Čísla a početní výkony

Transkript

1 Čísla a početí výkoy III. Reálá čísla I: Eduard Čech (author): Čísla a početí výkoy. (Czech). Praha: Státí akladatelství techické literatury, pp Persistet URL: Terms of use: Istitute of Mathematics of the Academy of Scieces of the Czech Republic provides access to digitized documets strictly for persoal use. Each copy of ay part of this documet must cotai these Terms of use. This paper has bee digitized, optimized for electroic delivery ad stamped with digital sigature withi the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 III. REÁLNÁ ČÍSLA 1. Pojem poslouposti. Posloupost vybraá, mootoí, omezeá Jestliže každému přirozeému Číslu přiřadíme podle ějakého pravidla jakoukoli věc, kterou ozačím třeba A, dostaeme posloupost. Ozačím ji -^íi A2, A3,... (1,1) Věc A azveme -tým čleem poslouposti (1,1). Cley poslouposti (1,1) emusí být avzájem růzé, t. j. jsou-li m, přirozeá čísla a je-li m #=, může být Am = A (viz pozámku II 8,2). Jestliže pro m 4= je vždy Am + A, řekeme, že posloupost (1,1) je prostá. Pozámka 1,1. Místo písmea A můžeme ovšem užít jakéhokoli jiého písmea. Uvažujeme-li současě ěkolik posloupostí, musíme ovšem užít pro každou z ich jiého písmea. Také eí ikterak uté, aby -tý čle poslouposti byl ozače právě A (ebo a ebo «ebo b atd.), t. j. aby v ozačeí čleu se vyskytoval idex, udávající, o kolikátý čle poslouposti jde, ačkoli takové ozačeí je výhodé a budeme ho velmi často užívat. Tak a př. je-li (1,1) posloupost, jsou také a -^4, -^s, (1,2) At, At, Ae,... (1,3) poslouposti; -tým čleem poslouposti (1,2) je A+i, -tým čleem poslouposti (1,3) je A2. Jiý příklad: jsou-li o, 6 jakékoli dvě věci, je a,b,a,b,... (1,4) posloupost, jejíž -tý čle je rove a při lichém, b při sudém - Příležitostě je vhodější místo idexu užívat závorky, tedy ozačit -tý čle poslouposti třeba A() místo A. Pozámka 1,8. Ozačeí (1,1) pro posloupost je mohdy příliš zdlouhavé a leckdy epohodlé; posloupost (1,1) můžeme 92

3 ozačit kratčeji {.4}»_i; potom posloupost (1,2) ozačíme {-4B+s}iíli, posloupost (1,3) {Á 2 }t. j. uvitř závorky {} stojí ra-tý čle poslouposti. Místo písmea můžeme užít kteréhokoli jiého písmea; užijeme-li třeba písmea k, píšeme {Ak} _t a pod. Je-li a př. každé dvojici [r, s] přirozeých čísel přiřazea ějaká věc A{r, 3), potom pro každé přirozeé číslo r je {A(r, určitá posloupostfa pro každé přirozeé číslo s je {A(r, s)}^ určitá posloupost. Nejčastěji budeme užívat písmea a místo {-4,,} ^ budeme často psát krátce {A}. Pozámka 1,3. Symbol oo, se kterým se ve vyšší matematice velmi často setkáváme, čteme slovem ekoečo. Na př. {-4}-i můžeme číst: (velké) A s idexem, rové jedé až do ekoeča. Y žádém čleu A této poslouposti eí ovšem = 00, eboť oo eí přirozeým číslem, ýbrž je symbolem, který v daém případě azačuje, že probíhá přirozeá čísla bez jakéhokoli omezeí. Pozámka 1,4. Je-li (1,1) libovolá posloupost a je-li k určité (libovolé) přirozeé číslo, potom zameá posloupost A]c, Ak+j, Ak+Í,... Podobě {-4 }.0 zameá posloupost A1, A2,... Cley poslouposti mohou býti zcela libovolé věci, a př. čísla ebo body ebo možiy ebo matematické věty; jsou také poslouposti, jejichž čley samy jsou posloupostmi. Pro ás jsou daleko ejdůležitější mezi všemi posloupostmi číselé poslouposti, jejichž čley jsou čísla (prozatím, dokud jiá čísla ezáme, slovem číslo rozumíme: číslo racioálí). Příklad 1,1. Poslouposti se vyskytly v této kize už v I 4, aiž jsme tehdy ještě zavedli slovo posloupost. Mluvili jsme tehdy o rekuretí defiici poslouposti (1,1). Při takové rekuretí defiici uvažujeme vedle poslouposti (1,1) samé ještě posloupost -^íi ^2» P3» pravidel, s jejichž pomocí se z libovolého čleu A poslouposti (1,1) vypočte ásledující čle A +1. Dále jsme v I 4 měli posloupost matematických vět eužívali jsme tehdy slova posloupost, ýbrž jsme mluvili o větě V závislé a přirozeém čísle ". Číselá posloupost {o } se azývá:» 93

4 [1] rostoucí, [2] klesající, [3] erostoucí, [4] eklesající, jestliže pro dvě přirozeá čísla m,, pro která je m <, je vždy také: [1] am < a, [2] am > a, [3] am a, [4] am ^ a. Je zřejmé, že každá rostoucí posloupost je zároveň eklesající a že každá klesající posloupost je zároveň erostoucí. Opak ovšem eplatí, ale každá prostá eklesající posloupost je rostoucí, každá prostá erostoucí posloupost je klesající. Posloupost, jejíž všechy čley jsou rovy témuž číslu, je zároveň eklesající i erostoucí; obráceě, jestliže ějaká posloupost je zároveň eklesající i erostoucí, jsou všecky její čley rovy témuž číslu. Společý ázev pro eklesající a erostoucí poslouposti je: poslouposti mootoí. Ryze mootoí je taková posloupost, která je prostá a mootoí; poslouposti ryze mootoí je tedy společý ázev pro poslouposti rostoucí a klesající. Příklad 1,2. Věta II 6,7 praví, že {«"} je rostoucí posloupost v případě a > 1 a klesající posloupost v případě 0 < a. < 1. Příklad 1,3. Je-li {a} posloupost kladých čísel, plye z věty II 6,3, že jestliže {a} je [1] rostoucí, [2] klesající, [3] eklesající, [4] erostoucí, pak {a- 1 } je [1] klesající, [2] rostoucí, [3] erostoucí, [4] eklesající. Na př. {w} je zřejmě rostoucí posloupost, tedy je klesající. Ze zákoa mootoie sčítáí plye, že také jl + eboli j J e klesající posloupost, takže j í e rostoucí posloupost. Věta 1,1. Budiž {a} číselá posloupost. Jestliže pro každé přirozeé číslo je [1] a < o+i, [2] a > a +1, [3] a ^ a +1, [4] a ^ a+1, potom posloupost {«} je [1] rostoucí, [2] klesající, [3] eklesající, [4] erostoucí. Důkaz. Jsou-li m, přirozeá čísla a je-li m <, dospějeme po koečém počtu kroků k idexu, jestliže vyjdeme od idexu m a postupě zvětšujeme idex stále o jedičku. Tudíž věta plye z trasitivího zákoa pro erovosti. 94

5 Přiklad 1,4. Posloupost j l + -^-j j je rostoucí. Podle věty 1,1 je třeba zjistit, že pro každé > 2 je I 1 + T)" > í 1 + ir^t-r (1 ' 5) Jestliže ve větě II 6,16 volíme t = 1 a jelikož 2 1 = ( + l)'( 1), je je tedy 71 dostaeme > - 1 ( + 1)" ( 1)" > ( 1) 2 "- 1 = ( 1) ". ~ x ; a to je právě (1,5). / = / \ ) > ( - l)"- 1 ~ \ - 1 / / 1 \ + 1 ' Příklad 1,5. Posloupost 11 + I je klesající. Podle věty 1,1 je třeba zjistit, že pro každé > 2 je I 1 + ^r)" > I 1 + tp (1 ' 6 > Jestliže ve větě II 6,16 volíme t = 1 -\ *, dostaeme i 1 h^rí > 1 + * 2-1 a v,, Avšak 2 1 < 2, tedy >, r > =, ti a proto jelikož 2 1 = ( + l)(. 1), je 2+l > (Ti _ l)»( l)+l, " > 71 95

6 tedy a to je právě (1,6). MhM^r Je-li {a } libovolá posloupost a je-li =, «2 = + a2, s3 = at + a2 + a3,..., říkáme, že {«} je posloupost částečých součtů poslouposti {a}. Příklad 1,6. Je-li {«} posloupost částečých součtů poslouposti {a }, pak jestliže {a } je [1] rostoucí, [2] klesající, [3] eklesající, [4] erostoucí, platí totéž i o poslouposti j^j. Pro určitost uvažujeme případ rostoucí poslouposti {«}. Pro každé máme erovostí. «1 <, «2 < ab+i.. < +l > takže podle obecého zákoa mootoie sčítáí je tedy též s <. o+1, s + s <s + a+1, ( + 1) s < (s + a+1), ( + 1) s <. s+i, S S ' takže j~~j j rostoucí posloupost podle věty 1,1. Věta 1,1. Budiž {&(»)}"_! rostoucí posloupost přirozeých čísel (t. j. každý čle poslouposti je přirozeým číslem). Potom pro každé přirozeé Číslo je k(). Důkaz idukcí vzhledem k. Protože &(1) je přirozeé číslo, je (1) ^ 1. Předpokládejme, že pro určité je k{) ^. Protože aše posloupost je rostoucí, je k( + 1) > k(), takže podle věty I 6,3 je k( + 1) > k() + 1 > + 1. Budiž yí {A } zcela libovolá posloupost (t. j. její čley emusí být čísla). Zvolíme-li libovolou rostoucí posloupost {A(w)} _x přirozeých čísel a položíme-li B = Ak( > pro každé přirozeé číslo, dostaeme ovou posloupost {B}, o které říkáme, že je vybráa z poslouposti {A}. 96

7 Pozámka 1,5. Naše defiice vybraé poslouposti evylučuje případ, že k() = pro všecha, takže mezi poslouposti vybraé z {A} patří také posloupost {A} sama. Věta 1,3. Je-li posloupost { } vybráa z poslouposti {A } a je-li posloupost {C} vybráa z poslouposti {B }, je posloupost {C} vybráa z poslouposti {A }. Důkaz. Podle předpokladu existují takové rostoucí poslouposti přirozeých čísel {&(«)}"_!, že pro každé přirozeé číslo je B = ^Jfe() > = BK. Potom je však C = AHhj. (1,7) Jsou-li yí m, přirozeá čísla a je-li m <, je hm < h, tedy též M^m) < Hh)> takže { (A)},! je rostoucí posloupost přirozeých čísel a z (1,7) je patré, že posloupost {<? } je vybráa z poslouposti {A}. Věta 1,4. Je-li posloupost {6} vybráa z číselé poslouposti {«}, která je [1] rostoucí, [2] klesající, [3] erostoucí, [4] eklesající, pak platí totéž i o poslouposti {& }. Důkaz proveďme třeba pro rostoucí posloupost {o }. Podle předpokladu existuje taková rostoucí posloupost {&(»)} přirozeých čísel, že b = aft() pro všecka. Je-li idex m meší ež idex, je k(m) < k(), tedy ak{m) < ah), t. j. bm < b. Věta 1,5. Z každé číselé poslouposti {a } lze vybrat posloupost. Důkaz rozdělíme a tři části. mootoí Část prví. Předpokládejme, že v poslouposti {a } eexistuje ejvětší čle, že tedy ke každému čleu a existuje jiý Čle, který je větší ež a. Těch čleů větších ež a musí být ekoečě moho, eboť jiak by jede z ich, třeba ak, byl ejvětší, a v celé poslouposti {a } by už emohl být čle větší ež ak, což odporuje předpokladu. Proto lze ke každému idexu určit takový idex r, že r >, ar > a. při- Lze tedy rekuretě defiovat takovou posloupost {k()} rozeých čísel, že (1) = 1, k( + 1) > k(), 7 &sla*a početí výkoy

