4. KOMPLEXNÍ ČÍSLA Definice komplexních čísel Geometrické znázornění komplexních čísel Klasifikace komplexních čísel 120

Transkript

1 KOMPLEXNÍ ČÍSLA 6 Defiice komplexích čísel 7 Geometrické áorěí komplexích čísel 8 Klasifikace komplexích čísel 0 Algebraický tvar komplexího čísla Sčítáí a ásobeí komplexích čísel v algebraickém tvaru Odčítáí a děleí komplexích čísel v algebraickém tvaru 5 Goiometrický tvar komplexího čísla 6 5 Souči a podíl komplexích čísel v goiometrickém tvaru 7 5 Defiice a výpočet -té mociy komplexího čísla 9 5 Defiice a výpočet -té odmociy komplexího čísla 5 Řešeí kvadratických rovic v oboru komplexích čísel Shrutí kapitoly 6 Kotrolí otáky 7 Úlohy k samostatému řešeí 7 Výsledky úloh k samostatému řešeí 9 Kotrolí test Výsledky testu Kompletí řešeí úloh k samostatému řešeí - 5 -

2 KOMPLEXNÍ ČÍSLA Průvodce studiem Kapitola avauje a kapitolu Číselé obory kde byl obor přiroeých čísel postupě rošiřová až a obor reálých čísel Kapitola je rodělea do pěti podkapitol ichž ěkteré jsou ještě dále ročleěy a meší oddíly V každém oddíle jsou ejprve avedey ové pojmy a vorce Pak většiou ásledují Řešeé úlohy sloužící jako ukáka praktického použití právě vláduté látky a apomáhající jejímu osvojeí Mei imi je ařaeo i ěkolik ajímavých úloh k ověřeí platých vtahů které jsou příosem k výkladu Na ávěr je umístěo přehledé Shrutí kapitoly a Kotrolí otáky Dále jsou adáy Úlohy k samostatému řešeí k imž jsou dodáy Výsledky úloh k samostatému řešeí a pro ty kteří by si s ěkterou úlohou euměli poradit je úplě a koci dodáo i Kompletí řešeí úloh k samostatému řešeí Kotrolí test vám poslouží k tomu abyste si ověřili jak jste tuto kapitolu vládli Cíle Cílem této kapitoly je vysvětlit pojem komplexí číslo seámit s možými působy ápisu komplexích čísel a prováděím operací s imi Po vládutí této kapitoly byste měli být schopi be problému pracovat s komplexími čísly tj provádět s imi běžé početí operace stejě běhle jako dosud s reálými čísly Předpokládaé alosti Předpokládá se že ovládáte úpravu algebraických výraů početí operace s dvojčley biomickou větu goiometrické fukce ákladí trigoometrické vorce že umíte řešit lieárí a kvadratické rovice soustavy dvou lieárích rovic dosaovací ebo sčítací metodou Výklad Zavedeí komplexích čísel v matematice ám umožňuje řešit problémy které jsou v oboru reálých čísel eřešitelé Např odmocia e áporého čísla v oboru reálých čísel eí defiováa V důsledku toho apř v oboru reálých čísel ele určit kořey kvadratické rovice se áporým diskrimiatem ai kořey ěkterých algebraických rovic vyšších stupňů - 6 -

3 Obor komplexích čísel C je rošířeí oboru reálých čísel reálých čísel je součástí oboru komplexích čísel C ( R C ) R to ameá že obor V oboru komplexích čísel je defiováa odmocia každého komplexího čísla (jak uvidíme dále) tedy i odmocia reálého áporého čísla mají své praktické uplatěí i v jiých vědích oborech opírajících se o matematiku hlavě ve fyice a elektrotechice Defiice komplexích čísel Komplexími čísly (prvky oboru defiováa rovost operace sčítáí a ásobeí Začíme [ ] = x y x y R C ) aýváme uspořádaé dvojice reálých čísel pro ěž je Číslu x R se říká reálá část (reálá složka) komplexího čísla číslu y R se říká imagiárí část (imagiárí složka) komplexího čísla Symbolicky se píše: Re = x Im = y Pro dvě komplexí čísla [ x y ] [ x y ] = = defiujeme: Rovost: = x = x ) ( y = ) ( y Dvě komplexí čísla jsou si rova právě tehdy když jsou si rovy jejich reálé části ( x = x ) a jejich imagiárí části ( y = y ) Součet: = [ x + x y + ] + y Součet dvou komplexích čísel je komplexí číslo jehož reálá část je rova součtu reálých složek těchto dvou komplexích čísel a imagiárí část je rova součtu imagiárích složek těchto dvou komplexích čísel x y + x y ] = x y x y = x x y y Souči: [ ] [ ] [ Po: Vhodost této defiice součiu dvou komplexích čísel poáme po jeho vyjádřeí v algebraickém tvaru - 7 -

4 Poámka Náev komplexí je latiy a ameá souborý úplý složeý Podle defiice (vi výše) je komplexí číslo tvořeo dvěma složkami (reálou a imagiárí) je to tedy číslo složeé Náev imagiárí (eskutečý pomyslý) se užívá důvodů tradičích Původě se jako imagiárí (eskutečá) čísla aývaly číselé výray k imž se ěkdy při formálě správém počítáí došlo a v ichž se vyskytovaly druhé odmociy e áporých čísel Geometrické áorěí komplexích čísel Zopakujeme: každé reálé číslo x oboru reálých čísel R le obrait jako bod a přímce (reálé číselé ose) Zobraeí možiy reálých čísel a možiu bodů reálé číselé osy je vájemě jedoačé Každé komplexí číslo = [ x y] oboru komplexích čísel C le obrait jako bod Z roviy komplexích čísel aývaé též Gaussova rovia Je to bod jehož x -ová souřadice je rova x tj reálé složce komplexího čísla a y -ová souřadice je rova y tj imagiárí složce komplexího čísla Zobraeí možiy komplexích čísel a možiu bodů Gaussovy roviy je vájemě jedoačé Gaussova rovia je rovia ve které je avedea kartéská soustava souřadic (tj souřadicové osy a sebe kolmé jejich průsečík je počátek [0;0] přičemž jedotky a obou osách jsou shodé) Vodorová osa x se aývá reálá osa svislá osa y se aývá imagiárí osa - 8 -

