UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík"

Transkript

1 UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00

2 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty Tabulkový procesor Ecel Statstcké programové systémy NCSS SOLO Parametrcké testy o shodě středích hodot (t-testy)... 8 Souhr:... 5 Kotrolí otázky:... 6 Pojmy k zapamatováí: Aalýza rozptylu - jedoduché tříděí Základy leárí regrese Neparametrcké metody Zamékový test Jedovýběrový Wlcooův test Dvouvýběrový Wlcooův test Kruskalův-Wallsův test Spearmaův koefcet pořadové korelace Kotgečí tabulky - test ezávslost... 6 Lteratura - kometovaý sezam Statstcké tabulky Tabulka : Dstrbučí fukce ormovaého ormálího rozděleí... 7 Tabulka : Vybraé kvatly rozděleí Chí-kvadrát... 7 Tabulka 3: Vybraé kvatly Studetova t-rozděleí Tabulka 4: Vybraé kvatly Fsherova Sedecorova F-rozděleí Tabulka 5: Krtcké hodoty pro jedovýběrový Wlcooův test Tabulka 6: Krtcké hodoty pro dvouvýběrový Wlcooův (Maův-Whteyův) test Tabulka 7: Krtcké hodoty Spearmaova korelačího koefcetu... 77

3 Úvod Teto tet slouží jako opora pro kurs azvaý Aalýza dat. Navazuje a kurs Základy matematcké statstky. Cílem kursu je aplkovat základí statstcké zalost v relatvě jedoduchých úlohách, s mž se velm často setkáváme př aalýze emprckých dat. I když je tet apsá s co ejvětší sahou vysvětlovat uté pojmy jejch aplkac jedoduše bez zbytečých a z pohledu využtí statstckých metod okrajových podrobostí, počítejte s tím, že tet ebude oddechová četba a že spoustu věcí bude potřeba důkladě promýšlet a k moha se opakovaě vracet. V řadě lustratvích příkladů jsou užta data ze souboru BI97, která už dost dobře záte z kursu Základy matematcké statstky, zejméa z kaptoly o popsé statstce. Časovou áročost zvládutí tohoto tetu a vyřešeí zadaých příkladů lze odhadout a přblžě 40 až 60 hod. Hlaví korespodečí úlohou, kterou byste v tomto kursu měl osvědčt získaé pozatky, je aalýza vám vybraého souboru dat z vašeho okolí. Proto se poohléděte po stuac a datech, které byste chtěl statstcky zpracovat a kde jste zvědav a výsledky této aalýzy. Případé ejasost včas kozultujte s vyučujícím. Výsledky aalýzy bude pak potřeba předložt formou vytštěé stručé a přehledé zprávy v rozsahu ma. 3 stray. Ostatí korespodečí úlohy jsou zařazey a koc příslušé kaptoly. 3

4 Programové prostředky pro statstcké výpočty Tato kaptola by vám měla pomoc v oretac v programových prostředcích užívaých ve statstckých výpočtech a aalýze dat. Jsou zde uvedey společé rysy těchto softwarových produktů. Podroběj jsou zmíěy tabulkový procesor Ecel a statstcký paket NCSS, eboť s těmto produkty se ejpravděpodoběj setkáte př řešeí vašch úloh př studu a Ostravské uverstě. Př prvím čteí této kaptoly, a které by mělo stačt až 3 hody, postačí, když získáte oretac v základích problémech a obtížích, se kterým se můžete ve výpočtech a terpretac výsledků setkat. Spíše počítejte s tím, že př řešeí kokrétího problému se budete k této kaptole vracet. Podpora statstckého zpracováí dat je součástí moha obecých programových systémů oretovaých a prác s databázem, a grafcké zpracováí dat, matematckých programových prostředků (Matlab, Mathematca) a kromě toho estuje ěkolk desítek specalzovaých statstckých programových paketů. Společým rysem těchto programových prostředků jsou operace s datovou matcí, tj. dvojrozměrou tabulkou, ve které sloupce jsou velčy a řádky pozorovaé objekty. Pro prác s tabulkam jsou určey tabulkové procesory (apř. Ecel), které jsou vybavey celou řadou statstckých fukcí a grafckých prostředků. Tyto programové prostředky začě usadňují statstcké výpočty a dovolují užvatel soustředt se a správé použtí statstckých metod, kolv a výpočetí ámahu.. Tabulkový procesor Ecel Ecel je typckým představtelem tabulkových procesorů, ěkterá jeho verse je dostupá praktcky a každém počítač. Stadardí součástí Ecelu je ěkolk desítek statstckých fukcí, které mohou být užty př statstckých výpočtech. Je vybave poměrě kvaltí grafkou, která dovoluje pohodlé kresleí statstckých grafů (prozatím s výjmkou apř. krabcových dagramů a ěkterých dalších ve statstce užívaých typů grafů). Kromě toho lze Ecel rozšířt o stadardě dodávaý doplěk Aalýza dat, který pokrývá praktcky všechy metody vysvětlovaé v základích kursech statstcké aalýzy dat. Vzhledem k tomu, že Ecel je tzv. lokalzová, to zameá, že podrobá ápověda ke všem fukcím je k dspozc v čeště, a práce s tabulkovým procesory je součástí výuky předcházejících předmětů, ebudeme se jím yí podroběj zabývat. Pouze přpojujeme upozorěí a ěkteré edostatky zjštěé ve statstckých fukcích a doplňku Aalýza dat. V tetu jsou užty ctace z helpů české lokalzace Ecelu 97. 4

