II. termodynamický zákon a entropie

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "II. termodynamický zákon a entropie"

Transkript

1 Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe is in disgreement with Mxwell s equtions then so much the worse for Mxwell s equtions. If it is found to be contrdicted by observtion well, these experimentlists do bungle things sometimes. But if your theory is found to be ginst the second lw of thermodynmics I cn give you no hope; there is nothing for it but to collpse in deepest humilition. Sir Arthur Stnley Eddington, (1915) 5.1 II. termodynmický zákon Úvodní úvhy I. termodynmický zákon omezuje všechny předstvitelné změny stvu systému jen n ty, při nichž pltí zákon zchování energie. V přírodě všk existuje všk celá řd dějů, při nichž by se energie zchovávl, le přesto se nepozorují. Z prxe víme, že děje v přírodě mjí tendenci probíht jen v jednom směru (nevrtně) k termodynmické rovnováze nikdy ne nopk. Vyjímku tvoří vrtné (kvzisttické) děje, které všk jk víme jsou jen určitou idelizcí velmi pomlu probíhjících (ve srovnání s relxčním čsem soustvy) dějů nevrtných. II. termodynmický zákon vnáší do termodynmiky novou informci o směru tepelné výměny, tedy že teplo smovolně přechází vždy od těles s vyšší teplotou n těleso s 5 57

2 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie nižší teplotou. Směr tepelné výměny je dán novou veličinou, která v I. termodynmickém zákonu vůbec nevystupuje teplotou. Podobně jko I. termodynmický zákon zvádí vnitřní energii, jkožto novou stvovou funkci, II. termodynmický zákon zvádí tké novou stvovou funkci entropii. Ztímco z I. termodynmického zákon vyplývá, že vnitřní energie je v izolovných systémech konstntní, z II. termodynmického zákon vyplývá, že entropie v izolovných systémech nemůže nikdy klest. Určení směru tepelné výměny má zásdní význm pro procesy při nichž se mění práce v teplo teplo v mechnickou práci. Z hledisk termodynmiky jsou dleko důležitější procesy druhé jmenovné, protože se vzthují k principům účinnostem strojů trnsformujících teplo n mechnickou práci, tedy k tk zvným tepelným motorům, které spolu s ledničkmi tepelnými čerpdly ptří k tzv. tepelným strojům. Jk jsme již uvedli, přeměn práce v teplo, tk i přeměn tepl v práci jsou možné prxi probíhjí. Jko příkld prvního procesu můžeme uvést všechny disiptivní procesy při nichž se mění npříkld kinetická energie těles v teplo, třeb v ložiscích nebo v brzdových kotoučích destičkách při brzdění utomobilu. Druhý proces probíhá npříkld v motoru utomobilu, kde se teplo vzniklé spálením pliv trnsformuje v mechnickou práci, která roztáčí klikový hřídel motoru tto rotční kinetická energie pk utomobil pohání. Položme si nyní tři zásdní otázky: 1. Je relizce obou výše uvedené procesů, tedy W Q Q W stejně sndná? 2. Lze přeměnit všechnu mechnickou práci, kterou vykonáme n tělese v teplo, tedy může pltit W = Q? 3. Lze přeměnit veškeré teplo, které dodáme nějkému tělesu v mechnickou práci, tedy může pltit Q = W? Odpověd n první otázku lze vyvodit ze skutečnosti, že ztímco teplo je veličin týkjícící se neuspořádného mikroskopického pohybu částic z nichž je dné těleso složeno, mechnická práce vykonná n tělese může vést k mkroskopickému pohybu celého těles nebo ke změně jeho pohybového stvu. Mikroskopicky to odpovídá společné změně vektorů rychlostí neuspořádného pohybu částic o konstntní hodnotu odpovídjící mkroskopické rychlosti celého těles. V tomto smyslu, práce předstvuje jkousi ušlechtilejší formu energie než teplo můžeme tedy dovodit, že přeměn npříkld kinetické energie těles, tedy energie uspořádného pohybu v chotický pohyb jeho částic (npříkld třením) bude zřejmě snzší než proces obrácený, tedy přeměn tepl jkožto energie neuspořádného pohybu mikroskopických částic v mechnickou práci, tedy v energii uspořádného pohybu mkroskopického těles či těles. Odpovědi n druhou třetí otázku lze dát n zákldě pozorování procesů konverze mezi oběm veličinmi v přírodě v technické prxi. Přípdem přeměny práce (npř. mechnické energie kinetické) v teplo, tedy proces W Q, je třeb disipce kinetické energie těles třením. ento proces většinou končí zstvením těles tedy stvem, kdy se veškerá jeho kinetická energie přemění v teplo, které zvýší vnitřní energii těles, mezi nimiž dochází ke tření přípdně okolí. Z toho vyplývá, že v přírodě existují smovolně probíhjí procesy, kdy se veškerá mechnická práce (kinetická energie těles) přemění v teplo. uto skutečnost můžeme schémticky zpst jko W = Q. (5.1) Rozeberme nyní opčný proces, přeměnu tepl v mechnickou práci Q W, tedy proces konverze 5 58

3 II. termodynmický zákon Michl Vrdy méně ušlechtilého druhu energie (energie neuspořádného pohybu částic) v ušlechtilejší energii uspořádného pohybu částic těles při jeho mkroskopickém pohybu. Z pozorování technické prxe vyplývá, že nelze veškerou energii neuspořádného pohybu částic (teplo) přeměnit v uspořádný pohyb částic těles při jeho mkroskopickém pohybu. to skutečnost je zásdní, je i hlvní myšlenkou II. termodynmického zákon. Můžeme ji vyjádřit zápisem Q >W, (5.2) který vyjdřuje, že mechnická práce vykonná tepelným strojem je vždy menší než teplo, které stroj přijl Některé formulce II. termodynmického zákon jejich rozbor Druhý termodynmický zákon lze vyjádřit velkým množstvím nvzájem ekvivlentních tvrzení. Uved me si některá z nich: Clusiův princip (1850) Neexistuje žádný cyklický proces, jehož jediným výsledkem by byl přenos tepl ze studenějšího těles n teplejší. Clusiův princip vyjdřuje skutečnost dobře známou z kždodenní prxe týkjící se směru toku tepl při smovolné tepelné výměně mezi tělesy. V Clusiově formulci je důležité neopomenout slovo smovolně, protože přenos tepl z chldnějšího těles n teplejší probíhjící npříkld v ledničkách tepelných čerpdlech II. termodynmický zákon nezkzuje, jen říká není smovolný - může probíht díky mechnické práci, kterou dnému tepelnému stroji dodáváme z venčí. Plnckův princip (1930) Je nemožné sestrojit tkový periodicky prcující stroj, který by trvle konl kldnou mechnickou práci pouze ochlzováním jednoho těles, niž by přitom docházelo ke změnám n osttních tělesech. Plnckův princip vyjdřuje objev Sdiho Crnot z roku 1824, že má-li tepelný motor kont nenulovou práci musí nutně prcovt mezi dvěm tepelnými lázněmi různé teploty, přičemž jedn lázeň funguje jko ohřívč druhá jko chldič. Není tedy bohužel možné sestrojit stroj, který by fungovl pouze tk, že by z jedné tepelné lázně (třeb z oceánu) odebírl teplo konl by tomuto teplu ekvivletní práci. kový stroj se nzývá perpetuum mobile II. druhu (viz obr. 5.1) II. termodynmický zákon vylučuje jeho existenci. 5 59

