rozpadu: 0 π Protože elektrcký áboj se př rozpadu π ebo pπ () Je ápadé že druhý způsob rozpadu se vyskytuje dvakrát častěj ež prví skutečost kterou elze vysvětlt rozdílem v elektrckém áboj produktů rozpadu Přrozeé vysvětleí faktoru plye ze symetre Neí to tak podvé jak se zdá a prví pohled protože protoy a eutroy mají téměř stejou hmotost stejě jako zmíěé tř druhy poů a také čtyř druhy částc které se vyskytují v přírodě (vz Tabulka ) Tuto shodu hmotostí a jak uvdíme pozděj faktor +

3 ve dvou způsobech rozpadu () je možo vysvětlt za předpokladu že příroda je varatí vůč tzv sospové trasformac Termí sobarcký sp zkráceě sosp zavedl v roce 9 Heseberg který byl zaujat skutečostí že proto a eutro mají skoro stejou hmotost a až a růzý elektrcký áboj jsou shodé jejch další vlastost Nukleoy tedy tvoří dublet podobě jako dvě možé oretace spu elektrou tvoří dublet (odtud ázev sobarcký sp) Pozděj se ukázalo že obecě elemetárí částce s téměř shodým hmotostm mohou být zařazey do tzv sospových multpletů Tak ukleoy tvoří sospový dublet poy sospový trplet a částce sospový kvadruplet Tabulka : Hmotost ukleoů poů a částc v MeVc ukleoy Π mesoy částce mp 98 MeV c m π + 40 MeV c m ++ MeV c mp 99 MeV c m 0 π 5 MeV c m + MeV c m 40 MeV c m π 0 m MeV 5 MeV c c Částce v daém multpletu mají všechy přblžě stejou hmotost ale růzý elektrcký áboj Náboje jsou uvedey v tabulce: žádé dvě částce v multpletu emají stejý áboj a částce mohou být vždy seřazey tak že se dvě sousedí částce v multpletu lší právě o jede elemetárí áboj Je zřejmé že sospová varace může být přejlepším přblžá protože hmotost ukleoů poů a částc ějakým způsobem závsí a elektrckém áboj částc Rozdíly hmotostí uvtř multpletu jsou pouze v řádu ěkolka procet což je obecě stupeň přesost který očekáváme od teoretckých odhadů založeých a varac sospu Předchozí příklad se týká aplkace teore grup ve fyzce elemetárích částc ale varatí vlastost hrají velkou rol skoro v každé oblast fyzky V atomové fyzce často musíme uvažovat o důsledcích rotačí varace v jaderé fyzce počítat s rotačí a sospovou varací ve fyzce pevých látek s varací př dskrétích traslacích a rotacích Také v teor pole hrají trasformace symetre velkou rol Na zvláští druh trasformací arazíme apříklad v elektrodyamce Zde můžeme elektrcké a magetcké pole vyjádřt pomocí tzv

4 vektorového potecálu A ( x) ( µ = 0 ) µ který píšeme v relatvstckém čtyřvektorovém začeí Φ µ Aµ = A x = ( ct x) c () kde Φ je skalárí potecál a A Elektrcké a magetcké pole je defováo vztahy je trojrozměrý vektorový potecál; c je rychlost světla A E = Φ t () B = A (4) Jedoduše lze ukázat že E a B se ezměí př tzv kalbračích trasformacích Λ A x A x x ( x) Λ Φ( x) Φ ( x) + t (5) (6) ebol ve čtyřvektorovém začeí ( x µ µ ) A x A x + Λ x (7) µ µ µ Charakterstckou vlastostí kalbračích trasformací je že závsí a lbovolé fukc Λ ( x) v prostoru a času Skutečost že E a B elektromagetcké jevy jsou kalbračě varatí Zapšme teď tyto trasformace jak a to Λ Λ Aµ e µ Aµ e se eměí př kalbračích trasformacích zameá že (8) takže dostáváme fázový faktor exp{ Λ ( x) } závslý a prostoru a času Fázové faktory defují grupu azývaou U(): je to grupa utárích matc dmeze x V tomto případě jde o prostou grupu ale ukazuje se že máme teore založeé a jých (spojtých) grupách které jsou mohem méě prosté Takovým teorím říkáme kalbračí teore a pole A µ se azývá kalbračí pole Pro obecější grupy se ukazuje že potřebujeme růzá taková kalbračí pole Lze ukázat že kalbračí teore hrají důležtou rol př sjedoceí základích terakcí mez elemetárím částcem Elektrodyamka kalbračí teore U() je ejjedodušší varatou této třídy teorí 4

5 Dost překvapvé je že také teore gravtace Esteova obecá teore relatvty je kalbračí teorí když trochu jého typu Na tuto teor můžeme ahlížet jako a kalbračí teor obecých trasformací souřadc daých obecou změou parametrzace prostoru a času µ µ µ x x + ξ x (9) Kalbračím polem je yí gravtačí pole vyjádřeé pomocí metrky která umožňuje defovat vzdáleost a úhly ve čtyřrozměrém prostoročase Skutečost že kalbračí trasformace jsou spojey s abstraktí grupou a současě závsí a prostoročase může vést k zajímavým topologckým jevům Příklady takových jevů jsou uspořádáí toku v supravodč Aharoovův Bohmův jev v kvatové mechace a magetcké moopóly Abychom lustroval výzam topologe podíváme se ještě jedou a grupu U() kalbračích trasformací ale yí v dvourozměrém prostoru (ebol a případ který ezávsí a čase a závsí je a dvou ze tří prostorových souřadc) Buď ( x y) se trasformuje vzhledem k trasformacím z grupy jako ( x y) ψ komplexí fukce která Λ ψ x y e ψ x y (0) Obrázek Fázový úhel ( x y) jako ψ ( x y) ψ je ukázá jako špka jejíž délka eí podstatá ale pro určtost j volíme Fukce má ulovou hodotu v počátku Příkladem takové fukce je vlová fukce v kvatové mechace Z toho že v každém bodě lze fáz ψ změt pomocí kalbračí trasformace by se mohlo dovodt že fáze ψ je ve skutečost pro pops systému epodstatá Přesto tomu tak eí Podívejme se apř a fukc která je 5

6 v počátku rova ule Vezměme yí uzavřeou křvku v rově x-y a všměme s jak se podél této křvky měí fáze fukce ψ ( x y) Po proběhutí celé křvky emusí fáze abývat téže hodoty jako počátečí když předpokládáme jedozačost fukce ψ ( x y) musí však být teto fázový rozdíl rove π kde je lbovolé celé číslo Toto číslo se azývá dex bodu ke křvce (dále je dex) Příklad pro dex = je uvede a Obr ; fázový úhel se změí o π když sledujeme fukc podél křvky popsující úplé obkroužeí počátku v rově x-y Sado s můžeme představt stuac s jým dexem Případ 0 kostatí Měíme-l fukc ψ ( x y) = astává tehdy je-l fáze fukce ψ ( x y) spojtě pak by měl dex zůstat stejý Proto se dex bodu ke křvce azývá topologckým varatem To také zameá že se dex ezměí př globálě (a celé ploše) defovaých kalbračích trasformacích (0) Všměme s že hodota dexu ezávsí a volbě uzavřeé křvky kolem počátku (pokud ovšem vtřek křvky eobsahuje další ulové body fukce ψ ( x y) ) Z toho všeho plye že ačkolv můžeme lokálě tedy v jedom bodě a jeho ejblžším okolí položt fáz fukce rovu ule globálě to lze provést pouze tehdy pokud je dex rove ule Taková stuace se vyskytuje u vektorového potecálu Podívejme se zovu a dvourozměrou rovu a předpokládejme že máme statcké magetcké pole které je všude ulové až a omezeou oblast okolo počátku V této oblast by potecál A eměl být rove ule vzhledem k (4) Naopak ve vější oblast kde pole B je ulové eí žádý důvod pro to aby potecál A emohl být ulový Můžeme ukázat že pomocí vhodé kalbračí trasformace lze položt A jak můžeme vdět z ásledujícího křvkového tegrálu [ C] A d x C rove ule v lbovolém bodě Teto výsledek ale platí je lokálě Φ = () kde C je daá (uzavřeá) křvka Je sadé ukázat že Φ [ C] se eměí př kalbračí trasformac (5) Na druhé straě víme z teore magetckého pole že Φ [ C] musí být rovo magetckému toku plochou ohračeou křvkou C Použjme této skutečost a ám dskutovaý případ Vezměme uzavřeou křvku C kolem počátku ale vedeou v oblast kde B je rovo ule Celkový magetcký tok oblastí ohračeou křvkou C eí však utě rove 6

