STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK"

Transkript

1 STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04

2 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH. vydáí ISBN Vydala Vysoká škola polytechcká Jhlava, Tolstého 6, Jhlava, 04 Za jazykovou a věcou správost osahu díla odpovídá autor. Tet eprošel jazykovou a redakčí úpravou. Bohuml Mařík, 04

3 Teto učeí tet je směrová a cílovou skupu studetů techckých oorů a akalářském stup studa. Statstka patří těžším předmětům, protože vyžaduje určtou matematckou průpravu a způso uvažováí, který eí zdaleka ěžý. Také průěžá příprava je docela důležtá, eoť árazově a a posledí chvíl se statstka rozhodě astudovat edá. Každé podceěí a odkládáí studa a pozděj se s jstotou projeví. Také teto učeí tet, jakkol sympatcký ízkým počtem stra, rozhodě epatří do kategore lehké čety. Na druhou strau je třea kostatovat, že rozhodě ejde o matematckou ehc, ale určté (sad ohleduplé, pokud se to tak dá říc) převyprávěí se sahou o mamálí čtvost a srozumtelost. Př srováí s ěžým učecem statstky, které se vyzačují pět až desetkrát větším počtem stra, je výklad poměrě hutý, pozameaý sahou ve čtyřech kaptolách se alespoň dotkout moha témat, které použtí statstky v techckých oorech otevírá. Jde rozhodě o statstcké mmum, které ude uce skutečý užvatel statstckých metod v udoucu podstatě rozšířt. Na ěkolka místech tetu je poukázáo a užtí pravděpodoost a statstky v techce, která jsou a těchto základech vyudováa. Protože však amcí tohoto tetu je sezámt čteáře s oecým základy statstky (jak ostatě odpovídá sylaům příslušého předmětu), emůže v žádém případě jít o systematcký výklad týkající se (amátkou) ejstot měřeí, hromadé osluhy, regulačích dagramů eo statstcké přejímky. To už je áplň dalších dscplí, které oecé základy statstky využívají a aplkují a kokrétí případy z techckého výzkumu prae. Jde takříkajíc o pokus o eta-verz (sad) udoucího kvaltího učeího tetu, který jž udou přpravovat jí, pro výuku statstky a techckých oorech (především v olast výpočetí techky a formatky) jstě lépe dspoovaí učtelé. Nakolk je už tato zkušeí verze alespoň zčást zdařlá, echť posoudí studet sam. To, že v deší doě lze většu pojmů použtých v této pomůcce vyhledat a teretu (ohužel e vždy přesě a správě), eí třea přpomíat. Jhlava, srpe 04 Autor

4 Oretace v tetu Tet sestává ze čtyř kaptol Zpracováí a pops datového souoru v rozsahu 0 stra, který osahuje tyto odstavce Datový souor (straa 5) Tříděí (straa 6) Charakterstky úrově (straa 5) Charakterstky varalty (straa 8) Pravděpodoost v rozsahu 9 stra, s těmto odstavc Rekaptulace základích pojmů (straa 5) Náhodá velča (straa 9) Zákoy rozděleí dskrétích áhodých velč (straa 39) Zákoy rozděleí spojtých áhodých velč (straa 43) Odhady a testy hypotéz v rozsahu 30 stra, s těmto odstavc Náhodý výěr z rozděleí áhodé velčy (straa 54) Bodový odhad (straa 6) Itervalový odhad (straa 64) Testováí hypotéz o parametrech rozděleí (straa 70) Některé další testy hypotéz (ukázky) (straa 77) Metoda ejmeších čtverců v rozsahu stra, s těmto odstavc Regresí úloha (straa 84) Měřeí průěhu závslost (straa 85) Měřeí tezty závslost (straa 87) Příklad regresí úlohy (straa 88) Kalrace (straa 90) Na koc tetu je přpoje stručý výtah z taulek kvatlů dvou důležtých áhodých velč. Vždy za jedím eo ěkolka odstavc jsou vložey otázky a úkoly, které y měl studet vyřešt, pokud chce postoupt vpřed. Celkem jde o 59 položek, které mohou dokoale prověřt samostatou přípravu studeta a současě tvoří výchozí materál pro průěžé písemé práce a formulováí otázek ke zkoušce. Každá kaptola kočí souhrem proraé látky. Na závěr kaptoly jsou vyjmeováy ěkteré další souvsející prolémy, a které ezyl čas a prostor.

