BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Klára Jelenová. Sbírka úloh z finanční matematiky

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Klára Jelenová. Sbírka úloh z finanční matematiky"

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Klára Jelenová Sbírka úloh z finanční matematiky Katedra ravděodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské ráce: RNDr. Jitka Zichová, Dr. Studijní rogram: Matematika, finanční matematika 2009

2 Dovoluji si na tomto místě oděkovat RNDr. Jitce Zichové, Dr., vedoucí bakalářské ráce, za její odoru i cenné rady ři vzniku této bakalářské ráce. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou ráci nasala samostatně a výhradně s oužitím citovaných ramenů. Souhlasím se zaůjčováním ráce a jejím zveřejňováním. V Praze dne Klára Jelenová 2

3 Obsah Úvod 6 Úrokování 7. Jednoduché úrokování Složené úrokování Polhůtné a ředlhůtné úrokování Polhůtné úrokování Předlhůtné úrokování Sojité úrokování Úrokové míry závislé na čase Příklady Finanční toky a důchody Diskrétní finanční tok Sojitý finanční tok Durace, konvexita Důchod Příklady Výnosové rovnice, vnitřní míry výnosnosti a hodnocení investičních rojektů Vnitřní míra výnosnosti Hodnocení investičních rojektů Jiné tyy vnitřní míry výnosnosti Vliv inflace na výnosovou rovnici Úrokové míry Příklady

4 4 Dluhoisy Sravedlivá cena obligace Durace dluhoisů Imunizace Příklady Oce Tyy ocí a jejich arametry Příklady Literatura 02 4

5 Název ráce: Sbírka úloh z finanční matematiky Autor: Klára Jelenová Katedra: Katedra ravděodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské ráce: RNDr. Jitka Zichová, Dr. vedoucího: Abstrakt: Předložená ráce ředstavuje sbírku úloh k základním řednáškám z finanční matematiky - k Úvodu do financí a k Matematickým metodám ve financích. Okrajově se dotýká i řednášky Finančního managementu. Motivem k jejímu nasání byla myšlenka omoci studentům Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy lée ochoit robíranou teorii v oblasti financí. Během bakalářského studia musí studenti absolvovat mnoho ředmětů a není bohužel dostatek rostoru mít k řednáškám týkajícím se financí i cvičení. Práce by měla řisět k samostatnému rocvičování látky, k rohloubení znalostí v oblasti finanční matematiky a v alikaci naučených matematických vzorců. Pro leší ochoení a kontrolu jsou říklady řešeny odrobně, některé jsou dolněny o vzorová řešení v MS Excelu verze 2007) či rogramu Mathematica verze 7.0.0). Klíčová slova: úrok, finanční tok, výnos, dluhois, oce. Title: An exercise book on financial mathematics Author: Klára Jelenová Deartment: Deartment of Probability and Mathematical Statistics Suervisor: RNDr. Jitka Zichová, Dr. Suervisor s address: Abstract: This Bachelor Thesis reresents an Exercise Book to the essential lectures of Financial Mathematics Introduction to Finance and Mathematical Methods in Finance). It also covers some toics of Financial Management, but marginally. The aim of this workbook is to hel the students of the Faculty of Mathematics and Physics at Charles University to understand the theory of Finance better. The reason is that during their studies, students have to attend a lot of lectures and other courses - so there is not enough time to organise workshos and ractise the theory. This workbook was considered for self-studying, to deeen the knowledge of Financial Mathematics and ractise the learnt formulas. All exercises are accomanied by detailed solution - for better understanding and verification of results, some of them have also the exemlary solutions in MS Excel 2007 and Mathematica software version 7.0.0). Keywords: interest, cashflow, yield, bond, otion. 5

6 Úvod Tato ráce je sbírkou úloh z finanční matematiky dolněná o říslušnou teorii a otřebné matematické vzorce. Některé vzorce jsou odvozeny římo v řešených říkladech. Veškeré věty jsou kvůli stručnosti uvedeny bez důkazů. Lze je však dohledat v literatuře, na kterou se autor odkazuje. Kaitola se věnuje úrokování. Seznamuje s ojmy současná a budoucí hodnota. Je zaměřena zejména na rozdíly mezi jednoduchým a složeným úrokováním. V říkladech se klade důraz na různé frekvence úrokování. S úrokováním jsou velmi úzce sjaty ůjčky. I o nich se v této kaitole dočteme. Více informací k ojmům z této kaitoly se dá najít v knihách [], [3] a [5]. Kaitola 2 zavádí ojem finanční tok a důchod. Zaobírá se roblematikou výše slátek ůjčky, rozdílem mezi olhůtným a ředlhůtným důchodem a zavádí ojmy durace a konvexita. K této kaitole se vztahují stejné knihy jako ke kaitole. V kaitole 3 se zmíníme o vnitřní míře výnosnosti a jejích modifikacích. Rozebereme její hlavní roli ři rozhodování o výhodnosti investičních rojektů. Uvedeme i další metody, které se věnují orovnání investičních rojektů. Najdeme zde i zmínku o vlivu inflace na výnosovou rovnici. Více naříklad viz kniha [3]. Kaitola 4 ojednává o dluhoisech. V říkladech se objevují řevážně kuónové obligace. Kuónové latby ředstavují seciální říad finančních toků. Jsou zde tedy využity vzorce z kaitoly 2. Oět je zde zmíněna durace. Tentokrát se na ni zaměříme i v říkladech. Navíc je sem zahrnuta imunizace dluhoisů. O základních charakteristikách dluhoisů se můžeme dočíst v knihách [2] a [3], imunizace je vyložena v knihách [4] a [5]. Poslední stručná kaitola je věnována základům teorie ocí. Hovoří o zisku res. ztrátě) z rodeje nebo kouě CALL nebo PUT oce. K této kaitole se hlavně vztahuje kniha [2]. První čtyři kaitoly solu souvisejí a jsou značně roojeny. Často se setkáme s odkazem na jinou kaitolu. Aby čtenář získal určitý řehled o finanční matematice, je vhodné rostudovat si všechny kaitoly. Pro větší řehlednost je ve všech kaitolách oužito jednotné značení. Zde je na místě uozornit, že ne vždy se shoduje se značením, které se vyskytuje v literatuře v odkazech. Symbol značí konec říkladu. 6

7 Kaitola Úrokování Úrok interest) je odměna oskytovateli ůjčky za odloženou sotřebu vyjádřená v eněžních jednotkách. Z ohledu osoby, která si ůjčuje, se jedná o cenu, kterou musí zalatit, okud si eníze vyůjčí. Vyůjčenou částku označujeme jako jistinu rincial). Poskytovatele ůjčky nazýváme věřitel creditor). Na druhé straně stojí dlužník debtor) - osoba, která si ůjčuje od věřitele. Výši úroku určuje úroková míra interest rate). Důležitá je i doba slácení dluhu, res. očet období úročení ůjčky. Hodnoty úrokové míry musí být konzistentní s obdobími úročení. Proto si vždy musíme dát ozor na to, se kterou úrokovou mírou očítáme zda se jedná o roční, ůlroční, měsíční aod.).. Jednoduché úrokování Základním tyem úrokování je jednoduché úrokování simle interest). V tomto říadě se o celou dobu slácení dluhu očítá úrok ve vzorcích označován jako I) ouzezjistiny. Základní vzorec má tvar FV = PV + i n).) Značení: PV...jistina, současná hodnota rincial, resent value) FV...budoucí hodnota vyůjčené částky future value) i...roční úroková míra.a.) n...očet období úročení v letech) 7

8 Úrok I za dané období je dán vzorcem I = PV i n.2) Vidíme tedy, že budoucí hodnota jistiny je rovna součtu současné hodnoty vyůjčené částky a řisaného úroku, neboli FV = PV + I.3) Diskontování Diskontování můžeme označit jako oačný roces k úročení. Důležitým ojmem je zde diskontní míra discount rate). Roční diskontní míru značíme symbolem d. Pokud onecháme označení z rovnice.), je diskontní míra dána vzorcem i d = +i n Z rovnice.) odvodíme vztah ro současnou hodnotu: PV = FV = FV d n).4) +i n Poznámka: Rozlišujeme dva tyy ůjček: ůjčka s úrokem: - vyůjčíme si částku PV na n let s roční úrokovou mírou i a vrátíme: FV = PV + i n) - slatná částka je odvozena od výše ůjčky, olhůtný úrok - míra zisku ro věřitele: µ u = FV PV PV = PV i n PV = i n.5) ůjčka s diskontem: - vyůjčíme si částku PV na n let s roční diskontní mírou d a vrátíme částku FV: PV = FV FV d n - výše ůjčky je odvozena od slatné částky, ředlhůtný úrok - míra zisku ro věřitele: µ d = FV PV PV 8 = d n d n.6)