8 Podle věty 1,1 je { (w)}^.! rostoucí posloupost přirozeých čísel, takže položíme-li 6 = ai(), je posloupost {6 } vybráa z poslouposti {«}. Avšak b+1 > b, takže podle věty 1,1 je {& } rostoucí posloupost. Část druhá. Předpokládejme dále, že z poslouposti {a } lze vybrat posloupost {6 }, ve které eexistuje ejvětší cle. Podle prví části lze potom z {b } vybrat rostoucí posloupost, která podle věty 1,3 je vybráa i z poslouposti {a}. Část třetí. Zbývá případ, že eí splě předpoklad učiěý v části druhé, že tedy v každé poslouposti vybraé z {o } existuje ejvětší čle. Je-li však h libovolé ezáporé celé číslo, je posloupost»+l> a h+2> a h+ a, vybráa z poslouposti {o }, takže v í existuje ejvětší čle, t. j. existuje takový idex r > h, že pro všecky idexy s > h je as at. Defiujme yí rekuretě posloupost přirozeých čísel takto: Nejprve zvolíme přirozeé číslo k( 1) tak, že je ejvětší čle celé aší poslouposti 1> 2> 3, Jestliže při určitém je číslo k() už defiováo, zvolíme přirozeé číslo k( + 1) > k() tak, aby ak(+1) byl ejvětší čle poslouposti Podle věty 1,1 je {k()} rostoucí posloupost přirozeých Čísel, takže posloupost {6 } = {&*( )} je vybráa z poslouposti {«}. Důkaz bude dokoče, dokážeme-li, že {6 } je erostoucí posloupost, t. j. (podle věty 1,1) dokážeme-li, že pro každé je *( +1) a H) To je však patré z toho, že oft( ) je ejvětšim čleem určité poslouposti, jejímž čleem je také ak(+l). Číselá posloupost {a } se azývá omezeá (ebo ohraičeá), existuj e-li takové Číslo M, že a < M (1,8) pro všechy idexy. Číslo M je utě kladé. Říkáme, že posloupost {a} je eomezeá (ebo eohraičeá), eí-li omezeá. Následující věty 1,6 až 1,13 jsou zřejmé. Věta 1,6. Posloupost {a} je omezeá právč tehdy, jestliže posloupost { a } je omezeá. 98

9 Věta 1,7. Budtež {a }, {& } takové číselé poslouposti, že pro určité číslo N platí, že \a\ > b\ pro všecka > N. Je-li posloupost {a} omezeá, je taícé {6} omezeá. Věta 1,8. Existuje-li takový soubor koečé moha čísel, že každý čle poslouposti {a} je rove ěkterému z ich, je {«} omezeá posloupost. Věta 1,9. Posloupost vybraá z omezeé poslouposti je omezeá. Věta 1,10. Je-li {a} omezeá posloupost a je-li c libovolé číslo, je také {ca } omezeá posloupost. Věta 1,11. Je-li {a} omezeá posloupost, je také { ob} omezeá posloupost. Věta 1,12. Je-li {a } eklesající posloupost a existuje-li takové číslo H, že a < H pro všecka, je {a } omezeá posloupost. Věta 1,13. Je-li {a} erostoucí posloupost a existuje-li takové Číslo K, že a~> K pro všecka, je {a} omezeá posloupost. Věta 1,14. Jsou-li {a2( w )}_i' > { a *( w )KT-i omezeé poslouposti (v koečém počtu k > 0), jsou také omezeé poslouposti. { a i( ) + a2() afc(w)} _1, {a^). a2()... a^)}^ Důkaz. Pro 1 <L r k existují podle předpokladu taková kladá _ Čísla Mr, že ar(ra) < Mr pro všecka. Potom je však ox() + a2() ak()\ < M1 + M podle vět I 5,8 a I 9,7 a podle vět I 5,9 a I 8,1. a2()... ak()\ < MtM2... Mk Příktad 1,7. Je-li 0 < x < 1, je {x } omezeá posloupost. Abychom se o tom přesvědčili, volme í = -i- ve větě II 6,16. Dostaeme Mk eboli 7' 99

10 Zásobíme-li obě stray této erovosti kladým číslem. vyjde 0 < x < 1 x 2. Nulové a kovergetí poslouposti. Pojem reálého čísla V tomto paragrafu zavedeme pojem kovergetí poslouposti, který je jedím z ejzákladějších poj mů vyšší matematiky. Počeme ejjedodušším zvláštím případem tohoto pojmu, totiž pojmem ulové -poslouposti. Stručě, ale e zcela přesě, můžeme říci, že číselá posloupost {a } se azývá ulová, jestliže pro všecka dosti velká je a přibližě rové ule. Nulové poslouposti jsou a př řo! _ J J \ L ř2 2) 2 ' 2 a ' 2 S ' 2* ' "' ' K ' ' , (2,3) ' 2 ' ' 4 ' (2,4) Slova přibližě rové ule" a dosti velká " emají jedozačě určitý smysl a teprve když řádě vyložíme, co se jimi míí, dospějeme k vědecky správé defiici pojmu ulové poslouposti. Číslo x můžeme považovat za přibližě rové ule třeba už tehdy, jestliže se liší od uly o méě ež 0,001, t. j. jestliže ]a; <, ale také se můžeme dohodout, že budeme považovat za přibližě rová ule pouze ta x, pro která je x < -JqJP ebo dokoce je ta x, pro která je < - 7^5, a můžeme požadovat ještě mohem ostřejší erovosti; 10, máme tu ekoečě moho možostí. Při každé z těchto možostí musí u ulové poslouposti být a přibližě rové ule pro všecky dosti velké idexy, t. j. pro všecka větší ež vhodí voleé přiro- 100

11 zeé číslo; jak voleé, to závisí jedak a tom, jak jsme pojem přibližě rové ule" precisovali, jedak a tom, kterou ulovou posloupost zkoumáme. Obecě precisujeme pojem přibližě rové ule" tak, že si zvolíme určité kladé číslo e a za přibližě rová ule považujeme ta čísla x, pro která platí < e eboli e < x < e a žádá jiá x. Při každé volbě čísla e > 0 musí být u ulové poslouposti možé určit přirozeé číslo N = N(e) tak, že a < e pro všecka '> N. (2,5) Pozámka 2,1. Tím, že píšeme N = N(e), azačujeme, že hodota čísla N závisí a učiěé volbě kladého čísla e. Budiž třeba = -W (2 ' 6) Pak u poslouposti (2,1) můžeme volit N = 10 a ebo si můžeme zvolit za N jakékoli přirozeé číslo N ještě větší ež 10 3, jelikož podmíka (2,5) zůstae splěa, ahradíme-li původě zvoleě přirozeé číslo N jiým větším. U poslouposti (2,2) při volbě (2,6) čísla e zase můžeme zvolit N = 10 3, ale můžeme si v tomto případě zvolit N mohem meší; ejmeší možé N v uvažovaém případě je N = 10. U poslouposti (2,3) při volbě (2,6) ejmeší možá hodota čísla N je N = U poslouposti (2,4) při volbě (2,6) ejmeší možá hodota čísla N je N = 10 ; erovost a < e zde sice platí už pro všecka lichá čísla větší ež jeda, takže velmi moho idexů meších ež 10 6 má tu vlastost, že a < e, ale teprve pro N = 10 6 platí o < e pro všecka > N. Vyslovme zovu přesou defiici ulové poslouposti: Číselá posloupost {o } se azývá ulová, jestliže každému číslu e > 0 lze přiřadit přirozeé číslo N = iv(e) tak, že platí (2,5). Pozámka 2,2. Defiici ulové poslouposti můžeme dát také teto tvar. Posloupost {«} se azývá ulová, jestliže pro každé e > 0 je je koečý počet 0) takových idexů, že o ^ e. Následující věty 2,1 až 2,6 jsou zřejmé z defiice. Věta 2,1. Číselá posloupost {a } je ulová, existuje-li takové přirozeé číslo N, ze a = 0 pro všecka > N. Věta 2,2. Posloupost {ab} je ulová právě tehdy, jestliže posloupost { a } je ulová. 101

12 Věta 2,3. Posloupost vybraá z ulové poslouposti je ulová. Věta 2,4. Každá ulová posloupost je omezeá. Věta 2,5. Budtež {a}, {b} takové číselé poslouposti, že pro určité přirozeé číslo N platí, že a > 16 pro všecka > N. Je-li posloupost {a} ulová, je také {6} ulová. Věta 2,6. Je-li {a} ulová posloupost, je také { a} ulová posloupost. Příklad 2,1. Posloupost j-^-j je ulová. To jsme si již řekli, ale yí si podáme přesé odůvoděí. Je-li dáo e > 0, existuje podle věty II 6,10 takové přirozeé číslo N, že 0 < < e. Pro > 1 je < podle věty II 6,3, tedy = < e pro všecka 7b xv > N. Přesé odůvoděí, že poslouposti (2,2), (2,3), (2,4) jsou ulové, bude podáo v příkladech 2,2; 2,3 a 2,4. Věta 2,7. Je-li {a } ulová posloupost a je-li c libovolé Číslo, je také {cab} ulová posloupost. Důkaz. Pro c = 0 je to důsledek věty 2,1. Nechť tedy c #= 0, takže c > 0. Je-li e kladé číslo, je také -j^j- kladé číslo. Protože posloupost {«} je ulová, existuje takové přirozeé číslo N, že pro všecka > N platí erovost N (2' 7) Avšak o > 0, takže erovost (2,7) je dovoleo ásobit číslem c. Protože o. ja = ca, vyjde, že ca < e pro všecka > N; tím je věta dokazáa. Příklad 2,2. Z příkladu 2,1 plye" podle věty 2,7, že (2,3) je ulová posloupost. Příklad 2,3. Dokažme, že posloupost {a } je ulová právě tehdy, jestliže a < 1. [Volíme-li a = dostaeme, že posloupost (2,2) je ulová.] Budiž předě a 1; podle vět I 6,1; I 6,2; II 6,6 a II 6,8 je a" > 1. pro všecka, takže posloupost {a } eí ulová. Pro a = 0 je {a B } ulová podle věty 2,1. Zbývá případ o < 1, a =# 0; podle vět II 6,8 a 2,2 můžeme předpokládat, že 0 < a < J^. 102

13 Volíme-li ve větě II 6,16 t = dostaeme, že pro všecka je eboli _L > i + (_L _ i) > (_L _ i) > o a \a I \a / o > > 0, a" a takže podle vět II 6,2 a II 6,3 pro všecka je» 1 0 < a" <, 1 a a jelikož posloupost j f je ulová, je ulová také {rh podle věty 2,7, tudíž i (a"} podle věty 2,5. Ť} Příklad 2,4. Protože j~j je ulová, je také ulová podle věty 2,7, takže posloupost (2,4) je ulová podle věty' 2,5. Věta 2,8. Je-li {«} posloupost částečých součtů ulové poslouposti {«}, je také j~j ulová posloupost. Násti důkazu. Dejme tomu, že ta čísla a, pro ěž > 100, jsou malá. Číslo g101 + « O je pro všecka > 100 malé, protože sčítaci v čitateli jsou malí a jejich součet dělíme číslem, které je větší ež jejich počet. Číslo ffli + a Qioo \ může být velké pro čkterá větší ež 100, ale pro dosti veliká bude také malé. Tedy pro dosti velká jsou malá obě čísla (*) i (**), takže je malý i jejich součet, který je rove. Důkaz. Podle věty 2,4 existuje takové kladé Číslo M, že \a \ < M pro všecka. (2,8) ^^ 103

14 Budiž yí dáo kladé číslo e. Potom je také kladé číslo, takže existuje takové přirozeé číslo Nlt že a[ < pro všecka > Nx. (2,9) 2 MN Podle věty II 6,9 existuje přirozeé číslo N2 > - -. Budiž yí N přirozeé číslo větší ež N1 i ež N2. Dokážeme, že s < pro všecka > N, a tím budeme hotovi. Budiž tedy > N. Potom je především > JVj a z (2,9) plye podle věty I 9,7, že ojř,+i a\ < ( N^ < \e. (2,10) 2 MN Za druhé je však > N2, tedy >, takže MNX < \t\ podle věty I 9,7 plye tedy z (2,8), že 1»! + a MNi < e. (2,11) Užijeme-li ještě jedou věty I 9,7, dostaeme \s = «i + «2 + + a» ^ + « f, + l + Jř Ob, takže podle (2,10) a (2,11) je a < \e + \e = e, tedy < e pro všecka > N. Přiklad je ulová. 2,5. Z věty 2,8 soudíme podle příkladu 2,1, že posloupost l,i(l +*),*(! + i + i). Věta 2,9. Budiž {a} číselá posloupost a budiž {b} ulová posloupost kladých čísel. Jestliže pro každé přirozeé číslo k existuje takové přirozeé Číslo N (závislé a k), že erovost \a\ < bk platí pro všecka > N, je {a\ ulová posloupost. Důkaz. Je-li dáo e > 0, existuje ekoečě moho takových idexů k, že 0 < bk < e. Je-li k takový idex a má-li číslo N tu vlastost, že o < bk pro všecka > N, je také a < e pro všecka > N. Pozámka 2,3. Smysl věty 2,9 je te, že při zkoumáí, zda daá posloupost {«} je ulová, emusíme vyšetřovat, je-li podmíka 104

