2 PŘEDNÁŠKA 2: ZÁKLADNÍ (MATEMATICKÝ, FYZIKÁLNÍ) APARÁT A POJMY

Transkript

1 PŘEDNÁŠKA : ZÁKLADNÍ (MATEMATICKÝ, FYZIKÁLNÍ) APARÁT A POJMY Klsická fyzik: částic vs. vlny Hmot zářní jsou v klsické fyzic popsány zcl odlišným způsobm. Hmotné objkty: loklizovné řídí s Nwtonovými pohybovými rovnicmi (částic: tomy, lktrony, ut, lodě, domy, lidé...). Zářní, pol: dloklizovné řídí s Mxwllovými polními rovnicmi (vlny: světlo, tplo, pohyb vody, rdiové signály, zvukové vlny, jko kontinuum někdy pro jdnoduchost popisujm tké vličiny diskrétní. npříkld, vod (jž s skládá z množství tomů) vzduch,...). Částic vlny spolu mohou intrgovt, l ob si ponchávjí svůj chrktr. Npříkld pol můž být vybuzno částicí (lktrické pol náboj), částic můž rgovt n pol, npř. nbitá částic v lktrickém poli td. Částic vlny jsou různé objkty, nmjí vlstnosti obou. V mkrosvětě j toto rozlišní n hmotu zářní zcl oprávněné. V mikrosvětě slhává. Hrmonický oscilátor (HO) Uvžujm njprv vlmi jdnoduchý ( fyzikálně nsmírně význmný) systém, kd systém vychýlný z rovnováhy j vrcn do rovnovážného stvu silou, ktrá j úměrná záporně vzté výchylc z rovnovážného stvu. F = k x=m =m d x =m x dt (4) Přdpokládám řšní v tvru: x= A sin t d x d k k =m Asin t = Am sin t = A k sin t = f= (5) m m dt dt j úhlová frkvnc, f j frkvnc E Amplitud: A= m E Rychlost při průchodu minimm: V = m Možno dosdit čísl z (Problm., QMCA, p., 55). Co potřbujm pro plné popsání stvu tkového oscilátoru? Polohu rychlost v určitém (libovolném) bodě. Pk j dlší vývoj HO plně určn. m 3

2 Nní přitom důlžité, jstli zpětnou sílu zjišťovl pružin, nbo tm byl ntžná gum, nbo bylo závží přithováno do rovnovážného stvu jink. Důlžité j jká síl vrcl tělso V x do rovnovážného stvu. Sílu můžm vyjádřit jko drivci tzv. potnciálu. F x = x. V přípdě HO F x = k x tdy V x = k x. Kvdrtická závislost vd n hrmonické kmity, proto pojmnování HO. Všimět si, ž u hrmonického oscilátoru nzávisí frkvnc n mplitudě! To bud vlmi důlžité dál, při kvntování nrgi. V rálném životě s vlmi čsto stkávám s HO. npř: Kmity závží n pružině Kmity v LC obvodu Mtmtické kyvdlo. Člověk n sních v dobř tvrovném údolí Elktromgntické pol v dutině bsolutně črného těls. [wikipdi: HO] d x = x = C x j HO. Cokoli, co splňuj rovnici (v tomto přípdě ntlumného) HO d t Proč j HO tk důlžitý systém? Žádný systém nní úplně linární. Al SKORO kždý fyzikální systém (i nhrmonický) můžm v dosttčné blízkosti rovnováhy hrmonickým proximovt. Tylorův rozvoj potnciálu v blízkosti rovnovážné polohy x: V x =V x x x V x x x V x O x x 3 (6) Nutná podmínk pro minimum/mximum j, ž první drivc j rovn nul druhá drivc j kldná/záporná. Proto linární čln odpdá, konstntní můž být vypuštěn, protož nic nzmění. 4

