14 JEDNODUCHÁ REGRESE. Čas ke studiu kapitoly: 60 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete. Výklad:

Transkript

1 4 JEDNODUCHÁ REGRESE Ča ke udu kapoly: 6 mu Cíl: Po proudováí éo kapoly udee rozumě základím pojmům regreí aalýzy zá zjedodušující předpoklady regreího modelu umě používa meodu ejmeších čverců pro odhad regreí fukce umě odhadou důvěryhodo odhadué regreí fukce pomocí páu polehlvo pro E( X a páu predkce umě pooud vhodo modelu pomocí deu deermace umě používa erpolac a erapolac a udee vědom rzk ím pojeých Výklad: V pra věšou eudujeme áhodé velčy jako akové, zajímá á jejch vzah k jým áhodým velčám. Vyoký upeň závlo (korelace čao odráží příčý vzah, ale emuí omu ak ý vždy. Příčé ouvlo (kauzalu čě emprckým proředky eodhalíme. Ke ackým výledkům je řea přda odoré zalo a prakcké zkušeo. V ejjedodušším případě je ouvlo mez ledovaým zaky zcela jedozačá. Například hmoo předměů, keré jou homogeí, je fukc jejch ojemu. Závlo ohoo druhu e azývá fukčí závlo. Předměem aky je však hodoceí akových závloí, kdy eeuje zcela jedozačý vzah mez ledovaým zaky. Teo vzah ozačujeme jako regre. Př měřeí závlo dvou kvaavích zaků můžeme druh a ílu závlo oreačě pooud z odového grafu (korelačího pole, v ěmž je každá dvojce údajů grafcky zázorěa jedím odem v rově. Druh závlo odhadujeme pomocí křvky, kerá e doře hodí k apozorovaým hodoám. Podle ypu křvky rozezáváme závlo leárí, logarmckou, epoecálí a další. Jedím z úkolů regreí aalýzy da je vyjádřeí íly závlo mez ledovaým zaky, j. aoveí, do jaké míry je hodoa jedoho zaku předurčea hodoou druhého zaku. V éo kapole e e udeme zaýva ejjedodušším případem, kdy zkoumáme závlo jedé proměé ( a jedé proměé (X a ao závlo je leárí

2 Řešeý příklad: Pro azší pochopeí prolemaky uvažujme kokréí případ: Frma provádí opravy olích kalkuláorů a poklade. Daa zapáa v aulce pocházejí z 8 ohlášeých oprav. U každé opravy je uvede poče opravovaých kalkuláorů a celková doa opravy (v muách Vyeeme-l do grafu závlo celkové doy opravy ( a poču opravovaých kalkuláorů (X, zíkáme áledující odový graf ozačovaý aké jako korelačí pole: Z grafu e zdá ý zřejmé, že poče opravovaých kalkuláorů ovlvňuje celkovou dou opravy. Naučíme e, jak oo popa pomocí vyrovávací křvky, jak používa vyrovávací křvku k progózám a jak vyhodo vhodo voly ypu vyrovávací křvky. Výklad: 4. Pojmy Nejdříve e ezámíme e základí ermolog. Vyvělovaá (závle proměá - proměá v regreím modelu, jejíž chováí e ažíme vyvěl, popa vyrovávací křvkou. Tao proměá vyupuje v modelu jako výledek půoeí zv. vyvělujících proměých. Jedá e edy o proměou a levé raě regreí fukce a věšou j ozačujeme ymolem. (V ašem případě jde o celkovou dou opravy. Vyvělující (ezávle proměá - proměá v regreím modelu, jejž chováí vyvěluje chováí závle proměé. Tao proměá vyupuje v modelu jako příčá proměá, o zameá, že v důledku její změy e měí vyvělovaá proměá. Jedá e edy o proměou a pravé raě regreí fukce a věšou je ozačujeme ymolem X. (V ašem případě jde o poče opravovaých kalkuláoru

