BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Klára Jelenová. Sbírka úloh z finanční matematiky

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Klára Jelenová. Sbírka úloh z finanční matematiky"

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Klára Jelenová Sbírka úloh z finanční matematiky Katedra ravděodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské ráce: RNDr. Jitka Zichová, Dr. Studijní rogram: Matematika, finanční matematika 2009

2 Dovoluji si na tomto místě oděkovat RNDr. Jitce Zichové, Dr., vedoucí bakalářské ráce, za její odoru i cenné rady ři vzniku této bakalářské ráce. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou ráci nasala samostatně a výhradně s oužitím citovaných ramenů. Souhlasím se zaůjčováním ráce a jejím zveřejňováním. V Praze dne Klára Jelenová 2

3 Obsah Úvod 6 Úrokování 7. Jednoduché úrokování Složené úrokování Polhůtné a ředlhůtné úrokování Polhůtné úrokování Předlhůtné úrokování Sojité úrokování Úrokové míry závislé na čase Příklady Finanční toky a důchody Diskrétní finanční tok Sojitý finanční tok Durace, konvexita Důchod Příklady Výnosové rovnice, vnitřní míry výnosnosti a hodnocení investičních rojektů Vnitřní míra výnosnosti Hodnocení investičních rojektů Jiné tyy vnitřní míry výnosnosti Vliv inflace na výnosovou rovnici Úrokové míry Příklady

4 4 Dluhoisy Sravedlivá cena obligace Durace dluhoisů Imunizace Příklady Oce Tyy ocí a jejich arametry Příklady Literatura 02 4

5 Název ráce: Sbírka úloh z finanční matematiky Autor: Klára Jelenová Katedra: Katedra ravděodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské ráce: RNDr. Jitka Zichová, Dr. vedoucího: Abstrakt: Předložená ráce ředstavuje sbírku úloh k základním řednáškám z finanční matematiky - k Úvodu do financí a k Matematickým metodám ve financích. Okrajově se dotýká i řednášky Finančního managementu. Motivem k jejímu nasání byla myšlenka omoci studentům Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy lée ochoit robíranou teorii v oblasti financí. Během bakalářského studia musí studenti absolvovat mnoho ředmětů a není bohužel dostatek rostoru mít k řednáškám týkajícím se financí i cvičení. Práce by měla řisět k samostatnému rocvičování látky, k rohloubení znalostí v oblasti finanční matematiky a v alikaci naučených matematických vzorců. Pro leší ochoení a kontrolu jsou říklady řešeny odrobně, některé jsou dolněny o vzorová řešení v MS Excelu verze 2007) či rogramu Mathematica verze 7.0.0). Klíčová slova: úrok, finanční tok, výnos, dluhois, oce. Title: An exercise book on financial mathematics Author: Klára Jelenová Deartment: Deartment of Probability and Mathematical Statistics Suervisor: RNDr. Jitka Zichová, Dr. Suervisor s address: Abstract: This Bachelor Thesis reresents an Exercise Book to the essential lectures of Financial Mathematics Introduction to Finance and Mathematical Methods in Finance). It also covers some toics of Financial Management, but marginally. The aim of this workbook is to hel the students of the Faculty of Mathematics and Physics at Charles University to understand the theory of Finance better. The reason is that during their studies, students have to attend a lot of lectures and other courses - so there is not enough time to organise workshos and ractise the theory. This workbook was considered for self-studying, to deeen the knowledge of Financial Mathematics and ractise the learnt formulas. All exercises are accomanied by detailed solution - for better understanding and verification of results, some of them have also the exemlary solutions in MS Excel 2007 and Mathematica software version 7.0.0). Keywords: interest, cashflow, yield, bond, otion. 5

6 Úvod Tato ráce je sbírkou úloh z finanční matematiky dolněná o říslušnou teorii a otřebné matematické vzorce. Některé vzorce jsou odvozeny římo v řešených říkladech. Veškeré věty jsou kvůli stručnosti uvedeny bez důkazů. Lze je však dohledat v literatuře, na kterou se autor odkazuje. Kaitola se věnuje úrokování. Seznamuje s ojmy současná a budoucí hodnota. Je zaměřena zejména na rozdíly mezi jednoduchým a složeným úrokováním. V říkladech se klade důraz na různé frekvence úrokování. S úrokováním jsou velmi úzce sjaty ůjčky. I o nich se v této kaitole dočteme. Více informací k ojmům z této kaitoly se dá najít v knihách [], [3] a [5]. Kaitola 2 zavádí ojem finanční tok a důchod. Zaobírá se roblematikou výše slátek ůjčky, rozdílem mezi olhůtným a ředlhůtným důchodem a zavádí ojmy durace a konvexita. K této kaitole se vztahují stejné knihy jako ke kaitole. V kaitole 3 se zmíníme o vnitřní míře výnosnosti a jejích modifikacích. Rozebereme její hlavní roli ři rozhodování o výhodnosti investičních rojektů. Uvedeme i další metody, které se věnují orovnání investičních rojektů. Najdeme zde i zmínku o vlivu inflace na výnosovou rovnici. Více naříklad viz kniha [3]. Kaitola 4 ojednává o dluhoisech. V říkladech se objevují řevážně kuónové obligace. Kuónové latby ředstavují seciální říad finančních toků. Jsou zde tedy využity vzorce z kaitoly 2. Oět je zde zmíněna durace. Tentokrát se na ni zaměříme i v říkladech. Navíc je sem zahrnuta imunizace dluhoisů. O základních charakteristikách dluhoisů se můžeme dočíst v knihách [2] a [3], imunizace je vyložena v knihách [4] a [5]. Poslední stručná kaitola je věnována základům teorie ocí. Hovoří o zisku res. ztrátě) z rodeje nebo kouě CALL nebo PUT oce. K této kaitole se hlavně vztahuje kniha [2]. První čtyři kaitoly solu souvisejí a jsou značně roojeny. Často se setkáme s odkazem na jinou kaitolu. Aby čtenář získal určitý řehled o finanční matematice, je vhodné rostudovat si všechny kaitoly. Pro větší řehlednost je ve všech kaitolách oužito jednotné značení. Zde je na místě uozornit, že ne vždy se shoduje se značením, které se vyskytuje v literatuře v odkazech. Symbol značí konec říkladu. 6

7 Kaitola Úrokování Úrok interest) je odměna oskytovateli ůjčky za odloženou sotřebu vyjádřená v eněžních jednotkách. Z ohledu osoby, která si ůjčuje, se jedná o cenu, kterou musí zalatit, okud si eníze vyůjčí. Vyůjčenou částku označujeme jako jistinu rincial). Poskytovatele ůjčky nazýváme věřitel creditor). Na druhé straně stojí dlužník debtor) - osoba, která si ůjčuje od věřitele. Výši úroku určuje úroková míra interest rate). Důležitá je i doba slácení dluhu, res. očet období úročení ůjčky. Hodnoty úrokové míry musí být konzistentní s obdobími úročení. Proto si vždy musíme dát ozor na to, se kterou úrokovou mírou očítáme zda se jedná o roční, ůlroční, měsíční aod.).. Jednoduché úrokování Základním tyem úrokování je jednoduché úrokování simle interest). V tomto říadě se o celou dobu slácení dluhu očítá úrok ve vzorcích označován jako I) ouzezjistiny. Základní vzorec má tvar FV = PV + i n).) Značení: PV...jistina, současná hodnota rincial, resent value) FV...budoucí hodnota vyůjčené částky future value) i...roční úroková míra.a.) n...očet období úročení v letech) 7

8 Úrok I za dané období je dán vzorcem I = PV i n.2) Vidíme tedy, že budoucí hodnota jistiny je rovna součtu současné hodnoty vyůjčené částky a řisaného úroku, neboli FV = PV + I.3) Diskontování Diskontování můžeme označit jako oačný roces k úročení. Důležitým ojmem je zde diskontní míra discount rate). Roční diskontní míru značíme symbolem d. Pokud onecháme označení z rovnice.), je diskontní míra dána vzorcem i d = +i n Z rovnice.) odvodíme vztah ro současnou hodnotu: PV = FV = FV d n).4) +i n Poznámka: Rozlišujeme dva tyy ůjček: ůjčka s úrokem: - vyůjčíme si částku PV na n let s roční úrokovou mírou i a vrátíme: FV = PV + i n) - slatná částka je odvozena od výše ůjčky, olhůtný úrok - míra zisku ro věřitele: µ u = FV PV PV = PV i n PV = i n.5) ůjčka s diskontem: - vyůjčíme si částku PV na n let s roční diskontní mírou d a vrátíme částku FV: PV = FV FV d n - výše ůjčky je odvozena od slatné částky, ředlhůtný úrok - míra zisku ro věřitele: µ d = FV PV PV 8 = d n d n.6)