5 Často užívaým modulem doplňku Aalýzy dat je Hstogram. S využtím mplctího astaveí vstupích parametrů můžete dostat ásledující obrázek: Hstogram četost 5 0 četost třídy další Drobé vady a kráse hstogramu je možo omluvt. Legeda a adps Hstogram jsou zbytečé, je zabírají místo, pops vodorové osy eříká c. Sloupce ejsou ad celou šířkou tervalů, počet výzamých číslc v popsu pod sloupc je esmyslě velký. To lze apravt vhodější volbou vstupích parametrů ebo dodatečou úpravou grafu. Závažějším edostatkem však je, že hodoty popsující středy sloupců (středy jedotlvých tervalů) ejsou hodoty odpovídající středu, ale pravému okraj tervalu. Ecel 97 ěkdy selhává ve výpočtu běžých základích jedorozměrých statstk. V Ecelu je zřejmě pro výpočet výběrového rozptylu a dalších s ím souvsejících fukcí (SMODCH, SMODCH.VYBER) užt ve starších statstckých učebcích doporučovaý vzorec s ( ) Pro velké hodoty a př jejch malé varabltě je počítačová hodota výrazu v hraatých závorkách dost odlšá od skutečého součtu čtverců odchylek od průměru, př velm velkých hodotách může být dokoce záporá. Podle výsledků ěkolka testovacích příkladů lze soudt, že v Ecelu je tato možost vyřešea tak, že bez jakéhokol varováí je výsledá hodota rozptylu získaá Ecelem rova ule. 5

6 Mez statstckým fukcem jsou fukce pro výpočet hodot dstrbučích fukcí a kvatlů často užívaých rozděleí. Jeda z ch se jmeuje NORMDIST a z jejího helpu se dočteme ásledující: ápověda: NORMDIST Vrací kumulatví ormálí rozděleí se zadaou středí hodotou a směrodatou odchylkou. Tato fukce má ve statstce velm šroké použtí, včetě testováí hypotéz. Sytae NORMDIST(; průměr; směrod_odch; kumulatví) X je hodota, pro ž počítáme rozděleí. Průměr je artmetcký průměr rozděleí. Směrod_odch je směrodatá odchylka rozděleí. Kumulatví je logcká hodota, která určuje tvar fukce. Pokud kumulatví je PRAVDA, NORMDIST vrací kumulatví dstrbučí fukc; je-l NEPRAVDA, vrací pravděpodobostí míru. Pozámky... Pokud průměr 0 a směrod_odch, NORMDIST vrací stadardí ormálí rozděleí, NORMSDIST. Příklad NORMDIST(4;40;,5;PRAVDA) se rová 0, koec ápovědy. Fukce NORMDIST je stěží může vracet kumulatví ormálí rozděleí, ale z popsu lze vytušt, že tím je míěa hodota dstrbučí fukce ebo hustoty (kol pravděpodobostí míra ) ormálího rozděleí podle toho, jakou zadáme hodotu posledího vstupího parametru kumulatví. Druhý parametr je vysvětle jako artmetcký průměr rozděleí, což patrě vzklo chybým překladem aglckého termíu mea, který měl být přelože jako středí hodota. Ncméě se dočteme, že pro stadardí ormálí rozděleí (česky se říká ormalzovaé ormálí rozděleí) můžeme použít fukc NORMSDIST, která fuguje zcela podle ašeho očekáváí, NORMSDIST (.96) Podobě řádě se chová verzí fukce NORMSINV, eboť pro zadaou hodotu dstrbučí fukce vrátí správou hodotu kvatlu, apř. NORMSINV (0.05) Zkusíme-l kvatly t-rozděleí, které očekáváme pod fukcí s ázvem TINV, její druhý parametr je počet stupňů volost. K ašemu překvapeí však zjstíme, že TINV (0.05, 500) +.487, ačkol bychom očekával hodotu blízkou -.96, tj. blízkou tomuto kvatlu ormovaého ormálího rozděleí. Na další pokus můžeme alézt hodotu kvatlu podobou očekávaé alespoň co do absolutí hodoty, TINV (0.05,500) Lehce zepokoje ahlédeme do helpu fukce TINV a dočteme se: 6

