UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík"

Transkript

1 UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00

2 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty Tabulkový procesor Ecel Statstcké programové systémy NCSS SOLO Parametrcké testy o shodě středích hodot (t-testy)... 8 Souhr:... 5 Kotrolí otázky:... 6 Pojmy k zapamatováí: Aalýza rozptylu - jedoduché tříděí Základy leárí regrese Neparametrcké metody Zamékový test Jedovýběrový Wlcooův test Dvouvýběrový Wlcooův test Kruskalův-Wallsův test Spearmaův koefcet pořadové korelace Kotgečí tabulky - test ezávslost... 6 Lteratura - kometovaý sezam Statstcké tabulky Tabulka : Dstrbučí fukce ormovaého ormálího rozděleí... 7 Tabulka : Vybraé kvatly rozděleí Chí-kvadrát... 7 Tabulka 3: Vybraé kvatly Studetova t-rozděleí Tabulka 4: Vybraé kvatly Fsherova Sedecorova F-rozděleí Tabulka 5: Krtcké hodoty pro jedovýběrový Wlcooův test Tabulka 6: Krtcké hodoty pro dvouvýběrový Wlcooův (Maův-Whteyův) test Tabulka 7: Krtcké hodoty Spearmaova korelačího koefcetu... 77

3 Úvod Teto tet slouží jako opora pro kurs azvaý Aalýza dat. Navazuje a kurs Základy matematcké statstky. Cílem kursu je aplkovat základí statstcké zalost v relatvě jedoduchých úlohách, s mž se velm často setkáváme př aalýze emprckých dat. I když je tet apsá s co ejvětší sahou vysvětlovat uté pojmy jejch aplkac jedoduše bez zbytečých a z pohledu využtí statstckých metod okrajových podrobostí, počítejte s tím, že tet ebude oddechová četba a že spoustu věcí bude potřeba důkladě promýšlet a k moha se opakovaě vracet. V řadě lustratvích příkladů jsou užta data ze souboru BI97, která už dost dobře záte z kursu Základy matematcké statstky, zejméa z kaptoly o popsé statstce. Časovou áročost zvládutí tohoto tetu a vyřešeí zadaých příkladů lze odhadout a přblžě 40 až 60 hod. Hlaví korespodečí úlohou, kterou byste v tomto kursu měl osvědčt získaé pozatky, je aalýza vám vybraého souboru dat z vašeho okolí. Proto se poohléděte po stuac a datech, které byste chtěl statstcky zpracovat a kde jste zvědav a výsledky této aalýzy. Případé ejasost včas kozultujte s vyučujícím. Výsledky aalýzy bude pak potřeba předložt formou vytštěé stručé a přehledé zprávy v rozsahu ma. 3 stray. Ostatí korespodečí úlohy jsou zařazey a koc příslušé kaptoly. 3

4 Programové prostředky pro statstcké výpočty Tato kaptola by vám měla pomoc v oretac v programových prostředcích užívaých ve statstckých výpočtech a aalýze dat. Jsou zde uvedey společé rysy těchto softwarových produktů. Podroběj jsou zmíěy tabulkový procesor Ecel a statstcký paket NCSS, eboť s těmto produkty se ejpravděpodoběj setkáte př řešeí vašch úloh př studu a Ostravské uverstě. Př prvím čteí této kaptoly, a které by mělo stačt až 3 hody, postačí, když získáte oretac v základích problémech a obtížích, se kterým se můžete ve výpočtech a terpretac výsledků setkat. Spíše počítejte s tím, že př řešeí kokrétího problému se budete k této kaptole vracet. Podpora statstckého zpracováí dat je součástí moha obecých programových systémů oretovaých a prác s databázem, a grafcké zpracováí dat, matematckých programových prostředků (Matlab, Mathematca) a kromě toho estuje ěkolk desítek specalzovaých statstckých programových paketů. Společým rysem těchto programových prostředků jsou operace s datovou matcí, tj. dvojrozměrou tabulkou, ve které sloupce jsou velčy a řádky pozorovaé objekty. Pro prác s tabulkam jsou určey tabulkové procesory (apř. Ecel), které jsou vybavey celou řadou statstckých fukcí a grafckých prostředků. Tyto programové prostředky začě usadňují statstcké výpočty a dovolují užvatel soustředt se a správé použtí statstckých metod, kolv a výpočetí ámahu.. Tabulkový procesor Ecel Ecel je typckým představtelem tabulkových procesorů, ěkterá jeho verse je dostupá praktcky a každém počítač. Stadardí součástí Ecelu je ěkolk desítek statstckých fukcí, které mohou být užty př statstckých výpočtech. Je vybave poměrě kvaltí grafkou, která dovoluje pohodlé kresleí statstckých grafů (prozatím s výjmkou apř. krabcových dagramů a ěkterých dalších ve statstce užívaých typů grafů). Kromě toho lze Ecel rozšířt o stadardě dodávaý doplěk Aalýza dat, který pokrývá praktcky všechy metody vysvětlovaé v základích kursech statstcké aalýzy dat. Vzhledem k tomu, že Ecel je tzv. lokalzová, to zameá, že podrobá ápověda ke všem fukcím je k dspozc v čeště, a práce s tabulkovým procesory je součástí výuky předcházejících předmětů, ebudeme se jím yí podroběj zabývat. Pouze přpojujeme upozorěí a ěkteré edostatky zjštěé ve statstckých fukcích a doplňku Aalýza dat. V tetu jsou užty ctace z helpů české lokalzace Ecelu 97. 4