4 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie Ostwldův princip Není možné sestrojit perpetuum mobile II. druhu. to formulce je vpodsttě zkrácenou verzí Plnckov principu. Crthéodoryho princip (1909) V kždém libovolném okolí libovolně dného stvu termicky homogenního systému existují stvy nedosžitelné vrtnou dibtickou cestou. (Existují dibticky nedosžitelné stvy.) Crthéodoryho princip je opět ekvivletní všem osttním formulcím II. termodynmického zákon. Crtheodóryho princip je výchozím bodem pro mtemtické odvození existence entropie pro mtemtickou formulci II. termodynmického zákon. Princip růstu entropie Celková entropie jkéhokoli izolovného systému se může pouze zvyšovt blížit se své mximální hodnotě. Po dosžení mxim zůstává celková entropie systému konstntní. ento princip si dokážeme později po zvedení entropie pomocí mtemtické formulce II. termodynmického zákon. ento princip má ve fyzice ve filozofii výlučné postvení, protože určuje tzv. termodynmickou šipku čsu, tedy směr jkým se ubírá vývoj procesů v přírodě. 5.2 Entropie termodynmická teplot Důležitou stvovou funkcí v termodynmice je entropie. Při odvození existence entropie, které je vlstně určením integrčního fktoru pro teplo se vyjde z Crtheodóryho principu. en jinými slovy říká, že Pffov diferenciální form pro teplo, jkkoli je komplikovná je vždy holonomní, tedy že k ní vždy existuje integrční fktor. Připomeňme, že skutečnost, že diferenciální form pro teplo má integrční fktor znmená, že Pfffov rovnice + n i=1 i, j = i + A i d i =0 (5.3) obdržená z diferenciální formy pro teplo je po vynásobení integrčním fktorem integrovtelná její integrál je roven funkci kterou nzveme entropie systému. o znmená, že v prostoru prmetrů systému 5 60

5 Entropie termodynmická teplot Michl Vrdy Obrázek 5.1: Schémt tepelných strojů: ) perpetuum mobile II. druhu, jehož funkčnost je v rozporu s II. termodynmickým zákonem, b) funkční tepelný stroj fungující v souldu s II. termodynmickým zákonem. 1, 2,..., n, existují tzv. dibtické plochy z nichž se libovolným dibtickým dějem nemůžeme vzdálit. Odvození existence entropie není triviální probíhá tk, že se nejprve ukáže, že integrční fktor ve formě integrčního dělitele pro d Q je funkcí pouze empirické teploty, tedy nezávisí n osttních prmetrech systému 1, 2,..., n že tento integrční dělitel je lze povžovt z tzv. termodynmickou teplotu, což je teplot zcel nezávislá n způsobu jejího měření (srovnej se zvedením empirické teploty). Diferenciální form ds = d Q = n i=1 i, j = i + A i d i (5.4) je potom úplným diferenciálem. Pro vrtné děje tk dostáváme novou stvovou funkci definovnou ds (vr) d Q, (5.5) která se nzývá entropie. Vzhledem k tomu, že ds je úplným diferenciálem funkce S pltí pro libovolný vrtný kruhový děj (viz článek 2.4) (vr) d Q ds = (vr) =0. (5.6) to rovnice se nzývá I. Clusiov vět je mtemtickým vyjádřením II. termodynmického zákon pro vrtné procesy. 5 61

6 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie Existence entropie Nyní s pomocí mtemtického prátu z článku 2.3 ukážeme, že integrční fktor pro teplo je funkcí pouze empirické teploty t umožňuje definovt novou stvovou funkci entropii systému. Budeme přitom sledovt postup ze skvělé Bzrovovy knihy ermodynmik. Mějme systém, který se skládá ze dvou podsystémů (viz obr 5.2). Prmetry prvního podsystému oznčíme jko t, 1,..., n prmetry druhého podsystému jko t, b 1,...,b m. Celý systém je tedy popsán prmetry t, 1,..., n,b 1,...,b m. Necht nyní tento systém přijme během nějkého rovnovážného děje teplo δq, které se rozdělí mezi ob systémy tk, že první systém obdrží teplo δq 1 druhý δq 2. Smozřejmě pltí δq = δq 1 + δq 2. (5.7) Z Crtheodóryho principu víme, že Pfffov form pro teplo je z kždých okolností pro rovnovážné děje holonomní, že tedy pro kždé z tepel δq 1, δq 2 δq existuje integrční fktor tkový 1,že kde dσ 1 = δq 1 λ 1, dσ 2 = δq 2 λ 2, dσ = δq λ, (5.8) σ 1 = σ 1 (t, 1,..., n ), σ 2 = σ 2 (t, b 1,...,b m ), (5.9) σ = σ(t, 1,..., n,b 1,...,b m ), jsou stvové funkce prvního druhého podsystému celého systému vzniklé integrcí Pfffových forem pro odpovídjící tepl vydělená odpovídjícími integrčními děliteli λ 1 = λ 1 (t, 1,..., n ), λ 2 = λ 2 (t, b 1,...,b m ), (5.10) λ = λ(t, 1,..., n,b 1,...,b m ). Z první rovnice (5.9) lze vyjádřit proměnnou npříkld 1 = 1 (t, σ 1, 2,..., n ) z druhé b 1 = b 1 (t, σ 1,b 2,...,b m ). Integrční fktory poslední rovnice pro σ lze potom zpst tkto λ 1 = λ 1 (t, σ 1, 2,..., n ), λ 2 = λ 2 (t, σ 2,b 2,...,b m ), (5.11) λ = λ(t, σ 1,σ 2, 2,..., n,b 2,...,b m ), σ = σ(t, σ 1,σ 2, 2,..., n,b 2,...,b m ). Úplný diferenciál funkce σ dostneme n jednu strnu diferencováním poslední rovnice, tedy 1 Zde ve formě integrčních dělitelů. dσ = σ σ dt + dσ 1 + σ dσ 2 + t σ 1 σ 2 n i=2 σ i d i + m j=2 σ b j db j, (5.12) 5 62

