DIPLOMOVÁ PRÁCE. Jan Nožka. Modelování interakce plazmatu s povrchy pevných látek. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Transkript

1 Univerzit Krlov v Prze Mtemticko-fyzikální fkult DIPLOMOVÁ PRÁCE Jn Nožk Modelování interkce plzmtu s povrchy pevných látek Ktedr fyziky povrchů plzmtu Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Rudolf Hrch, DrSc. Studijní progrm: Fyzik Studijní obor: Mtemtické počítčové modelování ve fyzice v technice Prh 22

2 Děkuji pnu prof. RNDr. Rudolfu Hrchovi, DrSc. z obrovskou vstřícnost četné konzultce připomínky, které mi pomohly v příprvě diplomové práce. Děkuji tké svým přátelům z psychickou pomoc svému změstnvteli z prostor, který mi poskytl k dokončení práce.

3 Prohlšuji, že jsem tuto diplomovou práci vyprcovl smosttně výhrdně s použitím citovných prmenů, litertury dlších odborných zdrojů. Beru n vědomí, že se n moji práci vzthují práv povinnosti vyplývjící ze zákon č. 2/2 Sb., utorského zákon v pltném znění, zejmén skutečnost, že Univerzit Krlov v Prze má právo n uzvření licenční smlouvy o užití této práce jko školního díl podle 6 odst. utorského zákon. V Prze dne

4 Název práce: Modelování interkce plzmtu s povrchy pevných látek Autor: Jn Nožk Ktedr / Ústv: Ústv teoretické fyziky Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Rudolf Hrch, DrSc., Ktedr fyziky povrchů plzmtu Abstrkt: Tto práce se věnuje počítčovému modelování v doutnvém nízkoteplotního rgonovém plzmtu. Byl vytvořen zákldní částicový spojitý model. Dále byl vytvořen model elektron-elektronové interkce ve třech rozměrech. Tento model je schopný termodynmicky nerovnovážný elektronový plyn ustálit v očekávné rovnováze. Tento model byl vytvořen z účelem prozkoumání vlivu elektron-elektronových srážek n urychlování elektronů nd rychlost, která je postčující k excitci nebo ionizci neutrálního tomu rgonu. N závěr práce jsou uvedeny výsledky, které obhjují důležitost této interkce v porovnáním s množstvím rychlých elektronů, které jsou v plzmtu přítomny díky urychlování elektrickým polem. Klíčová slov: plzm, sondová dignostik, počítčová fyzik, částicové modelování, tepelná rovnováh elektronů Title: Modelling of plsm-solid interction Author: Jn Nožk Deprtment: Institute of Theoreticl Physics Supervisor: prof. RNDr. Rudolf Hrch, DrSc., Deprtment of Surfce nd Plsm Science Abstrct: This work is devoted to computer modeling of the low-temperture rgon plsm dischrge. We creted one bsic prticle model nd one bsic fluid model. Furthermore, we creted model of electron-electron interction in three dimensions. This model is ble to stbilize nonequilibrium electron gs in the expected equilibrium. This model ws developed to investigte the influence of electron-electron scttering on the ccelertion of electrons bove the speed tht is sufficient for excittion or ioniztion of neutrl rgon tom. At the end of this work there re results tht shed light on the importnce of this interction in comprison with the mount of fst electrons tht re present in the plsm due to electric filed field. Keywords: plsm, probe dignostics, computtionl physics, prticle modelling, therml equilibrium of electrons

5 Obsh.Úvod Teorie Plzm Debyeov délk Generování plzmtu Výboj v plzmtu Dignostik plzmtu Elektrosttická Lngmuirov sond Nízkoteplotní plzm Srážkové procesy účinný průřez Elektron-elektronový rozptyl Boltzmnnov rovnice Modelování plzmtu Částicové počítčové modelování Molekulární dynmik Pohybové rovnice Prcovní oblst Výpočet síly metod Prticle-In-Cell Srážkové procesy v částicovém modelu Čsový krok Zdroj částic Generování pseudonáhodných čísel s vyšší přesností Spojité modelování Spojitý model Model se srážkovými procesy Cíle práce Termodynmická rovnováh elektronů D model rozptylu elektronů Mxwellizce - zákldní myšlenk Účinný průřez srážková frekvence Převedení 3D rozptylu n 2D rozptyl D rozptyl pomocí LRL vektoru Výsledná rychlost po rozptylu Závislost prmetru d n osttních prmetrech Výsledný účinný průřez srážky dvou elektronů Hustot prvděpodobnosti výsledné rychlosti Mxwellizce Výsledky spojitého modelu Výsledky mxwellizce Mxwellizce Účinný průřez Hustot prvděpodobnosti výsledné rychlosti Simulce mxwellizce Výsledky částicového modelu Zákldní částicový model Vliv mxwellizce v částicovém modelu Částicový model při vyšších tlcích...65.závěr...7.seznm použité litertury...7

6 . Úvod Většin známé hmoty ve vesmíru je v podobě ionizovného plynu, i když n povrchu Země se to jeví přesně nopk. Plzm je díky volným elektronům iontům schopno vést proud regovt n elektrické mgnetické pole. Tto pole se využívjí k podmnění plzmtu využití jeho vlstností v technice, která je blízká i široké veřejnosti mimo jiné v medicíně k léčbě poškozených tkání, k plzmovému likvidování odpdu, tké v mnohem menších rozměrech v plzmových televizích, k nnášení tenkých vrstev či leptání, td. Modely plzmtu zkoumjí jeho chování bez nutnosti stvět experimentální zřízení. Je efektivnější levnější npst počítčový progrm vyzkoušet několik konfigurcí modelu njednou, než postvit prturu, která ověří zkoumnou domněnku v prxi. N druhou strnu počítčové modely nejsou zdlek dokonlé experimenty hrjí ve zkoumání plzmtu zásdní nenhrditelnou roli nopk mohou dát podnět k vyprcování modelu počítčového n zákldě úspěšných počítčových modelů lze nvrhnout konfigurci prtury, která může provádět poždovný úkol efektivněji. Počítčové modelování plzmtu má n svém poli stále silnější silnější nástroje, jk v podobě stále výkonnějších počítčů, tk i v odvozených, převážně hybridních, modelech. Záměrem této práce je prozkoumt plzm právě z pohledu počítčového modelování zejmén elektron-elektronové interkce v nízkoteplotním rgonovém plzmtu. 2

7 2. Teorie 2.. Plzm Plzm bývá oznčováno jko čtvrté skupenství hmoty dle definice ([] kp..2) je to kvzineutrální plyn nbitých neutrálních částic, které vykzují kolektivní chování. Obshem této definice jsou dv zákldní pojmy. Kvzineutrlit kolektivní chování. V plzmtu se vyskytují nbité částice volné elektrony, které kolem sebe vytvářejí elektrické pole, které působí Coulombovskou silou n osttní nbité složky plzmtu. Tto síl je dlekodoshová působí i n nbité částice, které nejsou v bezprostřední blízkosti částice, která toto pole vytváří. Pokud se v plzmtu vytvoří shluk náboje jednoho druhu, vliv tohoto náboje bude význmný i n větších vzdálenostech nbitá částice bude regovt n náboje jk sousedních částic, tk shluků nábojů z větších vzdáleností. Tto vlstnost se nzývá kolektivní chování. Kvzineutrlit je vlstnost plzmtu, která zručuje, že množství pozitivního negtivního náboje je přibližně stejné. V přípdě jednou ionizovných záporných iontů elektronů tedy pltí ( jsou koncentrce elektronl iontů).je le důležité určit, v jkých rozměrech lze mluvit o kvzineutrlitě. Tento rozměr vymezuje Debyov délk (viz kp. 2.2). Jk ukzují experimenty, jednotlivé složky plzmtu nemusí být nutně v termodynmické rovnováze[5]. Dle definice teploty[6] je možné teplotu definovt pro kždou složku, která je v termodynmické rovnováze. Teplotu iontů oznčím teplotu elektronů. Teploty těchto složek se mohou znčně lišit výměn energie mezi nimi je pomlá, neboť srážky iont-iontové elektron-elektronové jsou čstější ([].3), než iont-elektronové. 3

8 2.2. Debyeov délk Zákldním rysem plzmtu je jeho schopnost odstínit elektrický potenciál ([].4). Pokud se do plzmtu vloží dvě koule spojené bterií, tk z velmi krátkou dobu bude záporná koule obklopen oblkem kldných iontů kldná koule oblkem elektronů, což bude mít z následek odstínění elektrosttického pole, které koule generují. Odstínění všk není dokonlé, protože díky tepelnému pohybu se do obou oblků dostávjí částice s opčným nábojem. Tloušťk tohoto mrku je ([].4) (2.) Rychlost rekce n změnu rozložení náboje je v přípdě elektronů o několik řádů vyšší, než v přípdě iontů[2], proto je možné Debyeovu délku (2.) psát jko (2.2) S rostoucím počtem elektronů přípdně klesjící teplotou elektronů zmenšuje. Elektrosttický potenciál se tedy generovný koulí je pk přibližně roven (2.3) Z toho vyplývá, že pokud se kdekoli v plzmtu objeví shluk elektronů nebo iontů, pk pole, které tím vznikne, bude n vzdálenostech mnohem větších než odstíněno, vliv tohoto shluku bude velmi mlý. Plzm se tedy n vzdálenostech větších než bude jevit téměř jko neutrální. Tto vlstnost plzmtu se nzývá kvzineutrlit. Stejným způsobem je odstíněn i potenciál elektrod do plzmtu vložených. Stínící vrstv kolem sondy se nzývá sheth její šířk závisí n velikosti sondového npětí. Počet částic, které tvoří stínící oblk, se dá určit jko počet částic v Debyeově sféře (2.4) 4

9 Má-li být počet částic sttisticky význmný, musí pltit (2.5) Pokud je tedy prostorového náboje málo, tk ke stínění prkticky nedochází[2], viz obr Obr Vliv náboje n elektrický potenciál v plzmtu. ) podmínk (2.5) není splněn b) podmínk (2.5) je splněn 2.3. Generování plzmtu Plzm je ionizovný kvzineutrální plyn. Pokud by neexistovl mechnizmus, který vytváří nové páry iont-elektron, z krátkou dobu by došlo k rekombinci všech elektronů plzm by se přeměnilo zpět n neionizovný plyn. Existuje několik způsobů[2], jk plzm vytvořit udržet. Jedním způsobem je termická ionizce, při které se plyn ohřeje n teplotu několik tisíc kelvinů, tomy se vzájemnými srážkmi ionizují. Druhý způsob je zložený n využití elektrických výbojů[2]. Druhý způsob vytvoří plzm, které není v termodynmické rovnováze. 5