7 ápověda: TINV Vrací verzí fukc k fukc TDIST pro daé stupě volost. Sytae TINV(prst; volost) Prst je pravděpodobost daého dvojstraého t-rozděleí. Volost je počet stupňů volost. Pozámky: Pokud eí ěkterý z argumetů umercký, vrací fukce TINV chybovou hodotu #HODNOTA!. Pokud je prst < 0 ebo pokud je prst >, vrací TINV chybovou hodotu #NUM!. Pokud eí argumet volost celé číslo, je a celé číslo převede. Pokud je volost <, vrací TINV chybovou hodotu #NUM!. Fukce TINV se počítá jako TINVp( t<x ), kde X je áhodá proměá, která doprovází t-rozděleí. Fukce TINV používá opakující se techku propočítáváí fukce. Se zadaou pravděpodobostí hodotou se fukce TINV opakuje dokud eí výsledek přesý a ± 30^-7. Pokud fukce TINV edosáhe požadovaého výsledku po 00 opakováích, vrací fukce chybovou hodoty #N/A. Příklad: TINV(0,054645;60) se rová,96 koec ápovědy. Některé formulace z ápovědy ás možá pobavly, ěkteré trochu vyvedly z míry ebo uvedly do pochybostí, apř. pravděpodobost daého dvojstraého t-rozděleí. Co to vůbec je pravděpodobost ějakého rozděleí a co se může skrývat pod dvojstraým t-rozděleím? Ncméě je jasé, že klíčem k pochopeí je zjstt, k jaké fukc je fukce TINV verzí a zde je uvedeo, že k fukc TDIST. Z helpu fukce TDIST zjstíme toto: ápověda: TDIST Vrátí hodotu dstrbučí fukce t Studetova rozděleí. V případě, že ezáme směrodatou odchylku základího souboru, je j možo odhadout pomocí výběrové směrodaté odchylky t. T-rozděleí je používáo př hypotetckém testováí malých vzorků dat. Sytae TDIST(; volost; stray) X je číslo, pro které hledáme hodotu dstrbučí fukce. Volost je celé číslo, ozačující počet stupňů volost. Stray určuje, zda se jedá o jedostraé č dvoustraé rozděleí. Pokud je parametr stray, vrací TDIST hodotu fukce jedostraého rozděleí. Pokud je parametr stray, vrací TDIST hodotu fukce dvojstraého rozděleí. Pozámky: Pokud eí argumet umercký, vrací fukce TDIST chybovou hodotu #HODNOTA!. Pokud je volost <, vrací TDIST chybovou hodotu #NUM!. 7

8 Argumety volost a stray jsou převáděy a celá čísla. Pokud argumet stray abývá jých hodot ež ebo, vrací TDIST chybovou hodotu #NUM!. Fukce TDIST se počítá jako TDISTp( <X ), kde X je áhodá proměá, která doprovází t-rozděleí. Příklad: TDIST(,96;60,) se rová 0, koec ápovědy. Naše dlema se jak ezmešlo, podle ápovědy se obě fukce počítají stejě, TDISTp( <X ) a TINVp( t<x ), obě fukce mají být zřejmě ějaké pravděpodobost. Ale jak mohla vyjít hodota fukce TINV větší ež jeda? Navíc TDIST jsou vlastě fukce dvě, vybíráme jedu z ch zadáím hodoty jejího třetího vstupího parametru stray. Ke které z ch je TINV verzí? Naštěstí z uvedeých příkladů a ápověd můžeme usoudt téměř s jstou, že platí ásledující vztah: TINV ( α, ) t ( α / ), kde t ( α / ) je ( α / ) -kvatl t-rozděleí s stup volost, takže ezáporé hodoty kvatlů umíme pomocí fukce TINV vyčíslt. To, že t-rozděleí je symetrcké, sad eí uté přpomíat, takže a kvatly t-rozděleí se umíme dostat v Ecelu. Roztomlost alezeme v modulech doplňku Aalýza dat pro běžé statstcké testy. Např. dvouvýběrový t-test poskyte ásledující výstup: Dvouvýběrový t-test s rovostí rozptylů Soubor Soubor stř. hodota rozptyl pozorováí 64 7 společý rozptyl hyp. rozdíl st. hodot 0 rozdíl 89 t stat P(T<t) () t krt ().6656 P(T<t) () t krt () Pro užvatele rozlšujícího mez jedostraým a oboustraým testem je výstup redudatí, užvatel mez těmto varatam erozlšujícímu tato redudace stejě epomůže. Zájem může vzbudt statstka ozačeá jako rozdíl. Skutečost, že platí rozdíl + (tedy je rove počtu stupňů volost) svádí k doměce, že zkratku df terpretoval překladatel jako aglcké dfferece a přeložl do češty. Tato chyba se vyskytuje ve většě testů mplemetovaých v doplňku Aalýza dat. 8

9 Užíváte-l pro statstcké výpočty Ecel, vždy velm pečlvě zkoumejte, co vlastě vám ve výsledcích Ecel poskytuje a výstupy z Ecelu, zejméa z jeho české lokalzovaé verse, epřeášejte bez rozmyslu do svých prezetací a dokumetů. 9

10 . Statstcké programové systémy Statstckých programů komerčě šířeých estuje velké možství. Jako ejpopulárější příklady můžeme zmít SPSS, SAS, S-Plus, Statstca, Stata, Mtab, Ustat ebo NCSS. To jsou tzv. obecé, tj. pokrývají celou škálu statstckých metod, jé jsou specalzovaé a aalýzu ěkterých dat (časové řady, kategorálí data ap.). Všechy statstcké programy však mají tyto základí fukce: mport dat (vstup datové tabulky přpraveé v jém programovém prostředku, třeba v Ecelu ebo v Accesu) mapulace s daty (trasformace, uspořádávaí dat, výběry podmož datové matce, spojováí datových matc) základí deskrptví statstky grafcké prostředky ukládáí dat k sadému využtí pro další zpracováí (tzv. savefle) eport dat (ve formátech vhodých pro jé programové prostředky) presetace výsledků ve formě souborů pro další zpracováí tetovým procesory Ovládáí statstckých programů je v současé době možé většou přes meu a koy podobě jako u ostatích programových produktů pracujících pod Wdows, dříve převažovalo ovládáí pomocí příkazového jazyka, které bylo poěkud áročější pro epravdelého užvatele ebo začátečíka. Vzhledem k tomu, že Ostravská uversta je vybavea statstckým pakety SOLO a NCSS, zaměříme se a tyto produkty podroběj... NCSS Ozačeí NCSS je zkratka ázvu Number Crucher Statstcal Systems. Autorem tohoto statstckého paketu je Jerry L. Htze, stejě jako zámého paketu SOLO. V NCSS lze ostatě ávazost a SOLO sado vystopovat, zejméa v paletě metod a ve struktuře a orgazac výstupů. NCSS je uversálí statstcký paket, doporučovaý zejméa užvatelůmestatstkům. Pokrývá však aprostou většu požadavků velm sofstkovaé statstcké aalýzy dat. Ovládá se pomocí výběru z meu. NCSS komukuje stylem abízím, co pravděpodobě můžete ebo máte v daé stuac požadovat, pokud vám to evyhovuje, musíte to vyjádřt. Výsledky (tetový grafcký výstup společě) jsou ve formátu RTF (Rch Tet Format) a tedy sado mportovatelé do běžých tetových procesorů. Základy ovládáí NCSS lustrují ásledující obrázky. Výběrem z meu přepíáme mez pracovím oky se zpracovávaým daty, okem tzv. šablo (templates), ve kterém specfkujeme vstupí parametry zvoleé aalytcké procedury, okem 0