5 Na obráku áorě vidíme že obor komplexích čísel čísel R (reálá osa x je součástí roviy komplexích čísel) Pro = [ x y] je: C je rošířeím oboru reálých α - argumet ebo také amplituda komplexího čísla Píšeme arg = α (α je orietovaý úhel který svírá spojice obrau komplexího čísla směrem osy x ) a počátku s kladým + = x y - absolutí hodota ebo také velikost či modul komplexího čísla (vdáleost obrau komplexího čísla v Gaussově roviě od počátku) Poámka Tyto dva pojmy (argumet a absolutí hodota komplexího čísla) ajdou své uplatěí při vyjádřeí komplexího čísla v goiometrickém tvaru S tím se seámíte v podkapitole 5 Řešeá úloha Příklad Zobrate komplexí čísla = [ ;] [ ; 5] = jako body Gaussovy roviy vypočtěte jejich absolutí hodoty oačte jejich absolutí hodoty a argumety Řešeí: 0 7 = + = ; ( ) ( ) = + 5 = =

6 Klasifikace komplexích čísel Výklad Rolišujeme tyto dva druhy komplexích čísel [ x y] Je-li Je-li y = 0 pak = [ x 0] = x = : je reálé číslo - uspořádaá dvojice [ 0] vyjádřeí reálého čísla x v oboru komplexích čísel reálých čísel a reálé ose Např [ ;0] [ 0;0] = 0 [ 5;0 ] = 5 = x je tedy je formou C V Gaussově roviě leží obray y 0 pak = [ x y] se aývá imagiárí číslo jeho obra v Gaussově roviě leží mimo reálou osu Např [ ] [ 5;-] ; Je-li speciálě x = 0 pak = [ 0 y] se aývá rye imagiárí číslo jeho obra v Gaussově roviě leží a imagiárí ose Obecě má tvar [ 0;c ] kde c R Např [ ; ] Další pojmy 0 [ ; 57] 0 Komplexí číslo i = [ 0;] se aývá imagiárí jedotka Pro imagiárí jedotku i platí důležitý vtah: i = (le odvodit defiice ásobeí komplexích čísel: i Poámka [ ] [ ] [ ] [ ] = i i = 0; 0; = 0 ;0 + 0 = ;0 = ) Někdy ejméa v elektrotechice se imagiárí jedotka oačuje písmeem j Komplexí číslo = [ x y] se aývá opačé k číslu [ x y] = jeho obra v Gaussově roviě je středově souměrý s obraem čísla podle počátku soustavy souřadic = x y se aývá komplexě sdružeé k číslu = [ x y] jeho obra Komplexí číslo [ ] v Gaussově roviě je osově souměrý s obraem čísla podle osy x (Pro jedoduchost se obra komplexího čísla v Gaussově roviě oačuje stejě jako daé komplexí číslo) - 0 -

7 Poámka Je jevé že platí: = = pro která platí = se aývají komplexí jedotky Komplexí jedotky jsou všecha komplexí čísla jejichž obray v Gaussově roviě leží a kružici se středem v počátku a poloměrem jeda Patří k im apř čísla ; i ; i ; 5 5 [ 0; ] - tj imagiárí jedotka i a i čísla [ ;0 ] [ ;0] i - - tj reáá čísla a čísla [ 0; ] Komplexí číslo se aývá převráceé (reciproké) k číslu ( 0) Řešeé úlohy Příklad Určete je-li daé komplexí číslo imagiárí rye imagiárí ebo reálé: a = [ 0; ] b = [ 5;0] [ 7; ] Řešeí: c = d = 5 a rye imagiárí číslo b reálé číslo c imagiárí číslo d reálé číslo Příklad Jsou dáa komplexí čísla a = [ 5; ] b= [ 0; i] [ 5; ] c = d = [ 5;0] Ke každému ich určete číslo komplexě sdružeé a číslo opačé a áorěte je geometricky v Gaussově roviě Řešeí: pro a = [ 5; ] je a = [ 5; ] a [ 5; ] pro b= [ 0; i] je b = [ 0; i] b= [ 0; i] = - -

8 Pro c = [ 5; ] je c = [ 5; ] c [ 5; ] pro d = [ 5;0] je d = [ 5;0] d = [ 5;0] = Příklad Určete absolutí hodoty komplexích čísel a = [ 09; 0 5] [ 0 6;08] c = [ 0;0 7] d = [ 0; ] e = [ 5 ;0] to Řešeí: ( ) b = Je-li ěkteré ich komplexí jedotka uveďte a = = = ( ) b = = = = (b je komplexí jedotka) c = = = ( ) d = 0 + = (d je komplexí jedotka; d = i) ( ) e = = 5 Algebraický tvar komplexího čísla Výklad Algebraickým tvarem komplexího čísla [ x y] i = [ 0;] je imagiárí jedotka = aýváme ápis = x + yi kde číslo - -