5 Často užívaým modulem doplňku Aalýzy dat je Hstogram. S využtím mplctího astaveí vstupích parametrů můžete dostat ásledující obrázek: Hstogram četost 5 0 četost třídy další Drobé vady a kráse hstogramu je možo omluvt. Legeda a adps Hstogram jsou zbytečé, je zabírají místo, pops vodorové osy eříká c. Sloupce ejsou ad celou šířkou tervalů, počet výzamých číslc v popsu pod sloupc je esmyslě velký. To lze apravt vhodější volbou vstupích parametrů ebo dodatečou úpravou grafu. Závažějším edostatkem však je, že hodoty popsující středy sloupců (středy jedotlvých tervalů) ejsou hodoty odpovídající středu, ale pravému okraj tervalu. Ecel 97 ěkdy selhává ve výpočtu běžých základích jedorozměrých statstk. V Ecelu je zřejmě pro výpočet výběrového rozptylu a dalších s ím souvsejících fukcí (SMODCH, SMODCH.VYBER) užt ve starších statstckých učebcích doporučovaý vzorec s ( ) Pro velké hodoty a př jejch malé varabltě je počítačová hodota výrazu v hraatých závorkách dost odlšá od skutečého součtu čtverců odchylek od průměru, př velm velkých hodotách může být dokoce záporá. Podle výsledků ěkolka testovacích příkladů lze soudt, že v Ecelu je tato možost vyřešea tak, že bez jakéhokol varováí je výsledá hodota rozptylu získaá Ecelem rova ule. 5

6 Mez statstckým fukcem jsou fukce pro výpočet hodot dstrbučích fukcí a kvatlů často užívaých rozděleí. Jeda z ch se jmeuje NORMDIST a z jejího helpu se dočteme ásledující: ápověda: NORMDIST Vrací kumulatví ormálí rozděleí se zadaou středí hodotou a směrodatou odchylkou. Tato fukce má ve statstce velm šroké použtí, včetě testováí hypotéz. Sytae NORMDIST(; průměr; směrod_odch; kumulatví) X je hodota, pro ž počítáme rozděleí. Průměr je artmetcký průměr rozděleí. Směrod_odch je směrodatá odchylka rozděleí. Kumulatví je logcká hodota, která určuje tvar fukce. Pokud kumulatví je PRAVDA, NORMDIST vrací kumulatví dstrbučí fukc; je-l NEPRAVDA, vrací pravděpodobostí míru. Pozámky... Pokud průměr 0 a směrod_odch, NORMDIST vrací stadardí ormálí rozděleí, NORMSDIST. Příklad NORMDIST(4;40;,5;PRAVDA) se rová 0, koec ápovědy. Fukce NORMDIST je stěží může vracet kumulatví ormálí rozděleí, ale z popsu lze vytušt, že tím je míěa hodota dstrbučí fukce ebo hustoty (kol pravděpodobostí míra ) ormálího rozděleí podle toho, jakou zadáme hodotu posledího vstupího parametru kumulatví. Druhý parametr je vysvětle jako artmetcký průměr rozděleí, což patrě vzklo chybým překladem aglckého termíu mea, který měl být přelože jako středí hodota. Ncméě se dočteme, že pro stadardí ormálí rozděleí (česky se říká ormalzovaé ormálí rozděleí) můžeme použít fukc NORMSDIST, která fuguje zcela podle ašeho očekáváí, NORMSDIST (.96) Podobě řádě se chová verzí fukce NORMSINV, eboť pro zadaou hodotu dstrbučí fukce vrátí správou hodotu kvatlu, apř. NORMSINV (0.05) Zkusíme-l kvatly t-rozděleí, které očekáváme pod fukcí s ázvem TINV, její druhý parametr je počet stupňů volost. K ašemu překvapeí však zjstíme, že TINV (0.05, 500) +.487, ačkol bychom očekával hodotu blízkou -.96, tj. blízkou tomuto kvatlu ormovaého ormálího rozděleí. Na další pokus můžeme alézt hodotu kvatlu podobou očekávaé alespoň co do absolutí hodoty, TINV (0.05,500) Lehce zepokoje ahlédeme do helpu fukce TINV a dočteme se: 6

