DIPLOMOVÁ PRÁCE. Generace koherentního krátkovlnného (l<160nm) záření pomocí konvenčních laserů

Transkript

1 Univezita Kalova v Paze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Jaomí Chalupský Geneace koheentního kátkovlnného (l<6nm) záření pomocí konvenčních laseů Kateda chemické fyziky a optiky Vedoucí diplomové páce: Ing. Libo Juha, CSc. (FZÚ AV ČR), Pof. RND. Pet Malý, DSc. (KCHFO UK MFF) Konzultant: Ing. Jaoslav Kuba, PhD. Studijní pogam: fyzika, optika a optoelektonika kvantová nelineání optika

2

3 Poděkování Tímto bych chtěl především poděkovat vedoucímu své diplomové páce panu Libou Juhovi za ady a návhy týkající se teoetické i paktické části a také za liteatuu, kteou mi poskytl. Dále bych chtěl poděkovat Jaoslavu Kubovi za konzultace poblémů spojených s expeimentální částí a panu pofesou Petu Malému, kteý umožnil konání diplomové páce mimo MFF. Můj dík patří také Jaoslavu Cihelkovi, Janu Weichetovi a zahaničním kolegům J. Kzywinskému, R. Sobieajskému, R. Nietubycovi, M. Jukovi, N. Stojanovicovi, K. Sokolowski-Tintenovi a T. Tschentscheovi za přínosnou spolupáci při expeimentech v DESY Hambug. V neposlední řadě bych chtěl poděkovat svojí odině a svým blízkým za jejich podpou. Pohlašuji, že jsem svou diplomovou páci napsal samostatně a výhadně s použitím citovaných pamenů. Souhlasím se zapůjčováním páce. V Paze dne Jaomí Chalupský 3

4 4

5 Obsah. Úvod... Teoetická část. UV záření a jeho vlastnosti...3. Vymezení UV záření ve spektu elektomagnetického záření NUV blízká ultafialová oblast VUV vakuová ultafialová oblast XUV extémní ultafialová oblast Soft X-Ray měkké entgenové záření...4. Lineání inteakce záření s hmotou Chování světla v postředí Chování světla na ozhaní dvou postředí Chování světla na dielektické vstvě Optické mateiály Tanspaentní UV mateiály Reflektivní UV mateiály Geneace koheentního UV záření Úvod Přehled zdojů koheentního záření v UV oblasti Přímé laseové zdoje Nepřímé koheentní zdoje FEL Lase na volných elektonech Diskuse dostupnosti kátkovlnných koheentních zdojů Přímé laseové zdoje Základní pincip laseu Temodynamický přístup k aktivnímu postředí Dvouhladinový model Homogenní a nehomogenní ozšíření čáy Laseové kinetické ovnice Zavedení pojmů Tojhladinový lase Čtyřhladinový lase Výkonové vlastnosti laseu Kvantový popis aktivního postředí Kvantový systém v hamonické pouše Konstukce kátkovlnných laseů Rezonátoy Ovládání postoových a spektálních vlastností svazku Čepání aktivních postředí Geneování pulsů Čepání apaatuy Přímé metody geneace kátkovlnného laseového záření...7 5

6 4.6. Atománě-iontové a plazmové UV lasey Molekulání UV lasey Bavivové UV lasey Pevnolátkové UV lasey Nepřímé koheentní zdoje Úvod do nelineáních pocesů Nelineání inteakce záření s hmotou Nelineaita polaizace postředí Tenzo dipólové susceptibility Záření nelineáního postředí Třívlnové směšovací pocesy Geneování duhé hamonické (SHG) Geneování součtové fekvence (SFG) Podmínka sfázování Třívlnové směšovací pocesy v paxi Inteakce vyšších sudých řádů Čtyřvlnové směšovací pocesy Geneování 3.hamonické (THG) a součtové fekvence (SFG) Podmínka sfázování Paametické čtyřvlnové oscilace Inteakce vyšších lichých řádů Sudovlnové směšovací pocesy v paxi Stimulovaný Ramanův ozptyl (SRS) FEL Lase na volných elektonech Úvod Fyzikální podstata FEL Vlnová délka geneovaného záření Intenzita geneovaného záření Technická ealizace FEL Základní komponenty FEL...5 Expeimentální část 7. Zařízení FLASH (dříve VUV FEL) Použité přístoje a metodika Zdoj kátkovlnného záření Zařízení FLASH Diagnostika FEL pulsů Nastavení fluence FEL záření na povchu vzoku Inteakční komoa a její příslušenství Popis inteakční komoy Příslušenství inteakční komoy Instumentace po UV-VIS emisní spektoskopii Uspořádání optiky po detekci signálu Spektomet ORIEL MS57 TM a iccd detekto Kalibační lampy Metodika měření spekte Následné studium poškození povchu vzoků Nomaského mikoskop BX5M Mikoskop atománích sil - AFM...4 6

7 8.4.3 Způsob ozařování Vzoky ozářené svazkem FLASH Výsledky a diskuse Ablace mateiálů indukovaná kátkovlnným FEL Vztahy použité k vyhodnocení výsledků Výsledky získané na tenké vstvě PMMA Poovnání FEL ablace Si, SiO a PMMA Mofologie káteů sledovaná Nomaského mikoskopem a AFM UV-vis emisní spekta ablačních oblaků...5. Závě...5. Použitá liteatua...5. Appendix...53 Appendix Odvození vlnové ovnice...53 Appendix Zavedení elektické susceptibility...53 Appendix 3 Odvození Kames-Konigových elací...54 Appendix 4 Odvození Fesnelových vztahů...56 Appendix 5 Změna fáze při totálním odazu...59 Appendix 6 Reflektance a tansmitance ozhaní...6 Appendix 7 Dielektická vstva...6 Appendix 8 Einsteinovy koeficienty...64 Appendix 9 Doppleovské ozšíření spektální čáy...66 Appendix Vývoj populací hladin...67 Appendix Kinetické ovnice tojhladinového laseu...67 Appendix Kvantový systém v časově závislé pouše...68 Appendix 3 Nelineaita polaizace n-tého řádu...7 Appendix 4 Tenzo dipólové susceptibility...73 Appendix 5 Záření nelineáního postředí...75 Appendix 6 Konstukce vyhřívatelného džáku vzoků

8 Název páce: Geneace kátkovlnného koheentního záření (λ < 6nm) pomocí konvenčních laseů Auto: Jaomí Chalupský Kateda (ústav): Kateda chemické fyziky a optiky, MFF UK Paha Vedoucí diplomové páce: Ing. Libo Juha, CSc. ( FZÚ AV ČR) Pof. RND. Pet Malý, DSc. (KCHFO UK MFF) vedoucího: juha@fzu.cz, p.maly@kalov.mff.cuni.cz Abstakt: Teoetická část této páce podává přehled metod využívaných ke geneování kátkovlnného koheentního záření. Popisuje přímé laseové a nepřímé koheentní zdoje VUV a XUV záření založené na nelineáních optických jevech. Dále je pojednáno o laseech na volných elektonech. Přehled pincipů geneace záření a jeho vlastností nám slouží k posouzení využití takových zdojů k ůzným účelům. Exponovány jsou též poblémy spojené s manipulací svazkem kátkovlnného (tj. VUV/XUV) záření. Paktická část shnuje výsledky expeimentů, kteých jsme docílili s laseem na volných elektonech FLASH (Fee Electon LASe in Hambug; dříve VUV FEL) povozovaným v DESY. Popisuje metody a přístoje, kteé jsme používali ke studiu ablace mateiálů a k měření emisních optických spekte ablačního oblaku. Hlavním cílem páce bylo stanovit pahy ablace a efektivní atenuační délky v polymethylmetakylátových (PMMA), křemíkových a jiných (α-sio ) vzocích ozařovaných pulsním ( 3fs) kátkovlnným (3nm) vysokovýkonovým laseovým zdojem. Zachytili jsme čáovou emisi křemíkového plazmatu geneovaného fokusovaným svazkem FLASH. Klíčová slova: XUV záření, koheentní záření, laseová ablace, lase na volných elektonech Title: Geneation of shot-wavelength coheent adiation (λ < 6nm) with conventional lases Autho: Jaomí Chalupský Depatment: Depatment of chemical physics and optics, MFF UK Pague Supeviso: Ing. Libo Juha, CSc. ( IP AS CR) Pof. RND. Pet Malý, DSc. (DCHPO UK MFF) Supeviso's addess: juha@fzu.cz, p.maly@kalov.mff.cuni.cz Abstact: The theoetical pat of this diploma thesis seeks to explain the methods used fo geneation of coheent shot-wavelength adiation. It descibes the pinciples and the opeation conditions of diect lase souces and indiect coheent adiation souces based on non-linea effects. Special attention is then paid to the shot-wavelength fee-electon lases. This wok summaizes popeties of numeous souces of this kind. The intoductoy pat of the thesis deals with the physical backgound of the geneation and the manipulation of shotwavelength (VUV/XUV) adiation. The expeimental pat gives a summay of the esults obtained at the FLASH facility (Fee Electon LASe in Hambug; ealie known as VUV FEL) opeated at DESY. Methods and instumentation used fo investigating the mateials damage due to lase ablation ae descibed in this pat of the thesis. UV-vis emission specta of ablation plume wee measued. Main goal is hee to detemine the ablation thesholds and the effective atenuation lengths in poly (methyl methacylate) (PMMA), quatz (α-sio ) and monocystalline silicon iadiated with pulsed ( 3fs) shot-wavelength (3nm) intense lase adiation. Keywods: XUV adiation, coheent adiation, lase ablation, fee-electon lase 8

9 Teoetická část (a) Geneace kátkovlnného koheentního záření (λ < 6nm) pomocí konvenčních laseů. (b) Kátkovlnné lasey na volných elektonech. 9

10

11 . Úvod Cílem teoetické části této diplomové páce je podat přehled o možnostech a metodikách geneování kátkovlnného koheentního záření v oblastech VUV a XUV. Páce je zaměřena na kátkovlnnou oblast ultafialového spekta po λ<6nm. Po sovnání jsou ovšem uvedeny i koheentní zdoje záření nad touto hanicí. Paktická část efeuje o expeimentech povedených na zařízení FLASH (dříve VUV FEL); což je měkký entgenový lase na volných elektonech povozovaný v DESY Hambug. Popisuje použitou metodiku, přístoje a následně se zabývá vyhodnocením expeimentálních dat na základě základních poznatků o ablaci mateiálů a vlastnostech svazku laseu na volných elektonech. V této části bych ád shnul přínos jednotlivých kapitol a objasnil své pojetí a přístup k teoetickému úvodu této páce. Kapitola.UV záření a jeho vlastnosti ozřejmí inteakci optického záření s látkou. Univezalita této teoie tkví v zavedení lineání komplexního indexu lomu, do kteého jsme schopni zahnout veškeé lineání inteakce světla s hmotou. Kapitola se snaží vysvětlit poblémy s kátkovlnným zářením, s nimiž se v laseové optice setkáváme. Nabízí někteá řešení potíží, kteé jsou spojené s ostoucí absobancí a klesající eflektancí, v podobě vhodné volby mateiálů a vhodných geometických uspořádání (gazing incidence, Bewsteův úhel). Dále z ní plynou užitečné poznatky používané v laditelných laseech (FP etalony, dielektické vstvy). Cílem této části je upozonit na efekty, kteé nás ve viditelné oblasti příliš tápit nemusí, ale po UV záření (obzvláště VUV a XUV) začínají být podstatné. Obsahuje elementání teoii elektomagnetického záření, na kteou se odvolávají ostatní kapitoly. Kapitola 3.Geneace koheentního UV záření má víceméně přehledový a motivační chaakte. Jde o úvod k poblematice geneování kátkovlnného koheentního záření ůznými metodami. Teoie zahnutá v kapitole 4.Přímé laseové zdoje se zabývá převážně laseovými kinetickými ovnicemi a chování základních modelů laseu v učitých podmínkách. Je zakončena kvantovým odvozením pavděpodobnosti tansientních přechodů a účinných půřezů esp. Einsteinových koeficientů spontánní a stimulované emise a absopce, kteé nám dávají představu o účinnosti přímých laseových zdojů. Duhou velkou část tvoří technické zázemí kátkovlnných laseů. Uvedené techniky se mohou lišit od metod používaných ve viditelné oblasti. S někteými těmito metodikami jsem se osobně dosud nesetkal, poto jsem považoval za důležité je uvést. Dále následuje přehled laseových zdojů po UV oblast. Je z něj patné, že příliš mnoho konvenčních laseů pacujících pod 6nm nenajdeme. Vývoj dnes směřuje hlavně k plazmovým laseům, což jsou koheentní zdoje založené na stimulované emisi vysoce nabitých iontů v laseovém a výbojovém plazmatu. Zdoje nad 6nm jsou zmíněny nejen po svou ozšířenost a sovnání s kátkovlnnějšími zdoji, ale i po to, že pávě těchto laseů se často využívá k čepání nelineáních postředí či jiných kátkovlnných laseů. Nacházejí uplatnění dokonce i u FEL; např. pohánějí zdoj elektonů základního lineáního uychlovače. Úvodní část kapitoly 5.Nepřímé koheentní zdoje se zabývá teoetickým popisem záření nelineáního postředí. Od obecného zavedení polaizace se přes vlastnosti tenzou dipólové susceptibility dostane až k soustavě vázaných ovnic, kteá haje v nelineání optice

12 hlavní oli. Z ní se dostáváme k vlastnostem vyšších i vysokých hamonických a součtových fekvencí. V další podkapitole je ozebán případ třívlnových pocesů, na kteém jsou názoně vysvětleny poblémy spojené s vícevlnovým směšováním. Přestože třívlnové zdoje nevedou ke vzniku závatně kátkých vlnových délek, je jejich důležitost obovská. Důvodem je celkem vysoká účinnost konveze, kteá nám dovoluje geneovat vysoké intenzity v UV oblasti. Kombinací třívlnových inteakcí jsme schopni geneovat vyšší hamonické a získat tak vhodné čepací zdoje po VUV a XUV oblast. Typickým příkladem je 4.hamonická Nd:YAG laseu v kombinaci s inteakcí 7.řádu. V konečném výsledku získáme 8.hamonickou Nd:YAG. Následující podkapitola pojednává o inteakcích třetího a vyšších lichých řádů. Vysvětluje nejen metody sfázování a uspořádání používaná ve VUV oblasti, ale také poblémy, na kteé při konvezi naážíme. Poslední část páté kapitoly je zaměřena na zdoje využívající Ramamova a stimulovaného Ramanova ozptylu. Vysvětluje jeho podstatu a uvádí někteé Ramanovské zdoje čepané kátkovlnnými lasey. Nakonec také popisuje podstatu antistokesovského amanovkého laseu. Poslední kapitola teoetické části 6.FEL Lase na volných elektonech popisuje vykonný zdoj koheentního kátkovlnného záření, kteé je geneováno elativistickými elektony v poměnném magnetickém poli. Teoeticky ozebíá undulátoové záření v jednoozměném případě. V poslední podkapitole je pincipiálně popsána technologie FEL a jeho uživatelské ozhaní. V následujících částech páce již popisujeme ealizaci a výsledky pvních inteakčních expeimentů povedených s kátkovlnným laseem na volných elektonech. Na základě popsaných paametů ůzných zdojů by mělo být možno posoudit, jaký aplikační potenciál zbývá zdojům koheentního XUV záření využívajícím konvenvenčních laseů v konkuenci nové geneace laseů na volných elektonech.

13 . UV záření a jeho vlastnosti. Vymezení UV záření ve spektu elektomagnetického záření Ultafialové záření spadá mimo viditelnou oblast a vyznačuje se větší enegií jednotlivých kvant záření. Na jedné staně haničí s fialovou částí viditelného spekta a na duhé staně plynule přechází do oblasti měkkého entgenového záření (soft X-Ray). Hanice UV oblasti nelze jednoznačně učit, což nás např. ve VIS oblasti netápilo. Poto byl UV záření vymezen ozsah vlnových délek od nm do 4nm. Příslušné enegie fotonu spočteme dle vztahu: Kde Planckova konstanta hc 37,5 E = h ω = EeV [ ] = (.) λ λ [ nm] 34 8 h = 6,6 J s, ychlost světla ve vakuu c = 3 m s a = 9 J (zdoj viz. []). Dosazením vlnové délky v nm do vztahu (.) získáme ev,6 enegii fotonu v elektonvoltech. Tedy foton v UV oblasti má enegii zhuba v intevalu od 3eV do 4eV. UV oblast, stejně jako i ostatní oblasti elektomagnetického záření, lze dále ozčlenit na menší oblasti. Členění se povádí s ohledem na inteakci UV záření s hmotou, tudíž se jednotlivé oblasti mohou překývat a polínat. Spektum UV oblasti je zachyceno v ob.. Ob. Členění UV oblasti spekta 3

14 .. NUV blízká ultafialová oblast Oblast spekta mezi nm až 4nm se nazývá blízká (nea) ultafialová. Odpovídající enegie fotonů z této oblasti spekta jsou zhuba mezi 3eV až 6eV. Blízká ultafialová haničí s fialovou stanou viditelného spekta a většina mateiálů má v této oblasti celkem dobou popustnost. Potíže s popustností mohou nastat na kátkovlnné staně této oblasti. Foton zde má téměř 6eV, což je sovnatelné s šířkou zakázaného pásu mnoha izolantů. Lze tudíž očekávat, že po katší vlnové délky absopce v mateiálech pooste... VUV vakuová ultafialová oblast Mezi nm až nm je vymezena tzv. vakuová ultafialová oblast. Odpovídající enegie fotonů jsou zhuba od 6eV do ev. Absopce mnoha mateiálů zde pudce oste, potože se s enegií blížíme k jejich absopční haně. Popustnost samozřejmě stmě klesá. Světlo v této oblasti je silně absobováno i ve vzduchu. Absopční hana kyslíku se nachází na enegii 6,4eV, poto se tato oblast nazývá vakuová UV. Veškeá geneace či manipulace s tímto světlem musí pobíhat ve vakuu či v heliu, kteé zde příliš neabsobuje. To klade samozřejmě vyšší náoky na expeiment. Vhodné mateiály po manipulaci s tímto zářením budou zmíněny v následujících kapitolách. Vakuová oblast se dále ozpostíá přes XUV egion až do oblasti měkkého entgenového záření (viz. ob. ), potože fotony z těchto úseků spekta mají podobné vlastnosti při kontaktu s hmotou...3 XUV extémní ultafialová oblast V ozsahu od nm do nm se nachází tzv. extémní ultafialová oblast (exteme ultaviolet), kteá se na své kátkovlnné staně začíná podobat měkkému entgenovému záření. Odpovídající ozsah enegií je zhuba od ev do 38eV. Manipulace s tímto zářením je možná pouze ve vakuu. Po vlnové délky okolo nm lze ještě použít lehké vzácné plyny. Uvědomíme-li si, že absopce oste a že počet fotonů v pulsu dané enegie naopak klesá, dospějeme k závěu, že vakuum musí být úměně vysoké těmto okolnostem. Dostáváme se až do oblasti ultavysokého vakua (UHV ulta-high vacuum). Běžné mateiály XUV už nepopouštějí, poto je třeba používat jiné metody po manipulaci s tímto zářením...4 Soft X-Ray měkké entgenové záření Oblast měkkého entgenového záření začíná zhuba na vlnové délce 3nm, kteé odpovídá enegie 4eV. Do této oblasti pak spadají fotony s enegií až do 6keV. Geneace tohoto záření je náočná. Pokud chceme získat zdoj koheentního záření v této oblasti (entgenový lase) musíme přistoupit k celkem netadičním metodám, jako jsou např. FEL fee electon lase. Nutno podotknout, že se ůzné pameny [,5,4] při popisu ultafialové oblasti nepatně liší. Je to asi tím, že tato oblast pokývá mnohem větší ozsah enegií fotonů, než je tomu např. ve viditelné či infačevené oblasti, a možných inteakcí s mateiálem je mnohem více. 4

15 . Lineání inteakce záření s hmotou Abychom mohli geneovat optické záření požadovaných vlastností, musíme řádně pomyslet uspořádání expeimentu. Je třeba pečlivě volit jednotlivé komponenty zařízení. Obzvlášť u optických elementů a u částí apaatuy, kteé přicházejí do kontaktu s optickým zářením, musíme znát fyzikální vlastnosti, kteé jej přímo ovlivňují. Navíc si musíme uvědomit, že geneace v VUV a XUV oblasti pobíhá ve vakuu, tudíž klademe na použité optické i jiné pvky celkem vysoké mechanické náoky. Někteá aktivní postředí jsou velice citlivá na kontaminaci např. od elektod, poto musíme vzít v úvahu i chemické vlastnosti použitých mateiálů. Celý poblém je tedy velice složitý. Nyní se budeme zabývat elementání teoií lineání inteakce světla s hmotou. Při půchodu elektomagnetické vlny eálným postředím dochází k velkému množství efektů. Nejpve si je třeba uvědomit, že hmota v jiných skupenských stavech inteaguje se světlem jinak, což je důsledkem ůzných pocesů, kteé v jednotlivých látkách nastávají, např. vliv pásové stuktuy a fononů v pevných látkách, vliv sážkového a doppleovského ozmazání v kapalinách a plynech. Všechny tyto pocesy lze zahnout do optických konstant, kteé pak mohou nabývat velice složitých tvaů... Chování světla v postředí... Maxwellovy ovnice Po klasický popis světla vycházíme z Maxwellových ovnic. Jedná se o čtyři ovnice, z nichž pvní dvě jsou otační a duhé dvě jsou divegenční tzv. zdojové: B ot E = t D ot H = j + t div D = ρ div B = Kde EH, jsou vektoy elektické a magnetické intenzity, DB, magnetické indukce a ρ, j je celková nábojová a poudová hustota.... Mateiálové vztahy (.a) (.b) (.c) (.d) jsou vektoy elektické a Abychom vzali v úvahu také postředí ve kteém se elektomagnetická vlna šíří, musíme navíc zavést tzv. mateiálové vztahy: t t D = εe+ P = ε + χe E = ε E t B = µ H + M = µ + χ H = µ H ( t ) m (.3a) (.3b) 5

16 Kde ε = 8,8 F m je pemitivita vakua a µ,5 H m t t (zdoj viz. []). PM, jsou makoskopické hustoty polaizace a magnetizace a χ, χ 6 = je pemeabilita vakua elektické a magnetické dipólové susceptibility, kteé v případě anizotopních mateiálů nabývají tenzoového tvau....3 Difeenciální Ohmův zákon Po úplnost se k výše uvedeným vztahům sluší připsat ještě výaz popisující vedení poudu v mateiálu tzv. difeenciální Ohmův zákon: t j = σ E e m jsou (.4) Vodivost σ t je také mateiálová konstanta, kteá nabývá tenzoového tvau v anizotopních mateiálech....4 Vlnová ovnice a její řešení t Budeme teď předpokládat, že máme homogenní izotopní mateiál ε = konst. δi j, t µ = konst. δ. Předpokládejme, že nábojová hustota je nulová ρ = a že vodivost mateiálu ij σ = je nulová. Pak dostaneme úpavami tzv. vlnovou ovnici po elektickou esp. magnetickou indukci. Vyjádření pomocí DB, je lepší, potože v sobě zahnuje i odpověď mateiálu postřednictvím makoskopických hustot polaizace a magnetizace, ačkoli nyní zanedbáváme vodivost mateiálu. Vztahy jsou odvozeny v Appendix a vycházejí následovně: D D εµ = t B B εµ = t (.5a) (.5b) Vyřešíme-li tyto vlnové ovnice za podmínek, kteé jsme stanovili výše, dostaneme ovinné vlny: ( exp ( ( ω ))..) Re exp ( ω ) exp ( ω ).. Re exp ω { } D = D i t k + cc = D i t k B = B ( i t k ) + cc = B i t k { } (.6a) (.6b) Kde k, ω je vlnový vekto a úhlová fekvence. Po vlnový vekto ve směu s v postředí indexu lomu (n) platí: π π ω ω k = s = s k = s = n s λ T v v c (.7) 6

17 ...5 Komplexní index lomu Elektomagnetická vlna jdoucí postředím je částečně pohlcována, v důsledku mnoha pocesů, kteé v látce nastávají. To nazýváme absopcí mateiálu. Zbytek světelné enegie připadá na tansmisi. Abychom byli schopni zachytit poces absopce, musíme připustit, že index lomu (n) je komplexní číslo. Potože řešení v komplexních číslech vlnová ovnice také připouští, zavádí se tzv. komplexní index lomu: Kde n = Re{ N} popisuje dispezi světla v mateiálu a Im{ N}...6 Absopční koeficient N = n+ iκ (.8) κ = udává jeho absopci. Díky takto zavedenému indexu lomu je patné, že vlnový vekto bude také komplexní. Reálná část vlnového vektou pak bude příslušet tansmisi a imaginání část absopci. Dosazením komplexního vlnového vektou do ovinné vlny (.6a) nebo (.6b) dostaneme exponenciálně tlumenou ovinnou vlnu. Důležitější je ale zavedení absopčního koeficientu. Tok výkonu jednotkou plochy je definován jako Poytingův vekto, kteý po dosazení tlumených ovinných vln vychází: ω S = E H : exp κ s (.9) c Vidíme, že tok výkonu exponenciálně klesá s polohou. Stejně tak klesá i časová střední hodnota Poytingova vektou, což je vlastně intenzita. Zavádí se tudíž výše zmíněný absopční koeficient jako: α ω = κ (.) c...7 Popustnost (tansmitance) Enegie světelného svazku tedy při půchodu hmotou exponenciálně elaxuje a tyto ztáty jsou dány chaakteistickým absopčním koeficientem α. Popustnost (tansmitance) vzoku je dána poměem vystupující intenzity k intenzitě vstupující. Tedy: T = exp α s d = l γl exp( α ) (.) Kde γ l je křivka délky (l) v postředí, kteou světlo pojde. Potože jsme se omezili na homogenní postředí, není nutné integovat. Intenzita je časová stření hodnota Poytingova vektou. Platí: (, ) lim (, ) 7 t+ τ I t = S = S t dt t τ τ t τ

18 ...8 Pemitivita vs. komplexní index lomu Vlastní inteakce s látkou není z původních vlnových ovnic (.5a) a (.5b) patná. Musíme se ohlédnout zpět na mateiálové vztahy (.3a) a (.3b), kde vystupují makoskopické hustoty polaizace a magnetizace. Navíc dochází k disipaci světelné enegie na nosičích náboje, kteé v postředích s nenulovou vodivostí ychle odnášejí enegii z ozářeného místa. Po jednoduchost zde předpokládejme, že elativní pemeabilita µ =. To znamená, že inteakce světla s látkou se děje jen postřednictvím polaizace P (u mnoha mateiálů je to celkem přesně splněno. Polaizace P se definuje jako konvoluce odezvové funkce f(t) a vstupujícího pole: t P t f t τ E τ dτ (, ) = ( ) (, ) (.) Obecně je tento integál složitější, potože se započítává i postoová dispeze. Pak se ve vztahu (.) objeví navíc ještě integál přes celý posto a příslušná odezvová funkce. Zde to ale zanedbáváme. Polaizaci ovlivňují pouze stavy látky z minulosti až do času t. Předpokládejme, že se pole vyvíjí v čase jako: E( t, ) = E exp( iωt). Pak se dostaneme jednoduchou substitucí (viz. Appendix ) k výazu po elektickou dipólovou susceptibilitu esp. elativní pemitivitu postředí: χe( ω) = ε ( ω) = f () t exp( iωt) dt (.3) Je tedy vidět, že elativní pemitivita je také komplexní veličina. Abychom ji mohli dát do souvislosti s komplexním indexem lomu, musíme se vátit k vlnové ovnici (.5a) nebo (.5b), ze kteých lze stanovit fázovou ychlost světla v postředí jako: v = εµ. Analogicky ychlost světla ve vakuu je: c = ε µ. Pak tedy komplexní index lomu vyjádřený pomocí elativní pemitivity je: c N = = εµ (.4) v Z toho tedy algebaickými úpavami dostaneme závislost eálné a imaginání části komplexního indexu lomu na eálné a imaginání části elativní pemitivity ε = ε+ iε. O elativní pemeabilitě budeme předpokládat, že je eálná. Dostáváme tedy: µ n = ε + ε + ε (.5a) µ κ = ε + ε ε (.5b) 8

19 ...9 Kames-Konigova elace Ačkoli se veličiny n( ω), κ ω zdají být nezávislé, ve skutečnosti mezi nimi platí tzv. Kames-Konigova elace, kteá v mnoha případech usnadňuje měření jinak těžko zjistitelných optických konstant mateiálů. Platí: n ( ω) κ ω = vp.. π ω = vp.. π x κ x dx x ω (.6a) ( n( x) ) dx x ω (.6b) Kde v.p. value pincipal je hlavní hodnota integálu ve smyslu distibucí neboli integál mimo okolí singuláního bodu. Po elativní pemitivity platí obdobné vztahy. Lze ukázat, že po ozumné komplexní veličiny jsou Kames-Konigovy elace splněny viz. Appendix 3... Chování světla na ozhaní dvou postředí... Fesnelovy vztahy koeficienty tansmise a eflexe Předpokládejme, že máme ovinnou vlnu, kteá dopadá na ozhanní dvou postředí ůzných indexů lomu. Taková vlna se pak na tomto ozhaní ozdělí na dvě odaženou a pošlou. Situace je zachycena na ob.. Papsek, kteý dopadá na ozhaní dvou postředí, se odáží v ovině dopadu pod stejným úhlem, pod kteým dopadl. Zákon odazu tedy zní : θi = θ. Dále je všeobecně známý tzv. Snelliův zákon po papsek pocházející z postředí indexu lomu n do n, kteý vypadá následovně nsinθi = nsinθt. Je dobé si ozložit vektoy elektické či magnetické intenzity do Ob. Světlo na ozhaní dvou postředí složek kolmých nebo ovnoběžných s ovinou dopadu. Umožní nám to sledovat, jak je odazivost či popustnost citlivá na polaizaci světla. S využitím tvau ovinných vln po EH,, okajových podmínek na ozhaní (spojitost tečných složek EH, ), Snelliova zákona a za předpokladu, že máme nevodivé izotopní a homogenní postředí, dostaneme tzv. Fesnelovy vztahy po koeficienty tansmise a eflexe v závislosti na polaizaci světla (odvození viz. Appendix 4): 9

20 n cosθi tp = (.7a) n cosθ + n sin θ t = i cosθ i cosθ + n sin θ i i i i (.7b) n cosθi n sin θi P = (.7c) n cosθ + n sin θ cosθi n sin θi = cosθ + n sin θ i i i (.7d) Kde n je elativní index lomu, kteý se definuje jako n = n n, a obecně může nabývat i komplexních hodnot, beeme-li v úvahu absobující postředí. Koeficienty tp, t, P, nám tedy udávají, jak se změní složky dopadajícího pole po půchodu nebo odazu na ozhaní. Po složky platí: TP = ta P P, T = t A (.8a) RP = A P P, R = A (.8b) Složky vektou elektického pole v katézských souřadnicích spojených s ozhaním lze pak jednoduše přepočítat dle vztahů (A4.3a) až (A4.3c) nebo po magnetické pole dle výazů (A4.5a) až (A4.5c). Po jednoduchost nyní předpokládejme, že máme neabsobující postředí, tudíž elativní index lomu je eálný. Ze vztahů (.7a) až (.7d) okamžitě můžeme dospět k několika závěům.... Bewsteův úhel Z ovnice (.7c) dostaneme podmínku po tzv. Bewsteův úhel. To je takový úhel dopadu, při kteém se od ozhaní neodáží složka pole ovnoběžná s ovinou dopadu, neboť po tento úhel je =. Ze vztahu (.7c) úpavami dostaneme podmínku po Bewsteův úhel: P tg B ( i ) n θ = (.9) Světlo, kteé se od ozhaní odazí, je tedy polaizované kolmo na ovinu dopadu. Světlo, kteé pojde je polaizováno obecně. Dosazením Bewsteova úhlu do vztahů (.7a) až (.7d) dostaneme velikosti tansmisních a eflexních koeficientů: B B tp ( θi ) =, t ( θi ) = (.a) n + n, B n θi n B ( θi ) P = = (.b) +

21 Vlastností Bewsteova úhlu se využívá při konstukci kyvet plynových laseů, kdy jsou vstupní okénka nakloněna pod tímto úhlem vzhledem k ose ezonátou. Zmenší se tím ztáty způsobené paazitním odazem světla na těchto okénkách. Výhodou tohoto uspořádání je, že za učitých podmínek dostaneme na výstupu laseu světlo polaizované ovnoběžně s ovinou dopadu (vzhledem k okénkům kyvety). Kolmá složka se totiž z ezonátou z části odáží pyč, a tudíž je více ztátová než složka ovnoběžná....3 Totální odaz Pokud je elativní index lomu n menší než jedna, dochází po úhly větší než jistý kitický úhel k tzv. totálnímu odazu (totální eflexi). Ze Snelliova zákona dostaneme podmínku po kitický úhel: Po úhly θ i c i c sin ( i ) n θ = (.) θ se bude světlo od ozhaní úplně odážet zpět. Na gafech eflexních c c koeficientů budeme moci vidět typická plata, kde P ( θi θi ) ( θi θi ) =, =. Potože odmocniny ve vztazích (.7c) a (.7d) budou komplexní, dojde ke změně fáze jednotlivých složek odaženého pole. Při totálním odazu se tedy mění polaizace světla. Změnu fáze ovnoběžné a kolmé složky lze jednoduše získat z Fesnelových vztahů (viz. Appendix 5): tg tg sin θ n = (.a) P n ( δ ) ( δ ) i cosθi sin θi n = (.b) cosθ Situace kolem fází, je však o něco složitější. Koeficienty eflexe mění znaménko v závislosti na úhlu dopadu. Bod, kde se znaménko změní je dán Bewsteovým úhlem. Navíc při totální eflexi máme Bewsteovy úhly dva, z nichž jeden je menší a duhý větší než úhel kitický. Koeficienty se často vyjadřují následovně: t t ( δ ) ( δ ) ( δ ) ( δ ) i t = t exp i, t = t exp i (.3a) P P P = exp i, = exp i (.3b) P P P t Kde se fáze δ P nezmění, pokud je příslušný koeficient kladný, a změní o π pokud je záponý. Fázi lze spočítat jako akustangens podílu imaginání a eálné části koeficientu. Pokud bychom chtěli být důslední, musíme přiznat, že světlo do opticky řidšího postředí poniká. Dostane se tam v podobě tzv. evanescentní vlny, kteá putuje podél ozhaní ve směu osy x a ve směu osy z je exponenciálně tlumena. Jde o tzv. skin efekt. Vlnu, kteá se od ozhaní odáží, lze pak vysvětlit jako záření dipólů lokalizovaných na ozhaní, kteé jsou ozkmitány evanescentní vlnou. Pokud neuvažujeme absopci mateiálu, pak můžeme říci, že se veškeá světelná enegie odáží zpět do opticky hustšího postředí.

22 ...4 Využití totálního odazu nomal incidence vs. gazing incidence Jak jsme již zmínili výše, manipulace se světlem ve VUV a XUV oblasti je náočná. Nejen že oste absopce v mateiálech, ale také klesá odazivost mnoha mateiálů, neboť se jejich index lomu v této oblasti spekta blíží k jedné. Koeficient odazivosti v uspořádání tzv. nomal incidence (kolmý dopad na povch mateiálu) klesá a my tím ztácíme velké množství enegie. Využívá se poto tzv. gazing incidence, kdy světlo dopadá na povch vzoku pod úhly většími než je úhel kitický. Jde vlastně o totální odaz. Podmínkou je, že elativní index lomu mateiálu musí být menší než jedna, což lze i v UV oblasti po danou vlnovou délku splnit volbou vhodného mateiálu....5 Reflektance, tansmitance a absobance ozhaní Dosud jsme zkoumali, jak se při půchodu světla ozhaním dvou postředí mění pole. Důležité je si ale uvědomit, jak je to s tokem enegie tímto ozhaním. Zavádí se poto tři koeficienty: eflektance (odazivost), tansmitance (popustnost) a absobance (pohltivost). Koeficient odazivosti esp. popustnosti lze zavést pomocí poměu toku výkonu po odazu esp. půchodu ozhaním k toku výkonu dopadajícího světla. Vycházejí následovně (viz. Appendix 6): P sin ϑ cos R = + ϑ (.4a) { n sin θi } ( tp sin ϑ t cos ϑ) cos µ Re µ θ T = + (.4b) i Je tedy vidět, že eflektance a tansmitance závisí také na vzájemném poměu složek dopadajícího pole, neboť platí: tg ( ϑ ) = A A P (.5) Absobanci ozhaní pak můžeme vyjádřit díky zákonu zachování enegie esp. výkonu, kteý v řeči studovaných konstant zní: A+ T + R = (.6) Nutno podotknout, že absobance A bude nulová, pokud bude imaginání část indexu lomu κ =. Případy, kdy je κ nulová, jsme diskutovali výše. Polaizace pocházející vlny se neměnila a polaizace eflektované vlny se měnila v případě totálního odazu nebo v případě překočení Bewsteova úhlu. Nenulovost κ způsobí změnu polaizace. Závislosti na úhlu dopadu budou hladší a ovnoběžná složka odaženého pole už při Bewsteově úhlu nebude nulová. Rovněž odazivost při totální eflexi nebude ovna jedné po všechny úhly větší než úhel kitický.

23 ...6 Závislosti koeficientů na úhlu dopadu V následujících gafech jsou vyneseny tansmisní a eflexní koeficienty po někteé elativní indexy lomu. Reálný elativní index lomu větší než jedna Gaf a - tp = tp ( θ i ) Gaf b - t = t ( θ i ) Gaf c - P = P ( θ i ) Gaf d - = ( θ i ) V gafech a až d jsou koeficienty tansmise a eflexe po obě složky polaizace v závislosti na úhlu dopadu po eálný index lomu n >. Čeveně jsou vykesleny křivky po n =,, zeleně po n =,6, šedě po n =,, modře po n =,6 a fialově po n =3,. V gafu c je patný Bewsteův úhel, kdy koeficient eflexe ovnoběžné složky klesá na nulu. Koeficienty jsou citlivé na polaizaci světla. Tudíž i tansmitance a eflektance je závislá na polaizaci. V následujících tojozměných gafech a, b jsou tyto závislosti vyneseny. Gaf a Tansmitance v závislosti na úhlu dopadu a polaizaci Gaf b Reflektance v závislosti na úhlu dopadu a polaizaci Gafy a a b zobazují závislost tansmitance a eflektance na úhlu dopadu a na natočení vektou pole vůči souřadnicím po n =,6. Potože je elativní index lomu eálný, nedochází na ozhaní k absopci. Součet hodnot z předchozích gafů a a b dá tedy jedničku. 3

24 Reálný index lomu menší než jedna Gaf 3a - tp = tp ( θ i ) Gaf 3b - t = t ( θ i ) Gaf 3c - P = P Gaf 3d - = θ i θ i V gafech 3a až 3d jsou koeficienty tansmise a eflexe po obě složky polaizace v závislosti na úhlu dopadu po eálný elativní index lomu n <. Čeveně jsou vykesleny křivky po n =,9, zeleně po n =,7, šedě po n =,5, modře po n =,3 a fialově po n =,. V gafech 3c a 3d jsou patná plata totální eflexe začínající na kitickém úhlu, kdy je koeficient eflexe ovnoběžné i kolmé složky oven jedné. Tansmitance a eflektance jsou vyneseny v následujících tojozměných gafech 4a, 4b. Gaf 4a Tansmitance v závislosti na úhlu dopadu a polaizaci Gaf 4b Reflektance v závislosti na úhlu dopadu a polaizaci Plata totální eflexe, kdy tansmitance klesá na nulu a eflektance je naopak ovna jedné, nezávisí na polaizaci. Sečtením hodnot v gafech dostaneme opět jedničku, potože ozhaní neabsobuje. Gafy 4a a 4b odpovídají tansmitanci a eflektanci po elativní index lomu n =,5. Komplexní index lomu V gafech 5a až 5d jsou koeficienty tansmise a eflexe po obě složky polaizace v závislosti na úhlu dopadu po komplexní elativní index lomu, kde čeveně jsou vykesleny křivky po n =,5+,5i, zeleně po n =,5+,5i, šedě po n =,5+,5i, modře po n =,5+,5i a fialově po n =+i. Tansmitance, eflektance a absobance jsou vyneseny v tojozměných gafech 6a až 6c. 4

25 Gaf 5a - P = P Gaf 5b - = t t θ i t t θ i Gaf 5c - P = P ( θ i ) Gaf 5d - = ( θ i ) Gaf 6a Tansmitance v závislosti na úhlu dopadu a polaizaci Gaf 6b Reflektance v závislosti na úhlu dopadu a polaizaci V gafech 6a až 6c jsou vyneseny závislosti tansmitance, eflektance a absobance na úhlu dopadu a polaizaci. Absopce se objeví v důsledku komplexního indexu lomu. Součet těchto tří funkcí nám opět dá jedničku, potože platí zákon zachování enegie. Z gafu 6c si můžeme všimnout, že světlo polaizované kolmo na ovinu dopadu není absobováno ozhaním, pokud splníme podmínky, za kteých je výše uvedený model splněn. Gaf 6c Absobance v závislosti na úhlu dopadu a polaizaci 5

26 ..3 Chování světla na dielektické vstvě..3. Teoetický popis dielektické vstvy Poté, co jsme postudovali chování světla v postředí a na ozhaní dvou postředí, můžeme učinit závě o tom, jak se světlo bude chovat při půchodu dielektickou vstvou, filmem či okénkem tloušťky d. Kom vlivu dvou ozhaní a vlastní absopce mateiálu bude hát velkou oli i intefeence. Poblém spočítáme v přiblížení ovinných vln. V následujícím obázku je zachycena celá situace: Ob. 3 Dělení svazku na dielektické vstvě Do bodu A (viz. ob. 3) položme nulu souřadného systému. V tomto bodě světlo vstupuje do vnitřní části vstvy, kde se mnohonásobně odáží na ozhaních postředí s komplexními indexy lomu N a N esp. N a N 3. Toto označení budeme dále používat. Po každém odazu se pole částečně vyváže a my můžeme pozoovat před vstvou celkové odažené pole a za ní celkové pocházející pole. Je lepší si zavést pomocné matice, kteé nám budou popisovat odaz a půchod pole ozhaním a náběh fáze jednotlivých vystupujících vln vůči vlně předchozí. Tyto matice napíšeme v bázi Jonesových vektoů, spojené se směem papsku. Na vlnu jdoucí zleva dopava skz ozhaní působí následující matice: t R t R ( θ ) = ( θ ) 3 ( θ ) = ( θ ) P ( θ) P ( θ ) 3 3 t T t T ( θ ) t = ( θ ) 3 t ( θ ) = ( θ ) tp ( θ) tp ( θ ) 3 3 (.7a) (.7b) Po vlnu jdoucí zpava doleva jsou platí podobné matice, avšak musíme pohodit pořadí postředí a zvolit příslušný úhel dopadu. To tedy znamená: ( ) a θ θ ( 3) ( 3 ) a θ θ3 6

27 Koeficienty tansmise a eflexe při půchodu ozhaním z jedné nebo z duhé stany se samozřejmě liší. Nemusíme je však počítat znovu dle výše uvedené tansfomace, potože jsou na sobě závislé. To lze odvodit dosazením Snelliova vztahu do vzoců (.7a) až (.7d). Musíme také převátit hodnoty elativního indexu lomu, když pocházíme ozhaním z duhé stany. Nakonec ale dostaneme: N sin θ t N t t (.8a) cosθ P P P cosθ cosθ ( θ ) = ( θ ) = ( θ ) sin θ t = N t = N t (.8b) cosθ cosθ cosθ ( θ ) ( θ ) ( θ ) ( θ) = P ( θ) ( θ ) = ( θ ) (.8c) P (.8d) Při půchodu vlny postředím vstvy se mění její fáze jinak, než když vlna pochází okolním postředím. Imaginání část indexu lomu zapříčiňuje absopci v mateiálu. Změnu fáze a absopci mezi ozhaními lze vyjádřit pomocí následující matice (viz. Appendix 7.): t T ( θ ) Nkd exp i cosθ = Nkd exp i cosθ (.9) Kde k je vlnový vekto ve vakuu, n = Re{ N } a Im{ N } κ =. Tloušťka vstvy je d. Po anizotopní mateiál bychom museli ozlišit index lomu po jednotlivé směy polaizace např. pomocí optického indikatixu. Nyní už máme v maticích shnuty pocesy, kteé nám ovlivní pole odažené a pocházející vstvou. Vektoy polí jsou také dvouozměné, neboť jsou vyjádřeny v bázi Jonesových vektoů. Nechť v bodě A je pole EA = Aexp ( iωt) + cc... To se částečně odazí a částečně pojde ozhaním (). Pak putuje postředím vstvy, kde je tlumeno. Pole tt v bodě B tedy je EB = TT Aexp ( iωt) + cc.. = Bexp ( iωt) + cc... Nic nám nebání si zvolit nulu souřadného systému i v tomto bodě. V Appendix 7.. je vysvětleno, jak se v ámci námi zavedených matic a polí dostaneme k celkovému koeficientu odazivosti a popustnosti. ( Celkové odažené pole má tva ) t E ( ) = RAexp ( i( ωt k ) ) + cc... Počátek souřadného systému je položen do bodu A. Pole, kteé destičkou pojde napíšeme ( t v analogickém tvau ) t E ( ) = TAexp ( i( ωt k3 ) ) + cc... Počátek souřadného systému je v bodě B. Po koeficienty eflexe a tansmise pak platí (viz. Appendix 7.): t t t t N cos R = R + t t t exp t t t T3T exp T= t t t + R R exp ( θ ) T R cos( θ ) ( ikd) + R3R ( in kd cosθ ) ( ikd ) 3 3 (.3a) (.3b) 7

28 Kde K kn cosθ =. Vztahy jsou elativně složité a stále v nich není eliminována závislost na úhlu θ. Té se zbavíme požitím Snelliova zákona Nsinθ = N sinθ. Pak dostaneme závislost těchto koeficientů na úhlu dopadu θ. Nakonec si ještě ukážeme, jak vypadají koeficienty eflektance a tansmitance. Postupuje se stejně jako u ozhaní dvou postředí. Vekto pole v bodě A ozložíme do složek zavedením poláních souřadnic. Nechť směový vekto pole má tva e = ( cos ϑ, sinϑ). Pak eflektance a tansmitance vycházejí: t t * R = e R Re (.3a) { N sin θ } 3 t t* ( e T T e) cos µ Re µ θ T. = (.3b) 3 Kde elativní index lomu N3 = NN3. Navíc platí zákon zachování enegie (.6), ze kteého lze stanovit absobanci A...3. Závislosti koeficientů na úhlu dopadu Výše uvedené vztahy, kteé nám popisují chování světla v dielektické vstvě, jsou elativně složité na výpočetní dobu. Po zajímavost jsou níže uvedeny koeficienty spočtené po lithium fluoidový film. Závislosti jsou vyneseny v gafech 7a až 7f. Paamety filmu a okolí jsou v následující tabulce: Vlnová délka světla ve vakuu: λ =,6nm Tloušťka filmu: d = µ m Index lomu levého postředí: N Index lomu LiF (viz. [4] st. 685): N Index lomu pavého postředí: N λ = λ =,5+,3i 3 λ = Tab. Paamety lithium fluoidového filmu Gaf 7a: = Gaf 7b: = P P θ θ 8