9 Obdržíme ho postupou úpravou ápisu komplexího čísla : Algebraický tvar čísla opačého k číslu : [ xy] = [ x ] + [ 0y] = [ x0] + y [ 0; ] = x yi = 0 + = x yi Algebraický tvar čísla komplexě sdružeého k číslu : = x yi Algebraický tvar čísla převráceého k číslu dostaeme rošířeím lomku číslem = x yi: x yi x yi x y = = = = x+ yi x yi x + y x + y x + y ( )( ) Řešeá úloha Příklad Převeďte a algebraický tvar a určete číslo opačé komplexě sdružeé a převráceé ke komplexímu číslu = [ ; ] i Řešeí: = + i = i = i ( ) ( + )( ) 6 i i i = = = = i i i i Sčítáí a ásobeí komplexích čísel v algebraickém tvaru Výklad Dáa dvě komplexí čísla = x y i = x y i : + + ( x + y i) + ( x + y i) = ( x + x ) + ( y y )i + = + ( )( ) ( ) = + + = = = ( x y y ) + ( x y x y )i x yi x yi xx xyi yxi yyi x + v algebraickém tvaru sčítáme a ásobíme podobě jako reálé dvojčley sloučíme čley be i a s i využijeme vtahu i = - -

10 Odčítáí a děleí komplexích čísel v algebraickém tvaru Stejě jako v oboru reálých čísel R i v oboru komplexích čísel odčítáí a děleí iverí operace k operacím sčítáí a ásobeí tedy: C jsou operace = + ( ) pro každé C = pro každé C 0 Pro dvě komplexí čísla = x y i = x y i platí: + + ( x + y i) ( x + y i) = ( x x ) + ( y y )i = ( x+ yi )( x yi) ( )( ) x x + y y x y x y = = = + i x y i x y i x y x y Při děleí komplexího čísla rošiřujeme lomek že jmeovatel je reálé číslo) komplexím číslem 0 v algebraickém tvaru číslem komplexě sdružeým ke jmeovateli (tím ajistíme Řešeé úlohy Příklad Převeďte a algebraický tvar a určete součet rodíl souči a podíl komplexích čísel[ ; ] ; [ ] Řešeí: [ ; ] = i [ ;] + i = ( i ) + ( + i) = + i ( i) ( + i) = 5i ( i)( + i) = + i i 6i = 8 i i + i i i = + i i i i + 6i = + 9 7i = = 7 i - -

11 Příklad Převeďte komplexí číslo a [ a a ] a) a+ a b) a a = a algebraický tvar a vypočítejte Řešeí: a = a + ai a a a a i a a i a + = + + = a) ( ) ( ) (tj součet dvou komplexě sdružeých čísel je reálé číslo rové dvojásobku jejich shodé reálé složky) a a= a+ ai a ai = ai(tj rodíl dvou komplexě sdružeých čísel je b) ( ) ( ) rye imagiárí číslo rové dvojásobku imagiárí složky prvího ich) Příklad Dokažte že pro komplexí číslo [ xy ] absolutí hodotu komplexího čísla = platí: = x + y R tedy je možo vyjádřit rověž jako = Řešeí: ( x + yi)( x yi) = x xyi + xyi y i = x y ( ) = x + y Příklad 5 Najděte reálá čísla xy která jsou řešeím rovice i = x + yi + i Řešeí: i ( i)( i) i i 5i 5 = = = = i + i ( + i)( i) 5 x + yi = i ; komplexí čísla jsou si rova rovají-li se jejich reálé a imagiárí složky proto x = odtud x = a 5 y = - 5 -

12 5 Goiometrický tvar komplexího čísla Výklad [ ] Je dáo komplexí číslo = x y 0 jehož obra v Gaussově roviě je bod Z o souřadicích [ x y] Z obráku plye: Re x cosα = = Im siα = = y kde + = x y - odtud jedoačě určíme úhel α < 0π > Reálou složku komplexího čísla x = Re můžeme tedy vyjádřit jako x = cosα aalogicky jeho imagiárí složku y = Im možo vyjádřit jako y = siα Dosaeím do algebraického tvaru komplexího čísla a složky x y a po vytkutí [ ] dostaeme: = (cosα + isiα) - tv goiometrický tvar komplexího čísla = x y Připomeňme si: α je argumet ebo také amplituda komplexího čísla ( α < 0; π ) ) píšeme arg = α je možo uvádět v radiáech ebo ve stupích; je absolutí hodota ebo také velikost či modul komplexího čísla Každé komplexí číslo je těmito dvěma údaji jedoačě určeo Protože fukce sius a kosius jsou periodické s periodou π le vít a argumet komplexího čísla 0 také každé reálé číslo tvaru α' = α + kπ kde k je libovolé celé číslo Číslu α < 0; π ) se říká hlaví (ákladí) hodota argumetu komplexího čísla - 6 -

13 Řešeé úlohy Příklad 5 Převeďte a goiometrický tvar komplexí čísla a = + i b = 8 Řešeí: Rea = Im a = a = + = = cos α = si α = odtud π α = resp α = 0 6 π π a = (cos + isi ) resp a = (cos0 + isi 0 ) 6 6 Reb = 8 Im b = 0 b = 8 cos β = si β = 0 odtud β = π resp β = 80 b= 8(cosπ + isi π ) resp b= 8(cos80 + isi80 ) Příklad 5 Převeďte a algebraický tvar komplexí čísla c = (cos5 + isi5 ) d = 6(cos π + isi π ) Řešeí: c = ( + i ) = + i d = 6( i ) = i 5 Souči a podíl komplexích čísel v goiometrickém tvaru Výklad Nechť jsou dáa dvě libovolá eulová komplexí čísla v goiometrickém tvaru: = (cosα + isiα) = (cosα + i siα ) pak jejich souči = (cos( α + α ) + isi( α +α )) a jejich podíl = (cos( α α ) + isi( α )) α - 7 -

