Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁ SKÁ PRÁCE. Libor Ku era. Stabilní rozd lení a finan ní aplikace

Transkript

1 Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁ SKÁ PRÁCE Libor Ku era Stabilí rozd leí a fia í aplikace Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalá ské práce: Prof. Lev Klebaov DrSc. Studií program: Matematika fia í matematika 007

2 Prohlašui že sem svou bakaláskou práci apsal samostat a výhrad s použitím citovaých prame. Souhlasím se zapováím práce. V Praze de 6. ervece 007 Libor Kuera

3 Obsah Úvod...5 Stabilí rozdleí.. Základí vlastosti stabilích rozdleí Defiice stability Jié defiice stability Parametrizace stabilích rozdleí Hustoty a distribuí fukce Pravdpodobosti chvost rozdleí momety a kvatily Souet stabilích áhodých velii Simulace Obecá cetrálí limití vta a oblasti pitažlivosti... Použití stabilích rozdleí v ekoomii.. Píos stabilích rozdleí v modelovaí fiaích dat Píklady aproximace pomocí stabilích rozdleí...4 Použitá literatura...8 3

4 Název práce: Stabilí rozdleí a fiaí aplikace Autor: Libor Kuera Katedra: Katedra pravdpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakaláské práce: Prof. Lev Klebaov DrSc. vedoucího: klebaov@karli.mff.cui.cz Abstrakt: Stabilí rozdleí byla avržea pro modelováí ady fyzikálích a ekoomických systém. V ekoomické oblasti se edá pedevším o systémy geeruící statistická data charakteristická šikmostí výrazou špiatostí a hodotami výzam se odlišuícími od vtšiy ostatích hodot. U tchto dat tedy selhává možost použití cetrálí limití vty a ásled Gaussova rozdleí ebo eich rozptyl asto eí koeý. V práci uvádím základí defiice vlastosti a typy parametrizace stabilích rozdleí. Dále poté uvádím píklady použití stabilích rozdleí pi modelovái fiaích dat. Klíová slova: stabilí rozdleí tžké chvosty obecá cetrálí limití vta Title: Stable distributios ad fiacial applicatios Author: Libor Kuera Departmet: Departmet of probability ad mathematical statistics Supervisor: Prof. Lev Klebaov DrSc. Supervisor s address: klebaov@karli.mff.cui.cz Abstract: The Stable distributios have bee proposed as a model for may types of physical ad ecoomic systems. I sphere of ecoomy i the first place are systems which geerate statistic data which are characteristic of a skewess a marked kurtosis ad values which are highly differet from the other maority values. A ability of usig a cetral limit theorem ad cosecutively Gauss distributio fails i ivestigatio ito these data because their variace is ofte ifiite. I my study I refer to the basic defiitios properties ad types of the parametrizatios of the stable distributios. Otherwise I refer to the examples of usig the stable distributios as a model for data of fiace. Keywords: stable distributio heavy tails geeralized cetral limit theorem 4

5 Úvod Stabilí rozdleí tvoí velkou skupiu rozdleí do které patí rovž Gaussovo Cauchyho a Lévyho rozdleí. Tuto tídu poprvé charakterizoval Lévy. Obecé stabilí rozdleí e popsáo tymi parametry: parametr vyadue špiatost šikmost škálu a polohu. Problém tchto rozdleí spoívá v tom že krom kolika rozdleí eexistue edotá formule pro zápis eich hustoty pravdpodobosti a distribuí fukce. Výpoetí problémy které z toho plyuly a bráily tak praktické aplikaci tchto rozdleí byly edávo vyešey. Stabilí rozdleí byla avržea pro modelováí ady fyzikálích a ekoomických systém. V ekoomické oblasti se edá pedevším o systémy geeruící statistická data charakteristická šikmostí výrazou špiatostí a hodotami výzam se odlišuícími od vtšiy ostatích hodot. 5

6 Stabilí rozdleí.. Základí vlastosti stabilích rozdleí V ásleduícím textu vycházím z publikací [] a [5]. Stabilí rozdleí sou velikou skupiou pravdpodobostích rozdleí která pipouští šikmost a tžké chvosty a maí moho velmi zaímavých matematických vlastostí. Tato skupia byla popsáa Paulem Lévym v eho aalýze sout ezávislých ste rozdleých áhodých velii v roce 90. Problém tchto rozdleí spoívá v tom že krom Gaussova Cauchyho a Lévyho rozdleí eexistue formule pro zápis eich hustoty pravdpodobosti a distribuí fukce. V souasé dob iž existuí spolehlivé poítaové programy které poítaí hustoty distribuí fukce a kvatily stabilích rozdleí. S tmito programy e možé používat stabilí modely pi ešeí rzých praktických problém. Stabilí rozdleí byla avržey ako model pro moho typ fyzikálích a ekoomických systém. Existue kolik dvod pro užití stabilích rozdleí k popisu systému. Prvím z ich e existece vážých teoretických argumet pro oekáváí e-gaussova stabilího modelu. Druhým dvodem e obecá cetrálí limití vta která tvrdí že ediá etriviálí limita ormovaého soutu ezávislých ste rozdleých áhodých velii e stabilí rozdleí. Argumetue se tím že které pozorovaé hodoty sou soutem moha malých velii (cea akcie šum v komuikaím systému atd.) a z tohoto dvodu by ml být k popsáí takového systému použit stabilí model. Tetí dvod pro modelováí se stabilím rozdleím e empirický - velmi rozsáhlé možiy dat vykazuí tžké chvosty a šikmost. Takové možiy sou edokoale popsáy Gaussovým rozdleím ale mohou být dobe popsáy stabilím rozdleím. Pesvdivý empirický dkaz tchto rys v kombiaci s obecou cetrálí limití vtou se používá k ospravedlí použití stabilích model. 6