9 Pokud i = d: µ u = i n µ d = i n i n µ u <µ d, jinak řečeno: ro věřitele je výhodnější ůjčka s diskontem..2 Složené úrokování V říadě, že se v každém období řiíše úrok k jistině a v dalších obdobích se znovu úročí, nazýváme toto úrokování složené úrokování comound interest). Vzorec ro výočet budoucí hodnoty : FV = PV + i) n,.7) oužívaná označení jsou totožná se symboly z rovnice.). Diskontování Formuli ro diskontování ři sojitém úrokování lze odvodit z rovnice.7): PV = FV + i) n.8) Pro diskontování se oužívá diskontní faktor označovaný v: v = +i.9) Rovnici.8) lze tedy vyjádřit omocí diskontního faktoru následovně: PV = FV v n.0).3 Polhůtné a ředlhůtné úrokování Úročení nemusí být ouze roční. Jistina se může úročit -krát ročně. Musíme tedy očítat také s říslušnou úrokovou mírou. Označme roční úrokovou míru i = i ),jetotzv.nominální úroková míra. 9

10 Nominální úroková míra ro -tinu roku je rovna: i ).) Jak naovídá název kaitoly, rozlišujeme dva tyy úrokování..3. Polhůtné úrokování Předokládejme, že jsme uložili částku na rok. Úrok i ), který se dále úročí složeně s roční mírou i ef,seřiisujena konci každé -tiny roku. Celkový říjem z úroků na konci roku v čase ) má hodnotu t=0 i ) + i ef) t i ) = i ef.2) + i ef ) Chceme, aby se součet.2) rovnal efektivní úrokové míře effective interest rate) i ef, která rerezentuje úrokový výnos z částky řisaný jednorázově na konci roku. Po úravě dostáváme i ) i ef = i + i ef ) ef +i ef = + i ) ).3).3.2 Předlhůtné úrokování Předokládejme, že jsme uložili částku na rok. Úrok d ), který se dále úročí složeně s roční mírou i ef,seřiisujena začátku každé -tiny roku. Označme v = +i ef. Celkový říjem z úroků, kdyby byl vylacen na začátku roku v čase 0) je d ) t=0 v t d ) = v.4) v Požadujeme, aby se součet.4) rovnal efektivní diskontní míře d ef. d ) v v = d ef v = = d ef d ef = d ) +i ef ).5) 0

11 Platí: d ef = i ef +i ef d ) = i ) + i ) Poznámka: Nadále budeme sát i ef = i, d ef = d..4 Sojité úrokování Pokud frekvence úročení roste nade všechny meze, ak latí lim i ) = lim + i) + i) x = lim = x 0 + x d + i)y = d dy y=0 dy ex [y log + i)] = y=0 + i) y log + i) =log+i) =δ.6) y=0 Symbolem δ označujeme intenzitu úroku. Z rovnice.6) jsou zřejmé vztahy: +i = e δ v = e δ.7) Nyní již máme vše řiraveno ro zavedení vzorce ro sojité úrokování continuos comounding): FV = PV e δ t.8).5 Úrokové míry závislé na čase Obecnější řístu ředstavuje modelování úrokových měr jako funkcí času. Mějme časový interval t, t + h),h>0. V čase t investujeme, v čase t + h máme + h i h t), kde i h t) je nominální úroková míra.

12 Seciální říady: ) h =,i h t) =i t) =i h i h t) =i... efektivní úroková míra 2) h =,i ht) ozn. = i ) t) =i ) h i h t) = i... nominální úroková míra ro -tinu roku lim h 0+ i h) t) =δt)... intenzita úroku Akumulační faktor Označíme +h i h t) =At, t + h)..9) Tento akumulační faktor ředstavuje zhodnocení částky za časový interval délky h. Pokud v čase t investujeme C, otom v čase t 2 >t máme C At,t 2 ). Seciální říad: At,t 2 )=+i) t 2 t... složené úrokování Akumulačním faktorem je funkce dvou roměnných s vlastnostmi: ) At, t) = 2) rinci konzistence okud t 0 t t 2... t n ; n 2, ak latí: Zřejmě latí i h) t) = At,t+h) h δt) = lim h 0+ At,t+h) h At 0,t n )=At 0,t ) At,t 2 )... At n,t n ) Věta. Nechť δt) aat 0,t) jsou sojité funkce roměnné t ro t>t 0 anechťlatí rinci konzistence. Pak [ t2 ] At,t 2 )=ex δs) ds..20) t Důkaz lze najít v knize [5]. Seciální říad: δs) =δ : At,t 2 )=e δ t 2 t ) =+i) t 2 t... složené úrokování 2

13 Diskontování Nechť v čase 0 investujeme C avčaset>0máme. Zrovnice=C A0,t) je odvozen ředis ro diskontní faktor vt) = A0,t),.2) dle věty. lze také diskontní faktor vyjádřit vzorcem [ t ] vt) =ex δs) ds..22) 0 Seciální říad: δs) =δ : vt) =e δ t = v t Obecněji: v čase t investujeme C, včaset 2 >t > 0mámeC 2, C 2 = C At,t 2 )=C A0,t 2) = C A0,t ) vt ) vt 2 ) Vychází nám C = C 2 vt [ 2) vt ) = C t2 ] 2 ex δs) ds t.23).6 Příklady Příklad. Paní Vosecká uvažuje o ůjčce na novou kouelnu ve výši Kč s dobou slatnosti 9 měsíců. Na výběr má ůjčku s diskontem s roční diskontní mírou 7 % nebo ůjčku s úrokem, kde roční úroková míra činí 7,5 %, úvěr se úročí jednoduše. Kterou ůjčku by si měla aní Vosecká zvolit? Řešení: Paní Vosecká by si měla zvolit tu ůjčku, ři které zalatí menší úrok. O dvou tyech ůjčky jsme zmínili v oznámce u jednoduchého úrokování v kaitole.. Pro ůjčku s diskontem máme FV = Kč n =0, 75 let d =7%=0, 07 3

14 Klientce bude ůjčeno PV d = FV FV d n ro naše hodnoty: PV d = , 07 0, 75 = Kč Předlhůtný úrok, který aní Vosecká uhradí bance, je = 9 87 Kč. Pro ůjčku s úrokem máme PV = Kč n =0, 75 let i =7, 5%=0, 075 Paní Vosecká by si v tomto v tomto říadě ůjčila Kč a bance by vracela FV = , 075 0, 75) = Kč Polhůtný úrok, který by aní Vosecká zalatila bance, je = Kč. Výhodnější je tedy ro aní Voseckou ůjčka s diskontem. Pro banku by naoak bylo výhodnější ůjčit klientce s úrokem, neboť míra zisku ro věřitele ři ůjčce s úrokem sočítaná odle.5) je vyšší než míra zisku ro ůjčku s diskontem odle rovnice.6). µ u = i n =0, 075 0, 75 = 0, µ d = d n = d n 0,07 0,75 0,07 0,075 = 0, 0554 Příklad.2 Paní Mladá se v roce 987 rozhodla uložit do banky Kč. V roce 2009 se však bojí, že banka zkrachuje, a tak si chce své uložené eníze vybrat ro jednoduchost se výběr uskuteční ve stejný den jako se uskutečnil řed 22 lety vklad). Vklad se úročil složeně s roční nominální úrokovou mírou 4 % jednou za rok. 4

15 a) Kolik by měla banka aní Mladé dnes vylatit? b) O kolik by dnes měla aní Mladá méně, okud by se vklad úročil jednoduše? Řešení: Zajímá nás budoucí hodnota FV vkladu v hodnotě Kč. Víme: PV = Kč n =22let i =4%=0, 04 a) K výočtu oužijeme rovnici.7): FV = PV + i) n. Tedy FV = , 04) 22 = Kč. Pokud bychom chtěli tuto úlohu vyřešit v Excelu, oužili bychom funkci BUDHODNOTA a do argumentů bychom zadali: Sazba: 0,04 Per: 22 Slátka: 0 lze onechat nevylněné) Souč hod: Ty: nevylňujeme Výsledný říkaz tedy vyadá následovně: =BUDHODNOTA0, 04; 22; 0; 0000). Řešení je samozřejmě totožné s ředchozím výsledkem. b) Pro jednoduché úrokování oužijeme vzorec.): FV = PV + i n). Po dosazení FV = , 04 22). Budoucí hodnota ři jednoduchém úročení se rovná Kč. Zde by byl úrok roven ouhým Kč neboli každý rok se k ůvodnímu vkladu řiočetlo 400 Kč o dobu 22 let). Rozdíl budoucích hodnot ři složeném a jednoduchém úročení je = Kč. 5