9 Pokud i = d: µ u = i n µ d = i n i n µ u <µ d, jinak řečeno: ro věřitele je výhodnější ůjčka s diskontem..2 Složené úrokování V říadě, že se v každém období řiíše úrok k jistině a v dalších obdobích se znovu úročí, nazýváme toto úrokování složené úrokování comound interest). Vzorec ro výočet budoucí hodnoty : FV = PV + i) n,.7) oužívaná označení jsou totožná se symboly z rovnice.). Diskontování Formuli ro diskontování ři sojitém úrokování lze odvodit z rovnice.7): PV = FV + i) n.8) Pro diskontování se oužívá diskontní faktor označovaný v: v = +i.9) Rovnici.8) lze tedy vyjádřit omocí diskontního faktoru následovně: PV = FV v n.0).3 Polhůtné a ředlhůtné úrokování Úročení nemusí být ouze roční. Jistina se může úročit -krát ročně. Musíme tedy očítat také s říslušnou úrokovou mírou. Označme roční úrokovou míru i = i ),jetotzv.nominální úroková míra. 9

10 Nominální úroková míra ro -tinu roku je rovna: i ).) Jak naovídá název kaitoly, rozlišujeme dva tyy úrokování..3. Polhůtné úrokování Předokládejme, že jsme uložili částku na rok. Úrok i ), který se dále úročí složeně s roční mírou i ef,seřiisujena konci každé -tiny roku. Celkový říjem z úroků na konci roku v čase ) má hodnotu t=0 i ) + i ef) t i ) = i ef.2) + i ef ) Chceme, aby se součet.2) rovnal efektivní úrokové míře effective interest rate) i ef, která rerezentuje úrokový výnos z částky řisaný jednorázově na konci roku. Po úravě dostáváme i ) i ef = i + i ef ) ef +i ef = + i ) ).3).3.2 Předlhůtné úrokování Předokládejme, že jsme uložili částku na rok. Úrok d ), který se dále úročí složeně s roční mírou i ef,seřiisujena začátku každé -tiny roku. Označme v = +i ef. Celkový říjem z úroků, kdyby byl vylacen na začátku roku v čase 0) je d ) t=0 v t d ) = v.4) v Požadujeme, aby se součet.4) rovnal efektivní diskontní míře d ef. d ) v v = d ef v = = d ef d ef = d ) +i ef ).5) 0

11 Platí: d ef = i ef +i ef d ) = i ) + i ) Poznámka: Nadále budeme sát i ef = i, d ef = d..4 Sojité úrokování Pokud frekvence úročení roste nade všechny meze, ak latí lim i ) = lim + i) + i) x = lim = x 0 + x d + i)y = d dy y=0 dy ex [y log + i)] = y=0 + i) y log + i) =log+i) =δ.6) y=0 Symbolem δ označujeme intenzitu úroku. Z rovnice.6) jsou zřejmé vztahy: +i = e δ v = e δ.7) Nyní již máme vše řiraveno ro zavedení vzorce ro sojité úrokování continuos comounding): FV = PV e δ t.8).5 Úrokové míry závislé na čase Obecnější řístu ředstavuje modelování úrokových měr jako funkcí času. Mějme časový interval t, t + h),h>0. V čase t investujeme, v čase t + h máme + h i h t), kde i h t) je nominální úroková míra.

12 Seciální říady: ) h =,i h t) =i t) =i h i h t) =i... efektivní úroková míra 2) h =,i ht) ozn. = i ) t) =i ) h i h t) = i... nominální úroková míra ro -tinu roku lim h 0+ i h) t) =δt)... intenzita úroku Akumulační faktor Označíme +h i h t) =At, t + h)..9) Tento akumulační faktor ředstavuje zhodnocení částky za časový interval délky h. Pokud v čase t investujeme C, otom v čase t 2 >t máme C At,t 2 ). Seciální říad: At,t 2 )=+i) t 2 t... složené úrokování Akumulačním faktorem je funkce dvou roměnných s vlastnostmi: ) At, t) = 2) rinci konzistence okud t 0 t t 2... t n ; n 2, ak latí: Zřejmě latí i h) t) = At,t+h) h δt) = lim h 0+ At,t+h) h At 0,t n )=At 0,t ) At,t 2 )... At n,t n ) Věta. Nechť δt) aat 0,t) jsou sojité funkce roměnné t ro t>t 0 anechťlatí rinci konzistence. Pak [ t2 ] At,t 2 )=ex δs) ds..20) t Důkaz lze najít v knize [5]. Seciální říad: δs) =δ : At,t 2 )=e δ t 2 t ) =+i) t 2 t... složené úrokování 2

13 Diskontování Nechť v čase 0 investujeme C avčaset>0máme. Zrovnice=C A0,t) je odvozen ředis ro diskontní faktor vt) = A0,t),.2) dle věty. lze také diskontní faktor vyjádřit vzorcem [ t ] vt) =ex δs) ds..22) 0 Seciální říad: δs) =δ : vt) =e δ t = v t Obecněji: v čase t investujeme C, včaset 2 >t > 0mámeC 2, C 2 = C At,t 2 )=C A0,t 2) = C A0,t ) vt ) vt 2 ) Vychází nám C = C 2 vt [ 2) vt ) = C t2 ] 2 ex δs) ds t.23).6 Příklady Příklad. Paní Vosecká uvažuje o ůjčce na novou kouelnu ve výši Kč s dobou slatnosti 9 měsíců. Na výběr má ůjčku s diskontem s roční diskontní mírou 7 % nebo ůjčku s úrokem, kde roční úroková míra činí 7,5 %, úvěr se úročí jednoduše. Kterou ůjčku by si měla aní Vosecká zvolit? Řešení: Paní Vosecká by si měla zvolit tu ůjčku, ři které zalatí menší úrok. O dvou tyech ůjčky jsme zmínili v oznámce u jednoduchého úrokování v kaitole.. Pro ůjčku s diskontem máme FV = Kč n =0, 75 let d =7%=0, 07 3

14 Klientce bude ůjčeno PV d = FV FV d n ro naše hodnoty: PV d = , 07 0, 75 = Kč Předlhůtný úrok, který aní Vosecká uhradí bance, je = 9 87 Kč. Pro ůjčku s úrokem máme PV = Kč n =0, 75 let i =7, 5%=0, 075 Paní Vosecká by si v tomto v tomto říadě ůjčila Kč a bance by vracela FV = , 075 0, 75) = Kč Polhůtný úrok, který by aní Vosecká zalatila bance, je = Kč. Výhodnější je tedy ro aní Voseckou ůjčka s diskontem. Pro banku by naoak bylo výhodnější ůjčit klientce s úrokem, neboť míra zisku ro věřitele ři ůjčce s úrokem sočítaná odle.5) je vyšší než míra zisku ro ůjčku s diskontem odle rovnice.6). µ u = i n =0, 075 0, 75 = 0, µ d = d n = d n 0,07 0,75 0,07 0,075 = 0, 0554 Příklad.2 Paní Mladá se v roce 987 rozhodla uložit do banky Kč. V roce 2009 se však bojí, že banka zkrachuje, a tak si chce své uložené eníze vybrat ro jednoduchost se výběr uskuteční ve stejný den jako se uskutečnil řed 22 lety vklad). Vklad se úročil složeně s roční nominální úrokovou mírou 4 % jednou za rok. 4

15 a) Kolik by měla banka aní Mladé dnes vylatit? b) O kolik by dnes měla aní Mladá méně, okud by se vklad úročil jednoduše? Řešení: Zajímá nás budoucí hodnota FV vkladu v hodnotě Kč. Víme: PV = Kč n =22let i =4%=0, 04 a) K výočtu oužijeme rovnici.7): FV = PV + i) n. Tedy FV = , 04) 22 = Kč. Pokud bychom chtěli tuto úlohu vyřešit v Excelu, oužili bychom funkci BUDHODNOTA a do argumentů bychom zadali: Sazba: 0,04 Per: 22 Slátka: 0 lze onechat nevylněné) Souč hod: Ty: nevylňujeme Výsledný říkaz tedy vyadá následovně: =BUDHODNOTA0, 04; 22; 0; 0000). Řešení je samozřejmě totožné s ředchozím výsledkem. b) Pro jednoduché úrokování oužijeme vzorec.): FV = PV + i n). Po dosazení FV = , 04 22). Budoucí hodnota ři jednoduchém úročení se rovná Kč. Zde by byl úrok roven ouhým Kč neboli každý rok se k ůvodnímu vkladu řiočetlo 400 Kč o dobu 22 let). Rozdíl budoucích hodnot ři složeném a jednoduchém úročení je = Kč. 5

16 24000 FV jednoduche slozene Obrázek.: Složené a jednoduché úročení rok Na obrázku. vidíme grafické orovnání stavu účtu v růběhu 22 let. Vidíme, že ři složeném úročení hodnota účtu roste exonenciálně, zatímco ři jednoduchém úročení roste účet lineárně. Příklad.3 Uvažujme odobnou situaci jako v Příkladu.2, nyní ale ředokládejme měsíční úročení. Ostatní údaje jsou totožné. Kolik by si aní Mladá vybrala dnes z banky v tomto říadě? Řešení: Zajímá nás tedy oět budoucí hodnota FV vkladu v hodnotě Kč. Nyní ale víme: PV = Kč n =22let =2 i ) = i 2) =4%=0, 04 Měsíční nominální úroková míra je tedy dle.) rovna 0,04. 2 Dle vzorce.3) víme, že: + i = + i ) ). Teď již můžeme oužít rov- 6