7 Entropie termodynmická teplot Michl Vrdy Obrázek 5.2: Schém systému složeného ze dvou podsystémů pro odvození existence entropie. n druhou strnu doszením vzthů pro jednotlivá tepl vyjádřených z (5.8) do rovnice (5.7) Srovnáním posledních dvou rovnic okmžitě vidíme, že σ σ 1 = λ 1 λ, dσ = λ 1 λ dσ 1 + λ 2 λ dσ 2. (5.13) σ σ 2 = λ 2 λ, (5.14) že osttní koeficienty (prciální derivce) v rovnici (5.12) stojící u dt, d i db j jsou rovny nule. Proto tké musí být všechny smíšené druhé derivce funkce σ rovny nule 2. Pro smíšené druhé derivce σ tedy dostáváme (bereme pouze ty členy, jejichž první derivce jsou nenulové) t σ σ 1 σ i σ 1 σ b j σ 1 = t λ1 λ = λ1 i λ = λ1 b j λ =0, =0, =0, t σ σ 2 σ i σ 2 σ b j σ 2 = t λ2 λ = λ2 i λ = λ2 b j λ =0, =0, =0, (5.15) pro i =2,...,n j =2,...,m. Vzhledem k prvním dvěm rovnicím je jsné, že má-li λ 1, λ 2 λ záviset n t musí být všechny integrční fktory stejnou funkcí t npříkld λ 1 = ϕ(t) f 1 (σ 1, 2,..., n ), λ 2 = ϕ(t) f 2 (σ 2,b 2,...,b m ), (5.16) λ = ϕ(t) f(σ 1,σ 2, 2,..., n,b 2,...,b m ), jink by se uvedené derivce nemohly rovnt nule. Z dlších dvou rovnic je ptrné, že vzhledem k tomu, ž e λ 2 není funkcí i tké λ tké nemůže být funcí i stejně tk λ 1 nemůže být funcí i. Z posledních dvou rovnic plyne totéž pro prmetry b j. Závislost integrčních fktorů n vnějších prmetrech se nám tedy dále zjednodušil λ 1 = ϕ(t) f 1 (σ 1 ), λ 2 = ϕ(t) f 2 (σ 2 ), (5.17) λ = ϕ(t) f(σ 1,σ 2 ). 2 Jde o důsledek podmínky nutné postčující pro to, by form dσ byl úplným diferenciálem. o le víme, že je. 5 63

8 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie Obrázek 5.3: Schém systému složeného ze tří podsystémů. K důkzu λ = ϕ(t). Funkce f 1 (σ 1 ), f 2 (σ 2 ) mohou být libovolné přitom λ 1, λ 2 stále zůstávjí integrujícími děliteli dné formy, viz poznámk 1 pod črou v článku yto funkce lze tedy položit rovny jedné dostáváme tk důležitý výsledek, že integrující dělitel pro tepl jednotlivých podsystémů je pouze funkcí empirické teploty t λ 1 = λ 2 = ϕ(t). (5.18) Lze sndno ukázt, že tké λ = ϕ(t). Vezměme systém, který se skládá ze tří podsystémů, které oznčíme čísly 1, 2 3 (viz obr. 5.3, které jsou v termodynmické rovnováze. Ve shodě s již dokázným viz rovnice (5.18) dostáváme pro kždý pár systémů λ 1 = λ 2 = ϕ(t), λ 2 = λ 3 = ϕ(t), λ = λ 3 = ϕ(t), (5.19) kde λ odpovídá spojeným systémům 1 2. Dokázli jsme tk, že λ = λ 1 = λ 2 = ϕ(t). Funkce S 1 S 2 definovné ds 1 = δq 1 ϕ(t), ds 2 = δq ϕ(t), (5.20) se nzývjí entropiemi prvního druhého podsystému. Vezmeme-li v úvhu rovnici (5.7) dostneme δq ϕ(t) = δq 1 ϕ(t) + δq 2 ϕ(t) = ds 1 + ds 2 = d(s 1 + S 2 )= ds, (5.21) kde S = S 1 + S 2 je entropie celého systému. Entropie je tedy ditivní, neboli extenzivní veličinou. Shrňme hlvní výsledky, které jsme získli v tomto článku: 1. Podřilo se nám dokázt, že mezi integrujícími děliteli pro δq existuje tkový, který je funkcí pouze empirické teploty λ = ϕ(t) je stejný pro libovolné systémy v termodynmické rovnováze. 2. Prokázli jsme existenci nové stvové funkce entropie. 3. Dokázli jsme, že entropie je ditivní ptří tedy k extenzivním termodynmickým veličinám. 5 64

9 Entropie termodynmická teplot Michl Vrdy ermodynmická teplot Při odvození existence entropie jsme ztím jko jeden z prmetrů systémů používli empirickou teplotu t. Určení empirické teploty systému se npříkld u kplinových teploměrů převádí n měření teplotně závislého objemu teploměrné kpliny v kpiláře teploměru. Z termiky víme, že hodnot empirické teploty dného systému, měřená kplinovými teploměry s různými teploměrnými kplinmi, se kromě dvou klibrčních bodů 0 C100 C bude lišit. Dochází k tomu díky různým teplotním závislostem koeficientů izobrické teplotní roztžnosti pro různé kpliny. to skutečnost je smozřejmě fyzikálně velmi neuspokojivá. Zvedení termodynmické (bsolutní) teploty Pomocí II. termodynmického zákon lze tuto svízel vyřešit definováním bsolutní termodynmické teploty (krátce termodynmické teploty), která nezávisí n vlstnostech teploměrných látek v teploměrech. Vzhledem k tomu, že integrční dělitel pro teplo je funkcí pouze teploty je možné celou tuto funkci vzít z míru teploty systému = ϕ(t). (5.22) Njděme nyní vzth mezi termodynmickou empirickou teplotou určenou n zákldě nějké libovolné teploměrné veličiny. Vezmeme jednoduchý systém, jehož stv je dán jedním vnějším prmetrem bsolutní teplotou = (t), která je funkcí empirické teploty změřené n zákldě libovolné teploměrné veličiny 3. Vyjdeme z prvního δq = du + A d (5.23) druhého termodynmického zákon ds = δq. (5.24) Rozepsáním diferenciálu vnitřní energie v prvním termodynmickém zákonu jeho vydělením bsolutní teplotou dostneme diferenciál entropie ds = δq = d + + A d, (5.25) tedy Pfffovu formu, která je úplným diferenciálem nutně musí splňovt podmínky pro úplný diferenciál, tedy 1 = 1 + A. (5.26) Provedením derivcí dostáváme A = + A. (5.27) 3 Převodní funkci mezi empirickou termodynmickou teplotou (zároveň integrční fktor pro teplo) = ϕ(t) pro přehlednost dále nhrdíme symbolem = (t). Smozřejmě pltí (t) =ϕ(t). 5 65