7 ule tj Φ [ C] emusí být utě rovo ule Pak emůžeme A vyulovat pomocí kalbračí trasformace v celé vější oblast když to můžeme provést lokálě Všměme s že magetcký tok zde hraje stejou rol jako dex bodu ke křvce v předchozím Opravdu exstují stuace kdy tyto dvě velčy a sobě leárě závsí Pak mluvíme o kvatováí toku Příkladem tohoto jevu jsou tzv vortexová řešeí v supravodčích a magetcké moopóly Podrobější studum těchto jevů by ás ale zavedlo přílš daleko od ašeho předmětu V předchozím jsme alespoň azačl rol kterou hraje teor grup ve fyzce V těchto předáškách se budeme hlavě věovat grupě rotací a to především v kotextu kvatové mechaky Na tomto případě se dá vysvětlt moho ejdůležtějších základích prvků a pojedáí může přtom zůstat trasparetí ázoré a matematcky epřílš komplkovaé V žádém případě se esažíme o úplé matematcké pojedáí; cílem je ukázat co ejpřesvědčvěj výzam teore grup Budeme se v dalším ve větší šířce věovat fyzkálím aplkacím Grupa rotací je příkladem tzv kompaktí Leovy grupy Ve většě aplkací půjde o reprezetace této grupy Teore reprezetací takových grup je matematcky dobře prozkoumáa Pro porozuměí je třeba přměřeá zalost leárí algebry (matce skalárí souč stopa fukce a dervace matc apod) Pro pohodlí jsou ěkteré ejdůležtější vlastost matc shruty v dodatcích Kvatová mechaka a rotačí varace Kvatová mechaka říká že každý fyzkálí systém je popsá (obecě komplexí) vlovou fukcí Tato vlová fukce je řešeím dferecálí rovce (apř Schrödgerovy rovce v případě kdy můžeme použít erelatvstckého přblížeí) s okrajovým podmíkam daým fyzkálí stuací Nebudeme se zde zabývat obecým problémy alezeí vlové fukce ale soustředíme se a ty její vlastost které jsou dáy symetrí popsovaého systému Jedou za symetrí které se v projevují v běžém žvotě je varace objektů vzhledem k rotacím v třírozměrém prostoru Expermetátor zjšťuje že výsledky jeho měřeí jsou ezávslé a oretac měřcího zařízeí v prostoru pokud ovšem edochází k terakc zařízeí Toto způsobuje zajímavý kvatově mechacký jev pro elektroy acházející se vě magetckého pole tzv Aharoovův Bohmův jev 7

8 s okolím Takže časový údaj hod eí závslý a oretac hod v prostoru stejě jako výsledek výpočtů počítače ezávsí a jeho atočeí Rotačí symetr proto acházíme v základích rovcích fyzky: Newtoovy Maxwellovy a Schrödgerova rovce jsou příklady rotačě varatích vztahů Přesěj řečeo: přírodí zákoy jsou varatí vzhledem k rotacím trojrozměrého prostoru Teď jde o to jaké jsou důsledky rotačí varace vlové fukce Z klascké mechaky víme že rotačí varace soustavy která eteraguje s okolím vede k zachováí mometu mpulsu: pro takovou soustavu je vektor mometu mpulsu kostatou pohybu Zákoy zachováí které ejsou závslé a kokrétím charakteru slového působeí ale plyou z velm obecých příč se mohou projevovat když v jé podobě také v kvatové mechace Očekáváme proto že ve vlové fukc alezeme ějaký obraz mometu mpulsu zachovávající se v čase Všmeme s tedy jak se vlová fukce chová př rotacích a jak to souvsí s mometem mpulsu Vlová fukce je závslá a řadě proměých ale obecě je vždy řešeím leárí dferecálí rovce D ψ = 0 () Skutečý tvar operátoru D eí podstatý pouze požadujeme aby D byl varatí vůč rotacím Příkladem může být Schrödgerova rovce pro pohyb těžště volé částce ħ ħ ψ ( x t ) = 0 () m x x x t Ukážeme že je tato rovce rotačě varatí Polohový vektor x přejde po rotac soustavy do x se souřadcem x které jsou dáy vztahem x = R x () j j j Rotace je charakterzovaá matcí R která je ortogoálí a má determat rove (ortogoálí matce s determatem rovým popsují rotac a zrcadleí) Podmíkou ortogoalty pro R je kde T T R R = R R = ebol R R = δ ; R R = δ T R je matce traspoovaá k matc R (4) j k jk j k j k j Neí obtížé ukázat že rovce () je rotačě varatí Nejprve uvažme že 8

9 x j ψ ( x t) = ψ ( x t ) = Rj ψ ( x t) x x x x j j j j kde jsme využl vztah () Dále pokračujme stejě tedy ( x t) Rj Rk ( x t) ψ = ψ = x x x x j k j k x ψ x ( x t ) (5) (6) př zjedodušeí jsme užl vztahu (4) Z tohoto výsledku plye že rovce () je varatí vzhledem k rotacím: je-l ψ ( x t) řešeím rovce () pak také ψ ( x t) jejím řešeím Pozděj budeme podroběj studovat řadu vlastostí rotací Teď užjeme je toho že rotace mohou být represetováy reálým matcem R dmeze s determatem rovým T které splňují relace ortogoalty R R = Lbovolé atočeí ve třech rozměrech můžeme charakterzovat třem úhly (což přesěj uvedeme ve třetí část) Jsou-l R a R matce odpovídající ějakým rotacím pak také jejch souč tj matce R = R R představuje rotac Jak řečeo: dvě po sobě ásledující atočeí mohou být chápáy jako jedé atočeí Důkaz je prostý: předpokládejme že R a R jsou ortogoálí matce s determatem rovým S použtím vztahu R = R R = R (7) T T můžeme ukázat že také R = R R je ortogoálí matce: Dále platí T R = R R = R R = R R = R R = R (8) T T T detr = det R R = detr detr = (9) a to bylo třeba dokázat Povšměme s že ačkolv souč R4 = R R je také atočeí emusí být obecě R a R 4 detcké Jak řečeo: rotace v trojrozměrém prostoru ejsou komutatví; to jest operace provedeé v růzém pořadí evedou obecě k témuž výsledku Nyí ukážeme že rotace tvoří takzvaou grupu Grupa je G moža (v ašem případě moža reálých matc R dmeze s determatem rovým jedé a vlastostí ortogoalty 9

