STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK"

Transkript

1 STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04

2 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH. vydáí ISBN Vydala Vysoká škola polytechcká Jhlava, Tolstého 6, Jhlava, 04 Za jazykovou a věcou správost osahu díla odpovídá autor. Tet eprošel jazykovou a redakčí úpravou. Bohuml Mařík, 04

3 Teto učeí tet je směrová a cílovou skupu studetů techckých oorů a akalářském stup studa. Statstka patří těžším předmětům, protože vyžaduje určtou matematckou průpravu a způso uvažováí, který eí zdaleka ěžý. Také průěžá příprava je docela důležtá, eoť árazově a a posledí chvíl se statstka rozhodě astudovat edá. Každé podceěí a odkládáí studa a pozděj se s jstotou projeví. Také teto učeí tet, jakkol sympatcký ízkým počtem stra, rozhodě epatří do kategore lehké čety. Na druhou strau je třea kostatovat, že rozhodě ejde o matematckou ehc, ale určté (sad ohleduplé, pokud se to tak dá říc) převyprávěí se sahou o mamálí čtvost a srozumtelost. Př srováí s ěžým učecem statstky, které se vyzačují pět až desetkrát větším počtem stra, je výklad poměrě hutý, pozameaý sahou ve čtyřech kaptolách se alespoň dotkout moha témat, které použtí statstky v techckých oorech otevírá. Jde rozhodě o statstcké mmum, které ude uce skutečý užvatel statstckých metod v udoucu podstatě rozšířt. Na ěkolka místech tetu je poukázáo a užtí pravděpodoost a statstky v techce, která jsou a těchto základech vyudováa. Protože však amcí tohoto tetu je sezámt čteáře s oecým základy statstky (jak ostatě odpovídá sylaům příslušého předmětu), emůže v žádém případě jít o systematcký výklad týkající se (amátkou) ejstot měřeí, hromadé osluhy, regulačích dagramů eo statstcké přejímky. To už je áplň dalších dscplí, které oecé základy statstky využívají a aplkují a kokrétí případy z techckého výzkumu prae. Jde takříkajíc o pokus o eta-verz (sad) udoucího kvaltího učeího tetu, který jž udou přpravovat jí, pro výuku statstky a techckých oorech (především v olast výpočetí techky a formatky) jstě lépe dspoovaí učtelé. Nakolk je už tato zkušeí verze alespoň zčást zdařlá, echť posoudí studet sam. To, že v deší doě lze většu pojmů použtých v této pomůcce vyhledat a teretu (ohužel e vždy přesě a správě), eí třea přpomíat. Jhlava, srpe 04 Autor

4 Oretace v tetu Tet sestává ze čtyř kaptol Zpracováí a pops datového souoru v rozsahu 0 stra, který osahuje tyto odstavce Datový souor (straa 5) Tříděí (straa 6) Charakterstky úrově (straa 5) Charakterstky varalty (straa 8) Pravděpodoost v rozsahu 9 stra, s těmto odstavc Rekaptulace základích pojmů (straa 5) Náhodá velča (straa 9) Zákoy rozděleí dskrétích áhodých velč (straa 39) Zákoy rozděleí spojtých áhodých velč (straa 43) Odhady a testy hypotéz v rozsahu 30 stra, s těmto odstavc Náhodý výěr z rozděleí áhodé velčy (straa 54) Bodový odhad (straa 6) Itervalový odhad (straa 64) Testováí hypotéz o parametrech rozděleí (straa 70) Některé další testy hypotéz (ukázky) (straa 77) Metoda ejmeších čtverců v rozsahu stra, s těmto odstavc Regresí úloha (straa 84) Měřeí průěhu závslost (straa 85) Měřeí tezty závslost (straa 87) Příklad regresí úlohy (straa 88) Kalrace (straa 90) Na koc tetu je přpoje stručý výtah z taulek kvatlů dvou důležtých áhodých velč. Vždy za jedím eo ěkolka odstavc jsou vložey otázky a úkoly, které y měl studet vyřešt, pokud chce postoupt vpřed. Celkem jde o 59 položek, které mohou dokoale prověřt samostatou přípravu studeta a současě tvoří výchozí materál pro průěžé písemé práce a formulováí otázek ke zkoušce. Každá kaptola kočí souhrem proraé látky. Na závěr kaptoly jsou vyjmeováy ěkteré další souvsející prolémy, a které ezyl čas a prostor.