7 .. Defiice stability Dležitou vlastostí Gaussových áhodých velii e že souet dvou z ich e opt Gaussova áhodá veliia. Jedím z dsledku této vlastosti e že pokud X X X ~ N ( µ ) a b R+ potom σ pro uritá d ax + bx = cx + d (.) c R + d R. Popsáo slovy rovice (.) íká že tvar X e pi sítáí zachová až a mítko a posuutí. Defiice. Náhodá veliia e stabilí ebo stabilí v širším smyslu estliže pro ste rozdleé X X X a pro a b R + platí (.) pro urité c R + d R. Náhodá veliia e strikt stabilí ebo stabilí v užším smyslu estliže (.) platí pro d = 0 a akákoliv a b. Náhodá veliia X e symetricky stabilí pokud e stabilí a symetricky rozdleá kolem 0 t. X = d X. Dv áhodé veliiy X a Y sou steého typu pokud existuí kostaty A > 0 B R pro které X = d AY + B. Defiici stability poté mžeme peformulovat a: ax + bx e steého typu ako X. (.)). Slovo stabilí se používá proto že tvar rozdleí e pi sítáí zachová (viz Existuí ti pípady kdy záme pesý zápis pro hustotu rozdleí a sme schopi si ovit že Gaussovo Cauchyho a Lévyho rozdleí sou stabilí. Píklad. Gaussovo rozdleí. Náhodá veliia X má Gaussovo rozdleí ( X ~ N( µ σ ) ) pokud má eí hustota tvar ( x µ ) f ( x) = exp < x <. πσ σ Distribuí fukce F ( x) = P( X x) = Φ(( x µ ) / σ ) kde Φ (z) e pravdpodobost že stadardizovaá ormálí áhodá veliia e meší ebo rova z. 7

8 Píklad.3 Cauchyho rozdleí. Náhodá veliia X má Chauchyho rozdleí X ~ Cauchy( γ δ ) pokud má eí hustota tvar = γ f ( x) < < + ( x ) x. π γ δ Píklad.4 Lévyho rozdleí. Náhodá veliia X má Lévyho rozdleí X ~ Lévy( γ δ ) pokud má eí hustota tvar f γ γ x) = exp δ < x < / π ( x δ ) ( x δ ) (. 3 Obrázek. zázorue graf tchto tí hustot. Gaussovo a Cauchyho rozdleí sou symetrické kivky zvoovitého tvaru. Hlavím rozdílem mezi imi e to že Cauchyho rozdleí má mohem tžší chvosty ak e patré z tabulky.. Pro Gaussovo rozdleí e pouze malá pravdpodobost výskytu hodot vtších ež 3 arozdíl od rozdleí Cauchyho kde tato pravdpodobost abývá ezaedbatelých hodot. Ve vzorcích dat z tchto dvou rozdleí bude v prmru stokrát více hodot vtších ež ti ve vzorku z Cauchyho rozdleí ež z Gaussova rozdleí. To e dvod pro se stabilím rozdleím íká s tžkými chvosty. Narozdíl od Gaussova a Cauchyho rozdleí e Lévyho rozdleí výzam šikmé eho hustota e eulová pro x > 0 a má dokoce ešt tžší chvost ež Cauchyho rozdleí. Obecá stabilí rozdleí pipouští rzé stup tžkosti chvost a rzé stup šikmosti. c P( X > c) Gauss Cauchy Lévy Tabulka. Porováí pravdpodobostí chvost stadardizovaého Gaussova Cauchyho a Lévyho rozdleí Krom Gaussova Cauchyho a Lévyho rozdleí eexistue žádé uzaveé vyádeí pro obecé stabilí hustoty a e epravdpodobé že která další stabilí 8

9 rozdleí maí uzaveý tvar pro svoe hustoty. Zolotarev ukázal že v kterých pípadech sou hustoty a distribuí fukce stabilích rozdleí vyáditelé za pomoci rzých speciálích fukcí. Existuí tabulky a pesé výpoetí algoritmy pro distribuí fukci ormovaého Gaussova rozdleí které se bž používaí v ormálích modelech. V souasé dob máme poítaové programy které poítaí quatities of iterest pro stabilí rozdleí takže e mžeme využít pi ešeí praktických problém. Obrázek.: N(0) Cauchyho(0) a Lévyho (0) hustoty rozdleí.3. Jié defiice stability Existuí další ekvivaletí defiice stability áhodých velii. Dv z ich zde zmííme. Dá se dokázat vzáemá ekvivalece tchto defiic. Defiice.5 Nedegeerovaá áhodá veliia X e stabilí estliže pro > N existuí kostaty c > 0 a d R takové že X + X X = c X + d d kde X... X X sou ezávislé a ste rozdleé ako X. Náhodá veliia X e strikt stabilí práv tehdy když d = 0 pro N. 9