5 Kaptola Zpracováí a pops datového souoru Základí surovou popsé statstky je datový souor, kokrétě způso jeho pořízeí, zpracováí (k tomu se používá se především metoda tříděí) a měřeí hlavích statstckých vlastostí dat (především úrově a varalty) pomocí souhrých statstckých charakterstk. Pořízeí datového souoru (statstcké zjšťováí, šetřeí) má, vzhledem k velm šrokému použtí statstky dotýkajícího se moha oorů ldské čost, velm růzou podou počíaje epermetálím měřeím v laoratořích a zkušeách, přes ejrůzější zjšťováí proíhající takříkajíc v provozích podmíkách, až třea po dotazíková šetřeí v souorech domácostí. Moderí přístup k získáváí statstckých dat představuje tzv. data mg, spočívající v sofstkovaém vytěžováí statstckých dat orgazovaých v dataázích. O tom, že tato čost ayla průmyslového charakteru, svědčí používaé pojmy jako datový sklad, datová pumpa apod. K epermetálím účelům se také využívají tzv. geerátory áhodých čísel, které automatcky produkují smulovaé datové souory požadovaých vlastost. Pokud ychom hodlal zůstat a půdě popsé statstky (apř. v rámc ašeho studjího předmětu), ehrál y způso pořízeí datového souoru až takovou rol. Protože však hodláme zaroust také do matematcké statstky (ta se zaývá především metodam statstcké dukce zoecěí pozatků získaých a datovém souoru), dospějeme v jstém okamžku k pojmu áhodý výěr z rozděleí pravděpodoost áhodé velčy. Čstě pro potřey popsé statstky ovšem zatím stačí představt s, že jsme přšl k hotovému a datový souor máme tudíž k dspozc, až pátráme po způsou, jakým yl poříze.. Datový souor Měřeá velča Měřeé velčy rozlšujeme podle způsou, jakým získáváme jejch hodoty: Kardálí velča jejíž číselé hodoty získáváme cestou měřeí ve vlastím slova smyslu (typcky fyzkálích měřeí) v měrých jedotkách v souladu se soustavou SI (sedm základích jedotek, odvozeé jedotky, ásoé jedotky, vedlejší jedotky). Př ozačováí měřeé velčy má předost X (velké ). Kardálí velčy rozlšujeme podle spojtost a dskrétí espojté (aývající zolovaých hodot, často e utě celočíselých) a spojté (reálá čísla). Kromě toho rozlšujeme kardálí velčy s přrozeou a kovečí ulou. To je důležté pro jejch rozděleí a poměrové (jejch hodoty lze porovávat rozdílem podílem) a tervalové (jejch hodoty lze porovávat je rozdílem typcky apř. teploty ve C). V dalším tetu této kaptoly udeme předpokládat výhradě kardálí velču. Ordálí velča, jejíž číselé hodoty získáme růzě, typcky apř. očíslováím uspořádaých hodot kardálí velčy pořadovým čísly vzestupě eo sestupě. V tomto případě jsou elmováy rozdíly mez hodotam (rozdíl dvou sousedích hodot je ahraze jedotkovým rozdílem jejch pořadových čísel). S touto velčou se v ašem předmětu praktcky esetkáme. Kategorálí velča, kdy jedotlvé případy klasfkujeme do slově vyjádřeých kategorí (apř. událost astala/eastala, tskára je jehlčková/koustová/laserová apod.). Zde se ehovoří o měřeí, ale o srováváí, a o hodotách, ýrž o oměách. Pokud jsou kategore očíslováy (apř. událost astala, událost eastala 0), jde o číselý kód a čísla emají výzam velkost. V rámc této kaptoly se s kategorálí velčou esetkáme. 5

6 Naměřeé hodoty Pokud jde o kardálí velču (vezměme příklad měřeí určté fyzkálí vlastost součástky), je třea s uvědomt, že její aměřeá hodota je je áhodou totožá s hodotou skutečou. Naměřeá hodota je především zatížea ejstotou měřeí. Skutečá hodota je pak složea z hodoty omálí (jmeovté, očekávaé) a dvduálí, případ od případu se měící, odchylky od omálí hodoty vz dagram. Naměřeá hodota datový souor jako celek jsou tedy jedotou determstcké (předvídatelé) složky a složky áhodé (tudíž epředvídatelé). Pokud y šlo apř. o měřeí proudových jstčů, můžeme očekávat že aměřeé hodoty udou kolísat oretačě kolem omálí hodoty (jmeovtého proudu v A uvedeého a jstč), jedak vlvem dvduálích odchylek vzklých př výroě jedotlvých jstčů, jedak vlvem ejstot měřeí. Statstka (zejméa popsá) se prolematkou ejstot měřeí ezaývá, proto j poecháme straou. Dagram: aměřeá vs. skutečá hodota Naměřeá hodota Skutečá hodota Nejstoty měřeí Typ A Typ B Nomálí hodota Idvduálí odchylka od omálí hodoty Naměřeé hodoty měřeé velčy X, které tvoří datový souor, ozačíme uď jako,,...,,...,, kde číslo je rozsah datového souoru, alteratvě můžeme použít ozačeí, pro,,...,, kde de souvsí s pořadím měřeí. Posloupost ( ) ()... ( )... ( ) azveme uspořádaým datovým souorem, kde čísla jsou pořádkové statstky. Platí ( ) ( ) (ejmeší aměřeá hodota), m. Vzdáleost mez oěma etrémím hodotam R ma m je varačí rozpětí. ( ) ma Posloupost [ ] < [ ] <... < [ ] <... < [ k] azveme vektorem varat. Číslo k (počet vzájemě od see růzých varat) je řádově meší ež rozsah souoru.. Tříděí Má-l datový souor větší rozsah (oretačě alespoň > 30) je vhodé přstoupt k jeho zpracováí pomocí tříděí. Výsledkem tříděí je rozděleí četostí, které je opět jedotou očekávaého zákotého a ahodlého. Tříděí eí samoúčelé, protože taulkové eo grafcké vyjádřeí rozděleí četostí umožňuje usuzovat apř. a symetr č esymetr rozděleí kolem ějakého cetrálího odu, stupeň a místo akupeí ejvětšího počtu hod- 6