5 Kaptola Zpracováí a pops datového souoru Základí surovou popsé statstky je datový souor, kokrétě způso jeho pořízeí, zpracováí (k tomu se používá se především metoda tříděí) a měřeí hlavích statstckých vlastostí dat (především úrově a varalty) pomocí souhrých statstckých charakterstk. Pořízeí datového souoru (statstcké zjšťováí, šetřeí) má, vzhledem k velm šrokému použtí statstky dotýkajícího se moha oorů ldské čost, velm růzou podou počíaje epermetálím měřeím v laoratořích a zkušeách, přes ejrůzější zjšťováí proíhající takříkajíc v provozích podmíkách, až třea po dotazíková šetřeí v souorech domácostí. Moderí přístup k získáváí statstckých dat představuje tzv. data mg, spočívající v sofstkovaém vytěžováí statstckých dat orgazovaých v dataázích. O tom, že tato čost ayla průmyslového charakteru, svědčí používaé pojmy jako datový sklad, datová pumpa apod. K epermetálím účelům se také využívají tzv. geerátory áhodých čísel, které automatcky produkují smulovaé datové souory požadovaých vlastost. Pokud ychom hodlal zůstat a půdě popsé statstky (apř. v rámc ašeho studjího předmětu), ehrál y způso pořízeí datového souoru až takovou rol. Protože však hodláme zaroust také do matematcké statstky (ta se zaývá především metodam statstcké dukce zoecěí pozatků získaých a datovém souoru), dospějeme v jstém okamžku k pojmu áhodý výěr z rozděleí pravděpodoost áhodé velčy. Čstě pro potřey popsé statstky ovšem zatím stačí představt s, že jsme přšl k hotovému a datový souor máme tudíž k dspozc, až pátráme po způsou, jakým yl poříze.. Datový souor Měřeá velča Měřeé velčy rozlšujeme podle způsou, jakým získáváme jejch hodoty: Kardálí velča jejíž číselé hodoty získáváme cestou měřeí ve vlastím slova smyslu (typcky fyzkálích měřeí) v měrých jedotkách v souladu se soustavou SI (sedm základích jedotek, odvozeé jedotky, ásoé jedotky, vedlejší jedotky). Př ozačováí měřeé velčy má předost X (velké ). Kardálí velčy rozlšujeme podle spojtost a dskrétí espojté (aývající zolovaých hodot, často e utě celočíselých) a spojté (reálá čísla). Kromě toho rozlšujeme kardálí velčy s přrozeou a kovečí ulou. To je důležté pro jejch rozděleí a poměrové (jejch hodoty lze porovávat rozdílem podílem) a tervalové (jejch hodoty lze porovávat je rozdílem typcky apř. teploty ve C). V dalším tetu této kaptoly udeme předpokládat výhradě kardálí velču. Ordálí velča, jejíž číselé hodoty získáme růzě, typcky apř. očíslováím uspořádaých hodot kardálí velčy pořadovým čísly vzestupě eo sestupě. V tomto případě jsou elmováy rozdíly mez hodotam (rozdíl dvou sousedích hodot je ahraze jedotkovým rozdílem jejch pořadových čísel). S touto velčou se v ašem předmětu praktcky esetkáme. Kategorálí velča, kdy jedotlvé případy klasfkujeme do slově vyjádřeých kategorí (apř. událost astala/eastala, tskára je jehlčková/koustová/laserová apod.). Zde se ehovoří o měřeí, ale o srováváí, a o hodotách, ýrž o oměách. Pokud jsou kategore očíslováy (apř. událost astala, událost eastala 0), jde o číselý kód a čísla emají výzam velkost. V rámc této kaptoly se s kategorálí velčou esetkáme. 5

6 Naměřeé hodoty Pokud jde o kardálí velču (vezměme příklad měřeí určté fyzkálí vlastost součástky), je třea s uvědomt, že její aměřeá hodota je je áhodou totožá s hodotou skutečou. Naměřeá hodota je především zatížea ejstotou měřeí. Skutečá hodota je pak složea z hodoty omálí (jmeovté, očekávaé) a dvduálí, případ od případu se měící, odchylky od omálí hodoty vz dagram. Naměřeá hodota datový souor jako celek jsou tedy jedotou determstcké (předvídatelé) složky a složky áhodé (tudíž epředvídatelé). Pokud y šlo apř. o měřeí proudových jstčů, můžeme očekávat že aměřeé hodoty udou kolísat oretačě kolem omálí hodoty (jmeovtého proudu v A uvedeého a jstč), jedak vlvem dvduálích odchylek vzklých př výroě jedotlvých jstčů, jedak vlvem ejstot měřeí. Statstka (zejméa popsá) se prolematkou ejstot měřeí ezaývá, proto j poecháme straou. Dagram: aměřeá vs. skutečá hodota Naměřeá hodota Skutečá hodota Nejstoty měřeí Typ A Typ B Nomálí hodota Idvduálí odchylka od omálí hodoty Naměřeé hodoty měřeé velčy X, které tvoří datový souor, ozačíme uď jako,,...,,...,, kde číslo je rozsah datového souoru, alteratvě můžeme použít ozačeí, pro,,...,, kde de souvsí s pořadím měřeí. Posloupost ( ) ()... ( )... ( ) azveme uspořádaým datovým souorem, kde čísla jsou pořádkové statstky. Platí ( ) ( ) (ejmeší aměřeá hodota), m. Vzdáleost mez oěma etrémím hodotam R ma m je varačí rozpětí. ( ) ma Posloupost [ ] < [ ] <... < [ ] <... < [ k] azveme vektorem varat. Číslo k (počet vzájemě od see růzých varat) je řádově meší ež rozsah souoru.. Tříděí Má-l datový souor větší rozsah (oretačě alespoň > 30) je vhodé přstoupt k jeho zpracováí pomocí tříděí. Výsledkem tříděí je rozděleí četostí, které je opět jedotou očekávaého zákotého a ahodlého. Tříděí eí samoúčelé, protože taulkové eo grafcké vyjádřeí rozděleí četostí umožňuje usuzovat apř. a symetr č esymetr rozděleí kolem ějakého cetrálího odu, stupeň a místo akupeí ejvětšího počtu hod- 6