10 Dá se dokázat že ediou možou volbou kostaty c e / c = pro aké (0]. Jakkoliv sou tyto defiice užiteé emžeme e použít k pesé parametrizaci stabilích rozdleí. Nekokrétší zpsob popisu všech stabilích rozdleí e pomocí charakteristické fukce ebo Fourierovy trasformace. Fukce sg použitá íže e defiováa ako sg( u ) = 0 u < 0 u = 0 u > 0. Ve vztahu uvedeém íže budeme pro pípad = výraz 0.log0 vždy iterpretovat ako 0. Defiice.6 Náhodá veliia X e stabilí práv tehdy když X = d az + b kde 0 < β a > 0 b R a Z e áhodá veliia s charakteristickou fukcí π exp u iβ ta ( sig( u)) ( ) E exp iuz = ( ( )) = (.) exp u + iβ sig u log u π Tato rozdleí sou symetrická kolem 0 pokud β = 0 a b = 0. V tomto pípad má charakteristická fukce Z edodušší tvar Φ ( u) = exp{ a }.. Gaussovo rozdleí ( µσ ) u N e stabilí s parametry = β = 0 b = µ a = σ / Cauchyho ( γ δ ) rozdleí e stabilí s parametry = β = 0 a = γ b = δ a Lévyho ( γ δ ) rozdleí e stabilí s parametry = / β = a = γ b = δ. Pro áhodou veliiu X s rozdleím s distribuí fukcí F(x) e charakteristická fukce defiováa ako Φ ( u ) = E exp( iux ) = exp( iux ) df( x). Fukce ( u) užiteých matematických vlastostí. Φ popisue rozdleí X a má moho 0

11 .4. Parametrizace stabilích rozdleí Defiice.6 íká že k popisu obecého stabilího rozdleí potebueme tyi parametry: idex stability ebo-li charakteristický expoet (0] parametr β škálový parametr γ > 0 a parametr polohy δ R. Parametry šikmosti [ ] sou omezey v itervalech (0] [ ] β γ 0 a δ R. Obec e γ > 0 avšak γ = 0 bude kdy použito k ozaeí degeerovaého rozdleí kocetrovaého v δ. Jelikož a β ozauí typ rozdleí mohou být považováy za parametry tvaru. Existuí mohoeté parametrizace stabilích rozdleí které sou píiou moha edorozumí. Rzorodost parametrizací e zapíia kombiací historického vývoe a umerických problém které byly aalyzováy užitím speciálích tvar stabilích rozdleí. V rzých situacích máme dobrý dvod použít rozdílé parametrizace. Pro umerický výpoet ebo aproximaci dat e vhodší iá parametrizace ež pro získáí edoduchých algebraických vlastostí rozdleí. Pro studii aalytických vlastostí strikt stabilích rozdleí e také vhodá odlišá parametrizace. Nyí popíšeme dva typy parametrizací. Ve vtši literatury se ozaeí S ( σ β µ ) používá pro tídy stabilích rozdleí. My budeme používat modifikovaé ozaeí tvaru S ( β γ δ ;k) ze tí dvod. Za prvé obvyklé ozaeí specifikue ako rzé ale pev daé. Ve statistických aplikacích sou všechy tyi parametry ( β γ δ ) ezámé a potebueme e odhadout. Nové ozaeí toto zdrazue. Za druhé škálový parametr eí smrodatou odchylkou (dokoce ai v pípad Gaussova rozdleí) a parametr polohy eí obec rove stedí hodot proto používáme obecé symboly: γ pro škálový parametr a δ pro parametr polohy. Za tetí by ml být asý rozdíl mezi typy parametrizace což e splo parametrem k ež ám ozaue daý typ. Defiice.7 Náhodá veliia X e S ( β γ δ ;0) pokud X d π γ Z β ta + δ = γ Z + δ = (.3)

12 kde Z( β ) Z = e dáo vztahem (.). X má charakteristickou fukci π exp{ γ u [ + iβ (ta )(sg u)( γ u )] + iδ u} E exp{ iux } = (.4) exp{ γ u[ + iβ (sg u) log( γ u )] + iδ u} =. π Pokud e rozdleí stadardizováo t. škálový parametr γ = a parametr polohy δ = 0 užívá se symbolu S ( β;0) ako zkratky pro S ( β 0;0). Defiice.8 Náhodá veliia X e S ( β γ δ ;) pokud X d kde Z( β ) γ Z + δ = γ Z + ( δ + β γ logγ ) π = Z = e dáo vztahem (.). X má charakteristickou fukci (.5) π exp{ γ u [ iβ (ta )(sg u)] + iδ u} E exp{ iux } = (.6) exp{ γ u[ + iβ (sg u) log u ] + iδ u} =. π Pro stadardizovaé stabilí rozdleí se používá zkráceé ozaeí S ( β;). Ozaeí Pozameeme že pro β = 0 sou tyto dv parametrizace idetické. S S se používá ako zkratka pro symetrické -stabilí rozdleí. Pro daý škálový parametr γ e S S( γ ) = S( 0 γ 0;0) = S ( 0 γ 0; ). Pro = e S ( 0 γ δ ;0) = S(0 γ δ ;) Gaussovým rozdleím se stedí hodotou δ a rozptylem γ (viz defiice charakteristické fukce). Doporuue se používat parametrizaci z defiice.7 pro umerické výpoty a statistické odvozováí se stabilími rozdleími. Má totiž eedodušší tvar pro charakteristickou fukci která e spoitá ve všech parametrech. Pokud e ( X δ ) X ~ S( β γ δ ;0) potom e ~ S( β 0;0). γ Pokud ovšem komu vyhovue edoduchý tvar charakteristické fukce a dobré algebraické vlastosti e pro výhodší použít parametrizaci z defiice.8. Pro své vlastosti se stala epoužívaší parametrizací a s eí pomocí se dokazuí rzá fakta o stabilích rozdleích. Hlaví evýhodou této parametrizace