7 ot, délku koců, přítomost chvostu apod. Kromě toho rozděleí četostí umožňuje měřt a porovávat strukturu datových souorů. Bodové a tervalové tříděí, rozděleí četostí O odovém tříděí se hovoří tehdy, pokud se podaří z dat etrahovat vektor varat (ěkolk málo růzých hodot se mohoásoě opakuje). Rozděleí četostí př odovém tříděí je tvořeo dvousloupcovou taulkou (vz). K tervalovému tříděí přstoupíme tehdy, pokud se z dat epodaří etrahovat vektor varat (aměřeé hodoty jsou apř. vesměs růzá reálá čísla). V tom případě přstoupíme k vytvořeí třídcích tervalů. Jde o sujektví záležtost, ale aychom dosáhl žádoucího efektu, je vhodé př tom respektovat určté oecé zásady (přměřeý počet k tervalů, jejchž počet y eměl poklesout pod šest, kostatí šířka tervalu h, esporé vymezeí hrac tervalů, elmace odlehlých hodot pomocí prvího a posledího otevřeého tervalu). Iterval je zpravdla zastupová svým středem (vz taulka). Taulka rozděleí četostí př odovém a tervalovém tříděí Varata Četost Střed třídcího tervalu Četost [] [] [ ] : : : : [ k ] k Součet Součet Pozámky k taulce hraaté závorky u varat udeme adále vyechávat, takže varaty středy tervalů udeme začt stejě, výzam vyplye z kotetu, počet varat a počet třídcích tervalů se začí shodě jako k, pojmem četost (vz dále) ozačujeme počet opakováí -té varaty eo počet hodot ležících v -tém tervalu, součet četostí je v oou případech rove rozsahu výěru. k k Druhy četostí Četost v taulce, ěkdy azývaé také asolutí četost, ejsou vhodé pro porováváí struktury dvou eo více rozděleí četostí, eoť závsí a rozsahu souoru, který je jejch součtem. Závslost četostí a rozsahu souoru odstraíme přechodem a relatví četost (případě v procetech vyjádřeé ). Relatví četost p. Relatví četost jsou tedy ezáporá desetá čísla, jejchž součet je rove jedé. Postupým ačítáím (kumulací) asolutích eo relatvích četostí vzkají kumulatví četost. Kumulatví četost k j j (tj. p k j j, +, + + 3,..., ). Relatví kumulatví četost mohou ýt rověž vyjádřey v procetech. Případý součet 7

8 kumulatvích četostí y edával smysl. Toto v taulce ozačíme symolem (ležatý křížek) v příslušém políčku součtového řádku. Skalárím součem asolutích četostí a varat/středů tervalů získáme úhr hodot souoru. Zatímco v prvím případě jde o přesé číslo (stejý výsledek ychom získal sečteím původích etříděých hodot), ve druhém případě jde je o přlžý úhr, vzhledem k tomu, že střed tervalu eí dokoalým reprezetatem všech hodot tervalu. Taulkové a grafcké vyjádřeí rozděleí četostí vz ásledující příklady. Příklad odového tříděí V datovém souoru o rozsahu 80 yly detfkováy varaty ula a přrozeá čísla až 4. Následující taulka prezetuje rozděleí četostí př odovém tříděí tohoto datového souoru. Taulka rozděleí četostí př odovém tříděí Varata Asolutí četost Relatví četost p Kumulatví četost k 00 kp 0 0,50 5,0 33 0, , 6 0, , 3 5 0, , , ,0 Součet 80,000 Úsečkový graf asolutí četost a graf relatví kumulatví četost v % 00kp Pozámky k příkladu a odové tříděí součty relatvích četostí emusí vzhledem k zaokrouhlováí utě vyjít jeda (00 %), 8

9 k skalárí souč 6 udává úhr (přesou hodotu) datového souoru, graf kumulatví četost má typcký stupňovtý průěh, relatví četost postačí ke srováí struktury datových souorů růzých rozsahů. Příklad tervalového tříděí Hodoty datového souoru o rozsahu 0 jsou reálá čísla (po zaokrouhleí a celá čísla) ležící v rozmezí m 783, ma 738. Rozhodl jsme třídt datový souor do šest třídcích tervalů pro h 000, které vymezíme, jak je uvedeo v taulce rozděleí četostí. Taulka rozděleí četostí př tervalovém tříděí Vymezeí tervalu Střed tervalu Asolutí četost Relatví četost p Kumulatví četost ( 000) ,07 3 0,07 < ) 500 0,00 4 0,7 < ) ,64 3 0,9 < ) ,73 5 0,464 < ) , ,846 < ) ,54 0,000 Součet 0,000 k kp Hstogram asolutí četost a graf relatví kumulatví četost kp Pozámky k příkladu a tervalové tříděí tervaly musíme vymezt tak, aychom do ch (ejlépe s určtou rezervou) umístl všechy hodoty, 9