10 2.4. Výboj v plzmtu Výboj v plynu se vytváří pomocí dvou elektrod, n které je přivedeno dosttečně velké npětí, tzv. zplovcí npětí. Toto npětí urychluje volné elektrony. Pokud je npětí velké ntolik, že elektron je urychlen n energii, při které sám může z neutrálních tomů vyrážet dlší elektrony, vzniká lvinový efekt zžehne se výboj. Nutnou podmínkou je ovšem výskyt primárních volných elektronů. V přírodě se vyskytuje záření, které přirozeně ionizuje tomy plynu. Tkovým zářením může být npř. kosmické záření, UV, nebo záření vzniklé rozpdem rdioktivních nuklidů. Tyto mechnizmy pk způsobí, že se v neionizovném plynu n krátkou dobu vytvoří elektron-iontový pár, který bez přítomnosti vnějšího elektrického pole z krátkou dobu zpět rekombinuje. Obr. 2.7 Vznik výboje v plynu. VS vkuový systém, UV ultrfilové záření vytváří primární elektrony, K ktod, A nod. ) Výbojk n měření záplného npětí b) elektronová lvin c) detil výbojky. Z nízkého tlku ( P) dochází k mlému množství srážek, tkže stčí reltivně nízké npětí k tomu, by nbité částice získly dosttečnou energii k ionizci zžehnutí doutnvého výboje. 6

11 2.5. Dignostik plzmtu Dignostik plzmtu je soubor experimentálních metod pro zjišťování prmetrů plzmtu. Sledují se npříkld koncentrce nbitých částic střední kinetická energie (neboli teplot) chemické složení plzmtu druhy koncentrce excitovných stvů tomů intenzit elektrického mgnetického pole, td. Existuje několik metod dignostiky plzmtu, npř. sondová (elektrosttická) vysokofrekvenční optická korpuskulární Jednotlivé metody jsou popsány npř. v [2]. Lngmuirov sondová dignostik je zložená n interkci plzmtu s pevnou látkou, proto se budu věnovt primárně této metodě Elektrosttická Lngmuirov sond Elektrosttická sond je kromě nody ktody dlší elektrodou vloženou do plzmtu. N tuto sondu je přivedeno sondové npětí. Jko druhá referenční elektrod se může využít nod, nebo ktod. N obr. 2.8 [2] je uvedeno konkrétní zpojení této sondy. Zákldem měření pomocí sondy je měření hodnoty proudu tekoucího n sondu v závislosti n sondovém npětí. 7

12 K dignostice plzmtu se tké využívjí metody, které vyždují více sond (zpojení viz obr. 2.9, [2]). Příkldem může být měření spádu potenciálu v doutnvém výboji. Měření pomocí jedné sondy by v tkovém přípdě dávlo zkreslené údje, neboť potenciál se výrzně mění v okolí nody ktody ve sloupci doutnvého výboje jsou změny jen pozvolné. Já se budu v této práci věnovt pouze modelování plzmtu s jednou Lngmuirovou sondou. Obr. 2.8 Lngmuirov sond S. K ktod, A nod, VN zdroj vysokého npětí, Z zdroj proměnného npětí, U npětí mezi sondou nodou, Up potenciál nenrušeného plzmtu, I sondový proud Obr. 2.9 Měření podélného spádu potenciálu doutnvého výboje pomocí dvou elektrod 8

13 2.7. Nízkoteplotní plzm Nízkoteplotní plzm je definováno jko plzm, kde ionty i neionizovné tomy mjí přibližně stejnou teplotu, která se pohybuje kolem pokojové teploty. Elektrony nproti tomu doshují teploty v řádu K. Nízkoteplotní plzm je typicky slbě ionizovné, počet volných elektronů je v rozmezí [5]. Tto situce nstává npř. ve stejnosměrném doutnvém výboji z nižšího tlku. Z uvedených teplot je zřejmé, že plzm není v tepelné rovnováze, nicméně přítomnost budícího elektrického pole udržuje prmetry plzmtu konstntní. V nízkoteplotním plzmtu tvoří neutrální tomy význmnou složku, neboť jejich koncentrce je o několik řádů vyšší než koncentrce volných elektronů. V plzmtu probíhjí srážkové procesy, které z definice závisí n koncentrci obou srážejících se částic Srážkové procesy účinný průřez V rgonovém nízkoteplotním plzmtu probíhá množství srážkových procesů, které nstávjí s různou frekvencí, kždý typ srážky ovlivňuje plzm jiným způsobem. Ty význmnější uvádí následující seznm [6] Pružný rozptyl elektronu n tomu rgonu (2.) Excitce rgonového tomu (2.) Ionizce rgonového tomu (2.2) Rezonnční přenos náboje (2.3) Pružný rozptyl rgonového iontu n neutrálním tomu (2.4) Coulombovský rozptyl mezi elektrony (2.5) Srážkové procesy elektronů (2.) ž (2.2) jsou povžovány ve většině prcí z nejvýznmnější. Srážk (2.5) je nopk povžován z srážku, která má být mechnizmem, který generuje rychlé elektrony. Hodnověrná experimentální dt le bohužel nejsou k dispozici. 9

14 Obr. 2.6 Účinné průřezy pro srážky (2.), (2.) (2.2) v závislosti n reltivní kinetické energii Pro účinné průřezy uvedené n obr. 2.6 které jsou experimentálně změřené, existují i celkem přesné mtemtické proximce, které se djí při výpočtech využít. Jsou uvedeny npř. v [6]. Srážkovou frekvenci lze vyjádřit v přípdě sttických rozptylových center pomocí účinného průřezu jko (2.7) kde je rychlost srážející se částice, je účinný průřez srážky je hustot rozptylových center. Anlogicky je možné vyjádřit i rozptyl n pohybujícím se rozptylovém centru, kde rychlost bude znment vzájemnou rychlost obou částic. Srážkové frekvence pro elektron-elektronový rozptyl (2.5) je zobrzen pro různé rychlosti n (obr. 8.2). Pro tyto hodnoty le neexistuje experimentální výsledek.

15 2.9. Elektron-elektronový rozptyl Srážkový proces (2.5) (elektron-elektronový rozptyl) lze do jisté míry nhrdit několik způsoby. Jedním způsobem může být uvžování tkových rozptylů, ve kterých je úhel rozptylu větší než, uvžují se tedy jen význmné srážky, nebo se uvžuje více mlých srážek (rozptyl do úhlu menšího než ), které le společně tvoří opět význmnou změnu směru pohybu elektronu. Pro ob tyto přístupy existuje odvození účinného průřezu, npř. v ([9] kp. 2.4) nebo v ([5] kp..8). Uvedu zde stručné závěry. Záměrnou vzdálenost srážky dvou elektronů, při které dojde k rozptylu do úhlu v těžišťové soustvě oznčím jko. Pokud dojde ke srážce v menší vzdálenosti, rozptyl nstne do úhlu v intervlu pk rozptyl bude v úhlu v intervlu, pokud ve větší vzdálenosti,. Pro účinný průřez velkých rozptylů tedy bude pltit (2.8) Účinný průřez mlých srážek, které v součtu djí stejný rozptyl jko velká srážk (z stejný čsový intervl) oznčím dle [5] nbývá hodnoty (2.9) Kde je Debyeov vzdálenost (2.), srážky dvou elektronů tedy je redukovná hmotnost (v přípdě ). Pokud bychom měli do modelů zhrnout účinné průřezy se tento účinný průřez mohl položit n úroveň, nebo, tk by (rozptyl n neutrálních tomech), neboť ni v tomto přípdě účinný průřez neříká nic o konkrétním přerozdělení energie po srážce bylo by nutné vytvořit dlší proximci výsledků tkových rozptylů. Existuje všk způsob výpočtu účinného průřezu srážky dvou elektronů, který zároveň dovolí sttisticky vyhodnotit prvděpodobnosti rychlostí obou elektronů po

16 srážce. V obecném přípdě tkový účinný průřez bude funkcí rychlosti obou elektronů:. Podrobné odvození tkového účinného průřezu je v kp. 6, je v simulcích dále převeden do ekvivlentní formy srážkové frekvence. Účinné průřezy,, jsou spolu s účinnými průřezy stndrdně používných srážek uvedeny n obr Boltzmnnov rovnice Plzm se zprvidl dá povžovt z směs několik složek. Kždá tková složk se dá popst pomocí rozdělovcí funkce. Mezi jednotlivými složkmi dochází ke srážkám, které mohou měnit rozdělovcí funkci (člen n prvé strně) (2.2) Provedením derivce n levé strně (2.2) se získá Boltzmnnovu kinetická rovnice (2.2) kde je grdient v rychlostním prostoru. V bezsrážkovém plzmtu je člen n prvé strně (2.2) roven nule rovnice přejde n Vlsovovu rovnici (2.22) Rovnice (2.22) i (2.2) nejsou pro výpočty příliš vhodné, neboť rozdělovcí funkce závisí n sedmi proměnných síl dokonce n smotné rozdělovcí funkci. Vhodnější je použít momenty Boltzmnnovy rovnice, jejichž odvození je npř. v [2]. Nultým momentem je rovnice kontinuity (2.23) Prvním momentem je rovnice pro přenos hybnosti (2.24) kde je tenzor npětí srážkové členy 2 jsou definovány npř. v [].

17 Pro je zde uveden vzth (2.25) kde jsou hustoty intergujících částic je frekvence srážek. Pokud se uvžují při výpočtech i energetické závislosti, je možné využít i druhého momentu zákonu zchování energie. Spolu s Mxwellovými rovnicemi rovnicemi pro tok jednotlivých složek plzmtu pk tyto rovnice tvoří úplnou sdu rovnic pro tekutinový model. 2.. Modelování plzmtu Chceme-li simulovt chování plzmtu, přípdně odhdnout výsledek experimentu, který budeme chtít teprve relizovt, je dobré si rozmyslet, jké prmetry popisují dnou situci podle toho zvolit i vhodný model metodu výpočtu. Existují čistě částicové výpočty, které přesně popisují reálné chování plzmtu n úrovni jednotlivých částic, čistě spojité modely, které pomocí sdy diferenciálních rovnic popisují plzm jko tekutinu. Použití smosttně pouze jedné, nebo druhé metody vede v buď k extrémně dlouhým výpočtům, nebo nopk k rychlým výpočtům se znčně nepřesnými výsledky (konkrétní detily jsou uvedeny dále v příslušných kpitolách). Většinou se tedy volí model n rozhrní částicového spojitého modelování, tzv. hybridní model. Příkldem optimlizce ( tedy elementárního hybridního modelu) může být npř. v (kp. 3.4) při výpočtu síly zvedení metody PIC, nebo v (kp. 3.5) zvedení srážek pomocí volné dráhy metody MCC (Monte Crlo Collisions). Tyto srážky jsou totiž uměle vyvolné nesouvisí s reálným přibližováním následnou kolizí dvou částic. Nicméně tyto celkem jednoduché umělé konstrukce zrychlí výpočet ntolik, že tkový model je počittelný n běžném PC s dobou běhu v řádu hodin, dnů, přípdně týdnů. Tento model je typický pro nízkoteplotní plzm. Dlším příkldem hybridního modelu může být spojitý model, do kterého se nopk přidjí pomocné částicové výpočty, které uprví nepřesnosti výpočtu čistě spojitého. Nutno ovšem podotknout, že hybridní model, neznmená pouze model, 3