11 aktuálích výsledků a okem tzv. LOG souboru s výsledky pro trvalé uložeí po ukočeí sezeí. Hlaví způsob ovládáí je výběr z meu a vyplňováí formulářů pomocí myš, v mohém podobé prác s tabulkovým procesory. Vyplěé šabloy lze uložt pro opakovaé použtí. Do LOG souboru se ukládají pouze ty výsledky, které užvatel uloží eplctě, jak jsou ztracey a oko aktuálích výsledků je přepsováo ásledující spuštěou procedurou. Zadáváí trasformací velč a sdružováí kategorí je jedoduché, spuštěí výpočtu je pro podmožu případů je možé, ale poměrě komplkovaé, je potřeba defovat logckou podmíku vybírá podmožy pomocí fukce FILTER a př všech výpočtech teto fltr pak aktvovat ve vstupích parametrech výpočtu. Pokud úloha vyžaduje komplkovaější předzpracováí dat, je většou výhodé toto předzpracováí udělat jým programovým prostředkem apř. Ecelem a data pak do NCSS mportovat. Import a eport moha běžých formátů dat je součástí NCSS. Tabulka s datovou matcí se lší od Ecelu v tom, že ázvy velč jsou v ázvech sloupců a a velčy apř. př zadáváí vstupích parametrů výpočtu do šabloy se odkazujeme pomocí jejch jme.

12 Kromě datové matce máme k dspozc lst s ázvy velč, ve kterém můžeme ázvy velč upravovat a také zadávat artmetcké výrazy pro výpočet odvozeých velč (trasformace). Šablou pro zadáváí trasformací otevřeme z položky Data v hlavím meu, odkud lze otevřít šablou pro astaveí a aktvac fltru:

13 Požadovaé výpočty se zadávají volbou z meu, apř. zde z položky Aalyss hlavího meu rozbalíme skupy mplemetovaých statstckých metod: 3

14 Vyplěím šabloy se vstupím parametry výpočtu je možé specfkovat úroveň podrobost a formát výstupu. Výstup je pak ve formátu RTF v okě aktuálího výstupu: 4

15 Podobě volbou Graphcs v hlavím meu otevřeme abídku grafckých procedur. U všech těchto procedur je možé specfkovat obsah vzhled grafckých výstupů: 5

16 Součástí fukcí NCSS je tzv. pravděpodobostí kalkulátor, který ahrazuje obsáhlé statstcké tabulky: Výhodou NCSS je sadé ovládáí pomocí meu, pohodlá práce s méě rozsáhlým daty, vysoká grafcká kvalta výstupů jejch sadý mport do tetových procesorů. K dspozc je podrobá ápověda ve formě kompletího mauálu v aglčtě. Pomocí NCSS byly zpracováy ěkteré výsledky a grafy v těchto skrptech. Přestože NCSS je kvaltí ástroj pro statstckou aalýzu dat a dovolí vám velm rychlou a efektví prác, ale eí, ostatě jako žádý jý statstcký program, pojstkou prot chybám v aplkacích statstky... SOLO Nyí už poěkud zapomeutý paket SOLO je uversálí programový statstcký paket pracující pod operačím systémem MS DOS a s mmálím ároky a hardware. Pro užvatele programu SOLO je k dspozc český mauál v khově Ostravské uversty. Ovládá se pomocí meu a vyplňováí formulářů z klávesce. Ve srováí s NCSS je horší kvalta výstupů, eboť výsledky v programu SOLO jsou ukládáy do tetových (ASCII) souborů a obtížější práce s grafckým výstupy. V abídce základích statstckých metod jsou oba pakety srovatelé. 6