10 šířku, hrace a středy tervalů je třea volt s ohledem a mamálí přehledost, tervaly jsme vymezl esporě, výzam závorek je zřejmý (vyskyte-l se apř. hodota 3000, patří do třetího tervalu), prví a posledí terval jsme kocpoval tak, ay yly otevřeé, což má smysl zejméa u posledího tervalu, kam y se hodota 738 jak evešla, eí žádoucí, ay rozděleí četostí osahovalo tervaly s ulovou četostí, šířka otevřeých tervalů se považuje za stejou jako u ostatích tervalů, když se do ch zařazují odlehlé hodoty to a vysvětleou ke středům prvího a posledího tervalu, k skalárí souč 5000 udává úhr (přlžá hodota) datového souoru, sloupcový graf asolutí (relatví) četost se slepeým sloupc se azývá hstogram, graf kumulatví četost je lomeá čára, často esovtého tvaru; ody se vyášejí prot horím hracím tervalů; čáru je vhodé apojt a vodorovou osu v horí hrac fktvího předchozího tervalu, relatví četost epostačí k porováí struktury tervalově tříděých datových souorů z důvodu předpokládaé růzé šířky a růzého počtu tervalů. Četostí fukce a četostí hustota p Pro tervalově tříděá data zavedeme hustotu četostí jako fukc f, tj. jako h relatví četost přpadající a jedotku třídcího tervalu. Hustota četostí (a rozdíl od relatví četost) ezávsí a šířce třídcího tervalu a zachovává s svůj průěh př tříděí do stále většího počtu stále užších tervalů. Lze s představt, že př etrémě jemém tříděí, kdy h 0, přejde lomeá čára představující průěh relatví kumulatví četost v hladkou křvku a podoě hladkou čarou se oaluje hstogram hustoty četostí. Pokud udeme relatví četost př odovém tříděí a hustotu četostí př tervalovém tříděí chápat jako fukc hodot měřeé velčy, můžeme zavést četostí fukc p ( ), která je ezáporá a ormovaá a tervalu 0 ;, přčemž p( ) (součet délek úseček představujících relatví četost je rove jedé), fukc četostí hustoty, která je ezáporá f ( ) 0 a ormovaá tj. plocha hstogramu četostí hustoty je vždy rova jedé. + f ( ) d, Výzamé hodoty V etříděém, odově eo tervalově tříděém datovém souoru lze ajít hodoty, které jsou výzamé svojí polohou eo četostí. Jde o Etrémí hodoty, m ma, které lze u etříděých a odově tříděých dat určt přesě, zatímco u tervalově tříděých dat je z taulky rozděleí četostí určt edokážeme. 0

11 Typcká hodota (modus, ˆ ), což je u odově tříděých dat varata s ejvětší četostí, zatímco u tervalově tříděých dat leží uvtř tervalu s ejvětší četostí (jak její polohu uvtř tervalu odhadujeme, poecháme straou). U etříděých údajů s malým rozsahem souoru se o určeí typcké hodoty zpravdla epokoušíme. Kvatly, což jsou hodoty, které dělí uspořádaý eo tříděý datový souor ve staoveém poměru četostí. Hlavím kvatlem je medá 0, 50 (prostředí hodota), což je u etříděých uspořádaých dat hodota s pořadím. Pokud + vypočteé pořadí eí celé číslo, vyhovují defc medáu dvě hodoty ezprostředě předchozí a ásledující (apř. 7, 4, medáem je tedy čtvrtá + + hodota, zatímco pro 8, 4, 5 a medáem je současě čtvrtá a pátá hodota). U odově tříděých dat je medáem varata, u které kumulatví relatví četost poprvé překročí hodotu 0,5 (50 %). U tervalově tříděých dat leží medá v tervalu, pro který kumulatví relatví četost poprvé překročí tutéž hodotu (0,5 eo 50 %). Jak jeho polohu uvtř tervalu odhadujeme, poecháme straou. Kvartly ( 0,5, 0,50, 0, 75 ) jsou tř kvatly, které rozdělují souor a čtvrty. Dolí kvartl 0, 5 je medáem dolí polovy souoru, horí kvartl 0, 75 je medáem horí polovy souoru. Prostředí kvartl je medá. Vedle medáu a kvartlů estuje možství dalších kvatlů. Jako vhodý příklad uvádíme percetly, jejchž počet je 99 ( 0,0,..., ) a dělí souor a sto částí 0, 99 o relatví četost 0,0 ( %). Prostředím (padesátým) percetlem je medá a oa percetly v závorce se azývají dolí a horí percetl. Kokrétě s těmto kvatly se pozděj v jé souvslost setkáme. Tvar rozděleí četostí Jak jsme jž dříve uvedl, datový souor osahuje prvek zákotého a předvídatelého a současě prvek ahodlého, případ od případu promělvého. Proto můžeme hovořt o určtých typckých, opakovatelých, tvarech rozděleí četostí. Všímáme s symetre č asymetre rozděleí četostí. Praktcky se ěžě setkáváme s oěma případy. Pokud jde o asymetrcká rozděleí, hovoříme o levostraé (vz příklad k odovému tříděí) eo pravostraé (vz příklad k tervalovému tříděí) asymetr. Př tom se řídíme tím, zda vrchol rozděleí je vychýle doleva (k žším hodotám) č doprava. O etrémě asymetrckých rozděleích se hovoří tehdy, je-l vrchol rozděleí zcela vlevo (apř. v prvím tervalu) eo vpravo (apř. u posledí varaty). Dále se zajímáme o rovoměrost č erovoměrost rozložeí četostí mez jedotlvé varaty/tervaly. Pokud jsou četost rozděley přlžě rovoměrě, hovoří se o rovoměrém rozděleí. V opačém případě jde zpravdla (e vždy) o modálí rozděleí vyzačující se vyšší frekvecí hodot u určté varaty eo v určtém tervalu. Protkladem k modálím rozděleí je rozděleí typu U (dolík místo vrcholu). Zvláští kategor tvoří vícevrcholová rozděleí. Přítomost více vrcholů může vypovídat o škodlvé heterogetě v datech (vzká apř. sloučeím datových souorů, které vzkaly za růzých podmíek).

