þÿ V l i v n á h o d n é h o z a ky i v e n í o s y n þÿ ú n o s n o s t t e n k o s t n n é h o p r u t u

Transkript

1 DSpace VSB-TUO þÿx a d a s t a v e b n í / C i v i l E n g i n e e r i n g S e r i e s þÿx a d a s t a v e b n í , r o. 3 / C i v i l E n g i n e e r i n g þÿ V l i v n á h o d n é h o a ky i v e n í o s n þÿ ú n o s n o s t t e n k o s t n n é h o p r u t u T2:27:52Z Downloaded from DSpace VSB-TUO

2 Sborník vědeckých prací Vsoké škol báňské - Technické univerit Ostrava číslo 2, rok 203, ročník XIII, řada stavební článek č. 27 Jan VALEŠ VLIV NÁHODNÉHO ZAKŘIVENÍ OSY NA ÚNOSNOST TENKOSTĚNNÉHO PRUTU EFFECT OF RANDOM AXIAL CURVATURE OF A THIN-WALLED BEAM ON ITS LOAD- CARRYING CAPACITY Abstrakt Tento článek se abývá analýou únosnosti tlačeného ocelového prutu tenkostěnného otevřeného i uavřeného průřeu, jehož osa je náhodně prostorově akřivená. Počáteční akřivení je modelováno náhodným polem a pomoci metod LHS. Únosnost tlačeného prutu je pak vpočítána geometrick nelineárním řešením v programu ANSYS. Výsledk jsou preentován jak v histogramech, tak v tabulce a je provedeno srovnání únosností prutů jednotlivých průřeů mei sebou a s hodnotami návrhové únosnosti podle norm. Klíčová slova Únosnost, počáteční akřivení, náhodné pole, mení stav, tenkostěnný prut, napětí, deplanace. Abstract The paper deals with the analsis of load-carring capacit (LCC) of a steel beam under compression which ais is randoml spatiall curved. Open and close thin-walled cross-sections are considered for the beam, respectivel. The initial curvature is modelled b a random field. The Latin Hpercube Sampling Method was applied. The load carring capacit is calculated b geometricall nonlinear solution b ANSYS software. The results are presented both in histograms and in a table. The LCC statistical characteristics of beams with open and closed cross-sections have been compared. A comparison with the LCC according to the standards is carried out as well. Kewords Load carring capacit, initial curvature, random field, limit state, thin-walled member, stress, warping. ÚVOD Počáteční akřivení prutů je většinou modelováno ve tvaru jedné půlvln funkce sinus. Pro tto případ máme k dispoici řešení v eplicitním tvaru [,2], a tudíž není obtížné vpočítat únosnost funkce odev, je-li adána amplituda počátečního akřivení e 0. Eplicitní řešení je možné tehd, je-li deformace os atíženého prutu afinní k počátečnímu akřivení. Není však pravidlem, že počáteční osové akřivení musí být ve tvaru sinové půlvln. Ve skutečnosti se mnohem častěji setkáváme s obecným akřivením, a to nejen rovinným, ale především prostorovým. Pro takové případ nele ískat eplicitní řešení, neboť osa deformovaného prutu není afinní k počátečnímu akřivení [3]. Tento článek se abývá analýou únosnosti tlačeného ocelového prutu, jehož osa je náhodně prostorově akřivená. Pro tento prut je volen smetrický tenkostěnný průře, a to jak uavřený, tak otevřený. S namáháním prutů takovéhoto průřeu je spojeno váané kroucení. To vniká v případě, Ing. Jan Valeš, Ústav stavební mechanik, Fakulta stavební, Vsoké učení technické v Brně, Veveří 33/ Brno, tel.: (+420) , vales.j@fce.vutbr.c. 99