29 Gaf 7c: t = t Gaf 7d: t = t P P θ θ Gaf 7e Reflektance v závislosti na úhlu dopadu a polaizaci Gaf 7f Tansmitance v závislosti na úhlu dopadu a polaizaci Z gafů je patné, že dvě ozhaní, na nichž se světlo mnohonásobně odáží, způsobí oscilace koeficientů v závislosti na úhlu dopadu. Velice záleží na velikosti imaginání části indexu lomu. Po velká κ je pole příliš tlumeno a oscilace mizí. Ačkoli se tento jev zdá být spíše paazitní než užitečný, využívá se jej často ke konstukci optických pvků, jako jsou např. Faby-Peotovy etalony či dielektická zcadla. Jejich obovskou výhodou je selektivita vlnových délek, po kteé je možno je použít Závislosti koeficientů na vlnové délce Gaf 8a Reflektance a vlnová délka V gafech 8a až 8c jsou vyneseny koeficienty odazivosti, popustnosti a pohltivosti filmu v závislosti na vlnové délce. Po jednoduchost se zanedbává dispeze komplexního indexu lomu. Tloušťka destičky je d=mm a index lomu je po celý studovaný obo vlnových délek oven N =+,3i ([4] st. 685). Okolní postředí má jedničkové indexy lomu a světlo dopadá kolmo na film (nomal incidence), poto nemusíme uvažovat polaizaci. 9

30 Gaf 8b Tansmitance a vlnová délka Gaf 8c Absobance a vlnová délka Oscilace patné z předchozích gafů jsou důsledkem intefeence vln, kteé pocházejí destičkou. Koeficienty jsou spočteny ze vztahů (.3a), (.3b) a (.6). Do nich se ovšem dosazují oscilující koeficienty eflexe a tansmise při konstantním (nulovém) úhlu dopadu. Je patné, že fekvence oscilací bude záviset na agumentu exponenciály Kd = 4πNd λ. Z toho můžeme dojít k závěu, že čím bude šiší vstva, tím bude větší fekvence oscilací. Nutno podotknout, že závislosti budou ve skutečnosti o něco složitější, potože jsme zanedbali dispezi indexu lomu. Po názonost nám to ale stačí Využití dielektických vstev Faby-Peotův etalon Podíváme-li se do gafu 8b, můžeme si všimnout, že popustnost LiF filmu je elativně velká jen po učité vlnové délky. Při lepší volbě indexu lomu a tloušťky vstvy bychom tuto selektivitu vlnových délek mohli ještě zlepšit. Toho se využívá např. k ladění laseů, kdy FP etalon vybíá učitý inteval vlnových délek ze spekta spontánní emise média, kteý se pak dále stimulovanou emisí zesiluje. Pokud vše dobře nastavíme, nebudou mít ostatní vlnové délky díky dodané absopci tak velký zisk a budou potlačovány. Po světlo ve VUV a XUV oblasti, kde absopce velice oste, je třeba FP etalon vyobit tak tenký, aby ztáty v mateiálu nehály tak velkou oli. Dielektické zcadlo Z gafu 8a je naopak patné, že světlo učitých vlnových délek se od vstvy odáží snáze než světlo na jiných vlnových délkách. Využití tohoto jevu je podobné, jako u FP etalonu. Pokud v laseu namísto polopopustného výstupního zcadla použijeme zcadlo dielektické, můžeme tím lase naladit na požadovanou fekvenci. Nevýhodou dielektických vstev je jejich křehkost a náočnost výoby. Opoti kovovým zcadlům se tyto vstvy snadno poškodí a velice špatně se čistí. Antieflexní vstvy Antieflexních vstev se využívá ke snížení odazivosti ozhaní dielektik, na kteá světlo dopadá. Můžeme se tak zbavit zbytečných ztát na pasivních optických pvcích, jako jsou čočky, hanoly či okénka. Nesmíme však zapomenout na spektální chaakteistiku takové vstvy. Etalony se vkládají do ezonátou spíše pod jistým úhlem než kolmo na optickou osu, aby se zamezilo vzniku jiných podélných modů, daných vzdáleností pevného zcadla a etalonu. 3

31 .3 Optické mateiály.3. Tanspaentní UV mateiály Po VUV a XUV oblast už nenajdeme mnoho mateiálů, kteé by byly dostatečně tanspaentní. Níže jsou uvedeny vlastnosti těchto mateiálů, kteé popsal Jack C. Rife: Optical Mateials UV, VUV (viz. [5], st..). V následující tabulce jsou uvedeny polohy absopčních han: Mateiál: Absopční hana: LiF lithium fluoid,9ev BeF beylium fluoid,5ev CaF kalcium fluoid,ev MgF magnesium fluoid,ev Al O 3 oxid hlinitý (safí) 8,8eV SiO oxid křemičitý (křemen) až 8,6eV CaCO uhličitan vápenatý (kalcit) 5,8eV C - diamant 5,5eV Tab. Absopční hany tanspaentních mateiálů LiF Fluoid lithný je mateiál s nejdále položenou absopční hanou. Je však hygoskopický, což znesnadňuje jeho využití. Navíc se velice špatně leští. Lepší vlastnosti má při dusíkových teplotách. BeF Fluoid beylnatý se vyskytuje v kystalové i skleněné fomě. Rozdílné stuktuy se pak pojeví v poloze absopční hany, kteá souvisí se šířkou zakázaného pásu. Je to vhodný mateiál po výkonové lasey díky malé účinnosti nelineáních pocesů. Na duhou stanu je beylium jedovaté, což je jeho nevýhodou. CaF Fluoid vápenatý je elativně odolný mateiál poti adiačnímu poškození. Při spávné výobě ho lze použít coby výstupního okénka výkonových laseů. MgF Fluoid hořečnatý je opoti LiF elativně odolný vůči adiačnímu poškození. Díky svému indexu lomu v UV oblasti se používá jako antieflexní vstva na jiných tanspaentních mateiálech jako např. safí. Najde využití i jako ochanná vstva na kovových zcadlech, kde bání oxidaci. Nevýhodou je jeho špatná leštitelnost. Al O 3 Oxid hlinitý, jinak také safí, je velice tvdý mateiál. I při malých tloušťkách ho lze využít jako výstupního okénka i po nízké tlaky v apaatuře. SiO Oxid křemičitý se vyskytuje v mnoha modifikacích v závislosti na koncentaci kovových příměsí a koncentaci vody či skupiny OH. V závislosti na hustotě kovových atomů v SiO se posouvá absopční hana. Hodnoty 8,6eV dosáhne, až když je mateiál téměř čistý. V důsledku přítomnosti vody se SiO dělí do čtyřech skupin dle koncentace OH. Křemen je navíc anizotopní mateiál a lze ho použít po výobu čtvtvlnných či polovlnných destiček. 3

32 V následujícím gafu jsou znázoněny popustnosti někteých zmíněných mateiálů. Byl taktéž získán z páce [5] (st..): Gaf 9 Popustnost někteých mateiálů v závislosti na enegii fotonu při C. Tloušťky vzoků přitom byly,95mm (LiF), mm (MgF ),,3mm (Al O 3 ), mm (SiO křemen), 3mm (SiO typ III a IV), 6mm (SiO typ I a II).3. Reflektivní UV mateiály Jak jsme již dříve zmiňovali, v daleké ultafialové oblasti klesá popustnost. Stejně tak se chová i odazivost mnoha mateiálů. V následujícím gafu (viz. [5] (st..)) jsou vyneseny eflektance několika mateiálů: Gaf Odazivost někteých mateiálů v závislosti na enegii fotonu Z gafu je vidět, že odazivost v XUV a dále v měkké entgenové oblasti klesá. Po světlo v oblasti okolo 3eV a dále je pak nutné přistoupit k jiným metodám. Využívá se tzv. gazing incidence, při kteé se eflexní hany posouvají dále do entgenové oblasti. 3

33 3. Geneace koheentního UV záření 3. Úvod V minulé kapitole jsme si ukázali, jaké nevýhody jsou spojeny s kátkou vlnovou délkou UV záření. Zejména ve VUV, XUV a dále v měkké entgenové oblasti je potřeba přistoupit k netadičním způsobům manipulace s tímto světlem. Na duhou stanu jsou kátké vlnové délky a tedy i velké enegie fotonů výhodné. Např. chceme-li sledovat velikosti molekul či vzdálenosti mezi atomy v mřížce, potřebujeme k tomu světlo patřičné vlnové délky. Požadavek na vlnovou délku dostaneme např. z difakce na štěbině šířky d, kde podmínka po minima intenzity na stínítku zní: ( ϑ) dsin = nλ, n (3.) Kde ϑ je úhel mezi difagovaným svazkem a osou štěbiny a n je řád difakčního minima. Pokud bychom tedy na stínítku chtěli vidět alespoň jedno minimum intenzity difagovaného záření, pak musíme splnit tyto podmínky: =± sin ϑ <. Je tedy jasné že: n a λ sin( ϑ) = < λ < d d (3.) Po pozoování malých objektů tedy potřebujeme vlnové délky katší, než je velikost zkoumaného objektu. Světlo kátkých vlnových délek dnes nachází využití ve spektoskopii s vysokým ozlišením atomů, molekul a pevných látek. Dále pak při detekci atomů a molekul, fotodisociaci a ozařování povchů pevných látek. Kátké vlnové délky lze využívat při fotolitogafii a záznamu fotogafie s vysokým ozlišením. Kátkovlnné koheentní záření posouvá ozsah studia luminiscence dále do ultafialové oblasti. Vysokovýkonových pulsních laseů se také využívá ke studiu mateiálové ablace a poškozování povchů. Uplatnění kátkovlnných koheentních zdojů je obovské, a poto stojí za to je studovat. 33

34 3. Přehled zdojů koheentního záření v UV oblasti V posledních letech došlo k obovskému vývoji v oblasti kátkovlnných zdojů záření. Metod bylo vyvinuto mnoho a snahy o katší vlnové délky dále pokačují. V oblasti měkkého entgenového záření, kde enegie elektonových esp. vibačních přechodů už nestačí, je třeba přistoupit k netadičním metodám geneace laseového záření. V zásadě lze současné zdoje kátkovlnného koheentního záření ozdělit do tří základních skupin podle způsobu emise světla: - Přímé laseové zdoje - Nepřímé koheentní zdoje - FEL Lase na volných elektonech (Fee Electon Lase) 3.. Přímé laseové zdoje Jak už název této kapitoly napovídá, půjde zřejmě o zdoje laseového záření, kteé jsou založené na stimulované emisi přechodů v iontech či molekulách. Stimulovaná emise byla od pvopočátku základem činnosti laseů, poto zde mluvíme o přímých zdojích koheentního záření. Potože enegie přechodů musí být větší, než je tomu ve viditelné oblasti, dostává se do hy plazma a vlastnosti více či méně ionizovaného hokého a hustého plynu. Dále se pak využívá netadičních sloučenin plynů a iontů vzácných zemin implantovaných v kystalech Atománě iontové UV lasey Nadějným způsobem geneace kátkovlnného laseového záření je stimulovaná emise na plazmě. Plazma je částečně nebo zcela ionizovaný plyn, kteý obsahuje kladně nabité ionty látky, elektony se záponým nábojem popř. neutální atomy mateiálu. Elektony se pak vacejí do volných stavů ionizovaných atomů, kteé následně deexcitují a září na vlnových délkách příslušejících daným přechodům. Zde jsou příklady laseů založených na záření ekombinující plazmy: - Lasey na ekombinující kovové plazmě - Lasey na duté katodě - Lasey na kapiláním výboji - Augeovské lasey 3... Molekulání UV lasey Další metodou je stimulovaná emise na vibačních stavech excitovaných molekul plynů. Většinou se využívá vibonických přechodů mezi stavy excitované nebo ionizované molekuly. Používají se např. tato aktivní média N, H, F, Xe, AF, Ne + F -. Blíže si je popíšeme v následující kapitole. 34

35 3...3 Bavivové UV lasey Podobně jako ve viditelné oblasti spekta se i v UV egionu využívají bavivové lasey. Jejich nesponou výhodou je dobá laditelnost. Využívá se mnoho oganických baviv a ozpouštědel např. PBBO ozpuštěný v toluenu, α NPO ozpuštěný v cyklohexanu, atd Pevnolátkové UV lasey Také pevnolátkové lasey nacházejí uplatnění v ultafialové oblasti spekta. Jde o skla nebo kystaly dotované ionty vzácných zemin. Např. Ce3+:LiYF, Tm3+:YF, Nd3+:LaF, E3+:YF,. 3.. Nepřímé koheentní zdoje U nepřímých zdojů koheentního záření se zpavidla nevyužívá stimulované emise k zesílení geneovaného záření. Výjimku tvoří např. antistokesovský amanovský lase. Jejich podstatou je nelineání chování mateiálů při působení silných elektomagnetických polí, kdy polaizace mateiálu přestává být přímo úměná vstupujícímu poli a zapojují se do hy i vyšší mocniny pole. Tím získáme násobky fekvence původního pole neboli vyšší hamonické. Nevýhodou této metody je celkem malá účinnost konveze, poto je nutné používat světlo velkých intenzit a vhodné mateiály. Naopak obovským kladem nepřímých koheentních zdojů je dobá laditelnost. Lze jimi pokýt téměř celou ultafialovou oblast Třívlnové pocesy, geneace.hamonické a inteakce sudého řádu Třívlnové pocesy jsou inteakce duhého řádu. V tzv. nedegeneovaném případě, kdy na mateiál dopadají dva svazky na ůzných fekvencích, můžeme geneovat nejen součtovou fekvenci, ale i fekvenci ozdílovou. V degeneovaném případě dostáváme tzv.. hamonickou. Aby bylo možné třívlnové pocesy vůbec ealizovat, musíme mít k dispozici mateiály, jejichž bodová gupa symetie postádá invezi neboli střed symetie. Více se o tom dozvíme v následujících kapitolách. Mateiály, kteé se využívají se také vyznačují anizotopií. Ta je důležitá po vlastní ealizaci geneace. hamonické. Používají se např. kystaly KDP, ADP, RDA,. Ostatní pocesy vyšších sudých řádů lze na těchto postředích také ealizovat. Jejich účinnost však apidně klesá. Navíc se začíná pojevovat absopce v mateiálu, kteá ve VUV a XUV oblasti pudce oste Čtyřvlnové pocesy, geneace 3.hamonické a inteakce lichého řádu Tojnásobek původní fekvence dostaneme, když na postředí za učitých podmínek přivedeme tři stejná pole. Stejně tak můžeme v nedegeneovaném případě vytvářet součtové fekvence a ůzné jiné kombinace. Tento poces lze pozoovat u všech mateiálů, avšak jeho nevýhodou je malá účinnost konveze. Ta je řádově menší, než tomu bylo v předchozím případě. Navíc se zde objevují jevy, kteé např. mohou způsobit nevatné poškození mateiálu. Patří sem např. tzv. samofokusace, díky kteé se svazek sám zaostří, a může pak způsobit popálení nelineáního postředí. Mezi čtyřvlnové pocesy se řadí i tzv. stimulovaný Ramanův ozptyl. U spontánního Ramanova ozptylu jde o posuv původní centální fekvence v důsledku ozptylu dopadající 35

36 vlny na vibačních stavech molekul popř. na optických fononech v pevných látkách. Posun směem k vyšším fekvencím se nazývá Antistokesův a posun k nižším fekvencím označujeme jako Stokesův. Pokud budeme podpoovat (stimulovat) např. stokesovskou složku dodaným polem, zesílí se nám složka antistokesovská. V tom případě mluvíme o stimulovaném Ramanově ozptylu. V mateiálu samozřejmě mohou vznikat i vyšší násobky základní fekvence. I u inteakcí vyšších lichých řádů účinnost konveze řádově klesá. Často se využívá tzv. ezonančního zesílení, o kteém se dozvíme v následujících kapitolách. Při geneování vysokých hamonických se naopak využívá vlastností ionizačního kontinua, ve kteém je účinnost konveze takřka konstantní pávě po vysoké řády inteakcí ( ). I u vícevlnových pocesů exustuje Ramanův ozptyl. Nazýváme ho ale hype- Ramanovým ozptylem a jde o šestivlnovou inteakci FEL Lase na volných elektonech Relativně novým typem laseového zdoje je tzv. Fee Electon Lase neboli lase na volných elektonech. Základem jeho činnosti je lineání uychlovač nabitých částic, kteé pak v poměnném magnetickém poli umístěném za uychlovačem vyzařují fotony učité vlnové délky. Obovskou výhodou tohoto zdoje záření je jeho laditelnost přes obovský ozsah spekta. Jeho zápoy jsou ale nasnadě: finanční nákladnost, objemnost zařízení, enegetická náočnost,. Díky vlastnostem FEL jej nelze zařadit do žádné z předchozích kategoií koheentních zdojů. Stejně jako u přímých laseových zdojů můžeme i u FEL pozoovat něco jako stimulovanou emisi v elektonovém oblaku. Zesílení geneovaného záření je pak mnohonásobné. Avšak tento zdoj postádá aktivní médium, poto jsem ho zařadil do samostatné skupiny. 36

37 3.3 Diskuse dostupnosti kátkovlnných koheentních zdojů S ostoucími obtížemi při geneování kátkovlnného koheentního záření obzvláště ve VUV, XUV a v oblasti měkkého entgenového záření, ostou i finanční náoky na tyto zdoje, což snižuje jejich dostupnost. V aeálu Akademie věd ČR na Slovance v Paze se nachází několik vysokoepetičních kátkovlnných laseů po ůzné účely. Jejich vlnová délka však nedosahuje kýžené hanice 6nm, potože se jedná převážně o excimeové lasey AF na 93nm, KF na 48nm, XeCl na 38nm atd. Tyto lasey od fimy Lambda Physik umožňují většinou pacovat s ůznými náplněmi, poto se původně uvažovalo o přestavbě někteého z těchto excimeových laseů na F lase, kteý by pacoval na 57nm. Přestavba by vyžadovala výměnu výstupních okének, spávné nastavení tlaku aktivního postředí, optimalizaci napětí na elektodách atd. S největší pavděpodobností by bylo potřeba využít inetního náazníkového plynu po zvýšení účinnosti čepání. V DESY však bylo úspěšně uvedeno do povozu zařízení FLASH, kteé umožňuje vědecké komunitě využívat vlastností vysokovýkonového (~GW) kátkovlnného (~nm) pulsního (~fs) laseu na volných elektonech (FEL), což je koheentní zdoj unikátních paametů. Náklady na jeho zřízení byly obovské, a poto byl z velké části dotován z fondů EU. Znamenal však obovský kok vpřed. Je nyní dostupný všem světovým laboatořím, kteé pojeví zájem o koheentní zdoj těchto paametů a pokáží kvalitu svého vědeckého pojektu. Dnes se uvažuje o dalším vylepšení FLASH. V plánu je docílit vlnových délek nm, což bude vyžadovat úpavy uychlovače i undulátou. Díky pokoku v XUV laseové fyzice dnes už existuje několik zdojů kátkovlnného koheentního záření, kteé jsou schopny dosahovat elativně velkých fluencí a opakovacích fekvencí, a přitom jsou konstuovány tzv. desktop. Typickým příkladem je lase založený na pinčující agonové plazmě [6], kteý je možno povozovat i v menší laboatoři. Další možnost, jak získat kátkovlnné koheentní záření, je využít nelineání jevů, např. geneovat vyšší a vysoké hamonické. Potřebujeme k tomu však dostatečně výkonný NIR, VIS, nebo NUV laseový zdoj. 37

38 4. Přímé laseové zdoje V této kapitole se seznámíme se základním pincipem přímých koheentních zdojů záření. Ozřejmíme obecný popis aktivních postředí a ezonátoů, abychom pak mohli navázat jednotlivými typy laseů. 4. Základní pincip laseu Jak jsme již v minulé kapitole zmínili, podstatou přímých zdojů laseového záření je stimulovaná emise v nějakém aktivním postředí. Tu lze ealizovat pomocí přechodů mezi ůznými kvantovými stavy systému. Samozesílení vytvářeného světla pak docílíme následovně: aktivní médium umístíme do polootevřeného ezonátou, kteý je naladěný na požadovanou vlnovou délku. Postředí potom načepáme pomocí výbojky, elektického výboje či jiného laseu, což záleží na typu média. Vznikající světlo se pak při mnohonásobném oběhu v ezonátou zesiluje, potože stimuluje přechody mezi načepanými stavy, kteé odpovídají vybané vlnové délce. Nejjednodušší schéma je v ob. 4: Ob. 4 Základní uspořádání laseu Způsobů, jak takový systém popsat, bylo vymyšleno hned několik. Nejjednodušší z nich, kteý dává hubý ale snadno pochopitelný pohled na lasey je temodynamický přístup. Počítáme v něm jen s obsazením hladin a intenzitou světla neboli počtem fotonů. Zavádí se v něm ale nové temíny, kteé jsou důležité po semiklasický popis. Ten světlo zavádí klasicky pomocí Maxwellových ovnic (viz. (.a) až (.d)) a hmotu kvantově, coby systém enegetických hladin daných svou vlnovou funkcí. Úplná kvantová teoie laseu nakonec popisuje i vznikající světlo postřednictvím kvantové teoie pole. Vlastnosti geneovaného záření jsou tedy nejvíce ovlivněny samotným postředím. Situace je ovšem poněkud složitější. V úvahu musíme vzít také ostatní vlivy. Už přímo v postředí najdeme celou řadu pocesů, kteé nám mění tva spektální čáy. Paamety ezonátou a zcadel se nám také pojeví v postoových a spektálních vlastnostech výstupního svazku. 38

39 4. Temodynamický přístup k aktivnímu postředí Pvní, kdo přišel s myšlenkou stimulované emise, byl Albet Einstein už v oce 96, necelé půl století před sestojením pvního laseu. Do té doby byla známa jen spontánní emise (luminiscence) a absopce. Tyto tři jevy pobíhají v načepaných postředích současně. Lze je popsat pomocí následujícího modelu. 4.. Dvouhladinový model Ob. 5 Spontánní emise fotonu Představme si, že atom, molekula aktivního postředí může nabývat pouze dvou stavů na dvou ůzných enegiích E, E. Nechť ve stavu je N atomů a ve stavu ať je N atomů. Přejde-li atom ze stavu do stavu (je-li mu to dovoleno), pak vyzáří foton o celkové enegii ovné ozdílu enegií obou stavů. To lze vyjádřit následovně: E = h ω = E E (4.) Nyní si na tomto modelu představíme tři základní pocesy pobíhající v postředí. Nutno podotknout, že jde opavdu o hodně zjednodušený model, kteý však po pochopení základní poblematiky stačí Spontánní emise Na ob. 5 je vlastně zachycen půběh spontánní emise. Ta pobíhá s jistou konstantou úměnosti tím ychleji, čím je honí stav více obsazen. Pokud tedy teď zapomeneme na ostatní dva pocesy, můžeme psát: dn dt = AN (4.) Pokud tuto jednoduchou ovnici vyřešíme, dostaneme exponenciální ozpad populace honí hladiny: t N() t = N( exp ) ( At) = N( exp ) τ (4.3) Tím je vysvětlen význam koeficientu A = τ. Jde o převácenou hodnotu doby života populace honího stavu. Za tento čas se obsazení zmenší zhuba,7-kát. Spontánní emise je však po činnost laseu víceméně neužitečná. Pomáhá jen nastatovat poces stimulované emise. Pak znamená spíše nevýhodu, potože spontánně zářící atomy svítí izotopně do všech směů a navíc náhodně (nekoheentně), což od laseu nechceme. Při spontánním ozpadu načepané honí hladiny nemusí vznikat jen foton (zářivé přechody), ale stav se může ozpadnout nezářivě, přičemž se uvolní tepelná enegie např. v podobě optického fononu (v pevných látkách). 39

40 4... Absopce Poces spontánní emise nutí načepané postředí, kteé není v temodynamické ovnováze, k návatu do ovnováhy, kdy jsou hladiny obsazeny dle Maxwell-Boltzmannova ozdělení. Napoti tomu při vlastním čepání, dochází k vychýlení systému z ovnováhy v důsledku Ob. 6 Absopce fotonu absopce záření. Tento poces je schematicky znázoněn na ob. 6. Atom při něm přechází ze stavu do stavu, přičemž pohltí enegii dopadajícího fotonu. Dosud jsme hustoty N a N chápali jako celkové hustoty obsazení hladin. Nyní však musíme počítat jen v úzkém intevalu fekvencí, kvůli ozdělení hustoty enegie fotonů. Zaveďme tedy veličiny N ω a N ω, kteé také budou mít tva ozdělení. Obsazení dolní hladiny v intevalu ( ωω, + dω) se tedy vyvíjí následovně: dn dt ω ω ( ω) N ρ( ω) = B (4.4) Kde B ( ω ) je Einsteinův koeficient absopce a inteval fekvencí ( ωω, dω) Stimulovaná emise ρ ω je hustota enegie fotonového pole po +. Tedy čím je silnější fotonové pole, tím je silnější absopce. Ob. 7 Stimulovaná emise fotonu tedy popsat difeenciální ovnicí, ve kteé B V ob. 7 je zachycen poces spontánní emise, při kteém je vybuzený atom stžen z honí hladiny na dolní. Vyzáří přitom foton, kteý je silně koelován s dopadajícím světelným kvantem. Enegie načepaná do postředí se tudíž přemění ve světelnou enegii. Časový vývoj populace honí hladiny lze ω je Einsteinův koeficient stimulované emise: dn dt ω ω ( ω) N ρ( ω) = B (4.5) Fotonové pole a látka Budeme-li předpokládat, že při každém přechodu z honí hladiny na dolní vznikne foton a při každém přechodu z dolní hladiny na honí jeden foton zanikne, dostaneme kinetickou ovnici po veličinu ρ( ω ) (ve směu osy z): d ρ ω dt ω ω ω Ω = h ω B( ω) N ρ( ω) B ( ω) N ρ( ω) + AN (4.6) 4π To tedy znamená příůstek od stimulované a spontánní emise a úbytek v důsledku absopce. Veličina Ω je postoový úhel, pod kteým aktivní médium vidí obě zcadla 4

41 ezonátou. Potože je spontánní emise všesměová, neuplatní se celý postoový úhel kolem postředí, nýbž jen jeho část. Pokud je tento úhel malý, lze spontánní emisi úplně zanedbat Vztahy mezi Einsteinovými koeficienty A, B a B Význam koeficientu A už známe. Souvisí s přiozenou šířkou čáy, a lze ji spočíst kvantově mechanicky. Je přímo úměná pavděpodobnosti přechodu mezi honím a dolním stavem za jednotku času. Není do ní započteno ani homogenní ani nehomogenní ozšíření spektální čáy. Ostatní dva koeficienty můžeme získat jednoduchým výpočtem z tzv. detailní ovnováhy, kdy je deivace hustoty enegie dle času ve vztahu (4.6) nulová. Postředí září jako čené těleso dle Planckova vyzařovacího zákona a hladiny jsou obsazeny dle Maxwell- Boltzmannova ozdělení s degeneacemi g a g. Postup je naznačen v Appendix 8. Dostaneme tedy: B ( ω) π c = A hω 3 3 B ( ω) c = A π hω 3 3 g g (4.7a) (4.7b) Rychlostí světla c teď míníme ychlost šíření fotonu v postředí, tzn. c = c n. Ihned si můžeme všimnout vztahu mezi Einsteinovými koeficienty absopce a spontánní emise: B ( ω) B ( ω) Zisk aktivního postředí a inveze populací g = (4.8) g Podívejme se opět na ovnici (4.6) a zanedbejme v ní vliv spontánní emise. Poveďme tansfomaci poměnné z = ct (vzhledem k okaji aktivního postředí) a dosaďme vztah (4.8). Dostaneme difeenciální ovnici z ( ω ω ) ω d ρ ω = hωb ω N g g N ρ ω c= h ωb ω N ρ ω c (4.9) Za předpokladu, že poměnná N ω ω N ( z), můžeme tuto ovnici snadno vyřešit. Tento předpoklad znamená, že obsazení populací je homogenní podél osy z aktivního média. Vyřešením ovnice (4.9) dostaneme exponenciální závislost: ω ( ) ( ) ρ z, ω = ρ, ω exp h ωb ω N z c = ρ, ω exp g ω z (4.) Nyní můžeme vidět význam konstant g( ω ) a N ω. Načepané aktivní médium je definováno tzv. ziskem (gain), kteý je úměný tzv. invezi populací. Platí po ně: g ( ω) B ( ω) ω = h ω N (4.) c 4

42 g N = N N (4.) ω ω ω g Je tedy patné, že zesílení laseu na dané fekvenci docílíme, pokud inveze N ω >. Pak zisk bude kladný a počet fotonů exponenciálně pooste. V opačném případě záponé inveze, bude hustota fotonů elaxovat do nuly. 4.. Homogenní a nehomogenní ozšíření čáy Dosud jsme počítali s tím, že enegetické hladiny systému byly dokonale osté. To by znamenalo, že by lase svítil na přesně dané fekvenci. Skutečnost je však poněkud jiná. Koheentní zdoje nevyzařují čistě monochomatické záření. Spektální čáy jsou ozšířené v důsledku mnoha pocesů, kteé v postředí nastávají. Na výstupu tak dostáváme tzv. kvazimonochomatické světlo. Rozšíření čáy je dáno tzv. ozšířením přechodu, kteé se posléze otiskne do výsledného tvau spektální čáy. Lze ho vystihnout funkcí f ( ωω, ), což je hustota pavděpodobnosti popisující ozdělení počtu atomů na hladinách v závislosti na fekvenci. U laseů je důležitá centální fekvence ω, okolo kteé je distibuční závislost ozložena. Pak bychom měli znát šířku ω ozdělovací funkce, kteá vystihuje kvalitu laseu co do monochomatičnosti. Tato veličina udává šířku ozdělení v polovině maxima a nazýváme ji FWHM (full width at half maximum). f ωω, musíme ozdělit počty částic na pvní a duhé Vzhledem k distibuční funkci hladině. Z celkových hustot N, N se tedy také stanou ozdělovací funkce N ω, N ω f ωω,, po kteé platí kinetické ovnice uvedené výše. Obecně můžeme psát: 4... Homogenní ozšíření spektální čáy ω i i ( ωω, ) úměné N = N f (4.3) Homogenním ozšířením ozumíme situaci, kdy všechny atomy popř. jiné zářící elementy postředí přispívají na stejné fekvenci stejnou ozdělovací funkcí. Tva homogenně ozšířené čáy bývá většinou loentzovský: f L ( ωω, ) = ω π ( ω ω ) + ( ω ) (4.4) Pocesů, kteé homogenně ozšiřují čáu, je mnoho. Jejich původ je ůzný. Nejvíce záleží na skupenské fázi aktivního média. Přiozená šířka čáy Nejjednodušší náhled na přiozenou šířku čáy je pomocí kvantových elací neučitosti. Podobněji se tímto poblémem zabývá Wigne-Weisskopfova teoie. Z elací neučitosti však okamžitě plyne ozmazání enegie přechodu v závislosti na době života honí hladiny τ a tudíž i šířka spektální čáy: E τ = h ωτ πh ω πτ (4.5) 4

43 Sážkové ozšíření spektální čáy Tento typ ozšíření je nejvíce patný u plynových popř. kapalinových laseů, kde sážky mezi atomy popř. molekulami postředí zkacují dobu života honí excitované hladiny. Už jen z pohledu na vztah (4.5) je patné, že se tím zvětší šířka spektální čáy. Platí obdobný vztah: ω πτ (4.6) c Kde doba τ c je střední doba mezi dvěma sážkami. Ta samozřejmě závisí na střední volné dáze atomů, což souvisí s tlakem plynu, teplotou či ozměy kyvety. Další typy homogenního ozšíření Vlivů na šířku čáy je celá řada. Např. u plynových laseů, u kteých potlačujeme vliv Doppleova ozšíření, mluvíme o tzv. půletovém ozšíření, kdy atomy zářícího plynu přiváděného kolmo na vznikající papsek setvávají v oblasti svazku jen kátce. Vlastně se tím zkátí doba života excitovaných částic postředí, kteé přispívají k emisi, a tím dojde k ozšíření čáy. V pevnolátkových laseech pak můžeme hovořit o fononovém ozšíření. Každý z jevů, kteý ozšiřuje spektální čáu emitovaného záření, lze chaakteizovat dobou τ i. Výsledná spektální čáa je dána konvolucí všech zúčastněných jevů. V případě loentzovských ozdělovacích funkcí se jejich šířky sčítají, tudíž platí: ω = ω = π τ 4... Nehomogenní ozšíření spektální čáy c i i (4.7) i i O nehomogenním ozšíření mluvíme tehdy, když jednotlivé atomy esp. molekuly zářícího postředí přispívají na jiné fekvenci. Tva ozdělovací funkce v tomto případě bývá gaussovský: f G ( ωω) ( ω ω) ( ) ln, = exp ln ω π ω (4.8) Doppleovské ozšíření spektální čáy V plynových esp. kapalinových laseech dochází k ozšíření přechodu v důsledku pohybu zářících atomů či molekul, kde se centální fekvence v důsledku pohybu posouvá. Kinetické enegie částic se řídí Maxwell-Boltzmannovým ozdělením. Výsledně dostaneme ozšíření spektální čáy (viz. Appendix 9): kt B ln ω = ω (4.9) mc Kde m je hmotnost zářící částice, teplota v kelvinech. kb 3 =,38 J K je Boltzmannova konstanta a T je 43

44 Další typy nehomogenního ozšíření Nehomogenní ozšíření, jak sám název napovídá, většinou nastává v případě nějaké nehomogenity v postředí. Patří sem tedy i ozšíření v důsledku nečistot v médiu popř. příměsí. V kystalech se pak posazují pouchy mříže a nedokonalost dopování. Pološířky gaussovských ozdělení se opoti loentzovským sčítají v kvadátech. Obecně, pokud se v postředí objeví oba typy ozšíření, musíme ozdělovací funkce konvoluovat, čímž dostaneme Voightovu funkci. 44

45 4.3 Laseové kinetické ovnice V této kapitole pobeeme základní vlastnosti tojhladinových a čtyřhladinových laseů, na jejichž bázi většina těchto zdojů pacuje Zavedení pojmů Účinný půřez stimulované emise a absopce Nyní, když už známe ozdělení populací hladin v závislosti na fekvenci, můžeme zavést novou konstantu, se kteou se v kinetických ovnicích standadně počítá. Jde o tzv. účinný půřez jevu. Vyjdeme-li ze vztahu (4.) po hustotu enegie a vyjádříme-li invezi pomocí funkce tvau čáy, dostaneme ρ( z, ω) = ρ(, ω) exp( σnz), kde účinný půřez stimulované emise je: ( ω ) B π c σ( ω) = h ω f ( ωω, ) = f ( ωω, ) (4.) c τω Účinný půřez absopce dostaneme využitím vztahu (4.8). Tedy: Vývoj populací hladin g σ ω = σ ω (4.) g Dosud jsme při výpočtech bali v úvahu, že obsazení hladin i hustota enegie je popsána jistým ozdělením. To nám do vztahů vneslo dispezi, se kteou se těžko počítá. N& ω ω = B ω N ρ ω, kde se nám objevují Časový vývoj i-té hladiny byl dán vztahem i ij i dokonce dvě hustoty pavděpodobnosti f ( ωω, ) a ρ ω. Lepší bude přejít k evolučním ovnicím, kteé popisují celou populaci. Učiníme předpoklad, že spektální čáa je úzká a že ji lze nahadit δ-funkcí na fekvenci ω. Navíc zavedeme namísto hustoty enegie ρ( ω ) hustotu fotonů q( ω) = ρ( ω) h ω. V Appendixu je uvedeno odvození po evoluci celkové populace i-té hladiny: N & = cσ Nq (4.3) i ij i Nutno podotknout, že jde opavdu jen o přiblížení monochomatického zdoje. V případě laseů s hodně ozšířenou spektální čáou přestává apoximace platit Střední doba života fotonu v ezonátou Mějme nyní ezonáto a v něm fotonové pole hustoty q. Předpokládejme, že v postředí nemáme žádný zisk a že toto pole v důsledku ztát elaxuje exponenciálně do nuly. Pokud bude střední doba života fotonu v ezonátou t c, pak po jednom oběhu ezonátoem se pole zmenší na q = qexp( TR tc), kde T R = L l c + ln c je tvání jednoho oběhu fotonu v ezonátou délky L s aktivním postředím indexu lomu n, kteé má 45

46 = exp, při kteém došlo nejen k odazu na zcadlech odazivosti R, R, ale i k absopci v postředí α (viz. duhá kapitola) a k jiným ztátám Z, kde Z= pokud žádné jiné ztáty nejsou. Z toho tedy dostáváme vztah po elaxační dobu ezonátou: délku l. Pole po jednom oběhu lze také vyjádřit q qrrz ( αl) t c TR = αl ln RRZ (4.4) Pahová hodnota inveze U výpočtu střední doby života jsme počítali s nulovým ziskem postředí. Pokud bude nenulový, pak hustota fotonů po jednom cyklu bude q = qrrz exp( gl) exp( αl). Abychom se dostali na páh emise, musí se ztáty po jednom cyklu ovnat zisku, což znamená, že q = q. Po jednoduchost předpokládejme, že délka ezonátou je ovna délce postředí (L=l). Tedy pahová hodnota inveze je: N th τω = = (4.5) cσ ω t π ct f ωω 3 (, ) c c Pokud postředí načepáme na hodnotu větší, než je pahová hodnota, pokyjeme ztáty a lase začne svítit. Naopak pod hanicí pahové hodnoty nám ztáty převládnou nad ziskem a nedojde k zesílení. Funkce tvau čáy f ( ωω, ), má maximum na centální fekvenci ω, kde tedy bude nejmenší páh inveze. Dosadíme-li tuto funkci na centální fekvenci do (4.5), zjistíme, že je páh přímo úměný šířce čáy Tojhladinový lase Pincip tojhladinového laseu Ob. 8 Schéma hladin tojhladinového laseu Na ob. 8 jsou znázoněny polohy hladin tojhladinového laseu. Opoti dvojhladinovému modelu se zde využívá třetího stavu, přes kteý se celý systém čepá. Před vlastním pocesem čepání je obsazení stavů dáno Maxwell- Boltzmannovým ozdělením. Nejvíce je obsazen pvní stav, pak duhý a nakonec třetí. Čepání se ealizuje mezi stavy a 3. Z honí hladiny pak systém nezářivě a velice ychle elaxuje do postředního duhého stavu. V ideálním případě je tento přechod nekonečně ychlý, což znamená, že třetí stav je pázdný. Odtud pak sytém přechází buď spontánně nebo postřednictvím stimulované emise na základní hladinu, přičemž vznikne foton o enegii dané ozdílem enegií pvního a duhého stavu. 46

47 Nyní nás bude zajímat, jak se v čase vyvíjí inveze a hustota fotonů v ezonátou. Nechť tedy W P je ychlost čepání z pvního do třetího stavu a NTOT = N+ N = konst. je celková hustota zářících částic. Kinetické ovnice po invezi a hustotu fotonů tedy vycházejí (viz. Appendix ): ( γ ) NTOT N N& + = WP( NTOT N) cσγnq τ (4.6a) q ( γ ) NTOT + N Ω q& = cσ Nq + t γτ 4π (4.6b) c Kde γ = + g g je degeneační fakto, t c je střední doba života fotonu v ezonátou a Ω je postoový úhel zcadel. Nevýhoda tojhladinových laseů je v jejich poměně malé účinnosti a náočnosti čepání. Abychom vůbec dosáhli inveze populací, musíme honí hladinu načepat alespoň na hodnotu N = N TOT, potože dolní stav není pázdný. Navíc při vzniku jednoho fotonu se inveze změní o dva. Poto se častěji využívá čtyřhladinových laseů, kteé si popíšeme vzápětí Čepání tojhladinového systému Představme si nyní, že jsme v oblasti záponé inveze, kdy lase nesvítí tzn. q :. Postředí nyní čepáme kontinuálně a inveze oste. V momentě, kdy začne lase svítit, musí inveze poklesnout poto hledáme bod (maximum), kde N & =. Z ovnice (4.6a) dostaneme maximální invezi při daném čepání. Aby došlo k zesílení laseového výstupu, musí maximum inveze nabývat alespoň hodnoty pahové inveze Nmax > Nth, z čehož dostaneme pahovou hodnotu čepání. Pak: N max W th P WP = W = N th τ ( γ ) P + τ τ N + ( γ ) N ( N N ) TOT th TOT TOT (4.7) (4.8) Ustálení tojhladinového systému a satuace zisku Nyní čepáme lase kontinuálně nad pahovou hodnotou W p. Inveze oste až do okamžiku, kdy se spustí stimulovaná emise. Ta posléze začne invezi vyjídat a obě hodnoty N a q se ustálí na ovnovážných hodnotách, kde je jejich časová deivace nulová. Pokud zanedbáme vliv spontánní emise, ustálí se hodnoty následovně: Nth N t = (4.9a) ( γ τ) ( + τ) NTOT Wp Nth Wp qt ( ) = (4.9b) cσ γn th 47

48 Při ustálení systému dojde k tzv. satuaci zisku aktivního postředí, kteý klesá nepřímo úměně s hustotou fotonů v médiu. Postup odvození je podobný jako u vztahu (4.7), nezanedbáváme však vliv fotonového pole a navíc platí g = σ N. Tedy: g g = (4.3) + qqs Kde g je počáteční hodnota zisku a q s je hustota nasyceného fotonového pole. V důsledku tohoto jevu dochází k tzv. výkonovému ozšíření spektální čáy. Je-li původní spektální čáa ozšířena homogenně, klesá její zisk s hustotou pole ychleji, než by tomu bylo u nehomogenně ozšířené čáy Chování tojhladinového systému Soustava difeenciálních ovnic (4.6a) a (4.6b) je celkem složitá a její řešení je závislé na mnoha paametech. Po názonost je nejlepší vymodelovat numeicky, jak se inveze a hustota fotonů vyvíjejí v čase. Na následujících gafech si budeme moci všimnout důležitých limitních hodnot. Vliv spontánní emise a optického šumu Již dříve jsme spontánní emisi považovali za poces, kteý nastatuje stimulovanou emisi. Z kinetických ovnic se opavdu dozvíme, že bez zářivé spontánní emise lase svítit nezačne. To můžeme zjistit, položíme-li hodnotu Ω=, čímž se zbavíme členu po spontánní emisi v duhé ovnici (4.6b). V tomto případě se nám inveze dostane do satuace, ale pole bude nulové. V ideálním případě by tomu tak opavdu bylo. V eálném postředí se však navíc pojevuje všudypřítomný světelný šum. Ten je také schopen nastatovat stimulovanou emisi v načepaném sytému. To můžeme nahlédnout jednoduchou změnou počátečních podmínek kinetických ovnic. I jediný foton dokáže spustit stimulovanou emisi. Tyto případy jsou fyzikálně zajímavé, ale nemají po nás paktický význam. Jde jen o náhled toho, jak se systém dokáže chovat chaoticky. Kontinuální čepání pod pahem th Nyní ukážeme, jakou oli haje nesplněná podmínka (4.8) ( WP < WP ) v činnosti tojhladinového laseu. Výsledky byly vymodelovány při následujících paametech: Rezonáto: Postředí: Počáteční podmínky: 3 5 Absopční koeficient: α = cm Doba života honí hladiny: τ = s N( ) = ( γ ) NTOT Vzdálenost zcadel: L = cm Celková hust. stavů: N Odazivost. zcadla: R = Půřez stim. emise: σ = cm Odazivost. zcadla: R =,9 Degeneační fakto: γ = 4 Rychlost světla: c Postoový úhel zcadel: Relaxace ezonátou: 3 cm s Rychlost čepání: tc WP q = 6 3 = cm TOT = 5 s 8 Ω=,s Pahová inveze: N =,5N,8 s 8 th = Páh čepání: WP Tab. 3 Paamety laseu th = 3,7 TOT 5 s 48

49 Gaf a Vývoj inveze Gaf b Vývoj fotonového pole Z gafu a je patné, že postředí není dostatečně načepané a že zůstává hluboko pod pahovou invezí. V důsledku převažujících ztát svítí postředí pouze slabě (viz gaf b). Spontánní i stimulovaná emise jsou takřka stejně intenzivní. Počáteční hodnotu inveze lze odhadnout tak, že honí stav ponecháme skoo pázdný a dolní stav bude plně obsazen (viz. (4.)). To můžeme říci, pokud enegetický ozdíl mezi hladinami bude velký opoti součinu k B T, což v ultafialové oblasti snadno splníme. Hodnoty v gafech jsou po přehlednost nomované. Kontinuální čepání nad pahem elaxační oscilace V předchozím případě nedošlo k zesílení laseového výstupu, potože jsme postředí nedostatečně načepali. Jinak tomu bude, pokud podmínku (4.8) splníme. Nastavme tedy 5 WP = 5 s a všechny ostatní paamety ponechejme stejné, jako v tabulce 3. To, co se stane, uvidíme v následujícím gafu: N / N TOT vs. q* / N TOT,35,3,5,,5, Inveze vs. hustota fotonového pole Inveze Maximální inveze Pahová inveze Hustota f. pole (* ) Limitní hustota f. pole (* ),5,,,5,,5 t / τ Gaf Časový vývoj inveze a hustoty fotonového pole Po spuštění čepání nabíhá inveze do svého maxima, kde ji posléze začne vyjídat stimulovaná emise a inveze klesá. Systém se za učitých podmínek může ozkmitat, což 49

50 vidíme v gafu. Inveze a hustoty pole se pak ale ustálí na hodnotách daných vztahy (4.9a) a (4.9b). Ačkoli jsme opoti předchozímu případu zvýšili čepání pouze 5-kát, intenzita geneovaného světla se zvedla o tři řády. Zde tedy můžeme vidět důležitost podmínky (4.8). Čepání gaussovským pulsem (výbojem) V neposlední řadě je zajímavé podívat se, jak se systém chová při čepání pulsem. Po jednoduchost budeme předpokládat, že puls má gaussovský tva: ( t t ) ln 4 ln WP () t = W exp π tp tp (4.3) Kde t p je FWHM pulsu, t je poloha maxima a W je plocha pod pulsem. Tento vztah udává ychlost čepání v ůzných časech. Ponechme tedy paamety stejné jako v tab. 3 a nechť 7 7 t = 6 s, tp = s a W = 5s. Tento případ odpovídá například čepání nanosekundovým pulsním laseem. Čepací puls převede postředí téměř do satuovaného stavu. S učitým zpožděním pak vznikne nový puls, kteý už ovšem není přesně gaussovský a je o něco šiší. Můžeme si všimnout typického tailu, kteý je závislý na elaxační době ezonátou. Čím déle totiž foton setvá v ezonátou, tím pomaleji hustota fotonového pole elaxuje k nule. Inveze pak zelaxuje zpět do počáteční hodnoty. Vše znázoňuje následující gaf 3.,, Inveze vs. hustota fotonového pole Inveze Hustota f. pole N / N TOT vs. q / N TOT,8,6,4,, -, -,4 -,6,,5,,5 t / τ Gaf 3 Časový vývoj inveze a hustoty fotonového pole 5