10 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie Nyní vezmeme termodynmickou teplotu jko funkci empirické, tedy = (t), d = d dt dt, provedeme substituci do předchozího vzthu. Dostneme (t) A t dt d = + A. (5.28) t Z této rovnice dostneme diferenciální rovnici pro vzth mezi termodynmickou empirickou t teplotou A d (t) = t t + A dt, (5.29) přičemž prciální derivci vnitřní energie podle vnějšího prmetu, lze brát při konstntních jk tk i t, protože obě teploty jsou svázány jednoznčnou funkcí je li tedy konstntní jedn bude i druhá. Získnou rovnici lze bez potíží integrovt ln 0 = t t 0 A t t + A dt = I (5.30) dostneme výsledný vzth kde bsolutní teploty 0 odpovídjí empirickým teplotám t t 0. = 0 e I, (5.31) Z tvru funkční závislosti pro bsolutní termodynmickou teplotu (5.31) okmžitě vyplývá, že teplot nemůže změnit znménko musí tedy být pouze kldná nebo záporná podle volby znménk prmetru 0. Dokázt, že teplot je kldná nebo záporná není možné je potřeb doplnit určení znménk teploty dlší podmínkou, že přijímá-li těleso teplo při konstntních vnějších prmetrech, jeho teplot roste tedy, že tepelná kpcit C = > 0, (5.32) t je vždy kldná. ím jsme vyloučili možnost existence záporných teplot. Vzth mezi empirickou bsolutní termodynmickou teplotou Vezměme nyní rovnici (5.31) pro bsolutní termodynmickou teplotu 1 odečtěme od ní 0. Dostneme kde 1 0 = 0 ( e I 1 1), (5.33) I 1 = t 1 A t t t 0 Dělíme-li nyní vzth (5.31) rovnicí (5.33) dostneme + A dt. (5.34) e I = 1 0 ( e I (5.35) 1 1) 5 66

11 Entropie termodynmická teplot Michl Vrdy po úprvě e I =( 1 0 ) ( e I. (5.36) 1 1) Vezmeme-li tedy empirickou bsolutní teplotní stupnici tk, že t 1 t 0 = 100 C zároveň 1 0 = 100 K dostneme e I = 100 ( e I. (5.37) 1 1) ento vzth umožňuje určit bsolutní termodynmickou teplotu podle dné empirické teploty t určené pomocí libovolné teploměrné veličiny. Jednoznčnost termodynmické teploty Nyní ukážeme, že bsolutní termodynmická teplot je jednoznčná nezávisí n výběru druhu teploměru nebo teploměrné látky. Mějme nějkou soustvu v termodynmické rovnováze změřme její teplotu pomocí dvou různých teploměrů (třeb rtut ový plynový). Obecně tk získáme dvě různé empirické teploty t τ mezi nimiž předpokládáme jednoznčný vzth t = t(τ). ermodynmickou teplotu definovnou pomocí empirické teploty t oznčíme termodynmickou teplotu definovnou pomocí empirické teploty τ oznčíme. Je-li termodynmická teplot jednoznčná závisí pouze n stvu systému ne n teploměru musí pltit =. (5.38) Nším cílem je dokázt pltnost tohoto tvrzení. Předpokládejme, že rozdíl bsolutních termodynmických teplot mezi dvěm klibrčními body obou termodynmických teplot bude stejný, tkže 1 0 = 1 0 = 100. (5.39) ermodynmické teploty jsou pro obě empirické dány rovnicemi (5.37) e I = 100 ( e I, (5.40) 1 1) e Iτ = 100 ( e I. (5.41) 1τ 1) Pltí-li tedy I = I τ I 1 = I 1τ jsou tké obě termodynmické teploty stejné. Abychom to dokázli npíšeme vzthy pro integrály I τ I 1τ, provedeme substituci τ = τ(t), tkže dτ = dτ dt dt přepočítáme meze integrálů I τ = I 1τ = τ A τ τ 0 τ 1 A τ τ 0 τ + A dτ = τ + A dτ = t A t t 0 t 1 A t t 0 dt dτ t + A dt dτ t + A dτ t dt = dt t 0 dτ t 1 dt = dt t 0 A t t A t + A dt = I, t + A dt = I

12 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie Dokázli jsme tk, že = (5.42) tkže bsolutní termodynmická teplot nezávisí výběru teploměru teploměrné látky veličny, le výhrdně n stvu termodynmické soustvy. Odvození vzthu mezi t dnou plynovým teploměrem Vezměme z teploměrnou látku ideální plyn teploměrnou veličinu tlk P ideálního plynu při V = konst. lk ideálního plynu při konstntním objemu souvisí s empirickou teplotou t vzthem P (t) =P 0 (1 + γt), kde γ = 1 273, 15. (5.43) Podle termodynmické definice ideálního plynu je =0 (5.44) V t integrál I lze spočíst jednoduchou substitucí I = t P t V t V t + P dt = γp t 0 P 0 0 t 0 Stejně pro I 1 (horní mez předchozího integrálu je nyní rovn t 1 ) máme Dosdíme-li hodnoty integrálů I I 1 do (5.37) dostneme 1 1+γt dt =ln. (5.45) (1 + γt) 1+γt 0 I 1 =ln 1+γt 1 1+γt 0. (5.46) = γt γ(t 1 t 0 ). (5.47) Pro rozdíl teplot t 1 t 0 = 100 C dostneme notoricky známý vzth termodynmickou bsolutní teplotou empirickou Celsiovou teplotou = 1 + t = 273, 15 + t. (5.48) γ Definice vlstnosti entropie shrnutí V předešlém článku jsme dokázli, že integrujícím fktorem pro teplo předné při vrtných (kvzisttických) dějích je funkce µ =1/, kde jsme definovli jko termodynmickou bsolutní teplotu. 5 68