3 Pozámka: Pojem levá a pravá raa regreí rovce je amozřejmě relaví, jde píše o zažou kovec, kerá e však důledě dodržuje. Toéž e ýká používaého začeí. Rezduum (chya predkce e ( křvkou ( Ŷ a kuečě aměřeé hodoy Regreí fukce E j odhadova a základě pozorovaí [ ] odchylka hodoy předpovídaé vyrovávací., kuečá regree populace, v pra je ezámá a muíme,. Odhad regree má var: Vraťme e k ašemu příkladu. Dokázal ye od oka prolož odovým grafem vyrovávací přímku? Nakolk y yla ao přímka vyhovující? V případě, kdy jou ody grafu začě rozpýley muíme použí ojekvější meodu ež od oka. V áledující čá e udeme zaýva meodou algerackých výpočů pro alezeí vyrovávací křvky. f y odhadovaá regree E(/X kuečá regree 4. Meoda ejmeších čverců Naším cílem je ají vyrovávací přímku, jejíž rovce má var: a muíme zvol ak, aychom zíkal co ejméě rozpýleý ouor verkálích e, zv. chy predkce, rep. rezduí. odchylek Mmalzujeme čverce odchylek Nejdříve á apade, že ychom mohl mmalzova (. Avšak ěkeré ody e acházejí pod přímkou, jé ad přímkou, proo y ěkeré odchylky yly kladé, jé záporé, vzájemě y e rušly Aychom e omu vyhul, mohl ychom mmalzova ouče jejch aoluích odchylek. Vzhledem k omu, že mmalzace fukce e provádí pomocí její dervace (vzpomeňe a dervac aoluí hodoy, eí a oo vhodá meoda. Mohem zámější a udíž mohem používaější je zv. meoda ejmeších čverců, kerá počívá v mmalzac oučů kvadráů rezduí. Mějme alepoň pozorováí (> o ouřadcích [ ; ]

4 Souče čverců rezduí: ϕ ( Souče čverců rezduí mmalzujeme: dϕ d ( dϕ d ( ( [( ( ] Daou ouavu upravíme a var: Řešeí alezeme ve varu: ( ( ( ( ( ( Vzahy pro výpoče koefceů a odvodíme v jedodušší podoě v zv. odchylkové formě, věujeme-l yí rochu čau vhodějšímu vyjádřeí Ŷ. Souče čverců rezduí : * ( ( ( ϕ ( ( ( Souče čverců rezduí mmalzujeme: dϕ d ( * ( ( * ( (

5 dϕ d ( * [( ( ( ] Daou ouavu upravíme a var: ( * ( * ( ( ( ( ( Řešeí alezeme ve varu: * ( ( ( * ( ( Pozámka: Využl jme oho, že (. Vyrovávací přímka má edy var: ( zřejmé, že vždy prochází odem [, ]., z čehož je Řešeý příklad: Výpoče koefceů vyrovávací přímky v ašem případě: ( 4,5 64,,5,5,5-3,5,5 -,5,5 -,5 -,5 -,5 3,5,5 -,5,5,5-3,5 -,5,5 ( 6,5,5,5,5,5,5 6,5,5,5 6,5,5,5 6,5,5 6,5,5,5,5 ( 74, 5 4,5 9, 39, -35, 37,5-3, 5,5-58,5-6,5-8,5 43, 3,5-6,5 35,5 6,5-59,5-4,5 34, ( 98, ( 98, 4,74, 64, 4,74 4,5, 3 74,5 (,3 4,