51 4.3.3 Čtyřhladinový lase Pincip čtyřhladinového laseu Ob. 9 popisuje systém hladin čtyřhladinového laseu. Opoti tojhladinovému modelu se využívá další hladiny, coby přechodného základního stavu. Stejně jako u předchozího modelu se čepá ze základní nulté hladiny do třetího stavu, ze kteého pak systém velice ychle nezářivě přechází do duhé hladiny. V ideálním případě je tento Ob. 9 Schéma hladin čtyřhladinového laseu přechod nekonečně ychlý, a poto můžeme říci, že obsazení třetího stavu je takřka nulové N 3 =. Z duhé hladiny pak systém přechází na pvní stimulovaně esp. spontánně. Doba života pvního stavu je však malá, poto se tato hladina velice ychle vypazdňuje. V ideálním případě je pázdná N =. Absopce mezi touto hladinou a základním stavem je tudíž také zanedbatelná. Celková hustota obsazených stavů je tedy NTOT = N + N a potože vlastní emise pobíhá mezi hladinami a, je inveze dána N = N ( g g) N = N. V tomto případě dostaneme kinetické ovnice okamžitě: N N& = Wp( NTOT N) cσ Nq τ (4.3a) q N Ω q& = cσ Nq + t τ 4π (4.3b) Pvní člen v invezi je příspěvek čepání z nultého stavu, duhý a třetí člen epezentuje úbytek stimulovanou a spontánní emisí. Hustota fotonového pole je podobná předchozímu případu. Ω je postoový úhel, pod kteým postředí vidí obě výstupní zcadla. Výhodou čtyřhladinových systémů je téměř nulové obsazení dolního pvního stavu. Z toho plyne, že při vzniku jednoho fotonu klesne inveze pouze o jedna, což opoti tojhladinovým systémům znamená větší účinnost. Navíc i při slabém čepání dostáváme nezáponou invezi Čepání čtyřhladinových laseů Podobně jako minule hledáme maximum inveze populací, kdy N & =, přičemž postředí ještě nezáří q :. Z ovnice (4.3a) vyjde maximální inveze a páh čepání: c W N th P max = τ WN P TOT = W + τ P N th ( N N ) TOT th (4.33) (4.34) 5

52 Ustálení čtyřhladinového systému a satuace zisku Situace je opět podobná. Kontinuálně čepáme postředí nad pahem. Po čase se inveze a hustota fotonového pole ustálí na učitých limitních hodnotách. Platí po ně: Nth N t = (4.35a) ( τ ) NTOTWp Nth Wp + qt ( ) = (4.35b) cσ N I čtyřhladinový systém se ustálí v satuaci. Zisk se řídí vztahem (4.3), avšak počáteční hodnota g je tochu odlišná Chování čtyřhladinového systému Soustava kinetických ovnic (4.3a) a (4.3b) se chová do jisté míy podobně, jako tomu bylo u tojhladinového systému. Rozdíl je v počáteční podmínce, kdy N ( ) =. Poto je inveze i při slabém čepání nezáponá. Důležitá je pahová podmínka (4.34), kdy se ztáty vyovnávají zisku a dochází k zesílení výstupu. Čepáme-li postředí pod pahem kontinuálně, dostane se inveze do satuované maximální hodnoty a lase svítí pouze slabě v důsledku spontánní emise. Je to podobné jako u tojhladinových systémů. Pokud se s čepáním dostaneme nad páh, dostane se inveze do svého maxima a posléze začne díky zesilující stimulované emisi klesat. Ustálí se pak na hodnotě pahové inveze esp. lehce pod ní (to je důsledek spontánního vyzařování). Často se objevují oscilace inveze a pole, což si ukážeme níže. Čepání čtyřhladinového systému pulsem je velice zajímavé. V důsledku elaxačních oscilací může v systému dojít ke vzniku celého vlaku pulsů, jejichž pološířka může být i několikanásobně menší, než byla pološířka excitačního pulsu. Relaxační oscilace laseu Za učitých podmínek můžeme pozoovat, že se systém ozkmitá. Tlumeně oscilující inveze a hustota fotonového pole pak elaxují ke svým limitním hodnotám. Dosaďme do kinetických ovnic paamety z tab. 4 v následujícím gafu 4 pak budeme moci sledovat oscilace obou veličin. Rezonáto: Postředí: Počáteční podmínky: Absopční koeficient: α = cm 7 Doba života honí hladiny: τ = s N ( ) = Vzdálenost zcadel: L = cm Celková hust. stavů: N Odazivost. zcadla: R = Půřez stim. emise: Odazivost. zcadla: R =,9 Rychlost čepání: th WP q = 6 3 = cm TOT σ = cm = s Rychlost světla: c 3 cm s Postoový úhel zcadel: Ω=,s Pahová inveze: N =,N Relaxace ezonátou: tc 9 th = 3,7 s Páh čepání: WP th =,6 Tab. 4 Paamety laseu TOT 5 s 5

53 N / N TOT vs. q / N TOT,,5,,5 Inveze vs. hustota fotonového pole Inveze Pahová inveze Hustota f. pole Limitní hustota f. pole, 3 4 t / τ Gaf 4 Časový vývoj inveze a hustoty fotonového pole Výskyt tlumených oscilací systému závisí na aktivním postředí. Nejvíce se objevují v pevnolátkových laseech. Naopak v bavivových či v plynových laseech nejsou oscilace tak časté Výkonové vlastnosti laseu Čepací výkon Dosud jsme čepání popisovali veličinou W P, kteá udávala pavděpodobnost vybuzení základního stavu do excitované hladiny za jednotku času. Lepší je ale kontinuální čepání popisovat objemovou hustotou dodávaného výkonu. Po tojhladinové lasey ho lze přibližně odhadnout jako: P th ωp Nth = h (4.36) τ Kde ω P je centální fekvence čepání. Jedna polovina, kteá se ve vztahu objevuje, znamená, že jeden foton z čepací výbojky, změní invezi o dva, což platí u tojhladinových laseů. U čtyřhladinových laseů se však inveze mění pouze o jedna na jeden foton Výstupní výkon laseu V předchozích kapitolách jsme popsali dynamiku aktivního postředí. Po paktické účely však potřebujeme získat výkon laseu na výstupu. K tomu nám poslouží hustota fotonového pole v ezonátou. Doba života fotonu v ezonátou je dána vztahem (4.4). Pocesy, kteé tlumí pole, jsou ale dva: absopce v mateiálu a únik fotonu výstupním zcadlem. Poto můžeme psát, že tc = ti + te. Poovnáme-li tento vztah z výazem (4.4), dostaneme: 53

54 t e cln ( RR ) = (4.37) l Výstupní výkon je úměný časové deivaci hustoty odcházejícího pole. Bude-li postředí v ovnováze, tzn. q = q( ) a bude-li objem aktivního postředí V, pak výstupní výkon laseu je: P e ( ) q = h ω V (4.38) t e To platí v případě, že zanedbáváme absopci výstupního zcadla popř. jiných optických elementů na výstupu Optimální odazivost výstupního zcadla Po každé aktivní postředí je třeba zvolit spávné výstupní zcadlo, abychom z laseu dostali co možná největší výkon. Podmínku po odazivost R dostaneme jednoduše z deivace výkonu podle tohoto paametu. Po názonost je v následujícím gafu vynesen nomovaný výstupní výkon po jednotlivé úovně čepání v závislosti na koeficientu odazivosti:, Nomovaný výkon laseu v závislosti na odazivosti výstupního zcadla,8 nomovaný výkon,6,4,,,,,4,6,8, W P =,6 x 4 s - W P =3, x 4 s - W P =6, x 4 s - W P =9, x 4 s - W P =8, x 4 s - R Gaf 5 Nomovaný výkon laseu v závislosti na odazivosti výstupního zcadla th Po tento případ bylo zvoleno α WP stejné jako v tab. 4. Vidíme, že po silně čepaná postředí musíme zvolit výstupní zcadlo s menší odazivostí (viz. čená křivka v gafu 5). Z maxima křivky můžeme stanovit optimální odazivost zcadla po danou situaci. Nutno podotknout, že výše uvedený gaf a vztahy po výkon platí jen po lasey v kontinuálním ežimu. Po pulsní lasey se často používají zcadla s malou odazivostí. 3 = cm, 4 =,53 s. Ostatní paamety jsou 54

55 4.4 Kvantový popis aktivního postředí V předchozích kapitolách jsme si nastínili makoskopický popis aktivního postředí v ezonátou. Objevily se nám ovšem temíny, kteé temodynamika vysvětlit nedokáže. Např. doba života enegetické hladiny je záležitostí kvantové mechaniky, kteá je schopna odhalit mikoskopické vlastnosti látek Kvantový systém v hamonické pouše Vlastní stavy nepoušeného hamiltoniánu Mějme nějaký obecný kvantový systém (atom, iont, molekulu, ), jehož enegetické hladiny lze popsat hamiltoniánem Ĥ. Jeho spektum nám udává možné stacionání enegetické stavy. Ze Schödingeovy ovnice víme: Hˆ ψ = E ψ (4.39) n n n Kde ψ n jsou vlastní vlnové funkce hamiltoniánu s degeneací g n a E n jsou příslušné =. enegie. Předpokládejme, že vlastní funkce jsou otonomální, což znamená ψm ψn δmn Wigne-Weisskopfova teoie pavděpodobnosti obsazení hladin Vývoj počátečního stavu Kdyby na náš systém nepůsobilo okolí, nacházel by se ve nějakém z vázaných stavů a nic by se nedělo. V laseu nám však na elektony působí elektomagnetické pole, což znamená jakousi pouchu stacionaity a systém přejde z čistého do smíšeného stavu. V hamiltoniánu přibude pouchový člen, což ovlivní vývoj enegetických stavů. Novou vlnovou funkci můžeme ozvinout do stacionáních stavů: ψ n n h ψn (4.4) n ( t) = c ( t) exp( ie t ) Kde po koeficienty cn (4.4) do Schödingeovy ovnice s poušeným hamiltoniánem H ˆ H ˆ λw ˆ ( t) Appendix.): Kde Emn Em En ψ I takto: t získáme soustavu difeenciálních ovnic, dosazením vlnové funkce exp λ ˆ = + (viz. c& m t cn t iemnt h Wmn t (4.4) n = = a Wˆ ( t) Wˆ ( t) λ = ψ λ ψ. Vlnová funkce se vyvíjí z počátečního stavu mn ψ m () t exp( iht ˆ ) n = h ψ (4.4) I 55

56 Záoveň můžeme novou vlnovou funkci ozvinout do vlastních stavů nepoušeného hamiltoniánu v čase t. Tedy z nomality báze pak dostaneme koeficient: ( t) = c ( t) exp( ie t ) = a ( t) a ( t) = ( t) ψ h ψ ψ ψ ψ (4.43) Z koeficientu a n n n n n n I I n I t zjistíme, jak se vyvíjí počáteční stav v dané pouše. Po dlouhém počítání nám po něj vyjde (viz. Appendix.): exp( ) () ( λ ) a t = Γ + i E + W +Λ t h (4.44) I I I II I Kde Λ I = λwij ( EI Ej) a fakto odpovědný za tlumení Γ I = πλwij δ( EI Ej) j I. Nezbývá, než spočítat pavděpodobnost, se kteou najdeme systém v počátečním stavu () () exp( ) exp j ψ I : wi I t = ai t = Γ It h = t τ I (4.45) Pvotní stav systému se tedy v pouše exponenciálně ozpadá. Jeho dobu života nám udává tzv. zlaté pavidlo : h π τ = = λw δ E E Γ τ h I Ij I j I I j (4.46) Pozn.: Je poněkud překvapivé zjištění, že v době života stále figuuje pouchový člen. Zdálo by se tedy, že spontánní emise neexistuje bez přítomnosti pole, potože po nulovou pouchu je doba života nekonečná. Odpověď dává kvantová teoie pole, kteá říká, že úplně nulové pole neexistuje. Za spontánní emisi nesou zodpovědnost tzv. kmity vakua. Vývoj ostatních stavů Dosud jsme počítali s pouchou, kteá byla zadána obecně. Vyjadřuje se jako enegie dipólu v poli ovinné elektomagnetické vlny. Tedy: { ( ) ( )} ˆ ˆ ˆ λw = d E = d E exp i ωt k + E exp i ωt k (4.47) exp E.E. je pole a d ˆ = eˆ je opeáto dipólového momentu. Kde = { ( i( ωt k ) ) + cc} Teď už nám nic nebání ve výpočtu pavděpodobnosti přechodu z počátečního stavu ψ I do jiného stavu systému např. ψ F. K tomu využijeme soustavu difeenciálních ovnic (4.4). Přijmeme-li však předpoklad, že největší vliv na řešení má počáteční stav a nově vzniknuvší stavy řešení neovlivňují, zbude nám jen jedna difeenciální ovnice. Pavděpodobnost přechodu tedy vychází (viz. Appendix.): emise absopce π Γ π wi F = dfi e I τi h εcn E E% hω I F I ± +ΓI (4.48) 56

57 Kde n je index lomu postředí, e je vekto polaizace světla 3, I je jeho intenzita a E % I = EI + λwii +Λ. Můžeme si všimnout, že tva spektální čáy je loentzovský, přičemž její I přiozená šířka FWHM = Γ je nepřímo úměná době života pvotní hladiny. I Einsteinovy koeficienty Dosud možná nebylo úplně jasné, poč se tak pacně dopočítáváme pavděpodobnosti přechodu. Důvodem je stanovení Einsteinových koeficientů, kteé z této teoie přímo vyplývají. Pokud nahadíme intenzitu ve výazu (4.48) vztahem I = ch ωq, můžeme si všimnout učité podobnosti se vztahem po stimulovanou emisi (4.3). Potože ale přecházíme od jedné částice k jejich statistickému soubou s náhodně oientovanými dipóly, musíme navíc středovat. Koeficienty stimulované emise, absopce a spontánní emise jsou odvozeny v Appendix.3 a vychází: B A B πe = ψ ˆ ψ (4.49a) h IF F I 3 εε g πe I ˆ FI = ψ F ψ I gf 3h εε 3 e ˆ I = ω ψ 3 F ψ I 3πhεε c Kde jsme předpokládali ezonanci, tzn. h ω = E% I EF Výběová pavidla (4.49b) (4.49c) Z kvantové teoie jsme se dostali k Einsteinovým koeficientům. Jejím výsledkem jsou však navíc i výběová pavidla, kteá učují, jaké jednofotonové přechody jsou dovolené a jaké ne. To plyne z nenulovosti maticového elementu: = ˆ = d,, FI ψf ψ I ψ F ψ I 3 R 3 (4.5) Jednoduchý závě je, že výchozí a koncový stav musí mít opačnou paitu, aby byly jednofotonově dovoleny. Při velkých intenzitách může dojít i k dvoufotonovým přechodům, u kteých je paita počátečního a koncového stavu stejná. 3 Pavděpodobnost stimulovaného přechodu závisí na vzájemné oientaci dipólového momentu a polaizace světla. Pokud jsou na sebe kolmé, je pavděpodobnost nulová. 57

58 4.5 Konstukce kátkovlnných laseů V této kapitole pobeeme typy ezonátoů, způsoby geneování pulsů, metody čepání a jiné technické záležitosti okolo přímých laseových zdojů. V někteých případech se konstukce kátkovlnných laseů liší od zdojů ve viditelné oblasti Rezonátoy Konstukce ezonátou má veliký vliv na vlastnosti vystupujícího laseového svazku. Ovlivňuje nejen jeho postoové vlastnosti, jako např. pofil nebo divegenci, ale i jeho spektální vlastnosti, mezi kteé patří stuktua podélných a příčných modů. Těchto vlastností bychom se dopočítali vyřešením vlnové ovnice s okajovými podmínkami, kteé plynou z vlastností zcadel Pofily svazků Gaussovský svazek Řešením vlnové ovnice ve volném postou v tzv. paaxiální apoximaci je válcově symetický gaussovský svazek s Rayleighovou vzdáleností z. Tato konstanta se učí z paametů ezonátou (délka, poloměy zcadel), na jehož zcadla si vlnoplochy svazku sedají. Dále už stačí znát jen vlnovou délku světla. Tva gaussovského svazku je na následujícím obázku: Pofil pole: Ob. Gaussovský svazek E A W exp = i kz+ k z W( z) W ( z) R( z) ξ (4.5a) Pološířka svazku v nule: W = λz π (4.5b) Pološířka svazku v z: W z = W + z z (4.5c) Polomě křivosti vlnoplochy: R( z) z( z z ) Náběh fáze: Divegence svazku: = + (4.5d) ξ z = actg zz (4.5e) tg ϑ = W z (4.5f) 58

59 Hemitovské-gaussovské svazky Pokud bude mít ezonáto sféická zcadla ve tvau obdélníku, dojde ke vzniku příčných modů ve směu os x a y. To je důsledek okajové podmínky. Pole příčného modu TEM lm bude mít tva (4.5): W x y x + y x + y Elm( xyz,, ) = Alm Hl Hm exp i kz k ( l m ) ( z) W ( z) ξ W( z) W ( z) W ( z) R( z) Kde H l u je Hemiteův polynom stupně l. Všimněme si, že TEM je gaussovský svazek. V následujících obázcích je zachyceno ozložení několika příčných módů: Ob. a - TEM Ob. b TEM Ob. c TEM Lague-gaussovské svazky V ezonátou s kuhovými sféickými zcadly se vyvine pole s válcově symetickými příčnými mody, kde je pole dáno (4.53): m W m lm (, ϑ, ) = lm cos( ϑ) l exp + ( + + ) ξ E z A m L i kz k l m z W ( z) W( z) W ( z) W ( z) R( z) Kde L m l u je přidužený Lagueův polynom. Besselovské svazky Řešením nepaaxiální vlnové ovnice ve válcových souřadnicích jsou Besselovy svazky. Jejich vlnoplocha je ovinná, a poto nedivegují. Opoti ideální ovinné vlně však mají besselovské ozložení intenzit v příčném směu Podélné mody Podélné mody ezonátou učují fekvenci, na kteé lase svítí. V ezonátou délky L, jsou dovoleny mody na fekvencích: ω = nc L = nt (4.54) Kde n je přiozené číslo a T R je tvání jednoho oběhu fotonu ezonátoem. n 59 R

60 Stabilita ezonátou Existuje celá řada ůzných typů ezonátoů. Důležité je ale vědět cosi o jejich stabilitě, abychom mohli ozhodnout o vhodnosti použití daného typu ezonátou v dané situaci. Ty klasifikuje tzv. Boydova-Kogelnikova podmínka stability: L L ( )( ) (4.55) Kde L je délka ezonátou a a jsou poloměy výstupních zcadel. Rezonátoy splňující tuto podmínku označujeme jako stabilní, ze kteých se pole vyvazuje převážně půchodem přes výstupní zcadlo Stabilní ezonátoy Stabilní ezonáto vybíáme v případě, že nepotřebujeme uměle přivolávat ztáty. Konstukcí je mnoho. Např. na následujících obázcích je ezonáto používaný po bavivové lasey či ezonáto po zeslabení astigmatismu postředí, kteý nastavujeme volbou úhlu ϑ. Ob. Rezonáto po bavivové lasey Ob. 3 Rezonáto po potlačení astigmatismu postředí 6

61 Rezonátoy na hanici stability Nyní si uvedeme několik příkladů ezonátoů, kteé se nacházejí na hanici podmínky (4.55). Jde o případy, kdy je splněna ovnost. Planání ezonáto Na hanici stability se nachází tzv. planpaalelní ezonáto, jehož obě zcadla jsou ovinná, tzn. a. V paxi ale využití moc nenachází, potože je velice citlivý na vychýlení svazku od osy zcadel. Koncentický ezonáto Na duhé staně hanice stabilit máme ezonáto, jehož zcadla mají společný střed, čemuž odpovídá podmínka L = +. Je velice citlivý na nastavení vzdálenosti zcadel. Konfokální ezonáto Dalším haničním případem je ezonáto, jehož zcadla mají společné ohnisko, čemuž odpovídá podmínka L = = Nestabilní ezonátoy Zdálo by se, že nestabilní ezonátoy uplatnění nenajdou. V kátkovlnné oblasti se však objevuje nový poblém s velkou divegencí svazku. Pávě nestabilní ezonátoy jsou ale schopny tento nedostatek dobře eliminovat i v laseech, po nichž požadujeme velký výstupní výkon. Na ob. 4a a 4b jsou zcadlové nestabilní ezonátoy, kde výstupní svazek má tva pstence. Na ob. 4c se pak namísto výstupního zcadla používá čočka s vyšší odazivostí, kteá fokusuje jinak silně ozbíhavý svazek a odáží část záření zpět do ezonátou. Maximum intenzity pak stále zůstává na ose. Ob. 4a Nestabilní ezonáto Ob. 4b Nestabilní ezonáto se děavým ovinným zcadlem 6

62 Zesilovače laseového záření Ob. 4c - Nestabilní ezonáto s čočkou Nestabilní ezonátoy se také často využívají k zesílení jiného laseového signálu daných postoových, spektálních a časových vlastností. Na následujících dvou obázcích jsou vyobazeny jednopůchodové a vícepůchodové zesilovače. Ob. 5a Jednopůchodový zesilovač Ob. 5b Vícepůchodový zesilovač Vlastnosti vystupujícího svazku závisejí na konstukci zesilovače. Ty se často vyábějí tak, aby spektální vlastnosti byly dány zdojem signálu a postoové a výkonové vlastnosti zesilovačem. To je např. výhoda tzv. injection-locked ezonátou, kteý je na následujícím obázku: Ob. 6 - Injection-locked ezonáto 6

63 4.5. Ovládání postoových a spektálních vlastností svazku Pasivní optické pvky umožňují po technickou ealizaci laseu okénka, kyvety, zcadla, atd. Ty by ale neměly výazně ovlivňovat chaakte svazku na výstupu. Na duhou stanu někdy potřebujeme měnit postoové a spektální vlastnosti emitovaného svazku, k čemuž slouží clony, mřížky, etalony, Selekce příčných modů V kapitole o ezonátoech jsme zjistili, že pole v ezonátou má netiviální příčnou stuktuu tzv. příčné mody (viz. ob. a c). Někdy však potřebujeme, aby maximum intenzity leželo na ose ezonátou, tudíž se potřebujeme zbavit vyšších modů TEM, TEM atd. Toho docílíme použitím clony ve tvau mezikuží, kteou vyšší mody potlačíme a nejvíce enegie získá ten gaussovský TEM. Někdy se naopak potřebujeme zbavit gaussovského nultého modu, což můžeme ealizovat naopak kuhovou clonkou. Nevýhodou clonek však zůstává ztáta výkonu na nich Selekce podélných módů S výběem podélného modu souvisí naladění laseu na požadovanou fekvenci. Ve viditelné oblasti můžeme bez obav použít hanol, Faby-Peotův etalon či mřížku na odaz či půchod, kteou vložíme mezi zcadla. Vybaná vlnová délka se pak zesiluje nejvíce, potože ostatní vlnové délky mají větší ztáty. V ultafialové oblasti musíme vzít v úvahu ostoucí absopci, což nám nepochybně ztíží ozhodování při výběu vhodných mateiálů. Přesto však lze dosáhnout spektálních ča šiokých řádově stovky až desítky MHz. Využití Faby-Peotova etalonu Spektální chaakteistiku FP etalonů už známe. Jeho paamety či natočením můžeme měnit jeho popustnost v závislosti na fekvenci dopadajícího světla. Potože spektum spontánní emise postředí může být šioké, nejsme schopni s použitím obyčejného FP etalonu vybat jen jednu fekvenci nýbž hned několik fekvencí. To můžeme obejít kombinací více etalonů, nebo můžeme použít i další pvky. Na následujícím obázku se využívá mřížky na odaz Littowově uspořádání a dvou etalonů. Využití hanolu Ob. 7 Kombinace dvou etalonů a mřížky Hanol sám o sobě nemá dostatečné ozlišení, abychom jej mohli použít po výbě vlnové délky. Na duhou stanu mřížka má také malé ozlišení, pokud je osvětlena je malá část vypů. Nabízí se tedy zkombinovat hanol s mřížkou na odaz. Hanolem vybeeme větší oblast spekta a záoveň s ním ozšíříme svazek, čímž zvětšíme osvětlenou část mřížky a tedy i její ozlišení. 63

64 Využití mřížek Abychom zachovali úzký svazek a záoveň využili maximum ozlišovací schopnosti mřížky, můžeme využít dopadu pod tupým úhlem tzv. gazing incidence. Nevýhodou jsou zvýšené ztáty na mřížce, avšak můžeme tak docílit velice úzkých spektálních ča. Příklady takového uspořádání jsou na následujících obázcích: Ob. 8a Mřížka v gazing incidence poloze (výstup přes polopopustné zcadlo) Ob. 8b Mřížka v gazing incidence poloze (výstup nultý intefeenční řád) Čepání aktivních postředí Metoda čepání se volí s ohledem na použité aktivní postředí a konstukci laseu. Konstukcí čepacích systémů je mnoho. Jejich cílem je přenést co nejvíce enegie do aktivního postředí Čepání pevnolátkových laseů Pevnolátkové lasey se v kátkovlnné oblasti nejčastěji čepají elektonovým svazkem (viz. dále), spontánním zářením excitovaných mateiálů (Hg, H, K, ) či zářením z elektonového svazku Čepání bavivových laseů Bavivové lasey je možné čepat mnoha způsoby. Často se to povádí s pomocí výbojek, vyšších hamonických Nd:YAG laseu či molekuláních laseů Čepání molekuláních laseů Mezi nejčastěji používané metody u laseů s plynným aktivním postředím patří čepání výbojem, elektonovým (potonovým) svazkem či jejich kombinací a v neposlední řadě i čepání mikovlnným zářením. 64

65 Čepání výbojem (electic dischage) V řídkých plynných postředích se většinou inveze dociluje podélným výbojem ovnoběžným s osou ezonátou. V hustších médiích s atmosféickým nebo vyšším tlakem se pak používá příčného výboje kolmo na svazek. Při výboji jsou potřeba celkem vysoká napětí a špičkové poudy. Enegie se uschovává ve vysokokapacitních kondenzátoech. Metody jsou shnuty v těchto obázcích: Ob. 9a Podélné čepání řídkých plynných postředí Ob. 9b Příčné čepání hustých plynných postředí Aby bylo čepání vysokotlakých médií příčným výbojem účinnější, přistupuje se k tzv. předionizování postředí. Výboj pak snáze poběhne a načepá invezi. Metod je hned několik. Nejčastěji se používá UV záření z jiného elektického výboje, koónového výboje nebo entgenového záření. Ob. a - Boční předionizování UV zářením Ob. b - Zadní předionizování UV zářením Boční předionizování UV záření je ealizováno řadou jiskřišť, ozmístěných zvenku podél aktivního postředí. Kvůli malému půniku ultafialové do média je však tato metoda schopna předčepat oblast šiokou pouze několik centimetů. O něco lépe je na tom duhá metoda, kde jsou jiskřiště ozmístěna pod jednou z elektod. Abychom získali šiší oblast zisku, používají se následující postupy. 65

66 Ob. c - Předionizování koónovým výbojem Ob. d - Předionizování entgenovým zářením Pe-ionizace koónovým výbojem je schopna vytvořit velice homogenní ozložení zisku v postředí. Nejšiší oblasti zisku ve vysokotlakých postředích bylo dosaženo použitím entgenového záření. Rentgenové záření vzniká z elektonů s enegií řádově kev až kev a vstupuje do aktivní oblasti přes hliníkovou elektodu. Čepání svazkem nabitých částic (e-beam, p-beam) Mnohem větší oblasti zisku dostaneme, budeme-li postředí čepat elektony či potony uychlenými na elativistickou ychlost. Takovýto svazek elektonů s enegiemi přesahujícími 5keV je schopen sám načepat invezi potřebnou po stimulovanou emisi. Stejně jako u výboje lze toto čepání ealizovat kolmo či podélně s osou laseu. Někdy se ale elektonový svazek využívá jako podpoa elektického výboje v postředí. V takovém případě je výboj schopen se udžet po elativně dlouhou dobu. Čepání putující vlnou (taveling-wave pumping) Tento typ čepání (viz. ob. ) se používá po zvýšení účinnosti přenosu enegie do vznikajícího pulsu. Lze jej ealizovat s podélným elektonovým svazkem i s příčným výbojem. U elativistického elektonového svazku se ychlost částic blíží ychlosti fotonů v postředí. Je však o něco menší, a poto elektony pocházejí světelným pulsem a čepají jej. Ob. Čepání elektonovým svazkem Nabízí se možnost čepat postředí příčným výbojem, jehož čelo bude putovat s pulsem. To můžeme ealizovat řadou elektod, kteé budeme postupně spínat. Rychlost čela lze volit vhodným nastavením úhlu ϑ (viz. ob. a, b). Ob. a Čepání putující vlnou 66

67 Ob. b Čepání putující vlnou Čepání mikovlnným zářením (RF excitation) Tato metoda je výhodná, potože nedochází ke kontaktu aktivního postředí s elektodami. Někteá média jsou totiž velice citlivá na kontaminaci. Navíc jsou někteá postředí tvořena velice agesivními plyny. Mikovlny se k aktivnímu médiu přivádějí vlnovodem. Následně se zavádějí do kyvety s plynem tak, aby se docílilo co nejhomogennějšího ozložení inveze podél optické osy Čepání atománě-iontových a plazmových laseů Čepání elektickým výbojem Při čepání atománě-iontových laseů vycházejících z pevné kovové fáze, se využívá vysokých teplot při elektických výbojích mezi elektodami, kteé jsou vyobeny z příslušného kovu. Odpařující se kov pak nad těmito elektodami vytváří obláčky plazmy, kteá září. Příklad tohoto typu čepání je uveden v ob. 6. Většinu plazmových laseů vycházejících z plynné fáze, tzn. plynů esp. pa, lze čepat metodami uvedenými u molekuláních laseů. Často se využívá podélných výbojů ve spojení s někteým ze zmíněných způsobů předionizování. Čepání zářením z laseem podukované plazmy Ob. 3 - Čepání zářením z laseem podukované plazmy 67

68 Plynná postředí lze čepat i nekoheentním měkkým entgenovým zářením, kteé vzniká při ekombinaci hoké husté plazmy vytvořené např. výkonným IR laseem (viz. [4]). Metoda je popsána obázkem 3. Je to jeden z typů čepání putující vlnou, což zvyšuje účinnost této metody. Vysokoenegetické fotony z plazmy zionizují atomy plynu, kteé potom září. Mateiál teče bývá např. kadmium, zinek, neezová ocel či zlato (viz. [3]) Geneování pulsů Lase může pacovat ve třech ežimech: kontinuálním (CW), pulsním a kvazikontinuálním. Dnes už existuje několik způsobů, jak docílit i velice kátkých femtosekundových pulsů. Dokonce se začíná expeimentovat s attosekundovými pulsy Geneování obřích pulsů Při geneování dlouhých pulsů se používá tzv. metoda Q-spínání, kteá je založena na náhlé změně kvality Q ezonátou. S touto změnou souvisí ztáty v ezonátou. Zvýšíme-li ztáty, sníží se střední doba života fotonu v ezonátou a naopak. To samozřejmě změní řešení laseových kinetických ovnic, kde hodnota t c daná vztahem (4.4), figuuje. V tomto výazu se objevuje veličina Z, kteou můžeme chápat jako popustnost nějakého přidaného optického elementu. Přepínáním této hodnoty můžeme geneovat nanosekundové pulsy. Pincip tkví v tom, že lase s velkými ztátami má výše položený páh inveze než je tomu u nižších ztát. Přepneme-li je, musí se přebytečná inveze vyzářit, aby se systém zase ustálil, a tím vznikne puls. Pasivní Q-spínání Hlavní oli při tomto typu spínání haje tzv. satuabilní absobé, kteým přepínáme ztáty v závislosti na intenzitě pole uvnitř ezonátou. Absobé bývá zpavidla tojhladinový systém, jako tomu bylo u tojhladinového laseu. Většinou je ealizován kyvetou s bavivem umístěnou v oblasti ezonátou. Předpokládejme, že čepáme postředí nějakým výbojem. Kdybychom nepoužili absobé, byla by časová závislost pole na čase zhuba podobná tvau čepacího pulsu. Přítomnost absobéu však znamená velké ztáty po slabá pole a malé ztáty po silná pole. Když se tedy pole čepáním zesiluje, absobé zůstává ještě chvíli zavřený až do učité kitické intenzity, kdy se v důsledku svojí satuace posvětlí. V ten okamžik pole uvnitř ezonátou apidně zesílí a vyjí invezi. Vzápětí začne intenzita klesat, absobé se opět uzavře a pole poklesne. Tím se vlastně ořízne čepací puls z obou stan a vznikne katší nanosekundový puls. V následujícím gafu je celá situace namodelována po paamety: Rezonáto: Postředí a absobé: Počáteční podmínky: Abs. koeficient: α = cm 7 Doba života honí hladiny: τ = s N( ) =, q( ) = Délka ezonátou: L = cm Celková hustota stavů: Odazivost. zcadla: R = NTOT Půřez stim. emise: σ = cm Odazivost. zcadla: R =,3 Doba života h. hladiny abs.: Rychl. světla: Postoový úhel zc.: Relaxace ez.: c 3 cm s Celk. hust. stavů abs.: tc Ω=,s Půřez absopce abs.: a NTOT 9 =.8 s Index lomu abs.: n a =,3 σ a 6 3 = cm a ( ) 6 8 a N = N TOT τ a = 9 s Čepací puls: = 5 3 = 3, cm W = s 6 cm tp = t = 4 Tab. 5 Paamety laseu se satuabilním absobéem 6 6 s s 68

69 Inveze vs. hustota fot. pole vs. populace spodní hlad. absobéu vs. nomované čepání, (N / N TOT ) vs. (q* / N TOT ) / N TOT a ) vs. (W(t) / WMAX ) vs. (N a,8,6,4, Inveze Hustota fot. pole * Populace spodní hladiny absobéu Nomovaný čepací puls, t / τ Gaf 6 Vznik pulsu užitím pasivního Q-spínání Z gafu 6 je patné, že šířka vzniknuvšího pulsu (modře) je několikát menší, než šířka původního čepacího pulsu (čeně). Populace spodní hladiny absobéu (zeleně) přímo souvisí s jeho popustností. Čím je víc pázdná, tím absobé méně pohlcuje pole, potože pavděpodobnost absopce klesá se snižující se populací dolní hladiny. Řešení kinetických ovnic silně závisí na paametech postředí, absobéu, čepacího pulsu i ezonátou. Mohou vznikat asymetické pulsy nebo se v nich objevují elaxační oscilace. V eálném systému může být situace ještě složitější. V důsledku optického šumu mohou vznikat pulsy celkem náhodně a těžko se předpovídá, kdy se puls vyzáří. Objevují se dokonce i celé sledy pulsů. Aktivní Q-spínání Aktivním Q-spínáním ozumíme případ, kdy do ezonátou vložíme optický element s nastavitelnou popustností. Může být dokonce mechanický, ale častěji se využívá elektooptických či akustooptických jevů v ůzných mateiálech. V pvním případě můžeme využít vlastností tzv. Pockelsovy cely, což je nelineání kystal (ADP, KDP, ), kteý po přivedení napětí stočí ovinu polaizace o 9. V kombinaci s polaizátoem to funguje jako elektooptická závěka (viz. ob. 4). Je-li na cele napětí, pak kolmo polaizované světlo nepojde polaizátoem a ztáty jsou vysoké. Při nulovém napětí se polaizace nemění a světlo polaizátoem pochází. Ob. 4 Elektooptické Q-spínání (zapnuté ztáty) 69

70 Další možností je tzv. akustooptické spínání. Do ezonátou se vloží piezokystal, připojený ke zdoji střídavého napětí. Pokud napětí zapneme, kystal se ozkmitá a vznikne v něm stojaté vlnění. Důsledkem je vznik objemové akustické mřížky, na kteé světlo difaguje, což znamená zvýšené ztáty. Je-li napětí vypnuté, jsou ztáty takřka nulové Geneování ultakátkých pulsů Synchonizace modů (mode locking) Při geneování kátkých femtosekundových pulsů lze dobře využít podélné modové stuktuy, kteá v ezonátou vzniká. Výsledné pole v ezonátou je supepozicí polí od všech téměř ekvidistantně ozložených modů. Nechť má pole i-tého modu tva např. E t = E exp i ω + m ω t+ ϕ + m ϕ. Sečteme-li N těchto polí, dostaneme: m { ( )} n sin( N ) sin ( N ) () = m () = exp( ω + ϕ) () = m= n sin( ) sin ( ) (4.56) E t E t E i t I t I Kde = ωt + ϕ a počet modů N = n+. Centální fekvence je ω a ϕ je posun fáze. 8 Nomovaná funkce intenzity je vynesena v gafu 7 po N =, ω = 3π s, ϕ = π. Pavidelně vznikající pulsy se opakují s peiodou T = TR = Lc= π ω. Šířka pulsů (vzdálenost minim okolo hlavního maxima) je t = T N a tedy klesá nepřímo úměně počtem zúčastněných modů. Intenzita pulsů v maximech je I = N I (plyne z limity po ) a naopak oste s kvadátem počtu modů, což je důsledek jejich vysoké vzájemné koelovanosti. P Gaf 7 Vznik pulsů modovou synchonizací Zdálo by se tedy, že můžeme získat téměř nekonečně kátké laseové pulsy. Stačí jen vzít velice mnoho modů a nechat je intefeovat. Počet modů je však omezený spektální šířkou pásu spontánní emise. Čím je spektum spontánní emise bohatší, tím můžeme geneovat katší pulsy. Vyřešili jsme případ modové synchonizace, kde jsme měli N modů na stejných intenzitách. Může se ale stát, že někteé mody se při daném čepání nedostanou nad páh stimulované emise a ve spektu chybí. Zde se používá tzv. akustooptický moduláto, kteý 7

71 kmitá pávě na fekvenci ω. Existující mody se na těchto akustických kmitech ozptylují a tím se z nich přelévá dodatečná enegie do ostatních postaních modů, kteé mohou být pod pahem. Vznikne tak celé ekvidistantní spektum. Využití Keova jevu V pojednání o satuabilním absobéu, kde jeho popustnost závisela na intenzitě pole v ezonátou, hála velkou oli doba života honí hladiny, kteá je řádově nanosekundy. Ta úzce souvisí s šířkou geneovaného pulsu. Doby života hladin v atomech či molekulách už nestačí, a poto se musíme obátit na jiné ychlejší pocesy. Jedním takovým je např. elektonová polaizace a s ní související nelineání efekty, mezi kteé patří i optický Keův jev. Ten říká, že index lomu závisí na intenzitě světla n = n + ni, čehož můžeme využít podobně jako u absobéu. V postředí se silným Keovým jevem si je totiž gaussovský svazek schopen vytvořit čočku a sám se fokusovat. Silnější intenzity se pak fokusují více než slabší intenzity. Potože se pole v ezonátou chová chaoticky, je plné silnějších či slabších píků. Ty nejsilnější tedy můžeme vybat clonkou umístěnou do ohniska keovské čočky. Ty slabší se ještě více zeslabí. Ob. 5 Využití Keova jevu po geneaci ultakátkých pulsů Čepání apaatuy V duhé kapitole jsme zjistili, že UV záření je na kátkovlnné staně spekta silně absobováno mnoha mateiály. Abychom tomu zamezili, musíme apaatuu čepat a snížit tak ztáty absopcí ve vzduchu, kteé nadmíu ostou za absopční hanou kyslíku tzn. za 6,4eV. Navíc dochází ke ztátám na pasivních optických elementech, jako jsou např. výstupní okénka. Ta ovšem nemůžeme odstanit, ale můžeme je vyobit dostatečně tenká z vhodných mateiálů, aby ztáty na nich byly zanedbatelné. Zde ovšem naážíme na poblém s tlakem uvnitř apaatuy. Na okénka by působil silný atmosféický tlak z okolí, což by je mohlo poškodit či zničit. Nabízejí se dvě možnosti řešení. Pvní je využít netečných plynů, jako jsou např. He, Ne, kteé vyovnají atmosféický tlak a záoveň absopce v nich je celkem zanedbatelná po mnohem šiší oblast spekta, než by tomu bylo u vzduchu. Někdy se u plynných aktivních postředí využívá tzv. ozdílové čepání ve spojení s bezokénkovou geometií. 7

72 4.6 Přímé metody geneace kátkovlnného laseového záření V této kapitole shneme metody a aktivní postředí, kteá se používají při geneování kátkovlnného koheentního záření Atománě-iontové a plazmové UV lasey U těchto typů laseů se využívá záření ekombinujících nabitých iontů, kteé je důsledkem návatu elektonů do vázaných stavů iontu či atomu. Spekta ionizovaných atomů jsou velice bohatá. Navíc můžeme využívat částice na ůzných stupních ionizace. Poto je tento typ laseů schopen pokýt takřka celou ultafialovou oblast. Dnes se s celkem novými typy plazmových laseů dostáváme do oblasti vlnových délek až desítek nanometů Lasey na ekombinující kovové plazmě Příklad takového laseu na ekombinující kovové plazmě je schematicky zobazen na následujícím obázku: Ob. 6 Lase na ekombinující kovové plazmě Na skleněné desce jsou napařené kovové pásky. Připojíme-li na kajní pásky dostatečně vysoké napětí, dojde k výboji mezi pásky a ionty kovu se začnou odpařovat. V tomto okamžiku je ale plazma ještě hoká a účinný půřez záchytu ychlého elektonu ychlým iontem je malý. Kovový plazma však začne expandovat do okolí, chladne, začne ekombinovat a zářit. Je v tom navíc podpoován přidaným heliem. Nechť n M + je n-kát kladně ionizovaný atom kovu v základním stavu a * n M + je (n-)-kát kladně ionizovaný atom kovu ve vzbuzeném stavu. Při deexcitaci dochází k vyzáření fotonu. Jedná se tedy o čtyřhladinový sytém. Reakci lze vystihnout následovně: ( n ) * n M + e M + + (4.57) Plazmový lase byl v kátkovlnné oblasti ealizován na iontech In + (viz. [], st. 7), kde docházelo ke stimulované emisi na vlnových délkách 98,3nm po přechod mezi spinobitálně ozštěpenými temy 4d 4f F 4d 5d D a 3,8nm po 4d 4f F 4d 5d D

73 4.6.. Lasey na duté katodě Lasey na duté katodě pokývají velikou část ultafialové oblasti spekta, zhuba od nm do 35nm. Základním pincipem je ezonanční přenos náboje mezi ionty vzácných plynů (He, Ne, ) v základním stavu a atomy kovů v základním stavu. Při tomto přenosu se změní stupeň ionizace kovové částice. Fyzikální podstata tkví ale v tom, že kovový iont nebude ve svém základním enegetickém stavu. Při jeho deexcitaci dojde ke vzniku fotonu učité vlnové délky. Jde tedy opět o čtyřhladinový systém. Reakce je navíc míně exotemická. Lze ji vystihnout následovně: * + + G + M G+ M + E (4.58) Kde G je atom inetního plynu a M je atom kovu. Tepelná enegie pohybuje se v řádech - ev. Ob. 7 Příklad konstukce zóny po výboj E uvolněná do okolí a V obázku 7 je popsána jedna z geometií aktivní zóny. Po přivedení napětí na elektody dojde k výboji v inetním plynu, čímž se jeho atomy zionizují. Záoveň dojde k vytžení kovových atomů ze stěny katody a směs kovu a inetního plynu začne zářit. Katoda bývá vyobena z příslušného kovu (měď,hliník, ). Někteé jiné kovy (stříbo, zlato, kadmium, ) se na katodu napařují. Pahové poudy těchto laseů bývají v řádu ampé až desítek ampé a tlak inetního plynu bývá ~ 3 Pa. Výstupní výkony se pohybují okolo desítek až stovek miliwattů. V následující tabulce jsou uvedeny někteé příklady používaných kovů (viz. [], st. 4). Cu Ne lase (emise z Cu + ) Ag He lase (emise z Ag + ) λ ( nm) Přechod: Režim: λ ( nm) Přechod: Režim: 48,58 5s 3 D 4p 3 F Kvazikont. 4,3 5d S 5p P Kvazikont./Kont. 5,65 5s 3 D 4p 3 F Kvazikont. 7,76 5d 3 D 5p 3 P Kont. 5,9 5s D 4p 3 D 3 Kvazikont. Ag Ne lase (emise z Ag + ) 59,6 5s 3 D 4p 3 D Kont. 86, --- Kvazikont. 59,9 5s 3 D 4p 3 F Kont. 99,6 --- Kvazikont. 6, 5s D 4p F 3 Kont. 38,8 --- Kvazikont. 7, 5s D 4p D Kvazikont. 38, 5s G 4 5s5p 3 F 3 Kont. 7,3 5s 3 D 4p 3 D Kvazikont./Kont. 38,6 --- Kont. 7, 5s 3 D 4p D Pulsní 383,5 --- Kont. Tab. 6 Vlnové délky někteých aktivních postředí laseů na duté katodě Další kombinace by mohly např. být Au-He, Au-A, Al-Ne, Cd-He atd Kapilání lasey Vlnových délek pod nm lze docílit stimulovanou emisí v hoké husté plazmě vytvořené kapiláním výbojem. Jedním takovým příkladem je lase postavený na neonu podobném agonu [6], kteý pacuje na vlnové délce 46,9nm. Silná magnetická pole vytvářená silnými elektickými poudy a teplotní gadient blízko stěny kapiláy vedou ke 73

74 stlačení plazmy a k velké homogenitě podél osy kapiláy. V důsledku sil, kteé plazmu stlačují, dochází k tzv. pinchujícímu výboji. Stimulovaný přechod pobíhá mezi hladinami 3p S 3s P. Šířky pulsů se pohybují okolo,5ns při enegiích větších než mj. Opakovací fekvence tohoto laseu dosahuje až Hz. Tlak agonu v kapiláře je zhuba Pa a čepací poudy tekoucí kapiláou jsou okolo ka. Technicky se tento lase ealizuje v kapiláře z oxidu hlinitého šířky maximálně několika milimetů. Postředí se čepá podélným výbojem, kde napětí dosahuje až stovek kilovolt. Navíc se k předčepání plynu používá boční nebo zadní pe-ionizace Augeovské lasey Stimulované emise bylo docíleno také na Augeových přechodech v elektonovém obalu ionizovaných atomů. Typickým příkladem je lase postavený na xenonu (viz. [] st , [3]). Neutální atom Xe je ionizován nekoheentním měkkým RTG zářením např. z plazmy vytvořené vysokovýkonovým laseem (viz. kapitola 4.5.3). Fotony s enegií nad 67,6eV ionizují snáze elektony z vnitřních 4d obitálu než z ostatních 5s, 5p obitálů. Atom Xe tímto přejde do hladiny jednou ionizovaného stavu Xe: 4d 5s 5p 6 S Xe + : 4d 9 5s 5p 6 D 3/, 5/. To však není nejnižší enegetický stav. Dojde k efektu tzv. autoionizace, kdy se iont xenonu ještě jednou sám zionizuje. Iont přechází na nižší enegetickou hladinu, ale musí vydat další elekton výše do ionizačního kontinua. To je podstatou nezářivých augeovských mechanismů. Dojde k přechodu Xe + : 4d 9 5s 5p 6 D 3/, 5/ Xe + : 4d 5s 5p 6 S a Xe + : 4d 9 5s 5p 6 D 3/, 5/ Xe + : 4d 5s 5p 5 P. Mezi těmito stavy vzdálenými 8,9nm se vytvoří inveze a iont září na této vlnové délce. Účinný půřez tohoto zářivého přechodu je 3-3 cm. Zvláštním případem Augeova ozpadu je tzv. supe-coste-konig ozpad (viz. [] st ), kdy día, přeskakující elekton a ionizovaný elekton sídlí ve stejné slupce. Tyto ozpady jsou velice ychlé -5 s -. Emise bylo docíleno na zinku, kde ozpad pobíhá mezi Zn + :3p 5 3d 4s Zn + : 3p 6 3d 8 4s G 4. Zinek potom září na vlnové délce 3,6nm po tansientní přechod 3d 8 4s G 4 3d 9 4p 3 D 3, 3,9nm po 3d 9 4d G 4 3d 9 4p 3 F 3 a 7,nm po 3d 9 4d 3 G 4 3d 9 4p 3 F Molekulání UV lasey Šiokou oblast ultafialové oblasti spekta pokývají zdoje založené na tansientních přechodech mezi elektonovými stavy lineáních molekul plynů. Ve spektech se navíc objevuje stuktua vibačních hladin, poto tyto lasey nazýváme také jako vibonické. Uplatňují se zde molekuly ze dvou gup symetií. Pvní typ s větší symetií D h = C v Ci v sobě zahnuje např. N, H, I, lasey. Aktivní postředí se symetií C v je tvořeno např. molekulami plynů AF, KF, NO a jinými dvoupvkovými molekulami Spekta lineáních molekul Výsledkem gupové teoie a teoie MO-LCAO (molecula obitals linea combination of atomic obitals) jsou molekulání obitály s učitou degeneací, do kteých jsou ozmístěny elektony molekul. Molekulu pak můžeme chápat jako atom, ve kteém může docházet nejen k excitacím, ale dokonce i k ionizaci. Gupová teoie také podává popis ůzných vibačních stavů molekuly. Odvozením stuktu molekuláních obitálů se zde ale 74