15 (2,6) splěa pro všecka e > 0, ýbrž můžeme se omezit a taková e, která jsou čley vhodě zvoleé ulové poslouposti kladých čísel, a př. a taková e, která se rovají ěkterému čleu poslouposti (2,1). Věta 2,10. Jsou-li {a }, {& } ulové poslouposti, je také {a + ulová posloupost. Důkaz. Je-li e > 0, je také Čísla Nlt N2, že b) > 0. Tedy existují taková přirozeá Kl < i e P ro > N i> l 6»l < i W 0 > Nt. Podle věty I 9,7 je \a + 6 <1 a + 6 pro všecka a mimo to je + Je = e, takže podle věty I 5,5 bude \a + 6 < e pro všecka > N, zvolíme-li N > Nlt N > N2- Věta 2,11. Je-li {a } ulová posloupost, {6 } omezeá posloupost, je {ab} ulová posloupost. Důkaz. Existuje takové M > 0, že 6 < M pro všecka. Je-li e > 0, je také JHf _1 e > 0 podle věty II 6,2, takže existuje takové přirozeé číslo N, že pro všecka > N je \a < M~ x e, tedy podle vět I 5,7 a I 8,1 také c6 < M^e. M, t. j. ab\ < s pro všecka > N. Příklad 2,6. Na základě vět 2,4 a 2,11 se z příkladu 2,1 odvodí idukcí, že jsou ulové poslouposti; totéž vyplývá jedodušeji z věty 2,5, eboť pro k = 1, 2, 3,... je -^t < pro všecka ;. Jsou-li alt a2, " a3,... libovolě zvoleá čísla, plye z věty 2,7, že jsou ulové poslouposti, z čehož se odvodí idukcí vzhledem ke k podle věty 2,10, že pro k = 1, 2, 3,... je. ulová posloupost. Přistoupíme yí ke studiu pojmu kovergetí poslouposti, ohlášeému už a počátku tohoto paragrafu. Stručě, ale e zcela 105

16 přesě, můžeme říci, že posloupost {o } se azývá kovergetí, jestliže pro všecha dosti velká se hodoty čleů poslouposti avzájem velmi málo liší. Přesá defiice zí takto: Číselá posloupost \a) se azývá kovergetí, jestliže pro každé číslo e > 0 platí, že existuje takové přirozeé číslo N = N(e), že \am a < e, kdykoli oba idexy m, jsou větší ež N. Příklad 2,7. Číselá posloupost {a } je kovergetí, dá-li se určit číslo «a přirozeé číslo N tak, že a = <x pro všecka > N. To je zřejmé. Věta 2,12. Každá ulová posloupost je kovergetí. Násti důkazu. Pro všecka dosti velká se čísla o málo liší od uly, takže se také málo liší mezi sebou. Důkaz. Budiž {a} ulová posloupost a budiž > 0. Potom je také > 0, takže existuje takové přirozeé číslo N, že a < jfi pro všecka > N. Podle I (9^.) a podle věty I 9,7 je \am a\ ^ \ a m\ + \ a \ P ro všecka rtř a všecka ; mimo to je jfi -f = e. Tedy podle věty I 5,5 je am a\ < e, kdykoli m > N, > N. Věta 2,13. Každá kovergetí posloupost je omezeá. Násti důkazu. Pro velké idexy se čísla a vzájemě liší 0 méě ež 1, takže je-li k libovolě zvoleý velký idex, je a < < afc + 1 pro všecky velké idexy. Ostatích idexů je koečý počet, tak také k im příslušá a mají absolutí velikost zase meší ež určité číslo. Důkaz. Je-li {<j} kovergetí posloupost, existuje takové přirozeé číslo N, že \am a\ < 1, kdykoli: m > N, > N. Dosadíme-li = N + 1, máme \am as+x < 1, takže podle vět I 5,4 a 1 9,7 je \a m \ = («m a* + l) + y+l ^ «m ~ «jr + ll + K + l < < K+ll + 1 pro všecka m > N. Je-li tedy číslo M větší ež každé z čísel je a < M pro všecka. Kl> Kl,, K. K+il + i, Věta 2,14. Jsou-li {a}, { } dvě kovergetí poslouposti, je také {a + b} kovergetí posloupost. 106

17 Násti důkazu. Pro velká se vzájemě liší velmi málo jak čísla a, tak i čísla b, takže pro velká se také čísla a + b je málo liší mezi sebou. > 0, takže existují taková přiro- Důkaz. Je-li e > 0, je také zeá čísla Nlt Nt, že Zvolme N > Nlt m ~ a \ < kdykoli m > Nít >, \bm b < e, kdykoli m > N2, > N2. N > N2. Je-li m > N, > N, je (am + bm) - (o. + 6) = \(a - oj + (bm - b)\ ^ < am a + \bm 6 < + = e. Věta 2,15. Je-li {a } kovergetí posloupost, je také { a} kovergetí. To plye z I (9,2) a z pozámky I 7,14. Věta 2,16. Budiž {a} eklesající posloupost a budiž e > 0. Nechí každému přirozeému číslu N lze přiřadit přirozeá Čísla r > N, s > N tak, že a ar e. Potom posloupost {a} je eomezeá. Násti důkazu. Zázoríme-li si čísla a a číselé ose, pak při zvětšeí idexu obraz čísla a a číselé ose se může posuout pouze doprava. U omezeé poslouposti je však o < M pro všecka, takže obrazy všech a u omezeé poslouposti jsou alevo od obrazu čísla M, a proto takových posuutí doprava o délku e ebo o délku ještě větší je u omezeé poslouposti jeom koečý počet. Důkaz. Nechť aopak existuje takové Jí, že \a\ < M pro všecka. Budeme defiovat rekuretě posloupost {[k(), A(»)]}-t dvojic přirozeých čísel. Nejprve zvolíme čísla k(l), h(l) tak, že»(d i) ^ e Jestliže při určitém čísla k(), h() jsou už zvolea, pak podle předpokladu existují taková přirozeá čísla r, s, že r > \(), s > h(), a, ar e; položme potom k( + 1) = r, h( -f 1) = s. Máme yí pro každé erovost oa( ) ak{) e; protože e > 0, je aa() > afc(b) a protože aše posloupost je eklesající, je h() > k(). Mimo to je však také k( + 1) > h(), takže «*(»+d ^ («). tedy Ófc( +1) a k() ^ Z toho plye idukcí, že a H) a k() ^ %-(»> ^ Ofcd) + (» 1) e (*) 107

18 Neboť erovost (*) je zřejmá pro = 1, a platí-li (*) pro určité, je také fc(» + l) = a «) + [ a *(«+ l> fc()] ^ [ fc(i) + ( 1) fi] + = = *(1) + W = 0«!)+ [(«+ 1) 1]. Tím je obecá platost erovosti (*) dokázáa. Na druhé straě je však M > ak) pro všecka, tedy podle (*) M a k( 1) + > W, avšak to je pro > -1. [M afc(1) + ] emožé. Věta 2,17. Každá omezeá mootoí posloupost je kovergetí. Důkaz. Je-li {a } erostoucí, je { a} eklesající podle věty I 9,1, takže podle věty 2,15 stačí dokazovat za předpokladu, že {a} je eklesající omezeá posloupost. Je-li > O, potom podle věty 2,16 existuje takové přirozeé číslo N, kterému elze přiřadit r > N, s > N tak, aby bylo a, at > e. Je-li tedy m > N, > N, platí obě erovosti am a < e, a a <, a tudíž i erovost km - a» < e- C Na základě pojmu kovergetí poslouposti dospějeme yí li pojmu iracioálího čísla. Jak jsme už astíili ve II 9 a příkladě «= y2, ahradíme iracioálí Číslo «takovou posloupostí {a } racioálích čísel, jejíž čley a se pro velké idexy málo liší od iracioálího čísla «[v případě «= y2 je II (8,6) taková posloupost]. Protože při velkých se všecka čísla a málo liší od určitého čísla «, liší se málo také mezi sebou, t. j. posloupost {a} bude kovergetí. Při daém «eí ovšem posloupost {o } jedozačě staovea; je-li {a^} jiá taková posloupost, potom při velkých obě čísla a, a' se málo Uší od téhož čísla a, proto se také málo liší jedo od druhého, a tedy rozdíl a a' se při velkých málo liší od uly. Abychom a základě takových úvah dospěli k vědecky přesé defiici iracioálích čísel, je pak ještě třeba užít výsledků II 2 o tvořeí ových pojmů abstrakcí. Přistoupíme yí k rozvedeí takto astíěého programu. Jsou-li {a }, {a'} dvě kovergetí poslouposti, píšeme {a)~{a'), (2,12) jestliže {a a'} je ulová posloupost. Dokážeme, že (2,12) je pravidlo ekvivalece v možiě všech kovergetích posloupostí ve smyslu II 2, t. j. že platí zákoy II (2,3); II (2,4); II (2,5). Ze platí II (2,3), t. j. že (o ) ~ {«}, plye z věty 2,1. K důkazu II (2,4) zřejmě stačí zjistit, že platí-li (2,12), platí také {a'} ~ {o}- 108

19 To plye z věty 2,6, eboť a' a = (a a') podle pozámky I 7,14. Zbývá dokázat II (2,5). Nechť tedy {a}, {<}, {a*} jsou tři takové kovergetí poslouposti, že platí (2,12) a {a'} ~ {a 1^} eboli že {a a'} a {a' a } jsou ulové poslouposti. Máme dokázat, že (a ) ~ {a } eboli že {a a j e ulová posloupost. To plye z věty 2,10, eboť a a" = (a a') + (a' a"). Věta 2,18. Jsou-li «, a' racioálí čísla a je-li a = a, a' = tx pro každé přirozeé Číslo (takže {a}, {a'} jsou kovergetí poslouposti podle příkladu 2,7), potom platí (2,12) právé tehdy, jestliže Důkaz. Je-li <x = a', platí (2,12) podle věty 2,1. Je-li «=)=«' a položíme-li e = a «'], je > 0 a pro žádé eí a a'\ < e; tudíž {a o^} eí ulová posloupost, t. j. (2,12) eplatí. Pravidlo ekvivalece (2,12) v možiě M všech kovergetích posloupostí (jejichž čley jsou racioálí čísla) podle II 2 defiuje roztříděí možiy M, při ěmž dva prvky {a}, {6 } možiy M áležejí do téže třídy právě tehdy, jestliže platí (2,12). Každý prvek {a} možiy M je kokrétím vyjádřeím určitého prvku ové možiy M*, která vzike abstrakcí z možiy M. Prvky možiy M* azveme reálá čísla, takže reálé číslo v podstatě eí ic jiého ežli třída mezi sebou ekvivaletích kovergetích posloupostí s racioálími čley. Učiíme však určitou dohodu, podle které budou racioálí čísla zvláštími případy reálých čísel, podobě jako jsme v II 3 učiili dohodu, podle které se celá čísla stala zvláštími případy racioálích čísel. Je-li «libovolé racioálí číslo, je podle příkladu 2,7 kovergetí ta posloupost, jejíž všechy čley jsou rovy a, a reálé číslo, jehož kokrétím vyjádřeím je tato posloupost, ztotožíme s racioálím číslem Že jsme k této defiici oprávěi, plye z věty 2,18, jejíž smysl je te, že eí možé, aby jedo a totéž reálé číslo bylo podle aší dohody ztotožěo se dvěma růzými racioálími čísly.-pojem reálých Čísel je skutečě ovým pojmem proto, že se ukazuje, že jsou reálá čísla, která ejsou racioálí (t. j. která podle aší dohody ejsou ztotožěa s žádým racioálím číslem) a která se jmeují iracioálí čísla. Existece iracioálích čísel byla v podstatě prokázáa už v II 8, ale ještě sé k tomu vrátíme (v 7), protože tehdy jsme ještě eměli přesou vědeckou defiici tohoto pojmu. Každá kovergetí posloupost {a,} je kokrétím vyjádřeím určitého reálého čísla, které ozačíme a azveme limitou poslouposti {a}. lim a (2,13) -»co 109