10 T R R = ) a íž je defovaá bárí operace (ásobeí) G G ( R R ) R R G s ásledující vlastostm: () Násobeí je asocatví: ( R R ) R R ( R R ) = () Exstuje jedotkový prvek (v ašem případě jedotková matce ) takový že R = R = R pro všechy prvky (matce) z grupy () Ke každému prvku exstuje versí prvek (v ašem případě ke každé matc R z grupy versí matce R ) takový že R R = R R = Vdíme že moža reálých matc R dmeze s determatem rovým jedé a vlastostí T ortogoalty R R = má všechy vlastost grupy Každá grupa je plě charakterzováa strukturou ásobeí souvslostí prvků daou pravdly ásobeí Pojem struktura v dalším pojedáí upřesíme a vyjádříme ve vzorcích Teď jeom zdůrazěme že v grupě emáme žádé sčítáí a odečítáí ale pouze ásobeí V grupě také eí žádý ulový prvek Obecě je velm užtečé pokud všechy možé trasformace varace soustavy tvoří grupu Ke dvěma trasformacím varace můžeme přdat hed třetí tak že trasformace po sobě echáme působt vždy a příslušé velčy pomocí chž je teore defovaá Vůč výsledé trasformac musí být teore samozřejmě také varatí Pak je splěa prví z předchozích vlastostí grup další vlastost jsou většou přrozeé souřadce x Ozačeí Nyí upřesěme způsob jak se fukce ψ trasformuje př rotacích Př rotac se změí a ové x daé vztahem x x = R x (0) j j j R místo R je věcí kovece eboť R zatím jak especfkujeme Rotace (0) může odpovídat změě fyzkálí stuace Například částce která se původě acházela v bodě x je přemístěa do bodu x Rotace však také může odpovídat změě souřadé soustavy Pevý vektor který měl v původí soustavě souřadce x bude v ové soustavě popsá souřadcem x Oba pohledy jsou komplemetárí alespoň pokud eexstuje ějaký předostí směr My budeme rotace uvažovat ve smyslu změy souřadé soustavy Taková rotace souřadé soustavy Tato volba bývá azýváa pasví trasformací 0

11 dukuje změu souřadc a tedy také fukcí souřadc Fukce ψ přechází po rotac do ové fukce ψ takovým způsobem že hodota fukce ψ v ových souřadcích x je rova hodotě fukce ψ v původích souřadcích x Mez oběma fukcem platí tedy vztah ψ ( x ) = ψ ( x) Po dosazeí z (0) máme ovou fukc vyjádřeu jako ψ ( x ) = ψ ( R x ) () () Nyí popíšeme působeí dvou po sobě ásledujících rotacích Prví rotac souřadé soustavy popíšeme matcí R a po í ásledující rotac matcí S Souřadce se po druhé rotac změí a () j x = S x = S R x = R S x j j j j k k j j j k j Odpovídající změy fukcí př kombovaém působeí dvou rotací je dáo vztahem ( x ) = ( S x ) = ( R S x ) ψ ψ ψ (4) přčemž věujme pozorost tomu že pořadí matc R a S v posledím čleu je opačé oprot pořadí ve kterém ásledují odpovídající rotace souřadé soustavy Protože proměá a obou straách (4) je x můžeme v takovém vztahu psát místo x prostě x Dvě po sobě ásledující rotace ejprve R a potom S měí fukc ψ ( x) ejprve a ψ ( x) = ψ ( R x ) a ψ ( x) = ψ ( R S x) R j x j kde j j jako a potom Jým slovy př každé rotac je x v argumetu fukce ahrazeo R je odpovídající matce rotace Můžeme to ještě jedou přehledě zázort R ( x) ( x) = ( R x) ( x) = ( R S x) ψ ψ ψ ψ ψ S (5) Nyí využjeme toho že je D dferecálí operátor v rovc () rotačě varatí To ezameá že také řešeí rovce ψ musí být rotačě varatí Jako příklad uvažme řešeí kdy vlová fukce popsuje částc která se pohybuje ve směru od východu a západ Po rotac o π se částce pohybuje ze severu k jhu a to je já stuace s jou vlovou fukcí Ve skutečost je-l D rotačě varatí musí řešeí rovce ψ po rotac přejít a jé řešeí ψ Takže po rotac o π vlová fukce odpovídající částc která se pohybuje ve směru od

12 východu a západ přejde a jou vlovou fukc popsující částc př pohybu ze severu k jhu ale obě vlové fukce jsou řešeím téže rovce Ještě jak řečeo: možá fyzkálí stuace (popsaá vlovou fukcí ψ která je řešeím uvažovaé rovce) přejde po rotac do jé možé fyzkálí stuace popsaé fukcí ψ Kokrétě mohou-l se pohybovat částce od východu k západu musí stejě dobře mít možost pohybovat se od severu k jhu Kdyby tomu tak ebylo ebyla by fyzkálí stuace rotačě varatí Mějme růzá řešeí rovce () ψa ψ kde jedo evzklo z druhého rotací D ψ = 0 D ψ = 0 (6) Protože je rovce () leárí v ψ musí být každá leárí kombace λψ + µψ také řešeím tj D λψ + µψ = λd ψ + µ D ψ = 0 (7) Obecě: jsou-l ψ ψ řešeím rovce () je také lbovolá leárí kombace řešeím této rovce λψ + λψ + λψ (8) Pokud jde o chováí př rotacích můžeme rozlšt dva případy Buď je vlová fukce rotačě varatí tj ψ přechází př rotac sama a sebe ( x) = ( x) ( x ) = ( x) ψ ψ ψ ψ (9) ebo přejde a leárí kombac (leárě ezávslých) řešeí ψ ψ které samy př rotacích přecházejí a leárí kombace z ch vytvářeé Jako příklad druhé možost vezměme soubor řešeí pro částc pohybující se všem možým směry V tomto případě obsahuje moža ψ ψ ekoečý počet řešeí S ohledem a to abychom se vyvaroval komplkací souvsící s ekoečostí jmeovaé možy můžeme se omezt a částce v kldu ebo alespoň se zaedbatelě malou hybostí Částce v kldu přechází př rotac sama a sebe ale vtří struktura se evetuálě může změt Moža vlových fukcí které spolu souvsí přes rotac pak obecě obsahuje koečý počet řešeí Když se částce achází v základím stavu pak je příslušá vlová fukce obvykle rotačě varatí; moža obsahuje tedy pouze jedou vlovou fukc Když se částce achází v exctovaém stavu pak mohou růzé exctovaé stavy přecházet jede do druhého pomocí rotace

13 Vezměme tedy možu ψ ψ vlových fukcí souvsejících prostředctvím rotace Po rotac tedy přechází ψ a leárí kombac fukcí ψ ψ : ψ ( x) ψ ( R x) = d ψ ( x) + d ψ ( x) + + d ψ ( x) (0) x = d ψ x A B = () a podobě pro ψ ψ Obecě můžeme psát ψ Koefcety AB A AB B B d vytvářejí matc ( x) ( R x) D( R) ( x) ψ ( x) Ψ = Ψ = Ψ D R takže můžeme psát Ψ = = Ψ = d d ψ x x D( R) ( x) ψ ( x) d d ψ ( x) () Matce D( R ) ve () a () jsou dáy eje matcem R které popsují určtou rotac v trojrozměrém prostoru ale také volbou řešeí ψ A ze kterých vytváříme leárí kombace Můžeme jít ještě dál Určtá rotace může být provedea ajedou ebo v ěkolka po sobě jdoucích krocích Ve výsledku to přrozeě eí vdět Například rotace o π mohla vzkout přímo ebo jako rotace o π ásledovaá rotací o π Tato skutečost se musí odrazt ve způsobu jak jsou příslušé matce D( R ) ásobey Abychom to ukázal vezměme dvě po sobě ásledující rotace R a S (vz (5)) Ať rotac R přísluší matce D( R ) rotac S matce D( S ) tj vyjádřeo vzorc () ( R x) D( R) ( x) ( S x) D ( S ) ( x) Ψ = Ψ Ψ = Ψ Přrozeě pak složeé rotac RS odpovídá matce D( RS ) pro kterou platí Výraz Ψ ( R S x) ( R S x) D( R S ) ( x) Ψ = Ψ ovšem můžeme počítat podle () (zaměíme proměou x S x rovc a a pravé straě pak dosadíme z druhé rovce): (4) v prví Musí tedy být ( R S x) D( R) ( S x) D( R) D( S ) ( x) Ψ = Ψ = Ψ (5)