75 zabývat nebudeme. Důležité je si však uvědomit, že excitace molekuly vede ke změně ozložení náboje, což způsobí změnu potenciálu, ve kteém jáda vibují, a důsledkem je vznik nových možných vibačních stavů. Lépe to pochopíme z následujících gafů: Gaf 8a Vibonické přechody v molekule Gaf 8b Vibonické přechody v nestabilní molekule Gaf 8a znázoňuje vazebné potenciály a elektonové přechody nejen mezi dvěma excitovanými molekuláními stavy (z B do A), ale také mezi excitovaným a základním stavem molekuly (z A do X). Záoveň může molekula změnit svůj vibační stav a přejít tak na jinou vibační hladinu. Existují také plyny, jejichž molekula neexistuje v jiném než ve vzbuzeném stavu, což vystihuje gaf 8b. Molekula se ozpadá z excitovaného stavu A do základního stavu X, ve kteém však nemůže existovat a zůstanou pouze dvě izolovaná jáda. Těmto plynům říkáme excimey a patří mezi ně například KF, AF, iontové excimey atd. Elektonové obitály v molekulách označujeme podle ieducibilních epezentací ± příslušných gup symetií. V molekulách se symetií C se můžou objevit hladiny Σ, Π, ± ±,. U molekul se symetií D h pak máme hladiny Σ g, Σ u, Π ng, Π nu, ng a nu, kde n je přiozené. Vibační spektum lineáních molekul je nejjednodušší možné potože kmitají pouze ve směu svojí hlavní osy. Vibační stav molekuly v jejím elektonovém stavu tedy stačí popsat jedním kvantovým číslem ν. v Lasey s aktivním postředím symetie D h Dusíkový (N ) lase V následující tabulce jsou znázoněny vypsány někteé vlnové délky geneované dusíkovým laseem (viz. [], st. ). Vlnová délka λ ( nm) : Vibonický přechod: Čepání: 337, 3 3 C u ( ν C = ) B g ( ν B = ) 357,7 3 3 C u ( ν C = ) B g ( ν B = ) 38,5 3 C ( ν = ) 3 B ( ν = ) Π Π Výboj Π Π Elektonový svazek Π Π Elektonový svazek u C Tab. 7 Někteé tansientní přechody v molekule dusíku 75 g B

76 K čepání dusíkového laseu se používá výboje v případě, že je tlak plynu menší než zhuba kpa. Po hustší postředí s tlakem v řádu několika kilopascalů se používá čepání elektonovým svazkem. Při nízkých tlacích je nejdominantnější pvní přechod v tab. 7 na vlnové délce 337,nm. Byl čepán putující vlnou a bylo dosaženo výkonu až 9MW při délce pulsu 5ns (viz. [], st. 3). Vodíkový (H ) lase Přechody v excitované vodíkové molekule sahají hluboko do ultafialové oblasti až k hanici nm. Podobně jako u vodíkového atomu můžeme pozoovat séie spektálních ča + + B Σ ν X Σ ν a (viz. [], st. 8-). Lymanova séie odpovídá přechodu najdeme v ní spektální čáy odpovídající ůzným vibačním stavům od vlnové délky 34,nm až po 6,3nm. Weneova séie se pak objeví díky další excitované hladině + C Π ν X Σ ν a její spektální čáy můžeme pozoovat na vlnových délkách u C g X 6,3nm až 3,94nm. Existuje navíc modifikace vodíkové molekuly tzv. paa-vodík v níž Lymanova séie pokývá oblast od 7,95nm do 46,4nm a Weneova séie začíná na 9,8nm a končí na 5,nm. V následujícím gafu je půběh vazebních potenciálů a přechody mezi hladinami (viz. [], st. 3). u C g X Gaf 9 - Vazebné potenciály ve vodíkové molekule a dovolené tansientní přechody Vodíkový lase pacuje v pulsním ežimu, a poto je výhodné po něj použít čepání putující vlnou nebo elektonovým svazkem. Tento zdoj lze ealizovat i bez zcadel s délkou postředí okolo m až m, kde tlaky v kyvetě dosahují několika kilopascalů. Za učitých podmínek je tento lase schopen geneovat nanosekundové pulsy se špičkovým výkonem řádu až MW (viz. [], st. 3). Molekule vodíku se podobá též molekula D tvořená dvěma deuteiovými jády (izotopy vodíku). Tansientní přechody jsou stejné, potože symetie a počet elektonů v obalu zůstává zachován, avšak enegie vibačních hladin se změní, potože jáda mají větší hmotnost. 76

77 Halogenové (F, B, I ) lasey Také halogenové lasey našly uplatnění v UV oblasti. Lze je čepat podélně či kolmo pomocí elektického výboje. Stejně tak lze invezi vytvořit elektonovým svazkem. Po lepší čepání se používá inetního náazníkového plynu. Paciální tlak vlastního halogenu je malý řádově několik kilopascalů. Tlak inetního plynu bývá větší zhuba kpa až kpa. Helium a neon se zpavidla používají v kombinaci s elektickým výbojem. Při čepání elektonovým svazkem je lepší použít neon či agon. V následující tabulce jsou shnuty nejdůležitější přechody v halogenových postředích (viz. [], st. ). Molekula: Původní látka: Náazníkový Vln. délka Přechod: Čepání: plyn: λ ( nm) F --- He 57,5 3 Π g (ν =?) 3 Π u (ν =?) e-svazek B --- A 9, 3Π ( =? 3 ) Π ( =? ) výboj 3 I CF 3 I A 34, Π ( ν = 3 ) Π ( ν = ) e-svazek Tab. 8 Někteé tansientní přechody v halogenových molekulách Lasey na excimeech vzácných plynů (Xe, K, A ) Dosud byla aktivní postředí tvořena stabilními molekulami plynů. Excimey neboli excitované dimey se však vyznačují nestabilitou základního stavu molekuly. V tomto stavu nemohou existovat jinak než jako izolované atomy. Podíváme-li se na gaf 8b, můžeme si všimnout, že přechod do základního stavu není ostý. Excimeové lasey se vyznačují celkem šiokým spektem spontánní emise. Stanovuje se poto centální vlnová délka přechodu. V následující tabulce jsou střední vlnové délky jednotlivých excimeů a příslušných přechodů vypsány (viz. [], st. 33): Excime: Centální vln. délka λ ( nm) : Laditelnost (nm): Přechod: Xe Σ u Σ + g, 3 + Σ u + Σ g K Σ u Σ + g, 3 + Σ u + Σ g A Σ u Σ + g, 3 + Σ u + Σ g Tab. 9 Tansientní přechody v excimeech vzácných plynů Při pohledu na gaf 8b si ještě můžeme všimnout, že nejužší spektum spontánní emise získáme při přechodu z nejnižší vibační hladiny honího stavu do základního stavu. Přechody z vyšších hladin mají šiší spekta spontánní emise. Tyto vibační stavy lze ale zhášet pomocí kolizí, poto tyto lasey pacují při tlacích řádu několika stovek kpa. Výsledkem je pak podstatné zúžení spekta spontánní emise. V každém případě se v těchto laseech používají ladicí optické elementy (hanoly, mřížky, ). Čepání těchto laseů je spojené s vytvořením excimeové molekuly. Ve výboji ze dvou atomů inetního plynu však vzniká směs ionizovaných a neutálních excitovaný dimeů. Může také vzniknout iont nebo excitovaný atom inetního plynu. Vysoké tlaky těchto aktivních postředí s sebou nesou zvýšené náoky na čepání. Často se inveze dociluje pomocí elektonového svazku na enegiích řádu stovek kev až jednotek MeV. V těchto aktivních postředích lze geneovat obří pulsy šířky několika desítek nanosekund. Díky šiokému spektu spontánní emise však můžeme modovou synchonizací docílit i femtosekundových pulsů. g g u u 77

78 Lasey s aktivním postředím symetie C v Lasey na excimeech vzácných plynů a halogenů Vzácné plyny a halogeny mohou také vytvářet excipletové sloučeniny s nestabilním (AF, KF, XeB, ) nebo jen slabě vázaným základním stavem (XeCl, XeF). Vlastnosti někteých těchto plynů jsou v tabulce (viz. [], st ). Čepání těchto postředí lze povádět celou řadou metod, kteé jsou uvedeny v kapitole Po větší účinnost se používá netečného náazníkového plynu. Při kolmém výboji je to zpavidla helium nebo neon a při čepání elektonovým svazkem se používá neon čí agon. Dále se pak s výhodou využívá mikovlnného záření, potože tato postředí jsou agesivní povahy a poškozují elektody. Nezřídka se používá někteá z metod pe-ionizace, kteé jsou popsány také v kapitole Směs se skládá zhuba z,% halogenu, % vzácného plynu a zbytek tvoří zpavidla jiný vzácný plyn, coby náazníkový. Tlak směsi se pohybuje v řádech několika atmosfé. Excime: Zdoj halogenu: Náazníkový plyn: Centální vln. délka λ ( nm) : 78 Laditelnost (nm): Přechod: AF F He 93, 9,3-94,5 B X ACl HCl He 75, --- B X KF F, NF 3 He, Ne, A 48,5 47,5-49,8 B X KCl HCl He, B υ = X υ = XeF F, NF 3 He, Ne, A 35, --- ( B ) ( X ) XeCl HCl, Cl He, Ne, A 37,8 --- B( υ = ) X( υ = ) XeB B He 8, Tab. Někteé tansientní přechody v excimeech vzácných plynů a halogenů Excimey vzácných plynů a halogenů mají obovské využití. Jsme s nimi schopni geneovat obří i sub-pikosekundové pulsy celkem velkých špičkových výkonů. Navíc lze tato postředí využívat v zesilovačích. Obovské uplatnění nacházejí při čepání jiných zdojů. Iontové excimeové lasey Výše zmíněné excimeové lasey byly elekticky neutální. Dále do VUV oblasti se dostaneme s excimeovými ionty (viz. [], st. 57-6). Do této skupiny patří ionty molekul z halogenů a vzácných plynů (Rg + X - Rg + +X+hν), kam patří např. Ne + F - emitující až na 64nm, či Xe + F - na vlnové délce 69nm. Dále se sem řadí ionty alkalických halogenidů (A + X - A + +X+hν). Mezi tato postředí patří páy Rb + F - zářící hlavně na 3nm, či CsCl, KF, CsF a jiné. Nakonec sem patří ionty molekul alkalických kovů a vzácných plynů (A + Rg - A + +Rg+hν), mezi kteé se řadí např. Rb + A - emitující na 4,nm. Tlaky těchto aktivních postředí se pohybují v řádu Pa. Čepání lze ealizovat iontovými či elektonovými svazky. CO lase (oxid uhelnatý) Ultafialový zářivý přechod v molekule oxidu uhelnatého je ( ν ) ( ν ) A Π A X Σ X. Čepání se povádí elektonovým svazkem v geometii putující vlny. To také umožňuje B X

79 bezzcadlovou konstukci. Tlak plynu bývá několik kpa a výkony těchto laseů se pohybují v řádu několika Wattů. Vlnové délky jsou vypsané v následující tabulce (viz. [], st. ): Vlnová délka λ ( nm) : Vibonický přechod: Čepání: NO lase (oxid dusnatý) ν = e-svazek 8,8 A Π ( A= ) X Σ( νx 6) 87,83 A Π ( A= ) X Σ( νx 7) 89,78 A Π ( A= 3) X Σ( νx 8) 95, A Π ( A= ) X Σ( νx 8) 97, A Π ( = 3) X Σ( ν 9) ν = e-svazek ν = e-svazek ν = e-svazek ν = e-svazek A Tab. Někteé tansientní přechody v molekule oxidu uhelnatého Kátkých vlnových délek můžeme dosáhnout na stimulované emisi v molekule NO. Fluoovým (F ) laseem na 57,6nm načepáme invezi mezi stavy B (ν =3) a X Π(ν ). V závislosti na tom, do kteého vibačního stavu dolní hladiny spadne, dostaneme vlnovou délku geneovaného záření. Speciálně po přechod B (ν =3) X Π(ν =) září molekula dusíku na 58nm, přičemž účinný půřez tohoto přechodu je 4,54-5 cm (zdoj viz. [], st. 6-65). Tlaky těchto aktivních postředí se pohybují v řádů desítek kpa Bavivové UV lasey X I v UV oblasti využíváme baviva. Jsou výhodné díky svému šiokému spektu spontánní emise, čímž umožňují dobou laditelnost. Schéma enegetických hladin je na obázku 7. Ob. 8 Enegetické schéma bavivových aktivních postředí Čepání bavivových postředí se odehává mezi singletními stavy: S S, S S. Hladina S se pak ozpadá zpět do stavu S a postředí září. Potože vzdálenost tipletních hladin je podobná jako vzdálenost singletů, dochází mezi tipletními stavy k nezanedbatelné absopci T T. Abychom se dostali nad páh, musí být zisk ze singletních stavů vetší než ztáty na tipletních stavech. Navíc zde působí vliv singlet-tipletní konveze S T S. Nepříznivý vliv tipletních stavů lze edukovat použitím ůzných zhášedel. Vlastnosti laseu na výstupu neovlivňují jen ůzné metody čepání. Baviva je nutné ozpustit v nějakém ozpouštědle, což se ve výsledku také pojeví. Někteá důležitá baviva jsou popsána v tabulce (zdoj viz. [], st ). Můžeme si všimnout, kteak závisí vlastnosti laseového výstupu na typu čepání či na použitém ozpouštědle. Nemalý vliv na účinnost těchto laseů má i jejich konstukce. Výhoda bavivových laseů tkví v jejich velké laditelnosti. Metody ladění jsou shnuty v kapitole Nevýhodou těchto postředí je však absopce ozpouštědla a také stánutí baviva, jehož molekuly se po čase mohou ozpadat. 79

80 Bavivo: Centální vln. délka λ ( nm) : Laditelnost (nm): Rozpouštědlo: Čepání : Účinnost (%): PBBO 396, Dioxan N lase --- α-npo 393, Cyklohexan XeCl lase 4, PBO 388,5 --- Etanol (mmol/l) XeCl lase 7,8 BBQ 39, 38-4 Toluen,etanol Nd:YAG , 37-4 Dimethylfluoid Výbojka , Toluen, etanol XeCl lase 7, 383,4 Dioxan (,5mmol/l) XeCl lase 5, Polyfenyl 384, Ethylen glykol XeCl lase 8, 383, Ethylen glykol A + lase 5 8, BBD 375,6 --- Dioxan (mmol/l) XeCl lase, PBD 36, --- Dioxan XeCl lase, PBD 355, Toluen N lase 5, TMQ 35, Cyklohexan Nd:YAG, p-tefenyl 34, DMF Výbojka , Cyklohexan KF lase 8, BM tefenyl Cyklohexan KF lase 3 Tab. Někteá používaná baviva, ozpouštědla a čepací zdoje Pevnolátkové UV lasey Iont : sklo (kystal) Laditelnost (nm) Čepání (vln. délka) Ce +3 : LuF 88-3 Hg (53,7nm) Ce +3 : LaF KF (49,nm) P +3 : LiYF 5-6 H (57nm-6nm) Nd +3 : LiYF H (57nm-6nm) Nd +3 : LaF H (57nm-6nm) 65-8 K (46nm) Nd +3 : YF 7-85 H (57nm-6nm), e-svazek Nd +3 : LuF 7-85 H (57nm-6nm) E +3 : YF 65-7 H (57nm-6nm), e-svazek E +3 : LuF F (57,5nm) Tm +3 : YF 65-7 H (57nm-6nm), e-svazek Tm +3 : LuF F (57,5nm) Tab. 3 Někteá pevnolátková postředí, jejich laditelnost a typy čepání Pevnolátkové UV lasey také nacházejí uplatnění v této oblasti, avšak ne v takové míře, jako předešlé zdoje. Jejich základem jsou skla a kystaly dotované ionty vzácných zemin. Fyzikální podstata těchto aktivních postředí je v ozštěpení hladin úplně kulově symetických iontů v kystalech, kteé mají symetii mnohem menší. Navíc se uplatní vliv fononového pole v kystalu, kteý způsobí homogenní ozšíření enegetických hladin. V důsledku toho mají pevnolátkové lasey celkem šioký ozsah laditelnosti. Navíc bývá spektum nehomogenně ozšířené díky nedokonalostem kystalu a nečistotám. Čepání a ladění i těchto postředí je shnuto v kapitole 4.5. V tabulce 3 jsou paamety někteých pevnolátkových postředí (zdoj viz. [], st. 59, [] st. 69 ). 4 Čepání 4.hamonickou Nd:YAG na 66, nm, 5 Čepání A + laseem na 35nm 8

81 5. Nepřímé koheentní zdoje Další možností geneace kátkovlnného koheentního záření je využít nelineáně optických jevů. Dosud po nás inteakce pole s látkou byla lineání záležitostí. Po silná pole však lineaita přestává platit a dostáváme se do nové oblasti nelineání optiky. 5. Úvod do nelineáních pocesů Nelineání (NL) pocesy by se neobešly bez laseů. Vlastně pouze díky vysokým intenzitám polí můžeme NL jevy pozoovat. Bez laseů bychom nemohli nepřímé zdoje nazvat koheentními. Poto se tato nová oblast optiky začala ozvíjet až v duhé polovině 9. století uku v uce s přímými zdoji koheentního záření. Už víme, že elektony v atomech či molekulách obývají diskétně ozložené enegetické stavy a mohou vlivem elektomagnetického pole mezi těmito stavy přecházet (pokud je to možné). Záleží na fekvenci použitého světla a výběových pavidlech. K přechodu mezi hladinami dojde, pokud se bude tato fekvence nacházet v těsné blízkosti ezonance, tzn. že bude přibližně splněna ovnost ve vztahu (4.). NL pocesy spojené s přechody mezi těmito eálnými hladinami nazýváme nepaametické esp. esonanční. Typickým příkladem těchto jevů je např. dvoufotonová absopce, stimulovaný Ramanův ozptyl,. Otázka zní, co se stane když se nacházíme mimo ezonanci, což znamená, že ovnost (4.) neplatí.v tomto případě k eálnému přechodu ani k absopci nedojde. Vznikne však tzv. vituální hladina (viz. ob. 9), jejíž doba života 6 τ vit. ω je dána elacemi neučitosti a je nepřímo úměná fekvenci pole. Po tomto čase se elekton vátí zpět do původního stavu a foton vyzáří zpět. Je-li fotonové pole silné, mohou vzniknout dvě vituální hladiny nad sebou, což znamená, že elekton je dvakát zasažen fotonem v čase menším, než je doba života vituálního stavu. V tomto případě dojde zpětně k vyzáření fotonu dvojnásobné fekvence. Tyto nelineání pocesy nazýváme paametické nebo neesonanční. Ob. 9 Vituální hladiny 6 Jde o velice ychlé pocesy, potože zde nehaje oli doba života vázaných stav ů, jako tomu bylo u ezonančních jevů. 8

82 5. Nelineání inteakce záření s hmotou V kapitole. jsme pobíali také inteakci elektomagnetického pole s látkou, avšak pole bylo slabé v poovnání s poli uvnitř elektonového obalu. Nyní se tedy zaměříme na silná pole, po kteá lineání přiblížení už neplatí. Budeme se zabývat paametickými nelineaitami. 5.. Nelineaita polaizace postředí 5... Polaizace postředí po silná pole I když nyní pacujeme se silnými poli, zůstávají Maxwellovy ovnice (.a) až (.d) nezměněny. Změna se pojeví v mateiálovém vztahu (.3a) po elektickou indukci, kde t makoskopická hustota polaizace byla P( t, ) = εχe E ( t, ). Po silná pole musíme polaizaci ozvinout do vyšších řádů intenzity elektického pole pomocí Tayloovy řady. Po i-tou složku vektou polaizace tedy platí: P = ε χij E + ε χ EE + ε χ EEE εχ EE E... E = () () (3) (n) i o j o ijk j k o ijkl j k l o ij3 j j...jn j j j3 jn = P + P + P P () () (3) (n) i i i i (5.) (n) Kde χ t je dipólová susceptibilita n-tého řádu a sčítá se pomocí Einsteinova sumačního pavidla přes stejné indexy. V někteých postředích se může začít pojevovat i kvadupólová susceptibila. Ve vztahu (5.) dopředu tiše zanedbáváme možnost tvalé polaizace dielektika, kteá by však v NL jevech stejně žádnou oli nehála. Co je tedy důvodem toho, že jsme po slabá pole nezaváděli susceptibility vyšších () řádů než χ t? Odpověď je následující. Aby např. duhý řád byl zhuba stejně silný jako pvní () () řád polaizace, muselo by platit P P. Dosadíme-li příslušné členy ze vztahu (5.), () () 7 dostaneme po intenzitu elektického pole E χ χ E atomání V cm. Skutečně kvadatická susceptibilita je řádově menší než ta lineání. Poto ji po slabá pole téměř nepozoujeme. Stejně je tomu u vyšších řádů Nelineaita polaizace n-tého řádu (n) P Vezměme n-složkové pole ve standadním tvau (5.a) bez postoové závislosti a dosaďme ho do vztahu po n-tý řád polaizace (5.3). Výsledek (viz. Appendix 3) poovnejme s výazem (5.b), kteý vyjadřuje polaizaci jako supepozici polaizací, běžících na svých fekvencích. n E () t = { Eω exp ( iωmt) + cc.. m } (5.a) m= (n) P () t = { Pω exp ( iωt) + cc..} (5.b) ω (n) t (n) P ( t) =ε χ E( t) E( t)... E ( t) (5.3) 8

83 Po amplitudy polaizace a novou fekvenci tedy dostaneme: ak * n g (n) Pω = t εχ E E n ω k ωk k= n bk (5.4) ( ak bk) ωk (5.5) ω = k= n! Kde degeneační fakto g = souvisí s počtem kombinací, kteé dávají stejnou a!... a! b!... b! n fekvenci. Sčítá se tedy přes indexy a {,,,..., n} a b {,..., a } k n k k, přičemž platí, že a an + b bn = n. Při těchto nelineáních inteakcích platí zákon zachování enegie pocesu, kteý svazuje nově vzniknuvší a čepací fekvence (viz. (5.5)). 5.. Tenzo dipólové susceptibility Dosud jsme pacovali s tenzoem susceptibility, aniž bychom věděli, co vlastně vyjadřuje. To si objasníme nyní Odezvová funkce a tenzo susceptibility Obecně, pokud bychom chtěli vystihnout odpověď polaizace postředí na nějaké pole, můžeme použít takzvané odezvové funkce. Už jsme se s ní po lineání případ setkali ve vztahu (.). Nyní si ji zobecníme po případ nelineání polaizace. Obecně platí (5.6): t t t n (n) t (n) n n n n n n P E E ( t, ) = ε dt d dt d... dt d Φ ( t,;, t ;..., t ) (, t )... (, t ) Tento výaz neříká nic jiného, že polaizace v místě a čase t je ovlivněna svým okolím a tím, jak se vyvíjela před časem t. S tímto vztahem se ale těžko pacuje, potože jde o n-násobnou konvoluci v postou a v čase. Lépe se pacuje s Fouieovým obazem polaizace a pole, což už jsme vlastně nevědomky povedli v předchozí kapitole. Budeme-li předpokládat homogenitu odezvové funkce a její časovou invaianci, dostaneme susceptibilitu po obecné pole (podobně viz. Appendix 4): t t (n) (, ;, ;..., ) (, ;..., ) n n (n) χ k ω k ω kn ωn =Χ k ω kn ωn δ ω ωm δ k km m= m= (5.7) n t t Kde Χ (n) ( k ) 3 ( ) (n), ω;... kn, ωn = dτmd ρm exp i ωmτm km ρm R ( ρ, τ;... ρn, τn) m= Fouieova tansfomace homogenní a časově invaiantní odezvové funkce. Z δ -funkcí jednoznačně plyne zákon zachování hybnosti a enegie směšovacího pocesu. Po obecné pole se polaizace nakonec dostane jako integál ze susceptibility a fouieovsky tansfomovaného pole (5.8): (n) 3 3 (n) P E E 4 4n t ( k, ω) = ε( π) dωdk... dωndknχ ( k, ω; k, ω;... kn, ωn) ( k, ω)... ( kn, ωn) je 83

84 Zvláštním případem je, pokud na postředí dopadají ovinné vlny. Jejich Fouieovou tansfomací jsou delta funkce, kteé odstaní integály ve vztahu (5.8). Je-li polaizace také ovinná vlna, pak po n-složkové pole dostaneme amplitudy polaizace stejné, jako v (5.4): n al ε n! t(n) * P = χ ( k, ω; k, ω;... kn, ωn) E E k, ω n a,,!... an! b!... bn! l= kl ωl kl ωl bl (5.9) Kde platí podmínky zachování enegie a hybnosti ω = ( al bl) ωl, = ( ) n l= n k a b k, kteé l= l l l jsou důsledkem δ-funkcí v susceptibilitě. Po indexy al, b l platí stejné podmínky, jako ve vztahu (5.4). Přesto vztahy (5.9) a (5.4) nejsou stejné. Výaz (5.9) plyne z úplné Fouieovy tansfomace přes čas i posto. U vztahu (5.4) jde jen o časovou tansfomaci, takže pole i polaizace stále mohou být funkcí postoové souřadnice, čehož využijeme při řešení soustavy vázaných ovnic v dalších kapitolách Kvantové zavedení tenzou dipólové susceptibility Mějme postředí, kteé můžeme popsat příslušným hamiltoniánem Ĥ a jeho vlastními stavy ψ n. Pokud do postředí vnikne elektomagnetické pole, pojeví se to jako poucha, stavy se začnou vlivem pozměněného hamiltoniánu měnit. Pouchu v pvním přiblížení vyjadřujeme jako potenciální enegii V( t) = µ E ( t) dipólu µ = e v EM poli. Poto také mluvíme o tenzou dipólové susceptibility, ke kteému se dostaneme časovým pouchovým počtem. Po ozvoji vlnové funkce systému do pouchové řady dostaneme opavy vyšších řádů v mikoskopické polaizaci postředí, z čehož už se snadno dostaneme k jednotlivým řádům susceptibility (5.a), (5.b), (5.c): i j j i () N µ gmµ mg µ gmµ mg ij ( p, p) = + * ε h m ω % mg ωp ω % mg + ωp χ ω ω () ( p + q p q) χijk ω ω, ω, ω = = + + ε ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω i j k j i k i j k N ˆ µ gnµ nmµ mg µ gnµ nmµ mg µ gnµ nmµ mg P I * * * h m,n % ng p q % mg p % ng q % mg p % ng q % mg p q ( )( ) ( + )( ) ( + )( + + ) (3) ( p q p q ) χijkl ω + ω + ω, ω, ω, ω = i j k l j i k l N ˆ µ goµ onµ nmµ mg µ goµ onµ nmµ mg = P 3 I + + * ε h m,n,o ( ω % og ωp ωq ω)( ω % ng ωp ωq)( ω % mg ωp) ( ω % og + ω)( ω % ng ωp ωq)( ω % mg ωp) j k i l j k l i go on nm mg go on nm mg µ µ µ µ µ µ µ µ + + * * * * * ( ω% og + ω)( ω% ng + ωq + ω)( ω% mg ωp) ( ω% og + ω)( ω% ng + ωq + ω)( ω% mg + ωp + ωq + ω) 84

85 Kde N je objemová hustota atomů či molekul, ( E E ) eálného přechodu v postředí a tlumení související s dobou života, ω % = h Γ h je fekvence lm l m i m n * 3 µ lm e ψlnψmd = je n-tá postoová složka dipólového momentu mezi stavy l,m a ˆ P I = je nomovaný n! P(j,k,l,...) opeáto vlastní pemutační symetie, tzn. suma přes všech n! pemutací indexů j,k,l. Stejným způsobem bychom mohli pokačovat i po vyšší řády susceptibility. Důležité je, že se nám ve vztazích objevily ezonance, při kteých susceptibilita pudce oste. Ve vztahu (5.a) jde jen o jednofotonové ezonance, v (5.b) se objevují dvoufotonové a v (5.c) dokonce třífotonové ezonance mezi základním stavem g a ostatními stavy Opava na lokální pole V výše uvedených úvahách jsme ozebali nelineání odezvu postředí na pole z mikoskopického hlediska. Makoskopicky, při pohledu na celé NL postředí, musíme povést opavu: ( ω) t ε + t χ ( ω ω ω ) χ ω ω ω (n) (n) makosk. k, ; k, ;... kn, n = k, ; k, ;... kn, n ω 3 (5.) Kde se násobí přes všechny zúčastněné fekvence včetně té nově vzniknuvší Vlastnosti nelineání susceptibility a postředí Původ nelineání susceptibility Stále zůstává nezodpovězena otázka, co je příčinou nelineáního chování postředí. Pokud chceme odpovědět, musíme mít alespoň představu o mikoskopické stuktuře látky. V klasickém přiblížení můžeme tvdit, že elektony jsou vázány nějakou vazební silou ke svým atomům či molekulám a kmitají jako na pužině. Kdyby byl vazební potenciál paabolický, byla by odezva postředí na vstupující pole vždy lineání a elektony by kmitaly na jeho fekvenci. Kvadatický vazební potenciál je však jen pvní přiblížení. Obecně může být složitější, což vede při větších kmitech elektonů k tzv. anhamonicitě. Ta je příčinou nelineáního chování postředí v silných polích. Další členy z Tayloova ozvoje vazebního potenciálu jsou tedy zodpovědné za vícevlnové pocesy. Anizotopie postředí Vazební potenciál v sobě skývá mikoskopické vlastnosti postředí. Není-li sféicky symetický, můžeme mluvit o anizotopním postředí, kteé má v ůzných směech ůzné optické vlastnosti. To se samozřejmě pojeví i v susceptibilitě, což je např. patné i ze vztahů (5.). Vysvětlení tkví v symetii postředí, kteá se pojeví ve vazebním potenciálu a tudíž i v hamiltoniánu. To samozřejmě ovlivní řešení Schödingeovy ovnice. Vlnové funkce vázaných stavů tedy také budou ovlivněny původní symetií, a poto se i ve střední hodnotě dipólového momentu tato symetie nějakým způsobem pojeví. Původní symetie ovlivní samotný tenzo dipólové susceptibility a má tedy přímý vliv na anizotopii. 85

86 Vlastní pemutační symetie susceptibility O vlastní pemutační symetii už jsme slyšeli. Můžeme díky ní pohazovat sčítací indexy a pořadí polí. Důvod je spíše matematický a plyne už ze vztahu (5.), kteý je Tayloovým ozvojem polaizace do poměnné pole. Platí totiž: χ (n) ij3 j j...jn = n Pi ( E) n! E E E... E j j j3 jn E = (5.) Je-li polaizace alespoň n-kát spojitě difeencovatelná, můžeme libovolně měnit pořadí deivace. Indexy j, j n tedy můžeme bez potíží pemutovat. Důsledkem vlastní pemutační symetie je nejen komutativita násobení polí, ale také podstatné snížení počtu ůzných elementů tenzou susceptibility. Tenzo kvadatické susceptibility se díky této vlastnosti přepisuje do jednodušší fomy () () pomocí tzv. Voightovy notace. Potože platí, že χ = χ, nahazují se indexy (kj) jedním společným indexem (I), podle následující tabulky: (jk) () () (33) (3)=(3) (3)=(3) ()=() I Tab.4 Voightova notace Amplituda kvadatické polaizace se pak vyjadřuje jako: ( ω ) ( ω ) ( ω ) E( ω) E( ω) E( ω) E( ω) E3( ω) E3( ω) E E3 E3 E d33 d35 d ω ω + ω ω 36 E( ω) E3( ω) + E3( ω) E( ω) E( ω) E ( ω) + E( ω) E( ω) ( ω ) ε ( ω ω ω ) ( ω ) ( ω ) P 3 d d d3 d4 d5 d6 P = ε d d d d d d P d d3 d34 i 3 ijk 3 j k ijk ikj (5.3a) P = d = + E E (5.3b) Úplná pemutační symetie susceptibility V případech, kdy můžeme přeskupovat všechny indexy i,j, j n, mluvíme o tzv. úplné pemutační symetii. Tuto vlastnost pozoujeme v bezztátových postředích, kde je splněna tzv. Kleinmannova podmínka úplné pemutační symetie. V kátkovlnné oblasti spekta je však obtížné docílit nulové disipace enegie v postředí. Susceptibilita o bodová gupa symetie postředí O teoii gup jsme se něco málo dozvěděli už u přímých laseových zdojů. Její pomoc oceníme i u nelineáních postředí. Dejme tomu, že známe bodovou gupu postředí s příslušnými opeacemi symetie (otočení, zcadlení, inveze, ). Pointa je v tom, že po aplikaci těchto opeací symetie se postoové uspořádání postředí nezmění. Bude 86

87 identicky stejné jako předtím. Logický závě je, že i susceptibilita se musí při opeaci symetie R zachovávat. Tansfomace tenzou susceptibility se povádí následovně: χ = R R R... R χ (5.4) (n) (n) kl3 ll...ln ki li li li nn ij3 j j...jn V třetí kapitole jsme se zmínili o tom, že směšovací pocesy sudého řádu nelze povádět v postředích s invezí nebo také se středem symetie. Opeace inveze působí na susceptibilitu následovně: (n) n+ iˆ = = δ χ = ( ) δ δ... δ χ n nn (n) ij ij kl3 ll...l ki li li ij3 j j...jn Kde δ ij je Koneckeovo delta (jednotková matice). Co tedy tento vztah říká? m+ n=m...je sudé χ = δ δ... δ χ = χ = (m) (m) (m) kl 3 m ki li l m m ij 3 j m kl 3 m (m+) m+ (m+) (m+) χ kl 3 δ m+ δ li δ m+ χ m+ 3 j χ m+ 3 m+ n=m+...je liché =... = Susceptibility sudých řádů budou mít všechny své pvky nulové. Z toho jednoznačně vyplývá, že třívlnové, pětivlnové a další lichovlnové pocesy nelze povádět v látkách se středem symetie. Sudovlnové pocesy naopak můžeme ealizovat ve všech postředích. Musíme však dát pozo na kuhově polaizované světlo v izotopních postředích, s nímž jsou sudovlnové inteakce poněkud obtížnější. Gupová teoie nabízí ještě mnohem víc. Stejným způsobem, jako jsme výše povedli, můžeme eliminovat jednotlivé pvky tenzou susceptibility. Stačí jen znát matice opeací symetie. U někteých nelineáních postředí tak můžeme podstatně snížit složitost poblému Záření nelineáního postředí V předchozích kapitolách jsme si tedy objasnili, jak se chová postředí, na kteé dopadá silné elektomagnetické pole. Polaizuje se nejen na původní fekvenci pole, ale i na součtových a ozdílových fekvencích. Oscilující dipól září a v NL postředí vzniká nové pole na nové fekvenci Vlnová ovnice v nelineáním postředí V duhé kapitole jsme vlnovou ovnici již odvodili. Nyní ji povedeme odvození znova po nelineání postředí s vodivostí σ t. Nábojovou hustotu položíme opět ρ=. Vyjdeme z Maxwellových ovnic (.a) až (.d), mateiálových vztahů (.3a) a (.3b) a difeenciálního Ohmova zákona (.4). Odvození je v Appendix 5.:,, NL t E t t E t P t, E t, εεµ = µσ + µ (5.5) t t t 87

88 Tato vlnová ovnice se od té předchozí liší přítomností zdojového členu daného NL polaizací a tlumením, kteé je způsobené vodivostí. Polaizaci jsme při odvození ozložili na () lineání a nelineání část: (, ) L (, ) NL t t = t + ( t, ) = εχ ( t, ) + NL P.P P E P ( t, ). Aby bylo možné dostat vlnovou ovnici v tomto tvau, bylo nutné požít tzv. skalání apoximaci, pokud nechceme dopředu zanedbávat nehomogenitu pemitivity Soustava vázaných ovnic Nyní už nezbývá než použít vlnovou ovnici (5.5) a dosadit do ní pole a polaizaci ve standadních tvaech. Nyní se však už nebudeme omezovat na ovinnou vlnu a zavedeme pole obecněji: E ( t, ) = { El ( zt,, ) exp ( i( ωlt kz l )) + cc..} (5.6a) l NL NL P P ( t, ) = { Pm ( zt,, ) exp ( i( ωmt kmz) ) + cc..} (5.6b) m Pole i polaizace se šíří ve směu osy z a je válcově symetické. Zanedbejme ve vlnové ovnici (5.5) anizotopii pemitivity a vodivosti a dosaďme do ní ze vztahů (5.6a) a (5.6b). V Appendix 5. je naznačeno odvození soustavy vázaných ovnic. Ty po povedení SVEA apoximace a ztotožnění fekvencí pole a polaizace dostaneme ve tvau: P m m m Em E m NL TEm + ikm + + iµσmω mem = µωmpm exp i k F mz z vm t (5.7) F Kde m=,,, fázová ychlost vm = cnm, index lomu nm = n( ωm), ozdíl vlnových vektoů k = k k a vodivost σ = σ( ω ). Agumenty funkcí nejsou po přehlednost uvedeny. m m V případě, že na postředí dopadá kvazimonochomatické pole s nenulovou šířkou čáy, musíme nahadit fázovou ychlost v tzv. gupovou ychlostí, kteá udává ychlost F m šíření obálky pole. To nastane v případě většiny laseů, kteé se používají k čepání NL postředí. Platí po ni: v G m = n m c + ω m dn d ω m m (5.8) Výaz v závoce ve vztahu (5.7) můžeme ještě zjednodušit použitím substituce G z = z, t = t z v m. Soustavu vázaných ovnic nakonec dostaneme ve tvau: E NL T E + ik + iµσω E = µωp exp( i kz ) z (5.9) E m NL TEm + ikm + iµσmω mem = µωmpm exp( i kmz) z 88

89 5.3 Třívlnové směšovací pocesy t () Třívlnové pocesy se odehávají na susceptibilitě χ = d t. Pojmenování třívlnové nesou, potože v nich figuují tři pole: dvě pole čepací a třetí pole geneované. Mějme tedy tři pole na třech ůzných fekvencích, po kteé platí ω3 = ω + ω. Po jednoduchost zanedbejme příčná ozložení polí, tzn. TEm( z) =. Ze soustavy (5.9) vezměme tři vázané ovnice a dosaďme do nich amplitudy polaizace ze vztahu (5.4), kteý není úplnou Fouieovou tansfomací polí, a poto umožňuje vnést do amplitud postoovou závislost. t ze z = E z + i 3 E3 z E z i kz ze z = E z + i d 3 E3 z E z i kz ze3 z = 3 3E3 z + i 3 3 d 3 E z E z i kz Kde koeficient α µ 4ε * ασ αωε d ( ω, ω, ω ) exp t * ασ αωε ( ω, ω, ω ) exp t ασ αωε ( ω, ω, ω ) exp P m NL NL = m, Em ( z) = Eω ( z), P m m z = P ω z m (5.a) (5.b) (5.c) a ozdíl vlnových vektoů k = k k = k k + k. Rovnice (5.a) vyjadřuje poces, při němž vzniká ozdílová P fekvence ω = ω3 ω a příslušná složka polaizace běží na fekvenci k = k3 k. U duhé ovnice (5.b) je to analogické. (5.c) je vztah po pole na součtové fekvenci ω3 = ω + ω Geneování duhé hamonické (SHG) V této kapitole si pobeeme degeneovaný případ vzniku pole v NL postředí na dvojnásobné fekvenci Vznik duhé hamonické v apoximaci zadaného pole Na postředí tedy nechme dopadat jedno silné pole na fekvenci ω, tzn. E( z) = E ( z) = E. Po fekvence to znamená ω = ω. Zanedbejme tlumení σ m = a uvažujme v přiblížení zadaného silného čepacího pole 7, kdy ze( z) = ze( z) =. Platí tedy ω3 = ω a k = k3 k. Z vázaných ovnic (5.) zbude jediná po geneované pole: t = = αωε ( ω ω ) exp ze3 z i 3 d 3 EE i kz (5.) Po integaci tohoto výazu od nuly do L (délka NL postředí) a následné úpavě dostaneme výaz po intenzitu geneovaného pole: I 3 4ααωε ( ω ω ) ( kl ) ε * t = = = sin µ kl 3 L E3 L E3 L 3 I d 3 L (5.) 7 Tento předpoklad znamená, že výkon předaný geneovanému poli z pole čepacího je zanedbatelný opoti výkonu, kteý čepací pole nese. 89

90 Koheenční délka Intenzita geneovaného záření je tedy v této apoximaci úměná kvadátu délky NL postředí a kvadátu fekvence a intenzity čepacího pole. Ve vztahu se však objevuje funkce, kteá silně ovlivňuje účinnost geneování duhé hamonické. Její půběh je v gafu. Geneovaná intenzita osciluje s hodnotou k = k3 k, kteá udává ozfázování geneované a čepací vlny. Pokud Gaf Účinnost geneování duhé je kl < π, mluvíme o účinném geneování hamonické v závislosti na ozfázování duhé hamonické. Po větší úhly ozfázování účinnost konveze apidně klesá. Z podmínky po účinnou SHG se stanovuje tzv. koheenční délka l C, kteá udává maximální délku L nelineáního postředí, na kteé nebude ozfázování polí ještě tak silné. Platí: π L < l C = (5.3) k Aby koheenční délka a tedy i délka nelineáního postředí byla co největší, musí být ω ω ω ozfázování k = n n c co nejmenší. Poto musíme splnit tzv. podmínku sfázování, kteá vlastně epezentuje zákon zachování hybnosti směšovacího pocesu. Metod po splnění této podmínky je několik a pobeeme je v následujících kapitolách. Apetuní úhel a apetuní délka Ob. 3 Postoové oddělení řádného a mimořádného svazku Aby bylo možno čepací a geneovaný svazek sfázovat, musí se využít anizotopie nelineáního postředí. Potože se nejčastěji využívá jednoosých dvojlomných kystalů, zaměříme se na tento případ. Poblém apetuního úhlu se objevuje v souvislosti s tím, že Poytingův vekto a vlnový vekto mimořádné složky svazku míří jinými směy. U řádné složky svazku k tomuto jevu nedochází, a poto se odinální a extaodinální složky postoově oddělí. To s sebou samozřejmě nese potíž v tom, že čepací svazek může předávat enegii geneovanému svazku jen na učité vzdálenosti, tzv. apetuní délce, než se svazky oddělí. Vyjdeme-li z Maxwellových ovnic div D= a div H=, tak dostaneme podmínku D k, H k, pokud budeme H dostaneme, že ) nebudou k a S ovnoběžné. uvažovat ovinné vlny. Stejně tak ze vztahu po Poytingův vekto S=E t E S, H S. V důsledku anizotopie ( D=εE 9

91 Vystává tedy otázka, jak spočítat úhel postoového oddělení svazků ρ mezi Poytingovými vektoy řádné a mimořádné složky pole S O,S E (viz. ob. 3). Vekto elektické O E O O E E t t O E indukce v těchto dvou složkách je D=D +D =D s +D s =εe=ε ( E +E ), kde směy O E s = sin ϕ, -cos ϕ, s = -cos ϑ cos ϕ, -cos ϑ sin ϕ, sinϑ. Řádné složky elektické a intenzity pole a indukce jsou v jednoosém kystalu ovnoběžné. Mimořádné leží v jedné ovině svíají pávě ten hledaný apetuní úhel, kteý z výše uvedených vztahů můžeme E E E E spočíst jako skalání součin D E = D E cos ρ. Dostaneme výsledně: cos ρ = n cos sin E O n cos ϑ + n ϑ + n sin 4 4 E O ϑ ϑ (5.4a) Kde n, n je řádný a mimořádný index lomu. O E Můžeme všimnout, že po ϑ = a ϑ = π bude úhel odklonu ρ =. Pvní případ paktický význam nemá, potože by se vůbec nepojevila anizotopie. Pokud však necháme čepací svazek dopadat kolmo na optickou osu, můžeme tím zvýšit účinnost konveze, potože apetuní úhel je nulový. V ob. 3 je zachycena situace, kdy se řádný a mimořádný svazek od sebe oddělují. Z geometie se zavádí apetuní délka l a, kteá stejně jako koheenční délka omezuje délku NL postředí. Přibližně po ni platí: l a O E W + W = (5.4b) tg ρ Ob. 3 Překyv řádného a mimořádného svazku v anizotopním postředí Kde W O, W E jsou pološířky řádného a mimořádného svazku. Většinou tyto svazky považujeme za gaussovské Vznik duhé hamonické bez apoximace zadaného pole V předchozím případě jsme použili apoximaci zadaného pole, abychom mohli pochopit důležitost koheenční délky, kteou jsme získali. Nyní předpokládejme, že je dokonale splněna podmínka sfázování k =. Známe-li typ sfázování, není nutné řešit soustavu (5.) ve vektoovém tvau. Po každou úlohu se zavádí skalání ekvivalent tenzou d t, tzv. efektivní susceptibilita d ef. Položme α α3 a nahaďme E : = E a E3 : = ie3, což plyne ze sfázování OO E, kteé pobeeme níže. Můžeme tím přejít k jednodušší soustavě difeenciálních ovnic: z αωε ef E ( z) αωε d E ( z) E z = d E z E z (5.5a) 3 = (5.5b) z 3 ef 9

92 Kde obě pole jsou nyní eálná. Po vynásobení pvní ovnice E ( z) a duhé ovnice E 3 ( z) dostaneme podmínku zachování enegie E ( z) + E ( z) = konst. = E, kde E () je 3 počáteční elektická intenzita čepacího pole. Dosadíme-li tuto podmínku do (5.5b), E = výazy: dostaneme po integaci s počáteční podmínkou 3 ( ) Délka vyčepání ( ef ) ( ) cosh αωε ef ( ) ( ) tgh αωε ( ) E z = E d E z (5.6a) Gaf Konveze čepacího pole na pole E z = E d E z (5.6b) 3 V gafu je znázoněno, jak se enegie tohoto pole přelévá do geneované vlny. Zavádí se další paamet důležitý při konvezi, tzv. délka vyčepání. Uazí-li čepací svazek tuto vzdálenost bude vznikající pole zhuba na 58% výkonu vstupujícího do postředí. Po tuto vzdálenost platí: DEP geneované ε παdef E( ) Tato hodnota je tedy také ozhodující při volbě délky NL postředí. Máme tedy tři hodnoty, se kteými délku postředí sovnáváme Nemá smysl aby L bylo větší než koheenční, apetuní a absopční délka. Na duhou stanu by délka kystalu měla být delší, než délka vyčepání. Tyto čtyři paamety jsou ozhodující u inteakcí sudého řádu. U pocesů sudého řádu nehaje oli apetuní délka, potože se většinou nepovádějí v anizotopních postředích. l vakuum = µ λ (5.7) 5.3. Geneování součtové fekvence (SFG) Vznik součtové fekvence a apoximace zadaného pole V tomto případě je situace analogická se vznikem duhé hamonické. Na postředí dopadají dvě vlny na ůzných fekvencích ω a ω. Intenzita geneované vlny na fekvenci ω3 = ω+ ω v apoximaci zadaného pole vychází: ( kl ) t sin I ( L) = 4αααωε II d( ω = ω + ω ) L kl (5.8) n ωi ω ω ω 3 Podmínka sfázování je tochu složitější k3 = k + k ω3n = ωn + ωn, kde ( ω ) = n. Abychom ji tedy splnili, musí být index lomu po geneované pole jakýmsi i ω3 ω ω váženým půměem ostatních dvou indexů n = ( ω n ω n ) ( ω + ω ) +. 9

93 5.3.3 Podmínka sfázování V předchozích kapitolách se nám ve vztazích objevovala podmínka sfázování, kteá epezentuje zákon zachování hybnosti konvezního pocesu. Cílem je nastavit ozdíl k tak, aby byl co možná nejmenší. Už jsme zmínili, že se využívá jednoosých anizotopních kystalů, kteé umožňují podmínku sfázování splnit. Tyto kystaly ozlišujeme podle řádného a mimořádného indexu lomu na záponé po no > ne a na kladné no < ne. U někteých NL postředí se využívá i ůzných teplotních závislostí indexů lomu. Podmínku sfázování tedy můžeme splnit i volbou teploty kystalu při úhlu ϑ m = Kolineání sfázování I.typu po vznik duhé hamonické Tento typ sfázování odpovídá situaci, kdy je čepací vlna polaizovaná kolmo na vlnu vznikající. V záponých jednoosých kystalech vzniká z řádného svazku svazek mimořádný a kladných kystalech je tomu naopak. Důvod je v dispezi indexu lomu, kteý oste s fekvencí, a poto musí ten menší z obou indexů odpovídat větší fekvenci. Smě elektické intenzity lze volit např. pomocí polaizátou. Sfázování OO E v záponých jednoosých kystalech V tomto případě se využívá ovnosti indexů ω ω lomu ne ( ϑ m) = no. Čepací vlna je tedy řádná a ta vznikající je mimořádná. V ob. 3a máme zobazeny řezy optickým indikatixem po základní fekvenci a dvojnásobnou fekvenci. Řádný svazek cítí index lomu n O, ať je úhel ϑ m jakýkoliv. Mimořádný však putuje indexem lomu n ϑ = n cos ϑ + n sin ϑ, což plyne E m O m E m z geometie. Půsečík elipsy mimořádného indexu lomu na dvojnásobné fekvenci a kužnice řádného indexu lomu na původní fekvenci udává natočení dopadající čepací vlny vzhledem k optické ose Ob. 3a Sfázování I. typu (OOfiE) (o.o.). Elipsy jsou vůči souřadnému systému otočeny o 9, abychom viděli přímo smě šíření svazku. Kdybychom je neotočili, udávaly by půsečíky smě polaizace pole, kteá je na vekto šíření kolmá. Pokud tedy dosadíme do ovnosti z úvodu této části, dostaneme podmínku po úhel sfázování: ( ϑ ) 93 ω ω ( no ) ( no ) ω ω ( ne ) ( no ) ω ω E m = no sinϑm = n (5.9a) Se znalostí úhlu ϑ m už se s pomocí vztahů (5.4a) a (5.4b) snadno dostaneme k apetunímu omezení geneace duhé hamonické. Indexy lomu v těchto vztazích však O E náleží fekvenci nového pole. Pološířky svazků jsou W = W( ω ), W = W( ω ) a spočteme je z výazu (4.5b) po gaussovský svazek.