20 Pozámka 2,4. Místo písmea můžeme ovšem užít kteréhokoli jiého písmea, tedy můžeme místo (2,13) psát lim ak ebo lim at a pod. jfc-»-co ř-»-eo Nejčastěji užíváme písmea. Neí-li obavy z edorozuměí, můžeme psát stručě lim o místo (2,13), t. j. oo" vyechat. Začku lim a čteme: limita a pro k ekoeču (viz pozámku - 1,3). Pozámka 2,5. Výzam ozačeí (2,13) je defiová pouze v tom případě, že posloupost {a} je kovergetí. Příklad 2,8. V příkladě 1,4 bylo ukázáo, že j l + -^-j j je í/ l\" + 1 l rostoucí posloupost a v případě 1,5, že jl 1 + I posloupost. Jestliže zřejmou erovost i < i + l 1 zásobíme kladým číslem 11 H 1, dostaeme Me klesající < K r < V r -«i \ +i i 1 + I jsou í/ 1 \ +1 ) kladé, plye z věty 1,13, že posloupost jll + I je omezeá; podle věty 1,7 také posloupost l + -^-j je omezeá. Podle věty 2,17 jsou obě poslouposti kovergetí. Mimo to je však \ I \ j j' a jelikož í e ulová posloupost, plye z věty 2,11, že {KrHMl- 110

21 Společá limita obou posloupostí se začí e a je ve vyšší matematice velmi důležitá. Dá se dokázat, že e je iracioálí číslo. Je-li «iracioálí číslo, potom vztah lim a = «(2,14) ezameá ic jiého, ežli že posloupost {a} je kovergetí a že a je to reálé číslo, jehož kokrétím vyjádřeím je tato posloupost. Jestliže však «je racioálí číslo a jestliže x' = a pro každé přirozeé číslo, zameá (2,14), že platí (2,12), t. j. že {a «} je ulová posloupost. Uvidíme, že pojem rozdílu a <x a pojem ulové poslouposti se dá rozšířit tak, že pro libovolé reálé číslo «a pro libovolé racioálí a vztah (2,14) bude zameat, že {a «} je ulová posloupost. / Pozámka 2,6. Neškodí výslově zazameat, že lim a = 0 právě tehdy, jestliže {a } je ulová posloupost. posloup- Věta 2,19. Je-li posloupost {6 } vybráa z kovergetí osti {a}, je také {6 } kovergetí a je lim b = lim a. Důkaz. Máme dokázat, že {b a} je ulová posloupost, že tedy každému e > 0 lze přiřadit takové přirozeé číslo N, že 6 a < pro všecka > N. Podle defiice kovergetí poslouposti však existuje takové N (závislé a e), že am a\ < e, kdykoli: > N, m > N. Je-li yí > N, je podle defiice vybraé poslouposti a podle věty 1,2 b = am, kde m ^. > N, takže b a = am a\ < e. 3. Sčítáí a ásobeí reálých čísel Věta 3,1. Jsou-li {a }, {6 } kovergetí poslouposti, je také {a + b] kovergetí posloupost. Důkaz (srov. s důkazem věty 2,10). Je-li > 0, je také > 0. Tedy existují taková přirozeá čísla Nlt N2, že Pro všecka m, je» <. kdykoli m > Nlt > Nt; \bm b <, kdykoli m > Nlt > Nt. (am + bm) - (a + b) = (om - a) + (bm - b), 111

22 a tedy \{am + bm) -- (a + b) am - a\ + \b b\. Zvolíme-li přirozeé číslo N > Nlt N > N2, je tedy \(am + bm) (a + b) < e, kdykoli m > N, > N. Jsou-li tx = lim a, [i = lim b (3,1) libovolá dvě reálá čísla, defiujeme jejich součet tx + p a základě věty 3,1 rovicí «+ /? = lim («+ & ).' (3,2) Pozámka 3,1. Je třeba ukázat, že defiice (3,2) je ezávislá a volbě posloupostí {o }, {6 }. Jestliže však mimo 3,1 je také «= lim a', P = lim b', (3,3) jsou {a a'}, {b b'} ulové poslouposti, a protože (a + b ) - (a' + b') = (a - a') + (b - b'), plye z věty 2,10, že také {(o + 6 ) (a' + 6^,)} je ulová posloupost, takže lim (o + b) = lim «+ 6J. Pozámka 3,2. Dále je třeba ukázat, že jsou-li tx, P racioálí čísla, splye defiice (3,2) s původí defiicí součtu «+ p. To však plye přímo z toho, že v daém případě můžeme volit a = tx, b = p pro všecka. Věta 3,2. Jsou-li {«}, {b } kovergetí poslouposti, je také {a 6 } kovergetí posloupost. Důkaz (srov. s důkazem věty 2,11). Podle věty 2,13 existují taková čísla > 0, M2 > 0, že a < Mly 6 < M2 pro všecka. Je-li e > 0, je také ^M^e > 0, \M2 x e > 0, takže existují taková přirozeá čísla Nlt Ň2, že za prvé \am a\ < ^M^e, kdykoli: m > Nlt > Nlt za druhé \bm 6 < ^M^e, kdykoli: m > N2, > N2. Zvolme přirozeé číslo N > Nlt N > N2. Protože pro všecka m, je tedy aj>m ab = am(bm b) + b(am -- a), IaJ>m ab ^ am. \bm b\ + 6. am <z, je pro m > N, > N Iambm - ab\ < Mx. + M2. = e. 112

23 Jsou-li (3,1) libovolá dvě reálá čísla, defiujeme jejich souči <x/j a základě věty 3,2 rovicí otfi = lim (ab). (3,4) Pozámka 3,3. Je třeba ukázat, že defiice (3,4) je ezávislá a volbě posloupostí {» }, {& }. Jestliže však mimo (3,1) platí také (3,3), jsou {a a'}, {b b'} ulové poslouposti. Podle věty 2,13 jsou {o }, {b'} omezeé poslouposti, takže podle věty 2,11 jsou {a(b b')}, {b'(a a'}) ulové poslouposti, a protože ab - a'b' = a(b - b') + b'(a - a'), je podle věty 2,10 také {ab a'b'} ulová posloupost, takže lim (a b ) = lim (a'b'j. Pozámka 3,4. Jsou-li tx, fi racioálí čísla, můžeme ve (3,1) volit a = tx, b = p pro všecka. Z toho přímo plye, že v daém případě defiice (3,4) splye s původí defiicí součiu «/?. Pozámka 3,5. Je-li tx = lim a (3,5) libovolé reálé číslo a je-li c racioálí číslo, je c = lim c, jestliže c = c pro všecka, takže z ašich defiic plye, že Součet a souči tx, + c = lim (a + c), ca = lim (ca). Sk = «1 + «2 + + <** Pk = 0C 1«2 a* libovolého počtu k (k přirozeé číslo) sčítaců ebo čiitelů můžeme yí i v případě libovolých reálých sčítaců ebo čiitelů defiovat rekuretími vzorci Věta 3,3. Je-li 5i = > s k + ; Pi = «i. Pk+i = Pk «* +1 lim a^) = a lim a2() = <x2,..., lim ak() = txk (k přirozeé číslo), je také lim [«!(») + ag() +... ak()] = <xx + <x txk, «00 lim [a^). a2()... afc(w)] = <xx<x2... ak. 8 čísla a početí výkoy 1 1 ^

24 Důkaz idukcí vzhledem ke k čteář sado provede sám. Věta 3,4. Věty I 2,1; I 2,2; I 2,3; I 2,4; I 2,5; I 2,6; I 2,7; I 2,9; I 3,1; I 3,2; I 3,3; I 3,4; I 3,5; I 3,6; I 3,7; I 3,8; I 3,9; I 3,11; I 3,16; I 3,17 jsou správé pro libovolá reálá čisla. To plye z vět II 4,1, II 4,2 a 3,3. Je-li «libovolé reálé číslo, defiujeme opačé Číslo tx rovostí a = ( 1). a, což je v případě racioálího <x v souladu s původí defiicí. Pozámka 3,6. Je-li tx = lim a, je tx = lim ( a) podle pozámky 3,5. Věta 3,5. Věty I 7,4; I 7,5; I 7,9 a I 8,4; jsou správé pro libovolá reálá čísla. Důkaz. U vět I 7,4; I 7,5 a I 8,4 to plye z věty II 4,4 podle věty 3,3 a pozámky 3,6. U věty I 7,9 stačí podle věty 3,3 a pozámky 3,6 provést zovu důkaz udaý a str. 47. Věta 3,6. Je-li tx reálé Číslo růzé od uly, je možé volit tak, že tx = lim a a že a 4= 0 pro všecka. Důkaz. Zvolme {c } tak, že tx = lim c. Je-li možé z {c } vybrat {«} tak, že a 4= 0 pro všecka, plye aše věta z věty 2,19. To je však možé vždycky, eboť jiak by bylo možo z {c } vybrat {6 } tak, že by bylo b = 0 pro všecka \ potom by bylo lim 6 = 0, ale to odporuje větě 2,19. Věta 3,7. Je-li tx reálé číslo růzé od uly a je-li x = lim a, existuje takové kladé racioálí číslo c, že počet těch idexů r, pro které je sad \at\ <" c, je koečý. Důkaz. Předpokládejme, že tomu tak eí. Potom každé kladé racioálí číslo c má tu vlastost (azveme ji vlastost V), že je ar ^ c pro ekoečě moho idexů r. Defiujme yí rekuretě posloupost {&(»)}"_! přirozeých čísel takto: Protože číslo 1 má vlastost V, můžeme zvolit (1) tak, že a*d, 1. Jestliže pro určité bylo už číslo k() zvoleo, uvážíme, že číslo ( + l) -1 má vlastost V; můžeme tedy zvolit číslo k( + 1) tak, že za prvé bude k( + 1) > > k() a že za druhé bude o*( + 1) < ( -1- l) -1. Podle věty 1,1 je { (w)} rostoucí posloupost přirozeých čísel, takže posloupost {6} = {«*( >} je vybráa z {a}. Je však 6 {o } w -1 = pro všecka, takže z věty 2,5 a z příkladu 2,1 plye lim b = 0; to je však emožé, eboť podle věty 2,19 je lim b = tx. 114

25 Věta 3,8. Je-li {a } kovergetí posloupost, + O pro všecka, a je-li lim a + O, existuje takové kladé čmo p, le \a\ > p pro všecka. ; To je sadý důsledek věty 3,7. Věta 3,9. Za předpokladu věty 3,8 je {a- 1 } kovergetí posloupost. Důkaz. Podle věty 3,8 existuje takové racioálí číslo p > 0, že a > p pro všecka. Podle vět II 6,2 a II 6,3 je p~ x > 0, a -1 < p- 1 pro všecka. Je-li yí e > 0, je p 2 e > 0, takže existuje takové přirozeé číslo N, že am a\ < p 2 e, kdykoli: m > N, > N. Avšak pro všecka m, je m " a a a a o o ' Tři 71 7ÍÍ takže pro m > N, > N je o» O» 1! = Om _1-1 a>m ~ I < P' 1 P~ 1, t.j. a- 1 - a- 1 1 < e. Je-li a reálé číslo růzé od uly, zvolíme podle věty 3,6 {«} tak, že lim a = <x a že a # 0 pro všecka. Podle věty 3,9 existuje reálé číslo lim o" 1, které ozačíme a -1 a azveme převráceým číslem k číslu a. Z defiice ásobeí plye <x -1. «= 1, takže <x _1 + 0 a číslo je kořeem rovice ocx = 1. Obráceě, je-li x takové reálé číslo, že <xx = 1, je x = 1. x = (a -1 «). x = a -1. (<xx) = a = a -1, takže číslo a -1 je jediým kořeem rovice otx = 1. Z toho plye, že číslo a -1 je jedozačě určeo číslem x (ačkoli posloupost {a } ebyla jedozačě určea) a že v případě racioálího <x ová defiice symbolu a -1 je v souladu s defiicí původí. Věta 3,10. Věty I 2,8; I 3,10 a II 5,3 jsou správé pro reálá čísla. libovolá Důkaz. Je jasé, že důkaz věty II 5,3 zůstae v platosti, i když místo čísel racioálích uvažujeme reálá, t. j. jsou-li «, (i reálá čísla a je-li tx =1= 0, má rovice ix. x = ji právě jede koře x = = <x -1. (3. Volíme-li = 0, vychází, že je-li souči dvou reálých čísel rove ule a je-li jede čiitel od uly růzý, musí druhý čiitel být rove ule, t. j. věta I 2,8 je správá pro reálá Čísla. Idukcí vzhledem k počtu čiitelů se z toho sado odvodí totéž i o větě I 3,10. 8* 115