16 24000 FV jednoduche slozene Obrázek.: Složené a jednoduché úročení rok Na obrázku. vidíme grafické orovnání stavu účtu v růběhu 22 let. Vidíme, že ři složeném úročení hodnota účtu roste exonenciálně, zatímco ři jednoduchém úročení roste účet lineárně. Příklad.3 Uvažujme odobnou situaci jako v Příkladu.2, nyní ale ředokládejme měsíční úročení. Ostatní údaje jsou totožné. Kolik by si aní Mladá vybrala dnes z banky v tomto říadě? Řešení: Zajímá nás tedy oět budoucí hodnota FV vkladu v hodnotě Kč. Nyní ale víme: PV = Kč n =22let =2 i ) = i 2) =4%=0, 04 Měsíční nominální úroková míra je tedy dle.) rovna 0,04. 2 Dle vzorce.3) víme, že: + i = + i ) ). Teď již můžeme oužít rov- 6

17 nici.7), tím mám vznikne vzorec ro složené úročení -krát ročně: FV = PV + i ) n ).24) Budoucí hodnota ři měsíčním úročení se rovná: FV = ) 0, = Kč. 2 Při složeném měsíčním úročení získáme o 375 Kč více než ři složeném ročním. Použití funkce BUDHODNOTA v Excelu je obdoba minulého říadu. Nesmíme však zaomenout na zadání srávné úrokové sazby - v tomto říadě měsíční - a na říslušný očet úrokovacích období: Sazba: 0,04 2 Per: 2 22 = 264) Slátka: 0 lze onechat nevylněné) Souč hod: Ty: nevylňujeme =BUDHODNOTA0, 04/2; 2 22; 0; 0000). Poznámky k říkladu.3: ) V říadě, že by se jednalo o měsíční jednoduché úročení, myšlenka zůstává stejná jako u ročního. Každé období se na účet řiíše říslušný úrok z uložené částky, tedy: FV = PV + n i ) ).25) Uravením tohoto vzorce však zjistíme, že je totožný se vzorcem ro jednoduché roční úročení. Vidíme tedy, že na rozdíl od složeného úročení se výsledná částka ři měsíčním úročení oroti ročnímu) nezmění. To latí samozřejmě i ro jiná úročení -krát do roka. Je to tím, že řisané úroky se neúročí. 7

18 2) Pokud by se frekvence úročení blížila, ak bychom oužili vzorec.8) ro sojité úrokování, kde: i ) δ =0, 04 t =22let a výsledek by vyadal následovně: FV = e 0,04 22 = Kč Pro srovnání ukažme, jaké výše by dosahovala budoucí hodnota ři složeném denním úročení = 365). FV = ) 0, = Kč 365 Rozdíl mezi sojitým a složeným denním úrokováním je neatrný. Příklad.4 Pan Zlatý řemýšlí, jak nejvýhodněji uložit Kč. Doufá, že eníze nebude otřebovat říští 4 roky. Rozhoduje se mezi třemi bankami. Každá nabízí jinou úrokovou sazbu a jinou frekvenci úročení viz tabulka.). Jakou banku by měl an Zlatý vyhodnotit jako ro něj nejvýhodnější? Předokládáme, že banky úročí vklad složeně. Banka Úrok.a.) Frekvence úročení ) banka A 3,95 % 2 banka B 4,00 % 3 banka C 4,05 % Tabulka. Řešení: Mohli bychom samozřejmě oět očítat budoucí hodnotu ro každou banku zvlášť dle vzorce.24): banka A: banka B: FV = FV = ) 0, = ) 0, =

19 banka C: FV = , 0405) 4 = 72 0 Existuje však i jednodušší zůsob, jak tuto úlohu vyřešit. Slouží nám k tomu efektivní úroková míra i ef. Dle vzorce.3) se efektivní úroková míra rovná: i ef = + i ) ) Stačí sočítat efektivní úrokové míry ro všechny banky a jejich orovnáním zjistíme, která je nejvýhodnější: banka A: banka B: banka C: i ef = i ef = + + ) 0, =0, = 4, 0223% 2 ) 0, 04 3 =0, = 4, 0536% 3 i ef =+0, 0405) =0, 0405 = 4, 05% Nejvyšší efektivní úroková míra vyšla ro banku B, tedy nejvýhodnější by bylo vložit eníze do banky B. I Excel umí sočítat efektivní úrokovou míru. Použijeme funkci EFFECT, do argumentů zadáme nař. ro banku A následující: Úrok: 0,0395 Období: 2 Výsledný vzorec: =EFFECT0, 0395; 2) Poznámky:. Kalendářní konvence Pro výočty úroku je důležité vědět, odle jaké konvence máme očítat dobu, o kterou úročíme nař. ři očítání tzv. alikvótního úroku - viz kaitola 4: Dluhoisy). Rozlišujeme různé tyy kalendářních konvencí: ) ACT/ skutečný očet kalendářních dní vztahovaný k bazickému roku o 360 dnech 9

20 2) ACT/ skutečný očet kalendářních dní vztahovaný k bazickému roku o 365 dnech řestuný rok se bere jako rok, který má 365 dní) 3) ACT/ACT... skutečný očet kalendářních dní vztahovaný ke skutečnému očtu dní v roce 4) 30/ měsíc má 30 dní, vztahováno k bazickému roku o 360 dnech zde se ještě rozlišuje EUR 30/360 a US 30/360 - neatrně se liší výočet dní mezi dvěma daty, viz nař. kniha [3] ) 2. Smíšené úrokování Pokud doba slatnosti není celočíselným násobkem délky úrokovacího období, oužívá se často tzv. smíšené úrokování. Smíšené úrokování úročí složeně řes celočíselný očet období a ro necelé období oužívá úrokování jednoduché. Neboli okud T = T + {T }, T celá část T, 0 < {T } < kde T je očet úrokovacích období, ak budoucí hodnota v čase T je FV = PV + i) T + i {T }).26) Na následujícím říkladu si ukážeme, jak očítáme úroky v říadě, kdy je čas udán očtem dní a úroková míra je roční. Příklad.5 Pan Veselý se na začátku roku 2005 rozhodl, že si ostaví dům. Sočítal si, že dům ho bude stát 3 miliony Kč, na účtu měl však jen Kč. Uložil tedy 2. února 2005 všechny své eníze do banky s roční nominální úrokovou mírou 3 %. Jeho vklad se úročí měsíčně složeně. Dne. srna 2006 účet zrušil a následující den si chybějící eníze vyůjčil od banky s roční úrokovou mírou 3,6 %, která jeho ůjčku úročí jednoduše. Půjčka bude slacena jednorázově. Dne 28. června 2007 an Veselý vyhrál v loterii Kč o zdanění) a rozhodl se, že se okusí slatit svůj dluh. Bude tato částka anu Veselému stačit na slacení celého dluhu? Předokládejme kalendářní konvenci ACT/360. Řešení: Začneme tím, že si sočítáme, kolik měl an Veselý na účtu dne. srna Hodnota vkladu. srna 2006 je dle.24): FV = PV + i ) 2 n 2),.27) 2 20

21 kde i 2) =0, 03 a n je očet let. Od 2. února 2005 do 2. srna 2006 ulyne 8měsícůo30dnechazbývá9dnů,nebolivletechn =, 5+ 9 =, Vidíme tedy, že očet období úročení není celé číslo. Nyní si ukážeme, o kolik by se lišil stav účtu ři úrokování složeném oroti smíšenému. Složené úrokování: FV = ) 0, 03 2,525 = Kč 2 V Excelu funguje vše analogicky jako v Příkladu.2, jen musíme zadat: Per : 2*,525 =8,3) Celkově tedy: =BUDHODNOTA0, 03/2; 8, 3; 0; ). Smíšené úrokování dle.26)): FV = ) 0, 03 8 ) 0, , 3 = Kč Výsledek dvou různých zůsobů úročení se v našem říadě téměř neliší. Uvažujme tedy, že dne. srna 2006 bude mít tedy an Veselý na účtu Kč. Nyní se vraťme k našemu říkladu. Potřebujeme znát výši ůjčky, která je zřejmě = Kč. Budoucí hodnota ři jednoduchém úročení se sočítá následovně: FV = PV + t ) 360 i,.28) kde t je očet dní úročení. Od 2. srna 2006 den oskytnutí ůjčky) do 28. června 2007 ulyne 320 dní. FV = ) 360 0, 036 = Kč Panu Veselému tedy bude jeho Kč stačit na slacení úvěru i s veškerými úroky. 2