17 nici.7), tím mám vznikne vzorec ro složené úročení -krát ročně: FV = PV + i ) n ).24) Budoucí hodnota ři měsíčním úročení se rovná: FV = ) 0, = Kč. 2 Při složeném měsíčním úročení získáme o 375 Kč více než ři složeném ročním. Použití funkce BUDHODNOTA v Excelu je obdoba minulého říadu. Nesmíme však zaomenout na zadání srávné úrokové sazby - v tomto říadě měsíční - a na říslušný očet úrokovacích období: Sazba: 0,04 2 Per: 2 22 = 264) Slátka: 0 lze onechat nevylněné) Souč hod: Ty: nevylňujeme =BUDHODNOTA0, 04/2; 2 22; 0; 0000). Poznámky k říkladu.3: ) V říadě, že by se jednalo o měsíční jednoduché úročení, myšlenka zůstává stejná jako u ročního. Každé období se na účet řiíše říslušný úrok z uložené částky, tedy: FV = PV + n i ) ).25) Uravením tohoto vzorce však zjistíme, že je totožný se vzorcem ro jednoduché roční úročení. Vidíme tedy, že na rozdíl od složeného úročení se výsledná částka ři měsíčním úročení oroti ročnímu) nezmění. To latí samozřejmě i ro jiná úročení -krát do roka. Je to tím, že řisané úroky se neúročí. 7

18 2) Pokud by se frekvence úročení blížila, ak bychom oužili vzorec.8) ro sojité úrokování, kde: i ) δ =0, 04 t =22let a výsledek by vyadal následovně: FV = e 0,04 22 = Kč Pro srovnání ukažme, jaké výše by dosahovala budoucí hodnota ři složeném denním úročení = 365). FV = ) 0, = Kč 365 Rozdíl mezi sojitým a složeným denním úrokováním je neatrný. Příklad.4 Pan Zlatý řemýšlí, jak nejvýhodněji uložit Kč. Doufá, že eníze nebude otřebovat říští 4 roky. Rozhoduje se mezi třemi bankami. Každá nabízí jinou úrokovou sazbu a jinou frekvenci úročení viz tabulka.). Jakou banku by měl an Zlatý vyhodnotit jako ro něj nejvýhodnější? Předokládáme, že banky úročí vklad složeně. Banka Úrok.a.) Frekvence úročení ) banka A 3,95 % 2 banka B 4,00 % 3 banka C 4,05 % Tabulka. Řešení: Mohli bychom samozřejmě oět očítat budoucí hodnotu ro každou banku zvlášť dle vzorce.24): banka A: banka B: FV = FV = ) 0, = ) 0, =

19 banka C: FV = , 0405) 4 = 72 0 Existuje však i jednodušší zůsob, jak tuto úlohu vyřešit. Slouží nám k tomu efektivní úroková míra i ef. Dle vzorce.3) se efektivní úroková míra rovná: i ef = + i ) ) Stačí sočítat efektivní úrokové míry ro všechny banky a jejich orovnáním zjistíme, která je nejvýhodnější: banka A: banka B: banka C: i ef = i ef = + + ) 0, =0, = 4, 0223% 2 ) 0, 04 3 =0, = 4, 0536% 3 i ef =+0, 0405) =0, 0405 = 4, 05% Nejvyšší efektivní úroková míra vyšla ro banku B, tedy nejvýhodnější by bylo vložit eníze do banky B. I Excel umí sočítat efektivní úrokovou míru. Použijeme funkci EFFECT, do argumentů zadáme nař. ro banku A následující: Úrok: 0,0395 Období: 2 Výsledný vzorec: =EFFECT0, 0395; 2) Poznámky:. Kalendářní konvence Pro výočty úroku je důležité vědět, odle jaké konvence máme očítat dobu, o kterou úročíme nař. ři očítání tzv. alikvótního úroku - viz kaitola 4: Dluhoisy). Rozlišujeme různé tyy kalendářních konvencí: ) ACT/ skutečný očet kalendářních dní vztahovaný k bazickému roku o 360 dnech 9

20 2) ACT/ skutečný očet kalendářních dní vztahovaný k bazickému roku o 365 dnech řestuný rok se bere jako rok, který má 365 dní) 3) ACT/ACT... skutečný očet kalendářních dní vztahovaný ke skutečnému očtu dní v roce 4) 30/ měsíc má 30 dní, vztahováno k bazickému roku o 360 dnech zde se ještě rozlišuje EUR 30/360 a US 30/360 - neatrně se liší výočet dní mezi dvěma daty, viz nař. kniha [3] ) 2. Smíšené úrokování Pokud doba slatnosti není celočíselným násobkem délky úrokovacího období, oužívá se často tzv. smíšené úrokování. Smíšené úrokování úročí složeně řes celočíselný očet období a ro necelé období oužívá úrokování jednoduché. Neboli okud T = T + {T }, T celá část T, 0 < {T } < kde T je očet úrokovacích období, ak budoucí hodnota v čase T je FV = PV + i) T + i {T }).26) Na následujícím říkladu si ukážeme, jak očítáme úroky v říadě, kdy je čas udán očtem dní a úroková míra je roční. Příklad.5 Pan Veselý se na začátku roku 2005 rozhodl, že si ostaví dům. Sočítal si, že dům ho bude stát 3 miliony Kč, na účtu měl však jen Kč. Uložil tedy 2. února 2005 všechny své eníze do banky s roční nominální úrokovou mírou 3 %. Jeho vklad se úročí měsíčně složeně. Dne. srna 2006 účet zrušil a následující den si chybějící eníze vyůjčil od banky s roční úrokovou mírou 3,6 %, která jeho ůjčku úročí jednoduše. Půjčka bude slacena jednorázově. Dne 28. června 2007 an Veselý vyhrál v loterii Kč o zdanění) a rozhodl se, že se okusí slatit svůj dluh. Bude tato částka anu Veselému stačit na slacení celého dluhu? Předokládejme kalendářní konvenci ACT/360. Řešení: Začneme tím, že si sočítáme, kolik měl an Veselý na účtu dne. srna Hodnota vkladu. srna 2006 je dle.24): FV = PV + i ) 2 n 2),.27) 2 20

21 kde i 2) =0, 03 a n je očet let. Od 2. února 2005 do 2. srna 2006 ulyne 8měsícůo30dnechazbývá9dnů,nebolivletechn =, 5+ 9 =, Vidíme tedy, že očet období úročení není celé číslo. Nyní si ukážeme, o kolik by se lišil stav účtu ři úrokování složeném oroti smíšenému. Složené úrokování: FV = ) 0, 03 2,525 = Kč 2 V Excelu funguje vše analogicky jako v Příkladu.2, jen musíme zadat: Per : 2*,525 =8,3) Celkově tedy: =BUDHODNOTA0, 03/2; 8, 3; 0; ). Smíšené úrokování dle.26)): FV = ) 0, 03 8 ) 0, , 3 = Kč Výsledek dvou různých zůsobů úročení se v našem říadě téměř neliší. Uvažujme tedy, že dne. srna 2006 bude mít tedy an Veselý na účtu Kč. Nyní se vraťme k našemu říkladu. Potřebujeme znát výši ůjčky, která je zřejmě = Kč. Budoucí hodnota ři jednoduchém úročení se sočítá následovně: FV = PV + t ) 360 i,.28) kde t je očet dní úročení. Od 2. srna 2006 den oskytnutí ůjčky) do 28. června 2007 ulyne 320 dní. FV = ) 360 0, 036 = Kč Panu Veselému tedy bude jeho Kč stačit na slacení úvěru i s veškerými úroky. 2

22 Nyní si ještě ukážeme říklad na diskontování. Příklad.6 Paní Dobrá bude za 5 let otřebovat Kč na řevod družstevního bytu do osobního vlastnictví. Nyní má možnost vložit své úsory na vklad úročený čtvrtletně složeně s roční nominální úrokovou mírou 4,4 %. Kolik musí do banky vložit, aby měla za 5 let dostatek eněz? Řešení: Ze zadání: FV = Kč n =5let =4 i ) =4, 4%=0, 044 Čtvrtletní nominální úroková míra je tedy dle.) rovna: 0,044 =0, 0. 4 Známe vzorec ro současnou hodnotu: PV = FV i + ) ) n Konkrétně: PV = = Kč. + 0, 0) 4 5 Při oužití Excelu: =SOUČHODNOTA0, 0; 20; ; 50000). Paní Dobrá by si dnes musela do banky vložit Kč, aby měla za 5 let na účtu otřebných Kč. 22