13 e to že poloha modusu eí ohraieá v okolí = ; pro X ~ S( β γ δ ;) a β > 0 e modus v limit pro rove + a pro e rove. V tchto dvou parametrizacích maí parametry β a γ steé hodoty. Liší se pouze hodota parametru δ. Ozame δ 0 hodotu parametru pro S ( β γ δ ;0) δ pro S ( β γ δ ;). Potom a π π δ + βγ ta δ 0 βγ ta δ = = 0 δ (.7) δ + log = β γ γ δ 0 β γ logγ =. π π.5. Hustoty a distribuí fukce Pestože pro hustotu obecého stabilího rozdleí eexistue pesý pedpis víme moho o teoretických vlastostech hustot tchto rozdleí. Následuící vtu uvádím bez dkazu. Vta.9 diferecovatelou hustotou. Všecha edegeerovaá stabilí rozdleí sou spoitá s ekoe Abychom odlišili hustoty a distribuí fukce daé rzými parametrizacemi bude f ( x β γ δ ; k) ozaovat hustotu a F( x β γ δ ; k) distribuí fukci S( β γ δ ; k) rozdleí (pro stadardizovaé rozdleí f ( x β; k) a F( x β; k) ). Jelikož všecha stabilí rozdleí mohou vzikout posuutím a zmou mítka (zma škálového parametru) z kterého rozdleí typu Z ~ S( β;0) budeme se hloubi zabývat rozdleími tohoto typu. Defiiím oborem stabilích rozdleí e bu celá reálá osa ebo e eí ást (polopímka). Druhá možost astává pouze pro < a β = ±. Pesé meze dává ásleduící lemma. 3

14 Lemma.0 Defiií obor stabilího rozdleí pi rzé parametrizaci e dá π [ δ γ ta + ) < β = π def. obor f ( x β γ δ ;0) = ( δ + γ ta ] < β = ( + ) iak Hodota [ δ + ) < β = def. obor f ( x β γ δ ;) = ( δ ] < β = ( + ) iak ta π se pi práci se stabilími rozdleími vyskytue asto. Proto se vyplatí popsat podrobi eí chováí. Obrázek.5 ukazue že pro ta π + pro ta π a pro = eí ta π defiováa. Nespoitost v = e pro ás kdy velice epíemá pi práci se stabilími rozdleími. Platí však že pro β = a se defiií obor v lemma.0 zvtšue a R. Obrázek.5 Graf ta π ako fukce 4

15 Jiým základím faktem o stabilích rozdleích e reflexiví vlastost. Tvrzeí. Reflexiví vlastost. Pro akákoliv a β Z ~ S( β; k) k = 0 platí d Z( β ) = Z( β ). Proto hustota a distribuí fukce áhodé veliiy Z ( β ) spluí f ( x β; k) = = f ( x β; k) a F( x β; k) = F( x β; k). Pedpokládeme prv pípad β = 0. Potom z reflexiví vlastosti získáváme f ( x 0; k) = f ( x0; k) takže hustota a distribuí fukce sou symetrické kolem 0. Pokud sižueme hodotu mí se hustota ze tí hledisek: vrchol se posouvá vzhru oblasti kolem vrcholu klesaí rychlei a chvosty se stávaí tžšími. Pokud e β > 0 rozdleí e zešikmeé s pravým chvostem tžším ež > pro dostate velké x > 0. Pokud e β = íkáme levým: P( X x) > P( X < x) že rozdleí e úpl zešikmeé doprava. Z reflexí vlastosti vyplývá že pro β < 0 e tžší levý chvost a pro β = e rozdleí úpl zešikmeé doleva. Pro = mluvíme o estadardizovaém ormálím rozdleí. π Pozameeme že ta = 0 ve vzorci (.) takže charakteristická fukce abývá kladých hodot a proto e v tomto pípad rozdleí vždy symetrické bez ohledu a d hodotu β ( Z( β ) = Z(0) ). Obec pro se všecha stabilí rozdleí stávaí rozdleími symetrickými a β ztrácí a svém výzamu..6. Pravdpodobosti chvost rozdleí momety a kvatily Pro = má Gaussovo rozdleí dobe pochopitelé asymptotické vlastosti a chvostech rozdleí. Stru zde probereme chvosty stabilích rozdleí pro <. Výraz h ( x) ~ g( x) pro x a pro ás bude zameat že lim h( x) / g( x) =. x a Následuící vtu uvádím bez dkazu. 5