18 který obshuje část spojitou část částicovou. Hybridní model je tkový, který vychází z jednoho či více modelů (částicový, spojitý, sttistický, ) jsou do něj vloženy různé pomocné konstrukce, které výpočty zpřesňují nebo urychlují. Jko hybridní se oznčují npř. i modely, které část prcovní oblsti modelují částicově část spojitě. Nevýhodou hybridních modelů bývá jejich složitost. Je totiž nutné mít hned několik modelů typů výpočtů, které jsou vzájemně konzistentně provázány. 4

19 3. Částicové počítčové modelování 3.. Molekulární dynmik Metod molekulární dynmiky je deterministická metod pro výpočet chování mnohočásticového systému[2]. Lze ji použít všude tm, kde lze mluvit o dílčí části systému jko o zákldní jednotce. V plzmtu je to npř. elektron nebo iont, při modelování glxie npř. hvězd. Plzm je typickým příkldem systému, který lze věrně popst částicovým modelováním. Zákldním předpokldem je mít co nejvěrnější model sledovného systému pomocí pohybových rovnic okrjových počátečních podmínek pk tyto pohybové rovnice řešit pro kždou částici (molekulu) systému. Velkou výhodou této metody je to, že srážkové interkce mezi částicemi jsou vyhodnocovány n konkrétních dvou částicích, tím se získává skutečná změn rozdělovcí funkce. To je důležité hlvně tm, kde se interkce zúčstňují jen částice z určitého energetického intervlu. V přípdě plzmtu jsou to npř. pouze elektrony s dosttečně vysokou energií, které jsou schopny ionizovt neutrální tom snížit svoji energii o tuto ionizční energii. Odpovídjícím způsobem se pk změní i rozdělovcí funkce sníží se prvděpodobnost výskytu energetičtějších elektronů. Nevýhodou této metody je, že náročnost výpočtu roste s rostoucím počtem částic lespoň lineárně (závisí n použitém modelu obvykle to bývá ještě mnohem pesimističtější, tj. kvdrtické, pod. ). Pro krát přesnější výpočet s krát větším množstvím částic je tedy třeb očekávt desetinásobné ž stonásobné zpomlení výpočtu. Množství využité operční pměti pk nroste desetinásobně. 5

20 Mezi slbiny metody molekulární dynmiky ptří tké nefyzikální ohřev. Ten je způsoben nepřesností řešení pohybových rovnic, kdy se částice k sobě přiblíží více, než dovoluje jejich kinetická energie, tím získjí více potenciální energie, která se při následném vzdálení částic přemění ve větší množství kinetické energie, než měly částice před srážkou Pohybové rovnice Částice v plzmtu n sebe působí elektrostticky tké prostřednictvím srážek. N rozdíl od srážek lze elektrosttické působení zhrnout do pohybových rovnic pro kždou nbitou částici plzmtu. Z druhého Newtonov zákon pro polohový vektor i-té částice pltí (3.) Síl může obshovt různé složky v závislosti n zvoleném modelu. Nejčstěji se skládá ze dvou složek mkroskopického vnějšího elektrického pole, elektrického působení okolních částic (3.2) (3.3) může být působení vnějšího pole, npříkld sondy v plzmtu. Pk pro něj pltí (3.4) Řešení pohybových rovnic pk probíhá pro kždou částici zvlášť. Pro řešení diferenciálních rovnic (3.) se používjí [2] Eulerov metod (3.5) která je prvního řádu v čse její přesnost nebývá dostčující, 6

21 rychlostní Verletův lgoritmus (3.6) který je metodou druhého řádu, metod Lep-Frog (3.7) která je rovněž druhého řádu, dále npř. metody Rungeho-Kutty vyšších řádů, které jsou přesnější, le pro většinu výpočtů tková přesnost není potřeb. Metody (3.6) (3.7) jsou ekvivlentní ve smyslu výsledků výpočtů. Některé dlší rozdíly jsou uvedeny npř. v [2][3] Prcovní oblst Prcovní oblstí se nzývá část prostoru, ve kterém se zkoumjí hodnoty poždovných veličin. Prcovní oblstí může být npříkld část prostoru mezi sondou S nodou A n obr V geometrii, ve které probíhá výpočet, pk tto oblst může být npř. kvádrem, obdélníkem, nebo úsečkou, v přípdně potřeby i jiným útvrem. N hrnicích jsou pk určeny poždovné okrjové podmínky. Konkrétním příkldem může být umístění zdroje nenrušeného plzmtu, nebo sondy n konkrétní hrnice oblsti, viz kp Výpočet síly metod Prticle-In-Cell Pokud síl není závislá n rychlosti (npř. prostřednictvím vnějšího mgnetického pole) pk je pouze funkcí polohy, což osprvedlňuje použití metod (3.6) (3.7). V kždém čsovém kroku je třeb získt velikost síly. Použití vzthů (3.2) (3.3) je všk v progrmu nereálné, neboť čsová náročnost by byl kde N je počet částic, který může nbývt hodnot kolem ž,. Velmi efektivní výpočet nbízí metod prticle-in-cell (PIC). V této metodě je 7

22 celý prostor rozdělen n buňky (cell), jejichž velikost je volen tk, by počet částic v kždé buňce byl sttisticky význmný, tj. lespoň částic v buňce. Obr. 3.8 Příkld rozdělení 2D oblsti n buňky V kždé buňce se pk provede sumce náboje v buňce obsženého výsledná hodnot náboje se pk přiřdí celé buňce. Tento proces závisí lineárně n počtu částic,. Způsob sumce je možné zvolit npř. jko Nerest-Grid-Point (NGP), kdy se celý náboj přičte do buňky, ve které se částice nchází, nebo jko Cloud-In-Cell (CIC), kdy se částice povžuje z prostorový oblk (o velikosti buňky) se středem v místě částice konstntní nábojovou hustotou náboj se pk zpočítává poměrně podle plochy překryvu s okolními buňkmi. Viz následující obrázek Obr. 3.9 Metod sumce NGP (vlevo) CIC (vprvo) 8

23 Po provedení sumce náboje v buňkách, tedy získání diskrétní hustoty, je možné spočítt potenciál elektrosttického pole v kždé buňce řešením diskrétní Poissonovy rovnice z potenciálu následně i intenzitu (3.). Okrjové podmínky jsou dány npětím n sondě, která předstvuje jednu hrnici oblsti, nenrušeným plzmtem, kde volíme hodnotu elektrického potenciálu rovnu nule. Pro hodnotu složky probíhá výpočet následovně (3.) kde je x-ový rozměr buňky. Intenzitu elektrického pole hodnotu lze do v místě částice lze pk spočítt buď jko v buňce, ve které se částice nchází, nebo podobně, jko v metodě CIC, zhrnout působení nejbližších buněk (čtyř, v přípdě 2D) Srážkové procesy v částicovém modelu Jk je uvedeno v kp. 2.8, v plzmtu dochází k několik typům srážkových procesů. Některé srážkové procesy jsou pouhými rozptyly (2., 2.4, 2.5), které mění směr rychlost pohybu zúčstněných částic, druhá skupin srážkových procesů je chrkteristická tím, že částice mohou vzniknout, zniknout, nebo se změnit n jiné. Volná dráh částice je dráh, kterou částice uletí mezi dvěm srážkmi. Jeden způsob, jk zjistit jestli se částice srzil, je určit prvděpodobnost rozptylu částice během čsového kroku metodou Monte Crlo určit, jestli se má částice v tomto kroku srzit. Druhou možností je, dopředu vygenerovt volnou dráhu částice po jejím uržení provést srážku. S volnou drhou souvisí bezprostředně pojem střední volná dráh dráh. Volná (index i oznčuje pořdí vygenerovné volné dráhy pro jednu částici) je obecně mezi srážkmi různě dlouhá, pltí pro ni vzth 9

24 (3.2) V počítčovém progrmu je třeb po srážce ngenerovt novou volnou dráhu. Nejprve se vygeneruje náhodné číslo z intervlu doszením ([2] vzorec 4.45) do vzthu (3.3) je vygenerován nová volná dráh do dlší srážky. Vzth 3.3 je pouze přibližný pltí pouze po splnění dvou předpokldů - střední volná dráh je konstntní rozptylová centr jsou nehybná. Ještě zbývá určit hodnotu. T se vypočítává pomocí experimentálně nměřených hodnot účinného průřezu. Pro volnou dráhu mezi srážkmi pltí (3.4) kde je počet rozptylových center pro srážku j-tého typu. Částice může být schopn prodělt srážky různých typů pro celkovou volnou dráhu částice pk pltí (3.5) Účinný průřez částice obecně závisí n energii částice vzth (3.5) tedy nedává konstntní hodnotu není tedy možné ji dosdit do vzthu (3.3) z bez dlší modifikce. Zvádí se tedy fiktivní tzv. nulová srážk tk, by byl celkový účinný průřez i střední volná dráh konstntní (3.6) (3.7) Pokud nyní dojde ke srážce, tk se metodou Monte Crlo vygeneruje srážk, ke které dojde, pokud se vybere nulová srážk, pk částice žádnou srážku nepodstoupí pouze se ngeneruje nová volná dráh. Je nutné zvolit čsový krok mximálně tk dlouhý, by pro kždou částici pltilo (3.8) kde vhodnou volbou prmetru c se zručí, že volná dráh určená v (3.3) nebude uržen s prvděpodobností hned v prvním čsovém kroku. Jink by se částice 2

25 srážel v kždém čsovém kroku, mohlo dojít znedbávání určitého množství srážek díky umělému prodloužení volné dráhy. Ještě zbývá druhý předpokld pro použití vzthu (3.3) nehybnost rozptylových center který není v plzmtu splněný. Vzth lze použít pro elektrony, jejichž rychlost bývá o několik řádů větší než rychlost neutrálních tomů, n nichž se rozptylují. Avšk pro ionty, jejichž rychlost bývá srovntelná s rychlostí neutrálů, je třeb pro přesné výpočty vzth (3.3) nhrdit přesnějším ([3] vzth (6.4)) Čsový krok Klsická molekulární dynmik vyžduje, by byl zvolen jeden čsový krok pro všechny částice. To je velice omezující čsto tento poždvek znčně prodlužuje výpočet. Z toho důvodu se nejčstěji volí pro pomlé částice delší čsový krok, který se ovšem provádí s menší frekvencí. Konkrétně pro čsové kroky iontů elektronů může pltit. N jeden krok iontový, se provede n kroků elektronových. Lze dokonce zvolit různě dlouhé čsové kroky provádění iontových elektronových kroků střídt [4] v poměru :. Tím se smozřejmě ztrtí podsttná část informce o fyzikálním vývoji systému. V přípdě, že cílem simulce je získt informce o stcionárním stvu, je tento obrt osprvedlněn. Dlší možností úprvy čsového kroku je, že srážky jsou prováděny mimo čsovou diskretizci, je tedy možné i z vyšších tlků ponecht elektronový krok n hodnotě ž srážek se během čsového kroku provede více. Podrobné výpočty jsou npř. v práci [3] Zdroj částic Zdroj částic se používá v částicovém modelování jko simulce plzmtu nenrušeného přítomností sondy. Z tkového zdroje pk přes jeho hrnici do prcovní oblsti proudí částice s poždovným rozdělením, většinou mxwellovským (což je velmi blízká proximce skutečnosti). Jk ukzuje difuzní řešení (řešení rovnice (2.23) s nulovou prvou strnou), 2