6 ,3 4, 74 Výklad: Až doud yl áš příup k výěru popý. Daa jme pouze ahradl vyrovávací přímkou. Nyí pořeujeme uč úudky o populac, z íž výěr pochází. Za ím účelem pořeujeme eroj acký model, kerý ám umoží eroj ervaly polehlvo a eova hypoézy. 4.3 Regreí model Předpokládejme že určý poče kalkuláorů jme přděll ěkolka pracovíkům. Celková doa opravy eude u všech ejá. Někeří pracovíc mají věší zkušeo, ěkeří měl můlu a yly jm přděley kalkuláory komplkovaým odraěím poruchy, apod. Tako vyvoříme populac hodo, právěj řečeo rozděleí pravděpodoo a úrov f (. Podoě můžeme eroj aké rozděleí f ( ad. Pak můžeme zázor možu rozděleí ako: f X y X X 3 Aalýza akovýcho rozděleí y yla oížá. Ay yl prolém zvláduelý, aovíme předpoklady ohledě rozděleí : f y E(/X

7 . Leara: Pro každé rozděleí plaí, že ředí hodoa ( X E( E µ leží a přímce o keré víme, že je kuečou regreí přímkou (regreí přímkou populace,.. Homogeí rozpyl: Všecha mají ejý rozpyl. 3. Nezávlo: Náhodé velčy jou avzájem acky ezávle. 4. Normala: Náhodé velčy mají pro,, K, ormálí rozděleí V ěkerých případech je vhodé využí př zápu regreí přímky rezdua e, eol odchylky od její ředí hodoy. Aleraví záp regreího modelu pak vypadá ako: kde e,. E e pro každé,,, Sředí hodoa áhodé ložky je ulová. Tao podmíka zameá, že áhodá ložka epůoí yemackým způoem a hodoy vyvělovaé proměé.. D e pro každé,,, Rozpyl áhodé ložky je koaí (homokedací. Tao podmíka vyjadřuje, že varala áhodé ložky ezáví a hodoách vyvělujících proměých a udíž podmíěá varala vyvělovaé proměé ezáví a hodoách vyvělujících proměých a je rova ezámé kladé koaě. 3. (, Cov e e j pro každé j, kde, j,,, Kovarace áhodé ložky je ulová. Tedy hodoy áhodé ložky jou ekorelovaé a z oho vyplývá ekorelovao růzých dvojc pozorováí vyvělovaé proměé. 4. Normala: Náhodé ložky e mají pro,, K, ormálí rozděleí Proo, aychom mohl model azva leárím regreím modelem, muí ý plěy ješě áledující dvě podmíky: 5. Regreí paramery mohou aýva lovolých hodo. 6. Regreí model je leárí v paramerech. Předpoklady a chž je model založe ověřujeme věšou pomocí jedoduchých eploraorích grafů, rep. pomocí zámých eů. Porováí rezduí čímkol dalším (pozorovaým hodoam, odhaduým hodoam, hodoam X y emělo ukáza žádé yemacké závlo. Nejužečější je v akovém případě čao graf rezduí a předvídaých hodo

8 Rezdua jou áhodě rozmíěa kolem uly a emají žádý zřejmý vzah k předpovídaým hodoám: a e yemacky ezvyšují a e yemacky ežují polu rooucím předpovídaým hodoam a eí zde a ázak eleárího vzahu. Proože předpokládáme, že kolíáí hodo závle proměé kolem regreí přímky je dáo ormálím rozděleím, rezdua y e měla chova alepoň přlžě jako výěr z ormálího rozděleí ulovou ředí hodoou. Q-Q graf rezduí y edy měl ý přlžě přímkou. Normalu a ulovou ředí hodou rezduí můžeme ověř apříklad pomocí Chí-kvadrá eu doré hody a -eu ředí hodoy. 4.4 Odhady koefceů regreí přímky ( a Pro alezeí ervalových odhadů a pořeujeme zá ředí hodoy a rozpyly, a Sředí hodoa a rozpyl Jaký je výzam koefceu? Podle defce udává koefce měrc (klo vyrovávací přímky, což je změa v závlo a změě, z.: udává změu závle proměé př jedokové změě ezávlé proměé. Např. v ašem movačím případě je 4,74, z., že zvýšíme-l pracovíkov poče kalkuláoru o, pak e celková doa pro opravu kalkuláoru zvede o 4,74 mu. Jaké je rozděleí kolem hledaé hodoy ám dává formac o om, jak lízko je odhadovaá přímka kuečé regreí přímce populace.. pravdlo ormálí apromace pro regre