94 Sfázování EE O v kladných jednoosých kystalech Jak název sfázování napovídá, je v tomto případě čepací pole polaizováno v mimořádném směu a nové pole pak v řádném směu. Potože jde ω ω o kladný kystal, musí být splněno ne ( ϑ m) = no. Jako v předchozím případě můžeme učit půsečíky (viz. ob. 3b): Ob. 3b Sfázování I. typu (EEfiO) sinϑ m ω ω ( no ) ( no ) ω ω ( ne ) ( no ) = (5.9b) Tyto dvě metody sfázování vyžadují, aby čepací svazek byl polaizovaný. To sebou nese dobnou nevýhodu v podobě ztát na polaizátou. Přesto se často využívají. Při počítání musíme dát pozo na dispezi indexů lomu Kolineání sfázování II.typu po vznik duhé hamonické Sfázování duhého typu je o něco účinnější metoda, potože k němu nepotřebujeme polaizovaný světelný zdoj. Čepací vlna je totiž polaizována v obou směech, zatímco vznikající pole je lineáně polaizované. Opoti I.typu se tolik nepojevuje vliv apetuního úhlu, potože část čepacího a geneované pole spolu putují déle. Navíc je tato metoda méně citlivá na nastavení úhlu ϑ m. Sfázování OE E v záponých jednoosých kystalech U II. typu sfázování není přímo splněna podmínka ovnosti indexů lomu. To v podstatě ani udělat nemůžeme, potože čepací svazek může být obecně polaizovaný, takže cítí jakýsi efektivní index lomu, kteý můžeme vyjádřit aitmetickým půměem řádného a mimořádného indexu. Podmínka sfázování tohoto typu je splněna, pokud je úhel ϑ m řešením následující ovnice: ω E ϑ ( ω m E ( ϑm) ω O ) n = n + n (5.3a) Ob. 33a Sfázování II. typu (OEfiE) Vyřešit tuto ovnici je pacné a poto se s ní dále zabývat nebudeme. Tuto podmínku nesplňují ostře všechny směy polaizace, což snižuje citlivost na nastavení úhlu sfázování. 94

95 Sfázování OE O v kladných jednoosých kystalech Ob. 33b Sfázování II. typu (OEfiO) Analogická situace nastane u kladných jednoosých kystalů. Podmínka sfázování nově geneované řádné vlny s dopadajícím obecně polaizovaným čepacím polem je opět dána aitmetickým půměem: ω ω ω O ( E ( ϑm) O ) n = n + n (5.3b) Řešením této ovnice je pak optimální úhel sfázování ϑ m. Ač se zdá být sfázování II.typu bezpoblémové, musíme se potýkat s ozdílným úhlem lomu řádné a mimořádné složky na ozhaní, což plyne ze Snelliova zákona Kolineání sfázování po vznik součtové fekvence Oba výše zmíněné typy sfázování lze aplikovat, pokud chceme geneovat součtovou esp. ozdílovou fekvenci. Abychom získali úhel sfázování po součtovou fekvenci ω = ω + ω, musíme vyřešit následující ovnice: Nekolineání sfázování ( ϑ ) ( ω ω ) ( ω ω) ( ω ( ϑ ) ω ( ϑ )) ( ω ω) ( ) ( ) ( ω ( ϑ ) ω ) ( ω ω) ω3 ω ω OO E: ne m = no + no + (5.3a) ω3 ω ω EE O: no ne m ne m = + + (5.3b) ω3 ω ω OE E: ne ϑm = ω ne ϑm + ω no ω + ω (5.3c) ω3 ω ω OE O: no = ne m + no + (5.3d) V někteých případech se používá tzv. nekolineání sfázování, kdy směové vektoy čepacích polí a geneovaného pole míří ůznými směy. Splňujeme podmínku 3 k k k n ω ω s ω n ω = + = s + ω n ω s. Po úhel mezi čepacími svazky pak musí platit: { } ω3 ω ω ω ω 3n n n n n cosα = ω ω ω ωω (5.3) Existuje několik metod, jak svazky svíající učitý úhel na postředí přivést. Často se používá soustava hanolů nebo zcadel. Lze použít i čočku, u kteé však musíme bát v úvahu, že vlnoplocha za ní není ovinná. Navíc musíme dát pozo na popálení nelineáního postředí. Samozřejmě nesmíme zapomenout na zákon lomu na ozhaní, kteý nám celou situaci znepříjemňuje. 95

96 Efektivní susceptibilita a polaizace Obecné řešení vektoové soustavy vázaných ovnic je celkem složité. Poto se úloha řeší po speciální případy nelineáních kystalů, u nichž známe bodovou gupu symetie a tudíž i tenzo d t ii. Volba metody sfázování nám pak učuje tzv. efektivní tenzo susceptibility d ef. Na ob. 34 vidíme směy polaizace po řádnou a mimořádnou složku čepacího pole. O O O Řádná je E = E s, kde O s = ( sin ϕ, -cos ϕ, ) E E E. Mimořádná složka je E = E s, kde E s = (-cos ϑm cos ϕ, -cos ϑm sin ϕ, sinϑm). ϑ m je dobře známý úhel sfázování. Polaizace postředí je pak t NL dána známým vztahem P3 = εd( ω3 = ω + ω) EE. NL Efektivní polaizace je pak půmětem P 3 do řádného či mimořádného směu v závislosti na zvolené metodě NL sfázování. To tedy znamená Pef = ε def E E, kde: Ob. 34 Pole v NL kystalu t d = ds s s d ef = ds s s d ef = ds s s d = ds s s t t t OO E O O E ef EE O E E O OE E O E E OE O O E O ef (5.33a) (5.33b) (5.33c) (5.33d) Třívlnové směšovací pocesy v paxi Dosud jsme třívlnové pocesy diskutovali pouze teoeticky. Nyní se na ně podíváme z paktického hlediska Postředí požívaná po třívlnové pocesy NL kystal: Symetie: Rozsah půhlednosti (nm): KDP 8 4m -5 KD * P 4m -5 ADP 9 4m - RDA 4m 6-46 RDP 4m 6-46 KD * A 4m -4 d = d = d mv Páh poškození W cm : 4,73 3 4,99 3 5,7 3 3, 3 4, 3 4, nm : 9 64nm : 8 64nm : 8 694,3nm : 8 64nm : 64nm --- Močovina 4m -43,4 9 (---) : Tab. 5a Tetagonální nelineání kystaly 8 Chemické složení KDP je KHPO 4( fosfoečná sůl). 9 Chemické složení ADP je (NH4) HPO 4 ( fosfoečná sůl). 96

97 V předchozí tabulce 5a (viz. [], st ) jsou uvedeny někteé tetagonální NL kystaly, jejich ozsah tanspaentnosti, nenulové pvky tenzou susceptibility po vlnovou délku Nd:YAG laseu 64nm a ubínového laseu 694,3nm. Ostatní pvky d ii jsou v důsledku symetie těchto kystalů nulové. Dále pak jsou v tabulce vyneseny oientační hodnoty pahové intenzity, při kteé se kystal může poškodit. NL kystal: Symetie: Rozsah půhlednosti (nm): LFM LiCHO HO) ( KB5 KB O 4H O) ( 5 8 mm > 3 mm > 7 dii mv Páh poškození W cm : d3 = d5 =,7 d3 = d4 =,5 d 33 =,83 d 3 = 4,6 d 3 = 3,35 Tab. 5b Otoombické nelineání kystaly > V tabulce 5b jsou další používané mateiály (viz. [], st. 86). Dále se po konvezi využívá vlastností oganických kystalů, jejichž susceptibility mohou být i o řád vyšší než u ostatních zmíněných postředí. Navíc jsou tanspaentní daleko do UV oblasti. Po konvezi na nižších výkonech čepání se používají často kystaly CDA, CD * A nebo LiNbO 3, kteé lze fázovat změnou teploty. Mají však nižší pahovou intenzitu poškození než ostatní kystaly Příklady laditelných nelineáních zdojů Ve čtvté kapitole o přímých laseových zdojích jsme se zmínili o laseech, kteé jsou dobře laditelné díky šiokému spektu spontánní emise. Poto se těchto zdojů často využívá k čepání NL postředí, pokud chceme pokýt šiší oblast UV spekta. Nejvýhodnější jsou bavivové lasey, kteé jsou dobře laditelné a mohou pacovat v pulsním i CW ežimu. V závislosti na tom, jaký výsledek požadujeme, můžeme kombinovat bavivové lasey s jinými pulsními lasey (Nd:YAG a jeho vyšší hamonické, ) nebo s jinými kontinuálními lasey (A + iontový, K + iontový, ). Kontinuální laditelné zdoje UV záření Geneovaná vln. délka (nm):. čepací lase:. čepací lase: Mateiál: NL poces: Účinnost (%): 57-3 Bavivový A + (458nm, ) KDP SFG Bavivový Bavivový ADP SFG : Bavivový K + (676nm, ) RDP SFG --- Bavivový --- ADP,ADA SHG Bavivový --- ADP SHG : Bavivový --- ADA SHG : - Tab. 6a Příklady konveze s kontinuálními lasey V předchozí tabulce je uvedeno několik příkladů konveze (viz. [], st. 7), kdy se čepání povádělo CW lasey. Ačkoli jsou hodnoty účinnosti pocesů uvedeny jen oientačně, můžeme si všimnout, že jsou elativně malé opoti pulsnímu čepání (viz. dále)

98 Pulsní laditelné zdoje UV záření Gen. vln. délka (nm): Čepání (nm): Mateiál: NL poces: Sfázování: Účinnost (%): 96,6-99, Bav. (744,8-79,) KB5 ω Nd:YAG (64) + 4ω I. typ, úhlové --- 7,5-7,4 Bav. (6,6-65,) KB5 ω + ω I. typ, úhlové Bavivový (57-6) I. typ, ϑ m = 9, teplotní, ADP ω Nd:YAG (64) + ω (-8 C až 95 C) Bavivový (56-587) ADP ω Nd:YAG (64) + ω I. typ, úhlové Bavivový (434-5) KB5 ω I. typ, úhlové,- 3-3 Bavivový (46-6) LFM ω I. typ, úhlové 4-35 Bavivový (48-7) LFM ω I. typ, úhlové, Bav. (457,6-54,7) Nd:YAG (64) ADP ω + ω Bavivový (49-53) ADP ω I. typ, ϑ m = 9, teplotní, (- C až C) I. typ, ϑ m = 9, teplotní, (-6 C až 5 C) 8-3 Bavivový (56-6) ADP,KDP ω I. typ, úhlové 8-9 Tab. 6b Příklady konveze s kontinuálními lasey V tabulce 6b jsou uvedeny příklady třívlnové konveze (viz. [], st. 6), přičemž čepání se povádělo ůznými kombinacemi pulsního bavivového laseu a jeho vyšších hamonických s pulsním Nd:YAG laseem a jeho vyššími hamonickými Geneování vyšších hamonických pomocí třívlnových pocesů Už v předchozí kapitole jsme se setkali se čtvtou hamonickou 66,nm od základní vlnové délky Nd:YAG laseu, kteá je 64nm. Geneování vyšších hamonických není nutně spojeno s pocesy vyšších řádu. Stačí nám, když vhodně zkombinovat nelineání efekty duhého řádu. Vše vysvětlí následující obázky ,4 Ob. 35a Geneování.hamonické Ob. 35b Geneování 3.hamonické 98

99 Ob. 35c Geneování 4.hamonické V obázku 35a je naznačeno schematicky geneování.hamonické. Pokud vytvoříme součtovou fekvenci ze základní fekvence a duhé hamonické, tak dostaneme tojnásobek původní fekvence (viz. ob. 35b). Nebo můžeme použít SHG na duhou hamonickou, čímž dostaneme čtvtou hamonickou fekvenci. Tímto způsobem můžeme pocesy duhého řádu kombinovat a dostat se tak i k vyšším fekvencím. Musíme však dát pozo na sfázování, kteé je v každém kystalu jiné. Pokud ale vše povedeme spávně, můžeme geneovat vyšší hamonické s mnohem větší účinností, než by tomu bylo u pocesů řádů n >. Využití třívlnových pocesů ke geneaci vyšších hamonických je však omezeno ozsahem tanspaentnosti NL mateiálů. V následující tabulce (viz. [], st. ) je několik příkladů kaskádové konveze na vyšší hamonickou ze základní fekvence Nd:YAG. Gen. vln. délka: NL poces: Mateiál: Sfázování: 354,7nm ω + ω KDP I.typ, ϑ m = 47,8 (3.hamonická) KDP II.typ, ϑ m = 58,4 ADP I.typ, ϑ m = 47,89 ADP II.typ, ϑ m = 6,8 RDP II.typ, ϑ m = 6,8 66,nm ω + ω ADP I.typ, ϑ m = 8,4 (4.hamonická) KD * P I.typ, ϑ m = 86, KD * P I.typ, ϑ m = 9, T = 6,75 C,8nm ω + 4ω KB5 I.typ, ϑ m = 57, ϕ = 9 (5.hamonická) ADP I.typ, ϑ m = 9, T = -55 C KDP I.typ, ϑ m = 9, T = -7 C Tab. 7 Vyšší hamonické základní fekvence Nd:YAG Poblémy spojené s inteakcemi sudého řádu Rozfázování V předchozí kapitole jsme pobali metody, jak splnit podmínku sfázování v nelineáním kystalu. Čím menší hodnotu k nastavíme, tím je větší koheenční délka, kteá nám nepříjemně omezuje podélný ozmě kystalu. Někdy je těžké čepací a geneovaný svazek dobře sfázovat. Kystal může zahřívat, což ovlivňuje dispezi indexu lomu, a může dojít k tzv. tepelně indukovanému ozfázování. Navíc se při velkých intenzitách může index lomu začít chovat nelineáně v důsledku Keova jevu ( n = n + ni ), což může vést k ozfázování. Abychom toto ozfázování potlačili, můžeme použít např. divegentní svazky nebo svazky s větší spektální šířkou. 99

100 Absopce Pokud pacujeme s dielektikem, můžeme předpokládat, že je vodivost nulová, a poto ve vázaných ovnicí (5.) chybí člen odpovědný za tlumení. To ale neznamená, že se enegie neztácí. Čepací i geneovaná vlna mohou být absobovány v důsledku přechodů přes zakázaný pás nebo mezi jinými enegetickými hladinami systému. Nejsilněji se pojevují jednofotonová a dvoufotonová absopce. Pvní typ absopce je dovolený mezi kvantovými stavy s opačnou paitou, zatímco ten duhý pobíhá mezi stavy se stejnou paitou. Pokles intenzity v důsledku jednofotonové absopce je exponenciální a je dán Lambet-Beeovým zákonem I ( z ) = I exp ( α z ). Rychlost poklesu není závislá na intenzitě, poto po zeslabení jejího účinku volíme katší kystaly a silnější čepací pole. V soustavě vázaných ovnic (5.) se jednofotonová absopce objeví jako člen úměný pvní mocnině pole. Dvoufotonová absopce se chová tochu jinak. Intenzita díky ní klesá jako I( z) = I ( + β Iz) a tudíž je ychlost vymíání pole závislá na intenzitě I. Pokles pole v jejím důsledku je pomalejší po malé intenzity I a ychlejší po velké intenzity I. Abychom její vliv omezili, potřebovali bychom slabší čepání a delší kystal. Tento typ absopce můžeme do ovnic (5.) vnést jako člen úměný duhé mocnině pole. Teplotní poškození kystalu Enegie, kteá se v kystalu díky absopci pohltí, se většinou uvolňuje ve fomě tepla. Hozí tedy, že se kystal může poškodit. U každého postředí bychom měli znát pahovou hodnotu intenzity, při kteé k tomuto nevatnému poškození dochází. To nám samozřejmě klade jistá omezení na sílu čepacího svazku. Defomace pulsů Čepání NL postředí můžeme povádět pomocí vysokovýkonových kontinuálních, kvazikontinuálních a pulsních laseů. U CW laseů však musíme svazek fokusovat, abychom se s intenzitou dostali do nelineání oblasti. Nevýhodou je ale zahřívání kystalu. Pulsní lasey jsou výhodné díky velkým špičkovým výkonům. Teplotní jevy jsou mnohem pomalejší než ps či fs pulsy, a poto je iziko teplotního poškození menší než u CW laseů. Důsledkem nedokonalého sfázování je však to, že se čepací a geneovaný puls pohybují ůznou ychlostí. Často tak dochází k oztažení vznikajícího pulsu Inteakce vyšších sudých řádů V mateiálech bez středu symetie samozřejmě mohou pobíhat i NL pocesy vyšších sudých řádů. Jejich účinnost však apidně klesá a absopce geneované vlny v pevnolátkových postředích oste. V plynových či kapalných postředích, kde to je s absopcí tochu lepší, nemohou inteakce sudých řádů pobíhat kvůli symetii. Poto se další lichovlnové inteakce spíše nevyužívají.

101 5.4 Čtyřvlnové směšovací pocesy Tyto inteakce odpovídají dalšímu členu ozvoje polaizace (viz. (5.)), tzn. tenzou (3) kubické susceptibility χ t. Figuují v nich čtyři pole, poto používáme název čtyřvlnové. Obovským zjednodušením už tak složitého poblému je to, že se po tyto inteakce používá plynů a kapalin. Z makoskopického hlediska nemůže být plyn ani kapalina anizotopní, potože částice postředí nejsou vázány v mřížce. Z 8 pvků tenzou kubické susceptibility (3) (3) (3) zbude jediný χ, a tenzo nabude tvau jednotkových matic χ = χ δδ δ. ijkl ij ik il Pocesů, kteé můžeme pozoovat, je mnoho, potože máme více možných kombinací polí. Zaměříme se tedy jen na někteé z nich Geneování 3.hamonické (THG) a součtové fekvence (SFG) Stejně jako u třívlnových inteakcí můžeme i zde sestavit soustavu vázaných difeenciálních ovnic, kteé popisují vývoj všech polí. Ze soustavy (5.9) vezměme čtyři ovnice, přičemž požadujeme aby platilo ω4 = ω + ω + ω3. Budeme pacovat v přiblížení ovinných vln, což po nás znamená zjednodušení TEm( z) =. Dosaďme tedy do vázaných ovnic polaizaci dle (5.4). Dostaneme soustavu (5.34a) - (5.34d): E z E z i t = E z E z E z z i kz E z E z i E z E z E z i kz z z 3 E z = 3 E 3 3 z + i 3 3 = 3 4 E 4 z E z E z i kz E z 4 z = 4 E 4 4 z + i = E z E z E 3 z i kz (3) * * ασ ( 3) αωεχ ( ω ω4 ω ω3) 4 3 exp t (3) * * ασ ( 3) αωε χ ( ω ω ω ω ) exp ασ t (3) ( 3) αωε χ ( ω ω ω ω ) * * exp ασ t (3) ( 3) αωε χ ( ω ω ω ω ) exp Kde koeficient α m = µ 4εm a ozfázování k = k4 k k k3. Soustava vyjadřuje poces, při kteém vzniká polaizace na součtové fekvenci ω4 = ω + ω + ω3. Úplné řešení těchto svázaných ovnic nám pak řekne, jak se výkon přelévá z jednoho pole do duhého Vznik 3.hamonické Stejně jako u třívlnových inteakcí můžeme i zde vyřešit soustavu (5.34) v apoximaci zadaného pole, tzn. ze( z) = ze( z) = ze3( z) =. Uvažujme degeneovaný případ E( z) = E( z) = E3( z) = E, pak tedy i ω = ω = ω3. Po vznikající fekvenci to znamená 3ω ω4 = 3ω a po ozfázování ω k = k 4 3k = 3( n n ) ω c. O vodivosti předpokládejme, že σ m =. Pak po integaci poslední ovnice (5.34d) od nuly do L dostaneme výaz po intenzitu geneovaného pole: ( kl ) sin I ( L) = 9ααωε I χ ( ω = 3ω ) L kl 3 3 (3) (5.35) Podmínka sfázování bude tedy dokonale splněna, pokud n = n. 3ω ω

102 Ze vztahu (5.3) pak dostaneme koheenční délku. Apetuní délka se u těchto inteakcí nepojevuje, potože nepoužíváme anizotopní postředí. Délka vyčepání u těchto pocesů nehaje takovou oli, jako tomu bylo u třívlnových inteakcí, přesto se však může objevit. Její odvození je složité a nebudeme se jím zabývat Vznik součtové fekvence Soustavu (5.34) můžeme vyřešit i po obecný nedegeneovaný případ, kdy máme všechna tři čepací pole ůzná na ůzných fekvencích. Výsledná fekvence bude 4 3 ω4 = ω+ ω + ω3 a ozfázování k = k4 k k k3 = ω4n ω ωn ω ωn ω ω3n ω. V apo- I L : ximaci zadaného pole při nulové vodivosti postředí dostaneme výaz po intenzitu 4 ( kl ) sin I ( L) = 36ααααωε III χ ( ω = ω + ω + ω ) L kl (3) (5.36) V tomto případě stopocentně splníme podmínku sfázování, pokud se nám podaří nastavit 4 3 n ω = ω n ω ω n ω ω n ω ω + ω + ω. ( 3 ) ( 3) 5.4. Podmínka sfázování Potože čtyřvlnové a ostatních inteakce lichých řádů povádíme v plynech, paách či kapalinách, nemůžeme využít anizotopie po splnění podmínky sfázování. Existuje ale několik jiných metod, jak této podmínce dostát Sfázování výběem fekvencí Využití dispeze lineáního indexu Gaf Jednofotonové ezonance a lineání index lomu Z kvantové teoie inteakce elektomagnetického pole s látkou lze odvodit dispezní závislosti dipólové susceptibility jednotlivých řádů (viz. (5.)). V duhé kapitole jsme se seznámili s komplexním indexem lomu po kteý platí vztah (.4). V řeči susceptibilit tento výaz říká, že lineání komplexní index lomu () ( ω) χ ( ω) ( ω) κ ( ω) N = + = n + i. Jeho eálná část je odpovědná za dispezi (.5a) a imaginání za absopci (.5b). Typický n ω je znázoněn půběh indexu lomu v gafu. Resonance na fekvencích ω a ω odpovídají jednofotonovým přechodům mezi eálnými stavy. Oblast, kde je deivace dωn ( ω ) > nazýváme nomální dispezí. V opačném případě, kdy dωn ( ω ) <, mluvíme o oblasti anomální dispeze mateiálu. Podmínku sfázování po jednotlivé pocesy můžeme splnit volbou vhodných fekvencí okolo ezonancí a příslušných indexů lomu.

103 Rezonanční zesílení Při velkých intenzitách čepání přestává být aktuální pouze jednofotonová absopce, ale objevují se i absopce dvoufotonové a třífotonové. Jednofotonová a třífotonová absopce pobíhá mezi stavy s opačnou paitou, zatímco ta dvoufotonová se uskutečňuje mezi enegetickými stavy mateiálu, kteé mají paitu stejnou. Je tedy jasné, že sudofotonové a lichofotonové absopce jsou vzájemně komplementání. Podíváme-li se zpět na vztahy (5.) po dipólovou susceptibilitu, můžeme si všimnout, že se v ní objevuje celá řada ezonancí, při kteých eálná část jmenovatele zlomku jde do nuly a hodnota susceptibility velice oste. To je konec konců patné i z gafu, kteý je podobný susceptibilitě pvního řádu. A pávě při ezonanci dochází k absopci. Nabízí se tedy využít ezonančního chování susceptibility ke zvýšení účinnosti NL inteakcí. S jednofotonovou absopcí jsme se setkali už v předchozí kapitole. Je samozřejmé, že by kubická nelineaita (5.c) vzostla i po jednofotonovou ezonanci, potože Re ω% ω. Musíme si ale uvědomit poblémy s tím spojené. Pvní závažná nevýhoda ( mg p) je lineání absopce čepací vlny, kteá je při ezonanci pávě ve svém maximu. Záoveň nám velice vzoste lineání index lomu, takže by bylo těžké splnit podmínku sfázování. Z těchto důvodů se jednofotonové ezonanční zesílení nepoužívá. Analogický poblém nastane s třífotonovým ezonančním zesílením, při kteém Re ω% ω ω ω. Přechody se odehávají na těch samých hladinách, jako u ( og p q ) jednofotonových přechodů. Lze tím sice zařídit, aby nám mateiál příliš nepohlcoval čepací pole, ale v maximu lineání absopce se nyní nachází geneovaná vlna, což snižuje účinnost inteakce. Ob. 36 Dvoufotonové esonanční zesílení Řešení nabízí dvoufotonová a ostatní sudofotonové absopce. Čepací i geneovaná vlna jsou mimo ezonanci a přesto kubická susceptibilita nabude velkých hodnot, potože Re ω% ω ω. Přechody se odehávají mezi stavy se ( ng p q) stejnou paitou, a jsou tedy doplňkem lichofotonovým tansientním přechodům. Navíc pole v důsledku dvoufotonové absopce klesá o hodně pomaleji, než tomu bylo u té jednofotové, a poto můžeme použít delší NL postředí. Schematicky je tento poces znázoněn na ob. 36. Jde o vznik součtové fekvence. Pvní dvě čepací pole na fekvencích ω a ω jsou dvoufotonově v ezonanci s mateiálem. Podmínky sfázování se pak docílí, pokud využijeme nomální a anomální dispeze na mezi ezonancemi a 3. Bohužel po velké intenzity čepání se začne výazně pojevovat i dvoufotonová absopce. Navíc se k ní připojuje tzv. Stakův posun, což je nelineání efekt spojený se satuací susceptibility. Jeho důsledkem je posun ezonančních fekvencí Nekolineání sfázování V někteých případech se podmínka sfázování splňuje nekolineáně, jako tomu bylo i inteakcí sudého řádu. V závislosti na pocesu musíme splnit k4 =± k± k ± k3, což znamená 3

104 ω4 ω ω ω3 ω4n s4 =± ωn s ± ωn s ± ω3n s3. Nekolineáního sfázování se využívá např. u ozdílových směšovacích pocesů či u Ramanova ozptylu Jiné metody sfázování U jednosložkových postředí lze podmínky sfázování nastavit hustototou postředí, čehož docílíme změnou tlaku plynu esp. pa. Často se tato metoda používá s fokusovanými čepacími svazky a má velké uplatnění v laditelných zdojích záření. Jinou možností je využít směsí dvou či více plynů esp. pa, čímž ovlivníme fekvenční závislost indexu lomu. Volba plynů se povádí s ohledem na požadovaný poces, přičemž minimálně jeden z nich po něj bývá v oblasti anomální dispeze. Ta však často mnohem užší než oblasti nomální dispeze, což znesnadňuje nastavení. Typické příklady směsí pa kovů a plynů jsou např. Rb:Xe, Na:Xe, Cd:A,. Celkem dobého sfázování lze též docílit ůznými geometiemi svazků. Využívá se kolimovaných i fokusovaných svazků Paametické čtyřvlnové oscilace Paametické čtyřvlnové směšování je typickým případem geneování ozdílové (3) fekvence na susceptiblitě χ. Uvažujeme inteakci typu ω4 = ω+ ω ω3. Většinou se však přistupuje k degeneovanému případu, kdy máme dvě čepací pole na stejné fekvenci ω = ω. To po tedy znamená, že ω4 = ω ω3. Rozfázování po tuto inteakci je ω4 ω3 ω 4 3 ω4 ω3 ω k = k + k k = n + n n. Ke sfázování a záoveň k zvetšení účinnosti inteakce nám stačí mít k dispozici jeden stav, ze kteého je dovolený jednofotonový přechod do základní hladiny, a jeden výše položený dvoufotonově dosažitelný stav (viz. ob. 37). Záoveň musí být dovolen přechod mezi těmito dvěma hladinami. Podmínce sfázování tedy dostojíme díky anomální dispezi indexu lomu v okolí jednofotonové ezonance. ω4 ω3 ω Musíme tedy splnit elaci ω4n + ω3n = ωn. Na šířce Ob. 37 Schéma sfázování oblasti anomální dispeze závisí laditelnost tohoto NL zdoje záření. Ladění můžeme povádět změnou koncentace jednotlivých komponent směsi. V případě jednosložkových postředí můžeme ladit fekvenci změnou tlaku. λ ( nm) Čepací lase: Postředí: Dvoufotonový přechod: Jednofotonová ezonance: 43,5 Bavivový Hg 6s 6s6d D 6s7p 3 P 4, KF Hg 6s 6s6d S 6s7p P 3,7 KF Hg 6s 6ss S 6s8p 3 P 3, KF Hg 6s 6ss S 6s7p P 5,9 KF Hg 6s 6ss S 6s9p 3 P 5, KF Hg 6s 6ss S 6s9p P 7, Bavivový, Nd:YAG Xe 5p 6 7p[/] 7p[3/] Tab. 8 Vlnové délky získané na paách tuti 4-vlnovými paametickými oscilacemi 4

105 V předchozí tabulce jsou uvedeny někteé vlnové délky dosažené čtyřvlnovými paametickými oscilacemi na paách tuti a v xenonu (viz. [], st. 73) Inteakce vyšších lichých řádů Kubickou susceptibilitou možnosti nelineání optiky nekončí. V paxi se využívá i (n) susceptibilit vyšších řádů χ, kde n=m+ je liché. Do hy tu vstupuje n čepacích polí, po kteé je třeba vyřešit soustavu vázaných ovnic. Obecný (n+)-vlnový poces můžeme vystihnout výazem po novou fekvenci ωn+ = ( al bl) ωl, kde konstanty a l {,,,..., n} a b {,..., a } l l n l= vyjadřují příspěvky ůzných kladných i záponých fekvencí. Musí ale splňovat elaci a an + b bn = n. Tuto inteakci, jejímž výsledkem je vznik nového pole na fekvenci ω n +, můžeme v apoximaci ovinných vln ( TEm( z) = ) popsat následující soustavou vázaných ovnic (5.37): n g a (n) * l b l ze( z) = ασ E( z) + t iαωε χ ( ω ) E ( ) ( ) exp n n+ z El z El z i kz l= g a m (n) * l b l zem( z) = αmσmem( z) + t iαmωmε χ ( ω ) ( ) ( ) exp n m En+ z El z El z i kz l m n g b n (n) a l * l zen ( z) = αn σn En ( z) + + t iαn+ ωn+ ε χ ( ω ) ( ) exp n n+ El z El z i kz l= Tato soustava popisuje vývoj polí, kteá se podílejí na vzniku fekvence ω n +, poto po fekvence čepacích polí platí ωm = ωn+ ( al bl) ωl ( am bm), kde m {,..., n} l m. Po tato pole dostaneme degeneační faktoy g = n! a! b!, zatímco po geneované pole n m l l l m platí gn+ = n! al! bl!. A nakonec ozfázování v obecném nekolineáním případě je dáno l= n k kn+ al bl kl. l= zákonem zachování hybnosti = ( ) Obecné n-vlnové směšování V apoximaci zadaného pole vyřešme poslední z ovnic soustavy (5.37), čímž dostaneme intenzitu po obecnou n-vlnovou inteakci. Zanedbáme-li vodivost postředí, dostaneme intenzitu geneované vlny: ( kl ) n a sin l + b l (n) In+ ( L) = αn+ ωn+ εgn+ ( αlil) χ ( ωn+ ) L l= kl (5.38) 5

106 Vznik n-té hamonické Uvažujme degeneovaný případ, kdy čepáme n stejnými poli na stejné fekvenci ω. Po vznikající fekvenci to znamená ωn+ = nω a po ozfázování v kolineáním uspořádání k = k nk. Z toho plyne podmínka sfázování analogicky jako v předchozích případech. n+ Nyní jednoduše platí, že a = n, a =... = an = b =... = bn =. Dosaďme tedy do obecného vztahu (5.38) a dostaneme výaz po intenzitu n-té hamonické v apoximaci zadaného pole: ( kl ) sin n n I ( L) = n αα ωε I χ ( ω = nω ) L kl (n) n+ n+ n+ (5.39) Stejně jako u čtyřvlnových pocesů se i zde pojevuje vliv koheenční délky a absopce. Konveze vyšších lichých řádů se také povádějí v plynných postředích, paách kovů či kapalinách, a poto se podmínky sfázování dociluje podobnými metodami, jako jsme uvedli v kapitole Stejně tak lze u nich využít ezonančního zesílení Sudovlnové směšovací pocesy v paxi V této kapitole ozebeeme paktickou ealizaci inteakcí lichých řádů, používaná nelineání postředí, metody a poblémy spojené s tímto typem konveze UV oblast a inteakce lichých řádů NUV oblast Oblasti vlnových délek mezi nm až 4nm docílíme elativně nejsnáze. Nejčastěji se geneuje 3.hamonická na pulsních infačevených laseech jako např.: Nd:YAG na 64nm, Nd:sklo (křemičité) na 59nm či Nd:sklo (fofoečné) na 5nm. Dále můžeme použít HF, CO, CO a jiné lasey. Nejčastěji používaná NL postředí tvoří směsi pa alkalických kovů a vzácných plynů (Rb:Xe, Na:Xe), vzácné a jiné plyny (He, Ne, H, CO, ) nebo dokonce směsi pa alkalických a jiných kovů (Na:Mg). VUV oblast Oblast mezi nm nm lze pokýt čtyřvlnovými směšovacími inteakcemi, přičemž k tomu používáme UV lasey. Ty mohou být pulsní (Nd:YAG, KF, ) i kontinuální (A + lase, bavivové lasey) v závislosti na požadovaném výsledku. Po geneování jedné fekvence se k čepání často používá třetí hamonická Nd:YAG laseu na 354,7nm, XeF lase na 353nm a jiné excimeové lasey, dusíkový lase na 337,nm a ůzné kombinace těchto zdojů s bavivovými lasey. Požadujeme-li laditelný zdoj VUV záření, můžeme použít bavivové lasey. Lze je kombinovat s ostatními zdoji jako např. s třetí hamonickou Nd:YAG. Do hy zde vstupují také paametické geneátoy. Nelineáních postředí máme také celou řadu. Patří sem směsi pa kovů a inetních plynů (Mg:Xe, Cd:A, S:Xe, ), plyny a jejich směsi (Xe:A, CO:Xe, ) či samotné páy a plyny (Hg, B, C 6 H 6, Xe, K, ). Často se využívá též dvoufotonového ezonančního zesílení. 6

107 XUV oblast Kátkovlnou stanu UV spekta od 35nm do nm lze pokýt nelineáními efekty vyšších řádů (5.hamonická, 7.hamonická, vícevlnové směšovací inteakce, ), nebo kombinací inteakcí řádů nižších. Laditelné nelineání zdoje bývají často čepány bavivovými lasey v kombinaci s výkonnými neladitelnými lasey, jako např. 4. hamonická Nd:YAG na 66,nm, KF lase na 49nm, AF lase na 93nm,. Jako postředí většinou používáme vzácné a jiné plyny (He, Ne, A, H, D, ). Zvýšení účinnosti se dosahuje nastavením dvoufotonové ezonance. Největším poblémem zůstává silná absopce v pevnolátkových postředích pasivních optických pvků. Abychom se zbavili silného tlumení geneované vlny na výstupním okénku, používáme tzv. ozdílové čepání nebo také bezokénkové uspořádání. Tři nejpoužívanější bezokénkové geometie jsou schematicky znázoněny v následujících obázcích. Ob. 38a Rozdílové čepání (podélné) Ob. 38b Rozdílové čepání (příčné) V ob. 38a je zobazena nejpoužívanější metoda difeenciálního čepání. Nelineání médium se přivádí do komoy, na jejímž konci je día půměu řádu mm. Na ni je čočkou zaostřen čepací svazek. Plyn pak vytéká z komoy podél osy svazku a následně je odčepán vývěvou v jedné nebo několika následujících komoách. Tato geometie dovoluje využít postředí na celkem vysokých tlacích řádu kpa. Při páci se silně absobujícími postředími není tato metoda tou nejlepší, poněvadž hustota plynu podél osy svazku klesá elativně pomalu a dochází k úbytku intenzity geneovaného pole. Metodou, jak potlačit absopci postředí, je přivádět NL médium kolmo na čepací svazek (viz. ob. 38b). Plyn je veden tubicí skze komou, do kteé přivádíme náazníkový plyn, kteý čepací ani geneované pole příliš neabsobuje. Jeho tlak je o něco vyšší než tlak v tubici, a poto nedochází k úniku NL média do okolí. Ob. 38c Rozdílové čepání (příčné s pulsní tyskou) Velice účinná metoda je přivádět plyn kolmo na svazek pulsní tyskou (viz. ob. 38c). NL médium je stlačeno v zásobníku a vstřikováno tyskou do oblasti pásu svazku. Vývěvou se pak plyn opět odčepává pyč. Výhodou je snížení absopce v postředí a absence náazníkového plynu. V tomto uspořádání však nemůžeme pacovat s tak velkými tlaky postředí, jako u předchozích dvou metod. 7

108 Měkká entgenová oblast Obovských úspěchů bylo v poslední době dosaženo při geneování vysokých hamonických ve vzácných plynech (He, Ne, Xe) s použitím kátkovlnných pulsních (fs, ps) excimeových laseů (KF 49nm, AF 93nm) a infačeveného Ti:safíového laseu na ~8nm (viz. [], [3]). Geneace se většinou povádí v geometii s pulsní tyskou (viz. ob. 38c). V současné době bylo už dosaženo extémně vysokých hamonických (až 97). Enegie vznikajících fotonů daleko přesahují ionizační enegie mateiálů. Vituální hladiny elektonů se nacházejí vysoko ionizačním kontinuu. Atom může být ionizován několika pocesy, kteé závisejí na intenzitě čepání (viz. ob. 39, citace z [7] st. 45). Při slabém čepání a nízkých fekvencích se uplatní jev multifotonové ionizace. Při větších intenzitách se sníží coulombická baiéa vazebního potenciálu a elekton může do kontinua tunelovat. Při velice silném čepacím pulsu se baiéa sníží natolik, že vázaný stav elektonu zanikne. Jakmile se objeví mimo atom, je elekton uychlen polem pyč od atomu a dostane se tak na vyšší potenciální enegii. Polaita pole se ale změní a elekton je uychlen zase zpět k odičovskému iontu ovšem s velkou polem dodanou kinetickou enegií U P, ke kteé se navíc Ob. 39 Tři mechanizmy ionizace přidá ionizační enegie E ion, potože dojde k ekombinaci. Enegie U P se nazývá pondeomotivní potenciál, po kteý platí P P e P U =ei ε mcω. Enegie fotonu n-té hamonické je pak E= h ω =E ion+up. Gaf 3 Schéma spektálního ozdělení intenzit vysokých hamonických Příklady nelineáních koheentních zdojů Při geneování hamonických (3., 5., ) jsme pozoovali řádový pokles účinnosti konveze. Při HHG (high hamonic geneation geneování vysokých hamonik) se ale elekton nachází mimo vázaný stav v ionizačním kontinuu, a poto je účinnost konveze takřka konstantní po mnoho řádů inteakcí. Pozouje se typické plato účinnosti (viz. gaf 3), jehož šířka je dána potenciálem U P čepacího pole s konstantou úměnosti a»-3 (viz. [7]). Šířku plata lze tedy volit intenzitou čepacího pole či jeho fekvencí. Příklady HHG jsou v tab. 9d (zdoj viz. [3], st. 3-7). V následujících tabulkách 9a až 9c (zdoj viz. [], st , kom *[5]) a 9d (viz. [3]) jsou uvedena někteá nelineání postředí, čepací lasey, pobíhající inteakce a přibližné účinnosti konvezi po jednotlivé oblasti ultafialového spekta. Jde buď o čisté nelineání inteakce (směšování, geneování hamonických), nebo jejich kombinace (směšování vyšších hamonických) a základních fekvencí (např. ω + ( 3ω ) ). 8

109 λ ( nm) Čepací lase Poces Médium Sfázování Rezonanční zesílení Účinnost 3,4 Rubínový (694,3nm) -fotonové 3ω Cs --- 6s S / 9d D 3/ ---,8 Nd:sklo (59nm) 5ω Na Xe Neezonanční 6-7, Bavivový (6nm) -fotonové 3ω Na --- 3s 5s,8 Tab. 9a Geneace NUV záření λ ( nm) Čepací lase(y) Poces Médium Sfázování Rezonanční Účinnost zesílení 7-59 Bavivový ( ω) ω Xe Fokusace Neezonanční : Bavivový ω Bavivový + ω S Xe -fotonové (ω ) 5s S 5s5d D ω Cd A Neezonanční Nd:YAG (64nm) 77 Bavivový 3ω B Bavivový 3ω C 6 H Bavivový Bavivový ω +ω Mg --- -fotonové (ω ) 3s S 3s3d D,3 5 Nd:YAG (64nm) (3ω )+ω Cd A Neezonanční Bavivový 3ω NO Bavivový 3ω Xe A,K Fokusace -fotonové A Σ + X Π 3/ -7 Neezonanční Bavivový 3ω Mg K -fotonové 3s S 3s3d D Bavivový Bavivový ω +ω Zn --- -fotonové (ω ) 4s S 4s5s S Nd:YAG (64nm) Paam.gen. (4ω )+ω PG Xe Fokusace Neezonanční -7 7 Bav. (43nm) -fotonové ω XeCl (38nm) +ω Mg --- 3s S 3s3d D -4 3,5- Bavivový (ω )+ω K Fokusace Neezonanční -7,6 Bav (3,4nm) -fotonové ω Bav. (56nm) +ω Be --- s S s3s D 3-7 8, Nd:YAG (64nm) 3(3ω ) Xe A Neezonanční, 7 XeF (353nm) 3ω Xe Fokusace Neezonanční -4 5,9- Bavivový -fotonové (ω ω -4, Bavivový +ω CO Xe ) X Σ + A Π Bav. (43nm) -fotonové ω KF (49nm) +ω Mg Xe 3s S 3s3d D -4,4 N (337,nm) 3ω K Fokusace Neezonanční -6-6 Bavivový Bavivový ω +ω Zn --- -fotonové (ω ) 4s S 4s6s S -8 6,8- -6, Bavivový 3ω Xe Fokusace Neezonanční -6 6 Bav. (38nm) 3ω Xe --- Neezonanční -6,6 XeCl (38nm) 3ω A, K --- Neezonanční -8,5 Bavivový Nd:YAG (64nm) ω +ω Xe --- -fotonové -5 Tab. 9b Geneace VUV záření 9

110 λ (nm): Čepací lase(y): Poces: Médium: Rezonanční zesílení: Účinnost: -73 Bavivový (ω )+ω A -fotonové , Bavivový (486nm) (ω )+ω H -fotonové -9 93, Bavivový (79nm) 3ω Hg -fotonové ,7 Nd:YAG 3(4ω ) A, H, Ne , KF (49nm) 3ω Xe -fotonové -8 8,8* KF (48,5nm) 3ω A -fotonové,7 79, AF (93nm) Bavivový (436nm) ω +ω H , Nd:YAG (64nm) 4(4ω )-(ω ) He, Ne , Nd:YAG (64nm) 4(4ω )-ω He, Ne ,3 AF (93nm) 3ω H, D -fotonové -6 6,6 Nd:YAG (64nm) 4(4ω )+ω He, Ne , Xe (7nm) 3ω A -fotonové , Nd:YAG (64nm) 5(4ω ) He, Ne ,8 KF (49nm) 5ω He, Xe -fotonové ,6 AF (93nm) 5ω He , Nd:YAG (64nm) 7(4ω ) He ,5 KF (49nm) 7ω He Tab. 9c Geneace XUV záření λ (nm) Čepací lase Poces Médium Účinnost Pozn. (τ PUMP, I PUMP ) 5, Bavivový (66nm) 4ω He --- 8fs 4,6 KF (48nm) 7ω Ne -8 5 W/cm,7 Nd:sklo (5nm) 45(ω ) He --- 6fs 7,5 Nd:sklo (5nm) 4ω He ,7 KF (48nm) 37ω He W/cm,38fs 5, Ti:safí ( 8nm) 55ω Ne W/cm,5fs 3,6 Ti:safí ( 8nm) ω He W/cm,5fs,7 Ti:safí ( 8nm) 97ω He W/cm,5fs Tab. 9d Geneace měkkého RTG záření Poblémy spojené s inteakcemi lichého řádu Stejně jako u třívlnových inteakcí se při geneování lichých hamonických a ostatních směšovacích pocesech setkáváme s řadou nesnází, kteé snižují účinnost už tak slabých konvezí. Rozfázování U těchto inteakcí se potýkáme s podmínkou sfázování. Pokud se nám ji pomocí výše uvedených metod podaří nastavit, stále nemáme jistotu, že ji v půběhu geneace udžíme. Velmi často dochází k poušení sfázování v důsledku příliš silného čepání. Vinu nese tzv. optický Keův jev, o kteém už jsme se zmínili. Lze ho jednoduše odvodit ze vztahu po kubickou polaizaci běžící na fekvenci čepacího pole: 3χ (3) () n( I) = + χ + n( I) = n + ni () ( + χ ) 4 I ε c (5.4)

111 Jeho důsledkem však není jen poušení podmínky sfázování. Jsou s ním spojeny dva další paazitní efekty. Silný gaussovský svazek si díky svému příčnému ozložení intenzity sám vytvoří čočku (spojka n >, ozptylka n < ) a sám se na ní fokusuje. Tomu říkáme samofokusace, jenž může být zodpovědná za popálení postředí. U plynných médií to však není tak kitické. Navíc v důsledku ůzných optických dah defomujícího se svazku dochází k samomodulaci fáze. Rozfázování může být způsobeno i tzv. Stakovým posunem. Je-li čepání silné, dojde díky absopci ke změně obsazení enegetických stavů postředí. V satuujícím tenzou susceptibility se to pojeví posunem ezonančních fekvencí. Absopce Největší potíží zůstává absopce. Pokud bude fekvence čepacího či geneovaného pole blízká ezonanci, je pavděpodobnost pohlcení fotonu největší. U geneovaného záření se setkáváme nejčastěji s lineání absopcí mezi stavy postředí. Po kátké vlnové délky může dokonce dojít i k ionizaci NL média. Zeslabení vlivu lineání absopce by vyžadovalo zkácení aktivní délky postředí a zvýšení čepací intenzity. Čepací pole bývá většinou pohlcováno v důsledku dvoufotonové absopce, kteé navíc často využíváme k ezonačnímu zesílení. Musíme poto dát pozo na to, aby ezonanční zesílení v konečném výsledku nebylo slabší než absopce. Pak by nemělo smysl ho využívat. Zeslabení vlivu dvoufotonové absopce naopak vyžaduje nižší intenzity. Při silném čepání dochází navíc k tzv. satuaci susceptibility, kdy se podstatně změní ozložení elektonů v hladinách. To samozřejmě ovlivňuje účinnost pocesu. Dielektický půaz Při velkých intenzitách či silné fokusaci může dojít k půazu dielektika, což je příčinou dalšího ozfázování a ztáty výkonu Stimulovaný Ramanův ozptyl (SRS) Poslední efekt, o kteém se v ámci nelineání optiky zmíníme je tzv. spontánní Ramanův ozptyl a stimulovaný Ramanův ozptyl, kteý se řadí do kategoie čtyřvlnových inteakcí Spontánní Ramanův ozptyl Mějme atom nebo molekulu, přičemž známe jejich vázané stavy. Klasicky si můžeme představit, že elekton v atomu či jáda molekuly kmitají v nějakém vazebním potenciálu. V důsledku jejich kmitů vzniká pole, kteé označme jako O ( t ). Dosud jsme předpokládali, že polaizace na těchto vibacích nezávisí, což znamená, že jsou oscilace malé a hamonické. Pokud připustíme anhamonicitu vlastních kmitů, musíme susceptibility ozvinout podle pole vibací. Poveďme tedy ozvoj do pvního řádu (5.4): χ χ P = E + EE +... = E + OE + EE + OEE+... = () () () () () ik () ikl i εχ o ij j εχ o ijk j k εχ o ij j εo j k εχ o ijk j k εo j k l O j O O= j O= () R () HR () R () HR = εχ o Ej + εχ o ijkoe j k + εχ o ijkee j k + εχ o ijkloee j k l + = Pi + Pi + Pi + P i + ij......