26 u zdroje dochází k poklesu koncentrce částic u sondy nopk k nárůstu znčně nd nulovou hodnotu. Výsledkem je pk nespojitost n rozhrní prcovní oblsti zdroje částic. Tyto výsledky jsou názorně zobrzeny pro různé hodnoty npř. v ([5] obr.4.). Uvedu zde pouze difuzní řešení po řdě pro rovinnou, válcovou sférickou sondu (3.9) (3.2) (3.2) dále hodnoty koncentrce částic n sondě (opět po řdě) (3.22) (3.23) (3.24) kde je poloměr sondy je rdiální vzdálenost zdroje. Hodnoty prmetrů pro jednotlivé přípdy jsou uvedeny v [5]. Pokud je n sondu připojeno npětí, pk význm hodnot koncentrce n sondě dné difuzním řešením klesá s rostoucím npětím. U zdroje se le hodnoty koncentrcí blíží difuznímu řešení, neboť vliv potenciálu sondy u zdroje je velmi mlý zde se projevuje vliv kvzineutrlity plzmtu. N zákldě výsledků difuzního řešení lze zdroj uprvit tk, by n rozhrní s prcovní oblstí k nespojitosti v koncentrci částic nedocházelo v tkové míře. Lze npříkld množství částic, které dopdnou n sondu ze zdroje zpět vrátit do prcovní oblsti. Poněkud hldší způsob je nstvení zdroje tk, by do prcovní oblsti proudil tok mxvellovsky rozdělených částic, kde tok je opět úměrný toku částic n sondu Generování pseudonáhodných čísel s vyšší přesností Během simulcí je občs potřeb generovt náhodná čísl (s rovnoměrným rozdělením) s větší rozlišovcí schopností, než dovolují stndrdní metody progrmovcího jzyk. Npř. v c++ funkce rnd() generuje náhodná celá čísl mezi 22

27 RAND_MAX = (tuto hodnotu oznčím ). V přípdech, kdy je npř. třeb vybrt (metodou Monte Crlo) srážkový proces, ke kterému došlo, tento srážkový proces má prvděpodobnost výskytu menší než, pk tkový srážkový proces nemusí být nikdy vybrán, i když důležitost jeho vlivu vyvžuje mlou prvděpodobnost jeho výskytu. V tkovém přípdě lze přesnost generování náhodných čísel libovolně zvýšit. Je to ovšem n úkor generování více náhodných čísel. Mějme tedy M náhodných celých čísel vybrl mezi z intervlu. Generátor je různými čísly rovnoměrně rozmístěnými n tomto intervlu. (3.25) je pk náhodné číslo z intervlu. N tomto intervlu existuje různých čísel, které jsou od sebe všechny stejně vzdálené vzthem (3.25) je zručen uniformnost nového generátoru. 23

28 4. Spojité modelování Spojité modelování je pojem nznčující únik od diskrétního částicového modelu, k popisu částí plzmtu rovnicemi dynmiky kontinu. N plzm se dá pohlížet jko n směs tekutin, které se vzájemně prolínjí ovlivňují. V nejjednodušším přípdě rgonového plzmtu se modelují tekutiny tři tekutiny neutrální tomy, volné elektrony, jednou ionizovné rgonové tomy. K rovnicím popisujícím hmotné částice se přidávjí rovnice popisující pole elektrické mgnetické. Chování složek plzmtu je těmito poli ovlivňováno vzniká soustv rovnic tzv. mgnetohydrodynmických. Výhodou tkovýchto spojitých modelů je rychlost výpočtu, která je řádově vyšší než u částicových modelů. Nevýhodou ovšem zůstává, že spojitý model nedokáže dobře postihnout prmetry jednotlivých částic výpočty koeficientů rekce jsou pk zloženy n odhdnuté rozdělovcí funkci v dném místě prostoru, což znáší do výpočtu nepřesnosti. Jk již bylo zmíněno, tyto nepřesnosti se potlčují v hybridních modelech npř. zhrnutím pomocných částicových výpočtů. Výchozím bodem při sestvování těchto rovnic bývá Boltzmnnov kinetická rovnice její momenty, jk je popsáno v kpitole Spojitý model V prvním přiblížení lze tedy spojitý model plzmtu popisovt jko směs elektronů iontů tyto dvě tekutiny n sebe necht vzájemně působit. Srážky budou do modelu přidány v následující kpitole. Rovnice v bezsrážkovém plzmtu popisující koncentrce obou složek získám z (2.23) (3.26) kde jsou toky elektronů iontů, které lze vyjádřit pomocí koeficientů difuze, pohyblivosti elektrické pole jko 24

29 (3.27) Doszením (3.27) do (3.26) přidáním Poissonovy rovnice se získá zákldní soustv rovnic, pro spojitý model (3.28) Je to soustv tří diferenciálních rovnic o třech neznámých, která se doplní Dirichletovou, nebo Neumnovou okrjovou podmínkou počátečním (npř. lineárním) rozdělením elektronů iontů. Řešení této soustvy dává velice hrubý pohled n koncentrce jednotlivých složek v plzmtu pro přesnější výsledky je třeb soustvu rovnic dále rozšířit. Dlším rozšířením může být přidání energetické bilnce elektronů, to buď ve formě střední energie elektronu v dném bodě prcovní oblsti, nebo ve formě teploty. Jk je uvedeno v [6], využití teploty není příliš vhodné. Hustotu energie elektronů v dném bodě lze psát jko kde (3.29) je střední hodnot energie elektronů. Do střední energie elektronů přispívá jk složk tepelná, tk driftová ( je driftová rychlost elektronů) (3.3) Zákon zchování energie lze [6] psát jko (3.3) Pokud uvážíme, že celý systém směřuje do rovnováhy budeme předpokládt, že existuje pouze jedno řešení soustvy rovnic (3.28), (3.3) pk lze soustvu řešit jko stcionární čsové derivce z rovnic vypustit. Ve třech rozměrech pk bude pro tok elektronů v celé prcovní oblsti pltit kde r je vzdálenost od počátku (je-li střed sondy umístěn v počátku). 25

30 4.2. Model se srážkovými procesy Model uvedený v předchozí kpitole (rozšířený o energetické rozdělení elektronů) dovolí přibližně spočítt srážkové frekvence ze znlosti hustoty elektronů iontů, účinných průřezů dopočítné (rovnice 3.3) hustoty energie. Do rovnic (3.28) (3.3) jsou v práci [6] do modelu zhrnuty srážky následujícím způsobem (3.32) (3.33) kde je srážková frekvence částic neutrálními tomy,, je vliv pružných srážek elektronů s je průměrná změn energie elektonu při srážce je počet srážek typu j v jednotce objemu z sekundu. Tento model dává velmi dobré výsledky (viz [6]). Koeficienty lze získt z rozdělovcí funkce elektronů z částicového modelu znlosti účinných průřezů, které jsou experimentálně změřeny. Zmíněné modely jk částicové, tk spojité neuvžují elektron-elektronové rozptyly, které mohou změnit rozdělovcí funkci ntolik, že se změní i srážkové koeficienty. V kpitole 9 je prozkoumán relevnce tohoto znedbání. 26

31 5. Cíle práce Cílem práce je nvrhnout částicový spojitý model nízkoteplotního rgonového plzmtu. Pokusit se vytvořit výsledný model, který bude možné plikovt n plzm o vyšším tlku. V práci se změřím n vliv elektron-elektronové interkce, jejíž vliv n tvorbu rychlých elektronů schopných excitovt ionizovt neutrální tomy rgonu není příliš prozkoumán není ni možné se s jistotou opřít o experimentální dt. Nejprve bude vytvořen zákldní částicový spojitý model. Následně bude odvozen účinný průřez pro elektron-elektronovou srážku prvděpodobnostní rozdělení rychlostí po srážce. Model bude plikován n elektronový plyn následně zhrnut do částicového modelu bude diskutován jeho vliv. 27

32 6. Termodynmická rovnováh elektronů Rychlostní rozdělení elektronů v nenrušeném nízkoteplotním rgonovém plzmtu přibližně odpovídá Mxwellovu-Boltzmnnovu rozdělení. Srážkové procesy, které se v plzmtu vyskytují, npř. ionizce excitce rgonového tomu, nrušují toto rozdělení. Pokud by npř. v plzmtu nstávly pouze tyto dv srážkové procesy, tk by se původní Mxwello-Boltzmnnovo rozdělení deformovlo n rozdělení, které je ž do excitční energie shodné s Mxwellovým-Boltzmnnovým rozdělením, nd excitční energií je rozdělovcí funkce rovn nule. Elektrony se ovšem mezi sebou vzájemně sráží. Přesněji řečeno se Coulombovsky rozptylují tím si předávjí energii. Pro simulci těchto vzájemných elektron-elektronových rozptylů byl vytvořen model, který z libovolného počátečního nerovnovážného stvu elektronového plynu nstolí rovnováhu, která bude odpovídt MxwellovuBoltzmnnovu rozdělení při zchování celkové energie soustvy. Do tohoto modelu byl následně přidán proces ionizce excitce D model rozptylu elektronů Má-li síl v pohybových rovnicích tvr, jsou tyto rovnice pro vybrné hodnoty n integrovtelné [4]. Řešení lze získt mj. pro sílu, která klesá s druhou mocninou vzdálenosti (6.) což odpovídá elektrosttické síle ve 3D. Ve 2D tto síl klesá s první mocninou tkové řešení lze získt pouze numericky [4]. Tkový postup by pro velký počet různých kombincí prmetrů rozptylu (v řádu milird) znmenl znčné prodloužení výpočtu. Přechodem ze 3D do 2D výpočtu nedojde ke snížení počtu těchto kombincí díky symetrii rozptylu. Bylo tedy efektivnější vytvořit model rovnou ve 3D. 28