14 D( R S ) D R D S = (6) Matce D( R ) musí mít tedy stejou strukturu pravdla ásobeí jako samy matce R Z tohoto důvodu říkáme že matce D( R ) tvoří represetac grupy rotací v trojrozměrém prostoru Obecěj: možu matc azýváme represetací grupy jestlže platí: () Každému prvku a grupy přísluší matce A () Souču dvou prvků přísluší souč odpovídajících matc tj přísluší-l prvkům grupy a b c matce A B C a je-l c = ab pak C = AB Zjstl jsme v předchozím že př rotacích v trojrozměrém prostoru se vlové fukce fyzkálí soustavy trasformují pomocí leárího zobrazeí které tvoří represetac grupy rotací ve třech dmezích Jako jedoduchý příklad vezměme tř fukce ψ x = x ψ x = x ψ x = x 4 (7) Př trasformacích rotace se tyto tř fukce trasformují matcí D( R ) která je přímo rova matc R Podmíka (6) je přtom splěa trválě Avšak e vždy jsou předchozí závěry správé Z kvatové mechaky víme že emůžeme rozlšt vlové fukce lšící se pouze (reálým) fázovým faktoremproto vlové fukce ψ a exp( λ ) ψ popsují (př reálém λ) stejou stuac Proto je možé že se tato ejedozačost projeví př defc matc D( R ) Vztah (6) by bylo možé v prcpu zamět slabším vztahem { α } D R D S = exp R S D R S (8) kde α ( R S ) je (reálý) fázový faktor závsející a R a S Matce D R s etrválím fázovým faktorem v (8) představují tzv projektví represetac Projektví represetace jsou ve fyzce potřebé Mohou se vyskytout případy kdy každé matc R přísluší dvě matce D ( R ) a které se lší fázovým faktorem přesěj faktorem přípusté eboť vlové fukce ψ a Takže platí D ( R) D ( R) D R = To je ψ popsují tutéž stuac Uvedeá ejedozačost ukazuje že vztah (6) platí až a zaméko protože fázový faktor v (8) abývá hodoty 0 a π Částce popsaé vlovou fukcí která se trasformuje podle projektví represetace emají aalog v klascké mechace Příkladem takových částc jsou elektro proto a eutro

15 Příslušé vlové fukce se trasformují jak ež je dáo vztahem () Pozděj se k tomu ještě vrátíme Exstuje ještě jeda podmíka kterou musí matce D ( R ) splňovat Tato podmíka plye z fyzkálí terpretace kvatové mechaky V kvatové mechace vyžadujeme exstec skalárího souču přřazujícímu každým dvěma vlovým fukcím ψ a ψ komplexí číslo ψ ψ Pro skalárí souč musí platt ψ ψ 0 ψ ψ = 0 ψ = 0 ψ λ ψ + λ ψ = λ ψ ψ + λ ψ ψ * = ψ ψ ψ ψ (9) kde λ a λ jsou lbovolá komplexí čísla Pro vlové fukce závslé a jedé proměé je skalárí souč defová jako * ( x) ( x) d x ψ ψ = ψ ψ (0) přesější defc skalárího souču ebudeme potřebovat Podle kvatové mechaky můžeme čtverec absolutí hodoty skalárího souču defovat jako pravděpodobost Přesěj to uvdíme a příkladu kdy stav soustavy je popsá pomocí ψ Pravděpodobost že soustavu alezeme ve stavu ϕ je dáa výrazem ϕ ψ Soustava měřcí zařízeí jsou podrobey rotac Podle () se stavy změí a ψ D ψ ϕ D ϕ () Zmňovaý skalárí souč přejde a + ϕ ψ ϕ D D ψ () Poěvadž předpokládáme rotačí varac esmí se př této trasformac změt pravděpodobost Protože jsou ψ ϕ lbovolé stavy musí matce D splňovat podmíku D + D = () 5

16 tj musí být utárí 4 Protože každá matce D( R ) spojeá s rotací v trojrozměrém prostoru tomuto požadavku vyhovuje platí to pro celou represetac V tomto kotextu se budeme zabývat výhradě utárím represetacem Grupa rotací ve třech dmezích Rotace v trojrozměrém prostoru mohou být represetováy reálým matcem R dmeze Protože př rotacích zůstávají zachováy úhly mez vektory musí být tyto matce ortogoálí Tyto ortogoálí matce tvoří grupu O ( ) Z podmíky R R + = dostáváme detr =± Vybereme-l pouze ty ortogoálí matce jejchž determat je rove mluvíme o grupě SO ( ) Rotace v trojrozměrém prostoru je plě určea osou rotace a velkostí úhlu rotace Osa rotace může být apříklad zadáa pomocí třírozměrého vektoru α ; velkost úhlu rotace může být určea délkou tohoto vektoru (úhel v radáech) Jelkož rotace lšící se o úhel π jsou detcké můžeme trojrozměré vektory α uzavřít do trojrozměré koule s poloměrem π Tak máme přrozeou parametrzac všech trojrozměrých rotací Každý bod této parametrcké koule odpovídá ějaké rotac: osa je dáa spojcí tohoto bodu se středem koule a úhel atočeí (daý oretací levotočvého závtu) se měí od 0 do π (otočeí o úhly z tervalu π do 0 jsou spojey s vektorem a téže přímce opačě oretovaým) Dva protlehlé vektory a povrchu koule tedy α a α s α = π popsují stejou rotac jedu o úhel π a druhou o úhel π okolo stejé osy S výjmkou těchto dvojc určují dva růzé body parametrcké koule dvě růzé rotace Z předchozího je zřejmé že rotace mohou být parametrzováy pomocí tří ezávslých parametrů jmeovtě složek vektoru α a dále že rotace spojtě závsí a těchto parametrech Pro další studum těchto závslostí zavedeme pojem ftesmálích rotací tj rotací v okolí α 0 Popšme ejprve rotace kolem osy z kdy α = ( 00 α ) Příslušá rotace je zobrazeí 4 Podmíkou je že absolutí hodota skalárího souču se ezměí Mohla by se tedy matce D + D lšt od jedotkové společým fázovým faktorem 6

17 x cosα x + s α y y cosα y s α x z Odsud dostáváme matc R( α ) ve tvaru z () cosα sα 0 R ( α ) = sα cosα Otočeí o úhel α můžeme chápat také jako výsledek po sobě jdoucích otočeí o úhel dostatečě velkém se bude matce otočeí o velm malý úhel α jedotkové matce; zaedbáme-l čley řádu ( α ) bude příslušá matce () α Př ftesmálě lšt od α α R α α α α 0 O 0 0 = + = + + O Rotac o úhel α dostaeme jestlže -krát provedeme rotac () tj α α R ( α ) = R ( α ) = + T + O kde matce T je defováa jako () (4) T 0 0 = (5) V lmtě můžeme zaedbat čley řádu dostaeme pak A exp A = lm + R ( α ) { α T} ; s pomocí vztahu (6) = exp (7) O tom že výrazy (7) a () jsou stejé se teď přesvědčíme Expoecálí fukc apíšeme ve tvaru Taylorovy řady exp A = A (8)! = 0 7

