II. termodynamický zákon a entropie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "II. termodynamický zákon a entropie"

Transkript

1 Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe is in disgreement with Mxwell s equtions then so much the worse for Mxwell s equtions. If it is found to be contrdicted by observtion well, these experimentlists do bungle things sometimes. But if your theory is found to be ginst the second lw of thermodynmics I cn give you no hope; there is nothing for it but to collpse in deepest humilition. Sir Arthur Stnley Eddington, (1915) 5.1 II. termodynmický zákon Úvodní úvhy I. termodynmický zákon omezuje všechny předstvitelné změny stvu systému jen n ty, při nichž pltí zákon zchování energie. V přírodě všk existuje všk celá řd dějů, při nichž by se energie zchovávl, le přesto se nepozorují. Z prxe víme, že děje v přírodě mjí tendenci probíht jen v jednom směru (nevrtně) k termodynmické rovnováze nikdy ne nopk. Vyjímku tvoří vrtné (kvzisttické) děje, které všk jk víme jsou jen určitou idelizcí velmi pomlu probíhjících (ve srovnání s relxčním čsem soustvy) dějů nevrtných. II. termodynmický zákon vnáší do termodynmiky novou informci o směru tepelné výměny, tedy že teplo smovolně přechází vždy od těles s vyšší teplotou n těleso s 5 57

2 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie nižší teplotou. Směr tepelné výměny je dán novou veličinou, která v I. termodynmickém zákonu vůbec nevystupuje teplotou. Podobně jko I. termodynmický zákon zvádí vnitřní energii, jkožto novou stvovou funkci, II. termodynmický zákon zvádí tké novou stvovou funkci entropii. Ztímco z I. termodynmického zákon vyplývá, že vnitřní energie je v izolovných systémech konstntní, z II. termodynmického zákon vyplývá, že entropie v izolovných systémech nemůže nikdy klest. Určení směru tepelné výměny má zásdní význm pro procesy při nichž se mění práce v teplo teplo v mechnickou práci. Z hledisk termodynmiky jsou dleko důležitější procesy druhé jmenovné, protože se vzthují k principům účinnostem strojů trnsformujících teplo n mechnickou práci, tedy k tk zvným tepelným motorům, které spolu s ledničkmi tepelnými čerpdly ptří k tzv. tepelným strojům. Jk jsme již uvedli, přeměn práce v teplo, tk i přeměn tepl v práci jsou možné prxi probíhjí. Jko příkld prvního procesu můžeme uvést všechny disiptivní procesy při nichž se mění npříkld kinetická energie těles v teplo, třeb v ložiscích nebo v brzdových kotoučích destičkách při brzdění utomobilu. Druhý proces probíhá npříkld v motoru utomobilu, kde se teplo vzniklé spálením pliv trnsformuje v mechnickou práci, která roztáčí klikový hřídel motoru tto rotční kinetická energie pk utomobil pohání. Položme si nyní tři zásdní otázky: 1. Je relizce obou výše uvedené procesů, tedy W Q Q W stejně sndná? 2. Lze přeměnit všechnu mechnickou práci, kterou vykonáme n tělese v teplo, tedy může pltit W = Q? 3. Lze přeměnit veškeré teplo, které dodáme nějkému tělesu v mechnickou práci, tedy může pltit Q = W? Odpověd n první otázku lze vyvodit ze skutečnosti, že ztímco teplo je veličin týkjícící se neuspořádného mikroskopického pohybu částic z nichž je dné těleso složeno, mechnická práce vykonná n tělese může vést k mkroskopickému pohybu celého těles nebo ke změně jeho pohybového stvu. Mikroskopicky to odpovídá společné změně vektorů rychlostí neuspořádného pohybu částic o konstntní hodnotu odpovídjící mkroskopické rychlosti celého těles. V tomto smyslu, práce předstvuje jkousi ušlechtilejší formu energie než teplo můžeme tedy dovodit, že přeměn npříkld kinetické energie těles, tedy energie uspořádného pohybu v chotický pohyb jeho částic (npříkld třením) bude zřejmě snzší než proces obrácený, tedy přeměn tepl jkožto energie neuspořádného pohybu mikroskopických částic v mechnickou práci, tedy v energii uspořádného pohybu mkroskopického těles či těles. Odpovědi n druhou třetí otázku lze dát n zákldě pozorování procesů konverze mezi oběm veličinmi v přírodě v technické prxi. Přípdem přeměny práce (npř. mechnické energie kinetické) v teplo, tedy proces W Q, je třeb disipce kinetické energie těles třením. ento proces většinou končí zstvením těles tedy stvem, kdy se veškerá jeho kinetická energie přemění v teplo, které zvýší vnitřní energii těles, mezi nimiž dochází ke tření přípdně okolí. Z toho vyplývá, že v přírodě existují smovolně probíhjí procesy, kdy se veškerá mechnická práce (kinetická energie těles) přemění v teplo. uto skutečnost můžeme schémticky zpst jko W = Q. (5.1) Rozeberme nyní opčný proces, přeměnu tepl v mechnickou práci Q W, tedy proces konverze 5 58

3 II. termodynmický zákon Michl Vrdy méně ušlechtilého druhu energie (energie neuspořádného pohybu částic) v ušlechtilejší energii uspořádného pohybu částic těles při jeho mkroskopickém pohybu. Z pozorování technické prxe vyplývá, že nelze veškerou energii neuspořádného pohybu částic (teplo) přeměnit v uspořádný pohyb částic těles při jeho mkroskopickém pohybu. to skutečnost je zásdní, je i hlvní myšlenkou II. termodynmického zákon. Můžeme ji vyjádřit zápisem Q >W, (5.2) který vyjdřuje, že mechnická práce vykonná tepelným strojem je vždy menší než teplo, které stroj přijl Některé formulce II. termodynmického zákon jejich rozbor Druhý termodynmický zákon lze vyjádřit velkým množstvím nvzájem ekvivlentních tvrzení. Uved me si některá z nich: Clusiův princip (1850) Neexistuje žádný cyklický proces, jehož jediným výsledkem by byl přenos tepl ze studenějšího těles n teplejší. Clusiův princip vyjdřuje skutečnost dobře známou z kždodenní prxe týkjící se směru toku tepl při smovolné tepelné výměně mezi tělesy. V Clusiově formulci je důležité neopomenout slovo smovolně, protože přenos tepl z chldnějšího těles n teplejší probíhjící npříkld v ledničkách tepelných čerpdlech II. termodynmický zákon nezkzuje, jen říká není smovolný - může probíht díky mechnické práci, kterou dnému tepelnému stroji dodáváme z venčí. Plnckův princip (1930) Je nemožné sestrojit tkový periodicky prcující stroj, který by trvle konl kldnou mechnickou práci pouze ochlzováním jednoho těles, niž by přitom docházelo ke změnám n osttních tělesech. Plnckův princip vyjdřuje objev Sdiho Crnot z roku 1824, že má-li tepelný motor kont nenulovou práci musí nutně prcovt mezi dvěm tepelnými lázněmi různé teploty, přičemž jedn lázeň funguje jko ohřívč druhá jko chldič. Není tedy bohužel možné sestrojit stroj, který by fungovl pouze tk, že by z jedné tepelné lázně (třeb z oceánu) odebírl teplo konl by tomuto teplu ekvivletní práci. kový stroj se nzývá perpetuum mobile II. druhu (viz obr. 5.1) II. termodynmický zákon vylučuje jeho existenci. 5 59