17 Př užíváí statstckých programových prostředků věujte pozorost převodům zpracovávaých dat mez růzým programovým prostředky. Častým zdrojem obtíží př tomto převodu (bývá ozačová také jako mport a eport dat) mohou být zejméa chybějící hodoty v datech, které emusí být předvedey správě. Pokud data obsahují desetá čísla, můžou vkout potíže př eshodách oddělovače desetých míst (čárka ebo tečka). Proto př operacích eportu a mportu dat byste vždy měl zkotrolovat prví a posledí řádek datové matce a základí popsé charakterstky převáděého souboru, abyste tak s vysokou pravděpodobostí mohl vyloučt echtěou změu v datech způsobeou esprávým převodem. Ze špatých dat elze získat dobré výsledky. Statstcká aalýza dat s dobrým programovým vybaveím je v aprosté většě případů duševě áročá čost vyžadující soustředěí a obezřetost. Dovedost ovládáí statstckého software představuje je meší část požadavků kladeých a řeštele úlohy. Kotrolí otázky:. Jaká je obvyklá struktura dat zpracovávaá statstckým programy?. Co je to mport dat a jaká jsou jeho úskalí? 3. Jaké jsou výhody a evýhody Ecelu ve srováí se specalzovaým statstckým pakety? 4. Na datech ze souboru BI97 s vyzkoušejte základí statstcké fukce a doplěk Aalýza dat. Pojmy k zapamatováí: statstcká data, jejch struktura obvyklé fukce ve statstckých paketech mport a eport dat statstcké fukce v Ecelu a jejch edostatky doplěk Ecelu Aalýza dat 7

18 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot (t-testy) Jedovýběrový oboustraý t-test jsme podrobě vysvětll v učebím tetu Základy matematcké statstky (odst. 4.3) a doporučujeme tam základy testováí hypotéz zovu s přpomeout. Oboustraá alteratva H : µ 75 cm však eí jedá možá formulace alteratví hypotézy. Máme-l k dspozc ějakou aprorí formac o středí hodotě sledovaé populace, apř. studet jsou od mládí dobře žve a tedy jejch výška má větší středí hodotu ež 75 cm, můžeme zformulovat alteratvu jedostraě: H 0 : µ 75 cm H : µ > 75 cm (tzv. pravostraá alteratva) Další postup testu bude zcela aalogcký jako u oboustraého testu, pouze krtcký obor bude jý, totž W t ( α), ). Nulovou hypotézu můžeme zamítout ve prospěch této alteratvy tehdy, když výběrový průměr je o hodě větší ež 75, přesěj vyjádřeo, když pro hodotu testového krtéra platí 75 t( α ). s / Vdíme, že pravděpodobost eoprávěého zamítutí ulové hypotézy je opět rova hladě výzamost α. Tím, že jsme alteratvu formuloval s využtím ějaké aprorí formace, stačí k zamítutí ulové hypotézy, aby hodota testového krtera byla alespoň t( α ), v ašem příkladu t 5 ( 095, ) 75,. Zcela aalogcky, pokud bychom měl k tomu důvod, můžeme formulovat levostraou alteratvu H :µ < 75 cm. Pak krtcký obor je ( W, t( α ). Obecě př užíváí testů, zejméa jedostraých, je vhodé ejdříve formulovat alteratvu ve tvaru obsahujícím tvrzeí, které bychom chtěl prokázat. Pak pokud ulovou hypotézu zamíteme, máme téměř jstotu (s rzkem rovým α ), že tvrzeí vyjádřeé alteratví hypotézou je pravdvé. Často užívaým testem je dvouvýběrový t-test. Předpokládejme, že máme dva ezávslé výběry o rozsahu, resp., ze dvou ormálě rozděleých populací, prví populace má rozděleí N ( µ, σ ), druhá N ( µ, σ ). Z kaptoly 4. víme - vz rov , že když ezámé parametry můžeme považovat za shodé, tedy shodý), pak áhodá velča σ, σ σ σ σ (rozptyl v obou populacích je 8

19 T ( µ µ ) ( ) + ( ) s s + + ~ t + Chceme-l testovat hypotézu, že středí hodoty v obou populacích jsou shodé, tj. H 0 : µ µ prot ěkteré z alteratv H : µ µ (oboustraá alteratva) H : µ < µ (levostraá alteratva) H : µ > µ (pravostraá alteratva) užjeme testovou statstku T eq ( ) + ( ) s s + +, () která má za platost ulové hypotézy Studetovo t-rozděleí s stup volost. + Pokud rozptyly v obou populacích ejsou shodé, tj. hypotézy o shodě středích hodot statstka σ σ, je pro test T oeq s s + () která má přblžě t-rozděleí s ν stup volost, kde počet stupňů volost ν se určí podle vztahu ν s s + s + s Zameá to tedy, že př testováí ulové hypotézy o shodě středích hodot se musíme rozhodout, zda je splě předpoklad o shodě rozptylů, tj. σ σ σ ebo eí a podle toho volt testové krterum daé výrazem () 9

20 ebo (). Toto rozhodutí provedeme testem hypotézy H 0 : alteratvě H: σ σ. σ σ prot Pokud aše výběry o rozsazích, jsou z ormálě rozděleých populací, N ( µ, σ ), N ( µ, σ ), platí (vz 4.-5) ( ) s σ ~ χ a ( ) s ~ χ σ a také platí (vz odst ) s s / σ / σ ~ F, Za platost ulové hypotézy σ σ má testová statstka F toto rozděleí: s ~ F, s F (3) Lze se dohodout, že deováí výběrů zvolíme tak, aby platlo s s, praktcky to zameá. ve jmeovatel bude meší z obou výběrových rozptylů. Pak krtckým oborem bude ) W F, ( α), +, (4) jým slovy, hypotézu o shodě rozptylů σ σ zamíteme, když poměr výběrových rozptylů bude podstatě větší ež jeda. Stuac lustruje ásledující obrázek, F 59 6 ( 0, 95), 804., 0