22 Nyní si ještě ukážeme říklad na diskontování. Příklad.6 Paní Dobrá bude za 5 let otřebovat Kč na řevod družstevního bytu do osobního vlastnictví. Nyní má možnost vložit své úsory na vklad úročený čtvrtletně složeně s roční nominální úrokovou mírou 4,4 %. Kolik musí do banky vložit, aby měla za 5 let dostatek eněz? Řešení: Ze zadání: FV = Kč n =5let =4 i ) =4, 4%=0, 044 Čtvrtletní nominální úroková míra je tedy dle.) rovna: 0,044 =0, 0. 4 Známe vzorec ro současnou hodnotu: PV = FV i + ) ) n Konkrétně: PV = = Kč. + 0, 0) 4 5 Při oužití Excelu: =SOUČHODNOTA0, 0; 20; ; 50000). Paní Dobrá by si dnes musela do banky vložit Kč, aby měla za 5 let na účtu otřebných Kč. 22

23 Na závěr kaitoly zařaďme říklad na úrokové sazby závislé na čase. Příklad.7 Důležitým vzorcem ro výočet intenzity úroku δt) je Stoodleyův vztah: s δt) = +, +r es t t > 0.29) kde, r a s jsou arametry. Najděte vztah ro výočet diskontního faktoru vt) za latnosti Stoodleyova vztahu. Řešení: Vyjdeme ze vzorce.22). [ vt) =ex [ =ex [ =ex t 0 t 0 t 0 ] δy) dy ) s + +r e s y + s r s es y +r e s y ] dy ) ] dy =ex { + s) t + [log + r e s y )] t 0 +r es t =ex[ + s) t] +r = +r e +s) t + r +r e t Poznámka: Pokud definujeme v = e +s) a v 2 = e, můžeme sát vt) = +r vt + r +r vt 2 Tento vztah vyjadřuje vážený růměr 2 diskontních faktorů s konstantními intenzitami. } 23

24 Kaitola 2 Finanční toky a důchody 2. Diskrétní finanční tok Jedná se o latby CF t,..., CF tn včasech0<t <... < t n ;častot j = j. Současná hodnota v čase 0) je n PV = CF tj vt j ) 2.) j= Seciálně : vt j )=v t j = e δ t j,v= +i = e δ Budoucí hodnota v čase T t n, zravidla T = t n ): n FV = CF tj At j,t), 2.2) j= kde At j,t)jeakumulační faktor daný vzorcem.20). Seciálně : At j,t)=+i) T t j = e δ T t j ). 2.2 Sojitý finanční tok Je definován intenzitou lateb ρt); t 0,T). Souhrnné množství lateb v časovém intervalu [t,t 2 ], 0 <t <t 2 <T je t2 t ρt) dt. Současná hodnota v čase 0): PV = T 0 ρt) vt) dt 2.3) 24

25 Budoucí hodnota v čase T ): FV = T 2.3 Durace, konvexita 0 ρt) At, T ) dt 2.4) Nechť CF =CF t,cf t2,..., CF tn ). Durace DCF,v) duration) označuje střední růměrnou) dobu slatnosti. Je to vážený růměr dob slatnosti jednotlivých lateb, vzorcem vyjádřeno: ro diskrétní finanční tok: DCF,v)= nj= t j CF tj v t j nj= CF tj v t j = nj= t j CF tj v t j PVCF,v) 2.5) Váhy: w j = CFt j vt j PVCF,v) ro sojitý finanční tok: DCF,v)= T 0 T 0 t ρt) vt dt ρt) vt dt 2.6) Duraci interretujeme v časových jednotkách. Této duraci se říká Macaulayho durace. Nyní odvodíme další interretaci durace. Budeme racovat s diskrétním finančním tokem. Derivováním dostáváme PV CF,v) v Z rovnice 2.7) vychází n = t j v tj CF tj j= = n v t j v t j CF tj j= = v DCF,v) PVCF,v) 2.7) DCF,v)= PV CF,v)/ v PVCF,v)/v 2.8) Duraci lze tedy ovažovat za míru elasticity současné hodnoty vzhledem k diskontnímu faktoru, obecněji vzhledem ke změnám v úrokových sazbách. 25

26 PV CF,i) Podobným zůsobem okud sočítáme )dojdemekevztahu: i PV CF,i)/ i DCF,i)= 2.9) PVCF,i)/ + i) Nechť i >0, ak relativní řírůstek současné hodnoty vyjádříme za omoci Taylorova rozvoje): PVCF,i + i) PVCF,i) PVCF,i) PVCF,i + i) PVCF,i) PVCF,i) = PV CF,i) PVCF,i) i + 2 PV CF,i) PVCF,i) i)2 2.0) = DCF,i) i 2.) +i Odvodíme ještě tvar durace v závislosti na intenzitě úroku δ = log + i). Zderivováním PVCF,δ)= n j= CF tj e δ t j docházímekevztahu PV CF,δ) n = CF tj e δ t j t j ), δ j= duraci lze tedy vyjádřit: PV CF,δ)/ δ log PVCF,δ) DCF,δ)= = PVCF,δ) δ Poznámka: durace není lineární funkcí CF. Existují další tyy durace: dolarová durace dollar duration): n D $ CF,v)= t j CF tj v t j j= Oroti Macaulayho duraci je lineární funkcí CF. modifikovaná durace modified duration): D mod CF,v)=v DCF,v)= DCF,i) +i S oužitím rovnice 2.9) dostáváme: D mod CF,i)= PVCF,i) PV CF,i) i 2.2) 26

27 Věta 2. Pro finanční tok s latbami CF tj 0včasech0 t... t n má durace následující vlastnosti: ) 0 D t n 2) D = t n CF tj =0,j =,..., n CF tn 0 3) DCF,δ) je klesající funkcí intenzity úroku δ Důkaz lze najít v knize [5]. Konvexita CCF,v) Pro konvexitu existuje také více interretací. Konvexita convexity) měří zakřivení křivky vztahu mezi současnou hodnotou a úrokovou mírou. Umožní nám tak zřesnit citlivost změny současné hodnoty na změnu úrokové míry. Jelikož se konvexita očítá ředevším u obligací, říklady si uvedeme v kaitole Dluhoisy. Podívejme se však zde na matematické vzorce: CCF,v)= nj= t j t j +) CF tj v t j PVCF,v) 2.3) Jednotkou konvexity je druhá mocnina časové jednotky. Vzhledem k tomu, že latí PV CF,i)= CCF,i) PVCF,i), + i) 2 vyjádříme oslední sčítanec v rozvoji 2.0) ve tvaru 2 PV CF,i) PVCF,i) i)2 = 2 + i) CCF,i) 2 i)2. Podobně jako existuje modifikovaná durace, zavedeme ojem modifikovaná konvexita modified convexity). C mod CF,i)= PV CF,i) PVCF,i) = CCF,i) 2.4) + i) 2 Celkově tedy dostáváme jiný tvar rovnice 2.0): PVCF,i + i) PVCF,i) PVCF,i) = D mod CF,i) i+ 2 C modcf,i) i) 2 2.5) 27

28 2.4 Důchod Důchod, také někdy označován jako anuita annuity), je diskrétní finanční tok. Všechny latby jsou stejné výše, stejného znaménka a uskutečňují se v ravidelných časových intervalech. Rozlišujeme 2 tyy: a) olhůtný annuity-immediate): latby důchodu na konci časových intervalů b) ředlhůtný annuity-due): latby důchodu na začátku časových intervalů ) Polhůtný důchod s ročními latbami Platby R o dobu n let, roční úroková míra i. Současná hodnota: PV = R n t= Budoucí hodnota v čase n): v t = R v vn v = R vn i ozn. = R a n 2.6) n FV = R + i) t = R + i)n i t=0 ozn. = R s n 2.7) 2) Předlhůtný důchod s ročními latbami Platby R o dobu n let, roční úroková míra i. Přiomeňme, že d = v = i viz.5)). +i Současná hodnota: PV = R n t=0 Budoucí hodnota v čase n): v t = R vn v = R vn d n FV = R + i) t = R + i) + i)n t= i = R + i)n d ozn. = R ä n 2.8) ozn. = R s n 2.9) v literatuře se často symbolem i označuje nominální úroková míra ro jedno úrokovací období ro roční úročení se rovná efektivní úrokové míře) 28