4 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie Ostwldův princip Není možné sestrojit perpetuum mobile II. druhu. to formulce je vpodsttě zkrácenou verzí Plnckov principu. Crthéodoryho princip (1909) V kždém libovolném okolí libovolně dného stvu termicky homogenního systému existují stvy nedosžitelné vrtnou dibtickou cestou. (Existují dibticky nedosžitelné stvy.) Crthéodoryho princip je opět ekvivletní všem osttním formulcím II. termodynmického zákon. Crtheodóryho princip je výchozím bodem pro mtemtické odvození existence entropie pro mtemtickou formulci II. termodynmického zákon. Princip růstu entropie Celková entropie jkéhokoli izolovného systému se může pouze zvyšovt blížit se své mximální hodnotě. Po dosžení mxim zůstává celková entropie systému konstntní. ento princip si dokážeme později po zvedení entropie pomocí mtemtické formulce II. termodynmického zákon. ento princip má ve fyzice ve filozofii výlučné postvení, protože určuje tzv. termodynmickou šipku čsu, tedy směr jkým se ubírá vývoj procesů v přírodě. 5.2 Entropie termodynmická teplot Důležitou stvovou funkcí v termodynmice je entropie. Při odvození existence entropie, které je vlstně určením integrčního fktoru pro teplo se vyjde z Crtheodóryho principu. en jinými slovy říká, že Pffov diferenciální form pro teplo, jkkoli je komplikovná je vždy holonomní, tedy že k ní vždy existuje integrční fktor. Připomeňme, že skutečnost, že diferenciální form pro teplo má integrční fktor znmená, že Pfffov rovnice + n i=1 i, j = i + A i d i =0 (5.3) obdržená z diferenciální formy pro teplo je po vynásobení integrčním fktorem integrovtelná její integrál je roven funkci kterou nzveme entropie systému. o znmená, že v prostoru prmetrů systému 5 60

5 Entropie termodynmická teplot Michl Vrdy Obrázek 5.1: Schémt tepelných strojů: ) perpetuum mobile II. druhu, jehož funkčnost je v rozporu s II. termodynmickým zákonem, b) funkční tepelný stroj fungující v souldu s II. termodynmickým zákonem. 1, 2,..., n, existují tzv. dibtické plochy z nichž se libovolným dibtickým dějem nemůžeme vzdálit. Odvození existence entropie není triviální probíhá tk, že se nejprve ukáže, že integrční fktor ve formě integrčního dělitele pro d Q je funkcí pouze empirické teploty, tedy nezávisí n osttních prmetrech systému 1, 2,..., n že tento integrční dělitel je lze povžovt z tzv. termodynmickou teplotu, což je teplot zcel nezávislá n způsobu jejího měření (srovnej se zvedením empirické teploty). Diferenciální form ds = d Q = n i=1 i, j = i + A i d i (5.4) je potom úplným diferenciálem. Pro vrtné děje tk dostáváme novou stvovou funkci definovnou ds (vr) d Q, (5.5) která se nzývá entropie. Vzhledem k tomu, že ds je úplným diferenciálem funkce S pltí pro libovolný vrtný kruhový děj (viz článek 2.4) (vr) d Q ds = (vr) =0. (5.6) to rovnice se nzývá I. Clusiov vět je mtemtickým vyjádřením II. termodynmického zákon pro vrtné procesy. 5 61

6 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie Existence entropie Nyní s pomocí mtemtického prátu z článku 2.3 ukážeme, že integrční fktor pro teplo je funkcí pouze empirické teploty t umožňuje definovt novou stvovou funkci entropii systému. Budeme přitom sledovt postup ze skvělé Bzrovovy knihy ermodynmik. Mějme systém, který se skládá ze dvou podsystémů (viz obr 5.2). Prmetry prvního podsystému oznčíme jko t, 1,..., n prmetry druhého podsystému jko t, b 1,...,b m. Celý systém je tedy popsán prmetry t, 1,..., n,b 1,...,b m. Necht nyní tento systém přijme během nějkého rovnovážného děje teplo δq, které se rozdělí mezi ob systémy tk, že první systém obdrží teplo δq 1 druhý δq 2. Smozřejmě pltí δq = δq 1 + δq 2. (5.7) Z Crtheodóryho principu víme, že Pfffov form pro teplo je z kždých okolností pro rovnovážné děje holonomní, že tedy pro kždé z tepel δq 1, δq 2 δq existuje integrční fktor tkový 1,že kde dσ 1 = δq 1 λ 1, dσ 2 = δq 2 λ 2, dσ = δq λ, (5.8) σ 1 = σ 1 (t, 1,..., n ), σ 2 = σ 2 (t, b 1,...,b m ), (5.9) σ = σ(t, 1,..., n,b 1,...,b m ), jsou stvové funkce prvního druhého podsystému celého systému vzniklé integrcí Pfffových forem pro odpovídjící tepl vydělená odpovídjícími integrčními děliteli λ 1 = λ 1 (t, 1,..., n ), λ 2 = λ 2 (t, b 1,...,b m ), (5.10) λ = λ(t, 1,..., n,b 1,...,b m ). Z první rovnice (5.9) lze vyjádřit proměnnou npříkld 1 = 1 (t, σ 1, 2,..., n ) z druhé b 1 = b 1 (t, σ 1,b 2,...,b m ). Integrční fktory poslední rovnice pro σ lze potom zpst tkto λ 1 = λ 1 (t, σ 1, 2,..., n ), λ 2 = λ 2 (t, σ 2,b 2,...,b m ), (5.11) λ = λ(t, σ 1,σ 2, 2,..., n,b 2,...,b m ), σ = σ(t, σ 1,σ 2, 2,..., n,b 2,...,b m ). Úplný diferenciál funkce σ dostneme n jednu strnu diferencováním poslední rovnice, tedy 1 Zde ve formě integrčních dělitelů. dσ = σ σ dt + dσ 1 + σ dσ 2 + t σ 1 σ 2 n i=2 σ i d i + m j=2 σ b j db j, (5.12) 5 62

7 Entropie termodynmická teplot Michl Vrdy Obrázek 5.2: Schém systému složeného ze dvou podsystémů pro odvození existence entropie. n druhou strnu doszením vzthů pro jednotlivá tepl vyjádřených z (5.8) do rovnice (5.7) Srovnáním posledních dvou rovnic okmžitě vidíme, že σ σ 1 = λ 1 λ, dσ = λ 1 λ dσ 1 + λ 2 λ dσ 2. (5.13) σ σ 2 = λ 2 λ, (5.14) že osttní koeficienty (prciální derivce) v rovnici (5.12) stojící u dt, d i db j jsou rovny nule. Proto tké musí být všechny smíšené druhé derivce funkce σ rovny nule 2. Pro smíšené druhé derivce σ tedy dostáváme (bereme pouze ty členy, jejichž první derivce jsou nenulové) t σ σ 1 σ i σ 1 σ b j σ 1 = t λ1 λ = λ1 i λ = λ1 b j λ =0, =0, =0, t σ σ 2 σ i σ 2 σ b j σ 2 = t λ2 λ = λ2 i λ = λ2 b j λ =0, =0, =0, (5.15) pro i =2,...,n j =2,...,m. Vzhledem k prvním dvěm rovnicím je jsné, že má-li λ 1, λ 2 λ záviset n t musí být všechny integrční fktory stejnou funkcí t npříkld λ 1 = ϕ(t) f 1 (σ 1, 2,..., n ), λ 2 = ϕ(t) f 2 (σ 2,b 2,...,b m ), (5.16) λ = ϕ(t) f(σ 1,σ 2, 2,..., n,b 2,...,b m ), jink by se uvedené derivce nemohly rovnt nule. Z dlších dvou rovnic je ptrné, že vzhledem k tomu, ž e λ 2 není funkcí i tké λ tké nemůže být funcí i stejně tk λ 1 nemůže být funcí i. Z posledních dvou rovnic plyne totéž pro prmetry b j. Závislost integrčních fktorů n vnějších prmetrech se nám tedy dále zjednodušil λ 1 = ϕ(t) f 1 (σ 1 ), λ 2 = ϕ(t) f 2 (σ 2 ), (5.17) λ = ϕ(t) f(σ 1,σ 2 ). 2 Jde o důsledek podmínky nutné postčující pro to, by form dσ byl úplným diferenciálem. o le víme, že je. 5 63