9 Průvodce udem: Odhad koefceu je přlžě ormálě rozděle e ředí hodoou E a rozpylem D. Vdíme, že eují ř způoy, jak íž rozpyl :. Sížeí (rozpýleo, rezduálí měrodaá odchylka. Zvýšeí (rozah výěru 3. Zvýšeí (rozpýleo Zvýšeí azýváme prováhou hodo k. Teo průvodce je opě urče zájemcům o maemacké pozadí použých vzahů. Je věová odvozeí ředí hodoy a rozpylu. Meodou ejmeších čverců jme odvodl, že. Napíšeme-l eo výraz eplcě, odvodíme jedoduše ředí hodou a rozpyl odhadu. K K kde,...,, Sředí hodoa Proože a ím jou koay, plaí:

10 E E E E K K K K Pozámka: Využl jme oho, že: K K K K Rozpyl V ašem regreím modelu předpokládáme, že jou ezávlé, proo rozpyl jejch leárí komace můžeme jedoduše vyjádř jako: D D D D K Model rověž předpokládá, že všecha mají ejý rozpyl, proo:

11 D K K - eoť: K K 4.4. Sředí hodoa a rozpyl. pravdlo ormálí apromace pro regre Odhad koefceu je přlžě ormálě rozděle e ředí hodoou E a rozpylem í D. Odvozeí: Sředí hodoa E E E Pozámka: Využl jme oho, že regreí přímka prochází odem [ ],. Rozpyl

12 D D D D Sředí hodoa a rozpyl 3. pravdlo ormálí apromace pro regre, j. odhad koefceu je přlžě ormálě rozděle e ředí hodoou E a rozpylem D. Pro odvozeí E a Ŷ D je vhodé využí odchylkové formy vyrovávací přímky. Tz. udeme uvažova vyrovávací přímku ve varu: * Sředí hodoa * * E E E E E Rozpyl D D D D D * * Ierval polehlvo a ey pro Zavedl jme pojmy ormala, ředí hodoa a rozpyl, můžeme edy přoup k ervalovým odhadům.

13 Víme, že měrodaá odchylka je -, přčemž ozačuje měrodaou odchylku pozorováí kolem regreí přímky populace (zv. rezduálí měrodaou odchylku. je však oecě ezámá, proo j muíme odhadova. Odhadem je výěrová měrodaá odchylka kolem vyrovávací přímky, přčemž vezmeme v úvahu upě volo : í azýváme výěrová rezduálí měrodaá odchylka. S využím ohoo odhadu můžeme říc, že: í Na základě předpokladu ormaly popovaého regreího modelu lze uoud, že ; ; N N a a základě ackého chováí rezduálího rozpylu víme, že Pomocí éo výěrové aky pak můžeme zkoruova erval polehlvo pro : < < < < ( (,,,,, P P P m Pokud ychom měl pozorováí, vyrovávací přímku jm proložíme jedozačě. Nezývá ám však žádá formace o rozpylu pozorováí kolem vyrovávací přímky. Iformac o rozpylu zíkáme pouze ehdy, mámel k dpozc více ež pozorováí. Tz. použjeme-l rozpyl kolem vyrovávací přímky k odhadu rozpylu kolem regreí přímky, zývá ám (- upňů volo.