29 3) Důchod s latbami a úročením -krát do roka Platby R -krát ročně o dobu n let, roční efektivní úroková míra i ef. Roční nominální úroková míra i ). Platí +i ef = + i ) ), viz.3), v = +i ef. Současná hodnota olhůtný důchod): n PV = R t= v t = R v v n v = R vn i ) n = R t t= + i = R v n i) ) i ) = R a n 2.20) kde v i) =. + i ) Budoucí hodnota bude odvozena v říkladu 2.4 viz rovnice 2.3)) 4) Důchod s víceletou eriodou lateb Platby R -krát za k let o dobu n let, roční úroková míra i. Předokládejme n k celé. Současná hodnota olhůtný důchod): PV = R n k t= v t k = R v k vn v k = R v n + i) k = R vn i i + i) k = R a n s k 2.2) 5) Důchod s necelým očtem latebních období Platby R -krát ročně o dobu n let, n je necelé. Nechť n = k + z, 0 <z< Zde se nabízejí 2 možnosti výočtu : i) Definujeme současnou hodnotu ředisem PV = R vn i ) 2.22) 29

30 Jedná se o analogii vzorce 2.20). ii) V čase n budeme vylácet R z, z 0, ) : Současná hodnota: PV = R n =k t= v t + R z v n 2.23) V následujících 2 říadech se bude jednat o roční olhůtný důchod s latbami R o dobu n let. 6) Odložený důchod Realizace lateb je odložena o m let. Současná hodnota: PV = R m+n t=m+ Budoucí hodnota 2 v čase m + n): v t = R v m vn i = R v m a n 2.24) n FV = R + i) t = R + i)n i t=0 = R s n 2.25) 7) Přerušený důchod Po ukončení lateb se ještě úročí o dobu m let. Současná hodnota 3 : PV = R n t= Budoucí hodnota v čase m + n): v t = R vn i = R a n 2.26) m+n FV = R +i) t = R +i) m + i)n i t=m = R +i) m s n 2.27) 8) Věčný důchod = eretuita Poslounost olhůtných ročních lateb R není ukončena. Současná hodnota: PV = R v t v = R t= v = R i v = ) +i 2.28) 2 stejná jako u neodloženého důchodu 3 stejná jako u neřerušeného důchodu 30

31 Pro latbu R latí: R = PV i 2.29) Budoucí hodnota: není definována Na závěr uveďme zobecněný říad důchodu. 9) Důchod s roměnnou latbou, dobou lateb a úrokovou mírou: Platby R,.., R n včasech0<t <..<t n. Úroková míra ro období t j,t j ]jei j.definujmet 0 =0. Současná hodnota: n k ) tj t j PV = R k 2.30) +i j 2.5 Příklady k= j= Příklady věnující se duraci a konvexitě jsou uvedeny v kaitole Dluhoisy res. v kaitole 4.3. Příklady). Zde se zaměříme na důchody. Příklad 2. Paní Hořejší si lánuje vzít úvěr na 2 roky v hodnotě Kč. Slátky žádá ololetní. Banka jí oskytne roční nominální úrokovou míru 6,9 %. Paní Hořejší má nyní na účtu Kč. Tato částka se jí úročí složeně měsíčně s roční nominální úrokovou mírou 2,5 %. Každý ůlrok si navíc uloží na účet Kč, které ušetří ze mzdy. Bude mít na účtu vždy dostatek eněz na slácení úvěru? Řešení: Nejrve určíme výši slátek úvěru. Vyjdeme ze vztahu 2.20): ) n n PV = R t + i ) t= + i = ) i ) a odtud vyjádříme R R = PV i ) ) n = + i ) , , ) 2 2 = Kč

5. Finanční hlediska podnikatelského rozhodování. Časová hodnota peněz. Podnikatelské riziko ve finančním rozhodování.

5. Finanční hlediska podnikatelského rozhodování. Časová hodnota peněz. Podnikatelské riziko ve finančním rozhodování. 5. Finanční hlediska odnikatelského rozhodování. Časová hodnota eněz. Podnikatelské riziko ve finančním rozhodování. FINANČNÍ HLEDISKA PODNIKATELSKÉHO ROZHODOVÁNÍ Základní zásady finančního rozhodování:

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízení ro akademický rok 24/5 na magisterský studijní rogram PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (ísemný test) U každé otázky či odotázky v následujícím zadání vyberte srávnou odověď zakroužkováním

Více

Způsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost

Způsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost Zůsobilost Menu: QExert Zůsobilost Modul očítá na základě dat a zadaných secifikačních mezí hodnoty různých indexů zůsobilosti (caability index, ) a výkonnosti (erformance index, ). Dále jsou vyočítány

Více

PENÍZE, BANKY, FINANČNÍ TRHY

PENÍZE, BANKY, FINANČNÍ TRHY PENÍZE, BANKY, FINANČNÍ TRHY Úročení 2 1. Jednoduché úročení Kapitál, Jistina označení pro peněžní částku Úrok odměna věřitele, u dlužníka je to cena za úvěr = CENA PENĚZ Doba splatnosti doba, po kterou

Více

V p-v diagramu je tento proces znázorněn hyperbolou spojující body obou stavů plynu, je to tzv. izoterma :

V p-v diagramu je tento proces znázorněn hyperbolou spojující body obou stavů plynu, je to tzv. izoterma : Jednoduché vratné děje ideálního lynu ) Děj izoter mický ( = ) Za ředokladu konstantní teloty se stavová rovnice ro zadané množství lynu změní na známý zákon Boylův-Mariottův, která říká, že součin tlaku

Více

P Ř I Z N Á N Í k dani z příjmů právnických osob

P Ř I Z N Á N Í k dani z příjmů právnických osob Než začte vylňovat tiskois, řečtěte te si, rosím, okyny. Finančnímu úřadu ro / Secializovanému finančnímu úřadu Pardubický kraj Územnímu racovišti v, ve, ro Moravské Třebové T 0 Daňové identifikační číslo

Více

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o v é h o k n i h k u p e c t v í w w w. k o s m a s. c z, U I D : K O S 1 8 7 6 2 Edice Osobní a rodinné

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

STATISTICKÉ METODY. (kombinovaná forma, 8.4., 20.5. 2012) Matěj Bulant, Ph.D., VŠEM

STATISTICKÉ METODY. (kombinovaná forma, 8.4., 20.5. 2012) Matěj Bulant, Ph.D., VŠEM STATISTICKÉ METODY A DEMOGRAFIE (kombinovaná forma, 8.4., 2.5. 22) Matěj Bulant, Ph.D., VŠEM Řekli o statistice Věřím ouze těm statistikám, které jsem sám zfalšoval. Tři stuně lži - lež, hnusná lež, statistika.

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA. PŘEDNÁŠEJÍCÍ: Jarmila Radová

FINANČNÍ MATEMATIKA. PŘEDNÁŠEJÍCÍ: Jarmila Radová FINANČNÍ MATEMATIKA PŘEDNÁŠEJÍCÍ: Jarmila Radová Radová Tel: 224 095 102 E-mail: radova@vse.cz Kontakt Jednoduché úročení Diskontování krátkodobé cenné papíry Složené úrokování Budoucí hodnota anuity spoření

Více

Téma: Jednoduché úročení

Téma: Jednoduché úročení Téma: Jednoduché úročení 1. Půjčili jste 10 000 Kč. Za 5 měsíců Vám vrátili 11 000 Kč. Jaká byla výnosnost této půjčky (při jaké úrokové sazbě jste ji poskytli)? [24 % p. a.] 2. Za kolik dnů vzroste vklad

Více

Statistická analýza dat - Indexní analýza

Statistická analýza dat - Indexní analýza Statistiká analýza dat Indexní analýza Statistiká analýza dat - Indexní analýza Index mohou být:. Stejnorodýh ukazatelů. Nestejnorodýh ukazatelů Index se skládají ze dvou složek:... intenzita (úroveň znaku)...

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízení ro akademický rok 2007/08 na magisterský studijní rogram: Zde nalete své univerzitní číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (ísemný test) U každé otázky či odotázky v následujícím

Více

Časová hodnota peněz (2015-01-18)

Časová hodnota peněz (2015-01-18) Časová hodnota peněz (2015-01-18) Základní pojem moderní teorie financí. Říká nám, že peníze svoji hodnotu v čase mění. Díky časové hodnotě peněz jsme schopni porovnat různé investiční nebo úvěrové nabídky

Více

Analýza návratnosti investic/akvizic JAN POJAR ČVUT V PRAZE STAVEBNÍ MANAGEMENT 2014/2015

Analýza návratnosti investic/akvizic JAN POJAR ČVUT V PRAZE STAVEBNÍ MANAGEMENT 2014/2015 Analýza návratnosti investic/akvizic JAN POJAR ČVUT V PRAZE STAVEBNÍ MANAGEMENT 2014/2015 Obsah prezentace: definice Investice akvizice dělení investic rozdělení metod klady a zápory metod definice Investice:

Více

Pokud světlo prochází prostředím, pak v důsledku elektromagnetické interakce s částicemi obsaženými

Pokud světlo prochází prostředím, pak v důsledku elektromagnetické interakce s částicemi obsaženými 1 Pracovní úkoly 1. Změřte závislost indexu lomu vzduchu na tlaku n(). 2. Závislost n() zracujte graficky. Vyneste také závislost závislost vlnové délky sodíkové čáry na indexu lomu vzduchu λ(n). Proveďte

Více

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti...

