5.1. Posloupnosti. Posloupnost je funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel.

Transkript

1 . 5. Poslouposti, geometrická řada a kombiatorika. 5.. Poslouposti. Posloupost je fukce, jejímž defiičím oborem je možia všech přirozeých čísel. Fukčí hodota této fukce přiřazeá číslu N se azývá -tý čle poslouposti a začí se ejčastěji a, b apod. Posloupost s -tým čleem a se začí {a }. Grafem poslouposti je možia izolovaých bodů [, a ] roviy, kde N. Posloupost je ejčastěji zadáa jedím z těchto dvou způsobů: vzorcem, vyjadřujícím -tý čle poslouposti pomocí, rekuretě udáím prvího čleu poslouposti a rekuretího vzorce, který vyjadřuje ( + ) -í čle poslouposti pomocí čleů předchozích. Říkáme, že posloupost {a } je rostoucí, jestliže a + > a pro všecha N ; klesající, jestliže a + < a pro všecha N ; eklesající, jestliže a + a pro všecha N ; erostoucí, jestliže a + a pro všecha N ; kostatí, jestliže a + a pro všecha N ; omezeá (ohraičeá), jestliže existuje K > 0 tak, že a K pro všecha N. 5.. Aritmetická posloupost. Aritmetickou se azývá posloupost, ve které rozdíl dvou sousedích čleů je kostatí. Kostatí rozdíl d a + a Posloupost {a } je aritmetická {a + a } je kostatí. se azývá diferece aritmetické poslouposti. V aritmetické poslouposti {a } s diferecí d platí tyto vztahy (, m N) : a a + ( )d, a (a + a + ) pro >, a a m + ( m)d, s a + + a (a + a ) Dále platí: {a } je rostoucí d > 0, {a } je klesající d < 0, {a } je kostatí d 0 Grafem aritmetické poslouposti je možia izolovaých bodů ležících a přímce (důsledek vzorce pro -tý čle). 5.. Geometrická posloupost. Geometrickou se azývá posloupost, ve které podíl dvou sousedích čleů je kostatí. Posloupost {a } je geometrická { a+ a } je kostatí. 4

2 Poslouposti, geometrická řada a kombiatorika. 4 Kostatí podíl q a + a poslouposti plye, že všechy její čley jsou eulové. se azývá kvociet geometrické poslouposti. Z defiice geometrické V geometrické poslouposti {a } s kvocietem q platí tyto vztahy (, m N) : a a q, a a m q m, a a a + pro >, s a + + a a q q pro q, s a pro q. Dále platí: {a } je rostoucí q >, {a } je klesající > q > 0, {a } je kostatí q. Grafem geometrické poslouposti s kvocietem q > 0 je možia izolovaých bodů ležících a expoeciálí křivce (důsledek vzorce pro -tý čle) Limita poslouposti. Říkáme, že posloupost {a } má limitu L R a píšeme L lim a, právě když ke každému číslu ε > 0 existuje takové číslo 0 N, že pro všecha přirozeá 0 a L < ε. Právě vysloveou defiici ilustruje obr. 5.: Op a L + ε L L ε platí Obr. 5. Ať si předepíšeme ε > 0 jakkoliv malé, vždy se ajde 0 tak, že všechy body [, a ], kde 0, budou ležet v pásu vymezeém rovoběžkami y L + ε, y L ε. Posloupost, která má limitu, se azývá kovergetí Věty o limitách posloupostí. Každá posloupost má ejvýše jedu limitu (sadý důsledek defiice). Kovergetí posloupost je omezeá (ohraičeá). Jestliže posloupost {a } koverguje a c R, potom koverguje i posloupost {ca } a platí lim (c a ) c lim a

3 44 Kapitola 5 Jestliže poslouposti {a }, {b } kovergují, potom kovergují i poslouposti {a ±b }, {a b } a platí: lim (a ± b ) lim a + lim b, Jestliže poslouposti {a }, {b } kovergují, { } a koverguje i posloupost a platí: b a lim a lim b lim b lim (a b ) lim a lim b lim b 0 a b 0 pro všecha N, potom Pozámka. V úlohách se omezíme pouze a aritmetické a geometrické poslouposti Nekoečé řady. Je-li {a } posloupost, pak symbol a + a a +..., resp. a azýváme ekoečou řadou. Říkáme, že tato řada koverguje, jestliže koverguje posloupost {s }, kde s a + + a je tzv. -tý částečý součet daé řady. Součtem kovergetí ekoečé řady azýváme limitu s poslouposti jejích částečých součtů a píšeme a s. Pro ás je důležitá ekoečá geometrická řada a + a q + a q Tato řada je kovergetí, právě když q <, a má potom součet s lim a q q a q. a Jiými slovy, a + a q + a q + a q pro q < 5.7. Kombiatorika. V kombiatorice potřebujeme tyto pojmy: Fukci -faktoriál ozačovaou! a defiovaou pro všecha přirozeá čísla a 0 vztahy! ( )( )..., 0!. Pro tuto fukci platí rekuretí vyjádřeí ( + )! ( + )!