14 Při ásobeí komplexích čísel v goiometrickém tvaru se jejich absolutí hodoty ásobí a argumety sčítají Při děleí komplexích čísel v goiometrickém tvaru se jejich absolutí hodoty dělí a argumety odčítají Tyto vorce le sado odvodit užitím součtových vorců pro fukce sius a kosius Odvoeí: = (cosα + isi α )(cosα + isi α ) = (cosα cosα + icosα siα + isiα cosα siα si α ) = (cosα cosα siα si α + i(siα cosα + cosα si α ) = (cos( α + α ) + isi( α + α )) (cosα+ isi α) (cosα isi α) = = = (cosα + isi α ) (cosα isi α ) (cosα cosα icosα siα + isiα cosα + siα si α ) = (cos α + si α) (cosα cosα + siα si α + i(siα cosα cosα si α )) = (cos( α α ) + i si( α α )) Řešeé úlohy π π Příklad 5 Určete souči a podíl komplexích čísel c = (cos + i si ) π π d = (cos + i si ) 6 6 Řešeí: c d = (cos( π + π ) + isi( π + π )) = (cos π + isi π ) = π π = 6(cos + i si ) c π π π π π π = (cos( ) + isi( )) = (cos + isi ) d

15 Výklad Výpočet součiu a podílu dvou komplexích čísel tedy vládeme jak v algebraickém tvaru tak i v goiometrickém tvaru Goiometrický tvar komplexího čísla se uplatí hlavě při výpočtu odmociy komplexího čísla -té mociy a -té 5 Defiice a výpočet -té mociy komplexího čísla -tá mocia komplexího čísla čísla v oboru R : pro N se defiuje stejě jako -tá mocia reálého = pro každé komplexí číslo a N krát 0 = pro každé komplexí číslo 0 = pro každé komplexí číslo 0 a N V oboru v oboru R C tudíž platí pro výpočet moci s celočíselými mociteli stejá pravidla jako Výpočet mociy komplexího čísla je možý i v algebraickém tvaru: ( a + bi) počítáme jako mociu dvojčleu pomocí biomické věty výsledkem je komplexí číslo jehož reálá část je tvořea součtem čleů be i imagiárí část je tvořea součtem čleů s i Např: ( + i) = 8 + 6i + 5i + 7i = i 7i = 6 + 9i Pro výpočet vyšších moci už se ám vyplatí převést komplexí číslo tvaru algebraického a goiometrický a vypočítat mociu komplexího čísla v goiometrickém tvaru což je jedodušší Výpočet mociy komplexího čísla v goiometrickém tvaru odvodíme e vorce pro souči komplexích čísel v goiometrickém tvaru: = (cos( α + α ) + isi( α +α )) - 9 -

16 Pro = (cosα + isiα) je = = (cos( α + α) + i si( α + α)) = (cos α + i si α ) Výsledek le obecit: = ( (cosα + i siα)) = (cos α + i si α) ebo = (cos ( α + kπ) + isi ( α + kπ)) k Z -tá mocia komplexího čísla je komplexí číslo jehož absolutí hodota je rova - té mociě absolutí hodoty čísla a argumet je rove (popřípadě až a celý ásobek čísla π ) -ásobku argumetu čísla Poámka Je-li komplexí jedotka dostaeme e vorce: = (cos α + i si α) důležitý vtah tv Moivreovu větu: (cosα + isi α) = cos α + isi α Moivreovu větu můžeme použít chceme-li vyjádřit cos α si α kde a siα N pomocí cosα Řešeé úlohy Příklad 5 Určete Řešeí: ( + i) a) v algebraickém tvaru b) v goiometrickém tvaru a) ( + i) = + i + i + i = + i + i = + i i = + i b) číslo ( + i) ejprve převedeme a goiometrický tvar: π π ( + i ) = ( + i ) = ( + i ) = (cos + isi ) pak určíme jeho třetí mociu (v goiometrickém tvaru tu pak převedeme a algebraický tvar): π π ( + i) = ( ) (cos + isi ) = ( + i ) = + i Výsledky řešeí a) b) jsou shodé - 0 -

17 Příklad 55 Odvoďte pravidlo pro výpočet mociy i kde i je imagiárí jedotka N Řešeí: i = odtud plye: i = i i = i ( ) ( ) 5 i = i = = i = i i = i = i 6 i = i i = ( ) = i 7 = i i = i = i 8 = = 9 i i = i = i + = i atd Obecě: -tou mociu čísla i vypočítáme když mocitele dělíme čtyřmi a číslo 8 i umocíme a bytek Např + i = i = i = Příklad 56 Vyjádřete si α cos α pomocí siα a cosα Řešeí: Podle Moivreovy věty:( cosα + isiα) = cos α + isi α (cosα + isi α) = cos α + cos α isiα + 6cos α i si α + cosα i si α + si α = = cos α 6cos αsi α + si α + i(cos αsiα cosαsi α) odtud cos α cos α 6cos αsi α si = + α si α = cos α siα cosα si α 5 Defiice a výpočet -té odmociy komplexího čísla Výklad -tá odmocia komplexího čísla ( 0 = (cosα + isiα) N ) je každé komplexí číslo s pro které platí: s = Ze vorce α α = (cos α + isi α ) plye že číslo 0 = (cos + isi ) je -tou odmociou čísla eboť umocíme-li ho a -tou dostaeme právě číslo Avšak také číslo α + π α + π = cos + isi resp (uvádíme-li velikost úhlu ve stupích) α + α + = cos + isi je -tou odmociou čísla eboť = ( ( α + ) + ( α + )) = ( α + isi α ) = cos π i si π Zřejmě tedy každé číslo cos α + kπ α + kπ k = cos + isi kde k je celé číslo je -tou odmociou čísla - -