7 ot, délku koců, přítomost chvostu apod. Kromě toho rozděleí četostí umožňuje měřt a porovávat strukturu datových souorů. Bodové a tervalové tříděí, rozděleí četostí O odovém tříděí se hovoří tehdy, pokud se podaří z dat etrahovat vektor varat (ěkolk málo růzých hodot se mohoásoě opakuje). Rozděleí četostí př odovém tříděí je tvořeo dvousloupcovou taulkou (vz). K tervalovému tříděí přstoupíme tehdy, pokud se z dat epodaří etrahovat vektor varat (aměřeé hodoty jsou apř. vesměs růzá reálá čísla). V tom případě přstoupíme k vytvořeí třídcích tervalů. Jde o sujektví záležtost, ale aychom dosáhl žádoucího efektu, je vhodé př tom respektovat určté oecé zásady (přměřeý počet k tervalů, jejchž počet y eměl poklesout pod šest, kostatí šířka tervalu h, esporé vymezeí hrac tervalů, elmace odlehlých hodot pomocí prvího a posledího otevřeého tervalu). Iterval je zpravdla zastupová svým středem (vz taulka). Taulka rozděleí četostí př odovém a tervalovém tříděí Varata Četost Střed třídcího tervalu Četost [] [] [ ] : : : : [ k ] k Součet Součet Pozámky k taulce hraaté závorky u varat udeme adále vyechávat, takže varaty středy tervalů udeme začt stejě, výzam vyplye z kotetu, počet varat a počet třídcích tervalů se začí shodě jako k, pojmem četost (vz dále) ozačujeme počet opakováí -té varaty eo počet hodot ležících v -tém tervalu, součet četostí je v oou případech rove rozsahu výěru. k k Druhy četostí Četost v taulce, ěkdy azývaé také asolutí četost, ejsou vhodé pro porováváí struktury dvou eo více rozděleí četostí, eoť závsí a rozsahu souoru, který je jejch součtem. Závslost četostí a rozsahu souoru odstraíme přechodem a relatví četost (případě v procetech vyjádřeé ). Relatví četost p. Relatví četost jsou tedy ezáporá desetá čísla, jejchž součet je rove jedé. Postupým ačítáím (kumulací) asolutích eo relatvích četostí vzkají kumulatví četost. Kumulatví četost k j j (tj. p k j j, +, + + 3,..., ). Relatví kumulatví četost mohou ýt rověž vyjádřey v procetech. Případý součet 7

8 kumulatvích četostí y edával smysl. Toto v taulce ozačíme symolem (ležatý křížek) v příslušém políčku součtového řádku. Skalárím součem asolutích četostí a varat/středů tervalů získáme úhr hodot souoru. Zatímco v prvím případě jde o přesé číslo (stejý výsledek ychom získal sečteím původích etříděých hodot), ve druhém případě jde je o přlžý úhr, vzhledem k tomu, že střed tervalu eí dokoalým reprezetatem všech hodot tervalu. Taulkové a grafcké vyjádřeí rozděleí četostí vz ásledující příklady. Příklad odového tříděí V datovém souoru o rozsahu 80 yly detfkováy varaty ula a přrozeá čísla až 4. Následující taulka prezetuje rozděleí četostí př odovém tříděí tohoto datového souoru. Taulka rozděleí četostí př odovém tříděí Varata Asolutí četost Relatví četost p Kumulatví četost k 00 kp 0 0,50 5,0 33 0, , 6 0, , 3 5 0, , , ,0 Součet 80,000 Úsečkový graf asolutí četost a graf relatví kumulatví četost v % 00kp Pozámky k příkladu a odové tříděí součty relatvích četostí emusí vzhledem k zaokrouhlováí utě vyjít jeda (00 %), 8

9 k skalárí souč 6 udává úhr (přesou hodotu) datového souoru, graf kumulatví četost má typcký stupňovtý průěh, relatví četost postačí ke srováí struktury datových souorů růzých rozsahů. Příklad tervalového tříděí Hodoty datového souoru o rozsahu 0 jsou reálá čísla (po zaokrouhleí a celá čísla) ležící v rozmezí m 783, ma 738. Rozhodl jsme třídt datový souor do šest třídcích tervalů pro h 000, které vymezíme, jak je uvedeo v taulce rozděleí četostí. Taulka rozděleí četostí př tervalovém tříděí Vymezeí tervalu Střed tervalu Asolutí četost Relatví četost p Kumulatví četost ( 000) ,07 3 0,07 < ) 500 0,00 4 0,7 < ) ,64 3 0,9 < ) ,73 5 0,464 < ) , ,846 < ) ,54 0,000 Součet 0,000 k kp Hstogram asolutí četost a graf relatví kumulatví četost kp Pozámky k příkladu a tervalové tříděí tervaly musíme vymezt tak, aychom do ch (ejlépe s určtou rezervou) umístl všechy hodoty, 9