33 6.2. Mxwellizce - zákldní myšlenk Elektrony ve 3D se míjejí obecně v libovolných vzdálenostech, pod libovolnými úhly mjí libovolné rychlosti, tkže postihnout kždou možnost není sndné. Dlší nevýhodou vzájemné interkce elektronů je, že ť jsou tyto prmetry nstveny jkkoli, vždy dojde k rozptylu, byť může být neměřitelně mlý. To pk v částicovém modelu způsobí, že elektrony se prkticky neustále rozptylují. Model byl proto nstven tk, že z rozptyl je povžován pouze tková interkce, jejímž výsledkem je změn energie lespoň u jednoho z elektronů lespoň o fktor výslednou rychlost. Pro musí tedy pltit (6.2) Tím se vyloučí většin rozptylů, které ovšem způsobují minimální přenos energie. Fktor byl testován v rozmezí. Všechny tyto předpokldy nedovolují použití obyčejné metody Monte Crlo, neboť by v rozumném čse nebylo možné postihnout všechny význmné rozptyly to především proto, že účinný průřez se v různých konfigurcích prmetrů řádově znčně liší bylo by velice neprvděpodobné nsimulovt náhodným procesem všechny možné rozptyly. Byl proto nvržen výpočet, který pro libovolnou konfigurci počátečních prmetrů dvou elektronů zjistí účinný průřez srážky, která bude mít z následek lespoň minimální poždovný přenos energie. Přitom se zároveň získá informce o tom, jká bude hustot prvděpodobnosti rychlosti elektronů po srážce. Následně byl proveden simulce, která dokázl libovolný počáteční nerovnovážný stv elektronového plynu postupným rozptylování elektronů ustálit ve stcionárním stvu, jehož rozdělovcí funkce rychlostí odpovídl MxwellovuBoltzmnnovu rozdělení. Tento proces tedy budu dále nzývt mxwellizce. Nutným předpokldem celé elektron-elektronové interkce je, že do průběhu rozptylu nezshují osttní částice, nebo je lespoň četnost těchto záshů sttisticky nevýznmná. 29

34 6.2.. Účinný průřez srážková frekvence Rozptyly elektronů o různých rychlostech nstávjí s různou frekvencí je třeb nejprve určit účinný průřez srážky pro libovolnou dvojici rychlostí elektronů. Prvním předpokldem modelu je, že elektronový plyn je homogenní izotropní. Elektrony se tedy vyskytují ve všech místech se stejnou prvděpodobností všechny směry jejich vektorů rychlosti jsou tké rovnocenné ([7] kp.). Účinný průřez se určuje pro dvojici elektronů (oznčím je I A) o velikostech rychlosti újmy n obecnosti bude vektor rychlosti směru osy x vektor rychlosti. Bez elektronu I vždy orientován v záporném elektronu A bude určen pomocí souřdnic velikosti směřovt bude vždy k počátku. Účinný průřez pk bude mít tvr (6.3) Souřdnice je úhel, který svírá vektor určuje ntočení roviny určené vektorem se zápornou osou x. Souřdnice osou x vůči rovině xy, přičemž se počítá od kldného směru osy y ve směru kldné osy z. Obr. 4. Elektrony se k sobě přibližují obecně pod libovolnými úhly Výrz počáteční rychlosti jsou určuje účinný průřez rozptylu elektronů I A jejichž jejichž interkce zčíná pod úhly. Výrz je prvděpodobnostní váh určující hustotu prvděpodobnosti výskytu 3

35 srážky probíhjící pod úhly,. Díky izotropii se dá výrz (6.3) vyjádřit jko (6.4) neboť pltí výrzy (6.5) proto je možné vyloučit oznčit (6.6) Pro váhovou funkci musí při přeintegrování přes jednotkovou kouli pltit (6.7) po oznčení (6.8) bude pltit (6.9) Pokud uvážím, že pro prostorový úhel pltí úměrnost pk (6.) je rovnice (6.9) splněn. Nyní je ještě třeb určit funkci pk už bude možné určit hodnotu Převedení 3D rozptylu n 2D rozptyl Bez újmy n obecnosti budu dle (6.5) předpokládt, že složk vektoru tedy z-ová je rovn nule. Vektory rychlosti elektronů před srážkou vypdjí tkto (6.) Pokud by n sebe elektrony silově nepůsobily, tk by elektron I proletěl 3

36 počátkem pokrčovl by v záporném směru osy x, elektron A by počátek minul obecně v libovolné vzdálenosti d, viz obr 6.2. Obr. 6.2 Vektory rychlostí elektronů pro Po trnsformci souřdnic do těžišťové soustvy vypdjí vektory rychlosti následovně (6.3) kde index T znčí těžišťovou soustvu vektor tvr je vektor rychlosti těžiště má (6.4) Obrázek 6.5 zobrzuje situci v těžišťové soustvě Obr. 6.5 Rozptyl v těžišťové soustvě 32

37 Prmetr d je tedy záměrná vzdálenost elektronů (viz obr. 6.2). Vzhledem k osttním omezením zobecněním stčí pouze jeden prmetr k tomu, by byl celý rozptyl jednoznčně definován. Tím prmetrem je úhel, který určuje rovinu (v těžišťové soustvě), ve které se ob elektrony k sobě přibližují. Obecně tedy závisí ještě n úhlu. Úhly jsou všechny rovnocenné (viz obr. 6.2) proto pltí (6.6) Nyní je třeb zjistit, jkým způsobem proběhne srážk, respektive jkým způsobem srážk skončí. Pro celkový přenos energie totiž není zjímvá detilní trjektorie obou elektronů, le pouze vektory rychlosti obou elektronů po srážce. Pro zjednodušení výpočtu provedu rotci celé souřdné soustvy kolem počátku tk, že vektory rychlosti budou mít tvr (viz obr. 6.33) (6.7) polohové vektory budou mít tvr (6.8) kde m je nějké kldné číslo. Index TQ říká, že vektory jsou v otočené těžišťové souřdné soustvě. Mtice této rotce se skládá ze dvou otočení. První otočení ( kolem osy z tk, že vektor se otočí do roviny xz. Druhé otočení o úhel ) je (o úhel ) je kolem osy x tk, že se elektron A otočí do roviny xy jeho y-ová složk polohy bude záporná. 33

38 Rotce mjí tvr (6.9) Kde význm úhlů je ptrný z obr. 6.5 Obr. 6.2 Situce po trnsformci do těžišťové soustvy následné rotci D rozptyl pomocí LRL vektoru Nyní je možné provést rovinný rozptyl, jehož výsledek se dá vyjádřit nlyticky. Problém, který je tedy třeb vyřešit, je rozptyl dvou stejně hmotných bodů pohybujících se stejně velkou rychlostí nproti sobě (obr. 6.33). Jedná se tedy o problém dvou těles klsické mechniky. K jejímu vyřešení využiji Lplce Runge Lenzův (LRL) vektor, který je integrálem pohybu. Důkz je proveden npř. v ([3] kp. 3.9). 34

39 V systému popsném hmiltoniánem (6.2) má LRL vektor tvr (6.22) kde L je moment hybnosti. Elektrony I A mjí opčné vektory rychlosti stejnou hmotnost, tkže rozptyl je symetrický se středem symetrie v bodě. Velikost rychlosti před srážkou po srážce je ze zákon zchování energie stejná. Dále tedy budu počítt pouze rozptyl elektronu I. Indexem oznčuji v tomto výpočtu veličiny před srážkou indexem 2 po srážce. Vektory se zchovávjí, tkže pltí (6.23) Pro velké vzdálenosti elektronů před srážkou po srážce pltí, že jejich vektor rychlosti má směr limitně se blížící polohovému vektoru, tkže lze oznčit (6.24) Rovnici (6.23) lze přepst jko kde p je velikost hybnosti v nekonečnu (pozn. mínus před výrzem polohový vektor rychlost mjí opčný směr, což v přípdě (6.25) je proto, že již nepltí). Po úprvě získám rovnici (6.26) kterou umocním. Využitím toho, že vektory kde úhel je úhel mezi vektory jsou kolmé n, získám. Důležitý je ovšem vektor, (6.27) což je úhel vychýlení z původního směru (viz obr. 6.33). (6.28) Po dlší úprvě získám (6.29) 35

40 Pro moment hybnosti pltí, neboť elektrony mjí záměrnou vzdálenost vůči rozptylovému centru rovnu. Výrz (6.29) se přepíše jko (v je opět rychlost dleko před srážkou) (6.3) Velikost síly je v tomto přípdě Coulombově zákoně, kde je konstnt úměrnosti v. Tím (6.3) přejde n Z výsledného výrzu je vidět, že úhel rozptylu klesá, když nebo (6.3) rostou. Výsledek (6.3) přesně odpovídá Ruthefordovu rozptylu ([3] kp.3.), kde m odpovídá redukovné hmotnosti. Rychlost elektronu I po rozptylu v orotovné těžišťové soustvě je (6.32) Apostrofem znčím vektory po rozptylu. Obr Vektory rychlosti elektronů před po rozptylu 36

41 Výsledná rychlost po rozptylu Vektor převedu zpět do původních souřdnic (6.34) Tento vzorec je exktní výpočet vektoru rychlosti elektronu I po srážce pro zdné prmetry vektoru,,,. Pro potřeby simulce není třeb znát směr le pouze jeho velikost. Velikost rychlosti elektronu A po rozptylu se dopočítá ze zákon zchování energie. Z rovnice (6.34) se sndno získá velikost formálně tk získám rovnici (6.35) Jk bylo le zmíněno výše (kpitol 6.2), je málo prvděpodobné metodou Monte Crlo ngenerovt k prmetrům,, velikost záměrné vzdálenosti d tk, by se tím spolehlivě nšel účinný průřez, který splňuje podmínku (6.2). Bylo by vhodné mít k dispozici vzth typu (6.36) by se dl sndno vyhledt prmetr d, pro který pltí (6.37) který jsně vymezuje účinný průřez. Odvození zobrzení se ukzuje jko znčně komplikovné. Nvíc řešení není jednoznčné jedné sdě prmetrů mohou odpovídt ž 2 hodnoty d. Proto nyní odvodím výpočet d v několik krocích Závislost prmetru d n osttních prmetrech Rovnice (6.3) má tu vlstnost, že pro pevné njít libovolné lze tk, že je tto rovnice splněn. Jinými slovy, elektron I se může v QT (otočená těžišťová soustv) soustvě rozptýlit do libovolného směru s kldnou y-ovou složkou rychlosti. Po rozptylu se bude jeho vektor rychlosti ncházet v některém bodě půlkružnice (nd osou x) se středem v počátku poloměrem 37

42 (viz obr pro různá kterou oznčím ). Tto půlkružnice je tedy množin možných rozptylů,. Nyní je možné tuto množinu převést zpět do původních souřdnic Porovnáním výrzu (6.38) (6.34) je zřejmé, že pro libovolné Množin (6.38) předstvuje půlkružnici o poloměru (6.38). která je obecně libovolně orientován v prostoru. Poslední prmetr, který nebyl využit k určení hodnoty d, je poždovná rychlost elektronu I po rozptylu. Jelikož nezáleží n směru rozptýleného elektronu, je třeb, by pro vektor rychlosti pltilo (6.39) což je povrch koule o poloměru Řešením úlohy je pk nlezení se středem v počátku. tkového, že (6.4) Řešení muže být jedno, dvě, nebo žádné. Pokud řešení existuje, tk n půlkružnici dopočítám které odpovídá průniku. Doszením do (6.3) vyjádřím (6.4) což už stčí pro určení hodnoty pro kterou pltí (6.42) Záporné znménko pltí pouze pro menší hodnotu d v přípdě existence dvou řešení (viz konec následující kpitoly). N obr. (6.47) pro je ukázán názorný příkld toho, že k poždovnému zpomlení nedojde, pokud je vzdálenost d menší než menší ze dvou nlezených řešení průniku (6.4). Nlezení průniku (6.4) je ekvivlentní s nlezením průniku V tomto přípdě půlkružnice zůstává v rovině xy, koule (6.43) se posune mimo počátek obecně libovolným směrem řešení se zjednoduší n nlezení průniku koule s rovinou xy (což může být bod, kružnice, nebo prázdná množin) následným vyřešením průniku půlkružnice s kružnicí (což je kvdrtická rovnice). Nlezený bod se použije opět pro výpočet z (6.4) získám hledné. Tento druhý postup jsem 38