7 ápověda: TINV Vrací verzí fukc k fukc TDIST pro daé stupě volost. Sytae TINV(prst; volost) Prst je pravděpodobost daého dvojstraého t-rozděleí. Volost je počet stupňů volost. Pozámky: Pokud eí ěkterý z argumetů umercký, vrací fukce TINV chybovou hodotu #HODNOTA!. Pokud je prst < 0 ebo pokud je prst >, vrací TINV chybovou hodotu #NUM!. Pokud eí argumet volost celé číslo, je a celé číslo převede. Pokud je volost <, vrací TINV chybovou hodotu #NUM!. Fukce TINV se počítá jako TINVp( t<x ), kde X je áhodá proměá, která doprovází t-rozděleí. Fukce TINV používá opakující se techku propočítáváí fukce. Se zadaou pravděpodobostí hodotou se fukce TINV opakuje dokud eí výsledek přesý a ± 30^-7. Pokud fukce TINV edosáhe požadovaého výsledku po 00 opakováích, vrací fukce chybovou hodoty #N/A. Příklad: TINV(0,054645;60) se rová,96 koec ápovědy. Některé formulace z ápovědy ás možá pobavly, ěkteré trochu vyvedly z míry ebo uvedly do pochybostí, apř. pravděpodobost daého dvojstraého t-rozděleí. Co to vůbec je pravděpodobost ějakého rozděleí a co se může skrývat pod dvojstraým t-rozděleím? Ncméě je jasé, že klíčem k pochopeí je zjstt, k jaké fukc je fukce TINV verzí a zde je uvedeo, že k fukc TDIST. Z helpu fukce TDIST zjstíme toto: ápověda: TDIST Vrátí hodotu dstrbučí fukce t Studetova rozděleí. V případě, že ezáme směrodatou odchylku základího souboru, je j možo odhadout pomocí výběrové směrodaté odchylky t. T-rozděleí je používáo př hypotetckém testováí malých vzorků dat. Sytae TDIST(; volost; stray) X je číslo, pro které hledáme hodotu dstrbučí fukce. Volost je celé číslo, ozačující počet stupňů volost. Stray určuje, zda se jedá o jedostraé č dvoustraé rozděleí. Pokud je parametr stray, vrací TDIST hodotu fukce jedostraého rozděleí. Pokud je parametr stray, vrací TDIST hodotu fukce dvojstraého rozděleí. Pozámky: Pokud eí argumet umercký, vrací fukce TDIST chybovou hodotu #HODNOTA!. Pokud je volost <, vrací TDIST chybovou hodotu #NUM!. 7

8 Argumety volost a stray jsou převáděy a celá čísla. Pokud argumet stray abývá jých hodot ež ebo, vrací TDIST chybovou hodotu #NUM!. Fukce TDIST se počítá jako TDISTp( <X ), kde X je áhodá proměá, která doprovází t-rozděleí. Příklad: TDIST(,96;60,) se rová 0, koec ápovědy. Naše dlema se jak ezmešlo, podle ápovědy se obě fukce počítají stejě, TDISTp( <X ) a TINVp( t<x ), obě fukce mají být zřejmě ějaké pravděpodobost. Ale jak mohla vyjít hodota fukce TINV větší ež jeda? Navíc TDIST jsou vlastě fukce dvě, vybíráme jedu z ch zadáím hodoty jejího třetího vstupího parametru stray. Ke které z ch je TINV verzí? Naštěstí z uvedeých příkladů a ápověd můžeme usoudt téměř s jstou, že platí ásledující vztah: TINV ( α, ) t ( α / ), kde t ( α / ) je ( α / ) -kvatl t-rozděleí s stup volost, takže ezáporé hodoty kvatlů umíme pomocí fukce TINV vyčíslt. To, že t-rozděleí je symetrcké, sad eí uté přpomíat, takže a kvatly t-rozděleí se umíme dostat v Ecelu. Roztomlost alezeme v modulech doplňku Aalýza dat pro běžé statstcké testy. Např. dvouvýběrový t-test poskyte ásledující výstup: Dvouvýběrový t-test s rovostí rozptylů Soubor Soubor stř. hodota rozptyl pozorováí 64 7 společý rozptyl hyp. rozdíl st. hodot 0 rozdíl 89 t stat P(T<t) () t krt ().6656 P(T<t) () t krt () Pro užvatele rozlšujícího mez jedostraým a oboustraým testem je výstup redudatí, užvatel mez těmto varatam erozlšujícímu tato redudace stejě epomůže. Zájem může vzbudt statstka ozačeá jako rozdíl. Skutečost, že platí rozdíl + (tedy je rove počtu stupňů volost) svádí k doměce, že zkratku df terpretoval překladatel jako aglcké dfferece a přeložl do češty. Tato chyba se vyskytuje ve většě testů mplemetovaých v doplňku Aalýza dat. 8

9 Užíváte-l pro statstcké výpočty Ecel, vždy velm pečlvě zkoumejte, co vlastě vám ve výsledcích Ecel poskytuje a výstupy z Ecelu, zejméa z jeho české lokalzovaé verse, epřeášejte bez rozmyslu do svých prezetací a dokumetů. 9

10 . Statstcké programové systémy Statstckých programů komerčě šířeých estuje velké možství. Jako ejpopulárější příklady můžeme zmít SPSS, SAS, S-Plus, Statstca, Stata, Mtab, Ustat ebo NCSS. To jsou tzv. obecé, tj. pokrývají celou škálu statstckých metod, jé jsou specalzovaé a aalýzu ěkterých dat (časové řady, kategorálí data ap.). Všechy statstcké programy však mají tyto základí fukce: mport dat (vstup datové tabulky přpraveé v jém programovém prostředku, třeba v Ecelu ebo v Accesu) mapulace s daty (trasformace, uspořádávaí dat, výběry podmož datové matce, spojováí datových matc) základí deskrptví statstky grafcké prostředky ukládáí dat k sadému využtí pro další zpracováí (tzv. savefle) eport dat (ve formátech vhodých pro jé programové prostředky) presetace výsledků ve formě souborů pro další zpracováí tetovým procesory Ovládáí statstckých programů je v současé době možé většou přes meu a koy podobě jako u ostatích programových produktů pracujících pod Wdows, dříve převažovalo ovládáí pomocí příkazového jazyka, které bylo poěkud áročější pro epravdelého užvatele ebo začátečíka. Vzhledem k tomu, že Ostravská uversta je vybavea statstckým pakety SOLO a NCSS, zaměříme se a tyto produkty podroběj... NCSS Ozačeí NCSS je zkratka ázvu Number Crucher Statstcal Systems. Autorem tohoto statstckého paketu je Jerry L. Htze, stejě jako zámého paketu SOLO. V NCSS lze ostatě ávazost a SOLO sado vystopovat, zejméa v paletě metod a ve struktuře a orgazac výstupů. NCSS je uversálí statstcký paket, doporučovaý zejméa užvatelůmestatstkům. Pokrývá však aprostou většu požadavků velm sofstkovaé statstcké aalýzy dat. Ovládá se pomocí výběru z meu. NCSS komukuje stylem abízím, co pravděpodobě můžete ebo máte v daé stuac požadovat, pokud vám to evyhovuje, musíte to vyjádřt. Výsledky (tetový grafcký výstup společě) jsou ve formátu RTF (Rch Tet Format) a tedy sado mportovatelé do běžých tetových procesorů. Základy ovládáí NCSS lustrují ásledující obrázky. Výběrem z meu přepíáme mez pracovím oky se zpracovávaým daty, okem tzv. šablo (templates), ve kterém specfkujeme vstupí parametry zvoleé aalytcké procedury, okem 0