18 Zvolíme-li ve vorci dostaeme α + kπ α + kπ k = cos + isi postupě k = 0 odmoci 0 které jsou avájem růé eboť úhly α α π α π α ( )π jsou avájem růé a žádé dva ich se eliší o celý ásobek čísla π Ze vorce α + kπ α + kπ k = cos + isi sado vidíme že volíme-li a k jié celé číslo ež ěkteré čísel k = 0 edostaeme (až a celé ásobky čísla π ) již žádé jié úhly Pro k = +: α ( + ) π α ( + ) π α π α π + = + = + + π = + pro k = : ( ) (stejý úhel jako pro k = ) α π α π α π ( ) π π α + = + = + = + (stejý úhel jako pro k = ) Každé komplexí číslo jejichž výpočet je dá vorcem C má v C právě růých -tých odmoci 0 Tedy všechy -té odmociy komplexího čísla a jejich argumety jsou rovy ásobky čísla π k α + kπ α + kπ = (cos + isi ) k = 0 mají tutéž absolutí hodotu rovou α kπ + kde k = 0 tj liší se o celočíselé Pro obray v Gaussově roviě platí: Je-li = pak odmociami komplexího čísla jsou dvě opačá komplexí čísla jejichž obray v Gaussově roviě jsou body souměrě sdružeé podle počátku ležící a kružici se středem v počátku a poloměrem rovým číslu - -

19 Je-li > pak obray -tých odmoci komplexího čísla tj čísel 0 v Gaussově roviě tvoří vrcholy pravidelého -úhelíka vepsaého kružici se středem v počátku a poloměrem rovým číslu Graficky sestrojíme v Gaussově roviě obray všech -tých odmoci čísla tak že a kružici se středem v počátku a poloměrem r = sestrojíme ejprve vrchol odpovídající odmociě 0 (jeho spojice se středem svírá s kladým směrem osy x úhel α ) další α π vrcholy dostaeme tak že k úhlu postupě přičítáme (přidáváme) úhel 60 (resp ) Poámka Tedy i každé reálé číslo r (jako speciálí případ komplexího čísla r = [ r; 0] ) má v C -tých odmoci atímco v R je je pro r 0 defiováo jedié číslo s= r s 0 Řešeá úloha Příklad 57 Řešte rovici + = 0 Řešeí: Máme ajít všecha komplexí čísla jejichž čtvrtá mocia je rova což ameá ajít všechy čtvrté odmociy čísla Víme že budou čtyři: Číslo 0 má absolutí hodotu a argumet π (resp 80 ) - -

20 Podle vorce α + kπ α + kπ k = (cos + isi ) dostaeme: 0 π π i = (cos + isi ) = + dostaeme tak že k argumetu čísla 0 přičteme π π = (resp 90 ): π π = (cos + isi ) = + i obdobě 5π 5π 7π 7π = (cos + isi ) = i = (cos + isi ) = i Obray čtvrtých odmoci čísla tvoří vrcholy pravidelého čtyřúhelíka (čtverce) 5 Řešeí kvadratických rovic v oboru komplexích čísel Výklad V podkapitole Kvadratické rovice bylo kostatováo že je-li diskrimiat D < 0 pak kvadratická rovice emá v oboru reálých čísel řešeí Ukážeme že v oboru komplexích čísel má kvadratická rovice vždy řešeí V oboru C si můžeme áporé číslo apř 5 vyjádřit jako 5i tedy 5 = 5i = i 5 = 5i - -

21 Vorec pro určeí kořeů kvadratické rovice x x b± D = tedy pro D < 0 vypadá ásledově: a b± i D = (dostaeme dva imagiárí komplexě sdružeé kořey) a Řešeé úlohy Příklad 58 Řešte v oboru C kvadratickou rovici 9x 6x+ 0= 0 Řešeí: D= b ac= = 6 60 = D < 0 D = i D = i = 8i x 6± 8i ± i = = 8 Kvadratická rovice má dva imagiárí komplexě sdružeé kořey: x = + i x = i Příklad 59 Určete pro které hodoty reálého parametru m bude mít kvadratická rovice ( m 5) x mx ( m ) + + =0 imagiárí kořey Řešeí: D m ( m 5)( m ) ( m m m 5m 5) ( 5 m) = + = + + = Kvadratická rovice má imagiárí (komplexě sdružeé) kořey právě když D < 0 ( ) tedy 5 m < 0 Odtud 5 m < 0 5 m > 5 Pro m ; + má daá kvadratická rovice imagiárí kořey Poámka Podobě le obecit roklad kvadratického trojčleu v R a roklad kvadratického trojčleu v C Příklad 50 Roložte v C kvadratický trojčle V = x 0x+ 6 Řešeí: Vyřešíme ejdříve kvadratickou rovici x 0x+ 6 = 0 ; x 0 ± 0 ± i = = = 5 ± i V = ( x 5 i)( x 5+ i) - 5 -

22 Příklad 5 Roložte v C kvadratický dvojčle V = x + Řešeí: x + = x ( ) = x i V ( x i)( x i) = + Poámka Expoeciálí tvar komplexího čísla i V aplikacích se pravidla pracuje s tv expoeciálím tvarem komplexího čísla: = re ϕ který dostaeme goiometrického tvaru = (cosϕ + isiϕ) položíme-li r = a i cosϕ+ isiϕ = e ϕ kde e je Eulerovo číslo Výhoda expoeciálího tvaru komplexích čísel spočívá v tom že jejich ásobeí děleí a umocěí přiroeým číslem se provádí podle aalogických pravidel jako pro mociy v oboru R : pro komplexí čísla = re ϕ = r e ϕ je i i ϕ re r e rr e iϕ iϕ i( ϕ + ) = = ϕ re r e i( ϕ ϕ ) = = i iϕ re r pro komplexí číslo i = re ϕ iϕ je ( ) iϕ = re = r e Shrutí kapitoly Obor komplexích čísel C je rošířeím oboru reálých čísel R ( R C ) Komplexí číslo je defiovaé jako uspořádaá dvojice reálých čísel ( = x y x je [ ] reálá složka y je imagiárí složka komplexího čísla ) a le ho obrait jako bod Gaussovy roviy Nejčastěji je používá algebraický tvar komplexího čísla ( = x + yi ) který umožňuje počítat s komplexími čísly jako s reálými dvojčley přičemž je využívá vtah i = v algebraickém tvaru le sčítat odčítat ásobit dělit i umocit - 6 -