14 Řešeý příklad: Hypoéza, že mez a X eí žádý vzah, může ý maemacky vyjádřea jako: H : Tao ulová hypoéza e euje vůč aleravě: H A : pomocí výše uvedeé eové aky Ierval polehlvo a ey pro Př korukc ervalových odhadů a eováí výzamo parameru poupujeme odoě jako v případě parameru. Na základě předpokladu ormaly popovaého regreího modelu lze uoud, že ; ; N N A a základě ackého chováí rozpylu víme, že Pomocí éo výěrové aky pak můžeme zkoruova erval polehlvo pro :,, P P m m Také eováí hypoézy o výzamo parameru e provádí odoě jako v případě parameru. Souhrý ázev pro ey výzamo regreích koefceu azýváme dílčí - ey. Opě e vráíme k ašemu příkladu, vyecháme ručí výpoče a podíváme e, jak pro prolemaku dílčích -eů vypadá výup ackého ofare (Sagraphcu.

15 Typ použého modelu } Závle a ezávle proměá a a Pozorovaé hodoy p-value Dále v přílušém eovém výupu alezeme rovc vyrovávací přímky: Z výledku je paré, že hypoézu H : ezamíeme ohledem a hodou p-value (,3786. Na základě oho můžeme prohlá, že regreí přímka prochází počákem (aoluí čle regreí přímky můžeme vypu (považova za ulový, což je logcký závěr ohledem a povahu da. Druhý z dílčích -eů ám říká, že měrce přímky (Slope je hodoa, kerá e výzamě lší od uly, eoť jme zamíl hypoézu H : (pvalue,. Odhadovaou regreí přímku edy můžeme zapova ve varu: Doa opravy 4,74. Poče kalkuláorů Výklad: 4.5 Ierval polehlvo pro očekávaou hodou E( X Až doud jme udoval apeky ýkající e pozce celé přímky. Nyí e zaměříme a předvídáí za daé úrově. E( X Skuečá regreí fukce Odhadovaá regreí fukce Jaká je pro daý poče kalkuláoru celková doa opravy? Nejlepším odovým odhadem éo doy je zřejmě od a odhadovaé regreí (vyrovávací přímce:

16 Víme, že přeější formac o odhadovaé hodoě ám dá odhad ervalový. Zopakujeme-l výěr, zíkáme jou vyrovávací přímku a ím jou hodou. Všechy hodoy udou kolía kolem X E a udou zázorňova rozděleí. Bodovým odhadem očekávaé hodoy X E pro zadaou hodou je aka: * ( ( ( ( ( ( ( Př hledáí ervalového odhadu pro E( X udeme vycháze zejméa z výše odvozeé -aky: ( S Z í a základě ěžého poupu, aplkovaého př hledáí ervalového odhadu, můžeme zíka ado áledující ervalový odhad pro E( X, e polehlvoí (-: ( ; (,, S S X E P, kde růzé odhady regreích přímek Skuečá regreí fukce

17 (, X E P m Tyo ervalové meze pro pojě e měící hodoy voří zv. pá polehlvo kolem regreí přímky. Šířka ohoo páu je závlá a hodoě Ŷ S. V ěkerých aplkacích e můžeme eka oázkou, pro kerou volu je pá polehlvo ejužší, a udíž aké odhad očekávaé hodoy E( X ejpřeější? Tuo oázku lze zodpovědě alezeím akového op, keré mmalzuje Ŷ S : OPT Vdíme, že pá má ejmeší šířku pro op, a př změě, ať už k věším č meším hodoám, šířka páu mooóě roe. Šířku páu lze do určé míry předem ovlv vhodou volou odů (,...,. 4.6 Ierval predkce pro jedé pozorováí V pra má pro á mohdy věší výzam zv. erval predkce. Teo erval ám dává odpověď a oázku jaký je erval polehlvo, máme-l k dpozc pouze jedé pozorováí a úrov. Př predkc pak muíme vzí v úvahu:

18 Rozpyl odrážející kolíáí jedolvých pozorováí, j. Ŷ D Rozpyl odrážející chyy př odhadu vyrovávací přímky, j. rezduálí rozpyl D D Pro leárí regreí model plaí, že jedolvé hodoy jou ormálě rozpýley kolem regreí přímky (e mají ormálí rozděleí, proo: ; ; N N Zámým způoem yí můžeme odvod erval predkce:, P m Pro doaečě velká e prví dva čley pod odmocou lmě líží ule a pak je erval predkce:, P m 4.7 Ide deermace Pro účely verfkace právo zvoleého regreího modelu louží de deermace. Př aplkac meody ejmeších čverců plaí vzah R Ŷ SS SS SS,