11 aktuálích výsledků a okem tzv. LOG souboru s výsledky pro trvalé uložeí po ukočeí sezeí. Hlaví způsob ovládáí je výběr z meu a vyplňováí formulářů pomocí myš, v mohém podobé prác s tabulkovým procesory. Vyplěé šabloy lze uložt pro opakovaé použtí. Do LOG souboru se ukládají pouze ty výsledky, které užvatel uloží eplctě, jak jsou ztracey a oko aktuálích výsledků je přepsováo ásledující spuštěou procedurou. Zadáváí trasformací velč a sdružováí kategorí je jedoduché, spuštěí výpočtu je pro podmožu případů je možé, ale poměrě komplkovaé, je potřeba defovat logckou podmíku vybírá podmožy pomocí fukce FILTER a př všech výpočtech teto fltr pak aktvovat ve vstupích parametrech výpočtu. Pokud úloha vyžaduje komplkovaější předzpracováí dat, je většou výhodé toto předzpracováí udělat jým programovým prostředkem apř. Ecelem a data pak do NCSS mportovat. Import a eport moha běžých formátů dat je součástí NCSS. Tabulka s datovou matcí se lší od Ecelu v tom, že ázvy velč jsou v ázvech sloupců a a velčy apř. př zadáváí vstupích parametrů výpočtu do šabloy se odkazujeme pomocí jejch jme.

12 Kromě datové matce máme k dspozc lst s ázvy velč, ve kterém můžeme ázvy velč upravovat a také zadávat artmetcké výrazy pro výpočet odvozeých velč (trasformace). Šablou pro zadáváí trasformací otevřeme z položky Data v hlavím meu, odkud lze otevřít šablou pro astaveí a aktvac fltru:

13 Požadovaé výpočty se zadávají volbou z meu, apř. zde z položky Aalyss hlavího meu rozbalíme skupy mplemetovaých statstckých metod: 3

14 Vyplěím šabloy se vstupím parametry výpočtu je možé specfkovat úroveň podrobost a formát výstupu. Výstup je pak ve formátu RTF v okě aktuálího výstupu: 4

15 Podobě volbou Graphcs v hlavím meu otevřeme abídku grafckých procedur. U všech těchto procedur je možé specfkovat obsah vzhled grafckých výstupů: 5

16 Součástí fukcí NCSS je tzv. pravděpodobostí kalkulátor, který ahrazuje obsáhlé statstcké tabulky: Výhodou NCSS je sadé ovládáí pomocí meu, pohodlá práce s méě rozsáhlým daty, vysoká grafcká kvalta výstupů jejch sadý mport do tetových procesorů. K dspozc je podrobá ápověda ve formě kompletího mauálu v aglčtě. Pomocí NCSS byly zpracováy ěkteré výsledky a grafy v těchto skrptech. Přestože NCSS je kvaltí ástroj pro statstckou aalýzu dat a dovolí vám velm rychlou a efektví prác, ale eí, ostatě jako žádý jý statstcký program, pojstkou prot chybám v aplkacích statstky... SOLO Nyí už poěkud zapomeutý paket SOLO je uversálí programový statstcký paket pracující pod operačím systémem MS DOS a s mmálím ároky a hardware. Pro užvatele programu SOLO je k dspozc český mauál v khově Ostravské uversty. Ovládá se pomocí meu a vyplňováí formulářů z klávesce. Ve srováí s NCSS je horší kvalta výstupů, eboť výsledky v programu SOLO jsou ukládáy do tetových (ASCII) souborů a obtížější práce s grafckým výstupy. V abídce základích statstckých metod jsou oba pakety srovatelé. 6