18 Dále s všměme že T odkud okamžtě T 0 0 = ( ) 0 0 ( ) (9) + = T pro 0 S pomocí těchto vztahu apíšeme v řadě pro expoecálu zvlášť lché a zvlášť sudé čley takže ( ) α ( ) α exp{ α T} = ( )! + 0 ( )! = = = = + ( cosα ) 0 0 sα což je skutečě výraz () (0) Obrázek Iftesmálí rotace vektoru r kolem osy rotace α Vztah mez koečou a ftesmálí trasformací (7) můžeme vyjádřt pro obecou rotac Př rotac o malý úhel se ke každému vektoru r jak k r přčte malý vektorový přírůstek kolmý tak k ose rotace jehož velkost je součem úhlu rotace a vzdáleost r Obrázek ) Teto malý vektorový přírůstek je vektorovým součem r od osy (vz a vektoru osy rotace α (předpokládáme že α 0 ) takže r r + r α + O ( α ) Pro obecý vektor rotace α = ( α α α ) pak máme () 8

19 x x + α y α z + O α y y + α z α x + O α z z + α x α y + O α () Iftesmálí rotac můžeme zapsat také takto ( α ) = + ( α + α + α ) + ( α ) R L L L O () kde jsme zavedl podle zaužívaého zvyku hermteovské matce L L a L L = 0 0 L = L = Tyto matce můžeme jedoduše zapsat pomocí úplého atsymetrckého tesoru ε k l jako ( L ) ε j k jk (4) = (5) Sado se přesvědčíme že L = L = ε = L = L = ε = L = L = ε = Teď vytvoříme R( α ) jako ásledých rotací o úhel α : (6) α R ( α ) = R ( α ) = + ( α L + α L + α L ) + O S využtím (4) máme v lmtě R = k Lk k ( α ) exp α (7) (8) Správost výsledku (8) můžeme ověřt také jým způsobem Nejprve s všměme že př rotac se stejou osou rotace ale růzě velkým úhlem rotace platí ( α ) ( α ) = (( + ) α ) R s R t R s t (9) 9

20 s a t jsou reálá čísla Rotace R ( sα ) se stejou osou rotace defují komutující podgrupu celé grupy rotací Je jedoduché to ukázat: matce R ( sα ) defují grupu (pro pevý vektor α a proměý parametr s) pro kterou výsledek ásobeí ezávsí a pořadí čtelů ( α ) ( α ) = ( α ) ( α ) R s R t R t R s (0) Tato podgrupa je grupa SO grupa dvojrozměrých rotací (osa rotace je pevá atáčí se je složky vektoru kolmé k ose rotace) S pomocí (9) můžeme jedoduše odvodt ásledující dferecálí rovc d R s d s ( α ) ( α ) (( + ) α ) ( α ) R s R s = lm = 0 R lm R ( sα ) = αk Lk R ( sα ) 0 k () př úpravě jsme ejprve použl (9) a potom () Je pak už sadé uvdět že řešeím rovce () je právě (8) Neí sad třeba opakovat že aby matce (8) represetovaly rotace musí být ortogoálí a jejch determat musí být rove tj musí být splěy vztahy T ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) R = R = R detr = Důkaz plye z vlastostí obecé matce A pro kterou platí T T A ( A ) ( A) ( A) () exp = exp det exp = exp Tr () Odsud plye že matce (8) vyhovují podmíce () za předpokladu že matce αk Lk je reálá atsymetrcká a má stopu rovu 0 Vdíme že tomu tak skutečě je; z defc (4) plye že matce αk Lk je ve skutečost ejobecější matcí dmeze s požadovaým vlastostm k Můžeme s teď položt otázku poěkud obráceě: mohou být všechy rotace vyjádřey ve tvaru (8)? Nalézt odpověď eí přílš sadé V prcpu můžeme expoecálu v (8) vyjádřt pomocí mocé řady (8) a výsledek pak porovat s ejobecějším tvarem matce rotace Vdíme pak že a otázku můžeme odpovědět kladě: všechy rotace mohou být vyjádřey ve tvaru (8) To zdaleka eplatí pro všechy grupy Například ekompaktí grupy obsahují prvky které emohou být zapsáy pomocí takového expoecálího tvaru ačkolv k 0

21 mohou být zapsáy jako souč koečého počtu expoecál Tyto grupy se azývají ekompaktí poěvadž prostor jejch parametrů eí kompaktí Rotačí grupa jejíž všechy prvky jsou určey pomocí parametrů α k které jsou uzavřey v parametrcké koul o poloměru π je kompaktí grupa V rámc ašeho pojedáí ebudeme ekompaktí grupy studovat to ale ezameá že ejsou ve fyzce důležté Příkladem ekompaktí grupy je apříklad Loretzova grupa tj grupa pozůstávající z možy všech Loretzových trasformací Z předchozího výkladu je jstě zřejmé že matce L k spojeé s ftesmálím trasformacem hrají výzamou rol eboť alespoň pro kompaktí grupy všechy prvky jsou popsáy expoecálou (8) Proto azýváme tyto matce geerátory grupy Ačkolv jsme zatím věoval pozorost pouze grupě rotací je teto závěr platý pro všechy Leovy grupy 5 : tj grupy jejchž prvky aalytcky závsí a koečém počtu parametrů (v ašem případě α α α ) V případě že prvky grupy jsou matce musí platt že každý prvek matce je dferecovatelou fukcí parametrů 6 Počet leárě ezávslých parametrů určuje dmes Leovy grupy kterou esmíme zamět s dmesí matc které uvažujeme 7 Počet leárě ezávslých geerátorů musí být přrozeě rove dmes grupy Jedou z ejdůležtějších charakterstk grupy je struktura ásobeí podle které určíme jak pro rotac vzklou součem dvou rotací R ( α ) a R ( β ) ( α ) ( β ) = ( γ ) R R R (4) vyjádřt závslost γ a α ásobeí Skutečost že je dáa závslost γ ( α β ) a β Zalost této závslost pevě určuje strukturu grupového geerátorů Abychom to ukázal rozveme (4) podle moc αk a určuje přrozeě pravdla ásobeí β 8 k 5 Norský matematk Sophus Le To je případ grupy rotací V obecém případě lze teto požadavek zeslabt: pro Levu grupu postačuje jsou-l prvky dvakrát dferecovatelé podle parametrů 7 Pro grupu rotací v trojrozměrém prostoru jsou obě dmese shodě rovy To je áhodá shoda: dmese grupy rotací v d-rozměrém prostoru je d ( d ) 8 Začeí α L užíváme pro α L + α L + α L Ve vztahu (5) užíváme také sumačí kovece: jsou-l v jedom čleu stejé dexy dvakrát sčítá se přes ě tj α L α L k k k k k

22 { α L} { β L} = + αk Lk + O( α ) + βk Lk + O( β ) = + ( α + β ) Lk αk βl Lk Ll + O( α ) + O ( β ) exp exp k = + ( α + β ) Lk ( α + β ) ( α + β ) L k k l k Ll αk βl [ Lk Ll ] + O( α ) + O( β ) { + L} V prvích třech čleech vdíme začátek Taylorova rozvoje fukce exp ( α β ) čtvrtý čle rove ule tj kdyby L k a L l komutovaly platlo by opravdu γ k αk βk pravá straa musí být vyjádřea jako mocá řada exp{ γ L} (5) Kdyby byl = + Protože musí být možé vyjádřt komutátory geerátorů jako leárí kombace geerátorů (mocá řada má totž tvar + γ L γ γ L L ) Jak řečeo musí platt kostaty k k k l k l [ ] L L = c L (6) k l k l c k l jsou azýváy strukturím kpstatam grupy protože určují strukturu grupového ásobeí Pozameejme že pro hermteovské geerátory L k jsou strukturí kostaty ryze magárí Strukturí kostaty jsou přrozeě atsymetrcké v dolích exech Než pokročíme dále ověříme ejprve že geerátory (4) splňují relace (6) Provedeme-l explctě ásobeí příslušých matc dostáváme kladou odpověď tj platí V kompaktím zápsu [ ] [ ] [ ] L L = L L L = L L L = L (7) L L j = ε j k Lk (8) S pomocí (6) můžeme pro γ ( α β ) psát k γ k = αk + βk + cm αm β + O( α ) + O( β ) (9) C prcpu lze počítat teračím postupem do vyšších řádů tak máme apříklad k k q γ k = α k + β k + cm α m β ( α m α β p + β m β α p ) cmq c p + (0) Skutečost že všechy čley v terac mohou být vyjádřey pomocí strukturích kostat plye z CBH (Campbell - Baker- Haussdorff) vztahu který vyjadřuje logartmus z výrazu exp AexpB