112 Pvní člen je zodpovědný za lineání polaizaci, duhý člen za Ramanův ozptyl, třetí za kvadatickou polaizaci a poslední za hype-ramanův ozptyl. Zaměříme se na Ramanův R ozptyl daný tenzoem χ t. Vezměme pole ve tvau E ( t) = { Eexp ( iω t) + cc..} O t = Oexp iω t + cc... Pak po dosazení zjistíme, že Ob. 4 Stokesovská a antistokesovská složka Stimulovaný Ramanův ozptyl { V } a R amanovská polaizace P běží na fekvencích posunutých o ω. V postředí se objeví tzv. stokesovská složka polaizace V na ωs = ω ωv a antistokesovská složka na ωas = ω + ωv. Říkáme, že Ramanův ozptyl je neelastický, potože se mění enegie dopadajícího fotonu. Vznik fotonu je spojen s přechodem elektonu mezi stavy se stejnou paitou, kteý se děje dvoufotonově. Tyto hladiny jsou v ovnováze obsazeny dle Maxwell-Boltzmannova ozdělení, a poto je antistokesovský posun menší opoti stokesovskému. Abychom zesílili antistokesovskou složku, musíme postředí načepat. Ramanův ozptyl můžeme stimulovat vnějším polem. Nechť dvousložkové pole E zt, = E exp i ω t kz + E exp i ω t kz + cc.. dopadá na amanovské { } ( ) ( ) postředí. Toto pole nutí kmitat elektony (molekuly) na své fekvenci, což můžeme popsat O zt, : pohybovou ovnicí po pole && & F( zt, ) R O( zt, ) + γo( zt, ) + ωvo( zt, ) = = gad ( P ( zt, ) E () t O ) (5.4) m mn Kde m je hmotnost elektonu (jáda) a N je hustota amanovských dipólů. Na pavé staně ovnice stojí vynucující síla, jež je ovna gadientu potenciální enegie amanovského dipólu R t R ve vnějším poli. Hustota polaizace je P ( zt,) =ε χ O( zt,) E (,) zt. o V dalších úvahách zanedbejme vektoovou povahu poblému a počítejme jen O zt, = O z exp iωt + cc... Na pavé staně s amplitudami. Nasaďme řešení ve tvau { } (5.4) dostaneme kombinace fekvencí pole, podobně jako u třívlnových pocesů. Budeme-li předpokládat, že fekvence vstupující dvousložkové vlny jsou mnohem větší než ω, tak nejblíže ezonanci ω bude ozdílová fekvence, kteá bude mít na elekton největší vliv. V Poto položme ω = ω ω. Zanedbejme ostatní zdojové členy na pavé staně ovnice. O zt, = O z exp iω t + cc.., kde Řešením pohybové ovnice tedy je pole { ( V ) } * O ( z ) = K ( ω ω ) EE exp ( i ( k k ) z ), přičemž R ( K ω εχ mn ωv ω iωγ ) =. Předpokládejme, že ω = ωl, ω = ωs jsou fekvence laseu a pvní stokesovské složky. Pak ωv = ω ω. Polaizace při stimulovaném Ramanově ozptylu je (5.43): V

113 SRS R SRS { ( ( )) ( ( )) (( ω ω ) ) ( ω ω ) P ( zt,) = ε χ O( zt,) E( zt,) = ε χ E E exp i ω t kz + E E exp i ω t kz + o ( ) } * * + EE exp i t k k z E E exp i t k k z + cc.. SRS R R Kde susceptibilita v ezonanci je χ = χ K ω ω 4 = iε χ 4mNω γ. Jednotlivé V členy představují jednotlivé pocesy. Pvní člen souvisí s pvní stokesovskou složkou na fekvenci ω = ωs, duhý epezentuje polaizaci od čepacího laseu na ω = ωl, třetí zastupuje pvní antistokesovskou složku na ω3 = ωas = ω ω = ω + ωv a poslední čtvtý člen odpovídá duhé stokesovské komponentě na ω = ωs = ω ω = ω ωv. Potože pole laseu a pvní stokesovské složky je svázáno elací ωv = ω ω, je ozumné po ně sestavit soustavu vázaných ovnic, ve kteé budou figuovat příslušné polaizace. Dostaneme: SRS ασ αωεχ = (5.44a) ze z E z i E z E z SRS ασ αωεχ = + (5.44b) ze z E z i E z E z Kde α = µ 4ε. Jako už tadičně použijeme po řešení této soustavy apoximaci zadaného m pole. Položme tedy ( z ) m integací z (5.44a): =. Intenzitu stokesovské složky dostaneme jednoduchou E z SRS ( ααωεχ ασ ) I z = I exp i4 I z = I exp g l z (5.45a) Konstanta g je analogií zisku postředí při čepání, zatímco l epezentuje ztáty. Vztah (5.45) učuje páh stimulovaného Ramanova ozptylu. Pokud g > l, pak dojde k emisi koheentního záření, ale po g < l zůstaneme pod pahem a postředí bude zářit jen spontánně. Platí: g ( χ ) R ααωε = I (5.45b) mnωγ V Po antistokesovskou složku můžeme také sestavit difeenciální ovnici, kteá zní SRS * z E 3( z ) = ασ 3 3 E 3( z ) + iαωεχ 3 3 E ( z ) E ( z ) exp( i ( k 3 k + k ) z ). Z jejího řešení v apoximaci zadaného pole se dostaneme k intenzitě a podmínce sfázování. Zanedbejme ztáty σ 3 =. Pak: ( kl ) α sin I ( L) = g I L 3 3 α3 kl (5.46) 3

114 Kde dochází ke konvezi ω3 = ω ω. Ziskový koeficient g 3 je analogický s tím ze vztahu k = k k k. Dokonalé splnění podmínky sfázování (5.45b). Rozfázování je dáno 3 vyžaduje nastavit k3 = k k. Často se ale používá nekolineání sfázování, kteé umožňuje postoově oddělit stokesovské a antistokesovské složky, potože platí k3 = k k při geneování anstistokesovské a k = k k při vzniku duhé stokesovské složky. Použitá geometie je v ob. 4. Ob. 4a Sfázování po pvní antistokesovskou složku Ob. 4b Sfázování po pvní stokesovskou složku Příklady amanovských koheeentních zdojů V následujících tabulkách si uvedeme někteé zdoje koheentního záření v UV oblasti založené na stimulovaném Ramanově ozptylu. Dle způsobu čepání můžeme získat laditelné i neladitelné zdoje. Laditelné amanovské zdoje Čepáme-li amanovské postředí laditelnými bavivovými lasey (hodaminový, flouesceinový) ve viditelné či NUV oblasti, můžeme posunout jejich ozsah laditelnosti do UV oblasti. Ramanův posun ve vodíku (H - λ = 455cm ) po někteé bavivové čepací lasey je v následující tabulce (viz. [], st. 88). Ramanovská složka: Rhodamin B λ nm SRS Rhodamin 6G λ nm SRS 4 Rhodamin 6G λ nm.ham, SRS Fluoescein 7 λ nm AS (3) AS () AS () AS () AS (9) AS (8) 96,9-, AS (7) 4,4-8,6 94,5-98, --- AS (6) 35,4-4,4,6-5, AS (5) 6,-67, 56,7-63, AS (4) 9,7-3,4 87,3-95,3 88,7-95,7 86 AS (3) 33,-343,3 36,3-336,6 4,8-3, 35 AS () ,5-39,4 3,8-33,7 376 AS () ,8-58,8 --- Lase: 57,-6, 55,-58, 75,-9, 548 S () ,5-39,7 --- Tab. Stimulovaný Ramanův ozptyl v H po bavivové čepací lasey SRS

115 Neladitelné amanovské zdoje Čepání amanovských postředí nyní ealizujeme laseem na pevné fekvenci. V následující tabulce je přehled někteých takových zdojů (viz. [], st ). Lase ( nm) λ L : Postředí λ ( cm ) : Poces: Gen. vlnová délka ( nm) AF (93,4nm) H (455cm - ) AS (5) 38, AS (4) 46,4 AS (3) 55,8 AS () 66,6 AS () 79, S (),3 D (99cm - ) AS () 73,3 AS () 8,8 S () 5,3 S () 8,7 Tekutý N (36cm - ) S (),5 S (),5 KCl (,9nm) H (455cm - ) AS () 4, D (99cm - ) AS () 9, KF (48,4nm) H (455cm - ) AS () 5,9 CH 4 (96cm - ) AS () 7, Tab. Stimulovaný Ramanův ozptyl v někteých postředí čepaný lasey na fixní fekvenci Antistokesovský amanovský lase (ASRL) λ : Nabízí se zvážit možnost, zda by nebylo možné na Ramanově ozptylu postavit lase. Odpověď je ano. Důležité je mít postředí, jehož vyšší stav je načepán. Necháme-li na toto postředí dopadat čepací svazek blízký ezonanci s dalším vyšším stavem, budou elektony dvoufotonově přecházet do nižšího stavu se stejnou paitou a dojde antistokesovskému posunu původní čepací fekvence. Typickým příkladem po UV oblast je tantalový (Tl) lase. Původní molekulu TlCl ozštěpíme pomocí fotolýzy. Většinou k tomu používáme nějaký kátkovlnný lase (KF, AF, ). Tantalový atom však zůstane nějakou dobu v excitovaném stavu 6p P 3/, což je vyšší hladina spinobitálně ozštěpeného základního temu. Jednofotonový přechod do základního stavu 6p P / není dovolen kvůli výběovým pavidlům. Necháme-li na takto připavené postředí dopadat čepací svazek, jehož fekvence je blízká jednofotonové ezonanci 6p P 3/ 7s S /, může dojít k dvoufotonovému přechodu do základního stavu 6p P / přes hladinu 7s S / a navíc k esonančnímu zesílení. Fekvence původní vlny se tedy antistokesovsky posune. V následující tabulce jsou někteé příklady (viz. [], st. 9): λ Zářící atom, ASRL nm PUMP původní molekula: Přechod: Fotolýza: Tl (TlCl) p P 3/ 7s S / 6p P / KF (48nm) p P 3/ 7s S / 6p P / AF (93nm) p P 3/ 6d D 3/ 6p P / AF (93nm) I (NaI) p P 3/ 6s P 3/ 5p P / KF (48nm) B (NaB) p P 3/ fi 5s P 3/ fi 5p P / KF (48nm) Tab. Příklady antistokesovských amanovských laseů SRS 5

116 6. FEL Lase na volných elektonech 6. Úvod Při zkoumání vlastností mateiálů při inteakci se zářením, potřebujeme stále katší vlnové délky a vyšší výkony. Přímé laseové a nelineání koheentní zdoje kátkovlnného záření mají svá omezení a po velice kátké vlnové délky jsou málo účinné. Nabízí se využít záření elativistického elektonu při změně jeho hybnosti. To je základ laseu na volných elektonech. Enegie elektonů či pudkost změny jejich hybnosti je učující po vlnovou délku vznikajícího záření. FEL poskytuje šiokou oblast laditelnosti v XUV a blízké RTG oblasti. Navíc je schopen geneovat pulsy obovských špičkových výkonů. K jeho funkci potřebujeme nejpve vytvořit oblak elektonů v injektou. Tyto elektony dále uychlíme v lineáním uychlovači. Následně upavíme někteé vlastnosti oblaku v kolimátou a jiných zařízeních. Vlastní poces geneování kátkovlného záření se děje v tzv. undulátou. Někdy se používá i tzv. wiggleu. Konstukční detaily pobeeme n následujících kapitolách. Nyní se zaměříme na unduláto a jeho záření. 6

117 6. Fyzikální podstata FEL V této kapitole se seznámíme se základním fyzikálním pincipem undulátou, vlastnostmi geneovaného svazku a ežimy, ve kteých FEL může pacovat (viz. [7]). 6.. Vlnová délka geneovaného záření Unduláto je tvořen séií silných pemanentních magnetů oientovaných opačnými póly poti sobě (viz. ob. 4). V takovém poli je pohybující se elekton vychylován ze své původní tajektoie a v důsledku změny hybnosti září Magnetické pole v undulátou Ob. 4 Pincip undulátou Z obecné řešení Maxwellových ovnic v pázdném undulátou dostaneme tva pole v něm. Platí, že B = a B =. Z toho dostaneme, že B =. Můžeme předpokládat, že je pole magnetů peiodické ve směu osy z s peiodou λ U. Zaveďme tedy vlnový vekto k = π λ. Pole undulátou tedy je: U U B = (6.a) x By = B cosh kuy sin kuz (6.b) Bz = B sinh ku y cos kuz (6.c) Pokud budeme uvažovat válcový unduláto, pak z Maxwellových ovnic dostaneme výaz po pole v něm: B z B k z k z = ( cos ( U ), sin ( U ), ) 6... Záření elektonu v D undulátoovém poli (6.) Uvažujme nyní jen pole na ose, kteé je po y= ovno B( z) = B (, sin ( ku z), ). V tomto poli na elekton o ychlosti v působí Loentzova síla F = ev B = m γ v &, kde po elativistický fakto platí γ ( v c ) = a m e je klidová hmotnost elektonu. Vyřešíme-li tuto pohybovou ovnici, dostaneme x souřadnici elektonu x z = Kc k z k v, kde sin U Uγ z e 7

118 undulátoový paamet K = eb mck e U. Vychýlení elektonu od jeho původní osy jsou řádově mikomety v závislosti na jeho ychlosti. Foton kteý vznikne v bodě A putuje po ose do bodu B ychlostí světla, zatímco elekton z tohoto místa letí po sinusové tajektoii Ob. 43 Kmity elektonu ychlostí v. Aby foton, kteý vznikne v B byl ve fázi s tím, co vznikl v A, musí platit λ c = AB» v AB c. To znamená, že se elekton může za fotonem z místa A zpozdit o jednu půlpeiodu. S předpokladem malých výchylek můžeme integací přibližně spočítat délku AB». Uvažujeme-li hodně elativistický elekton, kdy γ?, pak vlnová délka geneovaného světla vychází: + K λ = λu, K = eb mck e U (6.3) 4γ Dostali jsme základní vlnovou délku geneovaného záření po jednoozměný případ. Pokud bychom vyřešili dvouozměnou situaci, objevili bychom i vyšší liché hamonické od základní fekvence. Intenzity těchto modů jsou však řádově menší. Po další potřebu budeme ještě potřebovat znát podélnou ychlost elektonů v z = x& z = ckcos k z γ. Zavádí se v undulátou. Rychlost ve směu x je dána vztahem ekvivalent ychlosti β = vc a platí γ βx βy βz dostaneme po úpavách, že β K K ( k z) člen můžeme vystředovat na nulu a dostaneme: x = + +. Potože β = v c = a γ?, ( U ) z = + + cos 4γ. Rychle oscilující kosinový y U y β z ( K ) = + 4γ (6.4) 6.. Intenzita geneovaného záření Spočítat intenzitu vznikajícího záření je i v jednoozměném případě celkem obtížné. Pokud bychom chtěli popsat poblém v 3D případě, museli bychom přistoupit k počítačovému modelování Samozesílení geneovaného záření Z lineáního uychlovače vstoupí do undulátou oblak elektonů tzv. bunch, kteé v silném magnetickém poli září na vlnové délce λ. Bohužel každý elekton září samostatně, v pvním přiblížení neovlivněn ostatními elektony. Říkáme, že září nekoheentně a intenzita geneovaného pole je úměná jejich počtu (N). Důvodem nekoheence je délka elektonového oblaku, kteá je mnohem větší, než vlnová délka vznikajícího záření. Vznikající pole má však schopnost měnit nábojovou hustotu v elektonovém oblaku. Je-li geneované pole dostatečně silné, mohou se elektony ozmístit do mnohem meších obláčků tzv. mico-bunches (viz. ob. 44). Takto přeskupený bunch je schopen zářit na mnohem vyšších intenzitách díky ostoucí koheenci. V ideálním případě, kde je koelační koeficient oven jedné, by intenzita geneovaného světla byla úměná kvadátu počtu elektonů (N ). Vznikající pole vlastně zesiluje samo sebe tím, že přeskupuje postoové 8

119 ozložení náboje. V poovnání s tadičními lasey můžeme říci, že vlastně dochází ke stimulované emisi, potože fotony vznikají koheentně. To je podstata tzv. SASE-FEL (Selfamplified spontaneous emission FEL). Rozdíl mezi spontánně zářícím homogenním oblakem a koheentně zářícím přeskupeným bunchem je v zisku, kteý u SASE-FEL satuuje po jednom půchodu undulátoem FEL s nízkým ziskem Ob. 44 Rozpad oblaku (mico-bunching) Přenos enegie mezi vnějším polem a oblakem elektonů Pvním kokem k pochopení přeskupení elektonů (mico-bunching) je přenos enegie mezi vnějším polem a elektonovým oblakem. Předpokládejme, že vstupující pole má tva ovinné vlny s vlnovým vektoem k F, kteá je polaizovaná ve směu oscilací elektonů E zt, = E e exp i ωt k z + cc... Síla působící na elekton kát jeho ychlost udává { ( ) } x x F výkon, kteý pole elektonu předává. Tedy (6.5): de = ee ( zt, ) vx( z) = eck{ E xex exp ( i( ωt kfz) ) + cc..cos } ( kuz) γ = dt eck Ex = { cos( ωt ( kf + ku ) z ψ) + cos( ωt ( kf ku ) z ψ) } γ eck Ex dγ cos( ( kf + ku ) z ωt + ψ ) = mc e γ dt Duhý kosinus osciluje s postoovou souřadnicí ychleji než ten pvní, a poto ho vystředujme na nulu. Zavádí se tzv. pondeomotivní fáze, po kteou platí: ( zt, ) ( kf ku ) z t ψ = + ω + ψ (6.6) Potože páci koná pole, tak musíme znaménko výkonu vztáhnout k němu. Pokud bude výkon de< t záponý, tak se enegie přelévá z elektonového oblaku do pole. Po cos ψ < π + mπ < ψ < 3π + mπ po m, pobíhá de> je to opačně. Potože t přelévání enegie z oblaku do pole s peiodou π. Pokud kf? ku, tak vzdálenost míst, kde je přenášený výkon záponý, je ovna pávě vlnové délce pole λ. Učiníme-li předpoklad, že je fáze v undulátou ( zt) ( zt, ) k ψ, = konst., bude platit, že dtψ =. Kombinací vztahů (6.6) a (6.4) s podmínkou, že F? ku, dostaneme vztah po takovou enegii elektonů, aby bylo geneované pole a vstupující pole v ezonanci: (( K ) k 4 k ) γ = + (6.7) R F U 9

120 Pokud geneované pole a vstupující pole budou v ezonanci, tak pondeomotivní fáze bude konstantní. Rozdělení elektonů pak bude homogenní, a poto polovina z nich bude enegii vnějšímu poli dodávat a ta duhá ji bude zase odebíat. Ve výsledku k žádnému zesílení vnějšího pole nedojde. Jiná situace nastane i při malém ozladění. FEL lze tedy použít jako zesilovače vnějšího pole. Kyvadlové ovnice Zaveďme novou poměnnou, kteá bude popisuvat ozladění enegií elektonů od ezonance: η = γ γ γ (6.8) Úpavami dojdeme k soustavě difeenciálních tzv. kyvadlových ovnic, kteé popisují vývoj pondeomotivní fáze a enegetického ozladění v závislosti na souřadnici z v undulátou: dη ( z) dz R R dψ z k = U η ( z) dz βz (6.9a) ekˆ Ex = cos ( ψ( z) ) mc βγ (6.9b) e z R ˆ K K K = K J J 4+ K 4+ K (6.9c) Kde ˆK je undulátoový paamet opavený na oscilace podélné ychlosti původně vystředovali na nulu. J a J jsou Besselovy funkce. β z, kteé jsme Řešení soustavy (6.9) je složité a vede k eliptickým funkcím. Pokud bude počáteční hodnota ozladění η ( z) >, tak dojde k přelévání enegie z oblaku do vstupujícího pole. V opačném případě bude pole pohlcováno elektony FEL s vysokým ziskem Vlnová ovnice se zdojovým členem Jedním způsobem, kteým se dostaneme k intenzitě vznikajícího undulátoového záření, je vyřešit vlnovou ovnici po pole se zdojovým členem, při kteé nám vznikající pole bude zpětně ovlivňovat hustotu náboje a poudu. Tedy po jednoozměný případ: j( zt, ) E ( zt, ) = µ + ρ( zt, ) (6.) z c t t ε Kde j ( zt, ) je poudová hustota a ρ ( zt, ) je nábojová hustota oblaku. Rozložme pole na tansvezální (kolmou) a longitudální (podélnou) složku E zt, = e E zt, + e E zt,, ve směech os x a z. Kolmá složka popisuje vznikající pole, x x z z

121 zatímco podélná komponenta zahnuje coulombovskou epulsivní inteakci. Nyní se můžeme na jednotlivé složky zaměřit jednotlivě. Stejně tak ozložme poudovou hustotu j( zt, ) = e j ( zt, ) + e j ( zt, ) nábojové hustoty ρ( zt, ) = e ρ( zt, ). z z x x z z a gadient Postoový náboj a poudová hustota V předchozí kapitole jsme počítali, jak si pole mění enegii s elektonovým bunchem a naopak. Dospěli jsme k pondeomotivní fázi ψ ( zt, ) = ( k + ku ) z ωt + ψ, kteá moduluje předávaný výkon. Můžeme předpokládat, že se nábojová hustota ρ ( zt, ) bude chovat podobně. Potože poudová hustota jx ( zt, ) = vx( z) ρ( zt, ) a jz ( zt, ) = vz ( z) ρ( zt, ), bude platit: ρ( zt, ) ρ( z) ρ( z) exp iψ ( zt, ) (, ) (, ) (, ) ˆ cos j ( zt, ) j ( z) j ( z) exp iψ ( zt, ) = + (6.a) j zt j zt v z c = j zt K k z γ (6.b) x z x z U z = + (6.c) Kde ρ, j ( z ) jsou ovnovážné nábojové a poudové hustoty a ρ, j z amplitudy jejich oscilací. Příčné a podélné pole z z jsou Řekli jsme, že příčná složka pole E ( zt, ) epezentuje vznikající vlnu a ta podélná komponenta zodpovídá za epulsivní coulombickou inteakci, poto nasaďme řešení ve tvau: ( zt) = Ex ( zt) i( ωt kz) ( zt, ) = E ( zt, ) exp iψ ( zt, ) E x,, exp (6.a) z z E (6.b) Pole (6.a) dosaďme do vlnové ovnice (6.) a duhou vlnu (6.b) do duhé Maxwellovy ovnice (.b) - B = j + D. Tedy: t z x zt, c t x ( zt, ) = µ t jx( zt, ) εµ µ E E (6.3a) ( x y t, y x t, ) t z ( zt, ) = jz ( zt, ) B B E (6.3b) Spočteme-li jednotlivé deivace dostaneme celkem složitý výaz, na kteý použijeme tzv. SVEA Slowly Vaying Envelope Appoximation, se kteou už jsme se setkali. Jde o zanedbání spojené s pomalou změnou obálkové funkce. Po časovou a po postoovou E zt, k E zt, E zt, = ω E zt,. Dále použijeme vztah deivaci platí = a z z t k = ω c a výaz po magnetické pole kolem elektonového svazku dle Ampéova zákona B t, = µ j z. Pokud budeme předpokládat, že se pole s časem nemění (steady ( ) z state appoximation), zůstanou nám ve výazech pouze postoové deivace polí. Tato apoximace znamená, že fotonový a elektonový oblak putují neustále spolu. t

122 Nakonec tedy dostaneme amplitudy polí: Vlasovova ovnice z x µ ˆ 4γ ˆ E z = ckj z (6.4a) E z = ij z ωε (6.4b) z 4 γ z x µ ωε z E z ck = i E z (6.4c) Nyní povedeme tansfomaci souřadnic (z,e,t) (z,η,ψ). Nábojovou hustotu můžeme vyjádřit neovnovážnou hustotou pavděpodobnosti, kteá bude modulována stejně: ρ( z, ηψ, ) ef ( z, ηψ, ) (, ηψ, ) ( η) (, η) exp( ψ) ( η) ε exp( ψ) = (6.5a) f z = f + f z i = f + z i (6.5b) Distibuční funkce se podél své tajektoie nemění, z čehož plyne zobecněná ovnice k kontinuity tzv. Vlasovova ovnice: df f f η f ψ = + + = dz z η z ψ z (6.6) Do této ovnice dosadíme ze soustavy kyvadlových ovnic (6.9), ve kteých se však musí objevit vliv změny enegie v důsledku coulombické epulsivní síly. V ovnici (6.9b) tedy přibude člen odpovídající za změnu enegie a kosinus napíšeme pomocí komplexní exponenciály. Pokud β z, dostaneme: dψ = k U η (6.7a) dz dη eke ˆ x( z) eez ( z) = exp ( iψ ) dz mc e γr mc e γ (6.7b) R Po dosazení všech deivací do (6.6) a za předpokladu, že ε ( z) = a γr dostaneme s použitím vztahu f ( z, η) f ( η) ε( z) = difeenciální ovnici po hustotu náboje: γ, f z e Kˆ df + ik η( z) f ( z) = E ( z) E ( z) U x z z mc e γ γ dη (6.8a) Její řešení je dáno konvolucí řešení ovnice bez pavé stany s funkcí na pavé staně. Tedy: z e Kˆ df f( z, η ) E x Ez exp( iku ( z )) d mc e ζ ζ = γ γ dη η ζ ζ (6.8b)

123 Poudová hustota Se znalostí hustoty pavděpodobnosti a tedy i hustoty postoového náboje nyní můžeme učit poudovou hustotu, jež je zdojem po vznik příčného pole. Toho si můžeme všimnout v ovnici (6.4a). Můžeme ji vyjádřit jako: ( ) ( ψ ) ( η) + ( η) ( ψ ) jz z, = v f f z, exp i z ρ ec dη = j z + j z exp iψ (6.9a) Geneované pole ( η) j z f = ec dη (6.9b) z f z, ( η) j = ec dη (6.9c) Dosazením hustoty pavděpodobnosti (6.8b) a poudové hustoty (6.9c) do ovnice po tansvezální pole (6.4a) s využitím vztahu (6.4c) dostaneme intego-difeenciální ovnici po vznikající pole: E x z ( z) ( ζ ) ˆ z e µ K Kˆ c E x df = E exp( ) x ζ ikuη z ζ dζdη 4m ˆ eγ + (6.) γ ωk ζ dη Vyřešit tuto ovnici obecně je těžké. Použijeme poto přiblížení, při kteém budeme předpokládat, že všechny elektony oblaku mají stejnou enegii, tzn. f ( η) = n e δ( η η), čímž se zbavíme integace přes ozfázování. Intego-difeenciální ovnici pak po úpavách můžeme převést na difeenciální ovnici třetího řádu, kde zavedeme ziskový paamet Γ a vlnočet k p: 3 Ex z Ex z E x z 3 4ik ( 4 ) 3 Uη + k E p kuη Γ i x z = z z z (6.a) µ ˆ 3 KekUne Γ= 3 4γ m (6.b) k p 3 4γ c µ ekune e = Γ ˆ ωk = γmk (6.c) Řešení ovnice (6.a) lze povést analyticky po nulové ozfázování η = a malou hustotu elektonů v oblaku pole je tedy dáno: e e n, z čehož plyne k. Řešení po amplitudu tansvezálního P ( ) E z = A exp Γ i z + A exp i+ 3 Γ z + A exp i 3 Γ z (6.) x 3 Kde neznámé amplitudy můžeme získat z okajových podmínek. Připomeňme, že pole vznikající v undulátou jsme původně zavedli jako E x( zt, ) = Ex ( zt, ) exp( i( ωt kz) ). 3

124 Můžeme si všimnout, že po velká z oste pole exponenciálně se vzdáleností, kteou uběhlo v undulátou. Stejně tak tomu je i s jeho intenzitou. Platí po ni: Shnutí I I exp 3Γ z (6.3) Původně jsme vyšli z D vlnové ovnice, na jejíž pavé staně byly zdojové členy v podobě poudové a nábojové hustoty, jež jsou stejně jako výkon přenášený z oblaku do pole modulovány dle pondeomotivní fáze. Řešení jsme předpokládali ve tvau ovinné vlny, jejíž obálka se mění pomalu. Z Vlasovovy ovnice jsme se dostali k tomu, že vznikající pole ovlivňuje elektonový oblak a dochází k edistibuci náboje mico-bunching. Integodifeenciální ovnice (6.) a následně i difeenciální ovnice (6.a) popisují záření přeskupeného elektonového oblaku. Pokud bychom chtěli poblém undulátoového záření vyřešit v 3D případě, museli bychom použít počítačové simulace. 4

125 6.3 Technická ealizace FEL V této kapitole se seznámíme s pincipem laseu na volných elektonech, kteý se stává z mnoha technicky velice vyspělých komponent, jenž zasahují téměř do všech oblastí modení vědy a techniky. Konstukcí FEL je několik, svojí podstatou se ale příliš neliší Základní komponenty FEL Na následujícím obázku je pincipiální schéma laseu na volných elektonech skládající se z pěti nejdůležitějších komponent (ob. získán z [8]). Přesněji řečeno jde o schéma pojektu FLASH ealizovaného v DESY, Hambug Injekto Ob. 45 Schéma FEL Na úplném začátku celé této složité soustavy stojí zdoj elektonů tzv. laseem poháněný injekto (viz. ob získán z [8], []). Při ozáření fotokatody (např. Cs Te) kátkovlnným vysokoepetičním pulsním laseem dojde k emisi elektonového oblaku. Ten je následně silným elektickým polem už v pvopočátku uychlen na několik MeV. Záoveň je svazek elektonů fokusován v magnetickém poli silného solenoidu. Poblémem, kteý se musí v této oblasti řešit, je silný vliv postoového náboje v oblaku elektonů. Ob. 46 Příklad laseem poháněného injektou 5

126 6.3.. Lineání uychlovač Enegii potřebnou po emisi kátkovlnného záření získají elektony v uychlovači, nebo séii uychlovačů, kteé se střídají s tzv. bunch kompesoy (viz. dále). Elektony jsou uychlovány gadientem elektického potenciálu řádově MV/m. Na konci séie uychlovacích modulů mívá elekton elativistickou enegii řádu MeV. Podle potřeby se může přidat další uychlovací modul a zvyšovat tak dosažitelnou enegii Bunch kompeso Toto je zařízení se používá k fomování elektonového oblaku v podélném a příčném směu pomocí silných magnetických polí. Původní oblak elektonů bývá často příliš ozměný a je třeba jej podélně stlačit, k čemuž používáme toto zařízení. V konečné důsledku to totiž má vliv na délku a špičkový výkon vznikajících laseových pulsů Kolimáto Před vstupem do undulátou pochází bunch tzv. kolimátoem (viz. ob. 47). Ten z oblaku odebíá elektony se špatnou enegií či hybností, aby se zamezilo poškozování magnetů undulátou zbloudilými elativistickými elektony. V podstatě jde o soustavu apetu a magnetů, přičemž odebíané elektony se absobují odolným vodivým mateiálem (např. titan). Při tom samozřejmě vzniká teplo, poto je kolimáto chlazen Unduláto Ob. 47 Schematické znázonění kolimátou Na konci injekční sekce stojí unduláto, o kteém už něco víme. Štěbina mezi pemanentními magnety bývá velká řádově několik až několik desítek mm. Pole mezi nimi pak dosahuje intenzit okolo T. Délka tohoto zařízení bývá několik metů. Mateiálů požívaných po tvalé magnety je mnoho. Na FLASH byl např. použit NdFeB. Ob. 48 Kombinace dvou undulátoů 6

127 Undulátoy lze použít i dva (viz. ob získán z [8]). Toto uspořádání nám umožňuje geneovat kátkovlnné, intenzivní a spektálně úzké záření. V pvním undulátou, kteý pacuje v ežimu SASE-FEL, získáme koheentní undulátoové záření. Z toho pak na mřížce vybeeme požadovanou vlnovou délku, přičemž elektonový svazek na chvíli odvedeme stanou. V duhém undulátou, kteý pacuje v ežimu FEL zesilovače, zesílíme přivedené upavené vnější pole Ostatní zařízení Podél celého zařízení, kteé může být dlouhé stovky metů, se nachází technické zázemí tvořené mnoha dalšími komponentami. Většinou jde o diagnostické techniky, kteé slouží po kontolu vlastností elektonových bunchů. Uvedeme si ještě někteá zařízení za undulátoem. Výstupní monochomáto Za undulátoem bývá umístěn tzv. monochomáto, kteým můžeme volit požadovanou vlnovou délku ze spekta pulsu. Je tvořen kombinací mřížek a zcadel v gazing incidence uspořádání. Atenuační filt Jde o zařízení, kteým můžeme ladit špičkový výkon pulsů. Bývá ealizován kyvetou s absobujícím plynem. V závislosti na tlaku plynu můžeme ovlivňovat ztáty undulátoového záření. Atenuáto bývá konstuován v bezokénkové geometii. V oblasti vlnových délek od 9nm do nm se využívá dusíkové náplně. Od 6nm do 9nm je plynová náplň tvořena vzácnými plyny (Xe, K). Tlak v atenuačním filtu se pohybuje v řádu Pa [9]. Vakuová apaatua a ultavysoké vakuum (UHV) Kvůli obovské absopci vznikajícího světla ve vzduchu, se musí vše, od vzniku elektonového oblaku až po případný expeiment, odehávat ve vakuu. Těsnost zařízení tedy bývá velkou komplikací. Podél celé soustavy pacuje mnoho ůzných typů čepadel. Od standadních až k iontově sopčním čí tubo-molekuláním pumpám. GMD Ionizační plynový detekto enegie pulsů (Gas Monito Detecto) Ob. 49 GMD detekto Po paktické aplikace je třeba znát enegii vzniklých pulsů. Pincip GMD detektou je založen na fotoionizaci vhodného plynu kátkovlnným zářením (viz. ob. 49, [9]). Vzniklé ionty a elektony je třeba sepaovat přivedeným napětím. Detekto pacuje v bezokénkové geometii s využitím ozdílového čepání. To dovoluje minimální ztáty, a přitom je tlak v něm o čtyři řády větší než v okolí. Podobná konstukce GMD dokonce umožňuje sledovat vetikální a hoizontální polohu svazku. 7

128 Ostatní detektoy Po účely expeimentů je třeba znát i další paamety svazku např. spektum, spektální šířku či délku pulsů. K tomu nejčastěji slouží mřížkové spektomety. Po potřeby FLASH byl speciálně vyvinut VLS mřížkový spektomet [9] (vaiable line spacing). Dále je třeba kontolovat např. vakuum v apaatuře, teplotu atd. O to se staá mnoho detekčních zařízení. V současné době se začíná hojně používat tzv. mikokanálkových detektoů (MCP - mico-channel plate), kteé jsou schopny velice dobře detekovat ionizující záření v šioké spektální oblasti. Zcadla a clony I volba zcadel je v této oblasti obtížná. V duhé kapitole jsme se dozvěděli, že eflektivita mateiálů v této spektální oblasti klesá. Poto se využívá gazing incidence geometií. Hodně používaným mateiálem je kupodivu uhlík (C), kteý má za gazing incidence podmínek celkem dobou odazivost. Dále se používají mateiály jako Au, Ni, atp. Clony se využívají převážně k ovlivnění postoových vlastností svazku, jako je např. jeho šířka. Záoveň s tím však dojde k úbytku enegie v pulsu, a poto se GMD umisťuje až za ně. 8

129 Expeimentální část Studium odezvy mateiálů na ozáření fokusovaným kátkovlnným koheentním zářením na zařízení FLASH v DESY 9

130 3

131 7. Zařízení FLASH (dříve VUV FEL) V říjnu a listopadu 5 poběhla v DESY (Deutsches-Elektonen Synchoton) Hambug kampaň, při kteé bylo uskutečněno mnoho expeimentů s kátkovlnným XUV zářením geneovaným vysokovýkonovým laseem na volných elektonech FEL. Na obázku 5 [8] je zachycena expeimentální hala inteakce FEL svazku. Za ní můžeme vidět násep s tunelem svazkové diagnostiky, undulátoů a větší částí lineáního uychlovače. Na něj navazuje hala, kde je umístěn injekto a ostatní pomocná zařízení. Této kampaně se účastnilo několik skupin výzkumníků z Evopy i Ameiky. Každému byl přidělen expeimentální čas ( beam time ) na jednom z výstupů FEL monochomátou ( beam line ). Univezalita tohoto zdoje záření tkví v tom, že není nutná složitá přestavba laseu, aby se Ob. 5 Hala FEL v DESY Hambug vyhovělo jiné expeimentální skupině. Pokud to dovolují technické možnosti, tak každý expeiment může dostat takový svazek, jaký potřebuje. Ob. 5 Distibuce svazků v inteakční hale 3

132 Na ob. 5 je popsáno, kteak je výstup FEL veden k jednotlivým expeimentům. Monochomátoem se ze spekta undulátoového záření vybíá vlnová délka, kteou expeimentáto vyžaduje. Na cestě evakuovaným potubím je možné svazek ještě upavit po potřeby učitého expeimentu (např. vkládat ůzné clonky atp.). Ob. 5 Inteakční komoa České expeimenty pováděné Fyzikálním ústavem AVČR ve spolupáci s Katedou fyzikální elektoniky FJFI ČVUT pobíhaly na beam line současně s expeimenty ostatních zemí (Polsko, Německo, Švédsko, USA, Fancie). Každá expeimentální linka je schopna poskytnout jiné paamety svazku. Šířka pásu fokusovaného svazku v BL byla mm a vlnová délka záření 3nm. Na této beam line lze také používat svazky nefokusované. Naše skupina pacovala v UHV inteakční komoře FELIS (Fee-Electon Lase Inteaction with Solids, Phase ) vyobené ve Vašavě, Jeně a Paze (viz. ob. 5). Povedeny v ní byly následující expeimenty: - ozařování vzoků (PMMA, křemík, diamant (CVD), amofní uhlík, ) a studium jejich poškození výkonným kátkovlnným pulsním laseem - měření emisních spekte plazmatu vytvářeného svazkem FEL na povchu vzoků - studium tansmise a eflexe FEL záření ůznými mateiály v závislosti na intenzitě - časově ozlišená mikoskopie ablačních pocesů - time of flight (TOF) spektoskopie při inteakci emitovaných nabitých částic Později byla za českou komoou nainstalována další, ve kteé poběhly pokusy dosáhnout dokonce mm fokusu. Pobíhaly zde expeimenty, jejichž cílem bylo poměřit tva čela pulsu Shack-Hatmannovým detektoem vlnoplochy. Velký dík patří Polským kolegům J. Kzywinskému, R. Sobieajskému, R. Nietubycovi a M. Jukovi z Institute of Physics Polish Academy of Sciences, kteří se staali o technickou stánku povozu FELIS, dále pak N. Stojanovicovi, K. Sokolowski-Tintenovi z Univezity Duisbug-Essen a nakonec S. Tolekisovi a T. Tschentscheovi z DESY Hambug. Česká skupina se účastnila této kampaně ve složení: Libo Juha, Jaoslav Kuba, Jan Weichet, Jaoslav Cihelka a Jaomí Chalupský. Hlavním cílem naší páce bylo ozářit připavené vzoky FEL zářením. Někteé z mateiálů jsme zkoumali přímo v DESY Nomaského mikoskopem. Bylo zajímavé poovnat naše expeimentální výsledky s výsledky K. Sokolowski-Tintena, kteý paalelně s námi pováděl časově ozlišenou mikoskopii vznikajících káteů. Nastřílené vzoky se po skončení kampaně znovu zkoumaly na mikoskopem atománích sil (AFM - Atomic Foce Micoscope) v Nanoskopické laboatoři FZÚ AV (Věa Hájková, Segej Koptjajev a Andij Velyhan). Výsledky se poovnaly s fotogafiemi pořízenými na Nomaského mikoskopu. Hlavním cílem tohoto vyhodnocování je popsat ablační chování mateiálů při ozařování výkonným gaussovským femtosekundovým 3

133 pulsem kátkovlnného FEL laseu. Při ostřelování vzoků jsme studovali také emisní spekta. Zajímavé výsledky jsme získali na křemíku, křemenu a Ce:YAG. Mým cílem bylo seznámit se s funkcí laseu na volných elektonech a s účinky jeho fokusovaného svazku na ůzné mateiály (dielektika, polovodiče; tenké vstvy, masivní vzoky; atp.). Záoveň jsem si mohl vyzkoušet vyhodnocování ozářených vzoků pomocí Nomaského mikoskopu a zpacování naměřených spekte. Seznámil jsem se s metodami UHV technologie, čímž jsem pochopil úskalí spojená s expeimenty pováděnými ve velmi vysokém vakuu a extémně čistých postředích. Měl jsem možnost hovořit se zkušenými vědci, expeimentátoy a techniky. S technikem Makem Jukem z Institute of Physics Polish Academy of Sciences jsem podiskutoval poblém týkající se tempeovatelného džáku vzoků. Vysvětlil mi jeho funkci a konstukci a zapůjčil mi jej, abych ho mohl blíže postudovat. V následující části páce shneme použitou metodiku a přístoje. Dále budou pesentovány a diskutovány výsledky expeimentů. Tempeovatelný džák nebylo třeba ve výše popsaných expeimentech využívat vzhledem k vysokým fluencím dosažitelným FLASH svazkem. Jeho funkce však bude vysvětlena v příloze, neboť byl uveden v zadání diplomové páce a bude implementován do expeimentu s vysokými hamonickými v CEA, Saclay. 33

134 8. Použité přístoje a metodika 8. Zdoj kátkovlnného záření 8... Zařízení FLASH Zdojem záření po naše expeimenty byl už výše zmíněný lase na volných elektonech v DESY Hambug. Zařízení se nyní nazývá FLASH (Fee-Electon LASe in Hambug; dříve VUV FEL a ještě dříve TTF FEL TESLA Test Facility Fee-Electon Lase, Phase ). Teoetický a pincipiální popis tohoto zařízení byl podán v šesté kapitole. Opoti původnímu TTF-FEL Phase se TTF-FEL Phase liší především ve výkonu lineáního uychlovače a paametech bunchů. Na tomto uychlovači jsme schopni získat elektony s enegií až GeV a měl by emitovat záření až na 6,4nm při špičkových výkonech řádově GW [8]. FLASH je schopen pacovat ve třech ežimech: kátkovlnný mód na 6,4nm 3nm s délkou pulsu fs a se špičkovým výkonem,8gw, dlouhovlnný mód 3nm nm s délkou pulsu ps a se špičkovým výkonem 345MW a femtosekundový mód na 3nm nm s délkou pulsu ~55fs a se špičkovým výkonem 8MW, při kteém jsme pováděli expeimenty. Předpokládané paamety undulátou, elektonového a fotonového svazku jsou v následující tabulce 3 [8]. Elektonový bunch: Enegie elektonů: 46,5MeV Špičkový poud: 3A Střední délka bunche: 6µm Sepaace bunchů: ns Max. počet bunchů v jednom výstřelu: 7 Max. opakovací fekvence výstřelů: Hz Unduláto: Undulátoová peioda: 7,3mm Vzdálenost pólů magnetů: mm Špičkové magnetické pole:,495t Geneované záření: Střední vln. délka laseu před monochomátoem: 3nm Špičkový výkon pulsu: 8MW Půměný výkon: 3,W Max enegie pulsů: µj Délka pulsu (FWHM): -6fs Šířka svazku na výstupu z undulátou: 3µm Úhlová divegence na výstupu z undulátou: 4µad Tab. 3 Předpokládané paamety FEL 34