23 Goiometrický tvar komplexího čísla = (cosα + isi α) umožňuje jeho vyjádřeí pomocí absolutí hodoty a argumetu α V tomto tvaru le komplexí čísla pohodlě ásobit dělit umocit Výpočet -tých odmoci komplexího čísla je možý je v goiometrickém tvaru Podle potřeby le komplexí číslo [ x y] tvaru či převést ho jedoho tvaru do druhého = apsat v algebraickém ebo goiometrickém Po: V aplikacích se pravidla pracuje s tv expoeciálím tvarem komplexího čísla: i re ϕ = který dostaeme goiometrického tvaru = (cosϕ + isiϕ) položíme-li r = i cosϕ + isiϕ = e ϕ kde e je Eulerovo číslo Kotrolí otáky Je-li R obor reálých čísel C obor komplexích čísel který ásledujících vtahů je správý: C R ebo R C? Jak můžeme geometricky áorit každé komplexí číslo? Jaké druhy komplexích čísel rolišujeme? Co je imagiárí jedotka co je komplexí jedotka? 5 Které tvary ápisu komplexího čísla používáme? 6 Kterou operaci ele provést s komplexími čísly apsaými v algebraickém tvaru? 7 Které dvě operace ele provést s komplexími čísly apsaými v goiometrickém tvaru? 8 K čemu le použít Moivreovu větu? 9 Kolik -tých odmoci má každé komplexí číslo v oboru komplexích čísel C? 0 Kolik je druhých odmoci e áporého reálého čísla v oboru komplexích čísel C? Odpovědi ajdete v textu Úlohy k samostatému řešeí Převeďte komplexí čísla = ; c [ ] d = [ ; 5] e = [ 05;0] = [ 0; 5] f g = [ 5; ] do algebraického tvaru a áorěte je v Gaussově roviě Určete je-li daé komplexí číslo imagiárí rye imagiárí ebo reálé: a = 5i b = i c = 5 + i d = 5-7 -

24 Ke komplexímu číslu a = + 5i b = i c = 5 i d = určete číslo komplexě sdružeé a číslo opačé a áorěte je v Gaussově roviě Pro která komplexí čísla platí vtah a = ia jsou-li čísla a a komplexě sdružeá? 5 Určete absolutí hodoty (velikosti) komplexích čísel a = + i b = + i c = i d = 5 e = i Je-li ěkteré ich komplexí jedotka uveďte to 6 Pro která reálá čísla x jsou čísla a) xi b) x + xi komplexími jedotkami? 7 Určete a) součet b) rodíl c) souči d) podíl komplexích čísel x = + i a y = 5i 8 i Vypočtěte i 9 + i Určete absolutí hodotu čísla i 0 Určete kvadratickou rovici s reálými koeficiety jejíž jede koře je + i Pro která reálá čísla x y platí: ( + i ) x + ( i) y = i 8? V oboru komplexích čísel C řešte rovici Určete reálou a imagiárí část komplexího čísla hodoty čísla x by komplexí číslo a (5 ) = ( i) + i ix a = + ix bylo reálé a pro které rye imagiárí a staovte pro které Určete goiometrický tvar komplexích čísel a = + i b = + i c = d = 5i 5 Určete algebraický tvar těchto komplexích čísel: a = 5 (cos 5 + i si 5 ) π π b = cos + i si π π c = 7 (cos80 + i si80 ) d = (cos + i si ) π π 6 Určete souči a podíl komplexích čísel c= (cos + isi ) 7 Vyjádřete cos α a si α pomocí cos α a si α 8 8 Vypočtěte ( i) a) jako mociu komplexího čísla v algebraickém tvaru 9 Určete ( i ) 5 5 d = 8(cos π + isi π ) b) jako mociu komplexího čísla v goiometrickém tvaru 0 Určete a) i b) a výsledky áorěte graficky Vypočtěte 5+ 5 i - 8 -

25 Výsledky úloh k samostatému řešeí c = + i d = 5i e = i = 0 5 f = 0 5i = 5i g = 5 + i Jejich obray v Gaussově roviě: a je imagiárí číslo b je rye imagiárí číslo c je imagiárí číslo d je reálé číslo a = 5i a = 5i ; b = b= i Jejich obray v Gaussově roviě: c = 5 + i c = 5 + i ; d = d = Jejich obray v Gaussově roviě: - 9 -

26 Vtah platí pro všecha komplexí čísla a jejichž reálá a imagiárí složka jsou čísla opačá tj a= a ai kde a je libovolé reálé číslo 5 a = 5 b = 5 c = d = 5 e = ( e je komplexí jedotka) 6 a) pro x =± 7 ; b) pro x =± a) i ; b) + 7i ; c) + i ; d) + i 8 + i = jde o komplexí jedotku 0 x x+ = 0 pro x = 6 y = 5 = + i x Re Im x a= a= i a bude reálé pro x = 0 rye imagiárí pro x = ± + x + x π π π π a = (cos + i si ) b = (cos + i si ) c = (cosπ + i siπ ) π π d = 5(cos + i si ) 5 a = 5 5 i b = + i c = 7 (reálé číslo) d = i (rye imagiárí číslo) c cd = (cos π + i si π ) d 5 5 = (cos π + i si π ) 8 7 cosα = cos α cosα si α = siα si α π π a) i : 0 = cos + isi = + i = cos π + isi π = i - 0 -