3 Fázový prostor (FP) v klsické fyzic, popis stvu Fázový prostor osvětlím n modlovém systému HO. Tkž, přdstvm si tď nějký HO, npř systém pružin-hmotnost Význm: počátční podmínky: bod n křivc, pk už znám clou křivku. Ntlumný HO vypdá jko lips, pokud by byl tlumný, skončí to kd v bodě v=,x=? Existují I mnohm komplikovnější trjktori v fázovém prostoru (Kuličk n priodicky zvlněné ploš) Toto byl jdnorozměrný HO. Pro D HO potřbuji 4 rozměry, pro 3D HO potřbuji 6 dimnzí, v tom už s ndá vyznt. Tk, tď si přdstvt, ž chci popst vývoj molkul v této místnosti. Kolik jich si j? I kdybychom dokázli tolik dimnzí, nikdy správně nzdám počátční podmínky bychom mohli dif. rov. Intgrovt.... sttistická fyzik, td. Důlžité j: Nzávisí n tom, jk j křivk složitá, jstli j uzvřná nbo nkončná, z znlosti jdnoho bodu jsm v klsické mchnic schopn s libovolnou přsnosti přdpovědět v jkém stvu s systém bud ncházt v libovolném budoucím okmžiku prostou intgrcí Nwtonových rovnic. Křivky v fázovém prostoru s nmohou protnout (co by to znmnlo?) Pozorovtlné vličiny jsou npř. (poloh, hybnost, nrgi, tplot, objm, prvděpodovnost nlzní systému v určité oblsti ) Klsická fyzik popisuj pozorovtlné (vličiny) jko funkc n prostoru stvů. Hodnoty pozorovtlných pro dný stv jsou přsně určny fyzikální zákony, určující čsový vývoj stvů, jsou popsány difrnciálními rovnicmi. Popis hmotných objktů, fyzikálního pol, zářní. 5

4 Klsická fyzik Částic Pol Fázový prostor Nwtonovy pohybové rovnic Mxwllovy polní rovnic J zřjmé, ž fázový prostor/digrm tohoto typu nmůž popst ndtrministický vývoj kvntové částic (dráhy by s njspíš protínly, nzohldňuj kvntování nrgi (npř. hrmonický oscilátor má diskrétní hodnoty, trjktorii v fázovém prostoru všk odpovídá spojitá nrgi...). Typy potnciálů s ktrými s v KM stkám Hrnonický potnciál Coulombův potnciál Končná prvoúhlá jám Nkončně hluboká prvoúhlá jám Obcný potnciál Důsldně jdnotlivé přípdy odlišujt, mjí úplně jiné vlstnosti. MATEMATICKÉ MINIMUM PRO KM Opkování toho, co jst už vít!!! Komplxní čísl Komplxní číslo j číslo, ktré má imginární část. C=x+iy. R(C)=x, Im(C)=y i j tzv. imginární jdnotk i=. Polární zápis, (mplitud r + fáz φ). C=r i Sčítání (x+iy) + (k+il) = (x+k) + i(y+l) Odčítání (x+iy) - (k+il) = (x-k) + i(y-l) Násobní: r i s i =r s i r i r i = Dělní s i s Komplxní sdružní (hvězdičk nbo pruh nd číslm). V polárním tvru C *=C =r i. (7) C C = C Ověřt ikx =cos k x i sin k x (8) [Img: Wikipdi: complx numbrs] Hilbrtův vktorový prostor jho vlstnosti: Linární vktorový prostor j množin sklárů vktorů prvidl pro sčítání násobní. Nikd nní řčno co to vlstně vktor j (hrušky, polynomy, mtic, vktory, ) QMCA, p Prvidl pro sčítání x, y, z V Součt dvou vktorů j prvkm prostoru x y V 6