8 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie Obrázek 5.3: Schém systému složeného ze tří podsystémů. K důkzu λ = ϕ(t). Funkce f 1 (σ 1 ), f 2 (σ 2 ) mohou být libovolné přitom λ 1, λ 2 stále zůstávjí integrujícími děliteli dné formy, viz poznámk 1 pod črou v článku yto funkce lze tedy položit rovny jedné dostáváme tk důležitý výsledek, že integrující dělitel pro tepl jednotlivých podsystémů je pouze funkcí empirické teploty t λ 1 = λ 2 = ϕ(t). (5.18) Lze sndno ukázt, že tké λ = ϕ(t). Vezměme systém, který se skládá ze tří podsystémů, které oznčíme čísly 1, 2 3 (viz obr. 5.3, které jsou v termodynmické rovnováze. Ve shodě s již dokázným viz rovnice (5.18) dostáváme pro kždý pár systémů λ 1 = λ 2 = ϕ(t), λ 2 = λ 3 = ϕ(t), λ = λ 3 = ϕ(t), (5.19) kde λ odpovídá spojeným systémům 1 2. Dokázli jsme tk, že λ = λ 1 = λ 2 = ϕ(t). Funkce S 1 S 2 definovné ds 1 = δq 1 ϕ(t), ds 2 = δq ϕ(t), (5.20) se nzývjí entropiemi prvního druhého podsystému. Vezmeme-li v úvhu rovnici (5.7) dostneme δq ϕ(t) = δq 1 ϕ(t) + δq 2 ϕ(t) = ds 1 + ds 2 = d(s 1 + S 2 )= ds, (5.21) kde S = S 1 + S 2 je entropie celého systému. Entropie je tedy ditivní, neboli extenzivní veličinou. Shrňme hlvní výsledky, které jsme získli v tomto článku: 1. Podřilo se nám dokázt, že mezi integrujícími děliteli pro δq existuje tkový, který je funkcí pouze empirické teploty λ = ϕ(t) je stejný pro libovolné systémy v termodynmické rovnováze. 2. Prokázli jsme existenci nové stvové funkce entropie. 3. Dokázli jsme, že entropie je ditivní ptří tedy k extenzivním termodynmickým veličinám. 5 64

9 Entropie termodynmická teplot Michl Vrdy ermodynmická teplot Při odvození existence entropie jsme ztím jko jeden z prmetrů systémů používli empirickou teplotu t. Určení empirické teploty systému se npříkld u kplinových teploměrů převádí n měření teplotně závislého objemu teploměrné kpliny v kpiláře teploměru. Z termiky víme, že hodnot empirické teploty dného systému, měřená kplinovými teploměry s různými teploměrnými kplinmi, se kromě dvou klibrčních bodů 0 C100 C bude lišit. Dochází k tomu díky různým teplotním závislostem koeficientů izobrické teplotní roztžnosti pro různé kpliny. to skutečnost je smozřejmě fyzikálně velmi neuspokojivá. Zvedení termodynmické (bsolutní) teploty Pomocí II. termodynmického zákon lze tuto svízel vyřešit definováním bsolutní termodynmické teploty (krátce termodynmické teploty), která nezávisí n vlstnostech teploměrných látek v teploměrech. Vzhledem k tomu, že integrční dělitel pro teplo je funkcí pouze teploty je možné celou tuto funkci vzít z míru teploty systému = ϕ(t). (5.22) Njděme nyní vzth mezi termodynmickou empirickou teplotou určenou n zákldě nějké libovolné teploměrné veličiny. Vezmeme jednoduchý systém, jehož stv je dán jedním vnějším prmetrem bsolutní teplotou = (t), která je funkcí empirické teploty změřené n zákldě libovolné teploměrné veličiny 3. Vyjdeme z prvního δq = du + A d (5.23) druhého termodynmického zákon ds = δq. (5.24) Rozepsáním diferenciálu vnitřní energie v prvním termodynmickém zákonu jeho vydělením bsolutní teplotou dostneme diferenciál entropie ds = δq = d + + A d, (5.25) tedy Pfffovu formu, která je úplným diferenciálem nutně musí splňovt podmínky pro úplný diferenciál, tedy 1 = 1 + A. (5.26) Provedením derivcí dostáváme A = + A. (5.27) 3 Převodní funkci mezi empirickou termodynmickou teplotou (zároveň integrční fktor pro teplo) = ϕ(t) pro přehlednost dále nhrdíme symbolem = (t). Smozřejmě pltí (t) =ϕ(t). 5 65

10 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie Nyní vezmeme termodynmickou teplotu jko funkci empirické, tedy = (t), d = d dt dt, provedeme substituci do předchozího vzthu. Dostneme (t) A t dt d = + A. (5.28) t Z této rovnice dostneme diferenciální rovnici pro vzth mezi termodynmickou empirickou t teplotou A d (t) = t t + A dt, (5.29) přičemž prciální derivci vnitřní energie podle vnějšího prmetu, lze brát při konstntních jk tk i t, protože obě teploty jsou svázány jednoznčnou funkcí je li tedy konstntní jedn bude i druhá. Získnou rovnici lze bez potíží integrovt ln 0 = t t 0 A t t + A dt = I (5.30) dostneme výsledný vzth kde bsolutní teploty 0 odpovídjí empirickým teplotám t t 0. = 0 e I, (5.31) Z tvru funkční závislosti pro bsolutní termodynmickou teplotu (5.31) okmžitě vyplývá, že teplot nemůže změnit znménko musí tedy být pouze kldná nebo záporná podle volby znménk prmetru 0. Dokázt, že teplot je kldná nebo záporná není možné je potřeb doplnit určení znménk teploty dlší podmínkou, že přijímá-li těleso teplo při konstntních vnějších prmetrech, jeho teplot roste tedy, že tepelná kpcit C = > 0, (5.32) t je vždy kldná. ím jsme vyloučili možnost existence záporných teplot. Vzth mezi empirickou bsolutní termodynmickou teplotou Vezměme nyní rovnici (5.31) pro bsolutní termodynmickou teplotu 1 odečtěme od ní 0. Dostneme kde 1 0 = 0 ( e I 1 1), (5.33) I 1 = t 1 A t t t 0 Dělíme-li nyní vzth (5.31) rovnicí (5.33) dostneme + A dt. (5.34) e I = 1 0 ( e I (5.35) 1 1) 5 66

11 Entropie termodynmická teplot Michl Vrdy po úprvě e I =( 1 0 ) ( e I. (5.36) 1 1) Vezmeme-li tedy empirickou bsolutní teplotní stupnici tk, že t 1 t 0 = 100 C zároveň 1 0 = 100 K dostneme e I = 100 ( e I. (5.37) 1 1) ento vzth umožňuje určit bsolutní termodynmickou teplotu podle dné empirické teploty t určené pomocí libovolné teploměrné veličiny. Jednoznčnost termodynmické teploty Nyní ukážeme, že bsolutní termodynmická teplot je jednoznčná nezávisí n výběru druhu teploměru nebo teploměrné látky. Mějme nějkou soustvu v termodynmické rovnováze změřme její teplotu pomocí dvou různých teploměrů (třeb rtut ový plynový). Obecně tk získáme dvě různé empirické teploty t τ mezi nimiž předpokládáme jednoznčný vzth t = t(τ). ermodynmickou teplotu definovnou pomocí empirické teploty t oznčíme termodynmickou teplotu definovnou pomocí empirické teploty τ oznčíme. Je-li termodynmická teplot jednoznčná závisí pouze n stvu systému ne n teploměru musí pltit =. (5.38) Nším cílem je dokázt pltnost tohoto tvrzení. Předpokládejme, že rozdíl bsolutních termodynmických teplot mezi dvěm klibrčními body obou termodynmických teplot bude stejný, tkže 1 0 = 1 0 = 100. (5.39) ermodynmické teploty jsou pro obě empirické dány rovnicemi (5.37) e I = 100 ( e I, (5.40) 1 1) e Iτ = 100 ( e I. (5.41) 1τ 1) Pltí-li tedy I = I τ I 1 = I 1τ jsou tké obě termodynmické teploty stejné. Abychom to dokázli npíšeme vzthy pro integrály I τ I 1τ, provedeme substituci τ = τ(t), tkže dτ = dτ dt dt přepočítáme meze integrálů I τ = I 1τ = τ A τ τ 0 τ 1 A τ τ 0 τ + A dτ = τ + A dτ = t A t t 0 t 1 A t t 0 dt dτ t + A dt dτ t + A dτ t dt = dt t 0 dτ t 1 dt = dt t 0 A t t A t + A dt = I, t + A dt = I