23 Na závěr kaitoly zařaďme říklad na úrokové sazby závislé na čase. Příklad.7 Důležitým vzorcem ro výočet intenzity úroku δt) je Stoodleyův vztah: s δt) = +, +r es t t > 0.29) kde, r a s jsou arametry. Najděte vztah ro výočet diskontního faktoru vt) za latnosti Stoodleyova vztahu. Řešení: Vyjdeme ze vzorce.22). [ vt) =ex [ =ex [ =ex t 0 t 0 t 0 ] δy) dy ) s + +r e s y + s r s es y +r e s y ] dy ) ] dy =ex { + s) t + [log + r e s y )] t 0 +r es t =ex[ + s) t] +r = +r e +s) t + r +r e t Poznámka: Pokud definujeme v = e +s) a v 2 = e, můžeme sát vt) = +r vt + r +r vt 2 Tento vztah vyjadřuje vážený růměr 2 diskontních faktorů s konstantními intenzitami. } 23

24 Kaitola 2 Finanční toky a důchody 2. Diskrétní finanční tok Jedná se o latby CF t,..., CF tn včasech0<t <... < t n ;častot j = j. Současná hodnota v čase 0) je n PV = CF tj vt j ) 2.) j= Seciálně : vt j )=v t j = e δ t j,v= +i = e δ Budoucí hodnota v čase T t n, zravidla T = t n ): n FV = CF tj At j,t), 2.2) j= kde At j,t)jeakumulační faktor daný vzorcem.20). Seciálně : At j,t)=+i) T t j = e δ T t j ). 2.2 Sojitý finanční tok Je definován intenzitou lateb ρt); t 0,T). Souhrnné množství lateb v časovém intervalu [t,t 2 ], 0 <t <t 2 <T je t2 t ρt) dt. Současná hodnota v čase 0): PV = T 0 ρt) vt) dt 2.3) 24

25 Budoucí hodnota v čase T ): FV = T 2.3 Durace, konvexita 0 ρt) At, T ) dt 2.4) Nechť CF =CF t,cf t2,..., CF tn ). Durace DCF,v) duration) označuje střední růměrnou) dobu slatnosti. Je to vážený růměr dob slatnosti jednotlivých lateb, vzorcem vyjádřeno: ro diskrétní finanční tok: DCF,v)= nj= t j CF tj v t j nj= CF tj v t j = nj= t j CF tj v t j PVCF,v) 2.5) Váhy: w j = CFt j vt j PVCF,v) ro sojitý finanční tok: DCF,v)= T 0 T 0 t ρt) vt dt ρt) vt dt 2.6) Duraci interretujeme v časových jednotkách. Této duraci se říká Macaulayho durace. Nyní odvodíme další interretaci durace. Budeme racovat s diskrétním finančním tokem. Derivováním dostáváme PV CF,v) v Z rovnice 2.7) vychází n = t j v tj CF tj j= = n v t j v t j CF tj j= = v DCF,v) PVCF,v) 2.7) DCF,v)= PV CF,v)/ v PVCF,v)/v 2.8) Duraci lze tedy ovažovat za míru elasticity současné hodnoty vzhledem k diskontnímu faktoru, obecněji vzhledem ke změnám v úrokových sazbách. 25

26 PV CF,i) Podobným zůsobem okud sočítáme )dojdemekevztahu: i PV CF,i)/ i DCF,i)= 2.9) PVCF,i)/ + i) Nechť i >0, ak relativní řírůstek současné hodnoty vyjádříme za omoci Taylorova rozvoje): PVCF,i + i) PVCF,i) PVCF,i) PVCF,i + i) PVCF,i) PVCF,i) = PV CF,i) PVCF,i) i + 2 PV CF,i) PVCF,i) i)2 2.0) = DCF,i) i 2.) +i Odvodíme ještě tvar durace v závislosti na intenzitě úroku δ = log + i). Zderivováním PVCF,δ)= n j= CF tj e δ t j docházímekevztahu PV CF,δ) n = CF tj e δ t j t j ), δ j= duraci lze tedy vyjádřit: PV CF,δ)/ δ log PVCF,δ) DCF,δ)= = PVCF,δ) δ Poznámka: durace není lineární funkcí CF. Existují další tyy durace: dolarová durace dollar duration): n D $ CF,v)= t j CF tj v t j j= Oroti Macaulayho duraci je lineární funkcí CF. modifikovaná durace modified duration): D mod CF,v)=v DCF,v)= DCF,i) +i S oužitím rovnice 2.9) dostáváme: D mod CF,i)= PVCF,i) PV CF,i) i 2.2) 26

27 Věta 2. Pro finanční tok s latbami CF tj 0včasech0 t... t n má durace následující vlastnosti: ) 0 D t n 2) D = t n CF tj =0,j =,..., n CF tn 0 3) DCF,δ) je klesající funkcí intenzity úroku δ Důkaz lze najít v knize [5]. Konvexita CCF,v) Pro konvexitu existuje také více interretací. Konvexita convexity) měří zakřivení křivky vztahu mezi současnou hodnotou a úrokovou mírou. Umožní nám tak zřesnit citlivost změny současné hodnoty na změnu úrokové míry. Jelikož se konvexita očítá ředevším u obligací, říklady si uvedeme v kaitole Dluhoisy. Podívejme se však zde na matematické vzorce: CCF,v)= nj= t j t j +) CF tj v t j PVCF,v) 2.3) Jednotkou konvexity je druhá mocnina časové jednotky. Vzhledem k tomu, že latí PV CF,i)= CCF,i) PVCF,i), + i) 2 vyjádříme oslední sčítanec v rozvoji 2.0) ve tvaru 2 PV CF,i) PVCF,i) i)2 = 2 + i) CCF,i) 2 i)2. Podobně jako existuje modifikovaná durace, zavedeme ojem modifikovaná konvexita modified convexity). C mod CF,i)= PV CF,i) PVCF,i) = CCF,i) 2.4) + i) 2 Celkově tedy dostáváme jiný tvar rovnice 2.0): PVCF,i + i) PVCF,i) PVCF,i) = D mod CF,i) i+ 2 C modcf,i) i) 2 2.5) 27

28 2.4 Důchod Důchod, také někdy označován jako anuita annuity), je diskrétní finanční tok. Všechny latby jsou stejné výše, stejného znaménka a uskutečňují se v ravidelných časových intervalech. Rozlišujeme 2 tyy: a) olhůtný annuity-immediate): latby důchodu na konci časových intervalů b) ředlhůtný annuity-due): latby důchodu na začátku časových intervalů ) Polhůtný důchod s ročními latbami Platby R o dobu n let, roční úroková míra i. Současná hodnota: PV = R n t= Budoucí hodnota v čase n): v t = R v vn v = R vn i ozn. = R a n 2.6) n FV = R + i) t = R + i)n i t=0 ozn. = R s n 2.7) 2) Předlhůtný důchod s ročními latbami Platby R o dobu n let, roční úroková míra i. Přiomeňme, že d = v = i viz.5)). +i Současná hodnota: PV = R n t=0 Budoucí hodnota v čase n): v t = R vn v = R vn d n FV = R + i) t = R + i) + i)n t= i = R + i)n d ozn. = R ä n 2.8) ozn. = R s n 2.9) v literatuře se často symbolem i označuje nominální úroková míra ro jedno úrokovací období ro roční úročení se rovná efektivní úrokové míře) 28

29 3) Důchod s latbami a úročením -krát do roka Platby R -krát ročně o dobu n let, roční efektivní úroková míra i ef. Roční nominální úroková míra i ). Platí +i ef = + i ) ), viz.3), v = +i ef. Současná hodnota olhůtný důchod): n PV = R t= v t = R v v n v = R vn i ) n = R t t= + i = R v n i) ) i ) = R a n 2.20) kde v i) =. + i ) Budoucí hodnota bude odvozena v říkladu 2.4 viz rovnice 2.3)) 4) Důchod s víceletou eriodou lateb Platby R -krát za k let o dobu n let, roční úroková míra i. Předokládejme n k celé. Současná hodnota olhůtný důchod): PV = R n k t= v t k = R v k vn v k = R v n + i) k = R vn i i + i) k = R a n s k 2.2) 5) Důchod s necelým očtem latebních období Platby R -krát ročně o dobu n let, n je necelé. Nechť n = k + z, 0 <z< Zde se nabízejí 2 možnosti výočtu : i) Definujeme současnou hodnotu ředisem PV = R vn i ) 2.22) 29

30 Jedná se o analogii vzorce 2.20). ii) V čase n budeme vylácet R z, z 0, ) : Současná hodnota: PV = R n =k t= v t + R z v n 2.23) V následujících 2 říadech se bude jednat o roční olhůtný důchod s latbami R o dobu n let. 6) Odložený důchod Realizace lateb je odložena o m let. Současná hodnota: PV = R m+n t=m+ Budoucí hodnota 2 v čase m + n): v t = R v m vn i = R v m a n 2.24) n FV = R + i) t = R + i)n i t=0 = R s n 2.25) 7) Přerušený důchod Po ukončení lateb se ještě úročí o dobu m let. Současná hodnota 3 : PV = R n t= Budoucí hodnota v čase m + n): v t = R vn i = R a n 2.26) m+n FV = R +i) t = R +i) m + i)n i t=m = R +i) m s n 2.27) 8) Věčný důchod = eretuita Poslounost olhůtných ročních lateb R není ukončena. Současná hodnota: PV = R v t v = R t= v = R i v = ) +i 2.28) 2 stejná jako u neodloženého důchodu 3 stejná jako u neřerušeného důchodu 30