26 ^Nerovosti mezi reálými čísly Než přejdeme k vlastímu obsahu tohoto paragrafu, zaveďme jedo rčeí, které ám pomůže vyjadřovat se stručě a přesě. Je-li V ějaká vlastost, která má smysl pro každé přirozeé číslo (pro každé vlastost V buďto je, ebo eí splěa), řekeme, že vlastost V je splěa pro skoro všecka, jestliže těch, pro která vlastost V sad splěa eí, je jeom koečý počet. (Při tom eí vyloučeo, že vlastost V je splěa pro všecka vůbec.) Je-li a př. i = 2, a2 = 1, a3 = 0, o4 = 1, o6 = 2 atd., (4,1) je a > 0 pro skoro všecka. Tedy výrok, že vlastost V je splěa pro skoro všecka, zameá, že lze určit přirozeé číslo N tak, že vlastost V je jistě splěa pro všecka > N (ať již pro ta, která ejsou větší ež N a kterých je je koečý počet, je splěa či eí). Pozámka 4,1. Máme-li koečý počet takových vlastostí přirozeých čísel, z ichž každá jedotlivá je splěa pro skoro všecka, je prví vlastost splěa pro všécka > Nlt druhá pro všecka > N2 atd. Mezi koečě moha čísly Nx, N2 atd. je jedo ejvětší, které ozačíme N; pro všecka > N je potom splěa každá z ašich vlastostí, t. j. výrok, že každá z těch vlastostí je splěa, je správý pro skoro všecka. Pozámka 4,2. Podle pozámky 2,2 můžeme defiici ulové poslouposti vyslovit takto: Posloupost {o } se jmeuje ulová, jestliže, ať jakkoli zvolíme racioálí číslo e > 0, je a < e pro skoro všecka. Na počátku tohoto paragrafu zavedeé rčeí,,pro skoro všecka " je užitečé v mohých úvahách vyšší matematiky. Naproti tomu rčeí, které yí zavedeme, má pouze přechodý výzam a ebudeme ho v pozdějším textu kihy dále užívat. Posloupost racioálích čísel {a } azveme výrazé kladou, lze-li udat takové kladé racioálí číslo v, že erovost a > v je splěa pro skoro všecka. Z pozámky 4,2 plye, že ulová posloupost emůže být výrazě kladá, eboť je-li {a } ulová posloupost a je-li v jakékoli kladé racioálí číslo, je a < v pro skoro všecka, takže emůže být «> v pro skoro všecka. Tedy (viz větu 2,7) posloupost j-^-j eí výrazě kladá, ačkoli každý její čle je číslo kladé. Naproti tomu posloupost (4,1) je výrazě kladá, ačkoli má tři čley, které ejsou kladé. 116

27 Všiměme si yí tří vlastostí výrazě kladých posloupostí. [1] Nulová posloupost emůže být výrazě kladá. Toho jsme si už povšimli. [2] Je-li c racioálí číslo a je-lt a = c pro všecka (ebo i je skoro všecka), je právč tehdy {a,} výrazě kladá, jestliže c > 0. To je zřejmé. [3] Je-li posloupost {a} výrazě kladá a je-li posloupost {c} ulová, je posloupost {a -f- c } výrazě kladá. Neboť jelikož {a} je výrazě kladá, existuje takové racioálí v > 0, že a >v (4,2) pro skoro všecka. Podle věty II 6,11 můžeme určit racioálí u tak, že 0 < u < v. Potom je v u > 0, a jelikož {c } je ulová, platí pro skoro všecka erovost c < v u, tedy také c < v uy tedy podle věty I 9,1 c > u v. (4,3) Podle pozámky 4,1 jsou pro skoro všecka splěy obě erovosti (4,2), (4,3), tedy podle zákoa mootoie sčítáí také erovost a -f c > u. Protože u > 0, je důkaz skoče. Pojmu výrazě kladé poslouposti užijeme k přesé defiici kladého reálého čísla. Na Číselé ose je reálé číslo «zázorěo určitým bodem, který leží apravo od počátku, je-li číslo tx kladé; potom můžeme a číselé ose zvolit mezi počátkem a mezi obrazem Čísla tx takový bod, který je obrazem racioálího kladého čísla v. Jestliže tx = lim a, pak pro velké idexy leží obrazy čísel a v blízkosti obrazu čísla tx, tedy apravo od obrazu čísla v, takže a > v pro všecka velká. Tím jsme vedei k ásledující defiici. Reálé číslo ix = lim a azveme kladé, je-li {a } výrazě kladá posloupost. Je-li také tx = lim a', je {a' a } ulová posloupost a je a' = a + (a' a ) pro všecka. Tedy ze [3] plye, že pro každé reálé tx je jedozačě určeo, zdali je či eí kladé (ačkoli posloupost {a} eí jedozačě určea). Je-li tx racioálí, můžeme volit a = tx pro všecka, takže ze [2] plye, že racioálí číslo je kladé podle ové defiice právě tehdy, je-li kladé podle původí defiice. Zejméa tedy číslo 0 eí kladé ai ve smyslu ové defiice, což je vyjádřeo vlastostí [1], Příklad 4,1. Budiž {a} omezeá eklesající posloupost kladých racioálích čísel. Podle věty 2,17 posloupost {<z } je kovergetí; budiž tx = lim a. Zvolíme-li kladé racioálí číslo v meší ež au 117

28 je a > v pro všecka, takže posloupost {«} je výrazě kladá a číslo <x je kladé. Na př. číslo (viz příklad 2,8) e = lim(l + ±) je kladé, protože j l + -^-j j.je rostoucí posloupost kladých racioálích čísel. Dokážeme, že Podle příkladu 2,8 je totiž 4-h-M"- / i\ +i a všecka čísla ll -) 1 jsou kladá, takže Avšak = lim - r^, = lim e k p ( T T r P - ( ' l I \" +1 -itakže {(-^r) + t=1 splye s K 1 " i) L, Věta 4,1. Součet a souči dvou kladých reálých čísel jsou kladá reálá Čísla. Důkaz. Budtež <% = lim a, 0 = lim b dvě kladá reálá čísla. Podle defiice (viz též pozámku 4,1) existují taková racioálí čísla u > 0, v > 0, že pro skoro všecka je 0 < u < a, 0 < v < 6, tedy podle zákoa mootoie sčítáí a ásobeí také 0 < u + v < < a + b, 0 < uv < ab pro skoro všecka, t. j. poslouposti {a -f- b}, {ab} jsou výrazě kladé, a jelikož x + /9 = lim (a-{-b), a/3 = lim (a 6 ), jsou a + /3, <%/} kladá reálá čísla. Věta 4,2. Je-li x reálé číslo růzé od uly, je z obou čísel x, <x právě jedo kladě. Důkaz. Protože Číslo «+ ( x) = 0 eí kladé, emohou podle věty 4,1 být obě čisla x, a kladá, takže stačí dokázat, že 118

29 aspoň jedo z ich je kladé. Podle věty 3,6 můžeme položit x = = lim a, kde a #= 0 pro všecka. Protože a 4= 0 pro všecka, můžeme z poslouposti {a } vybrat posloupost { > } tak, že buďto ebo b > 0 pro všecka, (*) b > 0 pro všecka. (**) Podle věty 2,19 je x = lim b, tedy podle pozámky 3,6 je «= = lim( b). Podle věty 3,7 existuje takové kladé racioálí číslo c, že 6 > c pro skoro všecka. V případě (*) je 6 > c > 0 pro skoro všecka, posloupost {6} je výrazě kladá a číslo x je kladé; v případě (**) je b > c > 0 pro skoro všecka, posloupost { b} je výrazě kladá a číslo x je kladé. Pravíme, že reálé číslo x je záporé, jestliže reálé číslo x je kladé, což pro racioálíx souhlasí s původí defiicí. Číslo 0 eí ai kladé, ai záporé, takže podle věty 4,2 pro každé reálé číslo x astae právě jede ze tří případů: tx = 0, <x je kladé, tx je záporé. Reálé číslo azveme ezáporé, je-li buďto kladé, ebo rové r ule. Nyí máme vše připraveo k tomu, abychom zavedli přirozeé uspořádáí možiy všech reálých čísel, t. j. abychom pro reálá čísla tx, p defiovali, kdy je x < P eboli /? > tx. Defiujeme, že tx < P zameá, že číslo P x je kladé. Pro racioálí tx, P je aše defiice podle věty I 9,4 v souladu s původí defiicí. Protcže P x = 0 zameá totéž jako x = p a protože x P = (/? «), plye z věty 4,2, že pro reálá Čísla platí záko trichotomie I 5,1. Protože y x = (P x) + (y /?), plye z věty 4,1, že pro reálá čísla platí trasitiví záko I 5,2. Protcže tx 0 = oc, 0 x = a, zameá i v oboru všech reálých čísel erovost * > 0, že číslo x je kladé, erovost x < 0, že číslo x je záporé. Věta 4,3. Věty I 5,4; I 5,5; I 5,6; I 5,7; I 5,8; I 5,9; I 9,1 a I 9,4 jsou správé pro libovolá reálá čísla. Důkaz. Protože (P + y) (x + y) = p <x, plye věta I 5,4 z věty 4,1. Protože (P x) y = Py xy, plye věta I 5,6 z věty 4,1. Z věty I 5,4 plye věta I 5,5 a z věty I 5,6 věta I 5,7 opakováím dřívějších důkazů. U vět I 5,8 a I 5,9 zůstaou v platosti jejich důkazy idukcí podaé a str. 38 a 39. Správost vět I 9,1 a I 9,4 je zřejmá. Pro libovolé reálé číslo x položíme: «= x, je-li x 0; a = = x, je-li tx < 0. Tím je pojem absolutí velikosti rozšíře a libovolá čísla tak, že platí: 119

30 Věta 4,4. Vzorce 1 (7,2); I (7,3); I (7,4); I (8,1) (i s pravidlem pro zaméko ±); I (9,1); I (9,2); I (9,3) a věty I 8,1; I 8,2; I 9,3 a I 9,6 jsou správé pro libovolá reálá čísla. Důkaz. Správost vzorců, s výjimkou vzorce I (8,1), je jasá. Protože ( - x). p = x. ( - P) = - («/?), (-«).(-/?)= <x/3, soudíme z věty 4,1 jedak, že platí věta I 8,2, jedak že je «/9 = «.. \p\. Z toho plye, že vzorec I (8,1) (i s pravidlem pro zaméko ±) platí pro = 2 a jeho obecá platost se dokáže idukcí. Věta I 8,1.je důsledkem vzorce I (8,1). U vět I 9,3 a I 9,6 stačí opakovat dřívější důkaz. Věta 4,5. Jsou-li x, 3 reálá čísla a je-li x < P, existuje takové racioálí číslo z, že x < z < p. Důkaz. Budiž ix = lim a, (3 = lim b, (4,4) takže také p x = lim (b a). Protože «< p, je p x kladé reálé číslo, takže posloupost {& a} je výrazě kladá, t. j. existuje takové racioálí v > 0, že b a > v pro skoro všecka. Položme u = takže také u je kladé racioálí číslo a zazameejme si, že existuje takové přirozeé číslo Nlt že b a> pro všecka > Nx. (4,5) Poslouposti {a }, {6} jsou kovergetí, takže (protože u > 0) existují taková přirozeá čísla N2, N3, že \am a < u, kdykoli: m > N2, > iv2; \bm b \ < u, kdykoli: m> N3, > N3. (4,6) Zvolme yí určité přirozeé číslo k tak, že k > Nu k > N2, k> N3. Podle (4,5) je bk ak > 4u; přičteme-li a obou straách číslo ak 2u, dostaeme bk 2u > ak + 2u, takže podle věty II 6,11 existuje takové racioálí číslo z, že ak + 2u < z < bk 2u. (4,7) Pro všecka > k máie podle (4,6) erovosti tedy také erovosti 120 K. a\ < u, bk b\ <u, a ak < u, bk b < u ;