12 Kromě toho se můžeme zaývat délkou koců rozděleí, výskytem odlehlých hodot, případě přítomostí chvostu hodot a jedom z okrajů rozděleí. Tuto prolematku ale poecháme straou. Růzé typcké tvary rozděleí četostí př tervalovém tříděí Kracový graf s vláky Teto graf představuje vedle grafů rozděleí četostí alteratví pohled a statstcká data, založeý a výzamých hodotách. V grafu se ojevuje krace ohračeá dolím a horím kvartlem a s vyzačeou polohou medáu. Šířka krace je fukcí rozsahu datového souoru. Vláka mají mamálí hodotu,5ásoku vzdáleost příslušého kvartlu od medáu eo kočí v příslušé etrémí hodotě (pokud je vzdálea méě ež,5ásoek vzdáleost kvartlu a medáu). Vymezují tzv. hrady dat. Hodoty ležící za hradam jsou podle vzdáleost ozačey jako odlehlé, případě etrémě odlehlé. I když a prví setkáí se z toho grafu edá moc vyčíst, tak zkušeé oko rychle odhalí vlastost a zvláštost takto zorazeých dat.

13 Kracové grafy s vláky Pozámky ke grafu podle šířky krac je zřejmé, že souor vpravo má větší rozsah, souor vlevo je přesě symetrcký a eosahuje žádé odlehlé hodoty (všechy jeho hodoty jsou uvtř hrade dat), souor vpravo je slě levostraě esymetrcký (vzdáleost mez dolím kvartlem a medáem je malá, protože zde leží více hodot souoru ež a opačé straě), souor vpravo osahuje jedu odlehlou a jedu etrémě odlehlou hodotu, graf je zázorěý v etrémě zjedodušeé podoě, protože může osahovat daleko více prvků vypovídajících o dalších vlastostech dat (pro ás y yl ovšem přílš složtý). Zmíěé pohledy a datový souor jsou kromě dalších postupů součástí tzv. průzkumové (eploratorí) aalýzy dat. 3

14 Témata pro tutorál (resp. pro cvčeí a prezečí formě studa). Charakterzujte kardálí, ordálí a kategorálí velču.. Co vám říkají pojmy dskrétí a spojtá velča a tervalová a poměrová velča? Ke které z velč z odu se vztahují? 3. Rozeerte vztah mez aměřeou a skutečou hodotou kardálí velčy. 4. Co je uspořádaý datový souor a jak se azývají jeho hodoty? 5. Co jsou varaty? 6. Jaké druhy tříděí rozlšujeme? 7. Shrňte oecé prcpy tervalového tříděí. 8. Rekaptulujte druhy četostí a jejch vzájemé vztahy. 9. Srovejte grafcké zázorěí rozděleí četostí pro odové a tervalové tříděí. 0. Jak se staoví úhr hodot tříděého datového souoru? Kdy jde o přesé číslo a kdy jde je o odhad úhru a proč?. Proveďte samostatě tervalové tříděí dvduálě zadaého datového souoru.. U ásledujících pojmů rozhoděte, zda se vztahují k odovému eo tervalovému tříděí, případě k oěma druhům vektor varat, hstogram, relatví kumulatví četost v %, stupňový graf kumulatví četost, hustota četostí, četostí fukce. 3. Co rozumíme pod pojmem výzamé hodoty? Čím jsou výzamé a jaké jsou jejch druhy? 4. Doplňte způso určeí etrémích hodot, medáu a modu do taulky. Netříděé údaje Bodově tříděé údaje Itervalově tříděé údaje Etrémí hodoty Medá Modus 5. Co je medá? Přesvědčte se, že jste pochopl prcp jeho určeí a příkladu, kde hodoty :,, 6,3,5,0,0,9,5, Jak se azývá a jaké prvky osahuje graf založeý a výzamých hodotách, ze kterého lze vyčíst hlaví vlastost datového souoru (asymetre, přítomost odlehlých hodot apod.)? 7. Pojmeujte každý z tvarů rozděleí četostí a příslušém orázku. 8. Pokud ezáte, vyhledejte výzam pojmů data mg, smulace, geerátory áhodých čísel a eploratorí aalýza dat. 4