10 šířku, hrace a středy tervalů je třea volt s ohledem a mamálí přehledost, tervaly jsme vymezl esporě, výzam závorek je zřejmý (vyskyte-l se apř. hodota 3000, patří do třetího tervalu), prví a posledí terval jsme kocpoval tak, ay yly otevřeé, což má smysl zejméa u posledího tervalu, kam y se hodota 738 jak evešla, eí žádoucí, ay rozděleí četostí osahovalo tervaly s ulovou četostí, šířka otevřeých tervalů se považuje za stejou jako u ostatích tervalů, když se do ch zařazují odlehlé hodoty to a vysvětleou ke středům prvího a posledího tervalu, k skalárí souč 5000 udává úhr (přlžá hodota) datového souoru, sloupcový graf asolutí (relatví) četost se slepeým sloupc se azývá hstogram, graf kumulatví četost je lomeá čára, často esovtého tvaru; ody se vyášejí prot horím hracím tervalů; čáru je vhodé apojt a vodorovou osu v horí hrac fktvího předchozího tervalu, relatví četost epostačí k porováí struktury tervalově tříděých datových souorů z důvodu předpokládaé růzé šířky a růzého počtu tervalů. Četostí fukce a četostí hustota p Pro tervalově tříděá data zavedeme hustotu četostí jako fukc f, tj. jako h relatví četost přpadající a jedotku třídcího tervalu. Hustota četostí (a rozdíl od relatví četost) ezávsí a šířce třídcího tervalu a zachovává s svůj průěh př tříděí do stále většího počtu stále užších tervalů. Lze s představt, že př etrémě jemém tříděí, kdy h 0, přejde lomeá čára představující průěh relatví kumulatví četost v hladkou křvku a podoě hladkou čarou se oaluje hstogram hustoty četostí. Pokud udeme relatví četost př odovém tříděí a hustotu četostí př tervalovém tříděí chápat jako fukc hodot měřeé velčy, můžeme zavést četostí fukc p ( ), která je ezáporá a ormovaá a tervalu 0 ;, přčemž p( ) (součet délek úseček představujících relatví četost je rove jedé), fukc četostí hustoty, která je ezáporá f ( ) 0 a ormovaá tj. plocha hstogramu četostí hustoty je vždy rova jedé. + f ( ) d, Výzamé hodoty V etříděém, odově eo tervalově tříděém datovém souoru lze ajít hodoty, které jsou výzamé svojí polohou eo četostí. Jde o Etrémí hodoty, m ma, které lze u etříděých a odově tříděých dat určt přesě, zatímco u tervalově tříděých dat je z taulky rozděleí četostí určt edokážeme. 0

11 Typcká hodota (modus, ˆ ), což je u odově tříděých dat varata s ejvětší četostí, zatímco u tervalově tříděých dat leží uvtř tervalu s ejvětší četostí (jak její polohu uvtř tervalu odhadujeme, poecháme straou). U etříděých údajů s malým rozsahem souoru se o určeí typcké hodoty zpravdla epokoušíme. Kvatly, což jsou hodoty, které dělí uspořádaý eo tříděý datový souor ve staoveém poměru četostí. Hlavím kvatlem je medá 0, 50 (prostředí hodota), což je u etříděých uspořádaých dat hodota s pořadím. Pokud + vypočteé pořadí eí celé číslo, vyhovují defc medáu dvě hodoty ezprostředě předchozí a ásledující (apř. 7, 4, medáem je tedy čtvrtá + + hodota, zatímco pro 8, 4, 5 a medáem je současě čtvrtá a pátá hodota). U odově tříděých dat je medáem varata, u které kumulatví relatví četost poprvé překročí hodotu 0,5 (50 %). U tervalově tříděých dat leží medá v tervalu, pro který kumulatví relatví četost poprvé překročí tutéž hodotu (0,5 eo 50 %). Jak jeho polohu uvtř tervalu odhadujeme, poecháme straou. Kvartly ( 0,5, 0,50, 0, 75 ) jsou tř kvatly, které rozdělují souor a čtvrty. Dolí kvartl 0, 5 je medáem dolí polovy souoru, horí kvartl 0, 75 je medáem horí polovy souoru. Prostředí kvartl je medá. Vedle medáu a kvartlů estuje možství dalších kvatlů. Jako vhodý příklad uvádíme percetly, jejchž počet je 99 ( 0,0,..., ) a dělí souor a sto částí 0, 99 o relatví četost 0,0 ( %). Prostředím (padesátým) percetlem je medá a oa percetly v závorce se azývají dolí a horí percetl. Kokrétě s těmto kvatly se pozděj v jé souvslost setkáme. Tvar rozděleí četostí Jak jsme jž dříve uvedl, datový souor osahuje prvek zákotého a předvídatelého a současě prvek ahodlého, případ od případu promělvého. Proto můžeme hovořt o určtých typckých, opakovatelých, tvarech rozděleí četostí. Všímáme s symetre č asymetre rozděleí četostí. Praktcky se ěžě setkáváme s oěma případy. Pokud jde o asymetrcká rozděleí, hovoříme o levostraé (vz příklad k odovému tříděí) eo pravostraé (vz příklad k tervalovému tříděí) asymetr. Př tom se řídíme tím, zda vrchol rozděleí je vychýle doleva (k žším hodotám) č doprava. O etrémě asymetrckých rozděleích se hovoří tehdy, je-l vrchol rozděleí zcela vlevo (apř. v prvím tervalu) eo vpravo (apř. u posledí varaty). Dále se zajímáme o rovoměrost č erovoměrost rozložeí četostí mez jedotlvé varaty/tervaly. Pokud jsou četost rozděley přlžě rovoměrě, hovoří se o rovoměrém rozděleí. V opačém případě jde zpravdla (e vždy) o modálí rozděleí vyzačující se vyšší frekvecí hodot u určté varaty eo v určtém tervalu. Protkladem k modálím rozděleí je rozděleí typu U (dolík místo vrcholu). Zvláští kategor tvoří vícevrcholová rozděleí. Přítomost více vrcholů může vypovídat o škodlvé heterogetě v datech (vzká apř. sloučeím datových souorů, které vzkaly za růzých podmíek).