31 k prví z ich přičteme a obou straách Číslo ak + u, ke druhé číslo 6 2k a dostaeme takže podle (4,7) je a + u < ak + 2u pro všecka > k, bk 2u < b u pro všecka re > k, a + u < z < b u pro všecka re > k. (4,8) Podle (4,4) plye yí z pozámek 3,5 a 3,6, že z x = lim (z a), /? z = lim (b z). Podle (4,8) je však pro skoro všecka re jedak z a > u > 0, jedak 6 z > u > 0. Tedy poslouposti {z a}, {b z} jsou výrazě kladé, takže reálá čísla z <*, (i z jsou kladá, t. j. tx < z < /3; tím je důkaz skoče. Věta 4,6. Jsou-li tx, /? reálá Čísla a je-li <x < existuje ekoečé moho takových racioálích čísel z, že a < z < To plye z věty 4,5 stejě jako věta II 6,12 z věty II 6,11. Věta 4,7. Je-li tx libovolé reálé číslo, existuje takové přirozeé číslo, že < tx <". Důkaz. Protože 1 < 0 < 1, plye ze zákoa mootoie sčítáí, že«1 < a < «+ 1. Tedy podle věty 4,5 existují taková racioálí čísla u, v, že x 1 < u < <x, a < v < a + 1, tedy u < «< v. Podle věty II 6,9 existují taková přirozeá čísla h, k, že h < u, v < k. Je-li přirozeé číslo větší ež h i ež k, je re < h <. u < x, > k > v > x, tedy < x < re. Nyí se sado přeese důkaz věty II 6,13 a případ libovolého reálého čísla «. Celé číslo re z věty II 6,13 se jmeuje celá část reálého čísla x a začí se často [«] ebo také E(x). Věta 4,8. Je-li x = lim a a je-li e > 0, je \a x\ < e pro skoro všecka re. Pozámka 4,3. Pro racioálí x je ám to zámo z 2; pro iracioálí x jsme tehdy ještě eměli defiováo, co zameá a «. Důkaz věty 4,8. Podle věty 4,5 existuje takové racioálí číslo v, že 0 < v < e. Položme u = \v, takže také u je kladé racioálí číslo. Protože posloupost {a} je kovergetí, existuje takové přirozeé číslo N, že \am a < u, kdykoli: m > N, > N. Zvolme yí určitý idex m > N. Podle pozámek 3,5 a 3,6 je x am + 2u = lim (a am + 2u), -vcc am x + 2u = lim (am a + 2u).»- co 121

32 Pro > N platí erovost \am a\ < u, tedy také erovosti u > am a, u > a am. Přičteme-li v prví erovosti a obou straách číslo a am + u, ve druhé číslo am o + u, dostaeme, že pro všecka > N je jedak a am + 2u > u, jedak am a + 2u > u. To zameá, že obě poslouposti {a am + 2u}'%_1, {am a + 2m} _x jsou výrazě kladé, takže reálá čísla «am + + 2m = 2u (am «), am «+ 2u = 2íí (a am) jsou kladá, a tedy 2u > am a, 2w > a am, tudíž také 2tt > om a. Protože e > v = 2u, je am <* < e pro každé m> N\ tím je důkaz skoče. 5. Poslouposti reálých čísel Jsou-li yí čley poslouposti {a} libovolá reálá čísla, říkáme, že posloupost {a} je ulová, jestliže pro každé číslo e > 0 platí, že existuje takové přirozeé číslo N (závislé a e), že o < e pro všecka > N; dále pravíme, že posloupost {a} je kovergetí, jestliže pro každé číslo e > 0 platí, že existuje takové přirozeé číslo N (závislé a e), že \am a < e, kdykoli oba idexy TO, jsou větší ež N. * Pozámka 5,1. Jsou-li všecka a racioálí čísla, je mezi yější defiicí a defiicí z 2 te rozdíl, že yí je s libovolé kladé reálé číslo, kdežto v 2 jsme uvažovali je racioálí čísla; a tom však ezáleží, eboť ke každému reálému e > 0 podle věty 4,5 existuje takové racioálí e', že 0 < e' < e. Pozámka 5,2. Podobě říkáme i v případě libovolých reálých a, že posloupost {«} je omezeá, existuje-li takové reálé číslo M, že a < M. Podle věty 4,7 můžeme předpokládat, že M je přirozeé číslo, takže se edostáváme do rozporu s 1, kde jsme měli a mysli je racioálí M. Je jasé, že platí: Věta 5,1. Víty 1,1; 1,4 až 1,14; 2,1 až 2,6; 2,8 až 2,18 jsou správé pro poslouposti s libovolými reálými čley. Jsou-li {«}, {fik^} dvě kovergetí poslouposti reálých čísel, defiujeme vztah {«}-{«;,} (5,i) stejě, jako jsme to učiili v 2 pro poslouposti s racioálími čley: (5,1) zameá, že {«<x'} je ulová posloupost. Jako v 2 platí i yí, že (5,1) je pravidlo ekvivalece, a je patré, že věta 2,18 zůstae v platosti, ahradíme-li slovo racioálí slovem reálý 122

33 Je-li {<% } posloupost reálých čísel a je-li x reálé číslo, azveme číslo x limitou poslouposti {<% } a ozačíme je lim «(5,2) -»a> ebo prostě lim <%, je-li posloupost {«} kovergetí a je-li {«} ~ ~ kde {«}f zameá posloupost (kovergetí podle příkladu 2,7), jejíž všecky čley jsou rovy číslu x. Jsou-li a,/9 dvě reálá čísla a je-li lim x = x, lim x = je {<* } ~ {<*«} ^ ~ {/?}?, a tedy {«} ~ {/3}J=, takže podle věty 2,18 (se změou slova racioálí a slovo reálý) je «= /?. Je-li {<% } kovergetí posloupost racioálích čísel, existuje takové reálé číslo x, že lim a = «ve smyslu defiice z 2; je třeba dokázat, že lim a = x také ve smyslu yější defiice. To plye z věty 4,8, která eříká ic jiého, ež že {a «} je ulová posloupost eboli že {a} ~ {ajf. Můžeme také říci, že je-li {<% } posloupost reálých čísel a je-li oč reálé číslo, pak lim <x = x zameá, že každému e > 0 lze přiřadit přirozeé číslo N tak, že «x\ < e pro všecka > N. Neboť to je totéž jako říci, že lim x = a zameá, že {<* a} je ulová posloupost; přitom eí třeba výslově předpokládat, že {«} je kovergetí; eboť {<% x} je kovergetí podle věty 2,12, {«}" je kovergetí podle příkladu 2,7, a jelikož x = («, «) + + x, je {<% } kovergetí podle věty 2,14. Věta 5,2. Posloupiiost {«) reálých čísel je kovergetí právč tehdy, jestliže má limitu. Důkaz. Je jasé, že posloupost, která má limitu, je kovergetí. Obráceě předpokládejme, že posloupost {»J je kovergetí. Pro každé můžeme podle věty 4,5 zvolit racioálí číslo a tak, že <* < < <* + Je tedy 0 < a x < pro všecka, takže posloupost {a x} je ulová podle věty 2,5. Protože o» = (o«<*«) + <*> je {a } kovergetí podle vět 2,12 a 2,14. Protože {a «} je ulová, je {«} ~ {a}. Protože {«} je kovergetí posloupost racioálích čísel, existuje takové reálé číslo x, že {«} ~ {«}" Tedy {«} ~ t. j. lim x^ = x. Věta 5,3. Je-li «= x pro skoro všecka, je lim x = x, eboť posloupost {x «} je ulová podle věty 2,1. Věta 5,4. Je-li x = /? pro skoro všecka a je-li lim x = x, je také lim /3 = x, eboť je zřejmé, že je-li {<* «} ulová posloupost, platí totéž o {/9 <%}. 123

34 VSta 5,5. Je-li lim tx = tx a je-li posloupost {/? } vybráa z poslouposti {«}, je také lim /? = tx. To je totéž jako věta 2,19; tehdy jsme měli a mysli pouze poslouposti s racioálími čley, ale pro případ libovolých reálých čleů platí týž důkaz. Je však yí možé dokazovat jedodušeji: jelikož lim tx = tx, je {««} ulová posloupost, takže podle věty 2,3 také {/S «} je ulová posloupost, tedy lim p = tx. Věta 5,6. Mootoí posloupost má limitu právě tehdy, jestliže je omezeá. To plye z vět 2,13; 2,17 a 5,2. Věta 5,7. Z každé omezeé poslouposti lze vybrat posloupost, která má limitu. To plye z vět 1,5; 1,9 a 5,6. Věta 5,8. Je-li lim tx = tx, lim p = p, je také lim («+ p) = a + 0, lim (a/9 ) = <*P- Důkaz. Poslouposti {««}, {/3 P) jsou ulové; protože («+ P) - («+ P) = («. - «) + (P - P), je také {(«+ p) - (a -j- P)} ulová posloupost podle věty 2,10. Posloupost {«} je omezeá podle věty 2,13; tedy poslouposti {a (/S 0)} a {Pfa «)} jsou ulové podle vět 2,7 a 2,11. Protože 0íp *P = <X(P P) + P(<X «), je také {tx P «p} ulová posloupost podle věty 2,10. Pozámka 5,3. Z věty 5,8 se odvodí idukcí, že věta 3,3 platí pro poslouposti s libovolými reálými čley. Věta 5,9. Je-li lim «, = «, je také lim ( «) = «. To plye z věty 2,6, eboí <% ( a) = (<% a). Věta 5,10. Je-li lim a = <xa je-li y reálé číslo, je také lim (a +y) = = ix + y, lim (y<x ) = y<x. To plye z vět 5,3 a 5,8. Věta 5,11. Budiž lim «= <x. Je-li tx < P, je <* < p pro skoro všecka. Je-li tx > y, je <x > y pro skoro všecka. Důkaz. Protože «< P, je p tx > 0, takže pro skoro všecka je ««< p a, tedy <% tx < P tx, tedy tx < p. Protože tx > y, je <x y > 0, takže pro skoro všecka je <% a < <x y, tedy ««<«y, tedy «< y, a tedy <x > y. Věta 5,12. Budiž lim tx = tx. Je-li <x ^ P pro skoro všecka, je a p. Je-ti tx^y pro skoro všecka, je tx y. 124

35 Důkaz. Kdyby ebylo oc ^ ft ebo kdyby ebylo «y, bylo by tx < 0 ebo <x > y. Podle věty 5^11 by pak bylo tx < fi ebo «> y pro skoro všecka ti a to je emožé. Věta 5,13. Budiž lim = lim /? = /?, a < /3. Pak je tx < /3 pro skoro všecka. Důkaz. Podle vět 5,8 a 5,9 je lim (/? tx) = a > 0, takže podle věty 5,11 pro skoro všecka je /J tx > 0 eboli tx < /?. Věta 5,14. Budiž lim «= <x, lim /? = /S. Je-li <x <1 j8 pro skoro všecka, je ot ^ ft. Důkaz. Podle vět 5,8 a 5,9 je lim (/3 «) = «; avšak pro skoro všecka máme /? <x 0, takže podle věty 5,12 je /S «^ > 0 eboli «<1 /S. Věta 5,15. Je-li lim <x =?e toie lim»b = a. Důkaz. Pro «= 0 to platí podle věty 2,2. Je-li <x > 0, je podle věty 5,11 tx > 0 pro skoro všecka, tedy «= a pro skoro všecka, takže podle věty 5,4 je lim a = <% = «. Je-li cx < 0, je podle věty 5,11 tx < 0 pro skoro všecka, tedy «= <% pro skoro všecka w,»takže podle vět 5,4 a 5,9 je lim «= <% = = W- Věta 5,16. Budiž lim <% = a, <% + 0, a pro všecka budiž <x #= 0. Pak je lim -í =. Důkaz. Budiž ejprve <x > 0. Pak je < <x, takže podle věty, ol ofi 5,11 pro skoro všecka mame oc > > 0, tedy také oca> > Zt > 0. Podle vět II 6,2 a II 6,3 je tedy 0 < < % pro skoro všecka. <x(x <x i Ta toho soudíme sado, že posloupost \ I Avšak {tx <x} je ulová a pro všecka je [ je omezeá. ««J / \ = (««), <x cx ot(x takže podle věty 2,11 posloupost I i je ulová; tím je pro [ (x j 125

36 x > O důkaz skoče. Pro a < 0 je «>0, a podle věty 5,9 je lim ( x) = x, při čemž x 4= 0 pro všecka. Tedy podle dokočeé části důkazu máme lim ( - j = -, a protože \ x l x =, =, je podle věty 5,9 také lim -í = - x X X X X X 6. Odmociy Defiici I (6,1) mociy, jejímž expoetem je přirozeé číslo, jakož i defiici I (6,2) mociy s expoetem 0 poecháváme beze změy i pro případ, že základ o je libovolé reálé číslo. Věty I 6,1; I 6,4; I 6,5; I 6,6, které jsou důsledky obecě platých zákoů ásobeí, zůstaou v platosti. Je-li a 4= 0, je a" 4= 0 pro každé přirozeé číslo v důsledku defiice I (6,1) a věty I 3,10, která je správá pro libovolé reálé čiitele. V důsledku věty II 5,2, která zůstává správou pro reálá čísla, je pro libovolé reálé a 4= O (a libovolé přirozeé číslo ) (a-)- 1 = (a- 1 )" [viz II (5,4), kde jsme měli a mysli racioálí základ o] a toto číslo defiujeme jako mociu a~ se záporým celým expoetem. Věty II 5,4; II 5,5 a II 5,6 zůstaou v platosti, jestliže slovo racioálí ahradíme slovem reálý, jak je patré z jejich důkazů; totéž platí o vzorci II (5,16). Rověž je jasé, že v oboru reálých čísel zůstaou správé i věty II 6,4; II 6,5 (i s pozámkou II 6,6); II 6,6 a II 6,7; je to opět patré z jejich důkazů. Věta 6,1. Budiž lim a = x. Potom pro každé ezáporé celé k je lim a k = a k. Důkaz. Je-li k = 0, je a k = 1 pro všecka, x k = 1, takže pro k = 0 aše věta plye z věty 5,3. Je-li k přirozeé číslo, je aše věta podle defiice I (6,1) zvláštím případem věty 3,3 (viz pozámku 5,3). Věta 6,2. Budiž lim a = x 4= 0, a + 0 pro všecka. Potom pro každé celé k je lim a* = x k. -*co Důkaz. Pro k > Oje to obsažeo ve větě 6,1; případ k < 0 plye z vět 5,16 a 6,1. 126