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti... Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR (Remarks on the economic criterion the Internal Rate of Return ) Carmen Simerská IRR... vnitřní míra výnosnosti, vnitřní výnosové procento, výnos do splatnosti...

Více

Semestrální práce z předmětu MAB

Semestrální práce z předmětu MAB Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Semestrální práce z předmětu MAB Modely investičního rozhodování Helena Wohlmuthová A07148 16. 1. 2009 Obsah 1 Úvod... 3 2 Parametry investičních

Více

STATISTICKÉ METODY A DEMOGRAFIE

STATISTICKÉ METODY A DEMOGRAFIE STATISTICKÉ METODY A DEMOGRAFIE (kombinovaná forma, 8.4., 2.5., 7.6. 22) Matěj Bulant, Ph.D., VŠEM Řekli o statistice Věřím ouze těm statistikám, které jsem sám zfalšoval. Tři stuně lži - lež, hnusná lež,

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011 Evroský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší udoucnosti Ekonomika odniku Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd akulta elektrotechnická ČVUT v Praze Ing. Kučerková Blanka, 2011 Vztahy

Více

Investiční rozhodování, přehled metod a jejich využití v praxi

Investiční rozhodování, přehled metod a jejich využití v praxi PE 301 Eva Kislingerová Investiční rozhodování, přehled metod a jejich využití v praxi Eva Kislingerová 4-2 Struktura přednášky Základní pojmy NPV a její konkurenti Metoda doby splacení (The Payback Period)

Více

1.5.5 Potenciální energie

1.5.5 Potenciální energie .5.5 Potenciální energie Předoklady: 504 Pedagogická oznámka: Na dosazování do vzorce E = mg není nic obtížnéo. Problém nastává v situacíc, kdy není zcela jasné, jakou odnotu dosadit za. Hlavním smyslem

Více

FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 1 Metodický list č. 1

FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 1 Metodický list č. 1 FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úroková sazba a výpočet budoucí hodnoty Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlit pojem úroku a roční úrokové

Více

Investičníčinnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic

Investičníčinnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic Investičníčinnost Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie Podnikové pojetí investic Klasifikace investic v podniku 1) Hmotné (věcné, fyzické, kapitálové) investice 2) Nehmotné

Více

Úrok a diskont. Úroková míra závisí především na úrokové míře, kterou vyhlašuje ČNB. ČNB vyhlašuje 3 sazby

Úrok a diskont. Úroková míra závisí především na úrokové míře, kterou vyhlašuje ČNB. ČNB vyhlašuje 3 sazby Úrok a diskont Obsah: Jednoduché a složené úrokování. Úroková a diskontní míra, jednoduchá a složená. Vícenásobné úročení během období, nominální úroková míra, roční efektivní úroková míra, reálná úroková

Více

ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D.

ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. Časová hodnota peněz Každou peněžní operaci prováděnou v současnosti a zaměřenou do budoucnosti

Více

Finanční matematika pro každého příklady + CD-ROM

Finanční matematika pro každého příklady + CD-ROM Edice Osobní a rodinné fi nance doc. RNDr. Jarmila Radová, Ph.D. a kolektiv (doc. Mgr. Jiří Málek, PhD., Ing. Nadir Baigarin, Ing. Jiří Nakládal, Ing. Pavel Žilák) Finanční matematika pro každého příklady

Více

Úvěry aneb kde na to vzít?

Úvěry aneb kde na to vzít? Úvěry aneb kde na to vzít? Pokud máte nedostatek finančních rostředků, je dobré se zamyslet nad tím, kde byste mohli ušetřit v rámci svého osobního či rodinného rozočtu. Většinou se najde něco, co můžete

Více

ISŠT Mělník. Integrovaná střední škola technická Mělník, K učilišti 2566, 276 01 Mělník Ing.František Moravec

ISŠT Mělník. Integrovaná střední škola technická Mělník, K učilišti 2566, 276 01 Mělník Ing.František Moravec SŠT Mělník Číslo rojektu Označení materiálu ázev školy Autor Tematická oblast Ročník Anotace CZ..07/.5.00/34.006 VY_3_OVACE_H..05 ntegrovaná střední škola technická Mělník, K učilišti 566, 76 0 Mělník

Více

Téma 7. Investiční rozhodování

Téma 7. Investiční rozhodování Téma 7. Investiční rozhodování 1. Kapitálové rozpočty výdajů a očekávaných peněžních příjmů z investic 2. Hodnocení efektivnosti investičních projektů 3. Investice do dlouhodobého finančního majetku a

Více

Pojem investování. vynakládání zdrojů podniku za účelem získání užitků které jsou očekávány v delším časovém období Investice = odložená spotřeba

Pojem investování. vynakládání zdrojů podniku za účelem získání užitků které jsou očekávány v delším časovém období Investice = odložená spotřeba Investiční činnost Pojem investování vynakládání zdrojů podniku za účelem získání užitků které jsou očekávány v delším časovém období Investice = odložená spotřeba Druhy investic 1. Hmotné investice vytvářejí

Více

HODNOCENÍ INVESTIC. Postup hodnocení investic (investičních projektů) obvykle zahrnuje následující etapy:

HODNOCENÍ INVESTIC. Postup hodnocení investic (investičních projektů) obvykle zahrnuje následující etapy: HODNOCENÍ INVESTIC Podstatou hodnocení investic je porovnání vynaloženého kapitálu (nákladů na investici) s výnosy, které investice přinese. Jde o rozpočtování jednorázových (investičních) nákladů a ročních

Více

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/28.0018

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/28.0018 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/28.0018 Investice a investiční činnost Ekonomika lesního hospodářství 4. cvičení Investice Investice

Více

Finanční. matematika pro každého. 8. rozšířené vydání. f inance. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů

Finanční. matematika pro každého. 8. rozšířené vydání. f inance. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů Finanční matematika pro každého 8. rozšířené vydání J. Radová, P. Dvořák, J. Málek věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů metody pro praktické rozhodování soukromých osob i podnikatelů

Více

Návrh a management projektu

Návrh a management projektu Návrh a management projektu Metody ekonomického posouzení projektu ČVUT FAKULTA BIOMEDICÍNSKÉHO INŽENÝRSTVÍ strana 1 Ing. Vladimír Jurka 2013 Ekonomické posouzení Druhy nákladů a výnosů Jednoduché metody

Více

Tab. č. 1 Druhy investic

Tab. č. 1 Druhy investic Investiční činnost Investice představuje vydání peněz dnes s představou, že v budoucnosti získáme z uvedených prostředků vyšší hodnotu. Vzdáváme se jisté spotřeby dnes, ve prospěch nejistých zisků v budoucnosti.

Více

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o v é h o k n i h k u p e c t v í w w w. k o s m a s. c z, U I D : K O S 1 8 0 7 6 1 Edice Osobní a rodinné

Více

Finanční matematika. Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. 17. 9. 2012. Katedra matematických metod v ekonomice

Finanční matematika. Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. 17. 9. 2012. Katedra matematických metod v ekonomice Finanční matematika 1. přednáška Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Katedra matematických metod v ekonomice 17. 9. 2012 Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO)

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA. Ing. Oldřich Šoba, Ph.D. Rozvrh. Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo ZS 2009/2010

FINANČNÍ MATEMATIKA. Ing. Oldřich Šoba, Ph.D. Rozvrh. Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo ZS 2009/2010 Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo FINANČNÍ MATEMATIKA ZS 2009/2010 Ing. Oldřich Šoba, Ph.D. Kontakt: e-mail: oldrich.soba@mendelu.cz ICQ: 293-727-477 GSM: +420 732 286 982 http://svse.sweb.cz web

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Investiční činnost v podniku. cv. 10

Investiční činnost v podniku. cv. 10 Investiční činnost v podniku cv. 10 Investice Rozhodování o investicích jsou jedněmi z nejdůležitějších a nejobtížnějších rozhodování podnikového managementu. Dobré rozhodnutí vede podnik k rozkvětu, špatné

Více

ZÁKLADY FINANČNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY FINANČNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY FINANČNÍ MATEMATIKY Na přípravě skript se podíleli: Ing. Petr Borkovec - kap. 3, 4, 6 Ing. Roman Ptáček - kap. 1, 2, 5, 9 Ing. Petr Toman - kap. 7, 8 Technická úprava: Ing. Petr Borkovec Ing. Petr

Více

Datová centra a úložiště. Jaroslav G. Křemének g.j.kremenek@gmail.com

Datová centra a úložiště. Jaroslav G. Křemének g.j.kremenek@gmail.com Datová centra a úložiště Jaroslav G. Křemének g.j.kremenek@gmail.com České národní datové úložiště Součást rojektu CESNET Rozšíření národní informační infrastruktury ro VaV v regionech (eiger) Náklady

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

HODNOCENÍ INVESTIC. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 9. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D.