13 Entropie termodynmická teplot Michl Vrdy Vynásobením Pfffovy formy pro teplo touto funkcí obdržíme úplný diferenciál nové stvové funkce entropie: tedy pro teplo při vrtných dějích pltí ds (vr) d Q, (5.49) d Q (vr) = ds. (5.50) Integrcí vzthu (5.80) dostneme výrz pro entropii systému, kde konstnt S 0 může mít význm npříkld entropie systému při teplotě 0 K d Q S = (vr) + S 0. (5.51) Hodnotu konstnty S 0 nelze metodmi termodynmiky určit, nicméně v termodynmice se budeme stejně spíše než konkrétními hodnotmi entropie systémů v dném stvu zjímt o její změnu při nějkém vrtném termodynmickém ději. Pro změnu entropie S pltí S = (vr) (2) (1) d Q = S 2 S 1, (5.52) kde symbol (vr) před integrálem vyjdřuje, že cest po níž integrujeme může sice být nprosto libovolná 4, le vždy vrtná. Důsledkem je nutná podmínk pro zvedení entropie tedy, že libovolné dv stvy lze vždy spojit lespoň jednou vrtnou cestou. Dosdíme-li rovnici pro teplo (5.50) do I. termodynmického zákon dostneme zákldní rovnici termodynmiky pro vrtné (kvzisttické děje) ds = du + i A i d i. (5.53) Pro změnu entropie při libovolném vrtném ději pk z této rovnice dostneme S 2 S 1 = (2) (1) 1 du + i A i d i, (5.54) přičemž pro doszení potřebujeme znát jk klorickou tk termickou stvovou rovnici. Vlstnosti entropie Z rovnice (5.21) vyplývá, že entropie je extenzivní veličin. o znmená, že máme-li dv oddělené systémy se stejným druhem nvzájem nerozlišitelnýc částic v termodynmické rovnováze s jednotlivými 4 Viz vět o křivkovém integrálu II. druhu (článek 2.4). 5 69

14 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie entropiemi S 1 S 2 spojíme je, do jednoho systému, jeho výsledná entropie bude éto vlstnosti se ké někdy říká ditivnost entropie. S = S 1 + S 2. (5.55) Zmysleme se nyní při kterém termodynmickém ději se entropie nemění, tedy ds =0. Z rovnice (5.80) vyplývá že tímto dějem je vrtný dibtický děj, tedy tzv. izentropický děj Entropie ideálního plynu Vyjdeme z I. termodynmického zákon d Q = du + d W (5.56) do něhož dosdíme z diferenciál vnitřní energie známý výrz plynoucí z I. termodynmického postulátu z práci plynu p dv. Podělením I. termodynmického zákon teplotou dostneme ds = d Q = 1 d P dv. (5.57) V V Vzhledem k tomu, že C V = V (5.58) že podle termodynmické definice ideálního plynu je V 0 (5.59) dostáváme s využitím termické stvové rovnice ideálního plynu P = Rn/V Integrcí tohoto vzthu dostneme ds = C V d + p dv = C V d + Rn V dv. (5.60) S = c Vm n ln + Rn ln V + S 0. (5.61) Zbývá ještě ověřit, zd je námi odvozená entropie ideálního plynu extenzivní veličinou, tedy zd je ditivní. Gibbsův prdox Vezměme dv identické systémy v DR (viz obr. 5.4) s entropiemi S 1 = c Vm n ln + Rn ln V + S 0. (5.62) 5 70

15 Entropie termodynmická teplot Michl Vrdy Obrázek 5.4: Ilustrce ke Gibbsovu prdoxu. Spojením obou systémů vznikne systém nový, který vzhedem k ditivnosti entropie musí mít entropii S rovnu součtu obou entropií, tedy S =2S 1 =2c Vm n ln +2Rn ln V +2S 0. (5.63) Je tomu skutečně tk? Spojený systém má dvojnásobný počet částic dvojnásobný objem ve srovnání s původním systémem. Jeho entropie tedy podle vzthu (5.61) musí být liší se tedy od entropie S =2S 1 o fktor S =2c Vm n ln +2Rn ln 2V + S 0. (5.64) S 2S 1 =2Rn(ln 2V ln V )+S 0 2S 0 =2Rn ln 2. (5.65) Aby byl entropie ditivní je nutno modifikovt rovnici (5.61) tkto S = c Vm n ln + Rn ln V n + S 0. (5.66) Vzth mezi klorickými termickými stvovými rovnicemi Vyjd eme z I. termodynmického zákon pro vrtné procesy, který pro jeho větší obecnost zpíšeme pomocí zobecněné síly A souřdnice ds = du + A d. (5.67) S využitím II. postulátu termodynmiky vyjádříme diferenciál vnitřní energie dosdíme do rovnice pro diferenciál entropie ds = 1 d A d. (5.68) Protože ds je úplným diferenciálem (entropie je stvovou funkcí), musí podle podmínky nutné postčující pro úplný diferenciál pltit 1 = 1 + A. (5.69) 5 71

16 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie Provedeme-li derivce n obou strnách rovnice dostneme n levé strně rovnice 1 = 1 2 U, (5.70) n prvé strně rovnice 1 + A = A U + A. (5.71) Porovnáním obou výsledků, s využitím prvidl o záměnnosti pořdí derivování smíšených derivcí II. řádu dostneme výsledný vzth, který se pro svou mimořádnou důležitost někdy oznčuje jko rovnice 90% termodynmiky 5 = A A. (5.72) to rovnice hrje v termodynmice klíčovou roli, protože umožňuje z termických stvových rovnic systémů odvodit rovnice klorické zjednodušit tk řdu termodynmických vzthů, pro jejichž použití bychom jink potřebovli znát jk termickou tk i klorickou stvovou rovnici dného systému. Některé příkldy použití rovnice 90% termodynmiky 1. Odvození klorické stvové rovnice z termické: Podle II. postulátu termodynmiky pltí tedy du = d + U = U(, ), (5.73) d = C d + d. (5.74) Dosdíme-li do druhého členu této rovnice rovnici 90% termodynmiky obdržíme prostou integrcí hlednou klorickou stvovou rovnici systému U = C d + d = C d + A A d + U 0, (5.75) kde U 0 je konstnt. Vidíme tedy, že pro odvození klorické stvové rovnice systému stčí znát pouze termickou stvovou rovnici systému. 2. Výpočet C A C pouze z termické stvové rovnice: V článku jsme odvodili vzth pro C A C, který lze opět s využitím rovnice 90% termodynmiky sndno uprvit tk, že k urcění rozdílu tepených kpcit konkrétního systému stčí opět znát pouze termickou stvovou rovnici dného systému: C A C = + A A = A A 5 oto neformální pojmenování odvozeného vzthu souvisí s jeho fundmentální rolí v termodynmice.. (5.76) 5 72