3 bráníme-li deplanaci. Deplanaci může omeovat např. konstrukční uspořádání (vab bránící deplanaci), měna krouticího momentu podél os prutu či měna tvaru a roměrů průřeu podél os prutu. Váané kroucení může vniknout i tehd, je-li prut namáhán příčným atížením, neprocháejícím středem smku, či ecentrick působícím podélným atížením. V těchto případech je váané kroucení kombinováno s ohbem, smkem, tlakem či tahem a docháí k obecnému ohbově-tornímu namáhání. Při řešení tenkostěnných prutů se vcháelo předpokladu tuhého průřeu, jehož geometrie se vlivem namáhání nemění. Únosnost tlačeného prutu pak bla vpočítána geometrick nelineárním řešením v programu ANSYS. 2 VÝPOČTOVÝ MODEL Bl uvažován oboustranně kloubově uložený prut o délce L = 2,798 m. Jeho únosnost bla všetřována pro hodnotu relativní štíhlosti =,0, která je v ávislosti na délce prutu a poloměru setrvačnosti průřeu definována v normě EUROCODE 3. K analýe únosnosti tohoto prutu bl v programu ANSYS použit prutový prvek BEAM88 se sedmi stupni volnosti (3 stupně volnosti odpovídají posunům v osách,,, další 3 rotacím kolem těchto os a 7. stupeň volnosti odpovídá deplanaci). Schéma prutu je na obr.. V ulu a je ameeno posunům ve směru všech tří os a rotaci kolem os, v ulu b je ameeno posunům ve směru os a a rotaci kolem os. Dále je uvažováno, že oba koncové průře v ulech a i b nemohou deplanovat, ab model co nejvíce odpovídal skutečnému laboratornímu eperimentu. Model je následně atěžován posunem v ulu b ve směru os. V ulu a je pak odečítána hodnota reakce ve směru pro stanovení únosnosti (vi kap. 3). Obr. : Schéma prutu 2. Použité průře V dané úloe bl použit dva smetrické čtvercové tenkostěnné průře, přičemž první bl uavřený a druhý otevřený (uprostřed jedné stran bl vtvořen áře). Průře jsou obraen na obr. 2. Prut je modelován tak, že jeho osa procháí těžištěm průřeu. Obr. 2: Použité průře: vlevo uavřený, vpravo otevřený (se ářeem) Uavřený průře je smetrický podle obou os, a tak poloha těžiště C g odpovídá poloe středu smku S s. U otevřeného průřeu se poloha středu smku posunula podle obr. 2 vpravo. Průřeové charakteristik obou průřeů jsou uveden v tab.. 200

4 Tab. : Vbrané průřeové charakteristik Průřeová charakteristika Uavřený průře Otevřený průře Plocha A [m 2 ], , Moment setrvačnosti I [m 4 ], , Moment setrvačnosti I [m 4 ], , Výsečový moment setrvačnosti I ω [m 6 ] 2, , Pro každou realiaci prostorového akřivení os prutu (vi kapitola 2.2) je pak použito těchto průřeů. Vhledem k tomu, že počáteční akřivení je de neávislé na použitém profilu, je otevřený průře pokládán do čtř poic, vniklých pootočením pokaždé o 90. Únosnost prutu dané realiace je pak vpočítána pro pět průřeů podle obr. 3. Obr. 3: Průře prutu - onačení 2.2 Náhodné vstupní veličin a náhodné pole počátečního osového akřivení U mee kluu f blo uvažováno Gaussovo rodělení hustot pravděpodobnosti se střední hodnotou 297,3 MPa a směrodatnou odchlkou 6,8 MPa [4]. Počáteční akřivení os prutu blo modelováno pomocí jedenácti ulů, kterými bl proložen spline obr. 4. Každý těchto ulů měl Gaussovo rodělení hustot pravděpodobnosti s nulovou střední hodnotou a směrodatnou odchlkou 0, sin(π i / 2,798) m, kde i je poice na ose prutu. Hodnota 0, bla vpočtena předpokladu, že se v tolerančních meích ±0,5 % L nacháí 95 % realiací maimální počáteční prostorové deformace, přičemž délka prutu L je parametr výpočtu. Hodnot souřadnic v každé e dvou rovin jsou vájemně korelován prostřednictvím korelační matice. Ta představuje náhodné pole s korelační délkou L cor =,4465 m. Korelace je uvažována poue mei hodnotami souřadnic ulů v jedné rovině. Jinými slov, akřivení v jedné rovině je neávislé na akřivení v druhé rovině. Náhodné realiace jak meí kluu, tak počátečního akřivení bl simulován metodou Latin Hpercube Sampling [5,6], která je implementovaná v programu Freet. Obr. 4: Definování prostorového akřivení os prutu 20