37 VSta 6,3. Je-li c kladé reálé číslo, k přirozeé číslo, existuje právé jedo takové kladé reálé číslo oc, ze tx k = c. Pozámka 6,1. Je-li O < «< /S, je <x k < podle věty II 6,5, takže emůže být zároveň tx k = c, = c. Stačí tedy dokázat, že existuje aspoň jedo takové tx > 0, že <x k = c. Prví důkaz. Podle věty II 6,17 ajdeme ejprve kladé racioálí číslo 6 tak, že b k < c, a potom ke každému přirozeému číslu kladé racioálí číslo a tak, že c < a* < c +. všecka je 0 < a k c < ulová posloupost, a tedy Pro takže podle věty 2,5 je {a k c} ^ lim a* = c. (6,1) -»-a> Dokážeme, že posloupost a je kovergetí. Budiž e > 0; máme dokázat, že existuje takové přirozeé číslo N, že m a \ < e > kdykoli: m > N, > N. (6,2) Podle věty 4,7 ajdeme N tak, aby bylo (ek. b k ~ 1 )~ 1 < N, ek. 6*- 1 > N- 1 podle věty II 6,3, a tedy takže e > N' 1. (kb"- 1 )- 1. (6,3) Budiž m > N, > N\ protože am a\ = \a am\ a protože pro am = o erovost (6,2) je zřejmá, můžeme předpokládat, že am > takže můžeme položit am = ta, kde t > 1. Podle věty II 5,6 je a k m = t k a k, tedy oj, - a k = a k (t k - 1). (6,4) Podle věty II 6,16 je t k 1 ^ k(t - 1), tedy (jelikcž a k > 0) podle (6,4) a k m-a k^k. a k (t - 1). Avšak a k = a* -1. a, a(t 1) = am a, takže < - K ^ k. a k ~ 1 (am - a ). (6,5) Protože o*,<c+ < c + (viz větu II 6,3) tíh IV a protože a* > c (tedy a k < c), je a h m a k < -^.Mimoto je 0 < 6* < c < a k, takže 0 < 6 < a podle pozámky II 6,6, tedy 0 < 6* -1 <1 o* -1 podle věty II 6,5 (rovost astae pouze pro 127

38 k = 1), a tedy též b k ~ 1 (am a ) a k - x (am a), eboť am a> 0 (protože am > a). Tedy z (6,5) plye > 1 k - bk ~ 1 ( a m -a )> 0, -iš-^tfit a protqftsgfc, b k ~* > 0, dostaeme z (6,3) 0 < am a < e; tím je důkaz (6,2) dokoče. Posloupost {a } je tedy kovergetí, takže existuje reálé číslo oc = lim a, při čemž oc b > 0 podle věty 5,12, eboť a > b pro všecka. Tedy oc je kladé číslo a lim a = a; podle věty 6,1 je lim a k = oc k a porováme-li s (6,1), dostaeme oc k = c. -t-t Druhý důkaz. Podle věty 4,7 existuje takové přirozeé číslo M, že c < M. Potom je Af fc_1 přirozeé číslo, tedy M k ~ x 1, takže M k = M. M k - X > M, tedy c < M k. Je-li libovolé přirozeé číslo, uvažujeme posloupost («Mfí;- Prví čle poslouposti (*) je rove ule, je tedy meší ež c. V poslouposti (*) je však také čle (^F - který je větší ež c. Z toho plye, že existuje takové ezáporé celé číslo r (závislé a ), že () ~ C < ( ) r Položme a =, takže a k c<{a +^j. (6,6) Mimo to je z aší úvahy patré, že 0 f^l a < M pro všecka, takže posloupost {a} je omezeá a lze z í tudíž podle věty 5,7 vybrat kovergetí posloupost {6 } = {( )}, kde h() pro všecka podle věty 1,2, takže (viz větu II 6,3) b + aa() -j , a tedy podle věty II 6,5 také h() ( b + T) = ( a * () + "sžo)

39 Podle (6,6) je tedy bl c < [b + ±J. ;6,7) Posloupost {& } je kovergetí; budiž lim 6 = a, 1 e a ^ 0 podle věty 5,12. Podle věty 5,8 (viz též pozámku '2, je také lim b + -j^-j = a. Podle věty 6,1 je yí lim 6* = lim + -^-j = = a k, takže z erovostí (6,7) plye podle věty 5,12, že <x k <i c <x k, tedy <x k = c. Protože «> 0, 0* = 0 < c, je <% > 0. Věta 6,3 vede k defiici -té odmociy. Je-li o^oa je-li při rozeé číslo, azveme w-tou odmociou čísla a a ozačíme ya to číslo oí ^ 0, pro které je = a. Jelikož 0" = 0,je y<) = 0, kdežto pro a > 0 je y«to kladé číslo <x, pro které je <x = a. Číslo a se jmeuje základ eboli odmocěec, přirozeé číslo odmocitel -té odmociy ]/a ezáporého reálého čísla a. Symbol ya jsme tedy defiovali pouze pro a > 0; je-li a 0, potom rovost ]/a = «zameá, že i _ platí rovost tx = a a že mimo to je a ^ 0. Zřejmě ]/a = a pro 2 každé a ^ 0; místo ya se obyčejě píše kratčeji yo. Pozámka 6,2. Je-li přirozeé číslo sudé, potom pro a > 0 existují dvě růzá reálá čísla, jejichž -tá mocia je rova a; jedím z ich je kladé číslo ya, druhým pak záporé číslo ^ a\ ačkoli je ( 2) 2 = 4, přece eí y4 = 2. Je-li přirozeé číslo liché, potom pro každé reálé a existuje právě jedo takové reálé «, že oi = a\ pro a > 0 je «= ya, pro a < 0 však v této kize eužití váme symbolu ]/a, ýbrž píšeme <x = yja. VSta 6,4. Pro každé přirozeé číslo je]/ 0 = 0, yi = 1. Důkaz. Čísla 0 a 1 jsou ezáporá a jest 0" = 0, l = 1. Důkazy ásledujících tří vět se opírají o věty II 5,5; II 5,6 a o vzorce 0 = 0, y<) = 0 ( přirozeé číslo). l \ k - Věta 6,5. Jsou-li,k přirozeá Čísla a je-li a 0, je tya" = j 9 Ctola a pofctl výko; j 29

40 Důkaz. Budiž J/a = a, tedy oc ^ O, <x = a. Potom je a* O, (/x k ) = 0í k - <x k = (<x ) fc = a k, tedy = <x k. h l/"_ Věta 6,6. Jsou-li, k přirozeá čísla a je-li a O, je / /a -. i Důkaz. Budiž ^a = a, tedy «> O, = a. Potom je <x k O, i (<%*)" = a, tedy ]/<T= a", takže jz^a = <%. Věta 6,7. Je-ři w přirozeé číslo a je-li a ^ O, b 2l Q, je ]/a. \/b = = j/06. Důkaz. Budiž ]/a = «, = tedy a > O, /? O, * = a, = b. Potom je a/s > O, (<%/S) = a /S = ab, tedy ]/Ó6 = ocfi. I \ 1 Věta 6,8. Je-li přirozeé číslo a je-li a > O, je /a. 1 = ^a I Důkaz. Budiž j/a = «, tedy «> O, «" = a. Potom je a -1 > O,» («-i)" = (a")- 1 = a -1, a tedy ]/a~^ = oc~k» B Věta 6,9. Je-li přirozeé číslo a je-li O ^ a < b, je ^a < /6. Důkaz. Pro a = O je ám to zámo. Budiž O < a < 6, «= J/a, /Î = 1/ďT Potom je a > O, p > O, a" = a, P = b, tedy < takže ot < (i podle pozámky II 6,6. Věta 6,10. Jsou-li m, přirozeá čísla a je-li a > 1, m <, je m m ]/a > /o; je-li víafc O < o < 1, m <, je J/a < J/a. m Důkaz. Budiž = a, J/a = /S, tedy <x > O, P > O, <x m = a, P = a. Podle věty II 5,5 je <% m = a", P m = a m. Protože m < w, plye z věty II 6,7 v případě a > 1, že a m < a" eboli P m < a m, a v případě O < a < 1, že a m > a" eboli P m > a m ". Tedy podle pozámky II 6,6 je v prvím případě P < <x, ve druhém fi > <x. 130

41 Věta 6,11. Je-li k přirozeé číslo a je-li lim a = x, a O pra k _ k _ všecka, je lim ]la = ]/«. -t-m Pozámka 6,3. Podle věty 5,12 je x defiováo. 0, takže číslo ]/x máme k k _ Důkaz. Položme ]/a = b, j/x = f}, takže: 6 > 0 (pro všecka ),. 0, lim b k = } k. Budiž e libovolě daé kladé číslo. Márre dokázat, že pro skoro všecka je jedak jedak b < P +, (6,8> b > p - e. (6,9) Protože 0 <; < fi + e, je < (fi + e) k podle vět II 6,4 a II 6,5^ avšak (i k = lim 6*, takže podle věty 5,11 existuje takové přirozeé -»oo číslo Nlt že pro všecka > Nx je 6* < (/S + c)*; tedy podle pozámky II 6,6 také (6,8) platí pro všecka > Nx. [Je-li 6 = 0, je erovost (6.8) zřejmá.] Je-li p e < 0, je erovost (6,9) zřejmá. Je-li fi e > 0, je (/9 e)* < P k podle vět II 6,4 a II 6,5, a protože = = lim 6*, existuje podle věty 5,11 takové přirozeé číslo N2, že pro -v všecka > N2 je b* > (0 e) k ; tedy podle pozámky II 6,6 také (6.9) platí pro všecka > N2. k _ 7. Existece iracioálích čísel Iracioálí Číslo x jsme defiovali v 2 pomocí poslouposti {a} racioálích čísel, která je kovergetí, ale v oboru racioálích čísel emá limitu. [Při tom dvě takové poslouposti {o }, {& } defiovaly totéž iracioálí číslo právě tehdy, jestliže bylo lim (a b ) = 0.] Existece iracioálích čísel eí přímým důsledkem zvoleé defiice, plye však z toho, že jsme dokázali v II 8, že v oboru racioálích čísel žádé kladé Číslo x emá vlastost x 2 = 2, kdežto po připojeí iracioálích čísel podle věty 6,3 takové a existuje. Existeci iracioálích čísel lze prokázat moha jiými způsoby; jede zajímavý důkaz uvedeme v tomto paragrafu. Zaveďme ejprve jedo ozačeí, kterého užijeme pouze a tomto místě. Je-li elemetárí zlomek, takže a, b jsou celá Čísla, b > 0, azveme jeho výškou číslo a (je-li o > 6), číslo b (je-li b > a ),»* 131

42 a jsou-li si rova obě čísla a, b, je jim rova i výška. Výška každého elemetárího zlomku je tedy přirozeé číslo. Je-li k daé přirozeé číslo, potom elemetárí zlomek má výšku k právě tehdy, je-li čitatel a rove jedomu z 2k čísel 0, ± 1, ± 2,..., ± fc a zároveň jmeovatel rove jedomu z k čísel 1, 2 p o č e t takových elemetárích zlomků je (2k + 1) k. Některé z těchto elemetárích zlomků mohou mít výšku meší ež k; jejich počet je rove [2(k - 1) + 1](A - 1) = (2k - 1 )(k - 1) [i pro k = 1, eboť (2k 1 )(k 1) = 0 pro k = 1], Zbývá (2k + 1) k - (2k - 1 )(k - 1) = ík - 1 elemetárích zlomků, jejichž výška je rova k. Jsou tedy 3 elemetárí zlomky výšky 1, totiž j-í-, -j-, dále 7 elemetárích zlomků výšky 2, totiž ~ J' ~ y T' "2 ' ~2 ' ~2' T' P otom 11 ele ' metárích zlomků výšky 3 atd. Sadýt důsledkem této úvahy je: Věta 7,1. Existuje taková posloupost, že každé racioálí rové ékterému Čleu této poslouposti. Číslo je Neboť podle předcházejících úvah existuje posloupost, jejíž prví tři čley dávají všechy elemetárí zlomky výšky 1, dalších 7 čleů dává všecky elemetárí zlomky výšky 2, potom přijde 11 elemetárích zlomků výšky 3, 15 elemetárích zlomků výšky 4.atd. Je pak třeba pouze každý elemetárí zlomek ahradit racioálím číslem přitom můžeme předpokládat, že pro daou výšku k příslušá racioálí čísla jdou jedo po druhém v přirozeém uspořádáí. Tím dostaeme zcela určitou posloupost {«}, ve které je každý čle racioálím číslem, při čemž obráceě každé racioálí číslo je rovo ekoečě moha čleům poslouposti {«}, eboť k libovolě daému racioálímu číslu <% existuje ekoečě moho takových elemetárích zlomků že a = Je zřejmé, že z poslouposti {<* } lze vybrat posloupost {/? } tak, že každé racioálí číslo je rové právě jedomu čleu poslouposti {/? }. Sado se zjistí, že prvích 50 čleů poslouposti {/? } je 132 1, 0, 1, 2, j, j, 2, 3, J, o A 4 3 i i 3> 5» f, 2> > *> 3> T> T> T;