16 Vta. Aproximace chvost. Nech X ~ S( β γ δ ;0)0 < < < β. Potom pro x platí P( X > x) f ( x β γ δ ;0) ~ ~ γ c γ c ( + β ) x ( + β ) x ( +) π kde c = si Γ( ) / π. Použitím reflexe dostáváme že vlastosti ižšího chvostu sou podobé: Pro β < e P X < x c ) x ( ) ~ γ ( β a f ( x β γ δ ;0) ~ ( +) ~ γ c ( β ) x. Pro všecha < a β > sou pravdpodobosti a hustoty vyššího chvostu rozdley asymptoticky podle mociého rozdleí (Pokud e β = pravé stray ve vt. sou rovy 0. V tchto pípadech esou pravdpodobosti chvost asymptoticky rozdleé podle mociého rozdleí). Paretova rozdleí sou tídou pravdpodobostích záko daých pes pravou straou ve vt.. Poem stabilího Paretova pravidla se používá pro rozlišeí mezi rychlým poklesem u Gaussova rozdleí a chováím Paretových rozdleí v pípadech kdy e <. Obec platí že rozdleí má tžké chvosty estliže sou eho chvosty tžší ež chvosty expoeciálího rozdleí. Pro < má stabilí rozdleí ede ( < β = ± ) ebo oba koce (všechy ostatí pípady) rozdley asymptoticky podle mociého rozdleí s tžkými chvosty. Jedím z dsledk tžkých chvost e že e vždy existuí všechy momety stabilích rozdleí. Ve vtši statistických úloh se k popisu rozdleí používaí prví momet EX a rozptyl Var( X ) EX = EX ( ). Ty se však ehodí k popisu stabilích rozdleí ebo výraz pro stedí hodotu daý itegrálem mže divergovat. Namísto toho e kdy užiteé použít ásteé absolutí momety: E X p p = x f ( x) dx kde p R. Pro 0 < < e p E X koeé pro 0 < p < a p E X = + pro p. Z tohoto dvodu e pro 0 < < E X = EX = + a stabilí rozdleí emaí koeý druhý momet a rozptyl. Pokud e < pak E X < a stedí 6

17 hodota X existue (viz íže). Pro e E X = + a stedí hodota eí defiováa. Tvrzeí.3 Pro < e stedí hodota X ~ S( β γ δ ; k) k = 0 rova π µ = EX = δ = δ 0 βγ ta k Uvažme co se stae se stedí hodotou áhodé veliiy X ~ S( β;0) pro. Pestože modus rozdleí zstae blízko 0 stedí hodota bude rova µ = β ta π. Pokud e β = 0 rozdleí e symetrické a stedí hodota e vždy 0. Jestliže e β > 0 stedí hodota kovergue k + ebo i pes árst obou chvost vzrstá pravý rychlei. Vzhledem k reflexi platí že pro β < 0 µ. Pokud dosáhe sou oba chvosty píliš tžké aby itegrál EX = x f ( x) dx kovergoval. Naproti tomu si rozdleí S ( β;) udržue stedí hodotu rovou 0 ímž e dosažeo posuem celého rozdleí pro. Napíklad pro < < e F ( 0 ;) = / a F ( 0 ;) pro. V tomto pípad e vtšia pravdpodobosti alevo od 0 a pouze malé možství e apravo avšak stedí hodota e stále rova 0 vzhledem k velmi pomalému poklesu pravého chvostu. Toto chováí e v podstat steé pro β > 0. Pozameeme zde že parametr šikmosti β eí obec zámým parametrem šikmosti. Druhý zmiovaý eí totiž defiová pro žádé e-gaussovo stabilí rozdleí protože ai tetí momet ai rozptyl tchto rozdleí eexistue. Tabulky kvatil stadardizovaého ormálího rozdleí sou uvedey ve th vtši pravdpodobostích a statistických kih. Nech z λ e λ kvatil t. z λ e hodota pro íž e P ( Z < z ) λ. Bž se používá hodota z. 96 : Pro λ = = X ~ N( µ σ ) e kvatil rove µ. 96σ a kvatil e rove µ +. 96σ. Kvatily se používaí k vyísleí rizika ap. v Gaussov modelu cey aktiva obsahue iterval ( µ. 96σ µ +. 96σ ) 95 % rozdleí cey aktiva. 7