5 Ostatní vstupní veličin modul pružnosti oceli E a geometrické charakteristik průřeu bl uvažován jako deterministické a bl vat svými průměrnými hodnotami. Ve výpočtu se následně hledala síla, pro niž bude pro danou realiaci počátečního osového akřivení prutu dosaženo dané realiace mee kluu. Blo simulováno 60 náhodných realiací akřivení prutů a 60 náhodných realiací mee kluu. Každé realiaci prutu náležela právě jedna realiace mee kluu. Příklad jedné realiace počátečního akřivení os prutu je obraen na obr. 5 a obr. 6. Zakřivení v rovině [m] Poice na ose prutu [m] Obr. 5: Zakřivení os prutu v rovině pro jednu náhodnou realiaci Zakřivení v rovině [m] Poice na ose prutu [m] Obr. 6: Zakřivení os prutu v rovině pro jednu náhodnou realiaci 3 NAPJATOST A MEZNÍ STAV Při atěžování se prut nacháí ve stavu složené napjatosti. Pro posouení únosnosti je potřeba nát, kd se napjatost blíží mení napjatosti v materiálu, v našem případě mei kluu f. Za mení podmínku bla použita Missesova (Huberova, Henckho) podmínka plasticit ve tvaru: f 0 () 0 je ekvivalentní napětí [Pa], jež je: (2) 2 a odpovídá f 0. Při řešení prutovým modelem se předpokládá, že 0. Vorec (2) se tak redukuje na tvar: (3) Přestože se ocel může dostávat do plastického stavu a v něm působit, je plastická reerva v podobném případě velmi malá (přibližně 3 %). Proto je v tomto příkladu a mení stav považován stav na mei pružnosti, t.j. stav, kd se ještě neobjeví plastická deformace. Mení stav tak nastane, jeli dosaženo mee kluu f. 202

6 3. Napětí v otevřených tenkostěnných průřeech Zjednodušující předpoklad o deformaci tenkostěnného otevřeného profilu je, že se průře ve své rovině přemístí jako tuhý celek. Toto přemístění je výsledek posunů v, w ve směrech os souřadnic, a pootočení ω kolem jistého pevného bodu. Derivací tuhého pootočení dostaneme relativní úhel kroucení: d. (4) d Posun ve směru je dán: dv dw d u u0 ( s) u0 v w ( s). (5) d d d Poměrnou podélnou deformaci le pak určit jako: u u 0 v w ( s). (6) Složku počítáme jako při přímkové napjatosti. Po dosaení poměrné podélné deformace podle (6) dostáváme: E Eu 0 v w () s. (7) Podmínk ekvivalence jsou: da, (8) A A A N da, (9) M da, (0) M ( s) da B, () A B je bimoment [Nm 2 ]. Pro hlavní výsečové souřadnice a centrální os le podmínk ekvivalence přepsat: N EAu 0, (2) M EI v EI w, (3) M EI v EI w, (4) B EI. (5) Konečné normálové napětí v tenkostěnném otevřeném průřeu le pak vjádřit: N M M B. (6) A I I I Při váaném kroucení vnikají v příčných i podélných řeech sekundární tečná napětí, která se superponují s primárními, odpovídajícími volnému kroucení. Primární tečné napětí se mění lineárně podél tloušťk průřeu a je dáno výraem: 2 M s n (7) It M je krouticí moment odpovídající volnému kroucení [Nm], n je souřadnice měřená ve směru normál ke střednici [m], 203