23 pomocí mocé řady opakovaých komutátorů matc A a B (vz Dodatek D) Struktura ásobeí v grupě bude tak určea strukturím kostatam (alespoň pro prvky grupy v koečém okolí jedotkového prvku) Představme s teď že ajdeme matce A k růzé od matc L k které ale splňují stejé komutačí relace (6) jako L k V takovém případě můžeme pomocí expoecálího zobrazeí defovat příslušé prvky grupy splňující stejá pravdla ásobeí jako prvky původí grupy Jým slovy alezeme tímto způsobem represetac grupy Naopak můžeme pro každou represetac grupy zkostruovat příslušé geerátory pomocí ftesmálích trasformací které pak budou splňovat komutačí relace (6) se stejým strukturím kostatam Vzká tak přímý vztah mez represetacem grupy a represetacem (6) (Matematcky přesěj: geerátory L k spolu s komutačím relacem (6) defují tzv Leovu algebru Matce spolu s týmž komutačím relacem defují represetac Leovy algebry) Př studu strukturích kostat můžeme jedoduše alézt vztahy které musí splňovat Tyto vztahy jsou důsledkem Jacobho detty kterou splňují lbovolé tř matce A B a C: [ ] [ ] [ ] A B C + B C A + C A B = 0 () Tuto dettu lze jedoduše dokázat úplým rozepsáím všech komutátorů; dostáváme čleů které se po dvojcích vyruší Dosadíme-l do Jacobho detty ásledující vztah pro strukturí kostaty A k A= L B = Lj a C = Lk dostaeme m m m c c + c c + c c = 0 () j mk j k m k m j př odvozeí jsme užl (6) Rovce () bývá také azýváa Jacobho dettou Pro grupu rotací z í vyplývá ásledující vztah mez kompoetam úplého atsymetrckého tesoru ε j m εm k + ε j k m εm + εk m ε m j = 0 () který pozděj opakovaě využjeme Důkaz platost () plye z detty ε j m ε m k l = δ k δ jl δ l δ j k (4) jejíž důkaz je jedoduchý (apříklad pevou volbou dvou dexů) Vztah () má ještě jede důsledek Vytvořme matc k k ( C ) c j j C dmese jako (5) je dmese Leovy grupy Pak můžeme () přepsat jako

24 ɶ (4) ɶ ɶ ɶ (4) ɶ (4) k + = 0 = c C C C C C C C c C (6) m j m k j k j j j k To jsou tytéž komutačí relace pomocí kterých jsme defoval ve (6) strukturí kostaty (Matce C tedy představují represetac Leovy algebry daé (6)) Pomocí expoecálí fukce matc těchto matc tak vytvoříme grupu která má tytéž vlastost ásobeí (alespoň v koečém okolí jedotkového prvku jako původí Leova grupa Jým slovy popsaým způsobem můžeme vytvořt represetac Leovy grupy z matc dmese kde je dmese Leovy grupy Tato represetace se azývá přdružeá (adjugovaá) Jestlže zkusíme aplkovat předchozí výsledky a grupu rotací dočkáme se jstého zklamáí Vzhledem k tomu že strukturí kostaty jsou c k j ε = j k jsou matce C přesě stejé jako matce L (vz (5)) a dostáváme se tak k původím trojrozměrým rotacím Přdružeá represetace je detcká s původí grupou Že je to vskutku výjmečý případ uvdíme v dalším 4 Více o represetacích V předchozí část jsme rozebíral vlastost grupy rotací v trojrozměrém prostoru Nyí se budeme věovat možým represetacím této grupy Především s všměme že máme-l jž ějakou represetac apříklad matce D působící a vlovou fukc zapsaou jako sloupcový vektor ψ můžeme trasformací ψ získat ovou represetac Uvažujme apříklad trasformac ψ = Uψ Př rotacích se ψɶ trasformuje jako = ɶ D ψ ψ ψ s matcí Dɶ daou vztahem D = U DU Jak původí matce D tak ové matce Dɶ defují represetac grupy rotací ale tyto represetace se v čem podstatém eodlšují Budeme proto represetace které jsou spojey vztahem (4) azývat ekvvaletím represetacem Můžeme teď formulovat jede důležtý výsledek teore represetací: Všechy (koečěrozměré) represetace koečých kompaktích grup jsou utárí Tím máme a mysl že pomocí trasformace (4) můžeme být každá represetace převedea a represetac ve které pro všechy matce D platí D = D + 4

25 Až dosud jsme rozebíral represetace grupy rotací které byly defováy prostředctvím rotací trojrozměrého vektoru x = ( x x x ) represetace Vezměme dva vektory x Exstuje zřejmý způsob jak kostruovat větší a y které se oba budou trasformovat př rotacích Tyto vektory mohou apříklad představovat polohu dvou bodových částc Vytvořme z ch šestrozměrý vektor z = ( x x x y y y ) který se bude př rotacích trasformovat jako z z = D z (44) kde matc D vytvoříme jedoduše pomocí matc R: R 0 D = 0 R Taková represetace se azývá reducblí protože vzhledem k rotacím je šestrozměrý prostor slože ze dvou varatích třírozměrých podprostorů Na tuto šestrozměrou represetac tedy můžeme pohlížet jako a (tzv přímý) součet dvou třírozměrých represetací což zapsujeme jako (45) 6 = (46) Je jasé že represetac která emá žádé varatí podprostory elze zapsat v blokově dagoálím tvaru podobém (45); takovým represetacím říkáme reducblí Další represetace můžeme vytvářet jako tzv součové represetace Vezměme apříklad soustavu dvou (volých) částc s vlovým fukcem ψ ( x) souřadce těchto částc Vlové fukce soustavy Ψ ( x y) a ψ ( y) kde x a y jsou pozůstávají ze všech možých součů vlových fukcí ψa ψ popsujících prví resp druhou částc Takový objekt azýváme tesorovým součem a začíme ho jako Ψ = ψ ψ (47) Př trasformacích z rotačí grupy se trasformují jak x a y tak vlová fukce Ψ ale příslušá represetace je komplkovaější ež represetace daá příslušým fukcem ψa ψ Často pak součová represetace eí reducblí a může být rozložea a řadu samostatých represetací které už jsou reducblí Teto postup popíšeme pozděj ale teď jej lustrujeme a jedom příkladě Ať jsou tř možé fukce ψ dáy souřadcem x a tř možé fukce ψ souřadcem y Takže se jak ψtak ψ trasformují podle trojrozměré represetace rotačí 5

26 grupy Součová represetace obsahuje všechy možé součy ψa ψ můžeme proto ajít devět ezávslých fukcí T x y = x y j j které se př rotacích trasformují jako j j j j j (48) T T = R R T (49) Tato devítrozměrá represetace skutečě eí reducblí Symetrcká a atsymetrcká část T defovaá jako T = ( T + T ) a T[ ] ( T T ) j j j j j = se př rotacích trasformuje j j samostatě Plye to bezprostředě z pohledu a (at)symetrckou část T j eboť je vdět jak z (at)symetre v dexech a j výrazu R R ± R R plye (at)symetre v dexech a j j j j j Máme tak T ( j) T ( j) = R R T T [ j] T [ j] = R R T (40) j j j j j j Atsymetrcká část T j má tř ezávslé kompoety které se trasformují podle třírozměré represetace rotačí grupy Symetrcká část T j má šest ezávslých kompoet které se etrasformují podle ějaké reducblí represetace To vdíme okamžtě z toho že stopa T j defovaá jako T = x y (4) je varatí vzhledem k rotacím Můžeme tedy rozložt T j a tř ezávslé tesory 9 tj T = x y T j T = ε j k x j yk S j = x y j + x j y δ j x y (4) Všměme s použtí úplého atsymetrckého tesoru v zápsu atsymetrcké část jako trojrozměrého vektoru T (eí to ovšem c jého ež vektorový souč x y ) Nulové stopy u symetrcké část jsme dosáhl přdáím člee úměrého δ j Potom má S j pouze pět ezávslých kompoet Př rotacích se trasformují jedotlvé čley odděleě; tedy pět 9 Ve druhé rovc používáme sumačí kovec podle pozámky 8 6