18 Kvatily stadardizovaého stabilího rozdleí se používaí obdob. Potíž e v tom že pro rzé hodoty a β se od sebe kvatily liší. Pro ozaeí λ -kvatilu rozdleí S ( β;0) se používá symbolu z ( β ) a platí P ( Z < z ( β )) λ = λ. Needodušším zpsobem ak alézt hodoty tchto kvatil e použití vhodého softwaru. Dalším zpsobem e alezeí edotlivých hodot v tabulkách. Kvatily stabilích rozdleí se od kvatil Gaussova rozdleí liší ve dvou vcech. Za prvé pokud eí stabilí rozdleí symetrické t. β 0 pak esou ai eho kvatily symetrické. Za druhé vzhledem ke škálovému parametru záleží a použité parametrizaci rozdleí. Pro S ( β γ δ ;0) e vše asé. Jié parametrizace bychom mli pevést a parametrizaci S ( β γ δ ;0) použitím (.7). λ.7. Souet stabilích áhodých velii Jedou ze základích vlastostí stabilích rozdleí e že souet -stabilích áhodých velii e -stabilí. Parametry pro souet ezávislých áhodých velii sou uvedey íže. Pokud sou sítace závislé e výsledý souet stabilí ale pesé vyádeí e mohem složitší a závisí a daé závislosti. Jako v pedchozích pípadech záleží výsledky a typu použité parametrizace. U tchto výsledk e základí vlastostí to že výsledé souty maí steý parametr. Tvrzeí.6 Parametrizace S ( β γ δ ;0) má ásleduící vlastosti: (a) Pokud e X ~ S( β γ δ ;0) potom pro akákoliv a 0 b R ax + b ~ S( (sg a) β a γ aδ + b;0). (b) Charakteristické fukce hustoty a distribuí fukce sou spole spoité ve všech tyech parametrech ( β γ δ ). (c) Pokud X S( β γ ;0) a X S( β γ ;0) sou ezávislé ~ δ ~ δ áhodé veliiy pak X + X ~ S( β γ ;0) kde δ βγ + βγ β = γ = γ + γ γ + γ 8

19 π δ + δ + ta δ = δ + + δ π [ βγ β γ β γ ] [ βγ logγ β γ logγ β γ logγ ] =. Vzorec γ γ + γ = v (c) e zevšeobecím pravidla pro souet rozptyl ezávislých áhodých velii: σ σ + = σ. To platí pro ob ámi zmiovaé parametrizace. Pozameeme že pidáváme -tou mociu škálového parametru. Tvrzeí.7 Parametrizace S ( β γ δ ;) má ásleduící vlastosti: (a) Pokud e X ~ S( β γ δ ;) potom pro akákoliv a 0 b R (b) S( (sg a) β a γ aδ + b;) ax + b ~ S((sg a) β a γ aδ + b βγ a log a ;) π =. Charakteristické fukce hustoty a distribuí fukce sou spoité mimo bod = ale espoité v =. (c) Pokud X S( β γ ;) a X S( β γ ;) sou ezávislé β γ β = ~ δ ~ δ áhodé veliiy pak X + X ~ S( β γ ;) kde + β γ δ δ γ + γ γ = γ + γ δ = δ +. ásti (a) ve výše uvedeých tvrzeích ukazuí že γ a δ sou obecými parametry škály a polohy pro parametrizaci typu 0 avšak e pro pípad = pi parametrizaci typu. Pro kde Idukcí dostaeme vzorec pro souet stabilích áhodých velii: X ~ S( β γ δ ; k) =... ezávislé a w... w libovolé e souet γ = β = = = w γ w + w X w X ~ S( β γ δ ; ) (.8) X k β (sg w ) w γ a γ 9

20 δ = π w δ + ta βγ β w γ w + δ ta βγ logγ β w γ log w γ π w δ w δ π β w γ log w k = 0 k = 0 = k = k = =. Pozameeme že pokud e β = 0 pro pak β = 0 a δ = w δ. Dležitým pípadem e škálová vlastost stabilích rozdleí. Pokud sou edotlivé sítace ezávislé a ste rozdleé ~ S( β γ δ ; k) potom kde X X / X ~ S( β γ δ ; ) (.9) k δ π δ + γβ ta ( = δ + γβ log π δ / ) k k = 0 = 0 = k =. Jiou formulací defiice.5 e: Tvar rozdleí soutu áhodých velii e te samý ako maí sítaá rozdleí. Zdrazme že žádé ié rozdleí tuto vlastost emá. Výše uvedeými vlastostmi lieárích kombiací áhodých velii se stabilím rozdleím mžeme popsat striktí stabilitu. Tvrzeí.8 Nech X ~ S( β γ δ ; k) pro k = 0. Potom platí: k (a) Pro e X strikt stabilí práv tehdy když π δ = δ 0 βγ ta = 0. (b) Pro = e X strikt stabilí práv tehdy když β = 0. Zde e základí rozdíl mezi pípady kdy = a ostatími. Pokud e = sou strikt stabilí pouze symetrická rozdleí a parametr polohy mže být v tomto pípad libovolý. V pípadech kdy mže být β libovolé pokud e vhod 0

21 vole parametr polohy. Jiými slovy: z akéhokoliv stabilího rozdleí s mžeme posuutím vytvoit rozdleí strikt stabilí. Pokud e = e každé symetrické stabilí rozdleí strikt stabilí a žádým posuutím emžeme z esymetrického -stabilího rozdleí vytvoit strikt stabilí rozdleí..8. Simulace V ásleduícím textu vycházím z publikací [3] a [4]. V této ásti bude U U U ozaovat ezávislé R (0 ) rozdleé áhodé veliiy. V kolika speciálích pípadech záme zpsob ak geerovat stabilí áhodé veliiy. Pro Gaussovo rozdleí: X X = µ + σ = µ + σ logu logu cos π U si π U (.0) X a X sou dv ezávislé N ( µ σ ) rozdleé áhodé veliiy. Teto postup e zám ako Box-Mullerv algoritmus. Pro Cauchyho rozdleí: X má Cauchyho ( γ δ ) rozdleí. Pro Lévyho rozdleí: X má Lévyho ( ) δ X = γ ta( π ( U / )) + δ (.) X = γ + δ (.) Z γ rozdleí pokud Z ~ N(0). Pro obecé stabilí rozdleí existue metoda popsaá Chambersem k simulaci akékoliv stabilí áhodé promé. Následuící vtu uvádím bez dkazu. Vta.9 ezávislé áhodé veliiy Simulace stabilích áhodých promých. Nech Θ a W sou stedí hodotou 0 <. Potom: π π Θ ~ R W e expoeciál rozdleá se