7 I t je moment setrvačnosti v kroucení [m 4 ]. Sekundární tečné napětí 2 se podél tloušťk průřeu roděluje rovnoměrně a jsou-li opět os s souřadnic hlavními centrálními osami, vjádří se toto napětí jako: 2 S S 2 S V V M (8) s t I I I t je tloušťka průřeu [m], V, V jsou posouvající síl [N], S, S jsou statické moment neúplné průřeové ploch [m 3 ], S je výsečový statický moment neúplné průřeové ploch [m 4 ], 2 M je ohbově krouticí moment [Nm]. Celkové tečné napětí v tenkostěnném otevřeném průřeu dostaneme součtem výraů (7) a (8): 2 2 M S S 2 S n V V M. (9) s s s I t t I I I 3.2 Napětí v uavřených tenkostěnných průřeech Podobně jako u prutů otevřeného průřeu můžeme předpokládat, že se tvar obrsu příčných řeů během přetvoření nemění. Při váaném kroucení nele předpokládat, že deplanace je úměrná poměrnému úhlu kroucení Θ, jako tomu blo u průřeů otevřených. Le však předpokládat, že deplanace řeu v místě je dána součinem jednotkové deplanace a deplanační funkce f(). Posun obecného bodu nosníku, určeného souřadnicí příslušného řeu a souřadnicí s na střednici tenkostěnného průřeu le vjádřit vtahem:, s f ( ) ( s) u (20) s je délka střednice přímého úseku, (s) je áporně vatá jednotková deplanace [m], f() je deplanační funkce. Za předpokladu, že podélná vlákna na sebe při přetvoření vájemně nepůsobí, je normálové napětí v příčných řeech, odpovídající jejich deplanaci: u E E( s) f ( ) (2) Bimoment je pro uavřený průře definován výraem B( ) EI f ( ) da (22) I je deplanační moment setrvačnosti [m 6 ]. Pro normálové napětí při váaném kroucení kombinací rovnic (2) a (22) dostaneme B( ) ( s). (23) I Vhledem k tomu, že v průřeu působí též normálová síla a ohbové moment, je výsledné normálové napětí dáno superpoicí všech těchto dílčích napětí obdobně jako u prutů otevřeného průřeu takto: 204 A

8 N M M B( ) ( s). (24) A I I I Pro tečné napětí při volném kroucení uavřených průřeů platí vtah s (25) 2A0t A 0 je plocha omeená střednicí průřeu [m 2 ]. Výsledné tečné napětí je opět dáno superpoicí primárního a sekundárního napětí od váaného kroucení a tečného napětí od ohbu. 4 ÚNOSNOST Hodnot únosnosti všech šedesáti náhodných realiací prutu jsou preentován v histogramech na obr. 7 až obr.. Těmito histogram le s dostatečnou přesností proložit Gaussovo rodělení pravděpodobnosti. Chí-kvadrát testem dobré shod na hladině výnamnosti 5 % neamítáme hpotéu o normálnosti rodělení pro žádný průřeů. M Obr. 7: Histogram únosnosti prutů s průřeem č. I (uavřený průře) Obr. 8: Histogram únosnosti prutů s průřeem č. II (otevřený průře) 205

9 Obr. 9: Histogram únosnosti prutů s průřeem č. III (otevřený průře) Obr. 0: Histogram únosnosti prutů s průřeem č. IV (otevřený průře) Obr. : Histogram únosnosti prutů s průřeem č. V (otevřený průře) 206