15 .3 Charakterstky úrově Údaje datového souoru charakterzují každý případ zvlášť. V této chvíl jde o to, aychom zoecl statstcké vlastost datového souoru jako celku. Tvrzeí souor A má žší úroveň ež souor B ezameá utě, že každý údaj souoru A aývá žší hodoty ež lovolý údaj souoru B, ale to, že estuje taková tedece, která je rozpozatelá pro datové souory jako celek. Velčy, které jedím číslem vyjadřují určtou vlastost datového souoru jako celku, se azývají souhré statstcké charakterstky. Nejěžější charakterstkou úrově je artmetcký průměr, když se o průměrech zpravdla hovoří v možém čísle (estuje apř. průměr geometrcký, harmocký aj.). Kromě toho lze ke změřeí úrově datového souoru využít apř. medá. Artmetcký průměr Artmetcký průměr ( s pruhem) se od ostatích průměrů lší tzv. určující vlastostí, kterou můžeme formulovat takto: a můžeme j přepsat jako, z čehož artmetcký průměr Vzhledem k tomu, že př výpočtu využíváme prostý součet hodot datového souoru, azývá se tato forma prostou formou artmetckého průměru. Jsou-l data předem zpracováa pomocí odového eo tervalového tříděí, využíváme artmetcký průměr ve vážeé formě. Hodoty jsou v případě odového tříděí varaty a v případě tervalového tříděí středy tervalů. Jde o tutéž charakterstku, pouze o jou formu vyjádřeí. Artmetcký průměr ve vážeé formě je relatví četost, k k p, k k p., kde je asolutí a p a k je počet varat eo počet třídcích tervalů. Pro artmetcký průměr je typcké, že a jeho hodotu má vlv každá, tedy odlehlá hodota datového souoru, případě hruá chya. Vlastost artmetckého průměru artmetcký průměr má rozměr měřeé velčy a lze ho určt z jakýchkol reálých hodot, artmetcký průměr kostaty je rove této kostatě, odchylky hodot datového souoru od artmetckého průměru se kompezují (jako ezprostředí důsledek určující vlastost) a platí ( ) 0 (artmetcký průměr je těžštěm datového souoru), 5

16 souhlasě s vlastostm těžště platí c) ( ( ) + ( c) a ejmeší možou hodotu tedy součet čtverců odchylek aývá, je-l je-l velča Y kx + c, kde k, c jsou kostaty, platí také y ( k + c) k + c, je-l velča W X ± Y, je současě w ± y, c, je-l dáo k dílčích souorů s rozsahy,,...,,..., k a dílčím průměry, pak k společý průměr těchto dílčích souorů je rove k. Výpočet artmetckého průměru v prosté formě a využtí jeho vlastostí Hodoty datového souoru tvoří pět aměřeých teplot ve C :,6; 4,8;,9; 3,7;,. Součet teplot je 5, a průměrá teplota staoveá jako artmetcký průměr v prosté formě 5, 3, 0 [ C]. 5 Průměr staoveý ve C přepočteme a F (Fahreheta). Vztah mez oěma teplotím stupcem je F,8 C + 3. Takže y,8 3, , 44 [ F]. Máme tedy 5, 3, 0 K dspozc je další souor měřeí o rozsahu 8 s průměrem 3,. Z oou dílčích souorů měřeí vypočteme společý průměr jako vážeý artmetcký průměr (3, , 8) 99,98 3, [ C]. Další charakterstky úrově Ke změřeí úrově datového souoru můžeme z dosud zámých velč využít medá a modus 0, 50 ˆ. Pro medá je charakterstcká poloha uvtř datového souoru je jeho prostředí hodotou. Modus zase souvsí s četostí výskytu (často ejvětší četost vykazují právě varaty eo tervaly ěkde uprostřed tříděého datového souoru, když to eí 00% pravdlem). Žádá z oou jmeovaých charakterstk eí odvozea od všech hodot datového souoru, etrémí hodoty dokoce a charakterstku emají žádý eo je mmálí vlv. Charakterstky s takovou vlastostí azýváme roustí charakterstky. 6

17 Vlastost medáu jako charakterstky úrově Použjeme uspořádaý výěr z předchozího příkladu, tj. ( ) :,9;,;,6; 3,7; 4,8 Medáem je prostředí hodota 0,50, 6 [ C]. Na F ychom přepočítával medá podle stejého vzorce jako artmetcký průměr. Společý medá z medáů dílčích souorů elze staovt. Nyí rozšíříme datový souor o jedu hodotu. Př poruše klmatzace yla aměřea teplota 44,5 C. Vypočítáme-l z těchto údajů artmetcký průměr, jeho hodota ude 6,6 C. Defc medáu aprot tomu vyhovují hodoty,6 a 3,7. Chceme-l získat medá jako,6 + 3,7 jedé číslo, určíme 0,50 3, 5 [ C]. Vzájemá poloha artmetckého průměru, modu a medáu určuje tvar rozděleí četostí, pokud jde o jeho symetr, resp. asymetr. U symetrckého rozděleí platí ˆ 0,. 50 Máme zde ovšem a mysl statstckou symetr, kol symetr přísě geometrckou. U asymetrckých rozděleí ude ˆ < u levostraě (poztvě) asymetrckého rozděleí četostí, < ˆ u pravostraě (egatvě) asymetrckého rozděleí četostí, přčemž medá zpravdla leží mez oěma uvedeým charakterstkam. Asymetre datového souoru je jeho další měřtelou statstckou vlastostí. Jejím měřeím se ovšem eudeme zaývat. Na závěr jsme s poechal krátký příklad výpočtu vážeého artmetckého průměru z tervalově tříděých dat. k Výpočet vážeého artmetckého průměru z tervalově tříděých dat V příkladu a tervalové tříděí jsme azačl tříděí 0 hodot (řekěme, že jde o žvotost součástek v hodách) do šest tervalů o šířce h 000. Vážeý artmetcký k průměr. V pozámkách pod zmíěým příkladem je uvedea hodota skalár- ího souču Vážeý artmetcký průměr je tedy , 5. 0 Průměrá žvotost součástky je tedy 4745,5 hod. Pozámka k příkladu musíme s uvědomt, že ejde o stejou hodotu, kterou ychom získal výpočtem prostého artmetckého průměru ze všech 0 etříděých údajů (je vám jasé, proč?). 7