17 Př užíváí statstckých programových prostředků věujte pozorost převodům zpracovávaých dat mez růzým programovým prostředky. Častým zdrojem obtíží př tomto převodu (bývá ozačová také jako mport a eport dat) mohou být zejméa chybějící hodoty v datech, které emusí být předvedey správě. Pokud data obsahují desetá čísla, můžou vkout potíže př eshodách oddělovače desetých míst (čárka ebo tečka). Proto př operacích eportu a mportu dat byste vždy měl zkotrolovat prví a posledí řádek datové matce a základí popsé charakterstky převáděého souboru, abyste tak s vysokou pravděpodobostí mohl vyloučt echtěou změu v datech způsobeou esprávým převodem. Ze špatých dat elze získat dobré výsledky. Statstcká aalýza dat s dobrým programovým vybaveím je v aprosté většě případů duševě áročá čost vyžadující soustředěí a obezřetost. Dovedost ovládáí statstckého software představuje je meší část požadavků kladeých a řeštele úlohy. Kotrolí otázky:. Jaká je obvyklá struktura dat zpracovávaá statstckým programy?. Co je to mport dat a jaká jsou jeho úskalí? 3. Jaké jsou výhody a evýhody Ecelu ve srováí se specalzovaým statstckým pakety? 4. Na datech ze souboru BI97 s vyzkoušejte základí statstcké fukce a doplěk Aalýza dat. Pojmy k zapamatováí: statstcká data, jejch struktura obvyklé fukce ve statstckých paketech mport a eport dat statstcké fukce v Ecelu a jejch edostatky doplěk Ecelu Aalýza dat 7

18 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot (t-testy) Jedovýběrový oboustraý t-test jsme podrobě vysvětll v učebím tetu Základy matematcké statstky (odst. 4.3) a doporučujeme tam základy testováí hypotéz zovu s přpomeout. Oboustraá alteratva H : µ 75 cm však eí jedá možá formulace alteratví hypotézy. Máme-l k dspozc ějakou aprorí formac o středí hodotě sledovaé populace, apř. studet jsou od mládí dobře žve a tedy jejch výška má větší středí hodotu ež 75 cm, můžeme zformulovat alteratvu jedostraě: H 0 : µ 75 cm H : µ > 75 cm (tzv. pravostraá alteratva) Další postup testu bude zcela aalogcký jako u oboustraého testu, pouze krtcký obor bude jý, totž W t ( α), ). Nulovou hypotézu můžeme zamítout ve prospěch této alteratvy tehdy, když výběrový průměr je o hodě větší ež 75, přesěj vyjádřeo, když pro hodotu testového krtéra platí 75 t( α ). s / Vdíme, že pravděpodobost eoprávěého zamítutí ulové hypotézy je opět rova hladě výzamost α. Tím, že jsme alteratvu formuloval s využtím ějaké aprorí formace, stačí k zamítutí ulové hypotézy, aby hodota testového krtera byla alespoň t( α ), v ašem příkladu t 5 ( 095, ) 75,. Zcela aalogcky, pokud bychom měl k tomu důvod, můžeme formulovat levostraou alteratvu H :µ < 75 cm. Pak krtcký obor je ( W, t( α ). Obecě př užíváí testů, zejméa jedostraých, je vhodé ejdříve formulovat alteratvu ve tvaru obsahujícím tvrzeí, které bychom chtěl prokázat. Pak pokud ulovou hypotézu zamíteme, máme téměř jstotu (s rzkem rovým α ), že tvrzeí vyjádřeé alteratví hypotézou je pravdvé. Často užívaým testem je dvouvýběrový t-test. Předpokládejme, že máme dva ezávslé výběry o rozsahu, resp., ze dvou ormálě rozděleých populací, prví populace má rozděleí N ( µ, σ ), druhá N ( µ, σ ). Z kaptoly 4. víme - vz rov , že když ezámé parametry můžeme považovat za shodé, tedy shodý), pak áhodá velča σ, σ σ σ σ (rozptyl v obou populacích je 8

19 T ( µ µ ) ( ) + ( ) s s + + ~ t + Chceme-l testovat hypotézu, že středí hodoty v obou populacích jsou shodé, tj. H 0 : µ µ prot ěkteré z alteratv H : µ µ (oboustraá alteratva) H : µ < µ (levostraá alteratva) H : µ > µ (pravostraá alteratva) užjeme testovou statstku T eq ( ) + ( ) s s + +, () která má za platost ulové hypotézy Studetovo t-rozděleí s stup volost. + Pokud rozptyly v obou populacích ejsou shodé, tj. hypotézy o shodě středích hodot statstka σ σ, je pro test T oeq s s + () která má přblžě t-rozděleí s ν stup volost, kde počet stupňů volost ν se určí podle vztahu ν s s + s + s Zameá to tedy, že př testováí ulové hypotézy o shodě středích hodot se musíme rozhodout, zda je splě předpoklad o shodě rozptylů, tj. σ σ σ ebo eí a podle toho volt testové krterum daé výrazem () 9

20 ebo (). Toto rozhodutí provedeme testem hypotézy H 0 : alteratvě H: σ σ. σ σ prot Pokud aše výběry o rozsazích, jsou z ormálě rozděleých populací, N ( µ, σ ), N ( µ, σ ), platí (vz 4.-5) ( ) s σ ~ χ a ( ) s ~ χ σ a také platí (vz odst ) s s / σ / σ ~ F, Za platost ulové hypotézy σ σ má testová statstka F toto rozděleí: s ~ F, s F (3) Lze se dohodout, že deováí výběrů zvolíme tak, aby platlo s s, praktcky to zameá. ve jmeovatel bude meší z obou výběrových rozptylů. Pak krtckým oborem bude ) W F, ( α), +, (4) jým slovy, hypotézu o shodě rozptylů σ σ zamíteme, když poměr výběrových rozptylů bude podstatě větší ež jeda. Stuac lustruje ásledující obrázek, F 59 6 ( 0, 95), 804., 0