12 Kromě toho se můžeme zaývat délkou koců rozděleí, výskytem odlehlých hodot, případě přítomostí chvostu hodot a jedom z okrajů rozděleí. Tuto prolematku ale poecháme straou. Růzé typcké tvary rozděleí četostí př tervalovém tříděí Kracový graf s vláky Teto graf představuje vedle grafů rozděleí četostí alteratví pohled a statstcká data, založeý a výzamých hodotách. V grafu se ojevuje krace ohračeá dolím a horím kvartlem a s vyzačeou polohou medáu. Šířka krace je fukcí rozsahu datového souoru. Vláka mají mamálí hodotu,5ásoku vzdáleost příslušého kvartlu od medáu eo kočí v příslušé etrémí hodotě (pokud je vzdálea méě ež,5ásoek vzdáleost kvartlu a medáu). Vymezují tzv. hrady dat. Hodoty ležící za hradam jsou podle vzdáleost ozačey jako odlehlé, případě etrémě odlehlé. I když a prví setkáí se z toho grafu edá moc vyčíst, tak zkušeé oko rychle odhalí vlastost a zvláštost takto zorazeých dat.

13 Kracové grafy s vláky Pozámky ke grafu podle šířky krac je zřejmé, že souor vpravo má větší rozsah, souor vlevo je přesě symetrcký a eosahuje žádé odlehlé hodoty (všechy jeho hodoty jsou uvtř hrade dat), souor vpravo je slě levostraě esymetrcký (vzdáleost mez dolím kvartlem a medáem je malá, protože zde leží více hodot souoru ež a opačé straě), souor vpravo osahuje jedu odlehlou a jedu etrémě odlehlou hodotu, graf je zázorěý v etrémě zjedodušeé podoě, protože může osahovat daleko více prvků vypovídajících o dalších vlastostech dat (pro ás y yl ovšem přílš složtý). Zmíěé pohledy a datový souor jsou kromě dalších postupů součástí tzv. průzkumové (eploratorí) aalýzy dat. 3

14 Témata pro tutorál (resp. pro cvčeí a prezečí formě studa). Charakterzujte kardálí, ordálí a kategorálí velču.. Co vám říkají pojmy dskrétí a spojtá velča a tervalová a poměrová velča? Ke které z velč z odu se vztahují? 3. Rozeerte vztah mez aměřeou a skutečou hodotou kardálí velčy. 4. Co je uspořádaý datový souor a jak se azývají jeho hodoty? 5. Co jsou varaty? 6. Jaké druhy tříděí rozlšujeme? 7. Shrňte oecé prcpy tervalového tříděí. 8. Rekaptulujte druhy četostí a jejch vzájemé vztahy. 9. Srovejte grafcké zázorěí rozděleí četostí pro odové a tervalové tříděí. 0. Jak se staoví úhr hodot tříděého datového souoru? Kdy jde o přesé číslo a kdy jde je o odhad úhru a proč?. Proveďte samostatě tervalové tříděí dvduálě zadaého datového souoru.. U ásledujících pojmů rozhoděte, zda se vztahují k odovému eo tervalovému tříděí, případě k oěma druhům vektor varat, hstogram, relatví kumulatví četost v %, stupňový graf kumulatví četost, hustota četostí, četostí fukce. 3. Co rozumíme pod pojmem výzamé hodoty? Čím jsou výzamé a jaké jsou jejch druhy? 4. Doplňte způso určeí etrémích hodot, medáu a modu do taulky. Netříděé údaje Bodově tříděé údaje Itervalově tříděé údaje Etrémí hodoty Medá Modus 5. Co je medá? Přesvědčte se, že jste pochopl prcp jeho určeí a příkladu, kde hodoty :,, 6,3,5,0,0,9,5, Jak se azývá a jaké prvky osahuje graf založeý a výzamých hodotách, ze kterého lze vyčíst hlaví vlastost datového souoru (asymetre, přítomost odlehlých hodot apod.)? 7. Pojmeujte každý z tvarů rozděleí četostí a příslušém orázku. 8. Pokud ezáte, vyhledejte výzam pojmů data mg, smulace, geerátory áhodých čísel a eploratorí aalýza dat. 4

15 .3 Charakterstky úrově Údaje datového souoru charakterzují každý případ zvlášť. V této chvíl jde o to, aychom zoecl statstcké vlastost datového souoru jako celku. Tvrzeí souor A má žší úroveň ež souor B ezameá utě, že každý údaj souoru A aývá žší hodoty ež lovolý údaj souoru B, ale to, že estuje taková tedece, která je rozpozatelá pro datové souory jako celek. Velčy, které jedím číslem vyjadřují určtou vlastost datového souoru jako celku, se azývají souhré statstcké charakterstky. Nejěžější charakterstkou úrově je artmetcký průměr, když se o průměrech zpravdla hovoří v možém čísle (estuje apř. průměr geometrcký, harmocký aj.). Kromě toho lze ke změřeí úrově datového souoru využít apř. medá. Artmetcký průměr Artmetcký průměr ( s pruhem) se od ostatích průměrů lší tzv. určující vlastostí, kterou můžeme formulovat takto: a můžeme j přepsat jako, z čehož artmetcký průměr Vzhledem k tomu, že př výpočtu využíváme prostý součet hodot datového souoru, azývá se tato forma prostou formou artmetckého průměru. Jsou-l data předem zpracováa pomocí odového eo tervalového tříděí, využíváme artmetcký průměr ve vážeé formě. Hodoty jsou v případě odového tříděí varaty a v případě tervalového tříděí středy tervalů. Jde o tutéž charakterstku, pouze o jou formu vyjádřeí. Artmetcký průměr ve vážeé formě je relatví četost, k k p, k k p., kde je asolutí a p a k je počet varat eo počet třídcích tervalů. Pro artmetcký průměr je typcké, že a jeho hodotu má vlv každá, tedy odlehlá hodota datového souoru, případě hruá chya. Vlastost artmetckého průměru artmetcký průměr má rozměr měřeé velčy a lze ho určt z jakýchkol reálých hodot, artmetcký průměr kostaty je rove této kostatě, odchylky hodot datového souoru od artmetckého průměru se kompezují (jako ezprostředí důsledek určující vlastost) a platí ( ) 0 (artmetcký průměr je těžštěm datového souoru), 5