10 Rošířená statistika únosnosti je v tab. 2. Na ákladě norm EN990 je návrhová únosnost vpočítána jako 0,% kvantil, je-li návrhový inde spolehlivosti β d = 3,8. Tab. 2 proto obsahuje i hodnotu 0,% kvantilu normálního rodělení. Tab. 2: Statistika únosnosti Průře Střední hodnota [kn] Směrodatná odchlka [kn] Variační koeficient [-] 0,% kvantil normálního rodělení [kn] I (uavřený) 326,20 25,0 7,69 248,63 II (otevřený) 272,00 6,84 6,9 29,98 III (otevřený) 270,95 6,94 6,25 28,59 IV (otevřený) 27,94 7,24 6,34 28,66 V (otevřený) 27,07 7,4 6,32 28,0 Návrhová hodnota únosnosti prutu uavřeného průřeu (průře I) je podle EUROCODE 3 262,29 kn. Návrhovou únosnost prutů otevřených průřeů (průře II, III, IV) EUROCODE 3 neudává. 5 ZÁVĚR V článku bl preentován histogram a tabulka únosností prutů s počátečním prostorovým osovým akřivením. Prut otevřených průřeů mají podobné střední hodnot a směrodatné odchlk únosnosti. Jejich návrhová únosnost není normou EUROCODE 3 přímo dána. Nicméně použijeme-li křivku vpěrné pevnosti b, bude hodnota návrhové únosnosti 235 kn. Tato hodnota je všší než všechn 0,% kvantil normálního rodělení, kterými bl aproimován hodnot únosností prutů otevřených průřeů. Návrhová hodnota únosnosti prutů uavřeného průřeu podle EUROCODE 3 je 262,29 kn. Tato hodnota je rovněž všší než 0,% kvantil normálního rodělení. Návrh podle EUROCODE 3 tak může být na straně nebepečné; to je však potřeba ověřit dalšími spolehlivostními studiemi podle EN990. Prut uavřeného průřeu (průře I) mají na rodíl od prutů otevřených průřeů (průře II, III, IV, V) všší střední hodnotu a směrodatnou odchlku únosnosti, přestože mají takřka stejnou plochu i moment setrvačnosti k oběma osám a stejné realiace počátečního osového akřivení. Střední hodnot i směrodatné odchlk únosností prutů otevřených průřeů jsou si velmi blíké. Le proto tvrdit, že na výslednou únosnost nemá poloha ářeu vliv. Snížení jejich únosnosti je působeno především snížením tuhosti v kroucení. Prut otevřených průřeů jsou přídavně namáhán momentem prostého a ohbového kroucení a bimomentem. Kroucení prutu otevřeného průřeu je hlavní příčinou snížení jeho únosnosti. Prut je kroucen ejména proto, že jeho osa je akřivena náhodným akřivením obecného tvaru. Ponamenejme, že u prutu s imperfekcí ve tvaru jedné půlvn funkce sinus b tento problém nebl popsán dostatečně podrobně. Náhodná pole jsou nebtná pro studium tohoto fenoménu. Problematika bude dále studována. 207

11 PODĚKOVÁNÍ Preentované výsledk bl ískán a podpor juniorského projektu specifického vsokoškolského výkumu na Vsokém učení technickém v Brně č. FAST-J LITERATURA [] TIMOSHENKO S., GERE J. Theor of Elastic Stabilit, McGraw-Hill, New York, 96. [2] KALA, Z. Sensitivit Assessment of Steel Members under Compression, Engineering Structures, 3(6), 2009, pp , ISSN [3] VALEŠ, J. The Influence of Random Initial Ais Curvature of Compression Steel Slender Member on its Load Carring Capacit. MENDEL 202, 8th International Conference on Soft Computing, Brno Universit of Technolog, Facult of Mechanical Engineering, June 27 29, 202., p , ISSN , ISBN [4] MELCHER J. KALA Z. HOLICKÝ M. FAJKUS M. ROZLÍVKA L. Design Characteristics of Structural Steels Based on Statistical Analsis of Metallurgical Products, Journal of Constructional Steel Research, 60(3-5), 2004, pp , ISSN [5] McKEY MD, CONOVER WJ, BECKMAN RJ. A comparison of the three methods of selecting values of input variables in the analsis of output from a computer code, Technometrics 979; 2(2): [6] IMAN RC, CONOVER WJ. Small sample sensitivit analsis techniques for computer models with an application to risk assessment. Communications in Statistics Theor and Methods 980; 9(7): Oponentní posudek vpracoval: Doc. Ing. Martin Psotný, PhD., Katedra stavebnej mechanik, Stavebná fakulta, STU v Bratislave. Ing. Miroslav Rosmanit, Ph.D., Katedra konstrukcí, Fakulta stavební, VŠB-TU Ostrava. 208