12 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie Dokázli jsme tk, že = (5.42) tkže bsolutní termodynmická teplot nezávisí výběru teploměru teploměrné látky veličny, le výhrdně n stvu termodynmické soustvy. Odvození vzthu mezi t dnou plynovým teploměrem Vezměme z teploměrnou látku ideální plyn teploměrnou veličinu tlk P ideálního plynu při V = konst. lk ideálního plynu při konstntním objemu souvisí s empirickou teplotou t vzthem P (t) =P 0 (1 + γt), kde γ = 1 273, 15. (5.43) Podle termodynmické definice ideálního plynu je =0 (5.44) V t integrál I lze spočíst jednoduchou substitucí I = t P t V t V t + P dt = γp t 0 P 0 0 t 0 Stejně pro I 1 (horní mez předchozího integrálu je nyní rovn t 1 ) máme Dosdíme-li hodnoty integrálů I I 1 do (5.37) dostneme 1 1+γt dt =ln. (5.45) (1 + γt) 1+γt 0 I 1 =ln 1+γt 1 1+γt 0. (5.46) = γt γ(t 1 t 0 ). (5.47) Pro rozdíl teplot t 1 t 0 = 100 C dostneme notoricky známý vzth termodynmickou bsolutní teplotou empirickou Celsiovou teplotou = 1 + t = 273, 15 + t. (5.48) γ Definice vlstnosti entropie shrnutí V předešlém článku jsme dokázli, že integrujícím fktorem pro teplo předné při vrtných (kvzisttických) dějích je funkce µ =1/, kde jsme definovli jko termodynmickou bsolutní teplotu. 5 68

13 Entropie termodynmická teplot Michl Vrdy Vynásobením Pfffovy formy pro teplo touto funkcí obdržíme úplný diferenciál nové stvové funkce entropie: tedy pro teplo při vrtných dějích pltí ds (vr) d Q, (5.49) d Q (vr) = ds. (5.50) Integrcí vzthu (5.80) dostneme výrz pro entropii systému, kde konstnt S 0 může mít význm npříkld entropie systému při teplotě 0 K d Q S = (vr) + S 0. (5.51) Hodnotu konstnty S 0 nelze metodmi termodynmiky určit, nicméně v termodynmice se budeme stejně spíše než konkrétními hodnotmi entropie systémů v dném stvu zjímt o její změnu při nějkém vrtném termodynmickém ději. Pro změnu entropie S pltí S = (vr) (2) (1) d Q = S 2 S 1, (5.52) kde symbol (vr) před integrálem vyjdřuje, že cest po níž integrujeme může sice být nprosto libovolná 4, le vždy vrtná. Důsledkem je nutná podmínk pro zvedení entropie tedy, že libovolné dv stvy lze vždy spojit lespoň jednou vrtnou cestou. Dosdíme-li rovnici pro teplo (5.50) do I. termodynmického zákon dostneme zákldní rovnici termodynmiky pro vrtné (kvzisttické děje) ds = du + i A i d i. (5.53) Pro změnu entropie při libovolném vrtném ději pk z této rovnice dostneme S 2 S 1 = (2) (1) 1 du + i A i d i, (5.54) přičemž pro doszení potřebujeme znát jk klorickou tk termickou stvovou rovnici. Vlstnosti entropie Z rovnice (5.21) vyplývá, že entropie je extenzivní veličin. o znmená, že máme-li dv oddělené systémy se stejným druhem nvzájem nerozlišitelnýc částic v termodynmické rovnováze s jednotlivými 4 Viz vět o křivkovém integrálu II. druhu (článek 2.4). 5 69

14 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie entropiemi S 1 S 2 spojíme je, do jednoho systému, jeho výsledná entropie bude éto vlstnosti se ké někdy říká ditivnost entropie. S = S 1 + S 2. (5.55) Zmysleme se nyní při kterém termodynmickém ději se entropie nemění, tedy ds =0. Z rovnice (5.80) vyplývá že tímto dějem je vrtný dibtický děj, tedy tzv. izentropický děj Entropie ideálního plynu Vyjdeme z I. termodynmického zákon d Q = du + d W (5.56) do něhož dosdíme z diferenciál vnitřní energie známý výrz plynoucí z I. termodynmického postulátu z práci plynu p dv. Podělením I. termodynmického zákon teplotou dostneme ds = d Q = 1 d P dv. (5.57) V V Vzhledem k tomu, že C V = V (5.58) že podle termodynmické definice ideálního plynu je V 0 (5.59) dostáváme s využitím termické stvové rovnice ideálního plynu P = Rn/V Integrcí tohoto vzthu dostneme ds = C V d + p dv = C V d + Rn V dv. (5.60) S = c Vm n ln + Rn ln V + S 0. (5.61) Zbývá ještě ověřit, zd je námi odvozená entropie ideálního plynu extenzivní veličinou, tedy zd je ditivní. Gibbsův prdox Vezměme dv identické systémy v DR (viz obr. 5.4) s entropiemi S 1 = c Vm n ln + Rn ln V + S 0. (5.62) 5 70

15 Entropie termodynmická teplot Michl Vrdy Obrázek 5.4: Ilustrce ke Gibbsovu prdoxu. Spojením obou systémů vznikne systém nový, který vzhedem k ditivnosti entropie musí mít entropii S rovnu součtu obou entropií, tedy S =2S 1 =2c Vm n ln +2Rn ln V +2S 0. (5.63) Je tomu skutečně tk? Spojený systém má dvojnásobný počet částic dvojnásobný objem ve srovnání s původním systémem. Jeho entropie tedy podle vzthu (5.61) musí být liší se tedy od entropie S =2S 1 o fktor S =2c Vm n ln +2Rn ln 2V + S 0. (5.64) S 2S 1 =2Rn(ln 2V ln V )+S 0 2S 0 =2Rn ln 2. (5.65) Aby byl entropie ditivní je nutno modifikovt rovnici (5.61) tkto S = c Vm n ln + Rn ln V n + S 0. (5.66) Vzth mezi klorickými termickými stvovými rovnicemi Vyjd eme z I. termodynmického zákon pro vrtné procesy, který pro jeho větší obecnost zpíšeme pomocí zobecněné síly A souřdnice ds = du + A d. (5.67) S využitím II. postulátu termodynmiky vyjádříme diferenciál vnitřní energie dosdíme do rovnice pro diferenciál entropie ds = 1 d A d. (5.68) Protože ds je úplným diferenciálem (entropie je stvovou funkcí), musí podle podmínky nutné postčující pro úplný diferenciál pltit 1 = 1 + A. (5.69) 5 71

16 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie Provedeme-li derivce n obou strnách rovnice dostneme n levé strně rovnice 1 = 1 2 U, (5.70) n prvé strně rovnice 1 + A = A U + A. (5.71) Porovnáním obou výsledků, s využitím prvidl o záměnnosti pořdí derivování smíšených derivcí II. řádu dostneme výsledný vzth, který se pro svou mimořádnou důležitost někdy oznčuje jko rovnice 90% termodynmiky 5 = A A. (5.72) to rovnice hrje v termodynmice klíčovou roli, protože umožňuje z termických stvových rovnic systémů odvodit rovnice klorické zjednodušit tk řdu termodynmických vzthů, pro jejichž použití bychom jink potřebovli znát jk termickou tk i klorickou stvovou rovnici dného systému. Některé příkldy použití rovnice 90% termodynmiky 1. Odvození klorické stvové rovnice z termické: Podle II. postulátu termodynmiky pltí tedy du = d + U = U(, ), (5.73) d = C d + d. (5.74) Dosdíme-li do druhého členu této rovnice rovnici 90% termodynmiky obdržíme prostou integrcí hlednou klorickou stvovou rovnici systému U = C d + d = C d + A A d + U 0, (5.75) kde U 0 je konstnt. Vidíme tedy, že pro odvození klorické stvové rovnice systému stčí znát pouze termickou stvovou rovnici systému. 2. Výpočet C A C pouze z termické stvové rovnice: V článku jsme odvodili vzth pro C A C, který lze opět s využitím rovnice 90% termodynmiky sndno uprvit tk, že k urcění rozdílu tepených kpcit konkrétního systému stčí opět znát pouze termickou stvovou rovnici dného systému: C A C = + A A = A A 5 oto neformální pojmenování odvozeného vzthu souvisí s jeho fundmentální rolí v termodynmice.. (5.76) 5 72