135 Paamety záření se nakonec nepatně lišily od těch předpokládaných. Elektony byly uychlovány na 45MeV, mohli jsme tedy pacovat s vlnovou délkou 3nm. Půměná enegie v pulsu bez atenuace se pohybovala okolo 5mJ. Délky pulsů fluktuovala v ozmezí fs 6fs. Opakovací fekvence výstřelů byla nastavena na Hz. Svazek byl před vstupem do inteakční komoy fokusován eliptickým zcadlem a ve fokusu měl půmě pásu okolo mm v závislosti na tom, zda byla použita 3mm kuhová clona. Uspořádání naší komoy dovolovalo pacovat i mimo fokus, potože s ní bylo možné pohybovat ve směu svazku o 7cm na obě stany. 8.. Diagnostika FEL pulsů Aby bylo možné zpacovat naměřená data a nastřílené vzoky, je třeba znát základní paamety pulsů, kteé se mohou měnit výstřel od výstřelu. Potože takto naměřených hodnot může být mnoho, má uživatel možnost ukládat si data z detektoů do databáze. K tomu mu slouží popacované uživatelské ozhaní. Nejdůležitějším údajem po naše expeimenty byla bezpochyby enegie v pulsech, kteou měří ionizační plynový detekto (GMD, viz. šestá kapitola ob. 49). Výhoda GMD je v jeho absolutní kalibovatelnosti a dobém lineáním chování. Po detekto používaný v DESY platilo, že mv výstupního signálu odpovídá,mj enegie pulsu. Po někteé aplikace je třeba znát i spekta záření, kteá se na měřila speciálním VLS mřížkovým spektometem. Ze spekte je např. možné zjistit nejen spektální šířku pulsů, ale i dobu jejich tvání Nastavení fluence FEL záření na povchu vzoku Po naše pokusy jsme mnohokát potřebovali měnit enegii v pulsech esp. celkovou fluenci dopadající na vzoek. Špičková fluence je enegie pulsu na jednotku plochy daná vztahem: F = EGMD SBEAM (8.) Kde E GMD je enegie zjištěná z ionizačního plynového detektou a S BEAM plocha stopy svazku na vzoku. Jednou z metod, jak fluenci měnit, bylo použítím atenuačního filtu (viz. šestá kapitola) při fixní poloze komoy, nejčastěji v místě ohniska svazku. Filt dovoloval měnit enegii v ozmezí od ~,% do % maximální enegie v pulsu, čímž jsme samozřejmě mohli dosáhnout šiokého ozsahu fluencí. Nevýhodou této metody je elativně velká časová náočnost, potože atenuační filt mění svou absobanci změnou tlaku, což vyžaduje čas. Duhou metodou bylo posunout celou inteakční komou mimo fokus při dané enegii pulsů. Tím se zvětší stopa na vzoku a fluence klesne. Nevýhodou je však omezený ozsah fluencí. Komou bylo totiž možné ozfokusovat jen o 7cm. Třetí metoda byla paadoxně založena na celkem náhodném chování pulsů. Za dobých podmínek kolísala enegie v nich řádově % od nastavené hodnoty. Někdy se 35

136 signál úplně ztatil, jindy byl nadmíu intenzivní. Hlavním důvodem byl uychlovač Peta křižující se s uychlovačem FEL laseu. Fluktuací enegie jsme často využívali, abychom pokyli co největší škálu fluencí. Díky těmto výkyvům nebylo nutné měnit atenuaci po dobných kocích, což velice uychlilo půběh expeimentu a lze říci, že v konečném důsledku to vedlo k celkem efektivnímu využití expeimentálního času. 8. Inteakční komoa a její příslušenství 8.. Popis inteakční komoy Inteakční UHV komoa FELIS (viz. ob. 5) byla vyobena tak, aby na ní mohlo pobíhat několik expeimentů současně. Na následujících obázcích jsou její bokoysy a spodní pohled s popisy jednotlivých výstupů tak, jak bylo plánováno v pojektu: Ob. 53a Bokoys inteakční komoy (pohled ve směu přicházejícího FEL svazku) Ob. 53b Bokoys inteakční komoy (pohled kolmo na smě přicházejícího FEL svazku) 36

137 Ob. 53c Spodní pohled na inteakční komou V půběhu expeimentu bylo samozřejmě někdy nutné přemístit ůzné komponenty připevněné ke komoře nebo je odebat, nebyly-li už potřeba. V obázcích chybí vakuová měka IONIVAC, kteou jsme přesunout museli, potože měla neblahý vliv na spektoskopická měření. Komoa byla vyobena ve tvau koule s vnitřním půměem 3cm. Tělo komoy je z neezové oceli typu AISI 36L a příuby jsou z neezové oceli typu AISI 36LN. Polohy potů vztažené k souřadnému sytému v ob. 53b jsou v následující tabulce: Pot číslo: Délka potu : Úhel β : Úhel γ : Zařízení (dle pojektu): mm 9º 9º Vstup svazku mm 9º 7º Výstup svazku 3 mm 9º 5º Časově ozlišený mikoskop 4 mm 9º 35º Časově ozlišený mikoskop 5 mm º --- Manipuláto 6 8 mm 8º --- VUV detekto 7 6 mm 9º 45º Kvadupólový detekto 8 mm 9º 5º Pázdný 9 mm 5º 9º Půhled mm 55º 7º Tubo-molekulání pumpa mm 55º 7º TOF detekto mm 5º 7º TSP pumpa 3 mm 9º º Iontová pump 4 mm 9º 9º Pot po výměnu vzoků 5 mm 5º 5º Půhled 6 8 mm º Kyt 7 8 mm --- 5º Kyt 8 mm 9º 7º UV/VIS spektomet 9 mm º 45º Pázdný mm 45º º Pázdný Tab. 4 Rozvžení komoy Od středu komoy k okaji potu 37

138 8.. Příslušenství inteakční komoy Nedílnou součást komoy tvořil manipuláto a džák vzoku (viz. ob. 54). Manipuláto (ABLO) tvořený soustavou kokových motoů a převodů byl připevněn k potu č. 5. Ovládání bylo ealizováno počítačovým pogamem pomocí příkazů nebo skiptů. Manipuláto umožňoval posun džáku v jeho ovině a otáčení kolem osy z. Posun ve směu osy y umožňoval stolek, na kteém byla komoa připevněna. Aby bylo možné s komoou hýbat, musela být k UHV vedení připojena přes pužné vlnovce. Ob. 54 Pohled do komoy Potože fluence FEL laseu byly dostatečně vysoké, nemuseli jsme používat vyhřívatelný džák vzoků. Ten je vhodný po mateiály s vysokým pahem ablace, pokud máme k dispozici pouze slabý zdoj, jehož fluence se nachází pod pahem tání či ablace. Popis a konstukce tempeovatelného džáku vzoků, kteý jsem podiskutoval s M. Yukem, je uveden v Appendix 6. Džák vzoků, kteý jsme v DESY používali umožňoval upevnění několika vzoků najednou. Byl navžen tak, aby na něm mohlo pobíhat měření odazivosti a popustnosti mateiálů po XUV oblast, poto byl v někteých místech povtán skz. Za ním se pak v komoře nacházel MCP detekto, se kteým se tato měření uskutečnila. Na UHV komoře bylo namontováno mnoho dalších zařízení, kteá sloužila nejen k měření, ale také k vlastnímu povozu komoy. V tab. 4 jsou tyto komponenty vyjmenovány. Komoa musela mít vlastní vakuový systém. Při výměně vzoků bylo UHV vedení FEL uzavřené elekto-ventilem a v komoře tak mohl být atmosféický tlak. Přes pot č. 4 pak bylo možné vymontovat celý džák i se vzoky. Po uzavření komoy pobíhala její evakuace v několika fázích, takže šlo o časově náočnou poceduu. Pvní čepání se povádělo mechanickými čepadly. Poté přicházely na řadu iontová a tubo-molekulání pumpa. Nakonec byl v apaatuře tlak řádově ~ -5 Pa. 8.3 Instumentace po UV-VIS emisní spektoskopii Při ostřelování vzoků výkonovým pulsním laseem může dojít ke vzniku plazmového obláčku nad zasaženým místem. Ten potom chladne, ekombinuje a září. Bylo poto zajímavé se při ozařování vzoků podívat na emitovaná spekta a uvážit, zda jde o luminiscenci nebo o záření ekombinující plazmy. Nyní vysvětlím, jak jsme při měření spekte postupovali Uspořádání optiky po detekci signálu Po spektoskopická měření jsme měli k dispozici tyto optické pomůcky: XYZ stolek s mikometickým posuvem, optikou lavici, čočku f = 35cm a křemenné optické vlákno o půměu 6mm délky m. Vlákno bylo sesazené s objektivem zaostřeným do nekonečna a signál byl veden do zcadlového objektivu spektometu. Tento objektiv bylo možné zaostřit na jádo vlákna, což umožňovalo efektivní vyvázání vedeného světla. 38

139 Ukázalo se, že signál je velice slabý. Navíc jsme měli k dispozici jen malý postoový úhel daný ozměy potu č. 8. Konfiguace a justáž optiky měla obovský vliv na měřená spekta, poto jsme nakonec použili geometii z ob. 55: Ob. 55 Optika použitá po spektoskopická měření Čočku a objektiv vlákna jsme připevnili společně na XYZ stolek s mikometickým posuvem. Potože je objektiv zaostřený do nekonečna, nezáleží na jeho poloze za čočkou, pokud na něj dopadá ovnoběžný svazek. V tomto případě objektiv navazuje světlo do vlákna nejefektivněji. Rozfokusování čočky způsobí ztátu výkonu vedeného vláknem, potože objektiv nezaostřuje přímo na jádo vlákna. Poto jsme potřebovali měnit polohu ohniska čočky s mikometovou přesností ve směu její osy a v ovině na tento smě kolmé. K pvotní justáži optiky jsem využil He-Ne lase, kteý jsem přes zcátko zaměřil na střed výstupního okénka potu č. 8. Džák vzoku jsem otočil přímo poti našemu okénku, tzn. do polohy g=7, a najel jsem na vyleštěný křemíkový vzoek, kteý mi sloužil jako zcátko v komoře. Nastavil jsem optickou lavici tak, aby se papsek odažený od vzoku překýval s papskem dopadajícím. Tím jsem našel osu potu č. 8 a podle ní nastavil polohu optické lavice. Následovalo nastavení středu čočky do osy potu č. 8. Tu jsem s XYZ stolkem umístil na optickou lavici a nastavil její polohu tak, aby He-Ne lase pocházel zhuba jejím středem. Nakláněním čočky vůči svazku jsem našel přesný střed. Svazek pocházející středem čočky při jejím naklánění nemění svůj smě, a poto se stopa He-Ne laseu na džáku nepohybuje. Poté jsem se pustil do hledání ohniskové oviny čočky, což bylo po účely expeimentu nejdůležitější. K dispozici jsem měl kameu sledující džák a na monitou jsem měl označeno, kam dopadá svazek FEL. Nejpve jsem nastavil polohu XYZ stolku tak, aby fokusovaná stopa He-Ne laseu byla co nejmenší. Přesné nastavení ohniska jsem povedl tak, že jsem posouval He-Ne laseem v hoizontálním a vetikálním směu kolmo na jaho svazek. V momentě, kdy se stopa na džáku nepohybovala, bylo ohnisko nastavené přesně. Nakonec jsem k stojánku čočky připevnil objektiv vlákna. Stojánek, čočku, objektiv a pot č.8 jsem obalil hliníkovou fólií, aby se snížil optický šum od okolí. Optické vlákno jsme poté zasadili do objektivu spektometu a povedli jeho justáž pomocí stavicích šoubů. Nejlepším způsobem je sledovat a hledat maximum intenzity měřeného signálu při změně poloh zcadel objektivu. 39

140 8.3. Spektomet ORIEL MS57 TM a iccd detekto Spektoskopická měření jsme pováděli na MS57 TM (Oiel). Jde o mřížkový spektomet v Czeny-Tuneově uspořádání, kteý umožňuje volbu ze dvou mřížek. Po větší ozlišení jsme používali mřížku s v./mm. Náhledová mřížka měla 5v./mm. Mřížky a zcadla tohoto spektometu jsou potažena vstvou Al a MgF, což zvyšuje jeho účinnost v UV oblasti. Signál je do něj přiváděn vstupní štěbinou ze zcadlového objektivu, kam je zasazeno vlákno. Šířkou štěbiny můžeme měnit intenzitu detekovaného signálu. Do výsledku si tím ovšem vnášíme chybu, kteou lze odstanit pouze dekonvolucí spekta s přístojovou funkcí. Velká vstupní apetua totiž způsobuje ozšíření spektálních ča. Spekta jsme snímali citlivou CCD kameou ista 7 (Ando), kteou jsme připojili k počítači. Čip iccd této kamey možné chladit Peltieovým článkem nebo vodou. Povozní teplota elektonicky chlazeného čipu při našich expeimentech byla C až C. Maximální ozlišení CCD je 4x56pixelů. Maximální spektální ozsah kamey udávaný výobcem je od 5nm do 9nm a časová odezva na extení tigge je 4ns. Kamea i spektomet jsou vybaveny elektonicky řízenou závěku (gate), kteá se otevře na povel tzv. tiggeu. Elektonická závěka kamey je velice ychlá a je užitečná při měření slabých spekte z pulsních zdojů. Pokud synchonizujeme polohu a délku detekčního okna s pulsem FEL, můžeme dostat velice čistý signál, potože tím potlačujeme šum. Extení tigge je elektonický TTL signál oznamující výstřel FEL. Při nastavení elektonické bány musíme vzít v úvahu předstih tohoto tiggeu 3ms, zpoždění na přívodním koaxiálním kabelu 5ns/m a odezvu iccd 4ns Kalibační lampy Aby bylo možné spektomet spávně používat, je potřeba spávně zkalibovat jeho stupnice pomocí kalibačních lamp. Stupnici vlnových délek jsme kalibovali pomocí tuťové výbojky a softwau dodávaných výobcem. Měření se povádí s opavou na pozadí v akumulačním ežimu, čímž snížíme statistickou chybu. Ve spektu výbojky je pak potřeba přiřadit spektální čáy jejich vlnovým délkám a pogam okalibuje stupnici vlnových délek. Popustnost spektometu (mřížek, okének, ) není stejná po všechny vlnové délky. Stejně tak i citlivost iccd není konstantní. Zavádí se tzv. spektální citlivost S DET (λ) přístoje udávající účinnost detekce po učité vlnové délky. Měřené spektum se pak dekonvolucí musí opavit na tuto citlivost. Ve Fouieově obazu jde o podíl: o ( λ) ( λ) ( λ) S = S S (8.) Kde S(λ) je naměřené spektum a S o (λ) je skutečné spektum vstupující do spektometu. Funkci citlivosti lze poměřit pomocí kalibačních lamp, jejichž spekta známe většinou od výobce. Ze vztahu (8.) se pak učí S DET (λ). Oblast 38- nm byla kalibována 45W kalibační křemeno-wolfamovou lampou, model (Oiel, USA), oblast -4 nm pak deuteiovou, model CJ 38 (Oiel, USA). DET 4

141 8.3.4 Metodika měření spekte Měřená spekta byla často velice slabá a nebylo je mnohdy možné odlišit od pozadí. Navíc jsme potřebovali ozlišit pomalou luminiscenci od ychlých zářivých přechodů v ekombinující plazmě. Různými postupy jsme docílili vyšších poměů signálu k šumu. Před vlastním měřením spekte bylo potřeba změřit pozadí v komoře. Tento signál se odečítá od spekta získaného ze vzoku. Při každé změně nastavení spektometu, je potřeba znovu změřit šum pozadí. Při měření se ukázalo, že nastavení délky a zpoždění detekčního okna haje velikou oli. Kátké detekční okno synchonizované s výstřelem zachycuje hlavně signál ze vzoku a potlačuje šum. Zbytečně dlouhé okno způsobí, že se změřené spektum opět zašumí. Měření spekte jsme většinou pováděli v akumulačním ežimu, potože signál byl po single-shot spekta příliš slabý. Při integaci se spekta ze všech výstřelů se sčítají, a přestože je signál slabý, začne se po více akumulacích objevovat nad šumem. Bylo překvapivé zjištění, že neplatí tend: čím více akumulací, tím lepší spekta. Po velice mnoho integačních cyklů (~5) se nám signál opět začal ztácet v šumu. Důvodem byl pohlubující se káte, kteý už nezáří tak intenzivně. Tento nedostatek se nám ale podařilo odstanit tím, že jsme vzokem během ostřelování posouvali konstantní ychlostí, a měřili jsme spekta vždy z čestvého káteu. 8.4 Následné studium poškození povchu vzoků Ozářené vzoky bylo třeba mikoskopicky vyhodnotit a změřit ozměy a plochy vzniklých káteů. Výsledky mikoskopie jsou důležité po kvantifikaci poškození mateiálů fokusovaným svazkem FEL Nomaského mikoskop BX5M Pvní náhledy na nastřílené kátey jsme získali přímo v DESY s pomocí Nomaského mikoskopu typu BX5M (Olympus). Fotogafie jsme pořizovali digitálním fotoapaátem Olympus Camedia C-56WZ od téže fimy, kteý byl připojen přímo k počítači. BX5M je vybaven ovladatelnou W halogenovou lampou, kteá umožňovala ůzné úovně osvětlení povchu vzoku. K dispozici jsme měli tři objektivy se zvětšeními,5x, x a x. Tento typ mikoskopu podpouje tzv. DIC diffeential intefeence contast, díky kteému můžeme vidět i změny indexu lomu v mateiálu. Fotogafie jsme snímali do počítače pomocí softwau dodávaného k mikoskopu. Pogam umožňuje i pokočilejší zpacování fotogafií. Po kalibaci lze vložit yté měřítko od téhož výobce a půběžně ověřovat zjištěné délky Mikoskop atománích sil - AFM Podobnější studium vzoků poběhlo v Paze na FZÚ AVČR pomocí AFM. Cílem bylo zjistit tva a ozměy káteů a pozkoumat i jiné stuktuy na poškozeném mateiálu, jako jsou např. LIPSS pvního a duhého duhu. Měření pobíhala na mikoskopu LIPSS Lase Induced Peiodic Suface Stuctues (laseem indukované peiodické stuktuy) 4

142 Dimension 3 Scanning Pobe Micoscope (Veeco) s řídící jednotkou NanoScope IV téže fimy Způsob ozařování Aby bylo možné ozářené vzoky dobře vyhodnocovat, pobíhalo ostřelování vždy dle předem dohodnutého ozařovacího potokolu. Ten totiž umožňuje lepší oientaci na povchu vzoku. Obzvláště v případě, kdy kátey mohou být špatně viditelné, je ozařovací potokol nezbytnou součástí expeimentu. Oientace vzoku se učí podle tzv. fiducial, což je viditelná značka na povchu vytvořená několika výstřely do jednoho místa. Ostatní kátey byly vytvořeny v single-shot ežimu. Vzdálenosti mezi jednotlivými kátey a fluence jsou zadány ozařovacím potokolem. 8.5 Vzoky ozářené svazkem FLASH byly: V DESY se ozařovalo mnoho českých i zahaničních vzoků. Nejdůležitější po nás Mateiál: Typ: Rozměy a jiné údaje: Výobce: monokystalický křemík (m-si) PMMA PMMA 4µm masivní vzoek (bulk) mm x 3mm - oientace povchu () 5nm tenká vstva 5 mm x 5 mm 35µm Si substát - po single-shot exposice mm masivní mm x 5mm vzoek (bulk) - po multi-shot exposice Tab. 5 Vzoky ozářené na zařízení FLASH IFPAN, Polsko Silson, UK Goodfellow, UK 4

143 9. Výsledky a diskuse 9. Ablace mateiálů indukovaná kátkovlnným FEL Ze studia vzoků ozářených 3nm 3fs laseovými impulzy lze odvodit někteé důležité paamety a fyziku inteakce entgenového svazku s příslušnou látkou (např. ablační páh a efektivní atenuační délku) a svazku samotného (např. půmě stopy svazku na vzoku). 9.. Vztahy použité k vyhodnocení výsledků 9... Popis laseového svazku Při dopadu silného laseového pulsu na povch mateiálu se velká část enegie záření pohltí a ovlivňuje ozářený mateiál. Pokud je špičkový výkon v pulsu dostatečný, může dojít nejen k e změně stuktuy mateiálu, ale i k jeho úplnému odstanění. Tomuto jevu se říká ablace. Předpokládejme, že puls dopadající na povch vzoku má gaussovský tva [6], tzn.: (, ) ( ) ( exp ρ exp τ ) I t = I t (9.) Kde ρ je polomě svazku a τ je délka pulsu. Pokud integujeme intenzitu přes čas, dostaneme tzv. fluenci neboli enegii na jednotku plochy. Tedy: ( ) exp ( ) F = F ρ (9.) Kde F = πτi. Integujeme-li fluenci přes postoovou poměnnou, dostaneme enegii v pulsu, kteou měříme pomocí GMD detektou. Platí: EGMD = πρ F (9.3) 9... Ablací poškozená plocha vzoku a hloubka káteu Při ozařování mateiálu musíme vzít v potaz pahovou hodnotu fluence F th, při kteé začne mateiál ablaovat viz. gaf 4. Fluence pulsu po stanách ( > CR ) nepostačují k ablačnímu poškození povchu. Ablace by měla na povchu vzoku ideálně vytvořit kuhovou stopu o poloměu CR, přičemž ze vztahu (9.) plyne elace mezi tímto poloměem a špičkovou fluencí F. Náš svazek a fokusace však nejsou ideální (např. astigmatismus fokusace), káte tedy není kuhový; budeme poto aději uvažovat plochu stopy (myslí se tím půmět káteu na původní povch vzoku). Fluence je úměná enegii pulsu. Pak platí vztah, kteý dostaneme z (9.): ( ln ln ) S = S E E (9.4) CR BEAM GMD th 43

144 Kde S CR CR = π je ablaovaná plocha vzoku, SBEAM = πρ je plocha stopy svazku na vzoku a Eth = SBEAMFth je pahová enegie v pulsu, po kteou dojde k ablaci. Ze vztahu (9.4) je tedy možné ověřit půmě svazku. Gaf 4 Gaussovský tva pulsu a páh ablace Duhou možností, jak získat pahovou fluenci, je měřit hloubku káteu v závislosti na fluenci. Záření je v mateiálu tlumeno exponenciálně dle F( z, ) = Fexp( ρ ) exp( zlat ), kde l at je efektivní atenuační délka. Poklesne-li fluence na pahovou hodnotu, ablace nepobíhá. Maximální ablační hloubku pak můžeme vyjádřit jako: ( ln ln ) d = l E E (9.5) at GMD th Půmě svazku ρ, atenuační délku l at a pahovou fluenci F th můžeme získat, pokud naměřené hodnoty ploch a ablačních hloubek vyneseme do gafu v závislosti na ln(e GMD ) a položíme přímkou. Po plochy káteů bude mít egesní přímka tva SCR = A+ Bln ( EGMD ), takže půmě stopy svazku a pahovou fluenci lze vyjádřit: SBEAM = B ρ = B π (9.6a) exp( AB) Fth = (9.6b) S Ablační hloubky závislé na logaitmu enegie budeme pokládat přímkou ve tvau d = A+ Bln E, z jejíchž paametů dostaneme atenuační hloubku a pahovou fluenci: GMD BEAM F th lat = B (9.7a) exp( AB) = (9.7b) S BEAM 9.. Výsledky získané na tenké vstvě PMMA V následující tabulce 6 jsou vypsány hodnoty, kteé jsme naměřili na vzoku PMMA tlouštky 5nm po ůzné úovně zeslabení FEL svazku plynovým atenuátoem. Ablaované plochy byly změřeny s pomocí AFM a Nomaského mikoskopu. Hloubky byly stanoveny 44

145 pomocí AFM pacujícího v poklepovém módu (tapping mode). Enegie pulsů jsme získali z GMD detektou. V gafech 5a a 5b jsou tyto hodnoty zpacovány. Atenuace Enegie Plocha (AFM) (%): Plocha (Nomaski) Hloubka EGMD [ µ J] : SCR µ m CR µ m d[ nm ]: 3, ,5 5, ,, ,9, ,5, ,3, ,, ,, ,3, ,,7 67,8 6, 99,6 3,58 597, 5,6 68,6,36 495, 436,5 6,33,64 7, 576,5 6,5,96 899,6 77, 79,73,86 744,7 6,8 5,,3 9, 94, 4,39,7 9 97,6 3,7,6 86,94 84,75 6,38,5 578,3 473, 8,53,56 585,9 48,8 93,98,6 68,4 69,96 4,98,6 75,9 9,7 4,44,3,36 33,6 64, 76,4,3 49,6 363,6 8,,4 37,5 4,9 3,79,3 37,5 44,4 6,73 Tab. 6 Naměřené plochy a hloubky káteů v závislosti na enegii pulsu Závislost plochy káteu v tenké vstvě PMMA na enegii v pulsu plocha káteu při,3% - % 8 max. fluence (data z AFM) plocha káteu S[µm ] ln(e GMD ) [] lineání egese z S = A + B*ln(E GMD ) A=(±3)µm B=(476±43)µm (AFM) plocha káteu při,3% - % max. fluence (data z Nomaski) lineání egese z S = A + B*ln(E GMD ) A=(77±99)µm B=(47±34)µm plocha káteu při max. fluence (AFM) plocha káteu při max. fluence (Nomaski) (Nomaski) Gaf 5a Závislost plochy káteu v tenké vstvě PMMA na enegii pulsu 45

146 hloubka káteu d[nm] Závislost ablační hloubky v tenké vstvě PMMA na enegii v pulsu hloubka káteu při,3% - % max. fluence lineání egese z d = A + B*ln(E GMD ) A=(5±)nm B=(56,9±7,5)nm hloubka káteu při max. fluence ln(e GMD [] Gaf 5b Závislost maximální hloubky káteu v tenké vstvě PMMA na enegii pulsu Data v gafech 5a a 5b jsem položil přímkami. Do fitů jsem nezanesl hodnoty změřené bez atenuace (vyznačené pázdným kolečkem), kteé se zjevně nechovají dle uvažovaného modelu. Dosazením paametů těchto přímek do vztahů (9.6) a (9.7) jsem získal následující hodnoty: Metoda Zdoj Pahová fluence Půmě stopy Atenuační délka vyhodnocení: dat: ( Fth ± Fth ) mj cm : svazku ρ [ µ m] : lat [ nm ] : AFM (3,±,5) (4,6±,6) --- Plocha abl. povchu Nomaski (3,8±,6) (3,5±,5) --- Hloubka káteu AFM (,7±,9) --- (56,9±7,5) Tab. 7 Tenká vstva PMMA (5nm) expeimentální výsledky Ze získaných výsledků můžeme říci, že pahové hodnoty fluence po ablaci mateiálu získané z ůzných metod, jsou v ámci své chyby sovnatelné. Tento expeiment byl pováděn v tight focus poloze komoy, kde by půmě stopy svazku na vzoku měl být mm. To je v dobé shodě s výsledky, kteé jsme získali z egese. Atenuační délka vyšla elativně malá, což znamená, že PMMA silně absobuje záření na 3nm Poovnání FEL ablace Si, SiO a PMMA Po zajímavost jsou v následujícím gafu 6 poovnány výsledky získané AFM měřením na vzocích PMMA (tenká vstva), Si () (masivní vzoek - bulk) a na vzoku křemene (masivní vzoek - bulk). PMMA bylo ozařováno bez apetuy, Si a SiO s kuhovou apetuou o půměu 3mm, a poto byl půmě svazku menší 6mm. Závislosti maximálních hloubek káteů na logaitmu enegie jsou položeny přímkami, aby bylo možné zjistit atenuační délky a pahové hodnoty fluencí. 46

147 Závislost ablační hloubky v Si, SiO a PMMA na enegii v pulsu 4 hloubka káteu v Si (BULK) lineání egese z (Si) d = A + B*ln(E GMD ) A=(-4±5)nm B=(55±35)nm hloubka káteu d[nm] ln(e GMD ) [] hloubka káteu v SiO (BULK) lineání egese z (SiO ) d = A + B*ln(E GMD ) A=(9,6±8,4)nm B=(67,8±7,3)nm hloubka káteu v SiO (BULK) hloubka káteu v PMMA (tenká vstva) lineání egese z (PMMA) d = A + B*ln(E GMD ) A=(5±)nm B=(56,9±7,5)nm hloubka káteu v PMMA (tenká vstva) při max. fluenci Gaf 6 Závislosti maximálních hloubek káteů na enegii v pulsu po Si, SiO a PMMA Z paametů položených přímek dosazených do vztahů (9.7) jsem učil následující hodnoty po tyto vzoky: Vzoek: Pahová fluence Atenuační délka l [ ] ( Fth ± Fth ) mj cm at nm : Si () (masivní vzoek - bulk) (6±36) (55±35) SiO (masivní vzoek - bulk) (3±7) (67,8±7,3) PMMA (tenká vstva) (,7±,9) (56,9±7,5) Tab. 8 Si, SiO a PMMA poovnání expeimentálních výsledků Už z gafu 6 je patné, že pahy ablace v Si a SiO jsou řádově větší, než tomu bylo u vzoku PMMA. Na duhou stanu křemík absobuje na 3nm mnohem méně, poto jsou kátey v něm typicky hlubší. V gafu 6 si můžeme všimnou dvou zajímavých věcí. Páh ablace křemene je zřetelně nižší než křemíku. To bychom mohli vysvětlit výazně katší atenuační délkou 3nm záření v křemeni (podle Henkeho tabulek jen 7nm) a tedy mnohem vyšší lokální hustotou deponované enegie při sovnatelné fluenci. Dále si všimněme, že závislost maximální hloubky káteu na logaitmu enegie přestává být lineání po velké fluence (vyznačeno pázdnými zelenými koužky). Nelineaita patná z dat po PMMA je důsledkem odstanění jeho tenké vstvy, kteá má tloušťku 5nm. PMMA je nanesen na křemíkovém substátu, a poto není nijak překvapivé, když hloubka káteu začne po vysoké fluence sledovat chování křemíku Mofologie káteů sledovaná Nomaského mikoskopem a AFM V následujících fotogafiích jsou zachyceny kátey, kteé svazek FEL vytvořil v ůzných mateiálech. Po sovnání jsou uvedeny snímky jak z Nomaského tak AFM mikoskopu. 47

148 Na ob. 55a, 55b je zachycen káte vzniklý v tenké vstvě PMMA po ozáření pulsem enegie (6, 3,7)nJ těsně nad pahem ablace při nastavené,3% atenuaci svazku. To odpovídá fluenci (5,8,8)mJ/cm na povchu vzoku. Hloubka káteu je (4,44,59)nm. Ob. 55a Fotogafie káteu v tenké vstvě PMMA z Nomaského mikoskopu (x 5) Ob. 55b 3D obaz káteu v tenké vstvě PMMA získaný pomocí AFM mikoskopu Na následujících fotogafiích je zachycen káte vytvořený svazkem FLASH na povchu křemíku. Lze na něm dobře pozoovat stopu svazku: Ob. 56a Fotogafie káteu v Si pořízená Nomaského mikoskopem (x ) 48

149 Ob. 56b AFM obaz káteu v masivním vzoku Si Důkazem nízké pahové fluence PMMA je i následující obázek pořízený AFM mikoskopem na masivním vzoku PMMA, kde jsou zřetelně patné difakční koužky od vstupní apetuy. I difaktované FEL záření je schopné ablaovat povch PMMA. Ob. 57 AFM obaz káteu s difakčními koužky v PMMA; efekt kuhové apetuy půměu 3 mm 49

150 9. UV-vis emisní spekta ablačních oblaků Nejlepších výsledků při spektoskopických měřeních jsme docílili u křemíku, křemene a Ce:YAG. Překvapivé bylo spektum změřené na křemíku, u něhož lze identifikovat spektální čáy. Měřilo se v integačním ežimu akumulací, přičemž délka detekčního okna byla ms. Zvolili jsme metodu, kdy se vzoek při ostřelování půběžně posunoval, poto byl signál elativně silný. Zdoj nebyl utopen ve stále se pohlubujícím káteu. Emisní spektum křemíkového plazmatu geneového fokusovaným FEL svazkem je po koekci na spektální citlivost iccd uvedeno v gafu Emisní spektum křemíku Si I 3s 3p - 3s 3p 4s (3P - 3P*) - 5,nm elativní intenzita Si I 3s 3p - 3s 3p 4s (D - P*) - 88,nm Si I 3s 3p - 3s 3p 4s (S - P*) - 39,nm λ (nm) Gaf 7 UV-vis emisní spektum křemíkového ablačního oblaku Naměřené spektální čáy lze přiřadit atománího křemíku. Jsou značně ozšířené, což je důsledkem šiokého ozevření vstupní štěbiny spektometu. Tuto jsme nastavili, abychom neomezovali citlivost přístoje. Chtěli jsme totiž egistovat i šiokopásmové tepelné záření plazmatu. Většina spekte však neukazuje žádné maximum pásu tepelného záření. Půběh někteých spekte naznačuje, že maximum tepelného záření plazmatu by se mohlo nacházet v blízké infačevené oblasti. Teplota povchu ablačního oblaku by tedy dosahovala hodnot jen ~K, což je v dobém souladu s předpokládanými paamety plazmatu geneovaného 3nm FEL zářením. Posunujeme-li křemíkový teč z ideálního ohniska svazku dosáhneme záhy stavu, kdy čáy ve spektu ztácejí na intenzitě až zcela vymizí. Jde tedy skutečně o záření plazmatu geneovaného fokusovaným svazkem laseu na volných elektonech. 5

151 . Závě V teoetické části páce byl podán přehled zdojů koheentního XUV záření, jak konvenčních tak nové geneace. Ze sovnání paametů plyne, že lasey na volných elektonech mají v mnoha ohledech nad konvenčními zdoji navch. Zvláště ve spektoskopii je nedocenitelnou kompaativní výhodou SASE FEL jejich půběžná poladitelnost v elativně šiokém spektálním obou. Po časově ozlišená studia a dosahování vysokých špičkových výkonů haje významnou oli velmi kátká délka pulsu řádově desítky femtosekund. Řada konvenčních zdojů sice tak kátkých pulsů též dosáhne, avšak obsah enegie v pulsu je obvykle výazně nižší. Naše pvní expeimenty na SASE FEL zařízení FLASH ovšem ukazují, že i svazek laseu na volných elektonech má jisté vlastnosti, kteé nemusí být po učité aplikace vždy výhodné. Vysoké paamety SASE FEL jsou bohužel vykoupeny jejich značnou fluktuací výstřel od výstřelu (shot-to-shot fluctuation). Po studie poškozování povchů je poblematická zejména fluktuace enegie impulsu. Ta například znemožňuje efektivně studovat poškození způsobená mnoha pulsy akumulovanými na fluencích nižších než je páh single-shot ablace (stanovení ablačních pahů po PMMA, Si() a α-sio představuje jeden z hlavních výsledků této páce). V půběhu ozařování se totiž téměř vždy vyskytne v sekvenci pulsů alespoň jeden, jehož enegie vyskočí tak vysoko, že výsledná fluence leží na zmíněným pahem. Nelze pak odlišit tzv. single-photon a single-shot poškození. Je zřejmé, že zdoje využívající konvenčních laseů a laseového plazmatu, kteé vykazují mnohem lepší stabilitu výstupních paametů než SASE FEL, jsou k účelu studia poškození indukovaného jednotlivými vysokoenegetickými fotony mnohem vhodnější. Studium adiačního poškození povchů jeho ozařováním mnoha FEL pulsy pod single-shot ablačním pahem komplikuje dále polohová nestabilita (ponting instability) FEL svazku. Jednotlivé pulsy se na povchu dobře nepřekývají a učit dávku záření nahomaděnou v učitém místě vzoku je téměř nemožné. I v tomto bodě poskytují konvenční XUV zdoje lepší možnosti než SASE FEL. Postoová fluktuace svazku FLASH také zatím neumožnila ealizovat µm fokus v tandemové komoře zmíněné v části 7 této páce. Fluktuace polohy svazku je také velmi nepříjemnou komplikací časově ozlišených sondovacích expeimentů (pulse-pobe expeiments), kde se FEL puls kombinuje s pulsem konvenčního, dlouhovlnného laseu. Je totiž třeba zajistit překyv obou svazků, což fluktuace SASE FEL v učitém počtu případů znemožní. Výše uvedené důvody nás opavňují předpokládat, že zdoje XUV záření využívající konvenčních laseů nebudou novou geneací laseů na volných elektonech zcela vytlačeny z laboatoní paxe. Nestane se tak jak z důvodů paktických (stavba a povoz SASE FEL jsou nákladnou záležitostí, přístup k němu časově velmi omezený atp.) tak i pincipielních (viz výše). 5

152 . Použitá liteatua []. J. F. Reintjes (985): Coheent Ultaviolet and Vacuum Ultaviolet Souces, Lase Handbook (Ed. M. Bass, M.L. Stitch) 5, - []. B. Wellegehausen et al. (996): Geneation of shot-pulse VUV and XUV adiation, Opt. Quant. Electon. 8, 67-8 [3]. J. G. Eden (4) High-ode Hamonic Geneation and Othe Intense Optical Field- Matte Inteactions: Review of Recent Expeimental and Theoetical Advances, Pog. Quant. Electon. 8, [4]. E. D. Palik, W. R. Hunte: Lithium Fluoide (LiF), In: Handbook of Optical Constants of Solids (Ed. E. D. Palik), Academic Pess, San Diego 985, st [5]. J. C. Rife: Optical mateials UV, VUV, In: Electo-Optics Handbook (Eds. Waynant R. W., Edige M. N.), nd Ed., McGaw-Hill, New Yok [6]. S. Heinbuch, M. Gisham, D. Matz, J.J.Rocca (5): Demonstation of a Desk-Top Size High Repetition Rate Soft X-ay Lase, Optics Expess 8, [7]. R. Ischebeck: Tansvese Coheence of a VUV Fee Electon Lase, disetační páce, Univesität Hambug, Hambug 3 [8]. (a) Intenetové stánky DESY Hambug: (b) V. Ayvazyan a kol. (6): Fist Opeation of a Fee-electon Lase Geneating GW Powe Radiation at 3 nm Wavelength, Eu. Phys. J. D37, [9]. (a) K. Tiedtke po VUV FEL team: Photon Beam Diagnostics fo the Use Facility, DESY, Hambug, 3; dostupný na www-hasylab.desy.de; (b) V. Ayvazyan a kol. (6): Fist Opeation of a Fee-electon Lase Geneating GW Powe Radiation at 3 nm Wavelength, Eu. Phys. J. D37, []. V. Ayvazyan a kol. (): Fist Obsevation of Self-Amplified Spontaneous Emission in a Fee-Electon Lase at 9 nm Wavelength, Phys. Rev. Lett. 85, []. Jiří Mikulčák a kol.: Matematické fyzikální a chemické tabulky po střední školy, 4. vydání, SPN, Paha, 985 []. S.M. Hooke, C.E. Webb (994): Pogess in Vacuum Ultaviolet lases, Pog. Quant. Electon. 8, 7-74 [3]. T. Dennis, H. M. Duike, J. Wu, C. Tóth, J.F. Young (995): Compaison of Lase- Poduced Plasma Taget Mateials fo Pumping the 9nm Xe + Auge Lase, J. Select. Top. Quant. Electon., [4]. R. Sauebey: Ultaviolet, Vacuum-Ultaviolet, and X-ay lases, Electo-Optics Handbook (Eds. Waynant R. W., Edige M. N.), nd Ed., McGaw-Hill, New Yok [5]. C. Dölle, C. Reinhadt, P. Simon, B. Wellegehausen (): Geneation of µj Pulses at 8.8 nm by Fequency Tipling of Sub-picosecond KF Lase Radiation, Appl. Phys. B75, [6]. J. M. Liu (98): Simple Technique fo Measuements of Pulsed Gaussian-beam Spot Sizes, Opt. Lett. 7, [7]. T. Pfeife, C. Spielmann, G. Gebe (6): Femtosecond X-Ray Science, Rep. Pog. Phys. 69,

153 . Appendix Appendix Odvození vlnové ovnice Po odvození vlnové ovnice potřebujeme kom Maxwellových vztahů (.a) až (.d) znát též základní identitu vektoové analýzy: u = u u (A.) Kde u je obecné vektoové pole. Dále vyjdeme ze vztahů (.a) a (.b) a dosadíme do nich z mateiálových vztahů (.3a) a (.3b) a také za poudovou hustotu dle (.4). S využitím identity (A.) dostaneme: B ( B) D D D = ε ( D) D = ε = µσ εµ t t t t D µσ ( D) B B B = µ j + µ ( B) B = ( D) + µ = µσ εµ t ε t t t Dosazením z předpokladů div D =, div B = D D εµ = t B B εµ = t a σ = získáme vlnové ovnice: (A.a) (A.b) Appendix Zavedení elektické susceptibility Vyjdeme z definičního vztahu po polaizaci, kde je zanedbána postoová dispeze postředí: t P t f t τ E τ dτ (, ) = ( ) (, ) Za předpokladu, že pole má tva E( t, ) = E exp( iωt) jednoduchou substituci: t τ t% dτ = dt% τ = t% = τ = t t% = E t, = E exp iωt exp iωt% (A.), povedeme ve vztahu (A.) 53

154 Pak (po otočení integačních mezí) dostáváme vztah po polaizaci: P( t, ) = f ( t% ) exp ( iωt% ) dt% E( t, ) = ε( εˆ ) (, ) ˆ ω E t = εχ e( ω) E( t, ) (A.) Elektická susceptibilita esp. elativní pemitivita postředí pak vychází jako Fouieova tansfomace odezvové funkce: χˆ ˆ e ω = ε ( ω) = f () t exp( iωt) dt (A.3) Appendix 3 Odvození Kames-Konigových elací Mějme holomofní komplexní funkci f(z) jedné komplexní poměnné. Za těchto podmínek, lze tuto funkci ozvinout do řady: c n f z c z a n n (A3.) n= = ( ) n d f ( z) =, z, a, f ( z) n! dz n z= a (A3.) Hned vidíme, že integál přes uzavřenou křivku γ obíhající pól (a) z následující neholomofní funkce, lze snadno spočítat. Po jednoduchost zvolme integační křivku jako kužnici poloměu R: γ f z dz c z a z a ( ϕ) Substituce: dz = irexp i c z a dz i c i f a n = + n( ) = = π = π n z Rexp ( iϕ) a, γ ϕ ;π γ = = + Což je celkem zřejmé, potože integál přes uzavřenou křivku z holomofní funkce v sumě je nulový a jediné co po integaci zbude je pvní člen ozvoje. Tím jsme vlastně dostali Cauchyho větu komplexní analýzy, kteá tedy vypadá následovně: f a = f z dz πi (A3.3) z a γ Zvolme nyní komplexní funkci eálné poměnné f ( x) = g( x) + ih( x), x tak, aby její eálná část byla sudou funkcí g( x) g( x) g( x) lichou g( x) g( x) g( x) =, lim = a její imaginání část byla funkcí x ± =, lim =. Nyní můžeme podloužit poměnnou x do komplexních x ± čísel. Pokud to uděláme, bude po námi zvolenou funkci platit Cauchyova věta. Integovaná funkce bude mít pól na eálné ose. Zvolíme tedy následující integační cestu (ob. OA3.): 54

155 Ob. OA3. Integační cesta komplexního integálu Z podmínek, kteé klademe na funkci, plyne, že integál přes velkou půlkužnici půjde do nuly a integál přes malou půlkužnici bude v limitě oven konstantě. Tedy: f ( ω) = f x dx πi x ω = γ π ( exp) exp ω R f x dx f x dx f R iϕ ir iϕ dϕ = lim + f ( exp ( iϕ) + ω) idϕ + + = πi R x ω x ω R exp iϕ ω R π ω+ Výsledně tedy: f x dx = f πi + x ω ( ω) ( + ) f x dx g x ih x dx f ( ω) = g( ω) ih( ω) πi + = x ω πi x ω Poovnáním eálných a imagináních částí dostaneme jejich vzájemnou závislost: h g ( ω) ( ω) h x dx = π (A3.4a) x ω g x dx = π (A3.4b) x ω Zde ale počítáme i se záponými fekvencemi, poto převedeme výpočty na integaci od nuly do nekonečna: g ( ω) Substituce v.integálu: h( x) dx h( x) dx h( x) h( x) = x: x, x x dx π + = = = = = = x ω x ω π x ω x ω + dx: = dx, x = x = h x h x xh x dx = dx π + = x ω x+ ω π x ω 55

156 h ( ω) Substituce v.integálu: g( x) dx g( x) dx g( x) g( x) = x: x, x x dx π + = = = = = = x ω x ω π x ω x ω + dx: = dx, x = x = ω g x g x g x dx = dx π = x ω x+ ω π x ω Kames-Konigovy elace tedy vypadají následovně: g ( ω) x ω (A3.5a) xh x dx = vp.. π ω g x dx h( ω) = vp.. π x ω (A3.5b) Kde v.p. value pincipal je hlavní hodnota integálu ve smyslu distibucí. Tyto elace tedy spojují eálnou a imaginání část jedné komplexní veličiny. Nyní stačí za funkce g(x) a h(x) dosadit: = n( x) h( x) = κ( x) g x Appendix 4 Odvození Fesnelových vztahů Mějme dvě postředí s obecně ůznými třeba i komplexními indexy lomu. Index lomu postředí, odkud světlo na ozhaní dopadá, označme jako n a index lomu duhého postředí označme n. Dle ob. v duhé kapitole, musíme bát v úvahu tři vlny: vlnu dopadající (incident wave), odaženou (eflected wave) a pocházející (tansmitted wave). V souřadné soustavě spojené s ozhaním je zaveďme následovně: ( ( ω )) exp( () i φ ) ( ( ω )) exp( φ ) ( ω ) exp( t φ ) () i () i () i () i E = E exp i t k = E i E = E exp i t k = E i () t () t E = E exp i () t t k () t = E i () (A4.a) (A4.b) (A4.c) () i () t Kde fáze φ, φ, φ jsou funkce postou a času. Pole jsou zavedena zjednodušeně. Komplexně sdužená část zde po nás není podstatná. Po větší přehlednost je ale lepší zavést si vektoy polí v souřadnicích spojených se směem dopadajícího, pocházejícího či odaženého světla. Položme osu z do směu papsku, osu x do směu kolmého na ovinu dopadu a osu y do oviny dopadu. Podíváme-li se na ob., můžeme ihned napsat výazy po vektoy pole v těchto souřadnicích. Jsou to vektoy v ovině x y, poto jsou pouze dvouozměné: 56