16 souhlasě s vlastostm těžště platí c) ( ( ) + ( c) a ejmeší možou hodotu tedy součet čtverců odchylek aývá, je-l je-l velča Y kx + c, kde k, c jsou kostaty, platí také y ( k + c) k + c, je-l velča W X ± Y, je současě w ± y, c, je-l dáo k dílčích souorů s rozsahy,,...,,..., k a dílčím průměry, pak k společý průměr těchto dílčích souorů je rove k. Výpočet artmetckého průměru v prosté formě a využtí jeho vlastostí Hodoty datového souoru tvoří pět aměřeých teplot ve C :,6; 4,8;,9; 3,7;,. Součet teplot je 5, a průměrá teplota staoveá jako artmetcký průměr v prosté formě 5, 3, 0 [ C]. 5 Průměr staoveý ve C přepočteme a F (Fahreheta). Vztah mez oěma teplotím stupcem je F,8 C + 3. Takže y,8 3, , 44 [ F]. Máme tedy 5, 3, 0 K dspozc je další souor měřeí o rozsahu 8 s průměrem 3,. Z oou dílčích souorů měřeí vypočteme společý průměr jako vážeý artmetcký průměr (3, , 8) 99,98 3, [ C]. Další charakterstky úrově Ke změřeí úrově datového souoru můžeme z dosud zámých velč využít medá a modus 0, 50 ˆ. Pro medá je charakterstcká poloha uvtř datového souoru je jeho prostředí hodotou. Modus zase souvsí s četostí výskytu (často ejvětší četost vykazují právě varaty eo tervaly ěkde uprostřed tříděého datového souoru, když to eí 00% pravdlem). Žádá z oou jmeovaých charakterstk eí odvozea od všech hodot datového souoru, etrémí hodoty dokoce a charakterstku emají žádý eo je mmálí vlv. Charakterstky s takovou vlastostí azýváme roustí charakterstky. 6

17 Vlastost medáu jako charakterstky úrově Použjeme uspořádaý výěr z předchozího příkladu, tj. ( ) :,9;,;,6; 3,7; 4,8 Medáem je prostředí hodota 0,50, 6 [ C]. Na F ychom přepočítával medá podle stejého vzorce jako artmetcký průměr. Společý medá z medáů dílčích souorů elze staovt. Nyí rozšíříme datový souor o jedu hodotu. Př poruše klmatzace yla aměřea teplota 44,5 C. Vypočítáme-l z těchto údajů artmetcký průměr, jeho hodota ude 6,6 C. Defc medáu aprot tomu vyhovují hodoty,6 a 3,7. Chceme-l získat medá jako,6 + 3,7 jedé číslo, určíme 0,50 3, 5 [ C]. Vzájemá poloha artmetckého průměru, modu a medáu určuje tvar rozděleí četostí, pokud jde o jeho symetr, resp. asymetr. U symetrckého rozděleí platí ˆ 0,. 50 Máme zde ovšem a mysl statstckou symetr, kol symetr přísě geometrckou. U asymetrckých rozděleí ude ˆ < u levostraě (poztvě) asymetrckého rozděleí četostí, < ˆ u pravostraě (egatvě) asymetrckého rozděleí četostí, přčemž medá zpravdla leží mez oěma uvedeým charakterstkam. Asymetre datového souoru je jeho další měřtelou statstckou vlastostí. Jejím měřeím se ovšem eudeme zaývat. Na závěr jsme s poechal krátký příklad výpočtu vážeého artmetckého průměru z tervalově tříděých dat. k Výpočet vážeého artmetckého průměru z tervalově tříděých dat V příkladu a tervalové tříděí jsme azačl tříděí 0 hodot (řekěme, že jde o žvotost součástek v hodách) do šest tervalů o šířce h 000. Vážeý artmetcký k průměr. V pozámkách pod zmíěým příkladem je uvedea hodota skalár- ího souču Vážeý artmetcký průměr je tedy , 5. 0 Průměrá žvotost součástky je tedy 4745,5 hod. Pozámka k příkladu musíme s uvědomt, že ejde o stejou hodotu, kterou ychom získal výpočtem prostého artmetckého průměru ze všech 0 etříděých údajů (je vám jasé, proč?). 7