4 Poslouposti, geometrická řada a kombiatorika. 45 Kombiačí číslo ad k, ozačovaé k výrazem ( ), je defiováo pro všecha, k 0,,,..., k ( )! ( )... ( k + ) k k!( k)! k(k )... Vlastosti kombiačích čísel jsou: k k pro 0 k,, 0, ( ) + +, k k + k + je-li 0 k Permutace. Nechť M je eprázdá možia, která má N avzájem růzých prvků, tedy M {a, a,..., a }, a i a j pro i j. Uspořádaou -tici z růzých prvků (a, a,..., a ) azýváme permutací. Zaměíme-li pořadí prvků v této -tici, apř. (a, a, a,..., a ), vytvoříme jiou permutaci prvků možiy M. Zjišťujeme-li, kolik růzých permutací z prvků možiy M můžeme vytvořit, zjišťujeme vlastě, kolik je růzých pořadí prvků možiy M. Na prvím místě se vystřídá všech prvků. Je-li a prvím místě určitý prvek, a druhém místě se vystřídá již je ( ) zbývajících prvků možiy M atd., až a posledí místo zbude jediý prvek. Počet permutací z prvků možiy M ozačíme P () a je P () ( ) ( )...! Jestliže se mezi prvky možiy M vyskyte a k -krát, a l -krát, a m -krát,..., pak počet všech růzých uspořádaých -tic je P k,l,m,... ()! k! l! m! Variace. Nechť je dáa možia M z 5.8 a přirozeé číslo k. Uspořádaou k -tici avzájem růzých prvků z možiy M : (a, a,..., a k ) azveme variací k -té třídy z prvků možiy M. Počet variací z prvků k -té třídy ozačíme V k (). Je rove V k ()! ( k)! Je-li apř. M {a, b, c}, všechy možé variace druhé třídy ze prvků možiy M jsou (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b) Kombiace. Nechť je dáa možia M z 5.8 a přirozeé číslo k. Vytvořme možiu P M, která má k avzájem růzých prvků: P {a, a,..., a k }. Neuspořádaou k -tici avzájem růzých prvků možiy M azýváme kombiací k -té třídy z prvků možiy M. Počet všech růzých podmoži s k prvky, které lze získat z prvků možiy M, tz. počet kombiací k -té třídy z prvků je C k () ( ) k! k!( k)!

5 46 Kapitola 5 Je-li apř. M {a, b, c}, potom (a, b), ((a, ) c) a (b, c) jsou všechy růzé kombiace druhé třídy z prvků možiy M. Jejich počet je C (). 5.. Biomická věta. Pro libovolá reálá i komplexí čísla a, b a pro libovolé přirozeé číslo platí vztah (a + b) a + a b + + ab + b. 0 Symbolicky zapsáo Biomické koeficiety vyhledávat. ( ) k (a + b) k0 ( ) a k b k k lze přehledě zapsat do tzv. Pascalova trojúhelíku a z ěho je ( ) k je k -tý prvek v řádku Záme-li v tomto ekoečém trojúhelíku r -tý řádek, potom sado určíme i řádek (r + ). Protože platí ( ) +, +, k k k k + k + je Pascalův trojúhelík symetrický a k -tý prvek v (r + ) -tém řádku je součtem (k ) -tého a k -tého prvku v r -tém řádku, tj. součtem dvou prvků v r -tém řádku, které jsou mu ejblíže. 5.. Řešeé příklady.. Zjistěte, zda je posloupost rostoucí ebo klesající: Řešeí: a) { }, b) { 0 }.