31 Pro latbu R latí: R = PV i 2.29) Budoucí hodnota: není definována Na závěr uveďme zobecněný říad důchodu. 9) Důchod s roměnnou latbou, dobou lateb a úrokovou mírou: Platby R,.., R n včasech0<t <..<t n. Úroková míra ro období t j,t j ]jei j.definujmet 0 =0. Současná hodnota: n k ) tj t j PV = R k 2.30) +i j 2.5 Příklady k= j= Příklady věnující se duraci a konvexitě jsou uvedeny v kaitole Dluhoisy res. v kaitole 4.3. Příklady). Zde se zaměříme na důchody. Příklad 2. Paní Hořejší si lánuje vzít úvěr na 2 roky v hodnotě Kč. Slátky žádá ololetní. Banka jí oskytne roční nominální úrokovou míru 6,9 %. Paní Hořejší má nyní na účtu Kč. Tato částka se jí úročí složeně měsíčně s roční nominální úrokovou mírou 2,5 %. Každý ůlrok si navíc uloží na účet Kč, které ušetří ze mzdy. Bude mít na účtu vždy dostatek eněz na slácení úvěru? Řešení: Nejrve určíme výši slátek úvěru. Vyjdeme ze vztahu 2.20): ) n n PV = R t + i ) t= + i = ) i ) a odtud vyjádříme R R = PV i ) ) n = + i ) , , ) 2 2 = Kč

5. Finanční hlediska podnikatelského rozhodování. Časová hodnota peněz. Podnikatelské riziko ve finančním rozhodování.

5. Finanční hlediska podnikatelského rozhodování. Časová hodnota peněz. Podnikatelské riziko ve finančním rozhodování. 5. Finanční hlediska odnikatelského rozhodování. Časová hodnota eněz. Podnikatelské riziko ve finančním rozhodování. FINANČNÍ HLEDISKA PODNIKATELSKÉHO ROZHODOVÁNÍ Základní zásady finančního rozhodování:

Více

PENÍZE, BANKY, FINANČNÍ TRHY

PENÍZE, BANKY, FINANČNÍ TRHY PENÍZE, BANKY, FINANČNÍ TRHY Úročení 2 1. Jednoduché úročení Kapitál, Jistina označení pro peněžní částku Úrok odměna věřitele, u dlužníka je to cena za úvěr = CENA PENĚZ Doba splatnosti doba, po kterou

Více

Způsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost

Způsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost Zůsobilost Menu: QExert Zůsobilost Modul očítá na základě dat a zadaných secifikačních mezí hodnoty různých indexů zůsobilosti (caability index, ) a výkonnosti (erformance index, ). Dále jsou vyočítány

Více

19.10.2015. Finanční matematika. Čas ve finanční matematice. Finanční matematika v osobních a rodinných financích

19.10.2015. Finanční matematika. Čas ve finanční matematice. Finanční matematika v osobních a rodinných financích Finanční matematika v osobních a rodinných financích Garant: Ing. Martin Širůček, Ph.D. Lektor: Ing. Martin Širůček, Ph.D. - doktorské studium oboru Finance na Provozně ekonomické fakultě Mendelovy univerzity

Více

Dynamické programování

Dynamické programování ALG Dynamické rogramování Nejdelší rostoucí odoslounost Otimální ořadí násobení matic Nejdelší rostoucí odoslounost Z dané oslounosti vyberte co nejdelší rostoucí odoslounost. 5 4 9 5 8 6 7 Řešení: 4 5

Více

7. VÝROBNÍ ČINNOST PODNIKU

7. VÝROBNÍ ČINNOST PODNIKU 7. Výrobní činnost odniku Ekonomika odniku - 2009 7. VÝROBNÍ ČINNOST PODNIKU 7.1. Produkční funkce teoretický základ ekonomiky výroby 7.2. Výrobní kaacita Výrobní činnost je tou činností odniku, která

Více

Téma: Jednoduché úročení

Téma: Jednoduché úročení Téma: Jednoduché úročení 1. Půjčili jste 10 000 Kč. Za 5 měsíců Vám vrátili 11 000 Kč. Jaká byla výnosnost této půjčky (při jaké úrokové sazbě jste ji poskytli)? [24 % p. a.] 2. Za kolik dnů vzroste vklad

Více

Časová hodnota peněz (2015-01-18)

Časová hodnota peněz (2015-01-18) Časová hodnota peněz (2015-01-18) Základní pojem moderní teorie financí. Říká nám, že peníze svoji hodnotu v čase mění. Díky časové hodnotě peněz jsme schopni porovnat různé investiční nebo úvěrové nabídky

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízení ro akademický rok 24/5 na magisterský studijní rogram PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (ísemný test) U každé otázky či odotázky v následujícím zadání vyberte srávnou odověď zakroužkováním

Více

CVIČENÍ ZE ZÁKLADŮ FINANCÍ

CVIČENÍ ZE ZÁKLADŮ FINANCÍ CVIČENÍ ZE ZÁKLADŮ FINANCÍ 9.. 0 Veronika Kajurová Katedra financí kancelář č. 0 vkajurova@mail.muni.cz PROGRAM DNEŠNÍHO TUTORIÁLU Část I. - Časová hodnota peněz Příklady - opakování Část II. - Podnikové

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

EKONOMETRIE 4. přednáška Modely chování spotřebitele

EKONOMETRIE 4. přednáška Modely chování spotřebitele EKONOMETRIE 4. řednáška Modely chování sotřebitele Rozočtové omezení Sotřebitel ři svém rozhodování resektuje tzv. rozočtové omezení x + x y, kde x i množství i-té sotřební komodity, i cena i-té sotřební

Více

V p-v diagramu je tento proces znázorněn hyperbolou spojující body obou stavů plynu, je to tzv. izoterma :

V p-v diagramu je tento proces znázorněn hyperbolou spojující body obou stavů plynu, je to tzv. izoterma : Jednoduché vratné děje ideálního lynu ) Děj izoter mický ( = ) Za ředokladu konstantní teloty se stavová rovnice ro zadané množství lynu změní na známý zákon Boylův-Mariottův, která říká, že součin tlaku

Více

1.5.2 Mechanická práce II

1.5.2 Mechanická práce II .5. Mechanická ráce II Předoklady: 50 Př. : Jakou minimální ráci vykonáš ři řemístění bedny o hmotnosti 50 k o odlaze o vzdálenost 5 m. Příklad sočítej dvakrát, jednou zanedbej třecí sílu mezi bednou a

Více

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o v é h o k n i h k u p e c t v í w w w. k o s m a s. c z, U I D : K O S 1 8 7 6 2 Edice Osobní a rodinné

Více

P Ř I Z N Á N Í k dani z příjmů právnických osob

P Ř I Z N Á N Í k dani z příjmů právnických osob Než začte vylňovat tiskois, řečtěte te si, rosím, okyny. Finančnímu úřadu ro / Secializovanému finančnímu úřadu Pardubický kraj Územnímu racovišti v, ve, ro Moravské Třebové T 0 Daňové identifikační číslo

Více

Bankovnictví a pojišťovnictví 5

Bankovnictví a pojišťovnictví 5 Bankovnictví a pojišťovnictví 5 JUDr. Ing. Otakar Schlossberger, Ph.D., vedoucí katedry financí VŠFS a externí odborný asistent katedry bankovnictví a pojišťovnictví VŠE Vkladové bankovní produkty Obsah:

Více

Statistická analýza dat - Indexní analýza

Statistická analýza dat - Indexní analýza Statistiká analýza dat Indexní analýza Statistiká analýza dat - Indexní analýza Index mohou být:. Stejnorodýh ukazatelů. Nestejnorodýh ukazatelů Index se skládají ze dvou složek:... intenzita (úroveň znaku)...

Více

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti...

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti... Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR (Remarks on the economic criterion the Internal Rate of Return ) Carmen Simerská IRR... vnitřní míra výnosnosti, vnitřní výnosové procento, výnos do splatnosti...