27 b) π π : 0 = cos + isi = + i = cosπ + isiπ = 5 5 = cos π + isi π = i 5+ 5 i : π π = 0(cos + si ) = 0( + ) = ( + i) i i 0 = 0(cos π + isi π) = 0( + i) = ( + i ) = 0(cos π + isi π) = 0( i) = ( i) = 0(cos π + isi π) = 0( i) = ( i)

28 Kotrolí test Zobrate komplexí číslo = [ ; 5] jako bod Gaussovy roviy Které ásledujících komplexích čísel je rye imagiárí? a) [55;-] b) [0;-5] c) [-;0] d) [;] Je-li komplexí číslo = + i pak = i je k a) opačé b) převráceé c) komplexě sdružeé Absolutí hodotu komplexího čísla [ xy ] = je možo vyjádřit jako a) b) x + y c) x + y d) ( ) 5 Uveďte které komplexí číslo je komplexí jedotkou: a) ; 5 b) ; c) π π 6 Vypočítejte souči komplexích čísel u = 6(cos + isi ) Výsledek vyjádřete v algebraickém tvaru a) + i b) + i c) + i 7 Vyjádřete v goiometrickém tvaru komplexí číslo a) ; d) ; 5 5 i + i π π v= (cos + i si ) 6 6 π π π π cos π + i si π b) 5 cos + i si c) cos i si i 8 Vypočtěte ( ) 6 a) 8 8i b) 0 + 8i c) i 9 Vypočítejte + i - -

29 a) 0 = cos π + isi π b) 0 = cos π + isi π = cos π + isi π ( ) cosπ isiπ = = cos π + isi π 5 5 = cos π + isi π c) + i 0 Řešte v oboru C kvadratickou rovici x 6x+ 5= 0 a) x = 7; x = b) x = + 5; i x = 5i c) x = + i; x = i Výsledky testu c); b); c); a) c); 5 b) d); 6 a); 7 a); 8 b); 9 a); 0 c) Kompletí řešeí úloh k samostatému řešeí Algebraický tvar komplexího čísla [ x y] = je x + yi se obraí v Gaussově roviě jako bod o souřadicích d = 5i e = i = 0 5 f = 0 5i = 5i g = 5 + i = Komplexí číslo = [ x y] [ x y] Tedy c = + i - -

30 Komplexí číslo [ x y] = x + yi = je imagiárí číslo je-li x 0 a y 0 rye imagiárí číslo je-li x = 0 a y 0 reálé číslo je-li y = 0 Takže: a je imagiárí číslo b rye imagiárí číslo c imagiárí číslo; d reálé číslo Ke komplexímu číslu [ x y] = x + yi = je = x yi číslo komplexě sdružeé = x yi číslo opačé; tedy pro a = + 5i je a = 5i a = 5i ; pro b = i je b = i b = i Jejich obray v Gaussově roviě: pro c = 5 i je c = 5 + i c = 5 + i ; pro d = je d = d = Jejich obray v Gaussově roviě: Nechť a = a +a i a = a a i Položíme a = ia tj a a i = i( a + a i) = a + ai Z rovosti komplexích čísel plye: a = a To ameá že vtah platí pro všecha - -

31 komplexí čísla a jejichž reálá a imagiárí složka jsou čísla opačá tj a= a ai kde a je libovolé reálé číslo Ověřeí: apř pro a = i je ia = i( i) = i i = + i = a 5 Absolutí hodota (velikost) komplexího čísla a = a+ ai je a a + tedy: a = + = 5 = 5 b = ( ) + = 5 c = 0 + ( ) = d e = ( 5) + 0 = 5 e = = = = je komplexí jedotka 6 a) Nechť a = xi ; a = + x ; má-li číslo a být komplexí jedotka musí platit: a = Dostaeme tedy rovici: 9 + x = odtud x = 6 6x = 7 7 x =± Pro 7 x =± je číslo a = xi komplexí jedotkou b) Nechť b = x + xi b = 9x + 6x ; má-li číslo b být komplexí jedotka musí platit: b = Dostaeme tedy rovici: 9x + 6x = odtud 5x = x = x=± 5 5 Pro x =± je číslo b = x + xi komplexí jedotkou 5 7 x + y = + i + 5i = i x y = + i ( 5i) = + i + 5i = + 7i x y = (+ i)( 5 i) = 5i+ 6i 0i = +i x xy ( + i)(+ 5 i) + 5i+ 6i+ 0i 7 + i 7 = = = = = + i y yy ( 5 i)( + 5 i) i i( + i) + i = = = + i i ( i)( + i)

32 9 Nejprve určíme výsledek podílu: + i (+ )( i + ) i (+ ) i + i+ i + i i = = = = = = + i ( i)(+ i) i = + = + = jde o komplexí jedotku 0 Má-li kvadratická rovice s reálými koeficiety imagiárí koře pak je i druhý koře imagiárí komplexě sdružeý Naše rovice má tedy kořey +i -i Úpravou součiu kořeových čiitelů obdržíme: ( x (+ ))( i x ( )) i = ( x )( i x + ) i = ( x ) () i = x x+ + 9 hledaá kvadratická rovice: x x+ = 0 Rovici ( + i ) x + ( i) y = i 8 upravíme: x + xi + y yi = 8 + i - komplexí čísla vlevo a vpravo od rovítka jsou si rova rovají-li se jejich reálé i imagiárí složky: x + y = 8 x y = prví rovici vydělíme dvěma druhou rovici vydělíme třemi dostaeme: x+ y = x y = druhé rovice vyjádříme x : x = y + a dosadíme do prví rovice: y+ + y = odtud y = 5 y = 5 x = y+ = 6 Řešeím rovice je x = 6 y = 5 i i Neámá = x + yi pak = x yi; komplexí číslo = = = i i i i ( ) řešíme tedy rovici: (5 + i)( x yi) = ( x+ yi)( i) + 5 x 5yi + xi + y = x xi + yi + y + 5x + y + ( x 5y) i = x + y + + ( y x) i x + ( x 5y) i = ( y x) i rovost komplexích čísel a levé a pravé straě rovice vyjádříme soustavou rovic: x = 0 x = 0 po úpravě obdržíme: x 5y = y x x 6y = 0-6 -