43 při výpočtech použil. Obě řešení jsou ekvivlentní, neboť se jedná pouze o změnu polohy v prostoru, což nemá n průnik žádný vliv Výsledný účinný průřez srážky dvou elektronů Prmetr vyžduje, by se elektron I urychlil n rychlost ovšem elektron A zpomlí n. Pokud, ze zákon zchování energie je. Jko minimální poždovné zrychlení elektronu I je (6.44) Anlogicky získám minimální poždovné zpomlení jko (6.45) Definice (6.44) (6.45) byl zvolen tk, by pltil symetrie (6.46) která musí být nutně splněn. V kpitole (6.2.2) totiž po záměně elektronů získám zrcdlově symetrický problém s nprosto stejnou úlohou nlezení průniku (6.43). Nvíc je logické, by prvděpodobnost rozptylu elektronu s vektorem rychlosti n elektronu s vektorem rychlosti rozptylu elektronu s vektorem rychlosti byl stejná, jko prvděpodobnosti n elektronu s vektorem rychlosti Řešením průniku (6.43) pro pro různé hodnoty konkrétní tvr účinného průřezu pro pevné (6.47) pro hodnoty množin modů,. lze nlézt. Výsledek je zobrzen v grfu. V levé části je vyznčen reprezentovná uzvřenou křivkou, pro které pltí. Uvnitř této křivky dochází k dlšímu zrychlení elektronu I. Anlogicky, křivk nprvo ohrničuje oblst zpomlení její hrniční křivk je dán množinou bodů, pro které pltí 39.

44 9 2 6 d = γ = Obr Křivky s konstntním pro prmetry,,. Vlevo je křivk odpovídjící, vprvo (pozn. pokud by zobrzení bylo funkcí, uzvřená křivk vlevo by byl grfem této funkce). Součet ohrničených ploch obou oblstí pk nzývám účinným průřezem. Výpočet byl proveden vyřešením problému (6.43). Npř. pro úhel vidět, že byly nlezeny dvě řešení odpovídjící zpomlení n rychlost pro úhel neexistuje řešení pro ztímco pro s větší jko. Nopk existuje jedno řešení. V příkldu n obr oznčím řešení výrzu (6.43) pro Pro zpomlení je jko. existují 2 řešení. Řešení s menší hodnotou d oznčím jko. Doszením (6.42) do (6.6) získám jko (6.48) 4

45 Zjímvá je závislost n při konstntních hodnotách,. Následující grf uvádí jeden konkrétní příkld. Obr Grf funkce pro Úhel odpovídá situci, kdy elektron A proletí z elektronem I. Při této konfigurci dochází přibližně při k největšímu urychlení elektronu I. Z grfu je tké vidět, že pro různá d může být velikost rychlosti stejná i když směr elektronu bude jiný. Pro úhel dojde nopk k největšímu zpomlení. Elektron A v této konfigurci proletí těsně před elektronem I. 4

46 Hustot prvděpodobnosti výsledné rychlosti Pokud dojde k rozptylu, pk prvděpodobnost, že elektron I bude mít po rozptylu rychlost se dá určit jko (6.5) Výrz reprezentuje plochu, která se dá předstvit jko ploch mezi dvěm křivkmi v grfu (6.49), které reprezentují rychlosti. Pro tuto prvděpodobnost tedy pltí (6.5) pro prvděpodobnost nezávislou n úhlu pk pltí (6.52) kde N je normovcí konstnt váhová funkce je stejná jko v (6.) Mxwellizce Spojením (6.42), (6.6) (6.4) máme odvozený vzth pro účinný průřez rozptylu elektronů o rychlostech, vzth (6.52) určuje, jk tkový rozptyl dopdne. Aby bylo možné provést počítčovou simulci, je třeb celý problém diskretizovt, neboť funkce (6.5) (6.6) jsou znčně komplikovné. Diskretizce byl proveden následovně 42

47 Prmetr Intervl Krok Tb.6.53 Diskretizce prmetrů při výpočtu účinného průřezu elektron-elektronové interkce Výpočet byl tké diskretizován sice tk, že ploch vytyčená zobrzením (npř. viz obr. 6.47) byl pro kždé d) funkce kždou část přiřdil k příslušné diskretizovné není třeb počítt pro celý intervl rozdělen n částí (podle. Hodnoty, protože hodnoty jsou zrcdlově stejné podél osy x. Rozdělovcí funkce elektronů je tedy po diskretizci rozdělen n 4 stejně velkých rychlostních intervlů. Jelikož energie, přípdně rychlost elektronů není v reálném experimentu nijk kvntován, při výpočtu by se měl energie zchovávt, je třeb zvést mechnizmus, který se o to postrá. Pokud se budou rozptylu účstnit elektrony npř. o rychlostech, je dle (6.52) možné, že rychlost (ZZE) druhý elektron bude mít což neodpovídá diskretizci. bude dle diskretizce zokrouhlen n Rychlost energie která se tím elektronu odebrl, bude přičten k energii elektronu, který se v některém dlším rozptylu rozptýlí do intervlu. Pokud tím tento dlší elektron získá nebo ztrtí energii ntolik, by nkonec skončil v sousedním intervlu, pk se jeho energie opět zokrouhlí n energii se opět zprcuje při nejbližší možné srážce dlšího elektronu. 43 rozdíl v

48 7. Výsledky spojitého modelu Spojitý model byl řešen pro rovinnou sondu v jedné dimenzi, válcovou sondu ve dvou dimenzích sférickou sondu ve třech dimenzích. Jedná se tedy o řešení soustvy rovnic (3.28), s následujícími hodnotmi prmetrů Prmetr Hodnot Tb. 7. Prmetry v rovnicích (3.28) kde je teplot elektronů n sondě. Sondy prcovní oblsti měly následující velikosti (v přípdě 2D 3D se jedná o poloměr oblsti) Velikost oblsti (L) Průměr sondy Tb.7.2 Velikosti prcovních oblstí sond Hodnoty proměnných, byly získány jk řešením čsových rovnic (3.28), tk jejich nečsovou verzí (se stejným výsledkem). Okrjové počáteční podmínky jsou uvedeny v následující tbulce Proměnná Hodnot n sondě Hodnot n zdroji Počáteční podmínk Tb. 7.3 Okrjové počáteční podmínky spojitého modelu kde je střední rychlost elektronů n sondě. Vzhledem ke znčné 44

49 tepelné nerovnováze je tto hodnot pouze přibližná. Pro výpočet byl použit softwrový blík COMSOL. Řešení bylo spočítáno pomocí metody konečných prvků s Lgrngeovými elementy druhého řádu. D 625 intervlů 2D 7 trojúhelníků 3D 36 čtyřstěnů Tb. 7.4 Počet elementů sítě ro vin n á s o n d vá lc o vá s o n d s fé r ic k á s o n d ' [V ] x=l Obr. 7.5 Rozložení potenciálu U v prcovní oblsti kolem rovinné, válcové sférické sondy. Hodnot x je vzdálenost od sondy L je velikost prcovní oblsti k o n c e n t r c e io n t ů k o n c e n t r c e e le k t ro n ů ½ [5 m 3 ] x=l Obr. 7.6 Koncentrce elektronů iontů v oblsti plnární sondy. Hodnot x je vzdálenost od sondy L je velikost prcovní oblsti 45

50 Obr. 7.7 Koncentrce elektronů v okolí válcové sondy Obr. 7.8 Koncentrce iontů v okolí válcové sondy 46

51 Obr. 7.9 Koncentrce elektronů v okolí sférické sondy Obr. 7. Koncentrce iontů v okolí sférické sondy 47

52 8. Výsledky mxwellizce 8.. Mxwellizce V první fázi bylo třeb spočítt prmetry získány prmetry. Během tohoto výpočtu byly. Celý výpočet byl proveden pro několik hodnot. Kždý tkový výpočet běžel 36 hodin n jednom jádře procesoru Xeon-368 s frekvencí 3.33GHz. Je možné výpočet pustit i ve více vláknech čs výpočtu se úměrně zkrátí. Kždé vlákno si pk zbere kolem 2GB RAM. Sd prmetrů pro jednu hodnotu čítá 6 účinných průřezů 64 prvděpodobností. Tyto prmetry byly vypočteny ze všech kombincí diskretizovných hodnot,,,,, kterých je po řdě 4, 4, 3, 2, 4 (viz tb. 6.53) díky symetrii lze uvžovt přibližně polovinu těchto hodnot, celkem tedy přibližně kombincí. Ve druhé fázi se prmetry nčetly do progrmu, ve kterém byl simulován mxwellizce Účinný Účinný průřez průřez byl vypočítán. Pro kždé pro bylo spočítáno hodnoty prmetru účinných průřezů (viz tb. 6.53), neboť pro mxwellizci je třeb znát účinný průřez všech možných srážek. V progrmu bylo výhodnější místo střední volné dráhy použít srážkovou frekvenci. Proto byly účinné průřezy Hodnot převedeny n srážkovou frekvenci. ve vzthu (2.7) bude znám ž během simulcí z konkrétní rozdělovcí funkce, proto je srážková frekvence předpočítán pro (8.) 48

53 Grf 8.2 ukzuje, že pomlejší elektrony mjí větší srážkové frekvence. Npř. elektron s rychlostí má srážkovou frekvenci s elektronem o rychlosti o 5 řádů vyšší, než se stejně rychlým elektronem. Obr. 8.2 Srážkové frekvence Z poždvku (6.46) jsem tedy získl symetrii symetrický podle osy. mezi elektrony pro grf 8.2 je tedy Účinný průřez elektron-elektronového rozptylu se dá vyjádřit jko (8.3) kde je koncentrce volných elektronů. Bude-li rozdělovcí funkce elektronů mxwellovská, pk účinný průřez odvozený v kpitole 6 je možné vynést do grfu 8.4 spolu s osttními účinnými průřezy čsto používných rozptylů. Je vidět, že účinné průřezy mjí pro řdově stejné hodnoty jko účinné průřezy osttních uvžovných srážek. Simulce ukzují, jký mjí skutečný význm elektron-elektronové srážky. Podrobnější diskuze je v kp výsledky v kpitole 9. 49