43 - s ' f ' *> 6 A 1 A 3 6 fí ~5> 6> 6> 6> í> 5' > > 2> 3" Nyí je vše připraveo k tomu, abychom mohli vyložit slíbeý" ový důkaz existece iracioálích čísel. Podle věty 7,1 můžeme zvolit číselou posloupost {«} tak, aby každé racioálí číslo bylo rové aspoň jedomu čleu této poslouposti. Zvolme yí dvě taková racioálí čísla t, r, že t < r; dokážeme, že existuje takové iracioálí číslo «, že t < x < t. Zavedeme rekuretě dvě poslouposti {a }, {b} racioálích čísel takto: Nejprve zvolíme ax = ř, 6X = r, takže ax < bx. Jestliže při určitém už byla zvolea racioálí čísla a, b tak, že a < b, pak zvolíme ejprve racioálí číslo a+1 tak, aby bylo a < a+1 < b, potom racioálí číslo 6+1 tak, aby bylo o+1 < 6+1 < b. Z věty II 6,11 je patré, že je to proveditelé; je dokoce možé to provést rozmaitými způsoby; podrobíme volbu čísla o+1 ještě jedé podmíce. Jestliže totiž při uvažovaém je sad a < <x < b, (7,1> kde {«} je výše zvoleá posloupost, pak volíme o+1 = «, což za předpokladu (7,1) je v souladu s tím, co dosud bylo řečeo. Jestliže při uvažovaém eplatí (7,1), pak eklademe žádou další podmíku a volbu čísla a+1. Jelikož a < a +1, 6+1 < b pro všecka, pijme z věty 1,1, že posloupost {o } je rostoucí a posloupost {b } je klesající. Mimo to pro všecka je a < b, tedy také a < blt t. j. posloupost {a} je omezeá. Tedy podle věty 5,6 existuje reálé Číslo a = lim a. (7,2) Je-li libovolě zvoleé přirozeé číslo, potom pro skoro všecka přirozeá k máme a < ak < b, takže podle věty 5,12 pro každé je b. Protože je libovolé, je také o+1 oc ^ b +,, a ježto a < a+1 < b+1 < 6, je a < x <b (7,3) pro všecka. Zejméa je < <x < bx eboli t < tx < r, takže zbývá jeom dokázat, že číslo «je iracioálí. Předpokládejme aopak, že a je racioálí. Podle defiice poslouposti {«} existuje takový idex, že oc = «. Pro teto idex pak ze (7,3) dostaeme (7,1), takže podle výše vysloveé podmíky a volbu čísla a+1 máme pro uvažovaý idex : a+1 = x. To je však emožé, eboť (7,3) platí pro libovolý idex, takže je také a+1 < «. 133

44 Právě dokočeý důkaz existece iracioálích čísel dokazuje ve skutečosti mohem víc. Nekoečou možiu M (složeou z jakýchkoli prvků) azveme spočetou, existuje-li taková posloupost {«}, že každý prvek možiy M je rove ěkterému čleu této poslouposti; ekoečou možiu M azveme espočetou, jestliže eí spočetá. Na základě této defiice můžeme větu 7,1 zovu vyslovit takto: Věta 7,2. Možia všech racioálích čísel je spočetá. Náš důkaz existece iracioálích Čísel můžeme yí doslova opakovat s tím rozdílem, že místo možiy všech racioálích čísel vezmeme libovolou spočetou možiu reálých čísel. Vyjde Věta 7,3. Možia všech reálých Čísel je espočetá. Kdyby možia všech iracioálích čísel byla spočetá, existovaly by takové dvě poslouposti al> <*2> <*3, > Pi> > že by každé racioálí Číslo bylo rovo ěkterému čleu prví a každé iracioálí Číslo ěkterému čleu druhé poslouposti. Potom by však bylo každé reálé číslo rovo ěkterému čleu poslouposti <*1> fil> a a to je emožé. Tedy platí: Věta 7,4. Možia všech iracioálích čísel je espočetá. X 3> 8. Dedekidovy řezy Možiu všech reálých čísel budeme v tomto paragrafu začit R. Nazveme Dedekidovým fezem dvojici moži [A, B] takovou, že A, B jsou dvě eprázdé disjuktí možiy, jejichž sjedoceím je možia R, při čemž se předpokládá, že platí tyto tři vlastosti: [Fj] Je-li x prvkem možiy A, y prvkem možiy B, je x < y. [V2] Jsou-li x!, x2 racioálí Čísla taková, že < x2, pak jestliže x2 áleží do A, také xt áleží do A. [F3] Jsou-li /i, y2 racioálí čísla taková, že yr < y2, pak jestliže yx áleží do B, áleží do B také y2. 134

45 Dokážeme, že všechy tři vlastosti [Fj], [F2], [F3] jsou avzájem ekvivaletí, t. j. je-li splěa jed^ z ich, jsou splěy všechy tři. Stačí dokázat za prvé, že z vlastosti [Vt] plye vlastost [F2], za druhé, že z vlastosti [F2] plye vlastost [F3], za třetí, že z vlastosti [F3] plye vlastost [FJ. Nechť platí [Fx]; máme dokázat [F2]. Jsou-li xlt x2 taková racioálí čísla, že Xj < x2 a že x2 áleží do A, máme dokázat, že také xx áleží do A. Kdyby,však aopak xl áleželo do B, pak by podle předpokládaé vlastosti [Fj] bylo x2 < x,, a to je emožé. Nechť platí [F2]; máme dokázat [F3]. Jsou-li yx, y2 taková racioálí čísla, že y-l < y2 a že yx áleží do B, máme dókázat, že také y2 áleží do B. Kdyby však aopak y2 áleželo do A, pak by podle předpokládaé vlastosti [F2] do A áleželo také číslo ylt které je meší ež y2, a to je emožé. Nechť platí [F3], máme dokázat [F^. Jsou-li x, y taková racioálí čísla, že x áleží do A, y do B, máme dokázat, že x < y. Kdyby tomu tak ebylo, pak protože možiy A, B jsou disjuktí, bylo by y < x. Ježto y áleží do B, áleželo by podle předpokládaé vlastosti [F3] do B také číslo x, které je větší ež y\ to je však emožé. Zvolme racioálí číslo <x a ozačme [1] Ax možiu všech racioálích čísel x r^. [2] Bx možiu všech racioálích čísel y > <x. Je patré, že [Aít J je Dedekidův řez a že «je ejvětším číslem možiy Ax, z věty II 6,11 plye, že v možiě Bx eí žádé číslo ejmeší. Obráceě, je-li [Au takový Dedekidův řez, že v možiě Ax existuje ejvětší číslo «, je jasé, že Ax je možia všech těch racioálích čísel x, pro která platí x <1 tx, Bx možia všech těch racioálích čísel y, pro která platí y > tx. Zvolme opět racioálí číslo «a ozačme: [1] A2 možiu všech racioálích čísel x < a, [2] B2 možiu 'všech racioálích čísel y Je patré, že [A2, 52] je Dedekidův řez a že tx je ejmeším číslem možiy B2, z věty II 6,11 plye, že v možiě A2 eí žádé číslo ejvětším. Obráceě, je-li [A2, i?2] takový Dedekidův řez, že v možiě B2 existuje ejmeší číslo x, je jasé, že A2 je možia všech těch racioálích čísel x, pro která platí x < tx, B2 možia všech těch racioálích čísel y, pro která platí y > Spojíme-li oba dosud dosažeé výsledky, vidíme, že pro žádý Dedekidův řez [A, B] eí možé, aby v možiě A existovalo ejvětší číslo <x a zároveň v možiě B ejmeší číslo /9. Totéž je přímo patré z věty II 6,11, eboť je-li [A, B] takový Dedekidův řez, je <x < i podle vlastosti [Fx] a z věty II 6,11 plye existece takového racioálího čísla y, že tx < y < Protože y je větší ež ejvětší číslo tx možiy A a zároveň meší ež ejmeší číslo /S 135

46 možiy B, eáleží racioálí číslo y ai do A, ai do B; to je však emožé, protože sjedoceím moži A, B je celá mcžia R. Nazveme mezerou v možiě R takový Dedekidův řez [A, B], že eexistuje ai ejvětší číslo možiy A, ai ejmeší číslo možiy B; tato defiice mezery v možiě R je v souladu s obecou defiicí mezery v libovolé hustě uspořádaé možiě, vyložeou v II 7. Zvolme iracioálí číslo <x a ozačme: [1] A možiu všech racioálích čísel x < «, [2] B možiu všech racioálích čísel y > a. Je patré, že [A, B] je Dedekidův řez; z věty 4,5 plye, že [A, B] je mezera v možiě R. Dokážeme yí, že mimo ty Dedekidovy řezy, jejichž složeí jsme už popsali, eexistují žádé další Dedekidovy řezy. Budiž tedy [A, B] libovolě daý Dedekidův řez; máme dokázat, že existuje takové reálé číslo že všecka racioálí čísla x < a áležejí do A, všecka racioálí y > «áležejí do B. (Číslo «samo, je-li racioálí, může áležet bud do A, ebo do B\ je-li <x iracioálí, eáleží ai do A, ai do B.) Jelikož možiy A, B ejsou prázdé, existují taková racioálí čísla o, 6, že o áleží do možiy A, b do možiy B. Podle věty II 6,9 plye z vlastostí [F2] a [F3], že existují taková celá čísla h, k, že h áleží do A, k áleží do B. Podle vlastosti [FJ je h < k. Je-li yí libovolé přirozeé číslo, uvažujme racioálí čísla h h + 1 h + 2 k h =,,,..., = K ; prví z ich áleží do A, posledí do B. Z toho plye, že existují taková racioálí čísla o, b, že 6 -a = i- (8,1) a že a áleží do možiy A, b do možiy B. Zvolme e > 0. Podle věty 4,7 existuje takové přirozeé číslo N, že N > eboli -^r < e. e N Jsou-li oba idexy m, větší ež N, pak bm = am + áleží do B, a áleží do A, takže podle vlastosti [FJ je a < am + eboli o am < podobě je am a <, a protože obě 136

47 Čísla, jsou meší ež -^r, tedy meší ež e, je Ia,~ ai < e ra to N pro m > N, > N. Tedy posloupost {a } je kovergetí; podle (8,1) však posloupost {b a} je ulová. Z toho plye, že existuje takové reálé číslo <x, že lim a = <x, lim b = <x. (8,2) Máme dokázat, že možia A obsahuje všecka racioálí čísla x < možia B všecka racioálí Čísla y > «. Je-li však x < «, pak podle (8,2) plye z věty 5,11, že a; < o pro skoro všecka TO. Protože čísla a áležejí do A, áleží také x do A podle vlastosti [T2]. Je-li y > (x, pak podle (8,2) plye z vety 5,11, že y > b pro skoro všecka TO. Protože čísla b áležejí do B, áleží také y do B podle vlastosti [F3]. Dokázali jsme, že iracioálí čísla a a mezery [ 4, B~\ v možiě R si vzájemě odpovídají tak, že každé iracioálí číslo vytvoří mezeru [A, B\, ve které A je možia všech racioálích x < <x a B je možia všech racioálích y > <x, a že obráceě každá mezera [A, B~\ je takto vytvořea určitým iracioálím číslem. Je tedy možé ztotožit iracioálí čísla s mezerami v možiě všech racioálích čísel, a to se právě děje v Dedekidově theorii reálých čísel, kterou však v této kize ebudeme probírat. 137