19 kde SS SS ( je celkový ouče čverců, ( je ouče čverců modelu a SS R ( e ( je rezduálí ouče čverců. U ouču čverců modelu y e ve vzorc mío průměru z apozorovaých hodo měl píše ojev průměr z hodo odhaduých. Př aplkac meody ejmeších čverců e však dá odvod, že yo průměry jou ejé, lze edy pá Je zřejmé, že čím je model lepší, ím věších hodo ude aýva ouče čverců modelu a rezduálí ouče čverců ude meší. Naopak špaý model zameá velkou hodou rezduálího ouču čverců ve rováí e oučem čverců modelu. Celou rovo můžeme vyděl celkovým oučem čverců a převé ak a var SS SS Oa zlomky jou kladé, jejch ouče je rove jedčce, edy uě muí ý hodoa oou zlomků mez ulou a jedčkou. Pro přílušé zlomky plaí yí aalogcká úvaha jako pro amoé oučy čverců. Bude-l model doře vyhova závlo vyvělovaé proměé a pravé raě rovce (edy a vyvělující proměé, poroe hodoa prvího zlomku v rovo k jedčce a druhý zlomek e ude líž k ule. Bude-l model popova uvažovaou závlo špaě, ude omu aopak. Je edy logcké vzí prví zlomek jako krérum kvaly regreího modelu. SS SS R Položíme edy R SS SS ( ( a azveme jej deem deermace. Ide deermace R edy udává kvalu regreího modelu, přeěj řečeo udává, kolk proce rozpylu vyvělovaé proměé je vyvěleo modelem a kolk zůalo evyvěleo. Teo de aývá hodo od uly do jedé (eorecky včeě ěcho krajích mezí, přčemž hodoy lízké ule začí špaou kvalu regreího modelu; hodoy lízké jedé začí dorou kvalu regreího modelu, udává e věšou v proceech. Vyjde-l ízká hodoa deu deermace, emuí o ješě zamea ízký upeň závlo mez proměým, ale může o galzova chyou volu ypu regreí fukce

20 Hodoy výše uvedeých ouču čverců prezeuje acký ofare věšou ve formě aulky ANOVA, kerá e vzahuje k eováí hypoézy, zda zvoleá závlo (acký ofare věšou aízí jé ypy regree ež leárí mez velčam euje. Zaímco dílčí -ey e používají pro zjšěí acké výzamo jedolvých regreích koefceů, hodoa aky F-e louží ke zjšěí acké výzamo ěcho koefceů oučaě. Soudoá leraura o leárí regre přom uvádí, že hodoa aky F (edy polečá acká výzamo všech koefceů jako kupy je určující pro výzamo jedolvých koefceů. To zameá, že ychom e měl ejprve zajíma o hodou F-eu, a pokud azačuje výzamo regreích koefceů jako ady, eprve pak korolova výzamo jedolvých koefceů. Pokud ejou koefcey výzamé jako ada, je zyečé zjšťova výzamo u jedolvých hodo. Řešeý příklad: a Nalezěe 95% pá polehlvo a 95% pá predkce kolem regreí přímky pro dou opravy v závlo a poču kalkuláorů (pomocí Sagraphcu. Nalezěe odový odhad, ervalový odhad a erval predkce pro očekávaou dou opravy pě kalkuláorů. c Určee de deermace leárího regreího modelu pro eo případ d Pomocí aulky ANOVA ověře, zda kuečě euje leárí závlo mez udovaým velčam. Řešeí: ada Ierval predkce pro Ierval polehlvo ad Pro 5 doáváme: (5 Bodový odhad: (5 5 7, 37 ( Iervalový odhad pro E( X : ( 5 5 (5 P E X m,975,,95, kde í (