5 Komuttivit sčítání x y = y x Asocitivit sčítání x y z = x y z Existnc nulového vktoru Existnc invrzního vktoru x V x, x x = Prvidl násobní, R, x, y V Součin skláru vktoru j vktor x V Distributivit x y = x y Asocitivit x = x Existnc jdnotkového nulového skláru. I x = x, x= Hilbrtův prostor H (QMCA, p. 8 dál) H j linární vktorový prostor V prostoru H j dfinovný sklární součin, ktrý j striktně pozitivní Při změně pořdí vktorů v skl. součinu j výsldk komplxně konjugovný Linrit vzhldm k druhému člnu x, y z = x, y x, z Sklární součin vktoru s sbou smým j pozitivní x, x =: x, rovnost pltí pouz pro x =. H j sprbilní (k kždému vktoru xistuj jiný, libovolně blízký vktor, kviv xistnci Cuchyovské posloupnosti) H j úplný (kždá Cuchyovská řd konvrguj k vkroru z H) Dimnz báz Množin A skládjící s z N vktorů ( x, x,..., x N ) j linárně nzávislá (LN) thdy jn N i x i= i= i thdy, jstliž. Jink j linárně závislá (LZ). i= Dimnz prostoru j rovná mximálnímu počtu linárně nzávislých vktorů, ktré v prostoru lží. Báz prostoru j (libovolná) množin mximálního počtu linárně nzávislých vktorů. Báz j ortogonální j-li sklární součin kždého vktoru báz s všmi osttními bázovými vktory rovn nul. Báz j ortonormální, pltí-li přdchozí, nvíc j norm všch bázových vktorů rovn jdné. Libovolný vktor j možno zpst jko linární kombinci vktorů báz N y V y= i x i. V prostorch nkončné dimnz j možné vktor zpst jko i= x i nbo y V y= i x i nkončnou kombinci vktorů báz: y V y= i i= Bz Příkld vktorového prostoru s sklárním součinm: Prostor v ktrém žijm (Vktorový prostor 3 trojic čísl). Dimnz: 3. Sklární součin: x, y = x i y i. Báz: množin vktorů {,, 3 }, i= ktré jsou n sb kolmé. J to tdy ortogonální báz. Jk zjistím souřdnic vktoru 7

6 z = z =, z =, z 3= v této bázi? Pomocí sklárního součinu: z = z,, z = z,, z 3= z, 3. Nová báz: { f, f, f 3 }, f=(,,), f=(,-,), f3=(,,). J tto báz ortogonální? J ortonormální? Vktorový prostor kvdrticky intgrbilních funkcí Vktor v tomto prostoru j komplxní funkc (můž nbývt komplxních hodnot) Sklární součin j intgrál (hvězdičk nbo opruhování znčí komplxní sdružní): b * f, g := f x g x d x Norm xistuj j končná, protož funkc jsou kvdrticky intgrbilní: b b f = f, f = f x f x d x = f x d x =C * (9) () Prostor kvdrticky intgrbilních funkcí j nkončněrozměrný. Několik určitých intgrálů, ktré s nám možná budou hodit: x pro > 3 3 x pro > x x x b x c 4 d x= d x= () () b 4 c d x= xp[ ] 4 pro > (3) Fourirovy řdy Fourirov trnsformc npriodické funkc Priodická funkc f(x) s priodou s dá vyjádřit pomocí Fourirovy řdy, kd n n n= f x = [ cos nx b sin nx ] n = f x cos nx dx, n 8 (4) (5)

7 b n = f x sin nx dx, n (6) Jdná s o vyjádřní funkc f(x) v bázi goniomtrických funkcí s priodou. Končný intrvl má spočtnou bázi, tdy nám stčí sum do nkončn. Co když funkc nní priodická? Fourirov trnsformc: Dopřdná FT: vlnový vktor k = : i k x (7) F k = f x dx Zpětná FT: f x = f k i k x dk Funkc ikx (8) tvoří ortogonální bázi prostoru komplxních funkcí. Báz j nspočtná. Nyní můžm s funkcmi prcovt v dvou prostorch: () přímý prostor (b) rciproký prostor nbo Fourirův prostor trnsformovných funkcí. J to vyjádřní funkc v bázi funkcí xp[ikx], podobně jko s polynomy vyjdřují v bázi polynomů jdnotlivých stupňů. Přvod funkc z jdnoho prostoru do druhého j dán Fourirovou trnsformcí 9

8 [ Zd zvdná Fourirrov trnsformc j unitární, tdy pltí: f x dx= F k dk (9) Příkld: (QMCA p. 4) (v tomto příkldu budm v dlších přdnáškách pokrčovt, budm ho nzývt PŘ) Vzměm vlnový blík suprponovný z násldujících frkvncí: 4 k = A xp[ k k /4 ] Normlizc: A= Fourirov trnsformc, výpočt j poměrně tchnicky náročný: ik x x = dk = 4 k k / 4 ikx 4 x / ik dk= Nkrslit funkci v Fourirově prostoru. J to oscilující vln s frkvncí Gusovskou obálkou cntrovnou v počátku (x=). 3 x (3) k modulovná