17 Mtemtické formulce II. termodynmického zákon shrnutí Michl Vrdy 3. Výpočet entropie systému pouze z termické stvové rovnice: Při výpočtu entropie systému vyjdeme ze spojeného vzthu pro I. II. termodynmický zákon km opět dosdíme rovnici 90% termodynmiky ds = 1 4. Vzth pro ( C /) : tkže C = d + 1 = C = + A d = C d + A A = 2 A 2 A d. (5.77) 2 A 2, (5.78). (5.79) 5.3 Mtemtické formulce II. termodynmického zákon shrnutí Vzhledem k důležitosti náročnosti probírného témtu uvedeme i z cenu opkování ješte jednou mtemtické formulce II. termodynmického zákon pro vrtné děje nově odvodíme uvedeme několik ekvivlentních mtemtických formulcí II. termodynmického zákon pro nevrtné děje II. termodynmický zákon pro rovnovážné děje II. termodynmický zákon pro vrtnéné děje lze vyjádřit vzthem ds (vr) d Q, (5.80) který vyjdřuje, že entropie při vrtných dějích je stvovou funkcí systému. Ekvivlentním vzthem je d Q (vr) = ds. (5.81) Dosdíme-li tuto rovnici pro teplo do I. termodynmického zákon dostneme rovnici, která spojuje I. II. termodynmický zákon tzv. zákldní rovnici termodynmiky pro vrtné (kvzisttické děje) ds = du + i A i d i. (5.82) Z rovnice (5.80) vyplývá, že vezmeme li libovolný vrtný kruhový děj po ukončení celého cyklu je změn entropie (stejně jko změn vnitřní energie) systému nulová. Proto křivkový integrál po uzvřené křivce odpovídjící libovolnému vrtnému ději je nulový, tedy d Q (vr) =0. (5.83) 5 73

18 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie Obrázek 5.5: Ilustrce k odvození II. termodynmického zákon pro nevrtné děje. ento vzth se nzývá Clusiov rovnost, tké I. Clusiov vět čsto se uvádí jko mtemtické vyjádření II. termodynmického zákon pro vrtné děje. Z věty o křivkovém integrálu II. druhu (článek 2.4) všk víme, že vzthy (5.80), (5.81) (5.83) jsou ekvivlentní lze je tedy všechny povžovt z mtemtické vyjádření II. termodynmického zákon pro rovnovážné děje II. termodynmický zákon pro nerovnovážné děje Nyní odvodíme II. termodynmický zákon pro nevrtné děje. Vezmeme nějký termodynmický systém v termodynmické rovnováze provedeme s ním následující dvojici dějů. Nejprve necháme systém přejít nevrtně z stvu (1) do nějkého infinitezimálně blízkého stvu (2) pk s tímtéž systémem přejdeme po nějké vrtné cestě opět ze stvu stvu (1) do stvu (2) (viz obr. 5.5). Předpokládejme, že při obou dějích systém přijme kldné teplo vykoná kldnou mechnickou práci. Zároveň při obou dějích musí být splněn zákon zchování energie. Pro první nevrtný děj máme pro druhý vrtný děj d Q nv = du + d W nv (5.84) d Q = du + d W. (5.85) Protože změn vnitřní energie je v obou přípdech stejná (jde o stvovou funkci záviskou pouze n stvech (1) (2)), odečtením obou rovnic dostneme d Q nv d Q = d W nv d W. (5.86) to rovnice popisuje kruhový děj s první nevrtnou větví ze stvu 1 2, kdy ve shodě s předešlým textem systém přijímá kldné nevrtné teplo koná kldnou nevrtnou mechnickou práci. Kruhový děj se ukončí vrtným dějem, kdy se systém vrcí ze stvu 2 1 předá přitom do okolí vrtné teplo vrtnou práci. Nyní budeme zkoumt, jké má tto rovnice znménko, tedy zd je rovn nule, je kldná nebo záporná. 1. Předpokládejme nejprve, že vzth (5.86) je roven nule, tedy d W nv d W =0. Pk ovšem tké d Q nv d Q =0. o by všk znmenlo, že nevrtný proces 1 2 lze obrátit projít jej zpět 5 74

19 Mtemtické formulce II. termodynmického zákon shrnutí Michl Vrdy vrtnou cestou bez jkýchkoli změn n okolních tělěsech, tedy n zpáteční cestě by systém vrátil do okolí teplo d Q = d Q nv vykonl práci n okolí d W = dw nv. 2. Kdyby byl vzth (5.86) větší než nul znmenlo by to, že část z rozdílu prcí d W = d W nv d W > 0 by během cyklu byl vykonán pouze n úkor části kldného rozdílu tepel d Q = d Q nv d Q >0 což je ve sporu s II. termodynmickým zákonem, tedy systém by přijl kldné teplo vykonl ekvivlentní práci bez jkýchkoli změn n okolních tělesech. 3. Dokázli jsme tedy, že vzth (5.86) musí být menší než nul, tedy pltí d Q nv d Q = d W nv d W <0. (5.87) Z výše uvedeného rozboru vyplývjí důležité relce pro tepl práce při vrtných nevrtných dějích mezi dvěm pevně dnými stvy II. termodynmický zákon pro nevrtné děje lze tedy vyjádřit nerovnicí δq > δq nv, (5.88) δq > δq nv. (5.89) ds >δq nv, (5.90) kde n levé strně vystupuje teplo, které by si systém vyměnil při přechodu mezi dvěm pevně dnými stvy s okolím v přípdě, že by tepelná výměn probíhl kvzistticky. N prvé strně je teplo, které by si systém vyměnil s okolím, kdyby mezi mezi oběm výše zmíněmnými stvy přešel po libovolné nevrtné cestě. Spojením I. (doszením ZZE z nevrtné teplo) II. termodynmického zákon dostneme zákldní rovnici termodynmiky pro nevrtné procesy ds >du + i A i d i. (5.91) Ze vzthu (5.90) okmžitě dostáváme nerovnici změnu entropie systému při libovolném nevrtném ději tedy pro entropii po integrci ds > d Q nv S = S 2 S 1 > (2) (1), (5.92) d Q nv. (5.93) ento vzth má očividný důsledek. Uskutečníme-li se systémem kruhový děj, je změn entropie po uzvření cyklu S =0(jde o stvovou veličinu srovnej s vnitřní energií). Dostáváme tk tzv. Clusiovu nerovnost, neboli II. Clusiovu větu d Q (nv) < 0, (5.94) která se rovněž čsto uvádí jko mtemtické vyjádření II. termodynmického zákon pro nevrtné (nerovnovážné) děje. Lze tedy shrnout, že z mtemtické vyjádření II. termodynmického zákon můžeme povžovt kterýkoli ze vzthů (5.90), (5.92) (5.93). Opět pltí, že všechny tyto vzthy jsou podle věty o křivkovém integrálu II. druhu (článek 2.4) zcel ekvivlentní. 5 75