21 hustota F-rozděleí f() α 0, Př testováí hypotéz obvykle používáme statstcký software. Př dvouvýběrovém t-testu je ve výsledcích (NCSS, SOLO) vyhodoce jak výraz () tak výraz () a je a ás, abychom s vybral správou část výsledku pro terpretac. Postup s ukážeme a příkladu Příklad : Máme posoudt, zda středí hodota velčy K (data BI97, vz kaptola ) jsou stejé v populac odrůdy odrůdy. Použjeme program NCSS, z meu Aalyss vybereme T-Tests, z ch Twosample. Zadáme K jako Respose varable a velču Odruda jako Group varable (tato velča rozděluje pozorováí do dvou skup) a dostaeme výstup, který zde uvedeme ve zkráceé podobě. Varable k Descrptve Statstcs Secto Stadard 95% LCL 95% UCL Varable Cout Mea Devato of Mea of Mea odruda odruda Equal-Varace T-Test Secto Alteratve Prob Decso Power Power Hypothess T-Value Level (5%) (Alpha.05) (Alpha.0) Dfferece <> Reject Ho Dfferece < Accept Ho Dfferece > Reject Ho Dfferece: (odruda)-(odruda) Asp-Welch Uequal-Varace Test Secto Alteratve Prob Decso Power Power

22 Hypothess T-Value Level (5%) (Alpha.05) (Alpha.0) Dfferece <> Reject Ho Dfferece < Accept Ho Dfferece > Reject Ho Dfferece: (odruda)-(odruda) Tests of Assumptos Secto Assumpto Value Probablty Decso(5%) Skewess Normalty (odruda) Caot reject ormalty Skewess Normalty (odruda) Caot reject ormalty Varace-Rato Equal-Varace Test Caot reject equal varaces Plots Secto 0.00 Bo Plot 7.00 k G Groups G I zkráceý výstup je dost obsažý a apoprvé ám dá trochu práce se v ěm oretovat a správě terpretovat výsledky. Naším úkolem je testovat ulovou hypotézu o shodě středích hodot prot oboustraé alteratvě, tj. H 0 : µ µ H : µ µ Stejou ulovou alteratví hypotézu můžeme formulovat takto: H 0 : µ µ 0 H : µ µ 0 Této formulac odpovídá forma výsledků, kde se objevuje rozdíl středích hodot (dfferece). Ještě se musíme rozhodout, zda máme pro aše rozhodováí užít statstku T eq defovaou rov. () ebo statstku T oeq defovaou rov.(), čl který odstavec z výsledků se ás týká, zda Equal varaces secto ebo Uequal varaces secto. Musíme rozhodout, zda můžeme považovat za splěý předpoklad o shodě rozptylů v obou populacích č kolv. K tomuto rozhodutí ám poslouží test hypotézy H 0 : σ σ prot alteratvě H: σ σ. Jeho výsledky alezeme v odstavc testů předpokladů (Tests of Assumptos) a řádku Varace-Rato Equal-Varace Test. Tam alezeme hodotu testové statstky spočteé podle vztahu (3) a kromě toho také tzv. výzamost této hodoty, která je uvedea ve sloupc Probablty. Tato výzamost (probablty, ěkdy ozačovaá také p-value, prob-level ebo krátce p) je často užívaou charakterstkou, která usadňuje terpretac výsledků. V případě jedostraého

23 testu, a to teto test je, vz rov. (4), udává pravděpodobost, že za platost ulové hypotézy bude mít testová statstka hodotu větší ež spočítaou z výběru, tedy v ašem příkladu p P( X 5556, ) 0, 9. Smysl p v tomto příkladu v jých jedostraých testech vysvětluje ásledující obrázek. hustota F-rozděleí f() ,5556 p 0, Je zřejmé, že pokud platí, p α, ulovou hypotézu zamítáme, jak ezamítáme. Jelkož v ašem příkladu vyšlo p 0,9, tedy větší ež obvykle voleá hlada výzamost α 005,, přjímáme představu o shodě rozptylů v obou populacích, σ σ. Proto statstka pro test hypotézy o rovost středích hodot obou populací je statstka Teq defovaá rovcí (). Její hodotu alezeme ve výsledcích v odstavc Equal-Varace T-Test. Její hodota je,7 a u í je uvedea odpovídající hodota p. Jelkož ale v tomto případě se jedá o oboustraý test, p udává pravděpodobost, že za platost ulové hypotézy bude absolutí hodota testové statstky větší ebo rova absolutí hodotě statstky spočítaé z výběru, tedy v ašem příkladu p P( X, 7) 0, 03. Jedoduše řečeo, u oboustraých testů zamítáme ulovou hypotézu, je-l hodota testové statstky buď velm velká ebo velm malá. Opět pokud platí, že p α, ulovou hypotézu zamítáme. Názorě stuac vdíme a ásledujícím obrázku. 3