17 Mtemtické formulce II. termodynmického zákon shrnutí Michl Vrdy 3. Výpočet entropie systému pouze z termické stvové rovnice: Při výpočtu entropie systému vyjdeme ze spojeného vzthu pro I. II. termodynmický zákon km opět dosdíme rovnici 90% termodynmiky ds = 1 4. Vzth pro ( C /) : tkže C = d + 1 = C = + A d = C d + A A = 2 A 2 A d. (5.77) 2 A 2, (5.78). (5.79) 5.3 Mtemtické formulce II. termodynmického zákon shrnutí Vzhledem k důležitosti náročnosti probírného témtu uvedeme i z cenu opkování ješte jednou mtemtické formulce II. termodynmického zákon pro vrtné děje nově odvodíme uvedeme několik ekvivlentních mtemtických formulcí II. termodynmického zákon pro nevrtné děje II. termodynmický zákon pro rovnovážné děje II. termodynmický zákon pro vrtnéné děje lze vyjádřit vzthem ds (vr) d Q, (5.80) který vyjdřuje, že entropie při vrtných dějích je stvovou funkcí systému. Ekvivlentním vzthem je d Q (vr) = ds. (5.81) Dosdíme-li tuto rovnici pro teplo do I. termodynmického zákon dostneme rovnici, která spojuje I. II. termodynmický zákon tzv. zákldní rovnici termodynmiky pro vrtné (kvzisttické děje) ds = du + i A i d i. (5.82) Z rovnice (5.80) vyplývá, že vezmeme li libovolný vrtný kruhový děj po ukončení celého cyklu je změn entropie (stejně jko změn vnitřní energie) systému nulová. Proto křivkový integrál po uzvřené křivce odpovídjící libovolnému vrtnému ději je nulový, tedy d Q (vr) =0. (5.83) 5 73

18 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie Obrázek 5.5: Ilustrce k odvození II. termodynmického zákon pro nevrtné děje. ento vzth se nzývá Clusiov rovnost, tké I. Clusiov vět čsto se uvádí jko mtemtické vyjádření II. termodynmického zákon pro vrtné děje. Z věty o křivkovém integrálu II. druhu (článek 2.4) všk víme, že vzthy (5.80), (5.81) (5.83) jsou ekvivlentní lze je tedy všechny povžovt z mtemtické vyjádření II. termodynmického zákon pro rovnovážné děje II. termodynmický zákon pro nerovnovážné děje Nyní odvodíme II. termodynmický zákon pro nevrtné děje. Vezmeme nějký termodynmický systém v termodynmické rovnováze provedeme s ním následující dvojici dějů. Nejprve necháme systém přejít nevrtně z stvu (1) do nějkého infinitezimálně blízkého stvu (2) pk s tímtéž systémem přejdeme po nějké vrtné cestě opět ze stvu stvu (1) do stvu (2) (viz obr. 5.5). Předpokládejme, že při obou dějích systém přijme kldné teplo vykoná kldnou mechnickou práci. Zároveň při obou dějích musí být splněn zákon zchování energie. Pro první nevrtný děj máme pro druhý vrtný děj d Q nv = du + d W nv (5.84) d Q = du + d W. (5.85) Protože změn vnitřní energie je v obou přípdech stejná (jde o stvovou funkci záviskou pouze n stvech (1) (2)), odečtením obou rovnic dostneme d Q nv d Q = d W nv d W. (5.86) to rovnice popisuje kruhový děj s první nevrtnou větví ze stvu 1 2, kdy ve shodě s předešlým textem systém přijímá kldné nevrtné teplo koná kldnou nevrtnou mechnickou práci. Kruhový děj se ukončí vrtným dějem, kdy se systém vrcí ze stvu 2 1 předá přitom do okolí vrtné teplo vrtnou práci. Nyní budeme zkoumt, jké má tto rovnice znménko, tedy zd je rovn nule, je kldná nebo záporná. 1. Předpokládejme nejprve, že vzth (5.86) je roven nule, tedy d W nv d W =0. Pk ovšem tké d Q nv d Q =0. o by všk znmenlo, že nevrtný proces 1 2 lze obrátit projít jej zpět 5 74

19 Mtemtické formulce II. termodynmického zákon shrnutí Michl Vrdy vrtnou cestou bez jkýchkoli změn n okolních tělěsech, tedy n zpáteční cestě by systém vrátil do okolí teplo d Q = d Q nv vykonl práci n okolí d W = dw nv. 2. Kdyby byl vzth (5.86) větší než nul znmenlo by to, že část z rozdílu prcí d W = d W nv d W > 0 by během cyklu byl vykonán pouze n úkor části kldného rozdílu tepel d Q = d Q nv d Q >0 což je ve sporu s II. termodynmickým zákonem, tedy systém by přijl kldné teplo vykonl ekvivlentní práci bez jkýchkoli změn n okolních tělesech. 3. Dokázli jsme tedy, že vzth (5.86) musí být menší než nul, tedy pltí d Q nv d Q = d W nv d W <0. (5.87) Z výše uvedeného rozboru vyplývjí důležité relce pro tepl práce při vrtných nevrtných dějích mezi dvěm pevně dnými stvy II. termodynmický zákon pro nevrtné děje lze tedy vyjádřit nerovnicí δq > δq nv, (5.88) δq > δq nv. (5.89) ds >δq nv, (5.90) kde n levé strně vystupuje teplo, které by si systém vyměnil při přechodu mezi dvěm pevně dnými stvy s okolím v přípdě, že by tepelná výměn probíhl kvzistticky. N prvé strně je teplo, které by si systém vyměnil s okolím, kdyby mezi mezi oběm výše zmíněmnými stvy přešel po libovolné nevrtné cestě. Spojením I. (doszením ZZE z nevrtné teplo) II. termodynmického zákon dostneme zákldní rovnici termodynmiky pro nevrtné procesy ds >du + i A i d i. (5.91) Ze vzthu (5.90) okmžitě dostáváme nerovnici změnu entropie systému při libovolném nevrtném ději tedy pro entropii po integrci ds > d Q nv S = S 2 S 1 > (2) (1), (5.92) d Q nv. (5.93) ento vzth má očividný důsledek. Uskutečníme-li se systémem kruhový děj, je změn entropie po uzvření cyklu S =0(jde o stvovou veličinu srovnej s vnitřní energií). Dostáváme tk tzv. Clusiovu nerovnost, neboli II. Clusiovu větu d Q (nv) < 0, (5.94) která se rovněž čsto uvádí jko mtemtické vyjádření II. termodynmického zákon pro nevrtné (nerovnovážné) děje. Lze tedy shrnout, že z mtemtické vyjádření II. termodynmického zákon můžeme povžovt kterýkoli ze vzthů (5.90), (5.92) (5.93). Opět pltí, že všechny tyto vzthy jsou podle věty o křivkovém integrálu II. druhu (článek 2.4) zcel ekvivlentní. 5 75