20 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie Princip růstu entropie Rovnice (5.93) má ještě jeden zásdní důsledek. Použijeme-li ji pro izolovný systém, kdy si systém nemůže vyměňovt teplo s okolím, tkže d Q nv (stčí dibtická izolce) dostneme ds >0, S 2 S 1 > 0. (5.95) Vezmeme-li v úvhu ještě vrtné děje je nutno modifikovt relční znménko > n dostneme tkzvný princip růstu entropie: V izolovných soustvách entropie nikdy neklesá, tedy S = S 2 S 1 0. (5.96) Probíhjí-li tedy v izolovné soustvě libovolné, le vrtné děje, celková entropie soustvy zůstává konstntní, probíhá-li tm lespoň jeden nevrtný děj, výsledná entropie soustvy s čsem nevyhnutelně roste. ento výrok je dlším vyjádřením II. termodynmického zákon má hluboký fyzikální filozofický smysl protože určuje směr plynutí čsu, tkzvnou šipku čsu. Princip růstu entropie vyjdřuje II. termodynmický zákon jk pro vrtné tk i pro nevrtné děje. Spolu s ním je možno vyjádřit II. termodynmický zákon zcel obecně jk pro vrtné tk i nevrtné děje těmito ekvivlentními vzthy ds δq, (5.97) S = S 2 S 1 spojení I. druhého termodynmického zákon (2) (1) d Q, (5.98) d Q 0, (5.99) ds >du + i A i d i. (5.100) 5.4 Přeměn tepl v mechnickou práci Kruhové děje Pro konverzi tepl v práci hrjí klíčovou roli kruhové děje. Kruhové děje jsou děje, kdy se systém po ukončení jednoho cyklu vrátí do původního stvu. V článku 4.1 jsme ukázli, že pro práci vykonnou po 5 76

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

Regulace f v propojených soustavách

Regulace f v propojených soustavách Regulce f v propojených soustvách Zopkování principu primární sekundární regulce f v izolovné soustvě si ukážeme obr.,kde je znázorněn S Slovenské Republiky. Modře jsou vyznčeny bloky, které jsou zřzeny

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013,

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, EVROPSKÁ KOMISE V Bruselu dne 30.4.2013 C(2013) 2420 finl NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, kterým se mění nřízení (ES) č. 809/2004, pokud jde o poždvky n zveřejňování

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

Virtuální svět genetiky 1

Virtuální svět genetiky 1 Chromozomy obshují mnoho genů pokud nejsou rozděleny crossing-overem, pk lely přítomné n mnoh lokusech kždého homologního chromozomu segregují jko jednotk během gmetogeneze. Rekombinntní gmety jsou důsledkem

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ Brnislv Lcko VUT v Brně, Fkult strojního inženýrství, Ústv utomtizce informtiky, Technická 2, 616 69 Brno, lcko@ui.fme.vutbr.cz Abstrkt Příspěvek podává

Více

Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík

Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík Zákldy vyšší mtemtiky(nejen) pro rboristy Robert Mřík 2.září2014 Ústv mtemtiky lesnická dřevřská fkult Mendelov univerzit v Brně E-mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik Podpořeno projektem

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí.

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí. 10. Nebezpečné dotykové npětí zásdy volby ochrn proti němu, ochrn živých částí. Z hledisk ochrny před nebezpečným npětím rozeznáváme živé neživé části elektrického zřízení. Živá část je pod npětím i v

Více

teorie elektronických obvodů Jiří Petržela zpětná vazba, stabilita a oscilace

teorie elektronických obvodů Jiří Petržela zpětná vazba, stabilita a oscilace Jiří Petržel zpětná vzb, stbilit oscilce zpětná vzb, stbilit oscilce zpětnou vzbou (ZV) přivádíme záměrněčást výstupního signálu zpět n vstup ZV zásdně ovlivňuje prkticky všechny vlstnosti dného zpojení

Více

Stabilita atomového jádra. Radioaktivita

Stabilita atomového jádra. Radioaktivita Stbilit tomového jádr Rdioktivit Proton Kldný náboj.67 0-7 kg Stbilní Atomové jádro Protony & Neutrony Neutron Bez náboje.67 0-7 kg Dlouhodobě stbilní jen v jádře Struktur jádr A Z N A nukleonové číslo

Více

Ideální plyn. Stavová rovnice Děje v ideálním plynu Práce plynu, Kruhový děj, Tepelné motory

Ideální plyn. Stavová rovnice Děje v ideálním plynu Práce plynu, Kruhový děj, Tepelné motory Struktura a vlastnosti plynů Ideální plyn Vlastnosti ideálního plynu: Ideální plyn Stavová rovnice Děje v ideálním plynu Práce plynu, Kruhový děj, epelné motory rozměry molekul jsou ve srovnání se střední

Více

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a Stnovení disociční konstnty cidobzického indikátoru Teorie: Slbé kyseliny nebo báze disociují ve vodných roztocích jen omezeně; kvntittivní mírou je hodnot disociční konstnty. Disociční rekci příslušející

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR ŘÍJEN 2014 MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Odbor řízení

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

PLYNNÉ LÁTKY. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Termika - 2. ročník

PLYNNÉ LÁTKY. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Termika - 2. ročník PLYNNÉ LÁTKY Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Termika - 2. ročník Ideální plyn Po molekulách ideálního plynu požadujeme: 1.Rozměry molekul ideálního plynu jsou ve srovnání se střední vzdáleností molekul

Více

1. Vznik zkratů. Základní pojmy.

1. Vznik zkratů. Základní pojmy. . znik zkrtů. ákldní pojmy. E k elektrizční soustv, zkrtový proud. krt: ptří do ktegorie příčných poruch, je prudká hvrijní změn v E, je nejrozšířenější poruchou v E, při zkrtu vznikjí přechodné jevy v

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

PŘEDSTAVENÍ APLIKACE SMARTSELLING

PŘEDSTAVENÍ APLIKACE SMARTSELLING PŘEDSTAVENÍ APLIKACE SMARTSELLING CO JE TO SMARTSELLING SmartSelling je první kompletní nástroj n[ českém [ slovenském trhu, který pod jednou střechou spojuje všechny nezbytné nástroje moderního online

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

ešení Teorie mezinárodního obchodu

ešení Teorie mezinárodního obchodu ešení Teorie mezinárodního obchodu Absolutní výhody P íkld 1 1) mecko má bsolutní výhodu ve výrob ut, nebo vyrobí jedno uto z 30 hodin, ztímco eská republik z 50 hodin. opk eská republik má bsolutní výhodu

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

2.1 Empirická teplota

2.1 Empirická teplota Přednáška 2 Teplota a její měření Termika zkoumá tepelné vlastnosti látek a soustav těles, jevy spojené s tepelnou výměnou, chování soustav při tepelné výměně, změny skupenství látek, atd. 2.1 Empirická

Více

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti Kpitol 5 Hilbertův prostor 5.1 Zákldní vlstnosti Historická poznámk 5.1.1. Prostor X se sklárním součinem je strukturou n lineárnímprostorus nejsilnějšími xiomy.jetonormovnýlineárníprostor,vněmžje norm

Více

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích Kpitol 1 Formální jzyky Cíle kpitoly: Po prostudování kpitoly máte plně rozumět pojmům jko(formální) beced, slovo, jzyk, operce n slovech jzycích; máte zvládt práci s těmito pojmy n prktických příkldech.

Více

Národní centrum výzkumu polárních oblastí

Národní centrum výzkumu polárních oblastí Národní centrum výzkumu polárních oblstí Dohod o spolupráci při výzkumu polárních oblstí Země Msrykov univerzit Žerotínovo nám. 9, 601 77 Brno, IČ 00216224, zstoupená rektorem Prof. PhDr. Petrem Filou,

Více

Monitorování zbytkové vlhkosti do -90 C td

Monitorování zbytkové vlhkosti do -90 C td Budoucnost zvzuje Monitorování zbytkové vlhkosti do -90 C td Nový senzor, odolný proti kondenzci s technologií sol-gel Nejvyšší poždvky n tlkový vzduch Monitorování zbytkové vlhkosti předchází poškození

Více

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli: se sídlem: Koterovská 633/29, 326 00 Plzeň, ustnovený prvomocným Usnesením č.j. KSPL 54 INS 378/2012-A-19 ze dne 29.3.2012, insolvenčním správcem dlužník:. prvomocným

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

S M L O U V A O S M L O U VĚ BUDOUCÍ. Níže uvedeného dne, měsíce a roku byla uzavřena mezi těmito smluvními stranami: obchodní společnost se sídlem:

S M L O U V A O S M L O U VĚ BUDOUCÍ. Níže uvedeného dne, měsíce a roku byla uzavřena mezi těmito smluvními stranami: obchodní společnost se sídlem: Níže uvedeného dne, měsíce roku byl uzvřen mezi těmito smluvními strnmi: obchodní společnost se sídlem: IČ: DIČ: zpsná zstoupen (dále jen jko budoucí strn prodávjící ) v obchodním rejstříku vedeném, oddíl,