24 f ( ) p / p / 0 Jelkož v uvedeém příkladu je p 003,, hypotézu o shodě středích hodot, tedy µ µ 0, a hladě výzamost α 005, zamítáme. Pokud bychom předem z ějakých důvodů zvoll hladu výzamost α 00,, aše výběrová data by ám eposkytovala důvod ulovou hypotézu zamítout. Obecě můžeme říc, že počítačové výstupy výsledků statstckých testů s uvedeým hodotam p usadňují terpretac v tom, že epotřebujeme pro určováí krtckého oboru statstcké tabulky. To, zda vypočteá statstka je č eí v krtckém oboru, pozáme bezprostředě z hodoty p: Je-l p α, víme, že hodota testového krtera je v krtckém oboru, pokud p > α, hodota testového krtera v krtckém oboru eí. V uvedeém dvouvýběrovém t-testu se vychází z předpokladu, že oba výběry jsou z ormálě rozděleých populací. Splěí tohoto předpokladu eí tak důležté, pokud rozsahy obou výběrů jsou dost velké. Jak víme z odstavce o cetrálí lmtí větě, př dostatečě velkém počtu pozorováí má testové krterum U s s + (5) ormovaé ormálí rozděleí N(0,) a př velkém počtu stupňů volost se tvar t-rozděleí přblžuje rozděleí N(0,). Pro velké rozsahy výběrů hodoty testových statstk () a () se přblžují hodotě daé rov. (5). Tudíž statstku U můžeme pak použít pro test hypotézy o shodě středích hodot dvou populací lbovolého rozděleí. 4

25 Dalším často užívaým t-testem je tzv. párový t-test. Obecě o párových testech hovoříme tehdy, když máme pro vybraé objekty změřey dvojce hodot, apř. délka levé a pravé kočety, kreví tlak před a po podáí léku, stupeň opotřebeí pravé a levé peumatky atd. Ve statstce je tato stuace ozačováa jako dva závslé výběry stejého rozsahu. Máme-l tedy dva závslé áhodé výběry ( X, X,, ) ( ) X, Y, Y,, Y, můžeme zjstt rozdíly těchto výběrových hodot D X Y a spočítat výběrové statstky velčy D, průměr d a rozptyl s d. Př testu hypotézy o shodě středích hodot velč X a Y, tedy H0 : µ µ 0 vlastě testujeme, zda středí hodota velčy D je ulová. To je stuace, kterou už záme z jedovýběrového t-testu. Testovým krterem pro test této hypotézy je T p s d d /, (6) která má rozděleí t -. Podobě jako u jedovýběrového testu může být alteratví hypotéza formulováa jako oboustraá ebo jedostraá. Př párovém testu můžeme ulovou hypotézu formulovat eje tak, že středí hodoty obou velč jsou shodé, ale tak, že jejch rozdíl je rove hodotě a, H 0 : µ µ a. Pak testovou statstkou je T p d a, (7) s / d která opět za platost ulové hypotézy má rozděleí t -. Souhr: Statstcký test hypotézy se užívá k rozhodováí za ejstoty. Rozhodujeme mez ulovou hypotézou a alteratvou. Jsou dva druhy chybého rozhodutí. Pravděpodobost chyby I. druhu př testu volíme předem (hlada výzamost). Test hypotézy je aalogcký rozhodováí soudu, ale rozdíl je v tom, že pravděpodobost chyby prvího druhu je u statstckých testů záma, dokoce j zvolíme. Krtcký obor test závsí a tom, jak je zformulováa alteratva. 5

26 Kotrolí otázky:. Proč testy o parametrech jsou rozhodováí v ejstotě?. Vysvětlete rozdíl mez chybou prvího a druhého druhu. 3. Proč je zamítutí ulové hypotézy pro praktcké rozhodováí užtečější výsledek ež ezamítutí ulové hypotézy? 4. Kdy můžeme formulovat jedostraou alteratvu? Jakou ám to pak přáší výhodu? 5. Čím se lší párový t-test od jedovýběrového t-testu? Pojmy k zapamatováí: statstcké testováí hypotéz ulová hypotéza, alteratva chyby prvího a druhého druhu hlada výzamost síla testu testová statstka (krterum) krtcký obor jedovýběrový t-test dvouvýběrový t-test párové testy, párový t-test hodota testové statstky a odpovídající p-value Korespodečí úloha č. Vygeerujte v Ecelu áhodý výběr o rozsahu 000 z ormálě rozděleé populace se středí hodotou 6 a rozptylem. Návod: Z cetrálí lmtí věty víte, že součet áhodých čísel z rovoměrého rozděleí a tervalu (0,) tj. získaých v Ecelu fukcí NAHCIS má přblžě ormálí rozděleí. Vygeerujte tedy tabulku o 000 řádcích a k sloupcích s áhodým čísly z rovoměrého rozděleí a tervalu (0,) a výběr z ormálího rozděleí pak můžete získat jako řádkové součty ve sloupc k + v této tabulce. Z vlastostí spojtého rovoměrého rozděleí určete, jak velký počet sloupců k potřebujete, abyste dostal výběr z populace se středí hodotou 6 a rozptylem. a) akreslete hstogram velčy v prvím sloupc vaší tabulky a hstogram velčy v (k+)-ím sloupc vaší tabulky b) testujte hypotézu, že výběr v (k+)-ím sloupc je z populace se středí hodotou 6 (užjte jedovýběrový t-test) c) opakujte celý postup 00 krát (využjte opakováí výpočtu v Ecelu stskem klávesy F9) a zjstěte relatví četost zamítutí ulové hypotézy. Zdůvoděte zjštěé výsledky. 6

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Statistika - vícerozměrné metody

Statistika - vícerozměrné metody Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

Jednoduchá lineární regrese

Jednoduchá lineární regrese Jedoduchá leárí regrese Motvace: Cíl regresí aalýz - popsat závslost hodot velč Y a hodotách velč X. Nutost vřešeí dvou problémů: a) jaký tp fukce se použje k popsu daé závslost; b) jak se staoví kokrétí

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

Statistická analýza dat

Statistická analýza dat INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Výsledky této ásti regresní analýzy jsou asto na výstupu z poítae prezentovány ve form tabulky analýzy rozptylu.