18 .4 Charakterstky varalty Varalta promělvost je eodmysltelou součástí každých statstckých dat. Příč a zdrojů varalty je více, v zásadě rozlšujeme varaltu přrozeou a chyovou. K chápáí a měřeí varalty lze přstupovat růzým způsoem a estuje také velké možství charakterstk varalty. Od ejprmtvějších (mez které patří jž dříve zmíěé varačí rozpětí R), až po ejdůležtější (a eje to, doslova ukátí) charakterstku varalty, kterou je rozptyl průměrá čtvercová odchylka kolem artmetckého průměru. Ukátí vlastostí rozptylu (kterou emá žádá další charakterstka varalty) je rozkládat celkovou varaltu ve složky a ty opět podle potřey skládat. Proto se v této část udeme věovat především této charakterstce varalty. Rozptyl V souladu se svojí defcí průměré čtvercové odchylky kolem artmetckého průměru staovíme rozptyl v prosté formě (pro etříděá data) jako var s ( ), po úpravě var s Vdíme, že rozptyl lze ozačovat dvojím způsoem, přčemž ozačeí var je zkratkou alteratvího ázvu rozptylu varace. Tomuto ozačeí udeme většou dávat předost. Ve vážeé formě (pro tříděá data) ude aalogcky k k var s ( ), po úpravě var s, kde jsou varaty (př odovém tříděí) eo středy třídcích tervalů a jsou jejch četost. Vdíme, že v oou případech můžeme rozptyl vyjádřt prostředctvím artmetckých průměrů jako průměr čtverců hodot zmešeý o čtverec jejch artmetckého průměru. Vlastost rozptylu rozptyl je rozměrá charakterstka (jako čtverec má rozměr, který je čtvercem rozměru velčy X) a lze ho určt z lovolých reálých hodot, rozptyl, jako čtverec, je vždy ezáporý, ule je rove př výpočtu z kostaty, rozptyl je v souladu odpovídající vlastostí artmetckého průměru ejmeší estující průměrou čtvercovou odchylkou, je-l velča Y kx + c, kde k, c jsou kostaty, platí var y k var, je-l velča W X ± Y, je var w ( w w) var + var y ± cov y (zdůrazňujeme zaméko + mez oěma rozptyly, přčemž mez zaky je ± ), kde cov y ( )( y y) y y y y, cov y 0, je tzv. kovarace velč X, Y, jejíž hodota souvsí s uspořádáím hodot, y do dvojc (stejé hodoty př růzém uspořádáí vedou k růzé hodotě kovarace), je-l dáo k dílčích souorů s rozsahy,,...,,..., k, dílčím průměry a dílčím rozptyly s, společý rozptyl těchto dílčích souorů. 8

19 k k s ( ) k s + k s + přčemž prví sčítaec reprezetuje průměrý rozptyl uvtř dílčích souorů a druhý sčítaec rozptyl dílčích průměrů kolem společého průměru ( ). Způso výpočtu a vlastost rozptylu udeme demostrovat a příkladech. s, Výpočet rozptylu z etříděých dat V taulce jsou aměřeé hodoty vstupího apětí ve voltech. Taulku využjeme současě k demostrováí postupu výpočtu rozptylu dvěma způsoy. Číslo měřeí Naměřeá hodota [V] ( ) ,3 38,7 39,6 39,0 39,5 37,0 37,9 36,8 3,4 0,36,5 0,8,96, 0,04, , , ,6 57, ,5 5669, , ,4 Součet 904,8, ,44 Artmetcký průměr 904,8 38, [V]. 8 Rozptyl (vzorec se závorkou) var,56, 445 [V ]. 8 Rozptyl (vzorec ez závorky) var ,44 38, 56693, ,6, [V ]. Pozámky k příkladu vzorec pro výpočet volíme zpravdla podle komplkovaost průěhu výpočtu (zde se více hodí závorková forma), oěma způsoy musí vyjít stejý výsledek, pokud ychom do taulky vložl sloupec ( ), získal ychom v součtovém řádku ulu, v průěhu výpočtu se sažíme ezaokrouhlovat apř. zaokrouhleím průměru staovíme odchylky od hodoty lšící se od průměru, což se a výsledku projeví, vzhledem k měré jedotce je otížé s pod vypočteou hodotou ěco představt teto prolém řeší charakterstky odvozeé od rozptylu (vz dále). 9

20 Schematcké příklady týkající se vlastostí rozptylu Zvolíme jedoduchá data v taulce y y y z + z var (každá pětce čísel rostoucích/klesajících po jedé má rozptyl rove této hodotě), var y var (rozptyl se měí se čtvercem kostaty k, přčemž kostata c a ěj emá vlv), var( + y ) var + var y + cov y, tj. rozptyl součtu je rove součtu rozptylů zvětšeý o dvojásoek kovarace, z čehož cov y ( 8) 4, var( y ) 8 var + var y cov y, tj. rozptyl rozdílu je rove součtu rozptylů zmešeý o dvojásoek kovarace, z čehož opět cov y (8 8) 4, sloupec z osahuje původí hodoty y v jém pořadí (čímž přestal platt vztah z druhého sloupce, ale var z var y 8 ), pak var( + z ) 7, 6, z čehož cov y (7,6 8), záleží tedy a uspořádáí hodot ve dvojcích, sloučíme-l hodoty prvích dvou sloupců do jedoho souoru, můžeme z těchto 0 hodot určt rozptyl 5,5, což je společý rozptyl, který lze staovt také jako + 8 průměrý rozptyl uvtř dílčích souorů ( ) 5 (výjmečě př 0 stejém rozsahu postačí prostý průměr), zvětšeý o rozptyl dílčích průměrů kolem společého průměru 0,5 + 0,5 [(4 4,5) 5 + (5 4,5) 5] 0, 5 (opět výjmečě př stejém rozsahu postačí prostý artmetcký průměr). Společý rozptyl 0 je tedy 5 + 0,5 5, 5 (stejý výsledek, jako př výpočtu z původích hodot). Dále se zaměříme a výpočet rozptylu ve vážeé formě. K tomu využjeme příklad a odové tříděí. 0

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

Statistické zpracování dat

Statistické zpracování dat Bakoví sttut vysoká škola Praha Katedra IT Statstcké zpracováí dat Bakalářská práce Autor: Ja Culka Iformačí techologe, Maaţer projektů Vedoucí práce: Mgr. Olga Procházková Praha Červe, 00 Prohlášeí: Prohlašuj,

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č.