21 P ( E( X 5 69,6;73,68, 95 Ierval predkce: ( 5 5 P m,975,,95, kde P 6,59;8,5,, 95 í ( adc Ide deermace: R SS SS ( ( 686,44,98 654, Ide deermace je 98,%, z. že 98,% celkové doy opravy je vyvěleo leárím regreím modelem. add Souče čverců modelu, rezduálí a celkový Výěrový rezduálí rozpyl Koefce deermace Výěrová rezduálí měrodaá odchylka H : Mez celkovou doou opravy a počem kalkuláoru eeuje leárí závlo. H A : Mez celkovou doou opravy a počem kalkuláoru euje leárí závlo. p-value Zamíáme H, z. leárí závlo považujeme za prokázaou

22 Výklad: 4.8 Rozšířeí modelu Odhad regreí fukce, erval polehlvo pro E(X a erval predkce ám umožňují předvída př lovolé hodoě. Jelže ; ( leží mez pozorovaým hodoam, proce předvídáí e azývá erpolace. Jelže ; ( eleží mez pozorovaým hodoam, proce předvídáí e azývá erapolace. Vzhledem k omu, že jak erval polehlvo pro E(X, ak erval predkce e rozšřují rooucí vzdáleo od, ak čím dále erapolujeme od pozorovaých hodo, ím věší rzko podupujeme. Rzko roe aké proo, že mmo erval pozorovaých hodo emáme formace o použelo modelu. V podaě plaí, že regreí křvka proložeá aměřeým ody popuje chováí proceu pouze v rozahu odoí, keré je ěmo ody pokryo. Prodloužeí regreí křvky mmo oo odoí (erapolace je možé, ale je do jé míry a je jým upěm důvěryhodo. My jme e ezáml meodam, keré umožňují ou důvěryhodo urč. Příklad demagoge v regre: V cvlzovaých zemích kleá děká úmro a v jém odoí lze eo pokle grafcky zázor kleající přímkou. Je zřejmé, že akováo přímka emůže ý lovolě prodloužea. Proceo úmrí proě emůže ý záporé. V jém okamžku e edy přílušá přímka zalomí v olouk a čaem e zhrua uálí a ějaké éměř koaí úrov.v Brá aal oe okamžk zlomu v doě, kdy začalo hromadé očkováí děí. Pro odpůrce očkováí a přílušíky růzých erémích ek o yl dokoalý acký důkaz škodlvo očkováí. Shruí: Čao chceme prozkouma vzah mez dvěma velčam, kde jeda z ch, zv. ezávle proměá, má ovlvňova druhou, zv. závle proměou. Předpokládá e, že oě velčy jou pojé. Prvím krokem ve zkoumáí y mělo ý zakreleí da do odového grafu, zv. korelačího pole a ověřeí oho, zda mez velčam kuečě euje předpokládaá závlo, zv. regree. Výledky éo čá regreí aalýzy jou čao a výupu z počíače prezeováy ve formě aulky aalýzy rozpylu. Nejjedodušší formou regree je jedoduchá leárí regree, kerá předpokládá leárí závlo mez dvěm velčam. Rovc regreí přímky zapujeme ve varu: e Odhad regreí přímky azýváme vyrovávací přímka a zapujeme jej v jedom z ěcho varů:

23 * ( (zv. odchylková forma zápu e (kde e ozačujeme jako chyy predkce (odhadu, rep. rezdua Pokud jou plěy podmíky leárího regreího modelu, můžeme koefcey regreí přímky odhadova meodou ejmeších čverců. Podmíky leárího regreího modelu jou yo: kde e,. E e pro každé,,, Sředí hodoa áhodé ložky je ulová.. D( e pro každé,,, Rozpyl áhodé ložky je koaí. 3. Cov ( e, e j pro každé j, kde, j,,, Kovarace áhodé ložky je ulová. 4. Normala: Náhodé ložky e mají pro,, K, ormálí rozděleí. 5. Regreí paramery mohou aýva lovolých hodo. 6. Regreí model je leárí v paramerech. Podmíky leáríhu regreího modelu je uo v rámc regreí aalýzy ověř. Eec leárího vzahu mez dvěma velčam zjšťujeme ak, že e formálě páme, zda je měrce rova ule. Pokud je odpověď a uo oázku kladá, zameá o, že měrce vyrovávací přímky e lší od uly pouze áhodě, z., že vzah mez ledovaým velčam eí leárí. (Jde o odou eu, kerý je vyhodoce v aulce ANOVA. Odoě můžeme eova výzamo aoluího čleu vyrovávací přímky (. Teům výzamo koefceů vyrovávací přímky říkáme dílčí -ey. Iervalový odhad můžeme př regre hleda jedak pro ředí hodou př daé úrov (E( X, jedad pro jedolvé pozorováí (. Iervalu polehlvo pro jedolvé pozorováí říkáme erval predkce. Tyo ervalové odhady pro pojě e měící hodoy voří zv. pá polehlvo kolem regreí přímky, rep. pá predkce kolem regreí přímky. Kvalu regreího modelu udává de deermace R. Přeěj řečeo udává kolk proce rozpylu vyvělovaé proměé je vyvěleo modelem a kolk zůalo evyvěleo. Regreí model ám umožňuje provádě rověž erapolac, j. odhad závle proměé pro hodoy ezávle proměé ležící mmo erval aměřeých hodo. Erapolace je vždy pojea rzkem, že regreí model mmo erval aměřeých hodo pozývá plao

24 Oázky. Co je o regreí aalýza?. Vyvělee pojmy: vyvělovaá (rep. vyvělující proměá, regreí přímka, vyrovávací přímka, rezdua. 3. K čemu louží meoda ejmeších čverců? Kdy j emůžeme použí? 4. Odvoďe meodou ejmeších čverců koefcey vyrovávací přímky. 5. Jaká je erpreace koefceu? 6. Jakým ukazael měříme ěo vzájemé vzájemé vazy? (vz. Náhodý vekor 7. Čemu říkáme rezduálí rozpyl a čím je způoe? 8. Proč určujeme ervalové odhady koefceů regreí fukce, rep. proč eujeme výzamo koefceů vyrovávací přímky? 9. Vyvělee rozdíl mez páem polehlvo a páem predkce.. Co je o koefce deermace?. Co je o erapolace? Jaká jou její omezeí?

25 Úlohy k řešeí. Př korolích měřeích rozměrů lkáových šíových dílců ylo áhodě vyráo 8 dílců vykazujících vemě kladé odchylky v délce výšce od ormovaých hodo: odchylka délky [mm] odchylka výšky [mm] Najděe leárí regreí model závlo odchylky výšky a odchylce délky. Pouďe vhodo a kvalu ohoo modelu.. V leech yly měřey průoky v proflu ádrže Šace a Oravc a v proflu ádrže Morávka a Morávce. Ročí průměry v m 3 / jou dáy v áledující aulce: rok Šace Morávka rok Šace Moráka 93 4,3, ,68,374 93,386,35 947,45,94 933,576, ,543, ,466, ,55, ,576,8 95,4,9 936,8,93 95,74, ,863, ,79, ,76, ,87, ,7, ,677, ,49,38 955,86, ,466, ,8,4 94,584,76 957,59,65 943,38, ,656, ,7,8 959,447, ,9,43 96,77,679 Za rok 96 chyí hodoa průměrého ročího průoku pro ádrž Morávka. V omo roce čl průměrý ročí průok v proflu ádrže Šace a Oravc,9 m 3 /. Na základě leárí regree odhaděe hodou průměrého ročího průoku ádrže Morávka. (Bodově ervalově. Zvaže, zda je v omo případě erapolace možá

26 Řešeí: ad

27 ad