21 hustota F-rozděleí f() α 0, Př testováí hypotéz obvykle používáme statstcký software. Př dvouvýběrovém t-testu je ve výsledcích (NCSS, SOLO) vyhodoce jak výraz () tak výraz () a je a ás, abychom s vybral správou část výsledku pro terpretac. Postup s ukážeme a příkladu Příklad : Máme posoudt, zda středí hodota velčy K (data BI97, vz kaptola ) jsou stejé v populac odrůdy odrůdy. Použjeme program NCSS, z meu Aalyss vybereme T-Tests, z ch Twosample. Zadáme K jako Respose varable a velču Odruda jako Group varable (tato velča rozděluje pozorováí do dvou skup) a dostaeme výstup, který zde uvedeme ve zkráceé podobě. Varable k Descrptve Statstcs Secto Stadard 95% LCL 95% UCL Varable Cout Mea Devato of Mea of Mea odruda odruda Equal-Varace T-Test Secto Alteratve Prob Decso Power Power Hypothess T-Value Level (5%) (Alpha.05) (Alpha.0) Dfferece <> Reject Ho Dfferece < Accept Ho Dfferece > Reject Ho Dfferece: (odruda)-(odruda) Asp-Welch Uequal-Varace Test Secto Alteratve Prob Decso Power Power

22 Hypothess T-Value Level (5%) (Alpha.05) (Alpha.0) Dfferece <> Reject Ho Dfferece < Accept Ho Dfferece > Reject Ho Dfferece: (odruda)-(odruda) Tests of Assumptos Secto Assumpto Value Probablty Decso(5%) Skewess Normalty (odruda) Caot reject ormalty Skewess Normalty (odruda) Caot reject ormalty Varace-Rato Equal-Varace Test Caot reject equal varaces Plots Secto 0.00 Bo Plot 7.00 k G Groups G I zkráceý výstup je dost obsažý a apoprvé ám dá trochu práce se v ěm oretovat a správě terpretovat výsledky. Naším úkolem je testovat ulovou hypotézu o shodě středích hodot prot oboustraé alteratvě, tj. H 0 : µ µ H : µ µ Stejou ulovou alteratví hypotézu můžeme formulovat takto: H 0 : µ µ 0 H : µ µ 0 Této formulac odpovídá forma výsledků, kde se objevuje rozdíl středích hodot (dfferece). Ještě se musíme rozhodout, zda máme pro aše rozhodováí užít statstku T eq defovaou rov. () ebo statstku T oeq defovaou rov.(), čl který odstavec z výsledků se ás týká, zda Equal varaces secto ebo Uequal varaces secto. Musíme rozhodout, zda můžeme považovat za splěý předpoklad o shodě rozptylů v obou populacích č kolv. K tomuto rozhodutí ám poslouží test hypotézy H 0 : σ σ prot alteratvě H: σ σ. Jeho výsledky alezeme v odstavc testů předpokladů (Tests of Assumptos) a řádku Varace-Rato Equal-Varace Test. Tam alezeme hodotu testové statstky spočteé podle vztahu (3) a kromě toho také tzv. výzamost této hodoty, která je uvedea ve sloupc Probablty. Tato výzamost (probablty, ěkdy ozačovaá také p-value, prob-level ebo krátce p) je často užívaou charakterstkou, která usadňuje terpretac výsledků. V případě jedostraého

23 testu, a to teto test je, vz rov. (4), udává pravděpodobost, že za platost ulové hypotézy bude mít testová statstka hodotu větší ež spočítaou z výběru, tedy v ašem příkladu p P( X 5556, ) 0, 9. Smysl p v tomto příkladu v jých jedostraých testech vysvětluje ásledující obrázek. hustota F-rozděleí f() ,5556 p 0, Je zřejmé, že pokud platí, p α, ulovou hypotézu zamítáme, jak ezamítáme. Jelkož v ašem příkladu vyšlo p 0,9, tedy větší ež obvykle voleá hlada výzamost α 005,, přjímáme představu o shodě rozptylů v obou populacích, σ σ. Proto statstka pro test hypotézy o rovost středích hodot obou populací je statstka Teq defovaá rovcí (). Její hodotu alezeme ve výsledcích v odstavc Equal-Varace T-Test. Její hodota je,7 a u í je uvedea odpovídající hodota p. Jelkož ale v tomto případě se jedá o oboustraý test, p udává pravděpodobost, že za platost ulové hypotézy bude absolutí hodota testové statstky větší ebo rova absolutí hodotě statstky spočítaé z výběru, tedy v ašem příkladu p P( X, 7) 0, 03. Jedoduše řečeo, u oboustraých testů zamítáme ulovou hypotézu, je-l hodota testové statstky buď velm velká ebo velm malá. Opět pokud platí, že p α, ulovou hypotézu zamítáme. Názorě stuac vdíme a ásledujícím obrázku. 3