54 Obr. 8.4 Účinné průřezy elektron-elektronového rozptylu pro v porovnání s účinným průřezem ionizce, excitce elstického rozptylu n neutrálním tomu Argonu účinným průřezem rozptylu elektronu do velkých (2.8) mlých (2.9) úhlů (nhoře v logritmické škále) 5

55 8.2. Hustot prvděpodobnosti výsledné rychlosti Poždvek n minimální změnu rychlosti zpříčiní, že část grfu je rovn nule. Funkce je nulová pro hodnoty, které jsou blízko, jk je vidět n grfech 8.5, Grf 8.7 zobrzuje grf funkce pro prmetr, kde je poždován větší minimální změn rychlosti, proto je pás nulových hodnot kolem širší. Hodnot funkce nbývá nuly i v přípdě, že rozptyl není možný ze zákon zchování energie, což není z grfů ptrné, protože funkce klesá velmi rychle s rostoucím. Důsledkem je, že elektron bude mít po rozptylu s velkou prvděpodobností rychlost blízkou původní rychlosti. Obr. 8.5 Část grfu funkce pro 5

56 Obr. 8.6 Grfu funkce pro Obr. 8.7 Grfu funkce pro 52

57 8.2.. Simulce mxwellizce Je nutné ověřit simulcí, že odvozený model funguje podle očekávání. Simulce probíhl pro elektronový plyn bez vnějšího elektrického pole. Simulce byl proveden pro několik hodnot prmetru, několik počátečních nstvení rozdělovcí funkce pro různé počty elektronů. Výpočet probíhl tk, že byl předem zvolen libovolná počáteční rozdělovcí funkce elektronů f. Byl zvolen čsový krok simulce (viz 8.4) v kždém kroku bylo spočítáno, ke kolik rozptylům dojde mezi elektrony o rychlostech hodnotu oznčím jko. Tuto v jednotkovém objemu pro ni pltí (8.8) kde je počet elektronů s rychlostí v jednotkovém objemu. V simulci je uvžován objem zvládnutelný. Počet srážek v objemu, by byl výpočet počítčově bude tedy (8.9) protože pltí (8.) kde je celkový počet elektronů v jednotkovém objemu elektronů s rychlostí v objemu je počet, přejde (8.9) n (8.) Z toho vzthu vyplývá i omezení n. Není totiž možné, by. V opčném přípdě by nebylo možné provést všechny poždovné rozptyly v dném čsovém kroku. Musí tedy pro pltit (8.2) což po úprvě dává omezení 53

58 (8.3) V tbulce 8.4 jsou uvedeny hodnoty pro všechn zkoumná Tb. 8.4 Hodnoty Pokud je rychlostmi, pro různé pk je možné provést rozptyl elektronů s. Pro elektron i se pomocí prvděpodobnostní funkce metodou Monte Crlo rychlost dopočítá rychlost vybere po rozptylu ze zákon zchování energie se druhého elektronu po rozptylu. Rychlost dle diskretizce. Rozdíl v energii při zokrouhlení rychlosti je zokrouhlen je přičten do pole. Pro rychlost se vždy nejprve njde rychlostní buňk m, do které by měl elektron po zokrouhlení připdnout, rychlost je nvýšen o energii (z předchozích kroků) teprve potom je rychlost zokrouhlen. Rozdíl v rychlostech je přičten do pole nutně pltit, kde je index rychlostní buňky po zokrouhlení (nemusí ). Během simulce nehrjí vzájemné polohy elektronů žádnou roli. Chování mxwellizce bylo ověřeno n několik počátečních rozdělovcích funkcích rychlostí elektronů s očekáváním, že soubor elektronů bude konvergovt zpět do termodynmické rovnováhy. Bylo otestováno počáteční rozdělení, ve kterém ) byl vybrán jedn rychlost pro všechny elektrony 2) byly vybrány dvě rychlosti elektrony měly buď jednu, nebo druhou počáteční rychlost 3) rozdělení bylo od počátku mxwellovské 54

59 Simulce ) 2) byly provedeny z účelem ověření konvergence do očekávného stvu. Simulce 3) byl testem, jestli cílový stv je oprvdu stbilní, soubor elektronů kolem něj i po delší době bude oscilovt (s mximální chybou dnou, viz dále). Výsledky simulce ) jsou uvedeny v grfu 8.8. Výsledky simulce 2) jsou n grfu 8.9. Výsledky simulce 3) zde neuvádím, protože grficky kopírují Mxwellovo-Boltzmnnovo rozdělení. Simulce byly provedeny pro řdu počátečních prmetrů některé z kombincí uvádí tbulk 8.7. Z čs, kdy simulce dosáhl stvu konvergence, byl povžován čs, od kterého pltí podmínk (8.5) kde je mxwellovské rozdělení, je rozdělení dné simulcí je počet elektronů v simulci. Sum n prvé strně (8.5) se dá povžovt z definici reltivní vzdálenosti funkcí. N grfech je vidět, jk se vzdálenost obou grfů zmenšuje. Konstnt nbývá následujících hodnot pro různé hodnoty Tb. 8.6 Limitní chyb modelu mxwellizce pro různé hodnoty Hodnot není volen náhodně, le je to hodnot sumy v (8.5) (násobená fktorem.) ke které konvergují všechny ze simulcí ), 2) 3). Nepltí tedy, že po libovolně dlouhé době by funkce byl libovolně blízko mxwellovskému rozdělení. Je to dáno jednk velikostí šumu, který se dá sice snížit množstvím elektronů v simulci le hlvně efekty dnými volbou diskretizce (6.53). Pro simulce ) 2) tedy sum v (8.5) s čsem klesá pro simulci 3) nopk roste. 55

60 čs ustálení simulce Tb. 8.7 Čsy ustálení mxwellizce. Prmetr uvádí počet elektronů v simulci, znčí velikost jednoho čsového kroku. 56

61 4 t = :3 8 9 s t = :2 7 s t = 6:3 7 s 6 t = :3 6 s t = 6:3 6 s t = :9 5 s t = 3:8.2 5 s t = : 4 s Obr. 8.8 Simulce mxwellizce pro jeden pek pro elektronů v různých čsech. Modře je rozdělovcí funkce elektronů v čse t červeně Mxwellovo-Boltzmnnovo rozdělení. N ose x je rychlost elektronů v jednotkách. N ose y je vynesen prvděpodobnost ve škále. 57

62 8 6 t = :3 7 9 s t = :2 7 s t = 6: t = 2:5 6 s s t = 6:3.2 6 s t = :3 5 s t = 3:8.2 5 s t = : 4 s Obr. 8.9 Simulce mxwellizce pro dv peky pro elektronů v různých čsech. Modře je rozdělovcí funkce elektronů v čse t červeně Mxwellovo-Boltzmnnovo rozdělení. N ose x je rychlost elektronů v jednotkách. N ose y je vynesen prvděpodobnost ve škále. 58

63 9. Výsledky částicového modelu N zákldě pokroků v modelování plzmtu bylo upuštěno od tvorby plnohodnotných pokročilých modelů ve vyšších dimenzích (neboť znčná část problemtiky je již řešen v jiných prcích) částicový model byl změřen n zkoumání prmetrů potřebných pro diskuzi vlivu mxwellizce n urychlování elektronů nd energie, kde mohou excitovt tom rgonu. 9.. Zákldní částicový model V částicových simulcích bylo uvžováno nízkoteplotní rgonové plzm, jehož prmetry jsou uvedeny v následující tbulce Tlk plzmtu koncentrce rgonu při tlku torr koncentrce volných elektronů v nenrušeném plzmtu elektrický potenciál sondy elektrický potenciál nenrušeného plzmtu Tb. 9.. Prmetry plzmtu Částicová simulce byl proveden pro rovinnou sondu s délkou prcovní oblsti, která byl ve výpočtech rozdělen n 5 buněk. Čsový krok byl pro elektrony nstven n pro ionty n. Pro sumci nábojů v buňkách byl použit metod NGP pro řešení pohybových rovnic byl použit rychlostní Verletův lgoritmus (3.6). Srážkové procesy byly simulovány pomocí náhodné volné dráhy metody Monte Crlo. Do simulcí byly zhrnuty pouze srážkové procesy (2.) ž (2.3). Počáteční koncentrce elektronů i iontů byl nstven rostoucí lineárně od sondy k okrji prcovní oblsti, přitom n sondě byl zvolen nulová koncentrce. Pro výpočet bylo použito 5 elektronů i iontů ustálení nstlo v čse od počátku simulce. Výsledek D simulce je n obr Během této simulce byly po ustálení podrobně zkoumány rozdělovcí funkce elektronů v různých vzdálenostech od sondy, které budou využity v diskuzi vlivu mxwellizce v částicovém modelu. Rozdělovcí funkce elektronů pro vybrné vzdálenosti od sondy jsou uvedeny n obr

64 n [5 m 3 ] e Ar x=l Obr. 9.2 Koncentrce elektronů iontů v závislosti n vzdálenosti od rovinné sondy Obr. 9.3 Rozdělovcí funkce elektronů v různých vzdálenostech od sondy. Vzdálenosti jsou uváděny bezrozměrně jko 6

65 Při detilním pohledu npř. n (obr. 9.4) je vidět úbytek elektronů vlivem srážek ionizce excitce. Obr. 9.4 Rozdělovcí funkce elektronů ve vzdálenosti v porovnání s mxwellovským rozdělením teoretickým (9.7) rozdělením elektronů v této vzdálenosti bez uvžování elstických rozptylů n tomech rgonu K úbytku rychlých elektronů dochází v celé prcovní oblsti. V reltivní vzdálenosti ( větších) není ještě rozdělovcí funkce příliš ovlivněn driftem ni vlivem sondy proto je pokles dobře viditelný. Elektrony se dostávjí do prcovní oblsti ze zdroje s mxwellovským rozdělením rychlé elektrony zčnou vzápětí podstupovt srážky. Počet srážek po uržení vzdálenosti bude. Počáteční svzek elektronů o intenzitě I bude v závislosti n poloze nbývt hodnoty (9.5) což vede n diferenciální rovnici jejímž řešením je (9.6) Tento vzorec ovšem předpokládá, že se všechny elektrony pohybují přímo k sondě. 6