27 kompoet můžeme teď psát S j se trasformuje mez sebou 0 Pro souč dvou třírozměrých represetací = 5 (4) přčemž represetace jsou ozačey svou dmesí (echáváme straou případ kdy by exstovaly dvě eekvvaletí represetace stejé dmese) V popsaém příkladu jsme užl postupu který se skládal ze dvou kroků: v prvím jsme využl vlastostí symetre tesorů které se př trasformacích eměí a ve druhém kroku jsme využl exstece dvou varatích tesorů tj T = δ T = ε (44) j j j k j k Jako varatí tesory ozačujeme tesory které se eměí př trasformacích z grupy tak jak jsou trasformace dáy působeím a jedotlvé tesorové dexy T j k T j k = R R R T = T j k j j k k j k (45) Zajsté (45) platí pro δ j a ε j k ; vztah R R δ = δ (46) j j j j je splě protože matce R j jsou ortogoálí a R R R ε = detrε j k = ε j k (47) j j k k j k platí protože pro matce rotace je det R = Máme-l ějaký tesor T j k můžeme pomocí varatích tesorů provádět kotrakc dexů Je potom možé že takto vzklé tesory tvoří varatí podprostory jým slovy pomocí kotrakce získáme tesory trasformující se př rotacích stejým způsobem Jako příklad vezměme tesor který se trasformuje jako T j k T j k = R R R T j j k k j k (48) 0 Ke každé z těchto represetací můžeme zkostruovat matce D( R ) které byly defováy v část Prví represetac ve (4) odpovídá trválí D( R ) = Pro druhou represetac máme matce D( R ) dmeze podobé matcím R Pro třetí represetac máme matce D( R ) dmeze 5 5 Idexy vytváříme z bezestopých symetrckých dvojc dexů ( j ) Matce D( R) můžeme zapsat jako D ( R ) = j k l R R + R R δ δ k j l l j k j k l 7

28 ɶ (49) Vytvořme yí tesor T = δ T k l m j j k l m který má o dva dexy méě Je jedoduché se za pomoc (46) přesvědčt že Tɶ se trasformuje jako ɶ ɶ ɶ Tk l m Tk l m = R R R T k k ll m m k l m (40) a podobým způsobem pomocí kotrakce jedím ebo více tesory δ a ε kostruovat kotrahovaé tesory které mohou vytvářet varatí podprostory V ám probíraém příkladu máme T = ε ε T + T + T δ T + δ T j j k k l m l m j j j k k j k k přčemž prví čle můžeme zapsat také jako ( T T ) j j protože platí detta (4) ε j k ε k l m = δl δ j m δ m δ jl (4) a druhý čle ve (4) je tvoře tak aby jeho stopa byla ulová δ j T j + Tj δ j Tk k = 0 (4) Podívejme se jak vypadají symetrcké tesory s ulovou stopou tvořeé pomocí tesorových součů vektoru x Počíaje l budou tvořey polyomy stupě l prví čle bude tvaru x x ásledovat budou čley x δ x x 4 l x δ δ x 4 x 5 l atd se všem l pro zachováí symetre potřebým permutacem dexů a koefcety voleým tak aby měl výsledý tesor ulovou stopu (tj aby kotrakce jedím ebo více δ-tesory dávala ulu) Tak apříklad máme (apíšeme pro úplost tesory pro l = 0 ) l = 0 l = l = Y ( x) = Y ( x) = x Y j ( x) = x x j x δ j = ( δ + δ + δ ) 5 ( δ δ δ δ δ δ ) 7 4 x ( δ j δ k l + δ k δ jl + δ l δ j k ) Y x x x x x x x x l = j k j k j k k j j k Y x = x x x x x x x + x x + x x + x x + x x + x x + l = 4 j kl j k l j k l k j l l j k j k l jl k k l j 5 (44) 8

29 Neí teď pro ás tak důležtý explctí tvar polyomů důležtá je jejch exstece pro každou hodotu l Protože jsou tesory Y symetrcké a mají stopu rovou ule eí možé l kostruovat pomocí ε- a δ-tesorů varatí podprostory (vzhledem k rotacím) Trasformují se tedy tedy tesory Y pomocí reducblích reprezetací grupy rotací l Pro daé l je dmeze reprezetace je dáa počtem ezávslých tesorů Y Nezávslé l tesory které jsou symetrcké v exech l lze charakterzovat pomocí počtu dexů p abývajících hodotu a počtu dexů p abývajících hodotu Počet dexů p abývajících hodotu už je dá vztahem p = l p p Počet ezávslých tesorů je tedy l l p ( ) (45) dl = = l + l + p = 0 p = 0 Zatím jsem evzal v úvahu požadavek ulové stopy tj že zúžeí pomocí δ-tesoru dává ulu Zúžeí symetrckého tesoru je opět symetrcký tesor který má o dva dexy méě Má-l být zúžeí ula dostáváme tak počet podmíek rový počtu složek symetrckého tesoru s l dexy Z toho už odvodíme že symetrcký tesor s ulovou stopou má ezávslých složek Dl = dl dl = ( l + )( l + ) ( l ) l = l + (46) Je užtečé zapsovat tesory Y pomocí komplexích čísel jako (užjeme začeí l x = x x = y x = z ) ( m ) l m ( ) l ( ) ( m ) l m ( ) x + y P z x + y pro m= l Yl m P z x + y pro m = 0 x y P z x + y pro m = l (47) Obecý výsledek je teto: symetrcký tesor s l dexy které mohou abývat hodot má složek l + ezávslých 9

30 kde P ( z x y ) + jsou jsté homogeí polyomy stupě v proměých z a x + y Odhlédeme-l od ormovacího faktoru a faktoru x l jsou Y l m zámé kulové fukce které bývají často vyjádřey pomocí úhlů θ a φ daých kartézským vektorem x Výše uvedeé výsledky jsou odvozey pomocí jedoduchých algebrackých postupů Působeí grupy rotací a fukce lze popsat také jým způsobem Vzhledem k tomu že změa fukce je dukováa změou argumetů můžeme pomocí Taylorova rozvoje defovat dferecálí operátory které převádějí fukc ψ ( x) a fukc ψ ( x) = ψ ( R x) Prvím krokem je zavedeí dferecálího operátoru který bude souvset s ftesmálí trasformací Př této trasformac máme ( x) ψ x ψ x = ψ x + ε α x ψ + O α j k k j x kde jsme využl trasformačích vlastostí vektoru x př ftesmálí rotac ( α ) ( α ) ε α ( α ) x x = x + L x + O = x + x + O j j k j k j Ze vztahu (48) vdíme že dferecálí operátory L = ε x j k j x k (48) (49) (40) hrají rol geerátorů Toto tvrzeí s potvrdíme tím že tyto operátory splňují stejé komutačí relace jako geerátory grupy rotací (jak lbovolou kostatu ve (40) jsem zvoll tak aby komutačí relace byly skutečě detcké) L Lj = ε k l ε j m xk xm = xl x ε k l ε j m xk xm xm xk = xl x x xl ε k l ε j m δl m xk δ k xm = εk l ε j ml xk xm = x xl xm xk (4) ε ε x = ε L jl l k m k j k k xm Přechod od třetího ke čtvrtému řádku využívá Jacobho detty () S defcí (40) můžeme zapsat (48) jako 0