18 .4 Charakterstky varalty Varalta promělvost je eodmysltelou součástí každých statstckých dat. Příč a zdrojů varalty je více, v zásadě rozlšujeme varaltu přrozeou a chyovou. K chápáí a měřeí varalty lze přstupovat růzým způsoem a estuje také velké možství charakterstk varalty. Od ejprmtvějších (mez které patří jž dříve zmíěé varačí rozpětí R), až po ejdůležtější (a eje to, doslova ukátí) charakterstku varalty, kterou je rozptyl průměrá čtvercová odchylka kolem artmetckého průměru. Ukátí vlastostí rozptylu (kterou emá žádá další charakterstka varalty) je rozkládat celkovou varaltu ve složky a ty opět podle potřey skládat. Proto se v této část udeme věovat především této charakterstce varalty. Rozptyl V souladu se svojí defcí průměré čtvercové odchylky kolem artmetckého průměru staovíme rozptyl v prosté formě (pro etříděá data) jako var s ( ), po úpravě var s Vdíme, že rozptyl lze ozačovat dvojím způsoem, přčemž ozačeí var je zkratkou alteratvího ázvu rozptylu varace. Tomuto ozačeí udeme většou dávat předost. Ve vážeé formě (pro tříděá data) ude aalogcky k k var s ( ), po úpravě var s, kde jsou varaty (př odovém tříděí) eo středy třídcích tervalů a jsou jejch četost. Vdíme, že v oou případech můžeme rozptyl vyjádřt prostředctvím artmetckých průměrů jako průměr čtverců hodot zmešeý o čtverec jejch artmetckého průměru. Vlastost rozptylu rozptyl je rozměrá charakterstka (jako čtverec má rozměr, který je čtvercem rozměru velčy X) a lze ho určt z lovolých reálých hodot, rozptyl, jako čtverec, je vždy ezáporý, ule je rove př výpočtu z kostaty, rozptyl je v souladu odpovídající vlastostí artmetckého průměru ejmeší estující průměrou čtvercovou odchylkou, je-l velča Y kx + c, kde k, c jsou kostaty, platí var y k var, je-l velča W X ± Y, je var w ( w w) var + var y ± cov y (zdůrazňujeme zaméko + mez oěma rozptyly, přčemž mez zaky je ± ), kde cov y ( )( y y) y y y y, cov y 0, je tzv. kovarace velč X, Y, jejíž hodota souvsí s uspořádáím hodot, y do dvojc (stejé hodoty př růzém uspořádáí vedou k růzé hodotě kovarace), je-l dáo k dílčích souorů s rozsahy,,...,,..., k, dílčím průměry a dílčím rozptyly s, společý rozptyl těchto dílčích souorů. 8

19 k k s ( ) k s + k s + přčemž prví sčítaec reprezetuje průměrý rozptyl uvtř dílčích souorů a druhý sčítaec rozptyl dílčích průměrů kolem společého průměru ( ). Způso výpočtu a vlastost rozptylu udeme demostrovat a příkladech. s, Výpočet rozptylu z etříděých dat V taulce jsou aměřeé hodoty vstupího apětí ve voltech. Taulku využjeme současě k demostrováí postupu výpočtu rozptylu dvěma způsoy. Číslo měřeí Naměřeá hodota [V] ( ) ,3 38,7 39,6 39,0 39,5 37,0 37,9 36,8 3,4 0,36,5 0,8,96, 0,04, , , ,6 57, ,5 5669, , ,4 Součet 904,8, ,44 Artmetcký průměr 904,8 38, [V]. 8 Rozptyl (vzorec se závorkou) var,56, 445 [V ]. 8 Rozptyl (vzorec ez závorky) var ,44 38, 56693, ,6, [V ]. Pozámky k příkladu vzorec pro výpočet volíme zpravdla podle komplkovaost průěhu výpočtu (zde se více hodí závorková forma), oěma způsoy musí vyjít stejý výsledek, pokud ychom do taulky vložl sloupec ( ), získal ychom v součtovém řádku ulu, v průěhu výpočtu se sažíme ezaokrouhlovat apř. zaokrouhleím průměru staovíme odchylky od hodoty lšící se od průměru, což se a výsledku projeví, vzhledem k měré jedotce je otížé s pod vypočteou hodotou ěco představt teto prolém řeší charakterstky odvozeé od rozptylu (vz dále). 9

20 Schematcké příklady týkající se vlastostí rozptylu Zvolíme jedoduchá data v taulce y y y z + z var (každá pětce čísel rostoucích/klesajících po jedé má rozptyl rove této hodotě), var y var (rozptyl se měí se čtvercem kostaty k, přčemž kostata c a ěj emá vlv), var( + y ) var + var y + cov y, tj. rozptyl součtu je rove součtu rozptylů zvětšeý o dvojásoek kovarace, z čehož cov y ( 8) 4, var( y ) 8 var + var y cov y, tj. rozptyl rozdílu je rove součtu rozptylů zmešeý o dvojásoek kovarace, z čehož opět cov y (8 8) 4, sloupec z osahuje původí hodoty y v jém pořadí (čímž přestal platt vztah z druhého sloupce, ale var z var y 8 ), pak var( + z ) 7, 6, z čehož cov y (7,6 8), záleží tedy a uspořádáí hodot ve dvojcích, sloučíme-l hodoty prvích dvou sloupců do jedoho souoru, můžeme z těchto 0 hodot určt rozptyl 5,5, což je společý rozptyl, který lze staovt také jako + 8 průměrý rozptyl uvtř dílčích souorů ( ) 5 (výjmečě př 0 stejém rozsahu postačí prostý průměr), zvětšeý o rozptyl dílčích průměrů kolem společého průměru 0,5 + 0,5 [(4 4,5) 5 + (5 4,5) 5] 0, 5 (opět výjmečě př stejém rozsahu postačí prostý artmetcký průměr). Společý rozptyl 0 je tedy 5 + 0,5 5, 5 (stejý výsledek, jako př výpočtu z původích hodot). Dále se zaměříme a výpočet rozptylu ve vážeé formě. K tomu využjeme příklad a odové tříděí. 0