HODNOCENÍ INVESTIC. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 9. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. HODNOCENÍ INVESTIC Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace 9. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. Metody hodnocení efektivnosti investic Při posuzování investice se vychází ze strategických

Více

Pojem investování a druhy investic

Pojem investování a druhy investic Investiční činnost Pojem investování a druhy investic Rozhodování o investicích Zdroje financování investic Hodnocení efektivnosti investic Metody hodnocení investic Ukazatele hodnocení efektivnosti investic

Více

Vyjadřují se v procentech z hodnoty vloženého kapitálu. Někdy se pro jejich označení používá termín cena kapitálu.

Vyjadřují se v procentech z hodnoty vloženého kapitálu. Někdy se pro jejich označení používá termín cena kapitálu. 1. Cena kapitálu Náklady kapitálu představují pro podnik výdaj, který musí zaplatit za získání různých forem kapitálu (tj. za získání např. různých forem dluhů, akciového kapitálu, nerozděleného zisku

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Šířením elektronické verze testu způsobíte, že na další testování a kvalitní služby nebudeme mít dostatek peněz. Přejeme příjemné počtení.

Šířením elektronické verze testu způsobíte, že na další testování a kvalitní služby nebudeme mít dostatek peněz. Přejeme příjemné počtení. Děkujeme vám, že jste si stáhli informace z www.dtest.cz. I díky Vašim enězům může časois dtest hradit vysoké náklady na testování výrobků a oskytovat rvotřídní služby sotřebitelům. Šířením elektronické

Více

Obsah Předmluva Finanční kritéria efektivnosti investičních projektů Investiční a finanční rozhodování Grafická analýza investičních projektů

Obsah Předmluva Finanční kritéria efektivnosti investičních projektů Investiční a finanční rozhodování Grafická analýza investičních projektů Obsah Předmluva............................................. 7 1. Finanční kritéria efektivnosti investičních projektů...... 9 1.1 Doba návratnosti.................................. 12 1.2 Čistá současná

Více

Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo. Devizový kurz - cena deviz (bezhotovostní cizí peníze ve formě zůstatků na účtech, směnek, šeků apod.).

Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo. Devizový kurz - cena deviz (bezhotovostní cizí peníze ve formě zůstatků na účtech, směnek, šeků apod.). Měnové kurzy Měnový kurz (foreign exchange rate, FX rate, forex rate) je poměr, v jakém se směňují dvě navzájem cizí měny, nebo-li cena jedné měny vyjádřená v jiné měně. Volně směnitelné měny kurz je určován

Více

Excel COUNTIF COUNTBLANK POČET

Excel COUNTIF COUNTBLANK POČET Excel Výpočty a vazby v tabulkách COUNTIF Sečte počet buněk v oblasti, které odpovídají zadaným kritériím. Funkce je zapisována ve tvaru: COUNTIF(Oblast;Kritérium) Oblast je oblast buněk, ve které mají

Více

Varianta Pravděpodobnost Výnos A 1 Výnos A 2 1 0,1 1% 0,1 3% 0,3 2 0,2 12% 2,4 28% 5,6 3 0,3 6% 1,8 14% 4,2

Varianta Pravděpodobnost Výnos A 1 Výnos A 2 1 0,1 1% 0,1 3% 0,3 2 0,2 12% 2,4 28% 5,6 3 0,3 6% 1,8 14% 4,2 Dobrý den. Kladno, 22. 3. 2007 21:35 Chtěl bych se všem omluvit za ten závěr přednášky. Bohužel mě chyba v jednom z příkladů vykolejila natolik, že jsem se již velice těžko soustředil na svůj výkon. Chtěl

Více

1 Oceňování finančního majetku, jednoduchý a složený úrok, budoucí a současná hodnota

1 Oceňování finančního majetku, jednoduchý a složený úrok, budoucí a současná hodnota 1 Oceňování finančního majetku, jednoduchý a složený úrok, budoucí a současná hodnota Stejné nominální částky mají v různých obdobích různou hodnotu tj. koruna dnes má jinou hodnotu, než koruna zítra.

Více

Krátkodobé cenné papíry a Skonto obsah přednášky

Krátkodobé cenné papíry a Skonto obsah přednášky Krátkodobé cenné papíry a Skonto obsah přednášky 1) Vybrané krátkodobé cenné papíry 2) Skonto není cenný papír, ale použito obdobných principů jako u krátkodobých cenných papírů Vybrané krátkodobé cenné

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

Ekonomika lesního hospodářství. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/28.

Ekonomika lesního hospodářství. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/28. Ekonomika lesního hospodářství Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/28.0018 Ekonomika lesního hospodářství (EKLH) Připravil: Ing. Tomáš

Více

Stejně velké platby - anuita

Stejně velké platby - anuita Stejně velké platby - anuita Anuitní platby Existuje vzorec, pomocí kterého lze uspořádat splátky jistiny a platby úroků tak, že jejich součet v každém období (např. každý měsíc) je stejný. Běžný příklad:

Více

Porovnání dostupnosti různých konfigurací redundance pro napájení stojanů

Porovnání dostupnosti různých konfigurací redundance pro napájení stojanů Porovnán dostunosti různých konfigurac redundance ro naájen stojanů White Paer č. 48 Resumé K zvýšen dostunosti výočetnch systémů jsou ro zařzen IT oužvány řenače a duáln rozvody naájen. Statistické metody

Více

Seriál TeoriečíselI. Jak seriál číst? Dohoda. Úvod

Seriál TeoriečíselI. Jak seriál číst? Dohoda. Úvod Seriál TeoriečíselI Počínaje 17. ročníkem robíhá každý rok v PraSátku seriál na okračování. Jde o výklad nějakého odvětví matematiky, se kterým se na střední škole s velkou ravděodobností setkáš jenvomezenémířečivůbecne,alekteréjeřestomožnévyložittak,abybylostředoškolákům

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Ekonomika podniku Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze Ing. Kučerková Blanka, 2011 Krátkodobé

Více

Analýza návratnosti investic/akvizic

Analýza návratnosti investic/akvizic Analýza návratnosti investic/akvizic Klady a zápory Hana Rýcová Charakteristika investice: Investice jsou ekonomickou činností, kterou se subjekt (stát, podnik, jednotlivec) vzdává své současné spotřeby

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

SOCIÁLNĚ PRÁVNÍ MINIMUM

SOCIÁLNĚ PRÁVNÍ MINIMUM SOCIÁLNĚ PRÁVNÍ MINIMUM Vážení rodiče, rarodiče, blízcí našich acientů, nabízíme řehled dávek, výhod a kontaktů, který by Vám omohl lée zvládnout situaci, která vznikla v souvislosti s onemocněním Vašeho

Více

Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ

Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ Matematika a byznys Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ Alena Švédová A07146 Investice do akcií společnosti ČEZ ÚVOD Tímto tématem, které jsem si pro tuto práci zvolila, bych chtěla poukázat na to,

Více

N i investiční náklady, U roční úspora ročních provozních nákladů

N i investiční náklady, U roční úspora ročních provozních nákladů Technicko-ekonomická optimalizace cílem je určení nejvýhodnějšího řešení pro zamýšlenou akci Vždy existují nejméně dvě varianty nerealizace projektu nulová varianta realizace projektu Konstrukce variant

Více

Metodické listy pro kombinované studium předmětu INVESTIČNÍ A FINANČNÍ ROZHODOVÁNÍ (IFR)

Metodické listy pro kombinované studium předmětu INVESTIČNÍ A FINANČNÍ ROZHODOVÁNÍ (IFR) Metodické listy pro kombinované studium předmětu INVESTIČNÍ A FINANČNÍ ROZHODOVÁNÍ (IFR) (Aktualizovaná verze 04/05) Úvodní charakteristika předmětu: Cílem jednosemestrálního předmětu Investiční a finanční

Více

Pasivní bankovní operace, vkladové bankovní produkty.