6 Poslouposti, geometrická řada a kombiatorika. 47 a) Určíme ěkolik prvích čleů poslouposti: 0,, 7, 5,.... Vidíme, že daá posloupost bude asi klesající. Dokážeme tedy, že pro všecha N platí a > a +, tj. jiými slovy, že erovici > ( + ) vyhovují všecha přirozeá čísla. Posledí erovice je však ekvivaletí erovici ( + ) >, která je zřejmě splěa pro všecha N. b) Z ěkolika počátečích čleů 0, 8 0, 7 0, 64 0,... usoudíme, že posloupost bude asi rostoucí. Dokážeme tedy, že pro všecha přirozeá čísla platí a + > a, tj. ( + ) > 0 0. Posledí erovost je však ekvivaletí erovosti ( + ) >, která zřejmě platí pro všecha N.. Dokažte, že posloupost { } je aritmetická. Řešeí: Vyšetříme rozdíl dvou po sobě jdoucích čleů poslouposti: a + a ( + ) + +. Vidíme, že teto rozdíl je kostatí a rove. Posloupost je tedy aritmetická, a a diferece d.. Čley aritmetické poslouposti {a } vyhovují rovicím Určete a 5. a + a 4 + a 7 56, 7(a + a ) 6a 6. Řešeí: Použijeme vztah a a + ( )d a všechy čley poslouposti, které se vyskytují v uvedeých rovicích, vyjádříme pomocí a a d. Dostaeme rovice a + 0d 56, 8a 6d 0. Z druhé rovice vypočteme a d a po dosazeí do prví rovice dostaeme rovici 6d 56, z íž plye d 7. Tedy a 7 a a 5 a + 4d Výsledek: a V aritmetické poslouposti {a } je a a s. Určete s 5. Řešeí: Protože s 5 5 (a + a 5 ), vyjádříme a, a, s pomocí a a d : a a d, a a d, s (a d) + (a d) + a. Nyí dosadíme do rovice s a postupě dostaeme: Tedy Výsledek: s 5 0. d + d +, d 9, d. s 5 5 (a + a 5 ) 5 ( + + )

7 48 Kapitola 5 5. Souči tří po sobě jdoucích čleů aritmetické poslouposti se rová jejich součtu. Určete tyto čley, víte-li, že d. Řešeí: Ozačíme-li si hledaé čley a k, a k, a k+, potom platí rovice a k a k a k+ a k + a k + a k+. Vyjádříme a k, a k+ pomocí a k a d, dosadíme a postupě upravíme: (a k d)a k (a k + d) a k d + a k + a k + d a k (a k d ) a k a k 0 a k (a k d ) 0 69 a k d +, a k ± 9 + ±4. Úloze tedy vyhovují všechy aritmetické poslouposti, které obsahují jedu z těchto tří trojic po sobě jdoucích čleů:, 0, ;, 4, 9 ; 9, 4,. 6. V geometrické poslouposti je součet prvích dvou čleů 4, součet jejich druhých moci 0. Určete součet prvích pěti čleů. Řešeí: Nejprve určíme a a q. Ze zadáí úlohy vyplývají vztahy a + a 4 a + a 0. Vyjádříme a pomocí a a q a dosadíme; dostaeme rovice a + a q 4, a + a q 0. Z prví rovice vypočteme a 4 + q a po dosazeí do druhé rovice postupě dostaeme: 6 ( + q) ( + q ) 0, q 0q + 0 q, q. To zameá, že úloze vyhovují dvě geometrické poslouposti {a }. U jedé z ich je q, a, a tedy s 5 5. V druhé poslouposti je q, a, a tedy ( ) 5 s 5 Součet prvích pěti čleů je buď ebo 7. 7.

8 h Poslouposti, geometrická řada a kombiatorika V geometrické poslouposti je a 7 a 5 96, a 5 + a 6 96, s 046. Určete a, q,. Řešeí: Dosadíme do těchto vztahů a 6 a 5 q, a 7 a 5 q a 5 q a 5 96, a 5 + a 5 q 96, a dostaeme rovice z ichž okamžitě plye erovost q ±. Prví rovici vydělíme druhou a postupě dostaeme: q q +, q, q, a a 5 q q q Zbývá určit, pro které s 046. K tomu použijeme vzorec pro s, do kterého dosadíme s 046, a, q, a postupě dostaeme: Výsledek: a, q, , 04, 0, Do kružice o poloměru R je vepsá čtverec a do ěho kružice, do této kružice opět čtverec atd. Vypočtěte a) strau pátého čtverce, b) součet obvodů všech ekoečě moha takto vziklých čtverců. Řešeí: Ozačme R R a a Obr. 5. poloměr -té takto vziklé kružice, takže R R. Dále ozačme a délku stray čtverce vepsaého do -té kružice. Ukážeme ejprve, že posloupost {a } je geometrická. Jak je patré z obrázku, pro každé platí vztahy a R R + a, a tedy a + R + a a. Posloupost je tedy opravdu geometrická, přičemž její prví čle a kvociet jsou dáy vztahy a R, q. Nyí už lehce zodpovíme obě otázky: a) Straa pátého čtverce je dáa vztahem a 5 a q 4 R ( ) 4 R 4.