157 () i ( ϕ ) () i ( iϕp ) A exp i () A A exp AP P ( ) R exp( iϕ ) R E = Rexp( iφ ) = exp iφ = exp iφ R exp R ( iϕ ) P P P () t T exp( iϕ ) () t () t () t T t E = Texp( iφ ) = exp iφ = exp iφ () t T exp T ( iϕ ) P P P () () () i i i i E = Aexp iφ = exp iφ = exp iφ () (A4.a) (A4.b) (A4.c) Jonesovy vektoy ART,, v sobě zahnují nejen amplitudy ve směech os x a y, ale také ( i) ( i) ( t) ( t) konstantní fáze ϕp, ϕ, ϕp, ϕ, ϕp, ϕ, kteé nám učují polaizaci světla. Je dobé si pole zavést takto, potože v mnoha případech budou eflexní a tansmisní koeficienty vyjádřené komplexním číslem. To bude znamenat změnu fáze, kteá nám ovlivní výslednou polaizaci světla. Zadáme-li pole v čákované soustavě pomocí složek A, A, R, R, T, T (dle ob. ) P P P kolmých a ovnoběžných s ovinou dopadu, můžeme jednotlivé vektoy polí přepočítat do nečákované soustavy spojené s ozhaním následovně: t () i E A A A i ( Pcos ( θi),, Psin( θi) ) exp () i φ ( Pcos ( θi),, Psin( θi) ) exp φ ( Pcos ( θt),, Psin( θt) ) exp () φ = E = R R R i () t E T T T i = (A4.3a) (A4.3b) (A4.3c) Abychom mohli soustavu, kteá nás čeká, vyřešit, musíme ještě znát složky magnetické intenzity, kteé získáme ze známého vztahu po ovinnou vlnu: H ε = s E µ (A4.4) Kde s je smě šíření jednotlivých svazků. Z geometie jsou směy dány následovně: ( i) s = θ θ s = θ θ ( t) s = θ θ ( sin i,,cos i) ( sin i,, cos i) ( sin,,cos ) Tedy vektoy magnetických intenzit po dosazení směových vektoů a vektoů elektických intenzit do vztahu (A4.4) vycházejí: t t t () i H = A A A i ( cos ( i), P, sin( i) ) exp () i ( cos ( i), P, sin( i) ) exp ( cos ( t), P, sin( t) ) exp () θ θ φ ε µ ( ) H R R R i = θ θ φ ε µ () t H T T T i = θ θ φ ε µ (A4.5a) (A4.5b) (A4.5c) 57

158 Potože vodivost mateiálů je nulová, neteče ozhaním žádný poud. Z Maxwellových ovnic pak plyne spojitost tečných složek magnetické intenzity. Spojitost tečných složek elektické intenzity z nich plyne automaticky. Platí tedy: ( i) ( t) ( i) ( t) E + E = E, E + E = E (A4.6a) x x x y y y ( i) ( t) ( i) ( t) H + H = H, H + H = H (A4.6b) x x x y y y Dosazením z vektoových výazů (A4.3a) až (A4.3c) a (A4.5a) až (A4.5c) do předchozích okajových podmínek dostaneme soustavu čtyř ovnic po čtyři neznámé R, R, T, T. Navíc P P i t musíme využít toho, že fáze φ, φ, φ závislé na postou a čase, jsou stejné v jednom místě a v jednom okamžiku, tudíž lze odstanit oscilující členy. Dostaneme pak dvě ovnice tansvezálně magnetické: A dvě tansvezálně elektické cosθi cos θt, RP AP = TP RP + AP = TP µ µ ε ε R A T R A T + =, cosθi = cos µ µ Z těchto ovnic vyjádříme neznáme v závislosti na zadaném vstupujícím poli. Dostaneme tak čtyři ovnice v následujícím tvau: ε TP = ta P P, T = t A (A4.7a) RP = A P P, R = A (A4.7b) Koeficienty úměnosti jsou tzv. Fesnelovy koeficienty eflexe a tansmise a jsou závislé na polaizaci. Využijeme-li navíc Snelliův vztah po lom na ozhaní dostaneme závislost těchto koeficientů na úhlu dopadu: ε θ t n cosθi tp = (A4.8a) n cosθ + n sin θ t = i cosθ i cosθ + n sin θ i i i i (A4.8b) n cosθi n sin θi P = (A4.8c) n cosθ + n sin θ cosθi n sin θi = cosθ + n sin θ i i i (A4.8d) 58

159 Appendix 5 Změna fáze při totálním odazu Potože je elativní index lomu n < bude dle Snelliova zákona existovat jistý kitický úhel dopadu, při kteém už se světlo nebude moci šířit duhým postředím. Pokud tedy c splníme podmínku θ θ, nabudou koeficienty eflexe následujícího tvau: i i n cosθi i sin θi n P = (A5.a) n cosθ + i sin θ n i i cosθ = cosθ i i i sin θ n i + i sin θ n i (A5.b) Z výše uvedených vztahů je vidět, že čitatel a jmenovatel zlomku jsou vzájemně komplexně sdužená čísla, tudíž lze eflexní koeficient napsat jako: ( iα) ( α ) z z exp = = = exp i = i z z exp i ( α) exp( δ) Hned můžeme z předchozího vztahu vidět, že velikost eflexního koeficientu je opavdu ovna jedné, tudíž jde o totální odaz. Poovnáme-li eálné a imaginání části exponenciály a čitatele esp. jmenovatele ve vztazích (A5.a) a (A5.b) dostaneme: ( P ) i ( P ) z cos δ = n cos θ, z sin δ = sin θ n i ( δ ) = θ ( δ ) = θ z cos cos, z sin sin n Z těchto vztahů můžeme spočítat posuny fáze pomocí tangenty. Dostaneme tedy: tg tg i ( δ ) sin θ n = (A5.a) P n ( δ ) i cosθi i sin θi n = (A5.b) cosθ Relativní změna fáze je pak dána ozdílem těchto dvou úhlů. Jednoduchou goniometickou úpavou pak dostaneme: tg ( δ ) tg (( δ δ ) ) i cosθi sin θ n = = (A5.3) P sin i θi 59

160 Appendix 6 Reflektance a tansmitance ozhaní Abychom mohli stanovit eflektanci a tansmitanci ozhaní, musíme znát intenzity dopadajícího, pocházejícího a odaženého světla. Vyjdeme z definice intenzity, kam dosadíme elektické pole ve tvau E = ( E exp ( i( ωt k )) + cc..). Magnetickou intenzitu dostaneme použitím vztahu (A4.4). Intenzita je definována jako časová střední hodnota Poytingova vektou. Rychle oscilující členy ve střední hodnotě vypadnou. Dostaneme tedy: ( ( ω )) ( ( ω )) I = S = E H = E H exp i t k + E H + E H + E H exp i t k = 4 Re{ } Re N ( ) Re N P E H E s E ( E E ) n P = = = + = ( E + E µ c µ c µ c ) Jednotkou intenzity je watt na met čtveeční. Po dopadu světla na ozhaní musí být splněn zákon zachování enegie esp. výkonu. Označme ozářenou plochu na ozhaní jako S. Pak dopadající výkon na tuto plochu musí být oven součtu odaženého a pošlého výkonu: () () () () ( ) i i t t i t i P = I Scos θ = P + P = S I cos θ + I cos θ Po eflektanci esp. tansmitanci pak s užitím vztahů po výkon tekoucí ozhaním a vztahů po pošlé a odažené pole (A4.7a) a (A4.7b) dostaneme následující výazy: () t P + A P I A P R = = = () i () i (A6.a) P I A + A () t ( θt) ( θ ) P ( θt) µ cos ta P P + t A µ cos θi P + P I cos T = = = n () i () (A6.b) i P I cos A A i Ob. OA6. Polání souřadnice Potřebovali bychom se ale zbavit závislosti na dopadajícím poli. To lze udělat tak, že složky dopadajícího pole vyjádříme v poláních souřadnicích, jak je zachyceno na ob. OA6.. Dostaneme pak: A Acosϑ = AP = Asinϑ Je tedy patné, že koeficienty budou na úhlu ϑ závislé. Po dosazení do vztahů (A6.a) a (A6.b) dostaneme výsledně: T ( θ ) P sin ϑ cos R = + Re{ n sin θ i } t P sin ϑ cos ϑ ( P sin ϑ cos ϑ) cos µ cos µ = + = + n t t t t µ cos θ i µ θi ϑ 6

161 Appendix 7 Dielektická vstva A7. Náběh fáze při půchodu vstvou Dle ob. 3 v duhé kapitole, se světlo šíří z postředí o indexu lomu N do postředí o indexu lomu N. Zde se mnohonásobně odáží a při každém odazu se částečně vyváže ven. V bodě A bude fáze nulová, potože zde máme počátek souřadného systému. Z tohoto bodu se pak světlo skz ozhaní () šíří k ozhaní (3) do bodu B. Změnu fáze a absopce mezi těmito body učíme z ob. OA7.. Položme si nulovou fázi do bodu A. Z geometie pak vyplývá, že se fáze vlny v postředí vstvy mezi body A a B změní o: ϕ d d = kn = k ( n + i κ ) (A7.) cosθ cosθ Ob. OA7. Rozdíl fáze Náběh fáze mezi body A a B jednotlivých složek Jonesova vektou (v případě izotopního postředí) lze tedy vyjádřit následující maticí: t T ( θ ) ( iϕ ) exp = exp( iϕ ) (A7.) V případě anizotopního postředí bychom museli ozlišit komplexní index lomu ve směu ovnoběžném a kolmém s ovinou dopadu. Tyto hodnoty bychom spočetli z řádného a mimořádného indexu lomu v závislosti na oientaci oviny dopadu k hlavním ovinám postředí. Změny fází by pak byly po jednotlivé složky pole ůzné. A7. Celkové odažené a pocházející pole Odažené pole Nechť tedy l-té odažené pole, nabývá na ozhaní () hodnoty El ( z = ) = Cl exp ( iωt) + cc... Hodnoty amplitud C l spočteme úvahou z pohybu svazku ve vstvě. Do ní vstupuje pole amplitudy A přes ozhaní s koeficientem tansmise T t. Šíří se pak jejím postředím k duhému ozhaní, mění se mu fáze a je absobováno. To vystihuje matice T t. Od ozhaní (3) se z části odáží dle koeficientu eflexe R t 3 a putuje zpět k ozhaní (), kteým částečně pochází, což vystihuje T t. Tímto způsobem popíšeme amplitudy na ozhaní všech odažených polí. Tedy: t C = R A t tt t t C = T( TR 3T) T A t tt t t tt t t C = T TR T R TR T T A (A7.3)

162 t tt t t tt t t tt t t C = T TR T R TR T R TR T T A t t t l t t l C = T T R R T A l 3 (A7.3) Amplitudy C l tedy udávají velikost pole na ozhaní (). Tato pole se dál šíří postředím indexu lomu N, kde spolu intefeují a vytvářejí celkové odažené pole. Toto síření popíšeme následovně: E = exp ( ω ) +.. l l Cl i t k l cc (A7.4) Vektoy l jsou však vztaženy k místům, odkud vlna okénko opouští. Abychom započetli i intefeenci, musíme tyto vektoy vyjádřit v soustavě spojené s bodem A. Po vekto polohy a vlnový vekto šíření odažených vln v pvním postředí platí: l = ld tg (A7.5a) k = kn (A7.5b) ( ( θ ),, ) ( sin θ,, cosθ ) Dosadíme-li ze vztahů (A7.5a) a (A7.5b) do vztahu po pole (A7.4), dostaneme l-té odažené pole v soustavě spojené s bodem A. To opět platí pouze po izotopní postředí. V anizotopním by to bylo poněkud složitější. Tedy: E = exp( ( θ) sin( θ) ) exp ( ω ) +.. l Cl ik ldn tg i t k cc (A7.6) Celkové pole tedy spočteme jako součet těchto jednotlivých vln. Dostaneme tedy: E ( ) = Cl exp( ikldntg( θ) sin( θ) ) exp i( ωt k ) + cc.. = l= t t t t l t t l = R + T( T R3) R T exp( ikldntg( θ) sin( θ) ) Aexp ( i( ωt k ) ) + cc.. = l = t t t t t l l = R + TR3R Texp( ikldn cosθ) Aexp ( i( ωt k ) ) + cc.. = l= t = RAexp ( i( ωt k ) ) + cc.. Vyjádření ve třetím řádku dostaneme, použijeme-li komplexní Snelliův zákon po ozhaní (). Výaz ve složené závoce je pak celkový koeficient R t eflexe vstvy. Povedeme-li substituci a přeindexujeme-li sumu, můžeme ho po sečtení geometické posloupnosti vyjádřit následovně: t t t t t t t t t t L t T T R exp R = R + T T R ( R R ) exp ( ikd( L+ ) ) = R + exp t t t L= R3R ( ikd ) ( ikd ) (A7.7) 6

163 Kde K kn cosθ =, je komplexní číslo v případě komplexního indexu lomu. Matice t je jednotková a dělení maticí znamená násobení maticí invezní. V tomto případě jde o jednoduchý výpočet, potože matice jsou diagonální. Použijeme-li vztahy (.8a) až (.8d), můžeme ve výsledku (A7.7) snížit počet konstant, což nám zjednoduší výpočty. Dostaneme: t t t t N cos R = R + t t t exp ( θ ) T R cos( θ ) ( ikd) + R R 3 3 (A7.8) Tento vztah stále závisí na dvou poměnných θ, θ, ty jsou však spojeny známým Snelliovým vztahem Nsinθ = N sinθ. Pocházející pole Analogicky můžeme získat amplitudy pocházejících polí na ozhaní (3). Nebudeme však vycházet z bodu A, nýbž z bodu B, kam položíme počátek souřadného systému. Nechť () t tedy pole na tomto ozhaní mají amplitudu E ( = ) = exp ( ω ) +.. m z Dm i t cc. Abychom se dostali z bodu A do B, zavedli jsme elaci mezi amplitudami polí v těchto místech. Platí tt po ně B = TT A. Vycházíme tedy z bodu B, odkud pole s amplitudou B částečně pochází ozhaním dle koeficientu tansmise T t 3 a z okénka vyjde pvní vlna. Také se částečně odáží s koeficientem eflexe R t 3 a putuje k ozhaní (), což nám popisuje koeficient T t. Na tomto ozhaní se odáží úměně koeficientu R t a putuje zpět k ozhaní (3), což opět popisuje T t. Na tomto ozhaní částečně pojde dle T t 3 a z okénka vyjde duhá vlna. Tedy amplitudy na duhém ozhaní jsou: t D = T3 B t tt tt D = T3( TR TR 3 ) B t tt tt tt tt D = T3( TR TR 3)( TR TR 3 ) B t tt tt tt tt tt tt D = T TR TR TR TR TR TR B t t t t m D = T T R R B m (A7.9) Z ozhaní (3) se všechna pole dál šíří jako ovinné vlny, ovšem s pozměněnou amplitudou a fází. Platí po ně: () t E = exp ( ω 3 ) +.. m m Dm i t k m cc (A7.) Stejně jako v předchozím případě převedeme souřadné systémy jednotlivých vln, do souřadného systému v bodě B. Po vekto polohy a vlnový vekto šíření pošlých vln v třetím postředí platí: = md tg (A7.a) m ( ( θ ),, )

164 Jednotlivá pole vypadají následovně: k = kn (A7.b) ( sin θ,, cosθ ) () t Em ( ) = Dmexp( ikmdn3tg( θ) sin( θ3) ) exp i( ωt k3 ) + cc.. (A7.) Analogicky jako v předchozím případě dosadíme amplitudy do vztahu po jednotlivá pole a všechna je dohomady sečteme. Potom použijeme komplexní Snelliův vztah po ozhaní (3) a dostaneme geometickou řadu. Celkové pocházející pole má tedy tva: () t E ( ) = Dm exp( ikmdn3tg( θ) sin( θ3) ) exp i( ωt k3 ) + cc.. = m= t t t t m = T3( T RR3) exp( ikmdn3tg( θ) sin( θ3) ) Bexp ( i( ωt k3 ) ) + cc.. = m= t t t m = T3( RR3) exp( ikmdn cosθ) Bexp ( i( ωt k3 ) ) + cc.. = m= t t t m tt = T3( RR3) TT exp( ikdm) Aexp ( i( ωt k3 ) ) + cc.. = m= t = TAexp ( i( ωt k3 ) ) + cc.. Pocházející pole však počítáme vzhledem k bodu B, což nesmíme zapomínat hlavně kvůli absopci. Fáze se při výpočtu intenzity stejně vystředují na nulu. Výaz ve složené závoce v čtvtém řádku je celkový koeficient T t tansmise vstvy. Po sečtení geometické posloupnosti ho můžeme vyjádřit následovně: t tt t t t t m tt T TT T = T ( R R ) TT exp( ikdm) = exp t t t m= RR3 ( ikd ) (A7.3) Kde K kn cosθ = je stejně jako v předchozím případě komplexní číslo. Na to musíme bát zřetel při výpočtu tansmitance a eflektance. Stejně jako v předchozím případě můžeme tento vztah upavit tak, aby v něm zůstaly jen koeficienty po ozhaní. Platí tedy: t t t T T exp T= t t t + R R exp ( in kd cosθ ) ( ikd ) 3 3 (A7.4) Appendix 8 Einsteinovy koeficienty Vztah mezi Einsteinovými koeficienty B a B dostaneme z ovnice po detailní ovnováhu v zářícím postředí, kde beeme v úvahu celý postoový úhel kolem média: d ρ ω dt ( ω) ρ( ω) ( ω) ρ( ω) = B N = B N + AN (A8.) ω ω ω 64

165 Hustota enegie fotonů je odvozena z Bose-Einsteinova ozdělení po bosony a je všeobecně známa jako Planckův vyzařovací zákon po čené těleso: 3 hω dpe = ρ( ω) dω = dω 3 π c h ω exp kt B (A8.) Obsazení stavů a je dáno Maxwell-Boltzmannovým ozdělením: E N ω = gexp kt B E N ω = gexp kt B (A8.3a) (A8.3b) 3 Kde T je temodynamická teplota v Kelvinech a kb =,38 J K = 86,3µ ev K je Boltzmannova konstanta. Po dosazení vztahů (A8.), (A8.3a), (A8.3b) a (4.) do ovnice po detailní ovnováhu a algebaické úpavě dostaneme: B B A h g h 3 π c ω ω ( ω) = ( ω) + exp exp 3 hω kt B g kt B (A8.4) Součin kt B = 5,9meV při pokojové teplotě tzn. T=3K. Enegie fotonů E = h ω je však mnohem větší. Obzvláště v UV oblasti, kde je enegie světelného kvanta větší než 3eV, se bude exponenciála blížit k nule: hω exp kt B To znamená, že ve výazu (A8.4) po zanedbání exponenciály se záponým agumentem zůstane pouze člen, u nějž stála exponenciála s kladným agumentem. Poto Einsteinův koeficient absopce vychází: B ( ω) π c = A hω 3 3 g g (A8.5) Dosadíme-li tento výsledek zpět do (A8.4) dostaneme Einsteinův koeficient stimulované emise: B ( ω) c = A π hω 3 3 (A8.6) 65

166 Appendix 9 Doppleovské ozšíření spektální čáy Rychlosti zářících částic jsou statisticky ozděleny dle Maxwell-Boltzmannovy distibuční funkce. Potože nás zajímá jen smě osy z, můžeme po pavděpodobnost nalezení v, v + dv psát: atomu o hmotnosti m s ychlostí mezi z z z mv p( v ) dv C dv z z = z exp kt B z (A9.) Nomovací konstantu dostaneme jednoduchou integací. Vyjde nám C = m ktπ B. Nyní do ozdělení (A9.) musíme vnést fekvenci přechodu. Nechť je čákovaná soustava spojena s letící částicí o ychlosti v a nečákovaná soustava s pozoovatelem. Neuvažujeme-li elativisticky, pak je tansfomace mezi těmito soustavami dána = vt, t = t. V čákované soustavě bude vyzařovaná fekvence nezměněna, pokud budeme počítat v čákovaných souřadnicích. Povedeme-li tansfomaci, tak dostaneme elektické pole v nečákované soustavě: { ( )} ( ) { } { } E : exp i ω t k = exp i ω + k v t k = exp i ωt k : E Z toho plyne, že fekvence, kteou uvidí pozoovatel bude posunuta: ω = ω + k v, kde ω = E E h (A9.) Budeme-li uvažovat, že se světlo šíří jen ve směu osy z (tzn. k = (,, k) ), pak ychlost ω ω ω ω c zářících částic v tomto směu dostaneme z (A9.) jako v = = dv = dω. z z k ω c ω Dosazením tohoto vztahu do (A9.) získáme funkci tvau čáy v závislosti na úhlové fekvenci: ( ω ω ) ln ( ω ω ) pv dv exp dω exp ln dω f ωω, dω c m z z = = = G ω kt B π kt B ω mc kt B ln π ω ( 8kT ln ) B ω mc Tedy výsledně z poovnání se vztahem (4.8) je doppleovské ozšíření: mc 4 kt B ln ω = ω (A9.3) mc A ozdělovací funkce tedy vychází: f G, = c m exp ( ωω ) ( ω ω ) ω kt B π kt B ω mc (A9.4) 66

167 Appendix Vývoj populací hladin Víme tedy, že objemová hustota obsazení např. duhé hladiny v intevalu fekvencí ωω, + dω je dána vztahem: (, ) 3 f ω ω π c ωω ρ ω = & = = 3 dn& N dω B ω N ρ ω dω N dω τ h ω (A.) Hustotu enegie nahadíme hustotou fotonů a celé to zintegujeme podle fekvence: (, ) q 3 π c f = = ωω ω ω ω = N & dn & N & d N dω τ ω (A.) Pokud se omezíme na to, že spektální čáa je úzká, můžeme hustotu fotonů vyjádřit delta funkcí: q ( ω) q( ω ) δ( ω ω ) = (A.3) Pokud výaz v (A.) zintegujeme, dostaneme výsledně evoluční ovnici po celou populaci duhé hladiny: 3 c N& = N π f ω ω q ω = cσ Nq (A.4) (, ) τω V případě pvní hladiny je výpočet podobný. Výsledně můžeme psát: N & = cσ Nq (A.5) i ij i Appendix Kinetické ovnice tojhladinového laseu Potože třetí enegetická hladina je díky své kátké elaxační době pázdná, můžeme okamžitě napsat ovnice po vývoj populací pvní a duhé hladiny při ychlosti čepání W : P N N WN c Nq c Nq τ N N N WN c Nq c Nq τ & = P σ + σ + (A.a) & = & = P + σ σ (A.b) Kde pvní člen popisuje čepání, duhý absopci mezi stavy a, třetí znamená stimulovanou emisi a čtvtý je spontánní emise. Vyjdeme-li ze vztahu po invezi (4.) a elace mezi účinnými půřezy (4.), tak dostaneme: N& g g g g P g N N N W N c Nq c Nq g = & & = + + σ + σ + + = g g g g g τ g 67

168 g N = WPN + cσ Nq cσ Nq γ g τ Označme celkový počet zářících částic jako NTOT = N + N = konst.. Pak poměnné N a N budeme moci nahadit novými N a N. Povedeme tedy následující tansfomaci: TOT g TOT = + N= ( NTOT N) + = g N N N g N = N N g ( N N) g g N = NTOT + N + = g g TOT γ (( γ ) N + N) Dosadíme-li hustoty vyjádřené v nových poměnných do předchozího vztahu dostaneme: ( γ ) NTOT N N& + = WP( NTOT N) cσγnq (A.) τ Pole, kteé v ezonátou vznikne, můžeme také okamžitě vyjádřit ovnicí: γ TOT q N q& = cσnq + cσnq + (A.3) tc τ 4π Ω Kde elaxační doba t c popisuje celkové ztáty v ezonátou a aktivní postředí vidí zcadla ezonátou pod postoovým úhlem Ω. Dosadíme-li sem ze vztahu (4.) po účinné půřezy a z výše uvedených tansfomačních vztahů dostaneme: (( γ ) NTOT N) q + Ω q& = cσ Nq + (A.4) t γτ 4π c Appendix Kvantový systém v časově závislé pouše A. Časový pouchový počet Máme tedy kvantový systém v časově závislé pouše s hamiltoniánem H ˆ = H ˆ ˆ + λw() t. Novou vlnovou funkci ozvineme do vlastních funkcí nepoušeného hamiltoniánu Ĥ takto: ψ () t = cn () t exp( ient h ) ψn. Dosadíme ji Schödingeovy ovnice: n n n ( () exp () exp ) i h c & n t ient h icn t En ient h h ψn = () exp () ( ˆ ˆ ) () exp( ˆ ()) = c t ie t h H + λw t ψ = c t ie t h E + λw t ψ n n n n n n n n ψ ih c& t exp ie t h ψ = c t exp ie t h λwˆ t ψ () () () m n n n n n n n n 68

169 Dostaneme soustavu difeenciálních ovnic: c& () t = c () t exp( i( E E ) t h) ψ λwˆ () t ψ ih m n m n m n n (A.) Důležitá je počáteční podmínka. Předpokládejme, že na začátku byl systém ve stavu Následující postup osvětlí, jak se tento stav vyvíjí. ψ. I A. Wigne-Weisskopfova teoie pavděpodobnosti obsazení hladin Novou vlnovou funkci jsme ozvinuli do vlastních stavů nepoušeného hamiltoniánu. Tedy ještě jednou: () t = c () t exp( ie t ) = a () t ψ h ψ ψ (A.) n n n n n n n Na začátku se systém nacházel ve stavu ψ a poto novou vlnovou funkci lze vyjádřit I pomocí evolučního opeátou. Po koeficient a () t pak platí: () t = exp( iht ˆ ) a () t = exp( iht ˆ ) = Gˆ() t I ψ h ψ ψ h ψ ψ ψ (A.3) I I I I I I Potože poucha začíná působit v čase t=, zavádí se tzv. etadovaná Geenova funkce, kteá splňuje: Gˆ t = t iht h (A.4) () θ() exp( ˆ ) Kde funkce θ () t je tzv. Heavisideova skoková funkce. Lepší je ale pacovat v enegetické epezentaci, ke kteé dojdeme Fouieovou tansfomací: = exp ˆ() = ˆ a ω ψ iωt G t dt ψ ψ G ω ψ (A.5) I I I I I Fouieův obaz Geenovy funkce tedy je: ( h) ( ω) exp ( hω ˆ ) ( i( hω Hˆ ) T h) i( hω Hˆ ) h exp Gˆ = i H t dt = lim Limita ovšem v tomto případě neexistuje, poto musíme fekvenci podloužit do komplexních čísel, čímž z Geenovy funkce dostaneme ezolventu, což je zobecněná funkce (distibuce): T + T ( ( ω ˆ ) ) i( h( ω + i ) Hˆ) h exp i h H T h exp T + lim ˆ ih ih ω = ω + i G( ω) = lim = = + + hω Hˆ z Hˆ 69

170 Abychom zjistili, jak se vyvíjí počáteční stav ψ, musíme najít maticový element G, I II k čemuž využijeme tzv. patitioning. Platí identita: ˆ ( ˆ ) ˆ Gii Gij z ii Ei λwii λwij ii G ω z H = i h i Gji G = jj λwji zjj Ej λw h jj jj Nepoušený hamiltonián je totiž diagonální (na diagonále má vlastní čísla) a poucha je epezentována symetickou maticí. Celý poblém lze tedy zapsat pomocí blokových supematic. Hledáme tedy element G ii, což nás vede na úlohu: A B a b Aa+ Bc = ih C D = = = c d Ab+ Bd = Takže element G ii vychází: ih Aa Abd c ih A ih a bd c G ii = ih ( h ) hω E λw λ W ω E λw W + + i ii ij j jj ji (A.6) Kde se sčítá ve smyslu Einsteinova sumačního pavidla, tzn. přes index j. Pouchu beeme jen do řádu λ, takže hledaný element G pak dostaneme: II G II = hω + I ih E λw II j λw hω + Ij E j (A.7) + Potože platí E = ω = ( ω + i) h h, objeví se v sumě distibuce, kteou lze ozložit na hlavní část a δ -funkci. Tedy: λw λw = = + Ij Ij vp.. iπλwij δ( hω Ej) j ( hω Ej) ih j hω Ej E j hω = λwij i πλwij δ ω E ω i ω ω E h =Λ Γ j j ( h j) Konečně tedy můžeme zpětnou Fouieovou tansfomací přejít ke koeficientu ai ( t ) : ( iωt) dω ih exp ai () t = exp( iωtg ) II dω π = π hω E λw Λ ω +Γ i ω Potože integál přes vnější půlkužnici nekonečného poloměu je nulový, je koeficient oven ω = E + λw +Λ Γ i h. Musíme však povést apoximaci pomalé změny esiduu v pólu I II I I I II 7

171 faktoů Λ( ω) Λ ( h ) =Λ a ( ω) ( h ) (A.8): E I I Γ Γ =Γ () E I I. Pak dostaneme výsledný vztah es { exp } exp( ( ) h ) a t = i ω t = Γ + i E + λ W +Λ t ω λ I = EI+ W I I II I II+ΛI Γ i I h Tudíž pavděpodobnost obsazení pvotní hladiny exponenciálně klesá: () () exp( ) exp wi I t = ai t = Γ It h = t τ I (A.9) Abychom vyjádřili ostatní stavy systému ovlivněného časovou pouchou, využijeme soustavu difeenciálních ovnic (A.). Po dosazení počáteční podmínky, že v čase t= byl obsazen pouze stav ψ se nám soustava zedukuje na: I c& () t = c () t exp( i( E E ) t h) ψ λwˆ () t ψ ih F I F I F I (A.) Kde s pomocí vztahu (A.) můžeme vyjádřit c ( t) a ( t) exp( ie t ) = h. Dosaďme tedy do I I I vztahu (A.) včetně hamonické pouchy definované vztahem (4.47): { E E ( )} c () t = exp ( Γ ( + i( E ( E + λw +Λ ))) t ) d exp i( ωt k & h ) + exp i ωt k = F ih I F I II I FI = označ E% = E + λw +Λ = : I I II I { } = exp Γ exp exp + + exp exp ih ( It h) dfi E ( ik ) ( i( EF E% I ω) t ) ( ik ) ( i( EF E% h h E I hω) t h) Nezbývá než tento vztah zintegovat: c T = ik Γ t i E E% + t dt + T dfi E (? τ) exp exp( h) exp( ( hω) h) F I F I ih T dfi E exp exp( I ) exp ( % F I ω) ih + ik Γ t h i E E h t h dt = T? τ = dfi E exp( ik ) dfi ik = + iγi ( EF E% I + hω) iγi EF E% I E exp ( hω) Pvní člen je zodpovědný za emise fotonu a duhý za jeho absopci. Tedy: c c emise F absopce F = = d FI E exp( ik ) ( % h ) E exp( ik ) ( % h ) iγi EF EI + ω d FI iγ E E ω I F I (A.a) (A.b) 7

172 Pavděpodobnost absopce espektive emise fotonu za jednotku času tedy s použitím vztahu po intenzitu světla I = εcne vychází (A.): Γ τ = τ = = ω emise absopce emise absopce I wi F cf dfi e E 4 I I h F % I ± h +ΓI A.3 Einsteinovy koeficienty π = I dfi e I h ε cn EF E% I ± h +ΓI Γ π ( ω) ( E E ) Z temodynamického popisu dvojhladinového modelu jsme získali, že pavděpodobnost stimulovaného přechodu za jednotku času je: N& N I I = cσ q = h ω B f ω ω q = w ω (A.3) emise (, ) I F IF I F τ I Dosadíme-li do (A.) za intenzitu I = ch ωq, kde po jednoduchost předpokládáme, že se nacházíme v ezonanci h ω = E% E. Dále předpokládejme, že spektální čáa má pouze I F přiozenou šířku, poto je její tva loentzovský a platí h ω = Γ I. Navíc přecházíme ke statistickému soubou částic s náhodně oientovanými dipóly, tudíž musíme vystředovat člen d e. Pak tedy Einsteinův koeficient stimulované emise (A.4): FI π π e π e ω = ω = = h ϑ = BIF q dfi e ch q BIF cos FI e FI π ω h εcn πγi h εε h εε π π π e π e = cos sin ˆ FI ϑ ϑdϑdϕ = ψ F ψ I h εε 4π 3h εε K ostatním koeficientům se dostaneme s využitím vztahů (4.8) a (4.7b). Appendix 3 Nelineaita polaizace n-tého řádu Dosaďme n-složkové pole ve tvau (5.a) do výazu po nelineání polaizaci postředí n-tého řádu (5.3). Za předpokladu, že tenzo susceptibility je pemutačně symetický, platí: n n (n) t (n) t(n) P () t = εχ E () t E () t... E () t = εχ { Eω exp ( iωmt) + cc.. m } (A3.) m= Výaz v závoce nyní musíme oznásobit pomocí multinomické věty, s předpokladem komutativity násobení. Multinomická věta zní (A3.): n * * n! a b an * * ( n n ) n ( ) ( n ) bn A A + A A = A... A A... A + cc.. K a!... an! b!... bn! 7

173 Sčítá se přes všechny takové kombinace K: a an + b bn = n, kde po indexy platí ak {,,,..., n} a bk {,..., ak}, neboli bk ak. Dosadíme-li příslušná pole, dostaneme: n (n) t(n) n! ak b n * k P () t = εχ exp ( k k) k.. n Eω E i a b t cc K a!... an! b!... bn! k ω ω + = k k= k= = { P ω exp ( iωt) + cc..} Po amplitudy polaizace tedy platí: ω n P ω = a b ω = εχ E E k k= a!... an! b!... bn! k= n t(n) n! ak * ( k k) k n ( ω ) ( ω ) k bk (A3.3) Appendix 4 Tenzo dipólové susceptibility A4. Obecné zavedení tenzou susceptibility Abychom odvodili tenzo susceptibility z odezvové funkce, využijeme vztahu (5.6) a povedeme Fouieovu tansfomaci. Vyjdeme tedy z: t t t n (n) t (n) n n n n n n P E E ( t, ) = ε dt d dt d... dt d Φ ( t,;, t ;..., t ) (, t )... (, t ) Z pincipu kauzality plyne, že vývoj polaizace může být ovlivněn pouze stavy z minulosti až do času t, ve kteém nás polaizace zajímá. Odezvová funkce po časy ti > t musí být t (n) Φ t > t =, a poto můžeme ozšířit meze integálu do nekonečna. identicky ovna nule i P E E t (n) (n) n n n n n n ( t, ) = ε dt d dt d... dt d Φ ( t,;, t ;..., t ) (, t )... (, t ) Pokačujme stále bez újmy na obecnosti a zaveďme funkci odezvy postředí vztaženou k bodu t (n) t(n) a času t, po kteou platí Φ ( t,;, t;... n, tn) = R ( t,;, t t;... n, t tn). 3 3 Použijme substituci τi = t ti dτi = dti a ρi = i d ρi = di. Tedy: t P E E (n) 3 3 (n) n n n n n n ( t, ) = ε dτ d ρ... dτ d ρ R ( t,; ρ, τ ;... ρ, τ ) ( ρ, t τ )... ( ρ, t τ ) Zaveďme si obecné pole i polaizaci pomocí Fouieovy tansfomace: 4 3 ( t, ) = ( π) dωdk ( k, ω) exp i( ωt k ) (n) 3 (n) 73 E E (A4.a) P P (A4.b) ( k, ω) = dtd ( t, ) exp i( ωt k )

174 Po dosazení dostaneme: n (n) , ( ) P k ω = ε dtd π dωmdkm dτmd ρm exp i( ωmt km ) m= t(n) exp i ωτ k ρ R t,; ρ, τ ;... ρ, τ E k, ω... E k, ω exp i ωt k ( ( m m m m) )} ( n n) ( ) ( n n) Fouieova tansfomace obecné odezvové funkce neboli obecná susceptibilita n-tého řádu tedy vychází (A4.): n n n t(n) 4 3 χ k km, ω ωm; k, ω;... kn, ωn ( π) = dτmd ρm exp i( ωτ m m km ρm) m= m= m= n n 3 t(n) dtd exp i ω ωm t k km R ( t,; ρ, τ;... ρn, τn) m= m= Polaizace pak vychází jako (A4.3): (n) 3 3 (n) P E E 4 4n t ( k, ω) = ε( π) dωdk... dωndknχ ( k, ω; k, ω;... kn, ωn) ( k, ω)... ( kn, ωn) A4. Časově invaiantní postoově homogenní susceptibilita Je čas přistoupit k zjednodušení a předpokládat, že odezva postředí je homogenní v celém objemu a že je časově invaiantní. Pak nebude záviset na souřadnicích t,. Spočteme ji s užitím identity o delta funkci (A4.4): Dostaneme ji ve tvau (A4.5): t 4 { (( ω Ω) ( ) )} = ( π) δ( ω Ω) δ( ) 3 dtd exp i t k K k K t (n) (, ;, ;..., ) (, ;..., ) n n (n) χ k ω k ω kn ωn =Χ k ω kn ωn δ ω ωm δ k km m= m= n t t Kde Χ (n) ( k ) 3 ( ) (n), ω;... kn, ωn = dτmd ρm exp i ωmτm km ρm R ( ρ, τ;... ρn, τn) m= Fouieova tansfomace postoově i časově homogenní odezvové funkce. Delta funkce s fekvenčním agumentem vyjadřuje zákon zachování enegie. Duhá delta funkce s agumentem z vlnových vektoů pak vnáší do výazu zákon zachování hybnosti. Předpokládejme nakonec n-složkové pole v podobě ovinné vlny, pak jeho Fouieova tansfomace bude vyjádřena delta funkcemi (A4.6): E, t = E exp i t k + cc.. F-T-. n ( m m) ' ' ( ω l m l m) l= k l, ω l je 74

175 ( π) 4 n F-T-. ( k, ) E ω = δ ω ω δ l k k k E E + δ ω + ω δ k k + k * ( ) ( ) ( ) ( ) m m ', ' m l m l ', ' m l m l = l ωl l ωl Po dosazení tohoto výazu do vztahu (A4.3) nám zmizí integace přes fekvence a vlnové vektoy. Za předpokladu, že polaizace také poběží jako ovinná vlna, nakonec dostaneme vztah podobný výazu (A3.3). P k k k E E k k k n al ε n! t(n) * = χ (, ω ;, ω ;..., ) ', ' n n ω n ω a ', ' ', '!... an! b!... bn! l= l ωl l ωl bl (A4.7) n Kde je zachována enegie ω = ( al bl) ω l a hybnost = ( ) l= n k al bl k l. l= Appendix 5 Záření nelineáního postředí A5. Vlnová ovnice v nelineáním postředí D E P. Nyní už Vekto elektické indukce je dán vztahem (.3a): ( t, ) = ε ( t, ) + ( t, ) o polaizaci víme o něco více. Můžeme ji ozdělit na lineání a nelineání část. Předpokládejme nyní po jednoduchost izotopii lineání susceptibility: t P.P P E P (A5.) () ( t, ) = L ( t, ) + NL ( t, ) = εχ ( t, ) + NL ( t, ) Do ovnice (.b) dosaďme ze vztahů (.3b) a (.4) a zdeivujme podle času: t D B t E D B( t, ) = µσ E ( t, ) + µ = µσ + µ t t t t t ( t, ) ( t, ) ( t, ) ( t, ) Dosazením z (.a), (.3a), (A5.) a užitím identity (A.) dostaneme: t E t t E P () E ( t, ) + E ( t, ) = µσ + εµ ( + χ ) + µ t t t NL t, t, t, D E. Pak z třetí Je čas na pvní apoximaci. Nechť je elektická indukce dána ( t, ) =ε ( t, ) Maxwellovy ovnice D ( t, ) = ρ= plyne, že ln ( ε) ( t, ) = ( t, ) jasné, že velikost ( t, ) = ln ( ε) ( t, ) : k E E. Z toho je E E, potože pole deivujeme jen E t, = E t, : k, potože pole deivujeme dvakát. Z toho plyne jednou. Naopak tzv. skalání apoximace: E E (A5.) ( t, )? ( t, ) V UV oblasti je platnost této apoximace ještě patnější. Použijeme-li ji na naši vlnovou ovnici dostaneme: 75

176 A5. Soustava vázaných ovnic,, NL t E t t E t P t, E t, εεµ = µσ + µ (A5.3) t t t Vezměme pole a polaizaci ve tvau (5.6a) a (5.6b) dosaďme do vlnové ovnice (5.5) esp. (A5.3). Potože je pole válcově symetické, je dobé laplacián ozložit na podélnou a příčnou složku = + + = +, potože tansvezální část nedeivuje x y z T z exponenciálu. Navíc beeme v úvahu dispezi elativní pemitivity ε ε ( ω) σ = σ( ω). Tedy: = a vodivosti TEl ( zt,, ) exp ( i( ωlt kz l )) + E l ( zt,, ) exp( i( ωlt kz l )) l z µε ( ωl) E l ( zt,, ) exp ( i( ω lt kz l )) µσ ( ωl) El ( zt,, ) exp ( i( ωlt kz l )) + cc. = c t t P = µ P m( zt,, ) exp( i( ωmt kmz) ) + cc m t Po deivování a algebaických úpavách dostaneme (A5.4) l El E l n ( ωl) El E l E l TEl + + ik l kl El iω l ω l El µσ ( ωl) iωlel z z c t t t NL NL Pm P m NL P exp ( i( ω lt kz l )) +.. cc = µ iω exp m ωmpm ( i( ωmt kmz) ) + cc.. m t t Nyní povedeme několik zjednodušení, kteé povedou ke slibované soustavě vázaných ovnic: ω l ) Z definice vlnového vektou plyne: kl El = n ( ωl) E l c ) SVEA Slowly Vaying Envelope Appoximation, neboli apoximace pomalu se měnící obálkové funkce říká, že obálková funkce se mění mnohem pomaleji než oscilující složka pole. Platí tedy obecně po pole i polaizaci: Ai( zt,, ) Ai ( zt,, ) = k i = ki Ai ( zt,, ) z z postoová SVEA Ai( zt,, ) Ai ( zt,, ) = ω i = ωi Ai ( zt,, ) t t časová SVEA 3) Po nekonečně mnoho polí musí platit ωl = ωm, aby byla ovnost (5.4) splněna ve všech časech. Díky tomu se suma ozpadne na soustavu nekonečně mnoha difeenciálních ovnic. 76

177 Těmito úpavami dostaneme soustavu difeenciálních ovnic, kde m=,,, fázová ychlost F P vlny v cn n = n ω, ozdíl vlnových vektoů k = k k a vodivost σ m m = m, po m ( m) = σ ω : m m m m Em E m NL TEm + ikm + + iµσmω mem = µωmpm exp i k F mz z vm t (A5.5) Soustava ovnic (A5.5) je stále ještě dost složitá. V někteých případech se přistupuje E k přiblížení ovinných vln, kdy TEm (, zt, ) = popř. i m =. t Appendix 6 Konstukce vyhřívatelného džáku vzoků Vyhřívatelný džák vzoků umožňuje studovat inteakci mateiálů se zářením slabších pulsních laseů. S ostoucí teplotou totiž klesají pahové hodnoty fluencí, při kteých dochází k tání a ablaci mateiálu. Jeden pototyp tempeovatelného džáku už mají v Institute of Physics Polish Academy of Sciences. Dostal jsem možnost seznámit se s jeho konstukcí, kteá není jednoduchá. Musí se velice pečlivě volit mateiály, ze kteých se džák vyobí. Záoveň se musí počítat s vedením a vyzařováním tepla, potože teploty na vzocích mohou dosahovat až několika set C. Mateiály, kteé byly použity při výobě polského džáku jsou především molybden, tantal, neezová ocel a keamika. Molybden je tvdý mateiál, poto je z něj vyobeno nosné jádo džáku. Tantal je opoti němu elativně měkký. Keamika je tepelně odolný mateiál s dobými izolačními vlastnostmi. Zdojem tepla je v tomto džáku tantalová spiála zalitá v keamice. Jednotlivé segmenty (viz. ob. OA6.) jsou zapojené séiově a jsou přívodními vodiči (také v keamice) připojeny ke zdoji napětí. Volbou napětí lze měnit výkon a tedy i teplotu džáku. Spiála je uložena v ukostřené tantalové vaničce, na kteou jsou přiletované džáky vzoků. Vzoek samotný je k topnému tělesu přitlačován pužným molybdenovým dátem. Ob. OA6. Topné těleso vyhřívatelného džáku 77

178 Ob. OA6. Keamické izolační pouzdo Ob. OA6.3 Molybdenový izolační plech Samotná vanička se okolí přímo nedotýká, aby nedocházelo k velkému přenosu tepla vedením. Nejjednodušší poznatek o vedení tepla říká, že přenášený výkon je přímo úměný kontaktní ploše a nepřímo úměný délce tepelného vodiče. Tantalová vanička je poto připevněna ve čtyřech bodech ke speciálně vyobeným molybdenovým izolačním plechům (viz. ob. OA6,3). Kontakt v tomto případě není přímý, neboť je vanička uložena v keamických izolačních pouzdech (viz. ob. OA6.). Tímto způsobem upevnění se velice sníží přenos tepla dále do džáku a do inteakční komoy. O další edukci tepelného tanspotu se staá výše zmíněný molybdenový izolační plech, kteý využívá nepřímé úměy mezi přecházejícím výkonem a uaženou vzdáleností. Plech je speciálně vystřižený tak, aby teplo muselo od vaničky k nosné konstukci džáku pojít co možná největší vzdálenost, což je patné z ob. OA6.3. Další výhodou tohoto elementu je jeho pužnost a pevnost. Potože je džák vyoben z více duhů mateiálů, musíme počítat s ozdílnou teplotní oztažností jednotlivých komponent. Kdyby byl svařen napevno, mohlo by v důsledku jejich ozdílných délek dojít k poškození sváů či defomaci džáku. Poto se volí pužné spojení dílů. Ob. OA6.4 Příčný řez tempeovatelným džákem Další potíží spojenou s ohřevem je vyzařování tepla, kteé začíná být významné při vyšších teplotách. Ačkoli je vyzařovaný výkon úměný ploše zářiče, nelze tuto plochu zedukovat jako v případě vedení, přesto lze omezit ohřev nosné konstukce džáku vlivem záření. Vysvětlení je v ob. OA6.4. Pod spiálou je umístěna další tantalová vanička, kteá v tomto případě slouží jako odazná plocha po tepelné záření. Tato plocha není v žádném 78

179 kontaktu se spiálou, a potože se tento džák používá ve vakuu, nehozí ani vedení tepla vzduchem. K vlastnímu jádu džáku se tedy dostane jen minimum tepla. Nosné jádo džáku je vyobeno z molybdenu a neezové oceli. Jeho konstukce je naznačena v ob. OA6.6. Na molybdenové tyči vyobené ve tvau kříže jsou připevněné výše zmíněné tantalové odazové vaničky. Spoj může být keamický nebo z molybdenového plechu. Na koncích tyče jsou upevněny molybdenové izolační plechy, ve kteých jsou uložena topná tělesa. Molybdenová tyč je přišoubována k silnému neezovému plechu. Ten je pak dále ocelovými tyčkami připevněn k dalšímu neezovému plechu, ve kteém jsou zabudované dvě zásuvky po připojení napětí. Nakonec se celý džák připevní k manipulátou v inteakční komoře. Ob. OA6.5 Pohled zboku na polský vyhřívatelný džák OA6.6 Nosné jádo džáku Vyhřívatelný džák umožňuje také měřit teplotu na vzoku. Slouží k tomu teplotní senzo vyvedený na zásuvku. Na následujícím obázku je fotogafie vyhřívatelného džáku zboku. 79