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA. PŘEDNÁŠEJÍCÍ: Jarmila Radová

FINANČNÍ MATEMATIKA. PŘEDNÁŠEJÍCÍ: Jarmila Radová FINANČNÍ MATEMATIKA PŘEDNÁŠEJÍCÍ: Jarmila Radová Radová Tel: 224 095 102 E-mail: radova@vse.cz Kontakt Jednoduché úročení Diskontování krátkodobé cenné papíry Složené úrokování Budoucí hodnota anuity spoření

Více

Příklady z přednášek Statistické srovnávání

Příklady z přednášek Statistické srovnávání říklad z řednášek Statstcké srovnávání Jednoduché ndvduální ndex říklad V následující tabulce jsou uveden údaje o očtu závažných závad v areálu určté frm zjštěných a oravených v letech 9-998. Závažná závada

Více

HODNOCENÍ INVESTIC. Postup hodnocení investic (investičních projektů) obvykle zahrnuje následující etapy:

HODNOCENÍ INVESTIC. Postup hodnocení investic (investičních projektů) obvykle zahrnuje následující etapy: HODNOCENÍ INVESTIC Podstatou hodnocení investic je porovnání vynaloženého kapitálu (nákladů na investici) s výnosy, které investice přinese. Jde o rozpočtování jednorázových (investičních) nákladů a ročních

Více

ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D.

ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. Časová hodnota peněz Každou peněžní operaci prováděnou v současnosti a zaměřenou do budoucnosti

Více

Ča Č sov o á ho h dn o o dn t o a pe p n e ě n z ě Petr Málek

Ča Č sov o á ho h dn o o dn t o a pe p n e ě n z ě Petr Málek Časová hodnota peněz Petr Málek Časová hodnota peněz - úvod Finanční rozhodování je ovlivněno časem Současné peněžní prostředky peněžní prostředky v budoucnu Úrokové výnosy Jiné výnosy Úrokové míry v ekonomice

Více

Analýza návratnosti investic/akvizic JAN POJAR ČVUT V PRAZE STAVEBNÍ MANAGEMENT 2014/2015

Analýza návratnosti investic/akvizic JAN POJAR ČVUT V PRAZE STAVEBNÍ MANAGEMENT 2014/2015 Analýza návratnosti investic/akvizic JAN POJAR ČVUT V PRAZE STAVEBNÍ MANAGEMENT 2014/2015 Obsah prezentace: definice Investice akvizice dělení investic rozdělení metod klady a zápory metod definice Investice:

Více

Za případné drobné chybky a nepřesnosti v textu se omlouvám. Jednoduché úročení

Za případné drobné chybky a nepřesnosti v textu se omlouvám. Jednoduché úročení Jednoduché úročení 1. Jednoduchý příklad na výpočet úrokové sazby ze základní rovnice jednoduchého úročení: FV=PV*(1+r*t). Aby úroková sazba vyšla v p.a., je nutno časovou proměnnou (t) uvažovat v letech

Více

Semestrální práce z předmětu MAB

Semestrální práce z předmětu MAB Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Semestrální práce z předmětu MAB Modely investičního rozhodování Helena Wohlmuthová A07148 16. 1. 2009 Obsah 1 Úvod... 3 2 Parametry investičních

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA. Ing. Oldřich Šoba, Ph.D. Rozvrh. Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo ZS 2009/2010

FINANČNÍ MATEMATIKA. Ing. Oldřich Šoba, Ph.D. Rozvrh. Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo ZS 2009/2010 Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo FINANČNÍ MATEMATIKA ZS 2009/2010 Ing. Oldřich Šoba, Ph.D. Kontakt: e-mail: oldrich.soba@mendelu.cz ICQ: 293-727-477 GSM: +420 732 286 982 http://svse.sweb.cz web

Více

FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 1 Metodický list č. 1

FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 1 Metodický list č. 1 FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úroková sazba a výpočet budoucí hodnoty Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlit pojem úroku a roční úrokové

Více

Pokud světlo prochází prostředím, pak v důsledku elektromagnetické interakce s částicemi obsaženými

Pokud světlo prochází prostředím, pak v důsledku elektromagnetické interakce s částicemi obsaženými 1 Pracovní úkoly 1. Změřte závislost indexu lomu vzduchu na tlaku n(). 2. Závislost n() zracujte graficky. Vyneste také závislost závislost vlnové délky sodíkové čáry na indexu lomu vzduchu λ(n). Proveďte

Více

GEOMETRICKÉ PROJEKCE. Petra Surynková, Yulianna Tolkunova

GEOMETRICKÉ PROJEKCE. Petra Surynková, Yulianna Tolkunova GEOMETRICKÉ PROJEKCE S VYUŽITÍM 3D POČÍTAČOVÉHO MODELOVÁNÍ Petra Surynková, Yulianna Tolkunova Článek ojednává o realizovaných metodách inovace výuky deskritivní geometrie na Matematicko-fyzikální fakultě

Více

Složené úročení. Škoda, že to neudělal

Složené úročení. Škoda, že to neudělal Složené úročení Charakteristika (rozdíl oproti jednoduchému) Kdy je obecně užíváno Využití v praxi Síla složeného úročení Albert Einstein: Je to další div světa Složené úročení Složené úročení Kdyby Karel

Více

Úročení (spoření, střádání) (2015-01-18) Základní pojmy. Úrok je finančně vyjádřená odměna za dočasné poskytnutí kapitálu někomu jinému.

Úročení (spoření, střádání) (2015-01-18) Základní pojmy. Úrok je finančně vyjádřená odměna za dočasné poskytnutí kapitálu někomu jinému. Úročení (spoření, střádání) (2015-01-18) Základní pojmy Úrok je finančně vyjádřená odměna za dočasné poskytnutí kapitálu někomu jinému. Věřitel (ten, kdo půjčil) získává tedy úrok za to, že dočasně poskytl

Více

Finanční matematika. Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. 17. 9. 2012. Katedra matematických metod v ekonomice

Finanční matematika. Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. 17. 9. 2012. Katedra matematických metod v ekonomice Finanční matematika 1. přednáška Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Katedra matematických metod v ekonomice 17. 9. 2012 Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO)

Více

Příklady z FM. Zdůvodněte rozdíly a určete odpovídající hodnoty t r podle v praxi používaných standardů.

Příklady z FM. Zdůvodněte rozdíly a určete odpovídající hodnoty t r podle v praxi používaných standardů. I. PŘÍKLADY Z FINANČNÍ MATEMATIKY Rozšíření spektra příkladů ze skript Bezvoda, Blahuš. Verze 11.3 2009 Metodické poznámky k zadaným příkladům. Všude jsou výsledky, zhusta naznačen postup. Výpočty je nutno

Více

Prosté úročení: Denní sazba krát počet dní, plus 1 = úrokový faktor. Složené úročení: roční úrokový faktor umocněný na počet let

Prosté úročení: Denní sazba krát počet dní, plus 1 = úrokový faktor. Složené úročení: roční úrokový faktor umocněný na počet let Prosté úročení: Denní sazba krát počet dní, plus 1 = úrokový faktor PV (1 + u) u (sazba) r (sazba p.a.) d (dní) (dní) Složené úročení: roční úrokový faktor umocněný na počet let Úroky lze vyplácet nebo

Více

Tab. č. 1 Druhy investic

Tab. č. 1 Druhy investic Investiční činnost Investice představuje vydání peněz dnes s představou, že v budoucnosti získáme z uvedených prostředků vyšší hodnotu. Vzdáváme se jisté spotřeby dnes, ve prospěch nejistých zisků v budoucnosti.

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Vyjadřují se v procentech z hodnoty vloženého kapitálu. Někdy se pro jejich označení používá termín cena kapitálu.

Vyjadřují se v procentech z hodnoty vloženého kapitálu. Někdy se pro jejich označení používá termín cena kapitálu. 1. Cena kapitálu Náklady kapitálu představují pro podnik výdaj, který musí zaplatit za získání různých forem kapitálu (tj. za získání např. různých forem dluhů, akciového kapitálu, nerozděleného zisku

Více

Úrok a diskont. Úroková míra závisí především na úrokové míře, kterou vyhlašuje ČNB. ČNB vyhlašuje 3 sazby

Úrok a diskont. Úroková míra závisí především na úrokové míře, kterou vyhlašuje ČNB. ČNB vyhlašuje 3 sazby Úrok a diskont Obsah: Jednoduché a složené úrokování. Úroková a diskontní míra, jednoduchá a složená. Vícenásobné úročení během období, nominální úroková míra, roční efektivní úroková míra, reálná úroková

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

7.5.13 Rovnice paraboly

7.5.13 Rovnice paraboly 7.5.1 Rovnice arabol Předoklad: 751 Př. 1: Seiš všechn rovnice ro arabol a nakresli k nim odovídající obrázk. Na každém obrázku vznač vzdálenost. = = = = Pedagogická oznámka: Sesání arabol je důležité,

Více

Téma 2: Časová hodnota peněz a riziko. 2. Riziko ve finančním rozhodování. 1. Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku

Téma 2: Časová hodnota peněz a riziko. 2. Riziko ve finančním rozhodování. 1. Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku Téma 2: Časová hodnota peněz a riziko ve finančním rozhodování 1. Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku 2. Riziko ve finančním rozhodování - rizika systematická a nesystematická - podnikatelské

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Investičníčinnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic

Investičníčinnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic Investičníčinnost Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie Podnikové pojetí investic Klasifikace investic v podniku 1) Hmotné (věcné, fyzické, kapitálové) investice 2) Nehmotné

Více

Pojem investování. vynakládání zdrojů podniku za účelem získání užitků které jsou očekávány v delším časovém období Investice = odložená spotřeba