Výsledky této ásti regresní analýzy jsou asto na výstupu z poítae prezentovány ve form tabulky analýzy rozptylu. Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cveí 4 JEDNODUCHÁ LINEÁRNÍ REGRESE asto chceme prozkoumat vztah mez dvma velam, kde jeda z ch, tzv. ezávsle promá x, má ovlvovat druhou, tzv. závsle promou Y. edpokládá

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č.

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č. Evropská federace árodích asocací měřcích, zkušebích a aalytckých laboratoří Techcká zpráva č. /006 Srpe 006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek T e c h c k á z p r á v a EUROLAB

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA Fakulta elektrotechky a formatky TATITIKA. ZÁKLADNÍ OJMY. Náhodý pokus a áhodý jev NÁHODNÝ OKU proces realzace souboru podmíek kde výsledek emůžeme předem ovlvt. - výsledek áhodého pokusu. - jev, který

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Aktivita 1 Seminář základů statistiky a workshop (Prof. Ing. Milan Palát, CSc., Ing. Kristina Somerlíková, Ph.D.)

Aktivita 1 Seminář základů statistiky a workshop (Prof. Ing. Milan Palát, CSc., Ing. Kristina Somerlíková, Ph.D.) Aktvta Semář základů tattky a workhop (Prof. Ig. Mla Palát, CSc., Ig. Krta Somerlíková, Ph.D.) Stattcké tříděí Základí metoda tattckého zpracováí. Sekupováí hodot proměé, které jou z hledka klafkačího

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU

APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA PODNIKATELSKÁ ÚSTAV FINANCÍ FACULTY OF BUSINESS AND MANAGEMENT INSTITUTE OF FINANCES APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

VŠB Technická univerzita Ostrava DISKRIMINAČNÍ ANALÝZA JAKO NÁSTROJ PRO HODNOCENÍ CHIRURGICKÝCH RIZIK

VŠB Technická univerzita Ostrava DISKRIMINAČNÍ ANALÝZA JAKO NÁSTROJ PRO HODNOCENÍ CHIRURGICKÝCH RIZIK VŠB Techcká uverzta Ostrava Fakulta elektrotechky a formatky DISKRIMINAČNÍ ANALÝZA JAKO NÁSTROJ PRO HODNOCENÍ CHIRURGICKÝCH RIZIK Dzertačí práce Studjí obor: Školtel: Doktoradka: Výpočetí a aplkovaá matematka

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určté předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ HYPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BNĚ AKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝ, CSc. ING. ZBYNĚK KEŠNE, CSc. ING. OSTISLAV ZÍDEK ING. ZBYNĚK VLK ZÁKLADY STAVEBNÍ ECHANIKY ODUL BD0-O SILOVÉ SOUSTAVY STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC Jří HŘEBÍČEK, Mchal HEJČ, Jaa SOUKOPOVÁ ECO-Maagemet,

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika Nepředvídaé událost v rác kvatfkace rzka Jří Marek, ČVUT, Stavebí fakulta {r.arek}@rsk-aageet.cz Abstrakt Z hledska úspěchu vestce ohou být krtcké právě ty zdroe ebezpečí, které esou detfkováy. Vzhlede

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

4. Strojové učení. 4.1 Základní pojmy

4. Strojové učení. 4.1 Základní pojmy 4. Stroové učeí 4. Základí pomy Důležtou vlastostí žvých orgasmů e schopost přzpůsobovat se měícím se podmíkám (adaptovat se), evetuálě se učt a základě vlastích zkušeostí. Schopost učt se bývá ěkdy dokoce

Více

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese cvčící 9. cvčení 4ST01 Obsah: Jednoduchá lneární regrese Vícenásobná lneární regrese Korelační analýza Vysoká škola ekonomcká 1 Jednoduchá lneární regrese Regresní analýza je statstcká metoda pro modelování

Více

Statistické zpracování dat

Statistické zpracování dat Bakoví sttut vysoká škola Praha Katedra IT Statstcké zpracováí dat Bakalářská práce Autor: Ja Culka Iformačí techologe, Maaţer projektů Vedoucí práce: Mgr. Olga Procházková Praha Červe, 00 Prohlášeí: Prohlašuj,

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Jednokriteriální rozhodování za rizika a nejistoty

Jednokriteriální rozhodování za rizika a nejistoty Jeokrterálí rozoováí za rzka a estoty U eokrterálíc úlo e vžy pouze eo krtérum optmalty, a to buď maxmalzačí ebo mmalzačí. araty rozoováí sou zaáy mplctě - pomíkam, které musí být splěy (vz úloy leárío

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

FLUORIMETRIE. Jan Fähnrich. Obecné základy

FLUORIMETRIE. Jan Fähnrich. Obecné základy FLUORIMETRIE Ja Fährch Obecé základ Fluormetre je aaltcká metoda vužívající schopost ěkterých látek vsílat (emtovat) po předchozím převedeí do vzbuzeého (exctovaého) stavu fluorescečí zářeí v ultrafalové

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I M.H. 2003 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST - 1 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I M.H. 2003 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST - 1 - Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST Studjí obor (kód a ázev): -4-M/00 Strojíreství - - Středí průmyslová škola, Uherské Hradště,

Více