24 f ( ) p / p / 0 Jelkož v uvedeém příkladu je p 003,, hypotézu o shodě středích hodot, tedy µ µ 0, a hladě výzamost α 005, zamítáme. Pokud bychom předem z ějakých důvodů zvoll hladu výzamost α 00,, aše výběrová data by ám eposkytovala důvod ulovou hypotézu zamítout. Obecě můžeme říc, že počítačové výstupy výsledků statstckých testů s uvedeým hodotam p usadňují terpretac v tom, že epotřebujeme pro určováí krtckého oboru statstcké tabulky. To, zda vypočteá statstka je č eí v krtckém oboru, pozáme bezprostředě z hodoty p: Je-l p α, víme, že hodota testového krtera je v krtckém oboru, pokud p > α, hodota testového krtera v krtckém oboru eí. V uvedeém dvouvýběrovém t-testu se vychází z předpokladu, že oba výběry jsou z ormálě rozděleých populací. Splěí tohoto předpokladu eí tak důležté, pokud rozsahy obou výběrů jsou dost velké. Jak víme z odstavce o cetrálí lmtí větě, př dostatečě velkém počtu pozorováí má testové krterum U s s + (5) ormovaé ormálí rozděleí N(0,) a př velkém počtu stupňů volost se tvar t-rozděleí přblžuje rozděleí N(0,). Pro velké rozsahy výběrů hodoty testových statstk () a () se přblžují hodotě daé rov. (5). Tudíž statstku U můžeme pak použít pro test hypotézy o shodě středích hodot dvou populací lbovolého rozděleí. 4

25 Dalším často užívaým t-testem je tzv. párový t-test. Obecě o párových testech hovoříme tehdy, když máme pro vybraé objekty změřey dvojce hodot, apř. délka levé a pravé kočety, kreví tlak před a po podáí léku, stupeň opotřebeí pravé a levé peumatky atd. Ve statstce je tato stuace ozačováa jako dva závslé výběry stejého rozsahu. Máme-l tedy dva závslé áhodé výběry ( X, X,, ) ( ) X, Y, Y,, Y, můžeme zjstt rozdíly těchto výběrových hodot D X Y a spočítat výběrové statstky velčy D, průměr d a rozptyl s d. Př testu hypotézy o shodě středích hodot velč X a Y, tedy H0 : µ µ 0 vlastě testujeme, zda středí hodota velčy D je ulová. To je stuace, kterou už záme z jedovýběrového t-testu. Testovým krterem pro test této hypotézy je T p s d d /, (6) která má rozděleí t -. Podobě jako u jedovýběrového testu může být alteratví hypotéza formulováa jako oboustraá ebo jedostraá. Př párovém testu můžeme ulovou hypotézu formulovat eje tak, že středí hodoty obou velč jsou shodé, ale tak, že jejch rozdíl je rove hodotě a, H 0 : µ µ a. Pak testovou statstkou je T p d a, (7) s / d která opět za platost ulové hypotézy má rozděleí t -. Souhr: Statstcký test hypotézy se užívá k rozhodováí za ejstoty. Rozhodujeme mez ulovou hypotézou a alteratvou. Jsou dva druhy chybého rozhodutí. Pravděpodobost chyby I. druhu př testu volíme předem (hlada výzamost). Test hypotézy je aalogcký rozhodováí soudu, ale rozdíl je v tom, že pravděpodobost chyby prvího druhu je u statstckých testů záma, dokoce j zvolíme. Krtcký obor test závsí a tom, jak je zformulováa alteratva. 5

26 Kotrolí otázky:. Proč testy o parametrech jsou rozhodováí v ejstotě?. Vysvětlete rozdíl mez chybou prvího a druhého druhu. 3. Proč je zamítutí ulové hypotézy pro praktcké rozhodováí užtečější výsledek ež ezamítutí ulové hypotézy? 4. Kdy můžeme formulovat jedostraou alteratvu? Jakou ám to pak přáší výhodu? 5. Čím se lší párový t-test od jedovýběrového t-testu? Pojmy k zapamatováí: statstcké testováí hypotéz ulová hypotéza, alteratva chyby prvího a druhého druhu hlada výzamost síla testu testová statstka (krterum) krtcký obor jedovýběrový t-test dvouvýběrový t-test párové testy, párový t-test hodota testové statstky a odpovídající p-value Korespodečí úloha č. Vygeerujte v Ecelu áhodý výběr o rozsahu 000 z ormálě rozděleé populace se středí hodotou 6 a rozptylem. Návod: Z cetrálí lmtí věty víte, že součet áhodých čísel z rovoměrého rozděleí a tervalu (0,) tj. získaých v Ecelu fukcí NAHCIS má přblžě ormálí rozděleí. Vygeerujte tedy tabulku o 000 řádcích a k sloupcích s áhodým čísly z rovoměrého rozděleí a tervalu (0,) a výběr z ormálího rozděleí pak můžete získat jako řádkové součty ve sloupc k + v této tabulce. Z vlastostí spojtého rovoměrého rozděleí určete, jak velký počet sloupců k potřebujete, abyste dostal výběr z populace se středí hodotou 6 a rozptylem. a) akreslete hstogram velčy v prvím sloupc vaší tabulky a hstogram velčy v (k+)-ím sloupc vaší tabulky b) testujte hypotézu, že výběr v (k+)-ím sloupc je z populace se středí hodotou 6 (užjte jedovýběrový t-test) c) opakujte celý postup 00 krát (využjte opakováí výpočtu v Ecelu stskem klávesy F9) a zjstěte relatví četost zamítutí ulové hypotézy. Zdůvoděte zjštěé výsledky. 6

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH ÚVOD... 3 PROGRAMOVÉ PROSTŘEDKY PRO STATISTICKÉ VÝPOČTY... 4. TABULKOVÝ PROCESOR EXCEL...4.