Pojem investování. vynakládání zdrojů podniku za účelem získání užitků které jsou očekávány v delším časovém období Investice = odložená spotřeba Investiční činnost Pojem investování vynakládání zdrojů podniku za účelem získání užitků které jsou očekávány v delším časovém období Investice = odložená spotřeba Druhy investic 1. Hmotné investice vytvářejí

Více

Pojem investování a druhy investic

Pojem investování a druhy investic Investiční činnost Pojem investování a druhy investic Rozhodování o investicích Zdroje financování investic Hodnocení efektivnosti investic Metody hodnocení investic Ukazatele hodnocení efektivnosti investic

Více

Excel COUNTIF COUNTBLANK POČET

Excel COUNTIF COUNTBLANK POČET Excel Výpočty a vazby v tabulkách COUNTIF Sečte počet buněk v oblasti, které odpovídají zadaným kritériím. Funkce je zapisována ve tvaru: COUNTIF(Oblast;Kritérium) Oblast je oblast buněk, ve které mají

Více

Návrh a management projektu

Návrh a management projektu Návrh a management projektu Metody ekonomického posouzení projektu ČVUT FAKULTA BIOMEDICÍNSKÉHO INŽENÝRSTVÍ strana 1 Ing. Vladimír Jurka 2013 Ekonomické posouzení Druhy nákladů a výnosů Jednoduché metody

Více

STATISTICKÉ METODY. (kombinovaná forma, 8.4., 20.5. 2012) Matěj Bulant, Ph.D., VŠEM

STATISTICKÉ METODY. (kombinovaná forma, 8.4., 20.5. 2012) Matěj Bulant, Ph.D., VŠEM STATISTICKÉ METODY A DEMOGRAFIE (kombinovaná forma, 8.4., 2.5. 22) Matěj Bulant, Ph.D., VŠEM Řekli o statistice Věřím ouze těm statistikám, které jsem sám zfalšoval. Tři stuně lži - lež, hnusná lež, statistika.

Více

PE 301 Podniková ekonomika 2. Eva Kislingerová. Hodnota kmenových akcií a. obligací. Téma 2. Eva Kislingerová

PE 301 Podniková ekonomika 2. Eva Kislingerová. Hodnota kmenových akcií a. obligací. Téma 2. Eva Kislingerová PE 301 Podniková ekonomika 2 Eva Kislingerová Téma 2 obligací Hodnota kmenových akcií a Téma 2 2-2 Struktura přednášky Cenné papíry akcie, obligace Tržní míra kapitalizace (market capitalization rate)

Více

Carmen Simerská. Ústav matematiky VŠCHT, Praha. Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.

Carmen Simerská. Ústav matematiky VŠCHT, Praha. Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter. Sbírka příkladů Finanční matematika Carmen Simerská Ústav matematiky VŠCHT, Praha Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter. Sbírka příkladů Finanční

Více

1. Ukazatele primární: - jsou přímo zjišťované, neodvozené - např. stav zásob, počet pracovníků k 31. 12., atd.

1. Ukazatele primární: - jsou přímo zjišťované, neodvozené - např. stav zásob, počet pracovníků k 31. 12., atd. SROVNÁVÁNÍ HODNOT STATSTCÝCH UKAZATELŮ - oisem a analýzou ekonomikýh jevů a roesů omoí statistikýh ukazatelů se zabývá hosodářská statistika - ílem je nalézt zůsoby měření ekonomiké skutečnosti (ve formě

Více

HODNOCENÍ INVESTIC. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 9. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D.

HODNOCENÍ INVESTIC. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 9. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. HODNOCENÍ INVESTIC Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace 9. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. Metody hodnocení efektivnosti investic Při posuzování investice se vychází ze strategických

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Finanční matematika pro každého příklady + CD-ROM

Finanční matematika pro každého příklady + CD-ROM Edice Osobní a rodinné fi nance doc. RNDr. Jarmila Radová, Ph.D. a kolektiv (doc. Mgr. Jiří Málek, PhD., Ing. Nadir Baigarin, Ing. Jiří Nakládal, Ing. Pavel Žilák) Finanční matematika pro každého příklady

Více

Investiční činnost v podniku. cv. 10

Investiční činnost v podniku. cv. 10 Investiční činnost v podniku cv. 10 Investice Rozhodování o investicích jsou jedněmi z nejdůležitějších a nejobtížnějších rozhodování podnikového managementu. Dobré rozhodnutí vede podnik k rozkvětu, špatné

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Investiční rozhodování, přehled metod a jejich využití v praxi

Investiční rozhodování, přehled metod a jejich využití v praxi PE 301 Eva Kislingerová Investiční rozhodování, přehled metod a jejich využití v praxi Eva Kislingerová 4-2 Struktura přednášky Základní pojmy NPV a její konkurenti Metoda doby splacení (The Payback Period)

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízení ro akademický rok 2007/08 na magisterský studijní rogram: Zde nalete své univerzitní číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (ísemný test) U každé otázky či odotázky v následujícím

Více

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011 Evroský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší udoucnosti Ekonomika odniku Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd akulta elektrotechnická ČVUT v Praze Ing. Kučerková Blanka, 2011 Vztahy

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

STATISTICKÉ METODY A DEMOGRAFIE

STATISTICKÉ METODY A DEMOGRAFIE STATISTICKÉ METODY A DEMOGRAFIE (kombinovaná forma, 8.4., 2.5., 7.6. 22) Matěj Bulant, Ph.D., VŠEM Řekli o statistice Věřím ouze těm statistikám, které jsem sám zfalšoval. Tři stuně lži - lež, hnusná lež,

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

OPTIMALIZACE PLÁŠTĚ BUDOV

OPTIMALIZACE PLÁŠTĚ BUDOV OPTIMALIZACE PLÁŠTĚ BUDOV Jindřiška Svobodová Úvod Otimalizace je ostu, jímž se snažíme dosět k co nejlešímu řešení uvažovaného konkrétního roblému. Mnohé raktické otimalizace vycházejí z tak jednoduché

Více

SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ. částky naspořené po n letech při m úrokových obdobích za jeden rok platí formule

SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ. částky naspořené po n letech při m úrokových obdobích za jeden rok platí formule Klasický termínovaný vklad SLŽENÉ ÚRKVÁNÍ PŘÍKLAD: Podnikatel uložil na klasický termínovaný vklad částku 300 000 Kč. Jaká bude výše kapitálu za 3 roky, jestliže úroková sazba činí 2% p.a. a je a) roční

Více

Krátkodobé cenné papíry a Skonto obsah přednášky

Krátkodobé cenné papíry a Skonto obsah přednášky Krátkodobé cenné papíry a Skonto obsah přednášky 1) Vybrané krátkodobé cenné papíry 2) Skonto není cenný papír, ale použito obdobných principů jako u krátkodobých cenných papírů Vybrané krátkodobé cenné

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Varianta Pravděpodobnost Výnos A 1 Výnos A 2 1 0,1 1% 0,1 3% 0,3 2 0,2 12% 2,4 28% 5,6 3 0,3 6% 1,8 14% 4,2

Varianta Pravděpodobnost Výnos A 1 Výnos A 2 1 0,1 1% 0,1 3% 0,3 2 0,2 12% 2,4 28% 5,6 3 0,3 6% 1,8 14% 4,2 Dobrý den. Kladno, 22. 3. 2007 21:35 Chtěl bych se všem omluvit za ten závěr přednášky. Bohužel mě chyba v jednom z příkladů vykolejila natolik, že jsem se již velice těžko soustředil na svůj výkon. Chtěl

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Parametrický popis křivek

MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Parametrický popis křivek MATEMATIKA ŘÍKLADY NA RCVIČENÍ arametrický ois křivek 1 Jedánakřivka k(t)=[t t+ ; t 3 3t], t R. Nakresletečástkřivk kro t 3 ;3.Naišterovnicetečenkřivkvbodech k( 1), k(1) a k(). Dosazením několika hodnot

Více

Hodnocení ekonomické efektivnosti projektů Průměrný výnos z investice, doba návratnosti, ČSH, VVP

Hodnocení ekonomické efektivnosti projektů Průměrný výnos z investice, doba návratnosti, ČSH, VVP Hodnocení ekonomické efektivnosti projektů Průměrný výnos z investice, doba návratnosti, ČSH, VVP Investice je charakterizována jako odložená spotřeba. Podnikové investice jsou ty statky, které nejsou

Více

7. Měření dutých objemů pomocí komprese plynu a určení Poissonovy konstanty vzduchu Úkol 1: Určete objem skleněné láhve s kohoutem kompresí plynu.