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č. Evropská federace árodích asocací měřcích, zkušebích a aalytckých laboratoří Techcká zpráva č. /006 Srpe 006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek T e c h c k á z p r á v a EUROLAB

Více

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA Fakulta elektrotechky a formatky TATITIKA. ZÁKLADNÍ OJMY. Náhodý pokus a áhodý jev NÁHODNÝ OKU proces realzace souboru podmíek kde výsledek emůžeme předem ovlvt. - výsledek áhodého pokusu. - jev, který

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Statistika - vícerozměrné metody

Statistika - vícerozměrné metody Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Statistická analýza dat

Statistická analýza dat INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BNĚ AKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝ, CSc. ING. ZBYNĚK KEŠNE, CSc. ING. OSTISLAV ZÍDEK ING. ZBYNĚK VLK ZÁKLADY STAVEBNÍ ECHANIKY ODUL BD0-O SILOVÉ SOUSTAVY STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

Jednoduchá lineární regrese

Jednoduchá lineární regrese Jedoduchá leárí regrese Motvace: Cíl regresí aalýz - popsat závslost hodot velč Y a hodotách velč X. Nutost vřešeí dvou problémů: a) jaký tp fukce se použje k popsu daé závslost; b) jak se staoví kokrétí

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU

APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA PODNIKATELSKÁ ÚSTAV FINANCÍ FACULTY OF BUSINESS AND MANAGEMENT INSTITUTE OF FINANCES APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x)

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x) 9 REGRESE A KORELACE Slovo regrese oecě zmeá poh zpět ústup ávrt regresví = ustupující Opčým termíem je progrese pokrok postup šířeí růst Pojem regrese l do sttstk zvede kocem 9 století rtským učecem Frcsem

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

4. Strojové učení. 4.1 Základní pojmy

4. Strojové učení. 4.1 Základní pojmy 4. Stroové učeí 4. Základí pomy Důležtou vlastostí žvých orgasmů e schopost přzpůsobovat se měícím se podmíkám (adaptovat se), evetuálě se učt a základě vlastích zkušeostí. Schopost učt se bývá ěkdy dokoce

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I M.H. 2003 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST - 1 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I M.H. 2003 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST - 1 - Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST Studjí obor (kód a ázev): -4-M/00 Strojíreství - - Středí průmyslová škola, Uherské Hradště,

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

1 EXPLORATORNÍ ANALÝZA PROMNNÝCH. as ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt použít

1 EXPLORATORNÍ ANALÝZA PROMNNÝCH. as ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt použít EXPLORATORNÍ ANALÝZA PROMNNÝCH as ke studu kaptoly: mut Cíl: Po prostudováí této kaptoly budete umt použít základí pojmy eploratorí (popsé) statstky typy datových promých statstcké charakterstky a grafckou

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Výsledky této ásti regresní analýzy jsou asto na výstupu z poítae prezentovány ve form tabulky analýzy rozptylu.

Výsledky této ásti regresní analýzy jsou asto na výstupu z poítae prezentovány ve form tabulky analýzy rozptylu. Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cveí 4 JEDNODUCHÁ LINEÁRNÍ REGRESE asto chceme prozkoumat vztah mez dvma velam, kde jeda z ch, tzv. ezávsle promá x, má ovlvovat druhou, tzv. závsle promou Y. edpokládá

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Jednokriteriální rozhodování za rizika a nejistoty

Jednokriteriální rozhodování za rizika a nejistoty Jeokrterálí rozoováí za rzka a estoty U eokrterálíc úlo e vžy pouze eo krtérum optmalty, a to buď maxmalzačí ebo mmalzačí. araty rozoováí sou zaáy mplctě - pomíkam, které musí být splěy (vz úloy leárío

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

VŠB Technická univerzita Ostrava DISKRIMINAČNÍ ANALÝZA JAKO NÁSTROJ PRO HODNOCENÍ CHIRURGICKÝCH RIZIK

VŠB Technická univerzita Ostrava DISKRIMINAČNÍ ANALÝZA JAKO NÁSTROJ PRO HODNOCENÍ CHIRURGICKÝCH RIZIK VŠB Techcká uverzta Ostrava Fakulta elektrotechky a formatky DISKRIMINAČNÍ ANALÝZA JAKO NÁSTROJ PRO HODNOCENÍ CHIRURGICKÝCH RIZIK Dzertačí práce Studjí obor: Školtel: Doktoradka: Výpočetí a aplkovaá matematka

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

Využití účetních dat pro finanční řízení

Využití účetních dat pro finanční řízení Využtí účetích dat pro fačí řízeí KAPITOLA 4 V rác této kaptoly se zaěříe a časovou hodotu peěz (a to včetě oceňováí ceých papírů), která se prolíá celý vestčí rozhodováí, dále a fačí aalýzu (vycházející

Více

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika Nepředvídaé událost v rác kvatfkace rzka Jří Marek, ČVUT, Stavebí fakulta {r.arek}@rsk-aageet.cz Abstrakt Z hledska úspěchu vestce ohou být krtcké právě ty zdroe ebezpečí, které esou detfkováy. Vzhlede

Více

Aktivita 1 Seminář základů statistiky a workshop (Prof. Ing. Milan Palát, CSc., Ing. Kristina Somerlíková, Ph.D.)

Aktivita 1 Seminář základů statistiky a workshop (Prof. Ing. Milan Palát, CSc., Ing. Kristina Somerlíková, Ph.D.) Aktvta Semář základů tattky a workhop (Prof. Ig. Mla Palát, CSc., Ig. Krta Somerlíková, Ph.D.) Stattcké tříděí Základí metoda tattckého zpracováí. Sekupováí hodot proměé, které jou z hledka klafkačího

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více