33 prví rovice vyjádříme x : tedy x = = a dosadíme do druhé rovice: 6y = 0 y = Řešeím daé rovice je komplexí číslo = + i ix ( ix) ix + i x x ix x x a= = = = = + ix ( + ix) ( ix) ix + x + x + x i x Číslo a bude reálé pokud jeho imagiárí složka 0 = + x x = 0 Číslo a bude rye imagiárí pokud jeho reálá složka a = + i : Rea= a = Im a= a = tedy x + x = 0 x =± a a a = a + a = + = cos α = = = siα = = = a a π π π odtud α = Goiometrický tvar komplexího čísla a = (cos + i si ) b = + i : Reb = b = Imb = b = tedy b b b = b + b = ( ) + = = cos α = = si α = = b b π π π odtud α = Goiometrický tvar komplexího čísla b = (cos + i si ) c = : Rec= c = Im c= c = 0 tedy c = c + c = ( ) + 0 = jde o reálé číslo jehož obra v Gaussově roviě je bod a reálé ose x se souřadicí - 0 odtud α = π (Potvrdilo by se i výpočtem: cos α = = siα = = 0 ) Goiometrický tvar komplexího čísla c = (cosπ + i siπ ) d = 5i : Re d = d = 0 Imd = d = 5 tedy d = d + d = (0) + 5 = 5 jde o rye imagiárí číslo jehož obra v Gaussově roviě je bod a imagiárí ose y - 7 -

34 se souřadicí 5 tedy jeho argumet π α = π π Goiometrický tvar komplexího čísla d = 5(cos + i si ) a = 5(cos 5 + i si 5 ) = 5(cos π + i si π ) = 5( i ) = 5 5 i 6 π π b = cos + i si = (cos 60 + i si 60 ) = ( + i ) = + i c = 7(cos80 + i si80 ) = 7(cosπ + i si π ) = 7( + i 0) = 7 (reálé číslo) π π d = (cos + i si ) = (cos 90 + i si 90 ) = (0 + i ) = i (rye imagiárí číslo) c d 8 cos π isi π = + π + + π = cos π + isi 7 π π π cos i si c + π 5 π 5 = = cos π i si π d = 8 cos π i si π + = cos si cos si 8 π + i π π π i π = π = 5 5 = cos π + i si π 8 7 Podle Moivreovy věty: (cosα + isi α) = cosα + isi α rověž platí (užitím biomické věty): (cosα + isi α) = cos α + icos αsiα cosαsi α isi α Z rovosti pravých stra obou vtahů plye: cosα = cos α cosαsi α = cos α cos α( cos α) = cos α cos α a dále (pro čley s i ): si α = cos αsiα si α = ( si α)siα si α = siα si α 8 a) Užitím biomické věty: ( i) = ( i) + ( i) + ( i) + ( i) + ( i) ( i) + ( i) + ( i) + ( i ) =

35 5 6 7 = + 8( i) + 8( i) + 56( i) + 70( i) + 56( i) + 8( i) + 8( i) + ( i) = = 8i i i 8 + 8i+ = 6 Úpravou výrau le výpočet jedodušit: 8 ( i) = (( i) ) = ( i+ i ) = ( i ) = ( i) = 6i = 6 = 6 8 b) určíme goiometrický tvar komplexího čísla = ( i) : 7 Re = Im = = + ( ) = cos α = si α = tedy α = π 7 7 ( i ) = (cos π + i si π ) ( i) = (cos(8 π) + isi(8 π)) = (cosπ + isi π) = 6(cos 0 + isi 0) = 6 9 Komplexí číslo = i převedeme a goiometrický tvar: = + = = Re Im 5 cos α = = si α = = α = π tedy 5 5 = (cos π + isi π ) 5π 5π 60π 60π = cos + isi = cos + isi = ( π i π) ( i ) = cos 0 + si 0 = cos 0 + si 0 = 0 Odmocňovaá komplexí čísla vyjádříme v goiometrickém tvaru a výpočet odmoci provedeme podle vorce π π a) i = (cos + i si ) α + kπ α + kπ k = (cos + isi ) k = 0 : π kπ π kπ i = k = cos( + ) + isi( + ) kde k = 0 eboli π π 5 5 = + = + = cos π + isi π = i: 0 cos isi i - 9 -

36 b) = cosπ + isiπ π kπ π kπ = k = cos( + ) + isi( + ) kde k = 0 π π eboli 0 = cos + isi = + i 5 5 = cosπ + isiπ = = cos π + isi π = i: Odmocňovaé komplexí číslo vyjádříme v goiometrickém tvaru a výpočet odmoci provedeme podle vorce Oačíme = i = = 0 α + kπ α + kπ k = (cos + isi ) k = 0 : 5 5 π π π cosα = = siα = = α = ; tedy = 0(cos + i si ) 0 0 π kπ π kπ π π π = = 0(cos( + ) + isi( + )) = 0(cos( + k ) + isi( + k π )) 6 6 k kde k = 0 eboli π π 0 0 i i = 0(cos + si ) = 0( + ) = ( + i) = 0(cos π + isi π) = 0( + i) = ( + i ) = 0(cos π + isi π) = 0( i) = ( i) = 0(cos π + isi π) = 0( i) = ( i)