22 (a) Symetrická áhodá veliia si( ) Θ / Z = ( cos Θ) ta Θ cos má ( 0;0) S( 0; ) ( ) W S = rozdleí. ( )/ Θ =. (b) V esymetrickém pípad pro akékoliv β defiume ( β ta( π / ) ) θ = 0 arcta / pro. Potom ( ( ) ) ( θ + Θ ) si( θ0 + Θ) cos 0 / ( cosθ cos Θ) W 0 Z = π W cos Θ π + Θ ta Θ log β β π π + βθ má S ( β;) rozdleí. / =. Náhodé veliiy Θ a W získáme sado z ezávislých R (0) rozdleých áhodých velii U a U položeím Θ = π U a W = logu..9. Obecá cetrálí limití vta a oblasti pitažlivosti Klasická cetrálí limití vta íká že ormovaý souet ezávislých ste rozdleých áhodých velii s koeým rozptylem kovergue k ormálímu rozdleí. Pesi: ech X X... sou ezávislé ste rozdleé áhodé X 3 veliiy se stedí hodotou µ a rozptylem σ. Potom ám klasická cetrálí limití vta íká že pro výbrový prmr X = ( X +... X ) + / X d µ Z ~ N σ / Teto vztah mžeme pepsat a tvar ( 0) pro. a d N ( X... + X ) b Z ~ ( 0) kde = /( σ ) a b = µ /σ. a + pro (.3)

23 Obecá cetrálí limití vta íká že pokud vyecháme pedpoklad koeého rozptylu e ediou výsledou limitou stabilí rozdleí. Následuící vtu uvádím bez dkazu. Vta.0 Obecá cetrálí limití vta. Nech X X... e posloupost X 3 ezávislých ste rozdleých áhodých velii. Potom existuí kostaty a 0 b R a edegeerovaá áhodá veliia Z s vlastostí > a ( X X ) b Z práv tehdy když Z e -stabilí pro aké 0 <. d sout. Následuící defiice e užiteá pi zkoumáí kovergece ormovaých Defiice. Náhodá veliia X e v oblasti pitažlivosti Z práv tehdy když existuí kostaty a 0 b R s vlastostí > a d ( X X ) b Z kde X X... sou ezávislé áhodé veliiy ste rozdleé ako X. DA(Z) e X 3 možia všech áhodých velii které sou v oblasti pitažlivosti Z. Vta.0 íká že ediá možá rozdleí s oblastmi pitažlivosti sou rozdleí stabilí. 3

24 Fiaí aplikace stabilích rozdleí.. Píos stabilích rozdleí v modelovaí fiaích dat V ásleduícím textu vycházím z publikace []. Moho metod používaých v moderích fiacích velmi spoléhá a pedpoklad že rozdleí soutu áhodých velii se blíží Gaussovu rozdleí pestože se asové ady pozorovaé ve fiacích asto liší od Gaussova modelu v tom že eich rozdleí maí tžké chvosty a mohou být asymetrické. V takových pípadech e vhodost Gaussova modelu dosti diskutabilí. asto se argumetue tím že výosy z fiaích aktiv sou kumulovaým výsledkem obrovského možství iformací a idividuálích rozhodutí která astávaí tém spoit v ase. Proto e pi výskytu tžkých chvost pirozeé pedpokládat že se pibliž ídí podle stabilího e-gaussova rozdleí. Ostatím leptokurtickým rozdleím (Studetovo t Weibullovo atd.) chybí atraktivost cetrálí limití vty. Stabilí rozdleí sou úspš používáa k aproximaci akciových výos difereích dluhopisových výos smých kurz výos z ce komodit a výos z realit... Píklady aproximace pomocí stabilích rozdleí V této ásti budou aplikováy probraé metody a fiaí data. Vzhledem k omezeému rozsahu práce [] e použita pouze eda metoda piblížeí Koutrouvelisovo regresí piblížeí které poskytue vysokou pesost pi rozumé výpoetí dob. Empirickou aalýzu zaeme s evýzamším píkladem Dow Joes Idustrial Average (DJIA) idex. Možia dat pokrývá asový iterval od. úora 987 do 9. prosice 994 a porovává 000 deích výos. Teto iterval zahrue evtší propad v historii Wall Street eré podlí 9. ía stabilí rozdleí ( =.64) vykazue as lepší aproximaci DJIA výos ež Gaussovo rozdleí. Jeho lepší kvalita e evíce zetelá a chvostech rozdleí. Aby byla aše aalýza spolehlivší porovali sme vhodost obou typ rozdleí pomocí Aderso-Darligovy a Kolmogorovovy testové statistiky. S prv 4