Pasivní bankovní operace, vkladové bankovní produkty. 5. Pasivní bankovní operace, vkladové bankovní produkty. PASIVNÍ BANKOVNÍ OBCHODY veškeré bankovní produkty, při kterých BANKA od svých klientů přijímá VKLAD DEPOZITUM v bankovní bilanci na straně PASIV

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

1 ROZHODOVÁNÍ V ŘÍZENÍ

1 ROZHODOVÁNÍ V ŘÍZENÍ 1 ROZHODOVÁNÍ V ŘÍZENÍ Rozhodování je ovažováno za jednu ze základních aktivit ři racionálním řešení nejenom řídících roblémů, řitom kvalita rozhodování zásadním zůsobem ovlivňuje výslednou kvalitu řídícího

Více

21.1 VRATNÉ A NEVRATNÉ DĚJE 21.2 ENTROPIE. Probíhá-li v uzavřeném systému nevratný děj, entropie S systému vždy roste a nikdy neklesá.

21.1 VRATNÉ A NEVRATNÉ DĚJE 21.2 ENTROPIE. Probíhá-li v uzavřeném systému nevratný děj, entropie S systému vždy roste a nikdy neklesá. 21 Entroie AnonymnÌ n is na zdi v jednè kav rniëce na Pecan Street v Austinu v Texasu n m sdïluje: Ñ»as je z sob, jak B h zajistil, aby se vöechno nestalo najednouì.»as m takè smïr: nïkterè dïje se odehr

Více

BIUS 2 BIUS 3. Bohemius k.s.

BIUS 2 BIUS 3. Bohemius k.s. Máš chybu na pojistném? Jak ale zjistit vyměřovací základ, když zaokrouhlujeme na Kč nahoru, nebo třeba na stokoruny? Jak zjistit výši původní chyby? Bohemius k.s. BIUS 2 BIUS 3 www.bohemius.cz O PRODUKTU

Více

Výpočty za použití zákonů pro ideální plyn

Výpočty za použití zákonů pro ideální plyn ýočty za oužití zákonů ro ideální lyn Látka v lynné stavu je tvořena volnýi atoy(onoatoickýi olekulai), ionty nebo olekulai. Ideální lyn- olekuly na sebe neůsobí žádnýi silai, jejich obje je ve srovnání

Více

Univerzita Pardubice. Fakulta ekonomicko-správní

Univerzita Pardubice. Fakulta ekonomicko-správní Unverzta Pardubce Fakulta ekonomcko-srávní Vývoj hyotečních úvěrů a dskontní sazby v ČR s rognózou do budoucna Ilona Gerčáková Bakalářská ráce 2014 PROHLÁŠENÍ Prohlašuj, že jsem tuto rác vyracovala samostatně.

Více

1 Umořovatel, umořovací plán, diskont směnky

1 Umořovatel, umořovací plán, diskont směnky 1 Umořovatel, umořovací plán, diskont směnky Umořovatel je párovým vzorcem k zásobiteli (viz kapitola č. 5), využívá se pro určení anuity, nebo-li pravidelné částky, kterou musím splácet bance, pokud si

Více

Finance v cestovním ruchu - dvousemestrální kurz

Finance v cestovním ruchu - dvousemestrální kurz K1FCR3 Finance v cestovním ruchu - dvousemestrální kurz Přednášející: doc. Jan Pudlák, texty na pudlak.wbs.cz (heslo: ahojte) dotazy na pudlak@wbs.cz Rozvržení obsahu mezi zimní a letní semestr: zimní

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Investování volných finančních prostředků

Investování volných finančních prostředků Investování volných finančních prostředků Rizika investování Lidský faktor Politická rizika Hospodářská rizika Měnová rizika Riziko likvidity Inflace Riziko poškození majetku Univerzální optimální investiční

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

RPSN (Roční Procentní Sazba Nákladů) (2015-01-18)

RPSN (Roční Procentní Sazba Nákladů) (2015-01-18) RPSN (Roční Procentní Sazba Nákladů) (2015-01-18) Zkratkou RPSN se označuje takzvaná roční procentní sazba nákladů. Udává, kolik procent z původní dlužné částky musí spotřebitel za jeden rok zaplatit v

Více

Úrokové sazby na mezibankovním trhu a předpovědní schopnost tohoto trhu

Úrokové sazby na mezibankovním trhu a předpovědní schopnost tohoto trhu Úrokové sazby na mezibankovním trhu a předpovědní schopnost tohoto trhu KMA/MAB.5.00 Lenka Skalová A08N085P leninkaskalova@centrum.cz Obsah Obsah... Zadání... Zdroj dat... Peněžní trh.... Definice peněžního

Více

7.1. Jistina, úroková míra, úroková doba, úrok

7.1. Jistina, úroková míra, úroková doba, úrok 7. Finanční matematika 7.. Jistina, úroková míra, úroková doba, úrok Základní pojmy : Dlužník osoba nebo instituce, které si peníze půjčuje. Věřitel osoba nebo instituce, která peníze půjčuje. Jistina

Více

Finanční matematika v českých učebnicích

Finanční matematika v českých učebnicích Finanční matematika v českých učebnicích 1 Teoretické minimum finanční matematiky In: Martin Melcer (author): Finanční matematika v českých učebnicích (Od Marchetovy reformy) (Czech) Praha: Matfyzpress

Více

Základní orientace v MS Excel

Základní orientace v MS Excel Základní orientace v MS Excel Umíte-li ovládat textový editor MS Word, nebude Vám činit žádné potíže ovládání programu MS Excel. Panel nabídek, panel nástrojů, posuvníky, to všechno již znáte. Jen pracovní

Více

Gibbsova a Helmholtzova energie. Def. Gibbsovy energie G. Def. Helmholtzovy energie A

Gibbsova a Helmholtzova energie. Def. Gibbsovy energie G. Def. Helmholtzovy energie A ibbsova a Helmholtzova energie Def. ibbsovy energie H Def. Helmholtzovy energie U, jsou efinovány omocí stavových funkcí jená se o stavové funkce. ibbsova energie charakterizuje rovnovážný stav (erzibilní

Více

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Ekonomika podniku Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze Ing. Kučerková Blanka, 2011 Finanční

Více

Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115

Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115 Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115 Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0410 Číslo šablony: 27 Název materiálu: Funkce datumu a času, finanční a další Ročník: 2. ročník Identifikace

Více

Bakalářská práce. Analýza možností pořízení domu

Bakalářská práce. Analýza možností pořízení domu Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Bakalářská práce Analýza možností pořízení domu Plzeň, 2014 Blanka Sudová Prohlášení Prohlášení Prohlašuji, že jsem bakalářskou

Více

Stav Půjčky Splátky Kurzové Změna Stav

Stav Půjčky Splátky Kurzové Změna Stav II. Státní dluh 1. Vývoj státního dluhu V 2013 došlo ke zvýšení celkového státního dluhu o 47,9 mld. Kč z 1 667,6 mld. Kč na 1 715,6 mld. Kč. Znamená to, že v průběhu 2013 se tento dluh zvýšil o 2,9 %.

Více

Sbírka A - Př. 1.1.5.3

Sbírka A - Př. 1.1.5.3 ..5 Ronoměrný ohyb říklady nejnižší obtížnosti Sbírka A - ř...5. Kolik hodin normální chůze (rychlost 5 km/h) je od rahy zdálen Řím? Kolik dní by tuto zdálenost šel rekreační chodec, který je schoen ujít

Více

PRINCIPY ZPRACOVÁNÍ HLASU V KLASICKÉ A IP TELEFONII

PRINCIPY ZPRACOVÁNÍ HLASU V KLASICKÉ A IP TELEFONII PRINCIPY ZPRACOVÁNÍ HLASU V KLASICKÉ A IP TELEFONII Doc. Ing. Boris ŠIMÁK, CSc. racoviště: ČVUT FEL, Katedra telekomunikační techniky; mail: simak@feld.cvut.cz Abstrakt: Tento řísěvek si klade za cíl seznámit

Více

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci

Více

2.9.3 Exponenciální závislosti

2.9.3 Exponenciální závislosti .9.3 Eponenciální závislosti Předpoklady: 9 Pedagogická poznámka: Látka připravená v této hodině zabere tak jeden a půl vyučovací hodiny. Proč probíráme tak eotickou funkci jako je eponenciální? V životě

Více

MODELOVÁNÍ POPTÁVKY, NABÍDKY A TRŽNÍ ROVNOVÁHY

MODELOVÁNÍ POPTÁVKY, NABÍDKY A TRŽNÍ ROVNOVÁHY MODELOVÁÍ POPTÁVKY, ABÍDKY A TRŽÍ ROVOVÁHY Schéma tržní rovnováhy Modely otávky na trhu výrobků a služeb Formulace otávkové funkce Komlexní model Konstrukce modelu otávky Tržní otávka Dynamcké modely otávky

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více