31 ( x) ( x ) = ( x) L ( x) + O ψ ψ ψ α ψ α (4) kde s povšmeme zaméka mus u posledího člee Výsledek můžeme zobect a koečé rotace a psát x = R x = exp L x ψ ψ α α ψ (4) Věujme se teď zmíěému zaméku mus ve vztazích (4) a (4) Nejprve defujme ( α ) = ( α ) U exp L (44) takže (4) má tvar ψ ( x) = U ( α ) ψ ( x) Skutečost že se objevuje versí operátor k U ( α ) (45) vysvětlíme tak že pouze tímto způsobem zachováme strukturu grupového ásobeí Abychom to vděl proveďme ještě další rotac charakterzovaou parametrem β Výsledkem je = = = x U x U U x U U x ψ β ψ β α ψ α β ψ Tato rovce je zcela v souhlasu se zápsem = x R R x ψ ψ α β (46) (47) Ještě jedou se vrátíme k základí formulac problému popsaé v část Kvatově mechacká vlová fukce je řešeím rotačě symetrcké dferecálí rovce ( x) 0 D ψ = (48) což zameá že pokud je ψ ( x) být ( ( α L ) ψ ( x) ) řešeím (48) je také ψ ( x ) řešeím této rovce Odtud musí D exp = 0 (49) Tato rovce je splěa když platí ebol exp ( α L ) exp( α L ) [ ] D = D (440) L D = 0 (44)

32 V kvatové mechace jsou geerátory L přřazey složkám mometu hybost (až a faktor ħ ) Můžeme ukázat že také celkový momet hybost s každou složkou L zvlášť: L L L = L Lj Lj Lj L j L = ε j k Lk L j + L j Lk = 0 komutuje eje s D ale také (44) Operátor vytvořeý tak že komutuje se všem geerátory grupy se azývá Casmrův operátor Podle tzv Schurova lemmatu každý operátor který komutuje se všem geerátory grupy musí být úměrý dettě v ějaké reducblí reprezetac grupy Důkaz lemmatu je jedoduchý Uvažujme o možě matc D( R ) korespodujících prvkům grupy R která vytváří reducblí reprezetac grupy Ať je C ějaká matce která komutuje se všem matcem D( R ) C D R = 0 (44) Vezměme vlastí vektor x matce C s vlastí hodotou λ C x = λ x (444) Ze vztahu (44) plye že všechy vektory D( R) x jsou vlastím vektory C s vlastí hodotou λ = = λ C D R x D R C x D R x (445) Takže podprostor vytvořeý vektory D( R) x příslušejícím vlastí hodotě λ je varatí vůč trasformacím z grupy Avšak reducblí represetace epřpouští žádý varatí podprostor z čehož lze vdět že pro vektorový prostor příslušé reprezetace musí být C Nyí ukážeme jak spočítat vlastí hodotu Casmrova operátoru L pro polyomy Y stupě l které jsme dříve vytvořl (vz (44)) jako l + rozměrou reprezetac grupy rotací Podle defce (40) l = = = x L L L ε j k x j ε m xm xk kde Laplaceův operátor je x x + x x = j j j k xk xk xk x j x + x + x x x (446)

33 = x (447) Druhý řádek v (446) plye z detty (4); rovost druhého a třetího ejsáze ověříme apíšeme-l v obou případech všechy dervace apravo Operátor L bude působt a symetrcké polyomy stupě l s ulovou stopou Laplaceův operátor působící a polyom stupě l vytvoří polyom stupě l ale stále ve všech proměých Idexy polyomů Y jsou určey dexy souřadc x a dexy δ-tesorů Je l tedy možé zapsat Y l pomocí výrazů úměrých alespoň jedomu δ-tesoru tj Y = δ Y + (448) l l kde Y je symetrcký polyom řádu l a + jsou čley které zaručují symetr výsledého l výrazu v dexech Výraz a levé straě (448) má ulovou stopu tj zúžeí jedím ebo l více δ-tesory dává ulu Musí být proto všechy Y rovy ule a tedy = 0 (449) Y l Jedoduše se pak dá ukázat že x Y = l Y l l x (450) a jako výsledek máme L Y = l l + Y l l Teto výsledek je v souladu se Schurovým lemmatem: všechy polyomy l (45) Y patřící l + rozměré reprezetac jsou vlastím vektory operátoru v tomto případě l ( l + ) L s touže vlastí hodotou rovou Závěrem této část ukážeme jak vypadají geerátory součové reprezetace Uvažujme tesorový souč vlových fukcí ψ ( x) a ψ ( y) Př ftesmálích rotacích se tyto vlové fukce trasformují jako ( ) = + ( ) ( ) = + ( ) ψ x ψ x α L O α ψ x ψ y ψ y α L O α ψ y přčemž geerátory grupy rotací působící a ψ ( x) a ψ ( y) jsou (45)

34 L = ε j k x j L = ε j k y j x y Pro vlovou fukc vytvořeou jako souč ψ ( x) k k a ψ ( y) (45) je působeí ftesmálí rotace dáo vztahem tot α ( α ) Ψ x y Ψ x y = L + O Ψ x y (454) kde tot L ebol je defová jako tot L = L + L L = ε x ε y tot j k j j k j xk y k (455) (456) Geerátory součové reprezetace jsou (tzv přímým ) součtem geerátorů působících ve dvou (růzých) reprezetacích 5 Žebříkové operátory Uvažujme o represetac grupy rotací geerovaé pomocí hermteovských matc I I a I které splňují stejé komutačí relace jako L L a L daé v (4) tj ebol [ ] [ ] [ ] I I = I I I = I I I = I (5) I I j = ε j k Ik (5) Požadujeme aby matce I byly hermteovské tj I + = I (5) takže matce { α I } exp k k budou utárí Nyí určíme všechy reducblí matce I daých vlastostí a tak získáme všechy (koečěrozměré utárí) represetace grupy rotací Defujme ejprve leárí kombace I± = I ± I (54) Přímý součet zameá že L a L působí v růzých prostorech 4

35 + pro které I± = I a dále [ ] [ ] [ ] I I = I I ± I I = I I = I (55) ± ± Pro lbovolý stav ψ bude tedy platt I I+ ψ = I+ I + ψ (56) Casmrův operátor je takovou kombací operátorů ějaké represetace že s í všechy geerátory komutují Je-l represetace reducblí musí být každý Casmrův operátor ásobkem jedotkové matce V případě grupy rotací ve třech dmezích je Casmrovým operátorem I I I I Ze vztahu (5) plye = + + I I = 0 (57) (58) Poěvadž I a I jsou dvě komutující hermteovské matce mohou být současě přvedey k dagoálímu tvaru s reálým vlastím hodotam Zároveň musí být vlastí hodoty kladé protože platí I I I I I ψ ψ = ψ + ψ + ψ 0 Je zvykem psát vlastí hodoty l ( l + ) a m tedy I ve tvaru l ( l + ) přčemž l 0 Uvažujme teď stav l m který je vlastím stavem I l m = l l + l m I l m = m l m Z (56) a (57) odvodíme že ( + ) = ( + )( + ) ( + ) = ( + )( + ) I I l m m I l m (5) I I l m l l I l m I (59) a I s vlastím hodotam (50) Ozačíme-l I+ l m = ψ platí pak I ψ = m + ψ I ψ = l l + ψ jým slovy ψ je ový vlastí vektor I a I s vlastím hodotam (5) m = m + a l ( l + ) pokud ovšem eí 5