Více

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli: KOPPA, v.o.s., se sídlem Mozrtov 679/21, 460 01 Liberec, ustnovená prvomocným Usnesením č.j. KSUL 44 INS 5060/2014-A-13, ze dne 04. dubn 2014, insolvenčním správcem

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Konvence Integrovaného dopravního systému Libereckého kraje (IDOL) Účastníci Konvence:

Konvence Integrovaného dopravního systému Libereckého kraje (IDOL) Účastníci Konvence: Konvence Integrovného doprvního systému Libereckého krje (IDOL) Účstníci Konvence: KORID LK, spol. s r.o. Liberecký krj Město Česká Líp Město Jblonec nd Nisou Sttutární město Liberec Město Turnov České

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Téma 4 Rovinný rám Základní vlastnosti rovinného rámu Jednoduchý otevřený rám Jednoduchý uzavřený rám

Téma 4 Rovinný rám Základní vlastnosti rovinného rámu Jednoduchý otevřený rám Jednoduchý uzavřený rám Sttik stvebních konstrukcí I.,.ročník bklářského studi Tém 4 Rovinný rám Zákldní vlstnosti rovinného rámu Jednoduchý otevřený rám Jednoduchý uzvřený rám Ktedr stvební mechniky Fkult stvební, VŠB - Technická

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ Sdělení Ministerstv zhrničníh věí č. 13/2005 S.m.s. Ministerstvo zhrničníh věí sděluje, že dne 20. říjn 2000 yl ve Florenii přijt Evropská úmluv o krjině. Jménem

Více

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school Technická univerzit v Liberci FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚHUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ Ktedr: Studijní progrm: Studijní obor: Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky N750 Učitelství pro zákldní školy Učitelství fyziky pro.

Více

Fyzikální učebna vybavená audiovizuální technikou, interaktivní tabule, fyzikální pomůcky

Fyzikální učebna vybavená audiovizuální technikou, interaktivní tabule, fyzikální pomůcky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Fyzika (FYZ) Molekulová fyzika, termika 2. ročník, sexta 2 hodiny týdně Fyzikální učebna vybavená audiovizuální technikou, interaktivní tabule, fyzikální pomůcky

Více

Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů

Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů energií (mechanické, tepelné, elektrické, magnetické, chemické a jaderné) při td. dějích. Na rozdíl od td. cyklických dějů

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Studijní materiál PASCAL

Studijní materiál PASCAL Obsh Studijní mteriál PASCAL /76 Obsh Obsh Algoritmus 5 Vlstnosti lgoritmu 5 Metod návrhu lgoritmu 5 3 Rekurzivní lgoritmy 5 4 Překldč jeho struktur 6 4 Druhy překldčů 6 4 Hlvní části překldče 6 Jzyk Pscl

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE. 123TVVM homogenizace (směšovací pravidla)

KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE. 123TVVM homogenizace (směšovací pravidla) KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE 23TVVM hoogenizce (sěšovcí prvidl) Hoogenizce Stvební teriály sou z hledisk zstoupení doinntních složek několikfázové systéy: Dvoufázové trice, vzduch (póry)

Více

Stavební firma. Díky nám si postavíte svůj svět. 1.D Klára Koldovská Šárka Baronová Lucie Pancová My Anh Bui

Stavební firma. Díky nám si postavíte svůj svět. 1.D Klára Koldovská Šárka Baronová Lucie Pancová My Anh Bui Stvební firm Díky nám si postvíte svůj svět. 1.D Klár Koldovská Šárk Bronová Lucie Pncová My Anh Bui Obsh 1) Úvod 2) Přesvědčení bnky 3) Obchodní jméno, chrkteristik zákzník, propgce 4) Seznm mjetku 5)

Více

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz Příručk k portálu Ktlog sociálních služeb v Ústeckém krji socilnisluzby.kr-ustecky.cz Uživtelská příručk k portálu socilnisluzby.kr-ustecky.cz 0 BrusTech s.r.o. Všechn práv vyhrzen. Žádná část této publikce

Více

SPS SPRÁVA NEMOVITOSTÍ

SPS SPRÁVA NEMOVITOSTÍ SMLOUVA O REZERVACI POZEMKU A SMLOUVA O BUDOUCÍ SMLOUVĚ O DÍLO Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli: 1. EURO DEVELOPMENT JESENICE, s.r.o., IČ 282 44 451, se sídlem Ječná 550/1, Prh 2, PSČ 120 00, zpsná

Více

Smlouva o ustájení a zajišťování veterinární péče pro toulavá a opuštěná zvířata odchycená na území města Česká Lípa

Smlouva o ustájení a zajišťování veterinární péče pro toulavá a opuštěná zvířata odchycená na území města Česká Lípa Smlouv o ustájení zjišťování veterinární péče pro toulvá opuštěná zvířt odchycená n území měst Česká Líp Smluvní strny Objedntel: Město Česká Líp, náměstí TGM 1,47001 Česká Líp Zstoupené : p. Jiřím Pzourkem,

Více

Termodynamika. T [K ]=t [ 0 C] 273,15 T [ K ]= t [ 0 C] termodynamická teplota: Stavy hmoty. jednotka: 1 K (kelvin) = 1/273,16 část termodynamické

Termodynamika. T [K ]=t [ 0 C] 273,15 T [ K ]= t [ 0 C] termodynamická teplota: Stavy hmoty. jednotka: 1 K (kelvin) = 1/273,16 část termodynamické Termodynamika termodynamická teplota: Stavy hmoty jednotka: 1 K (kelvin) = 1/273,16 část termodynamické teploty trojného bodu vody (273,16 K = 0,01 o C). 0 o C = 273,15 K T [K ]=t [ 0 C] 273,15 T [ K ]=

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Ke schválení technické způsobilosti vozidla je nutné doložit: Musí být doložen PROTOKOL O TECHNICKÉ KONTROLE? ANO NE 10)

Ke schválení technické způsobilosti vozidla je nutné doložit: Musí být doložen PROTOKOL O TECHNICKÉ KONTROLE? ANO NE 10) ÚTAV INIČNÍ A MĚTKÉ DPRAVY.s., Prh 4,Chodovec, Türkov 1001,PČ 149 00 člen skupiny DEKRA www.usmd.cz,/ Přehled zákldních vrint pltných pro dovoz jednotlivých vozidel dle zákon č.56/2001b. ve znění zákon

Více

DOTAZNÍK. (Stav k 31. březnu v 24 hodin) KRUH SČÍTANIA OBYVATELSTVÍ BYTŮ. Datum narozeni. ženatý/vdaná. vdovec/vdova. rozvedený/rozvedená

DOTAZNÍK. (Stav k 31. březnu v 24 hodin) KRUH SČÍTANIA OBYVATELSTVÍ BYTŮ. Datum narozeni. ženatý/vdaná. vdovec/vdova. rozvedený/rozvedená CHORVÁTSKA REPUBLIKA STÁTNÍ STATISTICKÝ ÚŘÁD DOTAZNÍK (Stv k 31. březnu v 4 hodin) Formulář P-1 Všechny údje v tomto formuláři jsou úředním tjemstvím budou použité jenom n sttistické účely. 1. Příjmení

Více

visual identity guidelines Česká verze

visual identity guidelines Česká verze visul identity guidelines Česká verze Osh 01 Filosofie stylu 02 Logo 03 Firemní rvy 04 Firemní písmo 05 Vrice log 06 Komince rev Filosofie stylu Filozofie společnosti Sun Mrketing vychází ze síly Slunce,

Více

Smlouva o partnerství s finančním příspěvkem uzavřená podle 1746 odst. 2 zákona č. 89/2012 Sb., občanský zákoník

Smlouva o partnerství s finančním příspěvkem uzavřená podle 1746 odst. 2 zákona č. 89/2012 Sb., občanský zákoník Smlouv o prtnerství s finnčním příspěvkem uzvřená podle 1746 odst. 2 zákon č. 89/2012 Sb., občnský zákoník Článek I Smluvní strny PROFIMEDIA s.r.o. sídlo: tříd Spojenců 550/18, 74601 Opv - Předměstí zpsná

Více

Fyzikální kabinet GymKT Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy

Fyzikální kabinet GymKT Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy Fzikální kbinet GmKT Gmnázium J. Vrchlického, Kltov stženo z http:kbinet.zik.net Optické přístroje Subjektivní optické přístroje - vtvářejí zánlivý (neskutečný) obrz, který pozorujeme okem (subjektivně)

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

ELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA

ELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA ELEKTRICKÝ PROD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA 1 ELEKTRICKÝ PROD Jevem Elektrický proud nazveme usměrněný pohyb elektrických nábojů. Např.:- proud vodivostních elektronů v kovech - pohyb nabitých

Více

5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I

5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I 5.. Objemy orchy mnohostěnů I Předokldy: 51 Význm slo objem i orch je intuitině jsný. Mtemtická definice musí být oněkud řesnější. Okoání z lnimetrie: Obsh obrzce je kldné číslo, řiřzené obrzci tk, že

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I 3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost

Více

Protokol generálního shromáždění resp. Rady bezpečnosti. Rezoluce 1325 (2000) odsouhlasena na 4213. zasedání Rady bezpečnosti 31.