20 Michl Vrdy Přednášk 5: II. termodynmický zákon entropie Princip růstu entropie Rovnice (5.93) má ještě jeden zásdní důsledek. Použijeme-li ji pro izolovný systém, kdy si systém nemůže vyměňovt teplo s okolím, tkže d Q nv (stčí dibtická izolce) dostneme ds >0, S 2 S 1 > 0. (5.95) Vezmeme-li v úvhu ještě vrtné děje je nutno modifikovt relční znménko > n dostneme tkzvný princip růstu entropie: V izolovných soustvách entropie nikdy neklesá, tedy S = S 2 S 1 0. (5.96) Probíhjí-li tedy v izolovné soustvě libovolné, le vrtné děje, celková entropie soustvy zůstává konstntní, probíhá-li tm lespoň jeden nevrtný děj, výsledná entropie soustvy s čsem nevyhnutelně roste. ento výrok je dlším vyjádřením II. termodynmického zákon má hluboký fyzikální filozofický smysl protože určuje směr plynutí čsu, tkzvnou šipku čsu. Princip růstu entropie vyjdřuje II. termodynmický zákon jk pro vrtné tk i pro nevrtné děje. Spolu s ním je možno vyjádřit II. termodynmický zákon zcel obecně jk pro vrtné tk i nevrtné děje těmito ekvivlentními vzthy ds δq, (5.97) S = S 2 S 1 spojení I. druhého termodynmického zákon (2) (1) d Q, (5.98) d Q 0, (5.99) ds >du + i A i d i. (5.100) 5.4 Přeměn tepl v mechnickou práci Kruhové děje Pro konverzi tepl v práci hrjí klíčovou roli kruhové děje. Kruhové děje jsou děje, kdy se systém po ukončení jednoho cyklu vrátí do původního stvu. V článku 4.1 jsme ukázli, že pro práci vykonnou po 5 76

I. termodynamický zákon

I. termodynamický zákon řednášk 4 I. termodynmický zákon I. termodynmický zákon jkožto nejobecnější zákon zchování energie je jedním ze zákldních stvebních kmenů termodynmiky. této přednášce zopkujeme znění tohoto zákon n jeho

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Ohýbaný nosník - napětí

Ohýbaný nosník - napětí Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Logaritmické rovnice I

Logaritmické rovnice I .9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

Nerovnosti a nerovnice

Nerovnosti a nerovnice Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční

Více

Neurčité výrazy

Neurčité výrazy .. Neurčité výrzy Předpokldy: Př. : Vypočti ity: ) d) ) d) neeistuje,, Zjímvé. Získli jsme čtyři nprosto rozdílné výsledky, přestože přímým doszením do všech výrzů získáme to smé: výrz může při výpočtu

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu: vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá

Více

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501 1.5. Mechnická práce II Předpokldy: 1501 Př. 1: Těleso o hmotnosti 10 kg bylo vytženo pomocí provzu do výšky m ; poprvé rovnoměrným přímočrým pohybem, podruhé pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Laboratorní práce č. 6 Úloha č. 5. Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami:

Laboratorní práce č. 6 Úloha č. 5. Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami: Truhlář Michl 3 005 Lbortorní práce č 6 Úloh č 5 p 99,8kP Měření odporu, indukčnosti vzájemné indukčnosti můstkovými metodmi: Úkol: Whetstoneovým mostem změřte hodnoty odporů dvou rezistorů, jejich sériového

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz PES Petriho sítě p. 1/34 Petriho sítě PES 2007/2008 Prof. RNDr. Miln Češk, CS. esk@fit.vutr.z Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. vojnr@fit.vutr.z Sz: Ing. Petr Novosd, Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. (verze 06.04.2010)

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání

Více

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman STEJNOSĚRNÉ STROJE 1. Princip činnosti stejnosměrného stroje 2. Rekce kotvy komutce stejnosměrných strojů 3. Rozdělení stejnosměrných strojů 4. Stejnosměrné generátory 5. Stejnosměrné motory 2002 Ktedr

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11 Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE .. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov

Více

Potenciometrie. Elektrodový děj je oxidačně-redukční reakce umožňující přenos náboje mezi fázemi. Např.:

Potenciometrie. Elektrodový děj je oxidačně-redukční reakce umožňující přenos náboje mezi fázemi. Např.: Potenciometrie Poločlánek (elektrod) je heterogenní elektrochemický systém tvořeny lespoň dvěm fázemi. Jedn fáze je vodičem první třídy vede proud prostřednictvím elektronů. Druhá fáze je vodičem druhé

Více

Termodynamika. Děj, který není kvazistatický, se nazývá nestatický.

Termodynamika. Děj, který není kvazistatický, se nazývá nestatický. Termodynamika Zabývá se ději, při nichž se mění tepelná energie v jiné druhy energie (zejména mechanické). Studuje vlastnosti látek bez přihlédnutí k jejich mikrostruktuře. Je vystavěna na axiomech (0.,

Více

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2) 5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

PLANETOVÉ PŘEVODY. Pomůcka do cvičení z předmětu Mobilní energetické prostředky Doc.Ing. Pavel Sedlák, CSc.