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

P1: Úvod do experimentálních metod

P1: Úvod do experimentálních metod P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE V této kaptole se dozvíte: jak je oecě defováa kolmost (ortogoalta) vektorů; co rozumíme ortogoálí a ortoormálí ází; co jsou to tzv relace ortoormalty a Croeckerovo delta;

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

11. Popisná statistika

11. Popisná statistika . Popsá statstka.. Pozámka: Př statstckém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákotost, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statstcké jedotky. Př

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Statistické zpracování dat

Statistické zpracování dat Bakoví sttut vysoká škola Praha Katedra IT Statstcké zpracováí dat Bakalářská práce Autor: Ja Culka Iformačí techologe, Maaţer projektů Vedoucí práce: Mgr. Olga Procházková Praha Červe, 00 Prohlášeí: Prohlašuj,

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

11. Regresní analýza. Čas ke studiu kapitoly: 60 minut. Cíl VÝKLAD Úvod

11. Regresní analýza. Čas ke studiu kapitoly: 60 minut. Cíl VÝKLAD Úvod . egresí aalýza Čas ke studu kaptoly: 6 mut Cíl Po prostudováí tohoto odstavce udete umět vysvětlt pojem oecý leárí model prcp leárího regresího modelu používat výsledky regresí aalýzy verfkovat regresí

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č.

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č. Evropská federace árodích asocací měřcích, zkušebích a aalytckých laboratoří Techcká zpráva č. /006 Srpe 006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek T e c h c k á z p r á v a EUROLAB

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat 4. Korelace 4. Teoretcké základy korelace 4. Způsoby měřeí závslostí pro růzé typy dat Př prác se statstckým údaj se velm často setkáváme s daty, která jsou tvořea dvojcem, trojcem hodot. Složky takovýchto

Více

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA Fakulta elektrotechky a formatky TATITIKA. ZÁKLADNÍ OJMY. Náhodý pokus a áhodý jev NÁHODNÝ OKU proces realzace souboru podmíek kde výsledek emůžeme předem ovlvt. - výsledek áhodého pokusu. - jev, který

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Model poptávky po železniční osobní dopravě Českých drah, a. s. na tuzemském přepravním trhu

Model poptávky po železniční osobní dopravě Českých drah, a. s. na tuzemském přepravním trhu Vědeckotechcký sorík ČD č. 3/0 Leka Zahradíková Model poptávky po železčí osoí dopravě Českých drah, a. s. a tuzemském přepravím trhu Klíčová slova: poptávka, osoí doprava, České dráhy, regresí aalýza,

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

Statistika - vícerozměrné metody

Statistika - vícerozměrné metody Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

Statistické charakteristiky (míry)

Statistické charakteristiky (míry) Stattcé charaterty (míry) - hrují formac, obažeou v datech (vyjadřují j v ocetrovaé formě); - charaterzují záladí ryy zoumaého ouboru dat; - umožňují porováváí více ouborů. upy tattcých charatert :. charaterty

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BNĚ AKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝ, CSc. ING. ZBYNĚK KEŠNE, CSc. ING. OSTISLAV ZÍDEK ING. ZBYNĚK VLK ZÁKLADY STAVEBNÍ ECHANIKY ODUL BD0-O SILOVÉ SOUSTAVY STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ

Více

Statistická analýza dat

Statistická analýza dat INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 Tvorba eleárího regresího modelu Postup tvorby eleárího regresího modelu se dá rozčlet do těchto kroků: Návrh regresího modelu Obvykle se jako eleárí regresí model používá

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Testování hypotéz. 3.1 Základní pojmy a obecný postup při testování

Testování hypotéz. 3.1 Základní pojmy a obecný postup při testování Lekce 3 Testováí hypotéz Vlajkovou lodí matematcké statstky jsou techky testováí hypotéz. Formulace hypotéz a jejch ověřováí jsou základím mechasmem postupu ldského pozáí. Pokud jsou formace, potřebé k

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOTI

ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOTI Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOTI Iva Křvý OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 004 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI Iva Křvý ÚVOD. PROSTOR ELEMENTÁRNÍCH JEVŮ 3.. Náhodé pokusy

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Jednoduchá lineární regrese

Jednoduchá lineární regrese Jedoduchá leárí regrese Motvace: Cíl regresí aalýz - popsat závslost hodot velč Y a hodotách velč X. Nutost vřešeí dvou problémů: a) jaký tp fukce se použje k popsu daé závslost; b) jak se staoví kokrétí

Více