66 Pro přesnější hodnotu intenzity I je třeb uvžovt libovolný směr pohybu elektronu. Uvážíme-li nlogii s generováním náhodného bodu n povrchu koule, kde jsou hodnoty souřdnic x, y i z rozděleny uniformně, lze (9.6) přepst jko (9.7) tím získt horní odhd pro rozdělovcí funkci elektronů ve vzdálenosti x od hrnice nenrušeného plzmtu. Je to oprvdu pouze horní odhd, který znedbl srážky měnící směr elektronů tím prodlužující skutečnou dráhu letu. N grfu 9.4 je vidět, že pro uvedené prmetry je tento odhd několikrát větší než skutečnost. Po ustálení koncentrcí (obr. 9.2), které nstne přibližně v čse pozorovt, že tok elektronů n sondu je v řádu, lze, což v přípdě rovinné sondy znmená stejný tok i v celé prcovní oblsti. Z tkového toku se z n sondu dostne stejné množství elektronů, jké obshuje celá prcovní oblst, z čehož vyplývá, že tto rovnováh je znčně dynmická Vliv mxwellizce v částicovém modelu Rozdělovcí funkce elektronů v různých částech prcovní oblsti (viz obr. 9.3) posloužil jko vstupní prmetr mxwellizce, bylo zkoumáno, kde se uství rovnováh mezi tvorbou rychlých elektronů pomocí mxwellizce jejich zpětným odebíráním pomocí ionizce excitce. Proces mxwellizce byl plikován pouze n rychlé elektrony. Je nutné mít n zřeteli, že vliv dlších složek plzmtu n mxwellizci nebyl brán v potz. Hrnice rychlosti, při které je elektron schopen excitovt tom rgonu je přibližně rovn. Elektrony s nižší rychlostí se vzájemně rozptylují tím urychlují nd mezní rychlost. Nopk tyto rychlé elektrony podstupují srážkové procesy (ionizce excitce), které je vrcejí zpět pod tuto mezní rychlost. Pokud bude v simulci rozdělovcí funkce nd mezní rychlostí rovn nule, pk systém dospěje do rovnováhy velmi rychle. Simulcí bylo zjištěno, že rovnováh nstává v čsech menších než, n zákldě závěrů předchozí kpitoly je to tedy intervl, který je dostčující n vytvoření tkové rovnováhy. 62

67 Rovnováh se dá vyjádřit následujícím způsobem (9.8) A po diskretizci dle tb (9.9) Levá strn je sum přes rychlosti menší než jsou definovány v (2.7) (6.52), proces ionizce excitce, je rozdělovcí funkce elektronů, jsou srážkové frekvence pro je hustot neutrálních tomů rgonu. Z rovnosti (9.9) lze vyjádřit rovnovážnou hodnotu nd excitční rychlostí jko (9.) Celá úvh je zložen n předpokldu, že rozdělovcí funkce elektronů s rychlostmi nižšími než se během mxwellizce, ionizce excitce příliš nemění. Splnění tohoto předpokldu bylo ověřeno simulcí. Výpočet (9.9) byl zobecněn n rychlosti z celého rychlostního spektr, což má z následek uvžovní i tkových srážek, jko npř. srážk rychlého elektronu s pomlým elektronem, kde ob mjí po srážce rychlost menší než le mělo n hodnotu. Toto rozšíření mlý vliv. Pro vybrné hodnoty vzdálenosti (x/l) od sondy bylo provedeno porovnání velikosti příspěvku rychlých elektronů s rozdělovcí funkcí z částicového modelu (viz grf 9.). Poměr rychlých elektronů rychlých elektronů vzniklých mxwellizcí je vynesen n grfu 9.2. Je z něj ptrné, že největší vliv má mxwellizce v preshethu. V oblsti shetu prudce klesá, což je způsobeno drstickým úbytkem pomlejších elektronů (viz obr. 9.3), které podléhjí srážkám nejčstěji (viz obr. 8.2). Rychlé elektrony se mezi sebou srážejí s mnohem menší frekvencí předávání energie je tedy mnohem pomlejší. 63

68 Obr. 9. Porovnání rozdělovcích funkcí z částicového modelu (modrá) vlivu mxwellizce (červená) n tvorbu rychlých elektronů dle vzthu (9.). N ose x je vynesen rychlost elektronu v n ose y prvděpodobnost výskytu dné rychlosti. Grfy odpovídjí po řdě hodnotám x/l =,.5,.,.5,.3,.4,.5,.7,.9 64

69 [%] x=l Obr. 9.2 Poměr počtu rychlých elektronů (s rychlostí větší než ) vzniklých z mxwellizce částicové simulce v závislosti n vzdálenosti od sondy. Hodnoty jsou v intervlu 9.3. zobrzeny po jedné setině, dále už po jedné desetině Částicový model při vyšších tlcích Pro výpočet při vyšších tlcích byl použit stejný model se stejnými prmetry uvedenými v kpitole 9., s tím rozdílem, že se zvyšovl tlk n 2, 5,, 2 5 torr, tedy 266 ž 665 P. Simulce byl proveden pro rovinnou sondu. Při zvyšování tlku plzmtu n hodnotu iontů jko kde roste koncentrce n volných elektronů jsou tlk koncentrce při tlku torr. Jelikož je volná dráh nepřímo úměrná koncentrci rozptylových center (3.4), se zvyšováním tlku se zvyšuje i počet srážek, což znčně prodlužuje délku běhu částicových výpočtů. S vyšší frekvencí srážek je tké třeb snížit čsový krok, který byl zkrcován přímo úměrně rostoucímu tlku. Porovnání výsledných hodnot koncentrcí je v následující tbulce 65

70 p = torr p = 2 torr e Ar.6 n [5 m 3 ] n [5 m 3 ].8 e Ar.2.4 x=l e Ar.6 n [5 m 3 ] n [5 m 3 ].8.2 e Ar.2.4 x=l.6.8 x=l p = 2 torr p = 5 torr.8 n [5 m 3 ].8 n [5 m 3 ] p = torr p = 5 torr.6 x=l e Ar.6 e Ar.2 x=l x=l Obr. 9.3 Zmenšování shethu v závislosti n tlku. Velikost shethu se měří jko průnik směrnice ostře klesjící části koncentrce rgonových iontů (n zčátku shethu) s osou x. 66

71 Obr. 9.4 Závislost velikosti shethu n tlku (červeně proložená interpolce) Ze zdroje přicházejí elektrony s mxwellovským rozdělením než se přiblíží k shethu, tk rychlé elektrony schopné ionizce excitce postupně přicházejí o svou energii. S rostoucím tlkem je tento jev stále silnější. N grfu 9.5 je vidět, že pokles koncentrce rychlých elektronů je u zdroje s rostoucím tlkem strmější, ztím co u sondy je nárůst koncentrce ve všech přípdech téměř stejný. Koncentrce rychlých elektronů pro vyšší tlky je n tomto grfu znčně zšuměná právě proto, že počet rychlých elektronů je mnohem menší než u nižších tlků. Pro vysoké tlky pk nlogie grfu 9.2 nemá příliš vypovídcí význm. Přesto je grf pro úplnost uveden (9.5). Ani při vyšších tlcích nebyl uvžován vliv osttních složek n mxwellizci. 67

72 Obr. 9.5 Prvděpodobnost výskytu elektronů s rychlostí vyšší než (červeně) v závislosti n vzdálenosti x od sondy. Modře je zobrzen koncentrce spočítná vzthem (9.). L je velikost prcovní oblsti 68

73 Obr. 9.6 Poměr počtu rychlých elektronů (s rychlostí větší než ) vzniklých z mxwellizce částicové simulce v závislosti n vzdálenosti od sondy pro různé tlky. Vyšší tlky jsou znčně zšuměné. 69

74 . Závěr Tto práce byl zhájen s úmyslem pokročit o kus dále v oblsti částicového spojitého modelování plzmtu. Během jejího vyprcovávání byl znčná část problémů vyřešen v jiných prcích. Během tvorby modelů se všk objevil otázk, která podle nšich informcí ztím n částicové úrovni řešen nebyl. Tou otázkou byl vliv elektron-elektronové interkce n urychlování elektronů nd energii, ve které je elektron schopen ovlivňovt složení plzmtu měnit neutrální tomy n ionty, nebo je excitovt. Byl vytvořen 3D model elektron-elektronové interkce, jehož správnost byl ověřen n simulci, ve které se elektronový plyn z několik vybrných nerovnovážných stvů dostl do očekávné termodynmické rovnováhy se znedbtelnou odchylkou tento proces byl nzván mxwellizce. Tento model byl využit ke zkoumání význmu mxvellizce v částicovém modelu s plnární sondou v tlkovém rozmezí -5 torr v závislosti n vzdálenosti od sondy. Mxwellizce ve všech přípdech přidává přibližně 5% rychlých elektronů vyjm oblsti shethu, kde se stává znedbtelnou. Z výsledků plyne, že vliv mxwellizce n tvorbu rychlých elektronů v tlkovém rozmezí -5 torr příliš n tlku nezávisí. V jednotlivých částech textu je zmíněno, že n mxwellizci mohou mít vliv osttní složky plzmtu, které by mohly elektron-elektronový rozptyl ovlivnit vliv mxwellizce tím zmírnit. Zmírnění vlivu mxwellizce bylo ovšem ponecháno k dlšímu výzkumu. Všechny uvedené modely výsledky tento vliv znedbávjí. 7

75 . Seznm použité litertury [] CHEN, F. F. - Úvod do fyziky plzmtu. Prh : Acdemi, 984. [2] MARTIŠOVITŠ, V. - Zákldy fyziky plzmy. Brtislv : Fkult mtemtiky, fyziky informtiky Univerzit Komenského, 24. [3] GOLDSTEIN H., Poole C.P.Jr., Sfko L.J. - Clssicl mechnics, 3rd ed. Addison Wesley, 2 [4] BROUCKE R. - Notes on the centrl force. Austin, Texs, USA: Dept. Of Aerospce Engineering nd Engineering Mechnics, University of Texs t Austin, Astrophysics nd Spce Science 72, 98 [5] BELLAN B.M. - Fundmentls of Plsm Physics, Cmbridge University Press, 28 [6] BARTOŠ, P. - Hybridní modelování ve fyzice plzmtu. Dizertční práce, MFF UK, 27. [7] ISIHARA A. Sttisticl Physics, Stte University Of New York, Bufflo, Acdemic Press, 97 [8] REICHL L.E. A - Modern Course in Sttisticl Physics 2nd ed., John Wiley & Sons, Inc., 998 [9] KULHÁNEK P. - Teorie plzmtu. FJFI ČVUT, PRAHA, 28 [] BUKOWSKI J.D., GRAVES D.B., VITELLO P. - Twodimensionl fluid model of n inductively coupled plsm with comprison to experimentl sptil profiles, J. Appl. Phys. 8, Americn Institute of Physics, 996 [] HRUBÝ V. - Studium interkce plzm-pevná látk pomocí hybridního modelování. Diplomová práce, MFF UK 29 [2] HRACH, R. - Počítčová fyzik. I. Univerzit J.E. Purkyně, Ústí nd Lbem, 23 [3] ROUČKA Š. - Studium interkce plzm-pevná látk při středních tlcích. Diplomová práce MFF UK, 28 [4] ENTLICHER, HRACH New lgorithms in moleculr dynmics simultions. WDSnull97, S , MFF UK, 997 [5] KMEC T. - Studium interkce plzm pevná látk postupy počítčové fyziky. Diplomová práce, MFF UK, 26 [6] W. Greiner, L. Niese, H. Stocker - Thermodynmics nd Sttisticl Mechnics. Institut für Theoretische Physik Johnn Wolfgng Goethe Universität, 987 7