25 meovaou mžeme zacházet ako s vážeou Kolmogorovovou statistikou která pikládá vtší váhu rozdílm a chvostech rozdleí. Pestože pro stabilí rozdleí esou zámy žádé asymptotické výsledky mžeme aproximaci p-hodot pro testy vhodosti získat pomocí metody Mote Carlo. Neprve e odhadut vektor parametr θˆ pro daý vzorek velikosti a testová statistika se spoítá s pihlédutím k tomu že vzorek e rozdle podle F (x; θˆ ) ímž obdržíme hodotu d. Poté geerueme vzorek délky F (x; θˆ ) rozdleých promých. Odhademe vektor parametr ˆ θ pro teto simulovaý vzorek a spoteme testovou statistiku s pihlédutím k tomu že vzorek e rozdle podle F ( x; ˆ θ ). Simulace se opakue do té doby dokud eí dosažeo požadovaého stup pesosti. Odhad p-hodoty e získá ako pomr potu testových statistik eichž hodota e vtší ebo rova d vi potu všech testových statistik. Pro vhodost aproximace DJIA výos -stabilím rozdleím sou hodoty Aderso Darligovy a Kolmogorovovy statistiky a Píslušé aproximovaé p-hodoty spoteé a základ 000 simulovaých vzork sou 0.0 a 0.5 což ám dovolue pipustit -stabilí rozdleí ako model DJIA výos. Hodoty testových statistik pro Gaussovo rozdleí vedou k p-hodotám meším ež což ás vede k zamítutí Gaussova modelu pro modelováí DJIA výos. Parametry: aproximace stabilím rozdleím aproximace Gaussovo rozdleím Testy: Aderso-Darlig Kolmogorov aproximace stabilím rozdleím (p-hodota) (0.0) (0.5) aproximace Gaussovo rozdleím (p-hodota) (<0.005) (<0.005) Tabulka.: Aproximace výos DJIA idexu v období od. úora 987 do 9. prosice 994. Testové statistiky a píslušé p-hodoty vypoítaé z 000 simulovaých vzork. Te samý postup aplikueme a 635 deích výos akcií firmy Boeig z období od. ervece 997 do 3. prosice stabilí rozdleí aproximue daá data velice dobe z ehož vyplývaí velice malé hodoty Aderso- 5

26 Darligových (0.3756) a Kolmogorovových (0.45) testových statistik. Píslušé aproximovaé p-hodoty spoteé ako v pedchozím pípad a základ 000 simulovaých vzork sou 0.8 a 0.8 což ám dovolue pipustit -stabilí rozdleí ako model výos akcií firmy Boeig. Na druhé stra hodoty testových statistik pro Gaussovo rozdleí vedou k p-hodotám meším ež což ás vede k zamítutí Gaussova modelu. Parametry: aproximace stabilím rozdleím aproximace Gaussovo rozdleím Testy: Aderso-Darlig Kolmogorov Aproximace stabilím rozdleím (p-hodota) (0.08) (0.8) Aproximace Gaussovo rozdleím (p-hodota) (<0.005) (<0.005) Tabulka.: Aproximace výos akcií firmy Boeig v období od. ervece 997 do 3. prosice 003. Testové statistiky a píslušé p-hodoty vypoítaé z 000 simulovaých vzork. Stabilí rozdleí se zdaí být Tailor-cut pro výosy DJIA idexu a akcií firmy Boeig. Ale fugue ste dobe pro ostatí výosy z aktiv? Bohužel e. Tém pro všechy výosy z aktiv poskytuí stabilí rozdleí lepší aproximaci ež Gaussovo rozdleí v mohých pípadech však testové statistiky a p-hodoty azauí že ai stabilí ai Gaussovo rozdleí esou pro daá data dostate vhodá. To e apíklad vidt v tabulce.3 kde e uvedeo porováí tchto rozdleí pro 4444 deích výos ze smého kurzu apoského yeu vi americkému dolaru (JPY-USD) v období od. prosice 978 do 3. leda 99. Empirické rozdleí emá chvosty rozdleé podle mociého rozdleí a vzdáleé chvosty sou stabilím rozdleím do zaé míry adhodoceé. Pro maažery rizika kteí maí averzi vi riziku to ovšem mže být výhodé pokud stabilí rozdleí adhodotí riziko a poskyte tak vyšší limit ztrát. Nicmé bychom pro mohé možiy dat mli a základ porováí avrhout iá vhodší rozdleí (hyperbolická zkráceá stabilí). 6

27 Parametry: Aproximace stabilím rozdleím Aproximace Gaussovo rozdleím Testy: Aderso-Darlig Kolmogorov Aproximace stabilím rozdleím (p-hodota) (<0.005) (<0.005) Aproximace Gaussovo rozdleím (p-hodota) (<0.005) (<0.005) Tabulka.3: Aproximace výos ze JPY/USD smého kurzu v období od. prosice 978 do 3. leda 99. Testové statistiky a píslušé p-hodoty. 7

28 Použitá literatura [] Borak S. Härdle W. Wero R. (005) Stable distributios SFB 649 Discussio Paper [] Klebaov L. B. (003): Heavy tailed distributios MATFYZPRESS Praha. [3] Nola J. P. (005): Stable Distributios workig paper. [4] Uchaiki V. V. Zolotarev V. M. (999): Chace ad stability VSP Moskva. [5] Zolotarev V. M. (986): Oe-dimesioal stable distributios America Mathematical Society Providece. 8