7. Měření dutých objemů pomocí komprese plynu a určení Poissonovy konstanty vzduchu Úkol 1: Určete objem skleněné láhve s kohoutem kompresí plynu. 7. Měření dutých objemů omocí komrese lynu a určení Poissonovy konstanty vzduchu Úkol : Určete objem skleněné láhve s kohoutem komresí lynu. Pomůcky Měřený objem (láhev s kohoutem), seciální lynová byreta

Více

ISŠT Mělník. Integrovaná střední škola technická Mělník, K učilišti 2566, 276 01 Mělník Ing.František Moravec

ISŠT Mělník. Integrovaná střední škola technická Mělník, K učilišti 2566, 276 01 Mělník Ing.František Moravec SŠT Mělník Číslo rojektu Označení materiálu ázev školy Autor Tematická oblast Ročník Anotace CZ..07/.5.00/34.006 VY_3_OVACE_H..05 ntegrovaná střední škola technická Mělník, K učilišti 566, 76 0 Mělník

Více

Finanční matematika pro každého

Finanční matematika pro každého Novinky nakladatelství GRADA Publishing Investice do akcií běh na dlouhou trat JEME AVU PŘIPR Jeremy Siegel výnosy finančních aktiv za posledních 2 let úspěšnost finančních strategií faktory ovlivňující

Více

Finanční. matematika pro každého. 8. rozšířené vydání. f inance. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů

Finanční. matematika pro každého. 8. rozšířené vydání. f inance. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů Finanční matematika pro každého 8. rozšířené vydání J. Radová, P. Dvořák, J. Málek věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů metody pro praktické rozhodování soukromých osob i podnikatelů

Více

PRŮTOK PLYNU OTVOREM

PRŮTOK PLYNU OTVOREM PRŮTOK PLYNU OTVOREM P. Škrabánek, F. Dušek Univerzita Pardubice, Fakulta chemicko technologická Katedra řízení rocesů a výočetní techniky Abstrakt Článek se zabývá ověřením oužitelnosti Saint Vénantovavy

Více

F4 SÍLA, PRÁCE, ENERGIE A HYBNOST

F4 SÍLA, PRÁCE, ENERGIE A HYBNOST F4 SÍLA, PRÁCE, ENERGIE A HYBNOST Evroský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti F4 SÍLA, PRÁCE, ENERGIE A HYBNOST Prvními velmi důležitými ojmy jsou mechanická ráce a otenciální energie

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

VLIV ELEKTROMAGNETICKÉ KOMPATIBILITY NA BEZPEČNOST LETOVÉHO PROVOZU INFLUENCE OF THE ELECTROMAGNETIC COMPATIBILITY ON THE AIR TRAFFIC SAFETY

VLIV ELEKTROMAGNETICKÉ KOMPATIBILITY NA BEZPEČNOST LETOVÉHO PROVOZU INFLUENCE OF THE ELECTROMAGNETIC COMPATIBILITY ON THE AIR TRAFFIC SAFETY 348 roceedings o the Conerence "Modern Saety Technologies in Transortation - MOSATT 005" VLIV ELETROMAGNETICÉ OMATIBILITY NA BEZEČNOST LETOVÉHO ROVOZU INFLUENCE OF THE ELECTROMAGNETIC COMATIBILITY ON THE

Více

7.1. Jistina, úroková míra, úroková doba, úrok

7.1. Jistina, úroková míra, úroková doba, úrok 7. Finanční matematika 7.. Jistina, úroková míra, úroková doba, úrok Základní pojmy : Dlužník osoba nebo instituce, které si peníze půjčuje. Věřitel osoba nebo instituce, která peníze půjčuje. Jistina

Více

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Ekonomika podniku Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze Ing. Kučerková Blanka, 2011 Krátkodobé

Více

7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny.

7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny. 75 Paabola Předoklad: 750, 7507 Pedagogická oznámka: Na všechn říklad je otřeba asi jeden a ůl vučovací hodin Paabolu už známe: matematika: Gafem každé kvadatické funkce = a + b + c je aabola fzika: Předmět,

Více

Téma 7. Investiční rozhodování

Téma 7. Investiční rozhodování Téma 7. Investiční rozhodování 1. Kapitálové rozpočty výdajů a očekávaných peněžních příjmů z investic 2. Hodnocení efektivnosti investičních projektů 3. Investice do dlouhodobého finančního majetku a

Více

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o v é h o k n i h k u p e c t v í w w w. k o s m a s. c z, U I D : K O S 1 8 0 7 6 1 Edice Osobní a rodinné

Více

Analýza návratnosti investic/akvizic

Analýza návratnosti investic/akvizic Analýza návratnosti investic/akvizic Klady a zápory Hana Rýcová Charakteristika investice: Investice jsou ekonomickou činností, kterou se subjekt (stát, podnik, jednotlivec) vzdává své současné spotřeby

Více

Metodické listy pro kombinované studium předmětu INVESTIČNÍ A FINANČNÍ ROZHODOVÁNÍ (IFR)

Metodické listy pro kombinované studium předmětu INVESTIČNÍ A FINANČNÍ ROZHODOVÁNÍ (IFR) Metodické listy pro kombinované studium předmětu INVESTIČNÍ A FINANČNÍ ROZHODOVÁNÍ (IFR) (Aktualizovaná verze 04/05) Úvodní charakteristika předmětu: Cílem jednosemestrálního předmětu Investiční a finanční

Více

Investování volných finančních prostředků

Investování volných finančních prostředků Investování volných finančních prostředků Rizika investování Lidský faktor Politická rizika Hospodářská rizika Měnová rizika Riziko likvidity Inflace Riziko poškození majetku Univerzální optimální investiční

Více

Stav Půjčky Splátky Kurzové Změna Stav

Stav Půjčky Splátky Kurzové Změna Stav II. Státní dluh 1. Vývoj státního dluhu V 2013 došlo ke zvýšení celkového státního dluhu o 47,9 mld. Kč z 1 667,6 mld. Kč na 1 715,6 mld. Kč. Znamená to, že v průběhu 2013 se tento dluh zvýšil o 2,9 %.

Více

Čistá současná hodnota a vnitřní výnosové procento

Čistá současná hodnota a vnitřní výnosové procento Čistá současná hodnota a vnitřní výnosové procento Co je to čistá současná hodnota? Čistá současná hodnota představuje rozdíl mezi diskontovanými peněžními příjmy z určité činnosti a výdaji na tuto činnost.

Více

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu

Více

Energetický audit Doc.Ing.Roman Povýšil,CSc. Tebodin Czech Republic s.r.o.

Energetický audit Doc.Ing.Roman Povýšil,CSc. Tebodin Czech Republic s.r.o. Seminář ENVI A Energetický audit Doc.Ing.Roman Povýšil,CSc. Tebodin Czech Republic s.r.o. CÍL: vysvětlit principy systémového přístupu při zpracování energetického auditu Východiska (legislativní) Zákon

Více

Komparace Value at Risk a Expected Shortfall v rámci Solvency II

Komparace Value at Risk a Expected Shortfall v rámci Solvency II 7. mezinárodní konference Finanční řízení odniků a finančních institucí Ostrava Komarace Value at Risk a Exected Shortfall v rámci Solvency II Ingrid Petrová 1 Abstrakt Řízení rizik je oměrně novou discilínou,

Více

1.5.5 Potenciální energie

1.5.5 Potenciální energie .5.5 Potenciální energie Předoklady: 504 Pedagogická oznámka: Na dosazování do vzorce E = mg není nic obtížnéo. Problém nastává v situacíc, kdy není zcela jasné, jakou odnotu dosadit za. Hlavním smyslem

Více

6. Vliv způsobu provozu uzlu transformátoru na zemní poruchy

6. Vliv způsobu provozu uzlu transformátoru na zemní poruchy 6. Vliv zůsobu rovozu uzlu transformátoru na zemní oruchy Zemní oruchou se rozumí sojení jedné nebo více fází se zemí. Zemní orucha může být zůsobena řeskokem na izolátoru, růrazem evné izolace, ádem řetrženého

Více

29. mezní a průměrná produktivita práce MC a AC při 15 hodinách práce? AC = w = 4,5 Kč při 15 hodinách práce MC = w + L pro L = 15

29. mezní a průměrná produktivita práce MC a AC při 15 hodinách práce? AC = w = 4,5 Kč při 15 hodinách práce MC = w + L pro L = 15 29. mezní a průměrná produktivita práce MC a AC při 15 hodinách práce? AC = w = 4,5 Kč při 15 hodinách práce MC = w + L pro L = 15 1 30. Optimum při nájmu výrobního faktoru Nabídka vstupu Z je dána rovnicí

Více

RPSN (Roční Procentní Sazba Nákladů) (2015-01-18)

RPSN (Roční Procentní Sazba Nákladů) (2015-01-18) RPSN (Roční Procentní Sazba Nákladů) (2015-01-18) Zkratkou RPSN se označuje takzvaná roční procentní sazba nákladů. Udává, kolik procent z původní dlužné částky musí spotřebitel za jeden rok zaplatit v

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

Finanční. matematika pro každého. f inance. 8. rozšířené vydání. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů

Finanční. matematika pro každého. f inance. 8. rozšířené vydání. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů Finanční matematika pro každého 8. rozšířené vydání J. Radová, P. Dvořák, J. Málek věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů metody pro praktické rozhodování soukromých osob i podnikatelů

Více