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

Úvod do teorie měření

Úvod do teorie měření Uverzta Jaa Evagelsty Purkyě v Ústí ad Labem Přírodovědecká fakulta Úvod do teore měřeí Prof. Chlář emář 0 Průměr, rozptyl a směrodatá odchylka X = X = ( X X ) = = = Výpočty pomocí vzorců a pomocí statstckých

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

12. Neparametrické hypotézy

12. Neparametrické hypotézy . Neparametrcké hypotézy V této část se budeme zabývat specálí částí teore statstckých hypotéz tzv. eparametrckým hypotézam ebo jak řečeo eparametrckým statstckým testy. Neparametrcké se azývají proto,

Více

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Statistika - vícerozměrné metody

Statistika - vícerozměrné metody Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

P1: Úvod do experimentálních metod

P1: Úvod do experimentálních metod P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

Jednoduchá lineární regrese

Jednoduchá lineární regrese Jedoduchá leárí regrese Motvace: Cíl regresí aalýz - popsat závslost hodot velč Y a hodotách velč X. Nutost vřešeí dvou problémů: a) jaký tp fukce se použje k popsu daé závslost; b) jak se staoví kokrétí

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 Tvorba eleárího regresího modelu Postup tvorby eleárího regresího modelu se dá rozčlet do těchto kroků: Návrh regresího modelu Obvykle se jako eleárí regresí model používá

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:

Více

11. Popisná statistika

11. Popisná statistika . Popsá statstka.. Pozámka: Př statstckém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákotost, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statstcké jedotky. Př

Více

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí

Více

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2 Iterpolace pomocí sple křvky dáo: bodů v rově úkol: alézt takovou křvku, která daým body prochází y f f 2 f 0 f x0 x... x 2 x x Iterpolace pomocí sple křvky evýhodou polyomálí terpolace změa ěkterého z

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

Statistická analýza dat

Statistická analýza dat INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031

Více

Výsledky této ásti regresní analýzy jsou asto na výstupu z poítae prezentovány ve form tabulky analýzy rozptylu.

Výsledky této ásti regresní analýzy jsou asto na výstupu z poítae prezentovány ve form tabulky analýzy rozptylu. Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cveí 4 JEDNODUCHÁ LINEÁRNÍ REGRESE asto chceme prozkoumat vztah mez dvma velam, kde jeda z ch, tzv. ezávsle promá x, má ovlvovat druhou, tzv. závsle promou Y. edpokládá

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

11. Regresní analýza. Čas ke studiu kapitoly: 60 minut. Cíl VÝKLAD Úvod

11. Regresní analýza. Čas ke studiu kapitoly: 60 minut. Cíl VÝKLAD Úvod . egresí aalýza Čas ke studu kaptoly: 6 mut Cíl Po prostudováí tohoto odstavce udete umět vysvětlt pojem oecý leárí model prcp leárího regresího modelu používat výsledky regresí aalýzy verfkovat regresí

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší

Více

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č.

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č. Evropská federace árodích asocací měřcích, zkušebích a aalytckých laboratoří Techcká zpráva č. /006 Srpe 006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek T e c h c k á z p r á v a EUROLAB

Více

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA Fakulta elektrotechky a formatky TATITIKA. ZÁKLADNÍ OJMY. Náhodý pokus a áhodý jev NÁHODNÝ OKU proces realzace souboru podmíek kde výsledek emůžeme předem ovlvt. - výsledek áhodého pokusu. - jev, který

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

Metody statistické analýzy. doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Metody statistické analýzy. doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. Metody statstcké aalýzy doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Bakoví sttut vysoká škola, a.s. Praha 0 METODY STATISTICKÉ ANALÝZY Autor: Recezet: Vydal: Tsk: Vydáí: doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. doc. Ig. Jří Trešl,

Více

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat 4. Korelace 4. Teoretcké základy korelace 4. Způsoby měřeí závslostí pro růzé typy dat Př prác se statstckým údaj se velm často setkáváme s daty, která jsou tvořea dvojcem, trojcem hodot. Složky takovýchto

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Testování hypotéz. 3.1 Základní pojmy a obecný postup při testování

Testování hypotéz. 3.1 Základní pojmy a obecný postup při testování Lekce 3 Testováí hypotéz Vlajkovou lodí matematcké statstky jsou techky testováí hypotéz. Formulace hypotéz a jejch ověřováí jsou základím mechasmem postupu ldského pozáí. Pokud jsou formace, potřebé k

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hyotéz Př statstckých šetřeích se často setkáváme s roblémy tohoto druhu () Máme zjstt, zda dva daé vzorky ocházejí z téhož ZS. () Máme rozhodout, zda rozdíly hodot růměrů (res. roztylů)

Více

KVALITA REGRESNÍHO MODELU Radek Fajfr

KVALITA REGRESNÍHO MODELU Radek Fajfr UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA EKONOMICKO-SPRÁVNÍ KVALITA REGRESNÍHO MODELU Radek Fajfr Bakalářská práce 00 Prohlášeí Tuto prác jsem vypracoval samostatě. Veškeré lterárí pramey a formace, které jsem v

Více

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné CHYBY MĚŘENÍ Opakovaé měřeí téže fyzkáí večy evede vždy k přesě stejým výsedkům. Této skutečost bychom se evyhu, kdybychom měřeí provádě s ejvětší důkadostí a precsostí aopak, čím ctvější a přesější jsou

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Téma III..3, pracoví list 3 Techická měřeí v MS Ecel Průměry a četosti, odchylky změřeých hodot. Ig. Jiří Chobot

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více