Protokol generálního shromáždění resp. Rady bezpečnosti. Rezoluce 1325 (2000) odsouhlasena na 4213. zasedání Rady bezpečnosti 31. Spojené národy /RES/1325 (2000) Protokol generálního shromáždění resp. Rdy bezpečnosti. Rd bezpečnosti k distribuci: všeobecně 31.říjn 2000 Rezoluce 1325 (2000) odsouhlsen n 4213. zsedání Rdy bezpečnosti

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Zákony ideálního plynu

Zákony ideálního plynu 5.2Zákony ideálního plynu 5.1.1 Ideální plyn 5.1.2 Avogadrův zákon 5.1.3 Normální podmínky 5.1.4 Boyleův-Mariottův zákon Izoterma 5.1.5 Gay-Lussacův zákon 5.1.6 Charlesův zákon 5.1.7 Poissonův zákon 5.1.8

Více

Rodné èíslo: Èíslo OP: Telefon:

Rodné èíslo: Èíslo OP: Telefon: Pøedávjící: Boøivojov 84 130 00, Prh 3 tel: +420 775 125 143, www.volnedodvky.cz Dále jen vlstník Pøebírjící è. 1 Dále jen nájemce 1 Smluvní strny sepsly dnešního dne tuto Výpùjèní smlouvu Pøedávjící prohlšuje,

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Odpověď. konkurenci domácnosti firmy stát a. makroekonomie mikroekonomie mezinárodní ekonomie. Co? Jak? Pro koho? Proč? d

Odpověď. konkurenci domácnosti firmy stát a. makroekonomie mikroekonomie mezinárodní ekonomie. Co? Jak? Pro koho? Proč? d Přijímcí řízení kdemický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek ekonomický přehled 1 Koš Znění otázky Odpověď Odpověď Odpověď Odpověď Správná ) ) c) d) odpověď 1. 1 Mezi ekonomické sujekty trhu

Více

1.1.15 Řešení příkladů na rovnoměrně zrychlený pohyb I

1.1.15 Řešení příkladů na rovnoměrně zrychlený pohyb I ..5 Řešení příkldů n ronoměrně zrychlený pohyb I Předpokldy: 4 Pedgogická poznámk: Cílem hodiny je, by se sudeni nučili smosně řeši příkldy. Aby dokázli njí zh, kerý umožňuje příkld yřeši, dokázli ze zhů

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

F-1 Fyzika hravě. (Anotace k sadě 20 materiálů) ROVNOVÁŽNÁ POLOHA ZAPOJENÍ REZISTORŮ JEDNODUCHÝ ELEKTRICKÝ OBVOD

F-1 Fyzika hravě. (Anotace k sadě 20 materiálů) ROVNOVÁŽNÁ POLOHA ZAPOJENÍ REZISTORŮ JEDNODUCHÝ ELEKTRICKÝ OBVOD F-1 Fyzika hravě ( k sadě 20 materiálů) Poř. 1. F-1_01 KLID a POHYB 2. F-1_02 ROVNOVÁŽNÁ POLOHA Prezentace obsahuje látku 1 vyučovací hodiny. materiál slouží k opakování látky na téma relativnost klidu

Více

Komuniké. předsedy Nejvyššího kontrolního úřadu Slovenské republiky. prezidenta Účetního dvora Slovinské republiky

Komuniké. předsedy Nejvyššího kontrolního úřadu Slovenské republiky. prezidenta Účetního dvora Slovinské republiky Komuniké předsedy Nejvyššího kontrolního úřdu Slovenské republiky prezident Účetního dvor Slovinské republiky prezident Nejvyššího kontrolního úřdu, Česká republik prezident rkouského Účetního dvor o výsledcích

Více

Přímá montáž SPŘAHOVÁNÍ OCELOBETONOVÝCH STROPŮ. Hilti. Splní nejvyšší nároky.

Přímá montáž SPŘAHOVÁNÍ OCELOBETONOVÝCH STROPŮ. Hilti. Splní nejvyšší nároky. SPŘAHOVÁNÍ OCELOBETONOVÝCH STROPŮ Hilti. Splní nejvyšší nároky. Spřhovcí prvky Technologie spřhovcích prvků spočívá v připevnění prvků přímo k pásnici ocelového nosníku, nebo připevnění k pásnici přes

Více

Dveřní a podlahové zavírače

Dveřní a podlahové zavírače Dveřní podlhové zvírče Dveřní zvírče, s.r.o., člen celosvětového zámkřského koncernu ASSA ABLOY AB, zujímá vedoucí postvení n českém trhu změřeném n bezpečnostní systémy, zámky ochrnu mjetku. Výrobky společnosti,

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

NAVRHOVÁNÍ BETONOVÝCH MOSTŮ PODLE EUROKÓDU 2 ČÁST 2 MOSTY Z PŘEDPJATÉHO BETONU

NAVRHOVÁNÍ BETONOVÝCH MOSTŮ PODLE EUROKÓDU 2 ČÁST 2 MOSTY Z PŘEDPJATÉHO BETONU POZVÁNKA A ZÁVAZNÁ PŘIHLÁŠKA DOPORUČENO PRO AUTORIZOVANÉ OSOBY SLEVY: AO ČKAIT 10 %, ČBS 20 %, AO+ČBS 30 % PŘI ÚČASTI NA 5. NEBO 6. BĚHU ŠKOLENÍ EC2-1 DALŠÍ SLEVA 5 % Ktedrou betonových zděných konstrukcí

Více

15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN. Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny

15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN. Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny 125 15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny Na rozdíl od pevných látek, které zachovávají při pohybu svůj tvar, setkáváme se v přírodě s látkami, které

Více

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky ..7 Příkldy řešené pomocí ět pro trojúhelníky Předpokldy:, 6 Pedgogická poznámk: U následujících příkldů ( u mnoh dlších příkldů z geometrie) pltí, že nedílnou součástí řešení je nápd (který se tké nemusí

Více

pro čajovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g a n i z a c e soutěže

pro čajovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g a n i z a c e soutěže H r í ř á d pro čjovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g n i z e soutěže I-1. Vymezení soutěže Soutěž je pořádán pro družstv složená z hráčů, kteří hrjí go pro zpestření svého volného čsu htějí změřit

Více

ZATÍŽENÍ KRUHOVÝCH ŠACHET PROSTOROVÝM ZEMNÍM TLAKEM

ZATÍŽENÍ KRUHOVÝCH ŠACHET PROSTOROVÝM ZEMNÍM TLAKEM ZATÍŽENÍ KRUHOVÝCH ŠACHET PROSTOROVÝM ZEMNÍM TLAKEM Ing. Michl Sedláček, Ph.D. ko-k s.r.o., Thákurov 7, Prh 6 Sptil erth pressure on circulr shft The pper present method for estimtion sptil erth pressure

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. 0301 Ing. Yvona Bečičková Tematická oblast

VÝUKOVÝ MATERIÁL. 0301 Ing. Yvona Bečičková Tematická oblast VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více