9 50 Kapitola 5 b) Součet s obvodů všech čtverců je součtem geometrické řady 4a + 4a + 4a... s prvím čleem 4R a kvocietem, a tedy Výsledek: a 5 R 9. Řešte v R rovici s 4R 8R 8R 8R ( + ). 4, součet obvodů všech čtverců s 8R ( + ). 8 x + 0 x + 9 x 7 x +. Řešeí: Řešeí musí splňovat podmíky x 0 a x 0, aby zlomky v rovici měly smysl. Pravá straa rovice je součtem s geometrické řady, kde a a q x. Aby tato řada kovergovala, musí platit q <, což je ekvivaletí podmíce x >. Je-li tato podmíka splěa, je s a q + x x +. x Dosadíme teto výsledek do zadaé rovice a postupými úpravami dostaeme 8 x + 0 x x +, 8x + 4 x + 0x, x + x 4 0 x 6, x 4. Oba kořey splňují všechy tři výše uvedeé podmíky, a proto jsou oba řešeím zadaé rovice. Rovice má dvě řešeí x 6, x Kolika způsoby můžeme rozestavit a šachovici (o osmi sloupcích a osmi řadách) 8 věží tak, aby se žádé dvě z ich vzájemě eohrožovaly? Řešeí. V každém sloupci a v každé řadě musí stát jediá věž. Uvažujme jedu z těchto poloh a, a,..., a 8, kde a je číslo obsazeého pole v. řadě, a je číslo obsazeého pole ve druhé řadě atd. Pak je (a, a,..., a 8 ) jistá permutace čísel,,..., 8. Odtud plye, že počet hledaých poloh je rove počtu permutací čísel,,..., 8, tj. číslu P (8) 8! Věže můžeme a šachovici rozestavit 40 0 způsoby.. Agličaé obvykle dávají svým dětem ěkolik jme. Kolika způsoby lze pojmeovat e více ež třemi jméy ovorozeě, je-li k dispozici 00 růzých jme? Řešeí. Je jasé, že jedo jméo lze dát dítěti způsoby, dvě jméa lze dát dítěti V (00) způsoby, tři jméa lze dát dítěti V (00) zp. Ve druhém případě se totiž jedá o variace druhé třídy ze 00 prvků a ve třetím případě o variace třetí třídy ze 00 prvků, eboť zde zřejmě záleží a pořadí. Novorozeěti tedy můžeme vybrat ejvýše jméa způsoby.

10 Poslouposti, geometrická řada a kombiatorika. 5. Z 5 účastíků zasedáí má být vybráa 5-tičleá delegace. Kolika způsoby to lze provést? Řešeí. Máme vybrat 5ti-čleou skupiu z 5 prvků, přičemž ezáleží a pořadí. Jedá se tedy o kombiaci 5. třídy z 5 prvků. Všech kombiací 5. třídy z 5 prvků je ( ) 5 C 5 (5) 5! ! 47! 5 4 Výběr pěti delegátů lze tedy provést způsoby. ( )!. Pro přípusté hodoty upravte V ( )!. Řešeí. Za předpokladu je V ( )( ) ( )( ) 4. V možiě přirozeých čísel řešte rovici ( ) ( ) 8. ( ) ( ) 0. Řešeí. Musí platit ( erovosti ) ( ),, což je ekvivaletí jedé erovosti. m m Použijeme vztahu pro m a k a upravíme aši rovici a tvar k m k ( ) 8. Odtud postupě dostáváme ( )( ) 8, ,, 5 ± { Vzhledem k podmíce rovici vyhovuje pouze 7. ( 5. Určete x R + tak, aby pátý čle v biomickém rozvoji mociy x ) 0 byl 05. ( ) 0 Řešeí. Pátý čle rozvoje podle uvedeého tvaru biomické věty je A 5 a 6 b 4, takže máme 4 určit x tak, aby platila rovice 6 ( x ) Odtud postupě dostáváme Výsledek: x x 4 05, x , x Neřešeé příklady.. Zjistěte, zda posloupost { } ( + ) je rostoucí či klesající. [Klesající]

11 5 Kapitola 5. V aritmetické poslouposti {a } je a + a 9, a a 4. Určete a 0. [a 0, je-li a, d 5, ebo a 0 4, je-li a, d 5]. V geometrické poslouposti {a } určete prví čle a a kvociet q je-li: [ a) a + a 4 95, a + a 60, q 4, a ebo q ] 4, a 9 b) a a + a 5, a 4 a 5 + a 6 0. [a 5, q ] 4. Řešte v R rovice: a) 5 x + x + x + x , [ x 5 7, x ] b) x + 4 x + 8 x + 6 x +, [x ] c) log x + log x + log 4 x +, [x 0] d) + x + 4 x + 8 x + 4x. x 4 [x 6] 5. Dokažte že pro q < je součet geometrické řady s a q. { } Dokažte podle defiice, že posloupost je rostoucí a má limitu. 7. Vypočtěte limity: ( a) lim b) lim c) lim! ( + )!!. 8. Upravte výrazy: a) b) ( + )!!! ( + )!, ( )! ( + )! + ( + )! ( + 4)!. ),, [ ] [ ] 4 [0] [ ] + [ + ( + ) ] ( + )( + 4) 9. Řešte v N rovice: x x a) + 66, [] x x x b) + 9. [5] x x 4 0. Určete desátý čle biomického rozvoje mociy ( x x ) 0 + x. [( 0 9 ) x x ]