PLANETOVÉ PŘEVODY. Pomůcka do cvičení z předmětu Mobilní energetické prostředky Doc.Ing. Pavel Sedlák, CSc. PLANETOVÉ PŘEVODY Pomůck do cvičení předmětu Mobilní energetické prostředky Doc.Ing. Pvel Sedlák, CSc. Pro pochopení funkce plnetových převodů jejich kinemtiky je nutné se senámit se ákldy především kinemtikou

Více

Vlnová teorie. Ing. Bc. Michal Malík, Ing. Bc. Jiří Primas. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Vlnová teorie. Ing. Bc. Michal Malík, Ing. Bc. Jiří Primas. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Ing. Bc. Michl Mlík, Ing. Bc. Jiří Prims ECHNICKÁ UNIVERZIA V LIBERCI Fkult mechtroniky, informtiky mezioborových studií ento mteriál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.7/../7.47, který je spolufinncován

Více

Laboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav:

Laboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav: Truhlář Michl 7.. 005 Lbortorní práce č.8 Úloh č. 7 Měření prmetrů zobrzovcích soustv: T = ϕ = p = 3, C 7% 99,5kP Úkol: - Změřte ohniskovou vzdálenost tenké spojky přímou Besselovou metodou. - Změřte ohniskovou

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Křivka a její délka. Kapitola 5. 1 Motivace a základní pojmy

Křivka a její délka. Kapitola 5. 1 Motivace a základní pojmy Kpitol 5 Křivk její délk 1 Motivce zákldní pojmy Křivk je pojem, který je v mtemtice zkoumán již od ntického strověku. Intuitivně vždy vyjdřovl objekt, který vznikne spojitou deformcí intervlu n reálné

Více

Minimalizace automatů. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 28. března / 31

Minimalizace automatů. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 28. března / 31 Minimlizce utomtů M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 1/ 31 Ekvivlence utomtů 1 2 3 1 2 3 1 2 Všechny 3 utomty přijímjí jzyk všech slov se sudým počtem -ček Nejvýhodnějšíjepronásposledníznich-mánejméněstvů

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

Teorie jazyků a automatů

Teorie jazyků a automatů Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v

Více

ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN

ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN pevné látky jsou chrkterizovány omezeným pohybem zákldních stvebních částic (tomů, iontů, molekul) kolem rovnovážných poloh PEVNÉ LÁTKY krystlické morfní KRYSTAL pevné

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Vzorová řešení čtvrté série úloh

Vzorová řešení čtvrté série úloh FYZIKÁLNÍ SEKCE Přírodovědecká fkult Msrykovy univerzity v Brně KORESPONDENČNÍ SEMINÁŘ Z FYZIKY 8. ročník 001/00 Vzorová řešení čtvrté série úloh (5 bodů) Vzorové řešení úlohy č. 1 (8 bodů) Volný pád Měsíce

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy postupy: Kpcit uložená energie Peter Dourmshkin MIT 6, překld: Jn Pcák (7) Osh 4. KAPACITA A ULOŽENÁ ENERGIE 4.1 ÚKOLY 4. ALGORITMUS PRO ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ ÚLOHA 1: VÁLCOVÝ

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

S t e j n o s měrné stroje Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

S t e j n o s měrné stroje Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8. ELEKTRICKÉ STROJE TOČIVÉ rčeno pro posluchče bklářských studijních progrmů FS S t e j n o s měrné stroje Ing. Vítězslv Stýskl, Ph.D., únor 6 Řešené příkldy Příkld 8. Mechnické chrkteristiky Stejnosměrný

Více

ZOBRAZOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO ZRCADLA

ZOBRAZOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO ZRCADLA OBRAOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO RCADLA vtšení optického zobrzení pedešlých kpitol již víme, že pi zobrzení okmi nebo kulovými zrcdly mohou vznikt zvtšené nebo zmenšené obrzy pedmt. Pro jejich mtemtický

Více

Datamining a AA (Above Average) kvantifikátor

Datamining a AA (Above Average) kvantifikátor Dtmining AA (Above Averge) kvntifikátor Jn Burin Lbortory of Intelligent Systems, Fculty of Informtics nd Sttistics, University of Economics, W. Churchill Sq. 4, 13067 Prgue, Czech Republic, burinj@vse.cz

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

Termodynamické zákony

Termodynamické zákony Termodynamické zákony Makroskopická práce termodynamické soustavy Již jsme uvedli, že změna vnitřní energie soustavy je obecně vyvolána dvěma ději: tepelnou výměnou mezi soustavou a okolím a konáním práce

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE ZSE 8/9 Studijní mteriály ke 4 vičení z předmětu ZSE Předkládný studijní mteriál je určen primárně studentům kterým odpdlo vičení dne 4 9 (velikonoční pondělí) Ke studiu jej smozřejmě mohou využít i studenti

Více

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. Podle oázku

Více

Základní principy fyziky semestrální projekt. Studium dynamiky kladky, závaží a vozíku

Základní principy fyziky semestrální projekt. Studium dynamiky kladky, závaží a vozíku Zákldní principy fyziky seestrální projekt Studiu dyniky kldky, závží vozíku Petr Luzr I/4 008/009 Zákldní principy fyziky Seestrální projekt Projekt zdl: Projekt vyprcovl: prof. In. rntišek Schuer, DrSc.

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

Cvičení 4.ročník rovnice, nerovnice, výrazy, funkce . 4 3

Cvičení 4.ročník rovnice, nerovnice, výrazy, funkce . 4 3 Cvičení.ročník rovnice, nerovnice, výrzy, funkce ) Vypočítejte: ) [0 (8. 0 7. 0 )] b) [ ( ). ( ) ( 7)]: ( ) c) (9 ): ( ) + [ 8 (0 )] d)[. ( 9 + 7) ( ). ( )]. e). 9. 9 f). 7 + 9 ) Vyjádřete jko jedinou

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Teorie nekonečných her Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Krel Pstor, Ph.D Rok odevzdání:

Více

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Obsh Úvod.........................................

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO

Více

8 Mongeovo promítání

8 Mongeovo promítání 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou

Více

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících. 4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >

Více

Dráhy planet. 28. července 2015

Dráhy planet. 28. července 2015 Dáhy plnet Pet Šlecht 28. čevence 205 Výpočet N střední škole se zpvidl učí, že dáhy plnet jsou elipsy se Sluncem v ohnisku. Tké se učí, že tento fkt je možné dokázt z Newtonov gvitčního zákon. Příslušný

Více